cuaderno de actividades Matematicas 4.pdf

MATEMÁTICAS IV

COL EGIO D DE B BACHIL L LE RES COOR DINACIÓN D DE A ADMINISTR ACIÓN ESCOLAR Y DEL S SISTEMA A ABIER TO Y D

CU A DE N R O D DE A CTI V ID A DES A V A DE C CO N A CIÓ N Y R R ETR O A LI M E N A CIÓ N NSOLID A N Y A M NT A N DE L L A A SIG N TUR A A A A NA

MATEMÁTICAS

IV

CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

1

MATEMÁTICAS IV

MATEMÁTICAS IV Coordinador General del Proyecto Álvaro Álvarez Barragán

Dirección Técnica Uriel Espinosa Robles

Coordinación: Luis Antonio López Villanueva Elaboración: Juan Pérez Rodríguez Revisión de Contenido: Marlo Ulises Alvarado Hernández Pedro Arrazola Calva Joel Díaz Guadarrama Ricardo Garnica Juárez Daniel González Frías José Carlos López Jiménez Miguel Ángel Marrufo Chan Sergio Muñoz Martínez Conrado Octaviano Pacheco Gasca Javier Tecuapetla Díaz Asesoría Pedagógica: Blanca Cruz Guerrero

Diseño Editorial Rosa Maria Cedillo Aguilar Julia Mary Soriano Sáenz

 Copyright en trámite para el Colegio de Bachilleres, México. Colegio de Bachilleres, México Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa, 04920, México, D.F. La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 97. Word 97, es marca registrada por Microsoft Corp. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea este eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.


2

MATEMÁTICAS IV

ÍNDICE PRESENTACIÓN

4

INTRODUCCIÓN

5

I.

OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA

6

II.

TEMAS FUNDAMENTALES

8

III.

RETROALIMENTACIÓN RETROALIMENT ACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES

9 10

3.1 COMPENDIO FASCÍCULO 1 RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL, LUGAR GEOMÉTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA

61

3.2 COMPENDIO FASCÍCULO 2 CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA

90

3.3 COMPENDIO FASCÍCULO 3 ELIPSE E HIPÉRBOLA IV.

HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN

123

V.

EVALUACIÓN MUESTRA

135

5.1 HOJA DE RESPUESTA

151

5.2 HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA

153

VI.

SIMBOLOGÍA

154

VII. GLOSARIO

155

BIBLIOGRAFÍA

156


3

MATEMÁTICAS IV

PRESENTACIÓN

El presente Cuaderno de Actividades de Consolidación y Retroalimentación ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan a los estudiantes del Sistema de Enseñanza Abierta del Colegio de Bachilleres. El cuaderno ha sido estructurado de tal forma que facilite la verificación de los aprendizajes obtenidos a través del estudio de tu compendio fascicular. Los elementos didácticos que estructuran al cuaderno son los siguientes:

•

Objetivos de evaluación sumativa que te informa acerca de lo que se pretende lograr con el estudio del compendio fascicular.

•

Temas fundamentales donde se mencionan los contenidos que a nivel general se abordan en el Cuaderno.

•

Retroalimentación y verificación de aprendizajes en el cual encontrarás instrucciones generales y del compendio fascicular la síntesis de cada tema, ejemplos y evaluación a contestar.

•

Hoja de cotejo de evaluación en la cual identificarás las respuestas correctas de la evaluación que respondiste.

•

Evaluación muestra donde se te presentan reactivos semejantes a los que te vas a encontrar en tu evaluación final de la asignatura.

•

Bibliografía que te apoya en la ampliación del conocimiento compendio fascicular. Esperando te sirva de apoyo para tu aprendizaje:

¡ TE DESEAMOS SUERTE !


4

MATEMÁTICAS IV

INTRODUCCIÓN El Departamento de Evaluación de la CAESA como parte de su actividad y basado en la concepción de evaluación que se puede sintetizar “...como un proceso integral, sistemático, continuo y flexible, que valora aspectos y elementos... por medio de la aplicación de distintas técnicas, procedimientos e instrumentos que proporcionan información... que permite tomar decisiones...”1, ha elaborado el siguiente Cuaderno de Actividades de Consolidación y Retroalimentación. El Cuaderno tiene el propósito de apoyar al estudiante en su proceso de aprendizaje que desarrolla en el Sistema de Enseñanza Abierta, en él se da cuenta de la totalidad de objetivos de evaluación sumativa de la asignatura a la que está dirigida; (cabe señalar que es un documento para uso del estudiante y del asesor). Asimismo tiene como finalidad apoyar el aprendizaje del estudiante, además de prepararlo para la evaluación sumativa, ya que resolviendo los ejercicios que se presentan, se reafirmarán e identificarán aquellos avances y/o problemáticas que se tienen de uno o más contenidos de la asignatura. La asignatura de Matemáticas IV tiene como intención, aplicar el conocimiento matemático en la profundización de la geometría euclidiana y la trigonometría, facilitando el avance en el dominio de las funciones trigonométricas y adquiriendo habilidades en el manejo de las propiedades geométricas que le permitan generar en el estudiante una metodología de estudio propio y útil en el desempeño académico general. Matemáticas IV integra junto con Matemáticas I, II y III la materia de Matemáticas que a su vez tiene relación con Cálculo Diferencial e Integral I y II, Estadística Descriptiva e Inferencial I y II, así como el laboratorio de Informática I y II. Matemáticas IV recibe servicio de la asignatura de Taller de Lectura y Redacción y Métodos de Investigación en el desarrollo de habilidades para el manejo y comprensión del lenguaje, así como el manejo de la lógica y el estudio del método científico. A su vez da servicio a las asignaturas del Área de Ciencias Naturales (Física, Química y Biología) en el apoyo de desarrollo de procedimientos, habilidades de análisis, observaciones y abstracción del conocimiento. Con base a lo anterior, éste Cuaderno de Actividades de Consolidación y Retroalimentación apoyará:

Al asesor. • Para emplear las propuestas del Cuaderno como un apoyo más para el proceso formativo de los estudiantes, conjuntamente con los compendios fasciculares y materiales que haya desarrollado como parte de su práctica educativa. ¡ ESPERAMOS LE SEA DE UTILIDAD ! Al estudiante. • Para utilizarlo como un apoyo en su estudio independiente, procesos formativo y su evaluación sumativa. ¡ ÉXITO ! 1

COLEGIO DE BACHILLERES, La Evaluación del Aprendizaje en el SEA. Documento Normativo CAESA, 1988, Pág. 12.


5

MATEMÁTICAS IV

I. OBJETIVOS DE EVALUACIÓN SUMATIVA

COMPENDIO FASCÍCULO 1 1.1 Manejará el sistema de referencia rectangular (x,y) en la ubicación de pares ordenados. 1.2 Determinará la distancia entre dos puntos, coordenadas del punto medio y coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada a partir del manejo algebraico y geométrico de las coordenadas rectangulares. 1.3 Manejará el sistema de referencia polar (r, θ) en la transformación de coordenadas rectangulares a polares y viceversa. 1.4 Encontrará la ecuación del lugar geométrico determinado por ciertas condiciones dadas en el sistema de referencia rectangular. 1.5 Obtendrá la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta determinada por dos puntos. 1.6 Representará la función lineal en su forma simplificada a partir de su gráfica, su pendiente y su ordenada al origen. 1.7 Representará algebraicamente las distintas formas de la ecuación de la recta, tales como punto-pendiente, simétrica (intersección con los ejes) y general. 1.8 Aplicará el concepto de paralelismo y perpendicularidad en la relación existente entre las pendientes de dos rectas y sus ecuaciones. 1.9 Representará la función lineal en el sistema de coordenadas polares, tanto el modelo como su gráfica. 1.10 Resolverá diversos ejercicios y problemas por medio del modelo de la desigualdad de primer grado con una incógnita, su solución algebraica y su representación gráfica. 1.11 Interpretará la representación gráfica de una desigualdad lineal como función lineal. 1.12 Resolverá diversos ejercicios y problemas por medio del modelo de un sistema de desigualdades lineales con dos variables, su solución algebraica y su representación gráfica. 1.13 Resolverá diversos ejercicios y problemas, aplicando la metodología de la programación lineal.


6

MATEMÁTICAS IV

COMPENDIO FASCÍCULO 2 2.1 Obtendrá la generación de las cónicas a partir de un plano de corte y una superficie cónica de revolución. 2.2 Identificará y determinará las características más notables, sus puntos principales y parámetros de las cónicas, a partir de su construcción gráfica. 2.3 Determinará la ecuación ordinaria y general de la circunferencia con centro en el origen y fuera de él, así como sus puntos y rectas notables de dicha curva. 2.4 Obtendrá la ecuación y los elementos correspondientes de la circunferencia en las distintas aplicaciones de ésta curva. 2.5 Determinará la ecuación ordinaria y general de la parábola con centro en el origen y fuera de él, así como sus puntos y rectas notables de dicha curva. 2.6 Obtendrá la ecuación y los elementos correspondientes de la parábola en las distintas aplicaciones de ésta curva.

COMPENDIO FASCÍCULO 3 3.1 Determinará la ecuación ordinaria y general de la elipse con centro en el origen y fuera de él, así como sus puntos y rectas notables de dicha curva. 3.2 Obtendrá la ecuación y los elementos correspondientes de la elipse en las distintas aplicaciones de ésta curva. 3.3 Determinará la ecuación ordinaria y general de la hipérbola con centro en el origen y fuera de él, así como sus puntos y rectas notables de dicha curva. 3.4 Obtendrá la ecuación y los elementos correspondientes de la hipérbola en las distintas aplicaciones de ésta curva.


7

MATEMÁTICAS IV

II. TEMAS FUNDAMENTALES

COMPENDIO FASCÍCULO 1

I.

EL LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA.

II.

FUNCIÓN LINEAL: COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA.

III.

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES LINEALES.


IV.

EXPLORANDO LAS CÓNICAS.

V.

MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

VI.

MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA.


VII.

MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA ELIPSE.

VIII.

MODELO ANALÍTICO Y APLICACIÓN DE LA HIPÉRBOLA.


8

MATEMÁTICAS IV

III. RETROALIMENTACIÓN Y VERIFICACIÓN DE APRENDIZAJES

A continuación se presenta el nombre de cada tema con sus características generales y uno o más ejemplos dependiendo de su amplitud. Dentro de cada ejemplo se especifican los pasos, propiedades y leyes que se aplican en el desarrollo para llegar a la solución correcta. Es importante establecer que la geometría analítica corresponde a un curso de iniciación para el estudiante de bachillerato, donde se combina el álgebra y la geometría, por lo tanto, los ejemplos de los contenidos se abordan estableciendo mutuas relaciones entre el método gráfico y el algebraico. Fundamentalmente se tratará con dos tipos d e problemas de la geometría analítica: 1. A partir de una ecuación, interpretarla geométricamente y obtener su puntos notables. 2. A partir de una figura geométrica o la condición que deben cumplir sus puntos notables, obtener el modelo de la ecuación. Posteriormente, en el apartado de evaluación se presenta una serie de ejercicios correspondientes a los temas especificados; es importante señalar que para resolver dichos ejercicios, debiste haber adquirido los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios de los contenidos temáticos de tu compendio fascicular; si no fue así te pedimos que consultes dicho compendio y a tu asesor de contenido. En este mismo apartado podrás verificar tus respuestas y resultados que te proporcionamos en la hoja de cotejo. Por último, debes contestar la evaluación muestra eligiendo la respuesta correcta de cada reactivo, dicha evaluación es semejante a la evaluación global de la asignatura. Al final podrás verificar tus resultados en la hoja de respuestas. Las fórmulas que se aplican a lo largo del contenido, únicamente se mencionan y se aplican, ya que sus deducciones las puedes consultar en tu compendio fascicular.


9

MATEMÁTICAS IV

3.1. COMPENDIO FASCÍCULO 1 RELACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN LINEAL, LUGAR GEOMÉTRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA En el compendio fascículo 1, aprendiste a interpretar el lugar geométrico de puntos y rectas en el sistema de referencia rectangular y polar; también analizaste la relación existente entre la representación gráfica y el modelo algebraico de las igualdades y desigualdades lineales.

LUGAR GEOMÉTRICO. Es la representación gráfica de uno o un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad común y pueden ser ubicados en un sistema de referencia tanto rectangular como polar.

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS RECTANGULARES. El sistema de referencia rectangular es el plano cartesiano donde se ubican los puntos P ( x ,y ) llamados pares ordenados conformados por dos coordenadas (abscisa “ x ” y ordenada “ y ”). La posición del punto P se define especificando las distancias ortogonales de sus coordenadas hacia los ejes del plano.

EJEMPLO * Ubicar las coordenadas de los siguientes puntos en el plano rectangular e indicar el cuadrante donde queda ubicado cada uno de ellos. A( 3, 1) ,

B(1,2) ,

C (0, 4) ,

D(0,0) ,

E

1 9 , , 2 2

F

1 ,3 , 2

G ( 1, 3)

y H (3, 2)

- Se gráfica cada punto P ( x ,y ) en el plano rectangular, ubicando primero la abscisa y después la ordenada, posteriormente se unen las coordenadas siguiendo una dirección paralela a cada uno de los ejes. Y

De la representación de los puntos en el E

plano, se establece que el punto B y E se

F

encuentran en el 1ο Cuadrante, el F en el B X’

2ο Cuadrante, el A y G en el 3ο X

0 D

A

Cuadrante, el H en el 4 ο Cuadrante, el D en el Origen del Plano y el C en la parte

H G

C

negativa del Eje YY ' .

Y’


10

MATEMÁTICAS IV

* Resolver los siguientes ejercicios por medio del análisis de la localización de puntos en el sistema rectangular. A) ¿Cuál coordenada es nula de un punto cualquiera ubicado en el eje YY ' ? B) ¿Cuáles son las coordenadas de un punto, cuya ordenada es 2 y su abscisa es 4 unidades menor que su ordenada? Solución.

A) Un punto cualquiera ubicado en el eje YY ' , está conformado por las coordenadas P(0,y), donde su abscisa “x” es nula. B) Si la ordenada del punto P(x,y) es y = −2 y su abscisa es 4 unidades menor que su ordenada, es decir x = −2 − 4 = −6; entonces las coordenadas del punto son P( 6, 2).

REPRESENTACIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA EN EL SISTEMA RECTANGULAR. Un segmento es una parte de recta comprendida por lo puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2), al cual se le obtienen sus proyecciones, su longitud (distancia entre los dos puntos que lo comprenden), las coordenadas del punto que lo divide en una razón dada y las coordenadas de su punto medio.

Proyecciones de un Segmento de Recta. Un segmento tiene una proyección horizontal y una vertical que se obtienen con las fórmulas P 1' P 2' x 2 x 1 y P 1'' P 2'' y 2 y 1 .

EJEMPLO * Determina las proyecciones horizontal y vertical del segmento P 1P 2 comprendido por los puntos P1( 3,2) y P2(4, 5). - Se ubican los puntos P 1 y P 2 en el plano rectangular y se unen para obtener el segmento P 1P 2 . Posteriormente se obtienen sus proyecciones con l as fórmulas correspondientes. Y

Proyección horizontal: P1 X’

2 P1’’ P2’ 0

-3 P1’

4

P 1' P 2' = x 2 − x 1

P 1' P 2' = 4 − ( −3)

∴ P 1' P 2' = 7

X

Proyección vertical: P 1'' P 2'' = y 2 − y 1

P1’’ -5

P 1'' P 2'' = −5 − 2 ∴

P 1' P 2' = −7

P2

Y’


11

MATEMÁTICAS IV

Distancia Entre Dos Puntos. La distancia que existe entre los puntos P 1( x 1,y 1) y P 2( x 2,y 2), se obtiene con la fórmula d =

( x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1) )2 que se origina por el teorema de Pitágoras.

EJEMPLO * Determinar la distancia que existe entre cada uno de los siguientes pares de puntos. A) M 1 (6,5) y M 2 (3,9) B) P (−5,−4) y Q (−3,−2) 1 2   1 2  C) K   ,  y L − ,   2 3   4 3 

D) P 1 ( 5 ,−2 ) y P 2 (4 5 ,6 ) Solución.

- Se sustituyen las coordenadas de cada punto en la fórmula de la distancia y se desarrollan las operaciones correspondientes para obtener la distancia real existente entre cada par de puntos.

A

M 1( 6,5) y M 2 (3,9)

Sustitución en la fórmula d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Distancia y desarrollo de operaciones d = (3 − 6)2 + (9 − 5)2 = (−3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25 d = 5 u

B

P ( −5,−4) y Q( −3,−2)

d =

[− 3 − (− 5)]2 + [− 2 − (− 4)]2 = (2)2 + (2)2 = 8 = 4(2)

C

K  ,  y L −

d =

9  1 1   2 2   3   − −  +  −  =  −  + (0)2 = 16  4 2   3 3   4 

D

P 1

d =

(4

Inciso Asignación de puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2)

 1 2   2 3 

(

 1 2  ,   4 3 

5 ,−2) y P 2 (4 5 ,6)

2

2

d = 2 2 u

2

d =

3 u 4

2 2 5 − 5 ) + [6 − (− 2)]2 = (3 5 ) + (8)2 = 45 + 64 d =10 .44 u

* Resolver los siguientes ejercicios por medio de la distancia entre dos puntos. A) Demostrar que el triángulo cuyos vértices son P1(7,−8), P2(−1,0) y P3(−2,−9) es isósceles. B) Obtener el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son A(0,3), B(1,3), C(1,−4) y D(−3,−1). Solución.

A) Para que el triángulo sea isósceles debe tener dos lados iguales y la longitud de cada lado se obtiene con la distancia que existe entre cada par de vértices: Lado P 1P 2 ; distancia de P 1(7,−8) a P 2(−1,0) → d = (−1 − 7) 2 + [0 − (−8)] 2 = 128 ∴ P 1P 2 = 8 2 u . Lado P 1P 3 ; distancia de P 1(7,−8) a P 3(−2,−9) → d = (−2 − 7)2 + [−9 − (−8)]2 = 82 ∴ P 1P 3 = 82 u . Lado P 2P 3 ; distancia de P 1(−1,0) a P 3(−2,−9) → d = [−2 − (−1)]2 + (−9 − 0)2 = 82 ∴ P 2P 3 = 82 u . Como las longitudes de los lados P 1P 3 y P 2P 3 son iguales, entonces se demuestra que el triángulo es isósceles.


12

MATEMÁTICAS IV

B) El perímetro de un cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados y la longitud de cada lado se obtiene con la distancia existente entre cada par de vértices consecutivos: Lado AB ; distancia de A(0,3) a B(1,3) → d = (1 − 0) 2 + (3 − 3) 2 = 1 ∴ AB = 1u . Lado BC ; distancia de B(1,3) a C(1, −4) → d = (1 − 1) 2 + ( −4 − 3) 2 = 7 ∴ BC = 7 u . Lado CD ; distancia de C(1,−4) a D(−3,−1) → d = ( −3 − 1) 2 + [−1 − ( −4)] 2 = 5 ∴ CD = 5 u . Lado DA ; distancia de D(−3,−1) a A(0,3) → d = [0 − ( −3)] 2 + [3 − (−1)] 2 = 5 ∴ DA = 5 u . - Se obtiene el perímetro del cuadrilátero sumando las longitudes de los 4 lados: P = AB

+ BC + CD + DA → P = 1 u + 7 u + 5 u + 5 u ∴ P cuadrilátero = 18 u .

División de un Segmento de Recta en una Razón Dada. Un segmento P 1P 2 lo divide un punto P ( x ,y ) en dos partes, por medio de una razón de división r = P 1P : PP 2 . Si r > 0, el punto de división queda comprendido en el segmento; si r < 0, el punto de división es exterior al segmento. El punto P ( x ,y ) que divide al segmento en una razón dada, se obtiene con las siguientes fórmulas. r = r =

x − x 1 x 2 − x

∴ x =

y − y 1 y 2 − y

∴ y =

x 1 + rx 2 1 + r y 1 + ry 2 1 + r

P(x,y) con r ≠ −1

EJEMPLO * Si un segmento está comprendido por los puntos P1(−2,0) y P2(8,5); entonces encontrar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en las razones: r = 2/3, r = 3/2 y r = −2/3. - Se obtienen las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en cada una de las razones establecidas, mediante la sustitución de las coordenadas en las fórmulas correspondientes. r =

Para r = 2/3 r =

x − x 1 x 2 − x y − y 1 y 2 − y

x =

−2 + (2 / 3)(8) =2 1 + (2 / 3 )

0 + (2 / 3)(5) =2 y = 1 + ( 2 / 3)

A(2,2)

Como r = 2/3, entonces el punto A(2,2) divide al segmento original en dos segmentos, donde uno de ellos es dos terceras partes de la longitud del otro.


13

MATEMÁTICAS IV

x =

Para r = 3/2

−2 + (3 / 2)(8) =4 1 + (3 / 2 )

B(4,3)

0 + (3 / 2)(5) =3 y = 1 + (3 / 2)

Como r = 3/2, entonces el punto B(4,3) divide al segmento original en dos segmentos, donde uno de ellos es tres medios mayor de la longitud del otro. x =

Para r = −2/3

−2 + ( −2 / 3)(8) = −22 1 + ( −2 / 3) C(−22,−10)

0 + (−2 / 3)(5) = −10 y = 1 + ( −2 / 3 )

Como r = −2/3 y menor que cero, entonces el punto C( −22,−10) que divide al segmento original en dos segmentos, queda ubicado fuera de dicho segmento original. Los puntos A, B y C se representan gráficamente en el siguiente plano. Y

P2

5

P1

X’ -22

-2

3 2

A

0

B X

2

4

8

-10 C Y’

Punto Medio de un Segmento de Recta. El punto medio de un segmento es un caso particular de la división del segmento en una razón dada y se presenta cuando la razón r = 1/1 que indica la división en dos partes iguales. Las coordenadas del punto medio se obtienen con las siguientes fórmulas. x = y =

x 1 + (1) x 2

1+ 1 y 1 + (1)y 2

1+ 1

∴ x m = ∴ y m =

x 1 + x 2

2 y 1 + y 2

Pm(xm,ym)

2


14

MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO * Determinar las coordenadas del punto medio que existe entre cada uno de los siguientes pares de puntos. A) M (1,7) y N (3,5) B) K (−3,−4) y L(−5,−1)

 1 2   1  D) P 1  − ,  y P 2  ,6   4 5   2  ;

Solución.

- Se sustituyen las coordenadas de cada punto en las fórmulas del punto medio y se desarrollan las operaciones correspondientes para obtener el punto medio existente entre cada par de puntos.

Inciso Asignación de puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) A B D

M (1,7) y

N (3,5)

K ( −3,−4) y L( −5,−1)

 1   1 2  y P 2  ,6  ,   2   4 5 

P 1  −

Sustitución en la fórmula y desarrollo de operaciones

ym = x1 + x2 ; ym = y1 + y2 2 2 1+ 3 4 7 + 5 12 = = 2 ; y m = =6 x m = 2 2 2 2 −3 + ( −5) −8 −4 + ( −1) 5 = = −4 ; y m =− x m = 2 2 2 2 1 1 1 2 32 − + +6 1 16 x m = 4 2 = 4 = ; y m 5 = 5 = 2 2 8 2 2 5

Punto Medio

Pm(xm,ym) P m (2,6)

 

5  2 

P m  − 4,− 

 1 16  ,   8 5 

P m 

* Si uno de los extremos de un segmento es el punto (−4,2) y su punto medio es (1,−3); entonces, obtener las coordenadas del otro extremo del segmento. - Del enunciado se establece que P 1(x1,y1) es P1(−4,2) y Pm(xm,ym) es Pm(1,−3). - Se sustituyen las coordenadas de P 1 y Pm en las fórmulas del punto medio y se despeja la coordenada correspondiente para obtener las coordenadas del otro extremo del segmento. x m = y m =

−4 + x 2 x 1 + x 2 → 1= 2

2

y 1 + y 2 2 + y 2 → −3 =

2

2

∴ x2 = 2(1) + 4 = 6 ∴ y2 = 2(−3) −2 = −8

De los valores obtenidos, se establece que el otro extremo del segmento es el punto P2(6,−8).

* Resolver el siguiente problema por medio de las características de un segmento de recta. Un móvil se desplaza con movimiento uniformemente rectilíneo medido en Km. Si la posición inicial del recorrido es en el punto P(1,2) y su posición final en Q(13,11); entonces obtener: A) La distancia recorrida por el movil. B) Las coordenadas del punto cuando ha realizado la mitad de su recorrido. C) Las coordenadas del punto cuando ha recorrido los primeros 5 Km de distancia.


15

MATEMÁTICAS IV

Solución.

A) La distancia recorrida por el móvil, se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto inicial y final en la fórmula de distancia entre dos puntos y realizando las operaciones correspondientes. Posición inicial P1(x1,y1) = P(1,2) Posición final P2(x2,y2) = Q(13,11)

d =

( x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 = (13 − 1)2 + (11 − 2)2 = 15

Del resultado obtenido, se establece que la distancia recorrida por el movil es de 15 Km. B) La ubicación del movil a la mitad de su recorrido, se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto inicial y final en la fórmulas del punto medio y realizando las operaciones correspondientes.

Posición inicial P1(x1,y1) = P(1,2) Posición final P2(x2,y2) = Q(13,11)

x m = y m =

x 1 + x 2 1 + 13 = =7

2

2

y 1 + y 2 2 + 11 13 = =

2

2

 13    2 

P m  7,

2

Del resultado obtenido se establece que las coordenadas del punto donde el móvil ha realizado  13  la mitad de su recorrido, es P  7,  .  2  C) Si la distancia total recorrida por el móvil es de 15 Km, entonces el punto cuando ha recorrido 5 Km es un punto que divide al segmento en una razón dada, r = 5 = 1 . 10

2

- Se sustituye el valor de la razón y las coordenadas de los puntos inicial y final en la fórmula de división de un segmento en una razón dada y se realizan las operaciones correspondientes. Posición inicial P1(x1,y1) = P(1,2) Posición final P2(x2,y2) = Q(13,11) Razón r = ½

x = y =

x 1 + rx 2

1 + r y 1 + ry 2

1 + r

=

1 + (1 / 2)(13) =5 1 + (1 / 2)

2 + (1 / 2)(11) = =5 1 + (1 / 2)

P m (5,5 )

Del resultado obtenido se establece que las coordenadas del punto donde el móvil ha recorrido los primeros 5 Km, es P (5,5).

SISTEMA DE REFERENCIA DE COORDENADAS POLARES. Es un plano formado por un eje polar (recta horizontal fija) y un origen fijo llamado polo, en el plano se genera una rotación de ejes que forman ángulos vectoriales con respecto al eje polar.

EJEMPLO * Construir el sistema de referencia polar, especificando sus características.


16

MATEMÁTICAS IV

- Se ubica el polo y se traza el eje polar a partir de éste con una dirección dirigida hacia la izquierda . Considerando como inicio el eje polar, se traza una rotación de ejes y un conjunto de circunferencias con centro en el polo. Ejes Rotatorios

Cada circunferencia es la magnitud de una distancia dirigida hacia el polo llamada radio vector r formando un

0° Eje polar

ángulo vectorial θ con respecto al eje polar.

Polo

Ubicación de Puntos en el Sistema de Referencia Polar. Un punto polar P (r ,θ) tiene por coordenadas un radio vector “r” (medido en unidades lineales) que es la dirección dirigida hacia el polo y un ángulo vectorial “ θ” (medido tanto en grados como en radianes) que es la inclinación del radio vector con respecto al eje polar. La dirección de θ es positiva cuando su giro es en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativa cundo su giro es en el sentido de dichas manecillas.

EJEMPLO * Ubicar las coordenadas de los siguientes puntos en el plano polar. A(2,45°) ,

B(4.5, πrad ) ,

 

1 6

  7  y D ,225°  .   2 

C  7 , πrad 

- Se representan los puntos en el plano polar, ubicando primero el ángulo vectorial y después la magnitud del radio vector. 90° 135°

45° A B

180°

C

0°

D 225°

315° 270°


17

MATEMÁTICAS IV

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Y VICEVERSA. Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares. P(x,y) → P(r,θ P(r,θ)  y  Un punto rectangular se transforma a polar, aplicando las expresiones r = x 2 + y 2 y θ = tan−1  .  x  Para obtener el ángulo vectorial “θ”, se aplican las siguientes condiciones dependiendo de la posición del punto rectangular en el plano. 1ο Cuadrante P(x,y) 0°<θ<90° P(r,θ)

PUNTOS RECTANGULARES 2ο Cuadrante P(−x,y) 3ο Cuadrante P(−x,−y) PUNTOS POLARES 90°<θ<180° 180°<θ<270° P(r,θ)

θ

θ

4ο Cuadrante P(x, −y) 270°<θ<360°

θ θ P(r,θ)

P(r,θ) El ángulo vectorial se obtiene directamente de la expresión.

El ángulo vectorial se obtiene sumándole 180° al ángulo de la expresión.

El ángulo vectorial se obtiene sumándole 360° al ángulo de la expresión.

EJEMPLO * Representar el punto rectangular P(4,3) en coordenadas polares. - Se sustituyen las coordenadas “x” y “y” en las fórmulas correspondientes de transformación y se representa el punto polar P(r,θ). r = x 2 + y 2 = −1  y 

(4) 2 + (3) 2 = 25 = 5

P(5,36°52’11”)

−1  3 

θ = tan   = tan   = 36 .86989 ° = 36 °52 '11"  x   4 

* Determinar las coordenadas polares del punto rectangular rectangular P(− P(−2,2). - Se sustituyen las coordenadas “x” y “y” en las fórmulas correspondientes de transformación. r = x 2

+ y 2 = ( −2) 2 + (2) 2 = 8 = 2 2 = 2.8

;

 y   2  θ = tan −1   = tan −1   = −45 °  x   − 2 

Como el punto P( −2,2) se ubica en el 2 ο cuadrante, entonces al valor de θ se le suman 180°.

θ = −45° + 180° = 135° =

3 π rad . 4

De los resultados obtenidos, se establece que el punto polar se puede representar de las 3 3     siguientes formas: P (2.8,135°) (2.8,135°) ; P (2 2 ,135 °) ; P  2 2 , π rad  ó P  2.8, π rad  . 4 4    


18

MATEMÁTICAS IV

* Determinar las coordenadas polares del punto rectangular rectangular P(− P(−8, 8,−−6). - Se sustituyen las coordenadas “x” y “y” en las fórmulas correspondientes de transformación. r = x 2 + y 2 =

( −8) 2 + ( −6) 2 = 100 = 10

 y   − 6  θ = tan −1   = tan −1   = 36.86989 ° = 36 °52'11"  − 8   x 

Como el punto P( −8,−6) se ubica en el 3 ο cuadrante, entonces al valor de θ se le suman 180°.

θ = 36°52’11” + 180° = 216°52’11”. De los resultados obtenidos, se establece que el punto polar, es: P (10,216°52’11”) (10,216°52’11”).

* Determinar las coordenadas polares del punto rectangular rectangular P(3,− P(3,−3). - Se sustituyen las coordenadas “x” y “y” en las fórmulas correspondientes de transformación. r = x 2 + y 2 =

(3) 2 + ( −3) 2 = 18 = 3 2 = 4.24

− 3   y   − θ = tan −1   = tan −1   = −45 °  3   x 

Como el punto P(3, −3) se ubica en el 4 ο cuadrante, entonces al valor de θ se le suman 360°.

