Cours CNED 6 Eme Maths

Mathématiques 6e Livret de cours Rédaction : Claudine Albin-Vuarand Nicole Cantelou Marie-Jo Quéffelec Marie-France Lefèvre Marc Le Crozler Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation

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Sommaire Séquence 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Règle, équerre, compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Séquence 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Séquence 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Séquence 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Multiplication de nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Séquence 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Séquence 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190



Sommaire Séquence 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Séquence 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Division décimale, écritures fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Séquence 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Séquence 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Périmètres, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Séquence 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Gestion de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Séquence 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Parallélépipèdes rectangles. Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366



conseils Bienvenue au Cned, en classe de 6e ! Avant toute chose, commence par lire soigneusement ces deux pages de conseils :

Je possède le bon matériel une règle graduée

0

1

2

3

4

5

6

7

une équerre

8

9

un compas

10 10

un rapporteur 90 90

une calculatrice Casio fx-92 Collège 2D

et du papier ...

TICollège

- papier millimétré - papier calque - papier blanc (c’est-à-dire sans lignes ni carreaux) - un cahier de brouillon

Je m’organise en mathématiques 1- Le cours Le cours est divisé en 12 chapitres que nous appellons « séquence ». Chaque séquence est composée d’un certain nombre de séances que tu dois faire en une heure chacune. une séance, c’est 1 h de travail.

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2- Les commentaires du cours Tout au long de ce cours, tu peux lire du texte comme ceci et du texte comme cela. Le texte comme ceci représente les conseils à suivre au fil du cours, c’est en fait « la voix de ton professeur » qui te suit et te guide au fil de ton cours.

3- Les exercices Il existe trois niveaux de difficulté pour les exercices : • Aucune étoile

• Une étoile

Exercice 1

Exercice 11

C’est un exercice que tu dois savoir faire.

C’est un exercice plus difficile, mais que tu dois savoir faire.

• Deux étoiles Exercice 29 C’est un exercice difficile ! Ne te décourage pas si tu rencontres des difficultés.

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Sommaire de la séquence 1  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Je redécouvre ce qu’est une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Je retiens le vocabulaire des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Je découvre la demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Je découvre le segment. Je différencie droite, demi-droite et segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Je découvre le milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 J’étudie les positions de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 J’étudie la médiatrice et les positions de droites - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 J’étudie les positions de droites - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Je redécouvre le cercle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

 Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 J’apprends à reporter des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

 Objectifs  Savoir tracer une droite, une demi-droite, un segment et un cercle.  Être capable de tracer des droites parallèles, des droites perpendiculaires.  Savoir déterminer le milieu d’un segment.  Apprendre à utiliser le compas pour reporter des longueurs.  Apprendre à effectuer des démonstrations.



séance 1 —

Séquence 1

Séance 1 Je redécouvre ce qu’est une droite Avant de commencer, lis à voix haute les objectifs de cette séquence : ce sont les compétences que tu vas acquérir tout au long de la première séquence de l’année. Cette séquence comporte dix séances d’environ une heure. Maintenant, effectue le test ci-dessous. Il te permettra de faire le point sur des connaissances de l’école primaire qui te seront utiles. Prends ton cahier d’exercices à la première page blanche et écris le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 1 : RÈGLE, ÉQUERRE, COMPAS ». Écris ensuite juste en dessous : « JE RÉVISE LES ACQUIS DE L’ÉCOLE ». Tu noteras les réponses aux cinq questions du test. Une fois le test fini, reporte-toi à la partie « corrigés » afin d’étudier ce que l’on attendait de toi ainsi que les remarques, observations et conseils du professeur. Avant de commencer, je te rappelle qu’une figure, en mathématiques, est ce que tu dessines avec (ou même sans) tes instruments de géométrie (par exemple des droites, des cercles, etc.).

j e révise les acquis de l’école 1- La figure ci-dessous représente :

a) une droite

b) une courbe

c) un cercle

d) un segment

3- Quelle figure représente deux droites qui semblent parallèles ? a)

c)

2- Quelle figure représente deux droites qui semblent perpendiculaires ?

c)

d)

4- Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, j’utilise :

b)

d)

b)

a)

a) un disque

b) un rapporteur

c) une équerre

d) un compas

5- Voici un segment. Le point représenté par le trait rouge représente : 2 cm 2 cm

a) la moitié du segment

b) le centre du segment

c) le milieu du segment

d) une extrémité


Séquence 1 — séance 1

Voici maintenant l’activité que tu vas effectuer tout au long de la première séquence : tu auras à compléter progressivement la carte afin d’arriver à trouver l’emplacement d’un trésor.



séance 1 —

Séquence 1

Exercice 1 La Carte au trésor Autrefois, un pirate redoutable et cruel, mais féru de mathématiques, est venu se réfugier sur une île perdue au milieu de l’océan : l’île de Mathie. Son fabuleux trésor y est caché et personne ne l’a encore découvert malgré la carte que l’on retrouva des siècles plus tard. Sauras-tu le localiser ? À toi de jouer ! Tu compléteras la carte de la page précédente à l’aide des indications du pirate au fur et à mesure que tu avanceras dans la séquence. Indication du pirate : « Les pistes rouge et bleue se rejoignent. » Les pistes rouge et bleue, parfaitement rectilignes à l’époque, ont partiellement disparu. Elles représentent deux droites. • Trace ces deux droites à la règle à l’aide d’un crayon à papier bien taillé. Elles se coupent en un point. Nomme ce point par la lettre K.

Une fois que tu as terminé l’exercice 1, lis son corrigé : pour cela, prends ton livret de corrigés à la page 2. Représenter une figure demande de la précision. Les traits doivent être fins. Pour cela, tu dois avoir du matériel adapté : un crayon à papier bien taillé, une règle en bon état. Avant de poursuivre la recherche du trésor, tu vas devoir approfondir tes connaissances sur les points et les droites. Tu viens de voir qu’un point s’obtenait naturellement comme étant le lieu où se « coupent deux droites », mais un point peut aussi se représenter « tout seul ». Écris « exercice 2 » dans ton cahier d’exercices puis effectue-le.

Exercice 2 1- Place un point A sur ton cahier (Indication : un point se représente par une petite croix) 2- Recopie et complète :

Pour tracer une droite, j’utilise .......................................................... .

3- Trace trois droites passant par A. Nomme-les (d),(d’) et (d’’).

Remarques : (d’) se lit « d prime » et (d’’) se lit « d seconde ».

4- Combien peut-on tracer de droites passant par A ? a) 1 000

b) 1 000 000

c) plus que n’importe quel nombre : une infinité

Tu as terminé l’exercice 2 ? Lis son corrigé dans ton livret de corrigés. Lis ensuite attentivement le paragraphe ci-dessous :

j e retiens

Un point se représente de trois façons différentes : le point A est le point A est le point A est là quelconque sur une droite où se coupent deux droites A

le point A se trouve ici

A

le point A se trouve ici

A le point A se trouve ici



Remarque : Pourquoi, dans le corrigé de la question 3) de l’exercice 2, le point A qui se trouve à l’endroit où se coupent des droites est-il quand même représenté par une croix ? Voici ce qu’il faut faire : - si l’on te demande d’abord de placer un point, tu dois dessiner une croix. Si ensuite tu traces des droites passant par ce point, tu n’effaces pas la croix. - si l’on te demande de tracer deux droites qui se coupent en un point, tu n’as pas à dessiner de croix : le point se trouve à l’endroit où elles se coupent. Enfin, pour terminer cette séance, je te propose de réviser tes tables d’addition. Si possible, fais-toi interroger par quelqu’un de ton entourage.

Séance 2 Je retiens le vocabulaire des droites Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 3 La Carte au trésor — suite — Le Phare du Vent est représenté par un point que l’on appelle V. • Note la lettre V sur la carte. La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par le point V ?

Entoure la bonne réponse

OUI - NON

L’Épave de William est représentée par un point que l’on appelle W. • Marque la lettre W sur la carte. La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par le point W ?

Entoure la bonne réponse

OUI - NON

Prends ton cahier de cours à la première page blanche et note en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 1 : DROITE, RÈGLE, ÉQUERRE ». Recopie le paragraphe ci-dessous sur ton cahier :

j e retiens LES BASES Droite :

Une droite est une ligne droite illimitée « des deux côtés ».

(d)

On la représente par un trait droit. On peut la nommer à l’aide d’une lettre écrite entre parenthèses. Ci-contre, on a par exemple tracé la droite (d).

10



séance 2 —

Séquence 1

Droite et point : On a représenté ci-dessous deux droites (Δ) et (Δ’). Le symbole Δ se prononce « delta » , c’est la lettre D écrite en grec. B

(∆)

(∆‘)

A

La droite (Δ) passe par le point A.

La droite (Δ’) ne passe pas par le point B.

On peut également dire et écrire :

On peut également dire et écrire :

« A est un point de la droite (Δ) ».

« B n’est pas un point de la droite (Δ’) ».

« Le point A appartient à la droite (Δ) ». « Le point B n’appartient pas à la droite (Δ’) ».

On écrit :

A ∈ (Δ)

↑

symbole mathématique signifiant « appartient à »

On écrit :

B ∉ (Δ’)

↑

symbole mathématique signifiant « n’appartient pas à »

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret:

Exercice 4

La Carte au trésor – suite –

• Nomme respectivement (Δ) et (Δ’) les droites rouge et bleue à l’aide de ton crayon à papier.

« respectivement » signifie que la première droite, (Δ), est celle tracée en rouge et que la seconde droite, (Δ’), est celle tracée en bleu. Retiens bien cet adverbe : il sera souvent employé en mathématiques.

Indication du pirate : « La première piste secrète est rectiligne. Elle passe par l’Arbre Millénaire et l’Ancienne tour Fortifiée » . • Nomme M le point représentant l’Arbre Millénaire et F celui qui représente l’Ancienne tour Fortifiée. Trace une droite passant par ces deux points M et F. • Peux-tu tracer une autre droite que la précédente, passant également par M et par F ?

Entoure la bonne réponse OUI - NON On note cette droite la droite (MF).

Lis attentivement ce qui suit :

j e retiens

Propriété : Par deux points distincts (c’est-à-dire différents) A et B, il ne passe qu’une seule droite. On note cette droite (AB) ou (BA).

A


B

11


Effectue l’exercice 5 directement sur ton livret:

Exercice 5 Voici quatre point E, F, G et H. 1- Trace toutes les droites passant par deux de ces points.

E

2- Nomme ces droites de deux manières différentes :

H

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

F

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 6 » et effectue l’exercice suivant :

Exercice 6 On considère trois points A , B et C. Combien y a-t-il de droites passant par deux de ces points ?

Effectue ensuite l’exercice 7 directement sur ton livret. Tu écriras tes réponses au crayon à papier et tu corrigeras (si c’est nécessaire) une fois que tu auras lu le corrigé.

Exercice 7 O P 1- Les points M, O et P semblent-ils alignés ? 2- Les points M, N, Q et R sont-ils alignés ?

M Q N R

Cherche dans le dictionnaire la signification du mot « définition ». Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Définition de points alignés : Reconnaître que trois points (ou plus) sont alignés revient à reconnaître que ces points appartiennent à une même droite.

12



séance 3 —

Séquence 1

Prends ton cahier d’exercices, note « Exercice 8 » et effectue l’exercice suivant :

Exercice 8 Place trois points alignés X, Y et Z et trace la droite (XY). La droite (XY) peut se nommer de plusieurs façons. Donne-les toutes.

Effectue ensuite l’exercice 9 directement sur ton livret.

Exercice 9 1- Place S tel que K, N, S d’une part et L, M, S d’autre part soient alignés.

M

K

2- Place T tel que K, L, T d’une part et M, N, T d’autre part soient alignés.

N

L

Effectue l’exercice10 directement sur ton livret:

Exercice 10

La Carte au trésor – suite–

Place le point B tel que : • M, F et B soient alignés • B ∈ (Δ).

Enfin, pour terminer cette séance, tu vas faire un peu de calcul mental : Complète chacune des suites de nombres suivantes : ....

....

....

....

....

23

28

38

43

53

58

68

....

....

....

....

36

42

33

39

28

36

23

33

43

38

42

39

53 45

58 48

73

68

54

51

83

88

98

57

Réponse :

Séance 3 Je découvre la demi-droite Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.

Exercice 11 La Carte au trésor – suite – Indication du pirate : « Pour trouver le trésor, tu vas maintenant devoir marcher. Pars du Dolmen du couchant, tourne-lui le dos, rejoins la Source éternelle et poursuis ton chemin (pendant tout le trajet, marche toujours tout droit). »

Cette indication doit t’amener à tracer une demi-droite. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

13

Séquence 1 — séance 3 • Nomme D le point représentant le Dolmen du couchant et S celui de la Source éternelle. • Trace la demi-droite nommée [DS). C’est la portion de la droite (DS) qui est limitée au point D, qui passe par S et qui se prolonge au-delà de S.

Tu viens de découvrir la notion de demi-droite. Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens Demi-droite :

Une demi-droite est une ligne droite limitée « d’un côté » et illimitée « de l’autre ».

x

Une demi-droite d’origine A est une demi-droite limitée par le point A. On peut la noter [Ax). La demi-droite d’origine A passant par le point B se note [AB).

A B

A

Remarque : lorsqu’on nomme une demi-droite, on commence par citer son origine. Dans la notation [AB), le crochet tourné vers A rappelle que la demi-droite est limitée par son origine A et que A est un point de [AB). La parenthèse rappelle que la demi-droite est illimitée du « côté » de B. Effectue l’exercice d’application suivant directement sur le livret.

Exercice 12

1-

On a représenté en bleu la demi-droite d’origine .............. passant par ..............

B

A

On la note ..............

C 2-

On a représenté en bleu la demi-droite d’origine ............... passant par ..............

D

On la note ..............

G

1ère possibilité : On a représenté en bleu la demidroite d’origine .............. passant par .............. On la note ..............

F

3-

2ème possibilité : On a représenté en bleu la demi-droite d’origine .............. passant par .............. On la note ..............

E I

4-

J 5-

Trace la demi-droite d’origine H passant par I. On la note ..............

H

J, K et L sont des points alignés.

K L

Trace la demi-droite d’origine L passant par J. On la note .............. ou ..............

Effectue les trois exercices suivants sur le livret. Utilise des crayons de couleur pour tracer les demidroites. 14



Séquence 1

séance 3 —

Exercice 13 Les trois points A, B et C sont alignés. a) Trace en bleu la demi-droite d’origine B passant par A.

A

b) Trace en vert la demi-droite d’origine B passant par C

B

C

c) Ces deux demi-droites ont-elles des points en commun ? Si oui, lesquels ? .............................................................. d) Que représente la partie coloriée en vert ou en bleu ? ........................................................................................

Exercice 14 a) Trace en bleu la demi-droite d’origine K passant par L.

K

b) Trace en vert la demi-droite [LM). c) Trace en jaune la demi-droite [MK). d) Trace en rouge la demi-droite [ML).

M

L

e) Que représente la partie coloriée en vert ou en rouge ? ........................................................................................

Le symbole ∈ qui signifie « appartient à », que tu as vu pour un point appartenant à une droite s’utilise également avec les demi-droites et les segments. Il en est de même pour le symbole ∉.

Exercice 15 Complète les pointillés par ∈ ou ∉ : M .............. [AB)

M ..............

[Ar)

M ..............

[As)

C ..............

[Bt)

C ..............

[NB)

C

..............

[Cw)

B

..............

[CB)

s

t B M

v

A

C

w

N r

u

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 16 » et effectue-le.

Exercice 16 Trace une demi-droite [Ex). 1- Place un point M tel que : M ∉ [Ex). 2- Place un point N tel que :

N ∈ [Ex).

3- Place un point O qui appartient à la droite (Ex) et qui n’appartient pas à la demi-droite [Ex). 4- Trace la demi-droite [Mt) telle que O appartienne à cette demi-droite. 5- Nomme une demi-droite déjà tracée dont l’origine est le point N et telle que O n’appartienne pas à cette demi-droite. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

15


Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental : Ajouter 24, c’est ajouter 20 puis 4. Ajouter 36 c’est ajouter 30 puis 6. Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous : 432 + 63 = ............. 53 + 36 = 89

53 + 36 = .............

215 + 81 = ..............

123 + 24 = 147

432 + 63 = 495

123 + 24 = ............. 215 + 81 = 296

Réponse :

Séance 4 Je découvre le segment. Je différencie droite, demi-droite et segment. Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.

Exercice 17 La Carte au Trésor – suite – Indication du pirate : « Tu as été trop loin : il faut revenir sur tes pas. Pour poursuivre ta recherche, tu dois rejoindre le Ravin qui se trouve à la croisée de deux pistes » : • celle sur laquelle tu te trouves • la piste rectiligne limitée par l’Ours pétrifié et l’Arbre à thé. • Note O le point représentant l’Ours Pétrifié et A celui de l’Arbre à Thé. • Représente la piste rectiligne partant de O et allant jusqu’au point A. Tu viens de tracer un segment. On le note [OA] ou [AO] car un segment n’a pas « de sens ». • Le segment [OA] et la demi-droite [DS) se coupent en R, le point recherché qui représente le Ravin. Marque le point R. Nous nous rendons alors au point R pour poursuivre notre recherche.

Tu viens de re-découvrir la notion de segment. Recopie sa définition sur ton cahier de cours à la suite de ce qui était écrit précédemment :

j e retiens

Segment : B A La partie de la droite (AB) comprise entre les points A et B est appelé le segment d’extrémités A et B. A ∈ [AB] B ∈ [AB] On le note [AB] ou [BA]. On mesure la longueur d’un segment avec une règle graduée. On note AB ou BA la longueur du segment [AB]. Les phrases suivantes ont la même signification : « Le segment [AB] mesure 4 cm. » ou « La longueur du segment [AB] est égale à 4 cm. » ou « AB = 4 cm. » Attention : il ne faut pas confondre [AB] qui désigne un segment et AB qui désigne un nombre (puisque c’est une longueur). Remarque : On utilise deux crochets lorsqu’on nomme un segment afin de rappeler qu’un segment est limité à ses deux extrémités et que les deux extrémités appartiennent au segment.

16



séance 4 —

Séquence 1

Effectue directement ci-dessous l’exercice d’application suivant :

Exercice 18 1-

On a représenté le segment d’extrémités .............. et ............... .

B

A

On le note .............. ou ............... AB = .............. cm. On a représenté le segment d’extrémités .... et ............... .

2- C D 3-

F E

On le note .............. ou .............. .............. = .............. cm. On a représenté le segment d’extrémités .... .............. et ............... . On le note .............. ou .............. .............. = .............. cm.

4-

G

H

I

Trace en bleu le segment [GH]. GH = .......... cm.

5-

J

K

L

Trace en bleu le segment [KL]. KL = .......... cm.

Effectue l’exercice 19 ci-dessous directement sur le livret.

Exercice 19

D

C

Sur cette figure sont représentés : • la droite ................................. • la demi-droite ........................

E

• le segment . ............................

Prends maintenant ton cahier d’exercices, note « exercice 20 », et effectue-le.

Exercice 20 Place deux points R et S. Trace en bleu la demi-droite [RS). Trace en vert la demi-droite [SR). a) Que représente la partie coloriée en bleu ou en vert ? b) Que représente la partie coloriée à la fois en bleu et en vert ?

Effectue l’exercice 21 suivant directement sur le livret. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

17


Exercice 21

P

On a représenté quatre points P, Q, R et S.

R

Trace et nomme tous les segments ayant pour extrémités deux de ces points.

Q S

Effectue l’exercice suivant directement sur le livret.

Exercice 22 Observe la figure ci-contre puis complète en remplaçant les pointillés par ∈ ou ∉. E . ............ [AB]

E . ........... [AB)

E . ........... (AB)

F ..............[BC]

F ............. [BC)

F ............. (BC)

D .............[AC]

D ........... [AC)

D............. (AC)

D A

E B

F

A .............[CA]

C

Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 23 » et effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 23 Place trois points A, B et C. 1- Trace un point M tel que :

M ∉ [AB] et M ∈ [AB).

2- Trace un point N tel que :

N ∈ [BC].

3- Trace un point P tel que P appartienne à [NB) et P n’appartienne pas à [BN]. 4- Trace (MN), [NA] et [PM).

Nous allons maintenant apprendre ensemble à tracer un segment dont on connaît la longueur. Lis attentivement la méthode commentée ci-dessous.

j e comprends la méthode

Tracer un segment [AB] tel que AB = 5 cm 1 étape : On prend une règle graduée et on trace un trait allant de la graduation 0 à la graduation 5. ère

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2ème étape : On trace deux petits « traits » aux extrémités et on note le nom des points : A et B. On peut enfin noter la longueur « au-dessus du segment », soit ici 5 cm ou bien seulement 5 (si l’unité est le centimètre). Tu n’es pas obligé de représenter un segment horizontal : tu peux le tracer où tu veux, et dans n’importe quelle direction. A

18

5 cm

B



séance 5 —

Séquence 1

Maintenant que tu sais représenter un segment dont on connaît la longueur, entraîne-toi en effectuant l’exercice 24 sur ton cahier d’exercices. N’oublie pas avant de commencer par écrire « Exercice 24 ».

Exercice 24 a) Trace un segment [EF] tel que EF = 7 cm. b) Trace un segment [EG] tel que EG = 3 cm. c) Trace un segment [FH] tel que FH = 4,5 cm

Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental : Ajouter 19, c’est ajouter 20 puis retrancher 1. Ajouter 29, c’est ajouter 30 puis retrancher 1. Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous. 64 + 19 =................... 67 + 29 =................... 137 + 49 =................. 248 + 39 =................. 64 + 19 = 83

67 + 29 = 96

137 + 49 = 186

248 + 39 = 287

Réponse :

Séance 5 Je découvre le milieu d’un segment Exercice 25 a) Trace un segment [CD] tel que CD = 8 cm. b) Place sur ce segment le point I tel que CI = 4 cm. c) Détermine la longueur DI (déterminer veut dire calculer). d) Que peux-tu dire des longueurs CI et DI ?

Recopie sur ton cahier de cours, à la suite de ce que tu as déjà écrit :

j e retiens

Définition du milieu d’un segment : Le milieu I du segment [AB] est le seul point du segment [AB] tel que IA = IB. Les deux petits traits bleus sur le segment [AI] et sur le segment [IB] B signifient que les segments [AI] et [IB] ont la même longueur. On les I appelle « un codage ». Ils permettent de visualiser l’égalité de longueur A sur la figure. On peut utiliser de nombreux codages différents (deux traits, trois traits, une croix, un petit cercle...) pour signifier que des segments sont de même longueur. Remarque : cette définition signifie que le milieu d’un segment est l’unique point (c’est-à-dire qu’il n’y en a pas d’autre) qui vérifie à la fois les deux conditions suivantes : • I est un point du segment [AB] (c’est-à-dire « I ∈ [AB] ») • I est à la même distance de A que de B (c’est-à-dire « IA = IB »). © Cned, Mathématiques 6e —


19


Effectue maintenant les exercices d’application ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 1- Place les milieux I, J et K respectifs des segments [AB], [CD] et [EF] et code les segments de même longueur. 2- Que peux-tu dire des points I, J et K ?

E C

F B

A

. ................................................................... D

. ...................................................................

Exercice 27 1- Place les milieux I, J et K respectifs des segments [NL], [MN] et [ML] et code les segments de même longueur.

N

2- Trace les droites (IM), puis (JL) et enfin (KN). 3- Que remarques-tu ? .............................. ................................................................ ................................................................

M

L

Exercice 28 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu te trouves au Ravin représenté par le point R. Indication du pirate : « Marche maintenant tout droit jusqu’au milieu de la piste rectiligne limitée par le Ravin et la Pyramide de Mathie. » • Nomme P le point représentant la Pyramide de Mathie. • Trace le segment [RP]. • Place le milieu U du segment [RP]. Pour cela, mesure la longueur de ce segment.

Rejoignons maintenant le point U pour poursuivre notre recherche.

Exercice 29 Dans la figure ci-contre : • AB = BC = CD = DA

B A C

• CE = CF • C ∉ [AF]

D

E F

20



séance 5 —

Séquence 1

1- Code les segments de même longueur. 2- On suppose de plus que C est le milieu de [AE]. Explique pourquoi : CA = CF.

. ................................................................................................................................................ . ................................................................................................................................................ 3- Pourquoi C n’est-il pas le milieu du segment [AF] ?

. ................................................................................................................................................ . ................................................................................................................................................

Exercice 30 Dans la figure ci-contre, on a :

C

B

B ∈ [AC] et F ∈ [AE]. On sait également que CD n’est pas égal à BC. a) B est-il le milieu de [AC] ?

A D

Explique ta réponse.

. .......................................................................................... F

. .......................................................................................... b) F est- il le milieu de [AE] ?

Explique ta réponse.

E

. .......................................................................................... . ..........................................................................................

Prends ton cahier d’exercices, note « Exercice 31 » et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 31 1- Trace : a) un segment [AB] de 5 cm

b) le point D tel que B soit le milieu de [AD].

c) le point E de [DB) tel que : DE = 8 cm

d) le point F de [BD] tel que : BF = 3 cm

2- Calcule AD, AE, EB. 3- Que représente B pour le segment [EF] ? Justifie ta réponse

Finissons cette séance par un peu de calcul mental : Complète les cases ci-dessous : +5

+29

+14

+39

+13 77

16

21 +5

16

35 +14

64 +29

77 +13

116 +39

Réponse : © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

21


séance 6 J’étudie les positions de droites Effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 32

(d1)

On a représenté 5 droites. 1- Cite deux droites qui semblent ne jamais se couper ................................................................

(d5)

2- Cite deux droites qui se coupent, puis deux autres, puis deux autres. ................................................. 3- Cite deux droites qui semblent se couper en formant un angle droit . ..................................

Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :

(d2)

(d4)

(d3)

j e retiens LES DROITES

Définition de deux droites sécantes : On dit que deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun et un seul. (d) (d') I

Exemple : Ci-contre, (d) et (d’) sont sécantes. I est le point d’intersection des droites (d) et (d’). I ∈ (d) et I ∈ (d’). On dit également : les droites (d) et (d’) sont sécantes en I.

Définition de deux droites perpendiculaires : Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont appelées des droites perpendiculaires. Exemple : (d) Pour exprimer qu’une droite est perpendiculaire à une autre, on utilise le symbole « ⊥ ». On écrit : (d) ⊥ (d’) Le symbole ⊥ signifie : « est perpendiculaire à ». Pour coder l’angle droit sur la figure, on représente un petit I (d') carré (un seul carré suffit). Remarque : Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes particulières Définition de deux droites parallèles : Deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées des droites parallèles. Exemple : Pour exprimer qu’une droite est parallèle à une autre, on utilise (d) le symbole « // ». On écrit : (d) // (d’). (d') Le symbole // signifie : « est parallèle à ».

22



séance 6 —

Séquence 1

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 33 Indique, en complétant les pointillés, si les droites « semblent perpendiculaires » ou « ne sont pas perpendiculaires ». 1- Les droites ............................... perpendiculaires.

2- Les droites ............................... perpendiculaires.



Exercice 34 Indique, en complétant les pointillés, si les droites semblent ou ne sont pas parallèles. 1- Les droites ............................... parallèles.

2- Les droites ............................... parallèles.



Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants :

Exercice 35 1- Trace une droite (d) perpendiculaire à (Δ).

Trace une autre droite (d’) perpendiculaire à (Δ). Trace une nouvelle autre droite (d’’) perpendiculaire à (Δ).

2- Combien de droites perpendiculaires à (Δ) peux-tu tracer ? Coche la bonne réponse. a) Je peux tracer une seule droite perpendiculaire à (Δ).

(∆)

b) Je peux tracer beaucoup de droites perpendiculaires à (Δ) mais « au bout d’un moment », je ne peux plus. c) Je peux tracer une infinité de droites perpendiculaires à (Δ). © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

23


Exercice 36 1- Trace une droite perpendiculaire à (d) passant par le point C. 2- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire à (d) passant par le point C ?

C

Entoure la bonne réponse : OUI – NON

(d)

3- Trace une droite perpendiculaire à (d) passant par le point K. 4- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire à (d) passant par le point K ?

K

Entoure la bonne réponse : OUI – NON

Lis l’encadré ci-dessous :

j e retiens

A

Propriété : Soit une droite (d) et un point A. Il existe une seule droite passant par A et perpendiculaire à (d).

A (d)

(d)

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Tu devras l’appliquer dans les prochains exercices.


A

Tracer la perpendiculaire (d’) à la droite (d) passant par le point A

(d) 1- On place un côté de l‘angle droit de l’équerre le long de la droite, on fait glisser l’équerre le long de la droite jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre.

2- On trace la droite passant 3- On prolonge le trait à l’aide d’une règle et par A et « longeant » on code l’angle droit : le côté de l’angle droit on place un petit carré passant par A. à l’intersection des deux droites. On écrit (d’) le nom de la droite.

A

(d)

(d') A

A

(d)

(d)

Applique la méthode précédente dans l’exercice qui suit. 24



séance 6 —

Séquence 1

Exercice 37 Dans les différents cas suivants, construis la droite (Δ) passant par M et perpendiculaire à (d). M M

(d)

(d)

M

(d)

M

(d)

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 38 1- Trace :

E

• la droite (d1) passant par E et perpendiculaire à (FG) • la droite (d2) passant par F et perpendiculaire à (EG) • la droite (d3) passant par G et perpendiculaire à (EF). 2- Que peux-tu dire des droites (d1),(d2) et (d3) ?

G

F

Exercice 39 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu es sur la piste reliant le Ravin au point U. Tu te trouves au point P. Indication du pirate : « Repère la piste perpendiculaire à la tienne et suis-la sur 10 km (tu n’auras pas à nager !). » • Trace la perpendiculaire au segment [RP] passant par le point U. Nomme-la (d). • Place le point X tel que : X est sur la droite (d) X est à 10 km de U X se trouve sur l’île. Nous marchons jusqu’au point X. Nous nous rapprochons du trésor ... © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

25


Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :

j e retiens

Définitions de droites concourantes : Dire que trois droites ou plus sont concourantes, c’est dire que ces droites ont un point commun et un seul.

Exemple : les droites (d), (d’) et (d’’) sont concourantes en I. (d) I est le point commun aux droites (d), (d’) et (d’’). I On dit aussi : I est le point de concours des droites (d), (d’) (d') et (d’’). (d'') I ∈ (d)

I ∈ (d’)

I ∈ (d’’)

Effectue enfin les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 40

A

B

Construis le point K tel que l’on ait à la fois :

F

• les points F, G et K alignés

G

• (MK) ⊥ (AB).

M

Exercice 41 Observe bien la figure qui suit. Essaie de comprendre la méthode de construction et continue la figure jusqu’à ce qu’un des points entre dans la case « cible ». Tu obtiendras alors une figure appelée : « l’escargot de Pythagore ».

26



séance 6 —

Séquence 1

cible

point de départ 2

Indication : la figure doit ressembler à ceci :

Finissons cette séance par un peu de calcul mental :

Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 2, 3 et 4 et fais-toi interroger si tu le peux.


27


Séance 7 J’étudie les positions de droites - suite Recopie sur ton cahier de cours et à la suite :

j e retiens

Définition de la médiatrice : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Remarque : cette définition signifie que la médiatrice d’un segment est la seule droite qui

(d) B A

I

• est perpendiculaire au segment • le coupe en son milieu.

(d) est la médiatrice de [AB] : (d) ⊥ (AB) et I est le milieu de [AB]

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 42 Précise, en justifiant ta réponse, si la droite (d) est la médiatrice du segment [MN] dans les différents cas suivants : a)

M

b)

(d)

c)

(d )

(d)

M N

M N

N

Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 43 Trace la médiatrice (d) du segment [GH] et la médiatrice (Δ) du segment [CB].

G H

28

C

B



séance 7 —

Exercice 44

Séquence 1

Q

1- Trace les médiatrices (d1), (d2) et (d3) respectives des segments [OP], [PQ] et [QO]. 2- Que peux-tu dire des droites (d1), (d2) et (d3) ?

........................................................

........................................................

........................................................

O

P

Remarque : (d1), (d2) et (d3) se lisent « dé un », « dé deux » et « dé trois ».

Exercice 45

(d1 )

Trace une droite (d2) perpendiculaire à la droite (d1) puis une droite (d3) perpendiculaire à (d1). Que peut-on dire des droites (d2) et (d3) ? ........................................................

........................................................

........................................................

Tu viens de voir que deux droites perpendiculaires toutes les deux à une même troisième droite semblent parallèles. En fait, ce résultat est toujours vrai. À partir de maintenant, on considèrera que ce résultat est toujours vrai : ce résultat s’appelle une propriété. Recopie sur ton cahier de cours et à la suite la propriété suivante :

j e retiens Propriété 1 :

(d1)

(d2 ) (d3 )

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles. Ceci s’écrit également : Si (d2) ⊥ (d1) et (d3) ⊥ (d1) alors (d2) // (d3)

En mathématiques, on ne peut affirmer un résultat que si on l’a prouvé (on dit démontré). Cette année, tu vas apprendre à démontrer des résultats (c’est-à-dire faire des démonstrations). Pour cela, on ne peut utiliser que ce que l’on sait d’après l’énoncé et le cours. Ce que l’on sait d’après l’énoncé (et éventuellement une question précédente) s’appelle les données. Une propriété, comme celle que nous venons de voir précédemment, est un outil important pour faire des démonstrations.


29


Nous allons commencer par apprendre à faire un plan de démonstration. Etudions ce que nous appelons un plan de démonstration sur un exemple :


Effectuer un plan de démonstration permettant de démontrer que (d’) et (d’’) sont parallèles (d” )

( ) d’

1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d). 2- On sait que : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles » . 3- On rassemble alors ces informations dans le tableau suivant : (d)

On sait que :

(d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d)

On applique la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»

On déduit que :

(d’) // (d’’)

Remplis les deux plans de démonstration suivants :

Exercice 46 a)

On sait que : .............................................................

On applique la propriété : .........................................

(d )

(∆)

(d1)

................................................................................. .................................................................................

On déduit que : .............................................................

b)

On sait que : .............................................................

On applique la propriété : .........................................

(d1) (d3)

................................................................................. ................................................................................. On déduit que : .............................................................

30

(d2 )



Séquence 1

séance 7 —

Effectue les trois exercices suivants :

Exercice 47 Complète les deux plans de démonstration ci-dessous : 1-

On sait que :

(d) ⊥ (Δ) et (Δ’) ⊥ (Δ)

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»

On applique la propriété : «

On déduit que :

...................................

2-

On sait que :

............ et (d) ⊥ (d’)

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»


On déduit que :

(d) // (Δ)

Exercice 48 K

1- Démontre que (d1) et (d3) sont parallèles.

Tu feras un plan de démonstration.

2- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d4) ?

(d1)

(d4)


J (d2)

L (d3) Figure à main levée

Exercice 49 On considère trois points A, B et C alignés dans cet ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm. 1- Trace la droite (d) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB). 2- Trace la médiatrice (∆) du segment [AB]. 3- Démontre que les droites (∆) et (AB) sont perpendiculaires.


4- Que peux-tu dire des droites (∆) et (d) ?

Tu feras un plan de démonstration. © Cned, Mathématiques 6e —


31


Finissons cette séance par un peu de calcul mental : Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 5, 6 et 7 puis fais-toi interroger si tu le peux.

Séance 8 J’étudie les positions de droites - fin Effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 50 1- Trace la droite (∆) perpendiculaire à (d) et passant par A. 2- Comment tracer une droite (d’) parallèle à (d) et passant par A ?

A

............ ............ ............ 3- Combien selon toi peut-on tracer de droites parallèles à (d) et passant par A ?

(d )

............ ............ ............

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens Propriété :

A

Soit une droite (d) et un point A. Il existe une seule droite (d’) passant par A et parallèle à (d).

32

(d') (d) (d’) // (d) A ∈ (d’)



Séquence 1

séance 8 —

On peut tracer (d’) en traçant la droite représentée dans le « je retiens » en pointillés. Cependant, je te conseille d’apprendre à tracer (d’) sans faire ce tracé intermédiaire. Pour cela, lis attentivement l’encadré suivant :


Tracer (d’) la parallèle à une droite (d) passant par le point A

A

(d )

1- On place un côté de l‘angle droit de 2- Ensuite, on place la règle le long du bord l’équerre le long de la droite, on fait de l’équerre qui est perpendiculaire à la glisser l’équerre le long de la droite droite (d). jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre. A

A

(d) 3- On fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que le point A se trouve sur l’autre côté de l’angle droit de l’équerre. On trace la droite passant par A et qui longe ce côté.

(d)

4 - On

nomme (d’) la droite tracée.

A

A

(d')

(d)

(d)

Entraîne-toi en effectuant les exercices ci-après directement sur ton livret.


33


Exercice 51 Dans chacun des cas suivants trace la parallèle (d’) à la droite (d) passant par A. a)

b)

(d) (d)

A

A

Exercice 52

B Construis le point D tel que (BD) soit perpendiculaire à (AC) et (CD) soit parallèle à (AB).

A C

Exercice 53 La Carte au trésor – suite– Rappel : Tu te trouves au point X. Indication du pirate : « Repère la piste passant par l’endroit où tu te trouves et qui est parallèle à la piste passant par le Ravin et la Source éternelle » • Trace la parallèle à la droite (RS) passant par le point X. Nomme-la (d’). Nous marcherons dans cette direction au prochain épisode.

Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :

Exercice 54 1- Trace trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que : (d1) // (d2) et (d1) ⊥ (d3). 2- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d3) ?

Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous :

j e retiens Propriété 2 : Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre. Si (d1) // (d2) et (d3) ⊥ (d1) alors (d3) ⊥ (d2).

34

(d2) (d1)

(d3)



séance 8 —

Séquence 1

Nous allons apprendre à utiliser la propriété précédente pour faire des démonstrations :

j e comprends la méthode (d1) (d3)

(d2 )

Effectuer un plan de démonstration permettant de démontrer que (d1) et (d2) sont perpendiculaires 1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d2) // (d3) et (d1) ⊥ (d3). 2- On connaît la propriété : « Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre ». 3- On rassemble alors ces informations dans le tableau suivant : On sait que :

(d2) // (d3) et (d1) ⊥ (d3)

Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre.»


On déduit que :

(d1) ⊥ (d2)

Remplis les deux plans de démonstration suivants :

Exercice 55 a)

(d')

On sait que : .............................................................

(Δ)

(d)

On applique la propriété : .................................... ............................................................................ ............................................................................

On déduit que : .............................................................

b)

On sait que : .............................................................

(d’) // (Δ)

On applique la propriété : .................................... ............................................................................

(d2) (d1)

(d3)

............................................................................ On déduit que : .............................................................


35


Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous :

Exercice 56 On considère la figure à main levée ci-contre. Les droites (d1) et (d3) sont parallèles. 1- Démontre que (d2) est perpendiculaire à (d3).

(d1 ) (d3 )

(d2 )

2- Démontre que (d2) et (d4) sont parallèles.

(d4 )

Exercice 57 1- Dans la figure ci-contre on a :

(d3)

(d1)//(d2) et (d3)//(d2).

Trace une droite (∆) perpendiculaire à (d2) directement sur la figure de ton livret.

Réponds aux questions suivantes sur ton cahier.

(d2) (d1)

2- Que peut-on dire de (d1) et (∆) ? 3- Que peut-on dire de (d3) et (∆) ? 4- Que peut-on dire de (d1) et (d3) ? 5- Quelle propriété vient-on de démontrer dans cet exercice ?

Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous :

j e retiens Propriété 3 : Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

(d3) (d2) (d1)

Si (d1) // (d2) et (d1) //(d3) alors (d2) // (d3)

36



séance 9 —

Séquence 1

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 58 1- Trace la droite (d) passant par B et perpendiculaire à (AD) puis la droite (d’) passant par C et perpendiculaire à (d) et enfin la droite (d’’) passant par E et parallèle à (d’). 2- Démontre que :

B

C

E

(AD) // (d’).

A

3- Que peut-on dire des droites (AD) et (d’’) ?

D

Finissons cette séance par un peu de calcul mental : Rends-toi à la page des tables, à la fin de ton livret. Revois les tables de multiplication par 8 et 9, puis fais-toi interroger si possible.

Séance 9 Je redécouvre le cercle Voici un exercice qui va te faire découvrir ce qu’est un cercle.

Exercice 59 Effectue la première partie de cet exercice sur ton livret de cours :

B C

D

Première partie : 1- On a placé les points A, B, C, D, E et F sur un cercle C . Complète après avoir effectué une mesure :

F

OA = .............. cm OB =.............. cm

O

OC = . ........... cm OD =.............. cm OE = . ........... cm OF =.............. cm Que remarques-tu ?

E

............................................................ ............................................................ ............................................................ 2- Place trois points J, K et L tels que :

C

A

OJ = 1 cm, OK = 2,5 cm , OL = 3 cm. Les points situés à moins de 4 cm du point O semblent se trouver ...................................... .......................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................


37


3- Place trois points M, N et P tels que OM = 4,5 cm, ON = 5 cm, OP = 6 cm. Les points situés à plus de 4 cm du point O semblent se trouver .........................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Écris « Exercice 59 » sur ton cahier d’exercices et effectue la deuxième partie de cet exercice : Deuxième partie : Place un point O au milieu de ta feuille puis place six points G, H , I, J, K et L tels que : OG = OH = OI = OJ = OK = OL = 3 cm. Que remarques-tu ?.......................................................................................................... ..........................................................................................................................................

Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

C

Définition du CERCLE

M

Le cercleC de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble de tous les points situés à 2 cm du point O. 2 cm

Autrement dit : Si M ∈C alors OM = 2 cm. Si OM = 2 cm alors M ∈ C . Remarque : le centre O du cercle n’est pas un point du cercle.

O

Maintenant que tu as vu ce qu’était un cercle, effectue cet exercice d’application directement sur le livret.

Exercice 60

G

1- Le centre du cercle passant par ........... H, E et C est un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ...........................................

B D

2- Le centre du cercle passant par B, D et F est un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ........................................... 3- Le cercle de centre G passant par le point C passe par un des points de la figure. À l’aide d’une règle graduée, trouve-le. ...........................................

C F H

A E

Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après. Le vocabulaire concernant le cercle est à apprendre et à retenir.

38



séance 9 —

Séquence 1

j e retiens Vocabulaire :

Soit un cercle C de centre O et de rayon 2,5 cm. • Un rayon est un segment dont les extrémités sont un point du cercle et le centre O du cercle. Exemples : [OC], [OL], [OK] Le rayon est la longueur de chaque rayon soit ici 2,5 cm. • Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle. Exemple : [AB]

AB B

A

K

C O L C

• Un diamètre est une corde qui passe par le centre O du cercle. Exemple : [KL] Le diamètre est la longueur de chaque diamètre soit ici 2 x 2,5 soit 5 cm. • L’arc AB est la plus petite portion de cercle comprise entre les points A et B.

Les cercles sont des formes que l’on retrouve souvent dans la nature. En voici un exemple : des cercles obtenus en lançant une pierre à la surface d’un lac. Ces cercles ont tous le même centre : on dit alors qu’ils sont concentriques.

© Cned

Exerce-toi maintenant à tracer des cercles en faisant l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 61 1- Trace un cercle de centre Y et de rayon 3 cm. 2- Trace un cercle de centre Z et de diamètre 4 cm. (Effectue la suite de l’exercice sur ton livret) 3- a) Trace le cercle C 1 de centre A et passant par C. b) Trace le cercle C 2 de centre B et passant par C. c) Trace le cercle C 3 de centre C et passant par B.

B

A C

Tu as vu comment tracer un cercle de diamètre 4 cm. Lis attentivement l’encadré ci-après, il t’apprendra à tracer un cercle dont on connaît un diamètre (et non le diamètre : ce n’est pas la même chose ! ). © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

39



Tracer le cercle de diamètre [EF]

1- On veut tracer le cercle 2- On mesure [EF]. On trouve 6 cm. de diamètre [EF]. On place alors le milieu de [EF] à 3 cm de E sur [EF].

3- On pointe le compas sur le milieu du segment, on prend pour écartement la distance entre ce point et F (3 cm) et on trace le cercle.

F

F E

E 0

1

2

3

4

5

6

7

F E

Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 62 1- Trace un segment [CD] de 7 cm. 2- On considère le cercle C de diamètre [CD]. Place O le centre du cercle C . 3- Trace le cercle C de diamètre [CD]. 4- Trace une corde [CE] telle que CE = 4 cm. 5- Représente en vert l’arc DE.

Exercice 63 Trace un segment [EF] de 3 cm. Quels sont les points situés à la fois à 4 cm de E et à 5 cm de F ?

Exercice 64 1- Trace deux points K et L tels que : KL = 6 cm. 2- Trace le cercle C de centre K et de rayon 4 cm puis le cercle C ‘ de centre L et de rayon 3 cm. 3- Hachure en vert la zone où les points sont situés à moins de 4 cm de K. 4- Hachure en bleu la zone où les points sont situés à moins de 3 cm de L. 5- Quelle est la zone où sont situés les points à moins de 4 cm de K et à moins de 3 cm de L ?

40



séance 9 —

Séquence 1

Exercice 65 La Carte au trésor – suite – Rappel : Tu te trouves au point X. Indication du pirate : « Le point Y où tu dois aller se trouve sur la piste représentée par la droite (d’). Il se trouve à 6 km du Gué du diable et il doit te rapprocher de l’arbre Millénaire ». • Note G le Gué du diable. • Trace l’ensemble des points situés à 6 km du point G. • Le point Y se trouve à 6 km du point G sur (d’) et il doit être en sorte que l’on se « rapproche de M ». Place le point Y sur la carte. Nous marchons jusqu’au point Y. Il ne reste plus qu’une étape à franchir avant de trouver le trésor !

Effectue maintenant l’exercice suivant directement sur ton cours.

Exercice 66

M

O

Construis le point A tel que A appartienne au cercle de diamètre [MN] et (AN) // ( MO).

N

Exercice 67 Construis un point B tel que • d’une part, B appartienne au cercle de centre K passant par L.

L

• d’autre part : (BP) ⊥ (KR).

K

R

P

Finissons cette séance par un peu de calcul mental : Complète les pointillés :

5 x . ...............= 45

6 x 6 = 36

6 x . ............ = 36

6 x . .............. = 54

4 x 6 = 24

5 x 9 = 45

4 x . ............. = 24

6 x 9 = 54

Réponse : © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

41


séance 10 J’apprends à reporter des longueurs Nous allons commencer cette séance par des exercices de reproduction de figures mathématiques. Prends ton cahier d’exercices et effectue les exercices suivants :

Exercice 68

D

La figure ci-contre est représentée à main levée. Reproduis-la à l’aide d’une règle graduée et d’une équerre.

C 5,5 cm 4 cm

A

I I ∈ [AB]

B

Exercice 69 Reproduis la figure ci-contre.

3 cm

3 cm

Nous allons maintenant apprendre, à partir d’une figure, à écrire une consigne (un petit texte) permettant à quelqu’un qui ne verrait pas la figure de pouvoir la tracer. Lis attentivement le paragraphe ci-après :

42



séance 10 —

Séquence 1


Écrire un texte permettant de reproduire la figure ci-dessous

C

C

D

A

(d)

Il s’agit de repérer les caractéristiques de la figure pour permettre à quelqu’un qui n’aurait pas vu la figure de pouvoir la reproduire. • On trace un triangle ABC. • On trace le cercle C dont [AC] est un diamètre . • D est le centre du cercle C . B • On trace le segment [BD]. • La droite (d) est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point B.

C

A

Attention : Quand on dit « reproduire une figure », on ne veut pas dire « reproduire à l’identique », comme on pourrait le faire avec un papier calque, mais reproduire une figure qui possède les mêmes propriétés mathématiques, comme par exemple ici la figure ci-contre.

D C (d) B

Entraîne-toi en effectuant sur ton cahier d’exercices, l’exercice suivant :

Exercice 70 D

Écris un texte permettant de reproduire cette figure. C

I A

5 cm

B

C


43


Nous allons maintenant découvrir l’utilisation du compas pour reporter des longueurs, qui est une méthode que l’on utilise constamment en géométrie :


Étant donné un segment [AB] et un point C, tracer un point D tel que : CD = AB

1- Je trace une demi-droite d’origine C.

2- Je prends comme écartement de compas la longueur du segment [AB].

B

A C

A x

C

B

x

3- Je trace le cercle de centre C avec l’écartement précédent du compas.

4- Le cercle coupe la demi-droite au point D.

C

D

C

x x

Entraîne-toi en effectuant les quatre exercices suivants :

Exercice 71 b) Trace deux points X et Y sur la droite (d) tels que : AX = AY = JK

a) Trace le point Z sur la demi-droite [Dw) tel que : DZ = AB A D

A

B J (d)

K

w

44



séance 10 —

Exercice 72

A

C

D

Construis un point Y sur la demi-droite [Fx) tel que :

Séquence 1

F

B

FY = AB + CD. x

I

Exercice 73

M

Sans utiliser une règle, compare AY et

Y

K

KL + MN + IJ.

J

..................................................................

N

.................................................................. ..................................................................

L

..................................................................

A

Exercice 74 K

1- Trace sans utiliser de règle graduée le cercle C de centre L et de rayon HI.

I

J

H

2- Trace un diamètre [AB] de ce cercle. 3- Trace une corde [BC] telle que : BC = KJ.

L


45


Exercice 75 La Carte au trésor – suite et fin Rappel : Tu te trouves au point Y. Indication du pirate : « Le trésor se trouve sur la piste rectiligne passant par le Dolmen du couchant et le point où tu te trouves. La distance qui te sépare du trésor est la même que celle qui sépare les deux pyramides. Parmi les deux possibilités, une seule est la bonne, car le trésor ne se trouve pas sur une plage ». • Trace la droite (DY). • Nomme L la pyramide du levant. • À l’aide de ton compas, reporte la distance LP à partir du point Y sur la droite (DY). • Tu as obtenu deux points. Quel est celui qui correspond à la dernière indication du pirate. Nomme ce point T. Voilà ! Tu as gagné : tu as retrouvé l’emplacement du Trésor !

Ce Trésor, le voici : sellevuon ed ,tnesérp à ,ehcir aliov eT ,sedohtém sellevuon ed te secnassiannoc .seuqitaméhtam ne selitu sèrt tnores et iuq .reilbuo sel sap en ed ,tnanetniam ,iot À ! egaruoc noB

Un petit conseil : place-toi face à un miroir pour lire !

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés et entoure en rouge les bonnes réponses.

Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses proposées sont justes.

46



séance 10 —

Séquence 1

j e m’évalue 1- Combien y a t il de droites passant par deux points distincts ?

® aucune droite ® une droite ® deux droites ® une infinité

2- Les points suivants :

® sont alignés ® semblent alignés A ® ne semblent pas alignés ® semblent confondus

B

C

3- La demi-droite d’origine D et passant par 4- Dans cette figure : E se note :

® (DE) ® (DE] ® [DE) ® [DE]

® H est le milieu de [FG] ® I est le milieu de [FG] ® FH = GH ® FI + IG = FG F

® sont parallèles ® sont sécantes ® sont perpendiculaires ® sont confondues

8- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) : (d2) (d1) ® sont parallèles (d ) 3

(d2) (d1)

9- Un cercle a pour diamètre 10 cm. La longueur de n’importe quelle corde de ce cercle :

® est égale à 10 cm ® est supérieure à 10 cm ® est inférieure ou égale à 10 cm ® est égale à 5 cm

® sont sécantes ® sont perpendiculaires ® sont confondues

(d2 )//(d3)

10- Dans la figure suivante qui représente un cercle de centre I :

® [AB] est un diamètre ® [AB] est une corde ® [BC] est un rayon B ® [BC] est une corde

A I


G


7- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) :


I

6- Dans la figure ci-contre, les droites :

5- Dans la figure ci-contre, les droites :

H

C

47

Sommaire de la séquence 2  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 J’utilise les nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Je redécouvre les fractions décimales et les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 J’écris un nombre décimale de plusieurs façons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Je redécouvre la demi-droite graduée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 J’apprends à tronquer un nombre et à en donner des valeurs approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Je donne un arrondi d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 J’ajoute et je soustrais des nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 J’apprends le vocabulaire de l’addition et de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 J’apprends à calculer des ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

 Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 J’effectue des exercices de synthèse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

 Objectifs  Connaître les nombres décimaux.  Être capable d’effectuer des calculs de durées.  Apprendre à résoudre des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux.



séance 1 —

Séquence 2

Séance 1 J’utilise les nombres entiers Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 2. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école

1- Écris en chiffres le nombre suivant : trente mille quatre-vingt-dix-huit. ........................................................................................................................................ 2- Écris en toutes lettres le nombre 10 637. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 3- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des unités ? ........................................................................................................................................ 4- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des unités de mille ? ........................................................................................................................................ 5- Le nombre « quatre centièmes » peut s’écrire : b) 40 c) 0,4 a) 400

d) 0,04

6- Le nombre 4,3 peut s’écrire : a) 3 +

4 10

b) 4 +

3 10

c) 3 40

d) 4 30

Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de la deuxième séquence. Elle s’intitule : « la petite histoire des nombres ». Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 1 : la petite histoire des nombres Nous comptons en permanence. Chaque jour, nous effectuons plusieurs calculs sans même nous en rendre compte... Réfléchis bien ! Tu as certainement compté depuis ce matin ! L’action de compter nous semble naturelle et pourtant l’être humain n’a pas compté de cette manière dès son apparition sur Terre. Auparavant, l’Homme mémorisait les individus de sa tribu. Il savait en les regardant s’il en manquait un ou bien si un nouvel individu s’était joint à son groupe. La nécessité de compter est apparue lorsque l’Homme s’est mis à posséder des objets en quantité telle qu’il avait peur d’en perdre ou de s’en faire voler ; l’homme comptait, par exemple, le nombre de moutons de son troupeau. Question 1 : Cherche dans ton dictionnaire l’origine latine du verbe « calculer » et réponds ci-dessous. ........................................................................................................................................... Le principe d’associer à chaque mouton un caillou est vite devenu insuffisant lorsqu’il a fallu compter des objets en plus grand nombre : le sac de cailloux devenait lourd et encombrant.


49

Séquence 2 — séance 1 Le calcul écrit est alors apparu. L’Homme s’est rendu compte qu’il était plus simple d’écrire un symbole qui représentait le nombre d’objets, plutôt que de transporter un sac de cailloux. Le « nombre » était né. Les systèmes de numération sont apparus. Regardons de plus près l’un d’entre eux : celui des Égyptiens. Autrefois, ce peuple utilisait des symboles différents pour désigner une dizaine, une centaine, ...

234

3 400

25 300

1 200 000

Question 2 1- Dessine le symbole utilisé par les Égyptiens pour représenter : a) une unité ...............................

e) une dizaine de mille ................................

b) une dizaine ............................

f) une centaine de mille . ............................

c) une centaine ..........................

g) un million ..............................................

d) mille ...................................... 2- Indique sous chaque pierre le nombre correspondant :

......................................................

......................................................

. ...........................

Règle de calcul : Pour écrire n’importe quel nombre, les Égyptiens répétaient au plus neuf fois un même symbole. Ils commençaient par écrire de gauche à droite les plus grands nombres, puis les plus petits.

50



séance 1 —

Séquence 2

3- Écris toi-même, comme l’aurait fait un Égyptien, les nombres : • 15............................................................................................................................. • 231........................................................................................................................... • 2 304........................................................................................................................ • 103 020.................................................................................................................... • 1 000 001.................................................................................................................. 4- Les Égyptiens ne disposaient que des sept symboles suivants pour écrire les nombres :

le bâton

l’anse du panier

la spirale

la fleur de lotus l’index recourbé

le têtard

le dieu accroupi

Peux-tu écrire 1 000 000 000 à l’aide de la numération Égyptienne ? OUI NON

Quel était le plus grand entier qu’ils pouvaient écrire ? .....................................................................................................................................

Notre numération actuelle est décimale : elle utilise dix symboles appelés « chiffres ».

Question 3 : Quels sont les dix chiffres que nous utilisons pour compter ? ........................................................................................................................... Avec ces dix chiffres, nous formons les nombres. Ainsi, le chiffre (qui est un symbole) permet d’écrire les nombres. Un nombre s’écrit avec des « chiffres » comme un mot s’écrit avec des « lettres ». Exemple : 473 est un nombre de trois chiffres. Attention de ne pas confondre « nombre » et « chiffre » !

Effectue maintenant sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 2 Voici trois nombres : 824, 284 et 428. Ces trois nombres sont écrits avec les mêmes chiffres : un « 2 », un « 8 » et un « 4 ». Pourtant, ils ne représentent pas du tout la même quantité ! La différence provient de la place des chiffres dans l’écriture des nombres : elle détermine leur rôle. 824 se lit « huit cent vingt-quatre ». Il représente huit centaines, deux dizaines et quatre unités. 284 se lit « . ................................................................................................................... ». Il représente . ............................. centaines, huit ....................... et . ........................ unités. 428 se lit « . ................................................................................................................... ». Il représente quatre .......................... , ........................ dizaines et huit ............................... . © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

51



j

e retiens Les nombres entiers et décimaux : écriture et comparaison Écriture des nombres entiers : Pour écrire un nombre entier, on utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Suivant sa position dans un nombre, un chiffre peut indiquer : les unités, les dizaines, les centaines, les unités de mille, les dizaines de mille, les centaines de mille, les unités de millions . . . Exemple : MILLIARDS

Centaines

MILLIONS

MILLIERS

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

1

3

5

7

0

8

0

2

7

9

4

Dans le nombre 13 570 802 794 : - le chiffre 9 est le chiffre des dizaines. - le chiffre 8 est le chiffre des centaines de mille - le chiffre 3 est le chiffre des unités de milliards - le chiffre 7 est le chiffre des centaines et aussi celui des dizaines de millions. 13 570 802 794 se lit : « treize milliards cinq cent soixante-dix millions huit cent deux mille sept cent quatre-vingt-quatorze ».

Effectue sur ton livret les deux exercices ci-dessous.

Exercice 3 Place dans le tableau ci-dessous les nombres suivants : 528 ; 5 028 ; 500 208 ; 500 020 008 ; 50 002 800 000.

MILLIARDS Centaines

52

Dizaines

Unités

MILLIONS Centaines

Dizaines

Unités

MILLIERS Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités



séance 1 —

Séquence 2

Exercice 4 1- Le chiffre des dizaines de 824 458 est ............................................................................. 2- Le chiffre des dizaines de mille de 123 456 789 est .......................................................... 3- Le chiffre des unités de millions de 589 023 570 001 est . ............................................... 4- Le chiffre des dizaines de millions de 3 562 001 est ........................................................

Prends maintenant ton cahier d’exercices. Écris sur une nouvelle page : « SÉQUENCE 2 : Nombres décimaux. Écris ensuite « Exercice 5 » et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 5 1- Les écritures suivantes :

23456789 , 23 456 7 89 , 234 567 89 sont-elles correctes ?

2- Comment proposes-tu d’écrire ce nombre ?


j e retiens

Lorsqu’on écrit un nombre entier en chiffres, il faut grouper les chiffres par trois de la droite vers la gauche. Il faut séparer chaque groupe de 3 chiffres en laissant un espace. 123 456 7 n’est pas bien écrit. Ce nombre s’écrit correctement 1 234 567.

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 6 Certains des nombres suivants sont mal écrits. À toi de les corriger ! A = 759 789 2

A =......................................................................................................

B = 3 125 228

B = .....................................................................................................

C = 358 62

C = .....................................................................................................

D = 32 34 42 28

D = .....................................................................................................


j e retiens

Règle de suppression des « 0 inutiles » : Si dans l’écriture en chiffres d’un nombre entier, le premier chiffre « en partant de la gauche » est 0, alors on doit supprimer ce chiffre 0 inutile. Exemple : 0 137 doit s’écrire 137

Écris ensuite « Exercice 7 » sur ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

53


Exercice 7 Écris les nombres suivants sans les 0 inutiles : a) 050 235

b) 06 032

c) 235 100

d) 005 205 780

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 8 Écris en chiffres les nombres suivants : a) dix mille vingt-huit .......................................................................................................... b) sept cent un mille cent sept............................................................................................. c) soixante-dix-huit millions cinquante-cinq mille vingt-deux ................................................ d) cinq cent trente-neuf milliards mille un............................................................................

Lis attentivement le paragraphe suivant.

j e retiens

Règles d’orthographe : - Milliards, millions, milliers sont des noms communs qui s’accordent. Par contre, mille est invariable. Exemples : trois mille ; deux milliards. - Suivi d’un nombre, cent est invariable (sinon, il s’accorde). Exemples : deux cent vingt-quatre ; quatre cents ; trois cent mille. - Vingt suit la même règle que cent. Exemples : quatre-vingts ; quatre-vingt-cinq. - Pour tout nombre entier de deux chiffres s’écrivant avec au moins deux mots, on doit séparer les mots par un trait d’union (sauf pour les cas comme vingt et un, trente et un, quarante et un... ). Exemples : dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt, vingt et un, vingt-deux, vingt-trois, vingtquatre, ... vingt-neuf, trente, trente et un, trente-deux, ... trente-neuf, quarante, quarante et un, quarante-deux..., quarante-neuf, cinquante, cinquante et un, cinquantedeux, ...quatre-vingt-dix-huit, quatre-vingt-dix-neuf.

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 9 1- Écris les nombres suivants en toutes lettres : a) 280

b) 3 907

c) 4 000 483

d) 20 601 094 400.

2- Précise, pour chacun des nombres de la première question s’il est pair ou impair.


54



séance 2 —

Séquence 2

j e retiens

Les entiers impairs sont ceux dont le chiffre des unités est 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9. Exemples : 27, 419, 8 243 Les entiers pairs sont ceux dont le chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemples : 32, 948, 7 356

S’il te reste du temps, effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 10

Pour numéroter les pages d’un livre de un à soixante-deux, a) combien de chiffres écrit-on ? b) combien de fois utilise-t-on le chiffre 5 ?

Exercice 11 Marc est étourdi. Il oublie toujours le code confidentiel à quatre chiffres de sa carte bancaire. Il se souvient juste que c’est un nombre impair. u est le chiffre des unités, d est le chiffre des dizaines, c est le chiffre des centaines et m est le chiffre des milliers de ce code. Pour retrouver son code, Marc a écrit sur un morceau de papier qu’il garde soigneusement dans son portefeuille, le texte suivant :

• m = 4

• c + u = 2

• d est le double de m

Détermine le code de la carte bancaire de Marc.

séance 2 Je redécouvre les fractions décimales et les nombres décimaux Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Lis bien les consignes !

Exercice 12 : La petite histoire des nombres – suite – Bien avant l’existence du mètre, l’homme mesurait des longueurs à l’aide d’objets comme, par exemple, un bâton. L’instrument qui va te permettre de mesurer sera le bâton ci-dessous.


55


L’objectif ici est de déterminer la longueur des objets photographiés page suivante : le poisson, l’hippocampe et le biface. Le poisson Pour effectuer une première mesure, reporte-toi à la page « découpage » à la fin de ton livret et découpe avec des ciseaux le bâton et reporte-le à l’emplacement prévu au-dessus du poisson. Combien de fois faut-il reporter le bâton pour mesurer ce poisson ? le poisson mesure .................. bâtons. L’hippocampe La longueur en bâtons de l’hippocampe est-elle un nombre entier ? OUI

NON

L’hippocampe mesure entre .................. et .................. bâtons. Cette réponse n’est pas satisfaisante parce qu’elle n’est pas précise. Pour obtenir une mesure plus précise, l’Homme eut l’idée de prendre une unité de mesure plus petite : il trouva dix « petits bâtons » de la même longueur qui, mis bout à bout, égalaient la longueur du bâton. On dit qu’un « petit bâton » représente un dixième de bâton. Découpe maintenant le bâton partagé en dix parties de même mesure de la page « découpage » de ton livret. L’hippocampe mesure ............ bâton et ............ petits bâtons. Autrement dit : L’hippocampe mesure ............ bâton et ............ dixièmes de bâton. On écrit également : ............ + ........ 10 Le biface Peut-on mesurer exactement le biface à l’aide de bâtons et de petits bâtons ?

OUI

NON

Le biface mesure entre ............ bâton et ............ petits bâtons et ............ bâton et ............ petits bâtons. Cette réponse n’est pas encore satisfaisante ! Pour obtenir une mesure plus précise, l’Homme eut l’idée de prendre une unité de mesure encore plus petite : il trouva de nouveau dix « tout petits bâtons » de la même longueur qui, mis bout à bout, égalaient la longueur du « petit bâton ». Il fallait donc en mettre 100 bout à bout pour obtenir la longueur du bâton.

Découpe maintenant le bâton partagé en cent parties de même longueur de la page « découpage » de ton livret. Le biface mesure ............ bâton, ............ petits bâtons et ............ tout petits bâtons. Autrement dit : Le biface mesure ............ bâton, ............ dixièmes de bâton et ............centièmes de bâton. ...... ...... On écrit également : ........ + + 10 100

56



Ë POISSON

57

© Cned, Mathématiques 6e —

Ce poisson est un bar (appelé également loup de mer).

Ë HIPPOCAMPE Les hippocampes sont des poissons que l’on trouve dans les eaux tempérées et tropicales

Ë BIFACE Outil de pierre taillée caractéristique des périodes anciennes de la Préhistoire.


Séquence 2 séance 2 —


Prends ton cahier de cours, écris sur une nouvelle page : « SÉQUENCE 2 : Nombres décimaux. ». Recopie ensuite sur ton cahier le paragraphe ci-dessous (tu tireras les traits des fractions sur la ligne d’écriture, en t’appliquant).

j e retiens Les bases

Les nombres décimaux Il existe d’autres nombres que les entiers, par exemple : 1 + 1+ 4 10 1+

4

+

7

10 100

+

7

10 100

7

. 10 100 +

est un nombre décimal.

correspond à 4 dixièmes, 4

4

7 100

correspond à 7 centièmes.

correspond donc à une unité, quatre dixièmes et sept centièmes.

... ... ... , , , etc. où les pointillés remplacent des 10 100 1 000 10 000 nombres entiers sont appelées fractions décimales.

Les écritures du type

...

L’écriture décimale

unités dixièmes centièmes unités dixièmes centièmes

Pour écrire plus rapidement les nombres décimaux, on utilise leur écriture à virgule que l’on appellera « écriture décimale » :

1+

4 7 + = 10 100

Exemples : • Le nombre 7 +

4

1, 4 7 écriture à virgule ou écriture décimale

1 a pour écriture à virgule 7, 431. + 10 100 1 000 +

3

Il se lit 7 unités, 4 dixièmes, 3 centièmes et 1 millième. 9

a pour écriture à virgule 6,009. Il se lit 6 unités et 9 millièmes. 1000 Remarque : Les nombres entiers sont des nombres décimaux particuliers. 3 correspond à 3 unités et 0 dixième soit 3,0. Il a donc bien la forme d’un nombre décimal.

• Le nombre 6 +


Exercice 13 Décompose chacun des nombres suivants de trois façons comme dans cet exemple : 45,127 = 45 +

1

+

2

+

7

10 100 1 000 45,127 = 45 + 0,1 + 0,02 + 0,007 45,127 = 45 + 1 x 0,1 + 2 x 0,01 + 7 x 0,001 a) 456,5

58

b) 145 789,88

c) 7,476

d) 0,14

e) 31,101

f) 26,007



Séquence 2

séance 2 —

Exercice 14 Écris en toutes lettres les six nombres de l’exercice précédent comme dans cet exemple : 45,127 s’écrit quarante-cinq unités, un dixième, deux centièmes et sept millièmes.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous :

j e retiens

{

{

Écriture décimale d’un nombre décimal : Pour écrire un nombre décimal, on utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et une virgule pour séparer la partie entière (à gauche de la virgule) de la partie décimale (à droite de la virgule). Exemple : 47 853 , 69 partie entière

partie décimale

Suivant sa position dans la partie décimale d’un nombre décimal, un chiffre peut indiquer : les dixièmes, les centièmes, les millièmes, les dix-millièmes, les cent-millièmes. . . PARTIE ENTIÈRE Centaines Dizaines ` de mille

de mille

Unités de mille

Centaines

Dizaines

PARTIE DÉCIMALE Unités

Dixièmes Centièmes Millièmes

Dix-

Cent-

millièmes millièmes

Millionièmes

4 7 8 5 3 6 9 Exemples : 6 est le chiffre des dixièmes de 47 853,69. 9 est le chiffre des centièmes de 47 853,69. 47 853,69 peut se lire « quarante-sept mille huit cent cinquante-trois unités, six dixièmes et neuf centièmes » ou « quarante-sept mille huit cent cinquante-trois virgule soixante-neuf ». Remarque : on étend la règle de groupement par trois, mais cette fois de gauche à droite, pour les chiffres de la partie décimale. Exemple : 123456,7892 s’écrit correctement : 123 456,789 2

Entraîne-toi en effectuant les trois exercices ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 15 a) Place dans le tableau les nombres suivants : a) 123, 010 23

b) 100, 000 1

c) 0,935 021

d) 100 001,2

e) 978, 700 008

f) 45,249 5

PARTIE ENTIÈRE Centaines de mille

Dizaines de mille

Unités de mille

Centaines

Dizaines

PARTIE DÉCIMALE Unités

Dixièmes

Centièmes Millièmes

Dixmillièmes

CentMillionièmes millièmes


59


Exercice 16 a) Quelle est la partie décimale de 139,125 ?

...........................................

b) Quelle est la partie entière de 1 790, 236 ?

...........................................

c) Quelle est la partie entière de 0,589 ?

...........................................

d) Quelle est la partie décimale de 0,589 ?

...........................................

e) Quel est le chiffre des dixièmes de 589,23 ?

...........................................

f) Quel est le chiffre des millièmes de 17 897,150 9 ?

...........................................

g) Quel est le chiffre des dizaines de 1 256,123 ?

...........................................

h) Quel est le chiffre des cent-millièmes de 23,123 456 78 ? ...........................................

Exercice 17 Écris les nombres suivants sans les 0 inutiles : a) 0 520,120 .................................... b) 201, 532 00 c) 450,506 4 ....................................

...........................................

d) 002 236,120 00 ...........................................

Séance 3 J’écris un nombre décimal de plusieurs façons Effectue sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 18

une unité • Découpage de l’unité un dixième

Une unité, c’est ....................... dixièmes. un centième

C’est également . ................. centièmes.

observe à

la loupe

C’est également . .................... millièmes.

un millième

60



séance 3 —

Séquence 2

Une unité, c’est encore .......................... dix-millièmes, .......................... cent-millièmes, etc. On peut donc écrire : 1 = ..... = ..... = ........ = ......... etc. 10 100 1 000 10 000 • Découpage du dixième Un dixième, c’est .......................... centièmes. C’est également .......................... millièmes. 1 ..... .......... etc. On peut donc écrire : = = 10 100 1 000 • Découpage du centième Un centième, c’est .......................... millièmes. On peut écrire :

1

.....

. Etc. 100 1000 =

Appliquons le principe que nous venons de découvrir pour écrire le nombre 12,789 de plusieurs façons. Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 19 Cherchons à écrire 12,789 uniquement avec des unités et des millièmes : 12,789 représente 12 unités, 7 dixièmes, 8 centièmes et 9 millièmes. 12,789 représente donc 12 unités, 700 ..................., 80 .................... .. et 9....................... . ..... 12,789 représente donc 12 unités et ................... millièmes. On écrit : 12,789 = ....... + 1000 Cherchons à écrire 12,789 uniquement avec des millièmes : 12,789 représente 12 unités, et 789 millièmes. Comme 12 unités représentent ................... millièmes, 12,789 représente donc 12 000 ................... et 789 .................... ..... 12,789 représente donc ................... millièmes. On écrit : 12,789 = . 1000 Remarque : le nombre précédent sans la virgule

12,789 =

12 789 1 000

3 chiffres après la virgule

3 zéros

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Lis attentivement l’écriture en toutes lettres des nombres proposés.

Exercice 20 Donne l’écriture fractionnaire puis l’écriture à virgule des nombres décimaux suivants : a) Mille neuf cent trente-six millièmes . ............................................................................... b) Vingt-huit mille neuf cent douze dix-millièmes ................................................................ c) Quatre cents dixièmes.................................................................................................... © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

61

Séquence 2 — séance 3 d) Cent millièmes............................................................................................................... e) Treize mille centièmes .................................................................................................... Indication : Tu peux t’aider du tableau de la séance 2 sur ton cahier de brouillon.

Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-dessous.

Exercice 21 Décompose les nombres suivants comme dans cet exemple : 45,127 = 45 + 127 1 000 a) 450, 2 b) 5,024 c) 105 644,28 e) 12, 304

d) 569, 001 9

f) 105, 040 7

Exercice 22 Donne l’écriture à virgule des nombres décimaux suivants : a) 12 +

123

b) 256 + 0,020 5

10 000

5

8

c) 2 x 100 000 + 5 x 1 000 + 7 x 0,1 + 1 x 0,000 1

d) 125+

e) 5 + 0,03 + 0,007

f) 5 × 100+ 5 × 1+ 1×

+

10 10 000 1 100

+ 6×

1 1 000 000

Exercice 23 Donne l’écriture à virgule des fractions décimales suivantes : a) 123 100

b)

5339

c)

1 000

632

d)

10 000

14686 1 000

e)

9450 1 000

Indication : Tu peux t’aider du tableau de la séance 2 sur ton cahier de brouillon.

Exercice 24 Parmi les écritures suivantes reconnais celles qui représentent le même nombre décimal. a) 20 +

123

b) 2× 1000+ 1× 0,1 + 2× 0,100+ 3× 0,001

1000

c) 20,012 3

2 123 d) 1 000

e) 20 + 0,102 3

f)

g) 2 × 10 + 1×

62

1 10

+ 2×

1 100

+ 3×

20 123 1 000

1 1000



séance 4 —

Séquence 2

Séance 4 Je redécouvre la demi-droite graduée. Cet exercice va te permettre de redécouvrir ce qu’est une demi-droite graduée. Tu devras retenir ce que sont l’unité de longueur et l’origine d’une demi-droite graduée, ainsi que l’abscisse d’un point d’une droite graduée. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 25 Nous allons dans cet exercice construire une graduation sur une demi-droite, c’est-à-dire associer à tout point de la demi-droite un nombre et à tout nombre un point de la demidroite. 1- À l’aide de ton compas, reporte sur [Ax) la longueur AI et complète la phrase : à partir du point I tu obtiens le point B, à partir du point B tu obtiens le point C, à partir du point C tu obtiens le point D, à partir du point D tu obtiens le point E, à partir du point E tu obtiens le point ..... .

A

I

0

1

Y

F

x

2- Nous allons associer à chaque point de la demi-droite un unique nombre de la façon suivante :

Au point A nous associons le nombre 0. Au point I nous associons le nombre 1.

AB = 2 x AI donc nous associons au point B le nombre ..... On écrit alors ce nombre au-dessous de la demi-droite.

AC = 3 x AI donc nous associons au point C le nombre ..... On écrit alors ce nombre au-dessous de la demi-droite.

AD = .... x AI donc nous associons au point D le nombre ..... .

AE = ..... x AI donc nous associons au point E le nombre ..... .

3- L’unité de longueur de notre graduation est la longueur AI. L’unité de longueur est ici ...... cm.

Pour graduer une demi-droite, il faut commencer par choisir une unité de longueur.

AI étant prise comme unité de longueur, à chaque point de la demi-droite on associe le nombre d’unités qui le sépare du point A. Ce nombre est appelé « abscisse » du point. Par exemple, 2 est l’abscisse du point B.

4- L’abscisse du point F est ............. . L’abscisse du point Y est ............. 5- L’origine de la demi-droite graduée est le point qui a pour abscisse .......... .

Prends ton cahier de cours et recopie à la suite le paragraphe ci-après. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

63


j e retiens

DEMI-DROITE GRADUÉE Graduer une demi-droite consiste à : - choisir un point appelé « origine » auquel on associe le nombre 0 - choisir une unité de longueur. On repère alors tout point de la demi-droite par son abscisse. Voici deux exemples : A D C B x L’origine de la demi-droite est A. L’unité de longueur est 1 cm : 0

1

AB = 1 cm et le point B a pour abscisse 1.

4,5

2

On dit que (A,B) est un repère de la demi-droite graduée.

Ici, l’abscisse de C est 2 ; celle de D est 4,5.

A

B

C

D

5 10

1

2,25

0

L’origine de la demi-droite est A. L’unité de longueur est 2 cm :

x

AC = 2 cm et le point C a pour abscisse 1. (A,C) est un autre repère de la demi-droite graduée. Ici, l’abscisse de B est 0,5 ; celle de D est 2,25.

Remarque : on dit une abscisse.

Entraîne-toi en effectuant les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 Place sur la demi-droite ci-dessous, comme pour l’exemple 4 , les points d’abscisses 10 respectives : 8

1+

10

3

14

10

10

2

+

4

53

10 100

100

1+

1

+

8

10 100

4 10 0

0,4

1

Exercice 27 Place sur la demi-droite ci-dessous les points d’abscisses respectives : 62 +

9 10

62 +

62

64

2 10

63+

1

+

1

6 244

10 100

100

63



séance 4 —

Séquence 2

Exercice 28 Place sur la demi-droite ci-dessous les points d’abscisses respectives : 62 +

3

+

7

62 +

10 100

3

+

2

10 100

62 +

3

+

4

+

62 418

3

1 000

10 100 1 000 62 + 4 10

62 + 3 10

62,4

62,3

Effectue ensuite l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 29 Représente sur du papier millimétré une demi-droite graduée d’unité de longueur 10 cm. Place les points d’abscisses respectives : 7+

3

78

754

709

10

10

100

100

Nous allons maintenant étudier la comparaison de deux nombres : cela consiste à dire lequel des deux est le plus petit. Commençons par un exercice avec des entiers.

Exercice 30 Voici six entiers naturels : 19 022

91 022

101 011

109 021

100 022

1 022

1- range-les dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) en utilisant le symbole qui convient. 2- range-les dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit) en utilisant le symbole qui convient.

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Comparer deux nombres, c’est dire lequel des deux est le plus petit. Le symbole « < » se lit « est plus petit que » ou « est inférieur à ». Exemples : 0 < 23 999 997 < 1 000 000 17 < 18 Le symbole « > » se lit « est plus grand que » ou « est supérieur à ». Exemples : 23 > 0 1 000 000 > 999 997 18 > 17 « 17 < 18 » ou « 1 000 000 > 999 997 » sont deux inégalités.


65


Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 31 1- Comparer deux nombres décimaux qui n’ont pas la même partie entière, c’est facile !

Un livre coûte 36,78 � chez le libraire M. Dubois et 37,90 � chez M. Dupont. Où est-il le moins cher ?

.....................................................................................................................................

2- Voici deux nombres :

7

et

4

. 10 100 a) Place ces deux nombres sur la demi-droite graduée ci-dessous : 3+

3+

3

4

b) Complète les pointillés à l’aide du symbole < ou > :

7

........ 3 +

4

. 10 100 c) Écris l’inégalité précédente en utilisant l’écriture à virgule des deux nombres. 3+

.....................................................................................................................................



• Comparer 37,6 et 36,98 Dans un premier temps, on compare les parties entières des deux nombres : le plus grand des deux est celui qui a la plus grande partie entière. La partie entière de 37,6 est 37 et celle de 36,98 est 36 : 37 > 36 donc 37,6 > 36,98. • Comparer 4,139 et 4,17 Dans un premier temps, on compare les parties entières des deux nombres : 4,139 et 4,17 ont la même partie entière 4. On ne peut donc rien conclure directement. On a alors deux méthodes possibles : e 1 méthode : On écrit les deux nombres avec le même nombre de chiffres dans la partie décimale et on compare leurs parties décimales. 4,139 et 4,17 s’écrivent respectivement 4,139 et 4,170. 139 < 170 donc 4,139 < 4,170. On a donc : 4,139 < 4,17. 2e méthode : On compare, en partant de la gauche, chiffre à chiffre, les parties décimales. 4,139 et 4,17 ont le même chiffre des dixièmes. On compare alors leurs chiffres des centièmes : 3 < 7 donc 4,139 < 4,17.

Entraîne-toi en effectuant sur ton livret l’exercice ci-dessous.

66



séance 4 —

Séquence 2

Exercice 32 Recopie puis complète à l’aide de l’un des symboles = , < ou > : a) 57,3 .......................... 55,71

b) 124,7 . .................. 124,69

c) 5,45 . ....................... 5,462

d) 7,42 ....................... 7,420

e) 7,42 .......................... 7,042

f) 42,0135 . ................ 42,13


j e retiens

Comparaison des nombres décimaux : - Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant, c’est les écrire du plus petit au plus grand. - Ranger des nombres décimaux dans l’ordre décroissant, c’est les écrire du plus grand au plus petit. Exemples : Les nombres suivants sont rangés dans l’ordre croissant : 15,32 < 15,4 < 34,11 < 40,05. Les nombres suivants sont rangés dans l’ordre décroissant : 142,2 > 139 > 89,78 > 3,999.


Exercice 33 1- Range dans l’ordre décroissant les nombres suivants : 23,3

24,4

23,4

23,089

24

.....................................................................................................................................

2- Range dans l’ordre croissant les nombres suivants : 5

5,05

55,05

50,05

0,555

55,5

5,005 5.

.....................................................................................................................................

Pour terminer cette séance, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 34 Dans l’inégalité suivante, « ® » représente un chiffre. Détermine tous les chiffres possibles. 2,34 < 2,3®


67


Séance 5 J’apprends à tronquer un nombre et à en donner des valeurs approchées Nous allons dans un premier temps aborder la notion de « troncature » d’un nombre décimal. Malgré les apparences, c’est une notion simple : souviens-toi bien que « tronquer » veut dire « couper ». Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 35 Un supermarché affiche la publicité suivante : « Cette semaine, on supprime les centimes ! ». Kévin et Ludivine sont à la caisse de ce supermarché. Kévin a dans les mains un article dont l’étiquette affiche le prix 5,95 €. Combien va-t-il réellement payer ? . .................................................................................... Ludivine a dans les mains un article dont l’étiquette affiche le prix 8,10 €. Combien va-t-elle réellement payer ? .................................................................................. Qui de Ludivine et de Kévin aura le plus bénéficié de cette promotion ? ...............................


j e retiens

Troncature d’un nombre décimal : Lorsqu’on supprime tous les chiffres situés à droite du chiffre des unités de 56,498 7 on obtient 56. 56 est la troncature à l’unité de 56,498 7. Lorsqu’on supprime tous les chiffres situés à droite du chiffre des dixièmes de 56,498 7 on obtient 56,4. 56,4 est la troncature au dixième de 56,498 7.

87

56,49

87

56,49

Lorsqu’on supprime tous les chiffres situés à droite du chiffre 7 des centièmes de 56,498 7 on obtient 56,49. ,498 6 5 56,49 est la troncature au centième de 56,498 7. Règle générale : La troncature au dixième (à l’unité, au centième) d’un nombre est le nombre obtenu en supprimant les chiffres situés à droite du chiffre des dixièmes (des unités, des centièmes).

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice d’application suivant.

68



séance 5 —

Séquence 2

Exercice 36 a) Détermine la troncature au dixième de 101,786. b) Détermine la troncature au centième de 4 568,987. 5 6 c) Détermine la troncature au dixième de 400+ + 100 1 000 d) Détermine la troncature à l’unité de 78,896.

Nous allons maintenant aborder la notion « d’encadrement ». Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Encadrer des nombres décimaux : Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre qui est plus petit que lui et un nombre qui est plus grand que lui. Exemple : encadrons 24,78

24

24,78

25

24 < 24,78 < 25 est un encadrement de 24,78 par des nombres entiers.

Parmi les différentes façons d’encadrer un nombre décimal, nous allons nous intéresser à l’encadrement d’un nombre par deux entiers naturels « consécutifs » (c’est-à-dire « qui se suivent », comme par exemple 24 et 25). Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 37

3

4

..... ..... . + 10 100 b) Place 3,21 sur la demi-droite graduée ci-dessus.

1- a) 3, 21 = 3 +

c) Encadre 3,21 par deux nombres entiers consécutifs : ................... < 3,21 < . ............ . 2- Encadre 4,28 par deux nombres décimaux s’écrivant avec une seule décimale (c’est-à-dire .................... < 4,28 <.............. . avec un seul chiffre après la virgule) :

Intéressons-nous maintenant aux encadrements par des nombres décimaux à un chiffre après la virgule « consécutifs », comme par exemple 12,3 et 12,4 ou encore 45,7 et 45,8. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.


69



Encadre 145,356 par deux nombres décimaux « consécutifs » s’écrivant avec un seul chiffre après la virgule.

145,3 < 145,356 < 145,4

Valeur tronquée au dixième de 145,356

Ceci se visualise facilement sur une demi-droite graduée :

145,3 + 0,1

145,356

145,3

145,4

Encadre 19,542 par deux nombres décimaux « consécutifs » s’écrivant avec deux chiffres après la virgule.

19,54 < 19,542 < 19,55 Valeur tronquée au centième de 19,542

19,54

Ceci se visualise également sur une demi-droite graduée :

19,54 + 0,01

19,542

19,55

Prends ton cahier d’exercices et effectue les trois exercices ci-dessous.

Exercice 38 1- Encadre 15,12 par deux entiers consécutifs. On dit aussi « encadrer à l’unité près ». 2- Encadre 23,859 8 et 12,001 par deux nombres décimaux à un seul chiffre après la virgule « consécutifs ». On dit aussi « encadrer au dixième près ». 3- Encadre 5,634 8 et 458,500 2 par deux nombres décimaux s’écrivant avec deux chiffres après la virgule « consécutifs ». On dit aussi « encadrer au centième près ». 4- Encadre 4,91 par deux nombres décimaux à un seul chiffre après la virgule « consécutifs ». Encadre 9,194 par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule « consécutifs ».

Exercice 39 Dans cet exercice tu peux t’aider en dessinant une partie de demi-droite graduée. 1- Détermine tous les nombres entiers compris entre 4,8 et 7,9. 2- Détermine tous les nombres à un chiffre après la virgule compris entre 2,83 et 3,51. 3- Détermine tous les nombres à deux chiffres après la virgule compris entre 2,856 et 2,931.

70



séance 5 —

Séquence 2

Exercice 40 Le symbole « ® » représente un chiffre. Détermine toutes les solutions possibles pour ® dans le cas suivant : 1,915 < 1,9® < 1,936 9


j e retiens

Valeurs approchées d’un nombre décimal :

Pour connaître les valeurs approchées de 45,789 par défaut et par excès à l’unité près, on encadre ce nombre à l’unité près :

45 < 45,789 < 46 valeur approchée par défaut à l’unité près ou : troncature à l’unité

valeur approchée par excès à l’unité près 46 = 45 + 1

Pour connaître les valeurs approchées de 45,789 par défaut et par excès au dixième près, on encadre ce nombre au dixième près :

45,7 < 45,789 < 45,8 valeur approchée par défaut au dixième près ou : troncature au dixième

valeur approchée par excès au dixième près 45,8 = 45,7 + 0,1

Remarque : on dit « par défaut » parce qu’il « en manque » et « par excès » parce qu’ « il y en a trop ».

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 41 1- Détermine la valeur approchée par défaut à l’unité près des nombres suivants :

a) 78,96

b) 101,3

c) 0,707 895

2- Détermine la valeur approchée par excès à l’unité près des nombres suivants :

a) 45,69

b) 99,4

c) 0,01

3- Détermine la valeur approchée par défaut au dixième près des nombres suivants : 954 b) 78,026 9 c) 187+ a) 6,457 1 000 4- Détermine la valeur approchée par excès au centième près des nombres suivants : 9 9 7 a) 78,424 8 b) 56,192 c) 236+ + + 10 100 10 000

Exercice 42 Détermine un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule tel que sa valeur approchée par défaut au centième près est 4,56 et son chiffre des millièmes est égal à celui des unités. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

71


Séance 6 Je donne un arrondi d’un nombre décimal Nous allons maintenant apprendre à intercaler un nombre entre deux décimaux, c’est-à-dire à trouver un nombre compris entre ces deux décimaux. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.


Intercaler un nombre décimal entre 12,8 et 13,2 Intercaler un nombre décimal entre 12,8 et 13,2 veut dire trouver un nombre décimal compris entre 12,8 et 13,2. Pour s’aider, on trace une partie de demi-droite graduée où l’on représente les points d’abscisses respectives 12,8 et 13,2. 12,8

13,2

Il y a une infinité de nombres qui répondent à la question : toutes les abscisses des points du segment tracé en rouge. On peut par exemple intercaler 13 entre 12,8 et 13,2 car 12,8 < 13 < 13,2. On peut aussi intercaler 13,1 entre 12,8 et 13,2 car 12,8 < 13,1 < 13,2. On pouvait également intercaler 12,87 ; 13,069 ; 13,168 1 ; 13,168 15 ...


Exercice 43 Complète les pointillés par un nombre qui convient : a) 5,8 < .............................. < 5,9 b)

2,54 > .............................. > 2,53

c)

0 < .............................. < 1

d)

0,21 > .............................. > 0,2

e)

3,69 < .............................. < 3,7

f) 1 000 000 > .............................. > 100 000

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Le but de cet exercice est de te faire remarquer qu’il existe des nombres décimaux « très très près de 2 ».

Exercice 44 Complète les pointillés par un nombre qui convient 2 < ........ < 3

72

2 < ........ < 2,1

2 <........< 2,01

2 < ................ < 2,001



séance 6 —

Séquence 2

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 45 1- Quel est le plus petit nombre entier que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 ?

......................................................

2- Quel est le plus grand nombre entier que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 ?

......................................................

3- Quel est le plus grand nombre avec un seul chiffre après la virgule que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 ?

......................................................

Exercice 46 On a représenté ci-dessous une partie de demi-droite graduée :

12,8

12,82

12,86

12,9

1- Pour chacune des phrases suivantes, précise si le nombre proposé est l’abscisse d’un point du segment bleu ou rouge, et si ce nombre est plus proche de 12,8 ou 12,9 : 12,86

est l’abscisse d’un point du segment ................. Ce nombre est plus proche de . .........

12,82


12,88


12,81


12,851 est l’abscisse d’un point du segment ................. Ce nombre est plus proche de............ 12,845 est l’abscisse d’un point du segment ................. Ce nombre est plus proche de . ......... 12,850 1 est l’abscisse d’un point du segment . ...............Ce nombre est plus proche de .......... 2- Quel est le seul nombre aussi proche de 12,8 que de 12,9 ? .............................................

Le but de l’exercice précédent était de te faire découvrir la notion d’arrondi. Tous les nombres appartenant au segment rouge ont pour arrondi au dixième le nombre 12,8. Tous ceux appartenant au segment bleu ont pour arrondi au dixième le nombre 12,9. Lis attentivement le paragraphe suivant.


73


j e retiens

Arrondi d’un nombre décimal : L’arrondi d’un nombre décimal au dixième est le nombre décimal à un chiffre après la virgule le plus proche. Pour le trouver facilement, on regarde le chiffre des centièmes : • si ce chiffre est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4, l’arrondi est la valeur approchée par défaut au dixième. Exemples : - l’arrondi au dixième de 12,81 est 12,8 car le chiffre des centièmes est 1. - l’arrondi au dixième de 78,346 est 78,3 car le chiffre des centièmes est 4. • si ce chiffre est égal à 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi est la valeur approchée par excès au dixième. Exemples : - l’arrondi au dixième de 12,88 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 8. - l’arrondi au dixième de 12,851 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 5. Remarque : Pour te souvenir que l’on prend la valeur approchée par excès dès que le chiffre atteint 5, pense bien que 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 sont deux groupes de cinq chiffres chacun. Pour trouver l’arrondi à l’unité, on regarde (à sa droite) le chiffre des dixièmes, pour arrondir au centième, on regarde à sa droite le chiffre des millièmes, etc.

Exerce-toi en effectuant les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 47 1- L’arrondi à l’unité de :

2- L’arrondi au dixième de :

3- L’arrondi au centième de :

7,844 est ........................... 45,76 est............................ 1,167 est ............................ 9,1 est ............................... 36,21 est ........................... 33,191est . ......................... 99,5 est ............................. 55,55 est ........................... 33,196 est . ........................ 78,97 est ...........................

Exercice 48 Zoé achète un lot de deux stylos à 4,45 e. Elle veut en fait partager avec son amie Julie : elle va lui donner un stylo et Julie va lui rendre la moitié de 4,45 soit ..................................... e. Comme le nombre trouvé possède trois chiffres après la virgule, Zoé va l’arrondir au centime d’euros près. Julie lui donnera donc . ......................... e pour le stylo.

Voici un exercice plus difficile pour terminer cette séance. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.

Exercice 49 Détermine un encadrement au dixième près du nombre noté B tel que : • B possède deux chiffres après la virgule • la valeur approchée de B au dixième par excès est égale à 5,2

74



séance 7 —

Séquence 2

Séance 7 J’ajoute et je soustrais des nombres décimaux Effectue les trois petits problèmes ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 50 1- Sophie a 38 ans de plus que son fils Émile qui a 9 ans. Quel est l’âge de Sophie ? ............................................. . Sophie a . .................... ans.

2- Mathieu mesure 176 cm. Il mesure 5 cm de plus que son père. Quelle est la taille du père de Mathieu ? ............................................. . Le père de Mathieu mesure ........................... cm.

3- Pour la fête des mères, Julien achète un bouquet de fleurs à 13,60 � pour sa maman et paie avec un billet de 20 �. Combien d’euros, le fleuriste doit-il rendre à Julien ?

............................................. . Le fleuriste doit rendre à Julien . ..................... �.

Effectue maintenant l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 51 : La petite histoire des nombres – suite – 1- Les siècles passèrent, et l’homme a continué à compter et à faire des calculs. Au XVIème siècle, il fallut 296 blocs de pierre pour construire une chapelle et 857 pour construire le muret qui l’entoure. Un mathématicien a mis au point une méthode pour calculer le nombre total de blocs de pierre nécessaires : +

2

9

6

8

5

7

1

3

1

1 0

4

On ajoute les unités entre elles. Il y a 6 + 7 soit 13 unités On ajoute les dizaines entre elles. Il y a 9 + 5 soit 14 dizaines On ajoute les centaines entre elles. Il y a 8 + 2 soit 10 centaines

Conclusion : Il fallut au total ................. blocs de pierres pour construire la chapelle et son muret.

Cette technique est toute à fait juste, mais tu en connais une autre plus rapide, à l’aide des retenues. +

2

9

6

8

5

7


75

Séquence 2 — séance 7 2- Les siècles passèrent à nouveau, et l’homme continue encore maintenant à compter et à faire des calculs. Léo achète une pochette de stickers pour sa collection. Elle coûte 2,96 �. Il achète aussi un album de BD à 8,57 �. Quel est le montant de sa dépense totale ?

+

Conclusion : Léo a dépensé au total .............................�.

Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. N’oublie pas de poser proprement tes additions et de tracer les traits à la règle.

Exercice 52 Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Pose les additions. A = 118,46 + 725,87 B = 95,3 + 45,27 C = 3,947 + 7,9 D = 8 + 1,82 + 2,391

Dans certains cas plus simples, il n’est pas nécessaire de poser l’opération. On utilise la même méthode, mais en conservant l’écriture en ligne. En voici quelques exemples. Tu effectueras l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 53 Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Effectue les calculs en ligne. A = 24,56 + 11,3

. ........................................................... .......................................

B = 102,62 + 32 ,37

. ........................................................... .......................................

C = 4 299 + 0,429 9

. ........................................................... .......................................

D = 547 + 12,3 + 4,005 . ........................................................... .......................................

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous : il te rappelle la technique de la soustraction.


Poser la soustraction suivante : 897,59 – 128,376 Quand on pose une soustraction, on commence par écrire la virgule sous la virgule, le chiffre des unités sous le chiffres des unités, etc.

76

on complète par un 0

-

, 5

9

21

8 , 3

71

6

6

9 , 2

1

4

8

9

1 7

17

10

Voici la méthode : « 0 moins 6 est impossible, on effectue 10 moins 6 et on pose une retenue. 10 moins 6 égal 4. 9 moins (7 + 1) égal 1. 5 moins 3 égal 2. 7 moins 8 est impossible, on effectue 17 moins 8 et on pose une retenue.17 moins 8 est égal à 9. 9 moins (2 + 1) est égal à 6. 8 moins 1 est égal à 7.»



Séquence 2

séance 8 —

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Pose proprement tes soustractions et trace les traits à la règle.

Exercice 54 Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Pose les soustractions. A = 56,78 – 45,3 B = 84,35 – 17,8 C = 1,11 – 0,789 D = 10 – 0,469

Effectue pour terminer sur ton cahier d’exercices ce petit problème.

Exercice 55 Le niveau de l’eau d’un port de pêche est de 16,43 mètres à 8 h du matin. À 9 h, ce niveau a augmenté de 1,9 mètres. À 10 h, ce niveau a baissé de 0,57 mètre. Quel est le niveau de l’eau dans le port de pêche à 10 h ?

Séance 8 J’apprends le vocabulaire de l’addition et de la soustraction. Commençons par quelques additions et soustractions « à trous ». Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 56 Complète les opérations suivantes en retrouvant les chiffres manquants : Indication : il n’y a pas de cases pour les retenues. 6

+ +

5

0 , 3

2

8 ,

1

6 , 0 4 , 6

-

2

+

3

+

-

, 2 7

3

9

9 , 8 , 4

5

, 1

9

2

1 ,

9 , 0

7 , 0

9 , 0

6

,

1

9 , 3


77



j e retiens

Addition et soustraction de décimaux Vocabulaire Le résultat d’une addition s’appelle une somme. Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence. Les nombres utilisés s’appellent des termes. Exemples : 25,7 est la somme de 14,2 et 11,5 car 14,2 + 11,5 = 25,7. 14,2 et 11,5 sont les termes de la somme 14,2 + 11,5. 8,3 est la différence de 45,8 et 37,5 car 45,8 – 37,5 = 8,3. 45,8 et 37,5 sont les termes de la différence 45,8 – 37,5.

Effectue les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 57 1- a) Calcule la somme de 25,8 et de 3,2.

b) Calcule la différence de 10 et 2,7

. ......................................... . .........................................

c) Calcule la somme de 45 et de la différence de 25 et 19. . ......................................... 2- Écris une phrase en français en utilisant les mots « somme » et « différence » pour traduire les écritures suivantes (n’effectue pas les opérations) : a) 4,5 – 0,4

..................................................................................................................................... b) 45 + 56 + 302 + 1 024

..................................................................................................................................... c) 89 – (5 + 12)

.....................................................................................................................................

Exercice 58 1- Calcule la somme dont le premier terme est 789, le deuxième est la différence entre 129 et 58 et le troisième 321.

.....................................................................................................................................

2- Calcule la différence dont le premier terme est la somme de 452 et 87 et le second terme est la différence de 189 et 65.

.....................................................................................................................................

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après. 78



séance 8 —

Séquence 2

j e retiens

Ordre et calcul : Dans le calcul d’une somme de plusieurs termes, on peut : • changer l’ordre des termes Exemple : 2,3 + 7 = 9,3 et 7 + 2,3 = 9,3 • regrouper différemment les termes. Exemple : 7 + 2,5 + 13 = 2,5 + (7 + 13) = 2,5 + 20 On change le 7 de place et on le groupe avec 13 car (7 + 13) est un calcul facile de tête. Remarque importante : Dans le calcul d’une différence, on n’a pas le droit de changer l’ordre des termes. On soustrait le plus petit au plus grand.


Exercice 59 Effectue les calculs suivants de manière astucieuse : A = 7,6 + 48 + 2,4 + 12

.......................................................................................

B = 4,45 + 57 + 23 + 8,55

.......................................................................................

C = 47,3 + 21,1 + 22,9 +12,7

.......................................................................................

D = 9,6 + 43,2 + 11,4 + 9 + 6,8 .......................................................................................



Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat en heures, minutes et secondes : a) 1 h 37 min + 2 h 45 min b) 3 h 28 min 14 s – 1 h 12 min 48 s Remarque : min est le symbole de « minute » Important : Il faut se souvenir de ces trois égalités : 1 j = 24 h , 1 h = 60 min et 1 min = 60 s a) 1 h 37 min

+

2

h

45

min

3

h

82

min

On convertit 82 min en heures et en minutes : 82 min = 60 min + 22 min = 1 h + 22 min D’où : 3 h 82 min = 3 h + 1 h + 22 min = 4 h 22 min. Conclusion : 1 h 37 min + 2 h 45 min = 4 h 22 min. b) £

`

eaf

~

k

~

`

~

eaf

k

`

~

eaf

k

On ne peut pas soustraire 48 s à 14 s. 28 min et 14 s représentent (27 min + 1 min) et 14 s. Comme 1 min = 60 s, on remplace 28 min 14 s par 27 min et (60 + 14) s soit 27 min 74 s.

Conclusion : 3 h 28 min 14 s – 1 h 12 min 48 s = 2 h 15 min 26 s. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

79


Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 60 Calcule les durées suivantes : a) 10 h 15 min 45 s + 5 h 49 min 38 s b) 1 j 21 h 31 min 39 s + 4 h 12 min 34 s c) 2 h 24 min 23 s – 38 min 48 s d) 20 h 3 min 7 s – 18 h 27 min 45 s

Exercice 61 Le train de Sophie est parti à 16 h 48 min et son voyage a duré 2 h 22 min. Son père, qui devait venir la chercher à la gare est arrivé en retard, à 19 h 27. Combien de temps Sophie a-t-elle dû attendre son père ?

Séance 9 J’apprends à calculer des ordres de grandeur Nous allons apprendre à calculer des ordres de grandeur de nombres. Cela te sera très utile pour vérifier rapidement la cohérence d’un résultat (c’est-à-dire pour vérifier rapidement si le résultat d’un calcul est beaucoup trop grand ou beaucoup trop petit, par exemple). Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 62 Les coureurs cyclistes qui participent à une course en quatre étapes doivent parcourir une première étape de 119 km, une deuxième de 282 km, une troisième de 179 km et une quatrième de 32 km. François calcule à la main la distance totale parcourue par les coureurs. Il trouve 7 002 km. Marc fait rapidement le calcul mental suivant : « 100 pour la première étape, plus 300 pour la deuxième étape ... » et affirme que François s’est trompé. « Calcul mental » signifie « calcul de tête ». 1- Écris le calcul mental complet fait par Marc qui lui permet d’affirmer que François s’est trompé.

.....................................................................................................................................

2- Calcule en utilisant une calculatrice la distance totale exacte en km parcourue par les coureurs.

80

..................................................................................................................................... — © Cned, Mathématiques 6e


séance 9 —

Séquence 2


j e retiens

Ordre de grandeur : Lorsqu’on veut vérifier rapidement que le résultat d’un calcul est plausible, c’est-àdire qu’il a des chances d’être juste, on remplace chaque nombre par son ordre de grandeur. Méthode : On remplace chaque nombre par un arrondi à l’unité, ou à la dizaine, ou à la centaine, ... de la façon suivante : • 119 a pour ordre de grandeur 100 (on choisit par exemple son arrondi à la centaine) • 1 438 a pour ordre de grandeur 1 000 (on choisit par exemple son arrondi au millier) • 2,13 a pour ordre de grandeur 2 (on choisit par exemple son arrondi à l’unité) • 18,3 a pour ordre de grandeur 20 (on choisit par exemple son arrondi à la dizaine)

Exerce-toi en effectuant les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 63 1- Propose un ordre de grandeur des expressions suivantes : a) 4 318 + 5 896 + 758 + 256

b) 78 956 – 36 987

.................................................................. ..................................................................

c) 758, 589 + 278,045 + 725,99 + 150,01 .................................................................. d) 456,025 1 – 349,999

..................................................................

2- Effectue ces calculs avec ta calculatrice : a) 4 318 + 5 896 + 758 + 256 b) 78 956 – 36 987

................................................................. . ..................................................................

c) 758, 589 + 278,045 + 725,99 + 150,01 .................................................................. d) 456,025 1 – 349,999

..................................................................

Exercice 64 Dans la colonne de gauche figurent des calculs. Dans la colonne de droite figurent les résultats exacts de ces calculs. Sans faire de calculs exacts, relie chaque calcul à son résultat. 1 028,235 – 789, 104

778,951

127, 279 + 1 025, 012

651,161

589, 151 + 784, 5 + 6

239,131

4 568, 025 6 – 3 789, 074 6

1 152,291

589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01

1 379,651 © Cned, Mathématiques 6e —


81


Nous allons maintenant effectuer quelques exercices sur des nombres inconnus. Le premier exercice est à faire sur ton livret.

Exercice 65 1- Chaque égalité traduit exactement son énoncé. Relie par un trait chaque énoncé à l’égalité correspondante (les symboles Δ, ◊ et ® représentent les nombres cherchés).

1er cas

2ème cas

3ème cas

Pauline a économisé 20 €. Elle achète un puzzle. Il lui reste 7,65 €. Quel est le prix du puzzle ?

Eloïse a retiré 20 dL d’eau d’un récipient. Il en reste à présent 7,65 dL. Quel volume d’eau contenait le récipient ?

On a donné 7,65 € à Théo ; il a alors 20 € d’économies au total. On cherche la somme que Théo avait avant qu’on lui donne 7,65 €.

1ère égalité

2ème égalité

3ème égalité

7,65 + Δ = 20

20 – ◊ = 7,65

® – 20 = 7,65

◊ = ......................

® = ......................

2- Complète :

Δ = ......................

Exercice 66 Complète avec les nombres manquants : a) 45 + 32 = ...........

c) ........... = 45 – 32

e) 45 = ............ + 32

b) 45 = ........... – 32

d) 32 = 45 – ...........

f) 32 = ........... – 45

Séance 10 J’effectue des exercices de synthèse Voici deux exercices que tu vas faire sur ton cahier d’exercices. Rédige-les soigneusement et avec rigueur : c’est ce que l’on attend de toi dans les devoirs.

82



séance 10 —

Séquence 2

Exercice 67 Léo fait des courses au supermarché. Il achète du jambon pour 4,78 €, un DVD à 12,99 €, un paquet de 12 yaourts à 2,59 €, un pain de mie à 1,19 €, un pack de bouteilles d’eau minérale à 2,74 € et des bananes pour 1,34 €. Il compte utiliser le bon d’achat de 7,68 € qui figure sur sa carte de fidélité du supermarché. 1- Calcule un ordre de grandeur du prix que Léo va payer. 2- Léo pourra- t-il payer ses courses avec un billet de 20 € ? Justifie ta réponse.

Exercice 68 Voici les temps mis par le coureur cycliste américain Bobby Julich lors des différentes étapes de l’édition 2005 de la course Paris-Nice dont il est le vainqueur. 1e étape :

5 min 22 s

2e étape :

4 h 19 min 56 s

3e étape :

53 min 34 s

4e étape :

2 h 40 min 51 s

5e étape :

2 h 11 min 08 s

6e étape :

2 h 08 min 08 s

7e étape :

4 h 45 min 26 s

8e étape :

3 h 28 min 29 s

Quel est le temps total mis par le coureur américain à la fin de l’épreuve ? (Tu pourras faire les calculs à l’aide d’une calculatrice).

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions traitées, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.



83


j e m’évalue 1- 56 +

2

+

3

100 1 000 ® 5 623

a pour partie entière :

2- Le chiffre des centièmes de 89,746 3 est :

® 8 ® 4 ® 6 ® 3

® 560 ® 56 ® 562 3- deux mille quatre cent vingt et un centièmes a pour écriture décimale :

® 24,21 ® 2 421 ® 2,421 ® 242,1 5- L’arrondi de 45,897 au centième est :

® 45,89 ® 46 ® 45,8 ® 45,9 7- La valeur approchée par excès à l’unité près de 78,1 est :

® 79 ® 78 ® 78,5 ® 80 9-La différence de 4,11 et de 2,98 est :

® 1,03 ® 2,13 ® 2,33 ® 1,13

84

4- Quel(s) nombre(s) est (sont) inférieur(s) à 2,03 ?

® 2,003 ® 2,3 ® 2,01 ® 2,033

6- La troncature de 45,746 au dixième est :

® 45,8 ® 45,7 ® 45 ® 45,74 8- La somme de 14,156 et de 5,88 est :

® 20,036 ® 19,846 ® 21,106 ® 20,003 10- On ajoute 1,33 à un nombre, on obtient 5. Quel est ce nombre ?

® 3,66 ® 6,33 ® 3,67 ® 3,77



séance 10 —

Séquence 2

le coin des curieux

Pour finir cette séquence, voici deux photographies qui illustrent le travail que tu as fait sur la numération égyptienne :

Voici un mur d’une construction à Karnak (Égypte), datant environ de 1500 avant environ Jésus-Christ, sur lequel on voit des hiéroglyphes qui représentent :

une unité

une dizaine

une centaine.

Voilà un fragment d’une stèle provenant de Gizeh (près du Caire), datant environ de 2600 avant Jésus-Christ, où l’on peut voir les symbolles qui représentent :

une centaine.

un millier.


85

Sommaire de la séquence 3  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Je découvre les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 J’apprends à me servir d’un rapporteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Je trace un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Je découvre la bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Je raisonne avec les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Je redécouvre les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Je redécouvre les triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Je construis des triangles particuliers au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Je démontre que des triangles sont particuliers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

 Objectifs  Savoir manipuler un rapporteur.  Être capable de raisonner avec des angles.  Savoir tracer différents types de triangles.  Être capable de démontrer que des triangles sont particuliers.

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séance 1 —

Séquence 3

Séance 1 Je découvre les angles Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 3. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école 1- Quel instrument peux-tu utiliser pour savoir si un angle est droit ?

2- L’angle ci-dessous est-il un angle droit ?

a) une règle b) un compas c) une équerre

a) oui

d) un crayon 3- L’angle ci-dessous semble-t-il être un angle droit ?

b) non 4- L’angle ci-dessous est-il un angle droit ?

a) oui

a) oui

b) non

b) non

Nous allons, dans ce début de séquence, redécouvrir ce qu’est un angle. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et note « SÉQUENCE 3 : Angles »

À la suite, recopie l’encadré « JE RETIENS » ci-après.


87


j e retiens

〈

ANGLES Notion d’angle : Un angle se note généralement à l’aide de trois lettres : il correspond à l’écartement existant entre deux demi-droites de même origine. x ∑ . Le sommet de L’angle ci-contre se note AOB ou BOA A l’angle est O. Les cotés de l’angle sont les demi-droites [OA) et [OB). ∑ ou ∑ Cet angle se note également xOy yOx. Ses côtés sont les demi-droites [Ox) et [Oy). O y

B

∑ et en bleu l’angle KLM ∑. Exemples : Voici en vert l’angle NPQ N P L

K

M

Q

Apprends à situer des angles sur une figure en faisant l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 1

A

B

∑ sur la figure. On a colorié en bleu l’angle FAD E

∑. 1- Colorie en rouge l’angle DBx ∑. 2- Colorie en vert l’angle DEB

F

D

yF B. 3- Colorie en jaune l’angle ∑ AFE . 4- Colorie en noir l’angle ∑ AEF . 5- Colorie en violet l’angle ∑

C

y

x

Les point A, E et D sont alignés Les point F, E et B sont alignés Les point F, D et C sont alignés

∑ ? ......................................................... 6- De quelle couleur est l’angle EAF ∑ ? . ....................................................... 7- De quelle couleur est l’angle BFD ∑ ? ........................................................ 8- De quelle couleur est l’angle DFE


88



séance 1 —

Séquence 3

Exercice 2 Sans faire de figure, réponds aux questions suivantes :

∑ T ? ........... Quels sont ses côtés ? . ............................... 1- Quel est le sommet de l’angle KF

Comment peut-on nommer autrement cet angle ?.......................................

∑ ? . .......... Quels sont ses côtés ? . .............................. 2- Quel est le sommet de l’angle NTO

Comment peut-on nommer autrement cet angle ? . ....................................

∂ ? ............... Quels sont ses côtés ? .............................. 3- Quel est le sommet de l’angle sLt

Comment peut-on nommer autrement cet angle ? . ....................................

4- Un angle a pour sommet D et pour côtés [Dz) et [DT).

Comment se nomme-t-il ? .............................................................................................

Un angle peut parfois s’écrire de nombreuses façons. Tu vas t’en rendre compte en effectuant l’exercice ci-dessous.

Exercice 3

L

1- Colorie en bleu l’angle ∑ AOP. Donne 7 autres façons de noter cet angle.

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

ANM. 2- Colorie en vert l’angle ∑ Donne 7 autres façons de noter cet angle.

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

M P A O

N Les points L, P et O sont alignés Les points L, M et N sont alignés Les points O, A et M sont alignés Les points P, A et N sont alignés

Nous allons maintenant apprendre à comparer des angles (en fait, on compare leurs mesures) : cela consiste à savoir celui qui a l’écartement le plus grand. Une première méthode pour les comparer consiste à utiliser du papier calque.


89



∑ Comparer à l’aide d’un calque les angles ∑ AOB et NPQ N P

A

Q

O

A

B

O

∑ sur un papier calque par 1- On reproduit l’angle AOB transparence (on trace ses côtés en rouge).

B

∑ 2- On place ensuite ce papier calque sur l’angle NPQ de telle sorte que : • les sommets des deux angles se superposent ∑ reproduit sur le calque • un côté de l’angle AOB ∑ . se superpose à un côté de l’angle NPQ

O P

N

A

Q 3- On compare les « écartements » des deux côtés ∑ et de ceux de NPQ ∑ . de AOB

B

∑ est plus petit que l’angle NPQ ∑. Conclusion : on dit que l’angle AOB Attention ! On ne compare pas des longueurs, mais « l’écartement » des côtés.

Applique la méthode précédente en effectuant sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 4

H

D

J G

C

E

I

F

K R

L

U T

Q M

P

N

S

W V

Z B

A

X

90



séance 2 —

Séquence 3

Complète les pointillés : ∑E sont : ....................................................................................... a) Les angles égaux à DC ∑E sont : . ........................................................................... b) Les angles plus petits que DC ∑E sont : .......................................................................... c) Les angles plus grands que DC

L’activité de cette séquence porte sur un jeu appelé le Tangram. Voici la première étape de cette activité.

Exercice 5

Activité : Le Tangram

Le Tangram est un jeu chinois ancien. Il consiste à reconstituer des silhouettes imposées à partir de formes géométriques simples.

Cet exercice se découpe en plusieurs étapes que tu franchiras au fur et à mesure que tu progresseras dans cette séquence. ∑ de mesure 135 °. Voici un angle xOy 1- Pose une feuille de papier calque sur cet angle, reproduis-le par transparence avec ta règle et ton crayon à papier bien taillé pour que y ton dessin soit très soigné puis reporte-toi à la page de découpages appelée « Tangram » à la fin de ton livret. 2- Utilise ce modèle pour trouver la figure qui comporte un angle identique. x

O

3- Entoure cette figure.

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Combien de jours s’écoulent du 1er mars au 16 mai ? 77 Réponse :

Séance 2 J’apprends à me servir d’un rapporteur Nous allons apprendre dans cette leçon à nous servir d’un outil de mesure d’angle appelé rapporteur. Commençons par découvrir ce nouvel instrument : effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.


91


Exercice 6 Il existe une unité de mesure pour les angles qui s’appelle le degré et se note « ° ».

1- Cet angle mesure 1°.

2- Cet angle est constitué de ............... angles de 1° mis « côte à côte » : on dit qu’ils sont adjacents. Cet angle mesure ............... . 3- Cet angle est constitué de ............... angles adjacents de 1°. Cet angle mesure ............... 4- Cet angle est constitué de ............... angles adjacents de 1°. Cet angle mesure ............... . 5- Cet angle est constitué de ............... angles adjacents de 1°. Cet angle mesure ............... Reconnais-tu cet angle ? (tu peux utiliser une équerre) ......................................... ......................................... 6- Cet angle est constitué de ............... angles adjacents de 1° . Cet angle mesure .............. Reconnais-tu cet angle ? (tu peux utiliser une règle non graduée) ......................................... ......................................... On se servira ensuite de l’angle de 180° régulièrement gradué en degrés comme ci-dessus pour mesurer les angles. Cet instrument s’appelle un rapporteur.

92



Séquence 3

séance 2 —


j e retiens De même que l’Homme a inventé une unité pour mesurer les longueurs, il a inventé une unité pour mesurer les angles. L’unité s’appelle le degré (elle n’a rien à voir avec le degré des températures). Elle se note « ° ». L’instrument qui permet de mesurer les angles s’appelle un rapporteur. Instrument de mesure

unité

notation

exemple

longueurs

règle graduée

centimètre

cm

AB = 3 cm

angles

rapporteur

degré

°

∑ AO B = 50º

∑ de 50° mesuré à l’aide d’un rapporteur : Voici un angle AOB

14

110 100 90 80 120 70

B

60

on lit le nombre de graduations : on trouve 50.

30

180 1 7

40

01 60

50

15 0

30 01

20 10 0

∑ = 50° . On écrit : AOB

O

A

Exerce-toi en effectuant l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 7

R

10 0

C

10

01 10 0 140 130 160 15 12

01 60

180 1 7

20 10 0 30

A

∑ = .................. ABC

20

M 0

40

B

90

70 60 50 40 3 0 80

O

70 01 18

110 100 90 80 120 70 30 1 0 60 4 1

50

15 0

Mesure les angles suivants en lisant directement sur les graduations et complète les pointillés :

∑ = .................. MOR


93


t

K 18

60

16 0

50 40 30 20

50

01 70

60

40

70

120 110 100 90 130

80

70

R

30 20 10 0

80

18 0

y

90

0 14

17

0 130 120 1 10 10 0

14 150

0 15

60 01

x

10 0

y ∂ = .................. tRy

∑ = .................. xKy


j e retiens

Vocabulaire Il existe quatre types d’angles : Les angles aigus

L’angle droit

Les angles obtus

L’angle plat

leur mesure est inférieure à 90°

sa mesure est 90°

leur mesure est comprise entre 90° et 180°

sa mesure est 180°


Exercice 8 Sans utiliser d’instrument de mesure, écris sur ton livret l’adjectif qui te semble correspondre à chacun des angles ci-dessous : b) c) a)

.........................................

94

.........................................

.........................................



séance 2 —

Séquence 3

d)

e)

f)

.........................................

.........................................

.........................................

g)

h)

i)

.........................................

.........................................

.........................................



∑ Mesurer l’angle AOB

150 140 130 120 11 160 01 00

30 01

on lit 36°

A

O

0 10 0 30 2

B

60

40

O

60 50 40 30

B

70

O

14

110 100 90 80 120 70

50

80

A

A

1801 70 1 60 15 0

0 17

90

18 0

1- On visualise le 2- On place le centre du rapporteur 3- On fait pivoter le rapporteur pour qu’un des côtés de l’angle coïncide exactement sur le sommet de sommet O de l’angle ∑ exactement avec la graduation 0 l’angle. AOB. du rapporteur. On regarde alors la graduation par laquelle passe l’autre côté de l’angle.

20 10 0

B ∑ L’angle AOB mesure 36°. ∑ = 36° . On écrit : AOB

Exerce-toi en effectuant l’exercice ci-après sur ton livret.


95


Exercice 9 Mesure les angles suivants avec ton rapporteur et complète : (n’hésite pas à prolonger les tracés des côtés pour lire les graduations).

K

C

A B

I

J

∑ K = .................. JI

∑ = .................. ABC

y

R S

x T

M ∑ = .................. xMy

∑ = .................. RST

20 10

0

0

O

10 20

14 0 180 170 160 15 0

15 0

50 30

180 170 160

50

30

0 13

00 90 80 7 10 1 0 01 60 12

40

Pour bien le remarquer, on a ∑ représenté ci-contre un angle xOy de 55° mesuré par deux rapporteurs de tailles différentes : la mesure est bien la même.

0 13

y

00 90 80 7 10 1 0 0 1 60 2 1

40

Il existe des rapporteurs de tailles différentes, cela évidemment ne change rien aux mesures des angles effectuées.

14 0

Remarque :

x

Lis attentivement le paragraphe suivant. Tu feras très attention à bien repérer si ton rapporteur possède une double graduation comme celui représenté ci-dessous. S’il n’en possède pas, ce n’est pas grave, tu peux quand même faire les exercices qui suivent.

96



séance 2 —

100 90 80 1100 80 90 100 1710 6 0 01 0 2 7 20 5 0 1 60 3 13 0 1 0

0

14

10 0 20 170 180 300 160 5 40 0 1

0

5

0

Attention : de nombreux rapporteurs possèdent une double graduation. Elle permet de mesurer certains angles sans avoir à trop tourner le rapporteur. Il faut faire attention, car si tu utilises le 0 bleu comme référence, il faut mesurer à l’aide de la graduation bleue. Exemple : 0 60 5

180 170 1 10 260 1 0 50 30 1 4 40

j e retiens

Séquence 3

80

0

0 10

10 0 20 170 180 300 160

O

1

y

4040 1

5

0

0

y

2 15 0 30 0 1 4 40 0

160 150 140 170 20 30 40 5130 1 0 0 2 18 10 60 0

x

O

0 90 8 10 1800 90 1000 70 6 1 01 1 0 12 0 5 12 70 01 0 0 60 30 1350

x

180 170 16

17

1

00 18 10 0

7010

0 7 800 110 120 130 1440 0 30 900 10 15 0 0 9 1620 10

En utilisant la graduation bleue :

En utilisant la graduation noire :

On a fait coïncider le côté [Oy) avec le zéro de la graduation bleue. On lit donc la mesure de l’angle en regardant la graduation bleue qui coïncide avec le côté [Ox) : on trouve 30°.

On a fait coïncider le côté [Ox) avec le zéro de la graduation noire. On lit donc la mesure de l’angle en regardant la graduation noire : on trouve 30°.

∑y 30°. Dans les deux cas, on lit : xO =


Exercice 10 Mesure les angles suivants avec ton rapporteur et complète : u

L

K

L

P

F

M

V v

∑ LK M = ..................

∑ = .................. uPv

∑F = .................. VL


97


x

T

H

y ∑y = .................. xT

J K ∑ HJ K = ..................

Pour finir cette séance, effectue la suite de l’activité sur les Tangrams.

Exercice 11 : Le Tangram – suite – Les figures 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 et 10 ne sont pas entourées. 1- Quelles sont les figures non entourées de la page « Tangram » qui comportent au moins un angle de 45° ?

.....................................................................................................................................

2- Parmi ces figures, quelles sont celles qui ont, en plus, un seul côté mesurant 6 cm ?

.....................................................................................................................................

Entoure cette (ou ces) figure(s). 3- Quelles sont les figures non entourées qui possèdent un angle droit ?

.....................................................................................................................................

4- Parmi ces figures, quelles sont celles qui possèdent deux côtés seulement de même longueur ?

.....................................................................................................................................

5- Parmi ces figures, quelles sont celles qui ont de plus un côté mesurant 12 cm ?

.....................................................................................................................................

Entoure cette (ou ces) figure(s).

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Le train de Margaux devait arriver à 13 h 47 min. Il a une demi-heure de retard. À quelle heure va-t-il arriver ? 14 h 17 Réponse :

98



Séquence 3

séance 3 —

Séance 3 Je trace un angle Commençons par effectuer un exercice de mesure d’angles. Tu rempliras les pointillés directement sur ton livret.

Exercice 12

Mesure tous les angles de cette figure et complète les pointillés. C

D B

A

E

F ∑ = ............ BAF

∑ ABF = ............ ∑ = ............ DCB

∑ AFB = ............ ∑ = ............ EDC

∑ = ............ BED

∑ = ............ CBE ∑ = ............ ABC

∑ = ............ FBE

Nous allons maintenant apprendre à tracer des angles dont on donne la mesure. Pour cela, commence par étudier attentivement la méthode décrite ci-dessous.


∑ de 65 ° Tracer un angle xOy

2- On place le centre du rapporteur sur le point O et on fait coïncider la demi-droite [Ox) avec la graduation 0. On repère la graduation 65° et on la marque au crayon

y 50

20

10

O

0

180 170 160 15 0

x

100 90 80 70 110 60

30

O

0 13

0 12

3- On trace la demidroite d’origine O qui passe par la marque de la graduation 65° du rapporteur.

40

14 0

1- On trace une demidroite [Ox).

x O


x

99


Prends une feuille de papier calque. Écris en haut « Exercice 13 » et trace les figures demandées. Tu pourras ensuite vérifier tes figures en superposant le calque avec la figure corrigée. Tu feras de même pour les exercices 13, 14, 15, 16 et 17. Une fois le travail fini, tu colleras la feuille de papier calque dans ton cahier d’exercices. N’oublie pas d’écrire les numéros des exercices.

Exercice 13 ∑ de 25°, un angle zBt ∂ de 75°, un angle uOv ∑ de 120° et un angle eD ∑f de Trace un angle xAy 164°.

Tu commenceras par décalquer les débuts de figures proposés ci-dessous.

Exercice 14

∑ = 45 º . b) Construis un point M tel que ∑ a) Construis un point D tel que FED KLM = 135 º

K E

L

F

Effectue ensuite les trois exercices ci-dessous.

Exercice 15

∑ de 92°. a) Trace un angle CKL ∑ b) Trace un angle GR M de 68°. C

Exercice 16 8

cm

Construis la figure à main levée ci-contre à l’aide d’une règle graduée et de ton rapporteur.

40° A

B

10 cm

Exercice 17 1- Trace un segment [OA] tel que OA = 5 cm. 2- Place un point B tel que ∑ AOB = 20° et OB = 7 cm. ∑ = 120° et BC = 6 cm. 3- Place un point C tel que OBC ∑ = 70 ° et CD = 10 cm. 4- Place un point D tel que BCD

C D

Indication : tu dois obtenir une figure de ce type :

100

B O

A

— © Cned, Mathématiques 6e, 2008


séance 3 —

Séquence 3


j e retiens

ANGLES ÉGAUX Lorsque deux angles ont même mesure, on dit qu’ils sont égaux. Par exemple, les angles ci-contre sont égaux. On écrit : ∑ AOB = C∑ MD .

M

A

D

Comme pour les longueurs, on code sur la figure O B les angles qui sont égaux. Il existe plusieurs façons de coder des angles égaux. Par exemple : 1ère façon

2ème façon

3ème façon

C

4ème façon

5ème façon


Exercice 18 Voici les mesures des angles de la figure ci-contre : ∑I = 27° EH

∑I = 63° HE

∑ = 90° HIE

∑ = 90° HIG

∑ = 27° GHI

∑ = 63° HGI

∑ IE F = 51°

∑ EI F = 90°

∑ = 39° EFI

∑ = 90° GIF

∑ = 51° IGF

∑ IF G = 39°

E

F I G

H

Code sur la figure à main levée les angles égaux.

E, I, G alignés ainsi que H, I, F

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Une voiture consomme 8 L d’essence aux 100 km. Combien puis-je parcourir avec 4 L d’essence ? avec 12 L ? 50 km ; 150 km Réponse : © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

101


Séance 4 Je découvre la bissectrice d’un angle Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Il te rappelle ce que sont deux angles adjacents.

j e retiens T

Définition de deux angles adjacents : Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun. ∑ sont adjacents. ∑ et SOR Ci-contre, les angles TOS

S O

R

Tu vas maintenant découvrir ce qu’est la bissectrice d’un angle. Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 19 ∑. 1- Mesure l’angle CBA

∑ = ............ CBA

C

∑ 2- Trace la demi-droite [BD) qui partage CBA en deux angles adjacents égaux. 3- Trace la demi-droite [BD) en rouge. ∑ . Cette demi-droite s’appelle la bissectrice de l’angle CBA


B

A

j e retiens T Définition de la bissectrice d’un angle : La bissectrice d’un angle est la demi-droite S qui le partage en deux angles adjacents égaux. ∑. Ci-contre, [OS) est la bissectrice de l’angle TOR O R

102



séance 4 —

Séquence 3


Exercice 20 À l’aide de ton rapporteur, réponds par « oui » ou « non » aux questions suivantes : AOB ? a) la demi-droite [OC) est-elle la bissectrice de l’angle ∑

A

C

O

B

...............................................

K

∑ M ? b) la demi-droite [LN) est-elle la bissectrice de l’angle KL

N

............................................... L M

U

∑S ? c) la demi-droite [TR) est-elle la bissectrice de l’angle UT

...............................................

R

∑ W ? d) la demi-droite [XV) est-elle la bissectrice de l’angle YX

T

S

Y

X

V

W

...............................................

Si c’est le cas, code-le sur la figure.

Tu vas maintenant apprendre à tracer la bissectrice d’un angle à l’aide d’un rapporteur. Tu verras plus tard une autre méthode plus efficace à l’aide du compas. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.


103



∑ à l’aide d’un rapporteur Tracer la bissectrice de l’angle AOB

∑ : on 2- On mesure l’angle AOB 1- On place le centre du trouve 120°. La moitié est 60°. rapporteur sur le sommet On fait une marque en face de la O de l’angle. graduation 60°.

20 01

A

A

180 170 1 60

20 10 0

B

50 30

O

13

40

15 01 40

A

100 90 80 70 110 60

3- On trace la demi-droite d’origine O passant par cette marque.

O

O

B

B

Prends une feuille de papier calque et reproduis les angles ci-dessous. Effectue ensuite l’exercice sur ton papier calque. Une fois l’exercice terminé, tu pourras vérifier tes tracés en superposant ton calque au corrigé.

Exercice 21 Trace les bissectrices des angles ci-dessous :

B

E

O

C

A

J

D

F

x

I

K

104

y



Séquence 3

séance 4 —

Prends le papier calque qui t’a servi pour faire l’exercice précédent et reproduis le triangle ci-dessous. Effectue l’exercice proposé sur le calque. Une fois terminé et corrigé, colle ton papier calque dans ton cahier d’exercices.

Exercice 22

C

1- Trace les bissectrices [Ax), [By) et [Cz) des trois angles du triangle ABC. 2- Que remarques-tu ? On note I le point de concours des trois demi-droites (c’est un point où se coupent trois droites ou trois demi-droites). 3- Trace la droite (d), perpendiculaire à (AB) et passant par le point I. La droite (d) coupe la droite (AB) en J. 4- Trace le cercle C de centre I passant par le point J. Que remarques-tu ?

A

B


Exercice 23 figure 1

figure 2

y

figure 3

z

e ∑g = 75° eB

14°

O

33° 20°

∑ = ................... xOy

x

7°

t

A ∂t = ................... zA

f B

25°

g

∑f = ................... eB

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.


105


Exercice 24 La figure ci-contre est tracée à main levée.

x

∑. La demi-droite [Oy) est la bissectrice de l’angle xOz

y

∑ = 110° . On sait de plus que xOz yOt semble être un angle droit ». Méline dit : « L’angle ∑ yOt n’est pas droit ! » Jules dit : « Mais non ! l’angle ∑

O 25°

z

Qui des deux élèves a raison ? Prouve-le ! t

Effectue la suite de l’activité sur les Tangrams.

Exercice 25 : Le Tangram – suite – Les figures 1, 2, 4, 6, 7 et 9 ne sont pas entourées. 1- Construis avec ton rapporteur les bissectrices des angles de chacune des six figures restantes de la page « Tangram ». 2- Il y a deux figures pour lesquelles chaque bissectrice passe par un autre sommet de la figure. Ce sont les figures .............................................................................................. 3- Parmi ces deux figures, trouve celle dont les côtés ont des mesures qui ne sont pas des nombres entiers. C’est la figure . .................................................................................... Entoure cette figure.

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Amaury a 92 billes. Il en a 48 de plus que Paul. Combien Paul a-t-il de billes ? 44 Réponse :

106



Séquence 3

séance 5 —

Séance 5 Je raisonne avec les angles Nous allons dans cette séance effectuer des démonstrations utilisant les angles. Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 26 y

Les points A, B et C sont-ils alignés ? Tu démontreras ta réponse.

x 66°

84°

31° B

C

A


j e retiens

POINTS ALIGNÉS Dire que le point A est un point du segment [BC], ou que « B, A et C sont alignés dans ∑ est plat. cet ordre » revient à dire que l’angle BAC B

A

C

∑ est plat, alors A est un point du segment [BC]. Si l’angle BAC ∑ = 180° alors A ∈ [BC]. Ceci s’écrit également : Si BAC ∑ est plat. Si A est un point du segment [BC], alors l’angle BAC ∑ Ceci s’écrit également : Si A ∈ [BC] alors BAC = 180° .

Entraîne-toi à utiliser la propriété ci-dessus en effectuant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 27 x y

Démontre que le point C est sur le segment [EF].

