Método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones de 2 y 3 incógnitas 2.4 Resultando:
Podemos emplear determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas tal como se
k1 a12 a13
a11 k1 a13
a11 a12 k 1
k2 a22 a23
a21 k 2 a23
a21 a22 k 2
procede a continuación: continuación: 1.
Sistem Sistema a de dos ecuaci ecuacione oness con con dos dos incó incógni gnitas tas::
k3 a32 a33
x =
D
a11 x + a12 y = k1 1.1 Dado el sistema:
a21 x + a22 y = k 2
y =
a31 k3 a33
z =
D
a31 a32 k 3 D
Para recordar estas fórmulas de determinantes para x, lo siguiente: y, y z se debe tener en cuenta lo
1.2 Se forma un determinante determinante con los coeficientes coeficientes de las incógnitas X , Y, el cual debe ser distinto de cero:
1.
El determ determinant inantee D está está forma formado do por por los coeficient coeficientes es de x, y, y z, conservando la misma posición relativa en el
D =
1.3
a11
a21
a21
a22
≠
determinante que la se encuentra en el sistema.
0
2.
El dete determi rminan nante te D apare aparece ce en el el denomi denominad nador or de x, y y z.
3.
1.4 Resultando entonces:
x =
k1
a21
k2
a22
reemplazando los coeficientes de x, que son a11 , a 21 y
y =
y
D
El numerador de x se obt obtiene iene a part partir ir de D,
a11
k 1
a21
k 2
a31 , con las constantes k 1 , k 2 , y k 3 , respectivamente.
4.
El mismo procedimiento se aplica a las otras incógnitas y, y z.
D Ejercicios:
determinante nte de los El determ determina inante nte D se llama llama determina
sistem emaa tien tienee prec precis isam amen ente te una una coeficientes. Si D ≠ 0, el sist solución, que se obtiene con la regla mencionada. Si por el contrario, D = 0, el sistema es inconsistente o independiente, es
Resolver mediante Cramer: 8. 1.
decir, el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de ellas. 2
2.
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
x + x + x + x +
2y
=
3y
= −
2y
=
3
3y
=
5
3. 2 x +
La regla de Cramer se puede generalizar para sistemas
5 x +
1 1
4.
a11 x + a12 y + a13 z = k1 2.1 Dado el sistema: a21 x + a22 y + a 23 z
= k a x+ a y+ a z = k 31
32
33
x + 2 x +
5. 2 x −
2
−
x +
+
10.
3y
=
1
11.
8y
=
0
= − =
5 x +
2.2 Se forma un determinante determinante con los coeficientes coeficientes de las
+ −
a11 2.3 D
= a
a12
a13
21
a22
a23
a31
a32
a33
≠
0
x +
3
4
y=1 3y = 2
= 1 x + y 2 y + z = − 5 − x + z = − 3
4 0 5
−
y = 2 y + z = z =
1 0 0
= y 2 y + z = z =
−
y +
−
x + x − y
z = 2 z = =
4 3 7 4 0 5
x − z = − 4 = 8 2 x − y x + y + z = 2
12.
2 y −
13.
x x
incógnitas X , Y, el cual debe ser distinto de 7.
x + x +
3
6. 2 x +
cero:
x + −
y=1 3y = 2
y 3y
y = 2 y + z = − x + z =
9.
lineales de cualquier orden, que tengan el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.
x +
− −
z = − 4 y − z = 0 y + 2 z = 6
2 x + 2 y
14. −
x +
y +
2 5 −3
=
z = z =
−
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Método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones de 2 y 3 incógnitas 3. Determinar la solución por mediante Cramer
7 x + 8y = 29 5 x + 11y = 26
1.
3x − 4 y = 13 8x − 5y = − 5
2.
1y = − 326 13x − 3 1y 25x + 37 y = 146
3.
44 y = − 6 15x − 44 27 x = − 1 32y − 27
4.
x+ y x− y = 4 5. x− y− 1= 1 x + y + 1 9 8 x = − 9y 6. 1 2x + 5 + 3y = 3 2 ax − by = − 1 ax + by = 7
7.
3 x − ( y + 2) = 2y + 1 5 y − ( x + 3) = 3 x + 1
8.
ax + 2 y = 2 9. ax 2 − 3y = − 1 2y + 3 2x − 17 = y + 2 10. 3 y − 4x + 1 = 3 x + 5 21 x + y + z = 11 11. x − y + 3z = 13 2x + 2y − z = 7 x+ y + z = −6 12. 2x + y − z = − 1 x − 2y 2y + 3z 3z = − 6
2 x + 3 y + 4z = 3 13. 2x 2x + 6 y + 8z = 5 4 x + 9 y − 4z = 4 4x − y + z = 4 14. 2y 2y − z + 2x = 2 6 x + 3z − 2y = 12 x + 4 y + 5 z = 11 15. 3x 3x − 2y + z = 5 4x + y − 3z 3 z = − 26 10y + 4z = − 2 7 x + 10 16. 5x 5 x − 2y + 6 z = 38 3 x + y − z = 21 7 y + 5z 5z = − 2 4x + 7y 17. 6x 6 x + 3 y + 7z = 6 x − y + 9z 9z = − 21
3 x − 5 y + 2x = − 22 18. 2x − y + 6z = 32 8 x + 3y 3 y − 5z 5 z = − 33 x+ y+ z= 3 19. x + 2y = 6 2x + 3y = 6 3 x − 2y = − 1 20. 4x + z = − 28 x + 2y 2 y + 3z 3 z = − 43 3x − 4y + 4z = 1 y 21. 6x + 2 − z = 1 x y z 2 − 8 − 2 = 0 3x + y = 2z + 3 22. x − y = 1 y x + z = 4 + 11