θ = −45° + 360° = 315° =

7 π rad . 4

De los resultados obtenidos, se establece que el punto polar se puede representar de las 7 7    siguientes formas: P (4.24,315°) (4.24,315°) ; P (3 2 ,315°) ; P   3 2 , π rad  ó P  4.24, π rad  4 4    

Transformación de Coordenadas Polares a Rectangulares. P(r,θ P(r,θ) → P(x,y) Un punto polar se transforma a rectangular, aplicando las expresiones, x = = r cos cos θ y y = r sen sen θ que se obtienen por el concepto de las funciones trigonométricas.

EJEMPLO * Representar el punto polar P(4,60°) en coordenadas rectangulares. - Se sustituyen las coordenadas “r” y “ θ” en las fórmulas correspondientes de transformación y se representa el punto rectangular P(x,y). x = r cos θ = 4 cos 60° = 4 (0.5) = 2 y = r sen θ = 4 sen 60° = 4 (0.866) = 3.46

P (2,3.46) (2,3.46)


19

MATEMÁTICAS IV

* Hallar las coordenadas rectangulares del punto polar P (5 2 ,225°) . - Se sustituyen las coordenadas “r” y “ θ” en las fórmulas correspondientes de transformación y se representa el punto rectangular P(x,y). x = r cos θ = 5 2 cos 225° = −5 y = r sen θ = 5 2 sen 225° = −5

P (−5, 5,−−5)

LUGAR GEOMÉTRICO DE UN CONJUNTO DE PUNTOS RECTANGULARES. Un conjunto de puntos satisfacen una propiedad común expresada por medio de una ecuación que representa una curva definida en el plano.

Lugar Geométrico de la Recta. La unión de dos puntos forman el lugar geométrico de una recta. Entre los lugares geométricos de la recta se encuentra la mediatriz de un segmento (lugar geométrico de un conjunto de puntos equidistantes a los extremos de un segmento) y la bisectriz de un ángulo (lugar geométrico de un conjunto de puntos que dividen al ángulo formado por dos rectas en dos ángulos iguales).

EJEMPLO * Determinar la ecuación y = mx + b que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistan de los puntos P1(−2,2) y P2(1,− (1,−1). - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular. Y y = = mx + + b

P 1

X’

d 1

P(x,y) d 2

0

X

P 2

Y’

Como el conjunto de puntos P ( x x ,y ) son equidistantes al punto P 1 y P 2, entonces están a la misma distancia tanto de P 1 como de P 2, por lo tanto las distancias son iguales, es decir: d 1 = d 2. d1 = d2

( x − x 1 )2 + (y − y 1 )2 = ( x − x 2 )2 + (y − y 2 )2 CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

20

MATEMÁTICAS IV

- Se susutituyen las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 en la igualdad de distancias, se elevan al cuadrado las raíces, se desarrollan los binomios, se trasponen y se simplifican términos para obtener la ecuación y = mx + b que satisface al conjunto de puntos equidistantes al segmento P 1P 2 .

[ x − (− 2)]2 + (y − 2)2 = ( x − 1)2 + [y − (− 1)]2

∴ y = x + 1

La ecuación que se obtuvo, corresponde al lugar geométrico de la mediatriz, tal como se muestra en el siguiente plano. Y y = x + 1

d1

P1

P ( x ,y )

d2

X’

X

0 P 2

Y’

* Determinar la ecuación y = mx + b que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos 1 P ( x ,y ) que equidistan de las rectas y 1 = 2 x − 1 y y 2 = x + 2 . 2 - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular, graficando l as rectas y 1 y y 2. Y

y1 d1 d1

P(x,y)

y1 = 2x − 1

P(x,y) d2

y2

x −4 −2 0 2 4

d2

X’

-4

-2

-1 0 -1

2

4

y −9 −5 −1 3 7

y2 = 1 x + 2 2 x y 0 −4 1 −2 2 0 3 2 4 4

X

En la gráfica se observa que al interceptarse dos rectas, éstas forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto se establecen dos lugares geométricos que son equidistantes a las dos rectas.

Y’


21

MATEMÁTICAS IV

Como el conjunto de puntos P ( x ,y ) son equidistantes a las rectas y 1 y y 2, entonces están a la misma distancia tanto de y 1 como de y 2, por lo tanto las distancias son iguales, es decir: d 1 = d2; pero como son dos lugares geométricos, entonces la igualdad es d 1 = ± d2. La distancia de un punto a una recta se obtiene con la fórmula d =

Al igualar las distancias, se obtiene la expresión: d1 = ± d2

Ax + By + C A 2 + B 2

Ax 1

+ By 1 + C

A 2

+ B2

.

=±

Ax 2

+ By 2 + C

A 2

+ B2

Para sustituir las rectas y 1 y y 2 en la igualdad de distancias, éstas se transforman a su forma Ax + By + C = 0 trasponiendo términos en cada una de ellas. 1 y 1 = 2 x − 1 ∴ 2 x − y − 1 = 0 ; y 2 = x + 2 ∴ x − 2y + 4 = 0 2 - Se sustituyen las ecuaciones anteriores en la igualdad de distancias, se realiza la trasposición de términos y se simplifican éstos para obtener las ecuaciones y = mx + b que satisfacen al conjunto de puntos que son equidistantes a las rectas y 1 y y 2. 2 x − y − 1 2 x − y − 1 2 2 + 12

=±

2 2 + 12

x − 2y + 4

12 + (−2) 2

2 x − y − 1 2 2 + 12

=+

=−

x − 2y + 4

12 + ( −2) 2 x − 2y + 4

12 + (−2) 2

∴ y = − x + 5

∴ y = x + 1

Las ecuaciones anteriores corresponden al lugar geométrico de las bisectrices, tal como se muestra en el siguiente plano. Y

y1

y = − x + 5

y = x + 1

d1 d1

P(x,y)

P(x,y) d2

y2

d2

X’

-4

-2 -1 0 -1

2

4

X

Y’


22

MATEMÁTICAS IV

Lugar Geométrico de la Circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro.

EJEMPLO * Hallar la ecuación que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que se mueven de tal forma que sus distancias al origen del plano es siempre 5 unidades. - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular. Y

Con las condiciones del lugar geométrico se forma un triángulo rectángulo, al cual se le aplica el teorema de Pitágoras para obtener la expresión x 2 + y 2 = d 2.

P(x,y) d=5 X’

x X

y

0

- Se sustituye el valor de la distancia en la expresión del teorema y se obtiene la ecuación del lugar geométrico. 2

2

x + y = (5)

2

∴ x 2 + y 2 = 25

Y’

* Hallar la ecuación que satisface al lugar geométrico de todos los puntos P ( x ,y ) cuya distancia al punto P (2,−1) es siempre 3 unidades. - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular, haciendo énfasis de las traslaciones que realiza el punto P(2,−1) con referencia al origen de dicho plano. Y

X’

Con las condiciones del lugar geométrico se forma un triángulo rectángulo, que al aplicarle el teorema de Pitágoras, se obtienen las siguientes expresiones.

x 2 0 -1

h

k

d=3

X

2

2

2

x’ + y’ = d

→ ( x − h)2 + (y − k )2 = d 2

x’ y’

y

P ( x ,y )

- Se sustituye el valor de la distancia y las coordenadas h y k del punto P en la expresión del teorema y se obtiene la ecuación del lugar geométrico. ( x − 2)2 + [y − (−1)]2 = (3)2 ∴ ( x − 2)2 + (y + 1)2 = 9

Y’


23

MATEMÁTICAS IV

Lugar Geométrico de la Parábola. La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco a una recta fija llamada directriz .

EJEMPLO * Hallar la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria de un punto P ( x ,y ) que se mueve de tal forma que equidista siempre del punto fijo Q (2,0) y de una recta paralela 2 unidades a la izquierda del eje “Y ”. - Por el concepto de parábola, se tiene que el foco es el punto fijo “ Q” y la directriz es la recta paralela al eje “Y ” x = −2 - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores. Y D(−2,y )

Como “P” es equidistante tanto a “Q” como a x = –2, entonces se establece la igualdad PQ = PD . P ( x ,y )

X’

0

Q (2,0)

Se obtiene la longitud de los segmentos PQ y PD por el concepto de distancia entre dos puntos. X

Recta Paralela x = −2 Y’

PQ = ( x − 2) 2 + ( y − 0) 2

→

PD

= [ x − ( −2)]2 + ( y − y ) 2

Se igualan las distancias, se elevan al cuadrado las raíces, se desarrollan los binomios y se simplifican términos para obtener la ecuación del lugar geométrico. ( x − 2) 2 + y 2 = ( x + 2) 2

∴ y 2 = 8 x

Lugar Geométrico de la Elipse. La elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante.

EJEMPLO * Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de tal forma que la suma de sus distancias a los dos puntos fijos Q(2,0) y R(−2,0) es siempre igual a 6 unidades. - Por el concepto de elipse, se establece que los focos de la curva son los puntos “Q” y “R”. - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores.


24

MATEMÁTICAS IV

Por el concepto de elipse se establece la igualdad, PR + PQ = 2a .

Y

Se obtiene la longitud de los segmentos PR y PQ por el concepto de distancia entre dos puntos.

P(x,y)

X’

0

R

X

Q

PR =

[ x − ( −2)]2 + ( y − 0) 2

PQ =

( x − 2) 2 + ( y − 0) 2

Se establece la suma de las distancias despeja una de ellas.

a

y se

( x + 2) 2 + y 2 + ( x − 2) 2 + y 2 = 6 ∴ Y’

( x + 2) 2 + y 2 = 6 − ( x − 2) 2 + y 2

- Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan los binomios, se trasponen y se simplifican los términos para obtener la ecuación del lugar geométrico.

5 x 2 + 9y 2 = 45

Lugar Geométrico de la Hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico del conjunto de puntos, tales que la diferencia de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante.

EJEMPLO * Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de tal forma que la diferencia de sus distancias a los dos puntos fijos A(3,0) y B(−3,0) es siempre igual a 4 unidades. - Por el concepto de hipérbola, se establece que los focos de la curva son los puntos “A” y “B”. - Se representa el lugar geométrico en el plano rectangular, a partir de los datos anteriores. Y

Por el concepto de hipérbola se establece la igualdad, PB − PA = 2a . P(x,y) X’ B

0

X a

A

Se obtiene la longitud de los segmentos PB y PA por el concepto de distancia entre dos puntos. PB =

[ x − ( −3)]2 + ( y − 0) 2

PA =

( x − 3) 2 + ( y − 0) 2

Y’


25

MATEMÁTICAS IV

- Se establece la diferencia de las distancias y se despeja una de ellas. ( x + 3) 2 + y 2 − ( x − 3) 2 + y 2 = 4 ∴

( x + 3) 2 + y 2 = 4 + ( x − 3) 2 + y 2

- Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad, se desarrollan los binomios, se trasponen y se simplifican los términos para obtener la ecuación del lugar geométrico.

5 x 2 − 4y 2 = 20

ESTUDIO DE LA RECTA. La recta es el lugar geométrico descrito por una ecuación que puede estar en su forma cartesiana (simplificada, simétrica y general), normal o polar.

PENDIENTE DE LA RECTA. La pendiente “m” es la inclinación de la recta con respecto al eje “ X ” positivo.

y 2 − y 1 . x 2 − x 1 Si m > 0 la recta se inclina hacia la derecha del eje; si m = 0, la recta es paralela al eje y si m < 0,

Si una recta pasa por los puntos P 1( x 1,y 1) y P 2( x 2,y 2), entonces su pendiente es m = la recta se inclina hacia la izquierda de dicho eje.

EJEMPLO * Determinar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. A) P (3,2) y Q (7,1) B) P 1 (−5,−1) y P 2 (6,10) C)

3   5   ,− 3  y Q 2  − 10 ,−  4   4  

Q 1 

Solución.

- Se sustituyen las coordenadas de cada punto en la fórmula de la pendiente y se desarrollan las operaciones correspondientes para obtener la pendiente de cada recta.

Inciso Asignación de puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) A

P (3,2) y Q(7,1)

B

P 1 ( −5,−1) y

C

3   5   Q1  ,−3  y Q2  − 10,−  4   4  

P 2 (6,10)

Sustitución en la fórmula y desarrollo de operaciones y 2 − y 1 Pendiente m = x 2 − x 1 1 1 − 2 −1 1 m = − = =− m= 4 7−3 4 4 m

=

10 − ( −1) 11 = =1 6 − ( −5 ) 11

3 9 − ( −3 ) 1 4 m = = 4 = − 5 45 5 − 10 − − 4 4

m=1

−


26

m =−

1 5

MATEMÁTICAS IV

* Resolver el siguiente problema, aplicando el concepto de pendiente de una recta. ½ lt de pintura tiene un costo de $21.75; si se compran 4 lts, su costo es de $174.00 y si se requiere de un bote de 20 lts, su costo será $870.00. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la razón entre el aumento de la cantidad de litros de pintura y el aumento en su costo? Solución.

- Del enunciado se establece que la variable independiente “ x ” es la cantidad de litros y la variable dependiente “y ” es el costo de los litros. - La razón entre el aumento de los litros y su costo, se obtiene con la expresión de la pendiente, ya que ésta relaciona el aumento entre ambas variables. m=

870 − 174 696 = ∴ m = 43.5 Este valor indica el cambio de costo por cada litro de 20 − 4 16 aumento de pintura.

Ángulo de Inclinación de la Recta. La inclinación de la recta es el ángulo θ que forma con el eje “ X ” positivo y se obtiene con la expresión tan θ = m, donde θ = tan−1(m) con 0° ≤ θ < 180°. La dirección positiva de θ es en dirección contraria a las manecillas del reloj medida a partir del eje X .

EJEMPLO * Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas: A) Recta que pasa por los puntos P 1(1,0) y P 2 (2, 3 ) . B) Recta que pasa por los puntos A(−1,4) y B(3,−8). Solución.

A) Se sustituyen las coordenadas de los p untos P 1 y P 2 en la expresión de “m” y se desarrollan las operaciones para obtener el valor de la pendiente; posteriormente se sustituye el valor de “ m” en la expresión de “θ” y se aplica la tangente inversa para obtener el ángulo de inclinación. m=

y 2 − y 1 x 2 − x 1

m=

3 −0 ∴ m= 3 2−1

;

θ = tan −1 (m)

θ = tan −1 3 ∴ θ = 60°

B) Se sustituyen las coordenadas de los puntos A y B en la expresión de “m” y se desarrollan las operaciones para obtener el valor de la pendiente; posteriormente se sustituye el valor de “ m” en la expresión de “θ” y se aplica la tangente inversa para obtener el ángulo de inclinación. m=

y 2 − y 1 −8 − 4 → m= ∴ m = −3 3 − ( −1) x 2 − x 1

; θ = tan −1 (m) → θ = tan −1( −3) ∴ θ = −71.565°

Cuando m < 0, a θ se le suman 180°, ya que la recta se inclina hacia la izquierda y su ángulo de inclinación es mayor de 90°; es decir:

θ = −71.565° + 180° ∴ θ = 108.435° ó θ = 108°26’6”


27

MATEMÁTICAS IV

* Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por el origen del plano y biseca a éste en su 1 ο Cuadrante. - Como la recta biseca en el 1 ο cuadrante, entonces su ángulo de inclinación es θ = 45°. - La pendiente de la recta se obtiene con la expresión tan θ = m, donde tan 45° = m ∴ m = 1

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PUNTO−PENDIENTE. Es la expresión y – y 1 = m ( x – x 1) que está representada por un punto P ( x 1,y 1) donde pasa la recta y por su pendiente “ m” de ésta.

EJEMPLO * Establece la ecuación en su forma punto −pendiente de la recta que pasa por el punto P (3,−8) y su pendiente es m = −2. - Se sustituyen las coordenadas del punto y el valor de la pendiente en la expresión correspondiente para obtener la ecuación punto −pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

y − (−8) = −2 ( x − 3) ∴ y + 8 = −2 ( x − 3)

* Hallar la ecuación en su forma punto−pendiente de la recta que aparece en el siguiente plano. Y 7

- Se sustituyen las coordenadas de los puntos P y Q en la expresión de “m” y se determina la pendiente de la recta.

Q(1,7)

m=

X’

-2

P(-2,-2)

0

-2 Y’

1

X

y 2 − y 1 7 − ( −2) 9 = = =3 1 − ( −2) 3 x 2 − x 1

- Se sustituyen las coordenadas de uno de los puntos y el valor de la pendiente en la expresión punto −pendiente para obtener la forma de la ecuación (cualquier punto que se sustituya es valido para obtener la ecuación, en este caso se sustituye “ Q”. y − y 1 = m ( x − x 1) → y − 7 = 3 ( x − 1)

* Obtener la ecuación en su forma punto−pendiente de la recta que pasa por los puntos M (−3,2) y N (3,−1).


28

MATEMÁTICAS IV

- Se determina la pendiente de la recta con las coordenadas de M y N m=

y 2 − y 1 − 1− 2 −3 1 = = =− x 2 − x 1 3 − ( −3) 6 2

- Se sustituyen las coordenadas de uno de los puntos (en este caso se sustituye “ M ”). y el valor de la pendiente “m” en la expresión punto−pendiente para obtener la forma de la ecuación. y − y 1 = m( x − x 1 )

y − 2 = −

1 [ x − ( −3)] 2

1 ∴ y − 2 = − ( x + 3) 2

DIFERENTES FORMAS ALGEBRAICAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. La ecuación de la recta se puede representar en su forma simplificada, simétrica y general, dichas formas se obtienen a partir de la ecuación punto −pendiente y de las características de cada una de ellas.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMPLIFICADA. Es la función lineal representada por el modelo f ( x ) = mx + b ó y = mx + b, donde “m” es la pendiente de la recta y “ b” es la ordenada al origen en el punto P (0,b).

EJEMPLO * Hallar la ecuación de la recta en su forma simplificada, cuya pendiente es m = 2 y su ordenada al origen b = −5. - Se sustituye el valor de “ m” y “b” en la ecuación de la recta en su forma simplificada. y = mx + b

y = 2x + (−5) ∴ y = 2 x − 5

* Obtener la ecuación de la recta en su forma simplificada, cuya pendiente es m = −3 y pasa por el punto P(2,3). - Con la pendiente y el punto por donde pasa la recta, se obtiene su ecuación en la forma punto−pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

y − 3 = −3 ( x − 2)

- La forma punto pendiente se transforma a su forma simplificada realizando el producto del segundo miembro, trasponiendo el término constante y simplificando la expresión. y − 3 = −3 ( x − 2)

y − 3 = −3 x + 6

y = −3x + 6 + 3 ∴ y = −3x + 9


29

MATEMÁTICAS IV

* Establecer la ecuación en su forma simplificada de la recta que aparece en el siguiente plano. Y 4

- Se determina la pendiente de la recta con las coordenadas de los puntos P y Q.

Q(0,4)

m= 2 P(-4,2)

X’

0

-4

X

y 2 − y 1 7−2 2 1 = = = x 2 − x 1 0 − ( −4) 4 2

- Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simplificada, sustituyendo el valor de “ m” y la ordenada al origen (ordenada del punto “Q”). y = mx + b → y =

Y’

1 x + 4 2

* Resolver el siguiente problema por medio de la función lineal. Una fábrica de dulces cristalizados se sujeta en la venta de su producto a la siguiente norma: “ precio por pieza al público, igual al triple del costo de la materia prima utilizada, más $2.00 de impuestos”. De acuerdo con esto, ¿Cuál es la ecuación simplificada que expresa el costo de una pieza de dulce cristalizado? Solución.

- Del enunciado se deduce que la variable independiente “ x ” es el costo de la materia prima, la cual se debe multiplicar por tres (triple) y a este costo se le debe sumar $2.00 (impuesto); todo esto es el costo real de la pieza de dulce que se representa con la variable dependiente “ y ”. Traduciendo lo anterior al lenguaje algebraico, se obtiene la ecuación simplificada: y = 3 x + 2

Gráfica de la Función Lineal a Partir de su Pendiente y su Ordenada al Origen. Con la pendiente “m” y la ordenada al origen “ b” se obtienen el 1ο y 3ο punto que al unirse, forman la gráfica de la función lineal. El 1ο punto es la ordenada al origen P 1(0,b) y por el concepto de pendiente m = y 2 − y 1 = ∆ y se obtiene el 2ο punto P 2(∆ x ,b) y el 3ο punto P 3(∆ x ,b+∆y ). x 2 − x 1

∆ x

EJEMPLO * Obtener las coordenadas de 1ο, 2ο y 3ο punto, y la gráfica de la función lineal f ( x ) = 3 x + 2. - Se obtienen las coordenadas de los puntos, a partir de la pendiente de la función lineal y su ordenada al origen.


30

MATEMÁTICAS IV

Función f ( x ) = mx + b

Razón de la Pendiente

f ( x ) = 3 x + 2

1ο Punto P 1(0,b)

2ο Punto P 2(∆ x ,b)

3ο Punto P 3(∆ x ,b+∆y )

b=2

P 1(0,2)

P 2(1,2)

P 3(1,5)

∆ y 3 = ∆ x 1

=

m

Ordenada al Origen

- Se ubican en el plano los 3 puntos y se une el 1 ο con el 3 ο para obtener la gráfica de la función. Y

f(x)

5

P3

2

P2

P1

X’

X 0

1 Y’

* Obtener las coordenadas de 1ο, 2ο y 3ο punto, y la gráfica de la función lineal f ( x ) = − 1 x − 1 . 2

- Se obtienen las coordenadas de los puntos, a partir de la pendiente de la función lineal y su ordenada al origen.

Función f ( x ) = mx + b f ( x )

Razón de la Pendiente

1 = − x − 1 2

m

=

∆ y − 1 = ∆ x 2

Ordenada al Origen

1ο Punto P 1(0,b)

2ο Punto P 2(∆ x ,b)

3ο Punto P 3(∆ x ,b+∆y )

b = −1

P 1(0,−1)

P 2(2,−1)

P 3(2,−2)

- Se ubican en el plano los 3 puntos y se une el 1 ο con el 3 ο para obtener la gráfica de la función. Y

X’

0

X

2

f(x)

-1

P1

-2

P2

P3 Y’


31

MATEMÁTICAS IV

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA. Es la expresión que permite conocer las intersecciones de la recta con los ejes coordenados; su modelo es

x y + = 1 , donde “a” es la abscisa al origen P (a,0) y “b” la ordenada al origen P (b,0). a b

EJEMPLO * Hallar la ecuación en su forma simétrica de la recta cuya abscisa al origen es a = 4 y su ordenada al origen es b = 7. - Se sustituyen los valores de “ a” y “b” en el modelo correspondiente para obtener la ecuación simétrica de la recta. x

x y + =1 a b

4

+

y

7

=1

* Obtener la ecuación en su forma simétrica de la recta representada en el siguiente plano. Y

X’

0

De la gráfica se observa que la recta intersecta con los ejes coordenados en los puntos P (5,0) y P (0,−3). 5

De las intersecciones se obtiene que la abscisa y ordenada al origen son a = 5 y b = −3.

X

Se sustituyen los valores de a y b en el modelo correspondiente para obtener la ecuación simétrica de la recta.

-3

x y x y x  y  + =1 → + − =1  =1 → a b 5  − 3  5 3

Y’

* Representar la ecuación en su forma simétrica de la recta que pasa por el punto P (−2,−4) y su ángulo de inclinación es de 45°. - Con el ángulo de inclinación se obtiene la pendiente de la recta: tan θ = m → tan 45° = m ∴ m = 1 - Con la pendiente y el punto de la recta, se obtiene la ecuación en su forma punto−pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

y − (−4) = 1 [ x − (−2)]

∴ y + 4 = x + 2

- Se transforma la ecuación punto −pendiente a su forma simétrica mediante la trasposición de términos y la división de la igualdad entre el término constante.

− x + y = 2 − 4

− x + y = −2

− x y −2 + = −2 −2 −2

∴

x

2

−

y

2

=1


32

MATEMÁTICAS IV

* Representar la ecuación en su forma simétrica de la recta que pasa por los puntos P 1(1,−5) y P 2(−2.1). - Con los dos puntos de la recta se obtiene su pendiente: m =

y 2 − y 1 1 − (−5) → m= ∴ m = −2 − 2 −1 x 2 − x 1

- Con la pendiente y el punto P 1 se obtiene la ecuación de la recta en su forma punto −pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

y − (−5) = −2 ( x − 1)

∴ y + 5 = −2 ( x − 1)

- Se transforma la ecuación punto −pendiente a su forma simétrica mediante la realización del producto, la trasposición de términos y la di visión de la igualdad entre el término constante. y + 5 = −2 x + 2

−3 2 x y + = −3 −3 −3

2 x + y = 2 − 5

∴ −

x

3 / 2

−

y

3

=1

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA GENERAL. Es la expresión Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes y ya sea A o B diferentes de cero.

EJEMPLO * Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto P (2,2) y su pendiente es m = 3. - Con la pendiente y el punto de la recta se obtiene la ecuación en su forma punto−pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

∴ y − 2 = 3 ( x − 2)

- Se transforma la ecuación punto −pendiente a la forma general, mediante la realización del producto, la trasposición de términos y multiplicando la igualdad por (−1). y − 2 = 3x − 6

−3x + y + 6 − 2 = 0

[−3x + y + 4 = 0] ( −1) ∴ 3 x − y − 4 = 0

* Obtener la ecuación general de la recta que está representada en el siguiente plano rectangular . Y 3

P2(5,3)

Se obtiene la pendiente de la recta con las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 : m=

X’

-1

P1(-1,-2)

0

-2 Y’

X 5

y 2 − y 1 x 2 − x 1

→ m=

3 − (−2) 5 ∴ m= . 6 5 − (−1)

Con la pendiente y el punto P 2 se obtiene la ecuación de la recta en su forma punto −pendiente. y − y 1 = m ( x − x 1) ∴

y − 3 =

5 ( x − 5) 6


33

MATEMÁTICAS IV

- Se transforma la ecuación punto −pendiente a su forma general, suprimiendo paréntesis, multiplicando la igualdad por 6, trasponiendo términos y multiplicando por –1. 5 25    y − 3 = x −  (6) 6 6  

6y − 18 = 5 x − 25

(−5 x + 6y − 18 + 25) ( −1) ∴ 5 x − 6y − 7 = 0

* Los vértices de un triángulo son los puntos A(−1,1), B(3,−2) y C (3,4). De acuerdo con esto, obtener la ecuación general de la mediana del vértice “ B”. - Se representa el lugar geométrico del triángulo en el plano rectangular. Y

Punto Medio del lado AC

4

C

MEDIANA (Segmento de recta que va del vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto)

A

X’

0 -1

3

X

-2 B

Y’

- Se obtienen las coordenadas del punto medio del lado AC , ya que es el punto por donde pasa la mediana del vértice “B”. P m( x m,y m)

x m =

x 1 + x 2 − 1+ 3 = =1

2

;

2

y m =

y 1 + y 2 1+ 4 5 = =

2

2

2

5  ∴ P m AC  1,   2 

- Con el vértice “B” y el punto medio del lado AC , se obtiene la pendiente de la mediana.

5 − (−2) y 2 − y 1 9 2 → m= ∴ m= . m= x 2 − x 1 1− 3 4 - Con el vértice “B” y la pendiente, se obtiene la ecuación de la mediana en su forma puntopendiente. y − y 1 = m ( x − x 1)

y − ( −2) = −

9 9 ( x − 3) ∴ y + 2 = − ( x − 3) 4 4

- La ecuación de la mediana en su forma punto-pendiente se transforma a la forma general suprimiendo paréntesis, multiplicando la igualdad por 4 y trasponiendo términos. 9 27    y + 2 = − x +  (4) 4 4  

4y + 8 = −9 x + 27

9 x + 4y + 8 − 27 = 0

∴ 9 x + 4y − 19 = 0


34

MATEMÁTICAS IV

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA DE UNA FORMA A OTRA. La ecuación de la recta se puede representar en su forma simplificada, simétrica y general; además se puede transformar de una forma a otra por medio de procesos algebraicos.

SIMPLIFICADA

SIMÉTRICA GENERAL

De simplificada a simétrica.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema por medio de la ecuación de la recta en sus distintas formas. El consumo de agua en un hotel es aproximadamente de 4300 lts por día. Si la cisterna tiene una capacidad de 30100 lts, entonces ¿Cuál es la ecuación simétrica que relaciona el tiempo transcurrido con la cantidad de agua consumida en dicho hotel? - Del enunciado se establece que la variable independiente “x ” es el tiempo transcurrido en días, la cual se debe multiplicar por los litros consumidos diariamente y lo obtenido se le debe restar a la capacidad de la cisterna; todo esto corresponde a la cantidad de agua que queda en dicha cisterna que se representa con la variable dependiente “y ”. - Traduciendo lo anterior al lenguaje algebraico, se obtiene la ecuación simplificada del problema. y = 30100 − 4300x ∴ y = −4300x + 30100 - Se transforma la ecuación simplificada a la forma simétrica trasponiendo los términos de las variables al 1ο miembro y dividiendo la igualdad entre el término constante. 4300x + y = 30100

4300 x y 30100 + = 30100 30100 30100

∴ x + 7

y

30100

=1

De simétrica a general.

EJEMPLO * Resolver el siguiente problema por medio de la ecuación de la recta en sus distintas formas. Una recta pasa por el punto P (2,−6) y su abscisa al origen es el recíproco de su ordenada al origen. De acuerdo con esto, establecer las dos ecuaciones generales que cumplen con las condiciones del problema. - La ordenada al origen de la recta es el punto P (0,b) y la abscisa al origen es el recíproco de la ordenada “b”, es decir: P (1/b,0); con éstas condiciones se establece la ecuación simétrica de la recta y se sustituye el punto P (2,−6) en dicha ecuación para obtener los valores de “ b”. x a

+

y b

=1 →

2 −6 + =1 → 1/ b b

2b −

6 b

= 1 → 2b 2 − 6 = b

b1 = 2 b2 = –3/2


35

MATEMÁTICAS IV

- Con los valores de “b” se establecen las ecuaciones simétricas de las rectas y se transforman a la forma general multiplicando las igualdades por su común denominador y trasponiendo términos. −

x

2/3 x

1/ 2

− +

y

3/2 y

2

=1

=1

 3 x 2 y   − 2 − 3 = 1 ( 6 )    2 x y   1 + 2 = 1 ( 2 )  

−9 x − 4 y = 6 ∴ 9 x + 4y + 6 = 0 4 x + y = 2 ∴ 4 x + y − 2 = 0

Las dos ecuaciones generales cumplen con las condiciones del problema, ya que ambas rectas pasan por el punto P (2,−6) y sus abscisas al origen son recíprocas a sus ordenadas al origen.

De general a simplificada.

EJEMPLO * Obtener la ordenada al origen y la pendiente de la recta que tiene por ecuación general la expresión, x + 3y − 6 = 0. - La ecuación general se transforma a su forma simplificada despejando la variable “y ”. x + 3y − 6 = 0

1 3y = − x + 6 ∴ y = − x + 2 3

De la ecuación simplificada, se establece que la pendiente y la ordenada al origen de la recta, son: m = −

1 y b = 2 ó P (0,2). 3

De simplificada a general.

EJEMPLO 2 * Transformar la ecuación de la recta, y = − x + 3 a su forma general. 5 - Se transforma la ecuación simplificada a general, multiplicando la igualdad por “5” y trasponiendo los términos al 1ο miembro. 2    y = − 5 x + 3 (5)  

5y = −2x + 15 ∴ 2x + 5y − 15 = 0


36

MATEMÁTICAS IV

De general a simétrica.