45° E

C © Cned, Mathématiques 6e —


F

107


Exercice 28 K

Les points K, L et M sont alignés dans cet ordre. yLM est droit. Démontre que l’angle ∑

x 58°

y

32° L

M

Exercice 29

y

x

Les points E, F et G sont alignés dans cet ordre. Que peux-tu dire de la demi-droite [Fx) ?

72° z

36°

Démontre ta réponse.

G F

E

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Jennifer part au marché avec 75 € dans son porte-monnaie. À son retour, il lui reste 49 €. Combien a-t-elle dépensé ?

26 € Réponse :

108



séance 6 —

Séquence 3

Séance 6 Je redécouvre les triangles Nous allons commencer par revoir ce qu’est un triangle et préciser le vocabulaire. Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

TriangleS Le cas général : Un triangle est une figure fermée à 3 côtés et 3 angles. Le triangle représenté ci-contre se note ABC (ou ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Les points A, B et C sont les trois sommets du triangle. Les segments [AB], [AC] et [BC] sont ses trois côtés. ∑,∑ ∑ sont ses trois angles. BAC ABC et BCA

A

B

C

Effectue sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 30

A

E

Sur cette figure, 4 triangles sont tracés. Lesquels ? ................................................................................. .................................................................................

C

B

D

B, C et D sont alignés

Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous. Tu vérifieras ta construction par transparence en plaçant cette feuille sur le corrigé. Tu découperas ensuite la figure tracée et la colleras dans ton cahier d’exercices.

Exercice 31 ∑A = 50° et BC ∑A = 60° . Construis un triangle ABC tel que BC = 8 cm, CB Tu commenceras par représenter une figure à main levée sur laquelle tu noteras les données de l’énoncé.


109


Prends à nouveau une feuille de papier calque. Lis bien la consigne car tu vas effectuer l’exercice 32 de la façon suivante : Pour chacune des figures ci-dessous, tu vas tracer à main levée la figure dans le cadre de gauche, puis la figure à l’aide de tes instruments de géométrie sur ta feuille de papier calque. Une fois les trois figures à main levée tracées et les trois figures tracées sur la feuille de papier calque, tu vas vérifier tes constructions sur le corrigé. Enfin, tu corrigeras si tu as commis des erreurs, puis tu découperas ta feuille de papier calque en trois petites vignettes, que tu colleras dans ton livret, au dessous de l’endroit où est écrit « papier calque ».

Exercice 32 Construis les figures suivantes : 1- un triangle ABC tel que BC = 4 cm, ∑ ACB = 60° et ∑ ABC = 80°.

Figure à main levée

papier calque :

.....................................................................................................................................

∑ = 50°. 2- un triangle RST tel que RS = 4,5 cm, RT = 4 cm et SRT

110


papier calque :

.....................................................................................................................................



séance 6 —

Séquence 3

∑ = 40°. 3- un triangle KLM tel que KL = 6 cm, KM = 4 cm et KLM


papier calque :


Exercice 33 Le but de cet exercice est de tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7 cm et BC = 9 cm. 1- Trace un segment [BC] de 9 cm. 2- On cherche à placer le point A.

Le point A se trouve à ............ cm du point B. Le point A se trouve donc sur le ................. de centre ........ et de rayon ................. Trace ce cercle et nomme le C 1.

Le point A se trouve à ............ cm du point C. Le point A se trouve donc sur le ................. de centre ........ et de rayon ................. Trace ce cercle et nomme le C 2.

3- Où se trouve le point A ? ................................................................................................ 4- Place le point A et trace le triangle ABC.

Tu viens de découvrir une méthode permettant de construire un triangle dont on connaît les longueurs des côtés. Cette méthode est détaillée ci-dessous : lis attentivement le paragraphe qui suit.


111



Tracer un triangle EGH tel que EG = 4 cm , HG = 3,5 cm et EH = 6 cm

1- On commence par faire une figure à main levée. G 3,5 cm

4 cm E

6 cm

H

2- On trace un côté, par exemple [EH]. 3- Comme EG = 4 cm, on trace un arc de cercle de centre E Il mesure 6 cm. et de rayon 4 cm.

E

6 cm

H

4- Comme HG = 3,5 cm, on trace un arc de cercle de centre H et de rayon 3,5 cm (assez grand pour couper le premier).

E

6 cm

H

5- Les deux arcs se coupent en G. On trace les segments [EG] et [HG]. On n’écrit pas les longueurs sur la figure.

G

E

6 cm

H E

112

H



séance 6 —

Séquence 3

Effectue l’exercice ci-dessous ; tu utiliseras un papier calque comme pour l’exercice 28.

Exercice 34 Construis les figures suivantes : 1- un triangle ABC tel que AB = 7 cm , AC = 10 cm et BC = 12 cm


.....................................................................................................................................

2- Un triangle KLM tel que KL = 3 cm , KM = 8 cm et LM= 9,5 cm.


3- Un triangle CDE tel que CD = 5 cm , CE = 7 cm et DE = 12 cm.


Que remarques-tu ? ........................................................

....................................................................................... © Cned, Mathématiques 6e —


113


4- Essaie de tracer un triangle IJK tel que IJ = 4 cm, JK = 6 cm et IK = 12 cm.


Que remarques-tu ? ........................................................

.......................................................................................

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Téo pensait arriver au collège à 8 h 15 min. Il est en fait arrivé avec 22 minutes d’avance ! À quelle heure est-il arrivé ? 7 h 53 min Réponse :

Séance 7 Je redécouvre les triangles particuliers Nous allons commencer cette séance par apprendre à reproduire exactement un triangle déjà tracé à l’aide d’un compas. Effectue l’exercice ci-dessous sur un papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices après l’avoir corrigé.

Exercice 35 Voici un triangle KGH. a) Reproduis ce triangle avec ton compas et une règle non graduée sans mesurer aucun des côtés.

H K

G

114



séance 7 —

Séquence 3

b) Reproduis sur ton cahier, avec ton compas et ∑y ci contre. une règle non graduée, l’angle xK

x K

y

En apprenant à reproduire un triangle, tu as également appris à reproduire un angle. Voici la méthode détaillée ci-dessous. Lis attentivement ce paragraphe :


k

Construire à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée ∂ ci-contre ∂ de même mesure que l’angle kCl un angle uIv C

l

1- On place sur le 2- On trace une demi-droite 3- On prend comme écartement de [Iu). On prend comme livret un point D compas la longueur DE. écartement de compas sur [Cl) et on trace CD. On trace un grand un arc de cercle de arc de cercle de centre I centre C qui coupe et de rayon CD qui coupe [Ck) en E. [IU) en M.

E k Ek C C

D l

I

4- On trace un arc de cercle de centre M et de rayon DE. Cet arc coupe le premier au point K.

M u

5- On trace la demi-droite [IK) et on marque la lettre v.

K v

K

I

D l

M u

I

Mu


115


Effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 36 Reproduis sur ton cahier les angles ci-dessous :

y

z

l C

A

x

B

y

k

Nous allons maintenant revenir sur la construction de triangles afin d’étudier certains triangles particuliers ... Effectue l’exercice ci-dessous sur du papier calque, et colle-le une fois que tu auras corrigé.

Exercice 37 1- Trace les triangles ci-dessous. a) un triangle ABC tel que AB = 7 cm , AC = 7 cm et BC = 7 cm. b) un triangle KLM tel que KL = 8 cm , LM = 6 cm et KM = 10 cm. c) un triangle CDE tel que CD = 9 cm , CE = 9 cm et DE = 6 cm. 2- a) Quelle est la particularité du triangle ABC ? b) Quelle est la particularité du triangle KLM ? c) Quelle est la particularité du triangle CDE ?

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après.

116



séance 7 —

Séquence 3

j e retiens

TRIANGLES PARTICULIERS Il existe plusieurs triangles particuliers. Voici leurs définitions : Définition du triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsqu’il a un angle droit. Ci-contre, le triangle ABC est rectangle en A B (ceci signifie que l’angle qui a pour sommet le point A est un angle droit).

A

C A

Définition du triangle isocèle : Un triangle est isocèle lorsqu’il a au moins deux côtés de la même longueur. Ci-contre, le triangle ABC est isocèle en A (ceci signifie que les côtés [AB] et [AC] ont la même longueur, soit AB = AC).

• Le point A s’appelle le sommet principal du triangle isocèle ABC. • Le côté [BC] s’appelle la base du triangle isocèle ABC. B Définition du triangle équilatéral : Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés ont la même longueur. Ci-contre, le triangle ABC est équilatéral. On a AB = AC = BC. Remarques : • Un triangle équilatéral ABC est isocèle en A, en B et en C. C’est donc un triangle isocèle particulier. • Un triangle qui n’est pas particulier est dit « quelconque ». • Un triangle à la fois rectangle et isocèle (cela est possible) est un « triangle rectangle isocèle ».

C A

C

B

Voici un exercice de recherche de triangles particuliers. Effectue-le sur ton cahier d’exercices. N’oublie pas de justifier chaque ligne.

Exercice 38

A

Complète la liste ci-dessous : Sur la figure ci-contre : ∑ = 90°. • le triangle DKB est rectangle en B car DBK

B

K

• ...

J C

D

F G

I

H E les points K, I et H sont alignés les points D, F, G et I sont alignés © Cned, Mathématiques 6e —


117


Pour finir cette séance, voici un exercice de construction de triangles rectangles. Tu effectueras les constructions à main levée directement sur ton livret, et les « vraies constructions » directement sur du papier calque que tu colleras sur ton livret une fois corrigées. La dernière construction est un peu plus difficile...

Exercice 39 Construis les figures suivantes : 1- un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm.


.....................................................................................................................................

2- un triangle EFG rectangle en F tel que EF = 2 cm et EG = 4,5 cm.


..................................................................................................................................... ∑ = 45° . 3- un triangle KLM rectangle en K tel que KL = 4 cm et KLM

118


.....................................................................................................................................



séance 7 —

Séquence 3

∑A = 30°. 4- un triangle ABC rectangle en B tel que AC = 6 cm et BC


Effectue la suite de l’activité sur les Tangrams. La question 3 est une sorte d’énigme. N’hésite pas à demander de l’aide !

Exercice 40 : Le Tangram – suite – Les figures 1, 4, 6, 7 et 9 ne sont pas entourées. 1- Parmi les figures non entourées, quelles sont celles qui représentent un triangle rectangle isocèle ? ......................................................................................................................... 2- Parmi ces figures, trouve celle dont la mesure du côté le plus long a pour arrondi au dixième de centimètre le nombre 8,5 et entoure-la.

Te voilà en possession des sept figures de base du Tangram : ce sont les figures que tu as entourées. Il ne te reste plus qu’à les découper.

3- Positionne judicieusement les sept figures du Tangram pour former le carré ci-dessous.


119


Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Complète mentalement cette étoile magique sachant que la somme des nombres sur chacune de six lignes est la même.

8

9

16

7

14

11

13 15

15 16

7

6

13 10

12

11

8

9

14 5

il fallait commencer par calculer la somme en effectuant 8 + 9 + 14 + 11 = 42. On pouvait alors trouver 6, ou 12, puis 10 et 5. Réponse :

Séance 8 Je construis des triangles particuliers au compas Nous allons commencer cette séance par revoir comment tracer un triangle isocèle à l’aide d’un compas. Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 41 Construis un triangle ABC isocèle en A tel que BC = 7 cm et AB = 5 cm. Commence par faire une figure codée à main levée.

Lis attentivement la méthode décrite ci-après. 120



séance 8 —

Séquence 3


Construire un triangle EFG isocèle en E tel que EF = 4 cm et FG = 3 cm

1- On commence par faire une figure codée 2- On trace un segment [FG] de 3 cm. On prend comme écartement de à main levée. compas 4 cm. On trace un arc de cercle de centre F E

4 cm

4 cm

G F G 3 cm 3- On garde le même écartement de 4 cm et 4- On trace les segments [EF] et [EG] et on code la figure. on trace un arc de cercle de centre G qui coupe l’autre arc. Les deux arcs se coupent en E. E E F

F

G

F

G

Effectue l’exercice suivant. Tu effectueras les constructions à main levée directement sur ton livret, et les « vraies constructions » directement sur du papier calque que tu colleras sur ton livret après la correction.

Exercice 42 Construis les figures suivantes : 1- un triangle RST isocèle en R tel que RS = 6 cm et ST = 4 cm. Figure à main levée


121


∑ 2- un triangle KLM isocèle en K tel que KL = 4 cm et LK M = 45°.


.....................................................................................................................................

∑ = 70°. 3- un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 3 cm et BAC


.....................................................................................................................................

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu traceras la figure sur un calque que tu colleras sur ton cahier après la correction.

Exercice 43 Construis un triangle KLM équilatéral de côté 4 cm.

Effectue également l’exercice ci-dessous sur ton cahier, mais trace la figure sur du papier calque (afin de pouvoir comparer au corrigé), puis colle-la sur ton cahier.

Exercice 44

m

5

cm

I

2c

3 cm

G

F

5 cm

2- Rédige les consignes à donner à quelqu’un pour qu’il puisse reproduire cette figure sans la voir.

4 cm H

E 2,

1- Reproduis la figure ci-contre à l’aide de tes instruments de géométrie.

J

122



séance 8 —

Séquence 3

Nous avons jusqu’à présent construit des triangles particuliers. Nous allons maintenant apprendre à raisonner avec des triangles particuliers. Effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 45 1- Trace un cercle C de centre E et de rayon 3 cm. 2- Place sur le cercle C deux points F et G tel que E, F et G ne soient pas alignés. Trace le triangle EFG. 3- Démontre que ce triangle est isocèle en E.

Effectue-les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 46 1- Place un point E tel que le triangle CDE soit isocèle en C. Place un point E’ tel que le triangle CDE’ soit isocèle en C. Place à nouveau un point E’’ tel que le triangle CDE’’ soit isocèle en C. 2- On pourrait continuer comme on l’a fait dans la question précédente et placer des points E’’’, E ’’’’... tels que CDE’’’, CDE’’’’ ... soient isocèle en C.

Où sont placés tous ces points E, E’, E’’, E’’’ ? ...................

........................................................................................

Trace ce « lieu » sur la figure.

C

D

Pour t’aider, n’hésite pas à placer de nombreux points E’’, E’’’,... et tu verras apparaître le lieu recherché ...

Exercice 47 Place un point K sur la droite (d) tel que le triangle IJK soit isocèle en I.

J

Combien y-a-t-il de points possibles au total ? ............................................................... ...............................................................

(d)

I

Pour finir cette séance, effectue la suite de l’activité sur les Tangrams. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

123


Exercice 48 : Le Tangram – suite – Positionne judicieusement les sept figures du Tangram pour former le triangle ci-dessous.

Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Dans un carré magique, le somme des nombres sur chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales est la même. Complète ce carré magique :

18

9 7

124

3 16

11

4

8

15 13



Séquence 3

séance 9 —

8

6 15 13

11 17 4 5

10

7 14 16

18 12 9

3

On connaît la somme des nombres d’une diagonale : 18 + 7 + 4 + 3 = 42. On pouvait alors trouver 6, par exemple, puis les autres nombres ... Réponse :

Séance 9 Je démontre que des triangles sont particuliers Nous allons terminer cette séquence par quelques exercices de démonstration. Effectue-les sur ton cahier d’exercices.

Exercice 49 (d)

Les droites (d) et (EC) sont parallèles. Démontre que le triangle EBC est rectangle en E. B E

C

Exercice 50 Le cercle C de centre O a pour rayon 4 cm.

C

A

Les points A et B sont sur le cercle C .

4c m

Démontre que le triangle OAB est équilatéral. B

O


125


Exercice 51 Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre et EB = 9 cm. Démontre que le triangle ABC est rectangle isocèle en A. C

D

6 cm

12°

E 3 c 78° m

A

B

S’il te reste du temps, tu peux essayer de faire ce dernier exercice sur les Tangrams.

Exercice 52 : Le Tangram – fin – Chacune de ces trois figures : le canard, le coureur à pied et le chat, peut être reconstituée à l’aide des sept pièces du Tangram. Es-tu capable de les reconstituer ? (Ils ne sont pas représentés en vraie grandeur).

Lis attentivement les questions et coche directement sur ton livret. Une fois les 10 questions traitées, reporte-toi aux corrigés et entoure en rouge les bonnes réponses. Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses sont bonnes et donc à cocher.

126



séance 9 —

Séquence 3

j e m’évalue

∑ a pour sommet : 1- L’angle DFE

∑ a pour côté(s) : 2- L’angle KLM

® [LM) ® [LM] ® [LK) ® [KM)

® D ® F ® E ® [DF) 3- La mesure d’une angle droit, en degrés, est :

® 45° ® 100° ® 180° ® 90° 5- La bissectrice d’un angle de 106° le coupe en deux angles adjacents de :

® 106° ® 58° ® 53° ® 212° 7-Le triangle DEF est isocèle en D. On a donc :

® DE = EF ® DF = EF ® DE = DF ® DE = EF = DF

4- L’angle ci-contre est :

® aigu ® droit ® obtus ® plat

N P Q

∑L est plat. Les points J, L et D : 6- L’angle JD

® sont alignés ® sont confondus ® sur une même droite ® ne sont pas toujours alignés 8- Le triangle KLM est rectangle en M.

® les droites (KM) et (ML) sont perpendiculaires ∑ M est droit ® l’angle KL ∑L est droit ® l’angle KM ∑L est droit ® l’angle MK

9-Le triangle CVR est rectangle isocèle en V. 10- Un cercle de centre O passe par les points H et K. On a : ∑ ® CV R = 90° ® [HK] est une corde de ce cercle

® CR = RV ® RV = CV ∑ ® CR V = 90°

® [HK] est un diamètre de ce cercle ® le triangle OHK est équilatéral ® le triangle OHK est isocèle en O


127

Sommaire de la séquence 4  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Je redécouvre la multiplication

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Je redécouvre la multiplication - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Je multiplie les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 J’apprends à évaluer si un produit est juste ou non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Je multiplie par un dixième, un centième, un millième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Je résous des problèmes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Je résous des problèmes - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 J’utilise un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 J’effectue des exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

 Objectifs  Être capable d’effectuer le produit de deux nombres décimaux.  Connaître le vocabulaire de la multiplication.  Savoir résoudre des problèmes à l’aide de multiplications.



séance 1 —

Séquence 4

Séance 1 Je redécouvre la multiplication Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la SÉQUENCE N° 4. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école 1- Paul achète 7 bonbons à 8 centimes d’euros l’unité. Il dépense :

2- Coline possède 3 jeux de 54 cartes et il lui reste 15 cartes d’un vieux jeu. Combien a-t-elle de cartes au total ?

a) 15 centimes d’euros

a) 177

b) 63 centimes d’euros

b) 175

c) 56 centimes d’euros

c) 173

d) 72 centimes d’euros

d) 179

3- Sébastien a gagné 7 billes, puis 9 billes et enfin 13 billes. Combien en a-t-il gagné au total ?

4- Lors d’un tournoi de football, il a été vendu 100 sandwichs à 1,5 euro pièce. Quelle somme cela représente-t-il ?

a) 63

a) 15 euros

b) 91

b) 101,5 euros

c) 117

c) 150 euros

d) 29

d) 1,500 euro

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, et écris : « SÉQUENCE 4 : MULTIPLICATION DE NOMBRES DECIMAUX ». Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de cette séquence, qui s’intitule : « le nom secret d’un personnage célèbre ». Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 1 : le nom secret d’un personnage célèbre Le but de l’activité « le nom secret », qui se poursuit tout au long de la séquence, est de trouver le nom caché d’un mathématicien célèbre. Dans cette activité, on va te proposer des petits calculs. Tu devras associer à certains résultats une lettre de l’alphabet de la façon suivante : 1ËA

2ËB

3ËC

4ËD

...


129

Séquence 4 — séance 1 Commençons : Un vendeur de consoles de jeux a vendu 29 consoles à 317 € depuis le début de la semaine. Combien cela lui-a-t-il rapporté ? Pose l’opération Conclusion : ................................................................. ..................................................................................... Quel est le chiffre des centaines du résultat ? ................. Quelle est la lettre de l’alphabet associée au chiffre des centaines du résultat ? ............................................ Reporte la lettre trouvée dans la 1ère case. Tu complèteras la suite de ce nom dans les prochains exercices. Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice 1 11 23 35 40 40 41 46 11

Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 2 Laquelle de ces deux lignes est la plus longue : la rouge ou la verte ? Justifie ta réponse par un calcul à la main, c’est-à-dire sans utiliser la calculatrice.

6,2 cm

,5 73

mm

Exercice 3

Restaurant «Les délices du terroir»

Le chef vous propose Entrées

Combien de menus différents comprenant une entrée et un plat peut-on composer avec la carte ci-contre (ne les écris pas) ? Justifie ta réponse.

130

Crudités

ou

Pâté maison

ou

Bouquet à la mayonnaise

ou

Melon au porto Plat principal

Bifteack frites

ou

Thon à la provençale

ou

Moules frites



séance 1 —

Séquence 4

Exercice 4 En sortant de la boutique du charcutier, Madame Martin remarque qu’il reste 14,92 € dans son porte-monnaie. Calcule combien elle possédait auparavant, sachant qu’elle a acheté : • 6 coquilles St-Jacques à 2,85 € pièce • un chapon de 2,75 kg coûtant 33 € le kilogramme.

Effectue maintenant l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 5 Calcule sans la calculatrice :

a) 232,57 x 10 = ................. b) 13,48 x 100 =.................. c) 1 212,3 x 1 000 = ............

Lis attentivement ce paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Multiplier par 10, 100, 1 000 Pour multiplier un décimal par 10, 100, 1 000, on déplace la virgule de un, deux, trois rangs vers la droite en complétant par des zéros si nécessaire. Exemples : • 27,657 x 100 = 2 765,7 • 182,4 x 1 000 = 182 400 (Ne pas oublier que 182,4 = 182,400) • 32 x 10 = 320 (cas où le décimal est entier. Ne pas oublier que 32 = 32,0) Remarque : Multiplier un décimal par 10, 100, 1 000 « l’agrandit ».

Effectue directement les deux exercices d’application suivants sur ton livret.

Exercice 6 a) Combien coûtent 10 timbres à 0,53 € ?

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

b) 100 sacs de sucre pesant chacun 25,43 kg sont empilés. Quelle est leur masse totale ?

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

c) À l’occasion d’une fête, mille billets de tombola ont été vendus. Quelle est la recette totale, sachant que chaque billet coûtait 1,50 €.

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................


131


Exercice 7 Complète les pointillés : 1) 1,956 7 x ................... = 19,567 3) .................... x 100 = 1 600 5) .................... x 1 000 = 14 920 7) .................... x 1 000 = 4,76

2) 26,18 x . ..................... = 26 180 4) .................... x 10 = 84,423 6) .................... x 100 = 1,278 8) .................... x 100 = 1

Enfin, pour terminer cette séance, s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 8 Les méthodes pour effectuer des multiplications ont évolué au cours des siècles. Voici un exemple de multiplication de deux nombres entiers, d’après une disposition utilisée par les mathématiciens arabes au 15ème siècle :

8 4 3 2 2 6 5 7 6 8 1 4 2 1 4 4 8 6 8 6 0 8

843 x 76 = 664 068

Calcul de 843 x 76 :

Observe cette technique et utilise-la pour calculer 954 x 78

Séance 2 Je redécouvre la multiplication - fin Commence par prendre une nouvelle page de ton cahier de cours, et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Notion de facteur, de produit : Dans une multiplication : • Les facteurs sont les nombres que l’on multiplie. • Le produit est le résultat de la multiplication.

132

Exemple : 24 x 2 = 48 les facteurs le produit du produit de 24 par 2



séance 2 —

Séquence 4


Exercice 9 1- Calcule le produit de 976 par 608 sans utiliser ta calculatrice. Utilise-la ensuite pour vérifier ton résultat. 2- a) Écris 72 comme produit de deux entiers consécutifs. b) Écris 700 comme produit de trois facteurs entiers, deux étant impairs.

Exercice 10 1- Calcule sans poser d’opération et sans utiliser la calculatrice : a) 9 x 0,7 x 6

b) 0,7 x (6 x 9)

2- Que remarques-tu ? Une règle, vue en CM2, permettait-t-elle de le prévoir ?

Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous sur ton cahier.

j e retiens

Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut : • changer l’ordre des facteurs • grouper les facteurs comme on veut. Exemple : calcul de 5 x 7 x 6 de deux façons différentes :

1ère façon

2ème façon

5 x 7 x 6 = 35 x 6 = 210

5 x 7 x 6 = 7 x (5 x 6) = 7 x 30 = 210

Effectue sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 11 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite 1- Calcule les produits suivants aussi simplement que possible (tu indiqueras toutes les étapes de calcul) : a) 5 x 1,8 x 2 =............................................................................................................... b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 =...................................................................................... 2- Place : a) dans la deuxième case « du nom secret » la lettre de l’alphabet associée au résultat du 1) a). b) dans la troisième case « du nom secret » la lettre de l’alphabet associée au résultat du 1) b).

Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices suivants. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

133


Exercice 12 1- Recopie et complète : a) 4 x 25 = ..........................................

b) 8 x 125 = . .................................................

2- Utilise les résultats du 1- pour calculer les produits : a) 4 x 0,25 = .......................................

b) 0,8 x 125 = . ..............................................

Exercice 13 Calcule les produits K, L et M suivants en ligne (tu indiqueras toutes les étapes de ton calcul) : 2- L = 3 x 1,25 x 96 x 8 1- K = 9 x 25 x 8,1 x 4 3- M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25

Exercice 14 1- Calcule à la main le double de 7,9 puis le triple de 6,84 2- a) Calcule à la main le triple du double de 9,6 puis le double du triple de 9,6. b) Que remarques-tu ? c) Pouvais-tu prévoir ce résultat ? Justifie ta réponse.

Exercice 15 Complète :

98 700 x 650 = (987 x ................. ) x (................. x 65)

98 700 x 650 = (987 x 65) x (................. x .................)

98 700 x 650 = (987 x 65 ) x .................

Pour calculer 98 700 x 650, il suffit de calculer 987 x 65 puis de placer ................. zéros à droite du résultat.


j e retiens

Pour multiplier deux entiers dont l’un au moins se termine par un ou des zéros : • On commence par encadrer les zéros qui interviennent 9 8 7 0 0 à la fin de l’écriture x 6 5 0 des deux nombres. " on commence par 5 x 7, ..." 4 9 3 5 • On effectue la multiplication 5 9 2 2 • " on commence par 6 x 7, ..." sans tenir compte 6 4 1 5 5 0 0 0 des zéros encadrés. • On place à droite du résultat autant de zéros qu’on en a encadrés.

134



séance 3 —

Séquence 4

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 16 Calcule à la main le produit de 7 920 par 6 800.

Exercice 17 1- Calcule à la main : 143 x 14 2- Dans cette question, aucun calcul ne devra être posé. La calculatrice n’est pas autorisée, et tu justifieras tes réponses :

Déduis du 1) le résultat des calculs suivants : a) 14 300 x 1,40

b) 286 x 28

Pour terminer cette séance, et s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 18 : méfie-toi des cas particuliers ! 1- a) Calcule à la main le produit de 43 et de 68. b) 43 s’écrit « à l’envers » 34. Recopie et complète : 68 s’écrit « à l’envers » .................... .

Calcule le produit des deux nombres obtenus en écrivant 43 et 68 « à l’envers ».

c) Vérifie tes calculs du a) et b) à la calculatrice. Compare ensuite le produit obtenu dans la question a) et celui obtenu dans la question b). 2- a) Calcule à la main le produit de 32 et de 69. b) Recopie et complète : 32 s’écrit « à l’envers » ............. et 69 s’écrit « à l’envers » ............. . Calcule le produit de ces deux nombres écrits à l’envers. c) Vérifie tes calculs du a) et b) à la calculatrice. Compare ensuite le produit obtenu dans la question a) et celui obtenu dans la question b). 3- Fais le même travail que dans les questions 1) et 2) avec les nombres 26 et 31. 4- Sony et Ritchie ont répondu aux trois questions précédentes.

Sony dit à Ritchie : « Tu vois, le produit de deux entiers ne change pas si on écrit « à l’envers chacun des entiers ».

Ritchie lui répond : « Tu te trompes ! et je peux le prouver ! ».

Saurais-tu, toi aussi, prouver à Sony qu’il se trompe ? Justifie ta réponse.

Séance 3 Je multiplie des nombres décimaux Commence par effectuer l’exercice ci-dessous sur ton livret : © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

135


Exercice 19 : un point de vue géométrique Tu as vu, à l’école primaire, que l’aire d’un carré est le produit de la longueur de son côté par elle-même. Par exemple, l’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 x 3 soit 9 cm2. Observe bien la figure ci-dessous : a) AB = AD = .........................

A

1

B

L’aire du « grand » carré ABCD est donc : ........... x .......... = .......... b) • La longueur d’un côté d’un petit carré est le nombre ? tel que : 10 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre 0,1.

de la même manière : • Puisque le « grand » carré ABCD a pour aire ............... et est composé de ............. petits carrés de même aire, D l’aire d’un petit carré est donc le nombre ? tel que : 100 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre .................... .

C

c) Conclusion L’aire d’un petit carré est ...................., son côté est .................... . On a donc : 0,1 x 0,1 = .................... .

Tu viens de voir dans l’exercice précédent que le produit d’un dixième par un dixième était égal à un centième. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 20 Adèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 € le mètre. Elle décide d’en acheter 3,2 m. 1- Adèle réfléchit

Pour calculer le montant en € de son achat, elle doit multiplier le prix d’un .................... de ruban par le .................... de mètres achetés.

Elle doit donc effectuer le calcul suivant : .................................................................... .

2- Adèle utilise sa calculatrice

Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice : 1,42 x 3,2 = ....................

En voulant vérifier à nouveau son calcul, Adèle se trompe et tape 142 x 32. Elle obtient .................... .

Adèle souhaite alors faire « le lien » entre ces deux résultats.

Elle fait l’observation suivante : 1,42 Nombre de chiffres après la virgule

3,2

4,544

............................ ............................ ............................

Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s’obtient en ............................ le nombre de chiffres après la virgule de 1,42 et celui de 3,2.

136



séance 3 —

Séquence 4

3- Adèle voudrait obtenir le résultat 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice 142 x 32 = (1,42 x ……..) x (3,2 x ……..) donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2 ) x (…….. x ……..)

Or 142 x 32 = ................

D’où :................................ = (1,42 x 3,2) x 1 000

Or le nombre qui multiplié par 1 000 est égal à 4 544 est ................................ .

Ainsi : 1,42 x 3,2 = ................................ .

Pose ton opération

Prends ton cahier de cours. Recopie soigneusement le paragraphe suivant et retiens bien la méthode expliquée pour placer correctement la virgule.

j e retiens

Pour effectuer à la main la multiplication de deux nombres décimaux (par exemple 1,42 et 3,2) :

x

• On pose la multiplication avec les virgules mais on l’effectue sans tenir compte des virgules. • On place la virgule du résultat comme indiqué ci-contre.

1,4 2 3,2 284 426• 4,5 4 4

On compte le nombre total de chiffres après la virgule (ici 3) On met autant de chiffres après la virgule dans le résultat


Exercice 21 Pose puis effectue les produits suivants : a) 86,5 x 9,8 b) 3,420 x 0,65

c) 70,7 x 39,6

Exercice 22 On sait que : 347 x 849 = 294 603 Utilise le résultat précédent pour calculer rapidement chacun des produits suivants : a) A = 34,7 x 8,49

b) B = 0,347 x 849

c) C = 0,347 x 8 490

d) D = 3,47 x 84,9

e) E = 3 470 x 0,849

f) F = 3,47 x 0,849



137


j e retiens

Sachant que 23 x 341 = 7 843, on peut facilement déduire des produits comme : 2, 3

x

34, 1

1 décimale

78, 43

=

1 décimale

2, 3

3, 41

x

1+1=2 2 décimales 7, 843

=

2 décimales

1 décimale

2+1=3 3 décimales


Exercice 23 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite 1- Complète les multiplications à trous suivantes (pense à placer les virgules) : a)

4 2, 0,7 8

x 2

1

b)

x

63 ,9 4 , 8

,7 3

c)

x

28 ,

7

8

2- Quel est le chiffre des dixièmes du résultat de la multiplication à trous b) de la question précédente ? ................ Place dans la quatrième case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au chiffre obtenu.

Enfin, pour finir cette séance, s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 24 Peut-on obtenir un nombre entier en multipliant deux décimaux non entiers ? Justifie ta réponse.

138



Séquence 4

séance 4 —

Séance 4 J’apprends à évaluer si un produit est juste ou non Effectue les cinq exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices :

Exercice 25 Moïra a calculé 21,17 x 9,53. Elle a trouvé 28,549 1. Que penses-tu de ce résultat ? Justifie ta réponse sans calculer le produit.

Exercice 26 Sandra travaille ses mathématiques sur son ordinateur. Elle doit calculer 42 x 53. Avant de commencer, elle cherche un ordre de grandeur du résultat. Elle dit : « 42 est proche de 40, 53 est proche de 50, donc 42 x 53 est proche de 40 x 50, c’est-à-dire 2 000. » Elle pose l’opération au brouillon et tape sur l’ordinateur sa réponse : 1 966. Immédiatement, il s’affiche « faux ». Explique pourquoi sans effectuer l’opération proposée.

Exercice 27 Calcule un ordre de grandeur de chacun des produits ci-contre, puis entoure la bonne réponse parmi celles proposées par Eloïse, Cécile et Manon.

Eloïse

Cécile

Manon

6,3 x 2,13

13,419

8,219

9,139

6 x 12,28

142,68

60,68

73,68

325,7 x 11,8

218,86

469,36

3 843, 26

Exercice 28 La mère de Sandra achète 2,1 kg de poisson à 11,6 € le kilo. Sans poser d’opération et sans utiliser la calculatrice, réponds aux questions suivantes :

2,1 KG DE POISSON À 11,60 �

a) Pourra-t-elle payer à l’aide d’un billet de 20 € ? b) Pourra-t-elle payer à l’aide d’un billet de 50 € ? Tu justifieras tes réponses.


139


Exercice 29 Le professeur vient juste d’écrire au tableau la consigne suivante :

Trois élèves s’empressent de donner leurs réponses : - Mareb : « Ça fait 418,82 ! » - Ludivine : « Ça fait 419,878 ! » - Amaury : « Ça fait 425,88 ! » Léon, qui n’a pas terminé son calcul, lève le nez et dit : « Mais non ! Vous avez tous faux ! » Comment a-t-il procédé pour s’en apercevoir si vite ? Justifie ta réponse.


j e retiens

Pour contrôler la vraisemblance du résultat d’une multiplication, on peut par exemple : - contrôler le nombre de chiffres après la virgule - contrôler le dernier chiffre à droite - calculer un ordre de grandeur du résultat.

Effectue maintenant l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 30 : les pêches ont du succès ! Un marchand vend des pêches à 2,30 € le kg. Ritchie en a acheté 3,200 kg, Sony 0,800 kg, Pascal 2,600 kg et Jade 0,650 kg.

1- Indique pour chacune des personnes le calcul qui permet de déterminer la somme en euros qu’elle doit au marchand. Ritchie : .................................................

Sony : ....................................................

Pascal : ...................................................

Jade : .....................................................

2- a) Qui a payé moins de 2,30 € ? Plus de 2,30 € ? .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

140



séance 4 —

Séquence 4

b) Complète par < ou > : 2,3 x 3,2 ................... 2,3

2,3 x 0,8 ................... 2,3

2,3 x 2,6.................... 2,3

2,3 x 0,65 ................. 2,3

3- Complète :

Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus ............................ que 2,3.

Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus ............................ que 2,3.

Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu attentivement.

j e retiens

Attention ! La multiplication n’agrandit pas toujours.

Le produit de deux nombres peut être inférieur à l’un des deux facteurs. 2,3 x 0,8 < 2,3 1,84 Lorsqu’on multiplie un nombre par un autre nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que celui du départ.

Pour terminer cette séance, effectue l’exercice suivant sur ton cahier.

Exercice 31 Est-il vrai que 4 729 x 0,999 96 est plus grand que 4 729 ? Justifie sans effectuer d’opération.

S’il te reste du temps, effectue l’exercice suivant sur ton cahier.

Exercice 32 : Peut-on toujours se fier à la calculatrice ? Effectue chacun des calculs suivants avec une calculatrice. Affiche-t-elle la valeur exacte de ces produits ? (Tu justifieras tes réponses). a) A = 295 687,5 x 19 577 b) B = 22,557 8 x 3,468 9 c) C = 217,753 x 46 271,6 d) D = 86,5 x 545,866 © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

141


Séance 5 Je multiplie par un dixième, un centième, un millième Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret :

Exercice 33 1- Calcule les produits

a) 39,4 x 0,1

b) 115,86 x 0,01

c) 564,3 x 0,001

2- Complète :

Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule vers la ..................................... de ............... rang.

Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule vers la ................................... de .............. rangs.

Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule vers la ................................. de ............... rangs.

Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours.

j e retiens

Pour multiplier un décimal par 10, 100, 1 000, on déplace sa virgule vers la droite de 1, 2, 3 rangs et on complète par des zéros à droite si nécessaire. Exemples : • 1,22 x 1 000 = 1 220 • 104,58 x 10 = 1 045,8 • 18 x 100 = 1 800 (cas où le décimal est entier. N’oublie pas que 18 = 18,0.) Pour multiplier un décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, on déplace sa virgule vers la gauche de 1, 2, 3 rangs et on complète par des zéros à gauche si nécessaire. • 16,5 x 0,001 = 0,016 5 • 297,4 x 0,1 = 29,74 • 18 x 0,01 = 0,18 (cas où le décimal est entier) • 18 x 0,1 = 1,8 (cas où le décimal est entier)

Effectue sur ton livret les deux exercices d’application suivants.

Exercice 34 Complète le parcours suivant :

101 x 0,1

142

-1

x 100

+ 20,1

x 0,01

- 0,001

x 0,01



séance 5 —

Séquence 4

Exercice 35 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite On calcule le produit de 57 par 0,01. On ajoute ensuite 8,43. On obtient .......................... . Place dans la cinquième case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au nombre obtenu.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants.

Exercice 36 Calcule les produits A, B et C suivants : A = 0,1 x 0,1

B = 0,1 x 0,01

C = 0,01 x 0,01

Exercice 37 Calcule les produits D, E et F suivants : D = 10 x 0,1

E = 100 x 0,1

F = 1 000 x 0,001

Peut-être que tu hésites lorsqu’il faut déplacer la virgule vers la droite ou vers la gauche ? Lis attentivement et retiens le paragraphe ci-dessous :

j e retiens • Quand on déplace la virgule d’un nombre vers la gauche, on « diminue ce nombre ».

• Quand on déplace la virgule d’un nombre vers la droite, on « agrandit » ce nombre.

• Multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 « diminue » ce nombre.

• Multiplier un nombre par 10 ou 100 ou 1 000 « agrandit » ce nombre

Exemple : DIMINUER

x 0,001

x 0,01

x 0,1

AGRANDIR

x 10

x 100

x 1 000

Effectue sur ton livret l’exercice suivant.

Exercice 38 Calcule le nombre manquant dans chacune des égalités suivantes : a) 86 x ...................... = 8,6

b) 16,4 x ................... = 0,164

c) 940 x 0,001 = .................

d) 9 400 x ................. = 9,4

e) ................... x 100 = 1 820 f) 0,000 3 x 0,001 = .................

g) 100 x .................... = 0,1

h) 0,001 x ................. = 4,34 © Cned, Mathématiques 6e —


143


Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant.

Exercice 39 a) Compare les deux produits suivants :

100 x 71,63 et 10 x 7,15.

b) Range les trois produits suivants par ordre croissant :

1 000 x 0,981 8

0,1 x 9 818,7

10 x 98,175

Effectue sur ton livret l’exercice suivant.

Exercice 40 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite 1- Calcule astucieusement sans utiliser la calculatrice et sans poser d’opération le produit suivant. Tu indiqueras les étapes de ton calcul :

0,01 x 134 x 100 x 0,1 = .................................................................................................

Quelle est la partie entière de ce nombre ? .....................................................................

Place dans la 6e case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au dernier nombre obtenu.

2- Calcule astucieusement sans utiliser la calculatrice et sans poser d’opération le produit suivant. Tu indiqueras ta méthode :

1 000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = . ......................................................................................

Place dans la 7e case du nom secret la lettre de l’alphabet associée au dernier nombre obtenu.

Séance 6 Je résous des problèmes Effectue les cinq problèmes ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Lis attentivement la consigne de chaque exercice avant de commencer à répondre et essaie de bien rédiger tes réponses, c’est-à-dire d’expliquer ce que tu fais en écrivant des phrases claires et précises.

Exercice 41 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite Ydriss habite à 2,4 km de son collège. Il s’y rend à bicyclette tous les jours sauf le samedi et le dimanche. Les jours de classe, il mange à la cantine. Sachant que l’année scolaire compte 36 semaines de classe, calcule le nombre de kilomètres que parcourra Ydriss cette année scolaire en allant au collège. Place dans la 8e case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au chiffre des unités du nombre de kilomètres parcourus par Ydriss.

144



séance 6 —

Séquence 4

Exercice 42 Combien de tours effectue l’aiguille des secondes d’une pendule en une année de 365 jours ?

Exercice 43 Aujourd’hui, à la séance de 15 h, au cinéma de Pluiville, il y avait 459 personnes. 1- Le cinéma compte 36 rangées de 18 fauteuils. Combien y avait-il de places libres ? 2- Le prix normal d’une place est de 6,40 €. Cependant, 271 personnes ont bénéficié du tarif réduit, qui est de 5,60 €. Quelle a été la recette de cette séance ? 3- Les tickets d’entrée sont numérotés. Aujourd’hui, le premier ticket qui a été vendu portait le numéro 187, le dernier portait le numéro 973. Combien de tickets ont été vendus dans la journée ?

Exercice 44 Un train de voyageurs comprend 13 wagons de première classe et 24 wagons de seconde classe. 2

2

1

Dans chaque wagon de première classe, il y a 105 places. Dans chaque wagon de seconde classe, il y a 6 compartiments de 10 places. 1 512 personnes prennent place à bord du train. Combien reste-t-il de places libres ?

Exercice 45 Monsieur et Madame holidays sont arrivés en voiture, avec leur tente, au camping de Bellevue, le 17 juillet, à 16 h. Ils sont repartis le 29 juillet à 9 h. Ils étaient accompagnés de leurs trois enfants (âgés respectivement de 13 ans, de 11 ans et 8 ans) et de leur chien Mouska.

CAM

PING

Voici le tarif au camping pour 1 nuitée (c’est-à-dire de 12 h 00 à 12 h 00 le jour suivant). personnes

adultes

4,80 €

enfants de moins de 10 ans

2,50 €

voiture

1,90 €

tente

2,30 €

emplacement animaux

0,61 € par animal

Parmi les étiquettes ci-dessous, laquelle indique la somme en euros qu’ont dû payer les holidays en quittant le camping ? (Tu justifieras ta réponse) 318,12

300,24

291,61 © Cned, Mathématiques 6e —


145


Séance 7 Je résous des problèmes - fin Effectue les six exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien rédiger tes solutions.

Exercice 46 : le nom secret d’un personnage célèbre - fin D’un côté d’une avenue, il y a 105 arbres (il y a un arbre à chaque extrémité). Les arbres sont régulièrement espacés de 5,10 m. Calcule la longueur de cette avenue. Quel est le chiffre des centaines du résultat obtenu ? ...........................................

5,10 m

5,10 m

................

début de l'avenue

fin de l'avenue

Place dans la 9e case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée à ce chiffre. Voilà ! Tu dois avoir trouvé le nom du personnage illustre caché derrière ces cases. Qui était-il ? Reporte-toi au corrigé pour le découvrir !

Exercice 47 Pour ses 30 ans, Pierre-Yves est allé en Tunisie. Il en a profité pour acheter un beau tapis de 2 m de long. Il l’a payé 357,10 dinars (c’est la monnaie utilisée là-bas). Sachant qu’un dinar vaut 0,630 07 €, combien coûte le tapis en euros ? (Tu donneras l’arrondi au centième du prix).

Exercice 48 Écris un texte de problème où l’opération à effectuer est : 5 - (1,60 x 2,100).

Exercice 49 Léopoldine achète : • une limande de 350 g à 9,8 € le kg. • 290 g de crevettes roses à 21 € le kg. • un pot de mayonnaise. • deux bocaux de soupe de poisson à 2,34 € le bocal.

146



séance 8 —

Séquence 4

Elle donne un billet de 20 € au commerçant. Ce dernier lui rend 5,18 €. 1- Calcule le prix du pot de mayonnaise. 2- Au moment de quitter le magasin, Léopoldine remarque 2 belles tranches de saumon à 14,50 € le kg qui lui font très envie. Quel est leur prix ?

Exercice 50 Pour parcourir les 860 kilomètres qui séparent Jolyvillage de Belleface, monsieur Durand a mis 13 h 25 min. a) Sachant qu’il est parti à 7 h 50 min, à quelle heure est-il arrivé à Belleface ? b) Monsieur Durand n’a pas eu de chance : il est tombé en panne 3 h après son départ et la voiture a été immobilisée 2 h 25 min. À quelle heure serait-il arrivé s’il n’avait pas eu de panne ?

VACANCES

c) Monsieur Durand fait ses comptes. Pour faire le trajet, sa voiture a consommé 64,5 L d’essence. Un litre d’essence coûte 1,18 €. La réparation en cours de route a coûté 240 €. Combien Monsieur Durand a-t-il dépensé pour faire son voyage ?

Exercice 51

1,3 m

Monsieur Champêtre a clôturé sa propriété en forme de carré en plantant des piquets tous les 1,3 mètres. Il a utilisé 268 piquets. Entre chaque piquet, il a accroché deux rangées de fil métallique. 1- Quelle longueur de fil métallique a utilisé Monsieur Champêtre ?

2- Un mètre de fil coûte 1,96 €. Calcule le prix total du fil (tu arrondiras le résultat au centième).

Séance 8 J’utilise un tableur Tu ne peux faire cette séance que si tu possèdes un ordinateur et un logiciel appelé tableur, comme par exemple Microsoft Excel ou le logiciel Calc d’Openoffice (qui est gratuit et librement téléchargeable sur le site openoffice.org). Tu es devant ton ordinateur ? Lance alors le logiciel en cliquant deux fois sur son icone ou en allant dans le menu « tous les programmes » du menu démarrer.


147


Exercice 52 Une grande feuille quadrillée apparaît. Chaque « case » s’appelle une cellule. Les lignes sont numérotées : 1, 2, 3, 4, ... Les colonnes sont repérées par une lettre : A, B, C…

Cellule A1 Cellule D3

On donne à chaque cellule un nom comme on le fait dans « la bataille navale » : on parlera des cellules A1, B2 ou encore D3. Tape dans la cellule A1 : « Prix d’un mètre de tissu en euros : » puis appuie sur la touche Entrée. Tape dans la cellule A2 : « Longueur de tissu achetée en m : » puis appuie sur la touche Entrée. Tape dans la cellule A3 : « Prix total en euros : » puis appuie sur la touche Entrée.

L’exercice suivant est la suite du précédent. Effectue-le à la fois sur l’ordinateur et le livret.

Exercice 53 1- En procédant comme précédemment, complète le tableau afin d’obtenir ce qui figure ci-contre. 2- Sans utiliser l’ordinateur, calcule le prix total du tissu : ..........................................................

..........................................................

..........................................................

3- Tu vas demander à l’ordinateur de faire ce calcul, c’est-à-dire de multiplier le nombre qui est dans la cellule B1 par celui qui se trouve dans la cellule ............................ . a) Mets le curseur sur la case B3. Tape sur la touche « = » du clavier. Clique alors sur la case B1. Tape sur le symbole multiplié du clavier «*». Clique sur la case B2 et enfin tape sur la touche « Entrée ».

Le résultat de 4 x 2 s’affiche alors dans la cellule B3.

b) Remplace 4 par 10 dans la cellule B1. Remplace 2 par 5,25 dans la cellule B2. Que remarques-tu ?

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

Effectue maintenant l’exercice suivant : c’est un nouvel exemple de situation où le tableur permet de faire rapidement et automatiquement de nombreux calculs.

148



séance 8 —

Séquence 4

Exercice 54 Pour louer une voiture Monsieur et Madame Saroume doivent payer : • 30 € pour la location de la voiture • 0,40 € par kilomètre parcouru. Afin d’étudier le montant de la dépense selon le nombre de kilomètres parcourus, ils décident d’utiliser un tableur. 1- Comme eux, ouvre un nouveau document du tableur et tape ce qui suit :

(les prix sont en euros) 2- a) Quel calcul faut-il effectuer pour obtenir le total à payer ?

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

b) Pour faire faire ce calcul au tableur, on doit donc écrire que :

B6 = ................. * ................. + ................. .

c) Utilise la méthode vue dans l’exercice précédent pour faire calculer le total à payer au tableur. On trouve ................. €. 3- À l’aide du tableur, complète le tableau qui suit : Distance parcourue 100 200 300 400 500 (en km) Total à payer ............. ............. ............. ............. ............. (en €) 4- Monsieur et Madame Saroume ne veulent pas dépenser plus de 200 €. Quel nombre de kilomètres ne devront-ils pas dépasser ? (Tu détermineras ce nombre en tâtonnant, c’est-à-dire en faisant des essais à l’aide du tableur). Essaie d’être méthodique dans ta recherche !


149


Séance 9 J’effectue des exercices de révision Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 55 Un instituteur achète 19 gommes à 0,97 €. Pourra-t-il payer avec un billet de 20 € ? (Montre comment tu peux répondre à cette question mentalement).

Exercice 56 Madame Durand achète un câble informatique de 4,95 m qui coûte 11,80 € le mètre. La commerçante lui réclame 62,41 €. Madame Durand lui rétorque immédiatement qu’il y a une erreur. Comment, mentalement, pouvait-on déceler une erreur ?

Exercice 57 Madame Smith habite à 0,850 mile de l’école. Exprime cette distance en km. On donne : 1 mile = 1 609 m.

Exercice 58 Peut-on mettre 24 cartons contenant chacun 12 packs d’eau dans une camionnette dont le chargement ne peut dépasser 2 500 kg ? Justifie ta réponse. 1 pack d’eau contient 6 bouteilles d’eau de 1,5 L. 1 L d’eau pèse 1 kg.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche directement la réponse exacte sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

150



séance 9 —

Séquence 4

j e m’évalue 1- Pose l’opération : 469 x 78. Tu trouves : ® 36 672

® 36 582 ® 7 035 ® 36 772 3- Le double de 0,67 est :

® 1,24 ® 6,7 ® 0,134 ® 1,34

2- Le produit 0,81 x 10 est égal à

® 0,810 ® 81 ® 0,081 ® 8,1 4- Pose l’opération : 19,4 x 50,8. Tu trouves :

® 752,48 ® 985,52 ® 1 001,52 ® 985,55

5- Au marché, 3,150 kg de saumon coûtent 6- Le produit 75,248 x 0,1 est égal à : 69,30 €. Combien coûtent 315 kg de saumon ?

® 6 930 € ® 693 € ® 69,30 € ® 6,930 €

® 752,48 ® 7,524 8 ® 0,752 48 ® 75, 248

7- Le produit 94,21 x 0,001 est égal à :

8- Le produit 0,8 x 1,25 est égal à :

® 94 210 ® 0,009 421 ® 0,094 21 ® 0,000 942 1

® 0,001 ® 1 ® 10 ® 0,000 1

9- Le produit 295,4 x 32,81 est proche de : 10- Un seul de ces nombres est égal à 12,6 x 27,3. Mentalement, on voit qu’il s’agit de :

® 6 000 ® 9 000 ® 12 000 ® 15 000

® 3 439,8 ® 343,86 ® 343,98 ® 34,98


151

Sommaire de la séquence 5  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Je découvre la symétrie axiale par l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Je trace le symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Je construis la figure symétrique d’une figure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Je construis la figure symétrique d’une figure plus complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Je reconnais les axes de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 J’utilise les propriétés de la médiatrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 J’étudie les axes de symétrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Je redécouvre la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Je découvre les propriétés du triangle équilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

 Objectifs  Être capable de déterminer si une figure possède des axes de symétrie.  Savoir tracer le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un angle, d’un cercle.  Être capable de tracer la médiatrice d’un segment et la bissectrice d’un angle uniquement à l’aide d’un compas et d’une droite non graduée.  Connaître les propriétés d’un triangle isocèle, d’un triangle équilatéral.



séance 1 —

Séquence 5

Séance 1 Je découvre la symétrie axiale par l’expérience Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n°5. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école 1- Les deux poissons sont-ils symétriques ?

2- Les deux requins sont-ils symétriques ?

(d)

(d)

a) oui

a) oui

b) non

b) non

3- La fourmi ci-dessous possède-t-elle un axe de symétrie ?

4- Le trombone ci-dessous possède-t-il un axe de symétrie ?

a) oui

a) oui

b) non

b) non

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : « SÉQUENCE 5 : Symétrie axiale ». Prends ensuite une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 1 Dans chacun des trois cas suivants, pose une feuille de papier calque et reproduis exactement les tracés par transparence (n’oublie pas la droite bleue). Ensuite, en pliant chaque feuille de papier calque le long de la droite bleue, tu dois remarquer que sur les trois cas, deux ont quelque chose de particulier. Quelles sont les cas qui ont une particularité ? Qu’ont-ils de particulier ?


153

Séquence 5 — séance 1 cas 1

cas 2

cas 3


Exercice 2 Trace la figure symétrique du bateau par rapport à la droite (d) sur un calque. Pour cela, suis la méthode : 1- On place une feuille de papier calque de telle façon qu’un de ses bords « bien droit » suive la droite. On colle deux morceaux de papier adhésif comme ci-dessous.

2- On repasse les traits du bateau à l’aide d’un crayon (et d’une règle).

(d)

(d)

3- On fait tourner le calque autour de la droite.

(d)

(d)

154



séance 1 —

Séquence 5

Exercice 3 : Méline, Jade et Jules Si on plie la page le long de la droite (d), les tracés des deux feuilles se superposent exactement. - Jade dit : « La feuille 1 est le symétrique de la feuille 2 par rapport à la droite (d) ». - Méline dit : « La feuille 2 est le symétrique de la feuille 1 par rapport à la droite (d) ».

feuille 1 (d)

feuille 2

- Jules dit : « les deux feuilles sont symétriques par rapport à la droite (d) ». Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse.

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu peux décalquer les deux poissons puis coller le papier calque dans ton cahier de cours. Si cela te paraît trop difficile, ne reproduis pas la figure sur ton cahier de cours.

j e retiens

LES BASES Figures symétriques Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si, lorsqu’on plie le long de cette droite (d), elles se superposent exactement. poisson 1 Ici : (d) les deux poissons sont symétriques par rapport à la droite (d). poisson 2 On dit également que : le poisson 1 est le symétrique du poisson 2 par rapport à la droite (d). Le poisson 2 est le symétrique du poisson 1 par rapport à la droite (d). Remarque : Une figure et sa figure symétrique ont donc les mêmes dimensions.

La notion de symétrie par rapport à une droite s’appelle également la symétrie orthogonale ou encore la réflexion. Pourquoi la réflexion ? Regarde la photo ci-contre : la figure 2 est le symétrique de la figure 1 par rapport à la droite (d). D’une certaine façon, on voit que la figure 2 est le reflet (d’où le mot « réflexion ») de la figure 1. Il y a dans la nature de nombreux cas de symétrie par rapport à une droite : pense déjà à toi-même lorsque tu te regardes dans un miroir ! © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

155


Entraîne-toi en effectuant l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 4 Dans chaque cas, les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? a) ............................................................. b) .............................................................

(d)

(d)

c) ............................................................. d) .............................................................

(d)

(d)

Nous allons maintenant effectuer des constructions. Sur ton livret, et avec ton crayon à papier, effectue les deux exercices ci-dessous (n’oublie pas la couleur).

156



séance 1 —

Séquence 5

Exercice 5 Construis la figure symétrique de la figure proposée dans chacun des six cas. a)

b)

(d2 )

(d1 )

c)

d) (d3 )

(d4 )

Pour bien visualiser les deux derniers symétriques, « repasse » leurs tracés en rouge après correction. f) e) (d5 )

(d6 )


157


Exercice 6 1- Construis la figure symétrique de la figure proposée. 2- Que remarques-tu ?

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

(d)

Nous venons de voir ce qu’est le symétrique d’une figure. Voyons maintenant ce qu’est un axe de symétrie. Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Axe de symétrie :

(d)

On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite (d). Ici, le symétrique du papillon par rapport à la droite (d) est lui-même. Chaque « demi-papillon » est le symétrique de l’autre.

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 7 : Méline, Jade et Jules

(d)

- Jade dit : « (d) est un axe de symétrie de cette figure ». - Méline dit : « Je dirais plutôt que la figure est symétrique par rapport à la droite (d) ». - Jules dit : « Ni l’un ni l’autre : cette figure n’est pas symétrique par rapport à la droite (d), et (d) n’est donc pas un axe de symétrie de cette figure. Qui a raison ? Justifie ta réponse.

158



séance 2 —

Séquence 5

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 puis encore par 2, calcule mentalement : 32 x 4

23 x 4 54 x 4 = 216

32 x 4 = 128

54 x 4 23 x 4 = 92

Réponse :

Séance 2 Je trace le symétrique d’un point Nous allons commencer par étudier ce qu’est le symétrique d’un point sur un quadrillage. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 8

(d)

1- Construis la figure symétrique du chat par rapport à la droite (d).

A

2- Marque le point A’ « qui correspond par symétrie par rapport à la droite (d) » au point A. Marque de même le point B’ « qui correspond par symétrie au point B ». Marque enfin le point C’ « qui correspond par symétrie au point C ».

B C

On dit que A’, B’ et C’ sont les symétriques des points A, B et C par rapport à la droite (d).

Effectue ensuite les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 9

(d)

1- Construis les points A’, B’, C’, D’ et E’ symétriques des points A, B, C, D et E par rapport à la droite (d). 2- Que peux-tu dire des symétriques des points situés sur (d) ?

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

A B C D

E


159


Exercice 10 1- Construis les points A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’ symétriques des points A, B, C, D, E, F et G par rapport à la droite (d).

D E

(d)

C

2- Que peux-tu dire des points D et G ?

...............................................................

...............................................................

...............................................................

B

F

A

G

Nous allons maintenant travailler sans quadrillage. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 11 On cherche à trouver une méthode géométrique permettant de construire le symétrique d’un point. 1- Prends une équerre et utilise-la...

Comment sont le segment [AA’] et la droite (d) ? le segment [BB’] et la droite (d) ?

.........................................................

.........................................................

.........................................................

(d)

A E B

2- Prends un compas (ou une règle graduée) et utilise-la...

Que remarques-tu à propos de AE et EA’ ? de BF et FB’ ?

.........................................................

.........................................................

.........................................................

A' F

B'

3- Que semble représenter la droite (d) pour les segment [AA’] et [BB’] ?

.........................................................

.........................................................

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et recopie-le sur ton cahier de cours.

160



séance 2 —

Séquence 5

j e retiens

SYMÉTRIQUES DE FIGURES Symétrique d’un point A Dire que A’ est le symétrique de A par rapport à (d) signifie que : la droite (AA’) est perpendiculaire à (d) et la droite (d) coupe [AA’] en son milieu. Ceci revient à dire que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].

(d)

B

Lis attentivemment ce qui suit et retiens bien cette méthode :


Tracer à l’aide d’une équerre le point A’, symétrique du point A par rapport à la droite (d) (d) A

1- On trace (d’) la 2- On prend la longueur AI 3- On code la figure. comme écartement de perpendiculaire à (d) compas et on trace un arc passant par A. Les droites de cercle coupant (d’) de (d) et (d’) se coupent en I. l’autre côté de I.

(d)

(d) A

A I

(d')

(d)

A I

A' (d')

Remarque : le point A est lui aussi le symétrique du point A’ par rapport à la droite (d).

Effectue les trois exercices ci-après sur ton cahier. Tu utiliseras du papier calque pour reproduire par transparence les figures et effectueras ensuite l’exercice sur ton papier calque (sans le plier). Tu colleras après avoir corrigé par transparence, le papier calque dans ton cahier.


161

Séquence 5 — séance 2 A

Exercice 12

(d)

B

Construis les symétriques de A, B, et C par rapport à la droite (d).

C

Exercice 13

(d2 )

A

(d1 )

Construis le symétrique A’ du point A par rapport à la droite (d1 ). Construire le symétrique B’ du point B par rapport à la droite (d2 ). B

Exercice 14

A Construis A’ le symétrique du point A par rapport à la droite (BC), puis B’ le symétrique de B par rapport à (AC), puis C’ le symétrique de C par rapport à (AB).

C B

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 20 revient à multiplier par 2 puis encore par 10, calcule mentalement : 43 x 20

18 x 20 34 x 20 = 680

43 x 20 = 860

34 x 20 18 x 20 = 360

Réponse :

162



séance 3 —

Séquence 5

Séance 3 Je construis la figure symétrique d’une figure simple Nous allons commencer par étudier ce qu’est le symétrique d’une droite. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 15 1- Place quatre points A, B, C et D sur (d). 2- Construis A’, B’ et C’ et D’ les symétriques de A, B, C et D par rapport à (Δ). Que remarques-tu ?

......................................................................................................................................

3- Trace (d’) la droite passant par A’, B’, C’ et D’. (d) (∆)

I


j e retiens Symétrique d’une droite Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques sont alignés. Ici, les point M, N et K de la droite (d) ont pour symétriques les points M’, N’ et K’ par rapport à la droite delta. Le symétrique d’une droite est une droite. Ici, la droite (d’) est le symétrique de la droite (d) par rapport à la droite (Δ).

(d) M

(∆)

N K'

N'

M'

(d')

K

Effectue les trois exercices suivants sur du papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices après avoir corrigé. Commence par reproduire la figure du livret avant de la compléter. Tu pourras alors corriger ta construction en la superposant à celle du corrigé. © Cned, Mathématiques 6e —

163



Exercice 16 A 1- Construis le symétrique de la droite (AB) par rapport à (∆).

B

( d) 2- Construis le symétrique (d’) de la droite (d) par rapport à (∆).

Exercice 17 Construis dans les trois cas ci-dessous le symétrique (d’) de la droite (d). 1-

2-

(d )

3-

(d )

∆

(d)

∆

∆

(d) // ∆

Exercice 18 En t’aidant d’un seul point autre que A, construis le symétrique (d’) de la droite (d) par rapport à (∆).

164



(∆) A

(d)

Séquence 5

séance 3 —

Tu sais maintenant ce qu’est le symétrique d’une droite et comment le construire. Nous allons maintenant étudier le symétrique d’un segment.

Exercice 19 1- Construis A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’ les symétriques de A, B, C, D, E et F par rapport à (D).

(∆)

Trace la droite (AB) et la droite (A’B’).

2- Complète par ∈ ou ∉ :

C ............... [AB]

C’ . ............ [A’B’]

D ............... [AB]

D’ ............. [A’B’]

E . .............. [AB]

E’ .............. [A’B’]

F ................ [AB]

F’ .............. [A’B’]

G ............... [AB]

G’.............. [A’B’]

A

C

D E

FB

G

3- Si un point M est sur le segment [AB], alors son symétrique M’ .......................................

......................................................................................................................................

4- Marque un point K sur le segment [A’B’] puis construis son symétrique N par rapport à (D). Que remarques-tu ?

......................................................................................................................................


j e retiens

Symétrique d’un segment Le symétrique d’un segment est un segment. Ici, le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (Δ) est le segment [A’B’]. Remarque : Le symétrique de tout point du segment [AB] est donc sur le segment [A’B’].

B

A

(∆) B'

A'


Exercice 20

E

1- Trace les symétriques respectifs des segments [AB], [CD] et [EF] par rapport à la droite (D).

D

A

2- Mesure et compare les longueurs AB et A’B’, CD et C’D’, EF et E’F’. Que remarques-tu ?

.......................................

.......................................

......................................

......................................

......................................

C

B

F


165



Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après.

j e retiens

B

(∆)

A Propriété Si deux segments sont symétriques l’un de l’autre, alors ils ont la même longueur. Ici : A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à la droite (D) donc : AB = A’B’

B'

A'


Exercice 21 : Méline, Jade et Jules Ernest affirme que deux segments de même longueur sont nécessairement symétriques. - Jade dit : « C’est vrai. » - Méline dit : « C’est faux. » - Jules dit : « C’est parfois vrai et parfois faux. » Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse.


Exercice 22 Le point I est le milieu du segment [AB]. 1- Trace le symétrique [A’B’] du segment [AB] par rapport à la droite (D). 2- Construis I’ le symétrique du point I par rapport à la droite (D).

B I

3- Nous allons démontrer que I’ est le milieu de [A’B’]. A a) On sait que : .................................................

D’après la propriété : ..................................... ......................................................................

......................................................................

On conclut : I’ ∈ [A’B’]. b) Le symétrique du segment [AI] est ..........., donc : .............. = ..............

166

Le symétrique du segment [IB] est ..........., donc : .............. = ..............

Or I est . ..................................... donc : AI =.........................................

On a :............. =............... , . .................................. et ..............................................

donc A’ I’ =.........................................

Comme ............................. et que :.......................... , le point I’ est le milieu de [A’B’]. — © Cned, Mathématiques 6e


séance 4 —

Séquence 5


j e retiens

B

Si deux segments sont symétriques l’un de l’autre, alors leurs milieux respectifs sont également symétriques. A Ici : Les segments [AB] et [A’B’] sont symétriques par rapport à la droite (D) donc leurs milieux respectifs I et I’ sont symétriques par rapport à la droite (D) .

(∆)

I

S

S

B' I' A'


Exercice 23 Sur le bout de papier ci-contre, A’ est le symétrique de A par rapport à la droite (d). Sans faire de tracé en dehors de ta feuille, trouve une valeur approchée de la longueur AB. ............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

A'

B

(d)

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 20 revient à multiplier par 10 puis encore par 2, calcule mentalement : 24,7 x 20 12,3 x 20 3,8 x 20 3,8 x 20 = 76

24,7 x 20 = 494

12,3 x 20 = 246

Réponse :

Séance 4 Je construis la figure symétrique d’une figure plus complexe Nous avons vu dans les séances précédentes comment construire le symétrique d’un point, puis d’un segment, sans quadrillage. Nous allons maintenant construire les symétriques de figures plus complexes sans quadrillage : des triangles, ... . La méthode est la même que celle utilisée précédemment, pense que les figures suivantes ne sont que des « ensembles de segments ». Effectue les deux exercices ci-après sur ton livret. © Cned, Mathématiques 6e —

167



Exercice 24 Construis les symétriques des figures suivantes : E

B D

A

C F (∆)

K N L

U

O P

T S

Q

R

M

X Z

Y

Exercice 25 1- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

y x

B

168



A

séance 4 —

Séquence 5

b) Recopie et complète la conjecture suivante : Le symétrique d’une demi-droite est ............................................................................................................................... .

Une conjecture est une supposition, autrement dit, quelquechose qui te semble vrai.

2- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

x

y

t

B

s

C

b) Recopie et complète la conjecture suivante : Le symétrique d’un angle est un ................................. de même ...........................

On admet que les deux conjectures ci-dessus sont toujours vérifiées. Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens Symétrique d’un angle Le symérique d’un angle est un angle de même mesure. Ici : ∑ et ∑ x ' A y' sont symétriques par rapport Les angles xAy ∑y = x∑ à la droite (Δ) donc xA ' A ' y'

x y

(∆) y'

A A' x'

Nous allons maintenant étudier ce que peut-être le symétrique d’un cercle. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 1- Construis A’, B’, C’, D’, E’ et F’ les symétriques de A, B, C, D, E et F par rapport à (D). 2- Les points A’, B’, C’, D’, E’ et F’ semblent appartenir à un ...............................................

..................................................................................................................................... © Cned, Mathématiques 6e —

169



C

B 3- Construis O’ le symétrique de O par rapport à (D).

C

O’A’ = ...................... car les segments .....................

et ..................... sont symétriques.

4- Trace C ’ le cercle de centre O’ qui passe par A’.

A

F

D

5- Conjecture : le symétrique du cercle C est le cercle ............................ de centre ............................ et de même .............................

E

Prends ton cahier d’exercices et recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

C

Symétrique d’un cercle

A O

Le symérique d’un cercle est un cercle de même rayon. Son centre est le symétrique du centre du cercle initial. Ici : Le cercle C ’de centre O’ et de rayon O’A’ est le symétrique par rapport à la droite (∆), du cercle C de centre O et de rayon OA. On a donc : O’A’ = OA.

r

(∆)

O'

Exercice 27 Construis les symétriques des figures suivantes : b)

(∆)

170



A'

C'


a)

r

(∆)

séance 5 —

Séquence 5

c)

d) (∆) (∆)

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 30 revient à multiplier par 10 puis encore par 3, calcule mentalement : 5,2 x 30

4,1 x 30 3,6 x 30 = 108

5,2 x 30 = 156

3,6 x 30 4,1 x 30 = 123

Réponse :

Séance 5 Je reconnais des axes de symétrie Nous allons commencer par rappeler la notion d’axe de symétrie vue à la fin de la séance 1. On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite (d).

(d)

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 28 Les figures suivantes admettent parfois plusieurs axes de symétrie (parfois aucun). Trace-les tous !


171



Exercice 29 Les figures suivantes admettent des axes de symétrie. Trace-les tous !

Nous allons étudier la médiatrice d’un segment du point de vue de la symétrie axiale. Commence par faire l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 30 1- Trace A’ le symétrique du point A par rapport à la droite (d). 2- Justifie pourquoi (d) est la médiatrice de [AA’].

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

3- Quels sont les deux axes de symétrie du segment [AA’] ?

..........................................................................................

4- Trace ces axes de couleurs différentes.

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après. 172



(d)

A

séance 5 —

Séquence 5

j e retiens

(d)

MÉDIATRICE Axes de symétrie d’un segment

A

Un segment [AB] possède deux axes de symétrie : • la droite (AB) elle-même et • la médiatrice du segment [AB].

B

Nous allons maintenant aborder une propriété très importante de la médiatrice. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 31 La droite (d) désignant la médiatrice d’un segment [AB], nous cherchons à répondre à la question suivante : « Si l’on place un point n’importe où sur (d), sa distance à A est-elle toujours égale à sa distance à B ? ». 1- Place sur la droite (d) un point I qui n’appartient pas à [AB]. 2- Quel est le symétrique du point I par rapport à (d) ? Pourquoi ?

..........................................................................................

3- Quel est le symétrique du segment [AI] ?

(d)

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................

B A

4- Compare AI et BI. Justifie ta réponse.

..........................................................................................

..........................................................................................

5- Place un point J sur (d) qui n’appartient pas à [AB]. Compare AJ et BJ. Justifie ta réponse.

..........................................................................................

..........................................................................................

6- Tu viens de montrer que si M ∈ (d) alors :

............... = ............... .


173




Exercice 32 M

Nous cherchons à répondre à la question suivante : si l’on place un point à égale distance de A et de B, se trouve-t-il sur la médiatrice de [AB] ? On a pris un écartement de compas au hasard et on a tracé un arc de cercle de centre A, puis sans changer d’écartement, un arc de cercle de centre B (tracé bleu). Les deux arcs se coupent en un point M.

B A N

On a ensuite changé d’écartement de compas. On a enfin tracé avec ce nouvel écartement un arc de cercle de centre A puis un arc de cercle de centre B (tracé vert). Les deux arcs se coupent en un point N. 1- Trace la droite (MN). Que remarques-tu concernant (MN) ?

2- Place sur la figure à l’aide d’un compas un point O à égale distance de A et de B. Que remarques-tu ? 3- Conjecture : Si un point K est tel que KA = KB, alors K est .............................................. ........................................................ du segment ......................................................... .

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

M

Propriété caractéristique de la médiatrice • Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB], alors on a : MA = MB. ou encore : Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB], alors M est équidistant de A et de B.

B A N

• Si un point M vérifie : MA = MB, alors M est sur la médiatrice du segment [AB]. ou encore : Si un point M est équidistant de A et de B, alors M est sur la médiatrice d’un segment [AB]. Remarque : « équidistant » veut dire « à la même distance »


Exercice 33 : Méline, Jade et Jules Voici un énoncé d’exercice : « Trois points K , A et R sont tels que KA = KR. Que peux-tu en conclure ? » - Jade dit : « C’est facile ! Cela signifie que le point K est le milieu du segment [AR]. » - Méline dit : « Mais non ! Cela signifie que le triangle KAR est isocèle en K. » - Jules dit : « Cela signifie tout simplement que le point K est sur la médiatrice du segment [AR]. » Qui a raison ? Justifie ta réponse.

174



séance 5 —

Séquence 5

Voici la méthode géométrique permettant de tracer la médiatrice d’un segment au compas. Cette méthode découle de la propriété précédente. Cette construction est plus précise que celle utilisant l’équerre : dorénavant tu devras l’utiliser. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et retiens-le.


Construire avec un compas la médiatrice (d) du segment [AB]

B A

3- On trace la droite passant par les deux points, on la nomme (d) , et on code la figure.

1-On choisit un écartement 2- On fait à nouveau ce que l’on a déja fait dans de compas quelconque l’étape précédente. Tu et on trace deux arcs de peux garder le même cercle de même rayon, écartement de compas. l’un de centre A et l’autre de centre B.

(d) B

B

A

A B A

Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie les figures par transparence. Une fois la figure corrigée, tu colleras la vignette de papier calque dans ton cahier.

Exercice 34 Trace les médiatrices des trois segments ci-dessous. D A

B C

F E

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie la figure par transparence. Tu colleras cette vignette de papier calque à côté de tes réponses une fois que tu auras corrigé. © Cned, Mathématiques 6e —

175



A

Exercice 35 1- Trace (d) la médiatrice du segment [AB]. 2- Trace (d’) la médiatrice du segment [BC].

B 3- On nomme I le point d’intersection de (d) et de (d’).

C

a) Démontre que IA = IB en recopiant le texte ci-dessous et en complétant les pointillés :

On sait que : la droite (d) est la ......................................................... du segment . ............................................ .

Comme le point I est sur (d), on a :.................... .

b) Démontre que IB = IC en rédigeant comme précédemment. c) Trace le cercle de centre I passant par A. Que remarques-tu ? Prouve-le.

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis diviser par 2, calcule mentalement : 22 x 5 8,6 x 5 16 x 5 16 x 5 = 80

22 x 5 = 110

8,6 x 5 = 43

Réponse :

Séance 6 J’utilise les propriétés de la médiatrice Nous allons durant cette séance apprendre à utiliser les propriétés de la médiatrice. Commence par effectuer l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 36

E

On cherche à placer un point X tel que : • X est équidistant de E et de F

B

• X est à 2,5 cm de B. 1- X est équidistant de E et de F donc X se trouve

sur ................................................................

Trace-la.

2- X est à 2,5 cm de B donc X se trouve

sur ................................................................

3- Combien y-a-t-il de solution(s) au problème ? Place-les sur la figure.

176



F

séance 6 —

Séquence 5


Exercice 37 Trace un cercle C de centre I et de rayon 3 cm. Place deux points K et L sur le cercle et trace la corde [KL]. Trace le triangle KLM isocèle en M et tel que ML = 7 cm. Nous cherchons à démontrer que la droite (IM) est la médiatrice du segment [KL]. 1- Compare IK et IL. 2- Compare MK et ML. 3- Recopie le texte ci-dessous et complète les pointillés : Comme les longueurs IK et IL sont ............................ , le point I est donc sur ..................... ........................................................................................................................................... Comme les longueurs MK et ML sont ............................ , le point M est donc sur ............... ......................................................................................................................................... . La droite ............................ est donc la médiatrice de............................ .

Tu vas découvrir dans cet exercice une méthode géométrique permettant de placer le milieu de n’importe quel segment. Il faudra retenir cette méthode et l’appliquer dorénavant lorsqu’on te demandera de placer le milieu d’un segment.

A

Exercice 38

B

1- Trace la médiatrice du segment [AB]. 2- Place le milieu I du segment [AB]. Tu viens de découvrir une méthode permettant de placer le milieu d’un segment sans avoir à le mesurer. 3- Applique cette méthode pour placer le milieu J du segment [CD] ci-contre. Rédige le programme de ta construction.

C D

Prends ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et reproduis la figure proposée. Effectue tes constructions sur le papier et calque. Corrige ensuite ta figure en la superposant au corrigé puis colle-la dans ton cahier d’exercices. E

Exercice 39 1- Construis au compas le milieu I du segment [EF]. 2- Construis au compas le milieu J du segment [EG]. 3- Que remarques-tu à propos de la droite (IJ) ? F G © Cned, Mathématiques 6e —

177



Tu vas maintenant découvrir une autre méthode, basée sur la médiatrice, qui permet de construire le symétrique d’un point uniquement à l’aide d’un compas. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 40 dans cet exercice nous allons apprendre une méthode permettant de construire le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas. 1- Place deux points E et F sur la droite (d).

(Indication : E et F doivent être suffisamment éloignés l’un de l’autre pour la précision de ta construction). A 2- A et A’ doivent être symétriques par rapport à la droite (d). (d) est donc la ………….........…...… du …………....…........ [AA’].

(d)

3- E est sur la médiatrice du segment [AA’].

On a donc : …………......... = ………….........…...… .

Trace le cercle C de centre E et de rayon EA.

On a : A’…………..C .

4- F est sur la médiatrice du segment [AA’].

On a donc : …………......... = ………….........…...… .

Trace le cercle C ’de centre F et de rayon FA.

On a : A’…………..C ’.

5- Comme : A’…………..C et A’…………..C ’, A’ est le deuxième point d’intersection

de ........................ et ............................


Construire le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas

(d) 1- On choisit un écartement de compas quelconque et on trace un arc de cercle qui coupe la droite (d) en deux points.

(d)

178

A



A

2- On pointe le compas 3- On pointe le compas sur sur un des deux points l’autre point d’intersection de d’intersection de l’arc et l’arc et de la droite. On trace de la droite. On trace un un nouvel arc de cercle nouvel arc de cercle (on garde le même écartement) (il faut conserver le même écartement)

(d)

A

(d)

A

séance 6 —

Séquence 5

4- Le point A’, symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point d’intersection des

deux arcs.

A'

(d)

A

Exercice 41 : Méline, Jade et Jules 1- Reproduis la figure sur du papier calque puis construis au compas le symétrique B du point A par rapport à la droite (d1). Construis ensuite au compas le symétrique C du point B par rapport à la droite (d2). Construis ensuite au compas le symétrique D du point C par rapport à la droite (d1). Construis enfin au compas le symétrique E du point D par rapport à la droite (d2).

A

(d2 )

2- - Jade dit : « Les points E et A semblent confondus ».

(d1 )

- Méline dit : « Non ! Les points E et A ne sont pas confondus ». - Jules dit « On ne peut pas construire le point E ». Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.

Voici pour finir cette séance un exercice plus difficile. Prends ton cahier d’exercices et effectue-le. C

Exercice 42

(d')

(d)

1- a) Démontre que : IA = IC. b) Démontre que : IB = IC. c) À l’aide des deux questions précédentes, compare IA et IB. 2- À l’aide d’un raisonnement similaire à celui de la question 1-, compare JA et JB

I B

A J

3- Démontre que la droite (IJ) est perpendiculaire à (AB). D © Cned, Mathématiques 6e —

179



Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2, calcule mentalement : 64 x 50

2,4 x 50 28 x 50 = 1 400

28 x 50

64 x 50 = 3 200

2,4 x 50 = 120

Réponse :

Séance 7 J’étudie les axes de symétrie des triangles Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 43 Indique sous chaque figure combien elle a d’axes de symétrie. Lorsqu’elle en a, trace-les tous. A

F

G

D

C H B J

E

I

M

K

KJ = JL = KL

L

N

O

Nous allons maintenant approfondir l’étude des axes de symétrie du triangle isocèle. Effectue l’exercice suivant sur ton livret. 180



Séquence 5

séance 7 —

Exercice 44 A

Le triangle ABC est isocèle en A. Code la figure. 1- Trace (d) la médiatrice de [BC]. Que remarques-tu ?

..........................................................................................

2- AB = ........... car le triangle ABC est ...................... en ........... 3- Comme ............... = ................, le point A est sur .................. .................................................................. .

Note I le milieu de [BC].

C

B

4- • le symétrique de B par rapport à la droite (d) est ................. . • le symétrique de A par rapport à la droite (d) est ................. .

• le symétrique de I par rapport à la droite (d) est .................. . ∑ est donc l’angle.............................. . Le symétrique de l’angle BAI

Comme un angle et son symétrique ont ........................................................................ ,

on a : .......................................... . Code la figure.

∑. Par suite, (d) est .............................................................de BAC ABC est l’angle ................... . 5- De même, le symétrique de l’angle ∑

Comme un angle et son symétrique ont ........................................................................ ,

on a :

................................ . Code la figure.


j e retiens TRIANGLE ISOCÈLE Propriété 1 A Si un triangle ABC est isocèle en A, alors : • on a : ∑ ABC = ∑ ACB • la médiatrice du côté [BC] est un axe de symétrie du triangle. ∑. C’est également la bissectrice de l’angle BAC Vocabulaire : Dans le triangle ABC isocèle en A : • le point A est appelé sommet principal B • le côté [BC] s’appelle la base ∑ ABCet= ∑ ACB s’appellent les angles à la base : ils sont égaux. ABC • les angles ∑

C

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-après.


181



Exercice 45 Trace un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Place deux points A et B sur ce cercle ∑ = 40° et trace la corde [AB]. tels que OAB 1- Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie ta réponse. ∑ . Justifie ta réponse. Vérifie ensuite ta réponse en mesurant sur ta figure. 2- Détermine OBA

Exercice 46 : Méline, Jade et Jules

Il faut tracer un triangle ABC isocèle en A tel que ∑ ABC = 52° et BC = 5,2 cm. 1- Trace uniquement une figure à main levée et code-la. - Jade dit : « C’est impossible parce nous n’avons pas les mesures des côtés [AB] et [AC]. » - Méline dit : « Mais si, c’est possible ! » - Jules dit : « Ce n’est pas à cause des mesures des côtés que c’est impossible, c’est à cause des mesures des angles. » Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse. 2- Construis un triangle ABC répondant à l’énoncé avec tes instruments de géométrie.


Exercice 47 On a représenté ci-contre un triangle ABC isocèle en A sur un petit papier qui malheureusement s’est déchiré. ∑ Trace la bissectrice de l’angle BAC (sans compléter le tracé du triangle). Justifie ta construction.

B

C

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier.

Exercice 48 : Méline, Jade et Jules 1- Trace avec tes instruments le triangle EDF tel que : ∑ = FD ∑E = 54° FED et DE = 4,6 cm. 2- - Jade dit : « Le triangle EDF est isocèle en E. » - Méline dit : « Non ! Il est isocèle en D. » - Jules dit : « Mais non ! Il est isocèle en F. » Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.

182



séance 8 —

Séquence 5

Enfin, voici une dernière propriété que nous allons admettre. Elle permet de démontrer qu’un triangle est isocèle à l’aide de ses angles. Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Propriété 2 Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.

Exercice 49

E

Les points A, B et C sont alignés.

140˚

Démontre que le triangle EBC est isocèle. A

40˚

B

C

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 500 revient à multiplier par 1 000 puis diviser par 2, calcule mentalement : 88 x 500

7,8 x 500 32 x 500 = 16 000

32 x 500

88 x 500 = 44 000

7,8 x 500 = 3 900

Réponse :

Séance 8 Je redécouvre la bissectrice Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 50 1- À l’aide d’un papier calque, reproduis par transparence l’angle ci-contre. Plie ensuite cette feuille de papier calque de telle sorte que les demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident exactement.

x

x

xy

y O

y O

O © Cned, Mathématiques 6e —

183



2- Déplie le papier calque, trace le « trait de pliage ». ∑ ? 3- Que représente ce trait pour xOy


j e retiens

BISSECTRICE Axe de symétrie d’un angle L’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice. Remarque : Jusqu’à maintenant, la bissectrice avait désigné une demi-droite. En fait, le terme de bissectrice peut désigner également une droite : c’est le cas ici. Ici : ∑ est la droite (d), sa bissectrice. L’axe de symétrie de l’angle xOy

x

(d) O y


Exercice 51 1- Place un point A sur la demi-droite [Ox) et un point B sur la demi-droite [Oy) tels que : OA = OB.

x

2- Trace le segment [AB]. Que peux-tu dire du triangle OAB ?

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

3- Trace la médiatrice du segment [AB]. Que sais-tu également de cette médiatrice ? Justifie.

.............................................................................

.............................................................................

.............................................................................


184



O

y

séance 8 —


Séquence 5

x

∑ à l’aide d’un compas Trace la bissectrice de l’angle xOy

y

O 1- On prend un écartement de compas quelconque et on trace un arc de cercle de centre O qui coupe les deux demidroites [Ox) et [Oy) en deux points

2- On prend un nouvel écartement de compas (mais on peut aussi garder le même) et on trace un arc de cercle de centre A.

x

x

A A B

O

y

3- On garde le même écartement que précédemment et on trace un arc de cercle de centre B qui coupe le précédent.

B

O

4- On trace la droite passant par O et le point d’intersection des deux arcs : ∑. c’est la bissectrice de l’angle xOy On code la figure. Justifications : dans le triangle AOB isocèle en O, la droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. C’est aussi AOB. la bissectrice de l’angle ∑

x

x

A

O

y

(d)

A

B

y

O

B

y

Remarque : pour construire (d), il est inutile de nommer A et B sur la figure (ici, ils sont nommés uniquement pour que tu comprennes mieux les explications).

Dorénavant, tu utiliseras toujours cette méthode pour construire une bissectrice. Prends une feuille de papier calque, reproduis par transparence les angles ci-dessous et effectue l’exercice.


185



Exercice 52 Trace la bissectrice de chacun des trois angles ci-dessous. t

x

A

B y

s

D

E

C

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant.

Exercice 53 1- Trace un triangle EFG tel que : EF = 11 cm ; EG = 7 cm et GF = 5 cm. ∑ ∑ F , la bissectrice (d2) de l’angle EFG 2- Trace la bissectrice (d1) de l’angle EG ∑. et la bissectrice (d ) de l’angle FEG 3

3- Que remarques-tu ?

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, calcule mentalement : 64 x 0,5

98 x 0,5 46 x 0,5 = 23

64 x 0,5 = 32

46 x 0,5 98 x 0,5 = 49

Réponse :

Séance 9 Je découvre les propriétés du triangle équilatéral Commençons par rappeler qu’un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Nous allons dans cette séance étudier de plus près les triangles équilatéraux. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. 186



séance 9 —

Séquence 5

Exercice 54 Ci-dessous, le même triangle équilatéral ABC est représenté 3 fois.

B

1

2

3

A

A

A

C

B

C

B

C

1- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en A. Par suite, ∑ ABC = ......... .

Trace sur la figure 1 l’axe de symétrie passant par A en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle .................... . Code-le sur la figure. ACB = . ....... . 2- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en B. Par suite, ∑

Trace sur la figure 2 l’axe de symétrie passant par B en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ............... . Code-le sur la figure.

3- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l’axe de symétrie passant par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ..................... Code-le sur la figure. ACB = ......... . 4- D’après le1) et le 2), on a : ∑ ABC = ......... et ∑

Par suite, ............ = ...............= ................ les angles .................... , .................... et .................... du triangle équilatéral ont même mesure.

Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles .................... chacun des trois angles, les six angles codés dans les figures 1,2 et 3 ont tous .................. .......................

5- Trace maintenant sur la figure ci-dessous les axes de symétrie et code les angles égaux. A

B

C

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après.


187



j e retiens

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL Propriété Si un triangle ABC est équilatéral, alors : A

B

A

B

C

• Ses trois angles sont égaux.

C

• Les médiatrices des trois côtés sont les trois axes de symétrie du triangle. Ce sont également les bissectrices des trois angles.


Exercice 55 1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que EF = 6 cm. 2- Trace la médiatrice (d) du segment [EF]. 3- Construis un point M sur (d) tel que EM = EF. ∑ ∑ ∑ 4- Démontre que : EM F = MEF = MFE

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental : Sachant que multiplier par 11 revient à multiplier par 10 et à ajouter le nombre que l’on multiplie, calcule mentalement : 2,8 x 11

26 x 11 12 x 11 = 132

2,8 x 11 = 30,8

12 x 11 26 x 11 = 286

Réponse :

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses. Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses proposées sont justes.

188



séance 9 —

j e m’évalue

1- Les deux figures ci-dessous semblent-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? ® OUI

(d)

Séquence 5

2- Les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite (d) ? (d)

® OUI ® NON

® NON

3- Dire que B’ est le symétrique de B par 4- Le symétrique d’un angle est : rapport à la droite (d) revient à dire que :

® B et B’ sont symétriques par rapport à la droite (d)

® un angle

® (d)

® un triangle

® B et B’ sont sur la droite (d) ® B est le symétrique de B’ par rapport

® un angle de mesure différente ® un angle de même mesure

est la médiatrice du segment [BB’]

à la droite (d)

5- Combien la figure ci-dessous a-t-elle d’axes de symétrie ?

® 6 ® 12 ® 4 ® aucun 7- On a LH = LR. Le point L est donc :

® sur le segment [HR] ® sur le cercle de centre H passant par R ® sur le cercle de centre R passant par H ® sur la médiatrice du segment [HR] 9-Le triangle HER possède deux angles égaux. Ce triangle est donc :

® rectangle en H ® rectangle isocèle ® équilatéral ® isocèle

6- Le point M est sur la médiatrice du segment [KL], on a donc :

® KM = KL ® KM = ML ® MK = ML ® LM = KL 8- L’axe de symétrie d’un triangle FJI isocèle en F est : ∑J ® la bissectrice de l’angle FI ∑ ® la bissectrice de l’angle FJI ® la médiatrice du segment [IJ] ∑J ® la bissectrice de l’angle IF 10- Un angle admet un axe de symétrie qui est :

® parallèle à un de ses côtés ® perpendiculaire à un de ses côtés ® sa bissectrice ® confondu avec un de ses côtés


189


Sommaire de la séquence 6  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Je résous des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 J’effectue des divisions euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 J’effectue des petits problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Je découvre la divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Je découvre les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 J’utilise les critères de divisibilité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Je travaille avec les durées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 J’effectue des problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

 Objectifs  Connaître le vocabulaire de la division euclidienne.  Savoir effectuer une division euclidienne.  Connaître parfaitement les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, et 9.  Savoir résoudre des problèmes à l’aide de divisions euclidiennes.



séance 1 —

Séquence 6

Séance 1 Je résous des problèmes Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 6. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école 1- Hugo possède 25 billes. Il veut les partager équitablement entre ses quatre amis. Combien de billes va-t-il donner à chacun ?

2- Combien de billes reste-t-il à Hugo après avoir partagé ses 25 billes entre ses quatre amis ?

a) 5

a) 0

b) 1

b) 1

c) 4

c) 2

d) 6

d) 3

3- Parmi les nombres suivants, lequel est un multiple de 5 ?

4- La semaine dernière, le prix du baril de pétrole était de 50 euros. Depuis, il a augmenté de 5 euros puis baissé de 3 euros. Quel est son nouveau prix ?

a) 23

a) 13 euros

b) 30

b) 52 euros

c) 24

c) 15 euros

d) 501

d) 10 euros

Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : « SÉQUENCE 6 : DIVISION EUCLIDIENNE » . Il existe deux types de divisions : la division décimale (ou encore division à virgule) et la division euclidienne. Nous allons dans cette séquence étudier la division euclidienne ; la division décimale sera vue plus tard dans l’année. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 1 : « Combien de fois … ? » a) Un album de BD coûte 8 €. Caroline en achète un par semaine. Combien en a-t-elle acheté lorsqu’elle constate qu’elle a déjà dépensé 56 € ?

.....................................................................................................................................

b) Le chemin qui entoure le hameau où vit Charlotte est long de 9 km. À la fin de la semaine, elle a parcouru, au total, 63 km. Combien de fois a-t-elle fait le tour du hameau ?

.....................................................................................................................................


191


Prends ton cahier de cours et écris soigneusement le paragraphe suivant.

j e retiens

LES BASES La notion de multiple : 56 s’écrit 7 x 8. On dit que 56 est un multiple de 7.

Remarques : • Comme 56 s’écrit 8 x 7, on peut aussi dire que 56 est un multiple de 8. • Les multiples de 7 s’écrivent 7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ; ... (c’est « la table de 7 »).


Exercice 2 : « Combien de fois … ? » Le fleuriste, Alfred, compose des bouquets de 7 roses. Nous cherchons à savoir le nombre maximum de bouquets qu’il pourra confectionner avec 60 roses. 1- Écris les 11 premiers multiples de 7 ................................................................................

.....................................................................................................................................

2- On cherche à « approcher sans dépasser » 60 par le plus grand multiple de 7. Complète si tu le peux les 10 égalités ci-dessous : 60 = (7 x 1) + . ............................

60 = (7 x 6) + . ............................

60 = (7 x 2) + . ............................

60 = (7 x 7) + . ............................

60 = (7 x 3) + . ............................

60 = (7 x 8) + . ............................

60 = (7 x 4) + . ............................

60 = (7 x 9) + . ............................

60 = (7 x 5) + . ............................

60 = (7 x 10) + ............................

3- Quel nombre de bouquets Alfred peut-il confectionner avec 60 roses ? ............................

Entoure l’égalité te permettant de répondre à cette question.

Exercice 3 : « Combien de fois … ? » En utilisant une méthode similaire à celle vue dans l’exercice précédent, réponds aux questions suivantes : a) On range les 39 enfants d’une colonie de vacances par groupes de 4. • Combien peut-il y avoir de groupes au maximum ? ..................................................... • Comme dans le 3) de l’exercice 2, écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse : .................................................................................................................................. b) • Quel nombre maximun de douzaines d’huîtres peut constituer un pêcheur ayant pêché 90 huîtres ?(une douzaine, c’est douze huîtres) ........................................................................ • Comme dans le a), écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :

192

................................................................................................................................. — © Cned, Mathématiques 6e


séance 1 —

Séquence 6

c) Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par paquets de 17. Aujourd’hui, elle a produit 664 bougies. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut vendre ? Utilise ta calculatrice !.............................................................................................. • Comme dans le a), écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :

..................................................................................................................................

Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

La division euclidienne : l’égalité suivante traduit la division euclidienne de 60 par 7 :

60 = ( 7 x 8 ) + 4 dividende

diviseur

quotient euclidien

res estee

Important : le reste est toujours plus petit que le diviseur (ici : 4 < 7 ).

Effectue sur ton livret les 3 exercices ci-dessous.

Exercice 4 a) Complète avec les mots « petit », « quotient euclidien », « dividende », « diviseur » et « reste » :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................

où le reste est plus ............................. que le diviseur.

b) Une division euclidienne a pour diviseur 5, pour quotient euclidien 7 et pour reste 4. Complète :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................

Son dividende est ............................. .

c) Une division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9 et pour quotient euclidien 7. Complète :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ......................

Son reste est ............................. .

Exercice 5 Une division euclidienne a pour diviseur 4. Quels sont les restes possibles ? ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................


193


Exercice 6 Voici une égalité :

375 = ( 21 x 17 ) + 18

Sans faire aucun calcul, réponds aux deux questions suivantes : 1- Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21?

.....................................................................................................................................

2- a) Est-ce que 18 est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ?

..................................................................................................................................... b) Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ?

.....................................................................................................................................

Voici pour finir cette séance un exercice que tu vas effectuer directement sur ton livret.

Exercice 7 : « Combien de fois … ? » Pour confectionner les costumes de ses élèves pour un gala de danse, Éléonore a commandé 98 m de tissu indien bleu. Pour chaque costume, il faut 3 m. Combien de costumes pourra-t-elle coudre ?.................................... a) Un des amis d’Eléonore, Jules, propose de chercher en faisant uniquement des multiplications et des additions (comme dans l’exercice 2). Combien de costumes pourra-t-elle coudre ?

Écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :

............................. = ( ............................. x .............................) + ......................... .

b) Une autre amie, Ludivine, pose une division.

Ludivine trouve ............................ costumes.

Il restera alors ................................. de tissu.

Pose la division

c) Quelle est la méthode qui te paraît la plus rapide et la plus efficace ? ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

194



séance 2 —

Séquence 6

Séance 2 J’effectue des divisions euclidiennes Commençons par définir ce que veut dire : « effectuer une division euclidienne ». Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

Effectuer une division euclidienne : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un entier (différent de 0), c’est trouver deux nombres appelés « reste » et « diviseur » tels que : dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur. La meilleure méthode pour les déterminer est de poser et d’effectuer la division euclidienne.

C’est depuis le milieu du XXe siècle, qu’en l’honneur du grand mathématicien grec Euclide, on a décidé d’appeler «division euclidienne» une division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers. Euclide a vécu au IIIe siècle avant Jésus-Christ. Il est surtout célèbre pour ses travaux en géométrie. Voici comment on pose une division euclidienne. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.


Poser et effectuer la division euclidienne de 598 par 7

1-

5 9 8

7

5 9 8 5 6

diviseur

? ?

4-

3-

2-

dividende

7 8

5 9 8 - 5 6 3 8

7 8

quotient euclidien

5 9 8 - 5 6 3 8 3 5

7 8 5

res estee

Je pose la division

5-

5 9 8 - 5 6 3 8 - 3 5 3

7 8 5

Comme 7 est plus grand que 5, je me pose la question : « En 59, combien a-t-on de fois 7 ? Réponse : 8 fois car 8 x 7 = 56 et 8 x 8 = 64 J’écris 56.

6-

5 9 8 - 5 6 3 8 - 3 5 3

7 8 5 quotient euclidien

restee

J’effectue 38 moins 35. Il reste 3. Il n’y a plus de chiffre de 598 à abaisser. on « arrête » la division.

J’ai donc trouvé : • le quotient : 85 • le reste : 3.

J’effectue 59 moins 56. Il reste 3. J’« abaisse » le 8.

Je me pose la question : « En 38 combien a-t-on de fois 7 ? » Réponse : 5 fois car 5 x 7 = 35 et 6 x 7 = 42. J’écris 35.

7- Vérification : ( 7 x 8 5 ) + 3 = 595 + 3 = 5 9 8 Cette égalité est ce que l’on appelle l’écriture en ligne de la division euclidienne. Je calcule (7 x 85 )+ 3 Je vérifie que : (7 x 85 )+ 3 = 598


195



Exercice 8 Effectue les divisions ci-dessous en remplissant chaque case par un chiffre.

8 0 7 5

-

9

-

3 6 3 5

4

-

5 1 4 7

3

7

4

-

-

5

5

7

-

-

1 2

-


Exercice 9 Effectue les divisions euclidiennes suivantes : a) 726 par 31

b) 937 par 45

c) 4 017 par 13

d) 3 095 par 19

Écris la preuve.Vérifie cette preuve à l’aide de la calculatrice.

Dorénavant, tu n’écriras plus les soustractions intermédiaires de tes divisions, comme cela est fait dans l’exercice suivant. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.

Exercice 10 Effectue la division euclidienne de 1 335 par 16 (n’écris plus les soustractions intermédiaires !).

Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 11 opération de Ludivine

7 5 3

4 5 4

1 6

5

1 8 4

1 8

3

196

opération de Pauline

3

4

4 5

0

4 5 1

1

1 7 2

2

opération de Léonie

8

0

1

5

2

2

1

1

8

5

1

1

2

9

2

7

6



séance 2 —

Séquence 6

1- Écris les preuves des trois divisions ci-dessous. Écris « faux » sous les divisions fausses. ......................................... ......................................... ......................................... 2- Corrige en rouge sur ton livret la (ou les) divisions fausses.

Certaines calculatrices permettent d’obtenir directement le quotient et le reste d’une division euclidienne. Reporte-toi aux pages calculatrices en fin de livret.

Pour finir cette deuxième séance, effectue l’exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 12 Effectue les divisions « à trous » suivantes : a) 4

9 4

7 6

b)

4 7 4

8

Séance 3 J’effectue des petits problèmes Effectue les cinq problèmes ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 13 Lors du tournoi de football du collège, on répartit l’ensemble des 6e, soit 124 élèves, en équipes de 7 élèves. Combien y aura-t-il d’équipes ? Combien d’élèves seront des « remplaçants » ?

Exercice 14 : « Combien de fois … ? » Monsieur Ketch doit transporter une cargaison de 1 235 kg de tomates au marché ! En un trajet, il ne peut transporter que 28 kg de tomates car il n’a pas beaucoup de place dans sa camionnette. Combien va-t-il faire de trajets au total ? Quelle masse de tomates tranportera-t-il lors de son dernier trajet ?


197


Exercice 15 Les bouteilles d’eau d’une certaine marque se vendent par pack de 6. L’entreprise qui vend ces packs a produit aujourd’hui 4 578 bouteilles. Combien de packs d’eau peut-elle constituer ? Combien restera-t-il de bouteilles d’eau ?

Exercice 16 Louis voudrait graver sur des CD audio les 180 morceaux de musique stockés sur son ordinateur. Le temps de musique à enregistrer est donné par son logiciel : 922 minutes ! Sachant qu’un CD audio permet d’enregistrer 79 minutes de musique, combien de CD audio vierges Louis devra-t-il acheter ? Quel temps de musique sera enregistré sur son dernier CD ?

Exercice 17 Aujourd’hui, nous sommes un mercredi. Quel jour serons-nous dans 1 000 jours ?

Séance 4 Je découvre la divisibilité Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 18 1- Quel est le reste de la division euclidienne de 564 par 12 ? Dans ce cas, on dit que : • 564 est un multiple de 12 • 12 est un diviseur de 564 • 564 est divisible par 12 2- Effectue 94 x 6, puis déduis de ton calcul deux diviseurs de 564. 3- a) Effectue la division euclidienne de 564 par 23. b) Quel est le diviseur de cette division euclidienne ? c) 23 est-il un diviseur de 564 ? Justifie ta réponse.

198



séance 4 —

Séquence 6

Tu viens de voir sur un exemple la notion de diviseur et celle de nombre « divisible par ». Recopie le paragraphe ci-dessous.

j e retiens DIVISIBILITE La notion de divisibilité : On effectue la division euclidienne de 189 par 7. Le reste de la division euclidienne de 189 par 7 est égal à 0. Dans ce cas on dit que : • 189 est un multiple de 7 • 189 est divisible par 7 • 7 est un diviseur de 189

1 8 9 4 9 0

7 2 7

Attention !

Comme tu l’as vu dans l’exercice 18, il ne faut pas confondre un diviseur d’un nombre et le diviseur d’une division euclidienne.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices suivants.

Exercice 19 1- Effectue les divisions euclidiennes suivantes : a) 396 par 6

b) 102 par 17

c) 713 par 31

2- Recopie et complète les phrases suivantes par « multiple » ou « diviseur » a) 102 est un ................................. de 6. b) 31 est un ................................... de 713. c) 6 est un ..................................... de 396 et de 102. d) 66 est un ................................... de 396. e) 713 est un ................................. de 23 et 31.

Exercice 20 1- Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont multiples de 6 ? 12

45

54

61

6 666

2- 56 est-il divisible par 7 ; 9 ; 28 ou 112 ? 3- Parmi les nombres suivants lesquels admettent 7 comme diviseur : 57

63

707

73

140 © Cned, Mathématiques 6e —


199


Exercice 21 1- a) Écris les onze premiers multiples de 12 (n’oublie pas 0 !). b) Comment passe-t-on d’un multiple de 12 à son suivant ? 2- Écris tous les multiples de 17 compris entre 101 et 174.

Tu justifieras chacune de tes réponses.

Exercice 22 1- Détermine les quinze premiers multiples de 6. 2- Détermine les dix premiers multiples de 15. 3- Détermine le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0.

Séance 5 Je découvre les critères de divisibilité Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 23 1- Pour une kermesse, un premier chocolatier dispose de 970 chocolats et les place dans le maximum de petits sacs contenant chacun deux chocolats. Une fois qu’il les aura tous répartis, lui restera-t-il un chocolat ? 2- Un deuxième chocolatier dispose également de 970 chocolats et les place dans le maximum de petits sacs contenant chacun cinq chocolats. Une fois qu’ils les aura tous répartis, combien lui restera-t-il de chocolats ?

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit à la suite.

j e retiens

Critères de divisibilité • Un nombre entier est divisible par 2 (on dit encore : « pair ») si son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemples : 21 976 est divisible par 2, mais 793 ne l’est pas. Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs. Ainsi, 0, 2, 4, 6, 8 … sont pairs et 1, 3, 5, 7 … sont impairs. • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemples : 390 est divisible par 5, mais 1 983 ne l’est pas.

Effectue sur ton cahier d’exercices les quatre exercices ci-après.

200



séance 5 —

Séquence 6

Exercice 24 Parmi les entiers : 26 ; 35 ; 144 ; 120 ; 1 002 ; 2 025 ; 18 280 ; 55 558. Quels sont ceux qui sont divisibles par 2 ? par 5 ?

Exercice 25 Trouve tous les entiers de trois chiffres divisibles par 2 s’écrivant avec les chiffres 4, 9 et 8 (aucun chiffre n’est répété).

Exercice 26 Détermine le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5.

Exercice 27 Le nombre de quatre chiffres ®31® est pair et divisible par 5. Déterminer toutes les valeurs possibles de cet entier.

Peut-être te demandes-tu s’il existe d’autres critères de divisibilité, que ceux que nous venons de rappeler ? Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 28 1- Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, 1 300 bonbons en quatre parts égales ? ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2- a) Amaury doit partager 636 bonbons en quatre parts égales. Il a l’idée de séparer ses bonbons en deux paquets : un paquet de 600 bonbons et un paquet de 36 bonbons.

Amaury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de bonbons dans chaque part ? ......................................................................

Amaury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de plus de bonbons dans chaque part ?............................................................

Amaury peut-il partager en quatre parts égales les 636 bonbons ? .............................

b) En utilisant la méthode d’Amaury, détermine si on peut partager en quatre parts égales 1 348 puis 618 bonbons.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

c) Recopie et complète la conjecture :

Un entier est divisible par 4 si ....................................................................................

.................................................................................................................................

Avant de continuer, note sur ton cahier de cours, à la suite, l’encadré ci-après. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

201


j e retiens

• Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemples : 111 328 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4. Par contre, 97 013 n’est pas divisible par 4 car 13 n’est pas divisible par 4.

Effectue sur ton cahier d’exercices les deux exercices ci-dessous.

Exercice 29 1- Détermine, parmi les entiers suivants, ceux qui sont divisibles par 4 :

9 534 ; 1 028 ; 77 588 ; 4 442 ; 756 ; 756 123 411.

2- Chacun des entiers que tu as déterminés précédemment est-il pair ?

Exercice 30 Indique, en justifiant ta réponse, si l’affirmation suivante est vraie : Si un entier est divisible par 2, alors il est divisible par 4.

j e retiens

Remarque : Un entier divisible par 4 est divisible par 2.

Effectue sur ton cahier d’exercices les trois exercices ci-dessous.

Exercice 31 Mentalement, saurais-tu dire si l’on peut répartir 3 946 pommes dans des emballages en contenant 4 ?

Exercice 32 Détermine, lorsque cela est possible, les chiffres manquants pour que les nombres suivants soient divisibles par 4 : b) 4®®3 (S’il y a plusieurs possibilités, donne-les toutes) a) 79®6

Exercice 33 Trouve tous les entiers de la forme 17®® qui sont à la fois divisibles par 4 et par 5.

202



séance 6 —

Séquence 6

Séance 6 J’utilise les critères de divisibilité Effectue l’exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 34 1- Détermine parmi les entiers suivants ceux qui sont divisibles par 3 : 801

;

532

;

783

;

683

;

4 782

;

6 894

2- Recopie et complète le tableau suivant : nombre

Est-il divisible par 3 ?

Somme des « chiffres » du nombre

La somme des « chiffres » est-elle divisible par 3 ?

801 532 783 683 4 782 6 894 3- Recopie et complète la conjecture suivante :

Un entier est divisible par 3 si .........................................................................................

......................................................................................................................................

Avant de continuer, note à la suite sur ton cahier de cours l’encadré ci-dessous :

j e retiens

• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ainsi, 141 015 est divisible par 3, car 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 5 = 12 et 12 est divisible par 3. Par contre, 77 003 n’est pas divisible par 3, car 7 + 7 + 0 + 0 + 3 = 17 et 17 n’est pas divisible par 3.

Effectue sur ton cahier d’exercices les quatre exercices suivants.


203


Exercice 35 Voici quelques entiers : 14 424 ; 12 270 ; 67 275 ; 541 ; 63 180. Détermine aussi simplement que possible ceux qui sont divisibles par 3.

Exercice 36 a) Trouve tous les entiers de la forme 1®1 divisibles par 3. b) Trouve tous les entiers de la forme 1 23® à la fois divisibles par 2 et par 3.

Exercice 37 Trouve tous les entiers de la forme ®1® divisibles à la fois par 3 et 4.

Exercice 38 1- Détermine parmi les nombres suivants ceux qui sont divisibles par 9 : 504

;

732

;

747

;

593

;

5 881

;

4 698

2- Recopie et complète le tableau suivant : nombre




504 732 747 593 5 881 4 698 3- Recopie et complète la conjecture suivante :

Un entier est divisible par 9 si .........................................................................................

......................................................................................................................................

Avant de continuer, note sur ton cahier de cours, à la suite, l’encadré ci-dessous :

j e retiens

• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ainsi, 415 602 est divisible par 9, car 4 + 1 + 5 + 6 + 0 + 2 = 18 et 18 est divisible par 9. Par contre, 97 003 n’est pas divisible par 9, car 9 + 7 + 0 + 0 + 3 = 19 et 19 n’est pas divisible par 9.

204



séance 7 —

Séquence 6

Effectue sur ton cahier d’exercices l’exercice suivant.

Exercice 39 Voici quelques entiers : 4 158 ; 13 036 ; 25 011 ; 4 109 1- Détermine aussi simplement que possible

;

496 272

;

57 933.

a) ceux qui sont divisibles par 9 b) ceux qui sont divisibles par 3. 2- Que remarques-tu ?

j e retiens

Remarque : Un entier divisible par 9 est divisible par 3.

Effectue sur ton cahier les deux exercices suivants.

Exercice 40 Indique, en justifiant ta réponse, si l’affirmation suivante est vraie : Si un entier est divisible par 3 alors il est divisible par 9.

Exercice 41 Détermine le plus petit entier de 3 chiffres divisible par 9.

Exercice 42 Le code d’un coffre-fort est un entier de 3 chiffres divisible par 5 et par 9. Le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités. Détermine ce code.

Séance 7 Je travaille avec des durées Effectue les deux exercices ci-après sur ton livret.

Exercice 43 Combien y-a-t-il de secondes dans 1 heure ?

® 1 000

® 1 600 ® 2 600 ® 3 600 Justifie ta réponse ..............................................................................................................

..........................................................................................................................................


205


Exercice 44 Une équipe de sauveteurs a mis 3 jours et 8 heures pour retrouver deux alpinistes. Exprime cette durée en heures. ......................................................................................... ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe suivant :

j e retiens

UNITÉS DE TEMPS 1 j = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s Remarque : On a donc : 1 h = 3 600 s

un jour, c’est 24 heures une heure, c’est 60 minutes une minute, c’est 60 secondes

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret :

Exercice 45 Convertis dans l’unité demandée : 4 h 17 min

= . .................................. min

24 min 15 s

= . .................................. s

6 h 13 min 9 s

= . .................................. s

3 j 5 h

= . .................................. h

Lis attentivement le paragraphe suivant :


Convertir en secondes 4 h 18 min 3 s 1 h = 3 600 s donc 4 h = 4 x 3600 s soit 4 h = 14 400 s 1 min = 60 s donc 18 min = 18 x 60 s soit 18 min = 1 080 s Conclusion : 4 h 18 min 3 s = 14 400 s + 1 080 s + 3 s = 15 483 s

Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. 206



séance 7 —

Séquence 6

Exercice 46 Un journaliste dispose de 1 h 51 min pour son émission. Il veut accorder à chacun de ses trois invités un temps de parole équivalent. De combien de temps disposera chacun des invités ?

Exercice 47 a) Convertis en minutes et en secondes : b) Convertis en heures et en minutes :

182 s

397 s

998 min

695 min

Exercice 48 Peut-on enregistrer sur un CD où il ne reste que 20 minutes d’enregistrement trois chansons dont les durées sont : 6 min 52 s , 5 min 49 s et 7 min 57 s ?

Exercice 49 Clémence a remarqué qu’elle mettait régulièrement 13 min pour parcourir un kilomètre. À cette allure, quel temps mettrait-elle (en heures et en minutes) pour parcourir 15 km.

Exercice 50 Il a fallu 678 h de travail pour réaliser une maquette d’avion. Exprime cette durée en jours et en heures.

Lis attentivement le paragraphe suivant :


Convertir 8 037 s en heures, minutes et secondes

• Cherchons combien il y a de minutes dans 8 037 s : 8 037 s = (133 x 60 s) + 57 s donc : 8 037 s = 133 min 57 s. • Cherchons combien il y a d’heures dans 133 min : 133 min = (2 x 60 min) + 13 min donc : 133 min = 2 h 13 min • Conclusion :

8 0 3 7 2 0 3 2 3 7 5 7

6 0

1 3 3 1 3

6 0

1 3 3

2

8 037 s = 2 h 13 min 57 s.


Exercice 51 Convertis en heures, minutes et secondes :

a) 9 892 s

b) 8 762 s


207


Séance 8 J’effectue des problèmes de synthèse Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien rédiger tes réponses et à bien justifier.

Exercice 52 Mélanie se fabrique un collier de perles. Elle enfile une perle verte, deux perles jaunes, une perle rouge, trois perles jaunes et ainsi de suite. Quelle est la couleur de la 109e perle ?

Exercice 53 Un autobus peut prendre 37 personnes à la fois. Il vient juste de partir ! En plus, il passe toutes les 23 minutes ! À l’arrêt de bus, 112 personnes attendent devant moi. Dans combien de temps vais-je partir (tu exprimeras ce temps en heures et en minutes) ?

Exercice 54 Un champ rectangulaire de 207 m de long et de 166 m de large est planté de pommiers régulièrement espacés comme indiqué sur le dessin ci-contre. 1- Combien y a-t-il de pommiers dans le champ ? 2- Chaque arbre produit 45 kg de pommes.166m

207m 5m 6m

6m 5m 13m 13m

Combien de kilos de pommes va-t-on récolter ?

3- On range les pommes dans des caisses pouvant contenir 38 kg de fruits. Combien devra-t-on prévoir de caisses ?

5m

5m

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.


208



séance 8 —

j e m’évalue

1- Parmi les quatre égalités suivantes, laquelle traduit la division euclidienne de 854 par 38 ?

® 854 = (38 x 22) + 18 ® 854 = (38 x 21) + 56 ® 854 = (38 x 20) + 94 ® 854 = (38 x 23) - 20 3- Quel est le reste de la division euclidienne de 548 par 75 ?

® 23 ® 21 ® 19 ® 17 5- Joris a effectué la division euclidienne de 4 127 par 9. Il a trouvé 458 comme quotient et 6 comme reste. Joris s’est-il trompé ?

® oui ® non 7- Le nombre 4 190 est divisible par

® 2 ® 5 ® 3 ® 9 9- La durée 2 h 43 min s’écrit également

® 173 min ® 163 min ® 9 780 s ® 9 870 s

Séquence 6

2- L’égalité 594 = (25 x 23) + 19 traduitelle la division euclidienne de :

® 594 par 25 ? ® 594 par 23 ? ® 594 par 19 ? ® 594 par 2 523 ? 4-Par quel chiffre vas-tu compléter la case manquante de cette division ?

® 7 ® 9 ® 8 ® 6

5 1 3 3 9 3 9 3 9

1 4 3

6- Le nombre 4 127 est-il divisible par 9 ?

® oui ® non 8- Le nombre 1 782 est divisible par :

® 2 ® 3 ® 4 ® 9 10- La durée 789 min s’écrit également ;

® 2 j 8 min ® 8 h 29 min ® 13 h 9 min ® 78 h 9 min


6

209

Sommaire de la séquence 7  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Je découvre les quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Je découvre le cerf-volant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 J’étudie le losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 J’étudie le rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Je redécouvre le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Je reconnais des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Je construis des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Je rédige des démonstrations

........................................................................

248

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

 Objectifs  Connaître le vocabulaire des quadrilatères : la notion de sommet, d’angles, ...  Connaître les quatre quadrilatères suivants : le cerf-volant, le losange, le rectangle, le carré.  Savoir manier des définitions, des propriétés et des méthodes pour reconnaître certains quadrilatères.



séance 1 —

Séquence 7

Séance 1 Je découvre les quadrilatères Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 7. L’activité de la séquence s’appelle « Ma Boîte à Outils » : elle consiste à remplir progressivement les cartes des pages de découpages intitulées « Ma Boîte à Outils » qui se trouvent à la fin de ce livret. Commence simplement par les regarder. Tu les complèteras plus tard, au fur et à mesure. Tu les découperas et les colleras lorsque je te le dirai. Maintenant, effectue le test ci-dessous.

j e révise les acquis de l’école 1- Sur la figure ci-dessous, un carré est

représenté en :

® orange ® vert ® jaune ® bleu 3- Sur la figure ci-dessous, un rectangle

est représenté en :

® vert ® bleu ® orange ® rose

2- Combien de carrés comptes-tu

ci-dessous ?

® 1 ® 2 ® 3 ® 4 4- Deux rectangles sont représentés

ci-dessous :

® vrai ® faux




Exercice 1

figure 1

figure 2

figure 3

figure 4

figure 5

figure 6

figure 7

figure 8

Parmi les huit figures ci-dessus, lesquelles ont à la fois quatre côtés, quatre sommets et quatre angles ?

. ................................................................................................................................................ . ................................................................................................................................................



séance 1 —

Séquence 7

Exercice 2 Complète les phrases suivantes :

R

1- Les sommets du quadrilatère sont les points ....... , ....... , ....... et ....... . 2- Ses côtés sont les segments .............. , .............. , .............. et .............. . 3- Ses angles sont .............. , .............. , .............. et ..............

K M

A


j e retiens Définition : un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés, quatre sommets, et quatre angles. Ici : Les quatre sommets sont les points A, B, C et D. les quatre côtés sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Les côtés [AB] et [CD] sont opposés. Les côtés [BC] et [DA] sont opposés. B ∑ ∑ ∑ ∑ Les angles sont ABC , BCD , CDA et DAB .

D A

∑ ∑ Les angles ABC et C DA sont opposés. ∑ ∑ Les angles BC D et DAB sont opposés.

C

Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.



Exercice 3 V

G

T

K

R

E

U

O

1- Colorie les côtés [KG] et [TO] en bleu.

Le côté opposé à [KG] est ................ . Le côté opposé à [TO] est ................ Colorie-les en vert. ∑ ∑ 2- Colorie les angles K RE et OUV en orange. ∑ ∑ L’angle opposé à K RE est ................ . L’angle opposé à OUV est ................ . Colorie-les en rouge.

Exercice 4

Voici un jardin dont les bordures constituent un quadrilatère. Une coccinelle souhaite faire le tour de ce jardin. 1- Elle part du point K. Elle parcourt le segment [KV].

K

Arrivée au point V, elle continue son parcours exactement sur les segments [VR] puis [RP], puis [PK]. On peut résumer son chemin de la façon suivante : K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë K

V

P

Si elle avait fait le tour toujours en partant de K mais dans l’autre sens, son chemin aurait été : K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë K 2- Quelles sont les six autres façons possibles de faire le tour de ce jardin ?

R

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... 3- Les trajets suivants permettent-ils de faire le tour du jardin ? (OUI ou NON)

K Ë R Ë V Ë P Ë K

.....................

K Ë P Ë V Ë R Ë K

.....................

4- Pour conclure, combien y a-t-il au total de façons différentes permettant de faire le tour de ce jardin ? ................................ .

Lis attentivement le paragraphe ci-après.



séance 1 —

Séquence 7

j e retiens

Un quadrilatère peut se nommer de plusieurs façons :

D

Ici, le quadrilatère se nomme ABCD ou encore BCDA ou CDAB ou DABC ou ADCB ou DCBA ou CBAD ou BADC.

A

Les sommets A et B, par exemple, qui sont les extrémités d’un même côté, sont consécutifs. Les sommets A et C, par exemple, ne sont pas consécutifs.

B

Lorsque des sommets ne sont pas consécutifs, on dit qu’ils sont opposés. A et C sont donc opposés.

C


Exercice 5 Écris tous les noms possibles du quadrilatère ci-dessous :

R

......................................... ......................................... ......................................... .........................................

M

K

......................................... .........................................

A

Avant d’effectuer l’exercice ci-dessous, rappelons que les diagonales d’un quadrilatère sont les segments qui joignent deux sommets opposés. [KM] et [RA] sont donc les diagonales du quadrilatère AKRM précédent. (Trace-les.)



Exercice 6

Tracer les diagonales des deux quadrilatères ci-dessous. T R

M

K

Q

S

A

L


j e retiens

D

Définition : les diagonales d’un quadrilatère sont les deux segments dont les extrémités sont deux sommets non consécutifs. Ici, les deux diagonales du quadrilatère ABCD sont les segments [AC] et [BD]. Remarque : Parfois, on appelle aussi diagonales du quadrilatère ABCD les droites (AC) et (BD).

A C B

Séance 2 Je découvre le cerf-volant Nous allons maintenant découvrir un type de quadrilatère un peu particulier. Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

10



séance 2 —

Séquence 7

Exercice 7 Construis un quadrilatère A’B’C’D’ de mêmes mesures que ABCD, mais tel que :

∑

A

B'A'D'= 30°.

2, 1

D

A’ x

cm

4,4

cm

B

C


j e retiens

Définition d’un cerf-volant : un cerf-volant est un quadrilatère dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ainsi que les deux autres côtés. E Ici, le quadrilatère EDFG est un cerf-volant : les côtés consécutifs [ED] et [EG] ont la même longueur ainsi que les côtés [FG] et [FD]. E' G

F

D

Le quadrilatère E’D’F’G’ est aussi un cerf-volant : les côtés consécutifs [E’D’] et [F’D’] F' ont la même longueur ainsi que les côtés [F’G’] et [G’E’].

G'

D'

Effectue l’exercice ci-après.


11


Exercice 8

Ma boîte à outils

Rends-toi à la fin de ton livret aux pages intitulées « Ma Boîte à Outils ». Retrouve la carte qui correspond à la définition du cerf-volant et complète-la. Tu coderas également la figure de la carte.


Exercice 9

Voici ci-contre un cerf-volant KLMN tel que : KL = KN et ML = MN. 1- Place les sommets K, L, M et N sur la figure. Code l’égalité de longueur KL = KN en vert sur la figure. Code l’égalité de longueur ML = MN en bleu sur la figure. 2- Complète : Comme ........ = ........ , le point K est sur ............................................... du segment [LN]. Comme ........ = ........ , le point M est sur ............................................... du segment [LN]. La droite (KM) est donc la médiatrice du segment .................. Trace le segment [LN] et la droite (KM). 3- Soit I le point d’intersection des diagonales (KM) et (LN) du cerf-volant. Comme la droite (KM) est la médiatrice du segment .................. , la diagonale (KM) coupe la diagonale [LN] en son ....................... , et les diagonales sont ....................... .

Code sur la figure ce que tu viens de démontrer.

4- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) : • K a pour symétrique ......... • M a pour symétrique ......... • L a pour symétrique ......... • N a pour symétrique ......... La droite (KM) est donc un ........................................ du cerf-volant KLMN. 5- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) : ∑ L’angle K L M a pour symétrique ................... . Les angles ................ et ................ sont donc égaux. Code-le sur la figure.

Lis attentivement le paragraphe ci-après. 12



séance 2 —

Séquence 7

j e retiens

Propriétés d’un cerf-volant : Si un quadrilatère est un cerf-volant, alors : • une de ses diagonales est la médiatrice de l’autre • il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l’autre. • il possède deux angles opposés de même mesure.


Exercice 10

Ma Boîte à Outils – suite –

1- Retrouve la carte qui correspond à la propriété des diagonales du cerf-volant, complètela et code la figure. 2- Retrouve la carte qui correspond à l’axe de symétrie du cerf-volant, complète-la, trace l’axe et code la figure. 3- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un cerf-volant, complète-la et code la figure.


Exercice 11

A

Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant. Démontre que le triangle ADE est équilatéral.

B

E

D

C


13


Exercice 12 1- Trace un segment [AB] de 4 cm. Trace la droite (d), médiatrice du segment [AB]. La droite (d) coupe le segment [AB] au point K. Marque un point E sur la droite (d). a) Marque un point F de la droite (d) qui n’appartient pas à la demi-droite [KE). b) Marque un autre point de la demi-droite [KE) et nomme-le G. 2- Démontre que EA = EB. 3- Démontre que FA = FB. 4- Démontre que GA = GB. 5- Quelle est la nature du quadrilatère AFBE ? Justifie ta réponse.

Quelle est la nature du quadrilatère AGBE ? Justifie ta réponse.


j e retiens

Je reconnais un cerf-volant Propriété : si un quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l’autre diagonale, alors ce quadrilatère est un cerf-volant. Ici, la diagonale (AC) est la médiatrice de la diagonale [BD] donc on peut en déduire que ABCD est un cerf-volant.

A

B C D


Exercice 13


Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un cerf-volant, complète-la et code la figure.


Exercice 14 On se propose dans cet exercice de déterminer la nature du quadrilatère JKLM de la figure codée ci-contre. Tu justifieras soigneusement toutes tes réponses.

M

J

1- Que représente la droite (KM) pour le segment [JL] ?

L

2- Quelle est la nature du quadrilatère JKLM ? K

14



séance 3 —

Séquence 7

Séance 3 J’étudie le losange Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 15

1- Trace sur du papier calque un segment [AB] de 6,5 cm de longueur. Trace le cercle Ω de centre A et de rayon 4 cm. Trace le cercle Ω’ de centre B et de rayon 4 cm. La lettre grecque Ω se lit « oméga ».

2- Les deux cercles se coupent aux points M et N. Trace le quadrilatère AMBN. Démontre que ce quadrilatère est un cerf-volant. 3- a) Quelle est la particularité de ce cerf-volant ? b) Te souviens-tu de son nom ?


j e retiens

Définition d’un losange : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. Ici, ABCD et A’B’C’D’ sont deux losanges : leurs quatre côtés mesurent tous 3 cm. On a : AB = BC = CD = DA = 3 cm

A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ = 3 cm

A

A'

B B'

D

D'

C C' On remarque ci-dessus que des losanges peuvent avoir des côtés de même longueur et ne pas être superposables.

Effectue l’exercice ci-dessous. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

15


Exercice 16


Retrouve la carte qui correspond à la définition du losange, complète-la et code-la.

Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 17

1- Clément affirme : « Un losange est un cerf-volant ». A-t-il raison ? Justifie ta réponse. 2- Samia affirme : « un cerf-volant est un losange ». A-t-elle raison ? (réponds uniquement « Oui Samia a raison » ou bien « Non, Samia a tort » mais justifie ta réponse en traçant une figure).

Tu traceras les figures demandées dans les exercices 18 et 19 suivants sur une feuille de papier calque. Après les avoir corrigées par superposition sur le corrigé, tu les colleras dans ton cahier d’exercices.

Exercice 18

Construis un losange RSTU tel que RT = 6 cm et RS = 5 cm. Commence par tracer au brouillon une figure à main levée codée.

Exercice 19

1- Trace un triangle DEF équilatéral de 4 cm de côté. 2- Construis ensuite le point G tel le triangle FEG soit également équilatéral. 3- Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? Justifie ta réponse.


Exercice 20

E 1- Trace les diagonales (EF) et (GD) du losange EDFG ci-contre respectivement en noir et en bleu.

D

G

F

16



séance 3 —

Séquence 7

2- Complète les phrases suivantes :

• (EF) est un axe de ...................

donc

donc

Comme EG = ED et que FG = FD Comme GE = GF et que DE = DF on en on déduit que EDFG est un ...................... déduit que EDFG est un ......................

• (GD) est un ...... de ...............

∑ ∑ ∑ ∑ • Les angles ..................... E DF et E GF • Les angles opposés ......... et ......... sont égaux. sont .................. Code-le sur la figure.

Code-le sur la figure.

• La diagonale (EF) est la ........................ • La .................. (GD) est la .................. de la ..................EF], de la diagonale [GD], c’est-à-dire : la diagonale (EF) coupe la ............... [GD] en son ............ et perpendiculairement.

c’est-à-dire : la .................. (GD) coupe la diagonale [.......] en son ........................... et ...............................

Code l’angle droit et les distances égales.

Code les distances égales.

• Si un quadrilatère est un ....................... ....................... alors ses diagonales sont ...................... • Si un quadrilatère est un losange alors ses ..................... ont le même ....................


j e retiens Propriétés :

A

Si un quadrilatère est un losange alors : • il admet deux axes de symétrie : ses diagonales

D

• ses diagonales sont perpendiculaires • ses diagonales ont le même milieu • chaque diagonale est la médiatrice de l’autre • ses angles opposés sont égaux.

B

C


17



Exercice 21


1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du losange, complète-la et code-la. 2- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un losange, complète-les et code-les. 3- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un losange, complète-la et code-la.


Exercice 22

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Figure 4

Figure 5

18



séance 3 —

Séquence 7

1- Romain affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange ».

Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire que Romain a ................... (tort / raison).

2- Damien affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un losange ».

Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire que Damien a ................... (tort / raison).

3- Maxime pense que Romain et Damien devraient s’associer et réfléchir ensemble pour trouver dans quel cas on est sûr d’obtenir un losange.

Es-tu d’accord avec Maxime ? ................... (oui / non). En effet, d’après les figures n°.......... et n° .......... on constate que : « dès que les diagonales sont ............................ et ont le même ......................, le quadrilatère est un ........................... . » On admettra cette propriété (elle est vraie mais on ne le démontrera pas ici).


j e retiens

Je reconnais un losange

A

Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales qui : • ont le même milieu et • sont perpendiculaires,

alors ce quadrilatère est un losange.

Ici, d’après le codage, les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et leur point commun est le milieu de chacune d’elles, donc on peut en déduire que ABCD est un losange.

B

D

C


Exercice 23


Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un losange, complète-la et code-la.

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.


19


Exercice 24 Les segments [AB] et [CD] sont les diagonales d’un losange. ∑ On a : AB = 5 cm et BAC = 48 °. 1- Trace une figure à main levée. 2- Le programme de construction ci dessous est dans le désordre. Dans quel ordre faut-il écrire les étiquettes pour pouvoir construire le losange ? Étiquette 1

Je trace (d) la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par M.

Étiquette 2

Je place le milieu M du segment [AB] à 2,5 cm de A sur le segment [AB].

Étiquette 3

∑ de mesure 48°. Je construis l’angle BAx

Étiquette 4

Je justifie que j’obtiens un losange : comme les diagonales [AB] et [CD] sont perpendiculaire et ont le même milieu, je peux affirmer que le quadrilatère ACBD est un losange.

Étiquette 5

Le point C est le point d’intersection de [Ax) et de (d).

Étiquette 6

Je trace un segment [AB] de 5 cm de longueur.

Étiquette 7

Je reporte à l’aide d’un compas un arc de cercle de centre M et de rayon MC. Cet arc coupe la droite (d) en D. 3- Construis ce losange sur une feuille de papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices après avoir corrigé par superposition sur le corrigé.

Séance 4 J’étudie le rectangle Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu construiras la figure sur du papier calque et tu la colleras sur ton cahier d’exercice une fois que tu l’auras vérifiée.

Exercice 25

Reproduis le quadrilatère CVBN représenté ci-contre à main levée. C

5 cm

N 3 cm

V

20

B



séance 4 —

Séquence 7


j e retiens

A

Définition d’un rectangle : un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. B Ici, ABCD est un rectangle : ∑ ∑ ∑ ∑ ABC = BCD = CDA = DAB = 90°.

D

C


Exercice 26


Retrouve la carte qui correspond à la définition du rectangle, complète-la puis code-la.


Exercice 27

D

Voici un quadrilatère DFGH qui possède trois angles droits.

H

Complète les phrases suivantes :

F 1- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (DF).