EJEMPLO * Transformar la ecuación de la recta, 5x − 3y + 9 = 0 a su forma simétrica y establecer su abscisa y ordenada al origen. - Se transforma la ecuación general a simétrica, trasponiendo el término constante al 2ο miembro y dividiendo la igualdad entre dicho término. 5 x 3 y −9 − = −9 −9 −9

5x −3y = −9

∴ −

x

9 / 5

+

y

3

=1

De la ecuación simétrica se establece que la abscisa y la ordenada al origen, son: a = −

9 y b = 3. 5

De simétrica a simplificada.

EJEMPLO * Hallar la ecuación simétrica y simplificada de la recta cuya abscisa y ordenada al origen, son a = 2 y b = 5. - Con la abscisa y ordenada al origen se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. x y + =1 a b

x

2

+

y

5

=1

- Se transforma la ecuación simétrica a su forma simplificada, multiplicando la igualdad por su común denominador y despejando la variable “y ”.

 x y   2 + 5 = 1 (10)  

5x + 2y = 10

5 2y = −5x + 10 ∴ y = − x + 5 2

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Dos rectas son paralelas ( //) si sus pendientes son iguales; m1 = m2. Dos rectas son perpendiculares (⊥) si su pendientes son recíprocas con signo contrario y el producto de ambas es −1; (m1)(−1/m1) = −1.


37

MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO * Analizar las siguientes ecuaciones e indicar si las rectas son paralelas o perpendiculares entre sí. I. y = 7 x + 2

;

1 II. y = x + 2 7

;

1 III. y = − x − 1 7

;

1 IV. y = x − 1 7

Las ecuaciones II y IV, representan dos rectas paralelas, ya que sus pendientes son iguales. Las ecuaciones I y III, representan dos rectas perpendiculares, ya que sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

* Obtener la ecuación simplificada de la recta que pasa por el punto P (−1,−1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,0) y B(0,1). - Se obtiene la pendiente de la recta que pasa por lo punto A y B. m =

y 2 − y 1 1 − 0 = ∴ m = −1 0 −1 x 2 − x 1

Como las rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente, es decir, la recta que pasa por el punto “P ” y su pendiente es m = −1. - Se sustituye “P ” y “m” en la ecuación punto-pendiente: y − y 1 = m ( x − x 1) → y − (−1) = −1 [x − (−1)] ∴ y + 1 = −1 ( x + 1)

- La ecuación punto-pendiente se transforma a la forma simplificada realizando el producto y despejando a la variable “y ”. y + 1 = − x − 1

∴ y = − x − 2

* Los vértices de un rombo son los puntos A(−3,−5), B(−2,3), C (5,7) y D(4,−1). De acuerdo con esto, obtener las pendientes de sus d iagonales. - Se representa el lugar geométrico del rombo en el plano rectangular. Y Diagonal mayor AC

7

B

X’

-4

-2

C

Se obtiene la pendiente de la diagonal AC , aplicando la fórmula de “m”. Diagonal menor BD

3

0 D

5

m=

y 2 − y 1 7 − ( −5) = x 2 − x 1 5 − (−3)

∴ m AC =

3 2

Como las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí, entonces las pendientes de éstas son recíprocas y de signo contrario, es decir, la pendiente de 2 la diagonal BD es: m BD = − . 3

X

-6 A Y’


38

MATEMÁTICAS IV

ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA POLAR. La ecuación de la recta en su forma rectangular se transforma a su forma polar aplicando las expresiones: x = r cos θ y y = r sen θ.

EJEMPLO * Transformar las siguientes ecuaciones de la recta a su forma polar. A) y = 2 x B) x + 2y = 0 C) y − 3 = 3 ( x − 1) - Se sustituyen las variables “ x ” y “y ” por las relaciones correspondientes, se iguala la ecuación polar a cero y se factoriza el radio vector “ r ”.

Inciso A) B) C)

Ecuación Sustitución de las variables Ecuación rectangular polar x = r cos θ , y = r sen θ y = 2 x r (sen θ − 2 cos θ) = 0 r sen θ = 2 r cos θ = 0 ∴ r sen θ − 2 r cos θ = 0 x + 2y = 0 r (cos θ + 2 sen θ) = 0 r cos θ + 2 r sen θ = 0 y − 3 = 3( x − 1) r sen θ − 3 = 3 (r cos θ − 1) ∴ r sen θ − 3 r cos θ = 0 r (sen θ − 3 cos θ) = 0

* Transformar las siguientes ecuaciones de la recta a su forma polar y representar al radio vector “r ” en función del ángulo vectorial “ θ”. A) y = 2 x + 1 B) 2 x + 3y − 6 = 0 C)

x

2

−

y

4

=1

- Se sustituyen las variables “ x ” y “y ” por las relaciones correspondientes y se representa la ecuación polar factorizando y despejando al radio vector “ r ”.

Inciso

Ecuación rectangular

A)

y = 2 x + 1

B) C)

Sustitución de las variables x = r cos θ , y = r sen θ r senθ = 2r cos θ + 1 ∴ r senθ − 2r cos θ = 1

2 x + 3 y − 6 = 0 2r cosθ + 3r senθ − 6 = 0 ∴ 2r cosθ + 3r senθ = 6 x

2

−

y

4

=1

r cosθ

2

−

r senθ

4

= 1 ∴ 2r cos θ − r senθ = 4

Ecuación Polar 1 r = senθ − 2 cosθ 6 r = 2 cos θ + 3senθ r =

4 2 cosθ − senθ


39

MATEMÁTICAS IV

Representación Gráfica de la Ecuación Polar de la Recta. Si el término constante de la ecuación polar es cero, entonces la recta polar pasa en el polo. Si el término constante es diferente de cero, entonces la recta polar pasa fuera del polo.

EJEMPLO * Representar la gráfica de la ecuación polar, r (sen θ + cos θ) = 0. - Como el término constante de la igualdad es cero, entonces la recta pasa por el polo; con esto se establece las siguientes condiciones: a) Si r = 0, las coordenadas son P (r ,θ) = P (0,θ). b) Si r ≠ 0, los valores que satisfacen a la ecuación polar son aquellos que satisfacen a tan θ = −1, 3 los cuales son de la forma θ = π + nπ con n ∈ Z . 4 - Con las condiciones anteriores se establecen las coordenadas de la ecuación r (sen θ + cos θ) = 0.

Condiciones Radio vector “r ” Ángulo de inclinación “θ” Puntos polares P (r ,θ) a) 0 θ P 1(0,θ) 3 π = 135 ° 4 7 π = 315 ° 4

2

b)

4

P 2(2,135°) P 3(3,315°)

- Se representan los puntos en el plano polar y se unen para obtener la gráfica de la ecuación correspondiente. 90° 120°

60°

135°

45°

150°

30° P2

180°

0° P3

210° 225°

330° 315°

240°

270°

300°

* Graficar la ecuación polar r =

12 . 3 cos θ + 4senθ

- Se construye una tabulación, asignándole valores al ángulo vectorial de la ecuación para obtener los valores del radio vector y así formar puntos de coordenadas polares.


40

MATEMÁTICAS IV

12 3 cos θ + 4 sen θ 12 r = 3 cos 0° + 4sen0° 12 r = 3 cos 45° + 4sen 45° 12 r = 3 cos 90° + 4sen90° r=

θ 0° 1 π = 45° 4 1 π = 90° 2

r

P(r,θ)

4

P1(4,0°)

2.4

P2(2.4,45°)

3

P3(3,90°)

- Se representan los puntos en el plano polar y se unen para obtener la gráfica de la ecuación correspondiente. 90° 120°

60°

135°

45°

150°

30° P2

180°

0° P3

210° 225°

330° 315°

240°

270°

300°

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL A PARTIR DE LAS DESIGUALDADES. Una desigualdad es una proposición que relaciona dos o tres expresiones algebraicas separadas por los signos >, <, ≥ ó ≤, cuya solución se cumple para un conjunto de números. Cada expresión algebraica de la desigualdad es uno de los miembros de ésta.

DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Son proposiciones con un sólo tipo de variable que tiene como máximo exponente la unidad, cuyo conjunto solución es un conjunto de números reales comprendido en un intervalo de valores que puede ser abierto, semiabierto o cerrado que se obtiene aplicando las propiedades de orden de los números reales.


41

MATEMÁTICAS IV

Desigualdades de Primer Grado con una Incógnita y Un Signo de Desigualdad. Son proposiciones conformadas por dos expresiones algebraicas separadas por un signo >, <, ≥ ó ≤, cuyo conjunto solución satisface a dicha desigualdad.

EJEMPLO * Resolver la desigualdad 6 x − 1 > 2 x + 7. - El conjunto solución de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los números reales. 6 x − 2 x > 7 +1

4 x > 8

x >

8 ∴ x > 2 ó (2,∞). 4

- El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir del valor especificado de la incógnita. -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Como el signo del conjunto solución es mayor que (>), entonces el intervalo es abierto (óvalo blanco), ya que dicho conjunto excluye al valor de 2 y su dirección es hacia la derecha, puesto que en esa dirección se encuentran los valores mayores que 2.

* Hallar el conjunto solución y la gráfica de la desigualdad x − 11 > 2 (3 x + 2). - El conjunto solución de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los números reales. x − 11 > 6 x + 4

x − 6 x > 11 + 4

(−5 x > 15) (−1)

5 x < −15

x <

− 15 ∴ x < −3 5

Cuando el término de la variable es negativo, la desigualdad se multiplica por ( −1) y se cambia el sentido de dicha desigualdad. - El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir del valor especificado de la incógnita. -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Como el signo del conjunto solución es menor que (<), entonces el intervalo es abierto (óvalo blanco), ya que dicho conjunto excluye al valor de −3 y su dirección es hacia la izquierda, puesto que en esa dirección se encuentran los valores menores que −3.

* Resolver el siguiente problema por medio de la desigualdad de primer grado con una incógnita y su representación gráfica. Si un vendedor de enciclopedias recibe $250.00 semanales más 20% de comisión de sus ventas totales; entonces; ¿Qué cantidad debe obtener en sus ventas para percibir un ingreso de por lo menos $1500.00 semanales?


42

MATEMÁTICAS IV

Solución.

- Del enunciado se establece que la incógnita “ x ” es las ventas totales que debe obtener el vendedor y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la desigualdad, 250 + 0.2 x ≥ 1500 - El conjunto solución de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los números reales. 0.2 x ≥ 1500 − 250

x ≥

1250 0 .2

∴ x ≥ 6250 ó [6250,∞).

- Del conjunto solución se establece la solución del problema, la cual indica que el vendedor tiene que obtener como mínimo $6250.00 en ventas para que su sueldo sea por lo menos de $1500.00. - El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir del valor especificado de la incógnita. 6250 0

1500 3000

4500

6000

7500

9000

Como el signo del conjunto solución es mayor o igual que (≥), entonces el intervalo es cerrado (óvalo sombreado), ya que dicho conjunto incluye al valor de 6250 y su dirección es hacia la derecha, puesto que en esa dirección se encuentran los valores mayores o iguales que 6250.

* Resolver el siguiente problema por medio de la desigualdad de primer grado con una incógnita y su representación gráfica. Una tabla que mide 120 cm de largo se corta en tres partes de modo que una parte se igual al triple del largo de la segunda parte, el carpintero quiere por lo menos 12 cm de tabla para la tercera parte. Con base en esto, ¿Cuánto puede medir el largo de la segunda parte de la tabla? Solución.

- Del enunciado se establece que la incógnita “ x ” es la segunda parte de la tabla y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la desigualdad, 120 − ( x + 3 x ) ≥ 12. - El conjunto solución de la desigualdad se obtiene aplicando las propiedades de orden de los números reales. 108 ∴ x ≤ 27 120 − 4 x ≥ 12 4 x ≥ 12 − 120 (−4 x ≥ −108) (−1) 4 x ≤ 108 x ≤ 4 - Del conjunto solución se establece la solución del problema, la cual indica que la segunda parte de la tabla puede medir 27 cm o menos. - El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir del valor especificado de la incógnita. 27

0

5

10

15

20

25

30

35

Como el signo del conjunto solución es menor o igual que (≤), entonces el intervalo es cerrado (óvalo sombreado), ya que dicho conjunto incluye al valor de 27 y su dirección es hacia la izquierda, puesto que en esa dirección se encuentran los valores menores o iguales que 27.


43

MATEMÁTICAS IV

Desigualdades de Primer Grado con una Incógnita y Dos Signos de Desigualdad. Son proposiciones conformadas por tres expresiones algebraicas separadas por dos signos de desigualdad, cuyo conjunto solución satisface a la desigualdad.

EJEMPLO * Resolver la desigualdad −4 ≤ −3 x − 1 < 5. - Se obtiene el conjunto solución de la desigualdad, separándola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los números reales.

−4 + 1 ≤ −3 x − 1 + 1 < 5 + 1 [−3 ≤ −3 x < 6] ( −1)

[3 ≥ 3 x > −6] ÷ (3) 1 ≥ x > −2

∴ −2 < x ≤ 1 ó (−2,1].

- El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir de los valores especificados de la incógnita, intervalo abierto (óvalo blanco) en −2 y cerrado (óvalo sombreado) en 1. -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Del conjunto solución y de la gráfica se establece que el intervalo es semiabierto: abierto por la izquierda y cerrado por la derecha (se excluye a −2 y se incluye a 1 con la dirección encontrada).

* Resolver el siguiente problema por medio de la desigualdad de primer grado con una incógnita y su representación gráfica. Un jugador de boliche contabilizó 148, 132, 138, 153 y 146 puntos en cinco juegos. De acuerdo con esto; ¿Cuántos puntos deberá obtener en el próximo juego para concluir con un promedio entre 145 y 150 puntos? Solución.

- Del enunciado se establece que la incógnita “x” es la puntuación que obtendrá en el sexto juego y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la siguiente desigualdad.

145 ≤

148 + 132 + 138 + 153 + 146 + x 717 + x ≤ 150 que simplificada queda como: 145 ≤ ≤ 150 6 6

- Se obtiene el conjunto solución de la desigualdad, separándola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los números reales. 717 + x   ≤ ≤ 150 (6) 145  6   870 ≤ 717 + x ≤ 900 870 − 717 ≤ 717 + x − 717 ≤ 900 − 717 153 ≤ x ≤ 183 ó [153,183].


44

MATEMÁTICAS IV

- El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir de los valores especificados de la incógnita, intervalo cerrado (óvalo sombreado) en 153 y 183.

133

143

153

163

173

183

193

203

Del conjunto solución y de la gráfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a 153 como a 183 con la dirección encontrada).

Desigualdades de Primer Grado con una Incógnita y Valor Absoluto. Son proposiciones conformadas por dos expresiones algebraicas separadas por un signo >, <, ≥ ó ≤, donde una de esas expresiones corresponde a un valor absoluto; para obtener su conjunto solución se debe cumplir la propiedad: si x + a < b , entonces −b < ( x + a) < b para a, b, x ∈ R .

EJEMPLO * Obtener el conjunto solución 2 x + 3 < 4 . - Se aplica la propiedad del valor absoluto en la desigualdad: −4 < 2 x + + 3 < 4 - Se obtiene el conjunto solución de la desigualdad, separándola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los números reales.

−4 − 3 < 2 x + 3 − 3 < 4 − 3 [−7 < 2 x < 1] ÷ (2) 7 1 7 1  − < x < ó  − ,  . 2 2  2 2 

- El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir de los valores especificados de la incógnita, intervalo abierto (óvalo blanco) en − 7 y en 1 . 2

-7/2 -5

-4

-3

2

1/2 -2

-1

0

1

2

Del conjunto solución y de la gráfica se establece que el intervalo es abierto por ambos extremos (se excluye tanto a − 7 como a 1 con la dirección encontrada). 2

2

* Hallar el conjunto solución y la representación gráfica de la desigualdad 2 x + 1 ≥ 5 . - Se aplica la propiedad del valor absoluto en la desigualdad: −5 ≥ 2 x + + 1 ≥ 5


45

MATEMÁTICAS IV

- Se obtiene el conjunto solución de la desigualdad, separándola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los números reales.

−5 − 1 ≥ 2 x + 1 − 1 ≥ 5 − 1 [−6 ≥ 2 x ≥ 4] ÷ (2) −3 ≥ x ≥ 2 ó (−∞, −∞,−3]U[2,∞ 3]U[2,∞). - El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir de los valores especificados de la incógnita, intervalo cerrado (óvalo sombreado) en −3 y 2. -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Del conjunto solución y de la gráfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a −3 como a 2 y la dirección es hacia los extremos de la recta).

* Determinar el conjunto solución y la representación representación gráfica de la la desigualdad 1 − 2 x ≤ 7 . - Se aplica la propiedad del valor absoluto en la desigualdad: −7 ≤ 1 − 2 x ≤ 7 - Se obtiene el conjunto solución de la desigualdad, separándola en dos proposiciones y aplicando las propiedades de orden de los números reales.

−7 − 1 ≤ 1 − 2 x − 1 ≤ 7 − 1 [−8 ≤ −2 x ≤ 6] (−1)

[8 ≥ 2 x ≥ −6] ÷ (2) 4 ≥ x ≥ −3

∴ −3 ≤ x ≤ 4 ó [−3,4].

- El conjunto solución de la desigualdad se grafica en la recta numérica a partir de los valores especificados de la incógnita, intervalo cerrado (óvalo sombreado) en −3 y 4. -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Del conjunto solución y de la gráfica se establece que el intervalo es cerrado por ambos extremos (se incluye tanto a −3 como a 2 con la dirección encontrada).

GRÁFICA DE LA DESIGUALDAD LINEAL DE UNA Y DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO. La gráfica de una desigualdad lineal es una recta continua (si es parte de la solución, signo ≥ o ≤) o discontinua (si no es parte de la solución, signo > o <) y un semiplano sombreado definido por los x ,y ) que satisfacen a la desigualdad. puntos P ( x


46

MATEMÁTICAS IV

Gráfica de la Desigualdad lineal con Una Variable en el Plano Cartesiano. Si la desigualdad contiene a la variable “ x ”, su gráfica es una recta vertical que pasa en el valor de x ”, dicha variable y si contiene a “ y ”, ”, su gráfica es una recta horizontal que pasa en el valor de la variable.

EJEMPLO * Construir la representación gráfica de las siguientes desigualdades. A) y ≤ 3 B) x < < 2 C) x ≥ 0 D) f ( x x ) > −1 - Se construye la gráfica de cada desigualdad con sus correspondientes características.

A) y ≤ 3

B) x < 2

Recta horizontal y continua.

El semiplano sombreado es hacia hacia abajo, ya que en esa dirección se encuentran los valores menores o iguales que 3. C) x ≥ 3 Recta vertical y continua.

Recta vertical y discontinua.

El semiplano sombreado es hacia la izquierda, ya que en esa dirección se encuentran los valores menores que 2. x ) > −1 Recta horizontal y discontinua. D) f ( x

El semiplano sombreado es hacia la derecha, ya El semiplano sombreado es hacia arriba, ya que en que en esa dirección es encuentran los valores esa dirección se encuentran los valores mayores mayores o iguales que 0. que −1.


47

MATEMÁTICAS IV

Gráfica de la Desigualdad Lineal con Dos variables en el Plano Cartesiano. La gráfica de una desigualdad lineal con dos variables es una recta continua o discontinua que pasa por el origen del plano o fuera de él, cuya región sombreada es hacia los puntos P ( x ,y ) que satisfacen a dicha desigualdad.

EJEMPLO * Graficar la desigualdad 2 x + y ≤ 0. - La desigualdad se representa como una igualdad y se transforma en una función lineal. 2 x + y = 0 ∴ y = −2 x - Se grafica la función lineal construyendo una tabulación de valores con la expresión y localizando los puntos P ( x ,y ) en el plano para trazar la recta correspondiente. Y

y = −2 x y = −2(−2) y = −2(0) y = −2(2)

x

−2 0 2

y

P ( x ,y )

4 0 −4

P1(−2,4) P2(0,0) P3(2,−4)

4

X’

-2

0

2

X

-4 Y’

- Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a la recta y se sustituyen las coordenadas en la desigualdad; si la proposición es verdadera, el sombreado va hacia la dirección del punto y si es falsa, el sombrado va en dirección opuesta a dicho punto. P(−1,−3)

2(−1) + (−3) ≤ 0 ∴ −5 ≤ 0 (verdadera)

Como la proposición es verdadera, entonces el sombreado va en la dirección del punto especificado, además la recta para la desigualdad es continua, ya que el signo es menor o igual que (≤).


48

MATEMÁTICAS IV

* Graficar la desigualdad y − 2 x > 3. - La desigualdad se representa como una igualdad y se transforma en una función lineal. y − 2 x = 3 ∴ y = 2 x + 3

- Se grafica la función lineal construyendo una tabulación de valores con la expresión y localizando los puntos P ( x ,y ) en el plano para trazar la recta correspondiente. Y

x

−2 0 1

y = 2 x + 3 y = 2(−2) + 3 y = 2(0) + 3 y = 2(1) + 3

y

−1 3 5

P ( x ,y ) P1(−2,−1) P 2(0,3) P 3(1,5)

5 3

X’ -2

X

0

1

-1 Y’

- Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a la recta y se sustituyen las coordenadas en la desigualdad; si la proposición es verdadera, el sombreado va hacia la dirección del punto y si es falsa, el sombrado va en dirección opuesta a dicho punto. P(0,0)

0 − 2(0) > 3 ∴ 0 > 3 (falsa)

Como la proposición es falsa, entonces el sombreado va en la dirección contraria del punto especificado, además la recta para la desigualdad es discontinua, ya que el signo es mayor que (>) .


49

MATEMÁTICAS IV

SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES. Un sistema de desigualdades lineales gráficamente es dos o más rectas que se satisfacen simultáneamente en la intersección de las regiones correspondientes a las desigualdades de dicho sistema.

EJEMPLO  y ≤ x * Resolver el sistema de desigualdades lineales   x > 1 - Se grafica cada desigualdad del sistema en el mismo plano: La desigualdad y ≤ x es una recta continua con una inclinación de 45° con respecto al eje “ X ” positivo y el sombreado es hacia arriba de dicha. La desigualdad x > 1 es una recta vertical discontinua que pasa en el valor de la variable “ x ” y el sombreado es hacia la derecha.

De la gráfica se establece que la solución del sistema es el área que satisface todas las desigualdades a partir del punto de intersección de ambas rectas, el cual es P (1,1).

 x ≥ 3 * Resolver el sistema de desigualdades lineales   y < 2 - Se grafica cada desigualdad del sistema en el mismo plano: La desigualdad x ≥ 3 es una recta vertical continua que pasa en el valor de la variable “ x ” y el sombreado es hacia la derecha. La desigualdad y < 2 es una recta horizontal discontinua que pasa en el valor de la variable “ y ” y el sombreado es hacia abajo.


50

MATEMÁTICAS IV

De la gráfica se establece que la solución del sistema es el área que satisface todas las desigualdades a partir del punto de intersección de ambas recta, es cual es P (3,2).

 y < x + 1 * Resolver el sistema de desigualdades lineales  2 x + y < 4 - El sistema de desigualdades lineales se representa como un sistema de igualdades lineales.

 y = x + 1  x − y = −1 ∴   2 x + y = 4 2 x + y = 4 - Se resuelve el sistema de igualdades para conocer el punto donde se intersectan ambas rectas (en este ejemplo se aplica el método por suma o resta). + x − y = −1 2 x + y = 4 3 x = 3 ∴ x = 1

x − y = −1

1 − y = −1 ∴ y = 2 La solución del sistema es P (1,2).

- Las ecuaciones del sistema de igualdades se transforman a su forma simétrica para conocer las intersecciones de las rectas con los ejes coordenados. x − y = −1 ∴ −

2 x + y = 4 ∴

x y

1

x

2

+

+

1

y

4

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en los puntos P(−1,0) y P(0,1).

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en los puntos P(2,0) y P(0,4).

- Con los puntos de las igualdades se grafica cada desigualdad en el plano en forma discontinua, ya que el signo de cada desigualdad es menor que (<).


51

MATEMÁTICAS IV

- Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a las rectas y se sustituyen las coordenadas en cada desigualdad del sistema. Si cada proposición es verdadera, entonces el sombreado va hacia la dirección del punto, pero si es falsa, entonces el sombreado va en dirección opuesta a dicho punto. P(0,0)

y
Como ambas proposiciones son verdaderas, entonces el sombreado va en la dirección del punto especificado.

* Resolver el siguiente problema por medio del modelo de un sistema de desigualdades lineales. Una pequeña industria se dedica a la crianza de truchas salmonadas y lobinas, pero no tiene capacidad para criar a más de 400 truchas en total. El costo de criar cada trucha salmonada y lobina es de $4.00 y $6.00 respectivamente y sólo cuenta con $2016.00 para ello. De acuerdo con las condiciones del enunciado; ¿Cuántas truchas salmonadas y lobinas podrá criar dicha industria? Solución. - Del enunciado se establece que “ x ” es el número de truchas salmonadas y “ y ” es el número de truchas lobinas y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene el siguiente sistema de desigualdades lineales.

 x + y ≤ 400  x ≥ 0    y ≥ 0 4 x + 6 y ≤ 2016 - Las desigualdades del sistema que tiene dos variables, se representan como un sistema de  x + y = 400 igualdades lineales.  4 x + 6 y = 2016 - Se resuelve el sistema de igualdades para conocer el punto donde se intersectan ambas rectas (en este ejemplo se aplica el método por sustitución). x + y = 400 4 x + 6y = 2016

x = 400 − y x = 400 − 208 ∴ x = 192 4(400 − y ) + 6y = 2016 ∴ y = 208

- Las ecuaciones del sistema de igualdades se transforman a su forma simétrica para conocer las intersecciones de las rectas con los ejes coordenados.


52

MATEMÁTICAS IV

x + y = 400 ∴

x

400

4 x + 6y = 2016 ∴

+

y

400

x

504

+

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en P(400,0) y P(0,400). y

336

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en P(504,0) y P(0,336).

- Con los puntos de las igualdades y con las condiciones de las desigualdades, se grafica el conjunto solución del sistema en el plano cartesiano.

El punto de intersección de las rectas indica que lo óptimo es que la industria críe 192 truchas salmonadas y 208 truchas lobinas, aunque gráficamente se observa que la industria puede criar cualquier cantidad de truchas que satisfaga con algún punto que se encuentre dentro de la región sombreada.

 x + y ≤ 8 5 x − 2 y ≥ 5 * Resolver el sistema de desigualdades lineales   x < 5  y > 1

- Las desigualdades del sistema que tienen dos variables, se representan como un sistema de igualdades lineales que se resuelve por sustitución para encontrar el punto de intersección de las rectas. x + y = 8 5 x − 2y = 5

y = 8 − x x = 8 − 3 ∴ y = 5 5 x − 2(8 − x ) = 5 ∴ x = 3


53

MATEMÁTICAS IV

- Las ecuaciones del sistema de igualdades se transforman a su forma simétrica para conocer las intersecciones de las rectas con los ejes coordenados. x + y = 8 ∴

x

8

+

5 x − 2y = 5 ∴ x − 1

y

8

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en P(8,0) y P(0,8).

y

5/2

= 1 (la expresión indica que la recta intersecta en P(1,0) y P(0,−5/2).

- Con los puntos de las igualdades se representa el lugar geométrico de las desigualdades en el plano. - Se selecciona cualquier punto P(x,y) que no pertenezca a las rectas y se sustituyen sus coordenadas en cada desigualdad de dos variables del sistema. Si cada proposición es verdadera, entonces el sombreado va hacia la dirección del punto, pero si es falsa, entonces el sombreado va en dirección opuesta a dicho punto. P(0,0)

x + y ≤ 8 → 0 + 0 ≤ 8 ∴ 0 ≤ 8

5 x − 2y ≥ 5 → 5(0) − 2(0) ≥ 5 ∴ 0 ≥ 5

De las proposiciones obtenidas se establece que una es verdadera y la otra es falsa.

En el lugar geométrico de las desigualdades con dos variables se representan las gráficas de las desigualdades con una variable y de esta forma se obtiene el conjunto solución de todo el sistema de desigualdades lineales.

Con las cuatro desigualdades del sistema se obtiene un polígono convexo conformado por los puntos (7/5,0), (5,1), (5,3) y (3,5), cuya región interior (parte sombreada) es el conjunto solución de dicho sistema.


54

MATEMÁTICAS IV

PROGRAMACIÓN LINEAL. Es la metodología gráfica y analítica para maximizar y minimizar una función en estudio a partir de un conjunto de restricciones en forma de desigualdades que forman un polígono convexo.

EJEMPLO * Obtener los puntos y valores máximos y mínimos de la función f = 2 x + 3y , sujeta a las restricciones x + y ≤ −1 , x ≤ 0 , y ≤ 0. - Se grafican las restricciones o desigualdades en el plano cartesiano. En la gráfica se forma un polígono convexo abierto, cuyo conjunto solución se va hacia −∞. Cuando esto sucede, se establece que la función en estudio no tiene valor mínimo, sino que únicamente tiene un máximo. Para encontrar el punto y valor máximo, se evalúa la función con los puntos que forman el polígono abierto. P1(−1,0) → f = 2 x + 3y = 2(−1) + 3(0) ∴ f = −2 P2(0,−1) → f = 2 x + 3y = 2(0) + 3( −1) ∴ f = −3 Al comparar los dos valores obtenidos, se establece que la función tiene su punto máximo en (−1,0) y su valor máximo es −2.

* Obtener los puntos y valores máximos y mínimos de la función f = x + y , sujeta a las restricciones x − y ≤ 2 , 2 x + 3y ≥ 9. - Se grafican las restricciones o desigualdades en el plano cartesiano. En la gráfica se forma un polígono convexo abierto, cuyo conjunto solución se va hacia ∞. Cuando esto sucede, se establece que la función en estudio no tiene valor máximo, sino que únicamente tiene un mínimo. Para encontrar el punto y valor mínimo, se evalúa la función con el punto especificado del polígono abierto. P(3,1) → f = x + y = 3 + 1 ∴ f = 4 Del valor obtenido, se establece que la función tiene su punto mínimo en (3,1) y su valor mínimo es 4.


55

MATEMÁTICAS IV

* Hallar los puntos y valores máximos y mínimos de la función g = x + 3y , sujeta a las restricciones x + y ≤ 5 , 2 x + y ≤ 6 , x ≥ 0 , y ≥ −1. - Se grafican las restricciones o desigualdades en el plano cartesiano.

En la gráfica se forma un polígono convexo cerrado, cuyo conjunto solución es su interior. Cuando esto sucede, se establece que la función en estudio tiene tanto valor máximo como mínimo. - Para encontrar los puntos y valores máximos y mínimos, se evalúa la función con los puntos especificado del polígono cerrado. P1(0,−1) → f = x + 3y = 0 + 3( −1) ∴ f = −3 P2(7/2,−1) → f = x + 3y = (7/2) + 3( −1) ∴ f = 1/2 P3(1,4) → f = x + 3y = 1 + 3(4) ∴ f = 13 P4(0,5) → f = x + 3y = 0 + 3(5) ∴ f = 15 Al comparar los dos valores obtenidos, se establece que la función tiene su punto máximo en (0,5), su valor máximo es 15, su punto mínimo en (0,−1) y su valor mínimo es −3.

* Resolver el siguiente problema por medio de la metodología de la programación lineal. Un agricultor cultiva trigo y maíz; el trigo requiere 90 gramos de insecticida y 60 gramos de fertilizante por m2, mientras que el maíz necesita 70 gramos de cada uno por m 2. El agricultor cuenta con 7150 gramos de insecticida, 6400 gramos de fertilizante y la tierra suficiente. Si la ganancia por m2 de trigo es de $32.00 y $29.00 por m2 de maíz; entonces, ¿Cuántos m 2 de trigo y maíz debe sembrar el agricultor para que obtenga una máxima ganancia? Solución.

- Del enunciado se establece que “ x ” son los m2 de trigo y “y ” son los m2 de maíz y traduciendo dicho enunciado al lenguaje algebraico se obtiene la función a maximizar y las restricciones correspondientes.


56

MATEMÁTICAS IV

Función a maximizar : G = 32 x + 29y Restricciones: 90 x + 70y ≤ 7150 , 60 x + 70y ≤ 6400 , x ≥ 0 , y ≥ 0

- Se grafican las restricciones o desigualdades en el plano cartesiano.

En la gráfica se forma un polígono convexo cerrado, donde uno de sus vértices representa la máxima ganancia del agricultor.. - Para encontrar la máxima ganancia, se evalúa la función a maximizar con los puntos especificados del polígono. P1(0,0) → f = 32 x + 29y = 32(0) + 29(0) ∴ f = 0 P2(79.4,0) → f = 32 x + 29y = 32(79.4) + 29(0) ∴ f = 2540.8 P3(25,70) → f = 32 x + 29y = 32(25) + 29(70) ∴ f = 2830 P4(0,91.4) → f = 32 x + 29y = 32(0) + 29(91.4)) ∴ f = 2650.6 De los valores obtenidos, se establece que la función a maximizar tiene su punto máximo en (25,70) y su valor máximo es 2830; con esto se concluye que el agricultor debe sembrar 25 m2 de trigo y 70 m2 de maíz para obtener una máxima ganancia de $2870.00.


57

MATEMÁTICAS IV

EVALUACIÓN Contesta lo que se te pide en cada ejercicio.

1. Establece las coordenadas del punto P ( x ,y ), cuya abscisa es −5 y su ordenada es 5 unidades mayor que su abscisa. 2. Determina la distancia que existe entre cada uno de los siguientes pares de puntos coordenados. A) P 1(0,0) y P 2(8,6) B) Q 1(6,−1) y Q 2(−4,−3) C) K 1(0,4) y K 2 ( 3 ,2 )

 1  D) N 1  1,  y N 2(−5,2)  2  3.

Obtén la longitud de cada uno de los lados del triángulo que tiene como vértices los puntos P 1(6,0) , P 2(2,0) y P 3 (4,2 3 ) e indica si es escaleno, isósceles o equilátero.

4. Resuelve los siguientes incisos por medio de la división de un segmento en una razón dada. A) Determina las coordenadas del punto P ( x ,y ) que divide al segmento P 1(−5,−2) y P 2(−6,−3) en una razón dada r = −¼. B) Halla las coordenadas del punto P ( x ,y ) que biseca al segmento P 1(4,3) y P 2(8,5).

5. Determina las coordenadas del punto medio que existe entre el puntos Q 1(a,b) y Q 2(−b,−a). 6.

Obtén las coordenadas del extremo de un segmento que tiene su punto medio en (4,3) y su otro extremo es (1,−2).

7. Transforma los siguientes puntos rectangulares a polares. A(1,5)

B(−3,−3)

C(6,−3)

D(1,1)

E(−5,0)

F(−2,4)

E(4,π)

 3  F  2, π   2 

8. Transforma los siguientes puntos polares a rectangulares. A(5,0°)

1  B   3, π   2 

C(6,210°)

D(1,30°)

9. Determina la ecuación del lugar geométrico en cada una de las siguientes condiciones. A) Ecuación y = mx + b que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos P ( x ,y ) que equidistan de los puntos P 1(2,4) y P 2(−1,1).


58

MATEMÁTICAS IV

B) Ecuación y = mx + b que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos P ( x ,y ) que equidistan de las rectas y 1 = − 4 x + 4 y y 1 = 3 x + 3 . 3

4

C) Ecuación que satisface al lugar geométrico del conjunto de puntos P ( x ,y ) que se mueven de tal forma que su distancia al origen del plano es siempre una unidad . D) Ecuación del lugar geométrico de un punto P ( x ,y ) que se mueve en el plano de tal manera que está siempre a la misma distancia del punto F (6,0) que del eje “ Y ”. E) Ecuación del lugar geométrico de un punto P ( x ,y ) que se mueve de tal forma que la suma de sus distancias a los dos puntos fijos M (3,0) y N (−3,0) es siempre igual a 10 unidades. F) Ecuación del lugar geométrico de un punto P ( x ,y ) que se mueve de tal forma que la diferencia de sus distancias a los dos puntos fijos M (5,0) y N (−5,0) es siempre igual a 8 unidades.

10. Obtén la pendiente y el ángulo de inclinación de cada una de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. A) P 1(3,1) y P 2(−2,5) B) Q 1(−5,1) y Q 2(2,1) C) R 1(1,1) y R 2(−1,−1)

11. Determina las coordenadas del 1ο y 3ο punto que permiten obtener la recta de cada una de las siguientes funciones lineales. A) f ( x ) = −4 x − 3

2 B) f ( x ) = x + 5 3 7 C) f ( x ) = x + 2 4 12. Resuelve el siguiente problema por medio de las formas de la ecuación de la recta. Un jugador de fútbol soccer profesional recibe un sueldo de $12,000.00 por cada juego que realiza y le descuentan $600.00 por cada falta que comete dentro del juego. De acuerdo con esto, establece la ecuación simétrica que relaciona las faltas cometidas con el sueldo percibido por el jugador en un juego realizado. 13. Obtén la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente, simplificada, general y simétrica en cada uno de los siguientes incisos. A) Recta que pasa por el punto P (−1,3) y pendiente m = ½. B) Recta que pasa por los puntos P 1(−1,−2) y P 2(2,4). C) Recta que tiene como pendiente m = −2 y ordenada al origen b = 1. D) Recta que pasa por el punto P (0,−4) y pendiente m = 1. E) Recta que pasa por el punto P (3,1) y su ángulo de inclinación es de 135°. F) Recta que pasa por el origen del plano y es paralela a la recta que intersecta con los ejes coordenados en los puntos P (3,0) y Q (0,3).


59

MATEMÁTICAS IV

G) Recta que pasa por el punto P (1,5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(1,4) y B(6,−1). H) Recta que pasa por el origen del plano y es perpendicular a la recta y = −2 x + 1. I)

Recta que pasa por el punto P (2,8) y es paralela a la recta y = −2 x + 7.

J) Recta que su abscisa al origen es a = −1 y su ordenada al origen es b = 7. K) Recta que intersecta con los ejes coordenados en los puntos A(−5,0) y B(0,−2).

14. Transforma cada una de las siguientes ecuaciones de las rectas a su forma polar con el radio vector “r ” en función del ángulo vectorial “θ”. A) y = x + 5 B) 3 x + 2y + 6 = 0

15. Obtén el conjunto solución y la representación gráfica de las siguientes desigualdades lineales con una incógnita. A) 3 x + 2 < x − 4 B) 5 x + 1 > 6 x − 3 C) x − 8 ≤ 3 (2 x + 1)

9 D) 82.4 ≤ x + 32 ≤ 98.6 5 E) 3 x + 2 ≤ 5 F)

− 2 x + 7 > 9

16. Representa en el plano cartesiano la gráfica de cada una de las siguientes desigualdades lineales con una y dos variables. A) x ≤ 1 B) 3 x + y > 1 C) y − x ≤ 5 D) 1 y + 1 x > 5 3 2

17. Representa en el plano cartesiano la gráfica de cada uno de los siguientes sistemas de desigualdades lineales. 2 x + y ≤ 5  x + 2 y ≤ 7  x > 3  x + y ≥ 10 A)  B)  C)   y ≤ 1 6 x + 5 y ≥ 56  x ≥ −1 y ≥ 1 18. Obtén los puntos y valores máximos y mínimos de la función f = 3 x + 2 y , sujeta a las restricciones 2 x + 3y ≥ 12 , x − y ≥ 1 , x ≤ 6 .


60

MATEMÁTICAS IV

3.2. COMPENDIO FASCÍCULO 2 CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA En el compendio fascículo 2 , aprendiste a obtener las curvas cónicas, relacionaste sus puntos y rectas notables, así como también manejaste las ecuaciones ordinarias y generales de la circunferencia y la parábola en la solución de diversos ejercicios y problemas.

SECCIONES CÓNICAS Las secciones cónicas son las curvas generadas y degeneradas (degradadas) que se obtienen con la intersección de un plano y una superficie cónica doble. Las generadas son la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola y las degeneradas son el punto y la recta.

EJEMPLO * Representar la generación de la circunferencia a partir de la intersección del plano y la superficie cónica. - La circunferencia se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica en uno de sus conos y dicho corte es perpendicular al eje. Las formas de obtener la circunferencia, son las siguientes. Eje

Eje

Corte

Corte

* Representar la generación de la elipse a partir de la intersección del plano y la superficie cónica. - La elipse se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica en uno de sus conos y dicho corte es oblicuo a la generatriz y al eje. Las formas de obtener la elipse, son las siguientes. Eje

Eje

Eje

Corte

Eje

Corte Corte

Corte


61

MATEMÁTICAS IV

* Representar la generación de la parábola a partir de la intersección del plano y la superficie cónica. - La parábola se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica en uno de sus conos y dicho corte es paralelo a la generatriz. Las formas de obtener la parábola, son las siguientes. Eje

Eje

Eje

Eje Corte

Corte

Corte

Corte

* Representar la generación de la hipérbola a partir de la intersección del plano y la superficie cónica. - La hipérbola se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica en sus dos conos y dicho corte es paralelo al eje del cono. Las formas de obtener la hipérbola, son las siguientes. Eje

Eje

Corte

Corte

* Representar la generación del punto y la recta a partir de la intersección del plano y la superficie cónica. - El punto se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica a la altura del vértice de los dos conos y dicho corte es perpendicular al eje de los conos; la recta se obtiene cuando el plano corta a la superficie cónica exactamente en la generatriz. Las formas de obtener el punto y la recta, son las siguientes. Eje

Eje

Corte

Eje

Corte Corte


62

MATEMÁTICAS IV

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE LAS CURVAS CÓNICAS. Cada curva tiene puntos y rectas notables que se utilizan para graficarlas en el plano cartesiano.

EJEMPLO * Establecer gráficamente los puntos y rectas notables de la parábola e indicar sus nombres.

PARÁBOLA

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES MF = MA → Condición de la parábola

D

V → Vértice

R

F → Focos

M

A H

V

F

E.S.

P = VH = VF → Parámetro

P

LR = RQ = 4P → Lado recto

Q D’

POSICIONES Parábolas Horizontales. cuando el eje de Abre a la derecha simetría es el eje X o paralelo a éste con p > 0. cuando el eje de Abre a la izquierda simetría es el eje X o paralelo a éste con p < 0.

Parábolas Verticales.

E.S. → Eje de simetría

cuando el eje de Abre hacia arriba simetría es el eje Y o paralelo a éste con p > 0.

DD' → Directriz

Abre hacia abajo

cuando el eje de simetría es el eje Y o paralelo a éste con p < 0.

* Establecer gráficamente los puntos y rectas notables de la elipse e indicar sus nombres.

ELIPSE B N

POSICIONES Elipse horizontal cuando el eje mayor es el eje X o paralelo a éste.

P

V’

V F’

C

F

Elipse vertical

cuando el eje mayor es el eje Y

o paralelo a éste.

N’ B’

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PF + PF ' = V V ' → Condición de la elipse

Puntos: C → Centro ,

V V’ → Vértices

, FF’ → Focos

Ejes: BB' → Eje menor , V V ' → Eje mayor , FF ' → Eje focal , NN ' → Lado Recto Cuando los focos de la elipse son casi iguales a los vértices, entonces la curva es muy aplanada. Cuando los focos de la elipse se acercan casi al centro, entonces la curva es casi circular. Si los focos de una elipse se acercan exactamente al centro de la curva, entonces se obtiene una circunferencia que tiene como puntos y rectas notables el centro C y radio r . De esto se establece que la circunferencia es un caso especial de la elipse.


63

MATEMÁTICAS IV

* Establecer gráficamente los puntos y rectas notables de la hipérbola e indicar sus nombres.

HIPÉRBOLA

POSICIONES

B N

F’

Hipérbola horizontal cuando el eje real o transverso es el eje X o paralelo a éste.

P V’

V

F

C

cuando el eje real o transverso es el eje Y o paralelo a éste. Hipérbola vertical

N’ B’

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES PF ' − PF = V V ' → Condición de la hipérbola

Puntos: C → Centro ,

V V’ → Vértices

,

FF’ → Focos

Ejes: BB' → Eje conjugado o imaginario , V V ' → Eje real o transverso , FF ' → Eje focal NN ' → Lado Recto

OBTENCIÓN DE LOS PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE LAS CURVAS CÓNICAS EN EL PLANO CARTESIANO. La posición de una curva cónica en el plano cartesiano depende de las características y condiciones de sus puntos y rectas notables.

EJEMPLO * Obtener el parámetro y la ecuación de la directriz de la parábola que tiene como vértice y foco los puntos V (1,3), F (1,2). - Con los datos del ejercicio se bosqueja el lugar geométrico de la curva. Y 4 V

3 2

X’

- Como el parámetro es la distancia que existe entre el vértice y el foco, entonces P = 1.

D

- La distancia que hay del vértice al foco es la misma que hay del vértice a la directriz sobre el eje de simetría, por lo tanto dicha directriz intersecta al eje “ y ” en la ordenada 4 y su ecuación es y = 4.

F

0

1

X

Y’


64

MATEMÁTICAS IV

* Determinar las coordenadas del foco y la dirección de la abertura de la parábola que su vértice es V (−3,2) y su directriz x = −5. - Con los datos del ejercicio se bosqueja el lugar geométrico de la curva. Y

- Como el parámetro es la distancia que existe entre el vértice y la directriz sobre el eje de simetría, entonces P = 2.

D

V

X’

-5

- La distancia que hay del vértice a la directriz es la misma que hay del vértice al foco, por lo tanto las coordenadas de dicho foco son F (−1,2).

F

X

-1 0

-3

- Por condición de la parábola, se tiene que el foco siempre queda en el interior de la curva, con esto se establece que dicha curva abre hacia la izquierda.

Y’

* Si una elipse tiene como vértices y focos los puntos V (4,2), V’ (−6,2), F (3,2) y F’ (−5,2); entonces obtener: A) El bosquejo del lugar geométrico de la curva y establecer si es horizontal o vertical. B) Las coordenadas del centro C) Las longitudes de los ejes mayor y focal. Solución.

A) Con los datos del ejercicio se bosqueja el lugar geométrico de la curva. Y

De la gráfica se observa que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje “ X ”, por lo tanto, la curva es horizontal .

B

V’

X’

F’

F

2

C

-6 -5

-1 0 B’

B) El centro de la elipse es el punto medio de los vértices y los focos, por lo tanto sus coordenadas son C (−1,2).

V

3 4

X

C) El eje mayor VV ' es la distancia existente entre los dos vértices, por lo tanto su longitud es VV ' = 10 u . El eje focal FF ' es la distancia existente entre los dos focos, por lo tanto su longitud es FF ' = 8 u .

Y’


65

MATEMÁTICAS IV

* Si una elipse tiene como vértices y focos los puntos V (0,6), V’ (0,−2), F (0,4) y F’ (0,0); entonces hallar: A) El bosquejo del lugar geométrico de la curva y establecer si es horizontal o vertical. B) Las coordenadas del centro C) Las longitudes de los ejes mayor y focal. Solución.


De la gráfica se observa que el eje mayor de la elipse es el eje “Y ”, por lo tanto, la curva es vertical .

V

5

F

3

C

B

B) El centro de la elipse es el punto medio de los vértices y los focos, por lo tanto sus coordenadas son C (0,2).

B’

1 X’

C) El eje mayor VV ' es la distancia existente entre los dos vértices, por lo tanto su longitud es VV ' = 8 u .

X

0 F’

El eje focal FF ' es la distancia existente entre los dos focos, por lo tanto su longitud es FF ' = 4 u .

V’

Y’

* Si una hipérbola tiene como vértices y focos los puntos V (4,1), V’ (0,1), F (5,1) y F’ (−1,1); entonces hallar: A) El bosquejo del lugar geométrico de la curva y establecer si es horizontal o vertical. B) Las coordenadas del centro. C) La longitud de los ejes transverso y focal. Solución.

A) Con los datos del ejercicio se bosqueja el lugar geométrico de la curva. De la gráfica se observa que el eje transverso de la hipérbola es paralelo al eje “ X ”, por lo tanto, la curva es horizontal .

Y B

F’

X’

V’

1 -1 0

V C

2 B’

Y’

F

4 5

X

B) El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices y los focos, por lo tanto sus coordenadas son C (2,1). C) El eje transverso VV ' es la distancia existente entre los dos vértices, por lo tanto su longitud es VV ' = 4 u . El eje focal FF ' es la distancia existente entre los dos focos, por lo tanto su longitud es FF ' = 6 u .


66

MATEMÁTICAS IV

* Si una hipérbola tiene como vértices y focos los puntos V (−2,3), V’ (−2,−3), F (−2,5) y F’ (−2,−5); entonces obtener: A) El bosquejo del lugar geométrico de la curva y establecer si es horizontal o vertical. B) Las coordenadas del centro. C) La longitud de los ejes real y focal. Solución.


F

V

De la gráfica se observa que el eje real de la hipérbola es paralelo al eje “ Y ”, por lo tanto, la curva es vertical .

5

B) El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices y los focos, por lo tanto sus coordenadas son C (−1,0).

3

C

X’

0

B’

X B

V’ -3

F’

C) El eje real VV ' es la distancia existente entre los dos vértices, por lo tanto su longitud es VV ' = 6 u . El eje focal FF ' es la distancia existente entre los dos focos, por lo tanto su longitud es FF ' = 10 u .

-5

Y’

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. A partir del concepto de una curva cónica, se establece algebraicamente la ecuación ordinaria (reducida, estándar o canónica) de ésta, y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la ecuación en su forma general. A partir del concepto de la circunferencia, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Con centro en el origen del plano C (0,0) Con centro fuera del origen del plano C (h,k ) Ordinaria:

x 2 + y 2 = r 2

General:

x 2 + y 2 + F = 0

Ordinaria:

General:

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

Cuando el centro de la curva es fuera del origen del plano, su ecuación se obtiene por medio de la traslación de los ejes coordenados, de ésta forma se establecen las traslaciones h y k .


67

MATEMÁTICAS IV

Caso 1.

Cuando se tienen algunos puntos y rectas de la curva y se desea obtener sus ecuaciones. Se sustituyen las coordenadas del centro y el valor del radio en la ecuación ordinaria y se desarrolla ésta para llegar a la ecuación general.

EJEMPLO * Obtener la ecuación ordinaria y general de la circunferencia que tiene como centro el punto C (0,−2) y su radio mide 1 unidad. - La ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene sustituyendo el valor del radio r = 1 y las coordenadas del centro C (h,k ) = C (0,−2) en el modelo correspondiente.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

( x − 0)2 + [y − (− 2)]2 = (1) 2

∴

x 2 + (y + 2 )2 = 1

- Se desarrolla el binomio al cuadrado de la ecuación ordinaria y se igual a cero para obtener la ecuación general de la circunferencia. 2

∴ x 2 + y 2 + 4y + 3 = 0

2

x + y + 4y + 4 − 1 = 0

1  * Hallar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia que tiene centro en C   − ,− 1 y pasa

 2



1 2  por el punto P  − ,  .

 2 3 

- Del análisis del enunciado, se tiene que el centro es

 1  y el radio es la distancia ,− 1  2 

C ( h, k ) = C  −

existente entre el centro y el punto P por donde pasa la curva. d =

2

 1 1  2  r =  − −  +  − (− 1)  2 2  3 

( x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2

2

∴

r =

34 9

- La ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene sustituyendo el valor del radio y las coordenadas del centro en el modelo correspondiente. 2

2

2

( x − h ) + (y − k ) = r

  x − 

2  34  1    + [y − (− 1)]2 =   2  9  

2

∴

2

1  34   x −  + (y + 1)2 = 2  9 

- Se desarrollan los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria, se iguala a cero y se agrupan términos para obtener la ecuación general de la circunferencia. x 2 − x +

1 34 + y 2 + 2y + 1 − =0 4 9

∴

x 2 + y 2 − x + 2 y −

91 =0 36

- La ecuación general fraccionaria se puede representar en forma entera, multiplicando la igualdad por su común denominador. 91  2  2  x + y − x + 2 y − 36 = 0  ( 36 )  

∴

36 x 2 + 36y 2 − 36x + 72y − 91 = 0


68

MATEMÁTICAS IV

* Establecer la ecuación ordinaria y general de la circunferencia que es tangente a la recta 3 x + y − 20 = 0 y cuyo centro es la intersección de las rectas x − 2y = 1 y x + 3y = 6. - Las dos rectas que se intersectan forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cuya solución representa las coordenadas del centro de la circunferencia.  x − 2y = 1 - Al resolver el sistema  se tiene que: x = 3 y y = 1.  x + 3y = 6

- De la solución del sistema se establece que las coordenadas del centro son C (3,1). - El radio de la circunferencia es la distancia que existe del centro de la curva a la recta que es tangente a dicha curva y su valor se obtiene aplicando el concepto “ distancia de un punto a una recta”. - Se sustituyen las coordenadas del centro y la ecuación de la recta tangente en la fórmula de distancia de un punto a una recta. d

=

Ax + By A 2

+ C

+ B2

r =

3( 3 ) + 1(1) + ( − 20 )

∴

r =

( 3 ) 2 + (1) 2

10 10

- Una vez que se tiene las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia, se sustituyen éstos en el modelo correspondiente para obtener la ecuación ordinaria de la curva.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

  ( x − 3 ) + (y − 1) =  10   10  2

2

2

∴

( x − 3 )2 + (y − 1)2 = 10

- Se desarrollan los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria, se iguala a cero y se agrupan términos para obtener la ecuación general de la circunferencia. x 2

− 6 x + 9 + y 2 − 2y + 1 − 10 = 0

∴

x 2 + y 2 − 6 x − 2 y = 0

Caso 2.

Cuando se tiene la ecuación de la curva y se desea obtener sus puntos y rectas. En la ecuación ordinaria, el centro C(h,k) se obtiene directamente de la expresión y el radio es la raíz cuadrada de r 2. En la ecuación general, el centro C (h,k ) y el radio “ r ” se obtienen con: h = − D , k = − E y 2

2

1 r = D 2 + E 2 − 4 F . 2

EJEMPLO * Hallar Las coordenadas del centro y el valor del radio de las circunferencias que tienen como ecuación las siguientes expresiones. A) ( x + 3)2 + (y − 5 )2 = 49 B) x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 23 = 0


69

MATEMÁTICAS IV

Solución.

A) De la ecuación ordinaria de la circunferencia se establece el siguiente proceso para obtener su centro y su radio.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

[ x − (− 3)]2 + (y − 5)2 = 49 ∴

C (h,k ) = C (−3,5) y r = 49 = 7 u .

B) De la ecuación general de la circunferencia se establece que D = 6, E = −4 y F = −23; éstos valores se sustituyen en las fórmulas correspondientes para obtener el centro y radio de la curva. h=−

r =

D

2

=−

6 2

; k = −

E

2

=−

( −4 ) 2

∴ C (h,k ) = C (−3,2)

1 1 D 2 + E 2 − 4F = (6) 2 + ( −4) 2 − 4( −23) 2 2

∴

r = 6 u .

* Determinar la ecuación ordinaria y general de la circunferencia que pasa por el origen del plano y es concéntrica a la circunferencia que tiene por ecuación la expresión, x 2 + y 2 − 10y + 16 = 0 . - Para determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia se necesita conocer su centro, el cual es el mismo con el de la otra circunferencia, puesto que ambas son concéntricas. - El centro de la circunferencia concéntrica se obtiene con las fórmulas correspondientes de h y k . h=−

D

2

=−

0 2

; k = −

E

2

=−

( −10 ) 2

∴ C (0,5) (el centro es el mismo para ambas curvas)

- Una vez que se tiene el centro, se obtiene el radio, el cual es la distancia que existe entre dicho centro C (0,5) y el origen del plano P (0,0) por donde pasa la circunferencia; por lo tanto r = 5 u. - Con el centro y el radio se establece la ecuación ordinaria de la circunferencia.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

( x − 0 )2 + (y − 5 )2 = (5 )2

∴ x 2 + (y − 5)2 = 25

- Se desarrolla el binomio al cuadrado de la ecuación ordinaria y se iguala a cero para obtener la ecuación general de la circunferencia. x 2

+ y 2 − 10 y + 25 − 25 = 0

∴ x 2 + y 2 − 10y = 0

* Obtener las coordenadas del centro, el valor del radio y las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia que pasa por el origen del plano y por los puntos P 1(2,2) y P 2(−4,0). - Se sustituyen las coordenadas de los puntos por donde pasa la curva de la circunferencia en la ecuación general de ésta, posteriormente se forma un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.


70

MATEMÁTICAS IV

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

P ( x , y )

Sistema

P (0,0)

(0) 2 + (0) 2 + (0)D + (0)E + F = 0

F = 0

P 1 ( 2,2)

(2) 2 + (2) 2 + 2D + 2E + F = 0

2D + 2E + F = −8

P 2 ( −4,0)

(−4) 2 + (0) 2 + (−4)D + (0)E + F = 0

− 4D + F = −16

- Al resolver el sistema, se tiene que: D = 4, E = −8 y F = 0. - Con los valores de D, E y F, se establece la ecuación general de la circunferencia. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

x 2

+ y 2 + 4 x + (−8)y + 0 = 0

∴ x 2 + y 2 + 4 x − 8 y = 0

- Se sustituyen los valores de D, E y F en las fórmulas de h, k y r para obtener el centro y el radio de la circunferencia. h=−

r =

D

2

=−

4 2

; k = −

E

2

=−

( −8 ) 2

∴ C (−2,4)

1 2 1 ( 4)2 + ( −8)2 − 4(0) D + E 2 − 4F = 2 2

∴ r = 20 ó 2 5 u .

- Con el centro y el radio se establece la ecuación ordinaria de la circunferencia.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

2

[ x − (− 2)]2 + (y − 4 )2 = ( 20 )

∴ ( x + 2)2 + (y − 4 )2 = 20

Caso 3.

Cuando la ecuación general representa una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico. De la fórmula Si D 2 + E 2 Si D 2 + E 2 Si D 2 + E 2

r =

1 2 2 D 2 + E 2 − 4 F , el discriminante es D + E − 4F estableciéndose: 2

− 4F > 0, entonces la gráfica es una circunferencia con centro C (h,k ) y radio “r ”. − 4F = 0, entonces la gráfica es un punto ubicado en P (h,k ). − 4F < 0, entonces la gráfica es el conjunto vacío (ningún lugar geométrico).

EJEMPLO * Determinar si la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones es una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico; si la gráfica es un punto, establecer su ubicación P (h,k ) en el plano y si es una circunferencia, establecer su centro C (h,k ) y su radio “ r ”. A) x 2 + y 2 + 6 x − 2 y + 10 = 0 B) x 2 + y 2 + 8 x − 10 y + 50 = 0 C) 5 x 2 + 5 y 2 − 14 x + 7 y − 24 = 0


71

MATEMÁTICAS IV

Solución.

A) De la ecuación se observa que D = 6, E = −2 y F = 10, éstos valores se sustituyen en la expresión del discriminante y se establece el tipo de gráfica. 2

D 2 + E 2 − 4F → (6) 2 + (− 2) − 4(10) = 0 El valor del discriminante indica que se trata de un punto.

- Las coordenadas del punto se obtienen con las fórmulas de h y k respectivamente. D

h=−

2

=−

6 2

; k = −

E

2

( −2 ) 2

=−

∴ P (−3,1)

B) De la ecuación se observa que D = 8, E = −10 y F = 50, éstos valores se sustituyen en la expresión del discriminante y se establece el tipo de gráfica. 2

D 2 + E 2 − 4F → (6)2 + (− 10) − 4(50) = −36

El valor del discriminante indica que no se trata de ningún lugar geométrico.

C) La ecuación se divide entre 5 para representarla en su forma general. [5 x 2 + 5 y 2 − 14 x + 7y − 24 = 0] ÷ (5)

∴ x 2 + y 2 −

14 7 24 =0 x + y − 5 5 5

14 7 24 , E = y F = − , éstos valores se sustituyen en la 5 5 5 expresión del discriminante y se establece el tipo de gráfica.

- De la ecuación se observa que D = −

2

2

 14   7   24  D + E − 4F →  −  +   − 4 −  =  5   5   5  2

2

29

El valor del discriminante indica que se trata de una circunferencia.

- Las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia se obtienen con la fórmulas de h, k y r . h

=−

r =

D

2

=−

(− 14 5 ) 2

; k = −

E

2

1 1 D 2 + E 2 − 4F = 29 2 2

=−

(7 5 ) 2

∴ r =

∴

7   7 ,−   5 10 

C 

1 29 u . 2

APLICACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia tiene sus aplicaciones en Arquitectura e Ingeniería Civil.


72

MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO * En un centro recreativo se quiere construir una alberca circular aprovechando tres alcantarillas de desagüe situadas en los siguientes puntos coordenados P 1(−2,0), P 2(2,−2) y P 3(5,7). Si se desea que la circunferencia que rodea la alberca, pase por éstas tres alcantarillas; entonces, ¿Cuál será la ecuación de la circunferencia, su centro, su radio y su gráfica que cumplan con las condiciones del problema?. Solución.

- Se sustituyen las coordenadas de las alcantarillas en el modelo general de la circunferencia, posteriormente se forma un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. P ( x , y )

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

P 1 ( −2,0)

(−2) 2 + (0) 2 + ( −2)D + (0)E + F = 0

− 2D + F = −4

P 2 ( 2,−2)

(2) 2 + ( −2) 2 + 2D + ( −2)E + F = 0

2D − 2E + F = −8

P 3 (5,7)

(5) 2 + (7) 2 + 5D + 7E + F = 0

5D + 7E + F = −74

Sistema

- Al resolver el sistema por determinantes, se tiene que: D = −4, E = −6 y F = −12. - La ecuación general de la circunferencia que rodea la alberca, se obtiene sustituyendo el valor de D, E y F en el modelo correspondiente. x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

2

2

x + y + (−4) x + (−6)y + (−12) = 0

∴ x 2 + y 2 − 4 x − 6y − 12 = 0

- Se sustituyen los valores de D, E y F en las fórmulas de h, k y r para obtener el centro y el radio de la circunferencia. h=−

r =

D

2

=−

( −4) 2

; k = −

E

2

=−

( −6 ) 2

∴ C (2,3)

1 1 D 2 + E 2 − 4F = ( −4) 2 + ( −6) 2 − 4( −12) 2 2

∴ r = 5 u .

- Con el centro y el radio se establece la ecuación ordinaria de la circunferencia.