G

D

H

Les droites (DH) et (FG) sont toutes les deux ............................ à la droite (DF). Les droites (DH) et (FG) sont donc ................................ .

F 2- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (HG).

G

On vient de démontrer que les droites (DH) et (FG) sont ................................ .

D

H

La droite (GH) est ......................... à la droite (DH), elle est donc ......................... à la droite (FG). Code la figure.

3- Le quadrilatère DFGH possède donc en fait ........ angles droits. Par définition, c’est donc un ................................................. . F

G

4- On a démontré dans le 2- que ses côtés opposés [DH] et [FG] sont .............................. . De même, les côtés opposés [DF] et [HG] sont ...................................... parce qu’ils sont tous les deux ...................................... au côté [DH]. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

21


Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis effectue l’exercice suivant.

j e retiens

Je reconnais un rectangle

B

Propriété : Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c’est un rectangle. ∑ ∑ Ici : ∑ DAB = ABC = BCD = 90°. On peut donc déduire que ABCD est un rectangle. Par conséquent : ∑ ADC = 90°.

C

A

D

Exercice 28 Retrouve la carte qui correspond à cette façon de reconnaître un rectangle. Complète-la et code-la.

Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 29 K

(d)

N

(d')

L

M

Reproduis sur une feuille de papier calque la figure précédente et plie le papier calque suivant la droite (d) puis recommence suivant (d’), puis suivant (LN), puis (KM). Parmi les droites (d), (d’), (KM) et (LN), lesquelles sont des axes de symétrie du rectangle ? (On ne demande pas de justifier)


j e retiens

Axes de symétrie d’un rectangle Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors il possède deux axes de symétrie : les médiatrices de deux côtés consécutifs.

22



séance 4 —

Séquence 7


Exercice 30


Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du rectangle, complète-la puis code-la.


Exercice 31

La figure ci-contre représente un rectangle ABCD avec ses deux axes de symétrie (d) et (d’). I est le point d’intersection de (d) et (d’).

(d') A

D (d) I

B C Complète les phrases suivantes : 1- a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la droite (d) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AD] et [BC] ? ...............................................................

b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d’) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AB] et [DC] ? ...............................................................

c) Quelle propriété viens-tu de démontrer ?

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

2- Trace les diagonales du rectangle ABCD. a) Quel est le point d’intersection de ces diagonales ? (On ne demande pas de le justifier, on l’admettra) ..................... b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d’) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AC] et [BD] ? ...........................................


..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

3- a) En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IA et ID :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances ID et IC :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IC et IB :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances IB et IA :

...........................................


23


b) Compare IA et IC : ................................ puis IB et ID : .............................................

Le point I est le ................................ des diagonales [AC] et [BD]


..................................................................................................................................

..................................................................................................................................


j e retiens

Propriétés d’un rectangle Si un quadrilatère est un rectangle, alors : • ses diagonales ont la même longueur • ses diagonales ont le même milieu • ses côtés opposés sont parallèles • ses côtés opposés ont la même longueur.

A

D

B

C


Exercice 32


1- Retrouve la carte qui correspond aux propriétés des diagonales d’un rectangle, complètela et code-la. 2- Retrouve les cartes qui correspondent aux propriétés des côtés opposés d’un rectangle, complète-les. Code la figure de la carte concernant les longueurs. Colorie les côtés parallèles de l’autre carte.


Exercice 33 Trace un rectangle ABCD dont les diagonales se coupent en O puis le cercle Ω de diamètre [AC]. Pourquoi le cercle Ω passe-t-il par les points B et D ?

Exercice 34 1- Trace un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, et qui n’est pas un rectangle. 2- Trace un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur, et qui n’est pas un rectangle. 3- Essaie de tracer un quadrilatère qui n’est pas un rectangle dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Y arrives-tu ?

24



séance 5 —

Séquence 7


j e retiens

Je reconnais un rectangle Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales • le même milieu et • la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle.

D

A C

Ci-contre, les diagonales [AC] et [BD] du B quadrilatère ABCD ont le même milieu et la même longueur. On peut donc déduire que ABCD est un rectangle.


Exercice 35


Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un rectangle, complète-la et code-la.


Exercice 36 Les segments [RT] et [US] sont les diagonales d’un rectangle RSTU. ∑ Ces diagonales se coupent en V et l’on a : RT = 6 cm et TV U = 53° . 1- Construis ce rectangle sur une feuille de papier calque tu colleras dans ton cahier après avoir vérifié la construction sur le corrigé. (commence par réfléchir sur une figure à main levée au brouillon). 2- Rédige le programme de ta construction. (aide : essaie de t’inspirer des étiquettes de l’exercice 24) 3- Justifie pourquoi ce programme de construction donne un rectangle.

Séance 5 Je redécouvre le carré Nous allons découvrir ensemble une définition du carré. Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

25


Exercice 37

1- Complète chacune des huit cases vides par OUI ou NON. la figure 1 ...

la figure 2 ...

la figure 4 ...

la figure 3 ...

... est un losange ?

... est un rectangle ? 2- Reconnais-tu la nature de la figure 3 ? ................................................. .


j e retiens

définition du carré : un carré est un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle.

Autrement dit, un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. B Ici, AB = BC = CD = DA (donc ABCD est un losange) ∑ ∑ ∑ ∑ ABC = BCD = CDA = DAB = 90°. (donc ABCD est un rectangle) Par conséquent, ABCD est un carré.

A

D

C


Exercice 38


Retrouve la carte qui correspond à la définition du carré, complète-la et code-la.

Maintenant, (re)découvrons ensemble les propriétés du carré. Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

26



séance 5 —

Exercice 39

H

Voici un carré MATH : 1- Complète :

Séquence 7

Un carré est à la fois un .............................. et un .............................., il a donc ............. axes de symétrie qui sont ses .............................. et les .............................. de deux côtés consécutifs.

2- Trace ces axes.

M

T A

3- Le carré est un losange, donc ses diagonales sont ....................................... et elles ont le même .............................. . 4- Le carré est un .............................. , donc ses diagonales ont la même longueur et ses côtés opposés sont .............................. et ont la même .................................... .


j e retiens

Propriétés : Si un quadrilatère est un carré alors il possède toutes les propriétés du losange et aussi toutes les propriétés du rectangle. Autrement dit : • Si un quadrilatère est un carré alors il possède quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les médiatrices de deux côtés consécutifs. • Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.

• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires. • Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu. • Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont la même longueur.


Exercice 40


1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du carré, complète-la et code-la. 2- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un carré, complète-les et code-les. 3- Retrouve la carte qui correspond aux angles d’un carré, complète-la et code-la. 4- Retrouve la carte qui correspond aux quatre côtés d’un carré, complète-la et code-la. © Cned, Mathématiques 6e —


27


Nous allons découvrir ensemble des propriétés qui permettent de reconnaître un carré. Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 41

∑ 1- Construis un losange ABCD de 4,5 cm de coté tel que ABC = 90° 2- Reconnais-tu la nature de ce losange ? .......................................................... (On ne demande pas de démontrer.)


j e retiens

Première façon de reconnaître un carré Propriété : si un losange possède un angle droit alors c’est un carré.

D A

∑ Ici, d’après le codage, ABCD est un losange et l’angle BAD mesure 90° donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

C B


Exercice 42


Retrouve la carte qui correspond à cette première façon de reconnaître un carré, complètela et code-la.

Exercice 43

1- Construis un rectangle EFGH tel que EF = 6,2 cm et EH = 6,2 cm. 2- Reconnais-tu la nature de ce rectangle ? ....................................................... Démontre ce que tu affirmes.


j e retiens

Deuxième façon de reconnaître un carré Propriété : si un rectangle possède deux côtés consécutifs de la même longueur alors c’est un carré.

D A

Ici, d’après le codage, ABCD est un rectangle et les côtés consécutifs [AB] et [AD] ont la même longueur donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

C B

28



séance 5 —

Séquence 7


Exercice 44


Retrouve la carte qui correspond à la deuxième façon de reconnaître un carré, complète-la et code-la.

Exercice 45 Complète :

E

Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un ........................ », on déduit que EFGH est un ................................ .

H

F Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus la même longueur. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère ont la même longueur et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un ........................ », on déduit que EFGH est un ................................ .

G

Ce quadrilatère est donc un ..................... et un .......................... D’après la définition : « un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un ....................... », on peut affirmer que EFGH est un ................................... .


j e retiens

Troisième façon de reconnaître un carré Si un quadrilatère a ses diagonales qui : • sont perpendiculaires • ont le même milieu • et ont la même longueur alors ce quadrilatère est un carré. Ici, les diagonales [AC] et [BD] sont telles que : • (AC) ⊥ (BD) , • AC = BD • les segments [AC] et [BD] ont le même milieu, donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

D C A B


Exercice 46


Retrouve la carte qui correspond à la troisième façon de reconnaître un carré, complète-la et code-la.



29


Exercice 47 Tu dois construire un carré EFGH tel que EG = 5 cm. Fais d’abord une figure à main levée. 1- Construis ensuite la figure avec tes instruments de géométrie. 2- Rédige le programme de ta construction en justifiant pourquoi tu obtiens un carré. Si tu ne sais pas comment t’y prendre, voici de l’aide : n’oublie pas que le carré est à la fois un losange et un rectangle.

Séance 6 Je reconnais des quadrilatères Maintenant que ta Boîte à Outils est complète, découpe les pages où elle se trouve, soigneusement sur les pointillés, puis prends une nouvelle page de ton cahier de cours, écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 7 : LES QUADRILATÈRES. » puis colle ces pages en t’appliquant et en tenant compte du numéro des cartes. Il ne te reste plus qu’à apprendre et retenir ces définitions et propriétés. Tu en auras besoin dans les séances suivantes. Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 48

En observant la figure ci-contre, nomme en justifiant tes réponses : 1- Un rectangle 2- Un carré

F E

A D

B

I

G

3- Un cerf-volant 4- Un losange

30

C

H



séance 6 —

Séquence 7

Exercice 49 A

Voici un quadrilatère ABCD : 1- Quelle la nature précise du triangle ABD ? Justifie. D

2- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie.

B

C

Exercice 50 C

B

D

Dans la figure ci-contre le point O est le centre du cercle C et A, C et E sont des points du cercle C . 1- Détermine la nature du quadrilatère OCDE . 2- Détermine la nature du quadrilatère ABCO . Tu justifieras chacune de tes réponses.

O A

E

C

Exercice 51 On considère un rectangle BEAU dont le côté [BE] est plus long que le côté [BU]. Le cercle Ω de centre B et de rayon BU coupe le segment [BE] au point M. La droite passant par M et perpendiculaire à (BE) coupe [UA] au point N. 1- Trace la figure en vraie grandeur avec tes instruments. 2- Détermine la nature du quadrilatère BMNU. Justifie ta réponse.


31


Exercice 52 ∑ Le triangle ABC isocèle en B est tel que : AB = 4 cm et A B C = 65°. 1- Construis le triangle ABC sur du papier calque puis colle la figure sur ton cahier après l’avoir vérifiée sur le corrigé. 2- Trace ensuite le cercle C de centre A et de rayon 4 cm puis le cercle C ’ de centre C et de rayon 4 cm. 3- Démontre que : B ∈ C et que : B ∈ C ’. 4- Nomme D l’autre point commun aux deux cercles. Détermine la nature du quadrilatère ABCD en justifiant.

Séance 7 Je construis des quadrilatères Dans cette séance, tu vas t’entraîner à construire des quadrilatères en utilisant les définitions et les propriétés que tu as apprises. Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu utiliseras du papier calque pour tracer les figures et tu colleras ensuite chaque construction dans ton cahier une fois que tu l’auras vérifiée sur le corrigé.

Exercice 53

On souhaite construire un cerf- volant EFGH tel que : ∑ = 130˚. EF = 3 cm, EH = 4 cm et FGH 1- Sachant que le quadrilatère EFGH est un cerf-volant, complète le codage de la figure à main levée ci-contre (directement sur ton livret). 2- Construis la figure.

3 cm

E 4 cm H

F G

Exercice 54

1- Construis un cerf-volant IJKL tel que : IJ = 2,5 cm, JL = 5 cm et LI = 3,5 cm. 2- Rédige un programme de cette construction.

32



séance 7 — Séquence 7

Exercice 55

1- Construis un losange dont les diagonales mesurent respectivement 7 cm et 5,4 cm. ∑ 2- On cherche à construire un losange ABCD de 3 cm de côté tel que : A DB = 40° . a) Dessine une figure codée à main levée b) Recopie et complète :

ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un ................................ de ce quadrilatère. ∑ . ∑ = .......... . (BD) est donc la ................................. de l’angle CDA ADC

c) Construis le losange ABCD.

Exercice 56

∑ 1- Construis le rectangle QRST tel que : RQS = 35° et QR = 6 cm. 2- Construis un rectangle EFGH tel que : EF = 4 cm et EG = 5 cm. Tu n’utiliseras pas l’équerre dans cette question.

Exercice 57

Construis un carré IJKL tel que :

IJ = 4 cm.

Exercice 58 1- Construis un rectangle JKLM dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un rectangle EFGH dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux rectangles sont-ils toujours superposables ? (OUI / NON) 2- Construis un carré ABCD dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un carré RSTU dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux carrés sont-ils toujours superposables ? (OUI / NON)

Dans l’exercice suivant, tu commenceras par reproduire par transparence la figure proposée sur une feuille de papier calque.


33


Exercice 59 Reproduis la figure ci-contre et termine la construction du rectangle dont l’un des sommets est le point E et dont les axes de symétrie sont les droites (d) et (d’). E

(d)

(d')

Séance 8 Je rédige des démonstrations Dans cette séance, tu vas t’entraîner à rédiger des démonstrations avec des quadrilatères (à l’aide des définitions et des propriétés que tu as apprises). Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 60 1- Dans le cadre ci-dessous, trace au compas la médiatrice (Δ) du segment [AB]. Elle coupe le segment [AB] au point M. Trace ensuite le cercle Ω de diamètre [AB]. La droite (Δ) et le cercle Ω se coupent aux points E et F. 2- Trace en vert le quadrilatère AEBF et trace en rouge ses diagonales.

A B

3- a) Henri a conclu : « AEBF est un losange. ». Victor a conclu : « AEBF est un rectangle. ». Lou-Ann affirme qu’ils ont raison tous les deux mais Astrid dit que ce n’est pas possible.

34



séance 8 —

Séquence 7

D’après toi, qui a raison : Henri ? Victor ? Lou-Ann ? Astrid ? C’est ...................... (complète). b) Complète les cases suivantes avec les mots : – médiatrice – diamètre(s) – centre – diagonale(s) – longueur – alignés – cercle – perpendiculaires – milieu – ou avec les lettres A – B – E – F – Ω – de l’énoncé puis code la figure au fur et à mesure : Maillon 2

Maillon 1 Comme la droite (Δ) est la ..................... du segment ........, d’après la définition de la ..................... ....... , (Δ) coupe [AB] en son .............. Le point ...... est donc le milieu de [AB] et c’est le ................... du cercle Ω

Les points E, M et F sont alignés et les points E et F sont sur le .................... de centre ......... donc : • le segment [EF] est un ................... du cercle Ω. • le point M est le .................. du segment [EF].

Maillon 3 Comme les segments [EF] et [AB] sont deux ........................ du cercle Ω , ils ont la même ........................... .

Maillon 4 Comme (Δ) est la ..................... du segment ........ , d’après la définition de la ............., on a (EF) ........ (AB).

Maillon 5 Comme les diagonales du quadrilatère ............... sont .............................. et ont le même ................. M, je peux conclure que AEBF est un losange.

Maillon 6 Comme les diagonales du quadrilatère AEBF ont le même ................. M et ont la même ................, je peux conclure que AEBF est un rectangle.

c) Reconstitue la démonstration de Henri en écrivant simplement les numéros des maillons dans l’ordre où ils se succèdent dans sa démonstration :

1 - ................................................................................

d) De la même manière, reconstitue la démonstration de Victor :

1 - ................................................................................

e) En conclusion, AEBF est un .................... et un ......................... donc c’est un .................

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu traceras les constructions sur du papier calque puis tu les colleras dans les exercices de ton cahier au fur et à mesure que tu les auras vérifiées sur les corrigés.

Exercice 61 1- Trace un cercle Ω de centre I et de rayon 3 cm. Trace en rouge un diamètre [EF] de ce cercle. 2- Trace ensuite le cercle Ω’ de même centre I et de rayon 4,5 cm. Trace en bleu un diamètre [AB] de ce cercle tel que : (AB) ⊥ (EF). 3- Quelle est la nature du quadrilatère AEBF ? © Cned, Mathématiques 6e —


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Exercice 62 Les phrases ci-dessous sont-elles vraies ? (écris « OUI » ou « NON » selon le cas) a) « Un carré est un losange » .................. « Un losange est un carré » ..................

b) « Un carré est un rectangle » ..................

« Un rectangle est un carré » ..................

c) « Un carré est un cerf-volant » ..................

« Un cerf-volant est un carré » ..................

d) « Les côtés opposés d’un losange ont la même longueur » ..................

« Les côtés opposés d’un cerf-volant ont la même longueur » ..................

Exercice 63 Voici une figure codée où HKJI est un losange ∑ ∂ 1- Compare les angles K HL et K J I .

H L

I

2- Quelle est la nature exacte du triangle HKL ? K J

Exercice 64 1- Construis un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm. 2- Construis le symétrique B’ du point B par rapport à la droite (AC). 3- Trace en vert le quadrilatère AB’CB. Donne la nature du quadrilatère AB’CB en justifiant ta réponse.

Exercice 65

∑ 1- Le triangle EAU est rectangle en A, AE U = 45° et EA = 4 cm. Construis la figure et complète-la au fur et à mesure. 2- Construis le symétrique S du point A par rapport à la droite (EU).

36




3- a) Trace en vert le quadrilatère SEAU. ∑ b) Démontre que l’angle SE A est droit. ∑ c) Démontre que l’angle E SU est également droit. d) Démontre que le quadrilatère SEAU est un rectangle. e) Compare EA et ES. f) Quelle est la nature précise du quadrilatère SEAU ?

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 66

Trace un quadrilatère ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? Ne justifie pas ta réponse.

Exercice 67

Construis le losange RSTU dont les côtés [RS] et [TU] mesurent respectivement 3 cm et 4 cm.


37


Exercice 68 1- Observe la figure à main levée codée ci-dessous : C 40° A

5 cm

B

E

D

3 cm H

G

50° F

∑ . a) Détermine l’angle HGB ∑ . b) Détermine l’angle BGD ∑ c) Détermine l’angle DGE . d) Démontre que les points H , G et E sont alignés dans cet ordre. 2- Construis la figure avec tes instruments de géométrie.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un petit test. Effectue-le directement sur ton livret.

38



séance 9 —

j e m’évalue

1-La figure à main levée codée ci-dessous est :

® un cerf-volant ® un carré ® un rectangle ® un losange

A

D

B

K

® un cerf-volant ® un carré

2- La figure à main levée codée ci-dessous est un : H ® un cerf-volant E ® un carré

® un rectangle ® un losange

C

3- La figure à main levée codée ci-dessous représente :

N

L


M

5- Coche les phrases fausses :

® ils sont parallèles ® ils sont perpendiculaires ® ils ont la même longueur ® ils ont le même milieu

9- ABCD est un losange tel que les triangles ABD et BDC sont équilatéraux. Coche les égalités vraies :

® AB = BC ® AB = DC ® AB = BD ® AC = BD

G F

4- Coche les phrases vraies :

® « Si un quadrilatère possède deux angles droits alors c’est un rectangle. » ® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadrillatère est un cerf-volant. » ® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadrillatère est un losange. » ® « Si un quadrilatère possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.» 6- Coche les phrases vraies :

® « Un carré est un cerf-volant. » ® « Un carré est un rectangle. » ® « Un carré est un losange. » ® « Un losange est un cerf-volant. » 7- Que peux-tu affirmer sur les côtés opposés d’un carré ?

Séquence 7

® « Un rectangle est un carré. » ® « Un losange est un carré. » ® « Un cerf-volant est un losange. » ® « Les diagonales d’un cerf-volant se coupent en leur milieu. »

8- Que peux-tu affirmer sur les diagonales d’un carré ?

® elles sont perpendiculaires ® elles ont le même milieu ® elles ont la même longueur ® l’une est la médiatrice de l’autre

10- Dans quel cas les triangles ABC et BCD sont-ils isocèles et superposables ?

® quand ABDC est un losange ® quand ABCD est un losange ® quand ABCD est un carré ® quand ABCD est un rectangle © Cned, Mathématiques 6e —


39

Sommaire de la séquence 8  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier . . . . . . . . . . . . . . . . 255

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier - suite - . . . . . 260

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Je découvre la division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier . . . . . . . . . . . . 262

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Je redécouvre la notion de fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Je redécouvre la notion de fraction - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 J’étudie les fractions égales

...........................................................................

271

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 J’étudie les fractions égales - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Je calcule la fraction d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Je calcule la fraction d’un nombre - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

 Objectifs  Savoir résoudre un problème à l’aide d’une division décimale.  Connaître la définition et le vocabulaire associé aux écritures fractionnaires.  être capable de manipuler des fractions égales.  Savoir prendre la fraction d’une quantité.



séance 1 —

Séquence 8

Séance 1 Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 8. Maintenant, effectue le test ci-dessous.


1- Sur la figure ci-dessous, quelle fraction 2-Sur une horloge ancienne, la grande du disque la partie coloriée en vert aiguille a décrit, depuis que je l’observe, représente-t-elle ? un angle droit. Combien de temps s’est écoulé ? 1 ® ® 25 min 5

® 2

® un quart d’heure

® 1

® 30 min

12 6

®

3 4

3- Dans une classe de sixième de 24 élèves, un tiers des élèves portent un appareil dentaire. Combien d’élèves cela représente-t-il ?

® 15 min 4- Antoine et Ella partent en vacances. Antoine conduit durant le premier quart du parcourt. Ella conduit ensuite pendant la moitié du trajet. Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?

® 3 élèves

® un quart

® 7 élèves

® un tiers

® 1 élève

®

® 8 élèves

® on ne peut pas savoir

1 4


Exercice 1 Complète : ................. x 10 = 7

................. x 100 = 72,6

................. x 5 = 40

................. x 3 = 12


41


En effectuant les multiplications à trous de l’exercice précédent, tu viens de calculer des quotients. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 8 : DIVISION DÉCIMALE, ÉCRITURES FRACTIONNAIRES ». Recopie ensuite soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

LA DIVISION DÉCIMALE Définitions : lorsqu’on cherche le nombre ® tel que : ® x 4 = 7, on effectue la division décimale de 7 par 4. Le nombre qui, multiplié par 4 donne 7, est appelé le quotient de 7 par 4. 7 Le quotient de 7 par 4 s’écrit 7 ÷ 4 ou . 4

Effectue ensuite les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 2 Complète : a) ........ x 2 = 9 donc 9 = ........ 2 c) ........ x 2 = 7 donc 7 ÷ 2 = ........

b) ........ x 4 = 10 donc

= ........ 4 ....... d) 0,4 x 5 = ........ donc = 0,4 5

e) ........ x 0 = 3 Combien y-a-t-il de solutions ? Justifie

10

...................................................

......................................................................................................................................

L’activité de découverte de cette séquence s’intitule «Maxence, un garçon équitable». Au fur et à mesure que tu progresseras dans l’étude de cette séquence, Maxence t’accompagnera dans la réflexion.

Exercice 3

Maxence, un garçon équitable

Problème : Maxence possède 7 € en poche. Il voudrait partager cette somme en quatre parts égales pour ses amis Lydie, Téo, Noémie et Pierre. 1- Maxence pense effectuer une division. Effectue la division euclidienne de 7 par 4 dans le cadre ci-dessous.

Que peux-tu en conclure ? Maxence donne à chacun

....................................... et il lui reste ............. .

42



séance 1 —

Séquence 8

2- Maxence n’est pas satisfait ! Il ne veut pas garder d’argent, il veut tout partager entre Lydie, Téo, Noémie et Pierre. Il demande alors à son grand frère qui lui explique une méthode.

Le grand frère lui dit : « Que veux-tu savoir ? Le nombre qui multiplié par 4 donne 7 ? Regarde comment je fais : »

7, 0 0 3 0 2 0 0

4 1,7 5

Je divise d’abord 7 unités par 4. En 7, combien de fois 4 ? Ë ........... fois, il reste ........... unités. 3 unités, c’est 30 dixièmes. En 30, combien de fois 4 ? Ë ........... fois, il reste ........... dixièmes.

2 dixièmes, c’est 20 centièmes.

En 20, combien de fois 4 ?

Ë ........... fois, il ne reste rien.

D’après son grand frère, Maxence devra donner ................................... à chacun de ses quatre amis.

3- Maxime voudrait être sûr qu’il a bien partagé ses sept euros en quatre parts égales. Pour cela, il calcule : 4 x 1,75. Pose la multiplication dans le cadre ci-dessous :

Conclusion :

Pour partager équitablement 7 € entre 4 personnes,

Maxence doit donner ...................................

à chacune de ces quatre personnes.

Voici la technique de la division décimale détaillée. Lis attentivement ce paragraphe.


43



Recherche du nombre décimal ® tel que : ® x 12 = 15

1-

2- dividende

1 5

1 2

31 5 3

diviseur

?

1 2

1 5 ,0 3 0

1

1 2 1,

n'est pas égal à 0

Je pose la division de 15 par 12. 5-

En 15, combien de fois 12 ? Réponse : 1 fois. Il reste 3. Le reste n’est pas égal à 0, je continue la division. 6-

1 5 ,0 3 0 6

J’écris une virgule puis un 0 à droite de 15 et j’écris une virgule après 1 au quotient. 7-

1 2

1 5 ,0 0 3 0 6 0

1, 2

1 2

1 5 ,0 0 3 0 6 0 0

1, 2

n'est pas égal à 0

En 30, combien de fois 12 ? Réponse : 2 fois. Il reste 6. Je n’ai pas trouvé 0 donc je continue la division.

J’écris un 0 à droite de 6.

1 2 1, 2 5

En 60, combien de fois 12 ? Réponse : 5 fois. Il reste 0. La division est terminée

Je vérifie la division : 1,25 x 12 = 15 Le nombre qui multiplié par 12 donne 15 est 1,25. Le quotient de 15 par 12 est 1,25. 15 On a : 15 ÷ 12 = = 1,25 12

Prends une nouvelle page de ton cahier d’exercices, écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 8 : DIVISION DÉCIMALE, ÉCRITURE FRACTIONNAIRE ». Effectue sur ce cahier les deux exercices ci-dessous.

Exercice 4 1- Effectue la division décimale de 853 par 5. 2- Détermine 912. 15 3- Détermine le quotient de 18 par 24.

44



séance 1 —

Exercice 5

Séquence 8

Maxence, un garçon équitable

Problème : On répartit 35 L de peinture en huit pots. Quel volume de peinture y aura-t-il dans chaque pot ? Réponse de Maxence :

Je calcule 35 ÷ 8 Dans chaque pot, il y aura 4,37 L de peinture.

3 5,0 0 3 0 6 0

8 4, 3 7

Que penses-tu de la réponse de Maxence ?

Voici pour terminer cette séance quelques problèmes. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 6

Deux groupes de 98 et 55 touristes se rejoignent à un embarcadère. Des bateaux vont leur Quatre plumes pèsent permettre de traverser le 173 grammes. fleuve : chaque bateau Combien pèse une plume ? peut contenir 36 touristes. Combien de touristes y aura-t-il dans le dernier bateau ?

Six randonneurs ont emporté 231 litres d’eau pour leur périple dans le désert. Sachant qu’ils ont réparti équitablement les charges entre eux, quel volume d’eau chacun doit-il transporter ?

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

....................................

conclusion

opération

problème

Complète ce tableau :


45


Séance 2 Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier – suite – Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 7 Un lot de 16 DVD coûte 93 euros. Quel est le prix exact d’un DVD de ce lot ? Est-ce que ce type de prix existe dans la vie de tous les jours ?

Exercice 8 Adèle, Idir et Yasmina achètent un ruban de 16 cm de long. Idir pense qu’on peut partager équitablement la totalité de 16 cm de ruban en trois morceaux. Adèle n’est pas d’accord et Yasmina trouve que cette question est compliquée. Quel est ton avis ? Tu poseras une opération et justifieras ta réponse.


j e retiens

Propriété : lorsqu’une division décimale « ne se termine pas », le quotient n’est pas un nombre décimal.

..

On peut alors utiliser une troncature ou un arrondi pour répondre à un problème concret. exemple : quotient de 14 par 11 1 4 , 0 0 0 0 0 ... 1 1 30 La division ne se termine pas. La seule écriture 1, 2 7 2 7 ... 8 0 exacte du quotient est 14 . 3 0 11 8 0 14 3 0 n’est pas un nombre décimal. 11 • 1,272 7 est une valeur approchée par défaut de 14 . 11 • 1,2 est la troncature au dixième de 14 . 11 • 1,3 est l’arrondi au dixième de 14 . 11 .


46



séance 2 —

Séquence 8


Donner l’arrondi au dixième du quotient de 23 par 7

1-

2-

2 3

2 3 ,0 0 2 0 6 0 4

7

Je pose la division décimale de 23 par 7.

3-

7 3, 2 8

Je cherche l’arrondi au dixième donc je continue la division jusqu’au centième. Ensuite, même si la division n’est pas terminée, je m’arrête.

L’arrondi au dixième du quotient de 23 par 7 est 3,3.

Je cherche l’arrondi au dixième de 3,28. C’est 3,3. Je conclus : Attention ! 3,3 n’est pas le quotient de 23 par 7, c’est une valeur approchée de ce quotient.

Remarque : On peut se rendre compte facilement que 3,3 n’est pas égal à 23 : 7 3,3 x 7 = 23,1 On ne trouve pas 23.


Exercice 9 a) Donne l’arrondi au dixième du quotient de 92 par 7. b) Donne la troncature au dixième de c) Donne l’arrondi au centième de

35 . 8

91 . 6

Les calculatrices permettent d’obtenir rapidement le quotient ou une valeur approchée du quotient. Pour le voir sur un exemple, reporte-toi à la page calculatrice à la fin de ce livret.



47


Exercice 10

Maxence, un garçon équitable — suite —

Pour trouver la solution d’un problème, Maxence veut utiliser sa calculatrice. Il cherche le quotient de 25 par 6. Il tape 25 ÷ 6 sur sa calculatrice qui affiche :

Il conclut son exercice par :

« Le quotient de 25 par 6 est 4,166 666 667. » Que penses-tu de la réponse de Maxence ?

Exercice 11 Pour son anniversaire, Eloïse prépare un cocktail de fruits : elle met dans un grand saladier le contenu de deux bouteilles de 25 cL de jus de pêche, quatre bouteilles de 12,5 cL de jus de fraise et 57 cL de jus d’orange. Elle partage ensuite équitablement son cocktail en 13 verres. Quelle quantité de liquide y aura-t-il dans chaque verre ? (Tu donneras l’arrondi au dixième de cL).

Séance 3 Je découvre la division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 12

Maxence, un garçon équitable — suite —

Problème : Maxence et ses quatre amis veulent acheter ensemble un cadeau pour un autre de leurs amis : Armand. Ils ont trouvé un CD qui va lui plaire. Ce CD coûte 18,45 €. Maxence et ses quatre amis essaient de diviser 18,45 par 5 mais ne savent pas comment faire. Lydie propose : Je divise d’abord 18 unités par 5. En 18, combien de fois 5 ?

1 8, 4 5 3 4 4 5 0

5 3,6 9

Ë ........... fois, il reste ........... unités. 3 unités et 4 dixièmes, c’est 34 dixièmes. En 34, combien de fois 5 ? Ë ........... fois, il reste ........... dixièmes. 4 dixièmes et 5 centièmes, c’est 45 centièmes. En 45, combien de fois 5 ? Ë ........... fois, il ne reste rien.

Maxence et ses quatre amis vont payer chacun ............................. pour offrir le CD à Armand.

48



séance 3 —

Séquence 8



Effectuer la division décimale de 58,32 par 8

1-

2-

5 8 ,3 2

8

Je pose la division puis je commence par diviser la partie entière de 58,32 (soit 58) par 8. 5-

5 8 ,3 2 2 3 7

8

5 8 ,3 2 2

8

6-

5 8 ,3 2 2 3 7 2 0

5 8 ,3 2 2 3

7

En 58, combien de fois 8 ? Réponse : 7 fois. Il reste 2.

7, 2


3-

8 7, 2 9


8 7,

J’abaisse le 3 qui se trouve après la virgule, j’écris une virgule après le 7. 7Je vérifie la division : 7,29 x 8 = 58,32

Le nombre qui multiplié par 8 donne 58,32 est 7,29. 58,32 = 7,29 On a : 58,32 ÷ 8 = 8

Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 13 1- Effectue la division décimale de 276,56 par 4. 2- Détermine 261, 3. 6 3- Détermine 95,49 ÷ 12.

Exercice 14 Un lot de 8 pots de peinture de 3 L chacun coûte 125,6 €. 1- Combien coûte un pot de peinture ? 2- Combien coûte 1 L de peinture ? Tu donneras l’arrondi au centième d’euro.

Exercice 15 2512 , . 7 2- Donne l’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6.

1- Donne la troncature au millième de


49


Exercice 16 1- calcule sans utiliser ta calculatrice : 4, 5 91, 6 168,2 b) c) a) 100 1 000 10 2- Complète en utilisant ce qui précède : a) Diviser 168,2 par 10 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rang, c’est-à-dire à multiplier par ............. . b) Diviser 4,5 par 100 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rangs, c’est-à-dire à multiplier par ............. . c) Diviser 91,6 par 1 000 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rangs, c’est-à-dire à la multiplier par ............. .


j e retiens

DIVISION PAR 10, 100, 1 000 Propriétés : • Diviser un nombre décimal par 10 revient à le multiplier par 0,1 : on déplace sa virgule vers la gauche de 1 rang et on complète par un zéro à gauche si nécessaire. 0,8 ÷ 10 = 0,8 x 0,1 = 0,08 Exemples : 15,3 ÷ 10 = 15,3 x 0,1= 1,53 • Diviser un nombre décimal par 100 revient à le multiplier par 0,01 : on déplace sa virgule vers la gauche de 2 rangs et on complète par des zéros à gauche si nécessaire. Exemple : 7,3 ÷ 100 = 7,3 x 0,01= 0,073 • Diviser un nombre décimal par 1 000 revient à le multiplier par 0,001 : on déplace sa virgule vers la gauche de 3 rangs et on complète par des zéros à gauche si nécessaire. Exemple : 17,4 ÷ 1 000 = 17,4 x 0,001= 0,017 4


Exercice 17 7,1 10

= .................................

4 = ................................. 100

50

888, 46 100

4, 999 10

= ............................

0,15 1000

= .............................

= ...............................

90,1 = ............................... 1000



séance 4 —

Séquence 8


Exercice 18 Deux vendeurs de peluches sont face à face dans un marché. Le vendeur A vend 10 peluches pour 45,60 €. Le vendeur B vend 3 peluches pour 13,70 €. Quel vendeur est le moins cher ? (Tu calculeras le prix exact d’une peluche chez le vendeur A, et l’arrondi au centime d’euro près du prix d’une peluche chez le vendeur B)

Séance 4 Je redécouvre la notion de fraction Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens ÉCRITURES FRACTIONNAIRES Définition : une écriture fractionnaire est une écriture de la forme 7,5 . 4,89 7,5 numérateur barre de fraction dénominateur

4,89

Exemples : 2 ; 2, 5 ; 72 ; 4, 75. 3 8, 6 4, 78 10


Exercice 19 On considère les écritures fractionnaires ci-dessous :

9

9,5

13

12 7,5

7,2

2

4,89

3

15 0,14

5

7,2

7,6


51


1- Quel est le dénominateur de l’écriture fractionnaire qui a 5 pour numérateur ? ............... 2- Quel est le numérateur de l’écriture fractionnaire qui a 7,2 pour dénominateur ? ............... 3- Quelle écriture fractionnaire a le plus grand dénominateur ? ...............


j e retiens FRACTIONS Définition : une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. 2 Exemples : ; 9 ; 1 284 sont des fractions. 3 145 73 9,1 n’est pas une fraction. 47

Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 20 À l’école primaire, tu as vu qu’à une fraction correspondait à un partage. Dans chaque cas, indique quelle fraction de la figure est coloriée en bleu.

.....................

.....................

.....................

Exercice 21 Écris sous forme de fraction : Trois quarts

...............

Quinze tiers

...............

Sept demis

...............

Neuf douzièmes

...............

52



séance 4 —

Séquence 8

Exercice 22 Écris chaque fraction suivante en toutes lettres : 2 .......................................................................................................... 3 7 .......................................................................................................... 4 33 .......................................................................................................... 7 17 .......................................................................................................... 11

Exercice 23 À l’aide d’un calcul de tête, complète les égalités suivantes : 35 = .................................. 7

9 = .................................. 9

13 = .................................. 1

48 = .................................. 6

56 = .................................. 7

4 = .................................. 4

72 = .................................. 1

77 = .................................. 11

37 = .................................. 37


j e retiens Propriétés :

• Si a est un nombre quelconque : a = a 1 5 , 8 103 Exemples : = 5, 8 = 103 1 1 • Si a est un nombre quelconque différent de 0 : 2 087 Exemples : =1 2 087

a =1 a


Exercice 24 1- On a partagé un segment [OI] d’une unité en quatre segments superposables. Écris dans les cases du dessous les écritures décimales, et complète les quatre fractions.

O 0

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

I 1 © Cned, Mathématiques 6e —


53


2- On a partagé un segment [OI] d’une unité en cinq segments superposables. Complète comme tu l’as fait dans la question précédente.

O

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

I

0

1

0,2

Exercice 25 On considère les nombres : 1- Complète le tableau

9 ; 7

5 ; 7

14 ; 13

8 ; 8

13 ; 14

2 ; 3

47 ; 47

3 2

nombres plus petits que 1

nombres égaux à 1

nombres plus grands que 1

........................................

........................................

........................................

2- Comment, sans calcul, reconnais-tu une fraction supérieure à 1 ? inférieure à 1 ?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


j e retiens

COMPARER UNE FRACTION À 1. Si a et b sont des entiers quelconques, et que b est différent de 0 : a est inférieure à 1 si a < b b a • la fraction est supérieure à 1 si a > b b

• la fraction


Exercice 26 Parmi les six fractions ci-dessous, quelles sont celles qui représentent un nombre décimal ? Pour les autres, tu donneras la troncature au centième du nombre représenté. a)

54

7 4

b)

2 3

c)

3 2

d)

11 12

e)

7 2



séance 5 —

Séquence 8

Séance 5 Je redécouvre la notion de fraction – suite – Avant d’effectuer l’exercice ci-dessous, nous allons découvrir un nouveau symbole, qui se lit

« est environ égal à » et qui se note « ≈ ». Ce symbole veut dire « est à peu près égal à » et il se

note « ≈ ».

2 avait pour arrondi au millième 0,667. On peut donc 3 2 dire que est à peu près égal à 0,667 et on note : 2 ≈ 0, 667 . 3 3 2 Comme a pour arrondi au centième 0,67 , on peut aussi écrire : 2 ≈ 0, 67 . 3 3

Utilisons-le sur un exemple : on a vu que

Effectue maintenant les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 27 Sans utiliser la calculatrice, complète par le signe « = » ou « ≈ » : a)

27 ......... 5,4 5

b)

41 ......... 6,833 6

c)

31 ......... 3,875 8

d) 22 ......... 3,142 85 7

Exercice 28 Dans chaque cas, écris sous chacun des points A, B et C son abscisse sous forme de fraction. 1-

A

B

C

0 2-

1

2 B

A 0

1

C 3

2

Exercice 29 Place sur la demi-droite ci-dessous : 2 a) A d’abscisse 3 9 c) C d’abscisse 3

0

1

2

b) B d’abscisse

7 3

d) D d’abscisse 14 3

3

4

5 © Cned, Mathématiques 6e —


55


Exercice 30 Place les nombres suivants sur la demi-droite graduée ci-dessous : 2 b) 4 − c) 4 + 2 a) 2 + 1 3 3 3

2

3

4

Nous allons maintenant voir dans les deux exercices ci-dessous une méthode qui te permettra de placer plus rapidement et plus facilement des fractions sur des demi-droites graduées. Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 31 « Sept quarts, c’est quatre quarts plus trois quarts »

Ainsi :

7 4 3 3 = + = 1+ 4 4 4 4

7 4 0

1 3 4

2

Sur le même modèle, écris les fractions suivantes puis place-les sur les demi-droites : 6 5

...................................................................

5 4

...................................................................

11 6

...................................................................

10 7

...................................................................

Exercice 32

0 0 0 0

1 1

2 2

1 1

plus grand multiple de 7 inférieur à 19

19 14 5 5 = + = 2+ 7 19 7 7 7 sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite On peut donc écrire 7 que 1. Voici un exemple :

Sur le même modèle, écris les fractions suivantes : 18 5

...................................................................

35 4

...................................................................

31 14

...................................................................

56



séance 6 —

Séquence 8

Effectue pour finir cette séance l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 33 Place sur la demi-droite graduée ci-dessous les points A, B, C, D et E d’abscisses respectives 3 3 5 29 11 , , , et . 4 2 4 8 8

0

1

2

3

4

Séance 6 J’étudie les fractions égales Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 34 1- Écris sous chaque point des cinq demi-droites graduées la fraction correspondante.

Le document se trouve page suivant.

2- a) À l’aide des demi-droites graduées, complète :

....... ....... ....... ....... ....... = = = = 2 3 4 5 10 ....... ....... ....... ....... ....... 2= = = = = 2 3 4 5 10 1=

3=

....... ....... ....... ....... ....... = = = = 2 3 4 5 10

b) À l’aide des demi-droites graduées, complète :

3 ....... = 2 4

3 ....... = 2 10

6 ....... = 5 10

c) D’après la question précédente, il semble que : « Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre,

............................................................................................................................... » © Cned, Mathématiques 6e —


57

58

0

0

0

0

0

0

1

2

3




Séquence 8

séance 6 —


j e retiens

ÉCRITURES FRACTIONNNAIRES ÉGALES Propriétés : • Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.

exemple :

x2 3 5

6 10

= x2

• Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.

exemple :

÷3 12 9

4 3

= ÷3


Exercice 35 Recopie et complète : a)

e)

16 5 5 3

=

=

b)

10 f)

3 4

15

=

4

33

c)

7

=

24 6

g)

8 7

=

=

8 16

=

39 26


59

12 21

=

16

d)

2

h)

2


Exercice 36 Recopie et complète : a)

7 ....... 14 ....... 42 = = = = 5 15 ....... 20 .......

b) 30 = .......= .......= 60 = ....... ....... 12 9 3 6 c) 20 = 40 = .......= .......= 25 12 ....... 6 30 .......



Exercice 37 7 dont le dénominateur est 10. 2 9 b) Écris la fraction égale à dont le dénominateur est 100. 4 7 c) Existe-t-il une fraction égale à dont le dénominateur est 1 000 ? 8 11 d) Existe-t-il une fraction égale à dont le dénominateur est 10 ? 3

a) Écris la fraction égale à


j e retiens

SIMPLIFIER UNE FRACTION Définition : simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale qui s’écrit avec un numérateur et un dénominateur plus petits. 15 3× 5 5 Exemple : On dit que l’on a simplifié par 3. = = 18 3× 6 6


Exercice 38 Simplifie les fractions suivantes : a)

6 4

b)

102 87

c)

15 40

d)

8 12

e)

108 45



Simplifier la fraction

30 42

1e méthode : • On cherche un entier qui divise 30 et 42. On utilise le critère de divisibilité par 3 : la somme des chiffres de 30 et 42 est divisible par 3. 30 3×10 10 = = 42 3×14 14 • On cherche à simplifier de nouveau la fraction 10. 14 On utilise le critère de divisibilité par 2 : 10 et 14 sont pairs. 10 2 × 5 5 = = 14 2 × 7 7 5 • On ne peut plus simplifier de nouveau . On peut donc conclure : 7 Remarques :

30 5 = 42 7

30 6 × 5 5 • On pouvait également simplifier directement la fraction de la façon suivante : = = 42 6 × 7 7 • Lorsqu’on simplifie une fraction, on doit essayer d’obtenir une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles.

60



séance 7 —

Séquence 8


Exercice 39 Simplifie les fractions suivantes autant que tu le peux : a)

42 66

b)

30 165

c)

315 90

d)

210 36

Séance 7 J’étudie les fractions égales – suite – Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 40 Écris les nombres suivants sous forme de fraction simplifiée : a) 0,4

b) 0,24

c) 1,3

d) 0,42

Exercice 41 Parmi les nombres suivants, un seul n’est pas égal aux autres. Lequel ? a)

27 45

b) 0,6

c)

3 5

d)

12 20

e)

36 33

f)

6 10


Exercice 42 Complète : a)

3, 2 ....... = 1, 7 17

b)

26 ....... = 3, 85 385

c) 0, 05 = ....... 1, 006 1 006

d)

6, 07 60, 7 = 4,1 .......

e)

3 300 = 0, 06 .......

f)

0, 001 ....... = 0, 27 27


Exercice 43 Parmi les écritures fractionnaires ci-dessous, lesquelles ne sont pas des fractions ? Détermine pour chacune d’elles une fraction qui lui est égale. a)

2 3, 6

b)

2,12 2

c)

3 4

d)

4,1 3

e)

0, 06 12 © Cned, Mathématiques 6e —


61


Exercice 44 Écris chaque écriture fractionnaire ci-dessous sous forme de fraction et simplifie-la au maximum. a)

1, 5 10, 5

b)

1, 35 0, 27

c)

4, 5 9, 9

d)

8, 4 4, 8

e)

5, 2 0, 4

Séance 8 Je calcule une fraction d’un nombre Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 45

Maxence, un garçon équitable — fin —

1- Maxence partage son gâteau d’anniversaire en 4 parts égales. Lui et ses deux amis Léo et Amaury mangent chacun une part. Le gâteau pèse 800 g. On veut déterminer quelle masse de gâteau Maxence et ses deux amis ont mangée. a) Maxence effectue le raisonnement suivant : 800 = .................... donc une part de gâteau pèse ...................... g. 4 Trois parts de gâteau pèsent donc ......... x ......... soit ..................... g.

Il trouve 600 g.

Il a donc effectué :

3 x ( 800 ÷ 4 )

b) Léo ne procède de la même façon. Voici comment il procède : Maxence et ses deux amis ont mangé les trois quarts du gâteau de 800 g. 3 Par définition, trois quarts de 800, c’est : × 800 4 Trois quarts est un quotient. Il s’écrit 3 ÷ 4. 3 ÷ 4 = 0,75.

Trois quarts de 800, c’est donc : 0,75 x 800.

L’ami de Maxence trouve également 600 g.

Il a en fait effectué :

(....... ÷ ....... ) x .......

0,75 x 800 = 600.

trois quarts

de

3 Retiens : 3 4 Prendre les trois quarts de 800, c’est calculer × 800. 4 c) Amaury procède encore différemment :

62

À l’aide d’un schéma, il montre que prendre les trois quarts de 800 g, c’est prendre le quart de (3 x 800 g).

Il effectue : 3 x 800 = 2 400 puis 2 400 : 4 = 600.

L’autre ami de Maxence retrouve également 600 g.

Il a en fait effectué :

(....... x ....... ) ÷ .......

1

800

x 800 3 gâteaux

2

3

4



séance 8 —

Séquence 8

2- Applique ces trois méthodes pour calculer les deux cinquièmes de 600 g. On cherche à calculer ....... × ........ ....... • Méthode de Maxence :

..................................................................................................................................

• Méthode de Léo :

..................................................................................................................................

• Méthode d’Amaury :

..................................................................................................................................


j e retiens

FRACTION D’UN NOMBRE Définition : calculer une fraction d’un nombre, c’est multiplier la fraction par le nombre. 2 Exemple : deux cinquièmes de 600 s’écrit : × 600. 5


Exercice 46 Trois quarts de 733 s’écrit : ............................... Onze tiers de 408 s’écrit : .................................. 1 × 950 s’écrit en toutes lettres : ............................... ......................................................... 10 13 × 27 s’écrit en toutes lettres : ............................... ........................................................... 12


j e retiens Propriété : trois méthodes permettent de calculer 1e méthode (Léo) On divise 3 par 4 puis on multiplie par 16 (3 ÷ 4) x 16 = 0,75 x 16 = 12

3 ×16 : 4

2e méthode (Amaury) On multiplie 3 par 16 puis on divise par 4. (3 x 16) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12

3e méthode (Maxence) On divise 16 par 4. On multipplie 3 par le résultat obtenu. 3 x (16 ÷ 4) = 3 x 4 = 12


63



Exercice 47 Calcule :

a)

5 × 24 4

b) 6 × 50 10

c) 2 × 30 5

a)

2, 6 ×10 2

1 b) ×12 3

c)

d)

28 ×5 4

Exercice 48 Calcule :

3 × 35 7



Calculer en utilisant la meilleure méthode 35 ×

35×

11 7

11 11 s’écrit également × 35. 7 7 1e méthode

11 n’est pas 7 11 intéressant car n’est 7 pas un nombre décimal. Calculer

2e méthode

3e méthode

Calculer 11 x 35 puis diviser par 7 est possible mais complexe, alors que l’on voit que 35 est divisible par 7, c’est-à-dire que la 3e méthode va être adaptée.

11 x (35 ÷ 7) = 11 x 5 = 55 La 3e méthode est la meilleure.


Exercice 49 Calcule de tête : a)

3 ×14 7

8 b) ×15 5

c) 6 ×

11 2

d) 0, 09 ×

100 3

Exercice 50 Calcule à l’aide de la meilleure méthode : a)

64

2 ×18 3

b)

28 × 3, 5 7

c) 8 000×

0, 001 2

d)

11 × 28 7



séance 9 —

j e comprends la méthode Exprimer sous la forme d’une fraction

l’arrondi au centième du résultat.

Séquence 8

5 × 4 puis, à l’aide de la calculatrice, donner 6

1- Je constate que les divisions de 5 par 6 et de 4 par 6 ne « s’arrêtent jamais ». Je ne peux donc pas utiliser les méthodes 1 et 3. J’utilise donc la méthode 2. 5× 4 , je ne me précipite pas sur les calculs. 6 Je regarde si je peux simplifier la fraction.

2- Une fois obtenue la fraction

5 5 × 4 5×2 × 2 10 ×4 = = = 6 6 2 ×3 3 5 10 ≈ 3, 33 donc ×4 ≈ 3, 33 6 3

on a simplifié par 2

Exercice 51 Exprime sous la forme d’une fraction puis, à l’aide de la calculatrice, donne l’arrondi au centième des expressions ci-dessous : a)

2 × 21 33

b)

5 × 28 21

c) 3, 6×

10 7

Séance 9 Je calcule la fraction d’un nombre – suite – Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 52 Un cycliste parcourt les deux septièmes d’un parcourt de 280 km. Il s’arrête pour déjeuner. Quelle distance lui reste-t-il à parcourir ?

Exercice 53 La superficie de la France est 552 000 km2. La superficie de la Corse représente les 15,5 millièmes de la superficie de la France. Quelle est la superficie de la Corse ? Tu n’utiliseras ta calculatrice que pour effectuer une multiplication.


65


Exercice 54 Romain a 42 € en poche et va s’acheter diverses choses... 1- Il commence par acheter un ballon de football. Il dépense alors les deux tiers de son argent a) Quelle somme a-t-il dépensée ? b) Quelle somme lui reste-t-il ? 2- Romain dépense ensuite trois septièmes de l’argent qui lui reste : il achète un livre de poche. a) Quelle somme a-t-il dépensée lors de son deuxième achat ? b) Quelle somme lui reste-t-il après ses deux premiers achats ?


66



séance 9 —

j e m’évalue

1- le quotient de 42 par 7 est :

® 6 ® 8 ® 7 ® 42

® n’est pas un nombre décimal ?

17 s’écrit également : 12

5 12 ® 5 + 1 12 ® 1+ 5 12 ® 17 + 1 12

® 1,61 ® 1,64 ® 1,642 6- La fraction

68 s’écrit également : 7

7 ® 9 + 4 7 ® 9+ 3 7 ® 9 + 6 7 4 s’écrit également : 3

® 8

6 8 ® 3 ® 12 9 20 ® 15 9- L’expression

® 30 ® 27 ® 28 ® 37

4- L’écriture fractionnaire 8,2 est égale à : 5 ® 1,5

® 9 + 5

® 12+

7- La fraction

2- Le quotient 342 ÷ 50 est égal à :

® 6,83 ® 6 ® 8,64 ® 6,84

3- La fraction 58 : 9 ® est un nombre décimal ?

5- La fraction

Séquence 8

7, 4 ×10 est égale à 2

2, 6 8- L’écriture fractionnaire s’écrit 4, 2 également : ® 13 21 84 ® 52 52 ® 84 ® 26 42 10- L’arrondi au centième de six septièmes de 26 est

® 22,29 ® 22,28 ® 22,3 ® 22


67

Sommaire de la séquence 9  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Je redécouvre la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Je raisonne dans des situations de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Je raisonne dans des situations de proportionnalité - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Je raisonne dans des situations de proportionnalité - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Je découvre la notion d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Je découvre la notion d’échelle - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 J’applique un taux de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 J’applique un taux de pourcentage - suite -

.......................................................

299

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

 Objectifs  être capable de déterminer si une situation est une situation de proportionnalité.  Savoir raisonner dans des situations de proportionnalité.  Maîtriser la notion d’échelle.  Savoir appliquer un taux de pourcentage.



séance 1 —

Séquence 9

Séance 1 Je redécouvre la proportionnalité Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 9. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 9 : PROPORTIONNALITÉ ». Fais de même avec ton cahier d’exercices. Maintenant, effectue le test ci-dessous.

j e révise les acquis de l’école 1- Dans la recette d’un cocktail de fruit, il est noté que pour 50 ml de jus d’orange, il faut 25 ml de jus d’ananas. Dans un grand verre, on a déjà versé 150 ml de jus d’orange. Pour respecter la recette, il faut verser :

2- Une voiture roule à la vitesse de 110 km par heure. En quatre heures, elle aura parcouru :

® 25 ml de jus d’ananas

® 400 km


® 330 km


® 310 km


® 440 km

3- 10 avions en papier pèsent 45 g. Combien pèse un avion en papier ?

4- Un magasin propose 30 % de réduction sur un parapluie qui coûte 20 €. Cela représente une réduction de :

® 10 fois moins

® 6€

® 3 g

® 30 €

® 15 g

® 60 €

® 4,5 g

® 5 €


69



Exercice 1

La proportionalité … au quotidien

Recopie et complète les phrases suivantes :

• Une semaine est constituée de .............. jours, donc

• dans 4 semaines, il y a ............................ jours, • dans 11 semaines, il y a ........................... jours, • dans 52 semaines, il y a ........................... jours.

• Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés, donc • 2 octogones possèdent au total ........................... côtés, • 3 octogones possèdent au total ........................... côtés, • 50 octogones possèdent au total ........................... côtés. •

Une glace coûte 1,5 €, donc • 2 glaces coûtent donc .............. euros, • 3 glaces coûtent donc .............. euros, • 4 glaces coûtent .............. euros.


j e retiens

PROPORTIONNALITÉ Définition : Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre grandeur par un même nombre, alors on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles. Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l’on a une situation de proportionnalité.

Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous (ne recopie pas les quatre illustrations).

j e retiens

Exemple : Dans un magasin, tous les crayons sont à 1,3 €. Le nombre de crayons achetés et le prix total sont des grandeurs proportionnelles. 2 crayons coûtent :

1 crayon coûte : 1,3 �

2 x 1,3 = 2,6 soit 2,6 �

3 crayons coûtent : 3 x 1,3 = 3,9 soit 3,9 �

28 crayons coûtent : 28 x 1,3 = 36,4 soit 36,4 �

On a donc une situation de proportionnalité. On peut la représenter par le tableau : nombre de crayons prix total (en � )

70

1

2

3

28

1,3

2,6

3,9

36,4

x 1,3



séance 1 —

Séquence 9

Prends ton cahier d’exercices et effectue maintenant les trois exercices suivants :

Exercice 2

Un litre de peinture d’une certaine marque pèse 2,4 kg. 1- Combien pèsent 5 l ? 12 l ? 2- Une personne possède un bac rempli de 24 kg de cette peinture. Combien de litres cela représente-t-il ?

Exercice 3 Deux clients arrivent dans une station essence dans laquelle un litre de carburant coûte 1,25 €. 1- Le premier client achète 30 l de carburant. Quelle somme va-t-il payer ? 2- Le deuxième client achète 46,6 l. Quelle somme va-t-il payer ?

Exercice 4

La proportionalité … méfions-nous !

Étudions la taille de Monsieur Grandbonhomme à différents moments de sa vie : à 1 an : 80 cm à 5 ans :

100 cm

à 10 ans :

138 cm

à 50 ans :

175 cm

Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Rédige minutieusement ta réponse.


j e retiens

Remarque Il existe de nombreuses situations qui ne sont pas des situations de proportionnalité (on dit encore que ce sont des situations de non proportionnalité). Par exemple, le poids ou la taille d’une personne à différents âges ne sont pas, en général, des situations de proportionnalité.

Prends ton cahier d’exercices et effectue maintenant l’exercice ci-après.


71


6

Exercice 5

2

3

4

5

On a indiqué dans le tableau ci-dessous, pour trois triangles équilatéraux : • la mesure de chacun de ses côtés 1

• le périmètre (c’est-à-dire la longueur de son contour). triangle 1

triangle 2

triangle 3

2

4

5,1

c

6

12

15,3

cx3

côté du triangle équilatéral (en cm) périmètre du triangle équilatéral (en cm)

Que peut-on dire des deux grandeurs « côté » et « périmètre » d’un triangle équilatéral ? Justifie

Lis attentivement ce qui suit.


Prouver que deux grandeurs sont proportionnelles

Voici la distance parcourue par un scooter sur une piste :

temps (en s)

1

6

0,3

8

distance parcourue (en m)

5

30

1,5

40

la distance parcourue par le scooter et le temps sont-elles des grandeurs proportionnels ? 5 = 1 x 5 30 = 6 x 5 1,5= 0,3 x 5 40 = 8 x 5 La distance parcourue en 1 s, 6 s , 0,3 s et 8 s s’obtient en multipliant la valeur du temps par 5. La distance parcourue par le scooter et le temps sont donc des grandeurs proportionnelles. Les commentaires du professeur : On a utilisé la définition de deux grandeurs proportionnelles : Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre grandeur par un même nombre, alors on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles.

Séance 2 Je raisonne dans des situations de proportionnalité Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices :

Exercice 6 Chez un marchand de tissus, 3 mètres de ruban coûtent 10,5 euros. 1- Combien coûtent 6 m, 12 m et 15 m de ruban ? 2- Combien coûtent 1 m, 1,5 m, 0,3 m ?

72



séance 2 —

Séquence 9


j e retiens

Méthode 1 : « la méthode de la multiplication et de la division » Une fabrique vend du café. 20 g coûtent 0,5 € et le prix de ce café est proportionnel à la masse achetée . Calculons le prix de 200 g de café : masse du paquet (en g) Le prix de 20 g de café est 0,5 €. prix du café (en �) Comme 200 = 10 x 20, le prix de 200 g de café est 10 x 0,5 soit 5 €.

Calculons le prix de 2 g de café : Le prix de 20 g de café est 0,5 €. Comme 2 = 20 ÷ 10, le prix de 2 g de café est 0,5 ÷ 10 soit 0,05 €.

x 10 20

200

0,5

5 x 10 ÷ 10

masse du paquet (en g)

20

2

prix du café (en �)

0,5

0,05 ÷ 10


Exercice 7 6 kg de charbon de bois de la marque « çabrûle » coûtent 4 €. 1- Combien coûtent 18 kg de charbon de bois ? 24 kg ? 3 kg ? 2- Une personne a acheté du charbon de bois pour une valeur de 20 €, une deuxième pour une valeur de 22 €. Quelle masse de charbon ont-elles achetée ?


j e retiens

Méthode 2 : « la méthode de l’addition » Calculons le prix de 220 g de café. Le prix de 20 g de café est 0,5 €, masse du paquet (en g) le prix de 200 g de café est 5 €, le prix de 220 g (20 g + 200 g) est prix du café (en �) donc 0,5 + 5 soit 5,5 €.

+ 20

200

220

0,5

5

5,5

+

Prends ton cahier d’exercices et effectue les trois exercices ci-après.


73


Exercice 8 Chez le fleuriste M. Héliotrope, 20 roses coûtent 13,6 €. Combien coûtent 5 roses ? 25 roses ? 45 roses ?

Exercice 9 Le robinet d’une baignoire d’une salle de bain coule avec un débit de 5 litres toutes les 3 minutes. Combien de litres d’eau coulent en 1 heure ? en une demi-heure ? en 1 heure et 3 minutes ?

Exercice 10 Un motard roule à 120 km par heure sur une autoroute. 1- Combien de km le motard a-t-il parcourus au bout d’une demi-heure ? d’un quart d’heure ? de trois quarts d’heure ? 2- En combien de temps parcourt-il 150 km ? 15 km ? Tu donneras le deuxième temps en minutes et en secondes.

Séance 3 Je raisonne dans des situations de proportionnalité — suite — Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous :

Exercice 11 7 litres d’un soda coûtent 8,05 €. 1- Combien coûte 1 L de soda ? 2- Quel est le prix de 13 L de soda ? de 27 L de soda ?


j e retiens

Méthode 3 : « le retour à l’unité » Calculons le prix de 123,12 g de café. Son principe est simple : elle consisteà calculer le prix d’1 g de café. Il suffira ensuite de multiplier ce prix « à l’unité » par le nombre de grammes de café pour obtenir le prix. masse du paquet (en g) 1 123,12 Le prix de 20 g de café est 0,5 €, x 0,025 donc 1 g coûte 0,5 : 20 soit 0,025 €. 0,025 3,078 prix du café (en �) Si l’on veut alors calculer le prix de 123,12 g de café, on effectue 123,12 x 0,025. On trouve 3,078 €. 800 g de ce café coûtent donc 3,078 €, soit environ 3,08 € (arrondi au centième). Remarque : Le prix de l’unité (ici 0,025) est appelé « coefficient de proportionnalité ».

74



séance 4 —

Séquence 9

Effectue les quatre exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 12 L’eau minérale contenue dans les 6 bouteilles de 1,5 litre d’un pack contient au total 4,32 grammes de calcium. 1- Quelle masse de calcium (en g) est présente dans un litre de cette eau ? 2- Quelle masse de calcium y a-t-il dans 15 L de cette eau ? dans 25 L ? 3- Dans quel volume d’eau (en L) y a-t-il 4,992 g de calcium ?

Exercice 13

La proportionalité … au service du consommateur !

Comparons les prix de deux barils de lessive : Marque « kips » : 2,50 € le paquet de 4 kg. Marque « erial » : 2,79 € le paquet de 4,5 kg. Quelle est la marque la moins chère ?

Exercice 14 Une machine industrielle produit de façon constante 44 kg de crème glacée en 25 minutes. 1- Combien produit-elle de crème glacée en 1 min ? 2- Combien produit-elle de crème glacée en 32 min ? en 3 heures 27 min ? 3- Quel temps met-elle pour produire 172,48 kg de crème glacée ? 227,04 kg ?

Exercice 15 5 timbres coûtent 1,8 euro. 1- Combien coûtent 11 timbres ? 17 timbres ? 33 timbres ? 2- Combien de timbres peut-on acheter avec 2,52 euros ?

Séance 4 Je raisonne dans des situations de proportionnalité — suite — Prends ton cahier d’exercices et effectue les cinq exercices ci-dessous :

Exercice 16

La proportionalité … vérifions !

Peut-on dire que la situation définie par le tableau ci-dessous est une situation de proportionnalité ? nombre de photographies développées

12

24

36

prix ( en €)

1,8

3,6

4,6


75


Exercice 17 Quand Budan avait 4 ans, Julie avait 30 ans. Quel âge aura Budan quand Julie aura 60 ans ?

Exercice 18 Le pied et le pouce sont des unités anglaises de longueur. Un pied vaut exactement 30,48 cm. Dans un pied, il y a 12 pouces. 1- À quelles longueurs (exprimées en cm) correspondent 17 pouces ? 19 pouces ? 21 pouces ? (qui sont les longueurs des diagonales des écrans d’ordinateurs les plus courants) 2- Sans effectuer aucune multiplication, calcule à quelles longueurs en cm correspondent 36 pouces puis 40 pouces. 3- Quelle longueur, exprimée en pouces, est égale à 69,85 cm ?

Exercice 19 Arnaud a acheté un nouveau téléphone portable. Son forfait se paie au mois et lui donne droit à 2 heures de communication (par mois). 7 mois de communication lui coûtent 115 €. Combien coûtent 13 mois de communications ? 9 mois ? Tu donneras des valeurs exactes puis des valeurs arrondies au dixième d’euro près.

Exercice 20 Une entreprise fabrique et vend du lait de coco (c’est le jus de la noix de coco). Il faut 21 noix de coco pour obtenir 5 litres de lait de coco. 1- Combien de litres de lait de coco peut-on produire avec 13 noix de coco ? 2- Combien faut-il de noix de coco pour obtenir 16 L de lait de coco ? Tu donneras des valeurs exactes puis des valeurs arrondies au dixième près.

76



séance 5 —

Séquence 9

Séance 5 Je découvre la notion d’échelle Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 21 Afin de bien réfléchir au nouvel aménagement de sa salle de séjour, Steeven décide de faire un plan de sa pièce. Pour commencer, il prend différentes mesures qu’il reporte sur un schéma à main levée :

6,35 m 3,25 m

5,45 m 3,55 m

Steeven veut lui-même tracer un plan définitif très précis. Il décide que sur le plan définitif, les dimensions en cm seront 50 fois plus petites que dans la réalité. 1- Afin d’aider Steeven à faire son plan, recopie et complète le tableau ci-dessous (si possible sans utiliser la calculatrice et sans poser de calcul) : distance réelle en cm

..............

..............

..............

..............

distance sur plan en cm

..............

..............

..............

..............

÷ 50

2- Recopie et complète : ....... 545 = 545 × ....... ....... ....... Diviser un nombre par 50 revient à le multiplier par . ....... 3- a) Les distances sur le plan de Steeven sont-elles proportionnelles aux distances réelles ? Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité ? 545 ÷ 50 =

b) Quelle distance réelle représente 1 cm sur le plan ? 4- Fais le plan de la salle de séjour de Steeven. 5- Steeven a calculé qu’il devra tracer un cercle de 1,2 cm de rayon pour représenter sur son plan sa table circulaire. Quel est le diamètre en m de la table dans la réalité ?

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. (ne reproduis pas le schéma). © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

77


j e retiens

NOTION D’ÉCHELLE Définition : lorsque les distances sur un plan sont proportionnelles aux distances réelles, on dit que le plan est « à l’échelle ». Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s’appelle l’échelle du plan. 1 Sur un plan à l’échelle , les distances sont représentées 4 fois plus petites que dans 4 la réalité. 1 cm représente donc 4 cm. réalité

plan à l'échelle 1 4

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 22 Une carte est à l’échelle

1 . 40 000

a) Qu’est-ce que cela signifie ? b) Sur cette carte, le village de Belvu et celui de Pentu sont distants de 7 cm. Quelle est la distance réelle en km qui sépare les deux villages ? c) À vol d’oiseau, il y a 5,2 km entre Toitu et Lunavrac. Quelle distance sépare ces deux villes sur la carte ?

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Tu feras cependant la construction géométrique demandée sur ton livret.

78



séance 5 —

Séquence 9

Exercice 23 Voici un plan du centre d’une ville 1 à l’échelle . 8 000 1- Quelle est la distance réelle entre la gare et le collège ? entre la gare et le lycée ?

C

2- La piscine P se trouve à 200 m du collège et à 552 m du lycée. a) Sur le plan, à quelle distance se trouve-t-elle du collège ? du lycée ?

L G

b) Place P sur le plan, sachant qu’elle est plus près de la gare que le collège.

G : gare

C : collège

L : lycée


Exercice 24 Sur une carte, on peut voir la légende suivante : 0

32 km

a) Quelle distance réelle est représentée par 1 cm sur cette carte ? b) Quelle est l’échelle de cette carte ? c) Quelle distance réelle en km sépare deux localités distantes sur le plan de 6 cm ? de 3,7 cm ? d) Combien de centimètres sur la carte séparent deux villes distantes de 40 km ? de 74 km ?

Exercice 25 1 Prêts à partir en promenade, Hervé et Christel hésitent entre deux cartes : l’une au , 20 000 1 l’autre au . Ils souhaitent emporter la plus détaillée. Laquelle doivent-ils prendre ? 30 000 Explique ta réponse.

Exercice 26 1 Le dessin ci-contre représente une figure à l’échelle . 2 Dessine sur du papier à petits carreaux la figure en dimensions réelles.


79


Séance 6 Je découvre la notion d’échelle — suite — Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-dessous.

Exercice 27 Une paramécie est un minuscule animal unicellulaire. La figure ci-contre représente une paramécie vue au travers d’un microscope qui grossit 210 fois. Détermine une valeur approchée de la longueur réelle de la paramécie (Ne prends pas en compte la longueur des cils).

Exercice 28 Représente la figure ci-contre à l’échelle 3 sur du papier à petits carreaux.

Exercice 29 Reproduis chacune de ces figures à l’échelle 1,5. a)

b)

A

E

80

B

55°

3 cm

55°

A

B

O

C

D

C

D

AB = 1,2 cm

BO = 2 cm



séance 6 —

Séquence 9

Exercice 30

Dans cet exercice, tu effectueras toutes tes mesures sur la carte en mm. N’oublie pas que 1 cm = 10 mm.

longueur ?

1- Voici une carte de l’île de la Réunion (une île française située à l’Est de l’Afrique) :

Détermine la largeur et la longueur de l’île en km (arrondis tes résultats à l’unité).

• St Denis • • La Possession St André

•St Paul •St Gilles

• Salazie Cilaos •

• St Benoît • Ste Rose

largeur ?

π St Louis Piton de • la Fournaise St Joseph • St Pierre • 40 km

0

2- Fais le même travail que précédemment pour la carte de la Corse, ci-dessous. longueur ?

• • Bastia Calvi • Corte Ajaccio •

largeur ?

•Sartène 0

50 100 150 kilomètres

3- Laquelle des deux îles est la plus grande ?



81


Exercice 31 Voici une méthode pour agrandir un personnage. • Voici le personnage :

• On place le personnage sur un quadrillage :

• On prend un quadrillage à mailles plus grandes. Reproduis le personnage en t’aidant au maximum de repères pris sur le premier quadrillage. Colorie ton personnage à ta guise.

82



séance 7 —

Séquence 9

Séance 7 J’applique un taux de pourcentage Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 32

La proportionalité … et les pourcentages.

Sur l’emballage d’un petit pot de compote, on peut lire l’indication suivante : « contient 45 % de pomme ». a) Quelle est la masse de pommes contenue dans 100 g de cette compote ? dans 1 g ? dans 20 g ? dans 40 g ? b) Regroupe les données précédentes dans un tableau comme celui ci-dessous : masse de compote (en g)

100

masse de pomme (en g)

.....

c) Par quel nombre multiplie-t-on la masse de pommes en g pour obtenir la masse de compote obtenue en g ? Exprime ensuite ce nombre sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100.


j e retiens

NOTION DE POURCENTAGE La phrase : « 80 % des élèves du collège Marcel Pagnol sont demi-pensionnaires » signifie que sur 100 élèves du collège, 80 élèves sont demi-pensionnaires ». Le symbole % se lit « pour cent ». 80 et sous forme décimale 0,8. 80 % s’écrit sous forme fractionnaire 100 Ce collège comporte au total 260 élèves. On peut calculer le nombre d’élèves demi-pensionnaires de la façon suivante : nombre d'élèves nombre d'élèves demi-pensionnaires

100

260

80

80 x 260 = 0,8 x 260 = 208 100

x 80 100


Exercice 33 L’eau de mer contient 3 % de sel. a) Quelle masse de sel (en g) y a-t-il dans 100 g d’eau de mer ? b) Quelle masse de sel (en g) y a-t-il dans 17 g d’eau de mer ? © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

83



j e retiens

Calculer un pourcentage d’un nombre. 3 par ce nombre. Pour calculer 3 % d’un nombre, on multiplie 100



Calculer 20 % de 80 kg

1- Je traduis cette phrase :

2- Je multiplie la fraction par le nombre :

Prendre 20 % de 80, c’est calculer : 20 × 80 100

20 × 80 = 0, 2× 80 = 16 100

3- Je conclus : 20 % de 80 kg représentent 16 kg.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les 5 exercices ci-dessous.

Exercice 34 a) Calculer 16 % de 70 L.

b) Calculer 84 % de 350 g.

c) Calculer 160 % de 20 €.

Exercice 35 Exprimer sous forme de pourcentage : a)

1 10

b)

3 10

c)

1 5

d)

1 4

d)

7 1 000

Exercice 36 Exprimer sous forme de pourcentage : a)

7 20

b)

31 50

c)

38 40

Exercice 37 Exprimer sous forme de pourcentage : a) 0,2

84

b) 0,56

c) 0,07

d) 9



séance 8 —

Séquence 9

Exercice 38 50 puis recopie et complète : 100 Pour prendre 50 % d’un nombre, on divise ce nombre ..................................... .

a) Simplifie

25 puis recopie et complète : 100 Pour prendre 25 % d’un nombre, on divise ce nombre ..................................... .

b) Simplifie

10 puis recopie et complète : 100 Pour prendre 10 % d’un nombre, on divise ce nombre ...................................... .

c) Simplifie

Séance 8 J’applique un taux de pourcentage — suite — Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 39 Construis trois disques de rayon 3 cm. Sachant que l’angle qui correspond à un tour complet mesure 360°, (180° + 180°) colorie dans chaque cas à l’aide de ton rapporteur : a) 25 % du disque

180°

b) 20 % du disque 180°

c) 30 % du disque

Toujours sur ton cahier d’exercices, mais sans effectuer aucun calcul écrit, effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 40 Calculer mentalement : a) 25 % de 400

b) 50 % de 70

c) 50 % de 0,62

d) 25 % de 42

e) 10 % de 20

f) 50 % de 3,2

g) 75 % de 160

h) 75 % de 32


85


Exercice 41 Calculer mentalement : a) 125 % de 20

b) 150 % de 26

c) 110 % de 84

d) 200 % de 0,74

Effectue les exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices à l’aide de ta calculatrice.

Exercice 42 Arthur possède un disque dur de 200 Go (giga octets) rempli à 66 %. Quelle mémoire libre lui reste-t-il sur ce disque ? Tu proposeras deux méthodes de calcul.

Exercice 43 Un magasin propose une réduction de 20 % sur les chemises et de 30 % sur les pulls. Tom achète une chemise à 17,50 € et deux pulls à 21 € chacun (sans compter les réductions). Combien Tom va-t-il réellement payer au total ?

Exercice 44 Le hamburger très célèbre pèse 140 g. Il est constitué, en autres, de 26 % de protides (protéines ...), 25,8 % de lipides (les graisses), 43,8 % de glucides (les sucres). Calcule successivement la masse de protides, de lipides et de glucides contenue dans ce hamburger.

86



séance 9 —

Séquence 9

Séance 9 J’effectue des exercices de synthèse Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-après.

Exercice 45 Les « bateaux mouches » parisiens sont des bateaux qui permettent de faire des promenades sur la Seine et de voir des monuments parisiens. Ces bateaux sont souvent remplis de touristes ; voici les différentes nationalités des touristes sur un de ces bateaux qui contient 200 personnes :

1- Recopie et complète :

nationalité

nombre

Italiens

46

Japonais

65

Anglais

28

Allemand

44

Français

17

46 ...... = 200 100 44 ...... = 200 100

65 ...... = 200 100

28 ...... = 200 100

17 ...... . = 200 100

2- Quels sont les pourcentages d’Italiens, de Japonais, d’Anglais, d’Allemands et de Français présents sur ce bateau ?

Exercice 46 Parmi les 25 enfants d’un centre aéré, il y a 10 filles. 1- Recopie et complète : 10 = ...... . 25 100 Quel est le pourcentage de filles dans le centre aéré ? 2- À l’aide d’une soustraction, détermine le pourcentage de garçons dans le centre aéré.


87


Exercice 47 La phrase : « le prix de cette voiture a augmenté de 10 % cette année » signifie que le nouveau prix de la voiture est égal au prix de l’année dernière plus 10 % du prix de l’année dernière. a) Le prix d’une voiture A qui coûtait 12 000 € a augmenté de 10 %. b) Le prix d’une voiture B qui coûtait 12 500 € a augmenté de 5 %.

Parmi les deux voitures, laquelle est la moins chère actuellement ?

Exercice 48 Un ordinateur portable coûtait 800 € il y a deux mois. Son prix a alors baissé de 5 %. Le mois dernier son prix a cette fois augmenté de 5 %. Quel est son prix aujourd’hui ? Attention, il y a un piège !


88



Séquence 9

séance 9 —

j e m’évalue

1- Un litre et demi de soda coûte 0,60 €. Combien coûtent 6 litres ?

® 2 € ® 3,6 € ® 2,6 € ® 2,4 €

2- Une longueur de 6 cm de fil d’or pèse 3,45 g. Combien pèsent 2 cm de ce fil d’or ?

® 6,9 g ® 3,45 g ® 1,15 g ® 12 g

3- Un lot de 8 ballons de volley-ball pèse 1,4 kg. Trois ballons pèsent donc :

4- 5 kg de poires coûtent 11 € . 7 kg de poires coûtent : 77 € 5 ® 5 € 77

® 0,5 kg

®

® 0,525 kg ® 0,8 kg

® 15,4 €

® 5,7 kg

® 7,5 €

5- La situation décrite par le tableau est- 6- La situation décrite par le tableau est-elle elle une situation de proportionnalité ? une situation de proportionnalité ? temps (en s) distance (en m)

3

5

16,5 27,25

10

nombre

2

8

0,5

55

prix (en €)

10

40

2,5

® OUI

® OUI

® NON

® NON

1 8- Une très grande carte est à l’échelle 1 . . 25 000 20 000 Deux villes sont en réalité à une distance Sur cette carte, deux maisons sont à de 10 km l’une de l’autre. 7,5 cm l’une de l’autre. À quelle distance À quelle distance sont-elles sur la carte ? sont-elles dans la réalité ? ® 0,5 cm ® 25 000 cm

7- Une carte est à l’échelle

® 75 000 cm

® 50 cm

® 1 875 m

® 2 cm

® 187 500 cm

® 2 m

9- Les 18 % de 46 cm représentent :

® 8,28 cm ® 46,18 cm ® 828 cm ® 255,56 cm

10- La fraction

® 56 % ® 5,6 % ® 560 % ® 7 %

7 est égale à 125


89

Sommaire de la séquence 10  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Je calcule la longueur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Je calcule la longueur d’un cercle - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Je différencie aire et périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Je redécouvre les conversions de longueur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Je mesure des surfaces. Je revois les unités d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Je calcule le périmètre et l’aire d’un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Je calcule le périmètre et l’aire d’un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Je calcule le périmètre et l’aire d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Je calcule l’aire de figures plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

 Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 J’effectue des exercices de révision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

 Objectifs  Savoir calculer la longueur d’un cercle.  Être capable de différencier les notions d’aire et de périmètre.  Savoir utiliser les unités de longueur et d’aire.  Savoir calculer le périmètre et l’aire de figures simples.




Séance 1 Je calcule la longueur d’un cercle Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 10. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 10 : PÉRIMÈTRE, AIRES ». Fais de même avec ton cahier d’exercices. Maintenant, effectue le test ci-dessous.


2- Les deux figures ci-dessous ont :

1- La longueur de la courbe rouge est celle d’un cercle de 7,5 cm de rayon

15 cm 1

® vrai

2

® des périmètres et des aires différents ® des périmètres égaux

® faux

® des aires égales

3- L’aire de la figure 1 est :

4- L’aire d’un rectangle de 8 cm de long et de 4,3 cm de large est :

® 24,6 cm2 figure 1

figure 2

® plus grande que celle de la figure 2

® 34,4 cm ® 34,4 cm2 ® 24,6 cm

® égale à celle de la figure 2 ® plus petite que celle de la figure 2

Effectue les deux exercices suivants sur ton livret.


91


Exercice 1

Procure-toi plusieurs objets à fond circulaire (par exemple des boîtes de conserves, un pot de confiture, ...). 1- Détermine le diamètre de chaque boîte ou pot. 2- À l’aide d’un mètre de couturière, trouve le périmètre du fond de chacun des objets. 3- Présente tes résultats dans le tableau suivant : objet

...................

...................

...................

...................

diamètre D du fond

...................

...................

...................

...................

périmètre L du fond

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

...................

L D

4- Peut-on à partir de ce tableau, conclure que le périmètre du fond est proportionnel à son diamètre ? Justifie.

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Exercice 2 1- Complète :

diamètre en cm du cercle longueur en cm du cercle

18

29

D

.......... x .......... .......... x .......... .......... x ..........

x ........

2- L désigne la longueur d’un cercle, D son diamètre et R son rayon. Complète en t’aidant de la question précédente : L = .... x D = .... x (2 x ....) = 2 x .... x R


92




j e retiens Longueur d’un cercle La longueur d’un cercle de diamètre D (ou de rayon R) est donnée par la formule : L = � x D Remarques :

c’est-à-dire

D

L=2x�xR

R

• Pour valeur approchée de � on prend souvent 3,14. • La touche � de la calculatrice donne une valeur approchée plus précise : 3.141592654. • L’égalité L = 2 x � x R met en évidence que la longueur d’un cercle est proportionnelle à son rayon : rayon en cm du cercle longueur en cm du cercle

x (2x�)

le coin des curieux Une phrase pour retenir les dix premières décimales de �

11 33,,

44

11

5

mee àà fa e jj’’aaiim faiir QQuue ree

33

55 s. gees.

a x ssag u x a u ac p tiillee a u t onpre e u nanîtdrre un nnoommbbrre e un

99

22

66

55

Compte le nombre de lettres de chaque mot. Que remarques-tu ?

j e comprends la méthode �

À l’aide de la touche de la calculatrice, calculer la troncature au dixième de la longueur en cm d’un cercle de 39 cm de diamètre

La longueur en cm d’un cercle de 39 cm de diamètre est : � x D = � x 39 La troncature au dixième de la longueur en cm de ce cercle est donc 122,5. On a commencé par appliquer la formule permettant de calculer la longueur d’un cercle connaissant son diamètre : L = � x D � x 3 9 EXE On a tapé sur sa calculatrice : Il s’est affiché 122•5221134. La troncature au dixième de ce nombre est 122,5. Attention ! Pour répondre à la question posée, il ne fallait pas chercher la troncature au dixième de 3,14 x 39. Comme 3,14 est une valeur approchée de � , la longueur en cm du cercle n’est pas 3,14 x 39. 3,14 x 39 = 122,46. La troncature au dixième de 3,14 x 39 est donc 122,4. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

93


Effectue les six exercices ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 3 Des bonbons au miel sont vendus dans des boîtes circulaires de 6,2 cm de diamètre. Elles sont fermées par un ruban adhésif qui fait exactement le tour de la boîte. Quelle longueur de ruban (en cm) est nécessaire pour fermer une boîte ? Tu donneras la valeur exacte du résultat ainsi que son arrondi au dixième.

Exercice 4

Un beau parc pour les enfants de la ville

La ville a choisi de réaliser un joli parc pour les enfants. À l’entrée, il y aura une fontaine de 7,5 mètres de rayon. Quelle distance parcourra un enfant qui en fera le tour ? Tu donneras la valeur exacte en m du résultat ainsi que son arrondi au dixième.

Exercice 5 Dans chacun des cas suivants, trace en vraie grandeur la figure donnée, puis calcule la longueur de la courbe bleue (ABCD est un carré). 2

1 A

4,2 cm

D

A

5 cm

3

D

C B

3,4 cm

A

B

B

C

D

C

Exercice 6 On considère la figure ci-contre constituée de demi-cercles. Des deux courbes (la grise et la bleue), quelle est la plus longue ? A Tu justifieras soigneusement ta réponse.

I

B AB = 6 cm

Exercice 7 99 cm de ruban adhésif sont enroulés sur un rouleau de 2,4 cm de diamètre. Combien y a-t-il environ de tours de ruban ? On admet que le diamètre ne varie pas au fur et à mesure qu’on enroule le ruban.

Exercice 8

A

D

B

C

Sachant que le périmètre du rectangle ci-contre est égal à 9,6 cm, calcule la longueur de chacun des cercles.

94




Séance 2 Je calcule la longueur d’un cercle - suite Effectue les exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 9

1- Reproduis la figure ci-contre en vraie grandeur

A

D

B

C

(ABCD est un carré de 3,2 cm de côté).

2- Calcule la longueur de la courbe bleue.

Exercice 10

Calcule la longueur de la courbe bleue ci-contre.

1,8 cm

Exercice 11

A

0,25 m

B

Une table ronde a 1,20 m de diamètre. À l’occasion d’une cérémonie, on la sépare en deux et on place entre les deux parties deux rallonges rectangulaires de 0,25 m de large. Calcule l’arrondi au centième du périmètre en m de la table munie de ses rallonges. D0,25 m

Exercice 12

C

Une piste circulaire a pour périmètre 130 m. Calcule l’arrondi au dixième de son diamètre en m.

Exercice 13 Le périmètre d’un dessous-de-plat circulaire est égal à 53 cm. calcule l’arrondi au dixième de son rayon en cm.

Exercice 14 La longueur exacte en cm de la courbe bleue est � x 15. Calcule le périmètre du polygone ABCDEF.

E

F

D

A C


B

95


Exercice 15 Un bac à sable circulaire est entouré d’une petite clôture placée à 0,50 m du bord. 1- Fais une figure à main levée représentant le bac. 2- La longueur de la clôture est 22 m. Calcule une valeur approchée du périmètre du bac à sable.

Exercice 16

Un beau parc pour les enfants de la ville — suite —

Un bassin doit être aménagé dans le parc. Un premier projet a été déposé.

7,5 m

Bassin 1

Un petit muret borde le bassin. Calcule la longueur en m de ce muret.

Tu donneras la valeur approchée par excès à 0,01 près. Aide : L’une des étiquettes ci-dessous indique le périmètre exact en m du muret.

(30 x �) + 97,5

(60 x �) + 90

(30 x �) + 105

(60 x �) + 105

La salle pi du Palais de la découverte à Paris où sont inscrites en spirale des centaines de décimales du nombre �

96




Séance 3 Je différencie aire et périmètre Rends-toi à la fin de ton livret, à la page découpage : « Un beau parc pour les enfants de la ville ». Découpe cette page puis effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 17


Deux nouveaux projets de bassin ont déjà été déposés :

Bassin 2

Bassin 3

1- a) Découpe soigneusement le bassin 2 puis coupe-le en morceaux de façon qu’en assemblant autrement ces morceaux tu puisses obtenir un rectangle. Colle ensuite le rectangle obtenu dans ton cahier. b) Effectue le même travail que précédemment pour le bassin 3. 2- Y a-t-il un bassin dans lequel les enfants auront plus de place pour jouer ? 3- Le tour de chaque bassin est constitué d’un muret. Quel bassin est limité par le plus long muret ?

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. (Tu traceras à main levée la première figure).

j e retiens

Périmètre Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Le périmètre (en cm) de la figure ci-contre est : 1,8 + 3 + 2,6 + 1,8 + 2,4 + 3 = 14,6

2,4 cm

1,8 cm

2,6 cm 3 cm

Aire Les deux surfaces ci-contre n’ont pas la même forme, mais elles occupent autant de place. On dit alors qu’elles ont la même aire.


97



Exercice 18 1- Compare les périmètres des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse.

On rappelle que comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus grand.

2- Compare les aires des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse.

Pour t’aider à justifier ta réponse, tu peux écrire sur les figures ci-dessous.

figure 1

figure 2

figure 3

Exercice 19 1- Compare les périmètres des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse. 2- Compare les aires des trois figures ci-dessous. Ne justifie pas ta réponse.

figure 1

figure 2

figure 3

Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous. (Tu ne recopieras pas la figure).

Remarque : Attention ! Le périmètre et l’aire d’une figure varient différemment. Par exemple, deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes.

Effectue ensuite les deux exercices ci-après sur ton livret.

98




Exercice 20 Modèle :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 10

On a reproduit et modifié la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus grand périmètre et une aire plus grande.

1- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus petit périmètre et une aire plus grande.

2- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant le même périmètre et une aire plus petite.

3- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus grand périmètre et une aire plus petite.


99


Exercice 21 E

Voici deux triangles : C

A

F

B D

O

x

En utilisant uniquement ton compas et la demi-droite [Ox) donnée, trouve celui qui a le plus grand périmètre, puis complète la phrase ci-dessous : Des deux triangles, c’est le triangle ................... qui a le plus grand périmètre.

Pour terminer cette séance, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 22 1- Trace un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que • BC = 3,5 cm • son périmètre est égal à 16,5 cm 2- Trace un triangle équilatéral DEF de même périmètre que le triangle ABC précédent.

Séance 4 Je redécouvre les conversions de longueur Effectue les quatre exercices ci-après sur ton livret.

Exercice 23 Cite toutes les unités de longueur que tu connais (Pour chacune indique à côté, entre parenthèses son abréviation).

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

100




Exercice 24 1- Complète : 1 km = ....... m 1 dm =

1 m = .... m ....

1 hm = ....... m 1 cm =

1 dam = ....... m

1 m = .... m ....

1mm =

1 m = .... m ....

2- Complète : 1 cm = .... mm

1 hm = .... dam

Exercice 25 Associe à chaque préfixe sa signification. déci

•

•

x 100

hecto

•

•

÷ 1 000

centi

•

•

÷ 10

kilo

•

•

÷ 100

milli

•

•

x 1 000

déca

•

•

x 10

Exercice 26 Complète les pointillés par l’unité de longueur qui convient : hauteur de la tour Eiffel

324 ....

taille de Marie

148 ....

longueur d’un pou

1,5 ....

longueur d’une façade de maison

1,6 ....

longueur de l’avenue des Champs Elysées

1,910 ....

longueur d’un champ

1,48 ....

longueur d’une règle graduée

2 ....

Prends ton cahier de cours et note à la suite le paragraphe ci-après.


101


j e retiens

Unités de longueur Les unités principales de longueur sont : • le mètre (m), • ses multiples : le décamètre (dam), l’hectomètre (hm), le kilomètre (km), • ses sous-multiples : le décimètre (dm), le centimètre (cm), le millimètre (mm) Chaque unité est 10 fois plus grande que celle de rang immédiatement inférieur. 1 mm =

1 cm = 10 mm

x 10 1 km

x 10 1 hm

÷ 10

1 dam ÷ 10

1 km =1 000 m 1 dm =

1 10

x 10

m = 0,1 m

1 10

x 10 1m

÷ 10

1 100

x 10 1 dm

÷ 10

1 hm =100 m 1 cm =

cm = 0,1 cm

x 10 1 cm

÷ 10

1 mm ÷ 10

1 dam =10 m

m = 0,01 m

1 mm =

1 1 000

m = 0,001 m



Exprime :

1) 9,6 km en hm

2) 951 mm en dm

1) 9,6 km = 96 hm

2) 951 mm = 95,1 cm = 9,51 dm

On a exprimé 1 km en hm, puis on a conclu.

On a converti successivement les millimètres en cm puis en dm. • Conversion en cm 1 1 mm = cm= 0,1 cm 10 D’où : 951 mm = 951 x 0,1 cm Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche : 951 mm = 95,1 cm

1 km = 10 hm donc 9,6 km = 9,6 x 10 hm Or, pour multiplier un décimal par 10, on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite. Par conséquent : 9,6 km = 96 hm

• Conversion en dm 1 cm =

1

dm = 0,1 dm 10 donc 95,1 cm = 95,1 x 0,1 dm = 9,51 dm

Fais les trois exercices suivants sur ton livret. 102




Exercice 27 1- Convertis 17,6 dam en dm :

17,6 dam = ....................................................................................................................

2- Convertis 19,3 dam en km :

19,3 dam = ....................................................................................................................

3- Convertis 91,5 m en cm :

91,5 m = . ......................................................................................................................

4- Convertis 19,4 m en hm :

19,4 hm = . ....................................................................................................................

5- Convertis 59,6 dm en dam :

59,6 dm = .....................................................................................................................

6- Convertis 1,25 m en mm :

1,25 m = .......................................................................................................................

7- Convertis 13,4 hm en dm :

13,4 hm = . ....................................................................................................................

8- Convertis 15,2 cm en dam :

15,2 cm = ......................................................................................................................

Exercice 28 Complète les pointillés par l’unité qui convient. 3- 64,2 dam = 6 420 .... 1- 27,6 dm = 2 760 .... 2- 1,78 cm = 0,017 8 ....

4- 819,4 mm = 8,194 ....

Exercice 29 Change l’unité pour obtenir un nombre entier, le plus petit possible. Exemple : 1,456 km = 1 456 m 1- 17,89 dam = ...................

3- 285,1 km = ...................

2- 7,599 hm = ...................

4- 0,089 km = ...................

Prends ton cahier d’exercices et fais les exercices suivants. D

Exercice 30 On considère la figure à main levée ci-contre. Le périmètre du triangle ABC est 1,6 hm. Celui du triangle ACD est égal à 18,5 dam.

A

58,3 m

C

Calcule en mètres le périmètre du quadrilatère ABCD. B


103


Exercice 31 A 19,5 cm

• D, H, C sont alignés

D

• Le périmètre de la figure bleue est égal à 1,17 m.

mm

• ABHD est un rectangle,

5 32

On considère la figure à main levée ci-contre.

B

H 0,26 m

C

1- Calcule AB en cm. 2- Quelle est la nature du quadrilatère ABHD ?

Enfin, pour finir cette séance, voici un peu d’histoire. Lis la rubrique suivante.

le coin des curieux L’histoire du mètre Avant la révolution, les unités de mesure variaient d’une province à l’autre, mais aussi, bien souvent, de ville à ville. Une règle longue d’un pied, par exemple, mesurait 24,8 cm à Avignon et 35,6 cm à Bordeaux ! Sous la révolution, il fut décidé qu’on utiliserait les mêmes mesures partout en France. Ainsi est né le mètre. Initialement, dans un souci d’égalité, on avait défini le mètre à partir de la longueur d’un méridien (chaque homme a un méridien sous ses pieds !). On avait décidé qu’un mètre serait égal à la dix millionième partie du quart d’un méridien.

un quart de méridien

équateur

Cette définition, en fait, manquait de précision (Tous les méridiens n’ont pas exactement la même longueur). Depuis 1983, le mètre est défini comme la longueur du trajet parcouru par la lumière dans le vide pendant une durée de

104

1 299 792 458

seconde.




Séance 5 Je mesure des surfaces. Je revois les unités d’aire Exceptionnellement, cette séance est plus longue. Effectue l’exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 32

A

B

Léanne : L’aire du rectangle ABCD est 12. Téo : Non ! Elle est égale à 6. Qui a raison ? Pense à justifier ta réponse.

D

C


j e retiens

Unité d’aire Pour déterminer l’aire d’une surface, on choisit une unité d’aire.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les cinq exercices ci-dessous.

Exercice 33 Exprime l’aire de chacune des figures en utilisant :

u1

u2

a) l’aire u1 comme unité d’aire. b) l’aire u2 comme unité d’aire.

figure 1

figure 2

figure 3

Exercice 34 L’unité d’aire est le petit carré rouge. En te servant de cette unité, trouve l’aire des 5 figures. Tu peux écrire des indications sur la figure afin de t’aider dans tes justifications.

unité figure 1

figure 4

figure 2

figure 3

figure 5 © Cned, Mathématiques 6e —


105


Exercice 35


On prend comme unité d’aire la figure ci-contre. Exprime l’aire du bassin 2 et du bassin 3 dans cette unité. Tu peux faire un schéma pour t’aider à justifier.

Exercice 36 Ewan a fait une grosse tache de gras sur son cahier. 1- Combien de petits carrés : a) sont totalement tachés ? b) sont salis ? 2- Donne un encadrement de l’aire de la tache en petits carrés.

Exercice 37 Donne un encadrement de l’aire de la tache. L’unité d’aire est celle du petit triangle vert.

unité


j e retiens

Mesurer une surface Après avoir choisi une unité d’aire, on peut calculer une aire ou en donner un encadrement. Exemples :

unité

unité

En prenant pour unité En prenant pour unité l’aire du triangle vert, l’aire du petit rectangle rouge, l’aire de la surface ocre est comprise l’aire de la surface hachurée est 3,5. entre 4 et 22.

106




Prends ton cahier de cours et note le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu :

j e retiens

Unité d’aire Une unité d’aire usuelle est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Cette unité s’appelle le centimètre carré et est notée cm2. L’aire d’un carré de 1 mm de côté est 1 mm2.

1 cm


Exercice 38 1- Colorie 4 surfaces différentes d’aire 1 cm2 (dont au moins un triangle et un rectangle).

2- Si tu partages l’une de ces surfaces en deux pièces de même aire, quelle est l’aire de chacune des pièces ?............. 3- De même, si tu partages l’une des surfaces de la première question en quatre pièces de même aire, quelle est l’aire de chacune de ces pièces ? ............. 4- Colorie quatre surfaces différentes d’aire 1 cm2 (dont au moins un triangle). 2

5- Colorie quatre surfaces différentes d’aire

1 2 cm (dont au moins un triangle). 4


107


Exercice 39 1- Combien de carrés de 1 mm de côté faut-il pour recouvrir un carré de 1 cm de côté ? ...............

Par conséquent : 1 cm2 = ........... mm2 1 1 mm2 = cm2 = 1 ÷ ...... cm2 = ...... cm2 ...... 2- La figure ci-contre représente un carré ABCD de 1 dm de côté.

A

B

D

C

a) Combien faut-il de carrés de côté 1 cm pour recouvrir ce carré ? ................ b) L’aire d’un carré de 1 dm de côté est appelée un décimètre carré. Elle est notée 1 dm2. Complète : • 1 dm2 = ........ cm2 • 1 cm2 = 1 dm2 = 1 ÷ ...... dm2 = ...... dm2 ......

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

108




j e retiens

1 mm2 = 1 cm2 = 0,01 cm2 1 mm² 100 1 cm2 = 1 dm2 = 0,01 dm2 10 mm² 1 dm2 = 100 cm2 100 1 cm² Pour les unités d’aire, chaque unité est 100 fois plus grande que celle de rang immédiatement inférieur. 1 cm2 = 100 mm2

x 100 1 km²

x 100 1 hm²

÷ 100

x 100

1 dam² ÷ 100

x 100 1 m²

÷ 100

x 100 1 dm²

÷ 100

x 100 1 cm²

÷ 100

1 mm² ÷ 100



2) 762 cm2 en m2

1- 6,4 km2 = 640 hm2 = 64 000 dam2

2- 762 cm2 = 7,62 dm2 = 0,076 2 m2

On a converti successivement les kilomètres carrés en hm2, puis en dam2.

On a converti successivement les centimètres carrés en dm2, puis en m2.

• Conversion en hm2

• Conversion en dm2 1 1 cm2 = dm2 = 0,01 dm2 100 donc 762 cm2 = 762 × 0,01 dm2

1) 6,4 km2 en dam2

Exprimer :

1 km2 = 100 hm2 donc 6,4 km2 = 6,4 × 100 hm2 Pour multiplier un décimal par 100, on déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite. Par conséquent : 6,4 km2 = 640 hm2

Pour multiplier un décimal par 0,01 on déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche. Par conséquent : 762 cm2 = 7,62 dm2 • Conversion en m2 1 1 dm2 = m2 = 0,01 m2 100 donc 7,62 dm2 = 7,62 x 0,01 m2 = 0,076 2 m2

• Conversion en dam2 1 hm2 = 100 dam2 donc 640 hm2 = 640 x 100 dam2 soit 640 hm2 = 64 000 dam2

Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 40 Complète sur ton livret : 1- 195,6 m2 = .............. dm2

3- 76,1 dam2 = .............. hm2

2- 21,7 cm2 = .............. mm2

4- 2,9 mm2 = .............. cm2


109


Exercice 41 1- Convertis 143,52 hm2 en m2 :

143,52 hm2 = .....................................................................................

2- Convertis 92,7 km2 en dam2 :

92,7 km2 = ........................................................................................

3- Convertis 843,6 mm2 en dm2 :

84,6 mm2 = . ......................................................................................

4- Convertis 49,3 dm2 en dam2 :

49,3 dm2 = ........................................................................................

Exercice 42 Complète sur ton livret : 1- 87,89 hm2 = 8 789 .......

2- 45 789 dam2 = 4,578 9 .......

Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l’avoir lu :

j e retiens

Dans l’agriculture, pour mesurer les surfaces, on n’utilise pas les unités d’aire usuelles. On utilise : • l’hectare noté ha • l’are noté a Par définition : • 1 ha = 100 a • 1 a = 1 dam2

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 43 a) Compare 1 ha et 1 hm2.

b) Exprime 1 ha en m2.

Prends ton cahier de cours et note à la suite de ce que tu as déjà écrit :

j e retiens Remarque :

1 ha = 1 hm2


110




Exercice 44 Recopie et complète : 1- 5,4 km2 = ........... ha

2- 4,3 ha = ............ m2

3- 19,4 a = ............ m2

4- 1 525 a = ............ ha

5- 8 ha 67 a = ............ ha

6- 5,75 ha = ............ a

7- 45 850 m2 = ............ ha

8- 13,272 ha = 132 720 .......

prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 45 1- Monsieur Martin possède trois parcelles ayant respectivement pour aires : • 8,5 a

• 352,5 m2

• 9,7 a

Exprime en m2 l’aire totale de ces terrains.

2- Monsieur Martin vend ces terrains en terrain à bâtir.

Sachant qu’un mètre carré coûte 110,4 €, combien reçoit-il ?

Séance 6 Je calcule le périmètre et l’aire d’un rectangle Effectue l’exercice suivant sur ton livret. A

Exercice 46 1- On se propose de calculer le périmètre en cm du rectangle ABCD ci-contre.

3,2 cm

B

2,4 cm D

C

a) Quel calcul doit-on effectuer ? Surligne la (les) réponse(s) possible(s). • 3,2 x 2,4

• (2 x 3,2) + 2,4

• 3,2 + (2 x 2,4)

• (2 x 3,2) + (2 x 2,4)

• 2 x (3,2 + 2,4)

• 3,2 + 2,4 + 3,2 +2,4

b) Combien obtient-on ? Surligne la bonne réponse. • 8,8

•11,2

• 10,7

• 7,68

• 5,6


111


L

2- L, l, P désignent respectivement la longueur L, la largeur l et le périmètre P d’un rectangle exprimés dans la même unité).

l

Cite 3 façons différentes de calculer P .

P = ................................

P = ................................

P = ................................ B

A

3- On se propose de calculer l’aire du rectangle ABCD ci-contre, de dimensions 3,1 cm et 2,3 cm.

2,3 cm

• Complète les pointillés : 3,1 cm = ......... mm

2,3 cm =......... mm

C

D

• Combien de petits carrés de 1 mm de côté contient la bande verte ? ......

3,1 cm

• Combien de petits carrés de 1 mm de côté sont contenus dans le rectangle ABCD ? .................................

Indique l’opération que tu effectues, puis le résultat de ton calcul.

• Quelle est l’aire du rectangle ABCD ?................. mm2 • Convertis cette aire en cm2 : ....................................................................................... • Calcule 3,1 x 2,3 : .................................................................................................... • Que remarques-tu ? ..................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................


j e retiens

Périmètre et aire d’un rectangle Le périmètre P d’un rectangle de longueur L et de largeur l Son aire A est L x l. est : P = 2 x (L + l). (Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. L’aire est exprimée dans l’unité d’aire correspondante.)

L

l


112




Exercice 47 Calcule le périmètre et l’aire de chacun des rectangles ci-dessous. 1-

21,6 m

18 mm 2,5 m

2,6 cm

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................

Effectue les six exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 48

Les « carreaux » du papier pointé ont 7,5 m de côté. Calcule l’aire en m2 et en ares des bassins 2 et 3.

Exercice 49

A

F

E

2m

2m

La figure ci-contre représente un jardin rectangulaire entouré d’une allée de 2 m de large. Calcule l’aire de cette allée.

Exercice 50

B

2m

H D

2m

34,2 m

17,2 m


G C

Un rectangle a une longueur de 65 m. Son aire est égale à 871 m2. Calcule sa largeur.

Exercice 51 La longueur d’un terrain rectangulaire est le triple de sa largeur. Le périmètre du terrain est 104,4 m. 1- Fais un schéma à main levée illustrant les données. 2- Calcule les dimensions de ce rectangle.


113


Exercice 52 La différence entre la longueur et la largeur d’un rectangle est 5,6 cm. Le périmètre du rectangle est égal à 88,4 cm. Calcule ses dimensions. Aide : Commence par faire un schéma à main levée illustrant les données.

Exercice 53 Selon Thibaut, si l’on double les dimensions d’un rectangle, son aire double. Qu’en penses-tu ? Tu justifieras soigneusement ta réponse.

Séance 7 Je calcule le périmètre et l’aire d’un carré. Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 54 1- Calcule le périmètre du carré ci-contre.

A

B

2- On se propose de calculer l’aire en cm2 de ABCD. a) Léa dit : « C’est facile. On procède comme pour un rectangle. On multiplie 5,1 par 5,1». Qu’en penses-tu ? b) Calcule l’aire en cm2 du carré ABCD.

D

5,1 cm

C

Exercice 55 1- Calcule le périmètre du carré ci-contre. 2- Calcule son aire.


c

j e retiens

Périmètre et aire d’un carré Le périmètre d’un carré de côté c c’est 4 x c. Son aire est c x c (on la note c2 et on lit « c au carré »).

c 114




Effectue les six exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 56 En haut des murs d’une pièce à plafond carré, on place une frise. (On met les deux extrémités bord à bord). Sachant que le carré a 4,6 m de côté, calcule : 1- la longueur de la frise 2- l’aire du plafond

Exercice 57 Un carré a pour aire 64 cm2. Calcule son périmètre.

Exercice 58 Un carré a 114,4 m de périmètre. 1- Calcule son aire en ares. 2- Un rectangle a le même périmètre que le carré. Sachant que le rectangle a pour longueur 31,8 m, calcule : a) sa largeur b) son aire (en ares).

Exercice 59

E

A

B

ABCD est un carré d’aire 200 cm2. Calcule le côté du carré EFGH. F

H D

Exercice 60

C

G


La figure ci-contre représente le terrain où va être construit le bassin. • ABCD est un carré • EFGH est un rectangle

F

G

• E, D, A, H sont alignés L’aire totale du terrain est égale à 175,36 a. Calcule : 1- FG

E

D

A

2,2 dam

2- GH 3- la longueur de clôture à acheter, sachant qu’on laisse libre une ouverture de 5 m de large pour placer une porte.

C 7,6 dam B

Exercice 61 L’aire d’un carré est-elle proportionnelle à son côté ? Justifie. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

115

H


Séance 8 Je calcule le périmètre et l’aire d’un triangle rectangle Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 62

A

1- Calcule le périmètre du triangle rectangle ci-contre. ................................................................................ ................................................................................

6c

m

3,6 cm

2- On se propose de calculer l’aire en cm2 de ABC. a) Construis le point D tel que ABCD soit un rectangle.

B

C

4,8 cm

b) Calcule l’aire du triangle ABC. .................................................................................................................................. ..................................................................................................................................


Exercice 63 Calcule : 1- le périmètre du triangle rectangle ci-contre.

A c

a B

2- l’aire du triangle rectangle ci-contre.

b

C


j e retiens

Périmètre et aire d’un triangle rectangle Le périmètre du triangle rectangle ci-contre est : a + b + c Son aire est a x b . 2

Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. L’aire est alors exprimée dans l’unité correspondante.

116

A c

a B

b

C




Effectue les cinq exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 64

G

Calcule l’aire du triangle EFG. 2,4 cm 32 mm

E

F

Exercice 65 1- Construis un losange ABCD tel que :

AC = 5 cm et BD = 3,4 cm.

2- Calcule l’aire de ABCD.

Exercice 66

G

On considère la figure ci-contre où ABFG et BCDE sont des carrés.

A 36 cm²

F

Calcule l’aire du triangle ABC.

C

B 49 cm² E

D

Exercice 67 Un triangle ABC rectangle en A est tel que : AB = 5 cm. Son aire est égale à 12,5 cm2. 1- Calcule AC. 2- Qu’en déduis-tu concernant la nature du triangle ABC ?

Exercice 68

A

B

D

C A, B, E sont alignés

E

On considère la figure à main levée ci-contre où ABCD est un rectangle. 1- a) Que représente B pour le segment [AE] ? b) Compare AE et AB. 2- Pour AB = 3 cm et AD = 5 cm, calcule l’aire du rectangle ABCD ainsi que celle du triangle ADE. 3- Que remarques-tu ? 4- Penses-tu qu’on ferait la même remarque avec n’importe quelles autres valeurs de AB et AD ? Justifie.


117


Prends ton cahier de cours puis recopie soigneusement le paragraphe suivant après l’avoir lu.

j e retiens

Périmètre et aire d’un rectangle, d’un carré et d’un triangle rectangle Rectangle

Carré

Triangle rectangle

L

c

a

l

b

c

Périmètre P Aire A

P = 2 (l + L)

P =4xc

A= l x L

A = c2

P =a+b+c A=

a ×b 2

Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. L’aire est alors exprimée dans l’unité correspondante. Longueur d’un cercle La longueur d’un cercle de diamètre D (ou de rayon R) est : L = π x D c’est-à-dire L = 2 x π x R

D R

Séance 9 Je calcule l’aire de figures plus complexes Fais l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 69

A 5,8 cm B

8 D

cm

6,4 cm

Calcule l’aire de la figure représentée à main levée ci-contre.

10,6 cm

C


118




j e retiens

Remarque : Lorsqu’on ne dispose pas de formule pour calculer l’aire d’une surface S, on peut par exemple essayer d’utiliser une (ou plusieurs) des méthodes suivantes :

• procéder par découpage et recollement Exemple :

A

B

S Aire S

C

D = aire ABCD

• décomposer la surface en surfaces dont on sait calculer l’aire Exemple : A B

S

G F D

C

E

Aire S = aire ABCD + aire GFEC • compléter la figure donnée puis obtenir l’aire de S par soustraction Exemple : A B A'

S

G

Aire S

F

D E = aire AA’ED – aire BA’FG

Fais les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 70

Calcule l’aire de la surface ci-contre en mm2 et en cm2. (Les carreaux ont 8 mm de côté.)


119


Exercice 71 A

Calcule l’aire de la surface représentée à main levée ci-contre :

F

G

E

H

B I

3,2 cm

8 mm

D

N

M

O

L

1,2 cm J

K C

5,4 cm

Exercice 72

Calcule l’aire de la surface ci-contre en mm2 et en cm2 (Les carreaux ont 8 mm de côté.)

Exercice 73

Calcule l’aire de la surface ci-contre sachant que : • A ∈ [GB]

• D ∈ [HC]

G

6 dm

A

B

• F ∈ [GH]

F

10,2 dm

E 3,6 dm

H

120

D

5,1 dm

C




Exercice 74


1- Calcule en m2 et en ares l’aire du bassin 1.

7,5 m

Bassin 1

2- La ville a décidé de choisir le bassin qui offrira le plus de place aux enfants pour jouer. Elle attend encore des projets. Actuellement, parmi ceux qui sont connus, y en-a-t-il qui n’ont plus aucune chance d’être choisis ? A

E

B

F

G

H

D

I

C

Exercice 75 On considère la figure ci-contre : Compare l’aire des rectangles EBHG et FGID.

E ∈ [AB] F ∈ [AD]

I ∈ [DC] H ∈ [BC]

Séance 10 J’effectue des exercices de révision Prends ton cahier d’exercices et cherche les exercices suivants :

Exercice 76

A

B

D

C

Calcule l’aire de la figure représentée en gris bleu ci-contre en m2 et en ares.

8,3 m


121


Exercice 77

A

La ligne bleue ci-contre représente un chemin de ronde autour d’un château-fort, vu d’en haut.

E

F

B

L

G

AB = 135 m, BC = 105 m et FB = 30 m 1- Montre que la longueur exacte en m de cette ligne est (180 x �) + 240.

K

H

2- Détermine l’arrondi au dixième de cette longueur.

D

J

C

I

Exercice 78 Terre

La figure ci-contre représente un satellite se déplaçant à altitude constante autour de la Terre. Sa trajectoire est un cercle ayant le même centre que la Terre. Sachant que ce cercle a 42 410 km de long, détermine une valeur approchée de l’altitude à laquelle se déplace le satellite. On considèrera que la Terre a 12 800 km de diamètre.

Exercice 79 Sachant que l’aire de la surface gris bleu ci-contre est 677,56 m2 calcule : 1- l’aire en m2 du rectangle ABCD

E 13 m A

2,46 dam

B

35 m

F

D

2- le périmètre de la surface grisée.

D ∈[EC]

Exercice 80

7,8 m

C F ∈[AD]

C

On considère la figure ci-contre.

F F F

'1 est le symétrique de F '2 est le symétrique de F '3 est le symétrique de F

1

par rapport à (AB),

2

par rapport à (AC),

3

par rapport à (BC).

Sachant que AB = 2,7 m et AC = 3,4 m, calcule l’aire de la surface verte. Aide : Tu utiliseras le résultat suivant que tu admettras et retiendras :

F '3 F '2 F2

F3 F1

A

F '1

B

Une figure et son symétrique ont la même aire.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

122




j e m’évalue

1- Les figures 1 et 2 ont le même périmètre ?

2- Les figures 1 et 2 ont la même aire ?

2

1

® vrai ® faux

® vrai ® faux 4- 3,6 m2 sont égaux à

3- 35,40 m sont égaux à

® 35,4 dm

® 36 dm2

® 0,354 km

® 0,036 dm2

® 3,54 dam

® 360 dm2

5- Un carré a le même périmètre qu’un rectangle de dimensions 4 m et 9 m. Ses côtés mesurent :

® 3,25 m

7- L’aire du triangle ABC est :

® 37,5 cm2

® 20 m2 ® 54 m2

® 6,5 m

® 75 cm2

6- L’aire de la surface bleue est : A E

® 51 m2

® 6 m

® 30 cm2

2

1

B

7m D

9m

12 ,

5

C

® vrai cm

10 cm

® faux C

9- Un ordre de grandeur en cm de la longueur d’un cercle de 3,5 cm de rayon est

10- Le périmètre du fond d’une casserole est égal à 87,8 cm. L’arrondi au dixième du diamètre en cm du fond de la casserole est

® 11

® 27,8

® 21

® 27,9

® 28

® 28


3m G

8- Deux rectangles ayant la même aire ont nécessairement le même périmètre.

A

7,5 cm

F

B

123

Sommaire de la séquence 11  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 J’étudie la demi-droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 J’étudie les tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 J’étudie les tableaux - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 J’étudie les diagrammes en bâtons

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

348

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 J’étudie les diagrammes circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 J’étudie les diagrammes circulaires - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 J’étudie les graphiques cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 J’étudie les graphiques cartésiens - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

 Objectifs  Savoir lire une demi-droite graduée.  Être capable de lire et de dresser des tableaux.  Savoir lire des diagrammes en bâtons, des diagrammes circulaires, et des graphiques cartésiens.




Séance 1 J’étudie la demi-droite graduée Dans cette séquence, nous allons aborder différentes façons de classer et représenter des données. Lis attentivement les objectifs de cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris en haut : « SÉQUENCE 11 : GESTION DE DONNÉES ». Effectue la même chose avec ton cahier d’exercices. Effectue maintenant le test ci-dessous directement sur ton livret :

j e révise les acquis de l’école 1- Voici ci-dessous les notes du dernier contrôle de Français.

2- Les données sont les mêmes que dans la question 1.

notes de Français 20

15 10

Qui a eu la deuxième meilleure note ?

5 0

Kévin

Céline

Juline

Arthur

élève

Combien a eu Céline ?

® Kévin ® Céline ® Juline ® Arthur

® 19 ® 16 ® 14 ® 18 3- Voici les températures relevées cette semaine.

4- Les données sont les mêmes que dans la question 3.

température en ° C 15

Combien de jours la température a-t-elle été de 10 ° ?

10

5

0

lundi

mardi

mercredi

jeudi

Quelle température a-t-il fait mercredi ? 8° ® ® 9 ° ® 10° ® 7°

vendredi

jour

® un ® deux ® trois ® quatre © Cned, Mathématiques 6e —


125



Exercice 1

Découverte de la Chine

La Chine est un pays qui se trouve bien éloigné de la France, comme tu peux le voir sur la carte ci-contre. Au cours des exercices intitulés « découverte de la Chine », tu vas découvrir l’histoire de ce pays, et ce qu’il est actuellement : son climat, sa population, etc. Nous allons commencer par étudier de grandes inventions chinoises sur la frise chronologique ci-dessous : xylographie : ancêtre de l'imprimerie

papier (utilisation gouvernail officielle) axial

0

poudre boussole à canon pour la navigation 1000

1- Complète ce tableau : distance en cm

.......... cm

1 cm

1 mm

durée en années

1000

..........

..........

2- Complète les pointillés. a) Le papier a été utilisé de façon officielle en Chine en ............................ . b) .......................................... a été inventé en 200. c) La boussole de navigation a été inventée en ........................... . d) .......................................... a été inventée en 800. 3- Place sur la frise précédente les deux événements suivants : 480 (en fait 476)

: Chute de l’empire romain. Début du Moyen Age en France.

1490 (en fait 1492) : fin du Moyen Age.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.

j e retiens

DEMI-DROITE GRADUÉE naissance de J.C.

0

début du Moyen Age

couronnement de Charlemagne

Christophe Colomb découvre l'Amérique

100

Sur une demi-droite graduée, les abscisses des points sont 1 5 8 distance en cm à l’origine proportionnelles à leurs x 100 100 500 800 distances à l’origine. durée en années Ici, 1 cm représente 100 ans. D’où : Naissance de JC : 0 Début du moyen Âge : 500 Couronnement de charlemagne : 800 Christophe Colomb découvre l’Amérique : 1492.

126





Exercice 2 On a représenté sur la demi-droite suivante les vitesses « de pointe » en km/h de différents animaux : araignée

mouton

loup

0 serpent

dauphin

60

1- a) ............ cm représentent ................. km/h donc 1 cm représente ................. km/h. b) 1 mm représente ................. km/h. 2- Remplis le tableau suivant : Animal

mouton

araignée

dauphin

loup

serpent

Vitesse en km/h

...........

...........

...........

...........

...........

3- Place sur la demi-droite graduée : • l’homme dont la vitesse maximale est 40 km/h • le cerf dont la vitesse maximale est 76 km/h. 4- a) Le kangourou va plus vite que le dauphin, et il se place sur la demi-droite graduée à 1,2 cm du dauphin.

• Place le kangourou sur la demi-droite graduée.

• 1,2 cm représente ............ km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h.

La vitesse du kangourou est donc :

60 km/h + ............km/h soit ............ km/h.

b) L’antilope va plus vite que le dauphin, et elle se place sur la demi-droite graduée à 2,8 cm du dauphin.

• Place l’antilope sur la demi-droite graduée.

• 2,8 cm représentent ............ km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h.

La vitesse de l’antilope est donc :

60 km/h + ............ km/h soit ............ km/h.

c) • L’aigle doré va plus vite que le dauphin, il se place sur la demi-droite graduée à 6 cm du dauphin. Sa vitesse est ............... km/h. • Le guépard va moins vite que l’aigle doré, il se place sur la demi-droite graduée à 1 cm de l’aigle doré. Sa vitesse est ............... km/h. • Le lion va moins vite que le guépard, il se place sur la demi-droite graduée à 3 cm du guépard. Sa vitesse est ............... km/h. • Place l’aigle doré, le guépard et le lion sur la demi-droite graduée.


Exercice 3 Représente les données du tableau suivant sur une demi-droite graduée ayant pour unité : 5 cm pour 100 km. Ville

Angers

Beauvais

Tours

Distance à Paris « à vol d’oiseau »

296

66

204

Rouen Meaux 112

40

Caen

Le Havre

232

178


127


Exercice 4 Voici le nombre d’habitants en France depuis 1930 : année

nombre d’habitants

1930

41 340 000

1940

40 690 000

1950

41 647 258

1960

45 464 797

1970

50 528 219

1980

53 731 387

1990

56 577 000

2000

58 824 955

2005

60 702 284

Place les sur une demi-droite en partant de 1930 et en prenant pour unité : 1 cm représente 5 ans.

Séance 2 J’étudie les tableaux Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 5


Voici les dix plus grandes villes chinoises (en nombre d’habitants) :

128




Ville

HARBIN

Nombre 4 683 199 d’habitants

TIANJIN

SHANGAI

HONG KONG

XIAN

6 809 500

14 608 512

8 717 246

4 643 912

SHENYANG CHONGQING SHANTOU

6 491 182

7 475 931

4 682 282

PEKIN

GUANGZHOU

11 238 749

5 634 140

1- Quelle est la ville de Chine la plus peuplée ? ...................................... 2- Classe les villes de ce tableau en ordre décroissant (par rapport à leur nombre d’habitants) :

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................


Exercice 6


Tour

2 Central international finance Plaza center

Nom

Empire state building

Hauteur (en m)

381

374

Pays

USA

Chine

Les tours Petronas

Sears tower

Jin Mao

CITIC plaza

Shun Hing square

Taipei 101

413

452

442

420

391

384

508

Chine

Malaisie

USA

Chine

Chine

Chine

Taiwan

1- Reporte dans un tableau à deux colonnes les hauteurs et les noms des 9 plus hautes tours construites dans le monde. Tu rangeras les tours de la plus haute vers la moins haute. 2- Combien de tours mesurent plus de 400 m ? 3- Parmi ces 9 tours, quel est le pays le plus représenté ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.


129


j e retiens

TABLEAUX À DEUX LIGNES. TABLEAUX À DEUX COLONNES Voici les mêmes données représentées sous formes différentes : Un tableau à deux lignes :

un tableau à deux colonnes :

nom

éléphant

tortue géante

requin blanc

Longévité (en années)

57

176

28

nom

Longévité (en années)

éléphant

57

tortue géante

176

requin blanc

28


Exercice 7 Voici le nombre d’inscrits en LV2 au Cned, en 4e, dans l’ensemble des langues proposées : Langue

Anglais

Arabe

Nombre d’élèves

233

303

Allemand Chinois Espagnol Hébreu Portugais

275

240

1 430

23

53

Russe

Italien

108

262

1- Quel est le nombre total d’élèves inscrits au Cned en 4e ? .......................... 2- Quelle est la deuxième langue la plus choisie parmi les élèves de cette classe ?

......................................................................................................................................

Exercice 8 Voici la taille, en cm, des 30 nouveaux-nés qui ont vu le jour dans une maternité : 53

49

55

50

52

51

53

51

52

59

53

51

52

54

52

51

52

51

51

53

53

53

54

52

54

55

50

56

51

49

1- a) Reproduis sur ton cahier et complète le tableau suivant. taille (cm)

49

effectif

2

b) Quelle est la taille la plus fréquente chez ces nouveaux-nés ? 2- Combien de nouveaux-nés mesurent moins de 51 cm ?

130




À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 9

Voici un premier tableau affichant les précipitations (en m) tombées durant les douze mois de l’année dans la ville américaine de San Francisco. 1- Comment calculer la somme de ces précipitations ?

On veut afficher la somme dans la case B14.

Pour cela : • on double clique sur la case B14 • on écrit « =SOMME(B2 :B13) » • on appuie sur la touche « Entrée ».

Combien obtient-on ? ...............................

2- En fait, le tableau était faux ! voici le vrai tableau :

Corrige les données dans ton tableau.

Le tableur recalcule automatiquement la nouvelle somme !

Combien obtient-on ? ...............................

3- Calcule la somme des précipitations tombées à Washington la même année.

.........................................

4- Dans quelle ville est-il tombé le plus de précipitations en un an ? .........................


131


Séance 3 J’étudie les tableaux – suite – Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous

Exercice 10


Densité de population (nombre d’habitants pour 1 km2)

Moins de 15 ans

15-65 ans

Plus de 65 ans

France

110

18,7

65,3

16

Chine

133

24,8

68,3

6,9

Inde

310

33,5

61,5

5

Âge de la population (en %)

1- Quelle est la densité de population de la Chine ? .......... De la France ? .......... . De ces deux pays, lequel a la plus forte densité de population ? ................................ Des trois pays, lequel a la plus forte densité de population ? ................................ 2- Des trois pays, lequel possède la plus grande proportion de personnes : • de moins de 15 ans ? ........................................ • entre 15 et 65 ans ? ........................................ • de plus de 65 ans ? ........................................

Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

j e retiens

TABLEAUX À DOUBLE ENTRÉE Voici un exemple : Tous les élèves de 6e d’un collège vont faire un voyage de découverte dans un pays. Chaque élève doit choisir s’il veut partir en Angleterre, en Espagne, ou en Italie. On répartit les données dans le tableau ci-dessous. 6e A

6e B

6e C

6e D

Angleterre

12

10

7

7

Espagne

7

4

9

8

Italie

3

10

4

6

Le nombre d’élèves de 6e B à partir en Espagne est 4.

132





Exercice 11 Trois groupes d’enfants d’une colonie de vacances vont partir en randonnée. Voici la composition des groupes : Groupe 1

Groupe 2

Groupe 3

filles

19

16

16

garçons

18

21

17

1- Reproduis le tableau ci-dessous sur ton cahier d’exercices. 2- De combien d’enfants est constitué le groupe 1 ? le groupe 2 ? le groupe 3 ? 3- Dans quel(s) groupe(s) y a-t-il le plus de garçons ? 4- Combien y a-t-il de filles sur l’ensemble des trois groupes ? de garçons ?


Exercice 12 Complète le tableau de gestion d’un collège ci-dessous. niveau

externes

demi-pensionnaires

total

6e

99

74

............

5e

106

............

183

4e

95

............

............

3e

............

............

182

total

402

302

............

Effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.


133


Exercice 13 On effectue un sondage auprès d’adolescents de 14 à 17 ans afin de savoir le sport individuel qu’ils pratiquent. Une personne va demander à des gens dans la rue et ramène les données suivantes :

15 ans, tennis - 14 ans, danse - 14 ans, judo - 14 ans, danse - 14 danse, danse - 16 ans, tennis 14 ans, danse - 14 ans, danse - 14 ans, natation - 15 ans, danse - 15 ans, danse 15 ans, danse - 15 ans, danse - 15 ans, danse - 16 ans, danse -16 ans, danse - 16 ans, danse 16 ans, danse - 16 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse 17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 14 ans, tennis - 14 ans, tennis 14 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 16 ans, tennis 16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis 17 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis -16 ans, judo - 16 ans, judo 14 ans, danse - 17 ans, judo - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, danse 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation 15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation 14 ans, danse - 15 ans, natation - 16 ans, natation - 16 ans, natation - 16 ans, natation 16 ans, natation - 17 ans, natation - 14 ans, danse - 16 ans, danse - 17 ans, natation 16 ans, danse - 17 ans, natation 1- Range toutes ces données dans un tableau. 2- Combien d’adolescents de 15 ans ont été questionnés ? 3- Combien d’adolescents font de la natation ? 4- Combien d’adolescents de 17 ans font de la danse ?

Séance 4 J’étudie les diagrammes en bâtons Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 14

Découverte de la Chine Température en °

Voici les températures moyennes annuelles de cinq grandes villes chinoises. 1- Quelles sont ces cinq villes chinoises ?

26 24 22

..........................................................

..........................................................

..........................................................

..........................................................

14

..........................................................

12

20 18 16

10 8 6 4

134

Shangai Hong-Kong

Sanya

Dalian

Pékin

Ville




2- Quelles sont les températures moyennes annuelles de ces cinq villes ? ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... ................................................................... 3- Quelle est la ville la plus chaude ? ................................................................... 4- Quel est l’écart entre la ville la plus chaude et la ville la plus froide ? ................................................................... ...................................................................

Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu.

j e retiens

DIAGRAMME EN BÂTONS. DIAGRAMME EN BARRES Voici la population arrondie au million de cinq pays européens (en millions d’habitants) :

Nombre d'habitants en millions

80 75 70 65

France

61

Allemagne

82

Espagne

43

Italie

58

Royaume-Uni

60

60 55 50 45 40 35 30 25 20

On peut représenter ces données sous la forme du graphique ci-contre appelé diagramme en bâtons ou encore diagramme en barres.

15 10 5 0

France

Allemagne

Espagne Italie

Royaume-Uni

Pays

Effectue les deux exercices ci-après sur ton cahier d’exercices.


135


Exercice 15


1- Voici les températures moyennes mensuelles relevées à Hongkong l’année dernière.

Température en ° 30 28

a) Quel(s) mois de l’année a-t-il fait le plus chaud ? Quelle température a-t-il fait ?

26

b) Quel(s) mois de l’année a-t-il fait le plus froid ? Quelle température a-t-il fait ?

20

24 22

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

janv

fevr

mars avril

mai

juin

juil

août sept

octo nove dece

Mois

octo nove dece

Mois

Températures à Hongkong

2- Voici les températures moyennes mensuelles relevées à Sanya l’année dernière. a) Quel(s) mois de l’année a-t-il fait le plus chaud ? Quelle température a-t-il fait ? b) Quel(s) mois de l’année a-t-il fait le plus froid ? Quelle température a-t-il fait ?

Température en ° 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12

3- Peux-tu dire facilement quelle est la ville la plus froide des deux ?

10 8 6 4 2 0

136

janv

fevr

mars avril

mai

juin

juil

août sept

Températures à Sanya




Exercice 16

Le diagramme ci-contre représente le nombre d’employés présents dans deux entreprises les cinq jours de la semaine (les employés sont parfois partis en déplacement, parfois ils prennent des récupérations, donc le nombre de personnes n’est pas le même tous les jours). 1- Combien de personnes ont travaillé dans les entreprises A et B mardi ? 2- Durant une journée, 30 personnes sont venues travailler. Quel est ce jour et quelle est l’entreprise concernée ?

nombre d'employés présents 55 50 45 40 35

Entreprise A

30

Entreprise B

25 20 15 10 5 0

lundi

mardi

mercredi

jeudi

vendredi

jours de la semaine

3- Dresse un tableau dans lequel figurera l’ensemble des données de ce graphique.

À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 17

Sept amis jouent au bowling. Ils comptabilisent le nombre total de quilles qu’ils ont faites tomber sur l’ensemble de la partie. Les données sont les suivantes : On voudrait obtenir le diagramme en bâtons correspondant. Pour cela : • on sélectionne le tableau

• on clique sur le bouton « graphiques »

• on clique trois fois sur « suivant » puis sur « terminer ». On obtient alors automatiquement le diagramme en bâtons correspondant.

1- Utilise ton tableau pour obtenir le diagramme en bâtons correspondant aux résultats de la partie de bowling.


137


2- Les sept amis effectuent une deuxième partie. Voici les nouveaux résultats ci-contre. Remplace les anciennes données de ton tableau par les nouvelles. Que remarques-tu ?

Nolwenn

7

Zinédine

10

Léa

10

Maxence

17

Téo

14

Paul

13

Myriam

12

Séance 5 J’étudie les diagrammes circulaires Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 18


Voici trois graphiques qui représentent la part de la production chinoise parmi la production mondiale d’ordinateurs portables, de réfrigérateurs et de jouets. 1- Quel est le pourcentage d’ordinateurs portables produits par la chine ?

.........................................................

produit par la Chine produit par le reste du monde ordinateurs portables

2- Quel est le pourcentage de réfrigérateurs produits par la chine ? ...................

produit par la Chine produit par le reste du monde

......................................................... réfrigérateurs

3- On peut lire sur le graphique ci-contre que la Chine produit 70 % de la production mondiale de jouets. a) Sur 100 jouets produits dans le monde, combien sont produits en Chine ?

.........................................................

.........................................................

70 %

produit par la Chine produit par le reste du monde

jouets

b) Sur 40 jouets produits dans le monde, combien sont produits en Chine ?

.........................................................

.........................................................

138




Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement sur ton cahier de cours.

j e retiens

DIAGRAMME CIRCULAIRE – DIAGRAMME SEMI-CIRCULAIRE • Un diagramme circulaire est un disque divisé en portions (appelées encore secteurs) dont les angles sont proportionnels aux pourcentages qu’ils représentent.

10 % orge

Ici, on a représenté la production d’un agriculteur en différentes céréales.

50 %

40 %

blé

maïs

Si ce cultivateur produit 800 kg de céréales au total, il produit : • 50 % de 800 kg de blé soit sa moitié, c’est-à-dire 400 kg de blé. • 10 % de 800 kg d’orge soit 800 ÷ 10 kg c’est-à-dire 80 kg d’orge. • 40 % de 800 kg de maïs. 40 × 800 = 40 × (800 ÷100) = 40× 8 = 320 soit 320 kg de maïs. 100 • Un diagramme semi-circulaire est un demi-disque divisé en portions dont les angles sont proportionnels aux pourcentages qu’ils représentent.

10 % orge

40 % maïs

50 % blé


Exercice 19

Quel pourcentage correspond à chaque diagramme ci-dessous ? 50 %

30 %

5%

80 %

20 %

................

................

................

................

................

................

10%


139



Exercice 20

On effectue un sondage sur 400 personnes . On a posé la question suivante : « Allez-vous voter pour monsieur F. ? ». On obtient alors les données représentées par le diagramme circulaire ci-contre. 1- Quel est le pourcentage de personnes qui ont répondu « NON » ?

NON OUI

30 %

NE SE PRONONCENT PAS

2- Quel est le pourcentage de personnes qui ont répondu « OUI » ? 3- Quel est le nombre de personnes a) qui ont répondu « NON » b) qui ont répondu « OUI » c) qui ne se sont par prononcées ?


Exercice 21

On a interrogé les habitants d’une ville pour savoir s’ils préfèrent que soit construite une piscine, une patinoire ou une salle de spectacle. 50 % des gens ont dit qu’ils préféraient une piscine et 30 % une salle de spectacle. 1- Quel pourcentage des personnes interrogées ont dit qu’ils préféraient une patinoire ?

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

2- Trouve une légende pour le diagramme semi-circulaire ci-contre.

À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

140




Exercice 22 Voici la population française de 2006 répartie en trois catégories d’âge : les « moins de 20 ans », « de 20 ans à 59 ans », et les « 60 ans ou plus». On voudrait obtenir le diagramme circulaire correspondant. Pour cela : • on clique sur le bouton « graphiques »

• on sélectionne le tableau

• on clique sur « Secteurs » puis on clique trois fois sur « suivant » et enfin sur « terminer ». On obtient alors automatiquement le diagramme circulaire correspondant.

1- Utilise ton tableur pour obtenir le diagramme circulaire correspondant à la population française de 2006.

2- Représente à l’aide d’un tableur le diagramme circulaire correspondant à la même répartition, cette fois-ci donnée en pourcentage, et correspondant à l’année 1950. Moins de 20 ans

20 ans à 59 ans

60 ans ou plus

30,2

53,6

13,2

3- Compare rapidement la répartition de la France de 1950 et celle de 2006.


141


Séance 6 J’étudie les diagrammes circulaires – suite – Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 23 On veut représenter un pourcentage de 40 élèves à l’aide de diagrammes circulaires. a)

b)

180°

une portion d’angle 360° correspond au disque entier. 360° correspond donc à 40 élèves.

÷2

mesure de l'angle

nombre d'élèves

360°

40

180°

...........

÷2

d)

c)

72°

90°

mesure de l'angle

nombre d'élèves

360°

40

÷4

90°

...........

÷4

÷....

mesure de l'angle

nombre d'élèves

360°

40

72°

.......

÷....


j e retiens La mesure de l’angle d’une portion de diagramme circulaire et le nombre qu’il représente sont proportionnels.

45°

Ici, la mesure de l’angle de la portion et le nombre de bonbons de cette portion sont proportionnels. Si le disque entier représente 100 bonbons, la portion ci-contre représente 12,5 bonbons. ÷8

142

mesure de l'angle

nombre de bonbons

360°

100

45°

12,5

÷8





Exercice 24 Léa possède sur son ordinateur un disque dur d’une capacité de 300 Go (c’est-à-dire 300 Gigaoctets). La capacité de ce disque est souvent représentée à l’aide d’un diagramme circulaire. 1- 360 ° représentent ............ Go. 180 °

représentent ..........÷.......... soit ............ Go.

90 °


36 °


60°


2- Déterminons combien de Go représente 24 °.

...... Go. ...... 300 ..........×30 ..........× 5 .......... = = = 360 ..........×36 ..........× 6 ..........

a) 360 ° représentent ......... Go donc : b) Simplifions la fraction

300 : 360

1 ° représente

...... c) 24° représentent 24 x 300 Go soit : 24 x Go ...... 360 5 24 × = (24÷ .......) ×5 = .......×5 = ....... 6

(utilise la question précédente !)

24 ° représentent donc ....................... .


Exercice 25

On a demandé à 240 personnes si elles préféraient partir en vacances ou rester chez elles. Les réponses sont représentées par le diagramme circulaire ci-contre. 1- Combien de personnes, parmi les personnes interrogées, n’aiment pas partir en vacances ? 2- Combien de personnes, parmi les personnes interrogées, préfèrent partir en vacances ?

42°

aiment partir en vacances

Exercice 26

n'aiment pas partir en vacances

sports

lecture

Voici ci-contre les occupations des 200 élèves de 5e le mercredi après-midi. 1- Mesure les angles et présente les données dans un tableau.

Avant d’effectuer la question suivante, tu peux aller regarder le corrigé de la question 1.

télévision

musique

2- Calcule le nombre (approximatif) d’élèves qui pratiquent chacune des occupations.


143


Exercice 27 Le diagramme circulaire ci-contre représente les dépenses d’une famille au mois de juin. Elle a consacré 40 % de ses revenus pour se nourrir et se vêtir, 35 % pour des travaux et le reste pour se loger. 1- Quel pourcentage représente la portion verte ?

35 % 40 %

2- Calcule les angles de chacune des portions du diagramme circulaire. 3- Reproduis ce diagramme circulaire sur ton cahier. Tu représenteras un diagramme dont le rayon est 4 cm.

Exercice 28

Voici les répartitions hommes-femmes de deux entreprises. Dans laquelle des deux entreprises y a-t-il le plus d’hommes ?

Hommes 60 %

Femmes 40 %

Hommes 40 %

Entreprise A

Femmes 60 %

Entreprise B

Séance 7 J’étudie les graphiques cartésiens Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 29


Le graphique ci-dessous représente le nombre d’habitants en Chine en 1965, 1970, ..., 2000. population en nombre d'habitants 1 300 000 000

1 200 000 000

1 100 000 000

1 000 000 000

900 000 000

800 000 000

700 000 000 1965

144

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2 000

année




1- Écris 900 000 000 en toutes lettres.................................................................................

.....................................................................................................................................

2- Combien d’habitants la Chine avait-elle en 1970 ? .........................................................

en 1980 ? ............................................ en 1990 ? ....................................................... .

3- En quelle année la population chinoise a atteint 1 300 000 000 habitants ?

.................................................................................................................................... ,

1 000 000 000 d’habitants ? ....................................................................................... .


j e retiens GRAPHIQUE CARTÉSIEN Le graphique ci-contre est un graphique cartésien. Il représente l’altitude d’un avion au décollage, au bout d’une heure, ... au bout de 9 heures. Au bout de 7 h, l’avion se trouve à une altitude de 4 000 m.

altitude en m 5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

heures de vol

Effectue les trois exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 30

Des tickets pour aller aux manèges de fête foraine se vendent par lots de 6. Les prix sont indiqués dans le graphique cartésien ci-contre. 1- Dresse un tableau dans lequel tu vas faire figurer les prix de chaque lot de tickets de manège (0, 6, 12, 18). 2- Que peux-tu dire du prix des tickets et de leur nombre ? 3- Comment la situation de proportionnalité se traduit-elle sur ce graphique ?

prix en � 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

nombre de tickets achetés 0

6

12

18


145


Exercice 31

vitesse km/h 125

On effectue des essais de vitesse au démarrage d’une voiture. On évalue sa vitesse au bout de 4, 8, 12, 16 et 20 secondes. 1- Dresse un tableau dans lequel tu vas faire figurer l’ensemble des données de ce graphique cartésien.

100

75

2- La vitesse de la voiture et le temps sont-elles proportionnelles ? 50

25

0

Exercice 32

Le graphique cartésien ci-contre représente la hauteur d’eau dans le port de Saint-Malo (en Bretagne) une journée. 1- Quelle était la hauteur de la mer à 10 h, à 20 h, à 22 h ? 2- À quelle heure la hauteur de la mer a-t-elle été la plus haute ? 3- À quelle heure la hauteur de la mer a-t-elle été de 3,5 m ?

0

4

8

12

16

20

22

24

temps s

hauteur d'eau m 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

temps h

À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 33

A

B

D

C

Problème : Monsieur Dujardin dispose de 40 m de clôture. Il voudrait clôturer un jardin rectangulaire comme ci-contre. Monsieur Dujardin souhaite faire en sorte que l’aire du rectangle ABCD soit la plus grande possible. Quelle doit alors être la longueur de AB et celle de BC ?

1- Prenons une valeur « au hasard » pour AB, par exemple AB = 2 m. Que vaut BC ? Le périmètre du rectangle est 40 m, donc on a : 2 x ( AB + BC ) = ...........

Le nombre AB + BC multiplié par deux donne 40, donc le nombre AB + BC est égal à 20. Le nombre BC est donc égal à 20 moins le nombre AB, soit : BC = 20 – AB. BC = 20 – ........... = ........... m. L’aire du rectangle est alors : AB x BC = .......... x .......... = .......... .

146




2- Nous allons faire automatiquement les calculs pour d’autres valeurs par un tableur : a) Commence par entrer les données dans ton tableur. b) Double clique sur la case B2 et écris « =20-B1 ». Une fois après avoir appuyé sur « Entrée », le résultat de 20 - 4, soit 16, s’affiche dans la case B2. C’est la valeur de BC. c) Double clique sur la case B3 et écris « =B1*B2 ». Une fois après avoir appuyé sur « Entrée », le résultat de 4 x 16, soit 64, s’affiche dans la case B3. C’est l’aire du rectangle ABCD. 3- En changeant simplement la valeur de AB (soit la case B1 dans le tableur), remplis le tableau suivant. AB

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

BC

18

16

......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........

aire

36

64

......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........

Pour quelle valeur de AB l’aire semble-t-elle la plus grande ? 4- Recopie le tableau ci-dessus dans le tableur et sélectionne la dernière ligne.

Clique sur l’icône « graphique », puis sur « courbes », puis clique trois fois sur « suivant » puis sur « terminer ».

On obtient alors un graphique cartésien. La courbe qui nous intéresse est la courbe bleue. D’après une lecture graphique, pour quelle valeur de AB l’aire est-elle la plus grande ? ............................................

Quelle est alors la valeur de BC ? ......................

L’aire de ABCD ? ...................

Quelle est la forme du champ de monsieur Dujardin ?

.................................................................................

................................................................................ .


147


Séance 8 J’étudie les diagrammes cartésiens – suite – Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 34

Voici quatre verres de formes différentes (et un peu rigolote !). Le diamètre de la surface de l’eau est d et la hauteur du liquide est h.

d

d

d d h

h

verre 1

h

verre 2

h

verre 3

verre 4

1- Voici les quatre graphiques cartésiens (dans le désordre) correspondant au remplissage des quatre verres. Écris le verre correspondant à chacun de ces diagrammes. d

d

h

................................

d

h

d

h

. ............................ .............................

h

. ...........................

2- Dessine la forme d’un verre qui correspondrait au graphique cartésien suivant : d

h

148





Exercice 35

Voici les résultats des cinq sauts de deux athlètes en saut en hauteur, lors d’un meeting d’athlétisme. hauteur m 1,9

athlète A

athlète B

1,8 1,7

1

2

3

4

5

numéro de saut

1- Quel athlète a sauté le plus haut lors du 1er saut ? du 3ème saut ? du 2ème saut ? 2- Que peux-tu dire de l’ensemble des cinq sauts de l’athlète B en terme de progression ? 3- Dresse un tableau et places-y les hauteurs des sauts des deux athlètes.



149


j e m’évalue

1- On repère la distance d’une ville à la ville de Paris à l’aide de la demi-droite graduée suivante. L’unité est le km. À quelle distance se trouve la ville 1 de Paris ? Paris 0

2- L’unité est toujours le km. À quelle distance se trouve la ville 2 de Paris ?

ville 1

Paris

100

0

ville 2 20

® 17,5 km ® 15 km ® 19 km ® 3,5 km

® 200 km ® 125 km ® 150 km ® 110 km

3- Voici les plus grands nombres de points 4- Quel est le nombre total d’élèves de ce marqués en un match pendant toute la collège ? saison de basket. niveau garçons filles total Joueur A Joueur B Joueur C Joueur D 6e 64 59 ? e 48 52 49 53 5 ? 84 184 Quelle joueur a marqué le plus de points ? 4e ? 92 188 e 3 84 ? ? total ? 321 ?

® le joueur A ® le joueur B ® le joueur C ® le joueur D

® 580 ® 585 ® 660 ® 665

5- Le diagramme ci-dessous représente le nombre de victoires de quatre équipes pendant toute la saison de football. Combien l’équipe 2 a-t-elle gagné de matchs ?

6- Quelle est l’équipe qui a remporté 5 victoires ?

nombre de victoires

nombre de victoires

20

20

15

15

10

10

5 0

5 équipe équipe 1 équipe 2 équipe 3 équipe 4

® 12 ® 13 ® 14 ® 15

150

0

équipe équipe 1 équipe 2 équipe 3 équipe 4

® l’équipe 1 ® l’équipe 2 ® l’équipe 3 ® l’équipe 4




j e m’évalue

7- Voici la décomposition d’un aliment en 8- Quelqu’un mange 200 g de l’aliment glucides, lipides et protides. précédent. Quel pourcentage de protides contient-il ? Quelle masse de protides a-t-il mangé ? protides

29 % lipides

62 % glucides

® 8 % ® 9 % ® 7 % ® 10 %

® 18 g ® 9 g ® 20 g ® 120 g

9- Voici la température de l’eau d’un aquarium. Quelle était la température de l’eau mercredi ? 20

10- Les données sont celles de la question précédente.

température en degrés

Quel jour la température de l’eau a-t-elle été de 19,3 ° ?

19 18

17

0

lundi mardi mercredi jeudi vendredi

® 17,6° ® 18,3° ® 17,9° ® 18,9°

nombre de jour

® lundi ® mardi ® mercredi ® vendredi


151

Sommaire de la séquence 12  Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Je redécouvre le parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

 Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Je découvre la perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

 Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Je calcule des longueurs et des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

 Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Je dessine en perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

 Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Je construis un patron d’un parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

 Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 J’apprends à calculer le volume d’un parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

 Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Je revois les unités de contenance. Je convertis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

 Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 J’effectue des problèmes sur les volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

 Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 J’effectue des problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

 Objectifs  Savoir reconnaître un parallélépipède rectangle.  Savoir représenter un parallélépipède rectangle en perspective cavalière.  Savoir construire un parallélépipède rectangle.  Savoir calculer le volume d’un parallélépipède rectangle.




Séance 1 Je redécouvre le parallélépipède rectangle Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SEQUENCE N° 12. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

j e révise les acquis de l’école Voici un cube :

1- Le point représenté en rouge est appelé :

® un angle

® un angle

® une arête

® une arête

® un côté

® un côté

® une face

® une face

® un sommet

® un sommet

3- La surface verte est appelée :

2- Pour ce cube, le segment bleu est appelé :

® un angle ® une arête ® un côté ® une face ® un sommet

4- Le nombre de faces d’un cube est :

® 4 ® 6 ® 8 ® 12

5- Le nombre de sommets d’un cube est :

6- Le nombre d’arêtes d’un cube est :

® 4 ® 6 ® 8 ® 12

® 4 ® 6 ® 8 ® 12


153


Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de cette séquence 12. Elle s’intitule « Julie et les volumes ». Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 1

« Julie et les volumes »

Voici neuf emballages que l’on trouve dans la « poubelle jaune » de tri sélectif de Julie. Chaque emballage représente un solide. 1- Écris ci-dessous les numéros des emballages n’ayant que des faces planes :

..............................

..............................

emballage 1

emballage 2

emballage 3

..............................

.............................. 2- Écris ci-dessous les numéros des emballages n’ayant que des faces rectangulaires :

emballage 4

emballage 5

emballage 6

..............................

..............................

..............................

.............................. emballage 7

emballage 8

emballage 9

3- Complète le tableau suivant : emballage

nombre de sommets

nombre de faces

nombre d’arêtes

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

emballage 2

emballage 4

emballage 6

emballage 8

154




4- En utilisant le tableau précédent, écris ci-dessous ce que tu peux en conclure sur les sommets, les faces et les arêtes des emballages n’ayant que des faces rectangulaires :

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

5- Comment appelle-t-on un solide dont toutes les faces sont des rectangles ?

.....................................................................................................................................

6- Comment appelle-t-on un solide dont toutes les faces sont des carrés ?

.....................................................................................................................................

Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, et écris en rouge : « SÉQUENCE 12 : PARALLÉLÉPIPÈDES RECTANGLES. VOLUMES ». Fais de même avec ton cahier d’exercices. Recopie ensuite le paragraphe suivant dans ton cahier d’exercices.

j e retiens

Le parallélépipède rectangle Définition : Un parallélépipède rectangle est un solide dont toutes les faces sont des rectangles. Ici : • Les sommets sont les points A , B, C , D , E , F, G et H. A B • Les faces du parallélépipède rectangle sont les rectangles ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, DCGH et ADHE. E F • Une arête est un segment dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d’une face. Les segments [AB], [BC] ou [BF] sont par exemple des arêtes. [BG] n’est pas une arête. Définition : L Un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont J des carrés est appelé un cube. I Ici : P • Les sommets sont les points I, J, K, L, M, N, O et P. • Les faces du cube sont les carrés IJKL, MNOP, IJNM, JKON, LKOP M et ILPM.

D C H

G

K

O N

Propriété Un parallélépipède rectangle a huit sommets, six faces et douze arêtes.

Lis attentivement ce qui suit et retiens la méthode.


Nommer le parallélépipède rectangle représenté ci-contre

H

G F

E

D • On commence par nommer une face : par exemple ABCD. A • Avant de continuer à nommer le parallélépipède, * on repère : H - la face parralèle à la première (ici, c’est EFGH). E - les arêtes qui « relient » les deux faces considérées D (ici : [AE], [BF], [CG], [DH]) A * on pense : « à A correspond E, à B correspond F… » • On continue de nommer le parallélépipède considéré : A B C D E F G H

B G F

C

B


C

155


Effectue l‘exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 2 Complète les notations du parallélépipède rectangle représenté ci-contre :

E

a) ABCD ................ c) AEHD ................

A

d) HDCG ................ e) CGF ................

G

F

b) ADHE ................

Exercice 3

H

D B

C

« Julie et les volumes » — suite —

Julie veut représenter sur une feuille de papier blanc une petite boîte d’allumettes en forme de parallélépipède rectangle. Parmi les quatre figures ci-dessous, laquelle te paraît la plus adaptée ? coche la case correspondante.

®

®

®

®

Séance 2 Je découvre la perspective cavalière Lis attentivement et recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.

j e retiens

Représentation en perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle H G • Les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] qui sont parallèles et de même longueur dans la réalité, sont représentées ici par des segments parallèles et de même longueur. D C E F • Les arêtes [AD], [DH] et [DC] qui ne sont pas visibles dans la réalité sont représentées en pointillés. • La face ABFE en avant et la face DCGH en arrière sont A B représentées en vraie grandeur. • Les arêtes [EH], [FG], [BC] et [AD] qui « relient la face avant et la face arrrière » sont dessinées plus petites que dans la réalité.

156





Exercice 4

H

1- a) Nomme toutes les faces « non visibles » de la représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle ABCDEFGH dessinée ci-contre.

G F

E A

b) Nomme la face avant et la face arrière.

C

D B H

2- a) Nomme toutes les faces « non visibles » de la représentation en perspective cavalière du parallélépipède rectangle ABCDEFGH dessinée ci-contre.

G F

E A

b) Nomme la face avant et la face arrière.

C

D B

Exercice 5

H

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Précise si, dans la réalité, les phrases suivantes sont justes ou fausses en justifiant tes réponses. 1- ADHE est un rectangle.

G

E

F D

2- EABF n’est pas un carré.

C

A

3- EFGH est un carré.

B

4- BCG n’est pas un triangle rectangle. 5- AB = BC

Exercice 6

On considère le parallélépipède rectangle IJKLMNOP représenté ci-contre: 1- Nomme toutes les arêtes ayant pour extrémité le point P. 2- Nomme toutes les faces ayant le sommet L en commun

P

M

3- Nomme toutes les faces ayant pour côté l’arête [JK].

O

N L

4- Quelles sont les faces parallèles à la face MNOP ?

K

5- Nomme toutes les arêtes parallèles à l’arête [NO]. 6- Nomme toutes les arêtes perpendiculaires à l’arête [NO].

J

I

7- Nomme toutes les arêtes perpendiculaires à la face MPLI.

Exercice 7

On a représenté ci-contre le parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Construis en vraie grandeur les faces DCGH, HGFE et CGFB.

H E

G

D A

5 cm

F 6 cm B

C 4 cm


157


Séance 3 Je calcule des longueurs et des aires Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices en justifiant bien tes réponses :

Exercice 8

H

1- On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-contre. a) Détermine la longueur totale l des arêtes de ABCDEFGH.

E

b) Détermine l’aire totale des faces de ABCDEFGH.

G

D

2- On considère un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 1,2 dm ; 3,5 cm et 19 mm.

A

5 cm

F 6 cm B

C 4 cm

a) Détermine la longueur totale l' en cm des arêtes de ce parallélépipède rectangle. b) Détermine l’aire totale des faces en cm2 de ce parallélépipède rectangle.

Exercice 9 1- Détermine la longueur totale des arêtes et l’aire totale des faces d’un cube d’arête 11 cm. 2- La longueur totale des arêtes d’un cube est 120 cm. Détermine l’aire totale des faces de ce cube. 3- L’aire totale des faces d’un cube est 150 cm2. Détermine la longueur totale des arêtes de ce cube.

Exercice 10 Dans une pâtisserie, on utilise du ruban orange pour fermer les boîtes de gâteaux toutes identiques et de forme parallélépipédique comme indiqué dans le schéma ci-dessous :

16 cm

8 cm 16 cm

Sachant que l’on utilise 22 cm de ruban pour faire le nœud, quelle longueur de ruban est nécessaire pour fermer un paquet ?

158




Exercice 11

Noé veut repeindre les faces (sauf celle qui s’appuie sur le sol) d’une cuve de gasoil de forme parallélépipédique qui repose à même le sol.

3,5 m 6,2 m

4,8 m

Un pot de peinture permet de peindre 5 m2 et sachant que l’on applique deux couches de peinture, combien de pots de peinture Noé doit-il acheter ?

Séance 4 Je dessine en perspective cavalière Effectue directement sur ton livret les trois exercices suivants :

Exercice 12

Colorie en vert la face avant de chacun de ces quatre cubes.

cube n° 1

cube n° 2

cube n° 3

cube n° 4 © Cned, Mathématiques 6e —


159


Exercice 13

Complète les figures ci-dessous afin d’obtenir la représentation en perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle b)

a)

Effectue sur ton cahier d’exercices l’exercice suivant :

Exercice 14 Représente en perspective cavalière un cube d’arête 4 cm.

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous qui te présente une méthode permettant de « bien » représenter un cube.


cm 45 °

1, 5

cm

45 °

1, 5

2-

1, 5

1-

cm

Représenter en perspective cavalière un cube d’arête 3 cm

160

45 °

On commence par représenter la face avant en vraie grandeur : un carré de côté 3 cm.

On représente les arêtes oranges. On peut choisir qu’elles fassent un angle de 45°. On peut choisir qu’elles soient deux fois plus petites que dans la réalité, c’est-à-dire qu’elles mesurent ici 1,5 cm.

3-

4-

On trace les deux dernières arêtes visibles.

On trace les trois arêtes « cachées » en pointillés.




Remarque : pour représenter un parallélépipède dont on connaît les trois dimensions, on utlisera la méthode vue dans le précédent « Je comprends la méthode » Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 15 1- Représente en perspective cavalière un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 6 ; 4 cm et 10 cm, la face avant choisie étant celle ayant la plus petite aire. 2- Représente en perspective cavalière un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 5 cm ; 4,3 cm et 3 cm, la face avant choisie étant celle ayant la plus grande aire.


Exercice 16 Complète les quatre figures ci-dessous afin d’obtenir les représentations en perspective cavalière de parallélépipèdes rectangles. d) c)

e)

f)

Séance 5 Je construis un patron d’un parallélépipède rectangle Nous allons reprendre l’activité « Julie et les volumes ». Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

161


Exercice 17


Les deux figures ci-dessous sont également représentées dans la dernière « page découpage », à la fin de ton livret. Reporte-toi à cette page et découpe soigneusement les deux figures représentées. Plie ensuite chacune des deux figures afin d’obtenir deux boîtes, (utilise du papier adhésif). Quels solides obtiens-tu ? Figure 1 : ......................................................................................... Figure 2 : .........................................................................................

Exercice 18


Julie voudrait fabriquer en carton cette petite boite de jus de fruit ayant la forme d’un parallélépipède rectangle et représentée ci-contre. D Pour cela, elle découpe successivement avec une paire de ciseaux l’arête [GH], l’arête [HE], l’arête [EF], l’arête [GC], l’arête [HD], l’arête [EA] puis l’arête [FB]. Elle met à plat son découpage et elle obtient un patron de sa boite de jus de fruit représenté ci-dessous :

H

G C

F

E A

162

B




patron

On plie ...

On obtient un parallélépipède rectangle

La figure ci-dessus est appelée « patron ». C’est une figure, qui, si elle est découpée et pliée convenablement, va représenter le parallélépipède rectangle ci-dessus en réalité. marque sur le patron ci-dessus les noms des sommets, numérote les faces parallèles par un même chiffre puis code les segments de même longueur. Remarque : pour nommer un point du solide, par exemple H, qui se retrouve en plusieurs lieux différents sur le patron, nomme le second H’, le 3ème H’’...


Exercice 19 Indique pourquoi les figures suivantes ne sont pas des patrons de parallélépipèdes rectangles. a)

b)

c)

d)


163


Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 20 Complète les figures suivantes afin que chacune représente le patron d’un parallélépipède rectangle. a)

b)

c)

d)

Exercice 21 Complète la figure suivante en utilisant tes instruments de géométrie afin qu’elle représente un patron de parallélépipède rectangle. Tu coderas les longueurs égales sur ton patron.

164





Exercice 22 1- Construis un patron du parallélépipède rectangle représenté ci-dessous : H

G

E 2 cm A

F D

C 3,5 cm 4 cm

B

2- Construis un patron d’un cube de 2,8 cm d’arête. 3- Construis un patron d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 5 cm, 2,5 cm et 1 cm.

Séance 6 J’apprends à calculer le volume d’un parallélépipède rectangle Lis attentivement et recopie à la suite sur ton cahier d’exercices le paragraphe suivant.

j e retiens

UNITÉS DE VOLUMES Définition : l’unité principale de mesure des volumes est le mètre cube, noté m3 et on a les définitions suivantes : 1 m3 est le volume d’un cube de 1 m d’arête 1 dm3 est le volume d’un cube de 1 dm d’arête 1 cm3 est le volume d’un cube de 1 cm d’arête

Nous allons reprendre l’activité « Julie et les volumes ». Fais l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.


165


Exercice 23


H

Julie possède un petit aquarium qui a la forme d’un parallélépipède de dimensions : 12 cm, 10 cm D et 6 cm qui est représenté ci-contre. Elle a à sa disposition des cubes de 1 cm d’arête. 1- Combien de cubes de 1 cm d’arête peut-elle disposer le long de l’arête [AB] puis le long de l’arête [BF] ?

G C

10 cm

2- Combien de cubes de 1 cm d’arête peut-elle empiler le long de l’arête [BC] ?

E

F

3- Combien de cubes de 1 cm d’arête peut-elle disposer au fond de son aquarium ?

6 cm

A B 12 cm 4- Combien lui faut-il de cube de 1 cm d’arête pour remplir complètement son aquarium ?

Ce nombre est appelé le volume en cm3 de l’aquarium.

5- En utilisant la méthode des questions précédentes, quel est le volume d’un cube d’arête 7 cm ?

Lis attentivement et recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.

j e retiens

Volume d’un parallélépipède rectangle Définition : le volume V d’un parallélépipède rectangle est le produit de ses trois dimensions. Attention ! Les dimensions doivent toutes être exprimées dans la même unité. Au besoin, on les convertit dans la même unité.

a

c a

b

V

=axbxc

V

=axaxa


Exercice 24

Calcule le volume des solides suivants : 1- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 1,2 dm ; 2,5 dm et 3 dm. 2- Un cube d’arête 6 cm. 3- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 4 cm ; 1,6 dm et 2,5 cm. 4- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 0,34 cm ; 5 mm et 3,6 mm.

166




Exercice 25

Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont notés a, b et c et son volume V . Complète le tableau suivant après l’avoir recopié : a

b

c

6 cm

5 cm

0,4 dm

2,5 cm

9 cm

5m 1,2 dm

V 90 cm3

14 m

49 m3

6 cm

72 cm3


Exercice 26

On considère un cube vide de 1 dm d’arête que l’on remplit avec des cubes de 1 cm d’arête. 1- Complète la phrase suivante :

Le cube vide de 1 dm d’arête contient .......................... cubes de 1 cm d’arête.

Donc :

1 dm3 = ................ cm3

2- Complète les égalités suivantes :

1 m3 = ................ dm3

1 cm3 = ................ mm3

Lis attentivement le paragraphe suivant. Recopie-le ensuite sur ton cahier de cours.

j e retiens

Correspondances entre les unités de volumes 1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 cm3 = 1 000 mm3


Exercice 27

Complète les égalités suivantes : a) 1 cm3 = ................ mm3 b) 1 dm3 = ................ cm3 = ................ mm3 c) 1 m3 = ................ dm3 = ................ cm3 = ................ mm3 d) 1 dm3 = ................ m3 e) 1 cm3 = ................ dm3 = ................ m3 f) 1 mm3 = ................ cm3 = ................ dm3 = ................ m3 © Cned, Mathématiques 6e —


167


Nous allons apprendre à passer d’une unité de volume à une autre.

j e comprends la méthode 1) Convertis 0,12 m3 en dm3

2) Convertis 5 698 cm3 en dm3

On utilise : 1 m3 = 1 000 dm3 0,12 m3 = (0,12 x 1 000) dm3 = 120 dm3 .

On utilise : 1 cm3 = 0,001 dm3 5 698 cm3 = (5 698 x 0,001) dm3 = 5,698 dm3.

Effectue les deux exercices suivants directement sur le livret.

Exercice 28

Complète les égalités suivantes : a)

12 m3 = ................ dm3

b)

12 dm3 = ................ m3

c)

145 dm3 = ................ mm3

d)

145 cm3 = ................ dm3

f)

9,82 cm3 = ................ mm3

e)

5 125 dm3 = ................ m3

g) 0,569 dm3 = ................ mm3

h) 21 732 cm3 = ................ m3

Exercice 29

Complète les égalités suivantes avec l’unité de volume qui convient. a) 12,56 dm3 = 12 560...... c)

0,25 m3 = 250......

e) 0,003 dm3 = 3 000......

b) 78 925 dm3 = 78,925...... d) 7 900 mm3 = 7,9...... f) 44 568 cm3 = 0,044 568......

Séance 7 Je revois les unités de contenance. Je convertis Lis attentivement le paragraphe suivant qui contient des rappels sur les unités de contenance que tu as étudiées en CM2.

j e retiens

Les unités de contenance L’unité principale de contenance est le litre noté L. Les autres unités sont : 1 L = 10 dL et • le décilitre noté dL • le centilitre noté cL 1 dL = 10 cL et • le millilitre noté mL 1 cL = 10 mL et 1 daL = 10 L et • le décalitre noté daL • l’hectolitre noté hL 1hL = 10 daL et

168

1 dL = 0,1 L 1 cL = 0,1 dL 1 mL = 0,1 cL 1 L = 0,1 daL 1 daL = 0, 1 hL




Nous allons apprendre à passer d’une unité de contenance à une autre. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

j e comprends la méthode 1- Convertir 0,6 daL en dL

2- Convertir 635 cL en L

On utilise : 1 daL = 10 L = (10 x 10) dL = 100 dL

On a : d’où :

donc : 0,6 daL = (0,6 x 100) dL = 60 dL

On obtient donc : 635 cL = (635 x 0,01) L = 6,35 L

1 L = 10 dL = 100 cL 1 cL = 0,01 L.

Effectue l’exercice suivant directement sur le livret.

Exercice 30

Complète les égalités suivantes directement sur le livret : a)

48 dL = ................ L

b)

16 hL = ................ L

c)

0, 23 L = ................ cL

d)

45,9 L = ................ daL

e)

2,35 hL = ................ dL

f)

2,35 hL = ................ daL

g) 47,31 cL = ................ daL

h) 17 589 mL = ................ L

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercice.

Exercice 31

« Julie et les volumes » — fin —

Julie a mesuré les dimensions d’une boîte d’un litre de jus de fruit, elle a trouvé 10 cm, 25 cm et 4 cm. 1- Détermine le volume en cm3 puis en dm3 de la boite de jus de fruit. 2- Recopie et complète l’égalité :

25 cm

1 L = ........... dm3

3- Recopie et complète :

1 L = ........... mL et 1 dm3 = ........... cm3 donc 1mL = ........... cm3 10 cm

4 cm

Recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.

j e retiens

Correspondance entre les unités de contenance et les unités de volumes 1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3

Nous allons apprendre à passer d’une unité de contenance à une unité de volume et inversement. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

169


j e comprends la méthode 1- Convertir 12 daL en cm3

2- Convertir 45 dm3 en hL

On commence par convertir 12 daL en L soit en dm3. On obtient donc : 12 daL = 120 L = 120 dm3. De plus : 120 dm3 = 120 000 cm3. Finalement : 12 daL = 120 000 cm3.

On utilise : 1 L = 1 dm3 et on obtient : 45 dm3 = 45 L = 0,45 hL.

Effectue les trois exercices suivants directement sur le livret. Cherche d’abord sur ton cahier de brouillon.

Exercice 32 Complète les égalités suivantes l’unité de contenance qui convient. a) 56,8 dL = 5 68......

b) 58 200 cL = 582......

c) 0,023 hL = 23......

d)

26,8 mL = 0,026 8......

a) 14,6 dm3 = ................ L

b)

5 m3 = ................ L

c) 5,12 dm3 = ................ dL

d)

45 dm3 = ................ daL

124 cm3 = ................ cL

f)

125,8 L = ................ dm3

Exercice 33 Complète les égalités suivantes.

e) g)

456 cL = ................ cm3

i)

0,6 hL = ................ dam3

Tu pourras utiliser :

h) 1 589 mL = ................ mm3

1 L = 1 dm3.

Exercice 34 1- Complète les égalités suivantes avec l’unité de contenance qui convient. a)

123 dm3 = 123......

c) 5 697dm3 = 56,97......

b) 57,4 dm3 = 574...... d) 1,89 m3 = 189 000......

2- Complète les égalités suivantes avec l’unité de volume qui convient . a) 2,012 L = 2 012......

b) 456,23 L = 0,456 23......

c) 450 cL = 4 500......

d) 0,007 hL = 700......

Pense à utiliser : 1 L = 1 dm3.

170





Exercice 35 Range dans l’ordre croissant les volumes suivants : 4,05 L ; 4 265 cm3 ; 0,05 hL ; 390 cL ; 3,95 dm3 ; 0,004 m3.

Séance 8 J’effectue des problèmes sur les volumes Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien justifier tes réponses.

Exercice 36 L’intérieur d’une jardinière a la forme d’un parallélépipède rectangle dont la base est un carré de 90 cm de côté et dont la hauteur mesure 96 cm. On la remplit de terre aux trois quarts de sa hauteur. Quel est le volume, en m3,de la terre contenue dans la jardinière ? Une jardinière est un récipient dans lequel on met des plantes.

Exercice 37 Une piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur 25 m, de largeur 15 m et de profondeur 1,80 m. Calcule le volume d’eau en hL contenu dans la piscine.

Exercice 38

La figure représente une boîte de caramels et l’un de ses caramels. 1- Combien peut-on ranger au maximum de caramels dans la boîte ? 2- Réponds à la question précédente 5,4 cm en utilisant une autre méthode qui fait intervenir les volumes.

10 cm 1,8 cm

20 cm

2 cm


2,5 cm

171


Exercice 39

Un aquarium a la forme d’un parallélépipède dont les dimensions sont 45 cm de longueur, 35 cm de largeur et 50 cm de hauteur.

50 cm

On le remplit d’eau jusqu’à ce que le niveau d’eau soit à 10 cm du bord supérieur.

70 cm 1- Dessine à main levée une représentation de l’aquarium rempli d’eau, en perspective cavalière et codée.

35 cm

2- Quel est le volume d’eau en L ? 3- On dépose au fond de l’aquarium des objets décoratifs et le niveau de l’eau monte de 4 mm. Quel est le volume total de ces objet en cm3 ?

S’il te reste du temps et si tu souhaites aller plus loin, je te propose d’effectuer les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 40 Lorsque l’on congèle 1 L d’eau, on obtient 1,09 L de glace. Un congélateur fabrique des glaçons dont la forme est un cube de 2 cm d’arête. 1- Quel est le volume en L d’un glaçon, de 100 glaçons ? 2- Quelle quantité d’eau arrondie au mL est utilisée par le congélateur pour fabriquer 100 glaçons ?

Exercice 41 Un parallélépipède rectangle a un volume de 28 cm3. Ses dimensions sont des nombres entiers de centimètres. Indique toutes les dimensions possibles de ce parallélépipède rectangle.

Séance 9 J’effectue des problèmes de synthèse Effectue les trois exercices ci-après sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien justifier tes réponses.

172




Exercice 42 Pour fermer un colis en carton de forme cubique, il a fallu recouvrir toutes ses arêtes avec du papier adhésif. Pour cela on a utilisé 144 cm de papier adhésif. 1- Quelle est la longueur d’une arête de ce colis ? 2- Quel le volume en litre de ce colis ?

Exercice 43 1- Complète, après les avoir recopiées, les égalités suivantes : 1 x 1 x 1 = ....... 2 x 2 x 2 = ....... 3 x 3 x 3 = ....... 4 x 4 x 4 = ....... 5 x 5 x 5 = ....... 6 x 6 x 6 = ....... 2- On dispose de 200 cubes de 1 dm d’arête. En les assemblant, on réalise le plus grand cube possible. a) Combien a-t-on utilisé de petits cubes ? Combien en reste-t-il ? b) Quelle est l’arête du grand cube ?

Exercice 44 Le salon d’une maison est un parallélépipède rectangle. Les dimensions au sol sont 5,50 m et 4,50 m, avec une hauteur est de 3 m. Afin de réduire les dépenses de chauffage, on décide de diminuer le volume de la pièce en abaissant le plafond. Calcule la nouvelle distance h, du sol au plafond, pour que le nouveau volume de la pièce représente 80 % du volume initial.

S’il te reste du temps alors cherche l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices :

Exercice 45 Essaie de trouver les onze patrons différents d’un cube de 2 cm d’arête. (Tu peux les tracer en utilisant les carreaux de ta feuille si cela t’aide.)

Nous allons terminer cette séquence 12 par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses sont justes.


173


j e m’évalue

1- Les faces d’un parallélépipède rectangle sont des :

® carrés ® losanges ® rectangles ® triangles

2- Le nombre d’arêtes d’un parallélépipède rectangle est :

® 4 ® 6 ® 8 ® 12

3- Dans la figure H représentée en perspective cavalière E ci-contre, les faces D ABCD et EFGH sont : A

® parallèles.

G F

C

B

4- Dans la figure H représentée en perspective cavalière E ci-contre, les arêtes D [BC] et [CG] sont :

® parallèles.

® perpendiculaires.

® perpendiculaires.

® sécantes.

® sécantes.

5- Parmi les figures suivantes, quelles sont celles qui ne représentent pas le patron d’un cube ?

A

G F

C

B

6- Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont 2 cm, 5 cm et 6 cm alors son volume est :

® 42 cm ®

®

® 104 cm2 ® 60 cm3

®

®

7- 1 540 cm3 sont égaux à :

8- 25 L sont égaux à :

® 1 540 dm3

® 25 000 dL

® 1,54 dm3

® 250 dL

® 1 540 000 dm3

® 2 500 cL

® 0, 001 54 dm3

® 2,5 daL

9- 25 L sont égaux à :

174

® 13 cm3

10- L’aire totale des faces d’un cube de 3 cm d’arête est :

® 25 dm3

® 36 cm2

® 250 dm3

® 36 cm3

® 2,5 dm3

® 54 cm2

® 25 000 cm3

® 54 cm3




Index AËC Notion ..........................................

page

Notion ..........................................

Aire...............................................

106

PËR

Carré............................................

26

Parallélépipède rectangle................

155

Cerf-volant....................................

11

Cube.............................................

155

Patron d’un parallélépipède rectangle.......................................

163

Périmètre......................................

116

Perspective cavalière.......................

156

Pourcentage...................................

83

Proportionnalité............................

70

Quadrilatère..................................

7

Quotient ......................................

42

Rectangle......................................

21

DËE Demi-droite graduée......................

126

Dénominateur...............................

51

Diagonale.....................................

10

Diagramme circulaire.....................

139

Diagramme en barres.....................

135

Diagramme en bâtons....................

135

Diagramme semi-circulaire.............

139

Division décimale...........................

42

Échelle..........................................

78

Écriture fractionnaire.....................

51

FËO Fraction........................................

52

Fraction d’un nombre....................

63

Graphique cartésien.......................

145

Longueur d’un cercle......................

93

Losange........................................

15

Nombre pi.....................................

93

Numérateur...................................

51

SËZ Tableau à deux colonnes.................

130

Tableau à deux entrées...................

132

Tableau à deux lignes.....................

130

Volume d’un parallélépipède rectangle ......................................

166


page

175

ed cned cned n c d e n c d e n c d d cned cned cne d cned cned cned cned cned e n c d e n c d e n c cned cned cned cned cned cned cned cned cne cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned



cerf-volant

Un

un

ainsi que les

deux …………. côtés.

f é d

………………..

………………. ont la même

t i in

……………….. dont deux côtés

n o i

est

CERF-VOLANT

1

DÉFINiTIONS

"

losange

un

n o i

est

LOSANGE

d

la

t i n i f é

ont

............................... .

côtés

même

............................... dont les quatre

Un

2 rectangle

un

n o i t i

est

RECTANGLE

d

n i f é

angles ......................... .

........................................ qui a quatre

Un

3

Ma boîte à outils

"

carré

un

n o i t i

est

CARRE

n i f dé

..................................... .

fois un ..................................... et un

....................................... qui est à la

Un

4

"

Page découpage : Ma boîte à outils

d


d

177




pr

op

........................... de l’autre.

symétrie : la diagonale qui est la

rié

volant alors il admet ......... axe de

té

Si un quadrilatère est un cerf-

LOSANGE

"

pr

symétrie : ses ........................... .

ié r op

alors il admet ................ axes de

té

Si un quadrilatère est un losange

PROPRIÉTÉS : Axes de symétrie 5 CERF-VOLANT 6

"

p o r p

deux côtés consécutifs.

symétrie : les ........................... de

gle alors il admet .............. axes de

é t rié

RECTANGLE

Si un quadrilatère est un rectan-

7

CARRE

é t ié r p o pr

Si un quadrilatère est un carré alors il admet ................... axes de symétrie : ses ........................... et les ....................................... de deux côtés consécutifs.

8

"


d

d


179




pr

....................................... .

.....................................

r p o

gle alors ses côtés opposés ont

pr

r p o

.....................................

gle alors ses côtés opposés sont

é t ié



é t ié

13 RECTANGLE

o r p

...................................... sont égaux

ié r p

losange alors ses angles

té

Si un quadrilatère est un

LOSANGE

"

12 RECTANGLE

...................................... égaux

volant alors il a deux angles


PROPRIÉTÉS : Les angles 9 CERF-VOLANT 10

"

é t rié

CARRE

p

p o r

même ................................................. .

alors ses quatre côtés ont la

é t rié

CARRE Si un quadrilatère est un carré

14

p

p o r

.................................................. .

alors ses quatre angles sont

Si un quadrilatère est un carré

11

"


d

d


181




alors

de

ses

té

rié

une

CARRE

de

ontt on

lle e

p

même ....................................... . ......... ............ ..... .... .....

même .................................... .... ................. ... .......... ....... .. et ...... e la

alors ses diagonaless

é t ié r p o r

Si un quadrilatère est un carré caa

19

p

l'autre

p o r

....................................................

.................................................... est la

volant


é t ié r op

diagonales na ess

p

p o r

ses

sont sont

.............................................................. .... ........... ..... .... ..... .. .

alors

é t rié

CARRE


20

pr

............................................................... .. ......... ..... .... ........ .. ..... .

alors ses diagonales ont .............. ........ ... ...... .....

Si un quadrilatère est un losange diagonales

son ssont

é t ié r op

ses

pr

.............................................................. . ........ ..... ... ....... . .... .

alors


é t ié r p o r p

même ...................................... . .......... ....... ..... ..... ... ....

même .................................... .... ................. ... ........... ........ ...... .. . et e la

gle alors ses diagonales ont a ess o nt le le

Si un quadrilatère est un rectanctt

Page découpage : Ma boîte à outils " " " PROPRIÉTÉS : Les diagonales 15 CERF-VOLANT 16 LOSANGE 17 LOSANGE 18 RECTANGLE

d

d


183




CARRE

r

o c e

e r t î a nn

Si un quadrilatère a ses diagonales qui • sont ......................................... , • ont le même ............................... • et ont le même ..................... alors ce quadrilatère est un ......................... .

25

re

....................................................... .

co

ce quadrilatère est un

médiatrice de l'autre alors

........................... qui est la

e r ît a nn

Si un quadrilatère a une

na

e r t aî

c e r

n n o

........................................ .

c e r

n n o

un .............................................. .

........................................, alors c'est

e r t aî

consécutifs de la même

CARRE

............................ alors c'est un

27

Si un rectangle a deux côtés

CARRE

c e r

n n o

Si un losange a un ...........................

26

c e r

................................... .

on

alors ce quadrilatère est un

.................................................. ...... .

angles droits alors c'est un

e r aît

et qui ont le même ..........................

les qui sont .........................................

e r ît

23 RECTANGLE Si un quadrilatère a .......................

LOSANGE

"

Si un quadrilatère a ses diagona-

RECONNAÎTRE 21 CERF-VOLANT 22

"

n o c e r

un ............................. .

longueur ........................ alors c'est

........................... et la même

diagonales qui ont le même

e r ît a n

Si un quadrilatère a ses

24 RECTANGLE

"


d

d


185



d

Bassin 2

"

"

"

Page découpage

d

Bassin 3 © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

187



figure 1

d d

"

"

"

Page découpage

figure 2


189



Page calculatrice Configurer une calculatrice en mode « normal » On tape la séquence suivante sur la calculatrice : CASIO Collège fx-92 2D

d d

TI-Collège

De façon à sélectionner le mode FLO.

Calculer le quotient de deux nombres Exemple :

calculer le quotient de 93 par 16

• On tape la séquence suivante sur la calculatrice : CASIO Collège fx-92 2D

Il s’affiche :

TI-Collège

Il s’affiche :

5.8125

On tape sur : Il s’affiche : 5.8125 • On conclut : le quotient de 93 par 16 est 5,812 5.


191

i i

Index AËC Notion ..........................................

page

Notion ..........................................

Adjacent.......................................

102

Médiatrice (d’un segment)............. 28, 174

Angle............................................

88

Milieu (d’un segment)....................

19

Arc . .............................................

39

Multiple........................................

199

Arrondi.........................................

74

Ordre de grandeur ........................

81

Axe de symétrie .............................

158

Origine (d’une demi-droite)...........

14

Bissectrice..................................... 102, 184 Cercle...........................................

38

Comparer.....................................

65

Corde (d’un cercle)........................

39

Côté (angle)..................................

88

Critère de divisibilité......................

200

DËE

page

PËR Pair (nombre)...............................

55

Parallèles (droites).........................

22

Partie décimale..............................

59

Partie entière.................................

59

Perpendiculaire (droites)................

22

Point.............................................

9

Produit.........................................

132

Quotient euclidien.........................

193

Rapporteur...................................

93

Rayon (d’un cercle).......................

39

Reste............................................

193

Décimal (nombre).........................

58

Demi-droite..................................

14

Démonstration..............................

31

Diamètre (d’un cercle)...................

39

Dividende......................................

193

Diviseur(d’une division).................

193

Diviseur (d’un nombre)..................

199

Droite...........................................

11

Sécantes (droites)..........................

22

Entier............................................

52

Segment........................................

16

Equilatéral (triangle)......................

117

Sommet (angle).............................

88

Extrémité......................................

16

Symétrie........................................

155

Tableur.........................................

147

FËO

SËZ

Facteur.........................................

132

Termes .........................................

78

Fraction décimale..........................

58

Triangle.........................................

109

Impair (nombre)...........................

55

Triangle rectangle .........................

117

Intersection (de deux droites).........

22

Troncature....................................

68

Isocèle (triangle)............................

117

Valeur approchée ..........................

71


211



Index AËC Notion ..........................................

page

Notion ..........................................

Aire...............................................

106

PËR

Carré............................................

26

Parallélépipède rectangle................

155

Cerf-volant....................................

11

Cube.............................................

155

Patron d’un parallélépipède rectangle.......................................

163

Périmètre......................................

116

Perspective cavalière.......................

156

Pourcentage...................................

83

Proportionnalité............................

70

Quadrilatère..................................

7

Quotient ......................................

42

Rectangle......................................

21

DËE Demi-droite graduée......................

126

Dénominateur...............................

51

Diagonale.....................................

10

Diagramme circulaire.....................

139

Diagramme en barres.....................

135

Diagramme en bâtons....................

135

Diagramme semi-circulaire.............

139

Division décimale...........................

42

Échelle..........................................

78

Écriture fractionnaire.....................

51

FËO Fraction........................................

52

Fraction d’un nombre....................

63

Graphique cartésien.......................

145

Longueur d’un cercle......................

93

Losange........................................

15

Nombre pi.....................................

93

Numérateur...................................

51

page

SËZ Tableau à deux colonnes.................

130

Tableau à deux entrées...................

132

Tableau à deux lignes.....................

130

Volume d’un parallélépipède rectangle ......................................

166


175


cerf-volant

Un

un

ainsi que les

deux …………. côtés.

f é d

………………..

………………. ont la même

t i in

……………….. dont deux côtés

n o i

est

CERF-VOLANT

1

DÉFINiTIONS

"

losange

un

n o i

est

LOSANGE

d

la

t i n i f é

ont

............................... .

côtés

même

............................... dont les quatre

Un

2 rectangle

un

n o i t i

est

RECTANGLE

d

n i f é

angles ......................... .

........................................ qui a quatre

Un

3

Ma boîte à outils

"

carré

un

n o i t i

est

CARRE

n i f dé

..................................... .

fois un ..................................... et un

....................................... qui est à la

Un

4

"


d d


177


pr

op

........................... de l’autre.

symétrie : la diagonale qui est la

rié

volant alors il admet ......... axe de

té


LOSANGE

"

pr

symétrie : ses ........................... .

ié r op

alors il admet ................ axes de

té


PROPRIÉTÉS : Axes de symétrie 5 CERF-VOLANT 6

"

p o r p

deux côtés consécutifs.

symétrie : les ........................... de

gle alors il admet .............. axes de

é t rié

RECTANGLE


7

CARRE

é t ié r p o pr

Si un quadrilatère est un carré alors il admet ................... axes de symétrie : ses ........................... et les ....................................... de deux côtés consécutifs.

8

"


d

d


179


pr

....................................... .

.....................................

r p o

gle alors ses côtés opposés ont

pr

r p o

.....................................

gle alors ses côtés opposés sont

é t ié



é t ié

13 RECTANGLE

o r p

...................................... sont égaux

ié r p

losange alors ses angles

té

Si un quadrilatère est un

LOSANGE

"

12 RECTANGLE

...................................... égaux

volant alors il a deux angles


PROPRIÉTÉS : Les angles 9 CERF-VOLANT 10

"

é t rié

CARRE

p

p o r

même ................................................. .

alors ses quatre côtés ont la

é t rié

CARRE Si un quadrilatère est un carré

14

p

p o r

.................................................. .

alors ses quatre angles sont

Si un quadrilatère est un carré

11

"


d

d


181


alors

de

ses

té

rié

une

CARRE

de

ontt on

lle e

p

même ....................................... . ......... ............ ..... .... .....

même .................................... .... ................. ... .......... ....... .. et ...... e la

alors ses diagonaless

é t ié r p o r


19

p

l'autre

p o r

....................................................

.................................................... est la

volant


é t ié r op

diagonales na ess

p

p o r

ses

sont sont

.............................................................. .... ........... ..... .... ..... .. .

alors

é t rié

CARRE


20

pr

............................................................... .. ......... ..... .... ........ .. ..... .

alors ses diagonales ont .............. ........ ... ...... .....

Si un quadrilatère est un losange diagonales

son ssont

é t ié r op

ses

pr

.............................................................. . ........ ..... ... ....... . .... .

alors


é t ié r p o r p

même ...................................... . .......... ....... ..... ..... ... ....

même .................................... .... ................. ... ........... ........ ...... .. . et e la

gle alors ses diagonales ont a ess o nt le le

Si un quadrilatère est un rectanctt

Page découpage : Ma boîte à outils " " " PROPRIÉTÉS : Les diagonales 15 CERF-VOLANT 16 LOSANGE 17 LOSANGE 18 RECTANGLE

d

d


183


CARRE

r

o c e

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Si un quadrilatère a ses diagonales qui • sont ......................................... , • ont le même ............................... • et ont le même ..................... alors ce quadrilatère est un ......................... .

25

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ce quadrilatère est un

médiatrice de l'autre alors

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Si un quadrilatère a une

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e r t aî

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........................................, alors c'est

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consécutifs de la même

CARRE

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27

Si un rectangle a deux côtés

CARRE

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Si un losange a un ...........................

26

c e r

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alors ce quadrilatère est un

.................................................. ...... .

angles droits alors c'est un

e r aît

et qui ont le même ..........................

les qui sont .........................................

e r ît

23 RECTANGLE Si un quadrilatère a .......................

LOSANGE

"

Si un quadrilatère a ses diagona-

RECONNAÎTRE 21 CERF-VOLANT 22

"

n o c e r

un ............................. .

longueur ........................ alors c'est

........................... et la même

diagonales qui ont le même

e r ît a n

Si un quadrilatère a ses

24 RECTANGLE

"


d

d


185


d

Bassin 2

"

"

"

Page découpage

d

Bassin 3 © Cned, Mathématiques 6e —

187


figure 1

d d

"

"

"

Page découpage

figure 2


189


Page découpage "

LA PETITE HISTOIRE DES NOMBRES

d d

Le bâton :

"

Le bâton partagé en 10 parties de même mesure :

"

Le bâton partagé en 100 parties de même mesure :


213


d d

Page découpage "

TANGRAMS

1 8

5

6

"

3

10 9

4

"

7 2 11


215


t t

Tables de calculs À connaître par coeur ! Tables d’additions

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tables de multiplications

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

210

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 4 6 8 10 12 14 16 18 6 9 12 15 18 21 24 27 8 12 16 20 24 28 32 36 10 15 20 25 30 35 40 45 12 18 24 30 36 42 48 54 14 21 28 35 42 49 56 63 16 24 32 40 48 56 64 72 18 27 36 45 54 63 72 81



Page calculatrice Configurer une calculatrice en mode « normal » On tape la séquence suivante sur la calculatrice : CASIO Collège fx-92 2D

d d

TI-Collège

De façon à sélectionner le mode FLO.

Calculer le quotient de deux nombres Exemple :

calculer le quotient de 93 par 16

• On tape la séquence suivante sur la calculatrice : CASIO Collège fx-92 2D

Il s’affiche :

TI-Collège

Il s’affiche :

5.8125

On tape sur : Il s’affiche : 5.8125 • On conclut : le quotient de 93 par 16 est 5,812 5.


191


OFF

Page calculatrice

MRC

7 4

9

5

1 ON C

M-

8

+

÷ ×

3 •

√

%

6

2 0

M+

=

Comment configurer la calculatrice CASIO fx-92 Collège 2D ? Par défaut, cette calculatrice est configurée dans un mode un peu trop compliqué pour le début de la 6e. Pour revenir à un mode « normal », tape :

2

Séquence 6 : Comment calculer le quotient et le reste d’une division euclidienne ? Exemple : quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 598 par 7 ? avec la TI-collège

avec la CASIO fx-92 Collège 2D

On tape la séquence de touches :

On tape la séquence de touches :

598

2 nde

7

La calculatrice affiche : 85, R = 3 Le quotient est 85, le reste est 3.

ENTER

=

598

R

7

EXE

La calculatrice affiche : 85 3 Le quotient est 85, le reste est 3.


217


Mathématiques 6e Livret de corrigés Rédaction : Claudine Albin-Vuarand Nicole Cantelou Marie-Jo Quéffelec Marie-France Lefèvre Marc Le Crozler Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation



Sommaire Séquence 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Règle, équerre, compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Séquence 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Séquence 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Séquence 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Multiplication de nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Séquence 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Séquence 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190



Sommaire Séquence 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Séquence 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Division décimale, écritures fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Séquence 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Séquence 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Périmètres, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Séquence 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Gestion de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Séquence 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Parallélépipèdes rectangles. Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366



c c

Séquence 1

SÉQUENCE 1 Séance 1

Ce que tu devais faire

Les commentaires du professeur 1)

Je révise les acquis de l’école 1) d)

La figure représentée est un ligne droite limitée par deux points : c’est donc un segment (une droite est une ligne droite illimitée des deux « côtés » : on n’en représente évidemment qu’une partie). 2) Tu as vu au CM2 que deux droites sont perpendiculaires si « elles se coupent en formant un angle droit ».

2) b)

3) Tu as vu au CM2 que deux droites sont parallèles si elles ne se coupent pas. Dans le a), les deux droites se coupent : il suffit pour cela de prolonger leur tracé.

3) d)

4)

4) c)

On utilise une équerre : cet instrument sert à tracer des angles droits. 5)

5) c)

Le point tracé en rouge est le milieu du segment car il le partage en deux segments dont la mesure est 2 cm.

Exercice 1 A l’aide d’une règle, on prolonge les deux traits rouge et bleu. On pense, lorsqu’on représente une droite : • à tracer un trait qui soit le plus fin possible • à tracer un trait jusqu’au bord des limites de la figure (car une droite est illimitée, mais en pratique, on doit bien « arrêter » son tracé quelque part). Nommer un point K, c’est écrire la lettre K sur la figure près de l’endroit où le point se trouve. Ici, on place la lettre K où l’on veut le plus près du lieu où se coupent les deux droites Remarque : sur une figure, il ne peut y avoir qu’un seul point nommé K. La suite de l’énigme de la carte au trésor sera à faire dans la prochaine séance...

— © Cned, mathématiques 6e, 2008


c

Séquence 1

Exercice 2 1)

1) On peut placer le point n’importe où sur la feuille. C’est « le centre de la croix » qui représente le point.

2) Pour tracer une droite, j’utilise une règle. 3)

A

(d'')

A

c

(d')

2) Une règle non graduée suffit. 3) On place la règle de telle sorte qu’un de ses bords passe par « le centre de la croix » :

(d)

A

On ne peut représenter sur une feuille qu’une partie de chaque droite (car une droite est illimitée c’est-à-dire qu’elle « ne s’arrête jamais »). Les droites doivent passer précisément par le centre de la croix. Le tracé d’une droite doit être le plus fin possible car une droite n’a pas d’épaisseur. On note une droite avec des parenthèses, par exemple (d). La parenthèse de chaque côté doit rappeler qu’une droite est illimitée «des deux côtés».

4) La bonne réponse est c), c’est-à-dire une infinité.

4) On ne peut pas représenter l’infinité de droites qui passent par le point A, mais grâce à la figure ci-dessous, on peut l’imaginer.

© Cned, Mathématiques 6e, 2008 —


c c

Séquence 1

Séance 2 Ce que tu devais faire

Les commentaires du professeur

Exercices 3 et 4

Toutes les nouvelles constructions sont représentées en bleu. Pour savoir si les droites passent ou ne passent pas par les point V et W, il fallait prolonger suffisamment leurs tracés. Seule la droite prolongeant la piste bleue passe par le point demandé, à savoir le point W. On note ensuite respectivement (Δ) et (Δ’) les droites « rouge et bleue ». On note ensuite les points M et F et on trace une droite passant par M et F. On se rend alors compte qu’il en existe une seule, et par conséquent, que : « par deux points différents, il ne passe qu’une seule droite ». « La » signifiant « l’unique », on dira toujours à partir de maintenant : « la droite passant par les deux points M et F ».

La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par le point V ? NON La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par le point W ? OUI Peux-tu tracer une autre droite que la précédente passant par M et F ? NON Exercices 5

Attention ! Il est essentiel de procéder avec méthode afin de ne rien oublier.

E

1)

H

G

F Noms des droites cherchées : (EF) ou (FE), (EG) ou (GE), (EH) ou (HE), (FG) ou (GF), (FH) ou (HF), (GH) ou (HG).

Dans un premier temps, on trace par exemple toutes les droites passant par E. On trace donc (EF), (EG) et (EH). Ensuite, on trace toutes les droites non encore tracées passant par F. On trace donc (FG) et (FH). Enfin, on trace toutes les droites non encore tracées passant par G. On trace donc (GH). Au total, on a tracé 6 droites. Chacune d’entre elle s’écrit de deux façons différentes, il y a donc 12 écritures possibles au total.



c

Séquence 1

Exercice 6 1e situation : Le point C appartient à la droite (AB).

C

B

A

On pouvait également écrire : C ∈ (AB).

Il n’y a qu’une seule droite passant par deux de ces points : la droite (AB). 2e situation : Le point C n’ appartient pas à la droite (AB)

B

A

1ère situation :

c

La figure n’est qu’une possibilité parmi d’autres cas de figures : On dit, dans cette situation, que les points A, B et C sont alignés (car ils appartiennent à une même droite). 2ème situation : On pouvait également écrire : C ∉ (AB).

C Il y a 3 droites passant par deux de ces points : (AB), (AC) et (BC). Exercice 7

O P

On dit que dans cette situation que les points A, B et C ne sont pas alignés car ils n’appartiennent pas à une même droite.

1) On trace la droite (MO). Le point P semble être sur cette droite. Les points M, P et O semblent donc alignés. Pourquoi utiliser le mot « semblent » ? Tout simplement parce qu’une figure est toujours plus ou moins précise. Ici, par exemple, le point P est peut-être « très très proche » de la droite (MO), sans être sur celle-ci.

M Q

Remarque : Je peux toujours tracer une droite passant par deux points distincts. Deux points quelconques et distincts sont toujours alignés.

N

R 1) Les points M, O et P semblent alignés.

2) On trace la droite (MN). Le point R n’est pas sur cette droite. Les points M,N, Q et R ne sont donc pas alignés. Remarque : les points M, Q et N semblent être alignés.

2) Les points M, N, Q et R ne sont pas alignés. Exercice 8

Y

X

Z

Les différentes façons de nommer la droite (XY) sont : (XY), (YX), (XZ), (ZX), (YZ) et (ZY)

On trace une droite et on place sur cette droite trois points X, Y et Z. Comme les points sont alignés (cela est écrit dans la consigne), on déduit que la droite (XY) est la même droite que (XZ) et que (YZ). On exprime cela en disant que ces trois droites sont confondues.



c c

Séquence 1

Exercice 9

1)

1) 2) et 3)

K, N et S sont alignés donc S appartient à la droite (KN). M

K S N L T

M, L et S sont alignés donc S appartient à la droite (ML). On trace les droites (KN) et (ML). Les droites (KN) et (ML) se coupent au point S cherché. 2) K, L et T sont alignés donc T appartient à la droite (KL). M, N et T sont alignés donc T appartient à la droite (MN). On trace les droites (KL) et (MN). Les droites (KL) et (MN) se coupent au point T cherché.

Exercice 10

La nouvelle construction est représentée en bleu. Le point B est tel que M, F et B soient alignés : il est donc sur la droite (MF). Le point B est également sur la droite (Δ). Le point B est donc le point d’intersection de la droite (MF) et de la droite (Δ). Il ne reste plus qu’à le placer sur la carte.



c

Séquence 1



Exercice 11

La nouvelle construction est représentée en bleu.

c

On nomme D le Dolmen du couchant et S la Source éternelle. On trace un trait droit « qui part de D, qui passe par S et on le prolonge au maximum sur la feuille ». Tu viens alors de tracer ce que l’on appelle : « la demi-droite d’origine D passant par S ».

Exercice 12 1) On a représenté en bleu la demi-droite d’origine A passant par B. On la note [AB). 2) On a représenté en bleu la demi-droite d’origine D passant par C. On la note [DC). 3) Deux réponses sont possibles :

1) Cette demi-droite est limitée par le point A et illimitée de l’autre côté. B A 2)

C

1e réponse : On a représenté en bleu la demi-droite d’origine E passant par F. On la note [EF). 2e réponse : On a représenté en bleu la demi-droite d’origine E passant par G. On la note [EG).

D Cette demi-droite est limitée par le point D et illimitée de l’autre côté. 3) Cette demi-droite est limitée par le point E et illimitée de l’autre côté.

G

4)

I

F

H E

On la note [HI).

5) J K L

Elle est à la fois la demi-droite d’origine E passant par F et la demi-droite d’origine E passant par G. On peut donc la noter [EF) ou [EG). 4) On place précisément la règle et on trace finement, à l’aide d’un crayon à papier, un « trait partant du point H et passant par le point I ». On prolonge le trait au-delà du point I « aussi loin que possible ».

On la note [LJ) ou [LK).

I H

5) J K L



c c

Séquence 1

Exercice 13

a) b)

a) b)

On trace les deux demi-droites. A B C

c) Les deux demi-droites ont un point en commun : le point B. d) La partie coloriée en vert ou en bleu est la droite (AB).

c) Le point B appartient à la fois à la demi-droite [BA) et à la demi-droite [BC). C’est donc le seul point commun aux deux demi-droites. d) La partie coloriée en vert ou en bleu est la droite (AB) toute entière. Cette droite se nomme (AB) ou (AC) ou (BC). Les trois réponses sont justes. On dit que les deux demi-droites [BA) et [BC) sont opposées.

Exercice 14 a), b), c) et d) d) La partie coloriée en vert ou en rouge représente la droite (LM). K

M L

Exercice 15

Le dessin est un peu confus car la demi-droite [ML) représentée en rouge et la demi-droite [LM) représentée en vert se chevauchent entre M et L. La partie coloriée en vert et en rouge s’appelle un segment. On entend par « partie coloriée en vert ou en rouge » la partie coloriée soit en vert, soit en rouge, soit en vert et en rouge. La partie cherchée est donc la droite (LM).

On représente en orange la demi-droite considérée afin de bien visualiser si le point y appartient ou non. M ∈ [AB) M ∉ [Ar) s

s

t

B

B

M

M ∈ [AB)

v

M ∉ [Ar)

N u

w

v

r s

M A

C N u

C ∉ [Bt) s

t

B

B

M

C ∉ [Bt) v

C ∈ [Cw)

N u

w

v

r s

r s

M v

B

t M

A

C N u

w

C ∈ [Cw)

t

B

A

C N u

C ∈ [NB)

B ∈ [CB)

t M

A

C

w r

M ∈ [As)

M ∈ [As) C ∈ [NB)

A

C

t

w

v

r

A

C N u

w r

L’origine d’une demi-droite appartient à cette demi-droite. B ∈ [CB) s

B

t M

v



C N u

A

w r

c

Séquence 1

Exercice 16

1) 2)

1) 2) 3) 4)

M

On a représenté un exemple de figure qui répond à la question.

O

M E

t

c

N x

E

N

5) La demi-droite est [Nx).

x Bien entendu, de nombreuses figures différentes sont également justes. En voici un exemple :

x

N

E M

3) Pour placer un point O qui convient, on trace la droite (EN). On place ensuite O n’importe où sur cette droite (EN) mais pas sur la demi-droite [EN). 4) La demi-droite [Mt) a pour origine le point M et passe par le point O. 5) Il existe une seule demi-droite répondant à la question : la demi-droite [Nx).



c c

Séquence 1



Exercice 17

Toutes les nouvelles constructions sont représentées en bleu. On note O le point représentant l’Ours pétrifié. On trace un trait droit « qui part de O et qui s’arrête à A ». Tu viens de tracer ce que l’on appelle le segment d’extrémités O et A, et que l’on note [OA] ou [AO]. Ce segment coupe la demi-droite [DS) en un point que l’on nomme R et qui représente un ravin. C’est de là qu’il faudra partir pour poursuivre notre recherche...

Exercice 18

1)

1) On a représenté le segment d’extrémités A et B.

A

On le note [AB] ou [BA].

0

AB = 4 cm.

B 1

2

3

4

5

On pouvait également écrire « le segment d’extrémités B et A ».

2) On a représenté le segment d’extrémités C et D.

2)

On le note [CD] ou [DC].

C 0

DC = 6 cm.

1

D

2

3

4

5

6

7

On pouvait également écrire « le segment d’extrémités D et C ». Sa longueur peut également s’écrire CD. CD = DC = 6 cm. Attention de ne pas écrire une égalité fausse comme par exemple : [CD] = 6 cm

3) On a représenté le segment d’extrémités E et F.

3)

F

On le note [EF] ou [FE].

E

EF = 2 cm.

3

2

1

0

On pouvait également écrire « le segment d’extrémités F et E ». Sa longueur peut également s’écrire FE. FE = EF = 2 cm Attention à ne pas confondre EF et [EF].

4) GH = 3,5 cm.

4)

G

H

J

K



H 1

2

3

3,5

5)

5) KL = 1,5 cm.

10

I

G

0

L

J

L

K

0

1

1,5 2

I

c

Séquence 1

Exercice 19

D

Sur cette figure sont représentés :

C

• la droite (CE).

c

• la demi-droite [CD). • le segment [DE].

E

Exercice 20

On a tracé côte à côte les traits bleu et vert entre R et S, mais normalement, ils se superposent exactement. C’est juste pour bien remarquer que la partie entre les point R et S est la seule à être coloriée à la fois en bleu et en vert : le segment [RS] est donc la réponse de la question b).

R S

a) La partie en bleu ou en vert est la droite (RS) b)La partie à la fois en bleu et en vert est le segment [RS]. Exercice 21

Comme toute la droite a été coloriée, la partie coloriée en bleu ou en vert (ou en bleu et en vert) est donc la droite (RS). On trace dans un premier temps tous les segments qui ont pour extrémité le point P : on trace les segments [PQ], [PR] et [PS].

P

R Q

On trace ensuite les segments d’extrémité le point Q que l’on n’ a pas déjà tracés : on trace [QR] et [QS]. Enfin, on trace le seul segment non déjà tracé d’extrémité R qui est [RS].

S On a tracé les 6 segments : [PQ], [PR], [PS], [QR], [QS] et [RS]. Exercice 22

Remarque : on pouvait bien sûr les nommer [QP], [RP], [SP], [RQ], [SQ] et [SR]. Pour s’aider, on a tracé en orange la demidroite [AC), en bleu [AB) et en vert [BC). D

E ∈ [AB]

E ∈ [AB)

E ∈ (AB)

F ∉ [BC]

F ∈ [BC)

F ∈ (BC)

D ∉ [AC]

D ∉ [AC)

D ∈ (AC)

A ∈ [CA]

A

E B

F

C

On a A ∈ [CA] car chaque extrémité d’un segment lui appartient.


11


c c

Séquence 1

Ecrivons en toutes lettres ce que nous avons tracé dans la partie gauche :

Exercice 23

A

1) M n’appartient pas au segment d’extrémités A et B et M appartient à la demidroite d’origine A passant par B.

P B

2) N appartient au segment d’extrémités B et C.

M

3) P appartient à la demi- droite [NB) et P n’appartient pas au segment [BN].

N

4) On trace la droite qui passe par M et N. On trace le segment d’extrémités N et A. On trace la demi-droite d’origine P passant par M.

C

On a représenté dans la partie gauche une solution juste, mais il y en a bien d’autres : on pouvait placer les segments dans n’importe quelle position.

Exercice 24

Voici comment on pouvait procéder : • On trace un segment [EF] de 7 cm de longueur.

7 cm

E

F

F

7 cm

0

E

1

3 cm 2

G 3

3 cm 4,5 cm G

H

On trace un segment [EG] de 3 cm de longueur. Une de ses extrémités est E : « on repart donc du point E ». On peut choisir « n’importe quelle direction » pour ce segment . • On trace un segment [FH] de 4,5 cm de longueur. Une de ses extrémités est F : « on repart donc du point F ». On peut choisir également « n’importe quelle direction » pour ce segment.

F

4

4,5

7 cm

5

E

3

3 cm

2

4,5

1

G

0

H

12



c

Séquence 1



Exercice 25

a) On dit « trace un segment [CD] » dans l’énoncé car on peut le placer n’importe où. Une fois tracé, on dira « le segment [CD] » car alors il n’y en aura plus qu’un.

a) b)

C

D

I

4 cm

c

c) On pouvait écrire de façon plus abstraite que :

c) Comme I est sur le segment [CD], on a :

DI = DC —CI = 8 —4 = 4

DI = 8 – 4 = 4.

DI = 4 cm

lalongueur DC moinslalongueur CI

d) CI = 4 cm DI = 4 cm.

Remarque importante : On peut faire ce calcul car I est sur le segment [CD]. Si le point n’est pas sur le segment, comme le point J de la figure ci-dessous, on ne peut pas calculer DJ en faisant CD - CJ :

Les longueurs CI et DI sont égales.

J 6

4

C

D

8

(la figure n’est pas à l’échelle) d) On pouvait également écrire : CI = DI. (ce qui veut dire que les longueurs CI et DI sont égales). Le point I du segment [CD] tel que CI = DI est appelé « le milieu de [CD] ».

Exercice 26 1)

E K F C

B

A J

I D

2) Les points I, J et K semblent alignés.

1) • Tracé du milieu I de [AB] : on mesure le segment [AB] avec la règle graduée, on obtient 4 cm. On trace le point I de [AB] tel que : AI = 2 cm. • Tracé du milieu J de [CD] : DC = 3 cm donc on trace le point J de [CD] tel que : DJ = 1,5 cm. • Tracé du milieu K de [EF] : EF = 5 cm donc on trace le point K de [EF] tel que : EK = 2,5 cm. 2) Pour pouvoir affirmer que les points I, J et K semblent alignés, on place une règle de telle façon que I et J soient sur le bord. On se rend alors compte que le point K semble également être sur le bord de la règle.


13


c c

Séquence 1

Exercice 27 1) 2)

• Tracé du milieu I de [NL] : On mesure le segment [NL] : NL= 4 cm. On place le point I de [NL] tel que : LI = 2 cm.

N

• Tracé du milieu J de [MN] : MN = 5 cm. On place le point J de [MN] tel que : NJ = 2,5 cm.

J

I

M L

K

3) On remarque que les trois droites tracées semblent passer par le même point.

• Tracé du milieu K de [ML] : ML = 7 cm. On place le point K de [ML] tel que : LK = 3,5cm. 3) remarque : Trois droites qui se coupent en un même point sont dites « concourantes ».

On note P le point représentant la Pyramide de Mathie.

Exercice 28

On trace le segment [RP]. On veut placer le milieu U de ce segment. Pour cela, on commence par le mesurer. • Le segment [RP] mesure 5 cm. • La moitié de 5 cm est 2,5 cm. • Le point U se trouve donc entre R et P et à 2,5 cm du point R. • On prend alors une règle graduée, on mesure 2,5 cm et on place le point U. On n’oublie pas de coder la figure pour indiquer que les deux longueurs RU et PU sont égales. On pouvait bien sûr coder les segments par d’autres signes : trois traits, quatre traits, ...

Exercice 29 1)

A

B

D

C

F

E

Le codage met en évidence l’égalité des longueurs CA et CF.

2) D’après l’énoncé : • C est le milieu de [AE] donc : CA = CE. • CE = CF CA = CE et CE = CF d’où CA = CF. 3) Le point C n’est pas le milieu du segment [AF] car il n’est pas sur le segment [AF].

14



Attention ! Si on a CA = CF, le point C n’est pas nécessairement le milieu du segment [AF].

c

Séquence 1

Exercice 30 a) Le point B appartient à [AC] et d’après le codage de la figure AB = BC donc B est le milieu de [AC].

c

Il faut se méfier des impressions données par une figure. Dans la figure il semble que les segments [AF] et [FE] aient la même longueur. En réalité la longueur FE est légèrement plus petite que AF.

Remarque : il existe un symbole pour signifier « n’est pas égal à » : le symbole « ≠ ». On aurait pu écrire : « AF ≠ FE donc F n’est pas le mileu de [AE] ».

Exercice 31 1) a) b) c) d) 8 cm

A

E

B

5 cm

F

D

3 cm

B est le milieu de [AD]

1) a) On trace un segment [AB] de 5 cm. A

2) Calcul de AD B est le milieu de [AD] donc AD = 2 x AB soit AD = 10 cm. Calcul de AE Calcul de EB

5 cm

B

D

c) On place E sur [DB) tel que DE = 8 cm : A

E

B

D ED = 8 cm

EB = AB – AE. EB = 5 – 2 = 3 soit EB = 3 cm.

d) On place F sur [BD] tel que BF = 3 cm :

3) B est sur [EF] et l’on a :

B

b) Pour obtenir le point D, on trace la demi-droite [AB), puis le point D de la demi-droite [AB) différent du point A tel que BD = AB = 5 cm. A

AE = AD – DE. AE = 10 – 8 = 2 soit AE = 2 cm.

5 cm

A

E

EB = BF = 3 cm.

Le point B est donc le milieu du segment [EF].

B

F

D

BF = 3 cm

Remarque : Il est conseillé d’indiquer sur ta figure tout ce que tu sais : cela t’aidera par la suite. 2) On pouvait aussi écrire que AD = AB + BD. Puis AD = 5 + 5 = 10 soit AD = 10 cm. On a AE = AD – DE car E est sur le segment [AD]. On a EB = AB – AE car E est sur le segment [AB]. 3) Il est très important de justifier sa réponse. Il est évident, vu la construction, que B est sur le segment [EF], mais il faut tout de même le rappeler.


15


c c

Séquence 1

Séance 6

Ce que tu devais faire Exercice 32 1) (d1) et (d5) semblent ne jamais se couper.

2) (d1) et (d2), (d1) et (d3), (d1) et (d4), (d2) et (d3), (d2) et (d4), (d2) et (d5), (d3) et (d4), (d3) et (d5), (d4) et (d5) se coupent. 3) (d1) et (d3), (d2) et (d4), (d5) et (d3) semblent se couper en formant un angle droit.

Les commentaires du professeur 1) On utilise le mot « semble » car on n’est jamais vraiment sûr : peut-être qu’en prolongeant les tracés « très très loin », ces traits se coupent. 2) Il y avait de nombreuses possibilités. Il te suffisait d’en donner une parmi celles proposées. Dans ce cas, on est sûr que les droites se coupent. 3) Pour s’en convaincre, on utilise une équerre. Etudions par exemple (d1) et (d3) :

(d1)

(d ) On utilise le verbe « sembler » car on n’est jamais vraiment sûr que les droites longent exactement les bords de l’équerre et que l’équerre est parfaitement juste. 3

Exercice 33 1) Les droites ne sont pas perpendiculaires.

1) Les droites ne forment pas un angle droit. C’est tellement visible qu’on n’a même pas besoin d’utiliser une équerre.

2) Les droites semblent perpendiculaires.

2) Les droites sont sécantes et semblent former un angle droit.

3) Les droites ne sont pas perpendiculaires.

3) Les droites ne forment pas un angle droit.

4) Les droites semblent perpendiculaires. Exercice 34 1) Les droites ne sont pas parallèles. 2) Les droites semblent parallèles. 3) Les droites ne sont pas parallèles. 4) Les droites ne sont pas parallèles.

16



4) Si on prolonge le tracé des droites alors elles semblent être perpendiculaires. 1) Si on prolonge les tracés des droites, alors elles sont sécantes. 2) Les droites semblent ne jamais se couper : elles semblent donc parallèles. 3) Les droites semblent perpendiculaires. Elles sont sécantes ; elles ne sont donc pas parallèles. 4) Si on prolonge les tracés, ils se coupent. Les droites ne sont donc pas parallèles.

c

Séquence 1

Exercice 35 1)

(d) (d') (d'')

Pour tracer une droite(d) perpendiculaire à (Δ), on utilise l’angle droit de l’équerre que l’on place contre la droite (Δ).

(d)

c

(∆)

On procède de la même façon pour obtenir (d’)

(d) (d')

(∆)

(∆) (d) (d')

On utilise la même méthode pour tracer (d‘’).

(d'')

2) La bonne réponse est la réponse c) (∆)

Remarque : on pouvait placer les droites (d), (d’) et (d’’) où l’on voulait. Dans chaque cas, on n’oublie pas de placer le « petit carré », qui veut dire que les droites sont perpendiculaires. La droite (Δ) étant illimitée, on peut tracer une infinité de droites perpendiculaires à (Δ). En voici quelques-unes :

(∆)

Exercice 36 1) 3) C

(d)

K

2) La bonne réponse est NON. 4) La bonne réponse est NON.

1) On place l’équerre de sorte : - qu’un des côtés de l’angle droit soit le long de la droite (d) - que C soit sur l’autre côté de l’angle droit.

C

(d)

2) On voit bien que la droite que tu as tracée est la seule qui soit à la fois perpendiculaire à (d) et passant par le point C. 3) On place C l’équerre de sorte : (d) - qu’un des côtés de l’angle droit K soit le long de la droite (d) - que le sommet de l’angle droit soit au point K.


17


c c

Séquence 1

1) On applique la méthode.

Exercice 37 1)

2)

M

M

(d)

M

(d)

(∆)

(d)

(∆)

3)

4)

(d) (∆) 2) Ce cas est particulier car le point M est sur la droite.

(∆)

(∆)

M

(∆)

(∆)

(d) M

M (d)

(d)

3) Il faut d’abord prolonger le tracé de (d) existant afin de placer l’équerre.

M

(∆) (d)

M

4) Ce cas est classique : on applique la méthode. 1) • On commence par tracer la droite (d1). Elle passe par E et elle est perpendiculaire à la droite (FG).

Exercice 38 1) E

(d2)

E

(d3)

G

F (d1)

G

F

• On trace ensuite de la même manière les droites (d2) et (d3).

(d1)

E

2) Les droites (d1), (d2) et (d3) semblent se couper en un même point.

(d2)

(d3)

G

F (d1)

2) On dit que les droites (d1), (d2) et (d3) semblent concourantes.

18



c

Séquence 1

c

On trace la perpendiculaire (d) au segment [RP] passant par le point U. On note « (d) » cette droite sur la carte.

Exercice 39

On code ensuite l’angle droit. Plaçons maintenant le point X : Il se trouve à 10 km du point U sur la droite (d). 1 cm sur la carte représente 2 km en réalité. 10 km = 5 x 2 km. 10 km sont donc représentés par 5 x 1 cm sur la carte, c’est-à-dire 5 cm. Il y a donc deux possibilités. Voici la première :

La deuxième possibilité (dans l’autre sens), fait que le point X est dans l’eau. Ce n’est donc pas celle-là qu’il faut retenir. Les points F, G et K doivent être alignés. On trace donc la droite (FG).

Exercice 40

A

B

F

A

B

F

G

M

G

K M

On doit avoir (MK) ⊥ (AB). On trace donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par le point M. A

B

F

G

M

K est le point d’intersection de cette perpendiculaire et de la droite (FG).


19


c c

Séquence 1

Exercice 41

cible

2

20



c

Séquence 1


c


Exercice 42 a) (d) n’est pas la médiatrice du segment [MN] car elle n’est pas perpendiculaire au segment [MN]. b) (d) n’est pas la médiatrice du segment [MN] car elle ne passe pas par le milieu du segment [MN]. c) (d) est la médiatrice du segment [MN] car elle passe par le milieu de [MN] et elle est perpendiculaire au segment [MN]. Exercice 43

a) Une droite passant par le milieu d’un segment n’est pas forcément la médiatrice du segment : il faut aussi qu’elle lui soit perpendiculaire.

b) Une droite perpendiculaire à un segment n’est pas forcément sa médiatrice : il faut aussi qu’elle passe par le milieu du segment. Voici une méthode te permettant de tracer la médiatrice du segment [GH] : On mesure le segment [GH]. On trouve 6 cm. Le milieu de ce segment se trouve donc à trois centimètres de G.

(d)

G

G

0

H

1

H 2

3

4

5

6

7

On marque ensuite le milieu du segment et on trace la perpendiculaire à la droite (GH) passant par le milieu du segment. On utilise pour cela l’équerre. (∆)

G

B

H

C

On prolonge enfin le trait tracé et on écrit les codages : le « petit carré » pour indiquer l’angle droit et, par exemple, des petits traits pour signifier que la médiatrice coupe le segment [GH] en deux segments de même longueur. On fait de même pour la médiatrice du segment [CB]. Remarque importante : une autre méthode beaucoup plus précise te permettant de tracer une médiatrice sera étudiée par la suite.

Exercice 44 (d1) (d2)

(d3)

Pour tracer (d1) médiatrice de [OP], on place le milieu de [OP] et on trace la droite (d1) perpendiculaire à (OP) passant par ce milieu.

Q

P

O

On pratique de même pour tracer (d2) et (d3). Les droites (d1), (d2) et (d3) semblent passer par un même point.

Les droites (d1), (d2) et (d3) semblent concourantes. © Cned, Mathématiques 6e, 2008 —

21


c c

Séquence 1

Exercice 45

(d1)

Attention : il faut faire très attention au mot « semblent ». On a effectivement l’impression que ces droites ne vont jamais se couper, mais on n’en est pas sûr. Des illusions optiques nous ont appris a être sur nos gardes. Qui croirait par exemple que les segments blancs ci-dessous sont parallèles ?

(d2) (d3) Les droites (d2) et (d3) semblent parallèles. On aimerait bien pouvoir écrire que les droites (d2) et (d3) sont parallèles. Alors comment faire ? On va apprendre à faire une démonstration : C’est le seul procédé permettant de pouvoir affirmer de façon certaine. Rends-toi à la suite du cours pour apprendre à effectuer des démonstrations.

Exercice 46

(d)

a)

(∆)

On sait que :

(d) ⊥ (d 1) et (∆) ⊥ (d1) On applique la propriété : "Si

deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles."

(d1)

On déduit que :

(d) // ( ∆) (d1)

b)

(d3)

On sait que :

(d 1) ⊥ (d 2) et (d3) ⊥ (d2) On applique la propriété : "Si


On déduit que :

(d 1) // (d 3)

22



(d2)

c

Séquence 1

Exercice 47 a) On sait que :

(d) ⊥ ( ∆) et (∆´) ⊥ (∆ )

c

On applique la propriété : "Si


On déduit que :

(d) // ( ∆´) b) On sait que :

(∆ )⊥ (d´) et (d) ⊥ (d´) On applique la propriété : "Si


On déduit que :

(d) // ( ∆ ) Exercice 48 1) a) Plan de la démonstration On sait que :

1)

(d 1) ⊥ (JL) et (d 3) ⊥ (JL)

K



On déduit que :

(d1)

(d 1) // (d 3) b) Rédaction de la démonstration

L

J

Les deux droites (d1) et (d3) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (JL), elles sont donc parallèles. On déduit donc que :

(d3)

(d1) // (d3).

2) Plan de la démonstration On sait que :

(d 2) ⊥ (KL) et (d 4) ⊥ (KL)

2) Ce n’est pas parce qu’il n’est pas précisé dans la question «démontrer », qu’il ne faut pas effectuer une démonstration. K



(d2)

On déduit que : (d4)

(d 2) // (d 4) Rédaction de la démonstration

L

J

Les deux droites (d2) et (d4) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (KL), elles sont donc parallèles. On déduit donc que : (d2) // (d4).


23


c c

Séquence 1

Exercice 49

1) Les points A, B et C sont alignés dans cet ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm, d’où :

1) et 2) (∆)

A 4 cm B

3 cm

C

(d)

On trace ensuite la droite (d) perpendiculaire à la droite (AB) en C :

A B

(d)

C A B C

3) Plan de la démonstration On sait que :

(∆) est la médiatrice du segment [AB] médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu"

2) On trace ensuite la droite (Δ). C’est la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB] :

On applique la définition :"La

On déduit que :

(∆)⊥(AB)

(∆) (d) A B

2 cm 2 cm

C

Rédaction de la démonstration (Δ) est la médiatrice du segment [AB], elle est donc perpendiculaire à la droite (AB). On déduit donc que : (Δ) ⊥ (AB). 4) Plan de la démonstration On sait que :

(∆) ⊥ (AB) et (d) ⊥ (AB) On applique la propriété : "Si


On déduit que :

(∆) // (d) Rédaction de la démonstration Comme les deux droites (Δ) et (d) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB), elles sont parallèles. On déduit donc que : (Δ) // (d).

24



4) On peut remarquer que le résultat : « (∆) est perpendiculaire à (AB) » obtenu à la question 3) devient une donnée pour la démonstration de la question 4).

c

Séquence 1



Exercice 50

1) On utilise l’équerre pour tracer la droite (∆).

1) et 2)

(∆)

c

A

(∆)

A

(d')

(d)

2) On utilise à nouveau l’équerre pour tracer la droite (d’).

(d)

(∆)

Une fois (∆) tracée, on trace la droite (d’) perpendiculaire à (∆) passant par A. On obtient alors deux droites (d) et (d’) perpendiculaires à la même droite (∆). (d’) est donc parallèle à (d).

A (d')

3) Je pense qu’on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle à (d) passant par A. (d)

On a découvert une méthode permettant de tracer une parallèle à une droite passant par un point.

Exercice 51 a)

On utilise la méthode vue dans « Je comprends la méthode » précédent.

A

(d) (d') b)

(d')

(d)

A


25


c c

Séquence 1

• (BD) est perpendiculaire à (AC) donc on trace : - la droite (AC) - la droite (d1) perpendiculaire à (AC) passant par B. D appartient à (d1).

Exercice 52

B A C

(d1)

• (CD) est parallèle à (AB) donc on trace : - la droite (AB) - la droite (d2) parallèle à (AB) passant par C. D appartient à (d2).

D

B

D

A

B C

A C (d1)

(d2)

D est le point d’intersection de (d1) et (d2).

26



c

Séquence 1

Exercice 53

c

On applique la méthode de construction d’une droite parallèle à une autre droite. On obtient ainsi la droite (d’) parallèle à la droite (RS) et passant par X.

Exercice 54 1)

(d2)

(d1)

(d3)

2) Les droites (d2) et (d3) semblent perpendiculaires.

2) On utilise le mot « semblent » car on ne démontre pas que les droites (d2) et (d3) sont perpendiculaires.


27


c c

Séquence 1

Exercice 55 a) On sait que :

(d') // (∆) et (d) ⊥ (d')

a) On utilise la méthode vue dans l’exercice

deux droites parallèles. résolu précédent. Si une troisième droite est perpendiculaire à l'une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l'autre" b) On sait que : (d2) ⊥ (d1) et (d3) ⊥ (d1).

On applique la propriété : "Soient

On déduit que :

(d) ⊥ (∆) b) On sait que :

(d2) ⊥ (d1) et (d3) ⊥ (d1) On applique la propriété : "Si


On ne peut donc pas utiliser la méthode que l’on vient de voir. Cette fois, les données permettent d’appliquer la propriété 1 vue en séance 7. Appliquons donc ce que nous avons vu dans la séance 7.

On déduit que :

(d2)//(d3) 1)

Exercice 56 1)

(d1) On sait que :

(d1) // (d3) et (d2)⊥ (d1)

(d3)

(d2)


deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l'une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l'autre"

On déduit que :

(d2) ⊥ (d3)

2) (d4)

On sait que :

(d2) ⊥ (d3) et (d4) ⊥ (d3) On applique la propriété : "Si


On déduit que :

Une fois (d2) ⊥ (d3) démontré, indique-le en rouge sur la figure. 2)

(d2)//(d4)

(d1)

(d2)

(d3)

(d4)

28



c

Séquence 1

Exercice 57 1) (∆)

(d3)

c

1) Afin de bien visualiser ce que l’on sait d’après l’énoncé, je te conseille de tracer d’une même couleur les droites parallèles (d1) et (d2), puis d’une autre couleur les droites parallèles (d3) et (d2). 2) (d3)

(∆)

(d2) (d1)

(d2) (d1)

2) On sait que :

(d1)// (d2) et (∆)⊥ (d2)

Une fois (Δ)⊥(d1) démontré, indique-le en rouge sur la figure. 3) (d3)



On déduit que :

(∆)

(d2)

(∆)⊥(d1)

(d1)

3) On sait que :

(d3)// (d2) et (∆)⊥ (d2) On applique la propriété : "Soient


On déduit que :

(∆)⊥(d3)

4) On sait que :

Une fois (Δ)⊥(d3) démontré, indique-le en rouge sur la figure. Attention : il n’aurait pas fallu écrire (d1)//(d3) dans le rectangle « on sait que », à la place de (d3)//(d2). En effet, on ne sait, ni d’après l’énoncé, ni d’après la question précédente, que (d1) et (d3) sont parallèles. 4)

(∆)⊥ (d1) et (∆)⊥ (d3)

(d3)


(∆)


(d2)

On déduit que :

(d1)//(d3)

(d1)

5) On vient de démontrer la propriété suivante : « Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles ».


29


c c

Séquence 1

• Tracé de (d) Pour tracer (d), il est nécessaire de tracer la droite (AD).

Exercice 58 1)

(d)

(d)

B

B

C

C E A

(d')

E

D

A (d'')

• Tracé de (d’)

(d)

D B

C

2)

(d')

E A

On sait que :

(AD) ⊥ (d) et (d')⊥(d) On applique la propriété : "Si


On déduit que :

D

• Tracé de (d’’) On place la règle et l’équerre comme cidessous : (d)

(AD)//(d') 3)

B

C

On sait que :

(AD) // (d') et (d') // (d") A


deux droites sont parallèles à une même troisième ; alors elles sont parallèles entre elles".

On déduit que :

(AD)//(d")

(d')

E

D

On fait glisser l’équerre le long de la règle comme ci-dessous. On trace la droite (d’’). (d)

B

C

(d')

E A (d'')

D

30



c

Séquence 1



Exercice 59

Cette première question nous mène à la réflexion suivante : tous les points d’un cercle semblent être à la même distance du centre du cercle.

1) OA = 4 cm OB = 4 cm OC = 4 cm OD = 4 cm

c

OE = 4 cm OF = 4 cm Les points A, B, C, D, E et F placés sur le cercle sont tous situés à 4 cm du point O. 2)

B

D

C K

J

L

F

O

E

P

M

A

N

Les points situés à moins de 4 cm du point O semblent se trouver « à l’intérieur du cercle C ». 3) Les points situés à plus de 4 cm du point O semblent se trouver « à l’extérieur du cercle C ». 4) Les points G, H, I , J, K et L semblent tous situés sur un même cercle de centre O. G J

I

O K H

L

Si tu n’en es pas convaincu, place d’autres points à 3 cm de O. Tu remarqueras qu’ils semblent tous se trouver sur ce même cercle.


31


c c

Séquence 1

Exercice 60 1) A 2) E

C

3) B

2 cm 2 cm

Les commentaires du professeur : 1) Prenons une règle graduée. - Cherchons par exemple si B est le centre du cercle passant par H, C et E. Sur le dessin, cela paraît faux mais nous allons le vérifier de façon mathématique : Si les trois longueurs HB, CB et EB ne sont pas égales, le point B n’est pas le centre du cercle. On les mesure : elles sont toutes les trois différentes. B n’est donc pas le centre du cercle recherché. - Cherchons par exemple si A est le centre du cercle. On mesure HA, CA, EA et on trouve : HA = CA = EA = 2 cm. Le centre du cercle cherché est A.

H

A

2 cm E

B D

4 cm

F

4 cm

2) On procède de la même façon que précédemment pour déterminer le centre du cercle passant par B, D et F. On effectue des mesures et on trouve : BE = DE = FE = 4 cm. Le centre du cercle passant par B, D et F est donc le point E.

4 cm

E

G 4 cm

3) On mesure le rayon du cercle de centre G passant par C. On trouve 4 cm. On cherche alors parmi les longueurs GH, GD, GA et GB celle égale à 4 cm. En effectuant des mesures, on trouve GB = 4 cm. Le point de la figure qui est sur le cercle est donc B.

B D

4 cm C

F H

A

E

Exercice 61

1) On place un point Y. On prend un écartement de compas de 3 cm.

1)

0

Y

3

2

4

5

On pointe alors le compas en Y tout en gardant l’écartement et on trace le cercle.

Y

2)

Z

32

1



2) Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon. Le diamètre du cercle est 4 cm donc son rayon est 2 cm. On place un point Z. On prend un écartement de compas de 2 cm et on trace le cercle.

c

Séquence 1

c

Comment tracer le cercle de centre A passant par C ?

3) a) b) c)

C’est simple : « on pointe le compas en A et on prend pour écartement AC ». On trace alors le cercle.

On applique la même méthode pour les deux autres cercles.

C2

C1

B

A

C

C3

Exercice 62 1) 2) 3) 4) et 5) E

2) Le centre O du cercle dont [CD] est un diamètre est le milieu de [CD] (en effet, O est sur le segment [CD] car [CD] est un diamètre et OC = OD = 3,5 cm)

DE

4 cm

3) On trace le cercle en utilisant la méthode vue précédemment.

C

D O

4) Comme CE = 4 cm, le point E appartient au cercle de centre C et de rayon 4 cm. On trace donc ce second cercle, qui coupe le cercle C en deux points. Le point E est un de ces points (on choisit où l’on place la lettre E).

C


33


c c

Séquence 1 Exercice 63

M

C

E

F

N

Les points N et M sont les seuls points situés à 4 cm de E et à 5 cm de F.

C'

Les commentaires du professeur : • L’ensemble de tous les points situés à 4 cm de E est le cercle de centre E et de rayon 4 cm. Appelons C ce cercle et traçons-le : C

4 cm

E

F

• L’ensemble de tous les points situés à 5 cm de F est le cercle de centre F et de rayon 5 cm. Appelons C ’ ce cercle et traçons-le. C

4 cm

E

F

5 cm

C'

• Les points situés à la fois à 4 cm de E et à 5 cm de F sont les points situés à la fois sur le cercle C et le cercle C ’ : ce sont les points d’intersection de ces deux cercles. Appelons-les N et M. C

M

5 cm

4 cm

E

F

4 cm

N

34



5 cm

C'

c

Séquence 1

Exercice 64 1) 2) 3) 4)

C

c

C'

K

L

5) La zone où sont situés les points à moins de 4 cm de K et à moins de 3 cm de L est la zone hachurée en bleu et en vert.


35


c c

Séquence 1

Exercice 65

On note G le point représentant le Gué du diable. L’ensemble de tous les points situés à 6 km du point G est le cercle de centre G et de rayon 6 km. 1 cm sur la carte représente 2 km en réalité. 6 km = 3 x 2 km. 6 km sont donc représentés par 3 x 1 cm soit 3 cm. On trace le cercle de centre G et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (d’) en deux points. Un seul de ces deux points nous rapproche de l’arbre Millénaire : le point Y. On note Y sur la carte. Le trésor n’est plus très loin ... 1) Le point A est sur le cercle de diamètre [MN]. Traçons ce cercle :

Exercice 66

M

M

O

O N

A N

On doit aussi avoir (AN) // (MO). On trace la droite (MO). Le point A est sur la parallèle à la droite (MO) passant par N. Traçons cette droite : M

O

A N

Le point A est un point d’intersection du cercle et de cette droite. Ce n’est pas le point N, c’est donc l’autre point d’intersection.

36



c

Séquence 1

• Le point B est sur le cercle de centre K passant par L. Traçons ce cercle :

Exercice 67

L

L

K

c

K

B'

P

B P

R

• Le point B est tel que : (BP) ⊥ (KR). On trace la droite (KR). On trace ensuite la droite perpendiculaire à (KR) passant par le point P. B appartient à cette droite.

L

K

B'

B P

R

Il y a en fait deux points possibles : B et B’. Ce sont les points d’intersection du cercle et de la droite tracée.


37


c c

Séquence 1



Exercice 68

On peut commencer par tracer le segment [AB]. D’après l’énoncé, on a : I ∈ [AB]. D’après les codages on a : IA = IB. I est donc le milieu de [AB]. Comme AI = 4 cm, on a : AB = 8 cm. On trace donc un segment [AB] et on place son milieu I.

D

A

C

5,5 cm

I

B

On trace ensuite deux segments perpendiculaires à [AB] : • [AD] de longueur 5,5 cm • [BC] de longueur 4 cm D

4 cm C

5,5 cm 4 cm

A

B

I

A

B

I

Il ne reste plus alors qu’à tracer le segment [DC]. On commence par remarquer que cette figure est composée de 3 demi-cercles : deux de diamètre 3 cm et un de diamètre 6 cm.

Exercice 69

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

On trace un segment [AB] de 6 cm et son milieu I. A

3 cm

I

3 cm

B

AI = IB = 3 cm. On trace ensuite un demicercle de diamètre [AI], puis, du même côté, un demi-cercle de diamètre [IB]. A

3 cm

I

3 cm

B

On trace enfin « de l’autre côté » de (AB) un demi-cercle de diamètre [AB].

A

38



3 cm

I

3 cm

B

c

Séquence 1

Exercice 70

c

C

On trace un segment [AB] de longueur 5 cm et le cercle C de diamètre [AB].

A

5 cm

B

C D

On trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par A puis un point C sur cette droite tel que : AC = AB = 5 cm.

C A

5 cm

B C

D

C

On place le point D de la demi droite [AC) tel que : • A, C, D soient alignés dans cet ordre

A

• CD = AB = 5 cm.

5 cm

B

C

I

C On trace le segment [CB], la demi-droite [DB) et on place I le point d’intersection de C et [DB), distinct de B.

A

5 cm

B

Exercice 71 a) A

D B

On applique la méthode vue précédemment : on prend pour écartement de compas la longueur AB. On pointe le compas en D et on trace un arc de cercle qui coupe la demi-droite [Dw) au point Z.

Z

w

X

b) On prend pour écartement de compas la longueur JK, on pointe le compas en A et on trace deux arcs de cercles qui coupent la droite (d) aux points X et Y.

A

Y J (d)

K © Cned, Mathématiques 6e, 2008 —

39


c c

Séquence 1

On prend comme écartement de compas la longueur du segment [AB], on pointe le compas en F et on trace un arc de cercle qui coupe la demi-droite [Fx).

Exercice 72

A

A

C

C

D F

B

D

x

F

B

x

On prend pour écartement de compas la longueur de [CD], on pointe le compas au point obtenu précédemment et on trace un autre arc de cercle qui coupe la demi-droite [Fx).

Y

A

C

D B

x

F

Y

Exercice 73 On construit un point Z tel que AZ = KL + MN + IJ. En procédant comme dans l’exercice précédent, on cherche à placer le point Z de [AY) tel que : AZ = KL + MN + IJ.

I M

Z Y

K J

Pour cela, on reporte sur la demi-droite [AY) la longueur KL à partir de A, puis la longueur MN « à la suite », puis la longueur IJ « à la suite ». On obtient ainsi le point Z.

F N

L

EF = MN FZ = IJ E

Comparer AY et KL+MN+IJ, c’est comparer les longueurs AY et AZ, soit dire laquelle des deux est la plus grande. D’après la figure, la longueur AZ est plus grande que la longueur AY. En conclusion, KL + MN + IJ est supérieur à AY. On écrit : KL + MN + IJ > AY

A

AZ est supérieur à AY donc KL + MN + IJ est supérieur à AY.

40



c

Séquence 1

Exercice 74 K

I

J

K

c

I

H C

J

H

L

A L

B

1) On trace le cercle de centre L avec comme écartement de compas la longueur HI.

C

2) On trace un diamètre [AB] de ce cercle (on le choisit comme on veut). 3) Pour tracer une corde [BC] telle que BC = KJ, il suffit de placer un point C sur le cercle de diamètre [AB] tel que BC = KJ. On trace pour cela un cercle de centre B et de rayon KJ. Ce cercle coupe le cercle de diamètre [AB] en deux points. N’importe lequel des deux points répond à la question.

K

I

J H C

A L

B


41


c c

Séquence 1

Exercice 75

On trace la droite (DY). Que veut dire la phrase : « la distance qui te sépare du trésor est la même que celle qui sépare les deux pyramides » ? Si T représente l’emplacement du trésor, la distance qui nous sépare du trésor est YT (nous ne la connaissons pas pour l’instant). La distance qui sépare les deux pyramides est LP. La phrase que nous cherchons à comprendre se traduit donc par l’égalité : YT = LP On prend comme écartement de compas la longueur LP. On reporte donc la longueur LP à partir du point Y sur la droite (DY). Nous obtenons alors deux points.

Le trésor est un de ces deux points. Lequel ? D’après l’indication du pirate, le trésor ne se situe pas sur une plage. Le seul point qui ne se trouve pas sur une plage est celui « du dessous » : c’est donc ce dernier qui représente l’emplacement du Trésor ! Il ne reste plus qu’à nommer T ce point.

42



c

Séquence 1

Exercice Je m’évalue 1) Combien y a t il de droites passant par deux points distincts ? ® aucune droite ˝ une droite ® deux droites ® une infinité 2) Les points suivants : ® sont alignés ˝ semblent alignés ® ne semblent pas alignés ® semblent confondus 3) La demi-droite d’origine D et passant par E se note : ® (DE) ® (DE] ˝ [DE) ® [DE] 4) Dans cette figure : ® H est le milieu de [FG] ® I est le milieu de [FG] ˝ FH = GH ˝ FI + IG = FG 5) Dans la figure ci-contre, les droites : ® sont parallèles ˝ sont sécantes ® sont perpendiculaires ® sont confondues 6) Dans la figure ci-contre, les droites : ® sont parallèles ˝ sont sécantes ˝ sont perpendiculaires ® sont confondues 7) Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) : ˝ sont parallèles ® sont sécantes ® sont perpendiculaires ® sont confondues 8) Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) : ® sont parallèles ˝ sont sécantes ˝ sont perpendiculaires ® sont confondues 9) Un cercle a pour diamètre 10 cm. La longueur de n’importe quelle corde de ce cercle : ® est égale à 10 cm ® est supérieure à 10 cm ˝ est inférieure ou égale à 10 cm ® est égale à 5 cm 10) Dans la figure suivante qui représente un cercle de centre I ˝ [AB] est un diamètre ˝ [AB] est une corde ® [BC] est un rayon ˝ [BC] est une corde

c

2) On ne peut pas démontrer la réponse, c’est pourquoi on utilise le mot « « semblent ».

4) H n’ est pas le milieu de [FG] car H n’est pas un point de [FG]. Les distances IG et IF ne sont pas égales donc I n’est pas le milieu de [FG]. I est un point de [FG] donc FI + IG = FG. 5) Si on prolonge les tracés des droites, alors ils se coupent.

6) Les droites se coupent en formant un angle droit.

7) Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires à une même droite donc elles sont parallèles (on peut l’affirmer car on sait le démontrer).

8) (d2) et (d3) sont parallèles et (d1) est perpendiculaire à (d3) donc (d1) est perpendiculaire à (d2).

9) Une corde est la plus longue lorsqu’elle est un diamètre. Tous les diamètres du cercle mesurent 10 cm.

10) A ,B et C sont des points du cercle donc [AB]et [BC] sont des cordes. De plus, [AB] contient le centre I du cercle, d’où [AB] est aussi un diamètre.


43


c c

Séquence 2




Je révise les acquis de l’école

1) Il faut penser à grouper les chiffres par 3 à partir de la droite en laissant un espace entre les groupes.

1) 30 098 2) dix mille six cent trente-sept 3) 9 est le chiffre des unités 4) 6 est le chiffre des unités de mille 5) La bonne réponse est la réponse d) 6) La bonne réponse est la réponse b)

2) Attention : mille est invariable ; cent ne prend pas de « s » au pluriel lorsqu’il est suivi d’un nombre. 3) Le chiffre des unités d’un nombre entier est le chiffre le plus à droite. 4) On dit aussi que 6 est le chiffre des milliers. 5) Il ne faut pas confondre : 4 centaines (400) et 4 centièmes (0,04). 6) Le nombre 4,3 se lit quatre unités et trois dixièmes.

Exercice 1 Question 1 On disait « calculare ». Ce verbe vient du nom « calculus » qui signifiait « caillou ». Question 2 1) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Question 1 Le mot calcul vient donc du mot « cailloux » ! Pour représenter le nombre de chèvres de son troupeau, l’homme a eu l’idée d’utiliser ce qu’il avait à portée de la main : des petits cailloux. Chaque caillou correspondait alors à une chèvre. Question 2 1) En observant la première pierre, on constate que : représente une centaine, représente une dizaine, représente une unité. En observant la deuxième pierre, on constate que représente mille. En observant la troisième pierre, on déduit de ce qui précède que l’index recourbé représente 10 000. En observant la quatrième pierre, on constate que : représente 1 000 000,

2)

représente 100 000. 2) Dans chaque cas, pour lire le symbole indiqué, on ajoute les valeurs des symboles.

1 303

20 121

44



Un Trois

représente 1 000. représentent 3 x 100 soit 300.

Trois représentent 3 x 1 soit 3. Le nombre indiqué sur la 1ère pierre est donc : 1 000 + 300 + 3 soit 1 303. Le nombre indiqué sur la 2ème pierre est : 20 000 + 100 + 20 + 1 soit 20 121.

c

Séquence 2

Le nombre indiqué sur la 3ème pierre est : 1 000 000 + 300 000 + 2 000 + 10 soit 1 302 010. 4) Remarque : Dans notre système, un entier de 6 chiffres est plus grand qu’un entier de 2 chiffres. Dans le système Égyptien, ce n’était pas le cas : 15 s’écrit avec six symboles et 1 000 001 avec deux symboles.

1 302 010

3)

c

15 s’écrit 231 s’écrit 2 304 s’écrit 103 020 s’écrit

représentent 9 000 000,

Neuf symboles

1 000 001 s’écrit 4) Peux-tu écrire 1 000 000 000 à l’aide de la numération Égyptienne ? NON Dans ce système de numération, on répétait au maximum neuf fois le même symbole. Les Égyptiens ne pouvaient donc pas écrire de plus grand entier que celui qui s’écrivait avec neuf symboles de chaque sorte, c’est-à-dire 9 999 999. Question 3 Les dix chiffres sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Exercice 2

représentent 900 000, neuf symboles etc ... 9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 9 est égal à 9 999 999. Nous utilisons dix chiffres parce que nous avons dix doigts et que l’Homme a commencé à compter en utilisant ses doigts. L’Homme a ensuite fait des « paquets » de dix unités (c’est ainsi qu’est née la dizaine), puis des paquets de dix dizaines pour constituer la centaine, etc... Attention aux règles d’orthographe : cent et vingt ne prennent pas de « s » au pluriel lorsqu’ils sont suivis d’un nombre.

284 se lit « deux cent quatre-vingt-quatre ». Il représente deux centaines, huit dizaines et quatre unités.

Il faut mettre un trait d’union pour écrire en lettres un entier de deux chiffres qui s’écrit à l’aide de deux ou plusieurs mots (sauf s’il y a la conjonction « et ») : dix-sept, dix-huit, dix-neuf, ... quatre-vingtdix-neuf, deux cent trente-quatre, ....

428 se lit « quatre cent vingt-huit ». Il représente quatre centaines, deux dizaines et huit unités.

Exercice 3 Milliards Centaines

Dizaines

5

Millions Unités

0

Centaines

Dizaines

Milliers Unités

Centaines

Dizaines

Unités

Centaines

Dizaines

Unités

5

2

8

5

0

2

8

5

0

0

2

0

8

5

0

0

0

2

0

0

0

8

0

0

2

8

0

0

0

0

0


45


c c

Séquence 2

Exercice 4 1) Le chiffre des dizaines de 824 458 est le chiffre 5. 2) Le chiffre des dizaines de mille de 123 456 789 est le chiffre 5. 3) Le chiffre des unités de millions de 589 023 570 001 est le chiffre 3. 4) Le chiffre des dizaines de millions n’est pas visible dans l’écriture 3 562 001. En fait, il est égal à 0.

Si tu rencontres des difficultés, dessine le tableau de l’exercice précédent au brouillon et place les chiffres des nombres. Progressivement, il faudra cependant que tu apprennes à t’en passer. 3 562 001 est égal à 03 562 001 ; le chiffre des dizaines de millions est donc bien 0. Cependant, on n’écrit jamais ce 0 car il est inutile.

Exercice 5

2) Comment bien écrire le nombre 23456789 ?

1) Ces écritures ne sont pas correctes parce que les chiffres ne sont pas groupés par trois, à partir de la droite, en laissant un espace entre les groupes.

On écrit tout à droite le 9, puis le 8 à sa gauche, puis le 7 à la gauche du 8. On laisse un espace avant d’écrire les chiffres de la classe des milliers. On écrit ensuite le 6 à sa gauche, le 5, et à sa gauche le 4. Ensuite, on laisse encore un espace avant d’écrire les chiffres de la classe des millions. Enfin, on écrit le 3, puis le 2.

2) 23 456 789.

On obtient : 23 456 789. Cette convention d’écriture a été imposée pour que la lecture des grands nombres soit plus facile et plus rapide. Tu dois la respecter.

Exercice 6 A = 7 597 892 B = 3 125 228

Le nombre B était déjà écrit correctement.

C = 35 862 D = 32 344 228 Exercice 7 1) 50 235

On pouvait barrer au crayon à papier les zéros inutiles sur le livret avant d’écrire sur le cahier.

2) 6 032

1) Ø50 235

3) 235 100

2) Ø 6 032

4) 5 205 780

3) 235 100 : il n’y a rien à barrer. 4) ØØ5 205 780 : on applique deux fois la règle.

Exercice 8 a) 10 028 b) 701 107 c) 78 055 022 d) 539 000 001 001

46



Si tu rencontres des difficultés, dessine le tableau des milliards, millions, milliers, centaines, dizaines et unités sur ton cahier de brouillon et places-y les nombres. N’oublie pas d’écrire correctement les nombres (par groupes de 3 chiffres, en partant de la droite vers la gauche).

c

Séquence 2

Exercice 9 1) a) deux cent quatre-vingts b) trois mille neuf cent sept c) quatre millions quatre cent quatre-vingt-trois d) vingt milliards six cent un millions quatre-vingt-quatorze mille quatre cents. 2) Les nombres pairs de la première question sont 280 et 20 601 094 400. Les nombres impairs sont 3 907 et 4 000 483

c

a) Vingt s’accorde car il n’y a pas de nombre après.

b) Mille est invariable. Cent ne s’accorde pas car il est suivi d’un nombre. c) Millions s’accorde au pluriel. Cent et vingt ne s’accordent pas car ils sont suivis d’un nombre.

d) Milliard s’accorde au pluriel. Le deuxième cent s’accorde car il n’est suivi d’aucun nombre Rappel : Les entiers pairs sont ceux dont le chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Les entiers impairs sont ceux dont le chiffre des unités est 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.

Exercice 10 a) Pour numéroter les pages d’un livre de 1 à 62, on utilise 62 nombres : • des nombres de 1 chiffre (9 au total) • des nombres de 2 chiffres (62 – 9 soit 53 au total) Le nombre de chiffres utilisés est donc : 9 + (2 x 53) = 9 + 106 = 115 b) Lorsqu’on numérote les pages d’un livre de 1 à 62, on utilise : • 6 fois le chiffre 5 comme chiffre des unités • 10 fois le chiffre 5 comme chiffre des dizaines Le nombre de fois où on utilise le chiffre 5 est donc : 6 + 10 = 16

a) Dans ce type d’exercice, on attend des justifications : il faut que tu apprennes à répondre à la question posée en expliquant ce que tu fais. Un résultat seul, même s’il est juste, n’est pas suffisant. Réfléchis... On écrit des nombres de 1 chiffre (de 1 à 9) et des nombres de deux chiffres (de 10 à 62). Pour répondre à la question posée, il suffit que tu saches combien on a écrit d’entiers de 1 chiffre et d’entiers de 2 chiffres. En effet, • on écrit un nombre par page, • on numérote 62 pages. Il fallait bien lire la consigne : on cherchait combien de chiffres (et non de nombres !) il fallait pour numéroter les 62 pages d’un livre. b) On utilise le chiffre 5 : • Pour écrire 5, 15, 25, 35, 45, 55 • Pour écrire 50, 51, 52, ...... 59 Le corrigé proposé n’est qu’une suggestion : il y avait d’autres façons de justifier la réponse. Rédiger une réponse est quelque chose d’assez difficile. Ce n’est pas grave si tu as des difficultés au départ. Ce qui est important est que tu apprennes progressivement, cette année, à savoir le faire.


47


c c

Séquence 2

Exercice 11 Ce nombre s’écrit « mcdu ». On sait que m est égal à 4 et que d est le double de m donc le code cherché s’écrit « 4c8u ». c et u sont tels que :

c + u = 2.

On a donc : u = 0 et c = 2 ou u = 1 et c = 1 ou u = 2 et c = 0 Comme le code de la carte de Marc est un nombre impair, on déduit de ce qui précède que : u = 1. On a donc : c = 1. Le code de la carte bancaire de Marc est donc 4 181.

48



On attend également ici des justifications. On lit attentivement l’énoncé : il comporte quatre indications : • le nombre est impair • m est égal à 4 •c+u=2 • d est le double de m. On cherche ce qu’on peut déduire de ces indications. Le nombre est impair ; u ne peut donc être égal ni à 0 ni à 2.

c

Séquence 2


c


Exercice 12 Le poisson Le poisson mesure deux bâtons. L’hippocampe La longueur en bâtons de l’hippocampe est-elle un nombre entier ? NON L’hippocampe mesure entre 1 et 2 bâtons. L’hippocampe mesure 1 bâton et 3 dixièmes de bâton. On écrit 3 . également : 1+ 10 Le biface

On peut également écrire ce nombre à l’aide de l’écriture à virgule. 1 +

3 10

= 1, 3 .

Peut-on mesurer exactement le biface à l’aide de bâtons et de petits bâtons ? NON Le biface mesure entre 1 bâton et 4 petits bâtons et 1 bâton et 5 petits bâtons. Le biface mesure 1 bâton, 4 petits bâtons et 7 tout petits bâtons. Autrement dit :

On peut également écrire ce nombre à l’aide de

Le biface mesure 1 bâton, 4 dixièmes de bâton et 7 centièmes de bâton. 4 7 . On écrit également : 1+ + 10 100

l’écriture à virgule. 1 +

Exercice 13 a) 5 456,5= 456+ 10 456,5 = 456 + 0,5 456,5 = 456 + 5 x 0,1 b) 8 8 145789,88=145789+ + 10 100 145 789,88 = 145 789 + 0,8 + 0,08 145 789,88 = 145 789 + 8 x 0,1 + 8 x 0,01 c) 4 7 6 7, 476=7+ + + 10 100 1000 7,476 = 7 + 0,4 + 0,07 + 0,006 7,476 = 7 + 4 x 0,1 + 7 x 0,01 + 6 x 0,001 d) 1 4 0,14 = + 10 100 0,14 = 0,1 + 0,04 0,14 = 1 x 0,1 + 4 x 0,01 e) 1 1 31,101=31+ + 10 1000 31,101 = 31 + 0,1 + 0,001 31,101 = 31 + 1 x 0,1 + 1 x 0,001 f) 7 26,007=26+ 1000 26,007 = 26 + 0,007 26,007 = 26 + 7 x 0,001

4 10

+

7 100

= 1, 47 .

a) On observe le modèle proposé. 456,5 correspond à 456 unités et 5 dixièmes. On sait donc que ce nombre s’écrit 456+ « 5 dixièmes » s’écrit également 0,5.

5 10

.

456,5 s’écrit donc également 456 + 0,5. « 5 dixièmes » s’écrit également 5 x 0,1. 456,5 s’écrit donc également 456 + 5 x 0,1. b) On procède de la même façon pour 145 789,88. c) On procède de la même façon pour 7,476. d) Il n’est pas nécessaire d’écrire le 0 : 1 4 0,14= 0 + + 10 100 e) Attention : le chiffre des centièmes est 0.Il 0 n’est pas nécessaire d’écrire : 100 31,101= 31+

1 10

+

0 100

+

1 1 000

f) Le chiffre des dixièmes est 0, le chiffre des centièmes est 0.


49


c c

Séquence 2

Exercice 14 quatre cent cinquante-six unités et cinq dixièmes.

456,5

145 789,88 cent quarante-cinq mille sept cent quatre-vingt-neuf unités, huit dixièmes et huit centièmes. 7,476

sept unités, quatre dixièmes, sept centièmes et six millièmes.

0,14

un dixième et quatre centièmes.

31,101

trente et une unité, un dixième et un millième.

26,007

vingt-six unités et sept millièmes

Exercice 15 Partie entière

Partie décimale

Milliers Centaines

1

Dizaines

0

Unités

0

Centaines

Dizaines

Unités

Dixièmes

Centièmes

Millièmes

Dixmillièmes

Centmillièmes

1

2

3

0

1

0

2

3

1

0

0

0

0

0

1

0

9

3

5

0

2

1

0

8

0

0

1

2

9

7

8

7

0

0

0

4

5

2

4

9

5

Exercice 16 a) Quelle est la partie décimale de 139,125 ?

125

b) Quelle est la partie entière de 1 790, 236 ?

1 790

c) Quelle est la partie entière de 0,589 ?

0

d) Quelle est la partie décimale de 0,589 ?

589

e) Quel est le chiffre des dixièmes de 589,23 ?

2

f) Quel est le chiffre des millièmes de 17 897,150 9 ?

0

g) Quel est le chiffre des dizaines de 1 256,123 ?

5

h) Quel est le chiffre des cent-millièmes de 23,123 456 78 ?

5

Exercice 17 a) 0 520,120

520,12

b) 201, 532 00

201,532

c) 450,506 4

450,506 4

d) 002 236,120 00

2 236,12

50



Millionièmes

c

Séquence 2


c


Exercice 18 • Découpage de l’unité Une unité, c’est 10 dixièmes. C’est également 100 centièmes. C’est également 1 000 millièmes. Une unité, c’est encore 10 000 dix-millièmes, 100 000 cent-millièmes, etc. 10 100 1000 10 000 On peut donc écrire : 1= = = = etc. 10 100 1000 10 000 • Découpage du dixième Un dixième, c’est 10 centièmes. C’est également 100 millièmes. 1 10 100 etc. On peut donc écrire : = = 10 100 1000 • Découpage du centième 1 10 = etc. Un centième, c’est 10 millièmes. On peut écrire 100 1000 Exercice 19 • Cherchons à l’écrire uniquement avec des unités et des millièmes : 12,789 représente donc 12 unités, 700 millièmes, 80 millièmes et 9 millièmes . 12,789 représente donc 12 unités et 789 millièmes. On écrit :

12,789 = 12 +

• Cherchons à l’écrire uniquement avec des millièmes :

789

1 000

.

12,789 représente 12 unités, et 789 millièmes. Comme 12 unités représentent 12 000 millièmes, 12,789 représente donc 12 000 millièmes et 789 millièmes . 12,789 représente donc 12 789 millièmes. On écrit :

12,789 =

b) c) d) e)

1936

; 1,936 1000 28 912 ; 2,891 2 10 000 400 ; 40 10 100 ; 0,1 1000 13 000 ; 130 100

Exercice 21 a) 450,2 = 450 +

2 10

d) 569,0019 = 569 +

1 000

.

1 936 millièmes représentent 1 000 millièmes plus 936 millièmes soit une unité et 936 millièmes.

Exercice 20 a)

12789

28 912 dix-millièmes représentent 20 000 dixmillièmes plus 8 912 dix-millièmes c’est-à-dire 2 fois 10 000 dix-millièmes plus 8 912 dixmillièmes soit 2 unités et 8 912 dix-millièmes. 400 dixièmes représentent 40 fois dix dixièmes, soit 40 unités. 100 millièmes représentent 0,100 unité, c’està-dire 0,1 unité. 13 000 centièmes représentent 130 fois cent centièmes soit 130 fois une unité donc 130 unités.

b) 5,024 = 5 +

19 10000

24

1 000 304 e) 12,304 = 12 + 1000

c) 105 644,28 = 105 644 + f) 105,040 7 = 105 +

407

28 100

10 000


51


c c

Séquence 2

Exercice 22 123 a)12 + = 12, 012 3 b) 256 + 0,020 5 = 256,020 5 10 000 c) 2 x 100 000 + 5 x 1 000 + 7 x 0,1 + 1 x 0,000 1 = 200 000 + 5 000 + 0,7 + 0,000 1 = 205 000,700 1 5 8 d)125 + + = 125,500 8 10 10 000 e) 5 + 0,03 + 0,007 = 5,037 1 1 f) 5 × 100 + 5 × 1+ 1 × +6× = 505, 010 006 100 1000 000 Exercice 23 123 a) =1, 23 100 b) c) d) e)

5339 1000

c) 632 dix-millièmes s’écrivent 0,063 2.

10 000 14686 1000 1000

b) 5 339 millièmes correspondent à 5 unités et 339 millièmes.

=5, 339

632

9450

a) 123 centièmes correspondent à une unité et 23 centièmes.

=0, 063 2

d) 14 686 millièmes correspondent à 14 unités et 686 millièmes.

= 14, 686

e) 9 450 millièmes correspondent à 9 unités et 450 millièmes soit 9 unités et 45 centièmes.

= 9, 45

Exercice 24 123 a) 20 + = 20,123 1000 b) 2 × 1000 + 1 × 0,1+ 2 × 0,100 + 3 × 0,001= 2 000 + 0,1+ 0,200 + 0,003 = 2000,303 c) 20,012 3 2 123 d) = 2,123 1000 e) 20 + 0,102 3 = 20,102 3 20 123 f) = 20,123 1000 g) 2 × 10 + 1 ×

1

10

+2 ×

1

100

+3×

1 1 000

= 20 + 0,1+ 0,02 + 0,003 = 20,123

Les écritures correspondant à a), f) et g) représentent le même nombre décimal 20,123.

52



c

Séquence 2



Exercice 25 1)

A 0

I

1

c

B

Y

2

C

3

D

4

E

F

x

5

... à partir de E tu obtiens le point F. 2) AB = 2 x AI donc nous associons au point B le nombre 2. AC = 3 x AI donc nous associons au point C le nombre 3. AD = 4 x AI donc nous associons au point D le nombre 4. AE = 5 x AI donc nous associons au point E le nombre 5. 3) L’unité de longueur de notre graduation est la longueur AI. L’unité de longueur est ici 2 cm. 4) L’abscisse du point F est 6. L’abscisse du point Y est 2,5. 5) L’origine de la demi-droite graduée est le point qui a pour abscisse 0.


53


c c

Séquence 2

Exercice 26 4 2 + 10 100

4 10

53 100

8 10

0,24

0,4

0,53

0,8

0

1+

1 8 3 + 1+ 10 100 10

1,18

1

1,3

14 10

1,4

Les commentaires du professeur :

1 100

1 10

La demi-droite représentée a pour origine O et pour unité 10 cm. 1 unité (soit 0,1 unité). Comme 10 cm représentent 1 unité, 1 cm représente 10 1 unité. 10 cm = 100 mm donc 100 mm représentent une unité. D’où : 1 mm représente 100 8 : • Placement de 10

0

0,1

0

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1

Les commentaires du professeur : 1 2 3 8 Une fois le point d’abscisse placé, on déduit où sont placés les points d’abscisses , , ..., . 10 10 10 10 3 • Placement de 1 + : 10 1 10

1+

0

1 10

1

1+

2 10

3 10

Les commentaires du professeur : 3 3 est à droite du point d’abscisse 1, à la distance de ce point. le point d’abscisse 1 + 10 10 14 4 • est égal à 1 unité plus . 10 10

Exercice 27 62 +

62

6 244 100

2 10

62,2

62,44

62 +

9 10

62,9

63 +

63

Les commentaires du professeur : On ne voit pas l’origine de cette demi-droite graduée qui a pour unité de longueur 10 cm. Comme 10 cm représentent 1 unité : 1 cm représente

1 1 unité soit un dixième. 1 mm représente unité soit un centième. 10 100 63 +

1 1 + 10 100

1 10

63

Remarque :

54

63 +

1 10

6 244 est égal à 62 unités et 44 centièmes. 100



1 1 + 10 100

63,11

1+

3 10

c

Séquence 2

Exercice 28 62 +

3 10

3 2 + 10 100

62 +

62,3

62 +

62,32

3 4 3 + + 10 100 1 000

62 +

62,343

62,37

3 7 + 10 100

62 +

4 10

62,4

62 418 1 000

c

62,418

Les commentaires du professeur : On ne voit pas l’origine de cette demi-droite graduée telle que 10 cm représentent 0,1 unité (1 dixième). Comme 10 cm représentent 1 dixième, 1 cm représente 1 centième, 1 mm représente 1 millième. 3 7 62+ + est égal à 62 unités, 3 dixièmes et 7 centièmes, on le représente donc à 7 cm à droite du point d’abscisse 62,3. 10 100 Etc. 62 418 est égal à 62 unités et 418 millièmes. Remarque : 1000

Exercice 29 709 100

7

7+

7,09

3 10

7,3

754 100

78 10

7,54

7,8

8

Les commentaires du professeur : Comme les nombres à placer sont tous compris entre 7 et 8, On peut ne représenter la demi-droite graduée qu’à partir de 7. On fait bien attention à respecter l’échelle 1 cm pour 1 dixième. On place ensuite les nombres proposés comme on l’a fait précédemment.

Exercice 30 1) 1 022 < 19 022 < 91 022 < 100 022 < 101 011 < 109 021 2) 109 021 > 101 011 > 100 022 > 91 022 > 19 022 > 1 022 Exercice 31 1) Un livre coûte 36,78 euros chez le libraire M. Dubois et 37,9 euros chez M. Dupont. Où est-il le moins cher ? Chez M. Dubois car il coûte moins de 37 euros, alors que chez M. Dupont, il coûte plus de 37 euros. 2) a) 3+

7 100

3+

3 3,07

b) 3 + c)

4 10

3,4

7

< 3+

4

4

100 10 3,07 < 3,4

Les commentaires du professeur : On obtient l’inégalité du b) par lecture de la demi-droite graduée : 3 +

7 100

se trouve à gauche de 3 +

4 10

.


55


c c

Séquence 2

Exercice 32 a)

57,3

>

55,71

b)

124,7

>

124,69

c)

5,45

<

5,462

d)

7,42

=

7,420

e)

7,42

>

7,042

f)

42,0135

<

42,13

Les commentaires du professeur : a) 57,3 et 55,71 n’ont pas la même partie entière. 57 > 55 donc 57,3 > 55,71. b) 124,7 et 124,69 ont la même partie entière. Utilisons par exemple la première méthode et écrivons les deux parties décimales avec le même nombre de chiffres. On obtient 124,70 et 124,69. Comme 70 > 69, on a 124,70 > 124,69. c) 5,45 et 5,462 ont la même partie entière. Utilisons par exemple la deuxième méthode. On commence par comparer les chiffres des dixièmes : c’est le même pour les deux nombres (4). On compare alors les chiffres des centièmes : Comme 5 < 6, on a 5,45 < 5,462. On procède de la même façon pour les cas suivants.

Exercice 33 1) 24,4 > 24 > 23,4 > 23,3 > 23,089 2) 0,555 < 5 < 5,005 5 < 5,05 < 50,05 < 55,05 < 55,5 Exercice 34 2,34 < 2,35 ; 2,34 < 2,36 ; 2,34 < 2,37 ; 2,34 < 2,38 ; 2,34 < 2,39. Le symbole ® représente 5, 6, 7, 8 ou 9.