( x − h )2 + (y − k )2 = r 2

2 [ x − (− 2)]2 + (y − 4 )2 = ( 20 ) ∴ ( x + 2)2 + (y − 4 )2 = 20

- Con el centro y el radio de la circunferencia, se obtiene la gráfica de la alberca circular. Y Alcantarilla P3 r

C X’

X

Alcantarilla P1 Y’

Alcantarilla P2


73

MATEMÁTICAS IV

* Una compañía constructora está encargada de un proyecto que consiste en unir un tramo de 3 carretera localizado sobre la recta y = x con otro camino que se ubica en la recta y = 0 4 mediante un arco de circunferencia de 14 m de radio como lo muestra la siguiente figura. De acuerdo con esto, ¿Dónde se debe colocar el centro de la curva para que ésta sea tangente a las dos rectas?

Solución.

- De acuerdo con la gráfica se establece que el centro de la circunferencia se ubica en la bisectriz de las rectas y 1 = 0 y y 2 = 34 x . - Como el centro C es un punto cualquiera que pertenece a la recta de la bisectriz, entonces se necesita conocer la ecuación de ésta por medio del concepto de la igualdad de distancias de un punto a una recta.

d 1 = −d 2

P

Ax 1 + By 1 + C A

2

+B

2

=−

Ax 2

+ By 2 + C

A2

+ B2

- Se sustituyen las ecuaciones de las rectas y 1 y y 2 en la igualdad de distancias para obtener la ecuación de la bisectriz. Ax 1 + By 1 + C A2 + B 2

=−

Ax 2 + By 2 + C A2 + B2

y = −

− 3 x + 4y ( −3)2 + (4)2

∴ x − 3y = 0 (Ecuación de la bisectriz)

- Como el centro C es un punto P ( x ,14) de la bisectriz, entonces se sustituyen sus coordenadas en la ecuación de dicha recta y se obtiene el centro de la circunferencia. x − 3y = 0

x − 3(14) = 0

∴ x = 48

Con el valor anterior, se establece que el centro de la circunferencia tangente a las rectas, es C (48,14).


74

MATEMÁTICAS IV

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA. A partir del concepto de la parábola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega la forma de su ecuación general.

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA Parábola Horizontal. Con vértice en el origen V(0,0) Ordinaria:

Parábola Vertical.

Con vértice fuera del origen V(h,k) Ordinaria:

2

(y − k )2 = 4 p( x − h)

y = 4 px General:

General:

2

y + Dx = 0

2

y + Dx + Ey + F = 0

Con vértice en el origen V(0,0) Ordinaria:

Con vértice fuera del origen V(h,k) Ordinaria:

x 2 = 4 py

( x − h )2 = 4 p( y − k )

General: x 2 + Ey = 0

General: x 2 + Dx + Ey + F = 0

Caso 1.

Cuando se tienen algunos puntos y rectas de la curva y se desea obtener sus ecuaciones, puntos y rectas restantes. Se ubican los puntos y rectas en el plano para bosquejar la posición de la curva y así establecer el modelo de la ecuación ordinaria, posteriormente se desarrolla ésta para llegar a la ecuación general.

EJEMPLO * Obtener la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyo vértice es el punto V (1,4) y cuyo foco es el punto F (1,2). Obtener también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. - Se ubica el vértice y el foco en el plano para bosquejar la posición de la parábola. Y E .S .

- Con la posición de la curva se establece que la parábola es vertical con vértice fuera del origen, por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma ( x − h)2 = 4 p (y − k ) con V (h,k ) y parámetro “ p”.

Directriz V (1,4)

F (1,2)

X’

0

X

- El parámetro “p” es la distancia que existe entre el vértice y el foco, es decir p = 2, como la curva abre hacia abajo, entonces p < 0 ∴ p = −2.

Y’

- Con las coordenadas del vértice y el valor del parámetro, se establece la ecuación ordinaria de la parábola.

( x − h )2 = 4 p(y − k )

( x − 1)2 = 4(− 2 )(y − 4 ) ∴ ( x − 1)2 = −8(y − 4 )


75

MATEMÁTICAS IV

- La ecuación general de la parábola, se obtiene desarrollando el binomio al cuadrado de la ecuación ordinaria y trasponiendo sus términos. x 2

− 2 x + 1 = −8 y + 32

x 2

− 2 x + 8y + 1 − 32 = 0 ∴ x 2 − 2 x + 8y − 31 = 0

- La directriz es la recta exterior a la parábola que se ubica a una distancia p = 2 unidades del vértice hacia arriba, por lo tanto su ecuación es y = 6, ya que es la ordenada donde intersecta con el eje “Y ”. - La longitud del lado recto es 4 p ∴ LR = 8 u .

* Hallar la ecuación ordinaria y general de la parábola que tiene como foco el punto F (3,0) y como directriz la recta x = −3. Hallar también la longitud de su lado recto y las coordenadas de sus extremos. - Se ubica el vértice y la directriz en el plano para bosquejar la posición de la parábola. Y P

Directriz

F (3,0)

V

X’

- Con la posición de la curva se establece que la parábola es horizontal con vértice en el origen, por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma y 2 = 4 px con V (0,0) y parámetro “ p”.

0 E .S . x = -3

Q

X

- El vértice es el punto medio que existe entre el foco y la directriz, de acuerdo con la gráfica se establece que el vértice es el punto V (0,0). - El parámetro “p” es la distancia que existe entre el vértice y el foco, es decir p = 3.

Y’

- Con las coordenadas del vértice y el valor del parámetro, se establece la ecuación ordinaria de la parábola. y 2 = 4 px y 2 = 4(3) x ∴ y 2 = 12 x - La ecuación general de la parábola, se obtiene igualando a cero la ecuación ordinaria. y 2 − 12 x = 0

- La longitud del lado recto es 4 p ∴ LR = 12 u . - Los extremos del lado recto son los puntos P y Q; como LR = 12 u, entonces es la misma distancia que existe entre P y Q, por lo tanto P se ubica a 6 unidades arriba del foco y Q a 6 unidades abajo de dicho foco, con esto sus coordenadas son P (3,3) y Q (3,−3).

* Determinar La ecuación ordinaria y general de la parábola cuyos extremos de su lado recto son los puntos P (−3,2), Q (1,2) y su foco se ubica arriba de su vértice. Determinar también la ecuación de su directriz y las coordenadas de su foco.


76

MATEMÁTICAS IV

- Se ubican los puntos extremos del lado recto en el plano para bosquejar la posición de la parábola. - Con la posición de la curva se establece que la parábola es vertical con vértice fuera del origen, por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma ( x − h)2 = 4 p (y − k ) con V (h,k ) y parámetro “ p”.

Y

E .S .

P (-3,2)

- La distancia que hay del punto “ P ” al punto “Q” es la longitud del lado recto, es decir LR = 4 u.

Q (1,2)

F

- Del lado recto, se obtiene el parámetro “ p”.

V

X’

X

0

LR = 4 p → 4 = 4 p ∴ p = 1

- El foco es el punto medio que existe entre los puntos “P ” y “Q”, es decir F (−1,2).

Directriz

- El vértice se ubica p = 1 unidad abajo del foco, por lo tanto, sus coordenadas son V (−1,1).

Y’

- Con las coordenadas del vértice y el valor del parámetro, se establece la ecuación ordinaria de la parábola.

( x − h )2 = 4 p(y − k )

[ x − (− 1)]2 = 4(1)(y − 1) ∴ ( x + 1)2 = 4(y − 1)

- La ecuación general de la parábola, se obtiene desarrollando el binomio al cuadrado de la ecuación ordinaria y trasponiendo sus términos. x 2

+ 2 x + 1 = 4y − 4

x 2

+ 2 x − 4 y + 1 + 4 = 0 ∴ x 2 + 2 x − 8y + 5 = 0

- La directriz es la recta exterior a la parábola que se ubica a una distancia p = 1 unidad del vértice hacia abajo, por lo tanto la directriz está en el eje “ X ” y su ecuación es y = 0, ya que es la ordenada donde intersecta con el eje “ Y ”.

* Encontrar la ecuación ordinaria y general de la parábola cuyo eje de simetría es el eje de las abscisas (Eje X ) y pasa por los puntos P 1(2,4) y P 2(−4,−8). - Como el eje de simetría de la parábola es el eje X , entonces la curva es horizontal con vértice 2 V (h,0) y ecuación ordinaria de la forma y = 4 p ( x − h), ya que k = 0. - Se sustituyen las coordenadas del punto P 1 y P 2 en el modelo de la ecuación ordinaria y se despeja el parámetro “ p”. 4 P 1 ; ( 4) 2 = 4 p( 2 − h) ∴ p = (2 − h ) 2 y = 4 p ( x − h) 16 P 2 ; ( −8) 2 = 4 p( −4 − h) ∴ p = ( −4 − h ) - Se igualan las dos expresiones despejadas. p = p

4 16 ∴ h = 4 = (2 − h) (−4 − h)


77

MATEMÁTICAS IV

- Se sustituye el valor de h en una de las expresiones de “ p”: p =

4 4 = ∴ p = −2 (2 − h) ( 2 − 4 )

- Con el valor de h y p se establece la ecuación ordinaria de la parábola. y 2

= 4 p( x − h )

y 2

= 4(− 2)( x − 4) ∴ y 2 = −8( x − 4 )

- La ecuación general se obtiene desarrollando el producto de la ecuación ordinaria e igualando a cero la expresión. y 2

= −8 x + 32 ∴ y 2 + 8 x − 32 = 0

* Hallar la ecuación general de la parábola que su eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas (eje Y ) y pasa por los puntos P 1(0,4), P 2(8,12) y P 3(−2,7). - Como el eje de simetría de la parábola es paralelo al aje “ Y ”, entonces la curva es vertical y su ecuación general es de la forma x 2 + Dx + Ey + F = 0 . - Se sustituyen las coordenadas de los puntos por donde pasa la curva de la parábola en la ecuación general de ésta, posteriormente se forma un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. x 2 + Dx + Ey + F = 0

P ( x , y )

Sistema

P 1 (0,4)

(0) 2 + (0)D + 4E + F = 0

4E + F = 0

P 2 (8,12)

(8) 2 + 8D + 12E + F = 0

8D + 12E + F = −64

P 3 ( −2,7)

(−2) 2 + (−2)D + 7E + F = 0

− 2D + 7E + F = −4

- Al resolver el sistema por determinantes, se tiene que: D = −4, E = −4 y F = 16. - La ecuación general de la parábola, se obtiene sustituyendo el valor de D, E y F en el modelo correspondiente. x 2 + Dx + Ey + F = 0

2

x + (−4) x + (−4)y + 16 = 0

∴ x 2 − 4 x − 4y + 16 = 0

Caso 2.

Cuando se tiene la ecuación de la curva y se desea obtener sus puntos y rectas. En la ecuación ordinaria, el vértice V(h,k) y el parámetro “ p” se obtiene directamente de la expresión. En la ecuación general, el vértice V (h,k ) y el parámetro “ p” se obtienen con las siguientes fórmulas: E D 4 F − E 2 , k = − y p = − . 4 − 4D 2

y 2 + Dx + Ey + F = 0

h =

x 2 + Dx + Ey + F = 0

4 F − D 2 , y p = − E . k = h = − 2 4 − 4 E D


78

MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO * Determinar las coordenadas del vértice y foco, así como la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de las parábolas que tienen como ecuación las siguientes expresiones. A) x 2 = 2(y + 3) B) (y + 1)2 = −4( x − 5 ) C) x 2 + 12 y − 24 = 0 D) y 2 − 8 x − 2 y + 25 = 0 Solución.

A) La ecuación de la parábola está en su forma ordinaria y la variable “ x ” aparece sin la traslación “h”, por lo tanto su vértice es V (0,k ), ya que h = 0. - En la ecuación ordinaria se desarrolla el siguiente proceso para obtener el vértice y el parámetro. x 2

= 4 p(y − k )

x 2

 1  = 4   [y − (− 3 )]  2 

∴ V (0,k ) = V (0,−3) y p = 1 2

- Como la variable “ x ” es cuadrática y p > 0, entonces la parábola es vertical y abre hacia arriba. - Con la posición y abertura de la curva, se establece que el foco se ubica arriba del vértice y la 7 5  directriz abajo de éste a una distancia p = 1 unidad, es decir: F   0 ,−  y y = − 2 2  2  - El lado recto es cuatro veces el parámetro, es decir: LR = 4 p= 4(½) ∴ LR = 2 u . B) La ecuación de la parábola está en su forma ordinaria, por lo tanto se desarrolla el siguiente proceso para obtener el vértice y el parámetro.

(y − k )2 = 4 p( x − h )

[y − (− 1)]2 = 4 (− 1)( x − 5 )

∴ V (h,k ) = V (5,−1) y p = −1

- Como la variable “ y ” es cuadrática y p < 0, entonces la parábola es horizontal y abre hacia la izquierda. - Con la posición y abertura de la curva, se establece que el foco se ubica a la izquierda del vértice y la directriz a la derecha de éste a una distancia p = 1 unidad, es decir: F (4,−1) y x = 6. - El lado recto es cuatro veces el parámetro, es decir: LR = 4 p= 4(−1) ∴ LR = 4 u . C) La ecuación de la parábola está en su forma general, donde D = 0, E = 12 y F = −24. - Como la variable cuadrática de la ecuación es “ x ”, entonces se sustituyen los valores de D, E y F en las fórmulas correspondientes a la expresión x 2 + Dx + Ey + F = 0 y se obtiene el vértice y el parámetro de la curva. h=−

D

2

p = −

=−

E

4

0 2

=−

12 4

;

k =

4 F − D 2 4( −24 ) − (0 ) = − 4 E − 4(12 )

∴ V (h,k ) = V (0,2)

∴ p = −3


79

MATEMÁTICAS IV

- Como la variable “ x ” es cuadrática y p < 0, entonces la parábola es vertical y abre hacia abajo. - Con la posición y abertura de la curva, se establece que el foco se ubica abajo del vértice y la directriz arriba de éste a una distancia p = 3 unidades, es decir: F (0,−1) y y = 5. - El lado recto es cuatro veces el parámetro, es decir: LR = 4 p= 4(−3) ∴ LR = 12 u . D) La ecuación de la parábola está en su forma general, donde D = −8, E = −2 y F = 25. - Como la variable cuadrática de la ecuación es “ y ”, entonces se sustituyen los valores de D, E y F en las fórmulas correspondientes a la expresión y 2 + Dx + Ey + F = 0 y se obtiene el vértice y el parámetro de la curva. 4F − E 2 4( 25 ) − ( −2) 2 h= = − 4D − 4( −8 ) p = −

D

4

=−

( −8 ) 4

; k = − E = − ( − 2) 2

2

∴ V (h,k ) = V (3,1)

∴ p = 2

- Como la variable “ y ” es cuadrática y p > 0, entonces la parábola es horizontal y abre hacia la derecha. - Con la posición y abertura de la curva, se establece que el foco se ubica a la derecha del vértice y la directriz a la izquierda de éste a una distancia p = 2 unidades, es decir: F (5,1) y x = 1. - El lado recto es cuatro veces el parámetro, es decir: LR = 4 p= 4(2) ∴ LR = 8 u .

APLICACIONES DE LA PARÁBOLA. Las aplicaciones de la parábola son en Física, Astronomía, Ingeniería Civil y en las propiedades de reflexión.

EJEMPLO * Un futbolista patea un balón a ras de césped, imprimiéndole una velocidad inicial de 38 m/s con un ángulo de inclinación de 50°. Si la trayectoria del balón describe una curva parabólica; entonces, ¿Cuál es la ecuación ordinaria para dicha curva? Solución.

- Se bosqueja la gráfica del problema y se establecen las ecuaciones para obtener las características de la parábola.


80

MATEMÁTICAS IV

Donde:

TRAYECTORIA DEL BALÓN

Y

El Alcance horizontal Máximo, es:

R =

La Altura Máxima, es:

M =

El Parámetro de la Parábola, es:

P =

P M

Vo

α X’

X

BALÓN

R

Y’

V o 2 sen2α g V o 2 sen 2α

2g

V o 2 cos 2 α 2g

- Se sustituye la velocidad inicial Vo = 38 m/s y el ángulo de inclinación α = 50° en las ecuaciones anteriores para obtener el alcance horizontal máximo, la altura máxima y el parámetro de la parábola. R =

V o 2 sen2α

R =

g

V o 2 sen 2α M = 2g P =

V o 2 cos 2 α 2g

(38 m / s ) 2 sen 2(50°) 9.8 m / s 2

∴ R = 145.1 m.

(38 m / s ) 2 (sen 50°) 2 M = 2 (9.8 m / s 2 )

∴ M = 43.2 m.

(38 m / s ) 2 (cos 50°) 2 2 (9.8 m / s 2 )

∴ P = 30.4 m.

P =

- De la gráfica del problema se establece que la parábola es vertical y abre hacia abajo, por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma ( x − h) 2 = −4 p( y − k ) , ya que p < 0. - Con el modelo de la ecuación ordinaria y con los valores de R , M y P , se obtiene la ecuación de la trayectoria parabólica del balón. 2

 1   x − R  = −4P (y − M )  2 

2

( x − h) = −4 p( y − k )

∴

( x − 72.55 )2 = −121.6(y − 43.2)

* Una piedra es lanzada horizontalmente desde la parte más alta de un edificio de 80 m de altura, a una velocidad de 10 m/s como lo muestra la siguiente figura. Si la piedra sigue una trayectoria parabólica, entonces ¿Cuál es la ecuación para dicha trayectoria y cuál es la distancia horizontal recorrida por la piedra en el momento de caer al suelo? Y Trayectoria de la piedra

V

h = 80 m

X’

0

Y’

X x


81

MATEMÁTICAS IV

Solución.

- Como la trayectoria de la piedra no tiene ángulo de inclinación, entonces se establece que el 4 x 2 disparo corresponde a un tiro horizontal descrito por la ecuación y = − 2 + h . V

- Se sustituye el valor de la velocidad y la altura en la ecuación del tiro horizontal y con esto se obtiene la ecuación de la trayectoria de la piedra. y = −

4 x 2 V 2

+h

y = −

4 x 2 + 80 (10) 2

∴

y = −

x 2

25

+ 80

- Al momento de caer la piedra al suelo, lo hace en el punto P ( x ,0); Éste punto se sustituye en la ecuación de la trayectoria y se obtiene la distancia horizontal recorrida por la piedra, mediante la solución de una ecuación de 2 do grado. y = −

x 2

25

+ 80

0=−

x 2

25

+ 80

∴ x 1 = 44.72 y x 2 = −44.72

En la solución de la ecuación cuadrática se obtienen dos valores, de los cuales el positivo es el que corresponde a la distancia horizontal recorrida por la piedra, es decir, 44.72 m.

* Un cometa tiene órbita parabólica con el Sol ubicado en el foco de la curva. Cuando el cometa se ubica a 110 2 millones de millas (mdm) del Sol, la recta que une a ambos astros forma un ángulo de 45° con el eje de simetría de la parábola como lo muestra la siguiente figura. De acuerdo con lo anterior, determinar: A) B) C) D)

La ubicación del cometa en el instante en que su distancia al Sol es de 110 2 mdm. La distancia mínima entre el cometa y el sol La ecuación ordinaria que describe la órbita parabólica del cometa. La distancia entre el cometa y el Sol cuando la recta que une ambos astros forma un ángulo de 90° con el eje de simetría de la curva. Y

C

d = 110 2 X’

45°

X

S Trayectoria

Y’


82

MATEMÁTICAS IV

Solución.

A) Como la recta forma un ángulo de 45° con el eje de simetría, entonces se forma un triángulo rectángulo con sus catetos de la misma longitud, cuyo valor se obtiene con el Teorema de Pitágoras. 2

d = 110

Si x = y , entonces x 2 + x 2 = (110 2 )

2

Y

∴ x = 110

Del valor obtenido se establece que la ubicación del cometa es P(110,110).

X

B) De la gráfica se observa que la trayectoria está descrita por una parábola horizontal que abre hacia la derecha, por lo tanto, su ecuación ordinaria es de la forma y 2 = 4 p ( x − h) ; donde la distancia mínima entre el cometa y el Sol es la distancia entre el vértice de la curva y su foco, es decir, el valor del parámetro p. Con esto se establece que h = p. Si h = p, entonces y 2 = 4 p ( x + p) ; ya que el vértice de la curva es V (−h,0) = V (− p,0). - Se sustituye el punto P (110,110) en la ecuación de la curva y se obtiene el valor del parámetro mediante la solución de una ecuación de 2 do grado. 2

2

2

y = 4 p ( x + p) → (110) = 4 p (110 + p) → 4 p + 440 p − 12100 = 0 ∴ p1 = 22.78 y p2 = −132.78

Como la parábola abre hacia la derecha, entonces p > 0. Por lo tanto, su valor es p = 22.78. Con el valor de p se establece que la distancia mínima entre el cometa y el Sol es de 22.78 mdm (millones de millas).

C) La ecuación ordinaria de la trayectoria parabólica descrita por el cometa se obtiene sustituyendo el valor del parámetro en la ecuación correspondiente. 2

2

y = 4 p ( x + p) → y = 4(22.78) ( x + 22.78)

∴ y 2 = 91.12 ( x + 22.78)

D) Cuando la recta que une al cometa y el Sol forma un ángulo de 90° con el eje de simetría de la curva, entonces dicho cometa se encuentra ubicado en el punto P (0,y ), donde y es la distancia existente entre ambos astros. - Se sustituyen las coordenadas del punto P (0,y ) en la ecuación ordinaria de la trayectoria y se llega a una ecuación de 2do grado, cuya solución representa la distancia existente entre ambos astros. 2

2

2

y = 91.12 ( x + 22.78) → y = 91.12 (0 + 22.78) → y = 2075.71 ∴ y 1 = 45.56 y y 2 = −45.56

Como la distancia que se desea obtener es la correspondiente a la recta de 90°, entonces la distancia entre el cometa y el Sol es con dirección hacia arriba, es decir, 45.56 mdm.


83

MATEMÁTICAS IV

* Los cables de un puente tienen la forma de una parábola como lo indica la siguiente figura. Las torres que soportan cada uno de los cables distan 240 m entre sí, el cable pasa sobre los apoyos superiores a una altura de 30 m sobre el piso y su punto medio que es el más bajo está a nivel de dicho piso. De acuerdo con esto; hallar: A) La ecuación de la parábola representada como una función cuadrática. B) La longitud total de los cables verticales suspensores, si utiliza 6 en cada cable parabólico. Y

30 m X 0

240 m

Solución.

A) De la gráfica se establece que la curva es una parábola vertical con vértice en el origen y abertura hacia arriba, por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma x 2 = 4 py . - En la gráfica se observa que un punto de la parábola es P (120,30), dicho punto se sustituye en la ecuación ordinaria correspondiente y con esto se obtiene el valor del parámetro. 2

2

x = 4 py → (120) = 4 p(30)

∴ p = 120

- Se sustituye el valor del parámetro en la ecuación ordinaria y se obtiene la función cuadrática del cable parabólico. 2

2

2

x = 4 py → x = 4(120) y → x = 480 y ∴

y =

x 2

480

B) Como cada cable en forma de parábola tiene 6 cables verticales suspensores, entonces 3 están hacia la derecha y 3 hacia la izquierda. Los de la derecha están ubicados en las abscisas x 1 = 30, x 2 = 60 y x 3 = 90. - La longitud de cada cable vertical suspensor de la derecha, es: y 1, y 2, y 3. - Con cada abscisa y ordenada se forma un punto P ( x ,y ) perteneciente a la parábola, dicho punto se sustituye en la ecuación del cable parabólico y se obtiene la longitud de cada cable vertical suspensor. P 1(30,y 1) →

y 1 =

(30) 2 480

∴ y1 = 1.875

P 1(60,y 1) →

y 1 =

(60) 2 480

∴ y1 = 7.5

(90) 2 P 1(90,y 1) → y 1 = 480

Sumando y 1 + y 2 + y 3, se obtiene la longitud de los cables suspensores de la derecha de un cable parabólico, la cual es 26.25 m.

∴ y1 = 16.875

- Los 26.25 m se multiplican por 2 para obtener la longitud de los cables suspensores correspondientes a un cable parabólico, la cual es 52.5 m. - Finalmente los 52.5 m se multiplican por 2 para obtener la longitud total de los cables suspensores contenidos en los cables parabólicos del puente, la cual es LT = 105 m. CUADERNO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN

84

MATEMÁTICAS IV


19. Obtén las características de las curvas cónicas que se especifican en cada inciso. A) Si el vértice de una parábola es V (−1,−2) y su directriz es el eje de las abscisas; entonces, obtén las coordenadas de su foco y la abertura de la curva. B) Si el vértice de una parábola es V (−1,−1) y su foco F (1,−1); entonces, establece el valor de su parámetro y la ecuación de su directriz. C) Si los focos de una elipse son los puntos F (2,−1), F ’(2,−9) y su eje mayor mide 10 unidades; entonces, determina las coordenadas de su centro y sus vértices. D) Si los vértices de una elipse son los puntos V (0,−3), V ’(−10,−3) y su eje menor mide 6 unidades; entonces, obtén las coordenadas de su centro y sus focos. E) Si los focos de una hipérbola son los puntos F (1,2), F ’(−9,2) y su eje real mide 6 unidades; entonces, establece las coordenadas de su centro y sus vértices. F) Si los vértices y focos de una hipérbola son los puntos V (3,2), V ’(3,−4), F(3,4) y F’(3,−6); entonces, determina las coordenadas de su centro y la posición de la curva.

20. Establece la ecuación ordinaria y general de las circunferencias que se indican en cada inciso. A) Circunferencia con centro en C (−3,7) y radio igual a 7 unidades. B) Circunferencia con centro en C (3,1) y pasa por el origen del plano. C) Circunferencia que pasa por el punto

 3  y es concéntrica a la ecuación   2 

P  6 ,

4 x 2 + 4 y 2 − 32 x + 4 y + 57 = 0 D) Circunferencia con centro en el eje de las ordenadas y pasa por los puntos P 1 (4,4 ) y

(

)

P 2 2 3 ,2 .

E) Circunferencia que pasa por el origen del plano y por los puntos P 1 (5,1) y P 2 (6,0) . F) Circunferencia con centro en C (−3,3) y tangente a los ejes coordenados. G) Circunferencia con centro en C (1,−1) y tangente a la recta 5 x + 12y − 13 = 0.

21. Resuelve el siguiente problema por medio de los elementos de la circunferencia. En la provincia se desea instalar una cuenca lechera para la industrialización de la leche procedente de tres establos ganaderos. El establo X se ubica 5 Km hacia el Este y 3 Km hacia el norte; el establo Y se ubica 3 Km hacia el Este y 5 Km hacia el Norte y el establo Z se ubica 3 Km hacia el Oeste y 3 Km hacia el Norte. Si los tres establos tienen como punto de partida el cruce de dos carreteras perpendiculares (ejes coordenados)y se desea que la cuenca se sitúe a la misma distancia de cada establo, entonces ¿Cuál será su localización?


85

MATEMÁTICAS IV

22. En cada uno de los incisos siguientes, la ecuación representa una circunferencia, de acuerdo con esto, obtén su centro y radio de cada curva. A) ( x + 3)2 + (y − 2)2 = 36 B) ( x − 1)2 + y 2 = 25 C) x 2 + y 2 − 16 = 0 D) x 2 + y 2 + 4 x − 8y = 0 E) x 2 + y 2 − 8 x = 0 F) x 2 + y 2 + 5 x + 6 y − 9 = 0 G) 3 x 2 + 3 y 2 − 4 x + 8 y = 0

23. Si la ecuación general de una circunferencia es, x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + 1 = 0 ; entonces, representa dicha ecuación en su forma ordinaria.

24. Establece si la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones es una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico; si la gráfica es un punto, indica su ubicación P (h,k ) en el plano y si es una circunferencia, indica su centro C (h,k ) y su radio “ r ”. A) x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 1 = 0 B) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 14 = 0 C) 36 x 2 + 36 y 2 − 108 x − 48 y + 97 = 0

25. Resuelve los siguientes problemas por medio de la aplicación de la circunferencia y sus ecuaciones. A) En una escuela de natación infantil se desea construir una alberca de forma circular aprovechando 3 alcantarillas de desagüe situadas en los siguientes puntos coordenados A(0,0), B(−6,2) y C (−6,6). Se quiere que la circunferencia que rodea a la alberca, pase por estas 3 alcantarillas; para que se cumpla ésta condición; ¿Cuál debe ser la ecuación, el centro y el radio de la alberca? Y

C

B

X’

0 A

X

Y’


86

MATEMÁTICAS IV

B) Una compañía constructora está encargada de unir un tramo de carretera localizado sobre 4 la recta y = x con otra carretera que se ubica sobre la recta y = 0 mediante un arco de 3 circunferencia de 16 m de radio como lo muestra la siguiente figura. De acuerdo con esto, ¿Dónde se debe colocar el centro de la curva para que ésta sea tangente a ambas rectas? Y

y =

4 x 3 BISECTRIZ

16

C

Y=0 0

X

26. Obtén la ecuación ordinaria y general de las parábolas que se especifican en cada inciso. A) Vértice V (0,1) y Foco F (4,1). B) Vértice V (2,0) y Directriz y = 3. C) Foco F (−4,0) y Directriz x = 4. D) Puntos extremos de su lado recto P (6,3) y Q (−2,3), con el foco ubicado abajo del vértice. E) Vértice V (−1,−3), eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas (eje Y ) y la curva pasa por el punto P (−3,−5). F) Eje de simetría paralelo al eje de las abscisas (eje X ) y la curva pasa por lo puntos P 1(−3,3), P 2(−4,1) y P 3(−12,−3). G) Su eje de simetría es el eje Y y la curva pasa por los puntos P 1(1,−2) y P 2(−2,3).

27. Si el vértice de una parábola es el punto V (2,−1) y su directriz es la recta x = −1; entonces, determina su ecuación ordinaria y general, las coordenadas de su foco, la longitud y los puntos extremos de su lado recto.

28. Determina la ecuación ordinaria y general, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la longitud y los puntos extremos del lado recto de la parábola que su vértice es el origen del plano, su eje de simetría es el eje de las abscisas y la curva pasa por el punto P (8,−4).