56



c

Séquence 2



Exercice 35

On supprime les centimes de 5,95 € : on obtient 5 €.

Combien va-t-il réellement payer ? 5 € Combien va-t-elle réellement payer ? 8 € Qui de Ludivine et de Kévin aura le plus bénéficié de cette promotion ? Kévin

c

On supprime les centimes de 8,10 € : on obtient 8 €. Kévin a bénéficié d’une réduction de 95 centimes d’euros, alors que Ludivine n’a bénéficié que d’une réduction de 10 centimes d’euros. a) On supprime tous les chiffres situés à droite de 7 (le chiffre des dixièmes).

Exercice 36 a) 101,7 b) 4 568,98 5 6 + = 400,056 c) 400 + 100 1000 La troncature recherchée est 400. d) 78

b) On supprime tous les chiffres situés à droite de 8 (le chiffre des centièmes). c) Le nombre dont on cherche la troncature au dixième est 400,056. La troncature cherchée est 400,0 soit 400. d) On supprime tous les chiffres situés à droite de 8 (le chiffre des unités).

Exercice 37 1a) 3,21= 3 + b)

2 10

3

+

1 100

.

3,21

4

c) 3 < 3,21 < 4 2- 4,2 < 4,28 < 4,3 Les commentaires du professeur : Il y avait une infinité de réponses possibles dans le 2), comme par exemple : 3,8 < 4,28 < 4,5, ou 4,1 < 4,28 < 4,3.


57


c c

Séquence 2

Exercice 38 1) 15 < 15,12 < 16

1) On obtient ainsi un encadrement à l’unité près de 15,12.

2) 23,8 < 23,859 8 < 23,9

2) On obtient des encadrements au dixième près de 23,859 8 et 12,001. Dans le deuxième encadrement, on a écrit 12 au lieu de 12,0 car le zéro est inutile.

12 < 12,001 < 12,1 3) 5,63 < 5, 634 8 < 5,64

3) On obtient des encadrements au centième près de 5,634 8 et de 458,500 2. Dans le deuxième encadrement, on a écrit 458,5 au lieu de 458,50 car le zéro est inutile.

458,5 < 458,500 2 < 458,51 4) 4,9 < 4,91 < 5 9,19 < 9,194 < 9,2

1) On pouvait se représenter la demi-droite graduée ci-dessous (mais il faut apprendre à s’en passer).

Exercice 39 1) 5 ; 6 ; 7.

4,8

2) 2,9 ; 3 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5

4

3) 2,86 ; 2,87 ; 2,88 ; 2,89 ; 2,9 ; 2,91 ; 2,92 ; 2,93

7,9 5

6

7

8

2) On imagine une demi-droite graduée tous les dixièmes sur laquelle on a placé 2,83 et 3,51. 3) On imagine une demi-droite graduée tous les centièmes sur laquelle on a placé 2,856 et 2,931. Les nombres décimaux à deux chiffres après la virgule cherchés sont 2,86 ; 2,87 ; 2,88 ; 2,89 ; 2,9 ; 2,91 ; 2,92 ; 2,93. On écrit 2,9 au lieu de 2,90 car le zéro est inutile.

Exercice 40 Le symbole « ® » représente soit un 2, soit un 3.

1,90 (c’est-à-dire 1,9) est inférieur à 1,915, le symbole « ® » ne peut pas être un 0. Comme 1,910 est inférieur à 1,915, le symbole « ® » ne peut pas être un 1. Si on le remplace par un 2 ou un 3, l’encadrement est correct. Si on remplace le symbole par 4 ou plus, cela n’est plus correct car 1,940 est plus grand que 1,936 9, donc 1,95 aussi, etc.

Exercice 41 1) a) 78

b) 101

c) 0

2) a) 46

b) 100

c) 1

3) a) 6,4

b) 78

c) 187,9

4) a) 78,43

b) 56,2

c) 237

58



3) c) 187 +

954 = 187,954 1 000

4) c) 236 +

9 9 7 + + = 236,990 7 10 100 10 000

c

Séquence 2

Exercice 42

c

Le nombre décimal cherché possède trois chiffres après la virgule et sa valeur approchée par défaut au centième près est 4,56. Il s’écrit donc 4,56• . Son chiffre des millièmes est égal à son chiffre des unités. Le symbole • représente donc le chiffre 4. Le nombre cherché est 4,564.


59


c c

Séquence 2



Exercice 43

Pour chaque cas, il y avait en fait une infinité de bonnes réponses. Par exemple, pour le premier cas, on pouvait intercaler entre 5,8 et 5,9 beaucoup de nombres à deux chiffres après la virgule : 5,81 ; 5,82 ; ... ; 5,89. On pouvait aussi intercaler des nombres à trois chiffres après la virgule : 5,801 ; 5,802 ; ... ; 5,899.

a) 5,8 < 5,86 < 5,9 b) 2,54 > 2,535 > 2,53 c) 0 < 0,4 < 1 d) 0,21 > 0,205 > 0,2 e) 3,69 < 3,692 < 3,7

Et on pourrait continuer avec des nombres à quatre chiffres après la virgule, à cinq chiffres, etc.

f) 1 000 000 > 300 000 > 100 000 Exercice 44

2 < 2,1 < 3

Pour chaque cas, il y avait également une infinité de bonnes réponses. On aurait pu choisir un nombre qui vérifiait tous les encadrements, comme par exemple 2,000 001.

2 < 2,07 < 2,1 2 < 2,004 < 2,01 2 < 2,000 6 < 2,001

Tous les entiers que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 sont 46, 47, 48, ..., 59. Le plus petit de ces entiers est 46. Le plus grand est 59.

Exercice 45 1) 46 2) 59

Les nombres à un chiffre après la virgule supérieurs à 45,001 sont : 45,1 ; 45,2 ; 45,3 ; ... ; 59,9. Le plus grand de ces nombres est 59,9.

3) 59,9 Exercice 46 1)

12,86 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9. 12,82 est l’abscisse d’un point du segment rouge. Ce nombre est plus proche de 12,8. 12,88 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9 12,81 est l’abscisse d’un point du segment rouge. Ce nombre est plus proche de 12,8. 12,851 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9 12,845 est l’abscisse d’un point du segment rouge. Ce nombre est plus proche de 12,8. 12,850 1 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9 2) Quel est le seul nombre aussi proche de 12,8 que de 12,9 ? 12,85. Les commentaires du professeur : On pouvait placer les nombres proposés sur la demi-droite graduée afin de répondre à la question 1-. 12,850 1

12,8

12,81 12,82

12,86 12,845

60



12,851

12,88

12,9

c

Séquence 2

Exercice 47 1) L’arrondi à l’unité de :

2) L’arrondi au dixième de :

3) L’arrondi au centième de :

7,844 est 8.

45,76 est 45,8.

1,167 est 1,17.

9,1 est 9.

36,21 est 36,2.

33,191 est 33,19.

99,5 est 100.

55,55 est 55,6.

33,196 est 33,2.

78,97 est 79.

c

Les commentaires du professeur : Dans le 1), l’arrondi à l’unité de 7,844 est 8 car le chiffre des dixièmes (8) est supérieur à 5. Dans le 2), l’arrondi au dixième de 45,76 est 45,8 car le chiffre des centièmes (6) est supérieur à 5. Dans le 3), l’arrondi au centième de 1,167 est 1,17 car le chiffre des millièmes (7) est supérieur à 5.

Exercice 48 Zoé achète un lot de deux stylos à 4,45 euros. Elle veut en fait partager avec son amie Julie : elle va lui donner un stylo et Julie va lui rendre la moitié de 4,45 soit 2,225 euros. Comme le nombre trouvé possède trois chiffres après la virgule, Zoé décide de l’arrondir au centime d’euros. Julie lui donnera donc 2,23 euros pour le stylo. Exercice 49 5,1

< B < 5,2

B possède deux chiffres après la virgule et sa valeur approchée au dixième par excès est 5,2. B s’écrit donc 5,1®, où le symbole ® représente un chiffre.


61


c c

Séquence 2



Exercice 50 1) 9 + 38 = 47 donc Sophie a 47 ans. 2) 176 – 5 = 171. Le père de Mathieu mesure 171 cm. 3) 20 – 13,6 = 6,4. Le fleuriste doit rendre à Julien 6,4 € . Exercice 51 1) +

2

9

6

8

5

7

1

3

1 1

0

1

1

1) Cette technique qui date du XVI ème siècle consiste à calculer dans un premier temps la somme des unités, puis celles des dizaines, puis celle des centaines, etc. Elle consiste à écrire plus de détails que dans la méthode actuelle :

4

5

13 est le résultat de 6 + 7. Dans la méthode actuelle, on ne conserve que le 3 des trois unités, car les dix autres unités constituent une dizaine et constituent donc la dizaine de « retenue ».

3

Il fallut au total 1 153 pierres pour construire la chapelle et son muret. 14 est le résultat de 9 + 5. Dans la méthode Méthode actuelle pour ajouter 296 et 857 : actuelle, on ajoute directement la retenue. On

+ 1

2) + 1

1

1

2

9

6

8

5

7

1

5

3

1 2

1 , 9

6

8

, 5

7

1 , 5

3

ne conserve alors que le 5 car les 10 dizaines, c’est-à-dire une centaine, constitue la retenue des centaines.

2) La technique d’addition de deux décimaux est exactement la même : il suffit juste de placer les deux nombres l’un sous l’autre en les alignant par rapport à la virgule et ne pas oublier la virgule du résultat.

Léo a dépensé au total 11,53 €. Exercice 52 1 +

1 1

1 8

1 , 4

7

2

5

, 8

7

8

4

4

, 3

3

A = 844,33

+ 1

9

4

7

7 ,

9

0

0

1 ,

8

4

7

+



+

C = 11,847

62

5

, 3

0

4

5

, 2

7

1

4

0

, 5

7

1 8 ,

1 0

0

0

1 ,

8

2

0

2 ,

3

9

1

2 ,

2

1

1

+

B = 140,57

1 3 ,

1 9

6

1

D = 12,211

c

Séquence 2

Exercice 53 A = 35,86

C = 4 299,429 9

B = 134,99

D = 563,305

Corrigé 54 -

5

6 , 7

8

4

5 , 3

0

1

1

8

, 4

-

A = 11,48

1 -

5

11

71 , 8

0

6

6

5

14

, 5

B = 66,55

,

11

01 , 0

, 3 1

8

c

71

, 3

11

10

81

9

2

1

1 1 0

C = 0,321

,

10

01 , 9

10 41

, 5

10

10

61

9

3

1

D = 9,531

Exercice 55

À 9 h, le niveau de l’eau dans le port est : 16,43 + 1,9 =18,33. 1 + 1

1 6

, 4

3

1

, 9

0

8

, 3

3

À 10 h, le niveau de l’eau dans le port est :

Pour résoudre un problème : • il faut écrire les calculs que l’on fait. • il faut poser les opérations.

18,33 – 0,57 = 17,76.

• il faut écrire une phrase de conclusion. 1 -

8

, 13

01 , 51 1

7

, 7

13 7 6

Conclusion : à 10 h, le niveau de l’eau dans le port est

17,76 m.


63


c c

Séquence 2

Séance 8



Exercice 56 1 6

+ + 1

1 0 , 3

2

8 , 2

1

5

6 , 0

9

2

4

2

, 6

, 3 11

2 1 1

3

9

7

1 1 7 , 0

9

3

9 , 6

5

8 , 4

5

, 1

9

+

5

5

3

10

2 , 21 , 0

+

2

-

21

Exercice 57 1) a) 25,8 + 3,2 = 29 b) 10 – 2,7 = 7,3 c) 45 + (25 – 19) = 45 + 6 = 51 2) a) 4,5 – 0,4 est la différence de 4,5 et de 0,4. b) 45 + 56 + 302 + 1 024 est la somme de 45, de 56, de 302 et de 1 024. c) 89 – (5 + 12) est la différence de 89 et de la somme de 5 et de 12.

, 0 1

6

91 , 7

1

9

5

19

, 3

1) b) Attention à l’ordre lorsque l’on parle de différence : La différence de 2,7 et de 10 est 2,7 – 10 et n’existe pas car 2,7 < 10. c) La différence de 25 et 19 est 25 – 19. On effectue la somme de 45 et de 25 – 19. On écrit cette somme : 45 + (25 – 19). On écrit des parenthèses car sinon 45 + 25 – 19 pourrait très bien être la différence de 45 + 25 et de 19. 2) c) Les parenthèses indiquent que ce qui est à gauche du signe «-» est un terme et ce qui est à droite est l’autre terme. L’expression est donc une différence de deux termes : 89 et 5 + 12.

Exercice 58 1) 789 + (129 – 58) + 321 = 789 + 71 + 321 = 860 + 321 789 + (129 – 58) + 321 = 1 181. 2) (452 + 87) – (189 – 65) = 539 – 124 = 415

1) La somme que l’on doit calculer contient trois termes : 789 ; 129 – 58 ; 321. Pour que l’écriture de la somme soit claire, on est obligé d’écrire des parenthèses autour de 129 – 58. Pour effectuer un calcul contenant des parenthèses, on commence par effectuer le calcul dans les parenthèses. 129 – 58 = 71. Il ne reste plus alors qu’à effectuer la somme de 789, de 71 et de 321. 2) Les deux termes de la différence : 452 + 87 et 189 – 65 s’écrivent à l’aide de parenthèses. On effectue le calcul à l’intérieur de chacune de ces parenthèses : 452 + 87 = 539 189 – 65 = 124. Il ne reste plus alors qu’à effectuer 539 – 124.

64



c

Séquence 2

Exercice 59

• Calcul de A

Effectue les calculs suivants de manière astucieuse : A = 7,6 + 48 + 2,4 + 12 = (7,6 + 2,4) + (48 + 12) A = 10 + 60 = 70 B = 4,45 + 57 + 23 + 8,55 = (4,45 + 8,55) + (57 + 23) B = 13 + 80 = 93 C = 47,3 + 21,1 + 22,9 + 12,7 = (47,3 + 12,7) + (21,1 + 22,9) C = 60 + 44 = 104 D = 9,6 + 43,2 + 11,4 + 9 + 6,8 = (9,6 + 11,4) + (43,2 + 6,8) + 9 D = 21 + 50 + 9 = (21 + 9) + 50 D = 30 + 50 = 80

On remarque « 7,6 + 2,4 qui fait 10 » et « 48 + 12 qui fait 60 ». Comme on peut regrouper comme l’on veut les termes d’une somme, on commence par calculer ces deux sommes.

c

Il ne reste plus alors qu’à ajouter 10 et 60. • Calcul de B De même, 4,45 + 8,55 = 13 et 57 + 23 = 80. On regroupe alors les termes de façon à effectuer ces additions en premier. • Calculs de C et D On fait de même que précédemment.

Exercice 60 a) +

10

h

15

min

45

s

5

h

49

min

38

s

15

h

64

min

83

s

83 s = 60 s + 23 s = 1 min + 23 s 64 min = 60 min + 4 min = 1 h + 4 min 15 h 64 min 83 s = 15 h 4 min 23 s + 1 h + 1 min 10 h 15 min 45 s + 5 h 49 min 38 s = 16 h 5 min 23 s. b) +

1

j

21

h

31

min

39

s

0

j

4

h

12

min

34

s

1

j

25

h

43

min

73

s

73 s = 60 s + 13 s = 1 min + 13 s 25 h = 24 h + 1 h = 1 j + 1 h 1 j 25 h 43 min 73 s = 1 j 24 h 43 min 13 s + 1 h + 1 min 1 j 21 h 31 min 39 s + 4 h 12 min 34 s = 2 j 1 h 44 min 13 s 83 c) 83 1 23 s 23 2 h 24 min 48 h 38 min 0 s 1

h

45

min

35

2 h 24 min 23 s – 38 min 48 s = 1 h 45 min 35 s 62 d) 67 19 2 7 20 h 3 min 45 h 27 min 18 1

h

35

min

22

s

s

s s

a) On applique la méthode que l’on vient de voir. On ajoute entre elles les secondes, puis les minutes, puis les heures. On utilise ensuite les relations qui lient les secondes, les heures et les minutes : 60 s = 1 min 60 min = 1 h On voit qu’il y a plus de 60 s. On essaye alors de décomposer 83 en 60 plus un nombre : on trouve 83 = 60 + 23. 83 secondes correspondent donc à 1 minute et 23 secondes. On fait de même pour les minutes : 64 minutes correspondent à 60 + 4 minutes donc à 1 heure et 4 minutes. On trouve donc : 15 h 64 min 83 s = 15 h 4 min 23 s + 1 h + 1 min. b) On effectue la même méthode. La nouveauté ici est qu’il y ait des jours. On utilise alors la relation : 24 h = 1 j On cherche donc à écrire le nombre d’heure, ici 25, comme 24 + 1 heures. Les 24 heures feront alors un jour de plus. c) On applique la méthode de la soustraction : comme on ne peut pas soustraire 48 à 23, on transforme 2 h 24 min 23 s en 2 h 23 min et 60 + 23 s soit 2 h 23 min 83 s. On peut donc ensuite effectuer : 83 – 48 = 35 On regarde ensuite les minutes : On ne peut soustraire 38 à 23. On transforme donc 2 h 23 min en 1 h et 60 + 23 minutes soit 1 h 83 min. On effectue alors 83 – 38. On obtient 45. d) On applique la même méthode que dans le c).

20 h 3 min 7 s – 18 h 27 min 45 s = 1 h 35 min 22 s © Cned, Mathématiques 6e, 2008 —

65


c c

Séquence 2

Exercice 61 L’horaire d’arrivée de Sophie est : 16 h 48 min + 2 h 22 min

+

16

h

48

min

2

h

22

min

18

h

70

min

16 h 48 min + 2 h 22 min = 18 h 70 min soit 19 h 10 min . Le temps d’attente de Sophie est : 19 h 27 min – 19 h 10 min

-

19

h

27

min

19

h

10

min

0

h

17

min

19 h 27 min – 19 h 10 min = 17 min Le temps d’attente de Sophie est 17 minutes.

66



On commence par calculer l’horaire d’arrivée de Sophie. Pour savoir le temps qu’elle a attendu, calcule la différence entre l’heure à laquelle est arrivé son père et l’heure d’arrivée de Sophie. N’oublie pas qu’il est très important de bien rédiger ce genre de problème. Pour cela : • il faut écrire les calculs que l’on fait • il faut poser les opérations • il faut écrire une phrase de conclusion.

c

Séquence 2



Exercice 62

1) On remplace 119 par 100. On remplace 282 par 300. On remplace 179 par 200. On remplace 32 par 30. 2) Pour obtenir ce résultat, on tape : 119 + 282 + 179 + 32 EXE ou bien : 119 + 282 + 179 + 32 = (cela dépend de la calculatrice)

1) 100 + 300 + 200 + 30 = 630

2) 119 + 282 + 179 + 32 = 612

c

Exercice 63 1) a) 4 000 + 6 000 + 800 + 300 = 11 100 b) 80 000 – 40 000 = 40 000 c) 800 + 300 + 700 + 200 = 2 000 d) 500 – 300 = 200 2) a) 11 228 b) 41 969 c) 1 912,634 d) 106,026 1 Exercice 64 1 028,235 – 789, 104 • • 778,951 127, 279 + 1 025, 012 • • 651,161 589, 151 + 784, 5 + 6 • • 239,131 4 568,025 6 – 3 789,074 6 • • 1 152,291 589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01 • • 1 379,651

a) L’arrondi au millier de 4 318 est 4 000. L’arrondi au millier de 5 896 est 6 000. L’arrondi à la centaine de 758 et 800 ; celui de 256 est 300. On fait de même pour b), c) et d).

On n’a pas besoin de faire les calculs pour répondre à cet exercice : il suffit de calculer un ordre de grandeur de chacun des nombres. 1 028,235 – 789,104 a pour ordre de grandeur 1 000 – 800 soit 200. 127,279 + 1 025,012 a pour ordre de grandeur 100 + 1 000 soit 1 100. Le résultat exact est donc 1 152,291. 589,151 + 784,5 + 6 a pour ordre de grandeur 600 + 800 soit 1 400. Le résultat exact est donc 1 379,651. 4 568,025 6 – 3 789,074 6 a pour ordre de grandeur 5 000 – 4 000 soit 1 000. On ne peut donc pas savoir si le résultat exact est 778,951 ou 651,161. On cherche alors un ordre de grandeur plus précis, et, pour cela, on arrondit à la centaine. On calcule 4 600 – 3 800. On trouve 800. Le résultat exact est donc 778,951. 589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01 a pour ordre de grandeur 600 + 60 soit 660. Le résultat exact est donc 651,161.


67


c c

Séquence 2

Exercice 65

1)

1)

• Pauline a 20 €. Elle achète un puzzle dont le prix est ◊ €. 20 – ◊ est donc égal à la somme qu’il reste à Pauline, soit 7,65 €.

Le 1er cas correspond à l’égalité n°2 : 20 – ◊ = 7,65 Le 2ème cas correspond à l’égalité n°3 :

• Eloïse a retiré 20 dL d’eau d’un récipient qui contient ® dL. ® – 20 est donc égal au volume d’eau qu’il reste, soit 7,65 dL

® – 20 = 7,65 Le 3ème cas correspond à l’égalité n°1 : 7,65 + Δ = 20

• 7,65 € plus la somme de Δ € que l’on a donnée à Théo est égal à 20 €. On a donc : 7,65 + Δ = 20.

2) Δ = 20 – 7,65 = 12,35 soit 12,35 € ◊ = 20 – 7,65 = 12,35 soit 12,35 €

2)

® = 20 + 7,65 = 27,65 soit 27,65 dL

Les trois égalités permettent de calculer simplement les trois nombres inconnus.

Exercice 66 a) 45 + 32 = 77

c) 13 = 45 – 32

e) 45 = 13 + 32

b) 45 = 77 – 32

d) 32 = 45 – 13

f) 32 = 77 – 45

68



c

Séquence 2


c


Exercice 67 1) Le prix en euros des produits achetés par Léo est : 4,78 + 12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34 Un ordre de grandeur de ce montant en euros est donc : 5 + 13 + 3 + 1 + 3 + 1 soit 26 €. La carte de Léo lui permet de déduire 7,68 € du montant de ses achats. Un ordre de grandeur de 7,68 est 8. 26 – 8 = 18 donc 18 € est un ordre de grandeur du prix que Léo va payer.

On aurait également pu écrire directement tout le calcul en utilisant des parenthèses : Le montant en euros de ses courses diminué du bon d’achat est : (78 + 12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34) – 7,68 Un ordre de grandeur de ce montant est donc : (5 + 13 + 3 + 1 + 3 + 1) – 8 = 18

2) Le prix en euros des produits achetés par Léo est : 4,78 +12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34 1 +

3

1

+ + + + 2

4

4 , 7

8

2 , 9

9

2 , 5

9

1 , 1

9

2 , 7

4

1 , 3

4

5

3

, 6

Pour répondre à ce type de problème, il est nécessaire de faire des phrases pour expliquer ce que tu fais, de poser les opérations, et de faire une phrase de conclusion.

Le prix des produits achetés par Léo est 25,63 €. La carte de Léo lui permet de déduire 7,68 €. 2 1 1

15

, 6 1

13

71 , 61

8

7

5

, 9

25,63 – 7, 68 = 17,95. Le prix que doit payer Léo pour ses courses est 17,95 €. Conclusion : Comme 17,95 < 20, Léo pourra payer ses achats avec un billet de 20 €.


69


c c

Séquence 2

Exercice 68

On commence par expliquer ce que l’on calcule.

On calcule la somme des huit durées :

+

4

h

+

5 min

22 s

19 min

56 s

53 min

34 s

+

2

h

40 min

51 s

+

2

h

11 min

08 s

+

2

h

08 min

08 s

+

4

h

45 min

26 s

+

3

h

28 min

29 s

17

h

209 min

234 s

234 s = 180 s + 54 s = 3 min + 54 s donc : 17 h 209 min 234 s = 17 h 212 min 54 s 212 min = 180 min + 32 min = 3 h + 32 min donc :

On pose l’opération.

On convertit le résultat obtenu en un résultat de temps « correct ». Pour cela, on utilise les relations entre heures, minutes et secondes.

17 h 212 min 54 s = 20 h 32 min 54 s. Conclusion : Le temps total mis par le coureur américain est 20 h 32 min 54 s.

70



On termine la résolution du problème par une phrase de conclusion.

c

Séquence 2

Exercice Je m’évalue 2 3 + a pour partie entière : 1) 56 + 100 1000 ® 5 623 ® 560 ˝ 56 ® 562 2) Le chiffre des centièmes de 89,746 3 est : ®8 ˝4 ®6 ®3 3) deux mille quatre cent vingt et un centièmes a pour écriture décimale : ˝ 24,21 ® 2 421 ® 2,421 ® 242,1 4) Quel(s) nombre(s) est (sont) inférieur(s) à 2,03 ? ˝ 2,003 ® 2,3 ˝ 2,01 ® 2,033 5) L’arrondi de 45,897 au centième est : ® 45,89 ® 46 ® 45,8 ˝ 45,9 6) La troncature de 45,746 au dixième est : ® 45,8 ˝ 45,7 ® 45 ® 45,74 7) La valeur approchée par excès à l’unité près de 78,1 est : ˝ 79 ® 78 ® 78,5 ® 80 8) La somme de 14,156 et de 5,88 est : ˝ 20,036 ® 19,846 ® 21,106 ® 20,003 9) La différence de 4,11 et de 2,98 est : ® 1,03 ® 2,13 ® 2,33 ˝ 1,13 10) On ajoute 1,33 à un nombre, on obtient 5. Quel est ce nombre ? ® 3,66 ® 6,33 ˝ 3,67 ® 3,77

c

1) L’écriture à virgule du nombre proposé est 56,023.

2) Il ne faut pas confondre centièmes et centaines.

3) Deux mille quatre cent vingt et un centièmes, c’est 2 400 centièmes plus 21 centièmes soit 24 unités et 21 centièmes car

2 400 = 24 . 100

4) On a bien : 2,003 < 2,03 et 2,01 < 2,03. Par contre : 2,3 > 2,03 2,033 > 2,030. 5) L’arrondi au centième de 45,897 est 45,90 (car le chiffre des millièmes est 7). On l’écrit 45,9.

6) Pour obtenir la troncature au dixième de 45,746, on supprime tous les chiffres situés à droite de 7. On obtient 45,7.

7) La valeur approchée par excès à l’unité près est l’entier supérieur le plus proche, soit 79.

8) Pour calculer la somme de 14,156 et de 5,88, tu pouvais poser l’opération ou faire un calcul en ligne.

9) La différence de 4,11 et 2,98 est 4,11 – 2,98. Tu pouvais poser l’opération ou faire un calcul en ligne.

10) Le nombre qui, ajouté à 1,33, fait que l’on obtient 5 est 5 – 1,33 soit 3,67.


71


c c

Séquence 3





1) L’équerre est l’instrument le plus adapté pour vérifier qu’un angle est un angle droit.

1) c) une équerre

2) À l’aide de l’équerre tu peux facilement vérifier que cet angle n’est pas un angle droit.

2) b) non 3) a) oui

3) On peut facilement vérifier à l’aide d’une équerre que cet angle semble droit.

4) b) non

4) À nouveau à l’aide d’une équerre, on vérifie que l’angle n’est pas un angle droit.

Exercice 1 1) 2) 3) 4) 5) A

B

Pour colorier un angle, on commence par le

∂ a pour repérer sur la figure. Par exemple, DBx sommet B. On repère ensuite ses côtés : [BD) E

et [Bx). On le visualise alors bien sur la figure. Il ne reste alors plus qu’à tracer une portion de disque et de la colorier en rouge.

F

y

D

x

On fait de même pour les autres angles. 7) On remarque qu’un angle peut s’écrire de plusieurs façons. L’angle colorié en jaune s’écrit

∑ , DFE ∑ , ou bien EFD ∑ , ... par exemple BFD

∑ ? bleu 6) De quelle couleur est l’angle EAF

∑ ? jaune 7) De quelle couleur est l’angle BFD ∑ ? jaune 8) De quelle couleur est l’angle DFE

Exercice 2

∑ ? F Quels sont ses 1) Quel est le sommet de l’angle KFT côtés ? [FK) et [FT). Comment peut-on nommer autrement cet angle ?

∑ TFK

∑ ? T Quels sont ses 2) Quel est le sommet de l’angle NTO côtés ? [TN) et [TO).

∑ Comment peut-on nommer autrement cet angle ? OTN ∂ ? L Quels sont ses côtés ? 3) Quel est le sommet de l’angle sLt

[Ls) et [Lt).

∂ Comment peut-on nommer autrement cet angle ? tLs 4) Un angle a pour sommet D et pour côtés [Dz) et [DT). ∑ ou TDz ∑ . Comment se nomme-t-il ? zDT

72



On n’a pas besoin, lorsqu’on lit la notation d’un angle, de se le représenter pour savoir quel est son sommet et quels sont ses côtés : • La lettre du milieu désigne le sommet. • Les deux côtés sont les demi-droites d’origine le sommet, passant par les points désignés par les lettres figurant au début et à la fin de la notation de l’angle. (Lorsqu’un angle est noté sous la forme ∑ , les côtés sont les demi-droites [Ox) et xOy [Oy), mais x et y ne sont pas des points)

c

Séquence 3

Exercice 3 1)

∑ , LOA ∑ , ∑ ∑ , MOP ∑ , LOM ∑ , ∑ POA AOL , POM MOL

∑ en bleu. 1) Représentons l’angle AOP

c

Les autres notations possibles pour cet angle sont :

∑ POA L

M P A

O

N

∑ ∑ , AOL LOA

L

M P A

O

N

∑ , MOP ∑ POM

L

M P A

O

N

∑ , MOL ∑ LOM

L

M P A

O

2)

∑ , ∑ ∑ , PNL ∑ , LNP ∑ , PNM ∑ , MNP ∑ MNA ANL , LNA

N

2) On procède de la même façon que pour le 1).


73


c c

Séquence 3

Exercice 4 H D

D

E

G

C D

F

C

E

D

I C

E

K

R

NE

U T

P

E

C

Q

D

D

E

L C M

J

C

S

W

C

A

D

D

X

B

C

E

Z

E

V

∑ et ∑ ∑ sont : QPR DCE XVW . ∑ . ∑ ∑ ∑ et BAZ b) Les angles plus petits que DCE sont : JIK , UST ∑ sont : FGH ∑ et ∑ LMN . c) Les angles plus grands que DCE a) Les angles égaux à

Les commentaires du professeur : Attention ! La mesure d’un angle n’a rien à voir avec la longueur du tracé de ses côtés.

Exercice 5 Réponse : c’est la figure 11. En effet, à vue d’œil, on hésite entre les figures 11 et 4 mais, avec le calque, on observe que l’angle pressenti de la figure 4 est trop petit. On entoure donc la figure 11.

74



c

Séquence 3


c


Exercice 6 2) Cet angle est constitué de 5 angles de 1° mis «côte à côte» : on dit qu’ils sont adjacents. Cet angle mesure 5 °. 3) Cet angle est constitué de 10 angles adjacents de 1°. Cet angle mesure 10 °. 4) Cet angle est constitué de 20 angles adjacents de 1°. Cet angle mesure 20 °.

5) Cet angle est constitué de 90 angles adjacents de 1°. Cet angle mesure 90 °. Cet angle est un angle droit.

6) Cet angle est constitué de 180 angles adjacents de 1°. Cet angle mesure 180 °. Cet angle est un angle plat.

On lit sur la graduation comme on l’a vu précédemment.

Exercice 7

∑ ABC == 770° 0 ∑ MOR == 3 5 35° ∂ tRy == 1150° 50 ∑ = 10 xKy

On note quand même quelque chose : pour ∂ , c’est le côté [Ry) de mesurer l’angle tRy l’angle qui coïncide avec la graduation 0 et non le côté [Rt). Ce n’est pas important puisque ∂ se nomme également ∑ yRt . l’angle tRy

= 10°

Exercice 8 a) obtus

b) droit

c) aigu

d) aigu

e) plat

f) obtus

g) droit

h) aigu

i) plat


75


Séquence 3

Exercice 9 0 13

110 100

90

80

70

60

0 13

40

30

50

14 0

15 0 160

I

J

∑ = 1110° JIK 10

20

10

0

80

50

60

0

0

70

60

70

K

∑ =6 BAC 60° 0

80

10

10

B

90

20

20

A

100 110

30

30

180 170

C

0 12

40

40

16 0

50

15 0

0 14

120

180 170

c c

R

10

130 120 110 10 0 140

x

0

90

y

20

S

170

40

30

T

180

M

15 0

60

130

110 100 120

90

80

0 16

0 14

0 15

50

16 0

70

18 0

17 0

∑ == 445° xMy 5

∑ = 25° RST 25

Les commentaires du professeur : • Lorsque les tracés des côtés des angles ne sont pas suffisamment longs, tu ne peux pas lire avec quelle graduation le côté coïncide : tu dois alors prolonger son tracé en utilisant un crayon et une règle. • Lorsque tu compares ton tracé avec le corrigé, il y a parfois un écart de 1 ou 2° : cela est dû à l’imprécision de la mesure. Ce n’est pas grave !

Exercice 10

∑ == 225° LKM 5

∑ == 1120° ∑ = 90° uPv 20 VLF 90

∑ == 665° xTy 5

∑ =1 HJK 120° 20

N’oublie pas de prolonger les tracés des côtés lorsqu’ils ne te permettent pas de lire sur les graduations du rapporteur. Exercice 11 1) Les figures 3 – 5 – 6 – 7 – 8 – 10. 2) Les figures 3 et 5. On les entoure. 3) Les figures 1, 2, 6, 7, 8 et 10. 4) Les figures 6, 7, 8 et 10. 5) Les figures 8 et 10. On les entoure.

76



c

Séquence 3

Séance 3 Ce que tu devais faire Exercice 12

∑ == 115° BAF 5 ∑ BED == 1140° 40

c


∑ AFB == 1150° 50 ∑ EDC == 665° 5

∑ =6 CBE 65° 5 ∑ ABC == 1115° 15

∑ ABF = 115° 5 ∑ DCB == 990° 0

∑ == 1165° FBE 65

C 90° 65° A

115° B 15°

15°

150°

D

140°

65°

E

165°

F

Exercice 13

t

y

A

x

∑ = 25° xAy

∑ = 120° uOv

∂ = 75° zBt

z

v

O

∑ = 164° eDf

B

u

f

D

e


77


c c

Séquence 3

a)

Exercice 14 a)

E

D

[EF] étant tracé, on place correctement le rapporteur et on fait une marque en face de la graduation 45°.

F

0 12

100 110

90

80

70

60

50 40

14 0

0 13

10

180 170

b)

20

160

30

15 0

E

F

0

E

F

M

On trace la demi-droite d’origine E passant par « la marque ». On place ensuite un point D n’importe où sur cette demi-droite.

K L

100 110

90

80

70

60

50

10

180 170

20

160

30

15 0

D

40

14 0

0 13

0 12

0

E

F

Remarque : on aurait pu aussi construire le point D « au-dessous » de [EF). b) On effectue de même que dans le a). Remarque : là aussi, le point M pouvait être construit « au-dessous » de (KL).

Exercice 15 a)

a) On commence par tracer une demi-droite [KC) quelconque :

L

On place correctement le rapporteur et on fait une marque en face de la graduation 92°. 90

80

70

60

50

180 170

0

M

10

b)

20

160

30

15 0

C

40

K

100 110

14 0

0 13

0 12

K

C

On trace la demi-droite d’origine K passant par « la marque ». On place ensuite un point L n’importe où sur cette demi-droite. b) On effectue de même que dans le a).

R 78



G

c

Séquence 3

Exercice 16 C

8

c

cm

40° A

B

10 cm

Les commentaires du professeur : ∑ de 40°. On place ensuite C On commence par tracer un segment [AB] de 10 cm de longueur. On trace ensuite un angle BAx sur la demi-droite [Ax) tel que : AC = 8 cm. Il ne reste plus alors qu’à tracer le segment [BC].

Exercice 17 y C 10 cm

70°

D

6 cm

z

120°

x B

7 cm 20°


O

5 cm

A

AOx de 20°. • On commence par tracer un segment [OA] de 5 cm de longueur. On trace ensuite un angle ∑

On marque le point B sur [Ox) à 7 cm de O. ∑ de 120°. On marque le point C sur [By) à 6 cm de B. • On trace un angle OBy ∑ de 70°. On marque le point D sur [Cz) à 10 cm de C. • On trace un angle BCz


79


c c

Séquence 3

Exercice 18

E

F

On a : ∑ = GHI ∑ = 27° EHI ∑ = HGI ∑ = 63° HEI ∑ ∑ = 51° IEF = IGF ∑ = IFG ∑ = 39° EFI ∑ = EIF ∑ = GIF ∑ = 90° ∑ = HIE HIG

G

Remarque : Il n’est pas nécessaire de marquer quatre angles droits comme ceci :

H I

En effet, s’il n’y en a qu’un seul, comme cidessous :

I

alors les trois autres angles sont forcément eux aussi des angles droits.

80



c

Séquence 3



Exercice 19

∑ , on 1) Pour pouvoir mesurer l’angle CBA prolonge les tracés des côtés de cet angle.

∑ == 60 60° 1) CBA ∑ 2) 3) CBA =: 260= 60° : 2 = 30°

c

2) On commence par calculer combien mesurent les 2 angles adjacents égaux. ∑ peut se Remarque : la moitié de l’angle CBA ∑ CBA . noter 2

C

On place le centre du rapporteur en B et on fait coïncider le côté [BA] avec la graduation 0°.

D

On fait en suite une marque en face de la graduation 30°, et on trace la demi-droite d’origine B passant par cette marque.

30° 30° B

A

100 110

90

80

70

C

60

50

10

180 170

20

160

30

15 0

40

14 0

0 13

0 12

0

B

A

4- On place ensuite un point D n’importe où sur la demi-droite que l’on vient de tracer.

Exercice 20

∑ AOB ? non ∑ ? oui b) La demi-droite [LN) est-elle la bissectrice de l’angle KLM

a) La demi-droite [OC) est-elle la bissectrice de l’angle K

∑ sont adjacents AOC et COB a) Les angles ∑ mais ne sont pas égaux. La demi-droite [OC) AOB . n’est donc pas la bissectrice de l’angle ∑

N

C

A

60° L

65°

60°

25° O

B

M

∑ ? non c) La demi-droite [TR) est-elle la bissectrice de l’angle UTS d) La demi-droite [XV) est-elle la bissectrice de l’angle X

Y

∑ ? oui YXW

∑ et RTS ∑ sont adjacents c) Les angles UTR mais ne sont pas égaux. La demi-droite [TR) ∑ . n’est donc pas la bissectrice de l’angle UTS

45°

U

45°

V

T

30° 24°

R

W

S


81


c c

Séquence 3

Exercice 21

B

E

O

C

A

D

J

F

I

x

K

y

Exercice 22 1)

C

x y I

A

J

z

B

(d)

2) Les trois bissectrices sont concourantes en I. 4) Le cercle tracé semble avoir seul point commun avec chacun des trois côtés. Remarque du professeur : ce cercle est appelé « cercle inscrit » dans le triangle ABC.

82



c

Séquence 3

Exercice 23

∑ == 33 xOy ° ++20 ° ==53 33° 20° 53°

∂ == 14 zAt ° ++77° ° ==21 14° 21° ∑ eBf == 75 ° −– 25 ° ==50 75° 25° 50°

c

Les remarques du professeur : On peut ajouter ou soustraire les mesures de ces angles car ils sont adjacents.

Exercice 24 • Je calcule la mesure de l’angle

∑ yOz :

∑ donc : La demi-droite [Oy) est la bissectrice de l’angle xOz ∑ 110° xOz ∑ yOz = = = 55° 2

2

• Je calcule la mesure de l’angle

∑ yOt :

∑ = 55° + 25° = 80° ∑ yOz + zOt yOt = ∑ yOt n’est pas 90° : cet angle n’est pas un La mesure de l’angle ∑

angle droit. C’est donc Jules qui a raison.

Pour résoudre ce type de problème, on commence par bien lire l’énoncé. On s’aperçoit qu’il s’agit de prouver qu’un angle est ou n’est pas droit. On sait que lorsqu’on veut prouver quelque chose, on ne doit pas mesurer. On va uniquement raisonner à partir des données de l’énoncé. yOt : Regardons de plus près l’angle ∂ yOz et La mesure de cet angle est la somme de ∂

∂ . On sait que zOt ∂ = 25° , il nous reste de zOt yOz . On sait d’après l’énoncé à déterminer ∂ que la demi-droite [Oy) est la bissectrice de

∂ , donc ∂ yOz est la moitié de 110°, l’angle xOz soit 55°. Après, il ne reste plus qu’à faire la somme. Elle est égale à 80°, donc l’angle n’est pas droit. Une fois ce raisonnement fait, on rédige la réponse le plus clairement possible. Pour cela, on pense à faire des phrases courtes, mais rédigées correctement. N’oublie aucune étape !

Exercice 25 1) 2) Les figures 1 et 2. 3) La figure 2. On l’entoure.


83


c c

Séquence 3

Séance 5



Exercice 26

Pour pouvoir affirmer un résultat, on ne peut pas se fier à une mesure, qui sera toujours imprécise. Il faut donc utiliser une démonstration : nous allons donc raisonner à partir des données.

Je calcule

∑ ABC :

∑ ∑+∑ ABC = ∑ ABx + xBy yBC ∑ ABC = 31° + 66° + 84° = 181°

La mesure de l’angle ∑ ABC n’est pas égale à 180° donc cet angle n’est pas l’angle plat.

ABC n’est pas plat donc les points A, B et C ne sont L’angle ∑ pas alignés.

Nous connaissons les mesures des trois angles ∑ et ∑ ABx , xBy yBC , dont la somme adjacents : ∑ est égale à ∑ ABC . ABC nous donne des Connaître l’angle ∑ informations d’alignement : si cet angle est plat, les trois points A, B et C sont alignés (sinon, ils ne le sont pas).

Nous calculons la somme des trois angles : elle n’est pas égale à 180°. Nous savons donc comment prouver le résultat. Il nous reste à rédiger la démonstration : il faut faire des phrases courtes.

Exercice 27 Je calcule

∑ : ECF

∑ = ECy ∑+∑ ∑ ECF yCx + xCF

∑ ∑ = 45° (d’après le codage) yCx = ECy ∑ est droit donc xCF ∑ = 90° • L’angle xCF ∑ = 45° + 45° + 90° = 180° ECF ∑ = 180° donc C ∈ [EF]. ECF

•

Le point C est donc sur le segment [EF].

Nous voulons démontrer que le point C est sur [EF], et nous ne connaissons que des mesures d’angles. Nous pensons donc à la propriété vue précédemment. Pour pouvoir l’appliquer, nous devons calculer ∑. ECF ∑ est la somme de trois angles L’angle ECF adjacents dont on peut connaître les mesures.

Nous calculons la somme, nous trouvons 180°. Il ne nous reste plus qu’à appliquer la propriété pour démontrer que le point C est sur le segment [EF].

Exercice 28 Je calcule

∑ yLM : ∑ = KLx ∑ + xLy ∑+∑ KLM yLM

• Les points K, L et M sont alignés dans cet ordre donc

∑ = 180° . KLM

58° + 32° + ∑ yLM = 180° 90° + ∑ yLM = 180° ∑ yLM = 180° − 90° = 90°

yLM a pour mesure 90°, c’est donc un angle L’angle ∑ droit.

84



Nous connaissons des mesures d’angles. yLM est droit. Nous devons prouver que ∑ yLM Nous allons donc essayer de prouver que ∑ mesure 90°.

On pense à utiliser la propriété vue précédemment : ∑ = 180° ». « Si L ∈ [KM] alors KLM

c

Séquence 3

Exercice 29

∑ yFx : ∑ = EFz ∑ + zFy ∑+∑ ∑ EFG yFx + xFG ∑ = EFz ∑ = 36° . • D’après le codage : xFG Je calcule

• Les points E, F et G sont alignés dans cet ordre donc ∑ = 180° . EFG

180° = 36° + 72° + ∑ yFx + 36° 180° = (36° + 72° + 36°) + ∑ yFx ∑ 180° = 144° + yFx ∑ yFx = 180° − 144° = 36°

∑ ∑ sont adjacents et égaux, la yFx et xFG demi-droite [Fx) est donc la bissectrice de l’angle ∑ yFG .

Les deux angles

c

Que pouvons-nous dire de la demi-droite [Fx) ?

Nous allons vraisemblablement raisonner à partir d’angles. Cette demi-droite pourrait-elle yFG ? être la bissectrice de ∑ yFx . Nous cherchons donc à calculer l’angle ∑

Nous cherchons à déterminer un angle, nous utilisons donc la propriété précédente car nous savons que les points E, F et G sont alignés dans cet ordre. Nous effectuons ensuite un raisonnement sur les angles.


85


c c

Séquence 3

Séance 6



Exercice 30

Nous avons mis en évidence ci-dessous : • le triangle ABE :

Les triangles ABE, EBC, ECD et EBD sont tracés.

A

E

B

C

D

(on pouvait aussi le nommer BEA, BAE, EAB, EBA, AEB) • le triangle EBC : A

E

B

C

D

(on pouvait aussi le nommer BEC, BCE, CBE, CEB, ECB) • le triangle ECD : A

E

B

C

D

(on pouvait aussi le nommer CED, CDE,DEC, DCE, EDC) • le triangle EBD : A

E

B

C

D

(on pouvait aussi le nommer BDE, BED, DEB, DBE, EDB)

86



c

Séquence 3

Exercice 31

Pour pouvoir tracer une figure répondant à l’énoncé, nous commençons d’abord par représenter une figure à main levée, et on la code. Cette figure va nous permettre de réfléchir à la manière de faire la construction : quel point place-t-on en premier ? quel segment ou quel angle trace-t-on en premier ? On commence par tracer le côté [BC] qui mesure 8 cm :

A

B

50°

60° 8 cm

c

C

B

C

On trace un angle de 50° de sommet B :

0 1350

0 12 0

100 110 80 70

90 90

6

70

110

6

12 0 0

5

13 0 0

15 20

160

1

0 10 200 170 180 3050 16

30 0

1

1

10

180 170

80

100

4040

4040

A

0

B

C

0 12 0

100 110 80 70

90 90

80

100

70

110

6

30 0

10

180 170

20

160

1

15

60° 8 cm

C

0

B

B

5

13 0 0

0 10 200 170 180 3050 16

50°

6

12 0 0

1

1

0 1350

4040

4040

On trace un angle de 60° de sommet C :

C


87


c c

Séquence 3

Exercice 32 1)

1) On utilise la méthode étudiée dans l’exercice précédent. On rappelle qu’il est toujours utile de faire une figure à main levée, même quand cela n’est pas demandé.

A

2) Voici une construction possible : • On commence par tracer un segment [RT] de 4 cm.


∑ de 50°. • On trace ensuite un angle TRx

A

x

80° B

60°

80°

C

4 cm

60° C

4 cm

B

50°

2) Figure à main levée

T

• On place le point S sur [Rx) tel que RS = 4,5 cm.

S

• On trace enfin le segment [ST]. 3) Voici une construction possible :

4,5 cm

4,5 cm

• On commence par tracer un segment [KL] de 6 cm.

50° 4 cm

R

4 cm

R

S

50°

T

∑ de 40°. • On trace ensuite un angle KLx 4 cm

R

T

x

3) Figure à main levée M 40°

6 cm

L

• Comme KM = 4 cm, on trace au compas le cercle de centre K et de rayon 4 cm.

40° K

6 cm

K

4 cm

L

x

M'

M 40° K

4 cm

• Le point M est l’un des 2 points d’intersection de [Lx)et du cercle. 40°

K

88

6 cm



6 cm

• On trace enfin le segment [KM]. L

L

c

Séquence 3

Exercice 33 1) 4) Figure à main levée A

A 7 cm

5 cm

B

c

9 cm

C

7 cm

5 cm

B

C

9 cm

C

1

C

2

2) Le point A se trouve à 5 cm du point B. Le point A se trouve donc sur le cercle de centre B et de rayon 5 cm. Le point A se trouve à 7 cm du point C. Le point A se trouve donc sur le cercle de centre C et de rayon 7 cm. 3) A est l’un des deux points d’intersection de ces deux cercles. Les commentaires du professeur : Il y a deux possibilités pour le point A : on pouvait choisir l’un ou l’autre des points d’intersection des 2 cercles.


89


c c

Séquence 3

Exercice 34 1) A

Figure à main levée A 10 cm

7 cm

C

12 cm

B

2)

10 cm

7 cm

B

C

12 cm K

Figure à main levée K

8 cm

8 cm

3 cm

3 cm M

9,5 cm

L

L

9,5 cm

M

3) Figure à main levée C 7 cm

5 cm

E

12 cm

D

5 cm

7 cm C

D

E

Que remarques-tu ? Les trois points C, D et E semblent alignés. Remarque du professeur : En fait, les point C, D et E sont alignés. Cela provient du fait que :

12 cm = 5 cm + 7 cm.

4) Figure à main levée J 6 cm

4 cm

6 cm

4 cm I

12 cm

K

I

IK = 12 cm Que remarques-tu ? On ne peut pas construire ce triangle. Remarque du professeur : En effet, on ne peut pas construire ce triangle. Cela provient du fait que : 12 cm > 4 cm + 6 cm.

90



K

c

Séquence 3


c


Exercice 35 a) Pour reproduire le triangle KGH, on peut par exemple commencer par placer un point K, puis tracer une demi-droite [Kx). x

K

On place ensuite le point H sur cette demi-droite en reportant la longueur KH à l’aide du compas.

H

K

G

x

K

H

On prend KG comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre K et de rayon KG. H

K

G

K

x H

On prend HG comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre H et de rayon HG qui coupe la précédente.

H

K

G

K

x H

G

Le point G est à l’intersection des deux arcs de cercles.

K

H

Les remarques du professeur : tu viens, en reproduisant un triangle (et donc en reproduisant ses trois angles), de découvrir une méthode permettant de reproduire un angle. H ∑ sur un cahier, il suffit de reproduire un triangle b) Pour reproduire l’angle xKy KHG : tu n’as qu’à placer où tu le veux un point H sur [Kx) et un point G sur [Ky).

Il ne reste plus qu’à reproduire ce triangle KHG, tu auras alors obtenu un triangle sur ton ∑ que tu voulais reproduire. cahier, et l’angle dont le sommet est K est bien l’angle xKy Exercice 36 Les figures sont dans l’énoncé de cet exercice

x

K

G y

On applique la méthode vue précédemment.


91


c c

Séquence 3

Exercice 37 1) a)

C

c)

C

9 cm

A

B D

7 cm

6 cm

b) M

10 cm 6 cm

K

8 cm

2) a) Les trois côtés du triangle ABC ont la même longueur. b) Le triangle KLM semble avoir un angle droit. c) Deux côtés du triangle ont la même longueur.

92



L

E

c

Séquence 3

Exercice 38

A

∑ = 90° . • le triangle DKB est rectangle en B car DBK ∑ = 90° . • le triangle DIK est rectangle en I car DIK

• le triangle CDB est isocèle en C car CD = CB.

B

c

K

• le triangle ABK est équilatéral car AB = AK = KB.

∂ = 90° . • le triangle KIJ est rectangle en J car IJK

J

• le triangle EDF est rectangle isocèle en D car DE = DF et

C

∑ = 90° . EDF

• le triangle GIH est rectangle isocèle en I car IG = IH et ∑ = 90° . GIH

D E

C

Exercice 39

H

• On peut commencer par tracer un segment [AB] de 5 cm de longueur.

Figure à main levée C

• On trace à l’aide d’une équerre un segment [AC] perpendiculaire à (AB) de longueur 4 cm.

4 cm

• On obtient ainsi le point C. Il ne reste plus qu’à tracer le segement [BC] et à coder le triangle.

4 cm

5 cm

I

G

1) Cette construction est la plus simple :

1)

A

F

B

A

B 2)

5 cm

(d)

• On peut commencer par tracer un segment [FE] de 2 cm de longueur.

2) G

• On trace à l’aide d’une équerre la droite (d) perpendiculaire à (FE) et passant par F. Figure à main levée

• Le point G est à 4,5 cm du point E : on trace donc un arc de cercle de centre E et de rayon 4,5 cm.

4,5 cm

G

• Cet arc de cercle coupe la droite (d) au point G.

4,5 cm

F

2 cm

F

E

2 cm

y

3)

• Il ne reste plus qu’à tracer le segment [GE] et à coder le triangle.

E

x

3)

M

• On peut commencer par tracer un segment [KL] de 4 cm. • On trace à l’aide d’une équerre une demidroite [Kx) perpendiculaire à (KL).

Figure à main levée M

∑ de 45° à l’aide • On trace un angle KLy d’un rapporteur. K

45° 4 cm

L

• les demi-droites [Kx) et [Ly) se coupent en M.

45° K

4 cm

L

• Il ne reste plus qu’à coder le triangle.


93


c c

Séquence 3

4)

4)


• On peut commencer par tracer un angle ∑ de 30° à l’aide d’un rapporteur. xCy

A

A 6 cm

• Le point A est à 6 cm du point C : on trace donc un arc de cercle de centre C et de rayon 6 cm. Il coupe la demi-droite [Cy) au point A.

6 cm

30° C

B

30° B

• Il ne reste plus qu’à tracer la perpendiculaire à la demi-droite [Cx) passant par le point A. Cette droite coupe la demiC droite [Cx) au point B. • Il ne reste plus qu’à coder le triangle ABC obtenu.

Exercice 40 1) Les figures 6 et 7. 2) La figure 6. On l’entoure. 3)

5

6

11

2

8

3 10

94



c

Séquence 3



Exercice 41

On applique la méthode vue dans la séance 6 permettant de tracer un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés.

A

Figure à main levée A

5 cm

Le cas du triangle isocèle est particulier : une fois le segment [BC] tracé, les deux arcs de cercle de centres B et C ont tous les deux 5 cm de rayon.

5 cm C

7 cm

B

c

La méthode de construction est détaillée dans la suite du cours.

B

C

7 cm

Exercice 42 1)

R

1) On applique la méthode décrite précédemment. Figure à main levée

2)

R

6 cm

• On peut commencer par tracer un segment [KL] de 4 cm.

6 cm

∑ de 45°. • On trace un angle LKx 4 cm

S

T

S

2)

T

4 cm K

• On trace le segment [LM] et on code le triangle.

45° Figure à main levée

3)

K

4 cm

• On peut commencer par tracer un segment [BA] de 3 cm.

45° 4 cm

M

L

L

∑ de 70°. • On trace un angle BAx

M

x

3)

• On sait que BC = 3 cm car le triangle ABC est isocèle en B. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 3 cm qui coupe la demidroite [Ax) en A et en C.

B

Figure à main levée B

• On trace le segment [BC] et on code le triangle.

3 cm 3 cm 70° A

• On sait que KM = 4 cm car le triangle KLM est isocèle en K. On trace un arc de cercle de centre K et de rayon 4 cm qui coupe la demidroite [Kx) en M.

70° C

A C

x


95


c c

Séquence 3

Exercice 43

Ce cas est un cas particulier de triangle isocèle : on applique donc la méthode de construction d’un triangle isocèle, qui va ici se simplifier.

K

• On trace un segment [LM] de 4 cm. • On prend pour écartement de compas la longueur LM et on trace deux arcs de cercle de centres respectifs L et M qui se coupent en K. L

• On trace le triangle KLM et on le code.

M

4 cm

1) La figure est constituée :

Exercice 44 1)

H

4 cm

I E

• d’un triangle EGF tel que :

cm

m

3 cm

G

GF = 3 cm et GJ = 5 cm (on le trace en utilisant une équerre).

2c

5

2,

• d’un triangle FGJ rectangle en G tel que

GF = 3 cm ; GE = 2,5 cm ; EF = 2 cm. F

On le trace en utilisant la méthode de construction d’un triangle dont on connaît les longueurs de chacun des trois côtés.

5 cm

• un triangle GIE équilatéral. On le trace en appliquant la méthode de construction d’un triangle équilatéral (sachant que [GE] est déjà tracé). • un triangle EFH isocèle en H tel que HE = 4 cm. On le trace en appliquant la méthode de construction d’un triangle isocèle (utilisant le compas).

J

2) On trace : • un triangle FGJ rectangle en G tel que : GF = 3 cm ; GJ = 5 cm. • un triangle EGF tel que : GE = 2,5 cm ; EF = 2 cm. • un triangle GIE équilatéral. • un triangle EFH isocèle en H tel que HE = 4 cm.

96



2) Ceci est une bonne réponse, mais il y en avait d’autres. Quand on rédige ce genre de consignes, il faut essayer de n’écrire que ce qu’il y a d’essentiel. Par exemple, dans la solution proposée, il n’était pas nécessaire d’écrire : « un triangle GIE équilatéral de côté 2,5 cm », car on sait déjà que [GE] est un de ses côtés et qu’il mesure 2,5 cm.

c

Séquence 3

Exercice 45 1) 2) F

c

G E

C 3) Les points F et G sont sur le cercle C de centre E. On a donc EF = EG = 3 cm. Le triangle EFG est donc isocèle en E. Les commentaires du professeur : On a utilisé la définition : « Un cercle est l’ensemble de tous les points à égale distance du centre ». Pour démontrer que le triangle EFG est isocèle en E, il suffit de prouver que : EF = EG.

Exercice 46 E'

1)

E

1) On trace un arc de cercle de centre C passant par D. On place alors un point E n’importe où sur cet arc. On recommence de la même façon pour E’, pour E’’, …

C

D E''

2) Les points E, E’, E’’, E’’’ sont tels que :

2)

CE = CD ; CE’ = CD ; CE’’ = CD ; CE’’’ = CD ; CE’’’’ = CD.

La notion de « lieu » est en fait un peu plus complexe. Ici, non seulement tous les points recherchés sont sur le cercle de centre C passant par D, mais de plus :

Ils sont donc tous situés à la distance CD du point C. Ils sont donc tous sur le cercle de centre C et de rayon CD, c’est-à-dire le cercle de centre C passant par D.

N’importe quel point M du cercle vérifie CM = CD, et donc est tel que le triangle CMD est isocèle en C.

On trace donc ce cercle.


97


c c

Séquence 3

Exercice 47 D’après l’exercice précédent, le triangle IJK est isocèle en I, alors K est sur le cercle de centre I passant par J. On trace ce cercle.

J K

K'

On cherche un point K qui de plus est sur la droite (d). Le point K est donc à la fois sur le cercle et sur la droite (d).

(d) I

Il y a donc deux possibilités pour placer le point K : ce sont les deux points d’intersection de la droite (d) et du cercle de centre I passant par J. On les note K et K’. On trace les triangles IJK et IJK’. On rédige la réponse.

Combien y-a-t-il de points possibles au total ? Il y a deux points possibles. Exercice 48

11

3

8

6

10

5

2

98



c

Séquence 3



Exercice 49

Démontrer que le triangle EBC est rectangle en E revient à prouver que : (EB) ⊥ (EC). On devait repérer cette « figure-clé » qui nous fait penser à utiliser la propriété : « Soient deux droites parallèles. Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre ».

Puisque : (EC) // (d) et (EB) ⊥ (d) Je conclus que : L’angle

(EB) ⊥ (EC)

∑ est donc un angle droit. BEC

Le triangle BEC est donc rectangle en E.

c

(d) (EB)

(EC)

Exercice 50 Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 4 cm donc : OA = OB = 4 cm.

Démontrer que le triangle OAB est équilatéral revient à prouver que ses trois côtés sont de même longueur, c’est-à-dire que : OA = OB = OC.

Comme AB = 4 cm, on a :

4c

OA = OB = AB = 4 cm.

Je montre que le triangle ABC est isocèle en A : • Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre donc : AB = EB – EA = 9 – 3 soit AB = 6 cm. • On a : AC = AB donc le triangle ABC est isocèle en A. Je montre que le triangle ABC est rectangle en A : Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre donc :

∑ = 180° . EAB

Or :

∑ + DAC ∑ = EAB ∑ ∑ + CAB EAD ∑ = 180° 78° + 12° + CAB ∑ = 180° 90° + CAB ∑ = 180° − 90° = 90° CAB ∑ est droit donc le triangle ABC est rectangle en A. L’angle CAB

m

Les trois côtés du triangle ABC ont même longueur, ce triangle est donc équilatéral.

Exercice 51

C

A

O

B

Pour démontrer que le triangle ABC est isocèle en A, il suffit de prouver que : AC = AB. E 3c

9c

m

m

A

B

Pour démontrer que le triangle ABC est ∑ rectangle en A, il suffit de prouver que CAB est droit. C

D

E

12° 78° A

Conclusion : Le triangle ABC est rectangle isocèle en A. B


99


Séquence 3

Corrigé 52 6

c c

3

8

5 2

6

8

10

11

10 2

11 3

5

5

3

2

6

8

10

11

100



c

Séquence 3

Exercice Je m’évalue ∑ a pour sommet : 1) L’angle DFE ®D ˝F ®E ® [DF) ∑ a pour côté(s) : 2) L’angle KLM ˝ [LM) ® [LM] ˝ [LK) ® [KM) 3) La mesure d’une angle droit, en degrés, est : ® 45° ® 100° ® 180° ˝ 90° 4) L’angle ci-contre est : ® aigu ® droit ˝ obtus ® plat 5) La bissectrice d’un angle de 106° le coupe en deux angles de : ® 106° ® 58° ˝ 53° ® 212° ∑ est plat. Les points J, L et D : 6) L’angle JDL ˝ sont alignés ® sont confondus ˝ sur une même droite ® ne sont pas toujours alignés 7) Le triangle DEF est isocèle en D. On a donc : ® DE = EF ® DF = EF ˝ DE = DF ® DE = EF = DF 8) Le triangle KLM est rectangle en M. ˝ les droites (KM) et (ML) sont perpendiculaires ∑ est droit ® l’angle KLM ∑ est droit ˝ l’angle KML ∑ est droit ® l’angle MKL 9) Le triangle CVR est rectangle isocèle en V. On a : ∑ == 90 ˝ CVR 90° ® CR = RV ˝ RV = CV ∑ = 90° ® CRV 10) Un cercle de centre O passe par les points H et K. ˝ [HK] est une corde de ce cercle ® [HK] est un diamètre de ce cercle ® le triangle OHK est équilatéral ˝ le triangle OHK est isocèle en O

c

1) Le sommet est la « lettre du milieu » dans la notation d’un angle.

2) Pour t’aider à répondre, tu peux tracer rapidement sur un brouillon une figure à main levée.

5) La moitié de 106 est 53. Pense à tracer rapidement sur un brouillon une figure à main levée ! 6) Pense à tracer rapidement sur un brouillon une figure à main levée !


101


c c

Séquence 4




Je revise les acquis de l’école

1) Pour calculer combien Paul dépense, on effectue 7 x 8. 2) Coline possède au total 3 fois 54 cartes plus 15 cartes. On calcule donc 3 x 54. On trouve 162. On y ajoute 15 : on trouve alors 177. Remarque : ce calcul peut s’écrire (3 x 54) + 15 Les parenthèses signifient que l’on commence par calculer 3 x 54. 3) Cette question était un piège : il ne fallait pas faire de multiplication. Sébastien a gagné 7 + 9 + 13 billes soit 29 billes. 4) Pour obtenir rapidement le résultat, il suffisait d’appliquer la règle de multiplication par 100 : il fallait décaler la virgule de 1,5 de deux rangs vers la droite et compléter par un zéro.

1) c) 2) a) 3) d) 4) c)

Exercice 1 La vente des 29 consoles a rapporté au vendeur (en euros) : 317 x 29 = 9 193 Le chiffre des centaines du résultat est 1. La lettre associée à 1 est A. J’écris donc A dans la 1ère case : [A] [__] [__] [__] [__] [__] [__] [__] [__]

317 x 29 2853 634 . 9193

Exercice 2 La longueur en cm de la courbe rouge est :

6,2

6,2 x 16 = 99,2

x 1,6

37,2

62, .

99,2

La longueur en mm de la courbe verte est :

73,5

73,5 x 13 = 955,5

x 1,3

955,5 mm = 95,55 cm

220,5

99,2 > 95,55

735, .

955,5

<— 317 x 9 (unités) <— 317 x 2 (dizaines) (Ne pas oublier de décaler d’un rang vers la gauche le résultat de 317 x 2 par rapport à celui de 317 x 9) Ce qu’on dit quand on effectue 317 x 29 • lorsqu’on effectue 317 x 9 . 9 x 7 ? 63. Je pose 3 et je retiens 6. . 9 x 1 ? 9 ; 9 + 6 = 15 ; je pose 5 et je retiens 1. . 9 x 3 ? 27 ; 27 + 1 = 28 • lorsqu’on effectue 317 x 2 . 2 x 7 ? 14. Je pose 4 et je retiens 1. .2x1?2;2+1=3 .2x3?6 La courbe rouge est constituée de 16 segments de 6,2 cm. Pour multiplier un décimal par un entier, • on effectue la multiplication sans tenir compte de la virgule • on place la virgule dans le résultat (Comme 6,2 s’écrit avec un chiffre après la virgule, on place la virgule dans le résultat de façon à avoir un chiffre après la virgule) La courbe verte est constituée de 13 segments de 73,5 mm.

La courbe rouge est donc plus longue que la courbe verte.

102



c

Séquence 4

Exercice 3 Le nombre de menus différents comprenant une entrée et un plat, qu’on peut composer avec la carte proposée est : 3 x 4 = 12.

Une entrée étant choisie, on a le choix entre 3 plats principaux différents. À chaque entrée, il correspond donc 3 menus différents.

Ainsi, aux 4 entrées, il correspond 3 + 3 + 3 + 3 soit 3 x 4 menus différents.

Exercice 4 Le prix en euros des coquilles

2,75

Saint Jacques est :

x 33

2,85 x 6 = 17,10

8,25

Le prix en euros du chapon est :

82,5 .

33 x 2,75 = 90,75

90,75

Le montant en euros de la dépense de Madame Martin chez le charcutier est : 17,10 + 90,75 = 107,85. La somme en euros que possédait Madame Martin en entrant dans la boutique était : 14,92 + 107,85 = 122,77.

• Pour répondre à la question posée, il suffit de calculer la dépense de Madame Martin chez le charcutier. • Le prix du chapon s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés. • Avant de poser une multiplication, il est bon de réfléchir. Ici, il est plus rapide de poser la multiplication de 2,75 par 33 plutôt que celle de 33 par 2,75. Voici cependant posée la multiplication de 33 par 2,75 pour ceux qui ont utilisé cette méthode :

33

x 2,75

1,65

23,1 .

66, .0

90,75

On pouvait déterminer directement le montant de la dépense de Mme Martin, en calculant (2,85 x 6) + (33 x 2,75)

Exercice 5

Peut-être as-tu obtenu les résultats des trois calculs proposés, en posant une multiplication. Cette méthode permet d’obtenir le résultat, mais à l’avenir il ne faudra plus l’utiliser. Il faut savoir effectuer ces calculs à la main, sans poser d’opération. Au CM2, tu as vu une règle permettant d’obtenir rapidement le résultat d’une multiplication par 10, 100 et 1 000. Il fallait l’utiliser ici. D’après cette règle,

a) 232,57 x 10 = 2 325,7

• pour multiplier un décimal par 10, on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite

b) 13,48 x 100 = 1 348

• pour multiplier un décimal par 100, on déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite

c) 1 212,3 x 1 000 = 1 212 300

• pour multiplier un décimal par 1 000, on déplace sa virgule de 3 rangs vers la droite.

(c’est-à-dire 1 212,300)

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c c

Séquence 4

Exercice 6 a) Le prix en euros de 10 timbres à 0,53 € est : 0,53 x 10 = 5,3. N’oublie pas que : 1,50 = 1,500 b) La masse totale en kg des 100 sacs est : 25,43 x 100 = 2 543. c) La recette totale en euros est : 1,50 x 1 000 = 1 500.

Les trois calculs devaient être effectués à la main, sans poser d’opération.

Exercice 7 1) 1,956 7 x 10 = 19,567

1) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite : 1,956 7 Le nombre cherché est donc 10.

2) 26,18 x 1 000 = 26 180 3) 16 x 100 = 1 600

2) On passe du premier nombre au deuxième en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite : 26,180 Le nombre cherché est donc 1 000.

4) 8,442 3 x 10 = 84,423

4) Multiplier un décimal par 10 revient à déplacer sa virgule de 1 rang vers la droite. On a donc obtenu 84,423 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite. 84,423 Le nombre cherché est donc 8,442 3.

5) 14,92 x 1 000 = 14 920

5) On a obtenu 14 920,0 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite. 14 920,0 Le nombre cherché est donc 14,920 (soit 14,92)

6) 0,012 78 x 100 = 1,278

6) On a obtenu 001,278 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,278 Le nombre cherché est donc 0,012 78.

7) 0,004 76 x 1 000 = 4,76

7) On a obtenu 0 004,76 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la droite. 0 004,76 Le nombre cherché est donc 0,004 76.

8) 0,01 x 100 = 1

8) On a obtenu 001,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 001,0 Le nombre cherché est donc 0,01 (soit

1 100

)

Remarque : Comme 1 = 100 centièmes, le résultat était prévisible.

104



c

Séquence 4

Observons la technique utilisée pour effectuer 843 x 76.

Exercice 8

obtenu en multipliant 7 par 8

8 4 3 5 2 2 7 6 8 1 2 1 4 8 4 8 6

obtenu en multipliant 6 par 3

Le résultat de 843 x 76 a été obtenu en ajoutant en biais des chiffres contenus dans le grand rectangle.

8 4 3 2 2 6 5 7 6 8 1 2 4 1 4 4 8 6 8 6 0 8 • On a commencé par écrire ce chiffre (On a juste recopié celui qui était dans la case immédiatement au-dessus) • On a calculé 1 + 1 + 4. On a obtenu 6. • On a calculé 2 + 8 + 2 + 8. On a obtenu 20. On a écrit 0 et on a retenu 2.

9 5 4 6 3 2 7 7 3 5 8 7 4 3 4 0 2 8 2 1 4 2

• On a calculé 2 + 6 + 4. On a obtenu 12. Or, il y avait 2 de retenue. Comme : 12 + 2 = 14, on a écrit 4 et on a retenu 1. • On a calculé 1 + 5. On a obtenu 6.

954 x 78 = 74 412


105

c

c c

Séquence 4

Séance 2 Exercice 9 1) Pour calculer 976 x 608 on peut procéder ainsi :

1)

976

x 608

7808

000 .

5856 .0

593408

On peut aussi ne pas écrire la ligne 000.

Le produit de 97 par 608

976

Pour calculer 976 x 608, on calcule 976 fois 8 unités et 976 fois 6 centaines.

est 976 x 608

x 608

Observe bien la disposition ci-contre.

c’est-à-dire 593 408.

7808

fl 976 x 8 unités

5856 . .

fl 976 x 6 centaines

593408

Il est plus rapide de procéder comme à gauche.

2) a) 72 = 8 x 9

2) a) Comme on te l’a déjà rappelé, deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent. b) Il est assez naturel de commencer par écrire : 700 = 7 x 100 7 est impair. Pour répondre à la question posée, il suffit d’écrire 100 sous la forme d’un produit de deux facteurs, l’un étant impair. On a, par exemple : 100 = 1 x 100.

b) 700 = 7 x 1 x 100

D’où la réponse à la question posée, ci-contre. Il existe d’autres réponses possibles, par exemple : 7 x 4 x 25, 7 x 5 x 20, 35 x 4 x 5 …

Exercice 10 1) a) 9 x 0,7 x 6 = 6,3 x 6 = 37,8 b) 0,7 x (6 x 9) = 0,7 x 54 = 37,8 2) Je remarque que : 9 x 0,7 x 6 = 0,7 x (6 x 9) Je pouvais prévoir le résultat. D’après le cours du CM2, dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut.

106

9 x 0,7 x 6 est le nombre obtenu en effectuant les calculs de gauche à droite. Vu la parenthèse autour de 6 x 9, 0,7 x (6 x 9) est le nombre obtenu en multipliant 0,7 par le résultat de 6 x 9.



c

Séquence 4

Exercice 11 1) a) 5 x 1,8 x 2 = (2 x 5) x 1,8 = 10 x 1,8 = 18

b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 0,003 = 10 x 10 x 10 x 0,003 = 1 000 x 0,003 = 3 Commentaires du professeur : Dans les deux produits donnés, on remarque les facteurs 2 et 5. • 2 x 5 = 10 • Multiplier par 10 est facile. On peut utiliser l’égalité précédente, puisque dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut.

2) a) La lettre associée à 18 est la 18ème de l’alphabet, soit R. J’écris donc R dans la deuxième case du «nom secret». [A] [R] [__] [__][__][__][__][__][__] b) La lettre associée à 3 est C. J’écris donc C dans la troisième case du «nom secret». [A] [R] [C] [__][__][__][__][__][__] Exercice 12 1) 4 x 25 = 100

8 x 125 = 1 000

2) a) 4 x 0,25 = 1

b) 0,8 x 125 = 100

Retiens ces deux égalités. Cela t’aidera à voir comment calculer rapidement certaines expressions.

Exercice 13 1) K = 9 x 25 x 8,1 x 4 K = (25 x 4) x (9 x 8,1) K = 100 x 72,9

On remarque les facteurs 25 et 4. On pense à l’égalité : 25 x 4 = 100. Multiplier par 100 est facile.

K = 7 290 2) L = 3 x 1,25 x 96 x 8 L = (1,25 x 8) x (96 x 3) L = 10 x 288

On pense à utiliser : 125 x 8 = 1 000

L = 2 880 3) M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25 M = 10 x (0,4 x 25) x (9 x 9)

On pense à utiliser : 4 x 25 = 100

M = 10 x 10 x 81 M = 8 100


107

c

c c

Séquence 4

Exercice 14 1) Le double de 7,9 est 2 x 7,9 soit 15,8. Le triple de 6,84 est 3 x 6,84 soit 20,52. 2) a) • Le double de 9,6 est 2 x 9,6 soit 19,2. Le triple du double de 9,6 est donc 3 x 19,2 soit 57,6. • Le triple de 9,6 est 3 x 9,6 soit 28,8. Le double du triple de 9,6 est donc 2 x 28,8 soit 57,6. b) Je remarque que le triple du double de 9,6 est égal au double du triple de 9,6. c) Le triple du double de 9,6 est 3 x (2 x 9,6). Le double du triple de 9,6 est 2 x (3 x 9,6). Comme dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut : 3 x (2 x 9,6) = 2 x (3 x 9,6) On pouvait donc prévoir le résultat. Exercice 15 1) 98 700 x 650 = (987 x 100) x (10 x 65) 98 700 x 650 = (987 x 65) x (100 x 10) 98 700 x 650 = (987 x 65) x 1 000

En effet, dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut.

Pour calculer 98 700 x 650, il suffit de calculer 987 x 65 et de placer 3 zéros à droite du résultat. Exercice 16 Le produit de 7 920 par 6 800 est 7 920 x 6 800.

792000

x 680000

6336000

4752 .000

53856000

Le produit de 7 920 par 6 800 est donc 53 856 000.

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Séquence 4

Exercice17 1) 143 x 14 572 143 . 2002 143 x 14 = 2 002 2) a) 14 300 x 1,40 = 14 300 x 1,4 143 x 14 = 2 002 (d’après le 1-) donc : 14 300 x 14 = 200 200 Par suite : 14 300 x 1,4 = 20 020 c’est-à-dire 14 300 x 1,40 = 20 020 b) 286 x 28 = (143 x 2) x (14 x 2) Or, dans un produit de facteurs, on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut, donc : 286 x 28 = (143 x 14) x (2 x 2) Par conséquent : 286 x 28 = 2 002 x 4 = 8 008

On commence par se débarrasser du zéro inutile. Pour calculer 14 300 x 1,4 on effectue 14 300 x 14 puis on place la virgule. fl car 20 020,0 = 20 020 fl Il est indispensable d’écrire cette ligne pour bien répondre à la question posée.

Remarque : 286 et 28 sont respectivement 2 fois plus grands que les nombres 143 et 14. Le produit 286 x 28 est 4 fois plus grand que le produit 143 x 14.


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c c

Séquence 4

Exercice 18 1) a) Le produit de 43 et de 68 est 43 x 68 soit 2 924. b) • 43 s’écrit « à l’envers » 34. 68 s’écrit « à l’envers » 86. • Le produit de 34 et de 86 est 34 x 86 soit 2 924. c) Les produits 43 x 68 et 34 x 86 sont égaux. 2) a) Le produit de 32 et de 69 est 32 x 69 soit 2 208.

43 x 68 344 258 . 2924 34 x 86 204 272 . 2924 32 x 69 288 192 . 2208

b) • 32 s’écrit « à l’envers » 23. 23 69 s’écrit « à l’envers » 96. x 96 138 • Le produit de 23 et de 96, est 23 x 96 soit 2 208. 207 . c) Les produits 32 x 69 et 23 x 96 sont égaux. 2208 3) a) Le produit de 26 et de 31 est 26 x 31 soit 806.

26 x 31 26 780 806

62 b) • 26 s’écrit « à l’envers » 62. x 13 31 s’écrit « à l’envers » 13. 186 620 • Le produit de 62 et de 13 est 62 x 13 soit 806. 806 c) Les produits 26 x 31 et 62 x 13 sont égaux. 4) • 85 x 73 = 6 205 • Lorsqu’on écrit « à l’envers » 85 on obtient 58. Lorsqu’on écrit « à l’envers » 73 on obtient 37. • 58 x 37 = 2 146 Les produits 85 x 73 et 58 x 37 ne sont pas égaux. Le produit de deux entiers n’est pas toujours inchangé lorsqu’on écrit « à l’envers » les deux nombres.

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Pour convaincre Sony, on cherche un produit de deux entiers « qui change » quand on écrit « à l’envers » chacun des entiers.

Cet exercice met en évidence que ce n’est pas parce qu’une propriété est vraie plusieurs fois qu’elle est toujours vraie.



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Séquence 4

Séance 3 Exercice 19

a) Les quatre côtés d’un carré ont la même longueur, ici 1. Son aire est donc 1 x 1 = 1.

a) AB = AD = 1 L’aire du «grand» carré ABCD est donc : 1 x 1 = 1

b) • La longueur d’un côté d’un petit carré est le nombre ? tel que : b) La longueur AB est égale à 10 fois la longueur du côté du petit carré. Comme la

10 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre 0,1.

longueur AB est égale à 1, la longueur du petit

De la même manière : • Puisque le « grand » carré ABCD a pour aire 1 et est composé de 100 petits carrés de même aire, l’aire d’un petit carré est donc le nombre ? tel que : 100 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre 0,01. c) Conclusion L’aire d’un petit carré est 0,01, son côté est 0,1.

carré est le nombre qui multiplié par 10 est égal à 1 : c’est 0,1 (ou un dixième ou encore 1 ). Même type de raisonnement que dans 10 l’exercice 7 de cette séquence. Le nombre qui multiplié par 100 est égal à 1 1 ). Tu est 0,01 (ou un centième, ou encore 100 as vu cela dans l’exercice 7 de cette séquence.

On a donc : 0,1 x 0,1 = 0,01.

c) On peut également écrire : 1 1 1 x = 10 10 100

Exercice 20 1) Adèle réfléchit… Adèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 € le mètre. Elle décide d’en acheter 3,2 m. Pour calculer le montant en € de son achat, elle doit multiplier le prix d’un mètre de ruban par le nombre de mètres achetés. Elle doit doit effectuer le calcul suivant : 1,42 x 3,2. 2) Adèle utilise sa calculatrice. Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice : 1,42 x 3,2 = 4,544. Elle tape 142 x 32. Elle obtient 4 544. Elle fait ensuite l’observation suivante : Nombre de chiffres après la virgule

1,42

3,2

4,544

2

1

3

Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s’obtient en ajoutant le nombre de chiffres après la virgule de 1,42 et celui de 3,2. 3) Adèle voudrait obtenir le résultat de 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice. Elle écrit : 142 x 32 = (1,42 x 100) x (3,2 x 10) donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2) x (100 x 10) Or : 142 x 32 = 4 544 142 x 32 284 426 . 4544 D’où : 4 544 = (1,42 x 3,2) x 1 000 Or, le nombre dont le produit par 1 000 est égal à 4 544 est 4,544. Ainsi : 1,42 x 3,2 = 4,544 © Cned, Mathématiques 6e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

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Séquence 4

Exercice 21 a) 86,5 x 9,8 69,2,0 778,5, . 847,7,0 86,5 x 9,8 = 847,70 b) 3,42 x 0,65 17,10 2052 . 2,2230 3,420 x 0,65 = 2,223

c) 3,9,6 x 7,0,7 27,7,2 2772,0,0 2799,7,2 70,7 x 39,6 = 2 799,72

Exercice 22 a) A = 294,603 b) B = 294,603 c) C = 2 946,030 d) D = 294,603 e) E = 2 946,030 f) F = 2,946 03

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a) Pour faire le calcul proposé, on applique ce qu’on vient de copier. • On effectue donc la multiplication sans tenir compte des virgules • On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l’écriture 86,5 x 9,8 (Il y a 1 + 1 soit 2 chiffres après la virgule) Ce nombre donne le nombre de chiffres après la virgule au résultat. b) • 3,420 = 3,42 Effectuer 3,420 x 0,65 c’est donc effectuer 3,42 x 0,65 (Il ne faut pas travailler avec des zéros inutiles) • Remarque bien ci-contre, qu’une fois qu’on a multiplié 342 par 5, puis par 6, il ne servirait à rien de multiplier 342 par 0. • La question posée était : «calcule 3,420 x 0,65». Par suite, lorsque je donne le résultat, j’écris : 3,420 x 0,65 = … c) Il est plus rapide de calculer 39,6 x 70,7 que 70,7 x 39,6 (Lorsqu’on calcule 39,6 x 70,7 on est amené à effectuer 2 fois 396 x 7) Voici cependant posée la multiplication de 70,7 par 39,6 pour ceux qui ont utilisé cette méthode. 70,7 x 39,6 424,2 6363,0 21210,0 2799,7,2 a) D’après ce que tu as noté en dernier dans ton cahier de cours, pour calculer A, on commence par calculer 347 x 849, puis on place correctement la virgule dans le résultat. D’après l’énoncé : 347 x 849 = 294 603 On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans l’écriture 34,7 x 8,49 : il y en a 3. Par suite, on met autant de chiffres après la virgule dans le résultat. Ainsi : 34,7 x 8,49 = 294,603 b) Même raisonnement que précédemment. c) Pour calculer C, on commence par effectuer 347 x 8 490. Pour cela, on calcule 347 x 849 puis on place un zéro à droite du résultat de 347 x 849. Ainsi : 347 x 8 490 = 2 946 030 Ensuite, on s’occupe de la virgule. d) Même raisonnement que pour le calcul de A e) Même type de raisonnement que pour le calcul de C f) Même raisonnement que pour le calcul de A



c

Séquence 4

Exercice 23 1) a) b)

4,2,3 x 0,7,8 338,4 29,61, . 32,99,4 6,3,6 x 6,9 5,7,2,4 38,1,6,0 43,8,8,4

4 2 ,n a) x 0 ,7 8 ®® ® ® ® ®® 1 ® 2 ®®®

7 x n se termine par un 1. En récitant la table de 7, on constate que le seul résultat qui se termine par un 1 s’obtient en effectuant 7 x 3. Par suite, n représente un 3. La suite est alors facile.

b) 9 x n se termine par un 4. En récitant la table de 9, 6 3n on constate que le seul x ®, 9 résultat qui se termine ®® ® 4 par un 4 s’obtient en effectuant 9 x 6. ® ®®® Par suite, n représente ® ®,® 8 4 un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : 6 36 x

n ,9 5 7 2 4 ® ®® 6

® ®,® 8 4 6 36 x n ,9 5 7 2 4

® ®® 6 ® ®,® 8 4

n x 6 se termine par un 6. Lorsqu’on récite la table de 6, seuls les résultats de 6 x 1 et 6 x 6 se terminent par un 6. Par suite, n représente un 1 ou un 6. Il ne peut représenter le chiffre 1. En effet, 636 x 1 est un entier de 3 chiffres. n représente donc un 6. La suite est alors très facile.


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c

c c

Séquence 4

c)

4,7,3 x 9,6 2,8,3,8 42,5,7,0 45,4,0,8

c) n x 3 se termine par un 8. En récitant la table de 3, ®, 7 3 on constate que le seul x ®n résultat qui se termine 2 8 ®8 par un 8 s’obtient en effectuant 3 x 6. ® ®® 7 Par suite, n représente ® ®,® ®® un 6. Grâce au résultat que nous venons de trouver, nous pouvons compléter partiellement la multiplication à trous donnée : n ,7 3 x ®6 2 8 38 ® ®® 7 ® ®,® ®® obtenu en effectuant 6 x n et en ajoutant 4 de de retenue (6 x n) + 4 = 28

n ,7 3 x

®6 2 8 38 ® ®® 7 ® ®,® ®®

Or le nombre qui ajouté à 4 donne 28 est 28 – 4 soit 24. Par suite : 6 x n = 24 On en déduit que n représente le chiffre 4. Ainsi : 4,7 3 x ®6 2 8 38 1 ® ®® 7 ® ®,® ®®

2) Recherche du nom secret : Le résultat de la multiplication à trous du 1- b) est 43,884. Le chiffre des dixièmes de ce résultat est 8. La 8ème lettre de l’alphabet est H. J’écris donc H dans la quatrième case du «nom secret». [A] [R] [C] [H][__][__][__][__][__]

4,7 3 n x 3 se termine par un 7. Lorsqu’on récite la table x n6 de 3, on constate que seul 2 8 38 le résultat de 3 x 9 se ® ®® 7 termine par un 7. Par suite,n représente ® ®,® ®® un 9. La suite est alors facile.

Exercice 24 On peut obtenir un nombre entier en multipliant deux décimaux non entiers : 0,4 x 2,5 = 1

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fl égalité obtenue à partir de : 4 x 25 = 100



c

Séquence 4

Séance 4 Exercice 25 21,17 est proche de 20, 9,53 est proche de 10, donc 21,17 x 9,53 est proche de 20 x 10 soit 200. Moïra a donc commis une erreur.

En calculant un ordre de grandeur du résultat, tu as décelé que Moïra s’était trompée. N’oublie pas lorsqu’on te demande de faire un calcul, de chercher systématiquement un ordre de grandeur du résultat (même lorsque tu effectues ton calcul à la calculatrice).

Exercice 26 On a : 42 > 40 et 53 > 50. Par suite : 42 x 53 > 40 x 50 c’est-à-dire : 42 x 53 > 2 000.

Chercher un ordre de grandeur d’un résultat permet d’éviter des erreurs. Toutefois, cela ne permet pas de les déceler toutes.

C’est pourquoi l’ordinateur affiche : « Faux ». Exercice 27 • Cherchons un ordre de grandeur de 6,3 x 2,13. 6,3 est proche de 6, 2,13 est proche de 2, donc 6,3 x 2,13 est proche de 6 x 2, c’est-à-dire de 12. La bonne réponse est donc 13,419 (celle d’Eloïse). • Cherchons un ordre de grandeur de 6 x 12,28. 12,28 est proche de 12, donc 6 x 12,28 est proche de 6 x 12 c’est-à-dire 72. La bonne réponse est donc 73,68 (celle de Manon). • Cherchons un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8. Un ordre de grandeur de 325,7 est 300, un ordre de grandeur de 11,8 est 10, un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8 est donc 300 x 10 soit 3 000. La bonne réponse est donc 3 843,26 (celle de Manon). Exercice 28 Le prix en euros du poisson est : 11,6 x 2,1 a) On a : 11,6 > 10 et 2,1 > 2,

Le prix s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés.

donc : 11,6 x 2,1 > 10 x 2 soit 11,6 x 2,1 > 20. Maman ne pourra donc pas payer avec un billet de 20 €. b) On a : 11,6 < 12 et 2,1 < 3 donc 11,6 x 2,1 < 12 x 3 c’est-à-dire 11,6 x 2,1 < 36. Maman pourra donc payer avec un billet de 50 €. © Cned, Mathématiques 6e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

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c c

Séquence 4

Exercice 29

Un ordre de grandeur de 68,4 x 5,7 est 70 x 6 soit 420. Les résultats proposés par les trois enfants sont donc, au premier abord, vraisemblables. On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6. On en déduit une première remarque.

On a : 68,4 < 70 et 5,7 < 6 donc : 68,4 x 5,7 < 70 x 6 soit : 68,4 x 5,7 < 420 Cela explique que la réponse d’Amaury est fausse. On s’intéresse alors aux virgules de 68,4 et 68,4 et 5,7 s’écrivent avec un chiffre après la virgule. Par suite, 5,7. 68,4 x 5,7 s’écrit avec deux chiffres après la virgule. Cela permet de conclure que la réponse de Ludivine ne convient pas.

Comme : 4 x 7 = 28, le deuxième chiffre après la virgule de 68,4 x 5,7 est un 8. Cela explique que la réponse de Mareb ne convient pas.

Si l’on pose la multiplication de 68,4 par 5,7 on constate que le deuxième chiffre après la virgule du résultat est un 8. 68,4 x 5,7 ........8 <— car 4 x 7 = 28 .......... ........8

Exercice 30 1) Ritchie : 2,3 x 3,2 Sony : 2,3 x 0,8 Pascal : 2,3 x 2,6 Jade : 2,3 x 0,65 2) a) Seuls, Sony et Jade (c’est-à-dire les personnes qui ont acheté moins d’un kilo de pêches) ont payé moins de 2,30 €. Ritchie et Pascal, qui ont acheté plus d’un kilo de pêches, ont payé plus de 2,30 €. b) 2,3 x 3,2 > 2,3 2,3 x 0,8 < 2,3 2,3 x 2,6 > 2,3 2,3 x 0,65 < 2,3 3) Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus grand que 2,3. Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que 2,3.

1) Le prix des pêches s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés.

d’après le 1) et le 2) a)

Exercice 31 C’est faux. Justification : 0,999 96 < 1 donc 4 729 x 0,999 96 < 4 729

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Lorsqu’on multiplie un nombre par un autre plus petit que 1, on obtient un nombre plus petit que celui du départ.



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Séquence 4

Exercice 32 a) Lorsque je tape 295 687,5 x 19 577 il s’affiche l’entier 5 788 674 188. Cette réponse n’est pas la valeur exacte de A. Explication : 295 687,5 est un décimal s’écrivant avec un chiffre après la virgule, 19 577 est un entier, donc 295 687,5 x 19 577 est un décimal s’écrivant avec un chiffre après la virgule. Comme : 7 x 5 = 35, le chiffre après la virgule de 295 687,5 x 19 577 est un 5. A n’est donc pas un entier. b) Lorsque je tape sur ma calculatrice 22,557 8 x 3,468 9 il s’affiche 78,250 752 42. Cette réponse est la valeur exacte de B. Explication : 22,557 8 et 3,468 9 sont deux décimaux s’écrivant avec 4 chiffres après la virgule, donc 22,557 8 x 3,468 9 est un décimal s’écrivant avec 8 chiffres après la virgule. Comme le résultat affiché sur la calculatrice a 8 chiffres après la virgule, ce résultat est la valeur exacte de B. c) Lorsque je tape sur ma calculatrice 217,753 x 46 271,6 il s’affiche 10 075 779,71. Cette réponse n’est pas la valeur exacte de C. Explication : 217,753 est un décimal s’écrivant avec 3 chiffres après la virgule, 46 271,6 est un décimal s’écrivant avec un chiffre après la virgule, donc 217,753 x 46 271,6 est un décimal s’écrivant avec 4 chiffres après la virgule. 6 x 3 = 18 donc le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x 46 271,6 est 8. Comme 10 075 779,71 s’écrit avec 2 chiffres après la virgule, ce nombre n’est pas la valeur exacte de C. d) Lorsque je tape 86,5 x 545,866 il s’affiche 47 217,409. Cette réponse est la valeur exacte de D. Explication : 86,5 est un décimal s’écrivant avec 1 chiffre après la virgule, 545,866 est un décimal s’écrivant avec 3 chiffres après la virgule, donc 86,5 x 545,866 est un décimal s’écrivant avec 4 chiffres après la virgule. Comme : 6 x 5 = 30, le 4ème chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866 est 0. 86,5 x 545,866 (soit D) s’écrit donc avec trois chiffres après la virgule. Comme 47 217,409 (le résultat affiché sur la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule, le nombre 47 217,409 est la valeur exacte de D.

a) Afin d’éviter certaines erreurs dues à des erreurs de frappe, il est bon, avant de taper chacune des expressions proposées, de chercher un ordre de grandeur du résultat. Un ordre de grandeur de A est 300 000 x 20 000 soit 6 000 000 000. Compte tenu de l’ordre de grandeur de A, le résultat est vraisemblable. (Sur certaines calculatrices, il s’affiche 5 788 674 187) Si le chiffre après la virgule de A est 0, alors A est un entier. Déterminons ce chiffre après la virgule. Pourquoi la machine n’a-t-elle pas affiché la valeur exacte ? Nos machines peuvent afficher au plus 10 chiffres. Lorsque le résultat comporte plus de 10 chiffres, selon les modèles, elles tronquent ou arrondissent les résultats. b) Un ordre de grandeur de B est 23 x 3 soit 69. Compte tenu de l’ordre de grandeur de B, le résultat est vraisemblable.

c) Un ordre de grandeur de C est 200 x 46 000 soit 9 200 000. Compte tenu de l’ordre de grandeur de C, le résultat est vraisemblable. 10 075 779,71 (la valeur affichée par la calculatrice) a 2 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 3e et le 4e chiffres après la virgule du produit 217,753 x 46 271,6 sont des zéros. Déterminons le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x 46 271,6. 217,753 x 46 271,6 n’est pas un décimal pouvant s’écrire avec 2 chiffres après la virgule.

Un ordre de grandeur de D est 90 x 500 soit 45 000. Compte tenu de l’ordre de grandeur de D, le résultat est vraisemblable. 47 217,409 (la valeur affichée par la calculatrice) a 3 chiffres après la virgule. On se demande donc si le 4e chiffre après la virgule du produit 86,5 x 545,866 est 0. Déterminons le 4e chiffre après la virgule de 86,5 x 545,866.


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c

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Séquence 4

Séance 5 Exercice 33 1) a) 39,4 x 0,1 = 3,94 b) 115,86 x 0,01 = 1,158 6 564,3 = 0564,3

c) 564,3 x 0,001 = 0,564 3 2) • Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang.

• Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule Remarque : Multiplier un décimal par 0,1 ; 1 vers la gauche de 2 rangs. , 0,01 ; 0,001 c’est le multiplier par 1

• Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs.

100

,

1

1 000

10

.

• Calcul de 101 x 0,1

Exercice 34

Penser que : 101 = 101,0 930,1

9,1

101

-1

x 0,1

x 100

+20,1

9,3

x 0,01

-0,001

• Calcul de 9,1 x 100 x 0,01

Penser que : 9,1 = 9,10 • Calcul de 9,3 x 0,01

10,1

910

9,301

0,093

Penser que : 9,3 = 009,3

Exercice 35 Le produit de 57 par 0,01 est 57 x 0,01 soit 0,57. 0,57 + 8,43 = 9,00 = 9 La lettre de l’alphabet associée à 9 est I. J’écris donc I dans la 5ème case du « nom secret » : [A] [R] [C] [H][I][__][__][__][__] Exercice 36 1) A = 0,1 x 0,1 = 0,01 2) B = 0,1 x 0,01 = 0,001 3) C = 0,01 x 0,01 = 0,000 1

1) Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche. 00,1 2) Pour multiplier un décimal par 0,01 on déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche. 000,1 3) Même règle que précédemment. 000,01

Exercice 37 1) D = 10 x 0,1 = 1 2) E = 100 x 0,1 = 10 3) F = 1 000 x 0,001 = 1

10,0 100,0 1 000,0 Remarque : Pour calculer les nombres D et F on aurait pu aussi raisonner ainsi : 1 10 D = 10 x 0,1 = 10 x = =1 10 10 1 1 000 = =1 F = 1 000 x 0,001 = 1 000 x 1 000 1 000

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Séquence 4

Exercice 38 a) 86 x 0,1 = 8,6

a) On passe de 86,0 à 8,6 en déplaçant la virgule de 1 rang vers la gauche. 86,0 Le nombre cherché est donc 0,1.

b) 16,4 x 0,01 = 0,164

b) On passe de 016,4 à 0,164 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la gauche. 016,4 Le nombre cherché est donc 0,01.

c) 940 x 0,001 = 0,940 d) 9 400 x 0,001 = 9,4

c)

0940,0

d) On passe de 9 400,0 à 9,4 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche. 9 400,0 Le nombre cherché est donc 0,001.

e) 18,20 x 100 = 1 820

e) Multiplier un décimal par 100 revient à déplacer sa virgule de 2 rangs vers la droite. On a donc obtenu 1 820,0 en déplaçant la virgule de 2 rangs vers la droite. 1 820,0 Le nombre cherché est donc 18,20.

f) 0,000 3 x 0,001 = 0,000 000 3 g) 100 x 0,001 = 0,1

f)

0 000,000 3

g) On passe de 0 100,0 à 0,1 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche. 0 100,0 Le nombre cherché est donc 0,001.

h) 0,001 x 4 340 = 4,34

h) Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule de 3 rangs vers la gauche. On a donc obtenu 4,34 en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la gauche. 4,340 Le nombre cherché est donc 4 340.

Exercice 39 a) 100 x 71,63 = 7 163 10 x 7,15 = 71,5 7 163 > 71,5 donc 100 x 71,63 > 10 x 7,15

a) Comparer deux nombres c’est dire lequel est le plus grand (ou le plus petit) 71,63 7,15 Attention ! Il faut répondre exactement à la question posée. Il était demandé de comparer 100 x 71,63 et 10 x 7,15. Il ne fallait pas s’arrêter à la conclusion : 7 163 > 71,5 b) Ranger des produits dans l’ordre croissant, c’est les écrire du plus petit au plus grand.

b) 1 000 x 0,981 8 = 981,8 0,1 x 9 818,7 = 981,87 10 x 98,175 = 981,75 981,75 < 981,8 < 981,87 donc : 10 x 98,175 < 1 000 x 0,981 8 < 0,1 x 9 818,7

0,981 8 9 818,7 98,175 Penser que : 981,8 = 981,80


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c

c c

Séquence 4

Exercice 40

1) On remarque les facteurs 0,01 et 100.

1)

0,01 x 100 = 1

0,01 x 134 x 100 x 0,1 = (0,01 x 100) x 134 x 0,1 = 13,4 1

On peut utiliser cette égalité vu que dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut.

La partie entière de 13,4 est 13.

2) On remarque les facteurs 0,1 et 0,01.

La lettre de l’alphabet associée à 13 est M.

0,1 x 0,01 = 0,001

J’écris donc M dans la 6ème case du «nom secret».

Cette dernière égalité est «intéressante» vu que : 1 000 x 0,001 = 1

[A] [R] [C] [H][I][M][__][__][__] 2)

On pouvait également utiliser une autre méthode :

1 000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 1 000 x (0,1 x 0,01) x 50 x 0,1 = 1 x 50 x 0,1 = 5 On remplace 1 000 par 10 x 100. Ainsi, 0,001 La lettre de l’alphabet associée à 5 est E. J’écris donc E dans la 7ème case du «nom secret». [A] [R] [C] [H][I][M][E][__][__]

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on peut utiliser les égalités : 10 x 0,1 = 1 et 100 x 0,01 = 1 1 000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = 10 x 100 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = (10 x 0,1) x (100 x 0,01) x 50 x 0,1 = 5 1

1



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Séquence 4

Séance 6 Exercice 41 La distance en km qu’Ydriss parcourt les jours de classe, pour suivre ses cours, est : 2,4 x 2 = 4,8

L’année scolaire compte 36 semaines de classe. Pour répondre à la question posée, il sufffit de commencer par calculer la distance en km qu’Ydriss parcourt chaque semaine pour suivre ses cours.

Il va 5 fois par semaine au collège. La distance en km qu’il parcourt chaque semaine pour suivre sa scolarité est donc : 4,8 x 5 = 24 La distance en km qu’il parcourra cette année scolaire en allant au collège est : 24 x 36 = 864 Le chiffre des unités de 864 est 4. La lettre de l’alphabet associée à 4 est D. J’écris donc D dans la 8ème case du « nom secret ». [A] [R] [C] [H][I][M][E][D][__] Exercice 42 Chaque minute, l’aiguille des secondes d’une pendule fait un tour de cadran. 1 h = 60 min

Si nécessaire, commence par regarder tourner l’aiguille des secondes d’une pendule. Combien de temps met-elle pour effectuer un tour de cadran ? Commençons par calculer combien de tours elle effectue en une journée.

En 1 h, elle fait donc 60 tours de cadran. 1 journée = 24 h En 1 journée, le nombre de tours de cadran que fait l’aiguille des secondes est donc : 60 x 24 = 1 440 En 1 année de 365 jours, le nombre de tours de cadran que fait cette aiguille est donc : 1 440 x 365 = 525 600 Exercice 43 1) Le nombre total de places du cinéma est : 36 x 18 = 648 Le nombre de places libres à la séance de 15 h était : 648 – 459 = 189 2) Le nombre de personnes ayant payé le prix normal est : 459 – 271 = 188 La recette en euros de la séance de 15 h a été (6,40 x 188) + (5,60 x 271) soit 1 203,2 + 1 517,6 c’est-à-dire 2 720,8. 3) Le nombre de tickets vendus dans la journée a été : (973 – 187) + 1 = 786 + 1 = 787

2) On sait combien de personnes ont payé au tarif réduit. Pour calculer la recette de la séance de 15 h, il faut savoir combien de personnes ont payé au tarif normal. 3) Attention ! Le nombre de tickets vendus ne s’obtient pas en calculant 973 – 187. Pour t’en convaincre, imagine que le dernier billet vendu ait porté le numéro 188. Seulement deux billets auraient été vendus dans la journée. Des deux calculs 188 – 187 et (188 – 187) + 1, c’est bien le deuxième qui permet d’obtenir 2. Lorsqu’on te demande de répondre à une question du type de celle qui t’a été posée, ramène-toi toujours au brouillon à un cas plus simple, afin de vérifier que le calcul que tu proposes a des chances d’être correct.


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c

c c

Séquence 4

Exercice 44 Le nombre de places en première classe est : 105 x 13 = 1 365

Pour répondre à la question posée, on

Le nombre de places dans chaque wagon de seconde classe est : commence par calculer le nombre total de 10 x 6 = 60 places dans le train. On calcule donc le Le nombre de places en seconde classe est : 60 x 24 = 1 440

nombre total de places en première classe, puis en seconde.

Le nombre total de places dans le train est : 1 365 + 1 440 = 2 805 Le nombre de places libres est : 2 805 – 1 512 = 1 293 Exercice 45 C’est la première étiquette qui indique la somme en euros qu’ont dû payer les Holidays en quittant le camping. Justification : Pour le camping, tout se passe comme si les Holidays étaient restés du 17 juillet à 12 h au 29 juillet à 12 h. Le nombre de nuitées qui vont être facturées aux Holidays est 29 – 17 soit 12. Seul, l’enfant de 8 ans a bénéficié d’un tarif réduit. La dépense par nuitée en euros pour le séjour des cinq personnes a donc été : 2,50 + (4,80 x 4) = 2,50 + 19,20 = 21,70

Combien de nuitées vont être facturées à la famille ? 29 – 17 ou (29 – 17) + 1 ? Réfléchissons. Le 18 juillet à 12 h, les Holidays doivent 1 nuitée, soit 18 – 17 nuitée. Pour déterminer le nombre de nuitées qui vont être facturées à la famille, on calcule donc 29 – 17. (On ne l’obtient pas par une autre méthode)

La somme totale en euros que devait par nuitée la famille Holidays au camping était : 21,70 + 1,90 + 2,30 + 0,61 = 26,51 La somme totale en euros qu’a dû payer la famille Holidays en partant est : 26,51 x 12 = 318,12

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Séquence 4

Séance 7 Exercice 46 Comme il y a un arbre à chaque extrémité de l’avenue, le nombre d’intervalles entre deux arbres consécutifs est égal au nombre d’arbres moins 1. Le nombre d’intervalles est donc : 105 – 1 = 104 La longueur en m de l’avenue est : 5,10 x 104 = 530,4 Le chiffre des centaines du résultat obtenu est 5. La lettre de l’alphabet associée à 5 est E.

La longueur en m de l’avenue s’obtient en multipliant 5,10 (la distance en m séparant deux arbres consécutifs) par le nombre d’intervalles. Combien y a-t-il d’intervalles ?

Il fallait se souvenir que si l’on place des points sur une ligne (non fermée), en plaçant un point à chaque extrémité, le nombre d’intervalles est égal au nombre de points moins 1.

J’écris donc E dans la 9ème case du «nom secret». [A] [R] [C] [H][I][M][E][D][E] Il apparaît alors le nom d’un très grand savant grec (peut-être le plus grand de l’Antiquité).

5 points 4 intervalles

Archimède était à la fois un mathématicien, un physicien, un ingénieur et un philosophe. Il vécut de 287 à 212 avant Jésus Christ. Il est l’inventeur de la roue dentée, de la poulie, du levier, de la vis sans fin… Grâce à des machines qu’il avait fait construire pour lancer au loin des pierres, il tint en échec pendant trois ans les Romains qui assiégeaient sa ville (Syracuse). Il a, par ailleurs, pris conscience en prenant son bain, de la poussée de l’eau sur tout corps plongé dedans. Il était si joyeux, paraît-il, d’avoir fait cette découverte, qu’il serait sorti de son bain et aurait traversé sa ville en criant : « Euréka ! » (J’ai trouvé) Exercice 47 Le prix du tapis en euros est : 357,10 x 0,630 07 = 224,997 99 L’arrondi au centième de ce prix est 225.

On fait une multiplication. C’est l’opération que tu aurais faite si le tapis avait coûté 2 ou 3 dinars. Le chiffre des millièmes du prix est 7. Par suite l’arrondi au centième du prix est 224,99 + 0,01 soit 225. Il était inutile, pour traiter l’exercice, de savoir que Pierre-Yves était allé en Tunisie pour ses 30 ans. Connaître la longueur du tapis ne servait pas non plus.


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Séquence 4

Exercice 48 Ce n’est pas, bien sûr, le seul énoncé qui convienne.

Énoncé

Florine achète 2,100 kg de pommes à 1,6 € le kilo. Elle paie avec Attention ! Lorsqu’on te demande d’écrire un billet de 5 euros. Combien lui rend-on ? Solution La somme en euros qu’on rend à Florine est :

un énoncé, il ne faut pas oublier d’écrire la question. Le prix des pommes s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés.

5 – (1,6 x 2,100) = 5 – 3,36 = 1,64 Exercice 49 1) Le montant total en euros des achats de Léopoldine est : 20 – 5,18 = 14,82 350 g = 0,350 kg Le prix en euros de la limande est : 9,8 x 0,35 = 3,43 290 g = 0,290 kg Le prix en euros des crevettes roses est : 21 x 0,29 = 6,09 Le prix total en euros des deux soupes de poisson est : 2,34 x 2 = 4,68 Le prix en euros de la mayonnaise est : 14,82 – (3,43 + 6,09 + 4,68) = 14,82 – 14,2 = 0,62

2) On ne peut calculer le prix des deux tranches de saumon vu qu’on ne connaît pas leur « poids ».

124

Le prix de la limande s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés. (9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2) représente le prix total en euros de la limande, des crevettes roses et des deux soupes de poisson. On pouvait donc calculer directement le prix en euros de la mayonnaise en retranchant (9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2) à 14,82 c’est-à-dire en effectuant : 14,82 – ((9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)) ce qu’on note généralement : 14,82 – [(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)] (On utilise un crochet, car à l’intérieur de la grande parenthèse, il y a des parenthèses) Pour effectuer une expression contenant un crochet, on commence par effectuer les parenthèses à l’intérieur du crochet. Ainsi, le prix en euros de la mayonnaise est : 14,82 – [(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)] soit 14,82 – (3,43 + 6,09 + 4,68)…

Le prix du saumon s’obtient en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés. Cette question était un piège !



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Séquence 4

Exercice 50 a) L’heure d’arrrivée de Monsieur Durand à Belleface est : 7 h 50 min + 13 h 25 min = 20 h 75 min = 21 h 15 min b) Si Monsieur Durand n’avait pas eu de panne, son heure 20 h 75 min d’arrivée à Belleface aurait été : 21 h 15 min – 2 h 25 min = 18 h 50 min

21 h 15 min

- 2 h 25 min

18 h 50 min

c) La somme en euros qu’a dépensée Monsieur Durand pour faire le voyage est : 240 + (1,18 x 64,5) = 240 + 76,11 = 316,11 Exercice 51 1) Le nombre de piquets utilisés pour la clôture de la propriété (268) est égal au nombre d’intervalles séparant deux piquets consécutifs. La longueur en m de fil métallique utilisé par Monsieur Champêtre pour sa clôture est : 1,3 x 268 x 2 = 696,8

20 h 75 min = 20 h + 60 min + 15 min donc 20 h 75 min = 21 h 15 min Si Monsieur Durand n’avait pas eu une panne de voiture, il serait arrivé 2 h 25 min plus tôt.

Le prix total en euros de l’essence utilisée s’obtient en multipliant le prix d’un litre par le nombre de litres achetés. 1) La longueur en m de fil nécessaire pour faire une fois le tour de la propriété s’obtient en multipliant 1,3 (la distance en m séparant deux piquets consécutifs) par le nombre d’intervalles. Combien y a-t-il d’intervalles ? Il fallait se souvenir que si l’on place des points sur une ligne fermée, il y a autant de points que d’intervalles.

9 points 9 intervalles

« x 2 » car il y a deux rangées de fil autour de la propriété.

2) Le prix total en euros du fil utilisé est : 1,96 x 696,8 = 1 365,728 2) Le chiffre des millièmes de 1 365,728 L’arrondi au centième de ce prix est 1 365,73

est 8. Par suite, l’arrondi au centième de 1 365,728 est 1 365,73.


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Séquence 4

Séance 8 Exercice 52 • Lorsque tu tapes dans la cellule A1 : Prix d’un mètre de tissu en euros : puis appuies sur la touche Entrée. tu obtiens :

• Lorsque tu tapes dans la cellule A3 : Prix total en euros : puis appuies sur la touche Entrée. tu obtiens :

Tu remarques qu’une partie du texte que tu viens de taper déborde dans les colonnes B et C. Afin qu’il n’en soit plus ainsi, place le pointeur de la souris sur le trait de séparation des colonnes A et B, dans la partie grisée. Lorsqu’il apparaît :

double-clique.

La largeur de la colonne A s’ajuste au plus long texte qui y est tapé. Exercice 53 2) Le prix en euros du tissu est : 4 x 2 = 8 3) c’est-à-dire de multiplier le nombre qui est dans la cellule B1 par celui qui se trouve dans la cellule B2. b) Je remarque qu’il s’affiche 52,5 dans la cellule B3 (soit le prix des 5,25 m de tissu à 10 € le mètre).

126

C’est là qu’un tableur a son avantage. Quand on tape un nouveau prix en B1 et une nouvelle longueur en B2, le prix est recalculé automatiquement.



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Séquence 4

Exercice 54 1) Remarque : Pour travailler sur une feuille vierge, clique sur cette icône

2) a) On obtient le total à payer en ajoutant au prix des kilomètres parcourus le prix de la location. Le prix des kilomètres parcourus s’obtient en multipliant le prix d’un kilomètre par le nombre de kilomètres parcourus. b) B6 = B3 * B4 + B1 c) Pour faire calculer par le tableur le total à payer : On met le curseur sur la cellule B6. On tape sur la touche = du clavier. On clique alors sur la cellule B3. On tape sur le symbole multiplié du clavier : *. On clique sur la cellule B4. On tape sur le signe +. On clique sur la cellule B1 et enfin on tape sur la touche Entrée. Il s’affiche 34 dans la cellule B6. 3) Distance parcourue (en km)

100

200

300

400

500

Total à payer (en €)

70

110

150

190

230

4) D’après le tableau du 3-, le nombre de kilomètres cherché est compris entre 400 et 500. D’après le tableur, le total à payer correspondant à une distance de 450 km est 210 €. Le nombre de kilomètres cherché est compris entre 400 et 450.

On peut procéder de différentes façons. La suivante est rapide. Plaçons 200 € dans le tableau du 3- : distance parcourue (en km)

400

……

500

total à payer (en €)

190

200

230

D’après le tableur, le total à payer correspondant à une distance de 425 km est 200 €.

« À mi-chemin » entre 400 et 500 se trouve 450.

Ainsi, le nombre de kilomètres que ne devront pas dépasser Monsieur et Madame Saroume est 425 km.

Comparons le nombre de kilomètres cherché à 450. On a : distance parcourue (en km)

400

……

450

total à payer (en €)

190

200

210

« À mi-chemin » entre 400 et 450 se trouve 425. Comparons le nombre de kilomètres cherché à 425.


127

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Séquence 4

Séance 9 Exercice 55 Le prix en euros des 19 gommes est : 0,97 x 19 Or lorsqu’on multiplie un nombre par un autre plus petit que 1, le résultat est inférieur au nombre initial. Donc : 0,97 x 19 < 19 L’instituteur pourra payer avec un billet de 20 €. Exercice 56 Le prix en euros du câble est : 11,80 x 4,95 Mentalement, on pouvait voir qu’il y avait une erreur dans le prix qu’annonçait la marchande. En effet :

Le prix du câble s’obtient en multipliant le prix d’un mètre par le nombre de mètres achetés.

11,80 < 12 et 4,95 < 5 Par suite, le prix en euros du câble est inférieur à 12 x 5, c’està-dire à 60. Exercice 57 1 609 m = 1,609 km donc 1 mile = 1,609 km La distance en km qui sépare la maison de Madame Smith de l’école est 0,85 x 1,609 soit environ 1,368 km.

Exercice 58 Le nombre de packs d’eau contenus dans les 24 cartons est : 24 x 12 = 288

On fait une multiplication. C’est l’opération que tu aurais faite si la distance entre l’école et la maison de Madame Smith avait été de 2 ou 3 miles. 1 L d’eau pèse 1 kg. Par suite, si nous déterminons le nombre total de litres contenus dans 24 cartons, nous en déduisons le «poids» total de l’eau contenue dans ces cartons.

Le nombre de litres d’eau contenus dans un pack est : 1,5 x 6 = 9 Pour déterminer ce nombre de litres, on Le nombre total de litres d’eau contenus dans les 24 cartons est : 9 x 288 = 2 592 1 L d’eau pèse 1 kg, donc 2 592 L d’eau pèsent 2 592 kg. Le chargement de la camionnette ne doit pas dépasser 2 500 kg. On ne peut donc pas mettre dans la camionnette 24 cartons contenant chacun 12 packs d’eau minérale.

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pouvait également utiliser la méthode suivante : Le nombre de bouteilles contenues dans les 24 cartons est : 24 x 12 x 6 = 1 728 Le nombre total de litres d’eau contenus dans les 24 cartons est : 1,5 x 1 728 = 2 592



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Séquence 4

Exercice Test 1) Pose l’équation : 469 x 78. Tu trouves : ® 36 672 ˝ 36 582 ® 7 035 ® 36 772 2) 0,81 x 10 est égal à : ® 0,810 ® 81 ® 0,081 ˝ 8,1 3) Le double de 0,67 est : ® 1,24 ® 6,7 ® 0,134 ˝ 1,34 4) Pose l’opération : 19,4 x 50,8. Tu trouves : ® 752,48 ˝ 985,52 ® 1 001,52 ® 985,55 5) 3,150 kg de saumon coûtent 69,30 €. Combien coûtent 315 kg de saumon ? ˝ 6 930 € ® 693 € ® 69,30 € ® 6,930 € 6) 75,248 x 0,1 est égal à : ® 752,48 ˝ 7,524 8 ® 0,752 48 ® 75,248 7) 94,21 x 0,001 est égal à : ® 94 210 ® 0,009 421 ˝ 0,094 21 ® 0,000 942 1 8) 0,8 x 1,25 est égal à : ® 0,001 ˝1 ® 10 ® 0,000 1 9) Le produit 295,4 x 32,81 est proche de ® 6 000 ˝ 9 000 ® 12 000 ® 15 000 10) Un seul de ces nombres est égal à 12,6 x 27,3. Mentalement, on voit qu’il s’agit de : ® 3 439,8 ® 343,86 ˝ 343,98 ® 34,98

1) 469 x 78 3752 3283 . 36582 2) (Pour multiplier un décimal par 10 on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite)

3) Le double de 0,67 est 2 x 0,67

4) 19,4 x 50,8 155,2 970 ., . fl Attention ! Il ne faut pas oublier 985,5,2 de décaler d’un rang de plus vers la gauche, vu le zéro de 50,8 5) 315 = 3,15 x 100 Par suite, 315 kg de saumon coûtent 100 fois plus cher que 3,15 kg. Ils coûtent donc en euros 69,30 x 100 soit 6 930. 6) Pour multiplier un décimal par 0,1 on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche.

7) Pour multiplier un décimal par 0,001 on déplace sa virgule de 3 rangs vers la gauche. 0094,21 8) On déduit le résultat de l’égalité : 8 x 125 = 1 000 9) 295,4 est proche de 300, 32,81 est proche de 30, donc 295,4 x 32,81 est proche de 300 x 30 soit de 9 000. 10) Le nombre 12,6 est proche de 10, 27,3 est proche de 30, donc 12,6 x 27,3 est proche de 10 x 30 soit de 300. La bonne réponse est donc : • soit 343,86 • soit 343,98 Comme : 6 x 3 = 18, le deuxième chiffre après la virgule de 12,6 x 27,3 est 8. La bonne réponse est donc 343,98.


129

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c c

Séquence 5





1) Si l’on plie le long de la droite (d), les deux poissons se superposent exactement. Ils sont donc symétriques.

1) a) oui 2) b) non

2) Il y a un petit détail qui fait que les deux requins ne sont pas symétriques : les yeux ! (le requin du dessous n’a pas d’oeil).

3) a) oui

3) Voici en rouge le seul axe de symétrie de notre petite fourmi :

4) b) non

4) On aura beau plier la feuille dans tous les sens, jamais deux parties du trombone ne coïncideront exactement.

130



c

Séquence 5

Exercice 1 cas 1

Les deux tracés se superposent exactement. cas 2

Les deux tracés ne se se superposent pas exactement. cas 3

Expliquons en détail « la technique du calque » dans le cas 1 : On pose une feuille de papier calque sur la figure. On reproduit par transparence les deux poissons et la droite bleue.

On plie ensuite la feuille le long de la droite bleue. On regarde ensuite si les deux poissons se superposent exactement.

Dans le cas 1, les deux poissons se superposent. Dans le cas 2, les deux figures ne se superposent pas exactement. Dans le cas 3, les deux figures se superposent.

Les deux tracés se superposent exactement. Dans les cas 1 et 3, les figures se superposent exactement lorsqu’on plie le long de la droite bleue.

Dans le cas 1, on dit que les deux poissons sont symétriques par rapport à la droite bleue.

Dans le cas 2, les deux figures ne se superposent pas exactement.

On dit aussi que le poisson « de gauche » est le symétrique du poisson « de droite ».


131

c

c c

Séquence 5

Exercice 2

(d)

Cette méthode nous permet d’obtenir le symétrique du bateau à l’aide d’un papier calque. Le bateau obtenu est en quelque sorte le reflet dans un miroir du premier bateau, le miroir se situant le long de la droite (d).

Jade, Méline et Jules ont tous les trois raison.

En effet, tu as vu dans le corrigé de l’exercice 1 que ces trois phrases avaient la même signification.

Exercice 4

a)

Exercice 3

a) non

Les figures ne sont pas symétriques à cause d’un « coin » de la figure. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques.

(d)

b) oui

c)

c) non

(d)

d)

d) non

(d)

132

Les figures ne sont pas symétriques : la figure du dessous est trop grande. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques. Les figures ne sont pas symétriques : sur la figure du dessous le texte n’est pas représenté. Grâce à la modification représentée en rouge, les deux figures sont symétriques.



c

Séquence 5

a) Pour construire le symétrique de la figure, on utilise le quadrillage. On commence par « repérer » un point. Il suffit alors de compter et de reporter le même nombre de carreaux de l’autre côté de la droite. On fait de même pour un deuxième point. Il suffit alors de relier les deux points obtenus pour obtenir « le début » de la figure symétrique.

Exercice 5

a)

b)

(d2 )

On continue ainsi pour chaque petit segment. On obtient alors le contour de la figure.

(d1 )

Il ne reste plus alors qu’à la colorier.

c)

b) On applique la même méthode que celle utilisée dans le a), mais cette fois l’axe n’est pas vertical mais horizontal.

d) (d3 )

c) On utilise également le quadrillage. On compte cette fois le nombre de diagonales de carreaux.

(d4 )

(d3 )

e)

f)

d) On applique la même méthode que dans le c).

(d5 )

e) f) On applique toujours la même méthode. La difficulté nouvelle dans ces deux derniers cas provient du fait que la figure et son symétrique « se mélangent ». Pour plus de lisibilité, on n’a pas colorié le symétrique (d6 )


133

c

c c

Séquence 5

Exercice 6

(d )

Le symétrique de la figure se superpose exactement à elle-même.

Exercice 7

On dit dans ce cas que la droite (d) est un axe de symétrie de la figure.

(d)

Jules a raison, Jade et Méline ont tort. On voit bien que cette figure n’est pas symétrique par rapport à la droite (d). Par conséquent, la droite (d) n’est pas un axe de symétrie de cette figure.

134



c c

Séquence 5



Exercice 8

Tu viens dans cet exercice de découvrir ce qu’est le symétrique d’un point par rapport à une droite.

(d) A'

A

Ici, par exemple, A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) : c’est le point qui se superpose à A par pliage de la feuille le long de la droite (d).

B'

B C

C'

Il en est de même pour B’ qui est le symétrique de B par rapport à la droite (d) et de C’ qui est le symétrique de C par rapport à la droite (d).

Exercice 9 1)

Pour construire le symétrique d’un point à l’aide d’un quadrillage, il suffit de « compter les carreaux » :

(d) A

A' B'

(d)

B

C

A

C' D

5 carreaux B

D'

A'

5 carreaux B'

C E

C'

E'

D

2) Le symétrique E’ du point E par rapport à la droite (d) est E. De façon générale, chaque point situé sur la droite (d) est son propre symétrique.

D'

E E' On dit qu’un point est son propre symétrique lorsque ce point et son symétrique sont D confondus (c’est-à-dire qu’ils sont « exactement au même endroit F' E G' »).

Exercice 10 1)

D E

F'

G'

C

(d) C'

B

is fo nale 1,5 ago di

F B'

A'

G D'

C'

E' F

G D'

A'

2) Le symétrique du point D est G. Le symétrique du point G est D.


(d)

B'

la is fo nale 1,5 ago di la

A

E' A

Ici, pour construire le symétrique d’un point à l’aide d’un quadrillage, il suffit de « compter les diagonales de carreaux » : B

C

135

c c

Séquence 5

Exercice 11

a)

1) Le segment [AA’] et la droite (d) semblent perpendiculaires.

(d)

A

Le segment [BB’] et la droite (d) semblent également perpendiculaires.

On place l’équerre de la façon suivante pour tester si les droites (AA’) et (d) semblent perpendiculaires.

B A'

2) D’après la figure, il semble que : AE = EA’ et que BF = FB’. 3) La droite (d) semble être la médiatrice des segments [AA’] et [BB’].

B'

On fait de même pour (BB’) et (d).

(d)

A

On vérifie avec le compas que AE et EA’ semblent égales de la façon suivante.

B A'

B'

On fait de même pour BF et FB’.

Exercice 12 On applique la méthode vue précédemment. On utilise l’équerre et le compas.

A

Pour construire le point A’ : • On trace la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A.

(d)

B

• On prend le compas et on reporte la distance AI à partir du point I comme cidessous.

C‘

A

(d) I

B‘ C

136

A‘

A‘



c

Séquence 5

Exercice 13

(d2 ) A

On utilise à nouveau la méthode vue précédemment.

(d1 )

c

Il fallait faire attention à bien lire la consigne : A’ est le symétrique de A par rapport à la droite (d1). Il faut donc tracer la perpendiculaire à la droite (d1) passant par A puis prendre son compas.

B' A'

Il fallait ensuite construire B’, le symétrique du point B par rapport à la droite (d2 ).

B Exercice 14

B'

C'

A K

I

C B

J AJ = JA’ BI = IB’ CK = KC’

On applique à nouveau la même méthode C' pour obtenir les points A’, B’ et C’. Pourquoi n’a-t-on pas codé sur la figure les égalités de longueurs ? la réponse est simple, étudions un exemple B ci-contre. On a voulu coder l’égalité des deux longueurs AJ et JA’. Quelqu’un qui regarde la figure va certainement dire : d’après la figure on a HJ = JA’. Ce qui ici est faux.

B'

A I H

C J

A'

En fait, comme le segment [AJ] est coupé par au moins un autre segment, on ne peut pas coder l’égalité de longueur AJ = JA’. De fait, on ne peut coder aucune des trois égalités de longueur sur la figure. Par contre, on peut toujours écrire sous la figure les trois égalités.

A'


137

c c

Séquence 5

Séance 3



Exercice 15 1) 2) 3) Les points A’, B’, C’ et D’ semblent alignés.

(d)

On applique la méthode de construction du symétrique d’un point vue dans la séance précédente.

(∆) A

D'

On remarque ensuite que les symétriques des points de la droite (d) semblent alignés, c’està-dire semblent être sur une même droite.

B C'

A' (d')

B' I

Ce résultat est en fait toujours vrai. On admettra que le symétrique de la droite (d) est la droite (d’).

C D

Exercice 16

(∆) A

A' B

On peut te demander de tracer le symétrique d’une droite « quelconque » : pour cela, tu dois choisir deux points de cette droite et construire leurs symétriques.

B' (d')

138

(∆)

Pour construire le symétrique d’une droite, il suffit de tracer les symétriques de ses deux points : ici, on a tracé les symétriques A’ et B’ de A et de B. La droite symétrique de la droite (AB) est (A’B’).

(d)

Attention ! Il ne faut pas choisir les deux points aux extrémités du trait qui représente (d). Une droite est illimitée.



c

Séquence 5

Exercice 17 1)

(d)

(∆) (d')

On applique dans les 3 cas la méthode décrite dans l’exercice précédent.

2)

(d)

1) 2) Ce cas est particulier car les droites (d) et (D) sont perpendiculaires : dans ce cas, la droite (d) et son symétrique sont confondus. On dit que la droite (d) est son propre symétrique.

(d')

3) Ce cas est lui aussi particulier car les droites (d) et (D) sont parallèles. Dans ce cas, la droite (d’) semble parallèle à la droite (d).

3)

(d) (∆) (d')

Exercice 18

(∆)

(d)

A (d')

A ∈ (Δ) Nous savons que chacun des points de la droite (D) est son propre symétrique par rapport à la droite (D). Donc le symétrique de A par rapport à (D) est A lui-même. Il ne nous suffit donc plus que de connaître un point de la droite (d) et son symétrique pour pouvoir tracer la droite (d’).


139

c

c c

Séquence 5

Exercice 19

1)

1)

A

C

On construit à l’aide de l’équerre et du compas les points A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’.

G NFB E D

On trace ensuite la droite (A’B’). Cette droite passe par les points B’, C’, D’, E’, F’ et G’. On le savait car les point B, C, D, E, F et G sont sur la droite (d) et le symétrique d’une droite est une droite.

G' B' F' K E' D' A' C'

2) On remarque que parmi C, D, E, F et G, tous les point qui sont sur le segment [AB] ont pour symétrique un point du segment [A’B’].

2) C ∉ [AB]

C’ ∉ [A’B’]

D ∈ [AB]

D’ ∈ [A’B’]

E ∈ [AB]

E’ ∈ [A’B’]

F ∈ [AB]

F’ ∈ [A’B’]

G ∉ [AB]

G’ ∉ [A’B’]

De plus, les points qui ne sont pas sur [AB] ont pour symétrique un point qui n’est pas sur [A’B’]. 3) Il fallait écrire que ce que nous avons constaté ci-dessus pour les points A, D, E, F semblait vrai pour tout point du segment [AB].

3) Si un point M est sur le segment [AB], alors son symétrique M’ semble être sur le segment [A’B’]. 4) Le point N semble être sur le segment [AB]. Exercice 20 1)

E

4) Nous remarquons qu’inversement, le symétrique de tout point du segment [A’B’] semble être sur le segment [AB].

F' 1)

D A

(∆)

C B

F D'

E'

C' B'

Nous venons de voir que le symétrique d’un segment est un segment. Pour construire le symétrique de chacun des trois segments, il suffit de commencer par construire le symétrique de chacune de ses extrémités. 2) On remarque que les longueurs d’un segment et de son symétrique semblent être égales. Par la suite, nous admettrons que ceci est toujours vrai : un segment et son symétrique ont toujours la même longueur.

A' 2) Il semble que :

140

AB = A’B’

CD = C’D’ EF = E’F’.



c

Séquence 5

Exercice 21 Méline et Jules ont raison ; Jade a tort.

En mathématiques, si une propriété est dite vraie (par exemple :« deux segments de même longueur sont symétriques »), cela veut dire qu’elle est toujours vraie. Ici, lorsqu’on dit que cette propriété est fausse, on veut dire qu’elle n’est pas toujours vraie. Pour le démontrer, il suffit alors de trouver un exemple pour lequel la propriété n’est pas vérifiée (on appelle cela un contre-exemple). Voici un contre-exemple : B D A

[AB] et [CD] sont deux segments de même longueur. Supposons qu’ils soient symétriques par rapport à une droite (D). Nous cherchons où peut se trouver cette droite.

C

Le symétrique du point B est nécessairement une extrémité du segment [CD]. Il y a donc deux possibilités : D ou C. • Si le symétrique du point B était le point D : (∆) B D A

La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [BD]. On voit bien alors que le point C n’est pas le symétrique du point A. Le symétrique du point B n’est donc pas le point D.

C

• Si le symétrique du point B était le point C : B D A

(∆)

La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [BC]. On voit bien alors que le point D n’est pas le symétrique du point A. Le symétrique du point B n’est donc pas le point D.

C

Conclusion : les deux cas envisagés mènent à quelque chose d’impossible. Les segments [AB] et [CD] ne peuvent donc pas être symétriques par rapport à une droite.


141

c

c c

Séquence 5

Exercice 22 1) 2)

(∆) 1) On applique la méthode vue dans l’exercice 20 pour tracer le symétrique du segment [AB].

B I A

2) On construit le point I’ , symétrique du point I à l’aide de l’équerre et du compas.

B'

I'

A' 3)

3) a)

a)

On sait que :

I ∈ [AB]

D’après la propriété : Le symétrique du segment [AB] est le segment [A’B’]. On conclut :

I’ ∈ [A’B’]

On sait que le symétrique de tout point du segment [AB] est sur le segment [A’B’]. Comme I est sur [AB], le point I’ est donc sur le segment [A’B’].

b)

b)

Le symétrique du segment [AI] est [A’I’], donc : AI = A’I’.

Nous utilisons dans cette question la propriété suivante : « un segment et son symétrique ont la même longueur ».

Le symétrique du segment [IB] est [I’B’], donc : IB = I’B’. Or I est le milieu de [AB] donc : AI = IB. On a : AI = IB, AI = A’I’ et IB = I’B’ donc A’I’ = I’B’. Comme I’ ∈ [A’B’] et que A’I’ = I’B’, le point I’ est le milieu de [A’B’].

142



c

Séquence 5



Exercice 23

A'

On ne peut pas construire le point A car il « sort du petit bout de papier ».

B

On voit que l’on peut construire le symétrique du point B. On peut donc construire le segment [A’B’], qui est en fait le symétrique du segment [AB] que l’on ne peut pas construire. Comme ces deux segments ont la même longueur, il suffit donc de mesurer le segment [A’B’] pour trouver la mesure de [AB].

B' (d) On construit B’ le symétrique de B par rapport à (d). Le segment [AB] a pour symétrique par rapport à (d) le segment [A’B’]. Ce deux segments ont donc même longueur. On mesure le segment [A’B’]. [A’B’] mesure environ 4 cm donc [AB] mesure environ 4 cm. Exercice 24

E'

(∆)

(∆)

B

B'

E

D D'

A A' F'

C

C' F

(∆) K

N'

K' U' N E'

L M'

M

U

T'

O P

T S

Q

R

L'

P'

O' Q'

S' R'


143

c

c c

Séquence 5

Exercice 24 (suite)

(∆) Z'

X X' Z

Y

Y'

Exercice 25

y' (∆) x'

y

x B' A

B

A' Le symétrique d’une demi-droite est une demi-droite.

x

y

y'

x'

t

t'

s' B B'

C‘

C

s

Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.

144



c

Séquence 5

Exercice 26

1)

1) 4)

C

B C

On construit successivement les six points A’, B’, C’, D’, E’ et F’. On n’a pas mis tous les codages la figure pour ne pas nuire à la lisiblité.

A

O

2)

F

D

Les six points construits semblent tous être sur un même cercle.

E

3)

F'

E'

A' C

On utilise la propriété selon laquelle un segment et son symétrique ont la même longueur.

B'

4) On trace le cercle de centre O’ qui passe par A’ : il semble passer par B’, C’, D’, E’ et F’.

O'

D'

C'

5)

2) Les points A’, B’, C’, D’, E’ et F’ semblent appartenir à un même cercle.

Il semble donc que le symétrique d’un cercle soit un cercle de même rayon.

3) O’A’ = OA car les segments [OA] et [O’A’] sont symétriques.

Nous allons admettre par la suite que ce résultat est toujours vrai, c’est-à-dire que le symétrique d’un cercle par rapport à une droite est toujours un cercle de même rayon.

5) Conjecture : le symétrique du cercle C est le cercle C ’ de centre O’ et de même rayon.


145

c

c c

Séquence 5

Exercice 27 a)

b)

c)

d)

(∆)

Les remarques du professeur : Il fallait reconnaître dans les cas a), b) et d) des demi-cercles. On a appliqué une propriété qui paraît naturelle : le symétrique d’un demi-cercle est un demi-cercle.

146



c

Séquence 5



Exercice 28

Exercice 29

Nous venons donc de voir qu’un : - carré possède 4 axes de symétrie - rectangle possède 2 axes de symétrie - triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie.

Le cas du disque (le dernier cas) est en fait compliqué : toute droite passant par le centre de ce disque est un axe de symétrie. Il y en a donc une infinité.

Toute droite passant par le centre du disque est un axe de symétrie.


147

c

c c

Séquence 5

1)

Exercice 30 1) 4)

2)

A

(d)

Dans la séance 2, nous avons vu que dire que A et A’ étaient symétriques par rapport à la droite (d) revenait à dire que (d) était la médiatrice du segment [AA’]. 3)

A' 2) (d) est la médiatrice de [AA’] car A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d). 3) Les axes de symétrie du segment [AA’] sont la droite (d) et la droite (AA’).

Chaque point de l’axe de syméytrie est son propre symétrique. Par conséquent, par la symétrie axiale par rapport à la droite (AA’), tout point du segment [AA’] est son propre symétrique : le symétrique du segment [AA’] par rapport à la droite (AA’) est le segment [AA’] lui-même. La droite (AA’) est donc un axe de symétrie pour le segment [AA’]. 2) Il fallait se rappeler que tout point de la droite (d) est son propre symétrique par rapport à la droite (d).

Exercice 31 1)

I

(d)

3) B est le symétrique de A

B

I est le symétrique de lui-même

A

Le segment [BI] est donc le symétrique du segment [AI].

J

4) On utilise la propriété selon laquelle un segment et son symétrique ont la même longueur.

2) C’est lui-même car il est sur la droite (d).

3) C’est le segment [BI] car B est le symétrique de A et I est son 5) On effectue le même raisonnement que propre symétrique. dans le 3) avec le point J : 4) AI = BI car le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. 5) AJ = BJ car J est son propre symétrique, d’où [AJ] est le symétrique de [BJ]. 6) Tu viens de montrer que si M ∈ (d) alors :

MA = MB.

B est le symétrique de A J est le symétrique de lui-même Le segment [BJ] est donc le symétrique du segment [AJ]. Comme ces segments sont symétriques, ils ont donc même longueur. 6) On pourrait effectuer le même raisonnement que celui utilisé pour I et J avec tout point M de la médiatrice du segment [AB]. On a donc toujours : MA = MB.

148



c

Séquence 5

Exercice 32

1) À vue d’oeil, il semble que la droite (MN) soit la médiatrice du segment [AB]. On utilise l’équerre, et cette observation semble se confirmer. Toutefois, en l’absence de démonstration, on ne peut pas en être certain.

M O

2) Pour construire le point O, on utilise le compas : on trace un arc de cercle de centre A, puis avec le même écartement de compas un autre arc de cercle de centre B. Ces deux arcs de cercles se coupent en O. Ce point semble être sur la droite (MN).

B

A N

1) La droite (MN) semble être la médiatrice du segment [AB]. 2) Le point O semble être sur la droite (MN). 3) Conjecture : Si un point K est tel que KA = KB, alors K est sur la médiatrice du segment [AB]. Exercice 33

3) Ce qui semble être vrai pour le point O semble être vrai pour n’importe quel point M situé à la même distance de A et de B (on dit aussi équidistant de A et de B). En fait, on va admettre que ce résultat est toujours vrai, c’est-à-dire que tout point M équidistant de A et de B est sur la médiatrice du segment [AB]. Voici une figure afin de visualiser l’énoncé de l’exercice « trois points K, A et R sont tels que KA = KR ».

Jules et Méline ont raison. Jade a tort. Si trois points K, A et R sont tels que KA = KR, on sait d’après la propriété précédente que le point K peut être n’importe quel point de la médiatrice de [AR]. Jade a donc tort et Jules a raison.

K

Méline a raison car cela veut aussi dire que le triangle KAR est isocèle en K (par définition).

A

R

Exercice 34

(d')

(d'') D

A

B C

F (d)

E

Les remarques du professeur : Il suffit d’appliquer la méthode expliquée précédemment. N’oublie pas, une fois chaque construction réalisée, de nommer la médiatrice et de coder la figure. N’oublie pas également que tu devras à partir de maintenant ne plus utiliser que cette méthode pour construire la médiatrice d’un segment : c’est la plus fiable et la plus précise.


149

c

c c

Séquence 5

Exercice 35 1) 2)

1) 2) On utilise la construction de la médiatrice au compas vue précédemment.

I

A

(d)

B

C (d') 3) a)

3) a)

b)

Tout point de la médiatrice du segment [AB] est équidistant de A et de B. I est sur cette médiatrice donc : IA = IB.

On sait que : la droite (d’) est la médiatrice du segment [BC].

b)

On sait que : la droite (d) est la médiatrice du segment [AB]. Comme le point I est sur (d), on a : IA = IB.

Comme le point I est sur (d’), on a : IB = IC. c) Le cercle de centre I passant par A semble passer également par B et C. Comme IA = IB = IC (d’après les questions a) et b)), les points A, B et C sont sur le cercle de centre I et de rayon IA, c’est-àdire le cercle de centre I passant par A.

I est également sur la médiatrice du segment [BC], d’où par un même raisonnement : IB = IC. c) Comme IA = IB et IB = IC, on a : IA = IB = IC. Les trois points A, B et C sont donc à la même distance du point I, c’est-à-dire sur un même cercle de centre I, qui passe donc par A, B et C.

150



c

Séquence 5



Exercice 36

X2 E

1) L’ensemble des points équidistants de E et de F est la médiatrice du segment [EF].

B

X1

2) L’ensemble des points situés à 2,5 cm du point B est le cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.

F 1) X est équidistant de E et de F donc X se trouve sur la médiatrice du segment [EF]. 2) X est à 2,5 cm de B donc X se trouve sur le cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.

3) Les points qui sont à la fois équidistants de E et de F et situés à 2,5 cm de B sont donc les points d’intersection de la droite et du cercle tracés précédemment.

3) Il y a deux solutions au problème : X1 et X2. Ce sont les deux points d’intersection de la médiatrice du segment [EF] et du cercle de centre B et de rayon 2,5 cm. Exercice 37

M

K

L

I

C © Cned, Mathématiques 6e, 2008 — © Cned – Académie en ligne

151

c

c c

Séquence 5

1) K et L sont situés sur le même cercle de centre I donc on a : IK = IL. 2) Le triangle KLM est isocèle en M donc MK = ML. 3) Comme les longueurs IK et IL sont égales, le point I est donc sur la médiatrice du segment [KL]. Comme les longueurs MK et ML sont égales, le point M est donc sur la médiatrice du segment [KL]. La droite (IM) est donc la médiatrice du segment [KL].

1) On utilise dans cette première question la définition du cercle de centre I. C’est l’ensemble de tous les points situés à une même distance de I. Comme K et L sont deux points de ce cercle, on a donc IK = IL. 2) On utilise ici la définition d’un triangle isocèle en M. 3) On applique la propriété caractéristique de la médiatrice vue dans la séance précédente. Comme les points I et M sont sur la médiatrice du segment [KL], la droite (IM) est donc nécessairement cette médiatrice. Code-le sur la figure du corrigé ci-contre. Remarque : Pour prouver qu’une droite (IM) est la médiatrice d’un segment [KL], il suffit de prouver que I et M sont deux points de cette médiatrice, c’est-à-dire que I et M sont équidistants de K et de L.

Exercice 38 1) 2)

A

I

B 1) 2) 3) Par définition, la médiatrice d’un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Si l’on construit la médiatrice d’un segment, on construit alors automatiquement le milieu de ce segment : c’est le point d’intersection de ce segment et de sa médiatrice. Ceci constitue donc une méthode géométrique permettant de construire le milieu de n’importe quel segment.

C J D

Dorénavant, tu devras toujours utiliser cette méthode lorsqu’on te demandera de construire le milieu d’un segment.

3) Pour construire le milieu J du segment [CD] à l’aide du compas : • On trace la médiatrice du segment [CD] à l’aide du compas. • Cette médiatrice coupe le segment [CD] en J.

152



c

Séquence 5

Exercice 39 1) 2)

E

1) 2)

On applique la méthode vue précédemment pour construire le milieu du segment [EF], puis le milieu du segment [EG].

I

J

3) En fait, la droite (IJ) est parallèle à la droite (FG), et cela est vrai pour n’importe quel triangle ! (tu apprendras cela en 4e).

F G 3) La droite (IJ) semble parallèle à la droite (FG). Exercice 40 1)

1) Nous avons placé « au hasard » les points E et F sur la droite (d).

C’

(d)

A F

2) Nous avons déjà vu plusieurs fois (c’est un résultat que tu dois connaître) que : « A et A’ symétriques par rapport à la droite (d) » revient à dire que « la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’] ». 3) 4) Nous savons également que tout point de la médiatrice du segment [AA’] est équidistant de A et de A’. Comme E et F sont sur cette médiatrice, on doit avoir :

E A' C 2) A et A’ doivent être symétriques par rapport à la droite (d). (d) est donc la médiatrice du segment [AA’]. 3) E est donc sur la médiatrice du segment [AA’]. On a donc EA = EA’ . Trace le cercle C de centre E et de rayon EA. On a : A’ ∈ C . 4) F est sur la médiatrice du segment [AA’]. On a donc FA = FA’. Trace le cercle C ’ de centre F et de rayon FA.

EA = EA’ et FA = FA’. Comme EA = EA’, le point A’ est donc sur le cercle de centre E et de rayon EA. On trace donc ce cercle. Comme FA = FA’, le point A’ est donc sur le cercle de centre F et de rayon FA. On trace donc ce deuxième cercle. Le point A’ est donc le deuxième point d’intersection des deux cercles tracés. Ceci constitue donc une méthode pour tracer le symétrique d’un point uniquement au compas, car pour construire le point A’, nous n’avons utilisé que le compas (et même pas la règle non graduée !).

On a : A’ ∈ C ’. 5) Comme A ∈ C et A’ ∈ C ’, A’ est le deuxième point d’intersection de C et C ’.


153

c

c c

Séquence 5

Exercice 41

1) On utilise la méthode précédente pour construire dans un premier temps le point B.

1)

A

A

B

B

E

(d2)

(d2) D

C

(d1)

On construit ensuite de la même façon les points C, D et E.

(d1) 2) Jade semble avoir raison. Méline semble avoir tort. Jules a tort. Il ignore qu’on peut toujours tracer le symétrique d’un point par rapport à une droite.

2) Les points A et E semblent effectivement confondus. En fait, c’est difficile à démontrer, mais on pourrait démontrer qu’ils le sont effectivement.

Exercice 42 1) a) D’après les codages de la figure, la droite (d) est perpendiculaire au segment [AC] et passe par son milieu, c’est donc sa médiatrice. Comme I est sur cette médiatrice, on a donc :

C

b) D’après les codages de la figure, la droite (d’) est perpendiculaire au segment [BC] et passe par son milieu, c’est donc sa médiatrice. Comme I est également sur cette médiatrice, on a donc : IB = IC. c) D’après le 1- a) et le 1- b) on a : IA = IC et IB = IC. On a donc : IA = IB.

(d')

(d)

IA = IC.

I B

A J

2) J est sur la médiatrice du segment [AD] donc JA = JD.

D

J est également sur la médiatrice du segment [BD] donc JB = JD. Comme JA = JD et JB = JD, on a : JA = JB. 3) Comme IA = IB, I est sur la médiatrice du segment [AB]. Comme JA = JB, J est sur la médiatrice du segment [AB].

Dans ce type d’exercice, pense à écrire des phrases courtes et précises.

Les points I et J sont donc tous les deux sur la médiatrice du segment [AB], la droite (IJ) est donc la médiatrice du segment [AB]. La droite (IJ) est perpendiculaire à [AB].

154



c

Séquence 5



Exercice 43

A

F

G D

C H 0 axe

B

1 axe

J

E

I 1 axe

M

K

0 axe

L

3 axes

N Exercice 44

A

O Le triangle ABC est isoclèle en A, on code donc sur la figure l’égalité de longueurs AB = AC.

(d)

1) La droite (d) semble passer exactement par le point A. Pour en être sûr, nous allons le démontrer dans la réponse suivante. 2)

B

I

3) On utilise la propriété suivante : si un point A est équidistant de deux points B et C, alors il est sur la médiatrice du segment [BC].

C

1) Elle semble passer par le point A. 2) AB = AC car le triangle ABC est isocèle en A. 3) Comme AB = AC, le point A est sur la médiatrice du segment [BC] donc sur la droite (d). 4) • Le symétrique de B par rapport à la droite (d) est C. • Le symétrique de A par rapport à la droite (d) est lui-même . • Le symétrique de I par rapport à la droite (d) est lui-même . ∑ est donc l’angle CAI ∑. Le symétrique de l’angle BAI Comme un angle et son symétrique ont la même mesure, ∑ = CAI ∑ . Par suite, (d) est la bissectrice de ∑ BAC . on a : BAI ∑ ∑ 5) De même, le symétrique de l’angle ABC est l’angle ACB . Comme un angle et son symétrique ont la même mesure, on a : ∑ ABC = ∑ ACB .

4) Comme (d) est la médiatrice du segment [BC], le point B a pour symétrique le point C. On sait que tout point de (d) est son propre symétrique par rapport à la droite (d). C’est donc le cas pour le point A et le point I. Connaissant les symétriques respectifs des points B, A et I, nous connaissons donc l’angle ∑. symétrique de l’angle BAI 5) On effectue le même raisonnement que dans la question précédente.

Nous venons donc de démontrer dans cet exercice que dans un triangle isocèle, la médiatrice d’un des côtés est axe de symétrie du triangle.


155

c

c c

Séquence 5

Pour tracer la figure, on commence par tracer

Exercice 45

un cercle C de centre O et de rayon 4 cm puis on place un point A « au hasard » sur ce cercle.

B

A

On utilise ensuite le rapporteur pour placer un AOB = 40° . point B tel que ∑

40˚ C

m

4c

90 0 9

O B 40° m

4c

A

A

C

O

1) A et B sont deux points du cercle C de centre O, donc OA = OB. Comme OA = OB, le triangle OAB est isocèle en O. 2) Comme le triangle OAB est isocèle en O, on a :

∑ = OBA ∑ . Comme OAB ∑ = 40° , on a : OBA ∑ = 40° . OAB Exercice 46

1) 2) La construction n’est pas immédiate : dans un premier temps, on peut commencer par tracer le côté [BC] de 5,2 cm. On sait ensuite que le point A est B nécessairement sur la médiatrice du segment [BC]. Traçons donc (d) la médiatrice du segment [BC]. Nous savons que le point A est tel que :

1) A

B

52°

5,2 cm Méline a raison, Jade et Jules ont tort. 2)

1) On applique ici la définition du triangle isocèle. 2) On applique la propriété vue précédemment : si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux. Comme on connaît la mesure d’un angle à la base, on va ainsi connaître la mesure de l’autre.

C

(d) A

(d)

C

(d) x A

∑ ABC = 52° .

B

156

52° C

On prend donc un rapporteur et on trace une demi-droite B [Bx) telle que : ∑ CBx = 52° . Le point A est le point d’intersection de la droite (d) et de la demi-droite [Bx).

52° C



c

Séquence 5

Exercice 47

On n’avait « pas le droit » de tracer le sommet A puis de tracer la bissectrice. Il fallait donc réfléchir et penser à la propriété suivante : dans un triangle ABC isocèle en ∑ est aussi la A, la bissectrice de l’angle BAC médiatrice du côté [BC].

B

C

On trace donc à l’aide d’un compas la médiatrice du côté [BC], on obtient alors la droite recherchée.

(d) Exercice 48

1) Nous avons déja vu dans la séquence 3 comment construire cette figure.

1) y

F x

Il suffit de tracer un segment [DE] de 4,6 cm, puis, à l’aide du rapporteur et de la règle, de tracer deux demi-droites [Dx) et [Ey) telles ∑ et ∑ yED mesurent 54°. que les angles xDE 2) Il semble, en regardant la figure, que le triangle FDE est isocèle en F.

D

54˚

54˚ 4,6 cm

E

2) Jules semble avoir raison. Méline et Jade ont tort. Exercice 49 Le point B est sur le segment [AC], on a donc :

∑ = 180° − 140° = 40° ABC ∑ : Je calcule EBC

∑ ∑ ABC = ∑ ABE + EBC ∑ 180° = 140° + EBC ∑ = 180° − 140° = 40° EBC

∑ ∑ BCE ont la même mesure : 40°. Les deux angles EBCet Le triangle EBC possède donc deux angles égaux, il est donc isocèle en E.

En fait, nous allons par la suite admettre que lorsqu’un triangle possède deux angles de même mesure, alors ce triangle est isocèle. Nous devons démontrer que le triangle EBC est isocèle. Nous connaissons deux méthodes pour démontrer qu’un triangle est isocèle : • soit on démontre que deux de ses côtés ont même longueur. • soit on démontre que deux de ses angles ont même mesure (d’après la propriété que nous avons vue précédemment). Ici, nous n’avons aucune information concernant les longueurs, nous allons donc utiliser la deuxième méthode. Pour cela, on peut utiliser la donnée : « B est sur le segment [AC]» pour déterminer l’angle ∑ ∑ = . 40° ABC puis en déduire l’angle EBC ∑ = 40° soit EBC ∑ = ECB ∑ On trouve alors : EBC Le triangle EBC est donc isocèle en E. E

140° A

B

40°

40° C

N’oublie pas que pour rédiger ce type de démonstration, il faut faire des phrases claires et courtes !


157

c

c c

Séquence 5

Séance 8



Exercice 50

1) 2) On applique bien la consigne : on reproduit l’angle par transparence puis on plie le papier calque de telle sorte que les deux demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident exactement. On déplie le calque et on trace le « trait de pliage ».

x

3) Ce trait de pliage, qui est en fait l’axe de symétrie de cet angle, semble être sa bissectrice.

y O 1) 2) 3) Le « trait de pliage » passe par le point O et partage l’angle ∑ en deux angles de même mesure. Ce «trait de pliage» xOy ∑ . représente donc la bissectrice de l’angle xOy

Par la suite, nous admettrons le résultat que nous avons remarqué par l’expérience, à savoir qu’un angle a un seul axe de symétrie : sa bissectrice. Notons bien que nous appelons bissectrice une droite et non une demi-droite comme on l’a vu dans la séquence 3. 1) On place un point « au hasard » sur la demi-droite [Ox). On prend ensuite la longueur OA comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre O qui coupe la demi-droite [Oy) en B. On a ainsi OA = OB.

Exercice 51 1)

x

x

A A

O

O B y

B y 2) On a OA = OB, le triangle OAB est donc isocèle en O. 3) La médiatrice du côté [AB] du triangle OAB isocèle en O est

AOB également la bissectrice de l’angle ∑

2) 3) On applique la propriété vue dans la séance précédente : « dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est la bissectrice de l’angle au sommet ». Nous venons de découvrir une méthode permettant de tracer la bissectrice d’un angle sans utiliser de rapporteur !

Exercice 52

t

x

D

A

E

B y

s

C

Les remarques du professeur : On applique la méthode vue précédemment.

158



c

Séquence 5

Exercice 53 1) 2)

(d2)

G (d3)

F

E 3) Les trois bissectrices semblent être concourantes.

(d1)

Les remarques du professeur : On a appliqué la méthode vue précédemment pour tracer chacune des trois bissectrices. Tu reverras en classe de quatrième que les trois bissectrices d’un triangle sont toujours concourantes (On rappelle que des droites concourantes sont des droites qui se coupent en un même point).


159

c

c c

Séquence 5



Exercice 54 1) 2)

B

1

2

3

A

A

A

C

B

C

B

C

ACB. Trace sur la figure 1) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en A. Par suite : ∑ ABC = ∑ 1 l’axe de symétrie passant par A en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ∑. BAC ∑ = BAC ∑ . Trace sur la figure 2) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en B. Par suite : BCA 2 l’axe de symétrie passant par B en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle ∑ ABC . 3) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l’axe de symétrie passant ∑. par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle BCA

∑ . Par conséquent : ∑ ∑. ACB et ∑ ACB = BAC ACB = BAC 4) D’après le 1) et le 2), on a : ∑ ABC = ∑ ABC = ∑

∑, ∑ ACB du triangle équilatéral ont même mesure. Les angles BAC ABC et ∑

Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles égaux chacun des trois angles. Les six angles codés dans les figures 1, 2 et 3 ont tous la même mesure. 5)

A

B

160

C



c

Séquence 5

Exercice 55 1) 2) 3)

2) On trace à l’aide d’un compas et d’une règle la médiatrice du segment [EF].

M

3) Le point M doit être à la fois sur la droite (d) et vérifier l’égalité EM = EF. • Vérifier l’égalité EM = EF signifie être à une distance EF du point E, c’est-à-dire être sur le cercle de centre E et de rayon EF. On trace ce cercle. • Le point M doit être à la fois sur la droite (d) et sur ce cercle, c’est donc un des deux points d’intersection (on a le choix !) du cercle et de la droite (d).

E

O

F

(d)

EM = EF

4)

Nous essayons donc de démontrer que le triangle EFM est équilatéral. Nous pourrons ensuite en déduire que ses trois angles ont la même mesure. Pour cela, étudions les longueurs de ses côtés :

Le point M est sur la médiatrice du segment [EF] donc on a : ME = MF. Le point M est tel que EM = EF. On a donc :

4) On veut démontrer que les trois angles d’un triangle ont la même mesure. On pense alors à utiliser la propriété : « si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles ont la même mesure ».

ME = EF = MF.

On a : ME = MF car le point M est sur la médiatrice du segment [EF]. On sait que EM = EF.

Le triangle EMF est donc équilatéral.

On a donc ME = MF = EF.

Les trois angles d’un triangle équilatéral ont même mesure.

Le triangle EMF est donc équilatéral et ses trois angles ont donc la même mesure.

On a donc :

∑ ∑ = EMF ∑ MEF = MFE


161

c

c c

Séquence 5

Exercice Je m’évalue

(d)

1) Les deux figures ci-dessous semblent-elles symétriques par rapport à la droite (d) ?

1) Effectivement, les deux symboles euros semblent symétriques par rapport à la droite (d). Si tu n’as pas bien répondu, reporte-toi à l’exercice 1 de la séance 1 et à son corrigé pour reprendre la notion que tu n’as pas comprise.

˝ oui ® non 2) Les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite (d) ?

(d)

2) On voit bien que si on devait plier cette feuille le long de la droite (d), les deux symboles ne coïncideraient pas. Si tu n’as pas bien répondu, reporte-toi à l’exercice 1 de la séance 1 et à son corrigé.

® oui ˝ non 3) Dire que B’ est le symétrique de B par rapport à la droite (d) revient à dire que : ˝ B et B’ sont symétriques par rapport à la droite (d) ˝ (d) est la médiatrice du segment [BB’] ® B et B’ sont sur la droite (d) ˝ B est le symétrique de B’ par rapport à la droite (d) 4) Le symétrique d’un angle est : ˝ un angle ® un triangle ® un angle de mesure différente ˝ un angle de même mesure 5) Combien la figure ci-dessous a-t-elle d’axes de symétrie ?

˝6 ® 12 ®4 ® aucun

3) Seule la troisième réponse est fausse. Nous avons le symétrique d’un point dans la séance 2 (en particulier dans le « Je retiens »). Si tu n’as pas bien répondu, révise cette séance.

4) Le symétrique d’un angle est un angle. On sait de plus que c’est un angle de même mesure. Ce n’est pas un triangle car les deux côtés d’un angle sont des demi-droites (et non des segments). Si tu n’as pas bien répondu, reporte-toi à la deuxième question de l’exercice 25 de la séance 4 et au « Je retiens » qui suit. 5) La figure possède 6 axes de symétrie. Il fallait faire attention à ne pas en oublier et à ne pas compter plusieurs fois le même. Si tu ne comprends pas bien cette réponse, reporte-toi au début de la séance 5, en particulier aux exercices 28 et 29 ainsi qu’à leurs corrigés. 2

1

3 4 5

6) Le point M est sur la médiatrice du segment [KL], on a donc : ® KM = KL ˝ KM = ML ˝ MK = ML ® LM = KL

162

6

6) Les deux égalités KM = ML et MK = ML sont en fait les mêmes puisque la longueur KM est la longueur MK. Les deux autres propositions sont fausses : KM et LM peuvent être beaucoup plus grandes que KL si l’on choisit un point M sur la médiatrice du segment [KL] très très loin de K et de L.



c

Séquence 5

7) On a LH = LR. Le point L est donc : ® sur le segment [HR] ® sur le cercle de centre H passant par R ® sur le cercle de centre R passant par H ˝ sur la médiatrice du segment [HR] 8) L’axe de symétrie d’un triangle FJI isocèle en F est : ∑ ® la bissectrice de l’angle FIJ ∑ ® la bissectrice de l’angle FJI ˝ la médiatrice du segment [IJ] ∑ ˝ la bissectrice de l’angle IFJ 9) Le triangle HER possède deux angles égaux. Ce triangle est donc : ® rectangle en H ® rectangle isocèle ® équilatéral ˝ isocèle 10) Un angle admet un axe de symétrie qui est : ® parallèle à un de ses côtés ® perpendiculaire à un de ses côtés ˝ sa bissectrice ® confondu avec un de ses côtés

7) Si tu n’as pas bien compris cette question, reporte-toi à l’exercice 32 de la séance 5 ainsi qu’au « Je retiens » qui suit. Une seule des quatre propositions est juste. Si tu n’as pas bien répondu, révise le «Je retiens» qui suit l’exercice 31.

8) Il ne fallait pas oublier la troisième proposition car dans un triangle isocèle, la bissectrice de l’angle du sommet principal est également la médiatrice de la base. Si tu n’as pas bien compris cette question, reporte-toi à l’exercice 44 de la séance 7 ainsi qu’à son corrigé et au « Je retiens » qui le suit. 9) C’est une propriété que l’on a admise et qu’il faut connaître. Si tu rencontres des difficultés sur cette question, reporte-toi aux exercices 48 et 49, à leurs corrigés, et au « Je retiens » qui se trouve entre ces deux exercices. 10) Cette notion a été abordée dans l’exercice 50 de la séance 8 et dans le « Je retiens » qui suit.


163

c

c c

Séquence 6





1) Hugo veut partager équitablement ses 25 billes en quatre. Il effectue donc la division de 25 par 4. Il trouve : 25 = 4 x 6 + 1.

1) d)

Autrement dit : Hugo peut donner 6 billes à chacun de ses 4 amis et il lui en restera une.

2) b)

2) Comme on l’a vu dans la question précédente, il ne reste qu’une seule bille à Hugo après son partage.

3) b)

3) Les multiples de 5 sont les nombres qui s’écrivent : 5 x 0 ; 5 x 1 ; 5 x 2 ; 5 x 3 ; 5 x 4 ; ... (c’est en fait « la table de 5 »). Tous ces nombres se terminent soit par un 0, soit par un 5. 30 est le seul nombre de la liste à se terminer par un 0 ou un 5, c’est donc le seul multiple de 5 présent parmi les propositions.

4) b) 52 euros

4) Cette question était un piège, il ne fallait pas faire de division ! Le nouveau prix du baril de pétrole s’obtient en effectuant : (50 + 5) - 3. On trouve 52 soit 52 euros.

Exercice 1

a) Il suffit de connaître la table de multiplication par 7. On a : 7 x 8 = 56. On peut également écrire : 7 = 56 : 8

a) Réponse : 7 albums b) Réponse : 7 fois

a) Il suffit encore de connaître la table de multiplication par 7. On a : 7 x 9 = 63. On peut également écrire : 7 = 63 : 9

Exercice 2

2)

1) Les 11 premiers multiples de 7 sont :

Nous cherchons dans cette question à « approcher sans dépasser » le nombre 60 par un multiple de 7.

7x0;7x1;7x2;7x3;7x4;7x5;7x6;7x7;7x8; 7 x 9 ; 7 x 10 soit 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70. 2) 60 = (7 x 1) + 53

Au delà de 7 x 8, c’est-à-dire pour les multiples de 7 qui s’écrivent 7 x 9 ; 7 x 10 ; ...; les nombres obtenus sont plus grands que 60. On ne peut donc, en leur ajoutant un nombre, obtenir 60. Tu ne pouvais donc pas remplir les deux dernières lignes.

60 = (7 x 2) + 46 60 = (7 x 3) + 39 60 = (7 x 4) + 32 60 = (7 x 5) + 25

3)

60 = (7 x 6) + 18

S’il confectionne 8 bouquets, il ne restera que 4 roses. Il ne pourra plus alors confectionner de bouquet. La réponse est donc 8.

60 = (7 x 7) + 11

60 = ( 7 x 8 ) + 4 60 = (7 x 9) + ...

Le multiple de 7 le plus proche de 60 et qui ne dépasse pas 60 est 7 x 8 soit 56.

impossible !

C’est le nombre que l’on trouve dans l’égalité :

60 = (7 x 10) + ... impossible !

60 = (7 x 8) + 4

3) Réponse : 8 bouquets

Il fallait donc entourer cette égalité.

164



c

Séquence 6

Exercice 3 a) • Combien va-t-il y avoir de groupes ? 9 groupes 39 = (4 x 9) + 3 b) • Combien de douzaines d’huîtres peut constituer un pêcheur ayant pêché 90 huîtres ? (une douzaine, c’est douze huîtres) 7

douzaines d’huîtres 90 = (7 x 12) + 6

c) • Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par paquets de 17. Aujourd’hui, elle en a produit 664. Combien peut-elle vendre de paquets de bougies ? Utilise ta calculatrice ! 39 paquets 664 = (17 x 39) + 1

Exercice 4 a) dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur. b) 39 = (5 x 7) + 4 Son dividende est 39. c) Une division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9 et pour quotient euclidien 7. Complète : 71 = (9 x 7) + 8 Son reste est 8. Exercice 5 Le reste d’une division euclidienne est un entier toujours plus petit que son diviseur. Comme le diviseur de la division euclidienne est 4, son reste est 0, 1, 2 ou 3.

a) On cherche le plus grand multiple de 4 « qui ne dépasse pas 39 ». On cherche donc dans la table de 4 : 4 x 8 = 32 4 x 9 = 36 4 x 10 = 40. 36 est le plus grand multiple cherché. On a : 39 = (4 x 9) + 3. Il y aura donc 9 groupes de 4 enfants et il en restera 3. b) On cherche le plus grand multiple de 12 « qui ne dépasse pas 90 ». On cherche donc dans la table de 12 : 12 x 6 = 72 12 x 7 = 84 12 x 8 = 96 84 est le plus grand multiple cherché. On a : 90 = (12 x 7) + 6. c) On cherche le plus grand multiple de 17 « qui ne dépasse pas 664 » à l’aide d’une calculatrice. 17 x 38 = 646 17 x 39 = 663 17 x 40 = 680 On a : 664 = (17 x 39) + 1.

a) Il suffisait de bien lire le « Je retiens » précédent pour trouver la réponse. b) On commence par remplir les pointillés par les nombres connus. On obtient : ............ = (5 x 7)+ 4. puis on fait : (5 x 7) + 4 = 39. c) On commence également par remplir les pointillés par les nombres connus. On obtient : 71 = (9 x 7) + ............. Le nombre qu’il faut ajouter à 9 x 7 (c’est-à-dire à 63) pour obtenir 71 est 8. Le reste est donc 8. Il faut absolument retenir que dans une division euclidienne, le reste est toujours plus petit que le diviseur.

1) L’égalité : 375 = (21 x 17) + 18 traduit la division euclidienne de 375 par 21 car : 18 < 21 1) Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21 ? 18 (le reste est inférieur au diviseur). 2) a) Comme 21 x 17 = 17 x 21, on peut donc 2) écrire : a) 18 est-il le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ? 375 = (17 x 21) + 18. On se pose la question Non car 18 est plus grand que 17. suivante : « cette égalité traduit-elle la division euclidienne de 375 par 17 ? » b) On cherche le plus grand multiple de 17 « qui ne dépasse La réponse est NON car la reste d’une division pas » 375. euclidienne doit être plus petit que le diviseur, On trouve : 17 x 22 = 374. ce qui n’est pas le cas ici (18 n’est pas plus petit que 17). La division euclidienne de 375 par 17 se traduit donc par b) On cherche à approcher 375 par un multiple de 17 l’égalité : «sans le dépasser». On sait que (17 x 21) + 18 = 375. 375 = (17 x 22) + 1 On pense donc à calculer 17 x 22. Le reste de cette division est 1. 17 x 22 = 374 17 x 23 = 391. Le plus grand multiple cherché est 374. On a : 375 = (17 x 22) + 1 Le reste de la division euclidienne de 375 par 17 est donc 1.

Exercice 6


165

c

c c

Séquence 6

Exercice 7

a)

a) Combien de costumes pourra-t-elle coudre ? 32

On cherche les multiples de 3 « qui ne dépassent pas 98 ».

Écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :

On finit par trouver :

98 = (3 x 32) + 2 b) Ludivine trouve 32 costumes. Il restera alors 2 m de tissu.

9 8 - 9 0 8 - 6 2

3 3 2

c) La méthode qui consiste à poser la division euclidienne est la plus rapide et la plus efficace.

3 x 32 = 96

3 x 33 = 99

b) On pose la division. On se dit : « En 9, combien de fois 3 ? » 3 fois. 3 x 3 = 9, j’écris 9 et j’effectue 9 - 9. Je trouve 0. J’abaisse le 8. « En 8, combien de fois 3 ? » 2 fois. 3 x 2 = 6, j’écris 6 et j’effectue 8 - 6. Je trouve 2. J’arrête la division. Cette méthode est détaillée en début de la séance suivante. c) Dorénavant, tu devras poser les divisions euclidiennes plutôt que de chercher « les multiples de ..... qui ne dépassent pas ... » : c’est une bien meilleure méthode.

166



c

Séquence 6



Exercice 8

-

8 0 7 5 7 2 -

9 8 9 7

-

8 7 8 1 -

3 6 3 5 3 6 0 3 0 0

-

6 5 6 3

-

2

4 9 0 8

5 1 4 7 4 8

-

-

1 2 4 2 8

3 4 2 4

3 5 3 2

1 0 7 - 9 6

3

1 1

Les remarques du professeur : Il suffisait d’appliquer la méthode vue précédemment.

Exercice 9

7 2 6 - 6 2 1 0 6 9 3 1 3

3 1 2 3

(31 x 23) + 13 = 726 3 - 1 1 - 1

0 9 9 1 9 1 4 5 3 1

5

9 3 - 9 0 3 - 0 3

7

4 5 2 0

7 0 7

(45 x 20) + 37 = 937

4 0 - 3 9 1 - 0 1 - 1

1 7

1 3 3 0 9

1 0 1 7 1 7 0

13 x 309 = 4 017

1 9 1 6 2

5 8 7

(19 x 162) + 17 = 3 095 Les remarques du professeur : Il suffisait à nouveau d’appliquer la méthode vue précédemment. Cette méthode est une méthode détaillée : on écrit les soustractions successives. Il va falloir progressivement apprendre dans ce chapitre à se passer de ces soustractions intermédiaires. Voici ci-dessous la dernière division posée et effectuée sans les soustractions successives :

3 0 9 5 1 1 9 5 5 1 7

1 9 1 6 2


167

c

c c

Séquence 6

Pour effectuer une division euclidienne sans écrire les soustractions successives, on se dit :

Exercice 10

« dans 133, combien de fois 16 ? » 8 fois.

1 3 3 5 5 5 7

On calcule de tête (ou sur un cahier de brouillon) 8 fois 16. On trouve 128. On n’écrit pas 128. On effectue 133 - 128. On trouve (de tête ou sur un cahier de brouillon) 5. On écrit 5 sous le chiffre des unités de 133. On abaisse le 5.

1 6 8 3

« dans 55, combien de fois 16 ? » 3 fois. On calcule 3 fois 16, on trouve 48. On effectue 55 - 48. On trouve 7. On écrit 7 sous le chiffre des unités de 55. La division euclidienne est alors terminée.

Exercice 11 1) (18 x 418) + 3 = 7 527

(17 x 22) + 11 = 385

(29 x 276) + 11 = 8 015

2) opération de Ludivine

opération de Pauline

opération de Léonie

7 5

4

3

4

1 6

5 5

3

1 8 4

1 8

9

4

4

5

0

4

5

1

1

3

1

7

2

0

2

8 0

1

2

2

1

5

1

8

5

1

1

2

9

2

7

6

ffaux fa aaux ux Les remarques du professeur : Comme (18 x 218) + 3 n’est pas égal à 7 545 (mais à 7 527), on sait que la division de Ludivine est fausse. Comme (17 x 22) + 11 n’est pas égal à 3 445 (mais à 385), on sait que la division de Pauline est également fausse. Comme (29 x 276) + 11 est égal à 8 015, on peut affirmer que le résultat de la division de Léonie a des chances d’être juste. On vérifie quand même qu’elle ne s’est pas trompée dans les étapes intermédiaires.

168



c

Séquence 6

Exercice 12

a)

a)

On commence par chercher à remplir la première case bleue ci-dessous.

4 6 9 4 9 0

7

4

9 4

7 6

6 7 6 x 7 = 42. On cherche donc le chiffre ® tel que : 4 ® - 42 = 4 Le nombre 4 ® est donc 46. Le chiffre ® est donc 6. 4 6 9 4

7 6

J’abaisse le 9. La deuxième case bleue est donc un 9. 4 6 9 4 9

7 6

« En 49, combien de fois 7 ? » 7 fois. 49 - 49 = 0. Nous savons donc comment remplir les deux dernières cases.

b)

b)

4 4 7 4 7 2

5 8 9

On commence par chercher à remplir les deux premières cases bleues ci-dessous. 4 7 4

8

On cherche, parmi les nombres 14 ; 24 ; 34 ; 44 ; 54 ; 64 ; 74 ; 74 et 94 ceux qui, lorsqu’on leur enlève un multiple de 8, donnent pour résultat 4. Les multiples de 8 possibles sont 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 et 72. On cherche donc un nombre de la liste du haut, on lui soustrait un nombre de la liste du bas, et l’on doit obtenir 4. Il n’y a qu’une possibilité : le nombre de la liste du haut est 44 et celui de la liste du bas est 40 (c’est 8 x 5). 4 4 7 4

5 8

La suite est alors plus facile : on abaisse le 7. Dans 47, combien de fois 5 ? 9 fois. Il reste donc 2.


169

c

c c

Séquence 6

Séance 3



Exercice 13

On commence par écrire ce que l’on fait : « on effectue la division euclidienne de 124 par 7 ».

On effectue la division euclidienne de 124 par 7.

1 2 4 5 4 5

On pose et on effectue la division euclidienne.

7 1 7

On vérifie la division euclidienne au brouillon : pour cela, on calcule (7 x 17) + 5 et on vérifie que l’on trouve 124.

Il y aura 17 équipes de 7 élèves et 5 remplaçants.

On écrit une phrase de conclusion. Attention ! Comme le reste de la division euclidienne de 124 par 7 n’est pas 0, on ne peut pas écrire : 124 : 7 = 17 Tu apprendras à bien utiliser ce symbole lors de la séquence « division décimale ».

Exercice 14 On effectue la division euclidienne de 1 235 par 28.

1 2 3 5 1 1 5

2 8 4 4

3 M. Ketch va faire 45 trajets pour transporter toutes les tomates. Lors de son dernier trajet, il va transporter 3 kg de tomates.

On commence par écrire ce que l’on fait : « on effectue la division euclidienne de 1 235 par 28 ». On pose et on effectue la division euclidienne. On vérifie la division euclidienne au brouillon : pour cela, on calcule (28 x 44) + 3 et on vérifie que l’on trouve 1 235. On trouve pour quotient euclidien 44 et pour reste 3. Qu’est-ce que cela veut-il dire ? Quand M. Ketch a effectué 44 trajets, il lui reste 3 kg de tomates à transporter : il est donc obligé de faire un 45e trajet pour les trois derniers kilos. Il faut donc faire attention, car la réponse, c’est-à-dire le nombre de trajets de M. Ketch, n’est pas 44, mais 45. Il ne reste plus qu’à écrire les phrases de conclusion.

Exercice 15 On effectue la division euclidienne de 4 578 par 6.

4 5 7 8 3 7 1 8 0

6 7 6 3

On rédige ce type de problème toujours de la même façon : on écrit ce que l’on fait, on pose l’opération et on écrit la conclusion. N’oublie pas de vérifier la division euclidienne au brouillon !

L’entreprise peut constituer 763 packs d’eau. Il ne restera aucune bouteille.

170



c

Séquence 6

Exercice 16 On effectue la division euclidienne de 922 par 79.

9 2 2 1 3 2 5 3

7 9 1 1

Il faut faire attention et ne pas oublier que dans ce cas, la réponse n’est pas 11 mais 12 car Louis aura besoin d’un 12e CD, même si ce CD ne contient que 53 minutes de musique.

Louis devra acheter 12 CD audio vierges afin de graver tous ses morceaux de musique. Sur son dernier CD, il n’y aura que 53 minutes de musique enregistrée. Exercice 17 Une semaine est constituée de 7 jours. Nous sommes un mercredi, donc dans 7 jours, dans 14 jours, dans 21 jours, ..., nous serons encore un mercredi. Tous les multiples de 7 jours seront donc des mercredis. On pense à effectuer la division euclidienne de 1 000 par 7 :

1 0 0 0 3 0

7 1 4 2

2 0 6 On a donc :

1 000 = (7 x 142) + 6

Au bout de 7 x 142 jours, nous serons encore un mercredi. Au bout de : (7 x 142) + 1 jours, nous serons un jeudi. (7 x 142) + 2 jours, nous serons un vendredi. (7 x 142) + 3 jours, nous serons un samedi. (7 x 142) + 4 jours, nous serons un dimanche. (7 x 142) + 5 jours, nous serons un lundi.

On pense à expliquer le plus clairement possible son raisonnement. On pose et on effectue la division euclidienne de 1 000 par 7. N’oublie pas de vérifier la division euclidienne au brouillon ! Ce qui nous intéresse, c’est en fait le reste de la division euclidienne de 1 000 par 7, soit 6. On finit par écrire une phrase de conclusion. Il existe bien d’autres exercices de ce genre, comme par exemple le suivant : « Il est 13 h, quelle heure sera-t-il dans 3 000 heures ? » Pour trouver la réponse, on effectue la division euclidienne de 3 000 par 24 (car il y a 24 h dans une journée).

(7 x 142) + 6 jours, nous serons un mardi. Si aujourd’hui, nous sommes un mercredi, alors dans 1 000 jours nous serons un mardi.


171

c

c c

Séquence 6

Séance 4



Exercice 18 1)

1)

5 6 4 8 4 0

1 2 4 7

On effectue la division euclidienne de 564 par 12. On trouve : 564 = (12 x 47) + 0.

Le reste de la division euclidienne de 564 par 12 est 0. 2)

Le reste de cette division euclidienne est 0, autrement dit : 564 = 12 x 47. Cette égalité signifie que 564 est un multiple de 12 (elle signifie également que 564 est un multiple de 47).

94 x 6 = 564 94 et 6 sont deux diviseurs de 564. 3)

On dit également 564 est divisible par 12 ou encore 12 est un diviseur de 564.

a)

5 6 4 1 0 4

3)

2 3 2 4

c)

1 2 b) Le diviseur de cette division euclidienne est 23.

Il faut bien faire la différence entre « être un diviseur d’un nombre » et « être le diviseur d’une division euclidienne ».

c) 23 n’est pas un diviseur de 564 car le reste de la division euclidienne de 564 par 23 n’est pas égal à 0 (il est égal à 12). 1) On effectue les trois divisions euclidiennes demandées.

Exercice 19 1)

2)

3 9 6 3 6 0

6 6 6

7 1 3 9 3

3 1 2 3

1 0 2 0

1 7 6

a) On sait d’après le 1) que : 102 = 17 x 6. 102 est donc un multiple de 6. b) On sait d’après le 1) que : 713 = 31 x 23. 731 est donc un multiple de 31.

0 2)

Autrement dit : 31 est un diviseur de 713. c) On sait d’après le 1) que : 396 = 6 x 66 et que : 102 = 6 x 17. 396 et 102 sont donc des multiples de 6.

a) 102 est un multiple de 6.

Autrement dit : 6 est un diviseur de 396 et de 102.

b) 31 est un diviseur de 713.

d) On sait d’après le 1) que : 396 = 6 x 66.

c) 6 est un diviseur de 396 et 102.

396 est donc un multiple de 66.

d) 66 est un diviseur de 396.

Autrement dit : 66 est un diviseur de 396.

e) 713 est un multiple de 23 et 31.

172

e) On sait d’après le 1) que : 713 = 31 x 23. 713 est donc un multiple de 23 et de 31.



c

Séquence 6

Corrigé 20

1)

1)

Pour voir si 6 666 est un multiple de 6, on peut bien sûr effectuer la division euclidienne de 6 666 par 6 :

On sait que 12 = 6 x 2 et 54 = 6 x 9 donc 12 et 54 sont des multiples de 6.

6 6 6 6 0 6 0 6 0 6 0

Comme 6 666 = 6 x 1 111, 6 666 est un multiple de 6.

4 5 3

6 7

6 1 0 1

Comme 45 = (6 x 7) + 3, 45 n’est pas un multiple de 6.

6 1 0

6 1 1 1 1

Comme 61 = (6 x 10) + 1,

Cependant, ce n’est pas la meilleure méthode. On peut voir immédiatement qu’un entier qui s’écrit uniquement avec des 6 est un multiple de 6 :

61 n’est pas un multiple de 6.

6 666 = 6 x 1 111 De même, il faut voir immédiatement que :

2)

555 = 5 x 111

On sait que 56 = 7 x 8 donc 56 est divisible par 7.

33 333 = 3 x 11 111

5 6 2 On a :

9 6

Comme 56 = (9 x 6) + 2, 56 n’est pas divisible par 9.

56 = 2 x 28 donc 56 est divisible par 28.

56 est plus petit que 112, il ne peut donc pas être divisible par 112. 3)

5 7 1

7 3 0 3

... 2) Un nombre ne peut pas être divisible par un nombre plus grand que lui. 56 ne peut donc pas être divisible par 112. Par contre 112 est divisible par 56 car 112 = 56 x 2. 3) Remarque générale :

7

Comme 57 = (7 x 8) + 1,

8

7 n’est pas un diviseur de 57.

On sait que 63 = 7 x 9 donc 7 est un diviseur de 63.

7 0 7 0 0 7 0

999 999 = 9 x 111 111

7 1 0 1 7 1 0

Comme 707 = (7 x 101) + 1, 7 est un diviseur de 707.

Dans ce type d’exercice (lorsqu’il faut essayer de trouver si un nombre est un diviseur d’un autre ou si un nombre « est divisible par un autre » ou encore si un nombre est un multiple d’un autre) : • on cherche d’abord à utiliser les tables de multiplications. • ensuite, si l’on n’a pas pu répondre à l’aide des tables, on pose une division euclidienne (on est alors sûr de trouver la réponse).

Comme 73 = (7 x 10) + 3,

Il faut apprendre à voir sans faire de division, que :

7 n’est pas un diviseur de 73.

707 = 7 x 101

Comme 140 = 7 x 20, 7 est un diviseur de 140.

De même, il faut voir sans faire de division que : 6 060 = 6 x 1 010 77 077 = 7 x 11 011


173

c

c c

Séquence 6

Corrigé 21

1) a)

1)

Les multiples de 12 sont les nombres de la forme :

a)

12 x 0 ; 12 x 1 ; 12 x 2 ; 12 x 3 ; ...

12 x 0 = 0 12 x 1 = 12 12 x 2 = 24

Il ne faut jamais oublier 0 : c’est bien un multiple de 12 car : 12 x 0 = 0.

12 x 3 = 36 12 x 4 = 48 12 x 5 = 60 12 x 6 = 72 12 x 7 = 84 12 x 8 = 96 12 x 9 = 108 12 x 10 = 120 Les onze premiers multiples de 12 sont donc : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; 108 ; 120. b) Il suffit d’ajouter 12 : 0 + 12 = 12 ; 12 + 12 = 24 ; 24 + 12 = 36 ; 36 + 12 = 48 ; ... 2- On compte de 17 en 17 en partant de 0 : 0, 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187. Les multiples de 17 compris entre 101 et 174 sont 102, 119, 136, 153 et 170.

b) c) On utilise la remarque faite précédemment : pour passer d’un multiple de 17 au suivant, il suffit d’ajouter 17. On commence par 0, car 0 est un multiple de 17. On ajoute 17, puis encore 17, ... pour obtenir les multiples successifs de 17. On peut s’arrêter à 187 car on recherche les multiples compris entre 101 et 174. Il ne reste plus qu’à repérer les multiples compris entre 101 et 174 parmi ceux écrits.

Exercice 22 1) 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84. 2) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135. 3) C’est le plus petit des nombres présents dans les deux listes (sans prendre en compte 0) : c’est donc 30. 30 est le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0.

174

1) 2) 3- On dit qu’un entier est multiple commun à 6 et 15 lorsque c’est à la fois un multiple de 6 et un multiple de 15.



c

Séquence 6



Exercice 23 1) 970 se termine par un 0. 970 est donc divisible par 2. Il ne lui restera pas de chocolat. 2)

On pouvait répondre aux deux questions en effectuant des divisions euclidiennes. Il est plus rapide toutefois d'utiliser les règles vues au CM2 permettant de reconnaître les multiples de 2 et les multiples de 5.

970 se termine par un 0. 970 est donc divisible par 5. Il ne lui restera pas de chocolat. Exercice 24

On applique les règles vues précédemment :

26 ; 144 ; 120 ; 1 002 ; 18 280 et 55 558 sont divisibles par 2.

• un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

35 ; 120 ; 2 025 et 18 280 sont divisibles par 5.

• un nombre est divisible par 5 s’il se termine par un 0 ou par un 5.

Exercice 25 Voici les 6 entiers de trois chiffres que l’on peut former avec les chiffres 4, 9 et 8 : 498 ; 489 ; 894 ; 849 ; 948 ; 984 Parmi ces nombres, seuls 498 ; 894 ; 948 et 984 sont divisibles par 2. Exercice 26 Les entiers de 3 chiffres sont dans l’ordre décroissant : 999, 998, 997, 996, 995, ... Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5. Le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5 est donc 995. Exercice 27 Le nombre ®31® est divisible par 2 et par 5, il se termine donc par 0. Ce nombre s’écrit donc ®310, et le symbole ® peut être remplacé par n’importe quel chiffre 1, 2, ..., 9. Il y a donc 9 valeurs possibles : 1 310 ; 2 310 ; 3 310 ; 4 310 ; 5 310 ; 6 310 ; 7 310 ; 8 310 ; 9 310.

On cherche dans un permier temps tous les nombres de trois chiffres que l’on peut former avec 4, 9 et 8. On cherche ensuite parmi ces nombres ceux qui se terminent par un 0, un 2, un 4, un 6 ou un 8.

On commence dans un premier temps par repérer les entiers de trois chiffres les plus grands. Ensuite, on cherche parmi ces entiers ceux qui sont divisibles par 5, c’est-à-dire ceux qui se terminent par un 0 ou un 5. On commence par rappeler que pair signifie « divisible par 2 ». Lorsqu’on cherche des entiers à la fois divisibles par 2 et par 5, on commence : - par chercher ceux qui sont divisibles par 5. - on cherche ensuite parmi les nombres trouvés ceux qui sont de plus divisibles par 2. ®31® est divisible par 5, donc ®31® ne peut se terminer que par un 0 ou un 5. Comme ®31® est pair, il ne peut se terminer par un 5. Il se termine donc par un 0. (On pouvait également faire la recherche dans l’ordre inverse).


175

c

c c

Séquence 6

Exercice 28

1)

1) Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, 1 300 bonbons en quatre parts égales ?

Il n’est pas nécessaire de faire une division pour voir qu’on peut partager 600 bonbons et 1 300 bonbons en 4 parts égales : on peut le déduire de l’égalité : 100 = 4 x 25

1 0 0 2 0 0

4

6 0 0 2 0 0 0

2 5

4 1 5 0

1 3 0 0 1 0 2 0

4 3 2 5

0

Ces trois divisions ont pour reste 0. On peut donc partager en quatre parts égales 100 bonbons, 600 bonbons et 1 300 bonbons. 2)

En effet : • 600 = 100 x 6 donc : 600 = (4 x 25) x 6 = 4 x (25 x 6) • 1 300 = 100 x 13

a) Amaury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de bonbons dans chaque part ? 150 Amaury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre parts égales. Combien met-il de bonbons de plus dans chaque part ? 9

donc : 1 300 = (4 x 25) x 13 = 4 x (25 x 13) Cette méthode met en évidence que tout multiple de 100 est un multiple de 4. 2) a) On a vu dans le 1- que 600 = 4 x 150.

Amaury peut-il partager en quatre parts égales les 636 bonbons ?

On sait que 36 = 4 x 9.

Oui, il fera quatre parts de 159 bonbons.

150 + 9 = 159.

b)

Chaque part est donc constituée de 159 bonbons.

1 348 = 1 300 + 48 1 300 = 4 x 325

;

48 = 4 x 12

1 348 bonbons se partagent donc en 4 parts égales de 325 + 12 soit 337 bonbons. 618 = 600 + 18 600 = 4 x 150

18 n’est pas divisible par 4.

On n’arrive pas à partager 618 bonbons en quatre parts égales. c) Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

b) L’idée d’Amaury est de décomposer 1 348 en 1300 (on sait que c’est un multiple de 4) plus 48 (on sait également que c’est un multiple de 4). On place alors 325 bonbons dans chaque part puis on ajoute dans chaque part 12 bonbons. Il y a donc 337 bonbons dans chaque part : 1 348 est donc divisible par 4. On essaie de faire pareil avec 618 ; 600 est bien un multiple de 4, mais 18 ne l’est pas. Il n’est donc pas possible de partager 618 bonbons en 4 parts égales. c) On va dorénavant admettre cette règle : « un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux chiffres est divisible par 4 ».

176



c

Séquence 6

Exercice 29 1)

1) On applique le critère de divisibilité par 4.

34 n’est pas divisible par 4 donc 9 534 n’est pas divisible par 4. 28 est divisible par 4 donc 1 028 est divisible par 4. 88 est divisible par 4 donc 77 588 est divisible par 4. 42 n’est pas divisible par 4 donc 4 442 n’est pas divisible par 4. 56 est divisible par 4 donc 756 est divisible par 4.

2) De façon générale, tout entier divisible par 4 est pair. En effet, s’il est divisible par 4, il s’écrit 4 x ®, où ® est un entier. Comme 4 = 2 x 2, ce nombre s’écrit 2 x 2 x ®.

11 n’est pas divisible par 4 donc 756 123 411 n’est pas divisible Ce nombre est bien de la forme 2 multiplié par 4. par un entier, il est donc pair.

2) Tous les entiers de la liste qui sont divisibles par 4 sont pairs. Exercice 30 L’affirmation est fausse ! Donnons un contre-exemple : 6 est divisible par 2 mais n’est pas divisible par 4. Exercice 31 On ne peut pas. 46 n’est pas divisible par 4.

L’affirmation est fausse. Par contre, l’affirmation suivante est vraie : « Si un entier est divisible par 4, alors il est divisible par 2 ».

Il suffit d’appliquer le critère de divisibilité par 4 !

Par conséquent, 3 946 ne l’est pas non plus. Exercice 32 a) On cherche le chiffre manquant tel que 79®6 soit divisible par 4, c’est-à-dire tel que ®6 soit divisible par 4.

a) On applique le critère de divisibilité par 4 au nombre 79®6.

Les seuls nombres de la forme ®6 divisibles par 4 sont : 16 ; 36 ; 56 ; 76 ; 96. Ainsi, ® représente 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9. b)

b) On a vu dans l’exercice 29 que tout nombre

4®®3 n’est jamais divisible par 4 car il n’est pas divisible par 2. divisible par 4 est nécessairement divisible par On ne peut pas trouver de chiffre répondant à la question.

2. Il se termine donc nécessairement par 0, 2, 4, 6 ou 8. Comme le nombre 4®®3 ne se termine par aucun de ces chiffres, ce nombre ne peut pas être divisible par 4.

Exercice 33 17®® est divisible par 4 et par 5 uniquement si le nombre ®® est divisible par 4 et s’il se termine par un 0 ou un 5.

On cherche un nombre à la fois divisible par 4 et par 5.

S’il s’écrit ®5, il ne peut pas être divisible par 4.

On peut commencer à chercher un nombre de la forme 17®® divisible par 5.

S’il s’écrit ®0, il n’est divisible par 4 que s’il est égal à : 00 ; 20 ; 40 ; 60 ; 80. Le nombres de la forme 17®® répondant à la question sont :

On cherche ensuite parmi les nombres trouvés ceux qui de plus sont divisibles par 4.

1 700 ; 1 720 ; 1 740 ; 1 760 ; 1 780.


177

c

c c

Séquence 6



Exercice 34 1)

8 0 1 2 0 2 1 0

3 2 6 7

8 0 1 2 0 2 1 0

4 7 8 2 1 7 2 8 1 2 0

3 2 6 7

7 8 3 1 8 0 3 0

3 1 5 9 4

3 2 6 1

6 8 9 4 0 8 2 9 2 4 0

6 8 3 0 8 2 3 2

3 2 2 7

3 2 2 9 8

801 ; 783 ; 4 782 et 6 864 sont divisibles par 3. 532 et 683 ne sont pas divisibles par 3. 2)

nombre




801

oui

8+0+1=9

oui

532

non

5 + 3 + 2 = 10

non

783

oui

7 + 8 + 3 = 18

oui

683

non

6 + 8 + 3 = 17

non

4 782

oui

4 + 7 + 8 + 2 = 21

oui

6 894

oui

6 + 8 + 9 + 4 = 27

oui

3) Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exercice 35 1 + 4 + 4 + 2 + 4 = 15 15 est divisible par 3 donc 14 424 est divisible par 3. 1 + 2 + 2 + 7 + 0 = 12 12 est divisible par 3 donc 12 270 est divisible par 3. 6 + 7 + 2 + 7 + 5 = 27 27 est divisible par 3 donc 67 275 est divisible par 3. 5 + 4 + 1 = 10

On applique le critère de divisibilité par 3 : on calcule la somme des chiffres de chacun des nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par 3.

10 n’est pas divisible par 3 donc 541 n’est pas divisible par 3. 6 + 3 + 1 + 8 + 0 = 18 18 est divisible par 3 donc 63 180 est divisible par 3.

178



c

Séquence 6

Exercice 36 a) Les entiers de la forme 1®1 sont divisibles par 3 quand le nombre 1 + ® + 1 soit ® + 2 est divisible par 3.

On applique le critère de divisibilité par 3.

Si ® = 0 alors ® + 2 = 2 Si ® = 1 alors ® + 2 = 3.

Or 3 est divisible par 3

Si ® = 2 alors ® + 2 = 4 Si ® = 3 alors ® + 2 = 5 Si ® = 4 alors ® + 2 = 6.




Si ® = 8 alors ® + 2 = 10 Si ® = 9 alors ® + 2 = 11 Les entiers cherchés sont donc 111 ; 141 et 171. b) Les entiers de la forme 1 23® divisibles par 2 se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8. Ce sont donc : 1 230 ; 1 232 ; 1 234 ; 1 236 ; 1 238. Parmi ces nombres, cherchons ceux qui sont de plus divisibles par 3 :

On applique le critère de divisibilité par 2. On applique ensuite le critère de divisibilité par 3 aux nombres trouvés afin de déterminer les entiers à la fois divisibles par 2 et par 3.

1 + 2 + 3 = 6. 6 est divisible par 3 donc 1 230 est divisible par 3. 1 + 2 + 3 + 2 = 8. 8 n’est pas divisible par 3 donc 1 232 n’est pas divisible par 3. 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 10 n’est pas divisible par 3 donc 1 234 n’est pas divisible par 3. 1 + 2 + 3 + 6 = 12. 12 est divisible par 3 donc 1 236 est divisible par 3. 1 + 2 + 3 + 8 = 14. 14 n’est pas divisible par 3 donc 1 238 n’est pas divisible par 3. Conclusion : les seuls entiers de la forme 1 23® à la fois divisibles par 2 et par 3 sont 1 230 et 1 236.


179

c

c c

Séquence 6

Exercice 37 • Les entiers de la forme ®1® sont divisibles par 4 quand le nombre 1® est divisible par 4. Les seuls nombres de la forme 1® divisibles par 4 sont 12 et 16.

Première étape : on cherche les entiers de la forme ®1® divisibles par 4. On utilise le critère de divisibilité par 4.

Les entiers de la forme ®1® divisibles par 4 s’écrivent ®12 ou ®16.

On trouve deux formes possibles pour le nombre : ®12 ou ®16.

• Cherchons parmi les nombres de la forme ®12 ceux qui sont divisibles par 3 :

Deuxième étape : on cherche parmi les entiers de la forme ®12 ceux qui sont divisibles par 3. On utilise le critère de divisibilité par 3.

®12 est divisible par 3 si ® + 1 + 2 est divisible par 3, c’est-àdire si ® + 3 est divisible par 3. Si ® = 1 alors ® + 3 = 4 Si ® = 2 alors ® + 3 = 5 Si ® = 3 alors ® + 3 = 6.

6 est divisible par 3



Si ® = 7 alors ® + 3 = 10 Si ® = 8 alors ® + 3 = 11 Si ® = 9 alors ® + 3 = 12. 12 est divisible par 3 Les entiers de la forme ®12 divisibles par 3 sont : 312 ; 612 et 912. • Cherchons parmi les nombres de la forme ®16 ceux qui sont de plus divisibles par 3 :

Troisième étape : on cherche parmi les entiers de la forme ®16 ceux qui sont divisibles par 3. On utilise le critère de divisibilité par 3.

®16 est divisible par 3 si ® + 1 + 6 est divisible par 3, c’est-àdire si ® + 7 est divisible par 3. Si ® = 1 alors ® + 7 = 8 Si ® = 2 alors ® + 7 = 9.


Si ® = 3 alors ® + 7 = 10 Si ® = 4 alors ® + 7 = 11 Si ® = 5 alors ® + 7 = 12. 12 est divisible par 3 Si ® = 6 alors ® + 7 = 13 Si ® = 7 alors ® + 7 = 14 Si ® = 8 alors ® + 7 = 15.


Si ® = 9 alors ® + 7 = 16

Conclusion : on rassemble les résultats trouvés dans les étapes 2 et 3.

Les entiers de la forme ®16 divisibles par 3 sont : 216 ; 516 et 816. • Conclusion : Les entiers de la forme ®1® divisibles par 3 et 4 sont 312 ; 612 ; 912 ; 216 ; 516 et 816.

180



c

Séquence 6

Exercice 38 1)

5 0 4 5 4 0

9 5 6

5 8 8 1 4 8 3 1 4

7 3 2 1 2 3

9 6 5 3

9 8 1

7 4 7 2 7 0

4 6 9 8 1 9 1 8 0

9 8 3

5 9 3 5 3 8

9 6 5

9 5 2 2

504 ; 747 et 4 698 sont divisibles par 9. 732 ; 593 ; 5 881 ne sont pas divisibles par 9. 2)

nombre




504

oui

5+0+4=9

oui

732

non

7 + 3 + 2 = 12

non

747

oui

7 + 4 + 7 = 18

oui

593

non

5 + 9 + 3 = 17

non

5 881

non

5 + 8 + 8 + 1 = 22

non

4 698

oui

4 + 6 + 9 + 8 = 27

oui

3) Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.


181

c

c c

Séquence 6

Exercice 39 1) a) 4 + 1 + 5 + 8 = 18. 18 est divisible par 9 donc 4 158 est divisible par 9. 1 + 3 + 0 + 3 + 6 = 13. 13 n’est pas divisible par 9 donc 13 036 n’est pas divisible par 9.

On applique le critère de divisibilité par 9 : on calcule la somme des chiffres de tous les nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par 9.

2+5+0+1+1=9 9 est divisible par 9 donc 25 011 est divisible par 9. 4 + 1 + 0 + 9 = 14. 14 n’est pas divisible par 9 donc 4 109 n’est pas divisible par 9. 4 + 9 + 6 + 2 + 7 + 2 = 30. 30 n’est pas divisible par 9 donc 496 272 n’est pas divisible par 9. 5 + 7 + 9 + 3 + 3 = 27 27 est divisible par 9 donc 57 933 est divisible par 9. b) La somme des chiffres de 4 158 est 18. 18 est divisible par 3 donc 4 158 est divisible par 3. La somme des chiffres de 13 036 est 13. 13 n’est pas divisible par 3 donc 13 036 n’est pas divisible par 3. La somme des chiffres de 25 011 est 9. 9 est divisible par 3 donc 25 011 est divisible par 3.

On applique le critère de divisibilité par 3 : on calcule la somme des chiffres de tous les nombres et on regarde si chacune de ces sommes est divisible par 3.

La somme des chiffres de 4 109 est 14. 14 n’est pas divisible par 3 donc 4 109 n’est pas divisible par 3. La somme des chiffres de 496 272 est 30. 30 est divisible par 3 donc 496 272 est divisible par 3. La somme des chiffres de 57 933 est 27. 27 est divisible par 3 donc 57 933 est divisible par 3. 2) Les entiers de la liste qui sont divisibles par 9 sont divisibles par 3. 3- De façon générale, tout entier divisible par 9 est divisible par 3. En effet, s’il est divisible par 9, il s’écrit 9 x ® (où ® est un entier). Comme 9 = 3 x 3, ce nombre s’écrit 3 x 3 x ®. Il est donc de la forme « 3 multiplié par un entier ». C’est donc un multiple de 3.

182



c

Séquence 6

Exercice 40 Cette affirmation est fausse ! Voici un contre-exemple : 6. 6 est divisible par 3 (car 6 = 3 x 2) mais 6 n’est pas divisible par 9.

L’affirmation proposée est fausse. Par contre, l’affirmation suivante est vraie « Si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3 ».

Exercice 41 Voici les nombres entiers de trois chiffres rangés par ordre croissant : 100 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 ; 105 ; 106 ; 107 ; 108 ; ... On cherche parmi ces nombres le plus petit divisible par 9, c’està-dire le plus petit dont la somme des chiffres est divisible par 9 : c’est 108.

On commence par dresser le début de la liste des plus petit nombres s’écrivant avec trois chiffres. On cherche ensuite parmi ces nombres le plus petit nombre divisible par 9, c’est-à-dire dont la somme des chiffres est divisible par 9.

Exercice 42 On cherche un nombre de la forme ®®® divisible par 5. Il est donc de la forme ®®5 ou ®®0. Comme le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités, le chiffre des unités ne peut pas être 5 (le chiffre des dizaines ne peut pas être 15 puisque 15 n’est pas un chiffre). Le nombre cherché est donc de la forme ®®0.

Pour résoudre ce type de problème, n’oublie pas de rédiger ta réponse, c’est-à-dire d’écrire des phrases claires (et de préférence courtes) pour expliquer ce que tu fais.

Le chiffre des dizaines est donc 3x0 soit 0. Le nombre cherché est donc de la forme ®00. Enfin, ce nombre est divisible par 9. La somme de ses chiffres est ®. Comme elle est divisible par 9, le chiffre ® est donc 9. Le code du coffre fort est 900.


183

c

c c

Séquence 6



Exercice 43 Combien y a-t-il de secondes dans 1 heure ? ® 1 600

® 1 000

® 2 600

˝ 3 600

1 heure est constituée de 60 minutes constituées chacune de 60 secondes. 60 x 60 = 3 600 Il y a donc 3 600 secondes dans une heure. Exercice 44 Un jour est constitué de 24 heures. Par conséquent : Ainsi :

3 jours = 3 x 24 heures = 72 heures

3 jours 8 heures = 80 heures

L’équipe de sauveteurs a mis 80 heures pour retrouver les deux alpinistes. On applique le « JE RETIENS » vu précédemment de la façon suivante :

Exercice 45 4 h 17 min

=

257 min

24 min 15 s

=

1 455 s

• 4 h 17 min = (4 x 60 min) + 17 min = 257 min

6 h 13 min 9 s =

22 389 s

•24 min 15 s = (24 x 60 s) + 15 s = 1 455 s

3 j 5 h

77 h

•6 h 13 min 9 s = (6 x 60 min) + 13 min + 9 s

=

6 h 13 min 9 s = 373 min + 9 s 6 h 13 min 9 s = (373 x 60 s) + 9 s = 22 389 s •3 j 5 h = (3 x 24 h) + 5 h = 77 h

Exercice 46 1 h 51 min = 60 min + 51 min = 111 min.

1 1 1 2 1 0

3 3 7

Chaque invité disposera de 37 minutes durant l’émission.

184

On souhaite diviser le temps total par 3, puisque les trois invités doivent avoir le même temps de parole. Pour diviser la durée 1 h 51 min, on est obligé de la convertir en minutes. On utilise alors l’égalité 1 h = 60 min comme dans l’exercice précédent. On trouve 111 min. On effectue ensuite la division euclidienne de 111 par 3. On trouve 37 comme quotient euclidien et 0 comme reste.



c

Séquence 6

Exercice 47

a)

a)

Lorsque les calculs sont simples, on peut les faire en ligne.

182 s = (3 x 60 s) + 2 s = 3 min 2 s 397 s = (6 x 60 s) + 37 s = 6 min 37 s b) 998 min = (16 x 60 min) + 38 min 998 min = 16 h 38 min

695 min = (11 x 60 min) + 35 min 695 min = 11 h 35 min

9 9 8 3 9 8 3 8

6 0 1 6

6 9 5 9 5 3 5

6 0 1 1

Il faut juste bien avoir en tête les premiers multiples de 60 : 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ; 360 ; 420 ; 480… Il est facile de convertir 182 s en minutes et secondes : on pense au plus grand mutiple de 60 qui ne dépasse pas 182. C’est 180. Comme 180 secondes représentent 3 minutes, 182 secondes représentent 3 min 2 s. Tu peux, si tu as des difficultés avec cette 1 8 2 2 méthode, effectuer la division euclidienne de 182

6 0 3

On fait de même pour 397. b) Dans les deux cas, comme les nombres 998 et 695 sont grands, il était plus facile d’effectuer une division euclidienne par 60.

Exercice 48 On effectue la somme de 6 min 52 s, 5 min 49 s et 7 min 57 s.

6 min + 5 min + 7 min 18 min

52 49 57 158

s s s s

Convertissons 158 s en minutes et en secondes :

1 5 8 3 8

Pour connaître la durée totale des trois morceaux à enregistrer, on effectue la somme des trois durées 6 min 52 s, 5 min 49 s et 7 min 57 s. On a vu dans la séance 8 de la séquence 2 comment ajouter des durées. N’hésite pas à t’y reporter !

6 0 2

158 s = (2 x 60 s) + 38 s 158 s = 2 min 38 s

Comme la durée totale des trois morceaux à enregistrer dépasse 20 minutes, on ne peut pas enregistrer les trois chansons sur le CD.

6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 18 min + 2 min 38 s 6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 20 min 38 s On ne pourra pas enregistrer les trois chansons sur le CD.


185

c

c c

Séquence 6

Exercice 49 Clémence mettrait 15 x 13 minutes pour parcourir 15 km. Clémence mettrait donc 195 minutes pour parcourir 15 km.

1 x 1 4 1 5 1 9

On effectue une multiplication pour déterminer le temps que mettrait Clémence pour parcourir 15 km. On trouve 195 minutes.

5 3 5

Il ne reste plus qu’à convertir ce temps en heures et en minutes. Pour cela, on utilise une division euclidienne.

5

Convertissons 195 minutes en heures et en minutes : 195 min = (3 x 60 min) + 15 min

1 9 5 1 5

195 min = 3 h 15 min

6 0 3

Remarque : comme cette conversion était facile, tu pouvais faire ce calcul de tête et ne pas poser la division. Dans ce cas, tu devais quand même écrire les calculs suivants : 195 min = (3 x 60 min) + 15 min = 3 h 15 min.

Clémence mettrait 3 h 15 min pour parcourir 15 km. Exercice 50 Un jour est constitué de 24 heures. Cherchons combien il y a de fois 24 heures dans 678 heures :

6 7 8 1 9 8 0 6

2 4 2 8

On procède comme précédemment.

678 h = (28 x 24 h) + 6 h 678 h = 28 j 6 h Exercice 51 a) • Cherchons combien il y a de minutes dans 9 892 s.

9 8 9 2 3 8 9 2 9 2 5 2

6 0 1 6 4

9 892 s = (164 x 60 s) + 52 s donc 9 892 s = 164 min 52 s • Cherchons combien il y a d’heures dans 164 min : 164 min = (2 x 60 min) + 44 min donc : 164 min = 2 h 44 min • Conclusion :

9 892 s = 2 h 44 min 52 s

On procède comme précédemment.

b) • Cherchons combien il y a de minutes dans 8 762 s :

8 7 6 2 2 7 6 3 6 2 0 2

6 0 1 4 6

8 762 s = (146 x 60 s) + 2 s donc 8 762 s = 146 min 2 s • Cherchons combien il y a d’heures dans 146 min : 146 min = (2 x 60 min) + 26 min donc : 146 min = 2 h 26 min • Conclusion :

186

8 762 s = 2 h 26 min 2 s



c

Séquence 6



Exercice 52 Dès que Mélanie a enfilé 7 perles, 14 perles, 21 perles… elle enfile de nouveau une perle verte. Autrement dit, chaque fois que le nombre de perles enfilées est un multiple de 7, Mélanie enfile une perle verte. Afin de connaître combien de groupements comprenant une perle verte, deux perles jaunes, une perle rouge et 3 perles jaunes ont été enfilées, j’effectue la division euclidienne de 109 par 7.

1 0 9 3 9 4

7 1 5

109 = (15 x 7) + 4 Une fois enfilées, les 15 x 7 premières perles, Mélanie enfile quatre perles : une verte puis deux jaunes puis une rouge.

Pense à bien rédiger les réponses de ce type de problème. Il faut écrire ce que tu fais à l’aide de phrases courtes et claires. Pense également à poser et à effectuer les opérations losque tu effectues des calculs qui sont difficiles à effectuer en ligne.

Ici, il fallait voir que tous les multiples de 7 perles, Mélanie enfile une nouvelle perle et donc « le cycle se reproduit ». On pense alors à affectuer une division euclidienne du nombre de perles par 7.

Ainsi, la perle numéro (15 x 7) + 4 (c’est-à-dire la 109e) est rouge. La 109e perle est donc rouge. Exercice 53 Je calcule à partir de combien de passages de bus je vais pouvoir monter. Pour cela, j’effectue la division euclidienne de 112 par 37.

1 1 2 1

3 7 3

Le trois premiers bus prendront les 111 premières personnes devant moi, je prendrais donc le 4e bus. Le 4e bus passera donc dans 4 x 23 min soit 92 minutes. 92 min = (1 x 60 min) + 32 min 92 min = 1 h 32 min

Comme un bus contient au maximum 37 personnes et qu’il y a 112 personnes à passer, on cherche le nombre de bus avant de pouvoir monter en effectuant la division euclidienne de 112 par 37. On fait attention : Les trois premiers bus pourront contenir 3 x 37 soit 111 personnes. Il faudra donc prendre le bus suivant, c’est-à-dire le 4e. Ensuite, comme le bus passe toutes les 23 minutes, il suffit de multiplier 4 par 23. On trouve 92 min que l’on convertit directement en 1 h 32 min. Le calcul est simple : il n’y a pas lieu de poser une division euclidienne.

Je vais attendre 1 h 32 min avant de partir.


187

c

c c

Séquence 7




Je révise les acquis de l’école 1) ® orange ® vert ® jaune ˛ bleu 2) ®1 ®2 ˛3 ®4 3) ˛ vert ® bleu ® orange ® rose 4) ˛ vrai ® faux Exercice 1

1) Un carré possède quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Il n’y a donc qu’un carré dans cette figure : il est bleu.

2) Voici les trois carrés que l’on peut compter dans cette figure :

3) Un rectangle possède quatre angles droits : c’est donc la forme verte. 4) Il y a cette fois deux rectangles : un vert et un rose. En fait, le rectangle rose est également un carré car en plus d’avoir quatre angles droits, ses quatre côtés ont la même longueur. En effet, on peut déjà éliminer la figure 5 qui n’a pas de côtés. On élimine également la figure 3 qui ne possède que trois côtés, la figure 1 qui en possède cinq. Enfin, la figure 7 n’a que 3 angles, donc elle ne convient pas. Les quatre autres figures ont quatre côtés, quatre sommets et quatre angles. Regardons par exemple la figure 2 :

Les figures 2, 4, 6 et 8.

Cette figure possède bien quatre côtés, quatre sommets et quatre angles. On appelle une telle figure un quadrilatère. Tu dois connaître ce mot.

— © Cned, mathématiques 6e


c

Séquence 7

Exercice 2 1) Les sommets du quadrilatère sont les points K, A, M et R. 2) Ses côtés sont les segments [KA], [AM], [MR] et [RK]. 3) Ses angles sont KAM , AMR , HGE et RKA . Exercice 3

3) On pouvait également écrire chaque angle ∑ d’une autre façon (par exemple l’angle KAM ∑ se note également MAK ).

6

'

On regarde le quadrilatère de gauche. Il a par définition quatre côtés : [KG], son côté opposé [RE] (ils n’ont aucun sommet en commun), puis [KR] et [GE].

4

+ 2

2) On fait attention à bien écrire les côtés avec des crochets : ce sont des segments.

%

/

5

1) Le côté opposé à [KG] est [RE]. Le côté opposé à [TO] est [VU]. ) L’angle opposé à KRE est KGE . L’angle opposé à OUV est OTV . Exercice 4 1) Kà Và Rà Pà K Si elle avait fait le tour toujours en partant de K mais dans l’autre sens, son chemin aurait été : K à P à R à V à K ) Và Rà Pà Kà V Và Kà Pà Rà V Rà Pà Kà Và R Rà Và Kà Pà R Pà Kà Và Rà P Pà Rà Và Kà P 3) Kà Rà Và P NON Kà Pà Và R NON 4) Pour conclure, combien y a-t-il au total de façons différentes permettant de faire le tour de ce jardin ? huit façons.

On dit que [KR] et [KG] sont des côtés consécutifs car ils ont en commun une extrémité : K. De même, les côtés [GE] et [KG] sont consécutifs : leur extrémité commune est G.

2) On a pour l’instant énuméré huit façons de faire le tour du jardin sans « traverser le gazon ». 3) On voit bien sur la figure ci-dessous que le chemin : Kà

Rà

Và

Pà

K +

6 0

2

ne permet pas de faire le tour du jardin. Les huit façons possibles de noter le tour du jardin correspondent aux huit façons de noter un quadrilatère. Toutefois, on n’écrit ni les flèches, ni le sommet d’arrivée. Ainsi, le quadrilatère qui représente le jardin peut se nommer : KVRP, KPRV, VRPK, VKPR, RPKV, RVKP, PKVR, PRVK.

© Cned, mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

3

c

c c

Séquence 7

Exercice 5 On pense à la petite coccinelle vue dans KRMA, KAMR, AKRM, AMRK, MAKR, MRKA, RMAK, RKAM. l’exercice précédent. Exercice 6

4 2

-

+

3

1

! , Les commentaires du professeur : • Les sommets R et A sont opposés ainsi que K et M

• Les sommets T et Q ne sont pas consécutifs : ils sont opposés, de même que S et L.



c

Séquence 7

Séance Ce que tu devais faire


Exercice 7

CM

!g ²

"g

$g

CM

#g Les commentaires du professeur : • On observe le quadrilatère ABCD : les côtés [AB] et [AD] ont la même longueur (2,1 cm), ainsi que les côtés [CB] et [CD] (qui mesurent tous les deux 4,4 cm). • On commence par construire le triangle A’B’D’ : on utilise la méthode apprise à l’exercice 32 séquence 3 séance 6, 2ème question (la revoir éventuellement).

!g

CM

90

CM

!g 90

CM

!g

²

• Ensuite, on trace un arc de cercle de centre B’ et de rayon 4,4 cm puis un arc de cercle de centre D’ et de même rayon 4,4 cm. !g

• On trace les deux derniers côtés [C’B’] et [C’D’] du quadrilatère. Le quadrilatère que l’on vient de tracer s’appelle un cerf-volant.

C M

• Les deux arcs de cercle se coupent au point C’. $g

²

"g

Remarque : les deux cerfs-volants ABCD et A’B’C’D’ ont des côtés de même longueur, mais ils ne sont pas superposables parce que leurs angles sont différents.


c

c c

Séquence 7

Exercice 8

#%2& 6/,!.4

5N

CERF VOLANT

EST

UN

quadrilatère DONT DEUX

n o i it

CÙTÏS consécutifs ONT LA

MÐMElongueurAINSIQUELES

n i f é

DEUXautres CÙTÏS

d

6

On recopie les mots qui manquent en prenant comme modèle la définition du paragraphe « JE RETIENS » qui précède l’exercice 8. On code ensuite la figure.



c

Séquence 7

Exercice 9 1), 2), 3) et 5) +

,

I

. -

2) Complète : Comme KL = KN, le point K est sur la médiatrice du segment [LN]. Comme ML = MN, le point M est sur la médiatrice du segment [LN]. La droite (KM) est donc la médiatrice du segment [NL]. 3) Soit I le point d’intersection des diagonales (KM) et (LN) du cerf-volant. Comme la droite (KM) est la médiatrice du segment [LN], la diagonale (KM) coupe la diagonale [LN] en son milieu, et les diagonales sont perpendiculaires. 4) Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) : • K a pour symétrique K • M a pour symétrique M • L a pour symétrique N • N a pour symétrique L La droite (KM) est donc un axe de symétrie du cerf-volant KLMN.

5) Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) : L’angle KLM a pour symétrique KNM . Les angles KLM et KNM sont donc égaux.

1) • On peut placer comme on veut K en « haut » et M en « bas », ou le contraire. Par contre, K est le sommet commun à deux côtés consécutifs de même longueur, il en est de même pour le point M. On ne peut donc pas les placer à « gauche » ni à « droite ». • On place par exemple K « en haut » et M « en bas ». Ensuite, on place « à gauche » L et « à droite » N. (On peut faire aussi l’inverse). 2) • On utilise ici la seconde partie de la propriété caractéristique de la médiatrice : second paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 5 séance 5. • Le point K est équidistant de N et de L donc il appartient à la médiatrice du segment [LN]. Il en est de même pour le point M. • K et M sont deux points de la médiatrice donc cette médiatrice est la droite (KM) ellemême. 3) On utilise la définition de la médiatrice d’un segment (revoir éventuellement le premier paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 1 séance 7). I est le milieu de [LN] et ∑ KIN = 90° 4) • On utilise le fait que la médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment (revoir éventuellement le premier paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 5 séance 5) • K est son propre symétrique parce qu’il est sur l’axe lui-même. Il en est de même pour M. • Non seulement (KM) est un axe de symétrie pour le segment [NL] mais encore, (KM) est un axe de symétrie pour le cerf-volant « entier ». On admettra que le cerf-volant a exactement un axe de symétrie, sans le démontrer. 5) • Les symétriques des côtés [LK) et [LM) de ∑ sont respectivement les côtés l’angle KLM ∑. [NK) et [NM) de l’angle KNM • Revoir au besoin le premier paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 5 séance 4 sur les mesures de deux angles symétriques l’un de l’autre.


c

c c

Séquence 7

Exercice 10 1)

#%2& 6/,!.4 3I UN QUADRILATÒRE EST UN

é t ié

CERF VOLANT ALORS UNE DE SES

diagonales

r p o

EST

LA

médiatriceDELgAUTRE

pr )

#%2& 6/,!.4

3I UN QUADRILATÒRE EST UN CERF VOLANT ALORS IL ADMET un

é t ié

AXE DE SYMÏTRIE LA DIAGONALE

r p o

QUI EST LA médiatrice DE LAUTRE

pr

3)

On recopie simplement les mots qui manquent dans les cases en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent. On code ensuite la figure.

#%2& 6/,!.4

3I UN QUADRILATÒRE EST UN

é

t é i r

CERF VOLANTALORSILADEUXANGLES

opposésÏGAUX

p

o r p

8



c

Séquence 7

Exercice 11

!

%

"

$

#

• Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant donc d’après sa définition, ABCD a deux côtés consécutifs de la même longueur ainsi que les deux autres côtés. • D’après le codage, BC = CD, donc on a : AB = AD. • D’après le codage, on a également : AE = ED = AB, mais on sait aussi que : AB = AD. Je peux donc affirmer que : AE = ED = AD. • Les trois côtés du triangle ADE ont la même longueur donc, d’après la définition du triangle équilatéral, je peux affirmer que le triangle ADE est équilatéral. Exercice 12 1)

• On utilise la définition du cerf-volant apprise au début de la séance 2 : Boîte à Outils carte n°1. • On lit les informations données par le codage. • On utilise : AB = AD pour remplacer AB par AD dans l’égalité : AE = ED = AB ce qui nous donne : AE = ED = AD.

D % ' !

+

" &

) Comme le point E appartient à la médiatrice de [AB] , d’après la propriété caractéristique de la médiatrice, E est équidistant de A et de B, c’est-à-dire : EA = EB. 3) F est un point de la médiatrice de [AB] donc il est aussi équidistant de A et de B, c’est-à-dire : FA =FB. 4) G est aussi sur la médiatrice de [AB] donc on a aussi : GA = GB. ) Comme le quadrilatère AFBE possède deux côtés consécutifs [EA] et [EB] de la même longueur ainsi que les deux autres, [FA] et [FB], je peux affirmer, d’après la définition du cerfvolant, que AFBE est un cerf-volant. 6) De même, comme le quadrilatère AGBE possède deux côtés consécutifs [EA] et [EB] de la même longueur ainsi que les deux autres [GA] et [GB], je peux affirmer, d’après la définition du cerf-volant, que AGBE est un cerf-volant.

1) • On trace un segment [AB] de 4 cm. • On trace sa médiatrice (d) au compas : revoir au besoin le paragraphe « Je comprends la méthode » de la séquence 5 séance 5. • Une fois qu’on a placé le point E, on place le point F sur la droite (d) mais « de l’autre côté de la droite (d) par rapport au point K ». 2) , 3) et 4) On utilise la propriété caractéristique de la médiatrice que l’on a vue à la séquence 5 séance 5 au deuxième paragraphe « JE RETIENS ». 5) et 6) On utilise la définition du cerf-volant apprise au début de cette séance. %

!

" & %

' !

"


c

c c

Séquence 7

Exercice 13

#%2& 6/,!.4

diago‐ nale QUI EST LA MÏDIATRICE DE 3IUNQUADRILATÒREAUNE

e

r aît

LgAUTRE ALORS CE QUADRILATÒRE EST

n n o

cerf‐volant

UN

c

re

Exercice 14 1) D’après le codage, la droite (MK) est perpendiculaire au segment [JL] en son milieu. D’après la définition de la médiatrice, je peux affirmer que la droite (MK) est la médiatrice du segment [JL]. ) La diagonale (MK) du quadrilatère JKLM est la médiatrice de l’autre diagonale [JL] donc, d’après la propriété : « si un quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l’autre diagonale alors ce quadrilatère est un cerf-volant », je peux affirmer que JKLM est un cerf-volant.

10

On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent. On code ensuite la figure.

-

* ,

+

1) On utilise donc la définition de la médiatrice vue à la séquence 1 séance 7 premier paragraphe « JE RETIENS ». 2) On utilise la Boîte à Outils : carte n°21.



c

Séquence 7



Exercice 15 1) et )

7

7a .

!

"

-

• Comme M et N appartiennent à Ω , d’après la définition du cercle, on a AM = 4 cm et AN = 4 cm. De même, comme M ∈ Ω’ et N ∈ Ω on a : BM = BN = 4 cm. • Les deux côtés consécutifs [AM] et [AN] du quadrilatère AMBN ont la même longueur ainsi que les deux autres côtés consécutifs [BM] et [BN]. D’après la définition du cerf-volant, je peux affirmer que AMBN est un cerf-volant. 3) a) AM = AN = BN = BM = 4 cm La particularité de ce cerf-volant est que ses quatre côtés ont la même longueur. b) AMBN est un losange. Les commentaires du professeur : 2) Pour prouver que AMBN est un cerf-volant, il suffit de prouver que : AM = AN et BM = BN. (ou que : • NA = NB • et MA = MB) La définition du cercle a été vue à la séquence 1 séance 9 premier paragraphe « Je retiens ». 3) En effet, un cerf-volant dont les quatre côtés ont la même longueur est appelé : « losange ».

Exercice 16

5N

,/3!.'% LOSANGE

EST

quadrilatère

UN

n o i it DONT LES

QUATRE CÙTÏS ONT LA MÐME

longueur

n i f é

On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent. On code ensuite la figure.

d


11

c

c c

Séquence 7

Exercice 17 1) Clément a raison. En effet, puisque tous les côtés d’un losange ont la même longueur, on a bien deux côtés consécutifs de même longueur ainsi que les deux autres côtés. 2) Non, Samia a tort. figure :

1) On a vu dans l’exercice 15 qu’un losange est un cerf-volant qui a une particularité. 2) Un cerf-volant est un quadrilatère dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ainsi que les deux autres côtés. La longueur des quatre côtés n’ est donc pas nécessairement la même.

2

Exercice 18

M

C

3

5

CM

4 Les commentaires du professeur : • On commence par représenter une figure codée à main levée. 2

M

C

3

CM

5

4

• Comme RSTU est un losange, d’après la définition d’un losange (carte n°2 de la Boîte à Outils), on sait que : RS = ST = TU = UR = 5 cm. 2

3

CM

5

4

• On commence par tracer un segment [RT] de 6 cm. • On trace un arc de cercle de centre R et de rayon 5 cm puis un arc de cercle de centre T et de même rayon : les deux arcs se coupent au point S. • On trace « de l’autre côté du segment [RT] » un nouvel arc de cercle de centre R et de rayon 5 cm puis un arc de cercle de centre T et de même rayon : les deux arcs se coupent au point U. • On termine la construction du losange en traçant ses côtés [RS], [ST], [RU] et [UT].

12



c

Séquence 7

Exercice 19 1) et 2)

$

%

&

' 3) • Comme le triangle DEF est équilatéral, d’après la définition d’un triangle équilatéral : DE = EF = FD = 4 cm. • Comme le triangle FEG est aussi équilatéral on a : FE = EG = GF = 4 cm. • On en déduit : DE = EG = GF = FD = 4 cm. • Les quatre côtés du quadrilatère DEGF ont la même longueur donc, d’après la définition d’un losange, je peux affirmer que DEGF est un losange.

1) On revoit si nécessaire le paragraphe « Je retiens » de la séquence 3 séance 7 sur la définition du triangle équilatéral ainsi que la méthode de construction vue à l’exercice 43 de la séquence 3 séance 8. 2) • Le triangle FEG est équilatéral et : EF = 4 cm donc : EG = FG = 4 cm. • Pour construire le point G on procède comme à la question précédente : on reporte au compas la longueur 4 cm à partir de E puis à partir de F. Le point G est l’intersection des deux arcs de cercle. On termine la construction du triangle FEG en traçant ses deux derniers côtés [EG] et [FG]. 3) Comme : DE = EF = FD = 4 cm et aussi : FE = EG = GF = 4 cm, on déduit les égalités de longueur des quatre côtés du quadrilatère DEGF.


13

c

c c

Séquence 7

Exercice 20 1)

%

g '

$ g

&

2) Les commentaires du professeur : Dans la colonne de gauche on considère le cerf-volant d’axe (EF) : ici, on s’intéresse aux côtés d’extrémité commune E qui ont la même longueur et aux côtés d’extrémité commune F qui ont aussi la même longueur. Dans la colonne de droite, on considère le cerf-volant d’axe (GD) : là c’est l’égalité de longueur des côtés d’extrémité commune D qui nous intéresse puis l’égalité de longueur des côtés d’extrémité commune G. On utilise ensuite les propriétés des cartes n°s 5, 9 et 15 de la Boîte à Outils sur le cerf-volant : axe de symétrie, propriété des angles opposés, propriété des diagonales.

14



c

Séquence 7

Exercice 21 1)

,/3!.'%

3IUNQUADRILATÒREESTUNLOSANGE

deux AXES DE SYMÏTRIESESdiagonales

é t ié

ALORS IL ADMET

r p o

pr )

,/3!.'%

3IUNQUADRILATÒREESTUNLOSANGE

le

é t ié

ALORS SES DIAGONALES ONT

même milieu

r p o

pr

,/3!.'%

3IUNQUADRILATÒREESTUNLOSANGE ALORS

SES

On recopie simplement les mots qui manquent dans les cartes en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent. On fait attention aux numéros des cartes pour les propriétés des diagonales : il ne faut pas se tromper de phrase.

é t ié

DIAGONALES

SONT

perpendiculaires

r p o

pr 3)

,/3!.'%

3IUNQUADRILATÒREESTUNLOSANGE ALORS SES ANGLES

p o r

p

opposés SONT

é

t é i r

ÏGAUX


1

c

c c

Séquence 7

Exercice 22 1) Romain affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange ». Es-tu d’accord ? NON. En effet, la figure n° 3 permet de dire que Romain a tort. ) Damien affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un losange ». Es-tu d’accord ? NON. En effet, la figure n° permet de dire que Damien a tort. 3) Maxime pense que Romain et Damien devraient s’associer et réfléchir ensemble pour trouver dans quel cas on est sûr d’obtenir un losange. Es-tu d’accord avec Maxime ? OUI. En effet, d’après les figures n° 1 et n° 4, on constate que : « dès que les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu, le quadrilatère est un losange ». On admettra cette propriété (elle est vraie mais on ne le démontrera pas ici). Exercice 23

1) Les diagonales du quadrilatère 3 sont perpendiculaires, mais ses quatre côtés n’ont pas la même longueur. Il semble qu’il faille plus que des diagonales perpendiculaires pour obtenir un losange… 2) Les diagonales du quadrilatère 2 ont le même milieu, mais ses quatre côtés n’ont pas la même longueur. Il semble qu’il faille plus que des diagonales qui se coupent en leur milieu pour obtenir un losange… 3) • La figure 5 aussi est un « piège» car les diagonales sont bien perpendiculaires mais leur point commun n’est le milieu que d’une seule diagonale et pas des deux diagonales.

,/3!.'%

3IUNQUADRILATÒREASESDIAGONALES

perpendiculairesETQUI ONT LE MÐME milieu ALORS e rCE t î QUADRILATÒREESTUNlosange a QUISONT

n n o

c

re

16

On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent. Cette propriété est importante : retiens-la bien !



c

Séquence 7

Exercice 24 1)

$

CM

!

"

²

#

) Etiquette 6 - Etiquette 3 - Etiquette - Etiquette 1 - Etiquette – Etiquette 7 - Etiquette 4 3)

§\¨ $

CM

! ²

-

x

#

"

2) • On commence par tracer un segment [AB] de 5 cm : ce sera une première diagonale du losange. • On utilise le rapporteur pour tracer ce qui ∑ , qui mesure 48° : on a déjà sera l’angle BAC tracé le côté [AB) de cet angle et le second côté sera noté [Ax). • Ensuite on trace la droite (d), perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu M de [AB]. Cette droite sera la seconde diagonale. • Cette droite coupe la demi-droite [Ax) en C. • Puisque M doit être le milieu de [CD], le point D doit être le symétrique du point C par rapport à la droite (AB) : on reporte donc la longueur MC au compas à partir de M sur la droite (CM) mais « de l’autre côté par rapport à la droite (AB) ». On trace alors un arc de cercle qui coupe (CM) au point D. • On finit de tracer les côtés du losange. • On est sûr que c’est un losange car les diagonales ont été construites de telle sorte qu’elles soient perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Il y avait une autre bonne réponse : Etiquette 6 - Etiquette 2 - Etiquette 1 - Etiquette 3 - Etiquette 5 - Etiquette 7 - Etiquette 4


17

c

c c

Séquence 7

Séance 4



Exercice 25

CM

#

.

CM

6

"


CM

#

.

• On commence par construire avec l’équerre et la règle graduée les deux côtés perpendiculaires [CN] et [NB] tels que : NC = 5 cm et NB = 3 cm.

CM

"

• On trace la demi-droite [Cx) perpendiculaire en C à la droite (CN) puis la demi-droite [By) perpendiculaire en B à la droite (BN). Le point V est le point commun à ces deux demi-droites.

5

C

CM

N

3

CM

y V x

B

∑ semble droit. On verra par la suite à l’aide d’une démonstration que cet • À l’aide de l’équerre, on peut vérifier que l’angle CVB angle est un angle droit. Tu as déjà rencontré un tel quadrilatère : on l’appelle un rectangle.

Exercice 26

5N

2%#4!.',% RECTANGLE

EST

UN

n o i it

quadrilatère QUI A QUATRE

ANGLESdroits

n i f é

d

18

On recopie simplement les mots qui manquent dans la carte en prenant modèle sur le paragraphe « JE RETIENS » précédent.



c

Séquence 7

Exercice 27 1) Les droites (DH) et (FG) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DF). Les droites (DH) et (FG) sont donc parallèles.

(

$

1) On utilise la propriété 1 du paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 1 séance 7. '

) On vient de démontrer que les droites (DH) et (FG) sont parallèles. La droite (GH) est perpendiculaire à la droite (DH), elle est donc perpendiculaire à la droite (FG).

&

$

(

&

'

3) Le quadrilatère DFGH possède donc en fait 4 angles droits. Par définition, c’est donc un rectangle. 4) On a démontré dans le 2) que ses côtés opposés [DH] et [FG] sont parallèles. De même, les côtés opposés [DF] et [HG] sont parallèles parce qu’ils sont tous les deux perpendiculaires au côté [DH]. Exercice 28

2) On utilise la propriété 2 du paragraphe « JE RETIENS » de la séquence 1 séance 8.

3) En conclusion, dès qu’un quadrilatère possède trois angles droits, son quatrième angle est droit également : ce quadrilatère est donc un rectangle.

2%#4!.',%

3I UN QUADRILATÒRE A trois

e

ANGLES DROITS ALORS CgEST UN

rectangle

n

n o c

re

r t î a


Exercice 29 D

+.

gD

+

,

D

-

.

,Dg + +

D

.

,

On plie soigneusement de façon à faire une bonne observation. Seuls les pliages suivant les droites (d) et (d’) permettent d’obtenir que les sommets, les côtés et les angles du rectangle KLMN se superposent exactement. Ce sont les deux seuls axes de symétrie du rectangle.

-

,

Les axes de symétrie du rectangle sont les droites (d) et (d’). © Cned, mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

1

c

c c

Séquence 7

Exercice 30

2%#4!.',%

3IUNQUADRILATÒREESTUNRECTAN

é

t é i r

deuxAXESDE SYMÏTRIE LES médiatrices DE GLEALORSILADMET

p o r


DEUXCÙTÏSCONSÏCUTIFS

p

Exercice 31 1) a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la droite (d) ? [BC]. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AD] et [BC] ? Elles sont égales. b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d’) ? [DC]. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AB] et [DC] ? Elles sont égales. c) Quelle propriété viens-tu de démontrer ? Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont de même longueur. Dg ) ! $

D I "

#

a) Quel est le point d’intersection de ces diagonales ? le point I b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d’) ? [DB] Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AC] et [BD] ? Elles sont égales. c) Quelle propriété viens-tu de démontrer ? Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur. 3) a) En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IA et ID : IA =ID En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances ID et IC : ID =IC En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IC et IB : IC = IB En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances IB et IA : IB = IA b) Compare IA et IC : IA = IC puis IB et ID : IB = ID Le point I est le milieu des diagonales [AC] et [BD]. c) Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu.

0

1) a) par la symétrie par rapport à la droite (d) : A a pour symétrique B D a pour symétrique C. [AD] a donc pour symétrique [BC]. On utilise la propriété de la symétrie suivante « un segment et son symétrique ont la même longueur ». b) Par la symétrie par rapport à la droite (d’) : A a pour symétrique D B a pour symétrique C. [AB] a donc pour symétrique [DC]. c) C’est une propriété importante que l’on devra retenir. 2) b) par rapport à la droite (d’) : Le symétrique de A est D. Le symétrique de C est B Donc : Le symétrique de [AC] est [DB]. c) N’oublie pas que les segments [AC] et [BD] sont les diagonales.

3) a) • En effet, [IA] et [ID] sont symétriques par rapport à la droite (d’) (le point I est son propre symétrique). • [ID] et [IC] sont symétriques par rapport à la droite (d). • [IC] et [IB] le sont par rapport à la droite (d’). • [IB] et [IA] le sont par rapport à (d). b) • IA = ID et ID = IC donc IA = IC IB = IC et IC = ID donc IB = ID • Comme les points A, I et C sont alignés ainsi que les points B, I et D, on déduit que I est le milieu des diagonales. c) Cette propriété est importante : on devra la retenir.



c

Séquence 7

Exercice 32 1)

2%#4!.',% 3IUNQUADRILATÒREESTUNRECTAN

é

t é i r

GLEALORSSESDIAGONALESONTLE

milieu longueur MÐME

p o r

p )

ET LA MÐME

2%#4!.',% 3I UN QUADRILATÒRE EST UN RECTANGLE

longueur

SES

p

o r p

é

t é i r

ALORS

OPPOSÏS ONT la

CÙTÏS

même


2%#4!.',% 3IUNQUADRILATÒREESTUNRECTAN

é t ié

GLEALORSSESCÙTÏSOPPOSÏSSONT

parallèles

r p o

pr


1

c

c c

Séquence 7

Exercice 33

7

!

$

O "

#

• Les diagonales du rectangle ABCD se coupent en O. • D’après la propriété : « si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu », je peux affirmer que O est le milieu de [AC] et de [BD], et que AC = BD. • J’en déduis que : OA = OB = OC = OD • Le cercle Ω de diamètre [AC] a pour centre le milieu O de [AC] et son rayon est OA. Comme OB = OD = OA, B et D appartiennent à Ω.

• Le centre d’un cercle est le milieu de son diamètre. • On utilise ici la carte 18 de la Boîte à Outils. • Comme O est le milieu de [AC] : OA = OC = AC ÷ 2 De même, comme O est le milieu de [BD] : OB = OD = BD ÷ 2

• On utilise la définition du cercle : séquence 1 séance 9 premier paragraphe « Je retiens ». Les distances de B à O et de D à O sont égales au rayon OA.

Exercice 34 ! 1) 2)

(

"

$

% &

'

# 3) Je n’y arrive pas. Les commentaires du professeur : 3) On a beau essayer tous les cas de figures, on a toujours l’impression d’avoir un rectangle ... Par la suite, on va admettre et retenir que ce résultat est toujours vrai, à savoir : « Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et qui ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle ».

22



c

Séquence 7

Exercice 35

2%#4!.',% 3IUNQUADRILATÒREASESDIAGONA

milieuETLA longueur ALORS rCEe QUADRILATÒREESTUNrectangle ît

LESQUIONTLEMÐME MÐME

o ec

n

r

na


Exercice 36 1) x ) 5 • Je trace un segment [RT] de 6 cm. • Je place le milieu V du segment [RT]. • Je construis l’angle TVx de mesure 53°. • Je trace un arc de cercle de centre V et de rayon RV ² 4 2 (égal à 3 cm). 6 Il coupe la demi-droite [Vx) en U. • Je prolonge le tracé de la droite (UV). Je trace un autre arc de cercle de centre V et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (UV) en un deuxième point : le point S. • Je trace les côtés du quadrilatère RSTU. 3 3) Les diagonales du quadrilatère RSTU ainsi construit ont la même longueur 6 cm et le même milieu V. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle », je peux affirmer que RSTU est un rectangle. Les commentaires du professeur : 2) ∑ dont la mesure est 53°. On pense ensuite à la propriété : On commence par tracer le segment [RT], son milieu V puis l’angle TVx « Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle », car on veut construire un rectangle. On connaît déjà les longueurs VR et VT. On sait que l’on doit avoir VR = VT = VU = VS = 3 cm. On pense alors à tracer le cercle de centre V et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (Vx) en U et S. Il ne reste plus alors qu’à tracer les côtés du quadrilatère. 3) On utilise la carte 24 de la Boîte à Outils : elle permet de reconnaître un rectangle à l’aide de ses diagonales.


3

c

c c

Séquence 7

Séance



Exercice 37 1) la figure 1 …

la figure …

la figure 3 …

la figure 4 …

… est un losange ?

NON

NON

OUI

OUI

… est un rectangle ?

OUI

NON

OUI

NON

) La figure 3 est un carré. Les commentaires du professeur : La figure 1 et la figure 3 sont des rectangles d’après la carte 3 de la boîte à Outils : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits ». La figure 3 et la figure 4 sont des losanges d’après la carte 2 de la boîte à Outils : « Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur». On peut voir sur ces quatre exemples qu’un quadrilatère peut être : • un losange et pas un rectangle (figure 4) • un rectangle et pas un losange (figure 1) • ni un rectangle, ni un losange (figure 2) mais aussi, et c’est le cas qui va nous intéresser dans cette séance, un quadrilatère peut être à la fois un losange et un rectangle (figure 3). Tu as déjà rencontré ce quadrilatère à l’école primaire, on l’appelle le carré.

Exercice 38

5N

#!22% CARRÏ

EST

UN

n o i it

quadrilatère QUI EST Ì LA

FOIS UN losange ET UN

n i f é

rectangle

d

4




c

Séquence 7

Exercice 39 1) Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il a donc 4 axes de symétrie qui sont ses diagonales et les médiatrices de deux côtés consécutifs. 2)

1) On utilise les cartes 6 et 7 de la Boîte à Outils.

(

-

!

4

3) Le carré est un losange, donc ses diagonales sont perpendiculaires et elles ont le même milieu. 4) Le carré est un rectangle, donc ses diagonales ont la même longueur et ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

3) On utilise les cartes 16 et 17 de la Boîte à Outils 4) On utilise les cartes 18, 12 et 13 de la Boîte à Outils.


25

c

c c

Séquence 7

Exercice 40 1)

#!22%

3I UN QUADRILATÒRE EST UN CARRÏ AXES DE ALORS IL ADMET ETLES SYMÏTRIESES DE DEUX CÙTÏS CONSÏCUTIFS

médiatrices

quatre diagonales

p o r

p )

é

t é i r

#!22%

3I UN QUADRILATÒRE EST UN CARRÏ


ALORS SES DIAGONALES ONT LE

ALORS

té

ié r p

MÐME milieu ET LA MÐME

longueur

o r p

3)

#!22% SES

é t ié

DIAGONALES

perpendiculaires

SONT

pr

r p o

4)

#!22%

#!22%



ALORS SES QUATRE ANGLES SONT

ALORS SES QUATRE CÙTÏS ONT LA

droits

rié

p

o r p

té

p

o r p

é

t é i r

MÐMElongueur

Les commentaires du professeur : 1) Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (premier •) 2) Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (trois derniers •) 3) Un carré est un rectangle donc il a quatre angles droits d’après la carte 3. 4) Un carré est un losange donc il a quatre côtés de la même longueur d’après la carte 2.

6



c

Séquence 7

Exercice 41 1) $

#

1) On commence par représenter une figure à main levée : $

!

!

"

CM

) Ce losange est un carré.

Exercice 42

#

CM

"

• On commence par construire le triangle ABC rectangle en B tel que BA = BC = 4,5 cm. • On termine ensuite la construction du losange avec le compas. On trace deux arcs de cercle : un de centre A et de rayon 4,5 cm, l’autre de centre C et de rayon 4,5 cm. Ces deux arcs se coupent en D. 2) Il semble que ce losange qui possède un angle droit soit un carré, c’est-à-dire qu’il possède en fait quatre angles droits. Ceci est en fait toujours vrai (nous l’admettrons, c’est-à-dire que nous allons considérer que ce résultat est toujours vrai, mais nous n’allons pas le démontrer). A savoir : Si un losange possède un angle droit, alors c’est un carré.

#!22%

angle droit ALORSCgESTUNcarré

3IUNLOSANGEAUN

n

n o c

re

e

r t î a

On recopie ce qui manque sur le paragraphe précédent. On n’oublie pas de coder la figure.


7

c

c c

Séquence 7

Exercice 43 1)

CM

%

(

1) On construit le rectangle comme on le fait habituellement, la seule particularité ici, est que deux côtés consécutifs ont la même longueur donc tous les côtés mesurent 6,2 cm.

CM

&

'

) • D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés ont la même longueur », on a : EF = HG et EH = FG. Comme EF = EH = 6,2 cm, on a : EF = FG = GH = EH = 6,2 cm. • Le quadrilatère EFGH a quatre côtés de la même longueur, c’est donc (par définition du losange) un losange. • Le quadrilatère EFGH est donc à la fois un rectangle et un losange, c’est donc (par définition du carré) un carré. EFGH est donc un carré. Exercice 44

2) • On applique la carte 12 de la boîte à Outils. • On applique la carte 2 de la boîte à Outils. • On applique la carte 4 de la boîte à Outils.

#!22%

3I UN RECTANGLE A DEUX CÙTÏS CONSÏCUTIFS

DE

MÐME

e r t aî

longueur ALORS CgEST UN carré

n n o

c

re

8

On recopie sur le paragraphe précédent ce qui manque. On n’oublie pas de coder.



c

Séquence 7

Exercice 45 1) Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un losange », on déduit que EFGH est un losange. ) Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus, la même longueur. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère ont la même longueur et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle », on déduit que ce EFGH est un rectangle. 3) Ce quadrilatère est donc un losange et un rectangle. D’après la définition « un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré », on peut affirmer que EFGH est un carré. Exercice 46

1) • Le codage montre que les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu.

3) On utilise la carte 4 de la Boîte à Outils.

#!22%

3IUNQUADRILATÒREASESDIAGONALES

perpendiculaires ONT milieu ETONTLAMÐME e longueur ALORS CE QUADRILATÒRE r t UNcarré aî QUI SONT

LEMÐME

n n o

Aide-toi du paragraphe précédent et n’oublie pas le codage.

c

re

&

Exercice 47 1)

1) On représente une figure à main levée codée : &

CM %

'

%

CM /

'

(

(

) • Je trace un segment [EG] de 5 cm. • Je place le milieu de ce segment. • Je trace la perpendiculaire à ce segment en son milieu. • Je place les points F et H de cette perpendiculaire de telle sorte que le milieu de [EG] soit aussi le milieu de [FH] et de telle sorte que FH = 5 cm. Je trace le quadrilatère EFGH. J’affirme que c’est un carré. Je justifie : Les diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu, elles ont la même longueur et elles sont perpendiculaires donc d’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, ont le même milieu et ont la même longueur alors ce quadrilatère est un carré », je peux affirmer que EFGH est un carré.

2) • On trace la première diagonale [EG] de 5 cm de longueur. • On place son milieu, appelons-le O par exemple. On a : OE =OG = 2,5 cm. • On trace la droite (d), perpendiculaire en O à la droite (EG). • On place les deux points F et H de cette médiatrice qui sont situés à 2,5 cm de O à l’aide d’un compas. On trace pour cela deux arcs de cercle de centre O et de rayon OE. Ces deux arcs coupent la droite (d) en F et H. • On termine la construction du carré en traçant ses côtés. • On utilise la carte 25.


c

c c

Séquence 7

Séance 6

Ce que tu devais faire Exercice 48 1) Le quadrilatère ABCD a trois angles droits. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que ABCD est un rectangle. 2) • Le quadrilatère DHGB a trois angles droits. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que DHGB est un rectangle. • On a de plus : BD = DH d’après le codage. D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un carré », je peux affirmer que DHGB est un carré. 3) DB = DH et IB = IH. D’après la définition du cerf-volant, le quadrilatère DBIH est un cerf-volant. 4) BD = DE = EF = FB. D’après la définition du losange, le quadrilatère EDBF est un losange.

Exercice 49 ∑ et ABD ∑ sont égaux d’après le codage. 1) Les angles ADB D’après la propriété : « Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle », je peux affirmer que le triangle ADB est isocèle en A. 2) Comme le triangle ADB est isocèle en A, on a (par définition du triangle isocèle) : AD = AB. On a donc : AD = AB et CD = CB d’après le codage. Le quadrilatère ADCB est donc (par définition du cerf-volant) un cerf-volant. Exercice 50 1) Les points E et C sont sur le cercle C de centre O donc : OE = OC. D’après le codage, on a donc : OE = OC = CD = DE. D’après la définition du losange, je peux affirmer que OCDE est un losange. 2) • Le quadrilatère ABCO a trois angles droits. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que ABCO est un rectangle. • Les points A et C sont sur le cercle C de centre O donc : OA = OC. • D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un carré », je peux affirmer que ABCO est un carré.

30

Les commentaires du professeur 1) On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils. Le quadrilatère DHGB est également un rectangle (mais, et on le verra dans le 2), c’est de plus un carré). 2) • On utilise à nouveau la carte 23 de la Boîte à Outils. • On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils.

3) On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils. 4) On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils. Le quadrilatère EDBF est également un cerfvolant (puisque c’est un losange). 1) On pense à utiliser une propriété qui permet de reconnaître un triangle isocèle. Elle a été vue dans la séance 7 de la séquence 5. 2) On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils.

1) On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils.

2) • On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils.

• On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils.



c

Séquence 7

Exercice 51 1)

7

"

-

%

. 5

!

2) • Le quadrilatère BEAU est un rectangle, donc par définition ∑ et BUA ∑ sont droits. les angles EBU • La droite (MN) est perpendiculaire à la droite (BE) donc l’angle BMN est droit. Le quadrilatère BMNU a trois angles droits. • D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que BMNU est un rectangle. M est un point du cercle Ω donc BU = BM. D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un carré », je peux affirmer que BMNU est un carré.

• On utilise la carte 3 de la Boîte à Outils. On sait également d’après cette définition que ∑ et UAE ∑ sont droits, mais ce les angles BEA résultat ne nous intéresse pas ici. • On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils

• On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils


31

c

c c

Séquence 7

Exercice 52 1)

1) Pour construire le triangle ABC , on commence par faire une figure à main levée codée :

!

!

CM

CM

65°

"

65°

"

#

ABC est isocèle en B donc : BA = BC = 4 cm. On a déjà rencontré ce type de construction dans l’exercice 42 de la séquence 3 (2ème question).

#

2)

C

!

$

C'

65°

"

#

3) • AB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm, c’est-à-dire sur le cercle C . • Comme le triangle ABC est isocèle en B, on a CB = AB = 4 cm. • CB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre C et de rayon 4 cm, c’est-à-dire sur le cercle C ’ 4) D ∈ C donc DA = 4 cm. D ∈ C ’ donc DC = 4 cm On a donc AB = BC = CD = DA. Les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même longueur donc, d’après la définition du losange, je peux affirmer que ABCD est un losange.

32

3) • On utilise la définition du cercle.

• On utilise à nouveau la définition du cercle 4) D est le point d’intersection des cercles C et C ’ donc il est à la fois sur C et sur C ’ . • On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils



c

Séquence 7



Exercice 53 1) CM

%

CM

&

( ~´

'

)

(

%

CM

² &

CM

'

Les commentaires du professeur : 1) EFGH est un cerf-volant donc le côté [EF] a un côté consécutif qui a la même longueur que lui. Comme : [EH] n’a pas la même longueur que [EF], [FG] a donc la même longueur que [EF]. Par un même raisonnement, on déduit que : EH = GH. 2) étape 2 On trace un arc de cercle de centre G, de rayon 4 cm, étape 1 On trace le côté [FG] de 3 cm. On trace un angle de sommet G, de côté [GF) et de mesure 130°. qui coupe le deuxième côté de l’angle en H. (

90 90

CM

² F

&

G

3 cm

étape 3 On trace un arc de cercle de centre H et de rayon HG = 4 cm.

CM

'

étape 4 On trace un autre arc de cercle, de centre F et de rayon FG qui coupe le premier arc en E. On trace alors les côtés du cerf-volant.

(

² &

CM

'

(

%

CM

² &

CM

CM

'


33

c

c c

Séquence 7

1) On réfléchit sur une figure à main levée codée.

Exercice 54 1)

Ú[e

A

I

CM

*

Ú[e

Ú[e

C

B

CM

CM

I

,

+

On constate que les côtés de même longueur sont d’une part [IJ] et [JK] et d’autre part [IL] et [LK]. On peut commencer par tracer le triangle IJL dont on connaît les longueurs des trois côtés. Au besoin, revoir la rubrique « je comprends la méthode » de la séance 6 de la séquence 3. Comme IJKL est un cerf-volant, on a : JK = JI = 2,5 cm KL = LI = 3,5 cm.

2) • Je trace un segment [JL] de 5 cm. • Je trace un cercle de centre J et de rayon 2,5 cm. • Je trace un cercle de centre L et de rayon 3,5 cm. • Je place les deux points d’intersection des deux cercles I et K. • Je trace les côtés du quadrilatère IJKL.

On peut donc tracer le triangle JKL connaissant les trois longueurs de ses côtés. Les cercles que l’on trace sont en fait les mêmes que ceux qui nous ont permis de construire le point I. Il nous suffisait donc de tracer deux cercles : l’un de centre J et de rayon 2,5 cm, l’autre de centre L et de rayon 3,5 cm pour obtenir les points I et K.

Exercice 55 1)

1) On pense à la carte 22 de la Boîte à Outils. On se dit : « Si j’arrivais à construire des diagonales perpendiculaires qui ont le même milieu, j’obtiendrais alors un losange ». On trace un segment de 7 cm. On trace ensuite sa médiatrice au compas qui le coupe en son milieu M. 5,4 ÷ 2 = 2,7 On trace deux arcs de cercle de centre M et de rayon 2,7 cm qui coupent cette médiatrice en deux points. CM D

2) a) Voici une figure à main levée :

8 ´

9

;

: b) ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un axe de symétrie de ce quadrilatère. (BD) est donc la bissectrice de ∑ = 80°. ∑ . On a donc : ADC ∑ = 2 x ADB l’angle ADC c) 3 cm

A

D

80°

B

C

x 34

2) b) On a utilisé la carte 6 de la boîte à outils. c) On construit le losange de la façon suivante : • On trace le côté [DA], • On construit un angle ∑ ADx de mesure 80°. • On reporte au compas la longueur AD à partir de D sur [Dx) ; on obtient le point C. • On trace deux arcs de cercle de rayon AD, l’un de centre A, l’autre de centre C. Ils se coupent en B. • On trace les deux côtés qu’il reste à tracer.



c

Séquence 7

Exercice 56 1)

Q

T

35°

6 cm

R

Les commentaires du professeur : étape 1 On trace le côté [QR] de 6 cm puis un angle de sommet Q, de côté [QR), de mesure 35°. Q

S

étape 2 On trace les perpendiculaires à la droite (QR) passant par Q et R. On obtient S. Q

35°

35°

6 cm

6 cm

R

S

étape 3 On trace la perpendiculaire à la droite (RS) passant par le point S. On obtient T. Q

T

35°

D’après la carte 23 de la boîte à outils, QRST est un rectangle. 6 cm

R

S


35

c

c c

Séquence 7

2)

H

E

G

5 cm 4 cm F

Les commentaires du professeur : étape 1 On trace le segment[EG] de 5 cm. Soit M le milieu de [EG]. Comme les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et le même milieu, on a : ME = MG = MH = MF = 2,5 cm. Les points F et H sont donc sur le cercle de centre M et de rayon 2,5 cm soit sur le cercle de diamètre [EG].

étape 2 Comme EF = 4 cm, le point F se trouve sur le cercle de centre E et de rayon 4 cm. EFGH est un rectangle donc ses côtés opposés ont la même longueur, d’où : GH = EF = 4 cm. Le point H se trouve donc sur le cercle de centre G et de rayon 4 cm

H

#

G

E M M

E

2,5 cm

G F

étape 3 On trace les quatre côtés du quadrilatère EFGH. H

G

E M

F

On a bien respecté la consigne de ne pas utiliser l’équerre.

36



c

Séquence 7

Exercice 57

*

L

J

K

4 cm

Les commentaires du professeur : étape 1 On trace un côté [IJ] de 4 cm, puis on trace une demi-droite d’origine J, perpendiculaire à (IJ) à l’aide d’une équerre. On reporte ensuite la longueur IJ à partir de J sur cette demi-droite à l’aide d’un compas. *

4 cm

J

K

étape 2 On trace deux arcs de cercle de rayon 4 cm de centres respectifs I et K. Ces deux arcs se coupent en L.

*

L

4 cm

J

K


37

c

c c

Séquence 7 1) • On trace la diagonale [JL] qui mesure 6 cm, puis on cherche à tracer une deuxième diagonale. • On utilise la carte 24 : JKLM est un rectangle donc cette deuxième diagonale a la même longueur que l’autre, soit 6 cm, et les deux diagonales se coupent en leur milieu que l’on nomme O. On trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm. • On trace un diamètre [MK], mais on a un nombre infini de possibilités. En voici trois :

M

Exercice 58 1)

J

L

M'

M''

K

M

H

E

J

L

G F Les deux rectangles sont-ils toujours superposables ? NON D 2)

C

A

K

K''

K'

Si on choisit un autre diamètre pour deuxième diagonale, on peut par exemple obtenir le quadrilatère EFGH. On voit facilement que ces deux rectangles ne sont pas superposables. 2) • On utilise la carte 25 : Ce n’est pas la même chose pour le carré puisque les diagonales d’un carré sont perpendiculaires : dès qu’on trace la première diagonale, la seconde est unique.

R

D

B S

U

A

C

B

Il n’y a donc qu’un seul carré qui a une diagonale de 6 cm. C’est pour cette raison que les carrés ABCD et RSTU sont superposables.

T Les deux carrés sont-ils toujours superposables ? OUI Exercice 59

(d)

A

(d')

E

E'

On utilise la carte 7. A et B sont les symétriques respectifs de E par rapport à (d) et (d’). (Revoir au besoin la construction du symétrique d’un point par rapport à une droite dans la séquence 5, séance 2 ou 6) Pour construire E’ : • E’ est le symétrique de A par rapport à (d’), • ou encore celui de B par rapport à (d) • ou encore lorsqu’on reporte EB à partir de A et EA à partir de B : E’ est le point commun aux deux arcs de cercle.

B 38



c

Séquence 7




7

%

! -

"

& 3) a) C’est Lou-Ann. b)

$

Maillon 1 Comme la droite (Δ) est la médiatrice du segment [AB], d’après la définition de la médiatrice, (Δ) coupe [AB] en son milieu. Le point M est donc le milieu de [AB] et c’est le centre du cercle Ω.

Maillon 2 Les points E, M et F sont alignés et les points E et F sont sur le cercle de centre M donc : • le segment [EF] est un diamètre du cercle Ω. • le point M est le milieu du segment [EF].

Maillon 3 Comme les segments [EF] et [AB] sont deux diamètres du cercle Ω, ils ont la même longueur.

Maillon 4 Comme (Δ) est la médiatrice du segment [AB], d’après la définition de la médiatrice, on a : (EF) ⊥ (AB).

Maillon 5 Comme les diagonales du quadrilatère AEBF sont perpendiculaires et ont le même milieu M, je peux conclure que AEBF est un losange.

Maillon 6 Comme les diagonales du quadrilatère AEBF ont le même milieu M et ont la même longueur, je peux conclure que AEBF est un rectangle.

c) démonstration de Henri : 1 – 2 – 4 – 5 d) démonstration de Victor : 1 – 2 – 3 – 6 e) En conclusion, AEBF est un losange et un rectangle donc c’est un carré. Les commentaires du professeur : 1) • On trace la médiatrice au compas : on revoit au besoin le paragraphe « Je comprends la méthode » de la séquence 5, séance 5. • Pour tracer le cercle Ω, on revoit éventuellement le paragraphe « Je comprends la méthode », séquence 1, séance 9. Ici, on a déjà le milieu de [AB] : c’est le point M commun aux droites (AB) et (Δ). 2) Les diagonales sont les segments [AB] et [EF]. 3) a) C’est Lou-Ann qui a raison. Cependant, on peut déjà le « tester » sur la figure : les quatre angles semblent être droits et les quatre côtés semblent avoir la même longueur. c) On utilise la carte 22. d) On utilise la carte 24. e) On utilise la carte 4.


39

c

c c

Séquence 7


1) On n’oublie pas qu’un diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle. 2) Une fois qu’on a tracé [EF], on trace une droite perpendiculaire à (EF) passant par I : elle coupe Ω’ en deux points A et B diamétralement opposés.

7°

A

F m

3c

7

)

E

B 3) • Comme [EF] est un diamètre du cercle Ω, le centre I de Ω est le milieu de [EF]. • Comme [AB] est un diamètre du cercle Ω’, le centre I de ce cercle Ω’ est aussi le milieu de [AB]. • Les diagonales [EF] et [AB] ont donc le même milieu I. • On sait que : (AB) ⊥ (EF). Les diagonales de AEBF sont donc perpendiculaires. • D’après la propriété « si un quadrilatère a ses diagonales qui sont perpendiculaires et qui ont le même milieu alors ce quadrilatère est un losange », je peux affirmer que AEBF est un losange.

40

3) • Comme le point I est le centre du cercle Ω, il est le milieu du diamètre [EF]. • Comme I est aussi le centre de Ω’, c’est également le milieu du diamètre [AB]. On utilise la carte 22 de la Boîte à Outils. Prends le temps de recopier soigneusement la démonstration si la tienne est incomplète : cela t’entraînera à rédiger.



c

Séquence 7

Exercice 62 a) « Un carré est un losange. » OUI « Un losange est un carré. » NON

b) « Un carré est un rectangle. » OUI « Un rectangle est un carré. » NON

c) « Un carré est un cerf-volant. » OUI « Un cerf-volant est un carré. » NON

d) « Les côtés opposés d’un losange ont la même longueur. » OUI « Les côtés opposés d’un cerf-volant ont la même longueur. » NON

Exercice 63 1) • HKJI est un losange. D’après la propriété : « si un quadrilatère est un losange alors ses angles opposés sont égaux », je peux affirmer que les angles KHI et KJI sont égaux. 2) • D’après le codage, les angles HKL et KJI sont égaux mais KJI = KHL d’après la question 1, donc on a : HKL = KHL . • D’après la propriété « si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle », je peux affirmer que le triangle HKL est isocèle. • Comme les sommets de ses angles égaux sont H et K, le triangle HKL est isocèle en L. Exercice 64 1), 2) et 3)

1) • On utilise la carte 10 de la Boîte à Outils. 2) • On utilise ici une donnée fournie par le codage. De plus, ∑ KHI = ∑ KHL . • On utilise ici le second paragraphe « Je retiens » de la séquence 5 séance 7. • On donne une réponse complète c’est-àdire que l’on précise bien en quel sommet le triangle est isocèle : on donne le nom du sommet principal.

B' 1) et 2) • On revoit au besoin le paragraphe « Je comprends la méthode » de la séquence 5 séance 6 pour construire B’.

A

B

a) Un carré est un losange par définition (carte 4 de la Boîte à Outils). Par contre, on a rencontré beaucoup de losanges dans cette séquence qui ne sont pas des carrés : il suffit qu’aucun de leurs angles ne soit droit. b) Un carré est un rectangle par définition (carte 4 de la Boîte à Outils). Par contre, on a rencontré beaucoup de rectangles dans cette séquence qui ne sont pas des carrés : il suffit que leurs côtés consécutifs n’aient pas la même longueur. c) Un carré est un losange donc c’est un cerfvolant puisqu’un losange est un cerf-volant avec la particularité d’avoir tous ses côtés de la même longueur. Par contre, un cerf-volant n’est pas forcément un losange comme on l’a déjà vu dans l’exercice 17 donc encore moins un carré ! d) Comme tous les côtés d’un losange ont la même longueur, les côtés opposés aussi ont la même longueur. Par contre, les côtés opposés d’un cerf-volant n’ont pas généralement la même longueur : il n’y a qu’à observer, par exemple, celui du premier paragraphe « Je retiens » de la séance 2 de cette séquence.

C

• Les segments [AB] et [AB’] sont symétriques par rapport à la droite (AC) donc ils ont la même longueur : AB = AB’. • De même, les segments [BC] et [B’C] sont symétriques par rapport à la droite (AC) donc : BC = B’C. • On a : AB = AB’ et : BC = B’C. Le quadrilatère AB’CB est donc par définition un cerf-volant.

3) • On utilise la propriété du troisième paragraphe « Je retiens » de la séquence 5 séance 3. • On utilise ici la carte 1 de la Boîte à Outils.


41

c

c c

Séquence 7

Exercice 65 1) , 2) et 3) a)

S

E 45°

A

U

3) b) Dans la symétrie axiale par rapport à la b) droite (EU) : • Les angles AEU et SEU sont symétriques par rapport à la • le symétrique de E est lui-même droite (EU) donc ils ont la même mesure. AEU = SEU = 45°. • le symétrique de U est lui-même • On a : • A et S sont symétriques SEA = SEU + UEA • les demi-droites [EA) et [ES) sont SEA ==SEU 45° + + UEA 45° = 90°. symétriques • la demi-droite [EU) est sa propre SEU + UEA L’angle SEA =est droit. symétrique c) c) EAU = 90° . Le triangle EAU est rectangle en A donc : Revoir au besoin le premier paragraphe « Je 90°symétriques par rapport Les angles ESU et EAU =sont retiens » de la séquence 5 séance 4. à la droite (EU) donc ils sont égaux. On a donc : d) ∑ ∑ = 90 ° ES U = EAU On utilise ici la carte 23 de la Boîte à Outils. d) e) On utilise ici le troisième paragraphe « Je Les trois angles ESU , EAU =et90° SEA =sont SEUdroits. + UEA retiens » de la séquence 5 séance 3. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, f) On utilise ici la carte 27 de la Boîte à Outils. alors c’est un rectangle », je peux affirmer que SEAU est un rectangle. Recopie bien ces démonstrations si les tiennes sont différentes de celles du corrigé e) ou bien si elles sont incomplètes.

Les segments [EA] et [ES] sont symétriques par rapport à la droite (EU) donc ils ont la même longueur c’est-à-dire : EA = ES. f) [EA] et [ES] ont la même longueur. D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur alors c’est un carré », je peux affirmer que SEAU est un carré.

42



c

Séquence 7

Séance 9 Ce que tu devais faire Exercice 66

Les commentaires du professeur A

B

D

Lorsqu’on trace une figure, il faut essayer de ne pas représenter de cas particuliers. Ici, on ne doit pas tracer des diagonales qui se coupent en leur milieu, sinon on peut obtenir une figure particulière. Lorsque les diagonales sont « uniquement » perpendiculaires, le quadrilatère n’a aucune particularité (cet exercice est un piège, puisque la consigne fait penser qu’il y en a une).