29. Halla las coordenadas del vértice y foco, así como la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de las parábolas que su ecuación se indica en cada uno de los siguientes incisos. A) x 2 = 10 y B) y 2 = 12( x + 4 ) C) ( x − 2)2 = −8(y + 3)


87

MATEMÁTICAS IV

D) y 2 − 2 y + 4 x + 9 = 0 E) 2 x 2 − 2 x − 3 y + 2 = 0 F) x 2 − 8 x + 8 y + 16 = 0 G) 15 = 6y + 6 x − y 2

30. Resuelve los siguientes problemas por medio de la aplicación de la circunferencia y sus ecuaciones. A) Al ser disparado un proyectil desde el origen del plano con un ángulo de inclinación de 55° con respecto a la horizontal, alcanzó una altura máxima de M = 41.94 m con un parámetro de P = 20.56 m. De acuerdo con esto, ¿Cuál es la ecuación ordinaria de la trayectoria parabólica del proyectil? TRAYECTORIA DEL PROYECTIL

Y

P M

Vo

α X’ PROYECTIL

X R

Y’

B) Un cometa que tiene órbita parabólica con el Sol como foco se ubica en un punto que está a 120 2 millones de millas de distancia con respecto al Sol. Si la recta que une ambos astros, forma un ángulo de 45° con el eje de simetría de la parábola, entonces ¿Cuál es la distancia mínima entre el cometa y el Sol? Y

C

d = 120 2 X’

45°

X

S Trayectoria

Y’


88

MATEMÁTICAS IV

C) La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 100 m y la distancia que existe entre la base del puente y el punto más bajo del cable colgante es de 15 m. Si el cable tiene una posición de reposo en forma de parábola; entonces, ¿Cuál es la función cuadrática que describe la posición del cable, si se supone que el vértice está en el punto central más bajo de dicho cable? Y

90 m V X’

X 0 50 m

Y’

D) El corte del reflector de un foco de automóvil tiene forma parabólica. Si el diámetro del faro es de 20 cm y la profundidad de 10 cm, entonces ¿Cuál es la ubicación del foco en la curva? Y

X’

F 0

20 cm

X

10 cm Y’


89

MATEMÁTICAS IV

3.3. COMPENDIO FASCÍCULO 3 ELIPSE E HIPÉRBOLA En el compendio fascículo 3, relacionaste los puntos y rectas notables de la elipse y la hipérbola, así como también manejaste sus ecuaciones ordinarias y generales en la resolución de diversos ejercicios y problemas.

RELACIONES Y PROPIEDADES DE LA ELIPSE. La elipse tiene tres parámetros: a (distancia del centro a uno de los vértices o semieje mayor ), b (semieje menor ) y c (distancia del centro a uno de los focos ). Por medio de la relación y condición de los parámetros, se tiene la expresión a 2 = b 2 + c 2 , con a2 > b2. c 2b 2 El lado recto y la excentricidad de la elipse se obtienen con LR = y e = cuando e < 1. a

a

EJEMPLO * Si las longitudes del eje mayor y menor de una elipse son 10 cm y 6 cm respectivamente, entonces obtener: A) La distancia existente entre el centro y uno de sus focos. B) La longitud de su eje focal. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto. Solución.

A) La distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus focos es la longitud del parámetro c . - Del enunciado se establece lo siguiente: Eje mayor = 2a = 10 ∴ a = 5 Eje menor = 2b = 6 ∴ b = 3 - Se aplica la condición de los parámetros para obtener el valor de c . a 2 = b 2 + c 2

→ (5) 2 = (3) 2 + c 2 → c = 25 − 9

∴ c = 4 cm.

B) La longitud del eje focal es la distancia existente entre los dos focos de la curva: Eje focal = 2c = 8 cm.

C) La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

∴ e=

4 5

;

LR =

2b 2 a

LR =

2(3 ) 2 18 ∴ LR = . 5 5


90

MATEMÁTICAS IV

* Si las longitudes del eje menor y focal de una elipse son 2 7 cm y 6 cm respectivamente, entonces determinar: A) La distancia existente entre el centro y uno de sus vértices. B) La longitud de su eje mayor. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto. Solución.

A) La distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus vértices es la longitud del parámetro a. - Del enunciado se establece lo siguiente: Eje menor = 2b = 2 7 ∴ b = 7 Eje focal = 2c = 6 ∴ c = 3 - Se aplica la condición de los parámetros para obtener el valor de a. a 2 = b 2 + c 2

2

→ a 2 = ( 7 ) + (3) 2 → a = 7 + 9

∴ a = 4 cm.

B) La longitud del eje mayor es la distancia existente entre los dos vértices de la curva: Eje mayor = 2a = 8 cm.

C) La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes.

3 ∴ e= 4

c e = a

;

LR =

2( 7 ) LR = 4

2b 2 a

2

∴ LR =

7 . 2

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE. A partir del concepto de la elipse, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.

ECUACIONES DE LA ELIPSE con Centro C (h,k ) Elipse Horizontal.

( x − h ) 2 a2

+

Elipse Vertical.

(y − k ) 2 b2

(y − k ) 2

= 1 Ordinaria

a2

+

( x − h) 2 b2

= 1 Ordinaria

Ecuación general para ambas curvas. Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 con A ≠ C y con el mismo signo 2

2

Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0.


91

MATEMÁTICAS IV

Caso 1.


EJEMPLO * Obtener la ecuación ordinaria y general de la elipse cuyos vértices son los puntos V (3,0) y V ’(−3,0) y la longitud de su eje menor mide 2 3 unidades. Obtener también las coordenadas de su centro y focos, la longitud de su eje mayor, su excentricidad y la longitud de su lado recto. - Se ubican los vértices y el eje menor en el plano para bosquejar la posición de la elipse. Y Eje menor 2b=2√3 u

X’

- Con la posición de la curva se establece que la elipse es horizontal y con centro en el origen C (0,0), por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma

X

0

x V ’(−3,0)

2

a2

V (3,0)

+

y b2

2

= 1 , ya que h y k valen cero.

Y’

- El parámetro “a” es la distancia del centro a uno de los vértices, es decir a = 3. - El parámetro “b” es el semieje menor y se obtiene de la longitud del eje menor: 2b = 2 3 ∴ b = 3 - Con el valor de los parámetros, se establece la ecuación ordinaria de la elipse. x a2

2

+

y b2

2

=1

x

2

(3)2

+

y

2

( 3 )2

∴

=1

x 2

9

+

y 2

3

=1

- La ecuación general de la elipse, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera e igualando la expresión a cero.

 x 2 y 2  + = 1 (9)  3   9

x 2

+ 3y 2 = 9

∴ x 2 + 3 y 2 − 9 = 0

- Como el eje mayor es 2 a, entonces su longitud vale 6 unidades. - El parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

2

(3) 2 = ( 3 ) + c 2

∴

c =

6

- Como la curva es horizontal, entonces uno de los focos está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia c = 6 unidades, es decir F ( 6 ,0 ) y F ' (− 6 ,0 ) .


92

MATEMÁTICAS IV

- La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. c e = a

6 ∴ e= 3

LR =

;

2( 3 ) LR = 3

2b 2 a

2

∴ LR = 2 u .

* Determinar la ecuación ordinaria y general de la elipse cuyo extremo de su eje menor es el punto P (−5,5), su vértice V (−2,0) y su centro C (−2,5). Determinar también las coordenadas de sus focos, el otro vértice, el otro extremo de su eje menor, las longitudes de su eje mayor y menor, su excentricidad y la longitud de su lado recto. - Se ubica el vértice, el centro y el extremo del eje menor en el plano para bosquejar la posición de la elipse. Y V (-2,10)

- Con la posición de la curva se establece que la elipse es vertical y con centro C (h,k ), por lo tanto su 2 2 ecuación ordinaria es de la forma (y − k ) ( x − h )

C (-2,5)

a2

P (-5,5)

+

b2

=1

- El parámetro “ a” es la distancia del centro al vértice, es decir a = 5. - El parámetro “ b” es el semieje o distancia que hay del centro al punto extremo del eje menor, es decir b = 3.

X’

X

0

Y’

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se establece la ecuación ordinaria de la elipse.

(y − k ) 2 a2

+

( x − h ) 2 b2

(y − 5)2 [ x − ( −2)] 2

=1

(5)2

+

(3)2

=1

∴

( y − 5) 2 ( x + 2) 2 + =1 25 9

- La ecuación general de la elipse, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera, igualando la expresión a cero, desarrollando los binomios y simplificando términos.

 ( y − 5) 2 ( x + 2) 2  + = 1 (225)  9  25 

9( y − 5) 2 + 25( x + 2) 2 = 225

9( y 2 − 10 y + 25) + 25( x 2 + 4 x + 4) − 225 = 0

9 y 2 − 90 y + 225 + 25 x 2 + 100 x + 100 − 225 = 0

∴ 25 x 2 + 9 y 2 + 100 x − 90 y + 100 = 0 - El parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

(5) 2 = (3) 2 + c 2

∴

c = 4


93

MATEMÁTICAS IV

- Como la curva es vertical, entonces uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 4 unidades, es decir F (−2,1) y F’ (−2,9). - El otro vértice de la elipse está hacia arriba del centro a una distancia a = 5 unidades, es decir V’ (−2,10). - El otro extremo del eje menor está hacia la derecha del centro a una distancia b = 3 unidades, es decir Q (1,5). - El eje mayor y menor es 2 a y 2b respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 10 y 6 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

∴ e=

4 5

2b 2

LR =

;

LR =

a

2(3) 2 ∴ 5

LR =

18 u . 5

* Hallar la ecuación ordinaria y general de la elipse que tiene como vértices y focos los puntos V (2,2), V’ (8,2), F (3,2) y F’ (7,2). Hallar también las coordenadas de su centro, las longitudes de su eje mayor y menor, su excentricidad y la longitud de su lado recto. - Se ubican los vértices y los focos en el plano para bosquejar la posición de la elipse. Y

V (2,2) F(3,2)

X’

- Con la posición de la curva se establece que la elipse es horizontal y con centro C (h,k ), por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma ( x − h )2 ( y − k ) 2

F ’(7,2) V ’(8,2)

a2

b2

=1

- El centro de la elipse es el punto medio de los vértices y los focos, es decir: C (5,2).

X

0

+

Y’

- El parámetro “a” es la distancia del centro a uno de los vértices, es decir a = 3. - El parámetro “c ” es la distancia del centro a uno de los focos, es decir c = 2. - El parámetro “b” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

(3)2 = b2 + (2)2 ∴ b = 5


( x − h ) 2 a2

+

( y − k ) 2 b2

=1

( x − 5)2 (y − 2)2 (3)2

+

( 5 )2

=1

∴

( x − 5) 2 (y − 2) 2 + =1 9 5



94

MATEMÁTICAS IV

 ( x − 5) 2 ( y − 2) 2  + = 1 ( 45)  5  9 

5( x − 5) 2 + 9( y − 2) 2 = 45

5( x 2 − 10 x + 25 ) + 9( y 2 − 4y + 4) − 45 = 0

5 x 2 − 50 x + 125 + 9y 2 − 36 y + 36 − 45 = 0

∴ 5 x 2 + 9 y 2 − 50 x − 36 y + 116 = 0 - El eje mayor y menor es 2 a y 2b respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 6 y 2 5 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes.

2 ∴ e= 3

c e = a

LR =

;

2( 5 ) LR = 3

2b 2 a

2

∴

LR =

10 u . 3

* Establecer la ecuación ordinaria y general de la elipse que tiene como vértices los puntos V (−4,4), V’ (−4,−8) y tiene como lado recto LR = 16 . Establecer también las coordenadas de su 3 centro, sus focos, su excentricidad y las l ongitudes de su eje mayor, menor y focal. - Se ubican los vértices en el plano para bosquejar la posición de la elipse. Y V (-4,4)

X’

0

X

- Con la posición de la curva se establece que la elipse es vertical y con centro C (h,k ), por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma (y − k )2 ( x − h) 2 a2

+

b2

=1

- El centro de la elipse es el punto medio de los vértices, es decir: C (−4,−2). V’ (-4,-8)

Y’

- El parámetro “a” es la distancia del centro al vértice, es decir a = 6. - El parámetro “b” se obtiene a partir de la longitud del lado recto: LR =

2b 2 a

2 → 16 = 2b ∴ b = 4

3

6


(y − k ) 2 a2

+

( x − h ) 2 b2

=1

[y − (− 2)]2 + [ x − (−4)]2 = 1 (6)2

(4)2

∴

( y + 2) 2 ( x + 4) 2 + =1 36 16


95

MATEMÁTICAS IV


 ( y + 2) 2 ( x + 4) 2  + = 1 (144 )  16  36 

4( y + 2) 2 + 9( x + 4) 2 = 144

4( y 2 + 4 y + 4) + 9( x 2 + 8 x + 16) − 144 = 0

4 y 2 + 16 y + 16 + 9 x 2 + 72 x + 144 − 144 = 0

∴ 9 x 2 + 4 y 2 + 72 x + 16 y + 16 = 0 - El parámetro “c ” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

(6)2 = (4)2 + c 2 ∴ c = 2 5

- Como la curva es vertical, entonces uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 2 5 unidades, es decir F ( −4,−2 + 2 5 ) y F ' (−4,−2 − 2 5 ) . - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2b y 2 c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 12, 8 y 4 5 unidades. - La excentricidad de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en la fórmula correspondiente. e =

c a

e=

2 5 6

∴ e=

5 3

* Obtener la ecuación ordinaria y general de la elipse que tiene como focos los puntos F (2,−1), F’ (−2,−1) y tiene como excentricidad e = ½. Obtener también las coordenadas de su centro, sus vértices y las longitudes de su eje mayor, menor, focal y lado recto. - Se ubican los focos en el plano para bosquejar la posición de la elipse. Y

X’

X

0

F ’(-2,-1)

F (2,-1)

- Con la posición de la curva se establece que la elipse es horizontal y con centro en el eje Y ubicado en el punto C (0,y ), por lo tanto su ecuación ordinaria es de la forma 2 2 x ( y − k ) + = 1 , ya que h = 0. 2 2 a

b

- El centro de la elipse es el punto medio de los focos, es decir: C (0,−1). Y’

- El parámetro “c ” es la distancia del centro a uno de los focos, es decir c = 2.


96

MATEMÁTICAS IV

- El parámetro “a” se obtiene a partir de la excentricidad de la curva: e =

c a

→

1 2 = 2 a

∴ a = 4

- El parámetro “b” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

(4)2 = b2 + (2)2 ∴ b = 2 3

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se establece la ecuación ordinaria de la elipse. x a2

2

+

( y − k ) 2 b2

=1

2

x

( 4)2

2 [ y − (− 1)] + =1

(2 3 )2

∴

x 2

16

+

( y + 1) 2 =1 12


 x 2 ( y + 1) 2  + = 1 (48)  12  16 

3 x 2 + 4( y + 1) 2 = 48

3 x 2 + 4( y 2 + 2y + 1) − 48 = 0

3 x 2 + 4 y 2 + 8 y + 4 − 48 = 0 ∴ 3 x 2 + 4 y 2 + 8y − 44 = 0 - Como la curva es horizontal, entonces uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 4 unidades, es decir V (4,−1), V’ (−4,−1). - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 8, 4 3 y 4 unidades. - El lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmula correspondiente. LR =

2(2 3 ) LR = 4

2b 2 a

2

∴

LR = 6 u .

Caso 2.

Cuando se tiene la ecuación de la curva y se desea obtener sus puntos y rectas. La ecuación general de la elipse se transforma mediante procedimientos algebraicos a la ecuación ordinaria y de ésta expresión se obtiene directamente el centro C (h,k ) y los parámetros a y b de la curva.

EJEMPLO * Determinar las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes (mayor, menor y focal), la excentricidad y la longitud del lado recto de las elipses que tienen como ecuación las siguientes expresiones. A)

y 2

25

+

x 2

9

=1


97

MATEMÁTICAS IV

( x + 4 )2

B)

16

+

(y − 4 )2 7

=1

C) 9 x 2 + 5 y 2 − 72 x + 40 y + 44 = 0 D) 13 x 2 + 25 y 2 − 150 y − 100 = 0 Solución.

A) La ecuación de la elipse está en su forma ordinaria y como “ x ” y “y ” aparecen sin las traslaciones “h” y “k ”, entonces se establece que su centro es C (0,0), ya que h = 0 y k = 0. - De la ecuación ordinaria se obtienen directamente los parámetros a y b (recuerda que a2 > b2). y 2

+

a2

x 2 b2

y 2

=1

( 5) 2

+

x 2

(3 ) 2

=1

∴ a = 5 y b = 3

- El parámetro “c ” se obtiene con la condición de los parámetros. a 2 = b 2 + c 2

(5)2 = (3)2 + c 2 ∴ c = 4

- Como la variable “y ” es numerador del parámetro “ a”, entonces la elipse es vertical y con esto se establece que: Uno de los vértices está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia a = 5 unidades, es decir V (0,5), V’ (0,−5). Uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 4 unidades, es decir F (0,4), F’ (0,−4). - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2b y 2 c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 10, 6 y 8 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

∴ e=

4 5

2b 2

LR =

;

a

LR =

2(3) 2 ∴ 5

LR =

18 u . 5

B) La ecuación de la elipse está en su forma ordinaria, por lo tanto el centro y los parámetros a y b se obtienen directamente de dicha expresión (recuerda que a2 > b2). ( x − h ) 2 a2

+

( y − k ) 2 b2

=1

[ x − ( −4 )] 2 ( y − 4 ) 2 + =1 2 ( 4) 2 ( 7)

∴ C (−4,4) ; a = 4 y b = 7


2

(4) 2 = ( 7 ) + c 2 ∴ c = 3

- Como la variable “ x ” es numerador del parámetro “ a”, entonces la elipse es horizontal y con esto se establece que: Uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 4 unidades, es decir V (0,4), V’ (−8,4).


98

MATEMÁTICAS IV

Uno de los focos está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia c = 3 unidades, es decir F (−7,4), F’ (−1,4). - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 8, 2 7 y 6 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes.

3 ∴ e= 4

c e = a

2b 2

LR =

;

a

2( 7 ) LR = 4

2

∴

LR =

7 u . 2

C) La ecuación de la elipse está en su forma general, por lo tanto se convierte a su forma ordinaria mediante procesos algebraicos. 9 x 2 − 72 x + 5 y 2 + 40 y = −44

(Se agrupan los términos de las variables y se traspone el término constante al 2° miembro de la igualdad)

9( x 2 − 8 x ) + 5( y 2 + 8 y ) = −44

(Se factorizan los términos de la variable por factor común)

9( x 2 − 8 x + 16) + 5( y 2 + 8 y + 16) = −44 + 144 + 80 (Los binomios de cada variable se completan en trinomios cuadrados perfectos y los términos que se agregan en el 1° miembro, también se agregan en el 2° miembro de la igualdad)

9( x − 4) 2 + 5( y + 4) 2 = 180

(Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos y se simplifican los términos constantes del 2° miembro)

9( x − 4) 2 5( y + 4) 2 180 + = 180 180 180

(Se divide cada uno de los términos de la igualdad entre el término constante del segundo miembro de ésta)

( y + 4) 2 ( x − 4) 2 + =1 36 20

(Se simplifican numeradores y denominadores para obtener la ecuación ordinaria de la elipse con a2 > b2)

- De la ecuación ordinaria, se obtiene el centro y los parámetros a y b de la elipse. ( y − k ) 2 a2

+

( x − h ) 2 b2

=1

[ y − ( −4 )] 2 ( x − 4 ) 2 + =1 (6) 2 ( 20 )2

∴ C (4,−4) ; a = 6 y b = 20 ó 2 5


2

(6) 2 = (2 5 ) + c 2 ∴ c = 4

- Como la variable “y ” es numerador del parámetro “ a”, entonces la elipse es vertical y con esto se establece que: Uno de los vértices está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia a = 6 unidades, es decir V (4,2), V’ (4,−10). Uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 4 unidades, es decir F (4,0), F’ (4,−8). - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2 b y 2 c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 12, 4 5 y 8 unidades.


99

MATEMÁTICAS IV

- La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

4 e= 6

c a

2 ∴ e= 3

LR =

;

2b 2 a

2(2 5 ) LR = 6

2

∴ LR =

20 u . 3

D) La ecuación de la elipse está en su forma general, por lo tanto se convierte a su forma ordinaria mediante procesos algebraicos. 13 x 2 + 25( y 2 − 6y ) = 100

(Se factorizan los términos de la variable “ y ” por factor común y se traspone el término constante al 2° miembro de la igualdad)

13 x 2 + 25( y 2 − 6y + 9) = 100 + 225 (El binomio de la variable “y” se completa en un trinomio cuadrado

perfecto, agregando el término constante tanto en el 1° como en el 2° miembro de la igualdad)

13 x 2 + 25( y − 3) 2 = 325

(Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la variable “ y ” y se simplifican los términos constantes del 2° miembro)

13 x 2 25( y − 3) 2 325 + = 325 325 325 x

2

25

+

(y − 3 ) 2 13


=1

(Se simplifican numeradores y denominadores para obtener la ecuación ordinaria de la elipse con a2 > b2)

- En la ecuación ordinaria la variable “ x ” aparece sin la traslación “ h”, por lo tanto su centro es C (0,k ), ya que h = 0. - De la ecuación ordinaria, se obtiene el centro y los parámetros a y b de la curva. x 2 a2

+

( y − k ) 2 b2

x

=1

2

(5 ) 2

+

(y − 3) 2

( 13 )2

=1

∴ C (0,3) ; a = 5 y b = 13


2

(5) 2 = ( 13 ) + c 2 ∴ c = 12

ó

2 3

- Como la variable “ x ” es numerador del parámetro “ a”, entonces la elipse es horizontal y con esto se establece que: Uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 5 unidades, es decir V (5,3), V’ (−5,3). Uno de los focos está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia c = 2 3 unidades, es decir F (2 3 ,3 ), F ' (− 2 3 ,3 ) . - El eje mayor, menor y focal es 2 a, 2 b y 2 c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 12, 4 5 y 2 3 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. c e = a

2 3 ∴ e= 5

;

LR =

2b 2 a

2( 13 ) LR = 5

2

∴ LR =

26 u . 5


100

MATEMÁTICAS IV

APLICACIONES DE LA ELIPSE. Las aplicaciones de la elipse son en Astronomía, Ingeniería Civil y en el diseño de muebles.

EJEMPLO * La trayectoria de la Tierra tiene órbita elíptica con respecto al Sol ubicado en uno de sus focos. Si el eje mayor de dicha órbita es de 186’000,000 millas con una excentricidad de e = 0.017; entonces, ¿Cuáles son las distancias máxima y mínima entre la Tierra y el Sol? Y

186000000 T c

X’

X

0

S a

a

Y’

Solución.

- Como el eje mayor de la curva es 2 a = 186000000, entonces el parámetro a = 93000000 - Se sustituye el valor de “ a” en la expresión de la excentricidad y se obtiene el parámetro “ c ”. e =

c a

→ 0.017 =

c

93000000

∴ c = 1581000

- De la figura del problema se establece que la distancia máxima y mínima entre la Tierra y el Sol se obtienen con el desarrollo de las siguientes expresiones. DMAX = a + c = 93000000 + 1581000 = 94’581,000 millas DMIN = a − c = 93000000 − 1581000 = 91’419,000 millas

* Se desea construir un canal, cuya sección transversal debe tener forma semielíptica con un ancho en la parte superior de 12 m y un claro o máxima profundidad del canal de 4 m. De acuerdo con esto; ¿Cuál es la ecuación ordinaria que describe la sección del canal y la profundidad del arco en los puntos situados a 2 m del centro? Y 12 m 2m

X’

X y

4m

Y’


101

MATEMÁTICAS IV

Solución.

- El ancho del canal es el eje mayor de la curva, es decir 2 a = 12, y el parámetro a = 6. - La profundidad del canal corresponde al valor del parámetro “ b”, es decir b = 4. - De la gráfica se establece que la sección del canal es una elipse horizontal con centro en el origen, cuya ecuación ordinaria es de la forma

x 2 a2

+

y 2 b2

=1

- Se sustituyen los valores de los parámetros en la ecuación correspondiente y se obtiene la ecuación ordinaria que describe la sección transversal del canal. x 2 a2

+

y 2 b2

=1 →

x 2

(6 ) 2

+

y 2

( 4) 2

=1 ∴

x 2

36

+

y 2

16

=1

- La profundidad del arco a 2 m del centro, se ubica en el punto P (2,y ); dicho punto se sustituye en la ecuación ordinaria y se obtiene una ecuación cuadrática, cuya solución corresponde a la profundidad del arco. x 2

y 2

(2) 2 y 2  1  + =1 → + = 1 → y 2 = 161 −  36 16 36 16  9 

∴ y 1 = 3.77 y

y 2 = −3.77

De las soluciones obtenidas, se establece que la profundidad del arco en el punto situado a 2 m del centro es 3.77 m tanto hacia la derecha como a la izquierda de dicho centro.

* A un carpintero se le pide fabricar una mesa de madera cuya cubierta debe tener forma elíptica como lo muestra la siguiente figura. Si tiene una hoja de triplay de 2.5 m de largo por 1.5 m de ancho, misma dimensiones de la mesa y quiere trazar la elipse sobre el triplay mediante un par de tachuelas y una cuerda; entonces, ¿Cuál es la longitud de la cuerda que debe sujetar las tachuelas para trazar la curva y a qué distancia del centro de la curva se debe colocar cada tachuela? Y 2.5 m 1.5 m

X’

0

X

Y’

Solución.

- Por el concepto de elipse, se tiene que la longitud de la cuerda, es L = 2 a = 2.5 m. - De la figura se observa que a = 1.25 y b = 0.75, éstos valores se sustituyen en la condición de los parámetros y se obtiene el valor de “ c ”. a 2 = b 2 + c 2

→ (1.25) 2 = (0.75) 2 + c 2 ∴ c = 1

Del valor de “c” se establece que cada tachuela se debe colar a 1 m de distancia del centro.


102

MATEMÁTICAS IV

RELACIONES Y PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA. La hipérbola tiene tres parámetros: a (distancia del centro a uno de los vértices o semieje transverso ), b (semieje conjugado) y c (distancia del centro a uno de los focos ). Por medio de la relación y condición de los parámetros, se tiene la expresión c 2 = a 2 + b 2 . Si a = b, la hipérbola es equilátera; si a < b, la hipérbola es más abierta y si a > b, la hipérbola es más cerrada. 2 c El lado recto y la excentricidad de la elipse se obtienen con LR = 2b y e = cuando e > 1. a

a

EJEMPLO * Si las longitudes del eje transverso y conjugado de una hipérbola son 8 cm y 6 cm respectivamente, entonces obtener: A) La distancia existente entre el centro y uno de sus focos. B) La longitud de su eje focal. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto. Solución.

A) La distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus focos es la longitud del parámetro c . - Del enunciado se establece lo siguiente: Eje transverso = 2a = 8 ∴ a = 4 Eje conjugado = 2b = 6 ∴ b = 3 - Se aplica la condición de los parámetros para obtener el valor de c . c 2 = a 2 + b 2

→ c 2 = ( 4) 2 + (3) 2 → c = 16 + 9

∴ c = 5 cm.

B) La longitud del eje focal es la distancia existente entre los dos focos de la curva: Eje focal = 2c = 10 cm.


c a

∴ e=

5 4

;

LR =

2b 2 a

LR =

2(3 ) 2 9 ∴ LR = . 4 2

* Si las longitudes del eje conjugado y focal de una hipérbola son 8 cm y 8 2 cm respectivamente, entonces determinar: A) La distancia existente entre el centro y uno de sus vértices. B) La longitud de su eje transverso. D) La excentricidad y la longitud de su lado recto. Solución.

A) La distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus vértices es la longitud del parámetro a.


103

MATEMÁTICAS IV

- Del enunciado se establece lo siguiente: Eje conjugado = 2b = 8 ∴ b = 4 Eje focal = 2c = 8 2 ∴ c = 4 2 - Se aplica la condición de los parámetros para obtener el valor de a. c 2 = a 2 + b 2

→

(4 2 )2 = a 2 + (4)2

→ a = 32 − 16 ∴ a = 4 cm.

B) La longitud del eje transverso es la distancia existente entre los dos vértices de la curva: Eje transverso = 2a = 8 cm.


c a

e=

4 2 4

∴ e= 2

LR =

;

2b 2 a

LR =

2( 4) 2 ∴ LR = 8 . 4

* Si las longitudes del eje transverso y focal de una hipérbola son 2 7 cm y 8 cm respectivamente, entonces determinar la excentricidad, la longitud de su lado recto y la longitud de su eje conjugado: - Del enunciado se establece lo siguiente: Eje transverso = 2a = 2 7 ∴ a = 7 Eje focal = 2c = 8 ∴ c = 4 - Se aplica la condición de los parámetros para obtener el valor de b. c 2 = a 2 + b 2

2

→ ( 4) 2 = ( 7 ) + b 2 → b = 16 − 7

∴ b = 3

- La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. c e = a

∴

4 e= 7

;

LR =

2b 2 a

2(3) 2 18 ∴ LR = LR = 7 7

- La longitud del eje conjugado es 2 b = 6 cm

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA. A partir del concepto de la hipérbola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.


104

MATEMÁTICAS IV

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C (h,k ) Hipérbola Horizontal.

( x − h ) 2 a2

−

(y − k ) 2 b2

Hipérbola Vertical.

(y − k ) 2

= 1 Ordinaria

a2

( x − h ) 2

−

b2

= 1 Ordinaria

Ecuación general para ambas curvas. Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde A y C son de signo contrario Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0. Caso 1.


EJEMPLO * Obtener la ecuación ordinaria y general de la hipérbola que tiene centro en el origen del plano, su eje focal es el eje “Y ”, semieje transverso a = 6 y semieje conjugado b = 28 . Obtener también las coordenadas de sus vértices y focos, la longitud de su eje transverso, conjugado y focal, su excentricidad y la longitud de su lado recto. - Con los datos del enunciado se bosqueja la posición de la curva en el plano. Y

- Como el centro de la hipérbola es el origen del plano, entonces h y k valen cero, por lo tanto su 6

ecuación ordinaria es de la forma

y 2 a2

−

x 2 b2

= 1,

ya que la curva es vertical. X’

X

0

- Con el valor de los parámetros “ a” y “b”, se establece la ecuación ordinaria de la hipérbola. y 2

-6

(6 ) 2

−

x 2

(

2

28 )

=1 ∴

y 2

36

−

x 2

28

=1

Y’

- La ecuación general de la curva se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera e igualando la expresión a cero.

 y 2 x 2  − = 1 (252)   36 28 

7y 2 − 9 x 2 = 252

∴ 7 y 2 − 9 x 2 − 252 = 0


105

MATEMÁTICAS IV

- El parámetro “c ” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2 = a 2 + b 2

c 2 = ( 6) 2 +

(

2

28 )

∴ c = 8

- Como la curva es vertical, entonces: Uno de los vértices está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia a = 6 unidades, es decir V (0,6) y V ’(0,−6). Uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 8 unidades, es decir F (0,8) y F ’(0,−8). - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 12, 2 28 y 16 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. 8 → e= 6

c e = a

4 ∴ e= 3

LR =

;

2b 2 a

2( 28 ) → LR = 6

2

∴ LR =

28 u . 3

* Hallar la ecuación ordinaria y general de la hipérbola que tiene como vértices y focos los puntos V (2,1), V’ (8,1), F (0,1) y F’ (10,1). Hallar también las coordenadas de su centro, las longitudes de su eje transverso, conjugado y focal, su excentricidad y la longitud de su lado recto. - Se ubican los vértices y los focos en el plano para bosquejar la posición de la hipérbola. Y

F

1 X’

V

V’

- Con la posición de la curva se establece que la hipérbola es horizontal y con centro C (h,k ), por lo tanto su ecuación ordinaria − 2 ( − )2 es de la forma x 2 h − ( y 2 k ) = 1

F’

a

X

0

2

4

6

8

10

b

- El centro de la elipse es el punto medio de los vértices y los focos, es decir: C (5,1).

Y’

- El parámetro “a” es la distancia del centro a uno de los vértices, es decir a = 3. - El parámetro “c ” es la distancia del centro a uno de los focos, es decir c = 5. - El parámetro “b” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2 = a 2 + b 2

(5)2 = (3)2 + b2 ∴ b = 4

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se establece la ecuación ordinaria de la hipérbola.