C Ce quadrilatère n’a aucune particularité : ce n’est pas un cerfvolant (donc n’est pas un losange) ; il n’est pas non plus un rectangle (donc n’est pas un carré). Exercice 67 Ce losange n’existe pas ! Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur or ici : RS ≠ TU Cela n’est pas possible !

Cet exercice est un piège : il comporte une erreur (volontaire) dans la consigne. Le losange qu’on demande de construire ne peut pas exister !


43

c

c c

Séquence 7

Exercice 68 1) a) Le quadrilatère ABGH a trois angles droits. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que ABGH est un rectangle donc HGB = 90°. b) • D’après les codages : GB = GD = BC = DC. Par définition, le quadrilatère BCDG est un losange. • D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un losange alors ses angles opposés sont égaux », je peux affirmer que : ∑ = BCD ∑ = 40° . BGD c) • D’après le codage du quadrilatère DEFG, les côtés consécutifs [DG] et [GF] ont la même longueur ainsi que les côtés consécutifs [DE] et [EF]. Ce quadrilatère est donc par définition un cerf-volant. • D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un cerf-volant alors il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l’autre » et grâce aux codages, je peux déduire que la diagonale (GE) est un axe de symétrie de DGFE. • Les angles+ DGE et EGF sont symétriques donc HGE = HGB + BGD

1) a) On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils

b) • On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils • On utilise la carte 10 de la Boîte à Outils

Code ce résultat sur la figure. c) • On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils • On utilise la carte 5 de la Boîte à Outils

Code ce résultat sur la figure. d) • Voir le premier paragraphe « Je retiens » séquence 3 séance 5 puis l’exercice 27 séquence 3.

DGE = EGF = 50°

d) On a : HGE = HGB + BGD + DGE HGE = BGD+ + DGE donc = HGB 90° ++40° 50° = 180°. L’angle HGE est plat donc les points H , G et E sont alignés dans cet ordre. 2)

#

CM

!

" $

CM

² %

(

'

2) • On commence par construire un rectangle AHGB ayant les dimensions données. La meilleure méthode consiste à tracer un triangle rectangle HAB puis à utiliser le compas pour obtenir le sommet G. • On construit ensuite le losange BGDC. On ∑ de 40° commence par construire l’angle BGD à l’aide d’un rapporteur. On obtient ensuite le sommet C à l’aide du compas. • On construit enfin le cerf-volant GFED. Pour cela, on commence par construire le point E qui est sur la droite (HG) d’après le 1) d), et qui est tel que : GE = HG. On prolonge donc le tracé du segment [HG] puis on utilise le compas pour obtenir le point E. À l’aide d’un compas, on trace des arcs de cercle de rayons GD et DE de centres respectifs G et E. Ces arcs se coupent en F.

&

44



c

Séquence 7

Je m’évalue

1) Les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. $ D’après la carte 22 de la Boîte à Outils, le quadrilatère ABCD est un losange. C’est donc aussi un cerf-volant.

1) La figure à main levée codée ci-dessous est : !

˝ un cerf-volant ® un carré ® un rectangle ˝ un losange

"

#

2) Ce quadrilatère possède trois angles droits, donc d’après la carte 23, c’est un rectangle.

2) La figure à main levée codée ci-dessous est : (

˝ un cerf-volant ˝ un carré

Sans indication sur les angles formés par les côtés, on ne peut pas affirmer que ce quadrilatère est un carré, même si la forme du quadrilatère y fait penser.

Ce rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur donc d’après la carte 27, c’est un carré.

%

˝ un rectangle ˝ un losange

'

EFGH est un carré, c’est donc un losange (donc un cerf-volant).

&

3) La figure à main levée codée ci-dessous représente :

3) Ce quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l’autre, donc d’après la carte 21, c’est un cerf-volant.

+

˝ un cerf-volant ® un carré

.


,

On ne peut pas affirmer que c’est un losange car d’après le codage seule une diagonale est la médiatrice de l’autre.

-

4) Coche les phrases vraies :

4)

® « Si un quadrilatère possède deux angles droits alors c’est un rectangle. »

• Deux angles droits ne suffisent pas pour avoir un rectangle.

˝ « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadrilatère est un cerf-volant. »

• Voir la carte 21 de la Boîte à Outils.

® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadrilatère est un losange. »

• Cela ne suffit pas. Par contre, si l’autre diagonale est la médiatrice de la première, alors on a un losange.

® « Si un quadrilatère possède deux côtés consécutifs de la même longueur alors c’est un carré.»

• Cela suffit avec un rectangle, mais ne suffit pas avec un quadrilatère quelconque.


45

c

c c

Séquence 7

5) Coche les phrases fausses : ® « Un carré est un cerf-volant. »

5) Voir l’exercice 17 de cette séquence. Il n’y a pas de phrase fausse donc on n’en coche aucune.

® « Un carré est un rectangle. » ® « Un carré est un losange. » ® « Un losange est un cerf-volant. »

6) Coche les phrases vraies : ® « Un rectangle est un carré. » ® « Un losange est un carré. »

6) Voir l’exercice 17 de cette séquence. Il n’y a pas de phrase vraie donc on n’en coche aucune. Le point commun des diagonales n’est le milieu que d’une seule diagonale.

® « Un cerf-volant est un losange. » ® « Les diagonales d’un cerf-volant se coupent en leur milieu. »

7) Que peux-tu affirmer sur les côtés opposés d’un carré ? ˝ Ils sont parallèles

7) Voir les cartes 12 et 13 de la Boîte à Outils, sachant qu’un carré est un rectangle.

® Ils sont perpendiculaires ˝ Ils ont la même longueur ® Ils ont le même milieu

8) Que peux-tu affirmer sur les diagonales d’un carré ? ˝ Elles sont perpendiculaires ˝ Elles ont le même milieu

8) Il faut tout cocher ! Voir les cartes 19 et 20 de la Boîte à Outils, ainsi que le deuxième paragraphe « JE RETIENS » de la séance 3.

˝ Elles ont la même longueur ˝ L’une est la médiatrice de l’autre

46



c

Séquence 7

) ABCD est un losange tel que les triangles ABD et BDC sont équilatéraux. Coche les égalités vraies : ˝ AB = BC

9) La longueur de la diagonale [AC] est différente de la longueur des côtés, mais AB = BD car le triangle ABD est équilatéral.

˝ AB = DC ˝ AB = BD AC = BD ¨

10) Dans quel cas les triangles ABC et BCD sont-ils isocèles et superposables ?

10) Voici les deux cas où les triangles ABC et BCD sont superposables et isocèles : !

˝ quand ABDC est un losange quand ABCD est un losange ¨

"

!

#

"

#

˝ quand ABCD est un carré ¨

quand ABCD est un rectangle

$

$


47

c

c c

Séquence 8




Je révise les acquis de l’école 1)

1)

1 5 2 ˛ 12 1 ˛ 6 3 ¨ 4

Le disque est partagé en douze parties superposables. Deux de ces portions sont coloriées en vert. La fraction du disque 2 . coloriée en vert est donc 12 1 La partie coloriée représente également . 6

¨

2)

2) 25 min ˛ un quart d’heure ¨ 30 min ˛ 15 min ¨

La grande aiguille indique les minutes. Elle effectue un tour complet en 1 h soit 60 min.

4 x 15 min = 60 min. 15 min représentent donc un quart d’heure.

3)

3)

¨

3 élèves ¨ 7 élèves ¨ 1 élève ˛ 8 élèves

Pour connaître le tiers de 24, on divise 24 par 3. On obtient 8.

4) ˛ un quart ¨ un tiers

4)

¨

˛

1 4

On voit sur la figure ci-dessous que la fraction 1 qui reste à parcourir est . 4

on ne peut pas savoir

8flgaf]

48



c

Séquence 8

Exercice 1

Cet exercice est un exercice de multiplications à trous. Tu en as déjà fait (par exemple l’exercice 28 de la séquence 4).

0,7 x 10 = 7

• Le nombre qui, multiplié par 10, donne 7 est 0,7. C’est le quotient de 7 par 10. Il se 7 note . 10 • 0,726 est le quotient de 72,6 par 100. Il se

0,726 x 100 = 72,6

4 x 3 = 12

9 = 4,5. 2 10 2) 2,5 x 4 = 10 donc : = 2,5. 4 3) 3,5 x 2 = 7 donc : 7 √ 2 = 3,5. 2 = 0,4. 4) 0,4 x 5 = 2 donc : 5 donc :

5) ........ x 0 = 3 C’est impossible : tout nombre multiplié par 0 donne 0, donc on ne peut pas obtenir 3. Il n’y a pas de solution. Exercice 3 1) Maxence donne à chacun 1 € et il lui reste 3 €.

7 3

72,6 . 100

• 8 est le quotient de 40 par 5. Il se 40 note . 5 • 4 est le quotient de 12 par 3. Il se 12 note . 3

8 x 5 = 40

Exercice 2 1) 4,5 x 2 = 9

note

4 1

2) Je divise d’abord 7 unités par 4. 7, 0 0 4 En 7, combien de fois 4 ? → 1 fois, il reste 3 unités. 1,75 3 0 3 unités, c’est 30 dixièmes. En 30, combien de fois 4 ? 2 0 → 7 fois, il reste 2 dixièmes. 0 2 dixièmes, c’est 20 centièmes. En 20, combien de fois 4 ? → 5 fois, il ne reste rien. D’après son grand frère, Maxence devra donner 1,75 € à chacun de ses quatre amis. 3) 1, 7 5 Pour partager équitablement 7 € en 4 personnes, Maxence doit donner 1,75 € à chacune de ces x 4 quatre personnes. 7, 0 0

Cet exercice est encore un exercice de multiplications à trous.

5) On voit dans cette question que le quotient d’un nombre par 0 n’existe pas.

La division est simple, on aurait pu ne pas la poser ! Maxence ne parvient pas à partager tout son argent : il lui reste encore 3 €.

Cette méthode est appelée « technique de la division décimale ».

3) La multiplication permet de vérifier que, lorsqu’on partage 7 € en quatre sommes égales, on obtient bien 1,75 €.


49

c

Séquence 8

Exercice 4 1)

2)

8 5 3 ,0 3 5 0 3 3 0 0

5

3)

9 1 2 ,0 1 2 0 0

1 7 0,6

853 : 5 = 170,6

Par conséquent :

1 5

1 8 ,0 0 1 2 0 0

6 0,8 912 = 60,8 15

2 4 0,7 5

Le quotient de 18 par 24 est 0,75.

Les commentaires du professeur : La troisième division est un peu plus délicate que les autres. Voici ce que l’on se dit pour cette division : « En 18, combien de fois 24 ? Réponse 0. J’écris un 0 puis une virgule au quotient »

1 8 ,0

J’écris à droite du dividende 18 une virgule puis un 0.

2 4 0,

En 180, combien de fois 24 ? Réponse 7. 7 x 24 =168 180 – 168 = 12. J’écris 12 en dessous de 180.

1 8 ,0 1 2

2 4

J’écris un 0 à droite de 12. En 120, combien de fois 24 ? Réponse 5. 5 x 24 = 120 120 – 120 = 0 La division est terminée. Le quotient est 0,75.

1 8 ,0 0 1 2 0 0

2 4

Exercice 5 Maxence s’est trompé car il n’a pas terminé sa division. 3 5,0 0 0 3 0 6 0 4 0

8 4, 3 7 5

0,7

0,7 5

On pouvait rapidement voir que Maxence s’était trompé car : 4,37 x 8 = 34,96 Comme on ne trouve pas 35, on sait que Maxence s’est trompé. Il faut penser à terminer ses divisions.

0

Dans chaque pot, il y aura 4,375 L de peinture. Quatre plumes pèsent 173 grammes. Combien pèse une plume ?

Deux groupes de 98 et 55 touristes se rejoignent à un embarcadère. Des bateaux vont leur permettre de traverser un fleuve : chaque bateau peut contenir 36 touristes. Combien de touristes y aura-t-il dans le dernier bateau ?

4

98 + 55 = 153

4 3,2 5

1 5 3 9

opérations

problème

Exercice 6

1 7 3 ,0 0 1 3 1 0 2 0 0

conclusion

c c

Une plume pèse 43,25 grammes.

50


3 6 4

Le dernier bateau contiendra 9 touristes.

Six randonneurs ont emporté 231 litres d’eau pour leur périple dans le désert. Sachant qu’ils ont réparti équitablement les charges entre eux, quel volume d’eau chacun doit-il transporter ? 2 3 1 ,0 5 1 3 0 0

6 3 8,5

Chaque randonneur va transporter 38,5 litres d’eau.


c

Séquence 8



Exercice 7 9 3 ,0 0 0 0 1 3 0 2 0 4 0 8 0 0

On trouve un quotient qui a 4 chiffres après la virgule. Un tel prix n’existe pas en réalité.

1 6

C’est pourtant bien le prix que coûte un DVD de ce lot.

5,8 1 2 5

Un DVD de ce lot coûte exactement 5,812 5 €. Ce type de prix n’existe pas en réalité, car il n’existe pas de pièce qui vale moins de 1 centime d’euro. Exercice 8 Idir a raison. Par pliage, on peut partager équitablement le ruban en 3. Calculons la longueur en cm de chacun des morceaux : 1 6,0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Un vendeur ne pourrait pas vendre un DVD à ce prix (5,812 5 €). Par contre, il pourrait prendre comme prix de vente un DVD l’arrondi au centième d’euros de 5 812 5 €, soit à 5,81 €. Revoir au besoin les séances 5 et 6 de la séquence 2. La division ne s’arrête jamais puisque « le reste se répète » : En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1 En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1

3

...

5, 3 3 3 3

... ...

5,3 ; 5,33 ; 5,333 ; 5,3333 sont des valeurs approchées de la longueur d’un morceau de Cette division ne s’arrête jamais ! La longueur en cm de chaque ruban en cm.

morceau de ruban ne s’écrit pas simplement.

Sa longueur exacte se note

16 cm. 3

Exercice 9 a) 9 2,0 0 2 2 1 0 3 0 2

a)

7 1 3,1 4

On cherche l’arrondi au dixième du quotient de 92 par 7. On effectue donc la division jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ».

92

L’arrondi au dixième de est 13,1. 7 b) 3 5,0 3 0 6

8 4,3

b) On cherche la troncature au dixième du quotient de 35 par 8. On effectue donc la division jusqu’au « premier chiffre après la virgule ».

35

La troncature au dixième de est 4,3. 8 c) 9 1,0 0 0 3 1 1 0 4 0 4 0 4

L’arrondi au centième de

6

1 5,1 6 6

c) On cherche l’arrondi au centième du quotient de 91 par 6. On effectue donc la division jusqu’au « troisième chiffre après la virgule ».

91 est 15,17. 6


51

c

c c

Séquence 8

Exercice 10 La réponse de Maxence est fausse ! J’effectue la division de 25 par 6 : 2 5 ,0 0 0 0 1 0 4 0 4 0 4 0 4

6 4, 1 6 6 6

La division ne s’arrête jamais, on « retombe toujours sur le même reste 4 ». Le quotient n’est donc pas un décimal.

Exercice 11 Le volume de jus de pêche est 2 x 25 soit 50 cL. Le volume de jus de fraises est 4 x 12,5 soit 50 cL. Le volume total de jus dans le saladier est 50 + 50 + 57 soit 157 cL. 1 5 7,0 0 2 7 1 0 0 9

1 3 1 2,0 7

Il y aura environ 12,1 cL de cocktail dans chaque verre.

52

La division ne s’arrête jamais, le quotient n’est pas décimal. On peut toutefois en donner des valeurs approchées : à 2 chiffres après la virgule : 4,17 à 3 chiffres après la virgule : 4,167 à 4 chiffres après la virgule : 4,166 7 à 5 chiffres après la virgule : 4,166 67 à 6 chiffres après la virgule : 4,166 667 à 7 chiffres après la virgule : 4,166 666 7 à 8 chiffres après la virgule : 4,166 666 67 à 9 chiffres après la virgule : 4,166 666 667 ... La réponse que donne la calculatrice est en fait dans ce cas l’arrondi à 8 chiffres après la virgule. Autre méthode : Si la réponse de Maxence était correcte 4 166 666 667 serait le nombre dont le produit par 6 serait égal à 25. On aurait donc : 4,166 666 667 x 6 = 25 Comme 7 x 6 = 42, 4,166 666 667 x 6 est un décimal ayant 9 chiffres après la virgule, le dernier étant un 2. Le produit 4,166 666 667 x 6 n’est donc pas égal à 25. 4,166 666 667 n’est pas le quotient de 25 par 6.

On demande pour la réponse l’arrondi au dixième de cL. On effectue donc la division jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ». On n’oublie pas, dans ce type de problème, de rédiger correctement la réponse en détaillant les calculs que l’on fait.



c

Séquence 8



Exercice 12

On voit dans cet exercice la méthode qui permet de diviser un nombre décimal par un entier. Il faut que tu apprennes cette méthode et que tu la maîtrises « sur le bout des doigts ».

Je divise d’abord 18 unités par 5. En 18, combien de fois 5 ? → 3 fois, il reste 3 unités. 3 unités et 4 dixièmes, c’est 34 dixièmes. En 34, combien de fois 5 ? → 6 fois, il reste 4 dixièmes. 4 dixièmes et 5 centièmes, c’est 45 centièmes. En 45, combien de fois 5 ? → 9 fois, il ne reste rien. Maxence et ses quatre amis vont payer chacun 3,69 € pour offrir le CD à Armand. Exercice 13 1)

2 7 6 ,5 6 3 6 0 5 1 6 0

2)

4

2 6 1 ,3 0 2 1 3 3 3 0 0

6 9,1 4

276, 56 = 69,14 4

6

9 5,4 9 1 1 4 6 9 9 0 6 0 0

3)

4 3,5 5

261, 3 = 43,55 6

1 2 7,9 5 7 5

95,49 ÷ 12 = 7,957 5

Les commentaires du professeur : On applique la technique de la division décimale.

Exercice 14 1)

1) 1 2 5,6 4 5 5 6 0

8 1 5,7

Un pot de peinture coûte 15,70 €. 2) 8 x 3 = 24 8 pots de 3 L contiennent au total 24 L de peinture. 1 2 5,6 0 5 6 8 0 8 0 8 0

2 4 5,2 3 3

1 L de peinture coûte environ 5,23 €.

8 pots coûtent 125,6 € donc pour obtenir le prix d’un pot, on effectue : 125,6 ÷ 8 .

2) On commence par calculer le nombre total litres de peinture contenus dans les 8 pots. On trouve 24 L. On divise ensuite le nombre de litres de peinture par le prix. On effectue : 125,6 ÷ 24 On veut l’arrondi au centième d’euro donc on arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ». Remarque : On aurait pu obtenir le prix d’un litre de peinture en divisant le prix d’un pot de 3 L par 3. Cependant, cette méthode a un inconvénient : si le calcule, à la première question, est faux, tout l’exercice est faux.


53

c

c c

Séquence 8

Exercice 15 1)

1) 2 5 ,1 2 0 4 1 6 2 6 0 4

La troncature au millième de

25,12 7

7

On cherche la troncature au millième de

3, 5 8 8

On arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ».

25,12 est 3,588. 7

2)

2) On cherche l’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 . On arrête la division « au bout du 2e chiffre après la virgule ».

6

2,3 0 5 0 2

0, 3 8

L’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 est 0,4. Exercice 16 1) a)

b)

1 6 8 ,2 6 8 8 2 2 0 0

4,5 0 0 5 0 0 0

c)

1 0 1 6,8 2

1 0 0 0, 0 4 5

9 1 ,6 0 0 0 1 6 0 0 6 0 0 0 0

1 0 0 0 0, 0 9 1 6

2) a) Diviser 168,2 par 10 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang, c’est-à-dire à multiplier par 0,1. b) Diviser 4,5 par 100 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 2 rangs, c’est-à-dire à multiplier par 0,01. c) Diviser 91,6 par 1 000 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs, c’est-à-dire à multiplier par 0,001. Exercice 17

7,1 = 0,71 10 4 = 0,04 100

888, 46 = 8,884 6 100 4, 999 = 0,499 9 10

0,15 = 0,000 15 1000 90,1 = 0,090 1 1000

On applique la règle de la division par 10, 100 et 1 000 vue précédemment.

Exercice 18 Une peluche achetée chez le vendeur A, coûte en € : 45, 60 soit 4,560 €, c’est-à-dire 4,56 €. 10 13, 70 Une peluche achetée chez le vendeur B, coûte en € : 3 J’effectue la division : 1 3 ,7 0 0 1 7 2 0 2 0 2

3 4, 5 6 6

La valeur arrondie au centime d’euro est 4,57 €.

Pour calculer le prix d’une peluche achetée chez le vendeur A, on utilise la règle de la division par 10. On décale donc la virgule de 45,60 d’un rang vers la gauche. Pour calculer le prix d’une peluche achetée chez le vendeur B, on applique la technique de la division décimale. On demande l’arrondi au centime d’euro, donc on arrête la division « au bout du 3e chiffre après la virgule ». On conclut en comparant 4,56 et 4,57.

Le vendeur le moins cher est donc le vendeur A.

54



c

Séquence 8



Exercice 19 1) Quel est le dénominateur de l’écriture fractionnaire qui a 5 pour numérateur ? 7,6 2) Quel est le numérateur de l’écriture fractionnaire qui a 7,2 pour dénominateur ? 0,14 3) Quelle écriture fractionnaire a le plus grand dénominateur ? 7, 2 15

On doit savoir par cœur que le nombre situé au dessus de la barre de fraction est le numérateur, et que le nombre situé au dessous est le dénominateur.

Exercice 20

Dans le premier cas, on constate que le disque est découpé en 6 parts superposables. 3 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc la 1 3 fraction . C’est aussi car la moitié du 6 2 disque est en rouge.

4 7

3 1 ou 6 2

Dans le deuxième cas, on constate que le rectangle est découpé en 7 parts superposables.

3 4

4 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc la fraction

4 . 7

Dans le troisième cas, on constate que le carré est découpé en 4 parts superposables. 3 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc la fraction

Exercice 21 Trois quarts Sept demis Exercice 22

3 4 7 2

2 Deux tiers 3 33 Trente-trois septièmes 7

Quinze tiers Neuf douzièmes

3 . 4

15 3 9 12

7 Sept quarts 4 17 Dix-sept onzièmes 11


55

c

c c

Séquence 8

Exercice 23

35 = 5 7 48 = 8 6 72 = 72 1

9 = 1 9 56 = 8 7 77 = 7 11

On divise mentalement 35 par 7 ; 9 par 9 ; 13 par 1 .... On obtient 5 ; 1 ; 13 ... Autre méthode : On revient à la définition du quotient :

13 = 13 1 4 =1 4 37 =1 37

35 est le nombre qui multiplié par 7 donne 7 35 35. Il est donc tel que : x 7 = 35. 7 35 5 x 7 = 35 donc = 5. 7

On fait de même pour les autres cas. On remarque deux cas particuliers : 9

4

37

sont des fractions égales à 1 car : • ; ; 9 4 37 9 x 1 = 9 ; 4 x 1 = 4 ; 37 x 1 = 37. 13 72

• ; sont des fractions respectivement 1 1 égales à 13 et 72.

Exercice 24 1)

/

I

Les commentaires du professeur : On partage un segment unité en 4 segments superposables. Chaque petit segment mesure un quart de l’unité soit un quart. Ensuite, on trouve naturellement deux quarts, trois quarts et quatre quarts. Pour ce qui est des écritures décimales, on trouve facilement la moitié de 1 soit 0,5. La moitié de 0,5 est 0,25. On écrit donc 0,25 puis 0,5 puis 0,5 + 0,25 soit 0,75. On voit donc ici le lien avec le quotient puisque : 1,0 0 2 0 0

On a bien :

4 0, 2 5

1 = 0,25 4

La notion de fraction comme « partage » coïncide donc parfaitement avec la notion de fraction définie comme un quotient.

2) /

Les commentaires du professeur : On partage un segment unité en 5, donc chaque petit segment mesure un cinquième de l’unité soit un cinquième. Ensuite, on trouve naturellement deux cinquièmes, trois cinquièmes, quatre cinquièmes, cinq cinquièmes, puis six cinquièmes et sept 1 cinquièmes. On a trouvé : = 0,2 en effectuant la division : 5

1,0 0

56

5 0, 2



c

Séquence 8

Exercice 25 1) nombres plus petits que 1

nombres égaux à 1

nombres plus grands que 1

5 13 2 ; ; 7 14 3

8 47 ; 8 47

9 14 3 ; ; 7 13 2

2) Une fraction est inférieure à 1 lorsque son numérateur est plus petit que son dénominateur. Une fraction est supérieure à 1 lorsque son numérateur est plus grand que son dénominateur. Les commentaires du professeur : 1) 9

On étudie la fraction . On imagine la division décimale de 9 par 7. En 9, combien de fois 7 ? Réponse 1. On n’a pas besoin 7 d’imaginer la suite de la division : on sait que le quotient est plus grand que 1. 5

On étudie la fraction . On imagine la division décimale de 5 par 7. En 5, combien de fois 7 ? Réponse 0. Le quotient est donc 7 plus petit que 1. Etc. On se rend alors compte que (par exemple) : 1 7 7 • 7 8 • 7

•

;

2 3 4 5 6 ; ; ; ; sont plus petits que 1. 7 7 7 7 7

est égal à 1. ;

9 10 11 12 13 14 15 ; ; ; ; ; ; ... sont plus grands que 1. 7 7 7 7 7 7 7

On comprend alors que, dès que le numérateur d’une fraction est plus petit que son dénominateur, la fraction est inférieure à 1. Au contraire, si le numérateur d’une fraction est plus grand que son dénominateur, la fraction est supérieure à 1. On a vu dans l’exercice 23 que lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1.


57

c

c c

Séquence 8

Exercice 26 a)

7 4 b)

7,0 0 3 0 2 0 0

a) On effectue la division décimale de 7 par 4. On trouve 1,75.

4 1, 7 5

est un nombre décimal qui s’écrit 1,75. 2,0 0 2 0 2

3 0, 6 6

La division ne « s’arrête jamais ». 2 n’est pas un nombre décimal. 3 Sa troncature au centième est 0,66. c) 3,0 2 1 0 0

1 2

0, 9 1 6

La division ne « s’arrête jamais ». 11 n’est pas un nombre décimal. 12 Sa troncature au centième est 0,91. e) 7,0 2 1 0 0

2 au centième. 3

c) On effectue la division décimale de 3 par 2. On trouve 1,5.

1, 5

3 est un nombre décimal qui s’écrit 1,5. 2 d) 1 1,0 0 0 2 0 8 0 8

b) On effectue la division décimale de 2 par 3. Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe toujours sur le reste 2 ». Le quotient n’est donc pas décimal. « On arrête la division au bout de 2 chiffres après la virgule » pour obtenir la troncature de

d) On effectue la division décimale de 11 par 12. Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe toujours sur le reste 8 ». Le quotient n’est donc pas décimal. « On arrête la division au bout de 2 chiffres après la virgule » pour obtenir la troncature de 11 au centième. 12

e) On effectue la division décimale de 7 par 2. On trouve 3,5.

3, 5

7 est un nombre décimal qui s’écrit 3,5. 2

58



c

Séquence 8



Exercice 27 27 = 5,4 a) 5

On effectue les divisions décimales.

c)

41 ≈ 6, 833 6 22 d) ≈ 3,142 85 7

Pour les cas a) et c), les divisions « s’arrêtent ». Les quotients sont 5,4 et 3,875.

b)

31 = 3,875 8

Pour les cas b) et d), les divisions « ne s’arrêtent jamais », mais : 41 au millième est 6,833. 6 22 la troncature de à 5 chiffres après la virgule 7

la troncature de est 3,142 85.

Dans ces deux cas, on utilise donc le symbole « est environ égal à ».

Exercice 28

A

1)

0 1 6 2)

0

B

C

5 1 6

11 2 6 B

A 2 5

C

9 5

1

2

12 5

3

Exercice 29

A 0

B

2 1 3

2 7 3

C 3 ou 9 3

D 4

14 5 3

Les commentaires du professeur : On cherche à placer des tiers, on peut donc commencer par regarder où se place

1 : 3

Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux de longueur. Une fois que l’on a placé

1 2 , on place A d’abscisse , ... 3 3

A 1 0 1 2 3 4 ... 3 3 3 3

2 B 7 3

3C 9 3

D 4

14 5 3


59

c

c c

Séquence 8

Exercice 30

2+ 1 3

4 3

2

4+ 2 3

2 3 4

Les commentaires du professeur : 1 On commence par regarder à quelle longueur correspond : 3 Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux de longueur. 1

1

Le point d’abscisse 2 + se place ensuite facilement : C’est le point qui se trouve à la longueur , (c’est-à-dire 2 carreaux) « à 3 3 droite du point d’abscisse 2 ».

1 3

1 3

2

1 3 3

1

4

On procède de la même façon pour les autres nombres.

Exercice 31

6 5 1 1 = + =1+ 5 5 5 5

1 5

0

1

« Six cinquièmes, c’est cinq cinquièmes plus un cinquième ».

6 5

6 sur la droite 5 1 2 3 graduée, au lieu de compter , , , ... 5 5 5 1 6

Pour placer rapidement

1 4

5 4 1 1 = + =1+ 4 4 4 4

jusqu’à

0

1

11 2 6

1

0

à

demi-droite graduée. On fait de même pour les autres fractions.

5 6

11 6 5 5 = + =1+ 6 6 6 6

. On cherche 1, « on compte

5 6 partir de 1 », et on place à cet endroit de la 5

2

5 4

5

3 7

10 7 3 3 = + =1+ 7 7 7 7 Exercice 32

18 15 3 3 = + =3+ 5 5 5 5

60

1

0

10 7

35 32 3 3 = + =8+ 4 4 4 4

31 28 3 3 = + =2+ 14 14 14 14



c

Séquence 8

Exercice 33

0

CB

A

5 3 1 8 4

3 2

2

E

D

11 3 4

29 8

4

Les commentaires du professeur : 3 1 . On cherche ce que représente . Le segment unité est composé de huit petits carreaux superposables, 2 2 1 3 1 3 correspond donc à la longueur de 4 petits carreaux. Comme = 1 + , on peut alors placer facilement . 2 2 2 2

Commençons par placer

A 0

1

1 2

3 2

2

3

4

3 11 1 et . On cherche ce que représente . Le segment unité est composé de huit petits carreaux 4 4 4 1 1 2 3 11 3 superposables, correspond donc à la longueur de 2 petits carreaux. On peut donc placer , , . Comme = 2 + , on 4 4 4 4 4 4 11 peut alors placer . 4

Plaçons maintenant

E

B 0 1 2 3 ...1 4 4 4 Plaçons maintenant Comme

2

11 3 4

4

5 29 1 1 2 5 et . On cherche ce que représente : c’est 1 petit carreau. On peut donc placer , ,..., . 8 8 8 8 8 8

29 5 29 = 3 + , on peut alors placer . 8 8 8

C 0 1 2 ... 5 8 8 8

D 1

2

3

29 8

4


61

c

62


c

c

Séquence 8

Séance 6 Les commentaires du professeur

Exercice 34

1)



c

Séquence 8

2) a) On voit sur les différentes demi-droites 2 3 graduées que les fractions , , ... sont 2 3 toutes placées sur la même ligne verticale, et sont donc égales à 1. 4 6 On fait de même pour les fractions , , ... 2 3 6 9 Puis pour les fractions , , ... .

2) a) 1=

2 3 4 5 10 = = = = 2 3 4 5 10

2=

4 6 8 10 20 = = = = 2 3 4 5 10

2

6 9 12 15 30 = = = = 2 3 4 5 10 3 15 6 12 3 6 b) = = = 2 4 2 10 5 10 c) « Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre, on obtient une fraction qui lui est égale ». 3=

3

c) x

x

Cette conjecture est en fait tout le temps vraie quand le même nombre n’est pas égal à 0 (on l’admet).

Exercice 35

16 32 = 5 10 5 55 e) = 3 33

3 15 = 4 20 4 24 f) = 1 6

a)

4 12 = 7 21 8 16 g) = 7 14

b)

c)

Les commentaires du professeur : On applique le « je retiens » vu précédemment.

x

2 8 = 4 16 3 39 h) = 2 26

d)

w

x

w

x

x

w

w

x

w

x

w

x

w

x

w


63

c

c c

Séquence 8

a)

Exercice 36

7 21 = s’obtient en multipliant le numérateur 5 15 7 et le dénominateur de par 3. 5 7 14 = s’obtient en multipliant le numérateur 5 10 7 et le dénominateur de par 2. 5 28 pouvait s’obtenir de deux façons : 20

7 21 14 28 42 a) = = = = 5 15 10 20 30 b)

30 10 20 60 40 = = = = 9 3 6 18 12

c)

20 40 10 50 25 = = = = 12 24 6 30 15

• soit en multipliant le numérateur et 7

le dénominateur de par 4. 5 • soit en multipliant le numérateur et le dénominateur de

14 par 2. 10

42 pouvait s’obtenir de deux façons : 30

• soit en multipliant le numérateur et le dénominateur de

7 par 6. 5

• soit en multipliant le numérateur et le dénominateur de

14 par 3. 10

On fait de même pour le b) et le c). a)

Exercice 37

7 35 = s’obtient en multipliant le numérateur 2 10 7 et le dénominateur de par 5. 2

7 35 a) = 2 10 b)

9 225 = 4 100

c)

7 875 = 8 1 000

b)

9 225 = s’obtient en multipliant le numérateur 4 100 9 et le dénominateur de par 25. 4

c)

11

d) Il n’existe pas de fraction égale à dont le dénominateur 3 est 10. Exercice 38

6 2×3 3 = = 4 2× 2 2 102 3 × 34 34 b) = = 87 3 × 29 29 a)

c)

15 5 × 3 3 = = 40 5 × 8 8

8 4× 2 2 = = 12 4 × 3 3 108 9 × 12 12 e) = = 45 9×5 5 d)

64

7 875 = s’obtient en multipliant le numérateur 8 1 000 7 et le dénominateur de par 125. 8

d) On cherche un entier qui multiplié par 3 donne 10. Il n’y en a pas car 3 x 3 = 9 et 3 x 4 = 12. La fraction cherchée n’existe pas. Pour simplifier une fraction, on pense à utiliser les critères de divisibilité. a) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 6 et un diviseur de 4. Les deux nombres sont pairs, donc divisibles par 2. b) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 102 et un diviseur de 87. 2 n’est pas un diviseur de 87. 3 est un diviseur de 102 et 87 car la somme de leurs chiffres est divisible par 3. c) On cherche un entier qui soit à la fois un diviseur de 15 et un diviseur de 40. 5 est un diviseur de 15 et 40 car ils se terminent pas un 0 ou un 5. 8 est donc d) 8 et 12 sont pairs. La fraction 12

simplifiable par 2. Chaque fois qu’une fraction est simplifiée par 2, on regarde toutefois si elle n’est pas simplifiable par 4. C’est le cas, puisque 8 et 12 sont dans la table de multiplication par 4. e) On utilise le critère de divisibilité par 9.



c

Séquence 8

Exercice 39

42 3 × 14 14 2 × 7 7 = = = = 66 3 × 22 22 2 × 11 11 315 9 × 35 35 5 × 7 7 c) = = = = 90 9 × 10 10 5 × 2 2 a)

30 5× 6 6 3× 2 2 = = = = 165 5 × 33 33 3 × 11 11 210 3 × 70 70 2 × 35 35 d) = = = = 36 3 × 12 12 2 × 6 6

b)


65

c

c c

Séquence 8



Exercice 40 4 2× 2 2 a) 0, 4 = = = 10 2 × 5 5 b) 0, 24 =

On pense à utiliser la règle de la division d’un décimal par 10, 100 et 1 000. Cette règle permet d’écrire rapidement un nombre décimal en une fraction dont le dénominateur est 10, 100 ou 1 000.

24 4× 6 6 = = 100 4 × 25 25

13 10

c) 1, 3 =

On essaie ensuite de simplifier les fractions au maximum.

42 2 × 21 21 d) 0, 42 = = = 100 2 × 50 50

Exercice 41 27 9 × 3 3 a) = = 45 9 × 5 5 b) 0, 6 =

6 2×3 3 = = 10 2 × 5 5

d)

12 4 × 3 3 = = 20 4 × 5 5

e)

36 3 ×12 12 = = 33 3 ×11 11

f)

6 2×3 3 = = 10 2 × 5 5

Pour pouvoir comparer chacun de ces nombres, on pense à tous les écrire sous la forme d’une fraction qui a le même dénominateur. On regarde alors si les numérateurs sont les mêmes. Ici, on a choisi d’écrire les fractions ayant pour dénominateur 5, mais on aurait pu choisir 10 ou 40 : l’important est qu’elles soient toutes écrites avec le même dénominateur.

36 est le seul nombre qui ne soit pas égal aux autres. 33

Exercice 42 a)

3, 2 32 = 1, 7 17

b)

26 2 600 = 3, 85 385

c)

0, 05 50 = 1, 006 1 006

d)

6, 07 60, 7 = 4,1 41

e)

3 300 = 0, 06 6

f)

0, 001 0,1 = 0, 27 27

Les commentaires du professeur : On sait que si on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par le même nombre (non nul), on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale. On applique cette règle dans les cas ci-dessous avec 10, 100 et 1000 afin d’obtenir une écriture fractionnaire égale à celle donnée au départ, mais avec un dénominateur entier.

x

x

66

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



c

Séquence 8

On commence par se rappeler qu’une Exercice 43 est 6une ,12 44212 × 106 3fraction ×17 6 10617 2××1écriture 53 53 1 fractionnaire dont le 2 220 ×,15 041 5,206 =;== = = numérateur = == = et le dénominateur == =; ==; Parmi les écritures fractionnaires données, sont entiers. 2 4200 3 9 30 12 3 ×1200 10100106 ×2200 × 50 200 50 3, 6 36 × 92 × 100 ne sont pas des fractions. Parmi les écritures fractionnaires proposées, 3 2 20 4 × 5 5 seule est une fraction. = = = a) 4 3, 6 36 4 × 9 9 Nous cherchons donc à écrire une fraction

b)

2,12 212 2 × 106 106 2 × 53 53 = = = = = 2 200 2 × 100 100 2 × 50 50

3 est une fraction 4 4,1 41 3 ×17 17 = = = d) 3 30 3 ×10 10

c)

e)

0, 06 6 6 ×1 1 = = = 12 1200 6 × 200 200

égale à chaque autre écriture fractionnaire. Pour cela, on multiplie par 10, 100 ou 1 000 le dénominateur et le numérateur de la façon suivante : • on multiplie par 10 le numérateur et le 2 dénominateur de . Ainsi, les numérateurs 3,6 et dénominateurs obtenus sont entiers. On n’a pas besoin de multiplier par 100 ou 1 000, sinon on obtient une fraction avec des nombres plus grands, donc plus dure à simplifier. • on multiplie par 100 le numérateur et le 2,12 . Ainsi, les numérateurs dénominateur de 2 et le dénominateur obtenus sont entiers. Multiplier par 10 ne suffit pas : on trouve 2,12 21,2 21,2 = et n’est pas une fraction. 2 20 20

Ensuite, on cherche à simplifier au maximum les fractions obtenues.

Exercice 44

1, 5 15 5× 3 3 3 ×1 1 = = = = = 10, 5 105 5 × 21 21 3 × 7 7 1, 35 135 9 × 15 15 3 × 5 5 b) = = = = = =5 0, 27 27 9×3 3 3 ×1 1 4, 5 45 9 × 5 5 c) = = = 9, 9 99 9 × 11 11 8, 4 84 4 × 21 21 3 × 7 7 d) = = = = = 4, 8 48 4 × 12 12 3 × 4 4 5, 2 52 4 × 13 13 e) = = = = 13 0, 4 4 4 ×1 1 a)

f) 0,11 = 11 = 11× 1 = 1

4, 4 440 11× 40 40

On utilise la méthode vue précédemment. 1 7 a) Attention ! il ne faut pas confondre et . 7 1 1 La fraction ne peut pas s’écrire plus 7 simplement. 15 b) Une fois que l’on obtient , on doit écrire 3 que cette fraction est égale à 5. Pourtant, on demande un résultat sous forme de fraction. En fait, quand la fraction est égale à un entier, on la note comme un entier. 5 Par exemple, ici, on écrit 5 et non . 1 C’est la même chose pour le e). f) Des deux nombres 0,11 et 4,4 c’est 0,11 qui a le plus de chiffres après la virgule. Comme 0,11 s’écrit avec 2 chiffres après la virgule, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction

0,11 par 100. 4,4


67

c

c c

Séquence 8

Séance 8



Exercice 45 1) a)

800 = 200 donc une part de gâteau pèse 200 g. 4 Trois parts de gâteau pèsent donc 3 x 200 soit 600 g. Il a donc effectué : 3 x (800 ÷ 4) b) Il a en fait effectué : (3 ÷ 4) x 800 c) Il a en fait effectué : (3 x 800) ÷ 4

2) On cherche à calculer

2 × 600 . 5

Méthode de Maxence : 2 x (600 ÷ 5) = 2 x 120 = 240. On trouve 240 g. Méthode de Léo : (2 ÷ 5) x 600 = 0,4 x 600 = 240. On trouve 240 g. Méthode d’Amaury : (2 x 600) ÷ 5 = 1 200 ÷ 5 = 240. On trouve 240 g. Exercice 46 3 Trois quarts de 733 s’écrit : × 733 4 11 × 408 Onze tiers de 408 s’écrit : 3 On applique le « Je retiens » vu précédemment. 1 × 950 s’écrit en toutes lettres : Un dixième de neuf cent 10 cinquante. 13 × 27 s’écrit en toutes lettres : Treize douzièmes de vingt-sept. 12 Exercice 47 a) 5 × 24 = 5 × (24 √ 4) = 5 × 6 = 30 4 b) 6 × 50 = (6 × 50) √ 10 = 300 √ 10 = 30 10 2 c) × 30 = 2 × (30 √ 5) = 2 × 6 = 12 5 d) 28 × 5 = (28 √ 4) × 5 = 7 × 5 = 35 4 Exercice 48 a) 2, 6 ×10 = (2, 6 × 10) √ 2 = 26 √ 2 = 13 2 1 b) × 12 = (1× 12) √ 3 = 12 √ 3 = 4 3 3 c) × 35 = 3 × (35 √ 7) = 3 × 5 = 15 7

a) On aurait pu utiliser les deux autres méthodes : 5 × 24 = ( 5 ÷ 4 ) × 24 = 1,25 × 24 = 30 4 5 × 24 = ( 5 × 24 ) ÷ 4 = 120 ÷ 4 = 30 4

On voit que la méthode proposée dans la colonne de gauche était la plus rapide (on pouvait pu faire le calcul de tête). a) On aurait également pu utiliser les deux autres méthodes. b) Une méthode pose problème : 1 × 12 = (1 ÷ 3) × 12 3

Le calcul de 1÷ 3 pose problème : la division de 1 par 3 « ne s’arrête pas ». Il ne fallait pas utiliser cette méthode. c) Une méthode pose problème : 3 × 35 = ( 3 ÷ 7 ) × 35 7

(pour une raison semblable à celle du cas précédent). Quand une méthode conduit à un résultat exact, on n’en utilise pas une autre qui ne donne qu’une valeur approchée.

68



c

Séquence 8

Exercice 49 3 a) × 14 = 3 × (14 √ 7) = 3 × 2 = 6 7 b)

8 × 15 = 8 × (15 √ 5) = 8 × 3 = 24 5

c) 6 ×

Quand on utilise la meilleure méthode, les calculs peuvent parfois devenir très simples.

11 = (6 √ 2) ×11 = 3 ×11 = 33 2

d) 0, 09 ×

100 = (0, 09 × 100) √ 3 = 9 √ 3 = 3 3

Exercice 50 2 a) × 18 = 2 × (18 √ 3) = 2 × 6 = 12 3 28 × 3, 5 = (28 √ 7) × 3, 5 = 4 × 3, 5 = 14 b) 7 0, 001 = (8 000 × 0, 001) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 c) 8 000 × 2 11 × 28 = 11× (28 √ 7) = 11× 4 = 44 d) 7

Avant de commencer chaque calcul, on essaie de regarder quelle est la méthode la plus simple.

Exercice 51 2 2 × 21 2 × 3 × 7 14 = = a) × 21 = 33 33 3 × 11 11 5 5 × 28 5 × 7 × 4 20 = = b) × 28 = 21 21 7×3 3

14 ≈ 1, 27 11 20 ≈ 6, 67 3

10 3, 6 × 10 36 = = 7 7 7

36 ≈ 5,14 7

c) 3, 6 ×

a) Les divisions de 2 par 33 (méthode 1) et de 21 par 33 (méthode 3) ne s’arrêtent pas. On écrit alors les calculs sous forme de fractions à l’aide de la méthode 2. b) c) Même type de raisonnement que précédemment.


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c

c c

Séquence 8

Séance 9



Exercice 52

On commence par calculer la distance que le cycliste a parcourue. Il ne fallait pas utiliser la 2 méthode 1 car la fraction ne s’arrête pas. 7 Ensuite, on soustrait la distance parcourue à la distance totale.

La distance en km parcourue par le cycliste est : 2 × 280 = 2 × (280 √ 7) = 2 × 40 = 80 7 Le cycliste a donc parcouru 80 km.

2 × 280 . 7

Il lui reste à parcourir 280 – 80 soit 200 km.

5

Autre méthode : il lui reste à parcourir du 7 trajet. 5 × 280 = 5 × (280 ÷ 7) = 5 × 40 = 200 7

Exercice 53 15, 5 × 552 000 La superficie de la Corse est : 1 000 15, 5 × 552 000 = 15, 5 × (552 000 √ 1 000) = 15, 5 × 552 1 000 J’effectue 552 ×15, 5 sur ma calculatrice. Je trouve 8 556.

La superficie de la Corse est 8 556 km . 2

15,5 millièmes de la superficie de la France, c’est : 15,5 × 552 000 1 000

Comme on ne peut effectuer qu’une seule multiplication avec la calculatrice, il vaut mieux choir la 3e méthode. En effet, 552 000 ÷ 1 000 est simple à calculer.

Exercice 54 1)

2 × 42 3 2 × 42 = 2 × (42 √ 3) = 2 × 14 = 28 3

a) Romain a dépensé en € : Romain a dépensé 28 €.

b) Il reste à Romain 42 – 28 soit 14 €. 2) a) Romain a dépensé en € :

3 × 14 = 3 × (14 √ 7) = 3 × 2 = 6 7

3 × 14 7

1) a) b) On soustrait l’argent qu’a dépensé Romain à la somme qu’il avait au départ. 2) a) On doit faire attention : Romain dépense trois septièmes du reste soit trois septièmes de 14.

Lors de son deuxième achat, Romain a dépensé 6 €. b) Après ses deux premiers achats, il reste à Romain 14 – 6 soit 8 €.

70



c

Séquence 8

Je m’évalue 1) Le quotient de 42 par 7 est : ˝6 ®8 ®7 ® 42

1) On applique la définition du quotient.

2) Le quotient 342 ÷ 50 est égal à : ® 6,83 ®6 ® 8,64 ˝ 6,84

2) On pose la division. Si tu n’as pas compris, reporte-toi au « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 3.

3) La fraction 58 : 9 ® est un nombre décimal ? ˝ n’est pas un nombre décimal ?

3) On pose la division. Elle ne s’arrête pas. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 26.

4) L’écriture fractionnaire 8,2 est égale à : 5 ® 1,5 ® 1,61 ˝ 1,64 ® 1,642

4) On pose la division. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 13.

17

5) La fraction s’écrit également : 5 12 ® 12 + 12 1 5 + ® 12 5 ˝ 1+ 12 1 ® 17 + 12

5) 17 12 5 5 + = = 1+ 12 12 12 12

Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 31.


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c

c c

Séquence 8

68

6) La fraction s’écrit également : 7 5 ˝ 9+ 7 4 ® 9+ 7 3 ® 9+ 7 6 ® 9+ 7 4

7) La fraction s’écrit également : 3 8 ˝ 6 8 ® 3 12 ˝ 9 20 ˝ 15 2, 6

8) L’écriture fractionnaire s’écrit également : 4, 2 13 ˝ 21 84 ® 52 52 ˝ 84 26 ˝ 42 7, 4

6) 68 63 5 5 + = 9+ = 7 7 7 7

Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 32.

7) On utilise la propriété suivante : « Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ». Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 35 et 36.

8) On utilise la propriété suivante : « Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ». Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 35 et 36.

× 10 est égale à 9) L’expression 2 ® 30 ® 27 ® 28 ˝ 37

9) On calcule la fraction d’un nombre. Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 49 et 50.

10) L’arrondi au centième de six septièmes de 26 est ˝ 22,29 ® 22,28 ® 22,3 ® 22

10) On calcule la fraction d’un nombre. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 51.

72



c

Séquence 9

SÉQUENCE 9 Séance 1 Ce que tu devais faire


Je révise les acquis de l’école 1) ® 25 mL de jus d’ananas ® 150 mL de jus d’ananas ® 175 mL de jus d’ananas ˛ 75 mL de jus d’ananas 2) ® 400 km ® 330 km ® 310 km ˛ 440 km 3) ˛ 10 fois moins ®3g ® 15 g ˛ 4,5 g 4) ˛6€ ® 30 € ® 60 € ®5€ Exercice 1 • Une semaine est constituée de 7 jours donc . dans 4 semaines, il y a 28 jours, . dans 11 semaines, il y a 77 jours, . dans 52 semaines, il y a 364 jours. • Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés donc . 2 octogones possèdent au total 16 côtés, . 3 octogones possèdent au total 24 côtés, . 50 octogones possèdent au total 400 côtés. • Une glace coûte 1,5 € donc . 2 glaces coûtent 3 €, . 4 glaces coûtent 6 €.

1) Il doit y avoir deux fois moins (c’est-à-dire la moitié) de jus d’ananas que de jus d’orange. On a versé 150 mL de jus d’orange. La moitié de 150 est 75. On trouve donc 75 mL. 2) En 4 h, la voiture parcourra 4 fois 110 km soit 440 km.

3) Un avion pèse 10 fois moins que 45 g, c’est-àdire 45 ÷ 10 soit 4,5 g. 4) 30 % de 10 € représente 3 €. 30 % de 20 € représente donc 2 x 3 soit 6 €.

• Une semaine est constituée de 7 jours, donc : dans 4 semaines, il y a 4 x 7 soit 28 jours dans 11 semaines, il y a 11 x 7 soit 77 jours dans 52 semaines, il y a 52 x 7 soit 364 jours. • Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés, donc 2 octogones possèdent au total 2 x 8 soit 16 côtés 3 octogones possèdent au total 3 x 8 soit 24 côtés 50 octogones possèdent au total 50 x 8 soit 400 côtés. • Une glace coûte 1,5 € donc 2 glaces coûtent 2 x 1,5 soit 3 €, 4 glaces coûtent 4 x 1,5 soit 6 €. Ainsi, dans les exemples précédents : . le nombre de jours s’obtient en multipliant le nombre de semaines par 7 . le nombre de côtés s’obtient en multipliant le nombre d’octogones par 8 . le nombre de glaces s’obtient en multipliant le prix d’une glace par 1,5.


73

c

c c

Séquence 9

Exercice 2 1 litre de peinture pèse 2,4 kg 1) • 5 L pèsent : 5 x 2,4 = 12 soit 12 kg. 5 L de peinture pèsent 12 kg. • 12 L pèsent : 12 x 2,4 = 28,8 soit 28,8 kg. 12 L de peinture pèsent 28,8 kg. 2) On remarque que : 2,4 x 10 = 24. Le bac contient 10 L de peinture. Exercice 3 Un litre de carburant coûte 1,25 €. 1) 30 L de carburant coûtent, en € : 30 x 1,25 = 37,5. Le client va payer 37,5 €. 2) 46,6 L de carburant coûtent, en € : 46,6 x 1,25 = 58,25. Le client va payer 58,25 €. Exercice 4 Si cette situation était une situation de proportionnalité, Monsieur Grandbonhomme mesurerait à 5 ans. 5 x 80 soit 400 cm (4 mètres !). Or à 5 ans, Monsieur Grandbonhomme ne mesure que 100 cm. La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

80 = 1 x 80

On peut dire également que la taille de ce monsieur n’est pas proportionnelle à son âge.

Exercice 5 On a : 2x3=6 4 x 3 = 12 5,1 x 3 = 15,3 Lorsqu’on multiplie par le même nombre 3 le côté d’un triangle On applique la définition de « grandeurs équilatéral, on obtient son périmètre. proportionnelles ». Le côté d’un triangle équilatéral et son périmètre sont donc deux grandeurs proportionnelles.

74



c

Séquence 9



Exercice 6 1) La situation décrite est une situation de proportionnalité. 3 m coûtent 10,5 €. • Comme 6 = 2 x 3 , 6 m coûtent deux fois plus cher que 3 m soit 2 x 10,5 € donc 21 €. • Comme 12 = 4 x 3 , 12 m coûtent quatre fois plus cher que 3 m soit 4 x 10,5 € donc 42 €. • Comme 15 = 5 x 3 , 15 m coûtent cinq fois plus cher que 3 m soit 5 x 10,5 € donc 52,5 €. 2) 3 m coûtent 10,5 €. • 1 m coûte trois fois moins cher, soit 10,5 ÷ 3 donc 3,5 €. • 1,5 m coûte deux fois moins cher, soit 10,5 ÷ 2 c’est-à-dire 5,25 €. • Comme : 0,3 = 3 ÷ 10, 0,3 m coûtent 10 fois moins cher que 3 m, soit 10,5 ÷ 10 donc 1,05 €. Les remarques du professeur : 1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau : X X X LONGUEURDERUBANENM PRIXEN€

X X

X

Remarques : • Pour calculer le prix de 12 m de ruban, on aurait pu procéder ainsi : Comme : 12 = 2 x 6, le prix de 12 m de ruban est le double de celui de 3 m, soit 10,5 x 2 c’est-à-dire 21 €. • Pour calculer le prix de 15 mètres de ruban, on aurait pu procéder différemment : 15 = 3 + 12 3 mètres de ruban coûtent 10,5 euros, 12 mètres de ruban coûtent 42 euros, donc 15 mètres de ruban coûtent 10,5 + 42 euros soit 52,5 euros. 2) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

w LONGUEURDERUBANENM PRIXEN€

w

w

w

w

w


75

c

c c

Séquence 9

Exercice 7 6 kg de charbon de bois coûtent 4 €. 1) • 18 kg, c’est-à-dire 3 fois plus, coûtent donc 3 fois plus, soit 3 x 4 €, c’est-à-dire 12 €. • 24 kg, c’est-à-dire 4 fois plus que 6 kg, coûtent donc 4 fois plus, soit 4 x 4 €, c’est-à-dire 16 €. • 3 kg, c’est-à-dire la moitié de 6 kg, coûtent donc deux fois moins, soit 4 ÷ 2 €, c’est-à-dire 2 €. 2) • 20 = 5 x 4 donc 20 € représentent 5 fois le prix de 6 kg de charbon, soit le prix de 30 kg de charbon. • 22 €, c’est 20 € plus 2 €. 20 € est le prix de 30 kg de charbon, 2 € est le prix de 3 kg, 22 € est donc le prix de 30 + 3 soit 33 kg de charbon. Les remarques du professeur 1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau : X

w

X MASSEDECHARBONENKG

PRIXEN€

X X

w

Exercice 8 20 roses coûtent 13,6 €. • prix de 5 roses : Comme 5 = 20 : 4, 5 roses coûtent 4 fois moins cher que 20 roses soit 13,6 ÷ 4 donc 3,4 €. • prix de 25 roses : 25 roses représentent 5 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 5 fois plus cher, soit 5 x 3,4 c’est-àdire 17 €. • prix de 45 roses : 45 roses représentent 9 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 9 fois plus cher, soit 9 x 3,4 c’est-àdire 30,6 €. Les remarques du professeur : • Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau : X

w NOMBREDEROSES PRIXEN€

X

w

X X

• Pour calculer le prix de 25 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante : 25 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 5 roses à 3,4 euros ». 25 roses coûtent donc 13,6 + 3,4 soit 17 euros. • Pour calculer le prix de 45 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante : 45 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 25 roses à 17 euros ». 45 roses coûtent donc 13,6 + 17 soit 30,6 euros.

76



c

Séquence 9

Exercice 9 Il coule 5 litres du robinet toutes les 3 minutes. • nombre de litres en une heure : Une heure correspond à 60 minutes, donc à 20 fois 3 minutes. Il coule donc en une heure 20 fois plus d’eau qu’en 3 minutes, soit 20 x 5 litres, c’est-à-dire 100 litres. • nombre de litres en une demi-heure : Une demi-heure, c’est la moitié d’une heure, il coule donc en une demi-heure la moitié de 100 litres soit 50 litres. • nombre de litres en une heure et 3 minutes : Une heure et 3 minutes c’est une heure plus 3 minutes. En 1 heure, il coule 100 L, en 3 minutes, il coule 5 L, donc en une heure et 3 minutes, il coule donc 100 + 5 soit 105 L. Les remarques du professeur : • Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :

+ ww

X TEMPS NOMBREDELITRES

MIN

H

H

HMIN

X

w

+ • Pour déterminer combien de litres coulent en une demi-heure, on pouvait également procéder de la façon suivante : Une demi-heure, c’est 30 minutes soit 10 fois 3 minutes. Il coule donc en une demi-heure dix fois plus de litres qu’en trois minutes soit 10 x 5 donc 50 litres.


77

c

c c

Séquence 9

Exercice 10 Le motard roule à 120 km par heure. 1) • En une demi-heure, le motard a parcouru la moitié de 120 km soit 60 km. • En un quart d’heure, le motard aura parcouru le quart de ce qu’il parcourt en une heure, soit 120 : 4 donc 30 km. • En trois quarts d’heure, il a parcouru trois fois ce qu’il parcourt en un quart d’heure, soit trois fois 30 km donc 90 km. 2) • 150 = 120 + 30 120 km sont parcourus en 1 h, 1 30 km sont parcourus en h, 4 donc 150 km sont parcourus en une heure et quart. • 15 km, c’est 10 fois moins que 150 km. Le motard mettra donc dix fois moins de temps que pour parcourir 150 km soit 75 ÷ 10 minutes c’est-à-dire 7,5 minutes. Une demi-minute, c’est trente secondes. Le motard mettra donc 7 minutes et trente secondes pour parcourir 15 km. Les remarques du professeur : 1) Il y avait une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en un quart d’heure, en utilisant le fait qu’un quart d’heure est la moitié d’une demi-heure. Il y avait également une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en trois quarts d’heure, en utilisant la relation :

3 1 1 h= h+ h. 4 2 4

Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 1).

w

w

X

TEMPS

H

H

H

DISTANCEENKM

w

X

w

2) Il y avait une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 150 km, en utilisant le fait que 150 km représentent 5 fois 30 km. Il y avait également une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 15 km, en utilisant l’égalité : 15 = 30 ÷ 2. Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 2).

+ TEMPS

H

H

H

DISTANCEENKM

+

78

w MINS w



c

Séquence 9



Exercice 11

1) 7 litres de soda coûtent 8,05 € donc 1 L coûte 7 fois moins soit 8,05 ÷ 7 donc 1,15 €. Le prix d’un litre de soda est donc 1,15 €. 2) Maintenant que nous connaissons le prix d’un litre, il est très facile de calculer le prix de 13 L, de 27 L, ou de n’importe quel volume de soda : 13 L de soda coûtent 13 x 1,15 euros soit 14,95 €. 27 L de soda coûtent 27 x 1,15 euros soit 31,05 €. Exercice 12 1) Un pack d’eau contient 6 x 15 soit 9 L d’eau. Dans un litre, il y a donc 9 fois moins de calcium que dans 9 L, soit 4,32 ÷ 9 c’est-à-dire 0,48 g. 2) Dans 15 L, il y a 15 x 0,48 g de calcium soit 7,2 g de calcium. Dans 25 L, il y en a 25 x 0,48 soit 12 g de calcium. 3) On cherche le nombre qui multiplié par 0,48 donne 4,992. On effectue donc 4,992 ÷ 0,48. On obtient 10,4. Il y a 4,992 grammes de calcium dans 10,4 L de cette eau minérale. Les remarques du professeur : 1) On peut dresser le tableau suivant :

w VOLUMEDgEAUEN, MASSEDECALCIUMENG

w 2) On peut dresser le tableau suivant : VOLUMEDgEAUEN,

X

MASSEDECALCIUMENG

Dans ce tableau, on passe d’un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en multipliant toujours par un même nombre (ici : 0,48). Il en est ainsi car on est dans une situation de proportionnalité. 0,48 est le coefficient de proportionnalité de cette situation. C’est le nombre qui se trouve au-dessous de 1 dans le tableau. 3) On peut dresser le tableau suivant : VOLUMEDgEAUEN,

X

MASSEDECALCIUMENG

w

Trouver le volume d’eau dans lequel se trouvent 4,992 g de calcium revient à trouver le nombre qui, multiplié par 0,48 donne 4,992. On effectue donc 4,992 ÷ 0,48.

Exercice 13 Pour pouvoir comparer le prix des deux lessives, on peut comparer leurs prix au kilo. • Marque « kips » : 4 kg coûtent 2,5 € donc 1 kg coûte 4 fois moins, soit 2,5 ÷ 4 € c’est-à-dire 0,625 €. • Marque « erial » : 4,5 kg coûtent 2,79 € donc 1 kg coûte 2,79 ÷ 4,5 € c’est-à-dire 0,62 €. Comme 0,62 < 0,625 , la marque la moins chère est la marque « erial ».


79

c

c c

Séquence 9

Exercice 14 En 25 minutes, la machine produit 44 kg de crème glacée. 1) En 1 min, elle en produit 25 fois moins, soit 44 ÷ 25 kg c’est-à-dire 1,76 kg. 2) • En 32 min, elle produit 32 x 1,76 kg de crème glacée soit 56,32 kg. • 3 heures et 27 min représentent (3 x 60) + 27 min soit 207 min. En 207 min, la machine produit 207 x 1,76 kg de crème glacée, soit 364,32 kg. 3) • 172,48 ÷ 1,76 = 98. Il faut donc 98 min, c’est-à-dire 1 h 38 min pour produire 172,48 kg de crème glacée. • De la même façon, pour produire 227,04 kg de crème glacée, il faut 227,04 ÷ 1,76 soit 129 min, c’est-à-dire 2 h 9 min. Les remarques du professeur : 1) 2) On peut dresser le tableau suivant : TEMPSENMIN

MASSEDECRÒMEENKG

X

3) Comment trouver le temps qu’il faut pour produire 172,48 kg de crème glacée ? On cherche le nombre qui, multiplié par 1,76 donne 172,48. Ce nombre est : 172,48 ÷ 1,76 = 98. Pour cela, on peut dresser le tableau suivant :

TEMPSENMIN

X

MASSEDECRÒMEENKG

w

On fait de même pour 227,04 kg. TEMPSENMIN

w

X

MASSEDECRÒMEENKG

w

Exercice 15 1) Appliquons la technique du « passage à l’unité » : 5 timbres coûtent 1,8 € donc 1 timbre coûte 1,8 ÷ 5 € soit 0,36 €. 11 timbres coûtent 11 x 0,36 euros soit 3,96 €. 17 timbres coûtent 17 x 0,36 euros soit 6,12 €. 33 timbres coûtent 33 x 0,36 euros soit 11,88 €. 2) Avec 2,52 €, on peut acheter 2,52 ÷ 0,36 timbres soit 7 timbres. Les remarques du professeur : 1) On peut dresser le tableau suivant : NOMBREDETIMBRES

X

PRIXEN€

0,36 est le coefficient de proportionnalité. 2) On cherche le nombre qui, multiplié par 0,36 donne 2,52.On peut dresser le tableau suivant : NOMBREDETIMBRES

X

PRIXEN€

80

w



c

Séquence 9



Exercice 16

Il existe une autre technique permettant de montrer que cette situation n’est pas une situation de proportionnalité :

3,6 = 2 x 1,8 donc le prix de 24 photographies est bien le double de celui de 12. Le prix de 36 photographies est 4,6 €. Comme 3 x 1,8 = 5,4, le prix de 36 photographies n’est pas le triple de celui de 12. La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

Si la situation était une situation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité serait : 1,8 ÷ 12 = 0,15 Le prix en € de 24 photographies serait : 24 x 0,15 = 3,6 C’est bien cela. Le prix en € de 36 photographies serait : 36 x 0,15 = 5,4 Ce n’est pas le cas puisque le prix du développement de 36 photos est 4,6 euros. La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.

Exercice 17

Attention ! Si l’âge de Julie est multiplié par 2, l’âge de Budan n’est pas multiplié par 2. Ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

La différence d’âge entre Julie et Budan est 30 – 4 soit 26 ans. L’âge de Budan, quand Julie aura 60 ans, sera 60 – 26 soit 34 ans. Exercice 18

Un pied vaut 30,48 cm et il est constitué de 12 pouces. 1) Commençons par exprimer un pouce en cm. 30,48 ÷ 12 = 2,54. Un pouce correspond à 2,54 cm. 17 pouces correspondent à 17 x 2,54 cm soit 43,18 cm. 19 pouces correspondent à 19 x 2,54 cm soit 48,26 cm. 21 pouces correspondent à 21 x 2,54 cm soit 53,34 cm. 2) 36 pouces sont égaux à « 17 pouces plus 19 pouces ». Ils correspondent donc à : 43,18 + 48,26 cm soit 91,44 cm. 40 pouces correspondent à « 19 pouces plus 21 pouces ». Ils correspondent donc à : 48,26 + 53,34 cm soit 101,6 cm. 3) 69,85 ÷ 2,54 = 27,5. 27,5 pouces correspondent à 69,85 cm. Les remarques du professeur : 1) On peut dresser le tableau suivant : NOMBREDEPOUCES

X

LONGUEURENCM

3) On cherche le nombre qui « multiplié par 2,54 donne 69,85 ».Ce nombre est 69,85 ÷ 2,54 soit 27,5. On peut dresser le tableau suivant : NOMBREDEPOUCES

w

X

LONGUEURENCM

w


81

c

c c

Séquence 9

Exercice 19 115 1 mois de communications coûte à Arnaud 115 ÷ 7 soit €. 7 115 13 × 115 1 495 115 13 × = = €. • 13 mois de communications coûtent 13 × 7 7 7 7 1 495 13 mois de communications coûtent donc € soit environ 213,6 € (arrondi au dixième d’euro). 7 115 9 × 115 1 035 115 9× = = €. • 9 mois de communications coûtent 9 × 7 7 7 7 1 035 9 mois de communications coûtent donc € soit environ 147,9 € (arrondi au dixième d’euro). 7 Les remarques du professeur : On applique la méthode du « retour à l’unité » : • Calcul du prix d’un mois de communications Si l’on effectue la division de 115 par 7, on constate qu’elle ne se termine pas : on trouve 16,428 571 42... La somme exacte que dépense Arnaud pour 1 mois de communications n’est donc pas un nombre décimal.

€. 16,4 en est l’arrondi au dixième d’euro. Elle est égale à 7 • Calcul du prix de 9 et 13 mois de communications On doit effectuer le produit d’une fraction et d’un nombre. Cette notion a été vue dans la séance 8 de la séquence 8. Récapitulons les données dans le tableau suivant : 115

NOMBREDEMOIS PRIXEN€

w

X

Remarque importante : Très souvent, pour être précis(e), tu devras utiliser des calculs avec des fractions (même si cela te paraît plus difficile), plutôt que d’utiliser des valeurs approchées. 115 , on aurait calculé 13 x 16,4. On Si, pour déterminer le coût de 13 mois d’abonnement, on avait utilisé 16,4 au lieu de 7 aurait obtenu 213,2. Or l’arrondi au dixième d’euro du résultat correct est 213,6. On aurait donc commis une erreur !

82



c

Séquence 9

Exercice 20 5 1) Une noix de coco permet d’obtenir 5 ÷ 21 L de lait de coco soit L. 21 5 5 13 × 5 65 13 × = = L de lait de coco. Avec 13 noix de coco, on obtient 13 × 21 21 21 21 65 Avec 13 noix de coco, on obtient L de lait de coco soit environ 3,1 L . 21 2) 5 L de lait s’obtiennent avec 21 noix de coco. 21 1 litre de lait de coco s’obtient avec 21 ÷ 5 noix de coco soit noix de coco. 5 21 21 16 × 21 336 = Pour obtenir 16 litres de noix de coco, on utilise donc 16 × noix de coco. 16 × = 5 5 5 5 336 = 67, 2 5 Pour obtenir 16 litres de lait de coco, il faut 67,2 noix de coco. Il faut donc utiliser 68 noix de coco, et il y aura un peu de lait en plus. Les remarques du professeur : 1) On applique la méthode du « retour à l’unité ». La division 5 : 21 « ne se termine jamais ». On utilise donc une fraction. On récapitule les données dans le tableau suivant : NOMBREDENOIXDECOCO

NOMBREDELITRESDELAIT

w

X

On pouvait également utiliser une autre méthode : Le nombre de noix de coco et la quantité de lait obtenue sont deux grandeurs proportionnelles. Par conséquent, lorsque le nombre 13 13 . , le nombre de litres de lait est également multiplié par 21 21 13 65 Le volume de lait en L obtenu avec 13 noix de coco est donc : 5 × soit , c’est-à-dire environ 3,1 L. 21 21

de noix de coco est multiplié par

Remarque : Chaque fois, dans les exercices précédents, que nous avons procédé par « retour à l’unité », nous aurions pu utiliser une méthode analogue à celle-là. Voici cette deuxième méthode illustrée avec un tableau :

s NOMBREDENOIXDECOCO


s

2) On récapitule les données dans le tableau suivant : NOMBREDENOIXDECOCO


w

X

w

X


83

c

c c

Séquence 9

Séance 5



Exercice 21 1)

1) distance réelle en cm

distance sur plan en cm

w

Diviser un nombre par 50 revient à le diviser par 100 et à multiplier le résultat obtenu par 2. On peut donc compléter le tableau donné sans utiliser la calculatrice. Par exemple :

545 1 = 545 × 2) 545 √ 50 = 50 50

545 ÷ 50 = (545 ÷ 100) x 2 = 5,45 x 2

1 Diviser un nombre par 50 revient à le multiplier par . 50

545 ÷ 50 = 10,9

3) a) On obtient les distances en cm sur le plan de Steeven en multipliant les distances réelles en cm par le même nombre :

2) On utilise :

b) Les distances en cm sur le plan sont 50 fois plus petites que les distances réelles correspondantes en cm. 1 cm représente donc une longueur réelle 50 fois plus grande, soit 50 cm. 4) 6,35 m

On applique un propriété vue dans la séance 1 : Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre grandeur par un même nombre, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.

545 × 1 . 50 3) Les distances en cm sur le plan sont donc proportionnelles aux 1 . a) distances réelles en cm. Le coefficient de proportionnalité est 50

1 545 ×1 545 = = 50 50 50

3,25 m

5,45 m

3,55 m

~Ú[e ~Ú[e

5) Les distances (en cm) dans la réalité sont 50 fois plus grandes que les distances correspondantes (en cm) sur le plan. Le rayon réel de la table (en cm) est donc : 1,2 x 50 = 60 Le diamètre réel de la table est donc 2 x 60 cm, soit 120 cm, c’est-à-dire 1,2 m.

84

~Ú[e

Ú[e

Rappel : Pour multiplier mentalement un nombre par 50, on le multiplie par 100 et on divise le résultat obtenu par 2



c

Séquence 9

Exercice 22 1 a) Dire que la carte est à l’échelle signifie que 1 cm sur le plan représente 40 000 cm dans la 40 000 réalité. b) La distance réelle qui sépare Belvu et Pentu est 7 x 40 000 cm soit 280 000 cm, c’est-à-dire 2,8 km. c) 5,2 km = 520 000 cm La distance sur le plan qui sépare Toitu et Lunavrac est : 520 000 ÷ 40 000 soit 13 cm. Exercice 23 1) • Sur le plan, la distance entre la gare et le collège est égale à 3,8 cm. La distance réelle entre la gare et le collège est donc 3,8 x 8 000 cm soit 30 400 cm, c’est-à-dire 304 m. • Sur le plan, la distance entre la gare et le lycée est égale à 6,6 cm. La distance réelle entre la gare et le lycée est 6,6 x 8 000 cm soit 52 800 cm, c’est-à-dire 528 m. 2) a) 200 m = 20 000 cm Sur le plan, la distance de la piscine au collège est 20 000 ÷ 8 000 cm soit 2,5 cm. 552 m = 55 200 cm Sur le plan, la distance de la piscine au lycée est 55 200 ÷ 8 000 cm soit 6,9 cm. b)

1) On rappelle que : 100 cm = 1 m Pour convertir une longueur exprimée en cm en une longueur exprimée en m , il suffit de diviser par 100 : Comme 30 400 ÷ 100 = 304, on a : 30 400 cm = 304 m Comme 52 800 ÷ 100 = 528, on a : 52 800 cm = 528 m 2) a) Pour convertir une longueur exprimée en m à une longueur exprimée en cm , il suffit de multiplier par 100 : Comme 552 x 100 = 55 200, on a : 552 m = 55 200 cm b) Je trace le cercle de centre C et de rayon 2,5 cm puis le cercle de centre L et de rayon 6,9 cm. Le point P se trouve à l’intersection des deux cercles. Je déduis l’emplacement de P sachant que la piscine est plus près de la gare que le collège.

C

P L G G : gare

C : collège

L : lycée


85

c

c c

Séquence 9

Exercice 24 a) 4 cm sur la carte représentent 32 km. 1 cm représente donc 32 ÷ 4 km soit 8 km. b) 8 km = 800 000 cm 1 cm sur la carte représente donc 800 000 cm 1 Par suite la carte est à l’échelle . 800 000 c) • 1 cm sur la carte représente 8 km donc 6 cm sur la carte représentent 6 x 8 km soit 48 km. • 1 cm sur la carte représente 8 km donc deux localités distantes de 3,7 cm sur la carte sont éloignées en réalité de 3,7 x 8 km, soit de 29,6 km. d) Une longueur réelle de 8 km est représenté par 1 cm sur le plan. 40 ÷ 8 = 5 Une longueur de 40 km est donc représentée sur le plan par 5 cm. Deux villes séparées de 40 km dans la réalité sont donc distantes de 5 cm sur le plan. La distance sur la carte séparant deux villes distantes dans la réalité de 74 km est 74 ÷ 8 soit 9,25 cm.

a)

b) C’est la définition de la notion d’échelle.

c) On sait que 1 cm sur la carte représente 8 km en réalité. Pour obtenir une distance réelle exprimée en km à partir d’une distance en cm de la carte, il suffit de multiplier par 8. d) Pour obtenir une distance réelle exprimée en km à partir d’une distance en cm de la carte, il suffit de multiplier par 8. Pour faire l’inverse, c’est-à-dire obtenir une distance en cm sur la carte à partir d’ une distance réelle exprimée en km, il suffit de diviser par 8 DISTANCERÏELLEENKM

DISTANCESURLACARTEENCM

DISTANCERÏELLEENKM

DISTANCESURLACARTEENCM

X

w

X

w

Exercice 25 Sur une carte au

1 , 1 cm représente 20 000 cm soit 200 m. 20 000 1 , 1 cm représente 30 000 cm soit 300 m. Sur une carte au 30 000 1 . Des deux cartes, la plus détaillée est donc celle au 20 000

Exercice 26

La figure ci-dessous s’obtient en doublant toutes les dimensions de la figure donnée.

86



c

Séquence 9



Exercice 27

On mesure la paramécie :

Sur la photo, la paramécie mesure environ 4,1 cm. L’échelle de la photo est 210 .

C

4,1

cm soit La longueur réelle de la paramécie est environ 210 environ 0, 019 cm.

M

On trouve 4,1 cm. (ou encore : 41 mm) Si on utilise comme unité le millimètre, on trouve que la longueur réelle de la paramécie est environ 0,19 mm.

Exercice 28

Les remarques du professeur : On obtient la figure ci-dessus en multipliant par 3 toutes les dimensions de la figure donnée.


87

c

c c

Séquence 9

Exercice 29 a)

b)

y

A‘

E‘

B‘

x

55°

55°

4,5 cm

C‘

A‘

1,8 cm

B‘

3 cm

O‘

3 cm

C‘ 1,8 cm

D‘

D‘

Les remarques du professeur : • Figure a) On commence par tracer un carré A’C’D’E’ de côté 3 x 1,5 soit 4,5 cm. On utilise ensuite le rapporteur : ∑ ' C ' = 55° et ∑ yC ' A ' = 55° . Ces deux demi-droites se coupent en B’. on trace deux demi-droites [A’x) et [C’y) telles que : xA • Figure b) On trace un demi-cercle de centre O’ qui a pour diamètre 2 x 1,5 soit 3 cm. On trace ensuite deux segments [A’B’] et [C’D’] qui mesurent 1,2 x 1,5 cm (soit 1,8 cm) tels que A’, B’, O’, C’, D’ soient alignés dans cet ordre. On trace ensuite le demi-cercle de centre O’ , qui a pour rayon O’A’, et qui se trouve « du bon côté ».

88



c

Séquence 9

Exercice 30 1) • Calculons combien 1 mm représente en réalité 35 mm représentent 40 km. 1 mm représente 40 ÷ 35 km. La division ne s’arrête pas donc j’utilise une fraction : 40 40 5 × 8 8 8 = = 1 mm représente km. Je simplifie la fraction : 1 mm représente km. 35 35 5 × 7 7 7 • Sur la carte, la largeur de l’île est environ 50 mm et sa longueur est environ 57 mm. 8 50 × 8 400 = La largeur de l’île en km est : 50 × = soit environ 57 (arrondi à l’unité). 7 7 7 8 57 × 8 456 = La longueur de l’île en km est : 57 × = soit environ 65 (arrondi à l’unité). 7 7 7 2) • Calculons combien 1 mm représente en réalité D’autre part, 33 mm représentent 150 km. 150 150 3 × 50 50 50 = = 1 mm représente 150 ÷ 33 km soit km. 1 mm représente km. 33 33 3 ×11 11 11 • Sur la carte, la longueur de l’île est environ 40 mm et sa largeur est environ 18 mm. 50 2 000 La longueur en km de l’île est : 40 × c’est-à-dire soit environ 182 (arrondi à l’unité). 11 11 50 900 La largeur en km de l’île est : 18 × c’est-à-dire soit environ 82 (arrondi à l’unité). 11 11 3) La Corse est plus grande que la Réunion. Les remarques du professeur : On utilise une méthode que l’on a déjà vue dans les exercices 19 et 20.

Exercice 31


89

c

c c

Séquence 9

Séance 7



Exercice 32 a)

a) • Dans 100 g de compote, il y a 45 g de pomme. • Dans 1 g de compote, il y a 0,45 g de pomme. • Dans 20 g de compote, il y a 9 g de pomme. • Dans 40 g de compote, il y a 18 g de pomme.

• L’indication « contient 45 % de pomme » signifie : dans 100 g de compote, il y a 45 g de pomme et que la masse de pomme est proportionnelle à la masse de compote. • Dans 1 g de compote, il y a 100 fois moins de pomme que dans 100 g. 45 ÷ 100 = 0,45 • Dans 20 g de compote, il y a 20 fois plus de pomme que dans 1 g. 0,45 x 20 = 9 • Dans 40 g de compote, il y a 2 fois plus de pomme que dans 20 g. 9 x 2 = 18 b) On rassemble les données dans un tableau.

b) MASSEDECOMPOTEENG

MASSEDEPOMMEENG

c) Pour obtenir la masse de compote en g, on multiplie par 0,45 la masse de pommes en g.

0, 45 =

45 100

c) On remarque que : 100 x 0,45 = 45 1 x 0,45 = 0,45 20 x 0,45 = 9 40 x 0,45 = 18 45

On a : 0,45 = 100 On retrouve le sens du mot 45 pour cent :

Exercice 33 a) Dans 100 g d’eau de mer, il y a 3 g de sel. b) La masse de sel (en g) contenue dans 17 g d’eau de mer est :

SUR

a) C’est la « définition » de 3 %.

3 x 17 = 0,03 x 17 = 0,51 g. 100 Exercice 34 a)

16 × 70 = 0,16 × 70 = 11, 2 100

16 % de 70 L représentent 11,2 L. b)

84 × 350 = 0, 84 × 350 = 294 100

84 % de 350 g représentent 294 g.

160 c) × 20 = 1, 6 × 20 = 32 100

160 % de 20 € représentent 32 €.

90

a) On peut également écrire : 16 16 ×70 16 ×7×10 112 × 70 = = = = 11,2 100 100 10×10 10

Ou encore : 16 70 × 70 = 16 × = 16 × 0,7 = 11,2 100 100

À chaque fois que l’on calcule un pourcentage d’un nombre, on peut appliquer les trois méthodes.



c

Séquence 9

Exercice 35

1 1 10 × 1 10 = = 10 10 10 × 10 100 3 10 × 3 30 3 b) = = 10 10 × 10 100 10 1 1 20 × 1 20 c) = = 5 5 20 × 5 100 1 25 × 1 25 1 d) = = 4 25 × 4 100 4

c’est 10 %.

a)

Exercice 36

7 5× 7 35 = = 20 5 × 20 100 11 4 × 11 44 c) = = 25 4 × 25 100

a)

c’est 30 %. c’est 20 %. c’est 25 %.

7 c’est 35 %. 20 11 donc c’est 44 %. 25 donc

On pense à utiliser la règle suivante : « Lorsqu’on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale ». Remarque : Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un pourcentage.

31 31 2 × 31 62 donc c’est 62 %. = = 50 50 2 × 50 100 7 7 0,1× 7 0,7 d) donc c’est 0,7 %. = = 1 000 1 000 0,1× 1 000 100 b)

Exercice 37

56 2 10 × 2 20 donc 0,2 c’est 20 %. b) 0, 56 = = = 100 10 10 × 10 100 7 900 c) 0, 07 = donc 0,07 c’est 7 %. d) 9 = 100 100 a) 0, 2 =

Exercice 38

50 50 ×1 1 a) = = 100 50 × 2 2

Pour prendre 50 % d’un nombre, on divise ce nombre par 2.

donc 0,56 c’est 56 %. donc 9 c’est 900 %. 1

a) Multiplier par , c’est diviser par 2. 2 Par exemple : 1 7× 1 7 7× = = 2

Multiplier 7 par

25 25 × 1 1 b) = = 100 25 × 4 4


10 10 × 1 1 = = 100 10 × 10 10

2

1 revient à diviser 7 par 2. 2 1

b) Multiplier par , c’est diviser par 4. 4 Par exemple : 1 7× 1 7 7× = = 4

c)

2

4

4

Multiplier 7 par

1 revient à diviser 7 par 4. 4

c) Multiplier par

1 , c’est diviser par10. 10



91

c

c c

Séquence 9

Séance 8



Exercice 39

a) L’angle de la portion mesure 25 % de 360°.

b) L’angle de la portion mesure 20 % de 360°.

Sa mesure est donc 360 ÷ 4 soit 90°.

20 × 360 = 0, 2 × 360 = 72 . 100

Sa mesure est donc 72°.

²

²

c) L’angle de la portion mesure 30 % de 360°.

30 × 360 = 0, 3 × 360 = 108 100

Sa mesure est donc 108°.

²

Les remarques du professeur : Dans chacun des trois cas, on cherche à calculer l’angle de la portion à colorier. On est alors amené à calculer un certain pourcentage de 360°.

92



c

Séquence 9

Exercice 40 a) 25 % de 400 :

100

b) 50 % de 70 :

35

c) 50 % de 0,62 : 0,31

a) Prendre 25 % de 400, c’est diviser 400 par 4. b) Prendre 50 % de 70, c’est diviser 70 par 2. c) Prendre 50 % de 0,62, c’est diviser 0,62 par 2.

d) 25 % de 42 :

10,5

d) Prendre 25 % de 42, c’est diviser 42 par 4.

e) 10 % de 20 :

2

e) Prendre 10 % de 20, c’est diviser 20 par 10.

f) 50 % de 3,2 :

1,6

f) Prendre 50 % de 3,2, c’est diviser 3,2 par 2.

g) 75 % de 160 :

120

g) Prendre 75 % de 3,2, c’est prendre ses trois quarts. Un quart de 160, c’est 40 (on divise par 4). On multiplie ensuite par 3.

h) 75 % de 32 :

24

h) Prendre 75 % de 3,2, c’est prendre ses trois quarts. Un quart de 32, c’est 8 (on divise par 4). On multiplie ensuite par 3.

Exercice 41 a) 125 % de 20

25

b) 150 % de 26

39

c) 110 % de 84

92,4

d) 200 % de 0,74 1,48

a) Prendre 125 % de 20, c’est prendre 100 % de 20 plus 25 % de 20. 100 % de 20, c’est 20. 25 % de 20, c’est 5 (on divise par 4) 125 % de 20, c’est donc 25. b) Prendre 150 % de 26, c’est prendre 100 % de 26 plus 50 % de 26 soit calculer 26 + (26 ÷ 2). c) Prendre 110 % de 84, c’est prendre 100 % de 84 plus 10 % de 84 soit calculer 84 + (84 ÷ 10). 200

=2 d) 100 Par conséquent, prendre 200 % de 84, c’est multiplier 84 par 2.

Exercice 42 Première méthode : 66 200 × 200 = 66 × = 66 × 2 = 132 100 100 200 – 132 = 68 donc il y a 68 Go de libres sur le disque d’Arthur.

Je calcule 66 % de 200 Go : Deuxième méthode :

Je calcule le pourcentage de mémoire libre. Ce pourcentage est 100 % – 66 % soit 34 %. 34 200 × 200 = 34 × = 34 × 2 = 68 donc il y a 68 Go de libres sur le disque d’Arthur. 100 100 Exercice 43 • Je calcule la réduction sur la chemise soit 20 % de 17,50 € : 20 × 17, 5 = 0, 2 × 17, 5 = 3, 5 soit 3,50 € 100 Le prix d’une chemise, en tenant compte de la réduction, est 17,50 – 3,5 soit 14 €. • Je calcule la réduction sur un pull soit 30 % de 21 € : 30 × 21 = 0, 3 × 21 = 6, 3 soit 6,30 € 100 Le prix d’un pull, en tenant compte de la réduction, est 21 – 6,3 soit 14,7 €. • Tom achète une chemise et 2 pulls. Il va réellement payer : 14 + (2 x 14,70) = 14 + 29,4 = 43,4 soit 43,40 €. © Cned, Mathématiques 6e — © Cned – Académie en ligne

93

c

c c

Séquence 9

Exercice 44 • Je calcule la masse de protides soit 26 % de 140 g : 26 × 140 = 0, 26 × 140 = 36, 4 soit 36,4 g. 100 • Je calcule la masse de lipides soit 25,8 % de 140 g : 25, 8 ×140 = 0, 258 ×140 = 36,12 soit 36,12 g. 100 • Je calcule la masse de glucides soit 43,8 % de 140 g : 43, 8 × 140 = 0, 438 ×140 = 61, 32 soit 61,32 g. 100

94



c

Séquence 9



Exercice 45 1) 46 46 ÷ 2 23 = = 200 200 ÷ 2 100 65 65 ÷ 2 32, 5 = = 200 200 ÷ 2 100 28 28 ÷ 2 14 = = 200 200 ÷ 2 100 44 44 ÷ 2 22 = = 200 200 ÷ 2 100 17 17 ÷ 2 8, 5 = = 200 200 ÷ 2 100 2) Il y a 23 % d’Italiens dans le bateau. Il y a 32,5 % de Japonais dans le bateau. Il y a 14 % d’Anglais dans le bateau. Il y a 22 % d’Allemands dans le bateau. Il y a 8,5 % de Français dans le bateau.

On applique la méthode vue dans l’exercice précédent. On est amené dans les cinq cas à trouver une écriture fractionnaire, dont le dénominateur est 100, égale à une fraction dont le dénominateur est 200. Pour cela, on divise numérateur et dénominateur de la fraction par 2.

Exercice 46 1) 10 4 ×10 40 = = Il y a 40 % de filles dans ce centre aéré. 25 4 × 25 100 2) Le pourcentage de garçons dans le centre aéré est 100 % – 40 % soit 60 %. Exercice 47

• Prix actuel de la voiture A : Je calcule 10 % de 12 000 €. Je divise donc 1 200 par 10. J’obtiens donc 1 200 €. Le prix actuel de la voiture A est : 12 000 + 1 200 soit 13 200 €. • Prix actuel de la voiture B : Je calcule 5 % de 12 500 € : 5 x (12 500 : 100) = 5 c 125 = 625 Le prix actuel de la voiture B est : 12 500 + 625 soit 13 125 €. La voiture la moins chère actuellement est la voiture B.

On calcule le prix actuel de la voiture A puis le prix actuel de la voiture B. Pour la voiture A, on calcule 10 % de 12 000 € (soit l’augmentation de prix), puis on l’ajoute à l’ancien prix pour trouver le prix actuel. Pour la voiture B, on calcule 5 % de 12 500 € (soit l’augmentation de prix), puis on l’ajoute à l’ancien prix pour trouver le prix actuel. Pour trouver quelle voiture est la moins chère, on compare les prix actuels des deux voitures. On pouvait calculer 10 % de 12 000 € ainsi : 10 x 12 000 = 0,1 x 12 000 = 1 200 100

mais il était plus rapide de se souvenir d’en prendre 10 % d’un nombre revient à le diviser par 10. On pouvait calculer 5 % de 12 500 € ainsi :

5 x 12 000 = 0,05 x 12 000 = 625 100

mais vu qu’on sait facilement multiplier mentalement un nombre par 5, la méthode cicontre est meilleure. (Rappel : Multiplier un nombre par 5 revient à le muliplier par 10 et à diviser le résultat par 2)


95

c

c c

Séquence 9

Exercice 48 • Prix de l’ordinateur après la baisse de 5 % : Je calcule 5 % de 800 € : 5 x (800 ÷ 100) = 5 x 8 soit 40 €. Le prix de l’ordinateur après la baisse de 5 % est 800 – 40 soit 760 €. • Prix de l’ordinateur après la hausse de 5 % : Je calcule 5 % de 760 € : 5 x (760 ÷ 100) = 5 x 7,6 soit 38 €. Le prix de l’ordinateur aujourd’hui est 760 + 36 soit 796 €.

On aurait pu écrire : 5 x 800 = 0,05 x 800 = 40 100

mais la méthode ci-contre est meilleure. Elle est plus facile à utiliser mentalement. On aurait pu écrire : 5 x 760 = 0,05 x 760 = 38 100

mais vu qu’on sait facilement multiplier mentalement un nombre par 5, la méthode cicontre est meilleure. Cet exercice est un piège car, même si le prix de l’ordinateur baisse puis augmente du même pourcentage, le prix final n’est pas égal au prix du début. Cela provient du fait que la baisse de 5 % porte sur un prix de 800 €, alors que les 5 % de hausse, eux, ne portent que sur 760 €.

96



c

Séquence 9

Je m’évalue 1) Un litre et demi de soda coûte 0,60 €. Combien coûtent 6 litres ? ®2€ ® 3,6 € ® 2,6 € ˝ 2,4 € 2) Une longueur de 6 cm de fil d’or pèse 3,45 g. Combien pèse 2 cm de ce fil d’or ? ® 6,9 g ® 3,45 g ˝ 1,15 g ® 12 g 3) Un lot de 8 ballons de volley-ball pèse 1,4 kg. Trois ballons pèsent donc : ® 0,5 kg ˝ 0,525 kg ® 0,8 kg ® 5,7 kg 4) 5 kg de poires coûtent 11 € . 7 kg de poires coûtent :

77 € 5 5 ® € 77

2) 2 = 6 : 3 Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 7.

3) On peut commencer par trouver la masse d’un ballon en effectuant 1,4 ÷ 8. On multiplie ensuite cette masse par 3. Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 12, 13 et 14.

4) On peut commencer par trouver le prix 11

˝

d’un kg de poires. On trouve . On multiplie 5 ensuite ce nombre par 7. Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux exercices 19 et 20.

˝ 15,4 € ® 7,5 € 5) La situation décrite par le tableau est-elle une situation de proportionnalité ?

® oui ˝ non

1) 6 L représentent 4 fois 1,5 L. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 7.

temps (en s)

3

5

10

distance (en m)

16,5

27,25

55

5) On ne peut pas « passer de la ligne du haut à celle du bas » en multipliant par un même nombre car 3 x 5,5 = 16,5 5 x 5,5 = 27,5. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 16.


97

c

c c

Séquence 9

6) La situation décrite par le tableau est-elle une situation de proportionnalité ? nombre

2

8

0,5

prix (en €)

10

40

2,5

6) On peut « passer de la ligne du haut à celle du bas » en multipliant par 5. La situation est donc une situation de proportionnalité. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 5.

˝ oui ® non 7) Une carte est à l’échelle

1 . 25 000

7) On applique la définition d’une échelle

Sur cette carte, deux maisons sont à 7,5 cm l’une de l’autre. À quelle distance sont-elles dans la réalité ? ® 25 000 cm ® 75 000 cm ˝ 1 875 m ˝ 187 500 cm 8) Une très grande carte est à l’échelle

1 . 20 000

Deux villes sont en réalité à une distance de 10 km l’une de l’autre. À quelle distance sont-elles sur la carte ? ® 0,5 cm ˝ 50 cm ® 2 cm ®2m 9) Les 18 % de 46 cm représentent : ˝ 8,28 cm ® 46,18 cm ® 828 cm ® 255,56 cm 7 est égale à 10) La fraction 125 ® 56 % ˝ 5,6 % ® 560 % ®7%

98

1 , c’est-à-dire qu’1 cm sur la carte 25 000

représente 25 000 cm dans la réalité soit 250 m. 7,5 cm représentent donc 7,5 x 250 m soit 1 875 m (ou encore 187 500 cm). Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 23.

8) Sur cette carte, 1 cm représente 20 000 cm soit 200 m. 10 km = 10 000 m On divise 10 000 par 200. On trouve alors 50. C’est la distance en centimètres sur la carte qui sépare les deux villes. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 24. 9) Si tu n’as pas compris, reporte-toi au « Je comprends la méthode » qui suit l’exercice 33.

10) Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 36.



c

Séquence 10


c


Je révise les acquis de l’école 1) ˛ vrai ¨ faux

1)

~Ú[e

Ú[e

2) des périmètres et des aires différents ¨ des périmètres égaux ˛ des aires égales ¨

2) On rappelle que le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Si l’on prend pour unité de longueur le côté d’un petit carreau : • le périmètre de la figure 1 est 18 • le périmètre de la figure 2 est 16 Les périmètres des figures 1 et 2 sont donc différents. Les figures 1 et 2, par ailleurs, occupent 8 carreaux chacune.

3) plus grande que celle de la figure 2 ˛ égale à celle de la figure 2 ¨ plus petite que celle de la figure 2 ¨

Pour exprimer qu’elles occupent autant de place, on dit qu’elles ont la même aire. 3) Les figures 1 et 2 occupent autant de place.

â_mj]Ú~

4) 24,6 cm2 ¨ 34,4 cm ˛ 34,4 cm2 ¨ 24,6 cm ¨

â_mj]Ú

4) On a appris à calculer l’aire d’un rectangle dont l’une des dimensions au moins est un nombre entier (par exemple, on sait calculer l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont 2 cm et 4,5 cm ou encore 2 cm et 7 cm). On obtient l’aire d’un tel rectangle en multipliant sa longueur par sa largeur (les deux dimensions étant exprimées dans la même unité). Lorsque les dimensions sont en cm, l’aire est en cm2. L’aire en cm2 d’un rectangle de 8 cm de long et 4,3 cm de large est : 8 x 4,3 = 34,4.


99


c c

Séquence 10



Exercice 1 1) 2) 3) objet

boîte de chocolats

boîte de café soluble

boîte de pastilles

boîte à thé

diamètre D du fond

21,5

10,2

7,5

9

périmètre L du fond

68,4

31,8

23,3

28,2

L (arrondi au D centième)

3,18

3,12

3,11

3,13

(Les longueurs sont exprimées en cm) 4) Les quotients de L par D ne sont pas égaux. On ne peut pas conclure à partir de ce tableau que le périmètre du fond est proportionnel à son diamètre. Les commentaires du professeur On remarque, cependant, que les quotients de L par D obtenus sont très voisins. Lorsqu’on effectue une mesure on commet toujours une erreur. On admettra que si on avait pu être très précis en mesurant L et D, on aurait obtenu des quotients égaux. Il a été établi que la longueur L d’un cercle est proportionnelle à son diamètre D. Le coefficient de proportionnalité est un nombre très proche de 3,14 qui s’écrit avec une infinité de chiffres après la virgule. La valeur exacte de ce nombre est désignée par la lettre grecque π (qui se lit « pi »). En grec, la lettre π correspond à un p. C’est l’initiale du mot « perimetron », qui signifie « périmètre ».

Exercice 2 1)

distance en cm du cercle

DIAMÒTREENCMDUCERCLE LONGUEURENCMDUCERCLE

~ÚpP

ÚpP

$ ;ÚpP

XP

2) L = π x D = π x (2 x R) = 2 x π x R Exercice 3 La longueur en cm de ruban nécessaire est π x 3,2

L’arrondi au dixième de cette longueur est 10,1.

La longueur cherchée est celle d’un cercle de 6,2 cm de diamètre. On applique donc la formule L = π x D . Pour déterminer l’arrondi au dixième de cette longueur, on tape π x 3 . 2 EXE Il s’affiche 10.05309649 . Le chiffre des centièmes de ce nombre est un 5, donc l’arrondi au dixième cherché est 10,1 .

La distance cherchée est le périmètre en mètres de la fontaine. La fontaine est circulaire et a 7,5 m de rayon. On connaît son rayon. On obtient donc La distance en m que parcourra un enfant qui en fait le tour est son périmètre en appliquant la formule L=2xπxR donc : 2 x π x 7,5 = (2 x 7,5) x π = 15 x π Pour déterminer l’arrondi au dixième de cette L’arrondi au dixième de cette distance est 47,1 . distance, on tape 1 5 x π EXE Il s’affiche 47.1238898 . Le chiffre des centièmes de ce nombre est un 2, donc l’arrondi au dixième cherché est 47,1 .

Exercice 4

100



c

Séquence 10 Calculer la longueur d’une courbe, c’est calculer la longueur exacte de la courbe.

Exercice 5 1)

1)

"

! CM

c

La longueur totale de deux demi cercles de 4,2 cm de diamètre est égale à celle d’un cercle de 4,2 cm de diamètre. On applique la formule L= π x D

Vu la question posée, on ne doit calculer ni arrondi, ni troncature du résultat. En particulier, pour trouver la longueur exacte de la courbe, il ne fallait pas calculer 2 x (3,14 x 4,2). 3,14 est une valeur approchée de π. 2)

$

#

Les quatre quarts de cercle ont 5 ÷ 2 soit 2,5 cm de rayon. On a appliqué la formule

La longueur de la courbe bleue est égale à celle de deux cercles de 4,2 cm de diamètre. La longueur en cm d’un cercle de 4,2 cm de diamètre est : π x 4,2 Celle de la courbe bleue est donc : 2 x (π x 4,2) = (2 x 4,2) x π = 8,4 x π CM 2) ! $

L= 2 x π x R 3) La courbe bleue est constituée de deux quarts de cercles de 3,4 cm de rayon. 2 x π x 3,4 est la longueur en cm d’un cercle de 3,4 cm de rayon. Comme d’habitude, quand on a un quotient à calculer, on ne se précipite pas sur les calculs. On commence par regarder s’il y a des simplifications à effectuer.

"

#

La longueur de la courbe bleue est égale à celle d’un cercle de 2,5 cm de rayon. La longueur en cm d’un cercle de 2,5 cm de rayon est : 2 x π x 2,5 = (2 x 2,5) x π = 5 x π La courbe bleue a donc 5 x π centimètres de long. 3) CM

!

$

"

#

La longueur de la courbe bleue est égale à celle d’un demicercle de 3,4 cm de rayon. La longueur en cm d’un demi-cercle de 3,4 cm de rayon est : 2 × π × 3, 4 2 × π × 3, 4 = = π x 3,4 2 2 ×1 La courbe bleue a donc π x 3,4 centimètres de long. © Cned, Mathématiques 6e —

101


c c

Séquence 10

Exercice 6

On va calculer successivement la longueur de la courbe bleue puis celle de la courbe grise. Ensuite on comparera les résultats. La courbe bleue est un demi-cercle de 6 cm de diamètre.

La longueur en cm de la courbe bleue est : π×6 π× 2×3 = =πx3 2 2 ×1 I est le milieu de [AB], AB = 6 cm donc AI = IB = 3 cm La longueur de la ligne grise est égale à celle d’un cercle de 3 cm de diamètre. C’est donc, en cm : π x 3 La courbe bleue et la courbe grise ont donc la même longueur : π x 3 centimètres.

π x 6 est la longueur en cm d’un cercle de 6 cm de diamètre. La longueur totale des deux demi-cercles de 3 cm de diamètre est égale à celle d’un cercle de 3 cm de diamètre. Attention ! Il était essentiel de comparer la longueur exacte des courbes bleue et grise. Deux longueurs en cm peuvent avoir une même valeur approchée sans être égales (Par exemple, si l’une est égale à 1,65 et l’autre à 1,73 elles ont le même arrondi au dixième, mais elles ne sont pas égales).

Exercice 7 La longueur en cm de ruban enroulé à chaque tour est π x 2,4 . Le nombre de tours de ruban autour du rouleau est 99 ÷ (π x 2,4) soit environ 13.

A chaque tour, la longueur de ruban adhésif enroulé est celle d’un cercle de 2,4 cm de diamètre. Pour trouver le nombre de tours de ruban, on regarde combien de fois la longueur d’un tour est contenue dans 99 cm. On divise donc 99 par le nombre π x 2,4. Attention de ne pas oublier d’écrire la parenthèse autour de π x 2,4. Pour trouver une valeur approchée de 99 ÷ (π x 2,4) avec la calculatrice, on tape 9 9 ÷ ( π x 2,4 ) EXE Il s’affiche 13.13028281.

Exercice 8 Le périmètre du rectangle ABCD est égal à 6 fois le diamètre d’un cercle. Le diamètre en cm d’un cercle est donc : 9,6 ÷ 6 = 1,6 La longueur en cm de chacun des cercles est donc π x 1,6 .

Pour calculer la longueur d’un cercle, il suffit de déterminer son diamètre !

I

$

"

*

#

AB est égal au diamètre d’un cercle, AD est le double du diamètre d’un cercle.

102



c

Séquence 10


c


2) La figure est constituée d’arcs de cercle dont le rayon est 3,2 ÷ 2 soit 1,6 cm.

Exercice 9 1) !

"

$

#

!

$

"

#

La longueur de la courbe grise est égale à celle d’un cercle de 1,6 cm de rayon.

2) La longueur de la courbe bleue est égale à celle de deux cercles de 1,6 cm de rayon, c’est-à-dire de deux cercles de 3,2 cm de diamètre. C’est donc en cm : 2 x (π x 3,2) = (2 x 3,2) x π = 6,4 x π Exercice 10 La longueur de la courbe bleue est égale à 1,5 fois celle d’un cercle de 1,8 cm de rayon. C’est donc en cm : 1,5 x (2 x π x 1,8) = (1,5 x 2 x 1,8) x π = 5,4 x π

La figure est constituée d’arcs de cercle de 1,8 cm de rayon.

CM

La longueur de la courbe grise est égale à celle d’un cercle de 1,8 cm de rayon. D’après la formule L = 2 x π x R le nombre 2 x π x 1,8 représente la longueur en centimètres d’un cercle de 1,8 cm de rayon.

Exercice 11

"

M

La longueur en m d’un cercle de 1,2 m de diamètre est π x 1,2 . AB = DC = 2 x 0,25 soit AB = DC = 0,50 m Le périmètre en m de la table munie de ses rallonges est : (π x 1,2) + AB + DC = (π x 1,2) + (0,50 x 2) = (π x 1,2) + 1 L’arrondi au centième de ce périmètre en m est 4,77 .

M

!

$

# M

La longueur de la courbe grise est égale à celle d’un cercle de 1,2 m de diamètre. Pour déterminer l’arrondi au centième du périmètre de la table avec ses rallonges, on tape ( π x 1 . 2 ) + 1 EXE Il s’affiche 4.769911184. Le chiffre des millièmes de ce nombre est un 9, donc l’arrondi au centième cherché est 4,77 .


103


c c

Séquence 10

Exercice 12 La longueur L en mètres d’un cercle de diamètre D mètres est donnée par la formule L = π x D. Donc ici on a : 130 = π x D. 130 Par conséquent : D = π L’arrondi au dixième de ce diamètre en m est 41,4.

D est le nombre qui multiplié par π donne 130 donc D est le quotient de 130 par π . Pour déterminer l’arrondi au centième de ce diamètre, on tape 1 3 0 ÷ π EXE Il s’affiche 41.3802852. Le chiffre des centièmes de ce nombre est un 8, donc l’arrondi au dixième cherché est 41,4.

Exercice 13 La longueur L en centimètres d’un cercle de rayon R centimètres est donnée par la formule L = 2 x π x R. Donc ici on a : 53 = 2 x π x R. 53 Par conséquent : R = 2× π L’arrondi au dixième de ce rayon est 8,4 cm.

R est le nombre qui multiplié par 2 x π donne 53 donc R est le quotient de 53 par 2 x π . Pour déterminer l’arrondi à l’unité de ce rayon, on tape 5 3 ÷ ( 2 x π ) EXE (Attention de ne pas oublier la parenthèse autour de π) Il s’affiche 8.435211984. Le chiffre des centièmes de ce nombre est un 3, donc l’arrondi au dixième cherché est 8,4.

Exercice 14 La longueur de la courbe bleue est égale à celle de trois cercles de diamètre AB. π x 15 = 3 x π x 5 La longueur en cm d’un cercle de diamètre AB est donc π x 5. J’en déduis que : AB = 5 cm Le périmètre en cm du polygone ABCDEF est donc : 6 x 5 = 30

Si l’on connaissait AB, on saurait calculer le périmètre du polygone ABCDEF. La figure est constituée de six demi cercles de même diamètre : AB. Comme π x 15 est la longueur de trois cercles de diamètre AB, pour trouver la longueur d’un cercle, on complète l’égalité : π x 15 = 3 x ......... π × 15 : (On aurait pu aussi calculer 3 π × 15 π × 3 × 5 π × 5 = = = π x 5) 1 3 ×1 3 On obtient la longueur d’un cercle en multipliant π par son diamètre. Un cercle dont la longueur en cm est π x 5 a donc pour diamètre 5 cm.

104



c

Séquence 10

Exercice 15

c

2) Il suffit de connaître le diamètre du bac à sable pour calculer son périmètre.

1)

Connaissant la longueur de la clôture circulaire, on peut calculer son diamètre (On peut alors déduire de ce diamètre celui du bac à sable). M

2) La longueur L en mètres d’une clôture circulaire de diamètre D mètres est donnée par la formule L = π x D. Donc ici on a : 22 = π x D. 22 Par conséquent : D = π L’arrondi au centième de ce diamètre en m est 7. Une valeur approchée en m du diamètre du bac à sable est : 7 – (0,50 x 2) = 7 – 1 = 6 Une valeur approchée en m du périmètre du bac à sable est π x 6 (On a : π x 6 ≈ 18,85).

Úe

Úe

Résultat obtenu à l’aide de la calculatrice en tapant 2 2 ÷ π EXE

Exercice 16 I

A

D

B

C

1) La longueur des deux demi cercles verts est celle d’un cercle de 2 x 7,5 soit 15 m de rayon.

E

>

G

?

F

P

I

La longueur totale des quarts de cercles ocres est également celle d’un cercle de 2 x 7,5 soit 15 m de rayon.

§\¨

Q

M

O

M

L

N

K

H

J

"ASSIN

La longueur totale des lignes vertes et ocres est égale à celle de deux cercles de 2 x 7,5 soit 15 m de rayon. C’est donc, en m : 2 x (2 x π x 15) = (2 x 2 x 15) x π = 60 x π GH + IJ + JK + KL + LM + MN + OP = 7 x 7,5 m = 52,5 m La figure est symétrique par rapport à la droite (d), la symétrie par rapport à une droite conserve les longueurs. Par conséquent, on a : QR + ST + TU + UV + VW + WX + YZ = 52,5 m La longueur en m du muret est : (60 x π) + (2 x 52,5) = (60 x π) + 105 La valeur approchée à 0,01 près par excès de cette longueur en m est 293,50.

Pour déterminer la valeur approchée à 0,01 près par excès de ce résultat, je tape ( 6 0 x π ) + 1 0 5 EXE Il s’affiche 293.4955592. La valeur approchée à 0,01 près par excès de ce résultat est 293,49 + 0,01 soit 293,50.


105


c c

Séquence 10

Séance 3 Exercice 17 1) a)

b)

2) Les deux bassins occupent autant de place : 36 petits carrés. Les enfants auront donc autant de place pour jouer dans les deux bassins. 3) • la longueur du muret entourant le bassin 2 est égale à 22 carreaux plus la longueur de deux cercles de diamètre 2 carreaux. • celle du muret du bassin 3 est égale à 12 carreaux plus la longueur de deux cercles de diamètre 2 carreaux. C’est donc le bassin 2 qui est limité par le plus long muret.

"ASSIN

106



c

Séquence 10

Les commentaires du professeur 1) a)

"ASSIN

b)

c

"ASSIN

2) Les deux bassins ont la même aire 3) On recherche la longueur du muret entourant le bassin 2 : La longueur totale des lignes vertes est égale à 22 carreaux. La longueur de la ligne ocre est celle d’un cercle de 2 carreaux de diamètre. La longueur de la ligne grise est aussi celle d’un cercle de 2 carreaux de diamètre.

"ASSIN

On recherche la longueur du muret entourant le bassin 3 : La longueur totale des lignes vertes est égale à 12 carreaux. La longueur totale des lignes ocres est celle d’un cercle de 2 carreaux de diamètre. La longueur totale des lignes grises est aussi celle d’un cercle de 2 carreaux de diamètre.

"ASSIN Remarque : La longueur du muret qui entoure un bassin est égale au périmètre du bassin. Ainsi, le périmètre du bassin 2 est plus grand que celui du bassin 3. Par ailleurs, les deux bassins ont la même aire. On peut donc affirmer que deux figures d’aire égale n’ont pas nécessairement le même périmètre.


107


c c

Séquence 10

Exercice 18 1) Les trois figures ont le même périmètre : 8 carreaux plus la longueur d’un cercle de diamètre 2 carreaux.

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

FIGURE

• La longueur totale des lignes bleues est égale à 8 carreaux. • La longueur totale des lignes rouges est égale à celle d’un cercle de diamètre deux carreaux.

2)

• L’aire de la figure 1 est égale à celle du rectangle en pointillés. • L’aire de la figure 2 est plus grande que celle du rectangle en pointillés. • L’aire de la figure 3 est plus petite que celle du rectangle en pointillés. Remarque : Les trois figures n’ont pas Ainsi, des trois figures, la figure 2 a la plus grande aire et la la même aire, mais elles ont le même figure 3 a la plus petite aire. périmètre.

Exercice 19 1) Le périmètre de la figure 1 est égal à 14 carreaux plus la longueur d’un cercle de rayon 2 carreaux. Le périmètre de la figure 2 est égal à 18 carreaux plus la longueur d’un cercle de rayon 2 carreaux. Le périmètre de la figure 3 est égal à 10 carreaux plus la longueur d’un cercle de rayon 2 carreaux. Des trois figures, c’est la figure 2 qui a le plus grand périmètre, et la figure 3 qui a le plus petit périmètre. 2) Des trois figures données dans l’énoncé, c’est la figure 3 qui a la plus grande aire, et la figure 1 qui a la plus petite aire. Les commentaires du professeur 1) La longueur totale des lignes vertes est égale à : • 14 carreaux sur la figure 1 • 18 carreaux sur la figure 2 • 10 carreaux sur la figure 3. Sur chacune des figures, la longueur totale des lignes rouges est égale à celle d’un cercle de 2 carreaux de rayon.

FIGURE

FIGURE

FIGURE

2) Sur chacune des figures ci-dessous, l’aire totale de la partie orange est égale à celle de la figure F ci-dessous : F FIGURE

FIGURE

FIGURE

Par conséquent, pour comparer les aires des trois figures, on compare les aires des parties vertes : la partie verte de la figure 1 est constituée de 7 petits carrés, celle de la figure 2 de 8 petits carrés et celle de la figure 3 de 9 petits carrés. Remarque : La figure qui a le plus grand périmètre n’a pas la plus grande aire. La figure qui a le plus petit périmètre n’a pas la plus petite aire.

108



c

Séquence 10

Exercice 20 1)

2)

c

3)

Les commentaires du professeur Dans chacune des questions, plusieurs réponses étaient possibles.

Exercice 21

% #

!

&

" $

/

+ 1

2

,

x

3-

Des deux triangles, c’est ABC qui a le plus grand périmètre. Les commentaires du professeur Je trace K, L, M sur [Ox) tels que : • OK = AB • KL = BC • LM = AC OM représente le périmètre du triangle ABC. Je trace Q, R, S sur [Ox) tels que : • QR = DF • RS =FE • OQ = ED OS représente le périmètre du triangle EDF.

• K, L, M alignés dans cet ordre.

• Q, R, S alignés dans cet ordre.


109


c c

Séquence 10

Exercice 22 1) ABC est un triangle isocèle en A. On a donc : AB = AC. La longueur en cm de [AB] et de [AC] est : (16,5 – 3,5) ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6,5.

!

1) Avant de faire la figure en vraie grandeur, on représente une figure à main levée. On trace un triangle isocèle ABC de sommet principal A. On indique sur la figure que : • AB = AC. • BC = 3,5 cm

C

M

!

" CM #

"

2) La longueur en cm de chacun des côtés du triangle ABC est : 16,5 ÷ 3 = 5,5.

CM

#

D’après l’énoncé, on connaît le périmètre du triangle. On peut donc : • calculer la longueur des côtés [AB] et [AC], • se ramener à la construction d’un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés. Attention ! Lors du calcul de AB, il ne faut pas oublier la parenthèse autour de 16,5 – 3,5 pour bien montrer que c’est 16,5 – 3,5 qu’on divise par 2. 2)

!

!

"

CM

#

On connaît le périmètre du triangle équilatéral ABC, on peut donc calculer la longueur de ses trois côtés.

"

110



CM

#

c

Séquence 10


c


Exercice 23 Les unités de longueur que je connais sont : • le mètre (m), • le décamètre (dam), l’hectomètre (hm), le kilomètre (km), • le décimètre (dm), le centimètre (cm), le millimètre (mm)

Il existe également d’autres unités de longueurs que tu n’a pas à connaître pour cette année : • des toutes petites comme le micron (c’est 0,000 001 m) • des très grandes comme l’année lumière (qui correspond à la distance parcourue en un an par la lumière, soit environ 9 461 milliards de km).

Exercice 24 1) 1 km = 1 000 m

1 hm = 100 m

1 dam = 10 m

1 1 1 m = 0,1 m 1 cm = m = 0,01 m 1 mm = m = 0,001 m 1 dm = 10 100 1 000

2) 1 cm = 10 mm

1 hm = 10 dam

Exercice 25

DÏCI

x w

Ces préfixes sont utilisés aussi bien pour les longueurs que pour les masses ou les volumes :

w

• Un décilitre, c’est un dixième de litre.

KILO

w

• Un milligramme, c’est un millième de gramme.

MILLI

x

DÏCA

x

HECTO CENTI

• Un décamètre, c’est dix mètres.


111


c c

Séquence 10

Exercice 26 hauteur de la tour Eiffel

324 m

taille de Marie

148 cm

longueur d’un pou

1,5 mm

longueur d’une façade de maison

1,6 dam

longueur de l’avenue des Champs Elysées

1,910 km

longueur d’un champ

1,48 hm

longueur d’une règle graduée

2 dm

Exercice 27 1) 17,6 dam = 176 m = 1 760 dm

2) 19,3 dam = 1,93 hm = 0,193 km

3) 91,5 m = 9 150 cm

4) 19,4 m = 0,194 hm

On fait appel à son « bon sens » pour cet exercice : La tour Eiffel ne mesure pas 324 cm ou 324 mm ! Pour la longueur de la façade d’une maison, le mètre ne convient pas. Par contre, comme 1 dam = 10 m , le décamètre convient.

1) On convertit successivement les décamètres en m, puis en dm. • Conversion en m 1 dam = 10 m donc 17,6 dam =17,6 x 10 m D’où : 17,6 dam = 176 m • Conversion en dm 1 m = 10 dm donc 176 m =176 x 10 dm soit 176 m = 1 760 dm 2) On convertit successivement les décamètres en hm, puis en km. • Conversion en hm 1 hm= 0,1 hm 1 dam = 10 Donc : 19,3 dam =19,3 x 0,1 hm Par conséquent : 19,3 dam = 1,93 hm • Conversion en km 1 km = 0,1 km 1 hm = 10 donc 1,93 hm = 1,93 x 0,1 km soit 1,93 hm = 0,193 km 3) On pourrait, de façon analogue à ce qui précède, convertir successivement les mètres en dm, puis en cm. Cependant, on peut être plus rapide. On sait que : 1 m = 100 cm donc 91,5 m = 91,5 x 100 cm soit 91,5 m = 9 150 cm (Chaque fois que l’une des longueurs intervenant dans une conversion est le mètre, on peut aller vite) 4) Compte tenu de ce qui précède, on peut être rapide. On sait que : 1 hm = 0,01 hm 1m= 100 donc 19,4 m = 19,4 x 0,01 hm soit 19,4 m = 0,194 hm

112



c

Séquence 10

5) 59,6 dm = 5,96 m = 0,596 dam

6) 1,25 m = 1 250 mm

7) 13,4 hm = 1 340 m = 13 400 dm

8) 15,2 cm = 0,152 m = 0,015 2 dam

c

5) On convertit successivement les décimètres en m, puis en dam. • Conversion en m 1 m = 0,1 m 1 dm = 10 donc : 59,6 dm = 59,6 x 0,1 m Par conséquent : 59,6 dm = 5,96 m • Conversion en dam 1 dam = 0,1 dam 1m= 10 donc 5,96 m = 5,96 x 0,1 dam soit 5,96 m = 0,596 dam 6) Comme le mètre intervient dans la conversion, on peut être rapide. On sait que : 1 m = 1 000 mm donc 1,25 m = 1,25 x 1 000 mm soit 1,25 m = 1 250 mm 7) On pourrait convertir successivement les hectomètres en dam, puis en m, puis en dm. Cependant, on peut être beaucoup plus rapide. On commence par convertir 13,4 hm en m. On convertit ensuite le résultat obtenu en dm. Chaque fois qu’on aura à convertir un multiple du mètre en l’un de ses sous-multiples (ou vice versa), on commencera par faire une conversion en m. • Conversion en m 1 hm = 100 m donc 13,4 hm = 13,4 x 100 m soit 13,4 hm = 1 340 m • Conversion en dm 1 m = 10 dm donc 1 340 m = 1 340 x 10 dm soit 1 340 m = 13 400 dm 8) Comme indiqué précédemment, on commence par convertir 15,2 cm en m. • Conversion en m 1 m = 0,01 cm 1 cm = 100 donc 15,2 cm = 15,2 x 0,01 m soit 15,2 cm = 0,152 m • Conversion en dam 1 dam = 0,1 dam 1m= 10 donc 0,152 m = 0,152 x 0,1 dam soit 0,152 m = 0,015 2 dam


113


c c

Séquence 10

Exercice 28

1) 27,6 dm = 2 760 mm

2) 1,78 cm = 0,017 8 m

3) 64,2 dam = 6 420 dm

4) 819,4 mm = 8,194 dm

114



D’après ce qui précède : • chaque fois qu’on convertit une longueur dans une unité plus petite, on obtient un résultat « plus grand » • chaque fois qu’on convertit une longueur dans une unité plus grande, on obtient un résultat « plus petit ». 1) Comme 2 760 > 27,6 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus petite que le décimètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 27,6 dm = 276 cm 276 cm = 2 760 mm 2) Comme 0,017 8 < 1,78 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus grande que le centimètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 1,78 cm = 0,178 dm 0,178 dm = 0,017 8 m 3) Comme 6 420 > 64,2 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus petite que le décamètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 64,2 dam = 642 m 642 m = 6 420 dm 4) Comme 8,194 < 819,4 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus grande que le millimètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 819,4 mm = 81,94 cm 81,94 cm = 8,194 dm

c

Séquence 10

Exercice 29 1) 17,89 dam = 1 789 dm

2) 7,599 hm = 7 599 dm

3) 285,1 km = 2 851 hm

4) 0,089 km = 89 m

c

1) On est amené à compléter 17,89 dam = 1 789 .... Comme 1 789 > 17,89 on conclut que l’unité à découvrir est plus petite que le décamètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 17,89 dam = 178,9 m 178,9 m = 1 789 dm 2) On est amené à compléter 7,599 hm = 7 599 .... Comme 7 599 > 7,599 on conclut que l’unité à découvrir est plus petite que l’hectomètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 7,599 hm = 75,99 dam 75,99 dam = 759,9 m 759,9 m = 7 599 dm 3) On est amené à compléter 285,1 km = 2 851 .... Comme 2 851 > 285,1 on conclut que l’unité à découvrir est plus petite que le kilomètre. On commence par écrire : 285,1 km = 2 851 hm On conclut que l’unité cherchée est l’hectomètre. 4) On est amené à compléter 0,089 km = 89 .... Comme 89 > 0,089 on conclut que l’unité à découvrir est plus petite que le kilomètre. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 0,089 km = 0,89 hm 0,89 hm = 8,9 dam 8,9 dam = 89 m


115


c c

Séquence 10

Exercice 30 1,6 hm = 160 m 18,5 dam = 185 m

On a : • AC = 58,3 m • le périmètre du triangle ABC est égal à 160 m. On a donc (en m) : AB + BC = 160 – 58,3 soit AB + BC = 101,7 On a : • AC = 58,3 m • le périmètre du triangle ACD est égal à 185 m. On a donc (en m) : CD + DA = 185 – 58,3 soit CD + DA = 126,7 Le périmètre en m du quadrilatère ABCD est : AB + BC + CD + DA soit 101,7 + 126,7 c’est-à-dire 228,4. Le périmètre du quadrilatère ABCD est 228,4 m.

Exercice 31 1) 1,17 m = 117 cm 325 mm = 32,5 cm 0,26 m = 26 cm Le périmètre de la figure bleue est égal à 117 cm. Par conséquent, on a (en cm) : AB + DH = 117 – (BC + HC + AD) soit AB + DH = 117 – (32,5 + 26 + 19,5) c’est-à-dire AB + DH = 117– 78 d’où : AB + DH = 39 cm Comme AB = DH (puisque ABHD est un rectangle) on a : AB = 39 ÷ 2 soit AB = 19,5 cm. 2) AB = AD =19,5 cm Le rectangle ABHD a donc deux côtés consécutifs de même longueur. ABHD est donc un carré.

116



Comme il est demandé de calculer le périmètre du quadrilatère ABCD en m, on commence par convertir 1,6 hm et 18,5 dam en m. • Conversion de 1,6 hm en m 1 hm = 100 m donc 1,6 hm = 1,6 x 100 m = 160 m • Conversion de 18,5 dam en m 1 dam = 10 m donc : 18,5 dam = 18,5 x 10 m = 185 m

Attention ! 160 + 185 = 345 345 ≠ 228,4 En ajoutant au périmètre du triangle ABC celui du triangle ACD, on n’obtient pas le périmètre du quadrilatère ABCD. 1) Comme il est demandé de calculer AB en cm, on commence par convertir 1,17 m ; 0,26 m et 325 mm en cm. • Conversion de 1,17 m et de 0,26 m en cm. 1 m = 100 cm donc 1,17 m = 1,17 x 100 cm 0,26 m = 0,26 x 100 cm soit 1,17 m = 117 cm 0,26 m = 26 cm • Conversion de 325 mm en cm. 1 cm = 0,1 cm 1 mm = 10 donc 325 mm = 325 x 0,1 cm soit 325 mm = 32,5 cm

c

Séquence 10


c

Les commentaires du professeur • La figure occupe 12 triangles :

Exercice 32 Ni Léanne, ni Téo n’ont raison ! Ils ont fait un gros oubli. Ils ont oublié de préciser l’unité d’aire qu’ils avaient choisie.

!

"

$

#

Si on prend le triangle orange comme unité d’aire, la figure a pour aire 12. • La figure occupe également 6 rectangles : !

"

$

#

Si on prend le rectangle orange comme unité d’aire, la figure a pour aire 6.

Exercice 33 a) L’unité d’aire est u1 : l’aire de la figure 1 est 9, celle de la figure 2 est 11 et celle de la figure 3 est 10. b) L’unité d’aire est u2 : l’aire de la figure 1 est 4,5, celle de la figure 2 est 5,5 et celle de la figure 3 est 5. Les commentaires du professeur a) La figure 1 occupe 9 triangles unité.

U

La figure 2 occupe 11 triangles unité.

U

U

La figure 3 occupe 10 triangles unité.

FIGURE

FIGURE

FIGURE

b) La figure 1 occupe 4,5 losanges unité.

La figure 2 occupe 5,5 losanges unité.

U

U

FIGURE

U

La figure 3 occupe 5 losanges unité.

FIGURE

FIGURE


117


c c

Séquence 10

Exercice 34 % & !

$

UNITÏ

( '

"

FIGURE

FIGURE #

FIGURE (

+

)

*

FIGURE

1

,

0

.

-

/

FIGURE

• L’aire de la figure 1 est 4. • L’aire de la figure 2 est la moitié de celle du rectangle ABCD, soit la moitié de 6. Elle est donc égale à 3. • L’aire du triangle EHG est la moitié de celle du rectangle EFGH, soit la moitié de 2, c’est-à-dire 1. L’aire de la figure 3 est donc 1 + 5 soit 6. • L’aire de la figure 4 est égale à celle du rectangle HIJK. Elle est donc égale à 6. • L’aire de la figure 5 est la différence entre l’aire du triangle OLN et celle du triangle OMN. L’aire du triangle OLN est la moitié de celle du rectangle OLQN, soit la moitié de 8, c’est-à-dire 4. L’aire du triangle OMN est la moitié de celle du carré OMPN, soit la moitié de 4, c’est-à-dire 2. L’aire de la figure 5 est donc 4 – 2 soit 2. Exercice 35 D’après l’exercice 1 de la séance 3, les bassins 2 et 3 ont la même aire : celle d’un rectangle ABCD de 9 carreaux de long et quatre de large.

"

!

$

#

Cette figure met en évidence qu’avec l’unité d’aire choisie, l’aire commune des deux bassins est 9.

118



Pour répondre à la question, on essaie de décomposer le rectangle ABCD à l’aide d’un certain nombre d’unités d’aires. On pouvait obtenir ce résultat différemment (Par exemple en pavant à l’aide du symbole un carré de 6 carreaux de côté)

c

Séquence 10

Exercice 36 1) a) 16 petits carrés sont totalement tachés. b) 39 petits carrés sont salis. 2) D’après le 1) l’aire de la tache est comprise entre 16 et 39 petits carrés.

c

Les commentaires du professeur Les carreaux complètement tachés sont ceux compris dans le domaine limité par la ligne rouge et les carreaux salis sont ceux compris dans le domaine limité par la ligne verte :

Exercice 37 L’unité d’aire étant celle du petit triangle vert, l’aire de la tache est comprise entre 8 et 36. Les commentaires du professeur On procède comme précédemment.

mfal#


119


c c

Séquence 10

Exercice 38 1) Une surface de 1 cm2 occupe quatre petits carrés.

1)

Les deux figures ci-dessous occupent bien au total 4 petits carrés.

!

2) 3)

1 2 1 4

"

cm2

+ !

cm2

$ %

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. &

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# ( + . La moitié de 8 est 4

4)

$ %

'

4) Toute surface occupant deux , - petits carreaux a une aire de

1 cm2. 2

• L’aire de EFH est la moitié de celle de EFGH. EFH occupe donc 2 petits carrés.

!

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"

!

# ( ' + . Les deux figures ci-dessous occupent bien 2 petits carrés : ! , $ % &

"

# ( +

.

,

-

5)

"

'

+

.

,

-

5) Toute surface occupant un petit carreau a $ % & 1 ! une aire de cm2. 4

• L’aire de KLM est la moitié de celle de KLMN. KLM occupe donc 1 petit carré. ' " # (

!

, # (

"



.

, $ %

&

Les deux figures ci-dessous occupent bien :' "chacune un petit# carreau ( $ % & + .

!

120

+

+

.

,

-

'

$ %

&

# (

'

c

Séquence 10

Exercice 39 1) Combien de carrés de 1 mm de côté faut-il pour recouvrir un carré de 1 cm de côté ? 100 . Par conséquent : • 1 cm2 = 100 mm2 1 • 1 mm2 = cm2 = 1 ÷ 100 cm2 = 0,01 cm2 100 2) a) Combien faut-il de carrés de côté 1 cm pour recouvrir ce carré ? 10 x 10 soit 100. b) • 1 dm2 = 100 cm2 1 • 1 cm2 = dm2 = 1 ÷ 100 dm2 = 0,01 dm2 100 Exercice 40

1) 1 m2 = 100 dm2

1) 195,6 m2 = 19 560 dm2 2) 21,7 cm2 = 2 170 mm2 3) 76,1 dam2 = 0,761 hm2 4) 2,9 mm2 = 0,029 cm2

donc 195,6 m2 = 195,6 x 100 m2

c

2) 1 cm2 = 100 mm2 donc 21,7 cm2 = 21,7 x 100 mm2 1 3) 1 dam2 = hm2 = 0,01 hm2 100 donc 76,1 dam2 = 76,1 x 0,01 hm2 1 4) 1 mm2 = cm2 = 0,01 cm2 100 donc 2,9 mm2 = 2,9 x 0,01 cm2

Exercice 41 1) 143,52 hm2 = 14 352 dam2 = 1 435 200 m2 2) 92,7 km2 = 9 270 hm2 = 927 000 dam2 3) 843,6 mm2 = 8,436 cm2 = 0, 084 36 dm2 4) 49,3 dm2 = 0,493 m2 = 0,004 93 dam2 Commentaires du professeur : 1) On convertit successivement 143,52 hm2 en dam2, puis en m2. • Conversion de 143,52 hm2 en dam2 : 1 hm2 = 100 dam2 donc 143,52 hm2 = 143,52 x 100 dam2 soit 143,52 hm2 = 14 352 dam2. • Conversion de 14 352 dam2 en m2 : 1 dam2 = 100 m2 donc 14 352 dam2 = 14 352 x 100 m2 soit 14 352 dam2 = 1 435 200 m2. 2) On convertit successivement 92,7 km2 en hm2, puis en dam2. • Conversion de 92,7 km2 en hm2 : 1 km2 = 100 hm2 donc 92,7 km2 = 92,7 x 100 hm2

soit 92,7 km2 = 9 270 hm2.

• Conversion de 9 270 hm2 en dam2 : 1 hm2 = 100 dam2 donc 9 270 hm2 = 9 270 x 100 dam2 soit 9 270 hm2 = 927 000 dam2. 3) • Conversion de 843,6 mm2 en cm2 1 mm2 = 0,01 cm2 donc 843,6 mm2 = 843,6 x 0,01 cm2 soit 843,6 mm2 = 8,436 cm2. • Conversion de 8,436 cm2 en dm2 1 cm2 = 0,01 dm2 donc 8,436 cm2 = 8,436 x 0,01 dm2 soit 8,436 cm2 = 0,084 36 dm2. 4) On convertit successivement 49,3 dm2 en m2, puis en dam2. • Conversion de 49,3 dm2 en m2 1 dm2 = 0,01m2 donc 49,3 dm2 = 49,3 x 0,01 m2 soit 49,3 dm2 = 0,493 m2. • Conversion de 0,493 m2 en dam2 1 m2 = 0,01 dam2

donc 0,493 m2 = 0,493 x 0,01 dam2 soit 0,493 m2 = 0,004 93 dam2.


121


c c

Séquence 10

Exercice 42 1) 87,89 hm2 = 8 789 dam2 2) 45 789 dam2 = 4,578 9 km2 Commentaires du professeur : D’après les exercices qui précèdent, • chaque fois qu’on convertit une aire dans une unité plus petite, on obtient un résultat « plus grand », • chaque fois qu’on convertit une aire dans une unité plus grande, on obtient un résultat « plus petit ». 1) Comme 8 789 > 87,89 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus petite que l’hectomètre carré. On commence donc par convertir 87,89 hm2 en dam2. On trouve la réponse. 2) Comme 4,578 9 < 45 789 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus grande que le décamètre carré. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 45 789 dam2 = 457,89 hm2

457,89 hm2 = 4,578 9 km2

Exercice 43 1) 1 ha = 100 a Or : 1 a = 1 dam2 donc 1 ha = 100 dam2 Comme 100 dam2 = 1 hm2 , on a : 1 ha = 1 hm2 2) D’après le 1) on a : 1 ha = 1 hm2. Or : 1 hm2 = 100 dam2 = 10 000 m2 donc 1 ha = 10 000 m2

1) On commence par écrire ce que l’on sait concernant les notions d’are et d’hectare, puis on réfléchit.

2) Pour répondre à la question posée, il suffit donc de convertir 1 hm2 en m2. Comme 1 dam2 = 100 m2 on a : 100 dam2 = 100 x 100 m2 soit 100 dam2 = 10 000 m2

122



c

Séquence 10

Exercice 44 1) 5,4 km2 = 540 hm2 = 540 ha 2) 4,3 ha = 4,3 hm2 = 430 dam2 = 43 000 m2 3) 19,4 a = 19,4 dam2= 1 940 m2 4) 1 525 a = 15,25 ha 5) 8 ha 67 a = 8,67 ha 6) 5,75 ha = 575 a 7) 45 850 m2 = 458,50 dam2 = 4,585 hm2 = 4,585 ha 8) 13,272 ha = 132 720 m2

c

Commentaires du professeur : 1) Comme 1 ha = 1 hm2, répondre à la question revient à convertir 5,4 km2 en hm2. 1 km2 = 100 hm2 donc 5,4 km2 = 5,4 x 100 hm2 = 540 hm2 2) 1 ha = 1 hm2 Répondre à la question posée revient donc à convertir 4,3 hm2 en m2. On convertit donc successivement 4,3 hm2 en dam2 puis en m2. • Conversion de 4,3 hm2 en dam2 1 hm2 = 100 dam2 donc 4,3 hm2 = 4,3 x 100 dam2 soit 4,3 hm2 = 430 dam2 • Conversion de 430 dam2 en m2 1 dam2 = 100 m2 donc 430 dam2 = 430 x 100 m2 soit 430 dam2 = 43 000 m2 3) 1 a = 1 dam2 On est donc ramené à convertir 19,4 dam2 en m2. 1 dam2 = 100 m2 donc 19,4 dam2 = 19,4 x 100 m2 soit 19,4 dam2 = 1 940 m2 4) On commence par convertir 1 a en ha : 1 ha = 0,01 ha On déduit que : 1 525 a = 1 525 x 0,01 ha soit 1 525 a = 15,25 ha 1a= 100 5) On commence par convertir 67 ares en hectares : 1 a = 0,01 ha donc 67 a = 67 x 0,01 ha = 0,67 ha Par conséquent : 8 ha 67 a = 8,67 ha 6) 1 ha = 100 a donc 5,75 ha = 5,75 x 100 a = 575 a 7) 1 ha = 1 hm2 On est donc ramené à convertir 45 850 m2 en hm2. On convertit donc successivement 45 850 m2 en dam2, puis en hm2. • Conversion de 45 850 m2 en dam2 1 m2 = 0,01 dam2 donc 45 850 m2 = 45 850 x 0,01 dam2 soit 45 850 m2 = 458,50 dam2 • Conversion de 458,50 dam2 en hm2 1 dam2 = 0,01 hm2 donc 458,50 dam2 = 458,50 x 0,01 hm2 soit 458,50 dam2 = 4,5850 hm2 8) 1 ha = 1 hm2 Répondre à la question posée, c’est donc compléter l’égalité : 13,272 hm2 = 132 720… Comme 132 720 > 13,272 on conclut pour commencer que l’unité à découvrir est plus petite que l’hectomètre carré. Par étapes successives, on trouve ensuite la réponse : 13,272 hm2 = 1 327,2 dam2 = 132 720 m2

Exercice 45 1) L’aire totale en ares de la première et de la troisième parcelles est : 8,5 + 9,7 = 18,2 Or : 18,2 a = 18,2 dam2 = 1 820 m2 L’aire totale en m2 des trois parcelles est donc : 1 820 + 352,5 = 2 172,5 2) La somme en euros que reçoit Monsieur Martin lors de la vente de ses terrains est : 110,4 x 2 172,5 = 239 844

• 1 a = 1 dam2 • De plus, on a : 1 dam2 = 100 m2 donc 18,2 dam2 = 18,2 x 100 m2


123


c c

Séquence 10

Séance 6

Ce que tu devais faire Exercice 46 1) a) • 3,2 x 2,4 • (2 x 3,2) + 2,4 • 3,2 + (2 x 2,4) • (2 x 3,2) + (2 x 2,4) • 2 x (3,2 + 2,4) • 3,2 + 2,4 + 3,2 +2,4

Les commentaires du professeur (2 x 3,2) + 2,4 est la longueur en cm de la ligne bleue ci-dessous. !

CM

"

CM $

#

3,2 + (2 x 2,4) est la longueur cm de la ligne verte : !

CM

"

CM $

b) 2 x (3,2 + 2,4) = 2 x 5,6 = 11,2

#

1) b) La méthode la plus rapide pour répondre à la question posée est de calculer 2 x (3,2 + 2,4). Cependant, si l’on calcule (2 x 3,2) + (2 x 2,4) on obtient : (2 x 3,2) + (2 x 2,4) = 6,4 + 4,8

2) P =L+l+L+l P = (2 x L) + (2 x l) P = 2 x (L + l) 3) • 3,1 cm = 31 mm 2,3 cm = 23 mm • Combien de petits carrés de 1 mm de côté contient la bande verte ? 31 • Combien de petits carrés de 1 mm de côté sont contenus dans le rectangle ABCD ? 31 x 23 = 713 • Quelle est l’aire du rectangle ABCD ? 713 mm2 • Convertis cette aire en cm2 : 1 mm2 = 0,01 cm2 donc 713 mm2 = 713 x 0,01 cm2 = 7,13 cm2 • Calcule 3,1 x 2,3 : 3,1 x 2,3 = 7,13 • Que remarques-tu ? On obtient l’aire en cm2 du rectangle ABCD en multipliant sa longueur et sa largeur exprimées en cm. Exercice 47

(2 x 3,2) + (2 x 2,4) = 11,2 2)

, l Le rectangle ABCD contient 23 lignes de 31 petits carrés de 1 mm de côté.

M

1) Le périmètre en m du rectangle est : 2 x (2,5 + 1,6) = 2 x 4,1 = 8,2 M L’aire en m2 du rectangle est : 2,5 x 1,6 = 4. 2) MM 18 mm = 1,8 cm CM Le périmètre en cm du rectangle est : 2 x (2,6 + 1,8) = 2 x 4,4 = 8,8 On applique le précédent « JE RETIENS ». L’aire en cm2 du rectangle est : 2,6 x 1,8 = 4,68. On veille à ce que la longueur et la largeur du rectangle soient exprimées dans la même unité.

124



c

Séquence 10

Exercice 48

D’après la séance 3, les bassins 2 et 3 ont la même aire, par exemple celle d’un rectangle de 9 « carreaux » de long et de 4 « carreaux » de large (les « carreaux » ayant 7,5 m de côté). La longueur en m de ce rectangle est donc : 7,5 x 9 = 67,5 Sa largeur en m est : 7,5 x 4 = 30 Son aire en m2 est donc : 67,5 x 30 = 2 025 Or : 1 m2 = 0,01 dam2 c’est-à-dire : 1 m2 = 0,01 a On a donc : 2 025 m2 = 0,01 x 2 025 a soit 2 025 m2 = 20,25 a. Conclusion : Les deux bassins 2 et 3 ont une aire de 2 025 m2 soit de 20,25 a.

Exercice 49 L’aire en m2 du rectangle ABCD est : 34,2 x 17,2 = 588,24 La longueur en m du rectangle EFGH est : 34,2 – (2 + 2) = 34,2 – 4 = 30,2 Largeur en m du rectangle EFGH : 17,2 – (2 + 2) = 17,2 – 4 = 13,2 L’aire en m2 du rectangle EFGH est : 30,2 x 13,2 = 398,64 L’aire en m2 de l’allée est : 588,24 - 398,64 = 189,6

c

M

• Pour calculer l’aire de ce rectangle en m2, il suffit, d’après le précédent « JE RETIENS », de calculer les dimensions du rectangle en m. 1 dam2 • 1 a = 1 dam2 1 m2 = 100 • Remarque : C’est grâce au découpage réalisé lors de la séance 3 qu’il a été facile de calculer l’aire des bassins 2 et 3. Lorsqu’on demande de calculer l’aire d’une surface de forme un peu complexe, il faut penser à regarder si un découpage ne permettrait pas de trouver assez facilement la réponse. • On remarque que l’aire de l’allée est la différence entre l’aire du rectangle ABCD et celle du rectangle EFGH. On connaît les dimensions du rectangle ABCD. On peut donc calculer son aire. On ne connaît pas celles du rectangle EFGH, mais on peux les calculer. • Il existe d’autres méthodes. Par exemple, on peut calculer l’aire des rectangles ABKL, DCK’L’, LEHL’, KFGK’ puis ajouter les aires obtenues. 8 C <

M

9 = B

C° ? ;

M

> B° :

M

M

Exercice 50 Si l’on désigne par l la largeur en m du rectangle, d’après l’énoncé, on a : 65 x l = 871 871 = 13,4 On en déduit que : l = 65 La largeur du rectangle est égale à 13,4 m.

65 x l est l’aire en m2 du rectangle donné. Le nombre qui multiplié par 65 donne 871 est le quotient de 871 par 65.


125


c c

Séquence 10

Exercice 51

1) On met en évidence sur le schéma que la longueur du terrain est le triple de sa largeur.

1)

2) Le schéma ci-dessus met en évidence que le périmètre du terrain est égal à huit fois la largeur de la parcelle. 104, 4 soit 13,05 m. La largeur en m du terrain est donc : 8 La longueur en m est : 13,05 x 3 soit 39,15 m. Exercice 52 CM

CM Comme 2 x 5,6 = 11,2 , lorsqu’on retranche 11,2 au périmètre du rectangle (c’est-à-dire à 88,4), on obtient quatre fois la largeur du rectangle. La largeur en cm du rectangle est donc : (88,4 – 11,2) ÷ 4 = 77,2 ÷ 4 soit 19,3 cm. Sa longueur en cm est : 19,3 + 5,6 soir 24,9 cm.

Il existe plusieurs méthodes : On pouvait procéder comme indiqué cicontre après avoir fait un schéma à main levée mettant en évidence que la longueur du rectangle est égale à sa largeur plus 5,6 cm.

Autre méthode : Le demi périmètre du rectangle est en cm : 88,4 ÷ 2 =44,2. LARGEUR ENCM CM

LONGUEUR ENCM

CM

Lorsqu’on retranche 5,6 à 44,2 on obtient deux fois la largeur en cm. La largeur en cm du rectangle est donc : (44,2 – 5,6) ÷ 2 = 38,6 ÷ 2 = 19,3 Sa longueur en cm est : 19,3 + 5,6 = 24,9.

Exercice 53 Thibaut a tort. Justification : L’aire en m2 d’un rectangle de longueur 3 m et de largeur 1 m est : 3x1=3 L’aire en m2 d’un rectangle de longueur 2 x 3 m (c’est-à-dire 6 m) et de largeur 2 x 1 m (c’est-à-dire 2 m) est : 6 x 2 = 12 12 n’est pas le double de 3.

12 = 4 x 3 L’aire du deuxième rectangle est donc quatre fois plus grande que celle du premier. Le schéma ci-dessous met en évidence que lorsqu’on double les dimensions d’un rectangle, on obtient un rectangle dont l’aire est quatre fois plus grande que celle du premier.

, l X l X,

126



c

Séquence 10



Exercice 54 1) Le périmètre en cm du carré ABCD est : 5,1 x 4 soit 20,4 cm. 2) a) Léa a raison. Un carré est un rectangle. La formule permettant de calculer l’aire d’un rectangle est donc valable pour un carré. b) L’aire en cm2 du carré ABCD est 5,1 x 5,1 soit 26,01 cm2. Exercice 55 1) Le périmètre du carré ci-contre est c x 4. 2) L’aire de ce carré est c x c. Exercice 56 1) La longueur en m de la frise est 4,6 x 4 soit 18,4 m. 2) L’aire en m2 du plafond est 4,6 x 4,6 soit 21,16 m2. Exercice 57 8 x 8 = 64 donc le carré a 8 cm de côté. Le périmètre en cm du carré est donc 8 x 4 soit 32 cm.

c

On n’oublie pas, pour chacun des résultats, de préciser dans quelle unité il est exprimé.

Au lieu de dire « exprimer le périmètre du carré à l’aide de c » on dit aussi « exprimer le périmètre du carré en fonction de c ». On applique les formules vues dans le « JE RETIENS » précédent. On n’oublie pas, pour chacun des résultats, de préciser dans quelle unité il est exprimé. On sait calculer le périmètre d’un carré connaissant son côté. On commence donc par calculer le côté du carré. L’aire du carré est égale à 64 cm2. On obtient l’aire d’un carré en multipliant son côté par lui-même. On déduit donc de 8 x 8 = 64 que le côté du carré est égal à 8 cm.

Exercice 58 1) La longueur en m de chacun de ses côtés est : 114,4 ÷ 4 soit 28,6 m. L’aire en m2 du carré est donc : 28,6 x 28,6 = 817,96 1 a = 1 dam2 1 m2 = 0,01 dam2 donc : 817,96 m2 = 0,01 x 817,96 a c’est-à-dire : 817,96 m2 = 8,179 6 a L’aire du carré est 8,179 6 a. 2) a) Le demi périmètre en m du rectangle est : 114,4 ÷ 2 = 57,2 La largeur en m du rectangle est donc : 57,2 – 31,8 = 25,4 b) L’aire en m2 du rectangle est : 31,8 x 25,4 = 807,72 1 a = 1 dam2 1 m2 = 0,01 dam2 donc : 807,72 m2 = 0,01 x 807,72 a c’est-à-dire 807,72 m2 = 8,077 2 a L’aire du rectangle est 8,077 2 a.

1) Pour calculer l’aire du carré, on commence par calculer la longueur de chacun de ses côtés.

2) a) La meilleure méthode pour déterminer la largeur d’un rectangle connaissant sa longueur et son périmètre est de commencer par calculer le demi périmètre du rectangle.


127


c c

Séquence 10

Exercice 59 L’aire du carré ABCD est le double de celle du carré EFGH. L’aire en cm2 du carré EFGH est donc 200 ÷ 2 soit 100 cm2 On a : 10 x 10 = 100 donc le carré EFGH a 10 cm de côté.

!

%

(

"

&

$

'

#

Exercice 60 1) FG = ED + CB + AH FG = 2,2 + 7,6 + 2,2 soit FG = 12 dam. 2) L’aire en dam2 du carré ABCD est 7,6 x 7,6 soit 57,76 dam2. 175,36 a = 175,36 dam2 L’aire en dam2 du rectangle EFGH est donc : 175,36 – 57,76 soit 117,6 dam2. Ainsi, GH étant exprimée en dam on a : GH x 12 = 117,6 d’où GH =

117, 6 soit GH = 9,8 dam. 12

3) Le périmètre en dam de la figure est : AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA soit (7,6 x 3) + (2 x 2,2) + (2 x 9,8) + 12

2) On connaît FG. Si on connaissait l’aire du rectangle EFGH, on saurait calculer GH. Or, • on connaît l’aire totale du terrain, • on peut calculer l’aire du carré ABCD (puisqu’on connaît son côté), on peut donc calculer l’aire de EFGH. 1 a = 1 dam2 donc 175,36 a =175,36 dam2

(puisque : DE = HA = 2,2 dam GH = FE = 9,8 dam FG = 12 dam)

c’est-à-dire 58,8 dam. On laisse libre une ouverture de 5 m pour placer la porte. 5 m = 0,5 dam La longueur en dam de clôture à acheter est donc : 58,8 – 0,5 soit 58,3 dam. Exercice 61 L’aire d’un carré n’est pas proportionnelle à son côté. Si elle l’était, lorsqu’on multiplierait la longueur d’un côté par 2, l’aire serait multipliée par 2. Or : • l’aire en cm2 d’un carré de 5 cm de côté est : 5 x 5 soit 25 cm2. • celle d’un carré de 2 x 5 soit 10 cm de côté est : 10 x 10 soit 100 cm2 • 100 n’est pas le double de 25.

128



Le schéma ci-dessous met en évidence que lorsqu’on multiplie le côté d’un carré par 2, l’aire du carré est multipliée par 4.

c

c

Séquence 10


c


Exercice 62 1) Le périmètre en cm du triangle rectangle ci-contre est : 3,6 + 4,8 + 6 soit 14,4 cm. 2) a)

!

$

2) b) En effet : AB = CD AD = BC. Les triangles rectangles ABC et ADC sont donc superposables.

C

M

CM

"

#

CM

b) L’aire du triangle ABC est la moitié de celle du rectangle ABCD. L’aire en cm2 du rectangle ABCD est : 3,6 x 4,8 = 17,28 17, 28 L’aire en cm2 du triangle ABC est donc soit 8,64 cm2.

2

Exercice 63 1) Le périmètre de ce triangle rectangle est a + b + c . 2) Je trace le point D tel que ABCD soit un rectangle.

8 A 9

; C B

:

L’aire du triangle ABC est la moitié de celle du rectangle ABCD. L’aire du rectangle ABCD est a x b . a×b Celle du triangle rectangle ABC est donc .

2

Exercice 64 32 mm = 3,2 cm L’aire en cm2 du triangle EFG est :

3, 2 × 2, 4 3, 2 × 2 × 1, 2 = soit 3,84 cm2 . 2 2 ×1

Il faut veiller à ce que les longueurs connues soient dans la même unité. 1 cm = 0,1 cm 1 mm = 10 donc 32 mm = 0,1 x 32 cm = 3,2 cm fl On applique la formule vue dans le précédent « JE RETIENS ».


129


c c

Séquence 10

Exercice 65 1)

"

figure à main levée

!

# !#CM

$

"$ CM

Je trace deux segments [AC] et [BD] tels que : • AC = 5 cm • BD = 3,4 cm • [AC] et [BD]aient le même milieu O et soient perpendiculaires "

!

/

#

$ Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu est un losange, donc par construction ABCD est un losange. 2) L’aire du losange ABCD est égale à quatre fois celle du triangle rectangle AOB. Je calcule l’aire du triangle AOB. O est le milieu de [AC] et de [BD] donc : AC BD • OA = • OB = 2 2 Comme AC = 5 cm et BD = 3,4 cm, on a : • OA = 2,5 cm • OB = 1,7 cm 2 L’aire en cm du triangle rectangle AOB est : OA × OB 2, 5 × 1, 7 4, 25 = = = 2,125 2 2 2 2 L’aire en cm du losange ABCD est donc 2,125 x 4 soit 8,5 cm2. Dès qu’on connaît AB et BC, on sait calculer l’aire du triangle ABC. L’aire du carré ABFG est égale à 36 cm2 . Comme : 6 x 6 = 36 , On remarque qu’on peut calculer AB. En effet, l’aire du carré ABFG est égale à 36 cm2. Par le carré ABFG a 6 cm de côté. ailleurs, l’aire d’un carré s’obtient en multipliant On a donc : AB = 6 cm . son côté par lui-même. Comme 6 x 6 = 36, on En raisonnant comme précédemment, on déduit de 7 x 7 = 49 , déduit que le carré ABFG a 6 cm de côté. que BC = 7 cm . AB = 6 cm L’aire en cm2 du triangle ABC est égale à : Un raisonnement analogue permet de calculer BC. 6 × 7 3× 2 × 7 2 = soit 21 cm . fl On applique la formule vue dans le 2 ×1 2 précédent « JE RETIENS ».

Exercice 66

130



c

Séquence 10

Exercice 67 1) D’après l’énoncé : • l’aire du triangle rectangle ABC est égale à 12,5 cm2 • AB = 5 cm.

On a donc :

5 × AC

= 12,5 2 Par conséquent : 5 x AC = 2 x 12,5 c’est-à-dire 5 x AC = 25 25 d’où AC = soit AC = 5 cm. 5 2) D’après le 1), on a : AB = AC. Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en A.

c

AB et AC étant exprimés en cm, l’aire en cm2 du triangle rectangle ABC est : 9 AB × AC 5 × AC = 8 : 2 2 Or, d’après l’énoncé, l’aire du triangle rectangle est égale à 12,5 cm2. On a donc : 5 × AC = 12,5 2 fl Cette égalité traduit que la moitié de 5 x AC est égale à 12,5. 5 x AC est donc le double de 12,5. fl Le nombre qui multiplié par 5 donne 25 est le quotient de 25 par 5.

Exercice 68 1) a) D’après l’énoncé : • A,B, E sont alignés • AB = BE donc B est le milieu de [AE]. b) B est le milieu de [AE] donc AE = 2 x AB . 2) Pour AB = 3 cm et AD = 5 cm , • l’aire en cm2 du rectangle ABCD est 5 x 3 soit 15. • AE = 2 x 3 cm = 6 cm donc l’aire en cm2 du triangle rectangle ADE est

L’aire du triangle rectangle ADE est

AD × AE 2

5× 6 soit 15 cm2. 2

3) Pour AB = 3 cm et AD = 5 cm, l’aire en cm2 du rectangle ABCD est égale à celle du triangle rectangle ADE. 4) On ferait la même remarque avec n’importe quelles autres valeurs de AB et AD. Justification : L’aire en cm2 du rectangle ABCD est AD x AB. L’aire en cm2 du triangle rectangle ADE est Or d’après le 1) b) on a : AE = 2 x AB . L’aire de ADE est donc :

AD × AE . 2

Attention ! Pour le prouver, il ne suffit pas de calculer l’aire du rectangle ABCD et celle du triangle ADE pour de nombreuses valeurs de AB et AD (par exemple pour 1 000 valeurs). En effet, en procédant ainsi, on n’aurait pas examiné tous les cas pouvant se présenter.

AD × 2 × AB AD × AB = = AD x AB . 2 ×1 1


131


c c

Séquence 10

Séance 9


Les commentaires du professeur On ne connaît pas de formule permettant de calculer l’aire du quadrilatère ABCD.

Exercice 69 J’appelle H le point de [DC] tel que : (AH) ⊥ (DC) .

!

CM

"

• le rectangle ABCH

CM

CM

• le triangle rectangle AHD. L’aire en cm2 de ABCD est égale à celle de ABCH plus celle de AHD.

( CM

$

On essaie donc de se ramener à ce que l’on sait. Par exemple, on décompose le quadrilatère ABCD en surfaces dont on sait calculer l’aire :

#

L’aire en cm2 du rectangle ABCH est : AB x BC = 5,8 x 6,4 = 37,12 soit 37,12 cm2 . Dans le rectangle ABCH on a : HC = AB = 5,8 cm et HA = CB = 6,4 cm. Comme H est un point de [DC], on a : DH = DC – HC Par conséquent : DH = 10,6 – 5,8 soit DH = 4,8 cm L’aire en cm2 du triangle rectangle AHD est : DH × HA 4, 8 × 6, 4 4, 8 × 2 × 3, 2 = = = 4,8 x 3,2 = 15,36 2 2 2 ×1 L’aire en cm2 du quadrilatère ABCD est : 37,12 + 15,36 = 52,48 soit 52,48 cm2 . Les commentaires du professeur

Je calcule l’aire de ABCH.

Je détermine HA et DH (afin de pouvoir calculer l’aire de AHD)

Je calcule l’aire de AHD.

%

!

CM

"

Autre méthode : M C

Le quadrilatère EBCD qui a trois angles droits est un rectangle.

$ L’aire en cm2 de ABCD est égale à celle du rectangle EBCD moins celle du triangle rectangle DEA.

Calculons donc successivement l’aire en cm2 de EBCD et de DEA. • L’aire en cm2 du rectangle EBCD est : BC x DC =6,4 x 10,6 = 67,84 Dans le rectangle EBCD on a : DE = CB = 6,4 cm et EB = DC = 10,6 cm Comme A est un point de [EB] on a : EA = EB – AB Par conséquent : EA = 10,6 – 5,8 soit EA = 4,8 cm

• L’aire en cm2 du triangle rectangle EAD est :

EA× DE

=

4,8× 6,4

2

soit

EA× DE 2

=

2 × 2,4 × 6,4 2× 1

c’est-à-dire

EA× DE 2

2

=

2,4 × 6,4 1

=15,36

L’aire en cm2 du quadrilatère ABCD est donc : 67,84 – 15,36 = 52,48 soit 52,48 cm2 .

132



CM

Soit E le point d’intersection de (AB) et de la perpendiculaire en D à (DC).

CM

#

c

Séquence 10

Exercice 70

AD = 5 x 8 soit AD = 40 mm 3 8 DE = 8 + x8 =8+ 3x = 8 + (3 x 2) soit DE = 14 mm 4 4 L’aire en mm2 du triangle rectangle ADE est : AD × DE 40 × 14 40 × 2 × 14 = = = 40 x 14 = 560 2 2 2 ×1 DC = (3 x 8) + (8 ÷ 2) = 24 + 4 soit DC = 28 mm L’aire en mm2 du triangle rectangle BDC est : BD × DC 8 × 28 8 × 2 × 14 = = = 8 x 14 = 112 2 ×1 2 2

(

)

(

c

L’aire en mm2 de la figure grisée s’obtient en ajoutant les aires en mm2 des triangles rectangles ADE et BCD.

)

L’aire en mm2 de la figure grisée est donc : 560 + 112 = 672 1 mm2 = 0,01 cm2 donc 672 mm2 = 0,01 x 672 cm2 = 6,72 cm2 L’aire de la figure grisée est 6,72 cm2 . Exercice 71 8 mm = 0,8 cm L’aire en cm2 du rectangle ABCD est : CD x AD = 5,4 x 3,2 = 17,28 L’aire en cm2 du triangle rectangle IJK est : IJ × IK 1, 2 × 0, 8 0, 6 × 2 × 0, 8 = = = 0,6 x 0,8 = 0,48 2 ×1 2 2 L’aire en cm2 de la figure grisée est donc : 17,28 + 0,48 = 17,76 soit 17,76 cm2 .

L’aire en cm2 de la figure grisée s’obtient en ajoutant à l’aire en cm2 du rectangle ABCD celle du triangle rectangle IJK. 1 cm = 0,1 cm donc fl 1 mm = 10 8 mm = 0,1 x 8 cm = 0,8 cm &

'

%

(

"

!

) CM * CM

MM + .

$

/

-

CM

,

#


133


c c

Séquence 10

Exercice 72

XMM +

,

! &

• On commence donc par calculer l’aire du carré KLMN.

" $

• On calcule ensuite l’aire en mm2 de la partie hachurée (elle est égale à celle du rectangle ABCF plus celle du triangle rectangle DEF).

#

%

.

-

KL = 6 x 8 soit KL = 48 mm L’aire en mm2 du carré KLMN est : KL x KL= 48 x 48 = 2 304 AB = 4 x 8 soit AB = 32 mm BC = 8 ÷ 2 soit BC = 4 mm L’aire en mm2 du rectangle ABCF est : AB x BC = 32 x 4 = 128 FD = 2 x 8 soit FD = 16 mm FE est égal à la largeur totale de 4 interlignes donc FE = 8 mm L’aire en mm2 du triangle rectangle DEF est : FD × FE 16 × 8 8 × 2 × 8 = = = 8 x 8 = 64 2 ×1 2 2 2 L’aire en mm de la partie hachurée est : 128 + 64 = 192 L’aire en mm2 de la partie grisée est : 2 304 – 192 = 2 112 soit 2 112 mm2 c’est-à-dire 21,12 cm2. Exercice 73 Les quadrilatères GBCH et FEDH ont chacun trois angles droits. Ce sont donc des rectangles. Le rectangle FEDH a deux côtés consécutifs de même longueur : [FE] et [ED]. C’est donc un carré. FEDH étant un carré de 3,6 dm de côté, on a : FH = HD = 3,6 dm GBCH étant un rectangle, on a : GH = BC soit GH = 10,2 dm D’après l’énoncé, on a : F ∈ [GH] , donc GF = GH – FH . Par conséquent : GF = 10,2 – 3,6 soit GF = 6,6 dm D’après l’énoncé, on a : D ∈ [HC] , donc HC = HD + DC . soit HC = 3,6 + 5,1 c’est-à-dire HC = 8,7 dm L’aire en dm2 du rectangle GBCH est : HC x BC = 8,7 x 10,2 = 88,74 L’aire en dm2 du carré FEDH est : ED x ED = 3,6 x 3,6 = 12,96 L’aire en dm2 du triangle rectangle GAF est : GA × GF 6 × 6, 6 3 × 2 × 6, 6 = = = 3 x 6,6 = 19,8 2 ×1 2 2 L’aire en dm2 de la partie grisée est donc : 88,74 – (12,96 + 19,8) = 88,74 – 32,76 = 55,98 soit 55,98 dm2 .

134



L’aire en mm2 de la partie grisée est égale à celle du carré KLMN moins celle de la partie hachurée.

1 mm2 =

1 100

cm2 = 0,01 cm2

donc 2 112 mm2 = 2 112 x 0,01 cm2

Dans un premier temps, on observe attentivement la figure. On déduit du codage de la figure la nature des quadrilatères GBCH et FEDH. On déduit de nouvelles longueurs de la nature des quadrilatères GBCH et FEDH. L’unité d’aire étant le dm2, si on désigne par • A l’aire de la partie grisée, • AGBCH celle du rectangle GBCH, • AFEDH celle du carré FEDH, • AGAF celle du triangle rectangle GAF, on a :

A = AGBCH – (AFEDH + AGAF ) . Pour calculer l’aire de la partie grisée, on calcule donc successivement : - l’aire du rectangle GBCH - l’aire du carré FEDH et celle du triangle rectangle GAF.

c

Séquence 10

Exercice 74 1)

8

<

?

9

=

>

A

B

c

C M

;

I

:

"ASSIN

La figure ci-dessus met en évidence que l’aire du bassin 1 est égale à l’aire du rectangle ABCD, moins l’aire totale des carrés EFGH et IJKL. L’aire du bassin 1 est donc celle de (7 x 6) – 2 soit 40 petits carrés de 7,5 m de côté. L’aire en m2 d’un « carreau » de 7,5 m de côté est : 7,5 x 7,5 = 56,25 L’aire en m2 du bassin 1 est donc : 56,25 x 40 = 2 250 soit 2 250 m2. Or : 1 m2 = 0,01 dam2 c’est-à-dire 1 m2 = 0,01 a donc 2 250 m2 = 0,01 x 2 250 a soit 2 250 m2 = 22,50 a L’aire du bassin 1 est 22,50 a. 2) Des trois projets qui sont parvenus à la ville, c’est le bassin 1 qui offrirait le plus de place aux enfants pour jouer. Les bassins 2 et 3 n’ont donc plus aucune chance d’être choisis. Exercice 75 Les rectangles EBHG et FGID ont la même aire. Justification : AEBHG = AABC - (AAEG + AGHC) AFGID = AADC - (AAFG + AGIC) Or, • dans le rectangle ABCD, on a : AABC = AADC , • dans le rectangle AEGF on a : AAEG = AAFG , • dans le rectangle GHCI on a : AGHC = AGIC . Par conséquent : AEBHG = AFGID .

fl En effet, six rangées de sept «carreaux» de 7,5 m de côté recouvrent le rectangle ABCD 1 dam2 1 a = 1 dam2 1 m2 = 100 On pouvait procéder différemment pour calculer l’aire du bassin 1 (On pouvait calculer AB, BC puis soustraire à l’aire de ABCD l’aire totale des carrés IJKL et EFGH).

Les bassins 2 et 3 ont une aire de 2 025 m2 d’après l’exercice 48. Une unité d’aire étant choisie, je désigne par AABC l’aire du triangle ABC (Cette notation est courante).

Attention ! Un raisonnement utilisant des mesures ne conviendrait pas pour traiter cet exercice. Il ne conduirait pas à une conclusion précise. Chaque fois qu’on effectue une mesure, on commet une erreur.


135


c c

Séquence 10

Séance 10



Exercice 76

AB = 4 x 8,3 m =33,2 m L’aire de la surface grisée est égale à celle du carré ABCD. Elle est donc égale à 33,2 x 33,2 soit 1 102,24 m2. 1 102,24 m2 = 11,022 4 dam2 = 11,022 4 a

!

"

$

#

M

1 a = 1 dam2 Convertir 1 102,24 m2 en ares, c’est donc convertir 1 102,24 m2 en dam2. 1 dam2 = 0,01 dam2 1 m2 = 100 donc 1 102,24 m2 = 1 102,24 x 0,01 dam2 soit 1 102,24 m2 = 11,022 4 dam2

Exercice 77 1) La longueur en m des quatre arcs de cercle de la ligne bleue est égale à la longueur de trois cercles de rayon 30 m. La longueur exacte en m de trois cercles de rayon 30 m est : 3 x (2 x π x 30) = (3 x 2 x 30) x π = 180 x π A, E, F et B sont alignés dans cet ordre donc EF = AB – (AE + FB) = 135 – (30 + 30) = 135 – 60 soit EF = 75 m B, G, H et C sont alignés dans cet ordre donc GH = BC – (BG + HC) = 105 – (30 +30) = 105 – 60 soit GH = 45 m Comme ABCD est un rectangle, on a : AB = DC et BC = AD. En raisonnant comme précédemment, on montrerait que : IJ = 75 m et KL = 45 m D’après ce qui précède : EF + GH + IJ + KL = (75 x 2) + (45 x 2) = 150 + 90 c’est-à-dire EF + GH + IJ +KL = 240 m La longueur exacte en m de la ligne grise est (180 x π) + 240. 2) L’arrondi au dixième de cette longueur en m est 805,5.

136



1) Pour déterminer la longueur exacte de la ligne bleue, on va calculer successivement • la longueur des quatre arcs de cercle • EF + GH + IJ + KL !

%

&

"

,

'

+

(

$

*

)

#

D’après la formule L = 2 x π x R, 2 x π x 30 est la longueur en m d’un cercle de rayon 30 m.

Résultat trouvé en tapant sur la calculatrice ( 1 8 0 x π ) + 2 4 0 EXE

c

Séquence 10

Exercice 78 L et D désignant respectivement la longueur et le diamètre en kilomètres de la trajectoire du satellite, on a : L = π x D. Ainsi : 42 410 = π x D. 42 410 Par conséquent : D = d’où D ≈ 13 499,522 km π D moins le diamètre en km de la Terre représente 2 fois l’altitude en km à laquelle se déplace le satellite. Une valeur approchée en km de l’altitude cherchée est : (13 499,522 – 12 800) ÷ 2 = 699,522 ÷ 2 = 349,761

c

Dès qu’on connaît le diamètre de la trajectoire du satellite, on peut calculer l’altitude à laquelle se déplace le satellite. En effet, le diamètre de la trajectoire, celui de la Terre et l’altitude étant exprimés en km : diamètretrajectoire – diamètreTerre est égal à 2 fois l’altitude cherchée.

Ü

K]jj]

Résultat obtenu à l’aide de la calculatrice en tapant 4 2 4 1 0 ÷ π EXE

Exercice 79 1) On connaît l’aire de la surface grisée. Par conséquent, si l’on connaissait l’aire du triangle rectangle EFD, on pourrait calculer l’aire du rectangle ABCD.

1)

On sait calculer l’aire d’un triangle rectangle quand on connaît la longueur des côtés de l’angle droit. On connaît ED. On ne connaît pas DF, mais on peut le calculer : DF = DA – FA (On peut montrer que DA est égal à 35 m. FA = 2,46 dam)

Comme ABCD est un rectangle, on a : DA = CB = 35 m FA = 2,46 dam donc FA = 24,6 m F ∈ [AD] donc DF = DA – FA soit DF = 35 – 24,6 c’est-à-dire DF = 10,4 m L’aire en m2 du triangle rectangle EFD est : ED × DF 7, 8 × 10, 4 2 × 3, 9 × 10, 4 3, 9 × 10, 4 = = = 2 ×1 1 2 2 ED × DF = 3,9 x 10,4 = 40,56 2 L’aire en m2 du rectangle ABCD est : 677,56 – 40,56 = 637 2) La longueur BC du rectangle ABCD est égale à 35 m. Son aire est 637 m2. On a donc : AB x 35 = 637 Par conséquent : AB =

637 35

soit AB = 18,2 m

1 dam = 10 m donc 2,46 dam = 2,46 x 10 m soit FA = 24,6 m 2) Pour calculer le périmètre de la surface grisée, il faudrait connaître AB et DC. Or, comme ABCD est un rectangle, on a : AB = DC. Par conséquent, dès qu’on connaît AB ou DC, on sait calculer le périmètre de la surface grisée. On remarque qu’on peut calculer AB. En effet, on connaît l’aire du rectangle ABCD et sa longueur BC. fl Le nombre qui multiplié par 35 donne 637 est le quotient de 637 par 35.

ABCD est un rectangle donc CD = AB = 18,2 m D ∈ [EC] donc CE = CD + DE soit CE = 18,2 + 7,8 d’où CE = 26 m Le périmètre en m de la figure grisée est : AB + BC + CE + EF + FA = 18,2 + 35 + 26 + 13 + 24,6 soit AB + BC + CE + EF + FA = 116,8 m © Cned, Mathématiques 6e —

137


c c

Séquence 10

Exercice 80 • F ’1 est le symétrique de F1 par rapport à (AB), • une figure et son symétrique ont la même aire, donc F ’1 et F1 ont la même aire (ce que l’on écrira : AF’ = AF ) 1 1 En raisonnant de même, on montrerait que : • AF ’ = AF 2 2 • AF ’ = AF . 3 3 AF + AF + AF est égal à l’aire du triangle ABC. 1 2 3 Par conséquent, AF ’ + AF ’ + AF ’ (soit l’aire de la surface verte) est aussi égal à 1

2

3

l’aire de ce triangle. L’aire en m2 du triangle rectangle ABC est : AB × AC 2, 7 × 3, 4 2, 7 × 22 × 1, 7 2, 7 × 1, 7 = = = = 2,7 x 1,7 22 × 1 1 2 2 AB × AC = 4,59 2 Par conséquent l’aire de la surface verte est 4,59 m2.

138



c

Séquence 10

Je m’évalue 1) Les figures 1 et 2 ont le même périmètre ˝ vrai ¨ faux 2) Les figures 1 et 2 ont la même aire ¨ vrai ˝ faux

c

1) Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. 2)

3) 35,40 m sont égaux à ¨ 3,54 dm ¨ 0,354 km ˝ 3,54 dam

4) 3,6 m2 sont égaux à ¨ 36 dm2 ¨ 0,036 dm2 ˝ 360 dm2

La surface hachurée de la figure 1 occupe moins de place que celle de la figure 2. L’aire de la figure 1 est donc plus petite que celle de la figure 2. 3) • Conversion en dm de 35,40 m 1 m = 10 dm donc 35,40 m = 35,40 x 10 dm soit 35,40 m = 354 dm • Conversion en km de 35,40 m 1 km = 0,001 km 1m= 1 000 donc 35,40 m = 35,40 x 0,001 km soit 35,40 m = 0,035 4 km • Conversion en dam de 35,40 m 1 dam = 0,1 dam 1m= 10 donc 35,40 m = 35,40 x 0,1 dam soit 35,40 m = 3,54 dam 4) 1 m2 = 100 dm2 donc 3,6 m2 = 3,6 x 100 dm2 = 360 dm2 5)

M M

5) Un carré a le même périmètre qu’un rectangle de dimensions C 4 m et 9 m. Ses côtés mesurent : ¨ 3,25 m ¨ 6m Le périmètre en m du rectangle est : ˝ 6,5 m 2 x (4 + 9) = 2 x 13= 26 Le côté c en m du carré vérifie donc : 4 x c = 26 Par conséquent : 26 2 × 13 13 = = = 6,5 c= 2 4 2×2


139


c c

Séquence 10

6) L’aire de la partie grisée est ® 20 m2 ® 51 m2 ˝ 54 m2

7) L’aire du triangle ABC est ® 30 cm2 ® 75 cm2 ˝ 37,5 cm2 8) Deux rectangles ayant la même aire ont nécessairement le même périmètre. ® vrai ˝ faux

6) L’aire en m2 du rectangle ABCD est : 7 x 9 = 63 L’aire en m2 du carré EBGF est : 3x3=9 L’aire en m2 de la partie grisée est : 63 – 9 = 54 7) L’aire en cm2 du triangle ABC est :

BA × BC 7, 5 × 10 75 = = = 37,5 2 2 2

Attention ! 7,5 + 12,5 + 10 (soit 30) représente le périmètre en cm du triangle ABC. 8) CM CM CM CM

9) Un ordre de grandeur en cm de la longueur d’un cercle de 3,5 cm de rayon est ® 11 ˝ 21 ® 28 10) Le périmètre du fond d’une casserole est égal à 87,8 cm. L’arrondi au dixième du diamètre en cm du fond de la casserole est ® 27,8 ˝ 27,9 ® 28

140



L’aire en cm2 du premier rectangle est 2 x 1,5 soit 3. L’aire en cm2 du deuxième rectangle est 3 x 1 soit 3. Les deux rectangles ont donc la même aire. Le périmètre du premier rectangle est : 2 x (2 + 1,5) = 2 x 3,5 = 7 Le périmètre du deuxième rectangle est : 2 x (3 + 1) = 2 x 4 = 8 9) La longueur en cm de ce cercle est : 2 x π x 3,5 = (2 x 3,5) x π = 7 x π π est proche de 3 donc 7 x π est proche de 7 x 3 soit 21. 10) Le périmètre L et le diamètre D en centimètres du fond de la casserole vérifient : L = π x D. Donc on a : 87,8 = π x D. Par conséquent : D =

87, 8 π

On tape sur la calculatrice : 8 7 . 8 ÷ π EXE Il s’affiche 27.94760801 Le deuxième chiffre après la virgule est un 4 donc l’arrondi au dixième du diamètre en cm du fond de la casserole est 27,9.

c

Séquence 11


c


Je révise les acquis de l’école 1) ˛ 19 ® 16 ® 14 ® 18 2) ® Kévin ® Céline ˛ Juline ® Arthur 3) ˛ 8° ® 9° ® 10° ® 7° 4) ® un jour ˛ deux jours ® trois jours ® quatre jours

On regarde la hauteur de la barre correspondant à Céline. On lit alors la graduation correspondante, en tenant compte de l’échelle (dans le sens vertical).

On regarde quelle barre est à la deuxième place en terme de hauteur. C’est celle de Juline.

On regarde sur quelle ligne horizontale se trouve la petite croix correspondant au mercredi. On tient compte de l’échelle verticale : un degré correspond à 2 graduations. On trouve 8°.

On se représente une ligne horizontale passant par la graduation 10°. Cette ligne coupe en deux fois le diagramme aux points correspondants à mardi et à jeudi.


141


c c

Séquence 11

Exercice 1 PAPIER UTILISATIONGOUVERNAIL OFFICIELLE AXIAL

XYLOGRAPHIE POUDRE BOUSSOLE ANCÐTRE DELgIMPRIMERIE ÌCANON POURLANAVIGATION

1) distance en cm

10 cm

1 cm

1 mm

durée en années

1 000

100

10

2) a) Le papier a été utilisé de façon officielle en Chine en 100. b) Le gouvernail axial a été inventé en 200. c) La boussole de navigation a été inventée en 1 050. d) La xylographie a été inventée en 800.

3) Voir sur frise ci-dessus

142



FINDUMOYEN ÊGE

1) 10 cm représentent 1 000 ans, donc 1 cm représente 10 fois moins, soit 100 ans. 1 cm, on déduit de ce qui Comme 1 mm = 10 précède qu’un millimètre représente 100 ÷ 10 soit 10 ans. 2) a) Le point représentant l’année cherchée est à 1 cm de l’origine de la demi-droite graduée. D’après le tableau du 1), 1 cm représente 100 ans. b) Le point représentant l’an 100 étant placé, on visualise facilement celui représentant l’an 200. c) 1 cm représente 100 ans donc 0,5 cm représente 2 fois moins, soit 50 ans. L’année recherchée est donc 1000 + 50 soit 1050. d) 1 cm représente 100 ans donc le point représentant l’an 800 est le point de la demidroite graduée situé à 8 cm de son origine. 3) On a : 400 < 480 < 500. D’après le 1), 1 mm représente 10 ans. Le point représentant la Chute de l’empire romain est donc situé 8 mm après celui représentant l’an 400. On commence par exemple par repérer le point d’abscisse 1500 (Comme 1 cm représente 100 ans et que 1 500 = 15 x 100 , il est à 15 cm de l’origine de la demi-droite). 1 490 = 1 500 – 10 1 mm représente 10 ans. Le point représentant 1490 est donc situé sur la demi-droite graduée 1 mm avant celui représentant 1500.

c

Séquence 11

Exercice 2 HOMME ARAIGNÏE SERPENT MOUTON

LOUP

KANGOUROU CERF

ANTILOPE

DAUPHIN

LION GUÏPARD

2) mouton

vitesse en km/h

24

araignée dauphin 2

60

AIGLE DORÏ

1) 6 cm représentent 60 km/h donc 1 cm représente 10 km/h. 1 mm représente 1 km/h . animal

c

loup

serpent

45

10

3) 4) a) 1,2 cm représente 12 km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h. La vitesse du kangourou est donc 60 + 12 km/h soit 72 km/h. b) 2,8 cm représentent 28 km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h. La vitesse de l’antilope est donc 60 + 28 km/h soit 88 km/h. c) • L’aigle doré va plus vite que le dauphin, il se place sur la demi-droite graduée à 6 cm du dauphin. Sa vitesse est donc 120 km/h. • Le guépard va moins vite que l’aigle doré, il se place sur la demi-droite graduée à 1 cm de l’aigle doré. Par conséquent, sa vitesse est 110 km/h. • Le lion va moins vite que le guépard, il se place sur la demidroite graduée à 3 cm du guépard. On en déduit que sa vitesse est 80 km/h.

1) Sur une demi-droite graduée, les abscisses des points sont proportionnelles à leurs distances à l’origine. 6 cm représentent 60 km/h donc 1 cm représente six fois moins soit 10 km/h. 1

cm. Par conséquent, un millimètre 1 mm = 10 représente 10 ÷10 soit 1 km/h. 2) 3) Un millimètre représente 1 km/h. 4) a) Le kangourou va plus vite que le dauphin. Il est donc placé à droite du dauphin sur la demi-droite graduée. 1,2 cm = 12 mm ; 1 mm représente 1 km/h donc 1,2 cm représente 12 km/h. b) Pour la même raison que le kangourou, l’antilope est placée à droite du dauphin sur la demi-droite graduée. 2,8 cm = 28 mm ; 1 mm représente 1 km/h donc 2,8 cm représentent 28 km/h. c) • L’aigle doré est à droite du dauphin. 6 cm = 60 mm Comme 1 mm représente 1 km/h, 6 cm représentent 60 km/h. La vitesse de l’aigle doré est donc 60 + 60 soit 120 km/h. • Le guépard va moins vite que l’aigle doré. Il se place donc à gauche de l’aigle doré sur la droite graduée. D’après le 1), 1 cm représente 10 km/h. On en déduit que la vitesse du guépard est 120 – 10 soit 110 km/h. • Le lion va moins vite que le guépard. Il se place donc à gauche du guépard sur la droite graduée. D’après le 1), 1 cm représente 10 km/h. On en déduit que 3 cm représentent 3 x 10 soit 30 km/h. La vitesse du lion est donc 110 – 30 soit 80 km/h.


143


c c

Séquence 11

Exercice 3 0ARIS

-EAUX

"EAUVAIS

2OUEN

,E(AVRE

4OURS

#AEN

!NGERS

DISTANCEÌ 0ARISENKM

Commentaires du professeur : Avant de commencer ce type d’exercice, il est important de savoir ce que représentent 1 cm et 1 mm. • 5 cm représentent 100 km donc 1 cm représente 5 fois moins, soit 100 ÷ 5 , c’est-à-dire 20 km. 1

• 1 mm = 10 cm. Par conséquent 1 mm représente 10 fois moins qu’1 cm. 1 mm représente donc 20 ÷ 10 soit 2 km/h.

Exercice 4

Commentaires du professeur : 1 cm représente 5 ans donc 10 ans sont représentés par 2 cm.

144



NOMBREDgHABITANTS EN&RANCE

c

Séquence 11


c


2) Classer les villes en ordre décroissant selon Exercice 5 leur nombre d’habitants, c’est les classer de la 1) Quelle est la ville de Chine la plus peuplée ? Shanghai. plus peuplée à la moins peuplée. 2) Shanghai-Pékin-Hong Kong-Chongquing-Tianjin-Shenyang- Afin de ne pas se tromper, on met ensemble, Guangzhou-Harbin-Shantou-Xian. avant le classement, • celles qui ont « dans » les quatre millions d’habitants, • celles qui ont « dans » les cinq millions d’habitants ...

Exercice 6 1) nom de la tour

hauteur en m

Taipei 101

508

Les tours Petronas

452

Sears Tower

442

Jin Mao

420

Two International Finance Center

413

Citic Plaza

391

Shun Hing Square

384

Empire State building

381

Central Plaza

374

2) Cinq tours mesurent plus de 400 m. 3) Le pays le plus représenté est la Chine.

2) On utilise bien sûr le tableau du 1) pour répondre à cette question.

Exercice 7 1) Le nombre total d’élèves inscrits en 4ème est : 233 + 303 + 275 + 240 + 1 430 + 23 + 53 + 108 + 262 = 2 927 2) La seconde langue la plus choisie par les élèves de cette classe est l’espagnol. Exercice 8 1) a) taille (cm) 49 effectif

2

50

51

52

53

54

55

56

59

2

7

6

6

3

2

1

1

b) 51 cm et la taille la plus fréquente chez ces nouveaux-nés. 2) Le nombre de nouveau-nés mesurant moins de 51 cm est : 2 + 2 = 4 soit 4 nouveau-nés.

1) Il faut être très méthodique pour répondre à cette question. Quand on compte tous les 50, par exemple, on les entoure. Quand on les a comptés, on les barre légèrement... Quand tu as fini de compter, n’oublie pas d’effacer ce que tu as entouré ou barré. Une fois le tableau terminé, vérifie que la somme des nombres sur la deuxième ligne est bien égale à 30, le nombre de nouveau-nés.

Exercice 9 1) Combien obtient-on ? 499. 2) Combien obtient-on ? 508. 3) Calcule la somme des précipitations tombées à Washington la même année : 951. 4) Dans quelle ville est-il tombé le plus de précipitations en un an ? Washington. © Cned, Mathématiques 6e —

145


c c

Séquence 11

Séance 3


Exercice 10 1) Quelle est la densité de population en Chine ? 133. De la France ? 110. De ces deux pays, lequel a la plus forte densité de population ? la Chine Des trois pays, lequel a la plus forte densité de population ? l’Inde 2) Des trois pays, lequel possède la plus grande proportion de personnes : • de moins de 15 ans ? l’Inde • entre 15 et 65 ans ? la Chine • de plus de 65 ans ? la France

Exercice 11 2) Le groupe 1 comprend 19 + 18 soit 37 enfants. Le groupe 2 compte 16 + 21 soit 37 enfants. Le groupe 3 est constitué de 16 + 17 soit 33 enfants. 3) C’est dans le groupe 2 qu’il y a le plus de garçons. 4) Il y a 19 + 16 + 16 soit 51 filles sur l’ensemble des trois groupes. Il y a 18 + 21 + 17 soit 56 garçons sur l’ensemble des trois groupes.

146




Alors que c’est en Inde qu’il y a la plus grande proportion de personnes de moins de 15 ans, c’est aussi en Inde qu’il y a la plus petite proportion de personnes qui ont plus de 65 ans. Peu de personnes vivent vieilles en Inde…

c

Séquence 11

Exercice 12 niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

5e

106

77

183

4e

95

71

166

3e

102

80

182

total

402

302

704

Commentaires du professeur : • On remarque qu’on peut compléter facilement la deuxième ligne : Le nombre manquant est : 99 + 74 = 173.

• On peut également compléter facilement la troisième ligne : • Comme : 106 + ....... = 183, le nombre manquant est : 183 – 106 = 77. • La dernière ligne du tableau se complète également très facilement : Le nombre manquant est : 402 + 302 = 704. • Il ne manque qu’un seul nombre dans la deuxième colonne. On peut le trouver facilement. 99 + 106 + 95 + ....... = 402 donc le nombre manquant est : 402 – (99 + 106 + 95) = 402 – 300 = 102

On obtient alors : • On remarque qu’on peut compléter facilement l’avant dernière ligne. Comme 102 + ....... = 182, le nombre manquant est : 182 – 102 = 80

On a donc :

• Dans la colonne « demi-pensionnaires », il ne manque qu’un seul nombre. Il est donc facile de le déterminer. 74 + 77 + ....... + 80 = 302 donc le nombre manquant est : 302 – (74 + 77 + 80) = 302 – 231 = 71

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

5e

106

77

183

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

5e

106

77

183

4e

95

……

……

3e

……

……

182

Total

402

302

……

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

5e

106

77

183

4e

95

……

……

3e

102

……

182

Total

402

302

704

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e

99

74

173

5e

106

77

183

4e

95

……

……

3e

102

80

182

Total

402

302

704

niveau

externes

demipensionnaires

total

6e 99 74 Ainsi, on a : 5e 106 77 • Détermination du dernier nombre manquant 4e 95 71 On dispose de deux méthodes : 3e 102 80 1ère méthode (la meilleure) : On utilise la quatrième ligne du tableau. Total 402 302 Le nombre manquant est : 95 + 71 = 166 2ème méthode : D’après la dernière colonne : 173 +183 + ....... + 182 = 704 donc le nombre manquant est : 704 – (173 + 183 + 182) =704 – 538 = 166

c

173 183 …… 182 704


147


c c

Séquence 11

Exercice 13 1) âge en années

tennis

danse

judo

natation

14

3

9

1

8

15

5

5

0

6

16

6

7

2

4

17

6

7

1

3

2) Le nombre d’adolescents de 15 ans qui ont été questionnés est : 5 + 5 + 0 + 6 = 16 3) Le nombre d’adolescents qui font de la natation est : 8 + 6 + 4 + 3 = 21 4) 7 adolescents de 17 ans font de la danse. Commentaires du professeur : 1) • Pour commencer, on cherche le tableau que l’on va utiliser pour mettre en évidence, pour chaque âge rencontré (14 ans, 15 ans, 16 ans, 17 ans), le nombre de personnes qui pratiquent le tennis, la danse, le judo, la natation. On peut utiliser le tableau ci-dessus ou le suivant :

• Il faut être très méthodique pour faire cette question. Au fur et à mesure qu’on lit la liste de l’énoncé, on met des barres dans le tableau. Chaque fois qu’on a écrit 5 bâtons dans une case du tableau, on les barre (Ainsi, lorsqu’on a rangé toutes les données obtenues lors du sondage, d’un seul coup d’œil dans le tableau, on voit combien il y a de barres dans chaque case).

148



âge en années

14

15

16

17

tennis danse judo natation

âge en années

tennis

danse

judo

natation

14

III

IIIII IIII

I

IIIII III

15

IIIII

IIIII

16

IIIII I

IIIII II

II

IIII

17

IIIII I

IIIII II

I

III

IIIII I

c

Séquence 11


c


Exercice 14 1) Quelles sont ces cinq villes chinoises ? Ce sont Shangai, Hong-Kong, Sanya, Dalian et Pékin. 2) Quelles sont les températures moyennes annuelles de ces cinq villes ? température moyenne annuelle en ° Shanghai

15,6

Hong-Kong

22,8

Sanya

25,6

Dalian

6,8

Pékin

11,6

3) Quelle est la ville la plus chaude ? Sanya est la ville la plus chaude. 4) Quel est l’écart de température entre la ville la plus chaude et la ville la plus froide ? La ville la plus froide est Dalian. L’écart de température en °C entre la ville la plus chaude et la ville la plus froide est : 22,8 – 6,8 = 16

2) • Sur l’axe vertical, 5 interlignes représentent 2 degrés. 1 interligne représente donc 2 ÷ 5 soit 0,4 degré. La température moyenne annuelle à Shanghai est donc 16 - 0,4 soit 15,6 degrés. La température moyenne annuelle à Hong-Kong est donc 22 + (0,4 x 2) soit 22,8 degrés. • La température moyenne annuelle à Sanya est 26 – 0,4 soit 25,6 degrés. • La température moyenne annuelle à Dalian est 6 + (2 x 0,4) soit 6 + 0,8 c’est-à-dire 6,8 degrés. • La température moyenne annuelle à Pékin est donc 12 – 0,4 soit 11,6 degrés.

Exercice 15 1) a) C’est en juillet qu’il a fait le plus chaud. La température était 28 + (2 x 0,4) soit 28 + 0,8 c’est-à-dire 28,8 degrés. b) C’est en janvier et en février qu’il a fait le plus froid. La température était de 16 degrés. 2) a) C’est en juillet qu’il a fait le plus chaud. Il a fait 28 + (2 x 0,4) soit 28,8°. b) C’est en janvier qu’il a fait le plus froid. Il a fait 20 + (3 x 0,4) soit 21,2°. 3) Je peux voir facilement que c’est Hongkong la ville la plus froide des deux. En effet : • la température à Sanya a été supérieure à celle de Hongkong neuf mois sur douze (parfois de plus de 7°) • lorsqu’il a fait plus chaud à Hongkong qu’à Sanya (en août et septembre) l’écart entre les températures des deux villes était infime : 0,4° en août, 0,4° en septembre.

1) a) En effet, c’est en juillet que la barre est la plus haute. b) En effet, c’est en janvier et en février que la barre est la moins haute.


149


c c

Séquence 11

Exercice 16 1) Mardi : • 23 personnes ont travaillé dans l’entreprise A • 26 personnes ont travaillé dans l’entreprise B. 2) 30 personnes sont venues travailler jeudi dans l’entreprise A. 3) Entreprise A Entreprise B

lundi

mardi

mercredi

jeudi

vendredi

29

23

35

30

21

20

26

38

25

21

NOMBRE DgEMPLOYÏS PRÏSENTS %NTREPRISE!

%NTREPRISE"

LUNDI

MARDI

MERCREDI

JEUDI

Exercice 17 2) Lorsqu’on remplace les anciennes données par les nouvelles, le graphique se redessine automatiquement. On obtient :

150



VENDREDI

JOURSDE LASEMAINE

c

Séquence 11


c


Exercice 18

1) D’après le graphique, la moitié des ordinateurs portables sont produits par la Chine. Or :

1) Quel est le pourcentage d’ordinateurs portables produits par la Chine ? 50 % 2) Quel est le pourcentage de réfrigérateurs produits par la Chine ? 25 % 3) a) Sur 100 jouets produits dans le monde, combien sont produits en Chine ? 70 b) Sur 40 jouets produits dans le monde, combien sont produits en Chine ?

1 = 50 % 2

2) D’après le graphique, le quart des ordinateurs portables sont produits par la Chine. Or :

1 = 25 % 4

70 70 × 40 10 × 7 × 10 × 4 × 40 = = = 7 × 4 = 28 100 100 100

Sur 40 jouets produits dans le monde, 28 sont produits en Chine. Exercice 19

5 %

30 %

10 %

50 %

20 %

80 %

Commentaires du professeur : On classe au brouillon dans l’ordre croissant : • les pourcentages : • les angles des secteurs :

5 % < 10 % < 20 % < 30 % < 50 % < 80 % anglejaune < anglebleu < anglevert < anglerose < anglegris < anglemarron

On déduit que : • 5 % correspond au diagramme jaune, • 10 % correspond au diagramme bleu ... On remarque, en procédant ainsi, que 50 % correspond bien au diagramme grisé. En effet, la moitié de la troisième figure est en grisé et :

1 = 50 % . 2


151


c c

Séquence 11

Exercice 20 1) D’après le diagramme, un quart des personnes interrogées 1 ont répondu « NON ». Or : = 25 % 4 25 % des personnes interrogées ont répondu « NON ». 2) Le pourcentage des personnes interrogées qui ont répondu « OUI » est : 100 % – (25 % + 30 %) = 100 % – 55 % = 45 % 3) a) Le nombre de personnes qui ont répondu « NON » est : 400 ÷ 4 = 100 soit 100 personnes. b) Le nombre de personnes qui ont répondu « OUI » est : 45 400 ×x 400 = 45 × x = 45 x 4 = 180 soit 180 personnes. 100 100 c) Le nombre de personnes qui ne se sont pas prononcées est : 400 – (100 + 180) = 400 – 280 = 120 soit 120 personnes.

2) Le nombre total de personnes interrogées représente 100 % du nombre total de personnes interrogées.

Exercice 21 1) Quel pourcentage des personnes interrogées ont dit qu’ils préféraient une patinoire ? 100 % – (50 % + 30 %) = 100 % – 80 % = 20 % soit 20 %. 2) PATINOIRE

SALLEDESPECTACLE

PISCINE

1) Le nombre total de personnes interrogées représente 100 % du nombre total de personnes interrogées. 2) Le diagramme représente l’ensemble des habitants de la ville. 50 % des habitants, soit la moitié, préfèreraient que soit construite une piscine. C’est donc la partie marron qui représente ces habitants. Les deux secteurs restant représentent • ceux qui aimeraient que soit construite une patinoire (20 % des habitants) • les habitants qui souhaitent voir construire une salle de spectacle (30% des habitants). Comme • anglevert < anglejaune • 20 % < 30 % , on conclut que : • le secteur vert représente les habitants qui veulent une patinoire • le secteur jaune représente les habitants qui veulent une salle de spectacle.

152



c

Séquence 11

Exercice 22 1)

2)

3) On remarque, en 2006, que · la proportion de moins de 20 ans est moins importante qu’en 1950 · la proportion de personnes âgées de 20 à 59 ans est voisine de celle qu’il y avait en 1950 · la proportion de personnes de plus de 60 ans est plus importante qu’en 1950.

1)

c

2) On remplace les nombres de la deuxième ligne du tableau du 1). Le diagramme circulaire se construit automatiquement.

Ce n’est pas étonnant. Après une guerre, il y a un surcroît de naissances.

Ce n’est pas surprenant. Grâce aux progrès de la médecine, les Français vivent plus longtemps.


153


c c

Séquence 11

Séance 6 Exercice 23 b)

b)

La mesure de l’angle d’une portion et le nombre d’élèves sont proportionnels. ²

360° correspondent à 40 élèves. 360 ÷ 2 = 180.

w

MESUREDE LgANGLE

NOMBRE DgÏLÒVES

²

²

180° correspondent donc à 40 ÷ 2 élèves soit à 20 élèves. w

c)

c)

La mesure de l’angle d’une portion et le nombre d’élèves sont proportionnels.

²

360° correspondent à 40 élèves. 360 ÷ 4 = 90.

w

MESUREDE LgANGLE

NOMBRE DgÏLÒVES

²

²

90° correspondent donc à 40 ÷ 4 élèves soit à 10 élèves. w

d)

d) On commence par chercher par combien il faut diviser 360 pour obtenir 72.

²

On effectue 360 ÷ 72. On trouve 5. 72° représentent donc 40÷ 5 soit 8 élèves.

w

154

MESUREDE LgANGLE

NOMBRE DgÏLÒVES

²

²



w

Remarque : on aurait aussi pu chercher par quel nombre il fallait multiplier 360 pour obtenir 72. 72 . Ce nombre est 360 72 72 × 1 1 = = . On a : 360 72 × 5 5 1 Multiplier par revient bien à diviser par 5. 5

c

Séquence 11

Exercice 24 1) 360° représentent 300 Go. 180° représentent 300 ÷ 2 soit 150 Go . 90° représentent 300 ÷ 4 soit 75 Go . 36° représentent 300 ÷ 10 soit 30 Go . 60° représentent 300 ÷ 6 soit 50 Go . 2) 300 a) 360° représentent 300 Go donc : 1° représente Go.

360 300 10 × 30 30 6 × 5 5 = = = = 360 10 × 36 36 6 × 6 6 300 5 c) 24° représentent 24 x Go soit : 24 x Go 360 6 5 24 × = ( 24 √ 6 ) × 5 = 4 × 5 = 20 6

b)

24° représentent donc 20 Go.

c

1) On a déjà vu cette méthode dans l’exercice précédent.

2) Cette méthode est en fait la méthode du « retour à l’unité ». Elle a été vue dans la séquence 9. Elle consiste à déterminer combien, ici, représente 1°, puis à utiliser ce nombre pour déterminer combien représente 24°. Il y avait une autre méthode (plus simple) qui s’inspire de la question 1) : Les grandeurs angles et Go sont proportionnelles : 360 ÷ 15 = 24 donc 24° représentent 300 ÷ 15 soit 20 Go. Cette méthode est beaucoup plus simple dans ce cas, mais ce n’est pas toujours le cas. C’est pour cela que nous avons donné une autre méthode (ici plus compliquée), mais qui « marche » toutes les fois.

Exercice 25 1) 360° représentent 240 personnes donc :

240 120 × 2 2 = = 360 120 × 3 3

42° représentent 42 x

1° représente

240 personnes. 360

2 soit (42 ÷ 3) x 2 ; c’est-à-dire 28 personnes. 3

Parmi les 240 personnes interrogées, 28 personnes n’aiment pas partir en vacances. 2) Le nombre de personnes qui préfèrent partir en vacances est : 240 – 28 = 212, soit 212 personnes. Parmi les 240 personnes interrogées, 212 personnes préfèrent partir en vacances. Commentaires du professeur : 1) On applique la méthode vue dans l’exercice précédent. 2) On aurait pu appliquer de nouveau la méthode de la question précédente, mais le plus simple était de calculer la différence : 240 – 28.


155


c c

Séquence 11

Exercice 26 1) occupations

angle en degrés

sports

180

lecture

18

télévision

54

musique

108

2) On calcule le nombre d’élèves de chaque catégorie. 360° représentent 200 élèves. 180° représentent 2 fois moins soit 100 élèves. Ainsi, environ 100 élèves font du sport. 18° représentent 10 fois moins d’élèves que 180°. 18° représentent donc 100 ÷ 10 soit 10 élèves. Ainsi, le mercredi après-midi, environ 10 élèves lisent. 54 = 18 x 3 54° représentent 3 fois plus d’élèves que 18° soit 3 x 10 c’est-àdire 30 élèves. Ainsi, 30 élèves environ regardent la télévision. Le nombre d’élèves qui pratiquent la musique le mercredi après-midi est environ : 200 – (100 + 10 + 30) = 200 – 140 = 60.

156



1) Peut-être tes mesures d’angles diffèrentelles légèrement des miennes (de 1° par exemple) ? Les mesures d’angles sont approchées. On commet toujours une erreur en effectuant une mesure.

2) On aurait pu procéder comme dans l’exercice précédent. Cependant, ici, on peut procéder beaucoup plus simplement. Pour chaque cas, on écrit « environ », car la réponse dépend d’une mesure d’angle.

c

Séquence 11

Exercice 27 1) Le diagramme représente 100 % des revenus. Le pourcentage des revenus représenté par le secteur vert est donc : 100 % – (35 % + 40 %) = 100 % – 75 % = 25 %. 2) Dans un diagramme circulaire, les pourcentages sont proportionnels aux angles des secteurs qui les représentent. 100 % sont représentés par 360 °. 1 % est donc représenté par un secteur ayant un angle de 360 ÷ 100 soit 3,6°. L’angle en degrés du secteur représentant 35 % est : 35 x 3,6 = 126 soit 126°. L’angle en degrés du secteur représentant 40 % est : 40 x 3,6 = 144 soit 144°. 25 % est le quart de 100 % donc l’angle en degrés du secteur vert est : 360 ÷ 4 = 90 soit 90°. 3)

1)

c

2) 1 % est donc représenté par un secteur ayant un angle 100 fois plus petit.

On aurait pu utiliser la même méthode que précédemment, soit calculer 25 x 3,6 mais cette méthode est moins astucieuse ici. On aurait également pu déterminer l’angle du secteur vert en calculant : 360 – (126 + 144) = 360 – 270 = 90

La méthode proposée ci-contre est cependant plus rapide.

TRAVAUX

3) On trace un cercle de rayon 4 cm. LOGEMENT

NOURRITURE ETVÐTEMENTS

On trace un angle de 90° à l’aide de l’équerre. On représente ainsi le secteur qui représente 25 %. On mesure ensuite à l’aide d’un rapporteur un angle de 126° qui a un côté en commun avec l’angle de 90°. On représente ainsi le secteur qui représente 35 %. Le dernier secteur est alors également représenté. Il représente 40 %. Il ne reste plus qu’à colorier et reporter la légende.


157


c c

Séquence 11

Exercice 28 Comme on ne connaît pas l’effectif total de chaque entreprise, on ne peut savoir dans quelle entreprise il y a le plus d’hommes. Justification : Etudions les deux cas suivants. 1er cas : Effectif total

Nombre d’hommes

Entreprise A

100

60 % de 100 soit 60

Entreprise B

1 000

40 % de 1 000 soit 400

Le nombre d’hommes dans l’entreprise B est supérieur au nombre d’hommes dans l’entreprise A. 2ème cas : Effectif total

Nombre d’hommes

Entreprise A

1 000

60 % de 1 000 soit 600

Entreprise B

100

40 % de 100 soit 40

Le nombre d’hommes dans l’entreprise B est inférieur à celui de l’entreprise A. Commentaires du professeur : Cet exercice est un piège ! En fait, tout dépend du nombre total de personnes dans chaque entreprise, et on ne connaît pas ces deux nombres ! Conclusion : Il faut se méfier des graphiques, ils peuvent induire en erreur.

158



c

Séquence 11

Séance 7 Exercice 29

c

1) neuf cent millions. 2) Combien d’habitants la Chine avait-elle en 1970 ? 850 000 000 En 1980 ? 1 010 000 000 En 1990 ? 1 170 000 000 3) En quelle année la population chinoise a atteint 1 300 000 000 habitants ? en 2000, 1 000 000 000 habitants ? environ en 1979. Commentaires du professeur : 2)

POPULATION ENNOMBREDgHABITANTS

On trouve le nombre d’habitants en 1970, 1980 et 1990 en « suivant » les flèches ci-contre.

3)

ANNÏE

POPULATION ENNOMBREDgHABITANTS

On trouve les années cherchées « en suivant les flèches ». Pour 1 000 000 000, on « ne tombe pas exactement sur une année », mais on peut dire qu’en 1979, la population chinoise a franchi le

cap du milliard d’habitants.

ANNÏE


159


c c

Séquence 11

Exercice 30 1)

1) nombre de tickets

0

6

12

18

prix en €

On pouvait également dresser un tableau à deux colonnes (cela revient au même).

0

3

6

9

2)

2) Pour obtenir le prix en € des tickets, il suffit de multiplier leur nombre par 0,5. Le prix des tickets et leur nombre sont proportionnels. 3) Les points du graphique sont alignés et le point de coordonnées (0 ; 0) fait partie du tracé.

On revient à la définition de deux grandeurs proportionnelles (si tu as un doute, reporte-toi à la séquence 9). 3) On pourrait également voir sur un exemple qu’une situation qui n’est pas une situation de proportionnalité donne lieu à un diagramme cartésien dans lequel les points ne sont pas alignés avec l’origine du diagramme.

Exercice 31 1) temps en s

0

4

8

12

16

20

vitesse en km/h

0

25

50

62,5

75

112,5

2) On voit que l’on ne peut pas passer de la première ligne du tableau à la deuxième en multipliant par un même nombre.

2) 4 x 6,25 = 25 12 x 6,25 = 75 12 x 6,25 n’est pas égal à 62,5 ; la vitesse de la voiture et le temps écoulé ne sont donc pas proportionnels. Exercice 32

1) À 10 h, la hauteur de la mer était 6,5 m ; à 20 h, elle était de 10,5 m et à 22 h, elle était de 7 m. 2) La mer a-t-elle été la plus haute à 6 h. 3) À 2 h, à 12 h, à 14 h et à 24 h, la hauteur de la mer était de 3,5 m. Exercice 33 1) Le périmètre du rectangle est 40 m, donc on a : 2 x (AB + BC) = 40 BC = 20 – 2 = 18 m. L’aire du rectangle est alors : AB x BC = 2 x 18 = 36 . 2) 3) AB

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

BC

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

aire

36

64

84

96

100

96

84

64

36

0

Pour quelle valeur de AB l’aire du périmètre semble-t-elle la plus grande ? 10 cm 4) D’après une lecture graphique, pour quelle valeur de AB l’aire de ABCD est-elle la plus grande ? 10 cm Quelle est alors la valeur de BC ? 10 cm L’aire de ABCD ? 100 cm2 Quelle est la forme du champ de monsieur Dujardin ? Le champ de monsieur Dujardin est carré.

160



c

Séquence 11

Séance 8 Exercice 34 1) D

D

D

H

2)

D

H

verre 4

H

verre 2

c

H

verre 1

verre 3

D

D H H

Commentaires du professeur : 1) Pour associer chaque verre à son diagramme, il faut imaginer chaque verre qui se remplit. D

D

D D H

H

H

VERRE

VERRE

H

VERRE D

verre 1 : le diamètre est le même pour toute hauteur de liquide, il est donc associé au diagramme cartésien dont le tracé est horizontal.

VERRE D

D

H

H

verre 2 : plus la hauteur augmente, plus le diamètre baisse, et ceci de façon régulière.D Ce verre est donc associé au diagramme ci-contre.

verre 3 : la hauteur augmente ainsiD que le diamètre jusqu’àDun certain point. Ensuite, lorsque la hauteur augmente à nouveau, le diamètre baisse. Ce verre est donc associé au diagramme ci-contre.

H

D

H D

D

H D

H D

H

H

verre 4 : la hauteur augmente tandis que le diamètre diminue jusqu’à un certain point. Ensuite, lorsque la hauteur augmente à nouveau, le diamètre augmente. Ce verre est donc associé au diagramme ci-contre.

H D

D

2) Le diagramme proposé est d’une certaine façon le symétrique de celui correspondant au verre 2. On pense alors à un verre qui serait comme le verre 2, mais « à l’envers ».

H


161


c c

Séquence 11

Exercice 35 1) L’athlète A a sauté plus haut que l’athlète B lors du 1er saut. L’athlète A a sauté plus haut que l’athlète B lors du 3ème saut. L’athlète A et l’athlète B ont sauté aussi haut lors de leur 2ème saut. 2) L’athlète B a progressé tout au long de ses cinq sauts. 3) 1er saut

2ème saut

3ème saut

4ème saut

5ème saut

athlète A

1,76

1,71

1,84

1,86

1,78

athlète B

1,70

1,71

1,74

1,75

1,81

162



c

Séquence 11

Je m’évalue 1) ® 200 km ® 125 km ˝ 150 km ® 110 km 2) ˝ 17,5 km ® 15 km ® 19 km ® 3,5 km 3) ® le joueur A ® le joueur B ® le joueur C ˝ le joueur D 4) ® 580 ® 585 ® 660 ˝ 665

5)

6)

7)

8)

9)

1)

c

2 cm représente 100 km donc 1 cm représente 50 km. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 1. 2) 4 cm représente 20 km donc 1 cm représente 5 km et 0,5 cm représente 5 ÷ 2 km soit 2,5 km. Si tu n’as pas compris, reporte-toi de nouveau à l’exercice 1.

3) On compare les quatre nombres du tableau

4) Voici une méthode : Il y a 64 + 59 soit 123 6èmes. On peut calculer le nombre de filles en 3e : 321 – (59 + 84 + 92) = 86. Il y a 84 + 86 soit 170 3èmes. Il y a donc au total 123 + 184 + 188 + 170 élèves, soit 665 élèves. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 12. 5) On lit simplement le diagramme en bâtons.

˝ 12 ® 13 ® 14 ® 15 ® l’équipe 1 ® l’équipe 2 ® l’équipe 3 ˝ l’équipe 4 ®8% ˝9% ®7% ® 10 % ˝ 18 g ®9g ® 20 g ® 120 g

® 17,6° ˝ 18,3° ® 17,9° ® 18,9° 10) ˝ lundi ® mardi ® mercredi ® vendredi

6) On lit simplement le diagramme en bâtons.

7) Le pourcentage de protide s’obtient en effectuant 100 % – (29 % + 62 %) . On trouve 9 %. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 27. 8) On calcule 9 % de 200 g. Si tu n’as pas compris, reporte-toi à la séquence 9. 9) On lit simplement le diagramme cartésien.

10) On lit simplement le diagramme cartésien.


163


c c

Séquence 12



Je révise les acquis de l’école 1) ® un angle ® une arête ® un côté ® une face ˛ un sommet 2) ® un angle ˛ une arête ® un côté ® une face ® un sommet 3) ® un angle ® une arête ® une arête ˛ une face ® une face 4) ®4 ˛6 ®8 ® 12

4) Trois faces de la représentation du cube sont visibles ; trois ne le sont pas. Il y a donc au total six faces. (Pense à un dé de jeu : il comporte six chiffres : 1, 2, 3, 4, 5 et 6).

5) ®4 ®6 ˛8 ® 12

5) Sept sommets de la représentation du cube sont visibles ; un ne l’est pas. Il y a donc au total huit sommets.

6) ®4 ®6 ®8 ˛ 12

6) Neuf arêtes de la représentation du cube sont visibles ; trois ne le sont pas. Il y a donc au total 12 arêtes.

164



c

Séquence 12

Exercice 1 1) 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 et 8. 2) 2 ; 4 ; 6 et 8. 3) numéro de l’emballage

nombre de sommets

nombre de faces

nombre d’arêtes

2

8

6

12

4

8

6

12

6

8

6

12

8

8

6

12

4) Tous les emballages n’ayant que des faces rectangulaires ont 8 sommets, 6 faces et 12 arêtes.

5) Un parallélépipède rectangle. 6) Un cube. Exercice 2 a)

ABCDEFGH

b) c) d) e)

ADHEBCGF AEHDBFGC HDCGEABF CGFBDHEA

Exercice 3

˛

c

1) Les emballages n° 1, 3 et 9 ont des « faces rondes » 2) L’emballage n° 5 a ses faces du dessus et du dessous qui ne sont pas des quadrilatères (elles ont cinq côtés : on les appelle des pentagones). Même constatation pour l’emballage n° 7 dont les faces avant et arrière ne sont pas des quadrilatères. 3) On imagine chacun des quatre solides « dans l’espace », et on compte les sommets, les faces, puis enfin les arêtes.

4) On se rend alors compte que c’est le même nombre de sommets pour les quatre (de même pour les faces et les arêtes). C’était déjà ce que l’on avait trouvé pour le cube du test précédent. 5) C’est un nom que l’on a déjà rencontré à l’école primaire. a) b) c) d) On applique le précédent « Je comprends la méthode ».

e) Le quatrième sommet de la face dont le nom commence par « CGF » est le point B puis on pratique comme précédemment. Voici pourquoi on n’a pas retenu les trois autres représentations :

Il n’y a pas de face avant ni de face arrière, représentées « de face ».

Deux arêtes qui sont parallèles dans la réalité ne le sont pas dans la figure.

Les arêtes « non visibles » sont en traits pleins. Remarque : la façon de représenter la boîte d’allumettes qui était la bonne est appelée « perspective cavalière ».


165


c c

Séquence 12

Séance 2 Ce que tu devais faire Exercice 4 1) a) Les faces « non visibles » sont : ABCD, ADHE et HDCG. b) La face avant est ABFE et la face arrière est DCGH.

Les commentaires du professeur 1) (

' FACEARRIÒRE

$

#

%

& FACEAVANT !

2) a) Les faces « non visibles » sont : EFBA, HEFG et FGCB. b) La face avant est DCGH et la face arrière est ABFE.

"

2) (

' FACEAVANT &

%

#

$ FACEARRIÒRE !

"

Exercice 5 1) Toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des rectangles donc ADHE est un rectangle. L’affirmation est vraie. 2) D’après le codage, EA = EF donc le rectangle EABF est un carré. L’affirmation est fausse. 3) Rien ne prouve que le rectangle EFGH est un carré. L’affirmation est fausse.

3) Un parallélépipède peut avoir deux faces carrées et quatre faces rectangulaires « non carrées », comme par exemple celui représenté ci-dessous.

4) Toutes les faces d’un parallélépipède rectangle sont des 4) rectangles donc BCGF est un rectangle. Par conséquent, le triangle BCG est rectangle en C. L’affirmation est fausse. 5) Rien ne prouve que dans la réalité AB = BC. L’affirmation est fausse.

166



=

>

9

:

c

Séquence 12

Exercice 6 1) [PM], [PL] et [PO] 5) [MP], [IL] et [JK]

2) IJKL, ILPM et LKOP 3) IJKL et JKON 4) IJKL 6) [PO], [OK], [NM] et [NJ] 7) [MN], [PO], [LK] et [IJ].

Commentaires du professeur : 1) 2) 0

-

-

.

,

)

3) 0

/

+

-

,

*

)

Les trois faces ayant le point L en commun sont coloriées en vert, orange et jaune. 6)

0

0

-

.

-

,

)

*

+

-

,

)

Les faces d’un parallélepipède rectangle sont des rectangles donc (MN), (PO), (NJ) et (OK) sont perpendiculaires à (NO).

0

/

,

+

/

,

+

*

La face parallèle à la face MNOP est représentée en jaune.

.

+

*

)

Les deux faces ayant pour côté l’arête [JK] sont coloriées en vert et jaune. 7)

0

.

+

*

/

.

-

,

)

Les trois arêtes qui ont pour extrémité le point P sont représentées en orange. 5)

/

.

+

*

/

4) 0

/

.

c

)

*

Les quatre arêtes perpendiculaires à MPLI sont représentées en vert.

© Cned, mathématiques 6e —

167


c c

Séquence 12

Les faces DCGH, HGFE et CGFB sont des rectangles.

Exercice 7

(

'

$

CM

CM

La face HGFE est un rectangle de dimensions 6 cm et 4 cm.

'

%

CM &

& '

CM

"

CM



La face DCGH est un rectangle de dimensions 6 cm et 5 cm.

#

(

168

CM

#

La face CGFB est un rectangle de dimensions 5 cm et 4 cm.

c

Séquence 12

Séance 3 Ce que tu devais faire Exercice 8 1) a) On a : AB = DC = HG = EF = 6 cm AD = BC = FG = EH = 4 cm AE = BF = CG = DH = 5 cm l = (AB + DC + HG + EF) + (AD + BC + FG + EH) + (AE + BF + CG + DH) Donc l = (AB × 4) + (AD × 4) + (AE × 4) l = (6 × 4) + (4 × 4) + (5 × 4) l = 24 + 16 + 20 = 60 La longueur totale l des arêtes est 60 cm. b) • Les faces ABCD et EFGH ont la même aire. L’aire du rectangle ABCD est AB × BC. AB × BC = 6 × 4 = 24 L’aire de la face ABCD est 24 cm2. • Les faces ABFE et DCGH ont la même aire. L’aire du rectangle ABFE est AB × BF. AB × BF = 6 × 5 = 30 L’aire de la face ABFE est 30 cm2. • Les faces ADHE et BCGF ont la même aire. L’aire du rectangle ADHE est AD × DH. AD × DH = 4 × 5 = 20 L’aire de la face ADHE est 20 cm2. • (2 × 24) + (2 × 30) + (2 × 20) = 48 + 60 + 40 = 148 L’aire totale des faces est de 148 cm2. 2) a) 1,2 dm = 12 cm et 19 mm = 1,9 cm. l ’ = (4 × 12) + (4 × 3,5) + (4 × 1,9) = 48 + 14 + 7,6 l ’ = 69,6 cm La longueur totale l ’ des arêtes est de 69,6 cm. b) • 12 × 3,5 = 42 Deux faces ont une aire de 42 cm2. • 12 × 1,9 = 22,8 Deux faces ont une aire de 22,8 cm2. • 3,5 × 1,9 = 6,65 Deux faces ont une aire de 6,65 cm2 . • (2 × 42) + (2 × 22,8) + (2 × 6,65) = 84 + 45,6 + 13,3 = 142,9 L’aire totale des faces est 142,9 cm2.

c

Les commentaires du professeur 1) a) Conseil : on peut colorier de la même couleur les arêtes qui ont la même longueur. (

'

%

CM

& $

# CM CM

!

"

Dans le parallélépipède rectangle, les arêtes parallèles ont la même longueur : ce sont [AB] , [DC] , [HG] et [EF] puis [AD] , [BC] , [FG] et [EH] puis enfin [AE] , [BF] , [CG] et [DH]. b) Conseil : on peut colorer de la même couleur les faces qui ont la même aire. ( % $ !

(

' &

CM

"

& $

# CM CM

!

(

'

%

CM

% $

# CM CM

"

' &

!

CM # CM

CM

"

Dans un parallélépipède rectangle, deux faces parallèles sont superposables.

2) Afin d’y voir clair, on représente à main levée un parallelépipède rectangle. On écrit sur la figure tout ce que l’on sait d’après l’énoncé. Ú[e ~Ú\e

~Úee

On convertit les longueurs en cm car les longueurs doivent toutes être exprimées dans la même unité. a) De façon analogue à la question précédente, il y a quatre arêtes de 12 cm puis quatre arêtes de 3,5 cm et enfin quatre arêtes de 1,9 cm. b) Il y a également deux rectangles dont les dimensions sont 12 cm et 3,5 cm puis deux rectangles dont les dimensions sont 12 cm et 1,9 cm et enfin deux rectangles dont les dimensions sont 3,5 cm et 1,9 cm.

© Cned, mathématiques 6e —

169


c c

Séquence 12

Exercice 9 1) 12 x 11 = 132 La longueur totale des arêtes du cube est 132 cm. 11 x 11 = 121 L’aire d’une face est 121 cm2. 6 × 121 = 726 L’aire totale des faces du cube est 726 cm2. 2) 120 ÷ 12 = 10 La longueur d’une arête du cube est 10 cm. 10 × 10 = 100 L’aire d’une face du cube est 100 cm2. 6 × 100 = 600 L’aire totale des faces du cube est 600 cm2.

3) 150 ÷ 6 = 25 L’aire d’une face du cube est de 25 cm2 : 5 × 5 = 25 donc la longueur d’une arête du cube est 5 cm. 12 × 5 = 60. La longueur totale des arêtes du cube est 60 cm.

170



1) ~~Ú[e

• Les arêtes d’un cube ont toutes la même longueur. Ici, le cube a douze arêtes de 11 cm. La longueur totale des arêtes est donc égale à douze fois la longueur d’une arête. • Les faces d’un cube sont toutes des carrés superposables. Ici, le cube a six faces carrées de 11 cm de côté. L’aire totale est donc égale à six fois l’aire d’une face soit six fois (11 × 11) cm2. 2) Pour pouvoir calculer l’aire totale des faces du cube, on doit d’abord calculer l’aire d’une face. Pour calculer l’aire d’une face, on commence par calculer la longueur d’une arête. • La longueur totale des arêtes représente douze fois la longueur d’une arête. Ainsi, 120 cm représente douze fois la longueur cherchée. • Une arête mesure 10 cm, ce qui permet ensuite de calculer l’aire d’une face : 10 × 10 = 100. L’aire d’une face est 100 cm2. • L’aire totale des faces d’un cube représente six fois l’aire d’une face : 100 × 6 = 600 L’aire totale des faces du cube est de 600 cm2. On n’oublie pas d’écrire l’unité, et on n’oublie pas le petit « 2 » des centimètres-carrés. 3) Pour calculer la longueur totale des arêtes, il faut connaître la longueur d’une arête. • Pour trouver celle-ci, il faut d’abord connaître l’aire d’une face carrée : pour cela, on divise l’aire totale des faces du cube par six puisqu’il y a six faces carrées superposables. 150 = 25. 6 L’aire d’une face est donc 25 cm2. • On se pose ensuite la question : quel est le nombre qui, multiplié par lui-même donne 25 ? La réponse est 5 parce que 25 = 5 × 5. Une arête mesure donc 5 cm. • Les douze arêtes mesurent au total douze fois 5 cm soit 60 cm. On n’oublie pas l’unité et on ne se trompe pas : c’est le « cm » car on mesure une longueur.

c

Séquence 12

c

Pour mieux comprendre on peut nommer des points de la figure et tracer en pointillés ce qui ne se voit pas :

Exercice 10

! %

(

" $

&

' #

La longueur totale en cm de ruban nécessaire est : 8 + 16 + 8 + 16 + 16 + 8 + 16 + 8 + 22 soit : (4 x 8) + (4 x 16) + 22 = 32 + 64 + 22 = 118

Exercice 11 • L’aire en m2 de deux rectangles de 4,8 m sur 3,5 m est : 2 x (4,8 x 3,5) = 2 x 16,8 = 33,6 • L’aire en m2 de deux rectangles de 3,5 m sur 6,2 m est : 2 x (3,5 x 6,2) = 2 x 21,7 = 43,4 • L’aire en m2 d’un rectangle de 4,8 m sur 6,2 m est : 4,8 x 6,2 = 29,76 L’aire totale en m2 des faces à peindre est : 33,6 + 43,4 + 29,76 = 106,76 2 x 106,76 = 213,52 Comme Noé applique deux couches de peinture, il devra peindre 213,52 m2.

213,52 13 3

5 42

La longueur de ruban est : AB + BC + CD + DA + EF + FG + GH +HE + 22 On n’a pas oublié d’ajouter la longueur de ruban pour le nœud : 22 cm. AB = CD = FG = HE = 8 cm BC = DA = EF = GH = 16 cm Il faut donc quatre fois 8 cm plus quatre fois 16 cm plus 22 cm. Il faut peindre : • deux rectangles de 4,8 m sur 3,5 m. • deux rectangles de 6,2 m sur 3,5 m • un seul rectangle de 4,8 m sur 6,2 m. Seule la face dont les dimensions sont 4,8 cm et 6,2 cm sur laquelle repose la cuve n’est pas à peindre. Il ne faut pas oublier que Noé passe deux couches donc il faut prendre le double de l’aire totale des faces à peindre. On peut arrêter la division quand on a trouvé 42 parce que le nombre de pots de peinture que l’on cherche est un nombre entier. On constate que 42 pots ne couvriront pas toute la surface à peindre puisque le reste est non nul (Avec 42 pots, il reste 3,52 m2 à peindre). Il faut donc prévoir un pot supplémentaire.

Noé doit acheter 43 pots de peinture.


171


c c

Séquence 12

Séance 4



Exercice 12

On regarde les arêtes dessinées en pointillés. Le point d’intersection de ces arêtes est le seul sommet « caché » du cube. La face arrière est la seule face carrée à laquelle appartient ce sommet. Un fois que l’on a trouvé la face arrière, on trouve facilement la face avant : c’est la seule autre face à être représentée par un carré. CUBEN²

CUBEN²

FACEARRIÒRE FACEARRIÒRE

CUBEN²

CUBEN²

FACEARRIÒRE

CUBEN²

FACEARRIÒRE

CUBEN² CUBEN²

CUBEN²

On a représenté ci-dessus le point « caché » en rouge. Il faut s’imaginer qu’il se trouve « tout au fond ».

Exercice 13 a)

b)

&

Commentaires du professeur : a) Nommons des points pour comprendre la construction.

$

#

!

"

• La face ABCD est représentée comme dans la réalité car elle n’est pas déformée (c’est bien un rectangle) et ses côtés sont en traits pleins, c’est donc la face avant. '

• Le sommet F n’est pas sur la face avant, il est donc sur la face arrière. Appelons EFGH la face arrière. Les deux arêtes [GH] et [HE] sont cachées, les deux arêtes [GF] et [FE] sont visibles. '

• On trace l’arête « cachée » [AH] et les arêtes visibles [DG] et [BE].

&

$

# (

%

!

"

&

$

# (

%

!

"

b) Nommons des points pour comprendre la construction. • La face KLMN est représentée comme dans la réalité car elle n’est pas déformée (c’est bien un rectangle) et ses côtés sont en traits pleins, c’est donc la face avant.

+

, 1

2 -

. 0

/

• Le sommet O n’est pas sur la face avant, il est donc sur la face arrière. Appelons OPQR la face arrière. Les deux arêtes [QP] et [QR] sont cachées, les deux arêtes [OP] et [OR] sont visibles. +

• On trace l’arête « cachée » [KQ] et les arêtes [LR] et [NP].

, 2

1 -

. 0

172



/

c

Séquence 12

Exercice 14

c

Commentaires du professeur : On pouvait représenter le cube en perspective cavalière de différentes manières, par exemple :

On remarque que ce qui différencie ces représentations en perspective cavalière, ce sont les arêtes représentées en orange. Nous allons dans la suite du cours préciser une façon de représenter les figures en perspective cavalière.


173


c c

Séquence 12

Exercice 15 1)

CM CM

CM 2)

CM

CM CM Commentaires du professeur : On a appliqué la méthode vue précédemment. Pour le 1), les arêtes qui mesurent 10 cm dans la réalité mesurent sur la figure la moitié de 10 cm, soit 5 cm. De même, pour le 2), les arêtes qui mesurent dans la réalité 3 cm mesurent dans la figure 1,5 cm.

174



c

Séquence 12

Exercice 16 a)

b)

c

c)

d)


175


c c

Séquence 12

Séance 5



Exercice 17

Figure 1 : Figure 2 :

un parallélépipède rectangle un cube

Commentaires du professeur : • Pour la figure 1 : /NDÏCOUPEPUISONPLIE

/NOBTIENTUN PARALLÏLÏPIPÒDE RECTANGLE

• Pour la figure 2, on fait de même et on obtient un cube.

Exercice 18

(gg

(g

%gg

'g

$

#

'

(

!

"

&

%

%g

&g

Commentaires du professeur : Lorsque l’on plie le patron de la boite de jus de fruit, on remarque que les points H, H’ et H’’ vont coïncider dans la boite réelle (gg 'g obtenue. ( (g Il en est de même pour les points E, E’ et E’’, F et F’ ou encore G et G’. #

'

$

% %gg !

Remarque : Il y avait d’autre façons de placer les points sur le patron.

176



%g

"

&g

&

c

Séquence 12

Exercice 19

a) Les quadrilatère que j’ai coloriés en vert sur la figure.

a)

b) Un rectangle n’a pas les bonnes dimensions.

b)

"

c

!

!"NgESTPAS ÏGALÌ!#

#

c) Il manque un rectangle.

c)

)LMANQUEUNRECTANGLE SUPERPOSABLEÌCELUI CI

d) Un rectangle n’a pas les bonnes dimensions.

d)

%

"

! !"NgESTPAS ÏGALÌ!#

$

#

/NAURAITÏGALEMENTPUÏCRIRE%"NgESTPASÏGALÌ!$


177


c c

Séquence 12

Exercice 20 a)

b)

c)

d)

Commentaires du professeur : Dans chaque cas, il existait d’autres solutions.

Exercice 21 a)

g

g

Commentaires du professeur : Il y a plusieurs solutions, comme par exemple :

178



g

g

g

g

g

g

c

Séquence 12

Exercice 22 1)

c

Ú[e

Ú[e Ú[e

Ú[e

Ú[e

2)

Ú[e

3)

Ú[e Ú[e

~Ú[e


179


c c

Séquence 12

Séance 6 Ce que tu devais faire Exercice 23 1) Julie peut disposer 12 cubes de 1 cm d’arête le long de l’arête [AB] puis 6 cubes de 1 cm d’arête le long de l’arête [BF]. 2) Julie peut empiler 10 cubes de 1 cm d’arête le long de l’arête [BC]. 3) 12 x 6 = 72 Elle peut disposer 72 cubes de 1 cm d’arête au fond de son aquarium. 4) 72 x 10 = 720 Il faut 720 cubes de 1 cm d’arête pour remplir complètement son aquarium.

5) 7 x 7 x 7= 343 Le volume d’un cube d’arête 7 cm est 343 cm3.

180



Les commentaires du professeur 1) Dans 12 cm, il y a 12 fois 1 cm.

3) En effet, le schéma montre la première ligne de douze petits cubes et, comme on peut disposer six lignes (de douze petits cubes chacune), cela fait six fois douze petits cubes. 4) Sur le fond de l’aquarium, Julie dépose donc exactement soixante-douze petits cubes qui constituent une première plaque. En hauteur, elle peut empiler dix plaques (de soixantedouze petits cubes chacune). Remarque : on peut trouver la réponse à la question n° 4 sans utiliser les réponses précédentes en calculant directement : 12 × 6 × 10 c’est-à-dire en multipliant 12 × 6 (le nombre de petits cubes dans une plaque) par le nombre total de plaques qui est dix. 5) En effet : • chaque ligne est constituée de sept petits cubes (puisque chaque arête mesure 7 cm). • chaque plaque est constituée de sept lignes (de sept petits cubes chacune) , ce qui fait sept fois sept petits cubes soit (7 × 7) et on peut empiler sept plaques puisque la « hauteur » du cube est de 7 cm. Au total, on utilise donc (7 × 7) × 7 petits cubes. On n’oublie pas d’écrire l’unité cm3.

c

Séquence 12

Exercice 24 1) 1,2 x 2,5 x 3 = 9 Le volume du parallélépipède est 9 dm3.

2) 6 x 6 x 6 = 216 Le volume du cube est 216 cm3.

3) 1,6 dm = 16 cm 4 × 16 × 2,5 = 160 Le volume du parallélépipède rectangle est 160 cm3.

4) 0,34 cm = 3,4 mm 3,4 × 5 × 3,6 = 61,2 Le volume du parallélépipède rectangle est 61,2 mm3.

c

1) On applique la formule V = a × b × c avec a = 1,2 dm b = 2,5 dm c = 3 dm. V = 1,2 × 2,5 × 3 soit V = 9 dm3. On n’oublie pas d’écrire l’unité « dm3 » dans la phrase que l’on rédige pour répondre au problème posé. 2) On applique la formule V = a × a × a avec a = 6 cm V = 6 × 6 × 6 soit V = 216 cm3. Et on écrit l’unité « cm3 » dans la phrase où l’on rédige la réponse. 3) Attention ! Les dimensions doivent être exprimées dans la même unité. Ici, on a deux dimensions données en cm et une seule dimension donnée en dm : il est donc plus simple de choisir le cm comme unité de longueur. • Après avoir écrit en ligne le calcul 4 × 16 × 2,5 on pouvait l’effectuer mentalement car 4 × 2,5 = 10 et 16 × 10 = 160. • Si l’on avait choisi de convertir les mesures en dm , on aurait eu : 4 cm = 0,4 dm et 2,5 cm = 0,25 dm ce qui aurait donné : V = 0,4 × 1,6 × 0,25 = 0,16 c’est-à-dire V = 0,16 dm3 4) On aurait pu convertir en cm : 5 mm = 0,5 cm et 3,6 mm = 0,36 cm D’où V = 0,34 × 0,5 × 0,36 = 0,061 2. soit V = 0,061 2 cm3


181


c c

Séquence 12

Exercice 25 a

b

c

V

6 cm

5 cm

0,4 dm

120 cm3

2,5 cm

9 cm

4 cm

90 cm3

5m

0,7 m

14 m

49 m3

1 cm

1,2 dm

6 cm

72 cm3

Commentaires du professeur : 1ère ligne Pour appliquer la formule permettant de calculer V , les dimensions doivent être dans la même unité, par exemple le centimètre. 0,4 dm = 4 cm. V =axbx c V =6 x5x4 V = 120 cm3 2ème ligne V = a x b x c V = 2,5 x 9 x c soit : V = 22,5 x c (car 2,5 x 9 = 22,5) mais : V = 90 d’où : 22,5 x c = 90 90

). Le nombre qui, multiplié par 22,5 donne 90 est le quotient de 90 par 22,5 c’est-à-dire 90 ÷ 22,5 (ou encore 22,5 donc : c = 90 ÷ 22,5 soit c = 4 cm 3ème ligne V =axbxc V = 5 x b x 14 soit : V = 70 x b (car 5 × 14 = 70) mais : V = 49 d’où : 70 x b = 49 donc : b = 49 ÷ 70 soit b = 0,7 m 4ème ligne Le volume est en cm3 donc on convertit en cm : 1,2 dm = 12 cm V = axbxc V = a x 12 x 6 V = a × 72 (car 12 x 6 = 72) mais : V = 72 d’où : a x 72 = 72 donc : a = 72 ÷ 72 soit a = 1 cm

Exercice 26 1) Le cube vide de 1 dm d’arête contient 1 000 cubes de 1 cm d’arête. Donc : 1 dm3 = 1 000 cm3. 2) 1 m3 = 1 000 dm3 1 cm3 = 1 000 mm3 Commentaires du professeur : 1) 1 dm = 10 cm Donc au fond du grand cube de 1 dm d’arête, on peut déposer une plaque constituée de dix lignes, chaque ligne étant formée de dix petits cubes de 1 cm d’arête. Une plaque contient donc 100 petits cubes (car 10 × 10 = 100). Au total, on peut superposer dix plaques, c’est-à-dire dix fois cent petits cubes. En conclusion, on peut ranger exactement (10 x 10) x 10 soit 1 000 petits cubes de 1 cm d’arête dans un grand cube vide de 1 dm d’arête. 2) • 1 m = 10 dm Un grand cube de 1 m d’arête peut contenir dix plaques constituées chacune de dix lignes, chaque ligne étant formée de dix petits 1 m3 = 1 000 dm3 cubes de 1 dm d’arête, donc : 1 m3 = (10 × 10) × 10 dm3 • 1 cm = 10 mm. Un grand cube de 1 cm d’arête contient (10 × 10) × 10 petits cubes de 1 mm d’arête, donc 1 cm3 = 1 000 mm3 .

182



c

Séquence 12

Exercice 27 a) 1 cm3 = 1 000 mm3 b) 1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3

c

c) 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3 d) 1 dm3 =

0,001 m3

e) 1 cm3 =

0,001 dm3 = 0,000 001 m3

f) 1 mm3 = 0,001 cm3 = 0,000 001 dm3 =

0,000 000 001 m3

Commentaires du professeur : a) Il faut bien connaître le paragraphe « Je retiens » précédent. b) On sait que 1 cm3 = 1 000 mm3 donc 1 000 cm3 valent mille fois plus. c’est-à-dire : 1 dm3 = 1 000 000 mm3 1 000 cm3 = (1 000 x 1 000) mm3 soit : 1 000 cm3= 1 0000 000 mm3 c) Quand « on passe des m3 aux dm3 », on multiplie par 1000. « Pour aller ensuite aux cm3 », on multiplie encore par 1 000, ce qui fait 1 000 000. « Pour aller enfin aux mm3 », on multiplie encore par 1 000, ce qui fait 1 000 000 000. 1dm3 est mille fois plus petit qu’un m3. D’où : 1 dm3 = 0, 001 m3 c’est-à-dire : d) Puisque : 1 m3 = 1 000 dm3 , 3 3 « un dm est égal à un millième de m ». 1

dm3 soit 0,001 dm3 . e) Un cm3 est mille fois plus petit qu’un dm3 c’est-à-dire qu’un cm3 est égal à 1000 3 3 mais : 1 dm = 0,001 m 0,001 dm3 = (0,001 x 0,001) m3, c’est-à-dire : 1 cm3 = 0,000 001 m3. « Quand on passe des cm3 aux dm3 », on divise par 1 000 ou encore on multiplie par 0,001 (ce qui revient au même comme on l’a vu dans la séquence 8). Puis, « quand on passe ensuite aux m3 », on divise encore par 1 000. Finalement, « pour passer des cm3 aux m3 » , on divise par 1 000 000, c’est-à-dire que l’on multiplie par 0,000 001 (un millionième). f) Le principe est toujours le même : on divise par 1 000 puis par 1 000 puis encore par 1 000, ce qui donne « un milliardième ».

Exercice 28 a) c)

12 m3 = 12 000 dm3

b)

145 dm3 = 145 000 000 mm3 d)

12 dm3 = 0, 012 m3 145 cm3 = 0,145 dm3

e) 5 125 dm3 = 5, 125 m3

f)

g) 0 ,569 dm3 = 569 000 mm3

g) 21 732 cm3 = 0, 021 732 m3

9 ,82 cm3 = 9 820 mm3

Commentaires du professeur : a) 12 m3= (12 x 1 000) dm3= 12 000 dm3. « Pour passer des m3 aux dm3, on multiplie par 1 000. » b) 12 dm3= (12 x 0, 001) m3= 0, 012 m3. « Pour passer des dm3 aux m3, on divise par 1 000. » c) 145 dm3= (145 x 1 000 000) mm3 d’où : 145 dm3= 145 000 000 mm3 « Pour passer des dm3 aux mm3, on multiplie par 1 000 puis encore par 1 000 c’est-à-dire qu’on multiplie par 1 000 000. » d) 145 cm3 = (145 x 0, 001) dm3 = 0,145 dm3. « Pour passer des cm3 aux dm3, on divise par mille. » e) 5 125 dm3 = (5 125 x 0,001) m3 = 5,125 m3. « Pour passer des dm3 aux m3, on divise par mille. » f) 9,82 cm3 = (9,82 x 1 000) mm3 = 9 820 mm3. « Pour passer des cm3 aux mm3, on multiplie par mille. » g) 0,569 dm3 = (0,569 x 1 000 000) mm3 « Pour passer des dm3 aux mm3, on multiplie par mille puis encore par mille c’est-à-dire qu’on multiplie par un million. » h) 21 732 cm3 = (21 732 x 0, 000 001) m3 «Pour passer des cm3 aux m3 , on divise par mille puis encore par mille c’est-à-dire qu’on divise par un million.»


183


c c

Séquence 12

Exercice 29

a) 12 ,56 dm3 = 12 560 cm 3 b) 78 925 dm3 = 78,925 m 3 c)

0 , 25 m 2 = 250 dm 3

e) 0 ,003 dm3 = 3 000 mm 3

184



d) 7 900 mm3 = 7 ,9 cm 3 f) 44 568 cm3 = 0 ,044 568 m 3

a) 12,56 x 1000 = 12 560 La mesure en dm3 a été multipliée par 1 000 donc la nouvelle unité est le cm3. b) 78 925 x 0, 001 = 78, 925 La mesure en dm3 a été divisée par mille donc la nouvelle unité est le m3. c) 0,25 x 1 000 = 250 La mesure en m3 a été multipliée par 1 000 donc la nouvelle unité est le dm3. d) 7 900 x 0, 001 = 7,9 La mesure en mm3 a été divisée par mille donc la nouvelle unité est le cm3. e) 0, 003 x 1 000 000 = 3 000 La mesure en dm3 a été multipliée par un million donc la nouvelle unité est le mm3. g) 44 568 x 0, 000 001 = 0, 044 568 La mesure en cm3 a été divisée par un million donc la nouvelle unité est le m3.

c

Séquence 12


c


Exercice 30 a) 48 dL = 4,8 L b) 16 hL = 1 600 L c) 0, 23 L = 23 cL d) 45,9 L = 4,59 daL e) 2,35 hL = 2 350 dL f) 2,35 hL = 23,5 daL g) 47,31 cL = 0,047 31 daL h) 17 589 mL = 17,589 L

Commentaires du professeur : Attention ! Les unités de volume « vont de mille en mille » mais les unités de contenance « vont de dix en dix ». a) 48 dL = (48 x 0,1) L = 4,8 L Un dL est dix fois plus petit qu’un L donc « pour passer des dL aux L », il faut diviser par dix c’est-à-dire multiplier par un dixième. b) 16 hL = (16 x 100) L = 1 600 L Un hL est cent fois plus grand qu’un L : 1 hL = 100 L. c) 0,23 L = (0,23 x 100) cL = 23 cL Un L est égal à cent cL. d) 45,9 L = (45,9 x 0,1) daL = 4,8 daL Un L est dix fois plus petit qu’un daL, c’est pour cela qu’on multiplie par un dixième. e) 2,35 hL = (2,35 x 1 000) dL = 2 350 dL Un hL est égal à 100 L et un L est égal à 10 dL donc un hL est égal à (cent fois dix) dL soit 1 000 dL. f) 2,35 hL = (2,35 x 10) daL = 23,5 daL Un hL est égal à dix daL : la mesure en daL est dix fois plus grande que la mesure en hL. g) 47,31 cL = (47,31 x 0,001) daL = 0,047 31 daL « Pour passer des cL aux L », on divise par 100 puis pour arriver aux daL, on divise par dix ce qui revient à diviser directement par mille. On n’oublie pas que diviser par mille c’est aussi multiplier par un millième. h) 17 589 mL = (17 589 x 0, 001) L = 17,589 L Un mL est un millième de L donc il faut diviser par mille.

Exercice 31 1) 10 x 25 x 4 = 1000 Le volume de la boîte de jus de fruit est 1 000 cm3. 1 000 cm3 = 1 dm3 Le volume de la boîte de jus de fruit est donc 1 cm3 . 2) 1 L = 1 dm3 3) 1 L = 1 000 mL et 1 dm3 = 1 000 cm3 donc : 1 mL = 1 cm3 Commentaires du professeur : 1) La boîte est un parallélépipède rectangle et on sait que pour calculer son volume, il faut multiplier entre elles ses trois dimensions. On n’a pas de conversion d’unité de longueur à faire puisque toutes les dimensions sont en cm. Pour convertir les cm3 en dm3 on se rappelle que les unités de volume « vont de mille en mille ». 2) L’énoncé fournit une information importante : la boîte de jus de fruit contient un litre. En calculant le volume, on a obtenu 1 dm3. Par conséquent, un litre et un dm3, cela représente la même quantité, d’où : 1 L = 1 dm3. C’est une correspondance qu’il faudra bien apprendre par cœur parce qu’elle est très importante. 3) • Les unités de contenance « vont de dix en dix » donc un litre est égal à mille millilitres. • Les unités de volume « vont de mille en mille » donc un dm3 est égal à mille fois l’unité immédiatement en-dessous, c’est-à-dire le cm3. • Par conséquent, un millilitre est égal à un centimètre-cube : si on partage équitablement un litre en mille parts égales, le quotient est égal à la quantité contenue dans un petit cube de un centimètre d’arête.

Exercice 32 a) 56,8 dL = 568 cL c) 0,023 hL = 23 dL

b) 58 200 cL = 582 L d) 26,8 mL = 0,026 8 L

Les unités de contenance “ vont de dix en dix” : a) le centilitre est dix fois plus petit que le décilitre. b) le centilitre est cent fois plus petit que le litre. c) l’hectolitre est cent fois plus grand que le litre et le litre est dix fois plus grand que le décilitre donc l’hectolitre est mille fois plus grand que le décilitre. d) le millilitre est le millième du litre : il est mille fois plus petit.


185


c c

Séquence 12

Exercice 33

a) 14 ,6 dm3 = 14,6 L

b)

5 m3 = 5 000 L

c) 5,12 dm3 = 51, 2 dL

d)

45 dm3 = 4,5 daL

e) 124 cm3 = 12,4 cL

f ) 125,8 L = 125,8 dm3

g)

456 cL = 4 560 cm3

i)

0 ,6 hL = 0,000 06 dam3

h) 1589 mL = 1 589 0000 mm3

Commentaires du professeur : a) 1 dm3 et 1 L représentent la même quantité. b) • Un mètre-cube est égal à mille décimètres-cubes (les unités de volume « vont de mille en mille ») c’est-à-dire : 1 m3 = 1 000 dm3. • Un décimètre-cube est égal à un litre c’est-à-dire : 1 dm3 = 1 L. • Par conséquent : 1 m3 = 1 000 L. C’est une correspondance à bien apprendre par cœur. On a donc : 5 m3 = (5 × 1 000) L = 5 000 L. c) 5,12 dm3 = 5,12 L = 51,2 dL. On veut des « dL » et on part de « dm3 » : on commence par remplacer « dm3 » par « L » puisque c’est équivalent puis on passe des L aux dL en multipliant par dix. Là aussi, on peut commencer par écrire « L » à la place de « dm3 » puis on passe des L aux d) 45 dm3 = 45 L = 4,5 daL daL en divisant par dix. e) 124 cm3 = 124 mL = 12,4 cL On sait que 1 cm3 = 1 mL donc on remplace « cm3 » par « mL » puis on passe des mL aux cL en divisant par dix. f) On sait que 1L = 1 dm3. g) On veut convertir en cm3 et on sait que « cm3 » et « mL » sont des unités équivalentes donc on peut commencer par convertir les cL en mL : 456 cL = 4 560 mL puis 4 560 mL = 4 560 cm3 h) On veut des « mm3 » et on part de « mL » : on peut donc commencer par écrire « cm3 » à la place de « mL » : 1 589 mL = 1 589 cm3. Ensuite pour aller aux « mm3 » il faut multiplier par mille : 1 589 cm3 = 1 589 000 mm3 i) On a des « hL » et on veut des « dam3 » , on peut donc commencer par convertir les « hL » en « L » : 1 hL = 100 L donc 0,6 hL = (0,6 × 100) L = 60 L. On peut ensuite remplacer « L » par « dm3 » : 60 L = 60 dm3. Un dm3 est mille fois plus petit qu’un m3 et un m3 est mille fois plus petit qu’un dam3. Par conséquent, un dm3 est égal à un millionième de dam3 : 1 dm3 = 0,000 001 dam3 d’où : 60 dm3 = (60 × 0,000 001) dam3 c’est-à-dire : 0,6 hL = 0, 000 06 dam3 .

186



c

Séquence 12

Exercice 34

c

b) 57,4 dm3 = 574 dL c) 5 697 dm3 = 56,97 hL d) 1,89 m3 = 189 000 cL 1) a) 123 dm3 = 123 L 2) a) 2,012 L = 2 012 cm3 b) 456,23 L = 0,456 23 m3 c) 450 cL = 4 500 cm3 d) 0,007 hL = 700 cm3

Commentaires du professeur : 1) a) « On garde le même nombre 123 », c’est donc qu’on a une unité équivalente aux dm3. La seule qui soit possible est le L. b) « On passe de 57,4 à 574 en multipliant par dix » mais les unités de volume « vont de mille en mille » c’est pour cela qu’il faut trouver une unité de contenance et non pas de volume. On écrit donc « L » à la place de « dm3 » : 57,4 dm3 = 57,4 L. Puisqu’on a multiplié par dix, la nouvelle unité est donc celle qui est immédiatement en dessous du L : c’est le dL. 57,4 L = 574 dL c’est-à-dire : 57,4 dm3 = 574 dL. c) « On passe de 5 697 à 56,97 en divisant par cent » : l’unité cherchée est donc bien une unité de contenance. Par conséquent, on écrit « L » à la place de dm3. Cela donne 5 697 L. Comme on a divisé par cent, la nouvelle unité est donc cent fois plus grande que le litre : c’est l’hectolitre. Ainsi : 5 697 dm3= 5 697 L = 56,97 hL. d) On commence par convertir les m3 en L : 1 m3 = 1 000 L donc 1,89 m3 = 1 890 L. « Pour passer de 1 890 à 189 000 », on a multiplié par cent. La nouvelle unité est donc cent fois plus petite que le litre : c’est le cL. 2) a) On commence par remplacer « L » par « dm3 » : 2,012 L = 2,012 dm3 « On est passé de 2,012 à 2 012 en multipliant par mille », donc la nouvelle unité est mille fois plus petite que le dm3 : c’est le cm3. 2,012 L = 2 012 cm3 b) On commence sur le même principe que précédemment : 456,23 L = 456,23 dm3. Ensuite, on constate que la nouvelle unité doit être mille fois plus grande que le dm3 puisque le nombre imposé est mille fois plus petit que le nombre initial : ce sont des m3. 456,23 L = 0,456 23 m3 c) 450 cL = 4,5 L = 4,5 dm3 = 4500 cm3 ou encore : il n’y a pas d’équivalence en unité de volume pour le cL mais il y en a une pour le mL, on a donc intérêt à convertir les cL en mL : 450 cL = 4 500 mL . On sait que : 1 mL = 1 cm3 donc 450 cL = 4 500 cm3. d) Il n’y a pas d’équivalence en unité de volume pour « hL » on commence donc par convertir les hL en L : 0,007 hL = 0,7 L . Ensuite, on remplace « L » par « dm3 » : 0,7 L = 0,7 dm3 puis on constate qu’il faut multiplier 0,7 par 1 000 pour arriver à 700 ce qui donne, comme nouvelle unité, celle qui est immédiatement plus petite que le dm3 : c’est le cm3. Ainsi, 0,007 hL = 700 cm3.

Exercice 35 • 4,05 L = 4,05 dm3 • 4 265 cm3 = 4,265 dm3 • 0,05 hL = 5 L = 5 dm3 • 390 cL = 3,9 L = 3,9 dm3 • 0,004 m3 = 4 dm3 3,9 dm3 < 3,95 dm3 < 4 dm3 < 4,05 dm3 < 4,265 dm3 < 5 dm3 d’où : 390 cL < 3,95 dm3 < 0,004 m3 < 4,05 L < 4 265 cm3 <0,05 hL

1ère étape : Pour comparer toutes ces mesures, il faut d’abord les exprimer dans la même unité : • On peut les convertir en dm3 : on garde donc 3,95 dm3 tel quel. • On aurait pu les convertir en L, ce qui aurait donné les mêmes nombres que précédemment puisque 1 L = 1 dm3. • On aurait pu choisir d’autres unités mais celles-ci sont plus simples à utiliser. 2ème étape : On commence par comparer les mesures en dm3 (on en L). 3ème étape : A la fin, on range les mesures telles qu’elles étaient données par l’énoncé : les conversions ont permis de comparer mais maintenant, il faut ranger les mesures imposées. Ainsi, on répond avec 390 cL et non plus 3,9 dm3. De même, on prend 0,004 m3 ...


187


c c

Séquence 12

Séance 8



Exercice 36 3 × 96 = (96 √ 4) × 3= 24 × 3 = 72 La hauteur de la terre contenue dans la jardinière est de 72 cm. 4 On a : 2 cm = 0,72 m 90 cm = 0,9 m 0,583 2 Le volume de la terre contenue dans la jardinière est de 0,583 2 m3. Commentaires du professeur : On peut faire un schéma pour mieux comprendre (l’échelle n’est pas respectée). Il représente l’intérieur de la jardinière sans tenir compte de l’épaisseur des parois.

HCM

HgXH

CM CM

Méthode n° 1 La hauteur de la jardinière est h = 96 cm. 3 La hauteur de terre est h’. Cette hauteur représente les trois quarts de h donc h’ = × h 4 Pour effectuer ce calcul, on peut se reporter à la séquence 8 pour revoir la méthode :

soit h’ =

3 × 96 4

3

• × 96 = (96 : 4) × 3 = 24 × 3 = 72 4 ou encore 3

• × 96 = (3 × 96) : 4 = 288 : 4 = 72 4 ou enfin •(3 : 4) × 96 = 0,75 × 96 = 72 3

On peut utiliser cette troisième méthode parce que le quotient est un nombre décimal. 4 Dans tous les cas, on trouve, bien sûr, 72 cm de terre en hauteur. La quantité de terre est ici un parallélépipède rectangle dont la base est un carré de 90 cm de côté et dont la hauteur est 72 cm. On doit exprimer le volume en m3. Pour cela, il faut convertir les dimensions en m : 90 cm = 0,9 m et 72 cm = 0,72 m. On applique la formule v = a × b × c avec a = b = 0,9 m et c = 0,72 m. D’où le calcul 0,9 × 0,9 × 0,72 . On trouve 0,583 2 m3. Méthode n° 2 On aurait pu, aussi, calculer le volume de la jardinière : 0,9 × 0,9 × 0,96 = 0,777 6 soit 0,777 6 m3. Le volume de terre représente les trois quarts du volume de la jardinière parce que l’aire de la base carrée est toujours la même : 3 × 0,777 6 = 0,75 × 0,777 6 = 0,583 2 4

On retrouve, bien sûr, le même volume de terre : 0,583 2 m3.

Exercice 37 25 x 15 x 1,8 = 675 Le volume d’eau est de 675 m3. 675 m3 = 675 000 dm3 = 675 000 L = 6 750 hL Le volume d’eau est donc 6 750 hL

188



La quantité d’eau prend la forme d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 25 m , 15 m et 1,80 m. On applique la formule v = a × b × c avec a = 25 m b = 15 m et c = 1,80 m. 25 × 15 × 1,8 = 675 soit v = 675 m3. Pour convertir 675 m3 en hL on pouvait aussi écrire 675 m3 = 675 000 L puisque 1 m3 = 1 000 L. Ensuite, on divise par cent parce que 1 hL est cent fois plus grand que 1 L.

c

Séquence 12

Exercice 38 1) 20 ÷ 2 = 10 On peut ranger 10 caramels dans la longueur de la boîte. 10 ÷ 2,5 = 4 On peut ranger 4 caramels dans la largeur de la boîte. 5,4 ÷ 1,8 = 3 On peut empiler 3 caramels en hauteur. On peut ranger au maximum exactement 120 caramels dans la boîte. 2) Le volume de la boite est en cm3 : 20 x 5,4 x 10 = 1 080 Le volume d’un caramel est en cm3 : 2 x 1,8 x 2,5 = 9 Le nombre de caramels contenue dans la boite est : 1 080 ÷ 9 = 120 soit 120 caramels.

c

1) Pour la longueur, la largeur et la hauteur, le quotient de la division est entier. Il n’y a donc aucune perte de place : les caramels placés les uns contre les autres occupent entièrement la boîte.

2) Le volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions exprimées dans la même unité. Remarque : Ici, on peut trouver le nombre de caramels en divisant le volume total par le volume d’un caramel parce que les dimensions de la boîte et celles du caramel permettent un rangement optimal où il n’y a pas de place perdue.


189


c c

Séquence 12

Exercice 39

+

1)

CM '

( CM

%

& #

$ !

CM

"

CM

2) 50 – 10 = 40 L’eau prend la forme d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 40 cm , 45 cm et 35 cm. 40 × 45 × 35 = 63 000 63 000 cm3 = 63 000 mL = 63 L Le volume d’eau est 63 L. 3) Le volume total des objets correspond à celui d’un parallélépipède rectangle de 45 cm de longueur, 35 cm de largeur et 4 mm de hauteur parce que le niveau d’eau monte de 4 mm. 4 mm = 0,4 cm 45 × 35 × 0,4 = 630 Le volume total des objets est de 630 cm3.

1) On aurait pu aussi représenter en face avant la face BCGF. 2) • L’eau est un liquide donc elle épouse la forme de son contenant : ici c’est le parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Ses trois dimensions sont 45 cm , 35 cm et la hauteur 40 cm. Attention ! Il ne fallait pas oublier que le niveau d’eau s’arrête à 10 cm du bord : G ∈ [CK] donc CG = CK – GK CG = 50 – 10 = 40 CG = 40 cm. •v=a×b×c avec a = 45 cm b = 35 cm c = 40 cm v = 45 × 35 × 40 = 63 000 Ce sont des cm3. • 1 cm3 = 1 mL donc 63 000 cm3 = 63 000 mL et on divise par mille pour avoir des L puisque le L est une unité mille fois plus grande que le mL. 3) + 0 (

%

/ MM '

. &

$ !

# "

Le niveau d’eau monte : le volume supplémentaire est celui du parallélépipède rectangle EFGHMNOP. On aurait pu calculer autrement : le volume occupé par l’eau et les objets est celui du parallélépipède rectangle ABCDMNOP dont les dimensions sont 45 cm, 35 cm et AM. E ∈ [AM] donc AM = AE + EM AM = 40 cm + 4 mm = 40,4 cm Soit v’ le volume de ce parallélépipède rectangle : v’ = 45 × 35 × 40,4 = 63 630 v’ = 63 630 cm3 Le volume des objets est v’ – v. En effet, c’est le volume total moins le volume d’eau seule. v’ – v = 63 630 – 63 000 = 630 Le volume des objets est de 630 cm3. On retrouve, bien sûr, la même réponse. Remarque : pour connaître le volume total des objets, ici, on n’a pas besoin de connaître leurs dimensions respectives !

190



c

Séquence 12

Exercice 40 1) 2 x 2 x 2 = 8 Le volume d’un glaçon est de 8 cm3. 8 cm3 = 8 mL = 0,008 L est 0,008 L. 0,008 100 = 0,8 Le volume de 100 glaçons est 0,8 L. 2) Le volume de glace obtenu est proportionnel au volume initial d’eau : Volume d’eau en L

1

Volume de glace en L

c

Le volume d’un glaçon

?

1,09

0,8 0, 8 Le volume d’eau en L pour fabriquer 100 glaçons est soit environ 0,733 9. L’arrondi au mL est 1, 09 0,734 L. Pour fabriquer 100 glaçons, il faut environ 0,734 L d’eau. Exercice 41 On a : 28 = 28 × 1× 1 28 = 14 × 2 × 1 28 = 7 × 4 × 1 28 = 7 × 2 × 2

Les dimensions possibles du parallélépipède rectangle sont : 28 cm, 1 cm et 1 cm ou 14 cm, 2 cm et 1 cm ou 7 cm, 4 cm et 1 cm ou 7 cm, 2 cm et 2 cm

On cherche trois nombres entiers qui, multipliés entre eux, donnent 28. Il ne fallait pas oublier que ces nombres doivent être entiers ! Il fallait aussi penser au nombre 1 !


191


c c

Séquence 12

Séance 9

Ce que tu devais faire Exercice 42

1) 144 ÷ 12 = 12 La longueur d’une arête du colis est de 12 cm. 2) • 12 × 12 × 12 = 1 728 Le volume du colis est de 1 728 cm3 . • 1 728 cm3 = 1,728 mL = 1,728 L Le volume du colis est donc de 1,728 L.

Exercice 43 1) 1×1×1=1 2×2×2=8 3 × 3 × 3 = 27 4 × 4 × 4 = 64 5 × 5 × 5 = 125 6 × 6 × 6 =216 2) a) 125 < 200 < 216 donc on peut utiliser 125 petits cubes pour construire le plus grand cube possible. 200 – 125 = 75 Il reste 75 petits cubes. b) 5 × 1 = 5 L’arête du grand cube mesure 5 dm.

192



Les commentaires du professeur 1) La longueur de papier adhésif utilisée (144 cm) est égale à la longueur totale des arêtes. Un cube a 12 arêtes de même longueur : la longueur « l » d’une arête est donc telle que : 12 × l = 144 d’où :

l=

144 12

= 12.

On n’oublie pas l’unité (cm). 2) v = a × b × c avec a = b = c = 12 cm d’où v = 12 × 12 × 12 = 1 728 cm3 On n’oublie pas l’unité (le centimètre-cube). L’énoncé impose de donner ce volume en L. On sait que 1 cm3 = 1 mL donc 1 728 cm3 = 1 728 mL

1)

2) Toutes les arêtes du grand cube ont la même mesure puisque c’est un cube ! On doit donc chercher un nombre entier de petits cubes qui, multiplié par lui-même et encore par lui-même, donne 200. D’après les calculs de la question précédente, il n’y en a pas. Par contre, on voit que 200 est compris entre 125 et 216 c’est-à-dire entre 5 × 5 × 5 et 6 × 6 × 6. On peut alors poser 5 petits cubes côte à côte pour constituer une arête du grand cube. On a besoin de 125 petits cubes, au total. Sur les 200 petits cubes, il en reste donc 75, qui ne sont pas utilisés. Chaque petit cube mesure 1 dm d’arête donc une arête du grand cube mesure 5 fois 1 dm c’est-à-dire 5 dm.

c

Séquence 12

Exercice 44 • 5,50 × 4,50 × 3 = 74,25 Le volume initial du salon est de 74,25 m3. 80 = (74,25 × 80) ÷ 100 = 5 940 ÷ 100 = 59,4 • 74,25 × 100 Le nouveau volume du salon est de 59,4 m3. 59, 4 • 5,50 × 4,50 × h = 59,4 soit 24,75 × h = 59,4 h= = 2,4 24, 75 La nouvelle distance h du sol au plafond est 2,4 m.

c

Commentaires du professeur : Stratégie : 1) calculer le volume initial du salon. 2) calculer le nouveau volume, sachant qu’il représente 80 % du volume initial. 3) calculer la nouvelle hauteur de plafond à partir du nouveau volume. • On commence par calculer le volume initial du salon : v = a × b × c avec a = 5,50 m b = 4,50 m et c = 3 m v = 5,50 × 4,50 × 3 = 74,25. On n’oublie pas l’unité (mètres-cubes). • On calcule ensuite le nouveau volume du salon : 80 . Revoir au besoin la séquence 9 sur la proportionnalité. c’est 80 % de 74,25 m3. On doit donc multiplier 74,25 par Pour calculer 74,25 ×

100 80 on dispose de trois méthodes possibles : 100

• soit (74,25 × 80) : 100 = 5 940 : 100 = 59,4 • soit (74,25 : 100) × 80 = 0,742 5 × 80 = 59,4 • soit (80 : 100) × 74,25 = 0,80 × 74,25 = 59,4. Dans tous les cas, bien sûr, on trouve le même résultat ! On n’oublie pas l’unité : m3. • On vient de trouver que v’ = 59,4 m3 On sait aussi que le nouveau volume du salon est v’ = 5,50 × 4,50 × h où h est la nouvelle hauteur de plafond que l’on cherche. On a donc 59,4 = 5,50 × 4,50 × h. 5,50 × 4,50 = 24,75 ce qui donne 59,4 = 24,75 × h. Le nombre h est le nombre qu’il faut multiplier par 24,75 pour obtenir 59,4. Par définition, h est le quotient de 59,4 par 24,75 : h=

59,4 c’est-à-dire h = 59,4 : 24,75 = 2,4. 24,75

Exercice 45

On n’oublie pas l’unité : le mètre (c’est une longueur). On peut les reproduire sur une feuille de brouillon et les reconstituer si on n’arrive pas à visualiser le pliage. Tous les patrons avec quatre faces alignées.

Tous les patrons avec trois faces alignées.

Le seul patron avec deux faces alignées.


193


c c

Séquence 12

Je m’évalue 1) ® carrés ® losanges ˝ rectangles ® triangles 2)

3)

4)

®4 ®6 ®8 ˝ 12 ˝ parallèles ® perpendiculaires ® sécantes ® parallèles ˝ perpendiculaires ˝ sécantes

1) C’est la définition d’un parallélépipède rectangle.

2) Revoir éventuellement la séance 1.

3) Les faces ABCD et EFGH sont opposées donc parallèles.

4) La face BCGF est un rectangle donc l’angle est droit. On n’oublie pas que deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes « particulières ».

5) ®

5) On imaginant de reconstituer un cube avec chacun de ces deux patrons, on constate que l’on ne peut pas. On peut s’aider en les découpant.

˝

˝

®

194



c

Séquence 12

6)

7)

8)

9)

® 42 cm ® 104 cm2 ˝ 60 cm3 ® 13 cm3

® 1540 dm3 ˝ 1,54 dm3 ® 1 540 000 dm3 ® 0, 001 54 dm3 ® 25 000 dL ˝ 250 dL ˝ 2 500 cL ˝ 2,5 daL

c

6) On multiplie les trois dimensions (« longueur », « largeur » et « hauteur ») entre elles, à condition qu’elles soient données toutes les trois dans la même unité : Le volume est de 60 cm3. Attention ! • On n’ajoute pas ces trois dimensions, on les multiplie. • Le cm est une unité de longueur et le cm2 est une unité d’aire alors qu’on cherche un « volume ». 7) Les unités de volume « vont de mille en mille ».

8) Les unités de contenance « vont de dix en dix ».

9)

˝ 25 dm3 ® 250 dm3 ® 2,5 dm3 ˝ 25 000 cm3

10) ® 36 cm2 ® 36 cm3 ˝ 54 cm2 ® 54 cm3

1 L = 1 dm3 donc 25 L = 25 dm3. Les unités de volume « vont de mille en mille » :

10) • 3 x 3 = 9. L’aire d’une face est de 9 cm2. • Un cube a 6 faces : 9 x 6 = 54 L’aire totale des faces est de 54 cm2 . Attention aux unités : le cm3 n’est pas une unité d’aire, c’est une unité de volume ! Le nombre 36 correspondrait à la longueur totale des arêtes, en cm. Ce n’est pas ce que l’on cherche.


195


Cours CNED 6 Eme Maths

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