( x − h ) 2 ( y − k ) 2 a2

−

b2

=1

( x − 5)2 (y − 1) 2 − =1 (3)2 (4)2

∴

( x − 5) 2 (y − 1) 2 − =1 9 16


106

MATEMÁTICAS IV

- La ecuación general de la hipérbola, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera, igualando la expresión a cero, desarrollando los binomios y simplificando términos.

 ( x − 5) 2 ( y − 1) 2  − = 1 (144)  16  9 

16( x − 5) 2 − 9( y − 1) 2 = 144

16 ( x 2 − 10 x + 25 ) − 9( y 2 − 2 y + 1) − 144 = 0

16 x 2 − 160 x + 400 − 9 y 2 + 18 y − 9 − 144 = 0

∴ 16 x 2 − 9y 2 − 160 x + 18 y + 247 = 0 - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 6, 8 y 10 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

∴ e=

5 3

LR =

;

2b 2 a

LR =

2( 4) 2 ∴ 3

LR =

32 u . 3

* Determinar la ecuación ordinaria y general de la hipérbola que tiene como vértices los puntos V (−2,3) y V ’(−2,−3) y lado recto LR = 2. Determinar también las coordenadas del centro y los focos, la excentricidad y las longitudes del eje transverso, conjugado y focal. - Se ubican los vértices en el plano y se bosqueja la posición de la hipérbola. Y

V

- El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices, es decir C (−2,0). - El parámetro “ a” es la distancia del centro a uno de los vértices, es decir a = 3.

3

- El parámetro “ b” se obtiene por medio del valor del lado recto.

1 X’

-5

-1 0 -1

-3

1

X

2b 2 a

V’

-3

=2 →

2b 2 =2 ∴ b= 3 3

- El parámetro “ c ” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2 = a 2 + b 2 Y’

2

→ c 2 = (3) 2 + ( 3 )

∴ c = 12 ó 2 3

- Con la posición de la curva se establece que la hipérbola es vertical y con centro C (h,0), por lo y 2 ( x − h ) 2 = 1 , ya que k = 0. tanto su ecuación ordinaria es de la forma 2 − 2 a

b


107

MATEMÁTICAS IV

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se obtiene la ecuación ordinaria de la hipérbola. y 2 a2

−

( x − h ) 2 b2

=1 →

y 2

(3) 2

−

[ x − (− 2)]2

( 3 )2

=1 ∴

y 2

9

−

( x + 2) 2 =1 3

- La ecuación general de la hipérbola, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera, igualando la expresión a cero, desarrollando los binomios y simplificando términos.  y 2 ( x + 2) 2  − = 1 ( 9 )  3  9  y 2

y 2

− 3( x 2 + 4 x + 4) − 9 = 0

− 3( x + 2) 2 = 9

y 2

− 3 x 2 − 12 x − 12 − 9 = 0

∴

y 2 − 3 x 2 − 12 x − 21 = 0

- Como la curva es vertical, entonces uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 2 3 unidades, es decir F (−2, 2 3 ) y F ’(−2,− 2 3 ). - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 6, 2 3 y 4 3 unidades. - La excentricidad se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros “ a” y “c ” en la fórmula correspondiente. c 2 3 ∴ e= e = 3 a

* Obtener la ecuación ordinaria y general de la hipérbola que tiene como focos los puntos F (3,−1) y F ’(−5,−1) y excentricidad e = 4. Obtener también las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices, la longitud del eje transverso, conjugado, focal y el lado recto. - Se ubican los focos en el plano y se bosqueja la posición de la hipérbola. Y

- El centro de la hipérbola es el punto medio de los focos, es decir C (−1,−1). - El parámetro “c ” es la distancia del centro a uno de los focos, es decir c = 4. X’

X

0 F’ (-5,-1)

F (3,-1)

- El parámetro “ a” se obtiene por medio del valor de la 4 c =4 → = 4 ∴ a = 1 excentricidad. a

a

- El parámetro “ b” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2 = a 2 + b 2 → ( 4) 2 = (1) 2 + b 2 ∴ b = 15 Y’

- Con la posición de la curva se establece que la hipérbola es horizontal y con centro C (h,k), por lo ( x − h 2 ( y − k ) 2 tanto su ecuación ordinaria es de la forma − = 1. 2 2 a

b


108

MATEMÁTICAS IV

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se obtiene la ecuación ordinaria de la hipérbola. ( x − h 2 a2

−

( y − k ) 2 b2

=1 →

[ x − (−1)]2 − [y − (−1)]2 = 1 ∴ ( x + 1) 2 − ( y + 1) 2 = 1 2 2

( 15 )

(1)

1

15

- La ecuación general de la hipérbola, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera, igualando la expresión a cero, desarrollando los binomios y simplificando términos.

 ( x + 1) 2 ( y + 1) 2  − = 1 (15)  15  1 

15( x + 1) 2 − ( y + 1) 2 = 15

15( x 2 + 2 x + 1) − ( y 2 + 2y + 1) − 15 = 0

∴

15 x 2 + 30 x + 15 − y 2 − 2y − 1 − 15 = 0

15 x 2 − y 2 + 30 x − 2 y − 1 = 0

- Como la curva es horizontal, entonces uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 1 unidad, es decir V (0,−1) y V ’(−2,−1). - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 2, 2 15 y 8 unidades. - La longitud del lado recto se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros “ a” y “b” en la fórmula correspondiente. 2 2b 2 2( 15 ) = → ∴ LR = 30 LR LR = 1 a

Caso 2.

Cuando se tiene la ecuación de la curva y se desea obtener sus puntos y rectas. La ecuación general de la hipérbola se transforma mediante procedimientos algebraicos a la ecuación ordinaria y de ésta expresión se obtiene directamente el centro C (h,k ) y los parámetros a y b de la curva.

EJEMPLO * Determinar las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes (transverso, conjugado y focal), la excentricidad y la longitud del lado recto de las hipérbolas que tienen como ecuación las siguientes expresiones. A) B)

y 2

4 x 2

9

− −

x 2

4

=1

(y + 3)2 16

=1

C) 4 x 2 − 5 y 2 − 16 x − 10 y − 9 = 0


109

MATEMÁTICAS IV

Solución.

A) La ecuación de la hipérbola está en su forma ordinaria y como “ x ” y “y ” aparecen sin las traslaciones “h” y “k ”, entonces se establece que su centro es C (0,0), ya que h = 0 y k = 0. - De la ecuación ordinaria se obtienen directamente los parámetros a y b. y 2 a2

−

x 2 b2

y 2

=1

(2) 2

−

x 2

(2) 2

=1

∴ a = 2 y b = 2


2

2

c = (2) + (2)

2

∴ c = 8 ó 2 2

- Como la variable “ x ” es negativa, entonces la hipérbola es vertical y equilátera, ya que a = b. - Con la posición de la curva se establece que: Uno de los vértices está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia a = 2 unidades, es decir V (0,2), V’ (0,−2). Uno de los focos está hacia arriba del centro y el otro hacia abajo de éste a una distancia c = 2 2 unidades, es decir F (0, 2 2 ), F’ (0,− 2 2 ). - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 4, 4 y 4 2 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

→ e=

2 2 2

∴ e= 2

LR =

;

2b 2 a

→ LR =

2(2) 2 ∴ 2

LR = 4 u .

B) La ecuación de la hipérbola está en su forma ordinaria y como “ x ” aparece sin la traslación “ h”, entonces su centro es C (0,k ), ya que h = 0. - De la ecuación ordinaria, se obtiene directamente el centro y los parámetros “ a” y “b” de la curva. x 2 a2

+

( y − k ) 2 b2

x 2

=1

( 3) 2

2 [ y − ( −3)] − =1 2

(4)

∴ C (0,−3) ; a = 3 y b = 4


c 2

= (3) 2 + ( 4) 2 ∴ c = 5

- Como la variable “ x ” es positiva entonces la hipérbola es horizontal con sus ramificaciones muy abiertas, ya que a < b. - Con la posición de la curva se establece que: Uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 3 unidades, es decir V (3,−3), V’ (−3,−3). Uno de los focos está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia c = 5 unidades, es decir F (5,−3,), F’ (−5,−3).


110

MATEMÁTICAS IV

- El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 6, 8 y 10 unidades. - La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

5 ∴ e= 3

c a

LR =

;

2b 2 a

2( 4 ) 2 ∴ LR = 3

LR =

32 u . 3

C) La ecuación de la hipérbola está en su forma general, por lo tanto se convierte a su forma ordinaria mediante procesos algebraicos. 4 x 2 − 16 x − 5 y 2 − 10 y = 9


4( x 2 − 4 x ) − 5( y 2 + 2y ) = 9


4( x 2 − 4 x + 4) − 5( y 2 + 2y + 1) = 9 + 16 − 5 (Los binomios de cada variable se completan en trinomios cuadrados perfectos y los términos que se agregan en el 1° miembro, también se agregan en el 2° miembro de la igualdad)

4( x − 2) 2 − 5( y + 1) 2 = 20


4( x − 2) 2 5( y + 1) 2 20 − = 20 20 20


( x − 2) 2 (y + 1) 2 − =1 5 4

(Se simplifican numeradores y denominadores para obtener la ecuación ordinaria de la elipse)

- De la ecuación ordinaria, se obtiene el centro y los parámetros a y b de la hipérbola. ( x − h ) 2 a2

−

(y − k ) 2 b2

=1

( x − 2) 2 2

( 5)

2 [ y − ( −1)] − =1 ∴ 2

( 2)

C (2,−1) ; a =

5

y b = 2


c 2 =

( 5 )2 + (2) 2

∴ c = 3

- Como la variable “ x ” es positiva entonces la hipérbola es horizontal con sus ramificaciones muy cerradas, ya que a > b. - Con la posición de la curva se establece que: Uno de los vértices está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia a = 5 unidades, es decir V (2+ 5 , −1), V’ (2− 5 , −1). Uno de los focos está hacia la derecha del centro y el otro hacia la izquierda de éste a una distancia c = 3 unidades, es decir F (5,−1,), F’ (−1,−1). - El eje transverso, conjugado y focal es 2 a, 2 b y 2c respectivamente, por lo tanto sus longitudes son 2 5 , 4 y 6 unidades.


111

MATEMÁTICAS IV

- La excentricidad y el lado recto de la curva, se obtienen sustituyendo el valor de los parámetros en las fórmulas correspondientes. e =

c a

3 5

e

;

LR =

2b 2

2(2) 2 5

LR =

a

LR

8 u . 5

Caso especial.

Cuando tienen relación los vértices y focos de la hipérbola con los de la elipse. Se bosqueja la posición de ambas curvas y se analizan los puntos en común para obtener las ecuaciones correspondientes.

EJEMPLO * Una hipérbola tiene como vértices los focos de una elipse que su semieje mayor y menor son a = 5 y b = 4 respectivamente y tiene como focos los vértices de dicha elipse. Si el centro de ambas curvas es el punto C (2,0) y sus ejes focales son paralelos al eje “ Y ”; entonces, ¿Cuáles son las ecuaciones ordinarias y generales de cada curva? - Se bosqueja el lugar geométrico de las curvas para ver la posición de las mismas. Y

Con la condición de los parámetros de cada curva, se obtiene el valor del parámetro “c ” respectivamente.

5 3

Elipse:

a

2

X’

0

2

2

→ (5)2 = (4)2 +

c

2

c = 3

2

→ (5)2 = (3)2 +

b

2

b = 4

a = b + c

C

X 2

Hipérbola:

b

2

2

c = a + b

-3 -5

Y’

De la gráfica se observa que ambas curvas son verticales con centro en C (h,0), por lo tanto sus ecuaciones ordinarias son de la siguiente forma. Elipse:

y 2 a2

+

( x − h ) 2 b2

=1

,

Hipérbola:

y 2 a2

−

( x − h ) 2 b2

=1

,

ya que k = 0.


112

MATEMÁTICAS IV

- Con las coordenadas del centro y el valor de los parámetros, se obtiene la ecuación ordinaria de cada curva. y 2

Elipse:

a2

Hipérbola:

+

y 2 a2

( x − h ) 2 b2

−

=1 →

( x − h) 2 b2

y 2

( 5) 2

=1 →

+

y 2

(3 ) 2

(x − 2) 2 ( 4) 2

−

=1

(x − 2) 2 (4) 2

=1

y 2

x 2

25

16

2

1

y 2

x 2

9

16

2

1

- La ecuación general de cada curva, se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera, igualando la expresión a cero, desarrollando el binomio y simplificando términos. Elipse

Hipérbola

 y 2 (x − 2) 2  = 1 (400 )  + 16  25  16 y 2 + 25( x − 2) 2 = 400 16 y 2 + 25( x 2 − 4 x + 4) − 400 = 0 16 y 2 + 25 x 2 − 100 x + 100 − 400 = 0

 y 2 (x − 2) 2  = 1 (144 )  − 16  9  16 y 2 − 9( x − 2) 2 = 144 16 y 2 − 9( x 2 − 4 x + 4) − 144 = 0 16 y 2 − 9 x 2 + 36 x − 36 − 144 = 0

25 x 2

16 y 2

16 y 2

100 x 300

0

9 x 2

36 x 180

0

Asíntotas de la Hipérbola. Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas que se intersectan en el centro de la curva. La distancia entre la asíntota y la curva de la hipérbola tiende a cero. Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen con las siguientes fórmulas. Asíntotas de la hipérbola

Ecuaciones de las asíntotas Hipérbola Horizontal.

Y

Con centro C (0,0):

x a

Con centro C (h,k ):

x h a

2a

2b

X’

X

b y k b

Hipérbola Vertical. Con centro C (0,0):

Y’

y

Con centro C (h,k ):

y

x

a

b

y k a

x h b

Las asíntotas son las diagonales del rectángulo, cuyos lados son 2 a y 2b.


113

MATEMÁTICAS IV

EJEMPLO * Obtener las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola que tiene como ecuación la expresión, 4 x 2 25 y 2 24 x 100 y 36 0 - La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria mediante procesos algebraicos. 4 x 2 + 24 x − 25 y 2 + 100 y = −36


4( x 2 + 6 x ) − 25( y 2 − 4 y ) = −36


4( x 2 + 6 x + 9) − 25( y 2 − 4y + 4) = −36 + 36 − 100 (Los binomios de cada variable se completan en trinomios cuadrados perfectos y los términos que se agregan en el 1° miembro, también se agregan en el 2° miembro de la igualdad)

4( x + 3) 2 − 25( y − 2) 2 = −100


4( x + 3) 2 25( y − 2) 2 − 100 − = − 100 − 100 − 100


( y − 2) 2 (x + 3 ) 2 − =1 4 25

(Se simplifican numeradores y denominadores para obtener la ecuación ordinaria de la elipse)

- Como la ecuación ordinaria de la hipérbola es de la forma

( y − k ) 2

−

( x − h ) 2

a2 b2 y − k x − h =± ecuaciones de las asíntotas se obtienen con la expresión . a b

= 1, entonces las

- Se sustituyen las coordenadas del centro y el valor de los parámetros “a” y “b” en la expresión correspondiente para obtener las ecuaciones de las asíntotas. y − k a

=±

x − h b

→

y − 2

2

=±

x + 3

5

5( y − 2) = 2( x + 3)

2 x 5 y 16

0

5( y − 2) = −2( x + 3)

2 x 5 y 4

0

* Determinar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola que tiene como vértices los puntos 34 V (4,1), V ’( 2,1) y excentricidad e 3 - El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices es decir C (1,1). - El parámetro “ a” es la distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus vértices, es decir a = 3.


114

MATEMÁTICAS IV

- El parámetro “c” se obtiene a partir de la excentricidad de la curva. e =

c a

34 c = 3 3

→

c =

34

- El parámetro “b” se obtiene con la condición de los parámetros. 2

2

c = a + b

2

→

(

2

34 ) = (3)2 + b2

b = 5

- Como las coordenadas de los vértices tienen la misma ordenada y el centro es fuera del origen, entonces se establece que la hipérbola es horizontal con centro en C (h,k ); por lo tanto, las ecuaciones de sus asíntotas se obtienen con la expresión

x − h a

= ± y

− k b

.

- Se sustituyen las coordenadas del centro y el valor de los parámetros “a” y “b” en la expresión correspondiente para obtener las ecuaciones de las asíntotas. x − h a

=±

y − k b

→

x − 1

3

=±

y − 1

5

5( x − 1) = 3( y − 1)

5 x 3y 2

5( x − 1) = −3( y − 1)

5 x 3 y 8

0 0

* Hallar la ecuación ordinaria de la hipérbola que tiene como vértices los puntos V ( 1,3), V ’( 1, 5) y una de sus asíntotas es la ecuación x y 0 . - El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices es decir C (−1,−1). - El parámetro “ a” es la distancia existente entre el centro de la curva y uno de sus vértices, es decir a = 4. - Como las coordenadas de los vértices tienen la misma abscisa y el centro es fuera del origen, entonces la hipérbola es vertical con centro en C (h,k ); por lo tanto, las ecuaciones de sus asíntotas se obtienen con la expresión

y − k x − h =± , donde ( y − k ) a b

a b

= ± ( x − h) .

- Se despeja la variable “ y ” en la ecuación de la asíntota: y = x - Se hace un análisis comparativo con la forma de la ecuación de la asíntota. a

a

b

b

( y − k ) = ± ( x − h ) → y = x , donde:

1 1

= ; sustituyendo el valor de “a”, se tiene que

4 b

=

1 1

b = 4

- Con las coordenadas del centro y los valores de “ a” y “b”, se obtiene la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical. ( y − k ) 2 a2

−

( x − h) 2 b2

[ y − (−1)] 2 [ x − (−1)] 2 − =1 =1 → ( 4) 2 (4) 2

( y 1) 2 16

( x 1) 2 16

1


115

MATEMÁTICAS IV

APLICACIONES DE LA HIPÉRBOLA. Las aplicaciones de la hipérbola son en Física, Astronomía, Navegación y Geofísica.

EJEMPLO 1 x hacia el núcleo de un átomo que está 3 en el origen como se muestra en la figura y alcanza una distancia mínima al núcleo de 2 unidades, entonces ¿Cuál es la ecuación ordinaria y general que describe la trayectoria hiperbólica de dicha partícula?

* Si una partícula se dispara a lo largo de la recta y

Y y

1 x 3

PARTÍCULA

N

X’

0

1

X

2

TRAYECTORIA HIPERBÓLICA

Y’

Solución.

1 - La recta y = x es una asíntota de la trayectoria hiperbólica. 3 - De la gráfica se observa que la hipérbola es horizontal con centro en el origen, por lo tanto, las ecuaciones de sus asíntotas se obtienen con la expresión

x a

y

= ± , donde b

y =

±

b =

2 3

b a

x .

- Se hace un análisis comparativo con la forma de la ecuación de la asíntota. y =

± b x → a

1 3

y = x , donde:

b a

=

1 b 1 . Como a = 2, entonces: = 3 2 3

- Con las coordenadas del centro y los valores de “ a” y “b”, se obtiene la ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal que describe la trayectoria de la partícula. x a2

2

−

y b2

2

=1 →

x 2

(2) 2

−

y 2

(2 / 3) 2

=1

x 2

y 2

4

4 / 9

1

- La ecuación general se obtiene transformando la ecuación ordinaria a su forma entera e igualando a cero la expresión.

 x 2 9y 2  = 1 (4)  − 4  4 

x 2

9 y 2

4

0


116

MATEMÁTICAS IV

* Un cometa recorre una trayectoria hiperbólica con el Sol ubicado en uno de sus focos; si la trayectoria de dicho astro está descrita por la ecuación 63 x 2 81y 2 5103 = 0, entonces ¿Cuál es la distancia más cercana en unidades astronómicas (U.A.) entre el cometa y el Sol? Y

C S

a

X’

X

0

c

Y’

Solución.

- La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria trasponiendo el término constante al segundo miembro y dividiendo la igualdad entre dicho término constante. 63 x 2 − 81y 2 = 5103 →

63 x 2 81y 2 5103 − = 5103 5103 5103

x 2

81

−

y 2

63

=1

- De la ecuación ordinaria se establece que: a2 = 81, b2 = 63 y a = 9. - El valor del parámetro “ c ” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2

= a2 + b2 →

c 2

= 81 + 63

c = 12

- La distancia más cercana entre el cometa y el Sol es la distancia existente entre el vértice y el foco de la curva, la cual se obtiene con la siguiente expresión: D min = c − a = 12 − 9 D min = 3 . Por lo tanto, se establece que la distancia más cercana entre el cometa y el Sol es de 3 U.A.


117

MATEMÁTICAS IV

* Un barco navega siguiendo un curso que está a 100 millas de una costa en línea recta y paralela a ésta; el barco envía una señal de alarma que se recibe en las estaciones A y B de guardacostas ubicadas a 200 millas entre sí. Al medir la diferencia en los tiempos de recepción de la señal, se establece que el barco está 160 millas más cerca de A que de B. De acuerdo con esto, ¿Cuál es la posición del barco en el momento que envía la señal? Y

P

100

BARCO

A

X’

B

X

200 mi

Y’

Solución.

- Por el concepto de hipérbola se establece que la diferencia de los tiempos de recepción es igual a 2a. Por lo tanto a = 80 y a2 = 6400. - La distancia entre las dos estaciones es 2 c . Por lo tanto c = 100 y c 2 = 10000. - El valor del parámetro “ b2” se obtiene con la condición de los parámetros. c 2

= a 2 + b 2 → 10000 = 6400 + b 2

2

b = 3600

- De la gráfica se observa que la hipérbola es horizontal con centro en el origen, es por ello que su ecuación ordinaria se obtiene sustituyendo los valores de a2 y b2 en la expresión x 2

6400

−

y 2

3600

x 2 a2

−

y 2 b2

= 1.

=1

- La posición del barco en el momento que envía la señal es el punto P ( x ,100), dicho punto se sustituye en la ecuación ordinaria de la curva y se obtiene el valor de la abscisa. x 2

6400

−

(100) 2 =1 3600

x = 155.5

Con el valor obtenido se establece que la posición del barco en el momento que envía la señal, es P (155.5,100).


118

MATEMÁTICAS IV


31. Si el eje mayor y menor de una elipse miden 10 y 8 cm respectivamente, entonces obtén: A) La distancia existente entre el centro y uno de sus focos. B) La longitud de su eje focal. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto

32. Si el eje mayor y focal de una elipse miden 6 y 2 5 cm respectivamente, entonces obtén: A) La distancia existente entre el centro y un extremo de su eje menor. B) La longitud de su eje menor. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto.

33. Determina la ecuación ordinaria y general de las elipses que se especifican en cada inciso. A) Vértices V (2,0), V ’(2,6) y focos F (2,1), F ’(2,5). B) Vértices V (1,1), V ’(11,1) y eje menor mide 6 unidades. C) Centro en el origen, vértice V (0,2) y foco F (0,1). D) Vértices V (7,0), V ’( 3,0) y lado recto LR

32 . 5

E) Focos F ((2,2), F ’(2,4) y excentricidad e

3 . 3

F) Vértices V (7,3), V ’( 3,3) y excentricidad e

3 . 5

3 y eje mayor paralelo al eje de las ordenadas (Eje Y ). 2 H) Centro C (3,2), V (1,2) y uno de los extremos de su eje menor es P (3,3). G) Centro C (1,1), a = 2, b

34. Halla las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor, menor y focal, la excentricidad y el lado recto de las elipses, cuya ecuación se especifica en cada inciso. A)

x 2

y 2

16

9

1

( y 1) 2 25

x 2

( x 7) 2 C) 25

y 2

B)

16 9

1 1


119

MATEMÁTICAS IV

( y 1) 2 D) 3 E) 4 x 2 F) 25 x 2

( x 6) 2 2

y 2

1

16 x 6 y 9

16 y 2

0

50 x 64 y 311 0

G) 7 x 2

16 y 2

448

H) 9 x 2

25 y 2

36 x 864

0 0

35. Resuelve los siguientes problemas por medio de la aplicación de la elipse y sus ecuaciones. A) La trayectoria de la Luna tiene órbita elíptica con respecto a la Tierra ubicada en uno de sus focos. Si el eje mayor de dicha órbita es de 769200 km con una excentricidad de e = 0.055; entonces, ¿Cuáles son las distancias máxima y mínima entre la Luna y la Tierra? Y

769200 L c

X’

T

X

0 a

a

Y’

B) El arco de un puente de concreto tiene 30 m de luz en forma semielíptica como lo muestra la siguiente figura. Si se sabe que su altura máxima es de 8 m, entonces ¿Cuál es la ecuación ordinaria y general que describe a dicho arco? Y

8m X’

X

0

Y’ 30 m

36. Si las longitudes del eje conjugado y focal de una hipérbola miden respectivamente, entonces obtén:

8 cm y 2 17 cm

A) La distancia existente entre el centro y uno de sus vértices. B) La longitud de su eje transverso. C) La excentricidad y la longitud de su lado recto.


120

MATEMÁTICAS IV

37. Establece la ecuación ordinaria y general de las hipérbolas que se indican en cada inciso. A) Vértices V (4,1), V ’( 4,1) y Focos F (5,1), F ’( 5,1). B) Centro C ( 1, 3), Eje focal paralelo al Eje “ X ” con Semieje transverso y conjugado igual a 3 unidades. C) Focos F 0,3 2 , F ' 0, 3 2 y Eje real igual a 6 unidades. D) Vértices V (3, 1), V ’( 1, 1) y Lado recto LR = 16/5. E) Vértices V (3,0), V ’(3,6) y Excentricidad e = 2. F) Vértices V (3,0), V ’( 3,0) con asíntotas 2 x + 3y = 0 y 2 x 3y = 0.

3 x . 4

G) Focos F (0,5), F ’(0, 5) con asíntotas y

38. Determina las coordenadas del centro, las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso, conjugado y focal, la excentricidad, el lado recto y las asíntotas de las hipérbolas cuya ecuación se especifica en cada inciso. A)

( y 2) 2 x 2 9

1

( y 3) 2 9

1

2

B)

x

4

( x 2) 2 C) 4 D) 9 x 2 E) x 2 F)

(y 2) 2 4

25 y 2 y 2

0

4 x 10 y 5

8y 2 x 2

G) 16 y 2

225

1

9 x 2

0

6 x 64 y 111 0 18 x 153

0

39. Resuelve el siguiente ejercicio por medio de los elementos de la elipse y la hipérbola. Una hipérbola tiene como vértices los focos de una elipse de semieje mayor a = 5 y semieje menor b = 3 y como focos los vértices de dicha elipse. Si el centro de ambas curvas es el punto C (0,2) con eje focal paralelo al eje “ X ”; entonces, obtén las ecuaciones ordinarias y generales de ambas curvas.


121

MATEMÁTICAS IV

40. Resuelve los siguientes problemas por medio de la aplicación de la hipérbola y sus ecuaciones. A) Un cometa recorre una trayectoria hiperbólica con el Sol ubicado en uno de sus focos; si la trayectoria de dicho astro está descrita por la ecuación x 2 y 2 + 4 x 6y 9 = 0, entonces ¿Cuál es la distancia más cercana en unidades astronómicas (U.A.) entre el cometa y el Sol? Y

C X’

0

X S

a c

Y’

B) La estación A de guardacostas está a 200 millas directamente al Este de otra estación B. Un barco navega en una recta paralela a la línea que enlaza A y B a 50 millas al Norte. Se envían señales de radio de A y B a razón de 0.18 millas por microsegundo (µs). Si a las 12:00 PM la señal de B llega a la embarcación 400 µs después que la señal de A; entonces, ¿Cuál es la posición del navío en ese instante? Y

P

50 X’

B

BARCO A

X

200 mi

Y’


122

MATEMÁTICAS IV

IV. HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN A continuación se presentan únicamente los resultados de cada ejercicio de las evaluaciones; es importante que desarrolles tus procedimientos y verifiques los resultados a los que llegaste con los que aquí te presentamos.

COMPENDIO FASCÍCULO 1 1.

P( 5,0)

Para la ubicación de puntos rectangulares en el plano cartesiano, es importante que tengas presente las características y propiedades de dicho plano.

2.

A) d = 10 u . B) d = 104 ó 2 26 ó 10.2 u . Se aplica la fórmula de distancia entre dos puntos para llegar a éstos resultados.

C) d = 7 ó 2.6 u . 75 ó 6.12 u . 2

D) d =

3.

Lado P 1P 2

4 u .

Lado P 1P 3

4 u .

Lado P 2P 3

4 u .

La longitud de cada loado del triángulo se obtiene con la fórmula de distancia entre dos puntos.

El triángulo es equilátero ya que la longitud de cada lado es igual

4.

14 5 , 3 3

A) P

Se aplica la fórmula de la división de un segmento en una razón dada para llegar a éstos resultados.

B) P (6,4)

a

b b

5.

P m

6.

Q m 7,8

2

,

a

2

Se aplica la fórmula del punto medio para llegar a éstos resultados.


123

MATEMÁTICAS IV

7.

A 26 ,78 41'24" ó (5.1,78 41'24" ) B 3 2 ,225 ) ó 4.2,

5 4 Para transformar un punto rectangular a un punto polar debes aplicar el teorema de Pitágoras y la función tangente.

C 3 5 ,333 26'5" ó (6.7,333 26'5" ) D 2 ,45 ó 1.4,

1 4

E (5,180 ) ó (5, ) F 2 5 ,116 33'54" ó (4.47,116 33'54" )

8.

A(5,0) B(0,3) C( 5.2, 3) D(0.86,0.5) ó 0.86,

1 2

Para transformar un punto polar a un punto rectangular debes aplicar las funciones seno y coseno.

E( 4,0) F(0, 2)

9.

A) y = = x + + 3 1 24 x 7 7

B) y = = 7 x , y 2 2

2

C) x + y = 1

x – D) y 2 = 12 ( x – 3) ó y 2

12 x 36

E) 16 x 2 + 25y 2 = 400

La ecuación del lugar geométrico de una recta y una curva se obtiene a partir de las condiciones especificadas en cada uno de los ejercicios y mediante procesos algebraicos que simplifican la expresión de la ecuación.

F) 9 x 2 – 16y 2 = 144

10. A) m = –4/5 ,

= 141°20’24”

B) m = 0 ,

= 0°

C) m = 1 ,

= 45°

11. A) P 1(0,–3) y P 3(1,–7) B) P 1(0,5) y P 3(3,7) C) P 1(0,2) y P 3(4,9)

La pendiente de la recta se obtiene sustituyendo las abscisas y las ordenadas de los puntos en la fórmula correspondiente y simplificando los valores numéricos. El ángulo de inclinación se obtiene extrayéndole la tangente inversa al valor de la pendiente.

Recuerda que las coordenadas del 1º, 2º y 3º punto de la recta de una función lineal, se obtiene a partir de las características del modelo de dicha función (razón de la pendiente “ m” y ordenada al origen “b”.


124

MATEMÁTICAS IV

12.

x

y

20

12000

1

A partir del análisis del enunciado, se establece la ecuación de la recta en su forma simplificada (función lineal), posteriormente dicha ecuación se transforma a su forma simétrica mediante procesos algebraicos.

13. Inciso

Punto–Pendiente 1 y 3 ( x 1 ) 2 y – x – 2) ó – 4 = 2( x y + x + + 2 = 2( x + 1)

Simplificada 1 7 y x 2 2 y = = 2 x

2 x –– y = = 0

C)

y – – 1 = –2 x

y = = –2 x + + 1

2 x + + y – – 1 = 0

D)

y + + 4 = x

y = = x – – 4

x – – y –4 –4 = 0

E)

y – x – – 1 = –1( x – 3)

y = = – x + + 4

x + + y – – 4 = 0

F)

y = = – x

y = = – x

x + + y = = 0

G)

y – – 5 = x – – 1

y = = x + + 4

x – – y + + 4 = 0

A) B)

H)

y

1 x 2

y

1 x 2

General x – – 2y + + 7 = 0

y – x – – 8 = –2( x – 2)

y = = –2 x + 12

2 x + + y – – 12 = 0

J)

y = x + 1) ó = 7( x y – – 7 = 7 x

y = = 7 x + + 7

7 x –– y + + 7 = 0

K)

2 ( x 5 ) ó 5 2 y 2 x 5

y

2 x 2 5

x

y

7

7 / 2

x

y

1 / 2

1

x

y

4

4

x

y

4

4

x

y

4

4

1

1 1 1

1

x – – 2y = = 0

I)

y

Simétrica

2 x + + 5y + + 10 = 0

x

y

6

12

x

y

1

7

x

y

5

2

1 1

1

Siempre que se tengan dos puntos de una recta o la pendiente de ésta con uno de sus puntos, entonces se puede obtener la ecuación de dicha recta en cualquiera de sus formas a partir de la ecuación punto–pendiente. La ecuación de la recta se puede transformar de una forma a otra mediante procesos algebraicos.

14. A) r B) r

5 sen

cos

6 3 cos

2sen

Para transformar una ecuación cartesiana a su forma polar, debes aplicar las fórmulas x = = r cos r cos θ y y = r sen θ respectivamente. respectivamente. y =


125

MATEMÁTICAS IV

14. Inciso

Conjunto solución

Representación gráfica

A)

x < < –3

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

B)

x < < 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

C)

x

11 5

D)

28 x 37

0

E)

7 x 1 3

-5

F)

–1 > x > > 8

28

-4

-3

-2

-1 0

-1

0

1

37

2

3

4

5

8

Para obtener el conjunto solución de las desigualdades de primer grado con una incógnita, tienes que aplicar las propiedades de orden de los números reales y su representación gráfica se obtiene a partir de las condiciones del conjunto solución.

16. A)

B)

Es importante que analices el signo de desigualdad en cada una de las expresiones, ya que a partir de dicho análisis, establecerás la característica de la recta y la dirección para la región sombreada correspondiente al conjunto solución de la desigualdad.


126

MATEMÁTICAS IV

C)

D)

17. A)

B)

C)

Recuerda que la región sombreada de un sistema de desigualdades lineales es el conjunto de pares ordenados que satisfacen con dicho sistema, el sombreado es a partir de la intersección de las rectas.

18. PMAX(6,5) PMIN(3,2)

VMAX = 28 VMIN = 13

Los puntos máximo y mínimo se obtienen al evaluar los puntos del polígono formado por el sistema en la función en estudio.

COMPENDIO FASCÍCULO 2 19. A) F(–1,4) y la curva abre hacia abajo. B) P = 2 u y directriz x = –3. Para obtener los puntos y parámetros de las cónicas, es necesario que bosquejes sus curvas y así conocer su posición.

C) C(2,–5), V(2,0) y V’(2,–10). D) C(–5,–3), F(–1,–3) y F’(–9,–3). E) C(–4,2), V(–1,2) y V’(–7,2). F) C(3,–1) y la curva es vertical.


127

MATEMÁTICAS IV

20. Inciso A) B) C) D) E) F)

Ecuación Ordinaria ( x + 3)2 + (y – 7)2 = 49 ( x – 3)2 + (y – 1)2 = 10 ( x – 4)2 + (y + ½)2 = 8 2 2 x + (y – 4) = 16 ( x – 3)2 + (y + 2)2 = 13 ( x + 3)2 + (y – 3)2 = 9 400 ( x + 3)2 + (y – 3)2 = 169

G)

Ecuación General 2 x + y + 6 x – 14y + 9 = 0 2 2 x + y – 6 x – 2y = 0 4 x 2 + 4y 2 – 32 x + 4y + 33 = 0 2 2 x + y – 8y = 0 2 2 x + y – 6 x + 4y = 0 2 2 x + y + 6 x – 6y + 9 = 0 2

169 x 2 + 169y 2 – 338 x + 338y – 69 = 0

La ecuación ordinaria de la circunferencia se obtienen sustituyendo las coordenadas del centro y la longitud del radio en la expresión ( x – h)2 + (y – k)2 = r 2. Posteriormente se desarrolla la expresión algebraica y se llega a la ecuación general.

21. El establo se debe ubicar 1 Km. al Este y 1 Km. al Norte. Es importante que manejes perfectamente los elementos y las ecuaciones de la circunferencia, ya que solo así podrás resolver problemas referentes a esta curva.

22. A) C(–3,2); r = 6 B) C(1,0); r = 5

Se establece la condición C(h,k) y r en la ecuación ordinaria.

C) C(0,0); r = 4 D) C(–2,4); r = 20 o r = 2 5

1 Se aplican las fórmulas h = - D2 , k = - E 2 y k = 2

E) C(4,0); r = 4 F) C

2 3

,

4 3

;r=

20 3

ó r = 23 5

D2

E 2

4F

(en el inciso F) divide la ecuación entre 3 y aplica las fórmulas para obtener h, k y r respectivamente)

23. ( x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 De la ecuación general, deberás obtener el valor de h, k y r con las fórmulas correspondientes y deberás representar la ecuación en su forma ordinaria.

24. A) Es una circunferencia con C(–1,1) y r = 1 B) No es un lugar geométrico. C) Es un punto con C 32 , 23

Para establecer si la ecuación representa un punto o una circunferencia, deberás obtener el valor del discriminante en cada uno de los casos.

25. A) La ecuación de la alberca es x 2 + y 2 + 4 x – 8y = 0, con C(–2,4) y r == 20 o r = 2 5 B) El centro de la curva tangente a las rectas debe ser C(16,8) Es importante que manejes perfectamente los elementos y las ecuaciones de la circunferencia, ya que solo así podrás resolver problemas referentes a esta curva.


128

MATEMÁTICAS IV

26. Inciso A)

Ecuación Ordinaria (y – 1)2 = 16 x

Ecuación General 2 y – 2y – 16 x + 1 = 0

B)

( x – 2)2 = –12y

x – 4 x + 12y + 4 = 0

C)

y = –8 x

y + 8 x = 0

D)

( x – 2)2 = –8 (y – 5)

x – 4 x + 8y – 36 = 0

E)

( x + 1)2 = –2 (y + 3)

x + 2 x + 2y + 7 = 0

F)

(y – 3)2 = –4 ( x + 3)

y – 6y + 4 x + 21 = 0

27.

2

2

2

G)

2

2

2

3 11 y 5 3

x 2

5 x 2 – 3y – 11 = 0

28.

2

E.O.

(y + 1) = –12 ( x – 2) 2

E.G.

y + 2y – 12 x + 25 = 0

Foco

2

E.O.

y = 2 x

E.G.

y – 2 x = 0

2

Foco

F(5,–1)

F(½,0)

LR =2u

LR =12u Extremos del LR

La ecuación ordinaria de la parábola se obtiene sustituyendo las coordenadas del vértice y el valor del parámetro en la expresión que satisfaga con la posición de la curva. Posteriormente se desarrolla la expresión algebraicamente y se llega a la ecuación general.

P(5,5) y Q(5,–7)

Ec de la Directriz

x = –½ ó 2x + 1 = 0

Extremos del LR

P(½,1) y Q(½,–1)

Es importante que tengas presente el nombre de los puntos y rectas notables de la parábola, ya que de esta forma podrás relacionarlos y así establecer las ecuaciones para dicha curva.

29. Inciso A)

Vértice V(0,0)

Foco F(0,5/2)

B) C) D)

V(–4,0) V(2,–3) V(–2,1)

F(–1,0 F(2,–5) F(–3,1)

E)

V(½,½)

F

F)

V(4,0)

G)

V(1,3)

F(4,–2) F 5 ,3

1 2

Ec. de la Directriz

Lado Recto LR = 10 u

5

y = – 2 ó 2y + 5 = 0 x = –7 ó x + 7 = 0

LR = 12 u LR = 8 u LR = 4 u

y = –1 ó y + 1 = 0 x = –1 ó x + 1 = 0 1

, 38

x = 8 ó 8 x – 1 = 0

LR =

y = 2 ó y – 2 = 0

u

LR = 8 u

1

LR = 6 u

x = – 2 ó 2 x + 1 = 0

2

3 2

Es importante que tengas presente el nombre de los puntos y rectas notables de la parábola, ya que de esta forma podrás relacionarlos con sus ecuaciones ordinarias y generales, y así establecer la posición de la curva en cada uno de los casos.

30. A) Ecuación descrita por la trayectoria del proyectil B) Distancia mínima entre el cometa y el Sol

2

(x – 58.725) = –82.24 (y – 41.94)

P = 24.85281374 mdm.

C) Ecuación descrita por la posición del cable x 2 = – P =2.5 cm. D) Ubicación del foco

100 3 (y – 15)

ó 3 x 2 – 100y + 1500 = 0

Para poder resolver problemas referentes a la parábola, es necesario que manejes correctamente las ecuaciones de esta curva, así como sus puntos y rectas notables.


129

MATEMÁTICAS IV

COMPENDIO FASCÍCULO 3 31. A) Distancia del centro a un foco: c = 3 u. B) Longitud del eje focal: FF ' 2c 6u . C) Excentricidad: e = 3/5 y Lado recto: LR = 32/5.

32. A) Distancia del centro a un extremo del eje menor: b = 2 u. B) Longitud del eje menor: BB' 2b

4u .

C) Excentricidad: e = 5 / 3 y Lado recto: LR = 8/3. Cuando se tiene el valor de los dos parámetros de una elipse, entonces el tercer parámetro lo puedes obtener por el teorema de Pitágoras. Para obtener la excentricidad y el lado recto de la elipse, se aplican las fórmulas correspondientes de e y LR .

33. Inciso

Ecuación Ordinaria

Ecuación General

A)

( y 3) 2 9

( x 2) 2 5

1

9 x 2 + 5y 2 – 36 x – 30y + 36 = 0

B)

( x 6)2 25

( y 1)2 9

1

9 x 2 + 25y 2 – 108 x – 50y + 124 = 0

C)

y 2

x 2

4

3

D)

( x 2)2 25

4 x 2 + 3y 2 – 12 = 0

1 y 2

16

16 x 2 + 25y 2 – 64 x – 336y = 0

1

E)

( y 3)2 3

( x 2)2 2

1

3 x 2 + 2y 2 – 12 x – 12y + 24 = 0

F)

( x 2)2 25

(y 3)2 16

1

16 x 2 + 25y 2 – 64 x – 150y – 111 = 0

G)

( y 1)2 4

( x 1)2 9 / 4

1

16 x 2 + 9y 2 – 32 x – 18y – 11 = 0

H)

( x 3)2 4

(y 2)2 1

1

x + 4y – 6 x – 16y + 21 = 0

2

2

La ecuación ordinaria de la elipse se obtiene sustituyendo las coordenadas del centro y el valor de los parámetros a y b en la expresión que satisfaga con la posición de la curva. Posteriormente se desarrolla la expresión algebraicamente y se llega a la ecuación en su forma general.


130

MATEMÁTICAS IV

34. Inciso A)

B) C) D)

E)

F) G)

H)

Centro, Vértices y Focos C(0,0) V(4,0) y V’(–4,0) 7 ,0 F 7 ,0 y F’

Longitud de los Ejes Eje Mayor: 2a = 8 u. Eje Menor: 2b = 2 7 u. Eje Focal 2c = 6 u.

C(0,–1) V(0,4) y F(0,2) y C(7,0) V(2,0) y F(3,0) y C(6,–1) V 6, 1 F(6,0) y

Eje Mayor: 2a = 10 u. Eje Menor: 2b = 8 u. Eje Focal 2c = 6 u. Eje Mayor: 2a = 10 u. Eje Menor: 2b = 6 u. Eje Focal 2c = 8 u.

V’(0,–6) F’(0,–4) V’(12,0) F’(11,0) 3 y V’ 6, 1 F’(6,–2)

3

C(2,–3) V(2,1) y V’(2,–7) F 2, 3 2 3 y F’ 2, 3 2 3 C(–1,–2) V(–1,3) y V’(–1,–7) F(–1,1) y F’(–1,–5) C(0,0) V(8,0) y V’(–8,0) F(6,0) y F’(–6,0)

Eje Mayor: 2a = 2 3 u. Eje Menor: 2b = 2 2 u. Eje Focal 2c = 2 u. Eje Mayor: 2a = 8 u. Eje Menor: 2b = 4 u. Eje Focal 2c = 4 3 u. Eje Mayor: 2a = 10 u. Eje Menor: 2b = 8 u. Eje Focal 2c = 6 u. Eje Mayor: 2a = 16 u. Eje Menor: 2b = 4 7 u. Eje Focal 2c = 2 u. Eje Mayor: 2a = 20 u. Eje Menor: 2b = 12 u. Eje Focal 2c = 16 u.

C(–2,0) V(8,0) y V’(–12,0) F(6,0) y F’(–10,0)

Excentricidad y Lado Recto e

3 4

y LR

7 2

e

3 5

y LR

32 5

e

4 18 y LR 5 5 1 3

e

e

e

e

e

3 2 3 5

y LR

4 3

y LR 2

y LR

32 5

3 y LR 7 4 4 36 y LR 5 5

Los puntos y rectas notables de la elipse, los obtienes a partir de la ecuación ordinaria, la posición de la curva y el valor de sus parámetros a, b y c . Si la ecuación está representada en su forma general, la debes transformar a su forma ordinaria por medio de procedimientos algebraicos.

35. A) Distancia máxima: 405753 Km. y Distancia mínima: 363447 Km. B) Ecuación Ordinaria:

x 2

y 2

225

64

1 y Ecuación General: 64 x 2 + 225y 2 – 14400 = 0

Para poder resolver problemas referentes a la elipse, es necesario que manejes correctamente las ecuaciones de esta curva, así como sus puntos y rectas notables.

36. A) Distancia del centro a un vértice: a = 1 cm. B) Longitud del eje transverso: VV ' 2a 2 cm. C) Excentricidad: e = 17 5 y Lado recto: LR = 32 cm. Cuando se tiene el valor de los dos parámetros de una hipérbola, entonces el tercer parámetro lo puedes obtener por el teorema de Pitágoras. Para obtener la excentricidad y el lado recto de la hipérbola, se aplican las fórmulas correspondientes de e y LR .


131

MATEMÁTICAS IV

37. Inciso

Ecuación Ordinaria ( y 1)2 9

Ecuación General

A)

x 2

B)

( x 1)2 9

C)

y 2

x 2

9

9

D)

( x 1)2 4

( y 1)2 16 / 5

1

4 x 2 – 5y 2 – 8 x – 10y – 17 = 0

E)

( y 3)2 9

( x 3)2 27

1

x – 3y – 6 x + 18y + 9 = 0

F)

x 2

y 2

9

4

G)

y 2

x 2

9

16

16

9 x 2 – 16y 2 + 32y – 160 = 0

1

( y 3)2 9

1

2

2

x – y + 2 x – 6y – 17 = 0 2

2

x – y + 9 = 0

1

2

2

1

4 x 2 – 9y 2 – 36 = 0

1

9 x 2 – 16y 2 + 144 = 0

La ecuación ordinaria de la hipérbola se obtiene sustituyendo las coordenadas del centro y el valor de los parámetros a y b en la expresión que satisfaga con la posición de la curva. Posteriormente se desarrolla la expresión algebraicamente y se llega a la ecuación en su forma general.

38. Inciso

Centro, Vértices y Focos C(0,–2) V(0,1) y V’(0,–5) F 0, 2 10 y F’ 0, 2 10

Longitud de los Ejes Eje Transverso: 2a = 6 u. Eje Conjugado: 2b = 2 u. Eje Focal: 2c = 2 10 u.

e = 10 3

B)

C(0,3) V(2,3) y V’(–2,3) F 13 ,3 y F’ 13 ,3

Eje Transverso: 2a = 4 u. Eje Conjugado: 2b = 6 u. Eje Focal: 2c = 2 13 u.

e = 13 2 ; LR = 9 3 x – 2y + 6 = 0 3 x + 2y – 6 = 0

C)

C(2,–2) V(0,–2) y V’(4,–2) F 2 2 2, 2 y F’ 2 2 2, 2

Eje Transverso: 2a = 4 u. e = 2 ; LR = 4 Eje Conjugado: 2b = 4 u. x + y = 0 Eje Focal: 2c = 4 2 u. x – y – 4 = 0

D)

C(0,0) V(5,0) y V’(–5,0) F 34 ,0 y F’ 34 ,0

E)

C(–2,5) V(–2,9) y V’(–2,1) F 2,5 4 2 y F’ 2,5 4 2

Eje Transverso: 2a = 10 u. e = 34 5 ; LR = 18/5 Eje Conjugado: 2b = 6 u. 3 x + 5y = 0 Eje Focal: 2c = 2 34 u. 3 x – 5y = 0 Eje Transverso: 2a = 8 u. e = 2 ; LR = 8 Eje Conjugado: 2b = 8 u. x + y – 3 = 0 Eje Focal: 2c = 8 2 u. x – y + 7 = 0

F)

C(–3,–4) V(–3,–3) y V’(–3,–5) F(–3,–1) y F’(–3,–7)

Eje Transverso: 2a = 2 u. e =3 ; LR = 16 Eje Conjugado: 2b = 4 2 u. 3 x + 8 y + 4 8 + 3 = 0 Eje Focal: 2c = 6 u. 3 x – 8 y + 3 – 4 8 = 0

G)

C(1,0) V(1,3) y V’(1,–3) F(1,5) y F’(1,–5)

Eje Mayor: 2a = 6 u. Eje Menor: 2b = 8 u. Eje Focal: 2c = 10 u.

A)

e, LR y Asíntotas

; LR = 2/3 3 x + y + 2 = 0 3 x – y – 2 = 0

e = 5/3 ; LR = 32/3 3 x + 4y – 3 = 0 3 x – 4y – 3 = 0


132

MATEMÁTICAS IV

Los puntos y rectas notables de la hipérbola, los obtienes a partir de la ecuación ordinaria, la posición de la curva y el valor de sus parámetros a, b y c . Si la ecuación está representada en su forma general, la debes transformar a su forma ordinaria por medio de procedimientos algebraicos.

39. Elipse:

x 2

25

Hipérbola:

(y 2)2 9 x 2

16

2 2 1 y 9 x + 25y – 100y – 125 = 0

(y 2)2 9

2 2 1 y 9 x – 16y + 64y – 208 = 0

Es importante que manejes perfectamente los puntos, rectas, parámetros y ecuaciones tanto de la elipse como de la hipérbola para que de esta forma diferencies las condiciones de una y de otra.

40. A) Distancia más cercana entre el cometa y el Sol: d = 0.828 U.A. B) Posición del navío: P(40.84,50) Para poder resolver problemas referentes a la hipérbola, es necesario que manejes correctamente las ecuaciones de esta curva, así como sus puntos y rectas notables.


133

MATEMÁTICAS IV


134

MATEMÁTICAS IV

V. EVALUACIÓN MUESTRA


135

MATEMÁTICAS IV


136

MATEMÁTICAS IV

COLEGIO DE BACHILLERES COORDINACIÓN DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Y DEL SISTEMA ABIERTO

EVALUACIÓN FINAL GLOBAL

MODELO: A ASIGNATURA:

MATEMÁTICAS IV

SEMESTRE:

CUARTO

CLAVE:

EVALUACIÓN MUESTRA

DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN


137

MATEMÁTICAS IV


138

MATEMÁTICAS IV

INSTRUCCIONES GENERALES Este cuadernillo contiene reactivos que al resolverlos conforman tu evaluación final de acreditación, de la asignatura: Esta evaluación nos permitirá (a tí y a nosotros) saber el grado en que has alcanzado el propósito de la asignatura (nota valorativa I, A, B, C), de tal manera que si tu nota es positiva ( A, B, C) ésta será considerada para tu calificación final, pero si llegase a ser insuficiente ( I), sólo te informaremos de los objetivos que aún no dominas, sin considerar la nota o btenida para tu calificación de la asignatura. Antes que inicies la resolución de esta evaluación, es conveniente que sigas estas recomendaciones: I.

Este cuadernillo debe servirte ÚNICAMENTE para leer los reactivos, por ello no hagas NINGUNA anotación en él. EVITA QUE SE TE SUSPENDA LA EVALUACIÓN.

II.

Realiza una lectura general de todas las instrucciones para que puedas organizar tu trabajo.

III.

Además del cuadernillo, debes tener una HOJA DE RESPUESTAS en la que debes anotar, primero tus datos personales (nombre, matrícula, centro) y de la asignatura (clave, número de fascículo o global), así como las respuestas.

IV.

La HOJA DE RESPUESTAS presenta en cada una de las preguntas siete opciones posibles:

1

A

B

C

D

E

V

F

2

A

B

C

D

E

V

F

La forma de contestarla deberá ser la siguiente: *

En los casos en que se te presenten preguntas de OPCIÓN MÚLTIPLE o de RELACIÓN DE COLUMNAS sólo rellenarás con lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones, por ejemplo:

2.

Es elevarse de los casos o fenómenos específicos a conceptos o enunciados más amplios que los abarquen o los expliquen. a) b) c) d) e)

Introducción. Generalización. Ejemplificación. Desarrollo de la teoría. Planteamiento del problema.

1

A

B

C

D

E

V

F

2

A

B

C

D

E

V

F


139

MATEMÁTICAS IV

Relaciona las dos columnas e indica en tu hoja de respuestas la letra que señala el nombre de cada una de las expresiones algebraicas que aparecen del lado izquierdo. 3x4 - 3x2 16x4 - 12x3 + 17x 32xy - 5x2 + 6x - 13

3. 4. 5.

3

A

B

C

D

E

V

F

4

A

B

C

D

E

V

F

5

A

B

C

D

E

V

F

a) b) c) d)

Monomio. Binomio. Trinomio. Polinomio.

*

En el caso que se te presenten reactivos de VERDAD “V” y FALSO “F”, sólo rellenarás con lápiz del No. 2 ó 2 ½ una de las opciones de “V” o “F”, por ejemplo: El compendio fascículo 1 de Química III aborda los conceptos de fermentación y sus aplicaciones, con respecto a la caracterización de las fermentaciones; marca la letra “V” si es VERDADERA o la letra “F” si es FALSA, cada una de las siguientes aseveraciones.

6.

La fermentación láctica es un proceso que se realiza en ausencia de oxígeno.

7.

En un proceso fermentativo se libera energía que en su mayoría se desprende como calor.

6

A

B

C

D

E

V

F

7

A

B

C

D

E

V

F

V.

Asegúrate de que el número del reactivo que contestas corresponda al mismo número en la hoja de respuestas.


140

MATEMÁTICAS IV

MATEMÁTICAS IV EVALUACIÓN GLOBAL

COMPENDIO FASCÍCULO 1 En el compendio fascículo 1, comprendiste la idea de un lugar geométrico de puntos y rectas representados en diferentes sistemas de referencia, además conociste la solución y aplicación de las desigualdades lineales. Con base en ello, contesta los siguientes reactivos marcando la opción que satisface con la respuesta correcta en cada caso.

1.

Son las coordenadas de un punto ubicado en el 2ο cuadrante del plano, cuya abscisa es 4 y su distancia al eje X es 2. A) B) C) D)

2.

Resuelve el siguiente problema, aplicando el concepto de distancia entre dos puntos. Un automóvil se desplaza con un movimiento uniformemente rectilíneo y a partir de sus coordenadas (1,1) de su punto inicial, recorre una distancia en kilómetros hasta llegar a una posición final de coordenadas (7,9). De acuerdo con esto, ¿Cuál es la distancia recorrida por el automóvil? A) B) C) D)

3.

9 Km. 10 Km. 15 Km. 50 Km.

24 se encuentran en una misma recta y entre ellos el punto 5 P ( x ,y ); entonces, ¿Cuáles son las coordenadas del punto P que está colocado a una distancia quíntuple a P 1 que a P 2? Si los puntos P 1( 1,0) y P 2 5,

A) B) C) D)

4.

(−4,2) (2,−4) (−2,−4) (−4,−2)

(3,3) (3,4) (4,3) (4,4)

Si uno de los extremos de un segmento es el punto ( 5,4) y su punto medio es (5, 2), entonces las coordenadas del otro extremo del segmento, son: A) B) C) D)

(0,1) (12,−8) (15,−8) (−15,8)


141

MATEMÁTICAS IV

5.

Es la ecuación y = mx + b del conjunto de puntos P ( x ,y ) que están a igual distancia del punto P ( 6,5) que del punto Q (2,3). A) y = −4 x − 12 B) y = −2 x + 12 C) y = 2 x − 12 D) y = 4 x + 12

6.

Son las coordenadas polares del punto rectangular P (3,3).

 1 π    2 

 1 π    4 

A) P  9,

7.

C) P  4.2,

1  π  4 

 

D) P  4.2,

1  π  2 

Es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P 1(14,–6) y P 2(–6,4). A) B) C) D)

8.

 

B) P  9,

m = –½ m = ½ m = –2 m = 2

Es la ecuación de la recta en su forma simplificada que corresponde a la siguiente gráfica. Y P(-4,5)

Q(0,2) X’

0

X

Y’

9.

A) y =

3 x + 2 4

B) y =

4 x + 2 3

C) y = −

4 x + 2 3

D) y = −

3 x + 2 4

Si los vértices de un triángulo son los puntos A(4,7), B(6,5) y C(–2,3); entonces la ecuación general de la mediana que pasa por el vértice “A”, es: A) 2 x – 3y + 13 = 0 B) 3 x – 2y + 2 = 0 C) 3 x + 2y – 1 = 0 D) x + y – 11 = 0


142

MATEMÁTICAS IV

10.

Es la ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto P (1,–2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(2,5) y B(4,3). x y

A)

11.

3

+

3

B)

=1

x y

3

−

3

C) −

=1

3

+

y

3

D) −

=1

x

3

−

y

3

=1

Es la gráfica en su forma polar de la función y = x – 3. A)

120°

90°

B) 45°

180°

0°

210°

120°

210°

D)

120°

45°

180°

0°

330°

90°

60° 45° 30°

150°

180°

0°

210°

330°

225°

315° 240°

300° 270°

135° 30°

150°

225°

315° 240°

60°

210°

330°

225°

300°

135°

30°

0°

270°

90°

45°

180°

315° 240°

60°

150°

330°

225°

90°

135° 30°

150°

C)

120°

60°

135°

12.

x

300°

315° 240°

270°

300° 270°

Si el dominio es el conjunto de los números reales, entonces cualquier elemento del conjunto –5,–4,0,1,9 pertenece al conjunto solución de la desigualdad: A) B) C) D)

3 x + 10 ≥ –10 – x 5 x + 5 ≤ 2 x – 10 4 x – 5 ≤ 40 – x 2 x + 1 < x –5


143

MATEMÁTICAS IV

13.

Resuelve el siguiente problema por medio de la interpretación y solución de una desigualdad lineal con una incógnita. Una fábrica puede producir una silla en 24 minutos y una mesa en 32 minutos, se planea que la producción de sillas sea el doble de la de mesas. De acuerdo con esto, ¿Cuál es el máximo número de unidades completas de cada artículo que se pueden producir en una jornada de 11 horas? A) B) C) D)

14.

18 sillas y 9 mesas. 16 sillas y 8 mesas. 9 sillas y 18 mesas. 8 sillas y 16 mesas.

Es la gráfica que corresponde al conjunto solución del siguiente sistema de desigualdades x y 4 lineales, . x y 2 A)

B)

C)

D)


144

MATEMÁTICAS IV

15.

Resuelve el siguiente problema, por medio de la interpretación y solución de un sistema de desigualdades lineales con dos incógnitas. En un centro comercial se venden televisores de dos marcas, la demanda de los clientes indica que es necesario almacenar cuando menos el doble de aparatos de la marca “ x ” respecto de la marca “y ” y que se debe tener a la mano cuando menos 30 de la marca “ x ” y 15 de la marca “ y ”. Si no se tiene espacio para más de 120 aparatos en el almacén, entonces ¿Cuántos televisores de cada marca se deben almacenar, para que se cumplan las restricciones del problema? A) 15 de la marca “ x ” y 105 de la marca “ y ”. B) 30 de la marca “ x ” y 90 de la marca “ y ”. C) 40 de la marca “ x ” y 80 de la marca “ y ”. D) 80 de la marca “ x ” y 40 de la marca “ y ”.

16.

Resuelve el siguiente problema, mediante la aplicación de la programación lineal. Un expendio de gasolina tiene en existencia 140 litros de gasolina extra y 360 litros de gasolina nova. Para llenar garrafones de tipo “ x ” se necesitan 2 litros de extra y 6 litros de nova. Para llenar garrafones de tipo “ y ” se necesitan 8 litros de extra y 4 litros de nova. De acuerdo con esto, ¿Cuántos garrafones de tipo “ x ” y de tipo “y ” deben llenarse para obtener una máxima utilidad, si cada garrafón de tipo “ x” lo venden a $214.00 y cada garrafón de tipo “y ” a $376.00? A) 58 garrafones de tipo “ x ” y 3 garrafones de tipo “ y ”. B) 47 garrafones de tipo “ x ” y 8 garrafones de tipo “ y ”. C) Únicamente 60 garrafones de tipo “ x ”. D) Únicamente 90 garrafones de tipo “y ”.

COMPENDIO FASCÍCULO 2 En el compendio fascículo 2, conociste la obtención de las curvas cónicas a partir de una superficie cónica de revolución; además manejaste los puntos y rectas notables de la parábola y la circunferencia en la obtención de sus ecuaciones para la resolución de problemas. Con base en ello, contesta los siguientes reactivos marcando la opción que satisface con la respuesta correcta en cada caso.

17.

Es el nombre de las curvas cónicas consideradas por algunos autores como degeneradas o degradadas. A) La circunferencia y la elipse. B) La circunferencia y el punto. C) La parábola y la hipérbola. D) La recta y el punto.


145

MATEMÁTICAS IV

18.

Si una parábola tiene su vértice en el origen del plano y su directriz es paralela al eje “ Y ” con

p < 0, entonces la curva abre hacia:

A) Abajo. B) Arriba. C) La derecha. D) La izquierda.

19.

Es la ecuación general de la circunferencia, cuyo centro se localiza en el eje de las abscisas y pasa por los puntos P 1 (1,1) y

P 2

5 1 . , 2 2

A) x 2 + y 2 – 3 x + 1 = 0 B) 2 x 2 + 2y 2 + 3 x – 2 = 0 C) 2 x 2 + 2y 2 – 3 x + 7 = 0 D) 4 x 2 + 4y 2 + 12 x + 1 = 0

20.

Son las coordenadas del centro de la circunferencia, cuya ecuación general es la expresión, 2

2

x + y + 4 x – 6y + 12 = 0.

A) C(2,3) B) C(–2,3) C) C(2,–3) D) C(–2,–3)

21.

Resuelve el siguiente problema, apoyándote en los elementos de la circunferencia. Una compañía constructora está encargada de unir un tramo de carretera localizado sobre la recta y = x con otro camino que se ubica sobre la recta y = 0 mediante un arco de circunferencia de 25 m de radio. De acuerdo con esto, ¿Dónde se debe colocar el centro de la curva para que ésta sea tangente a ambas rectas? Y

A) C(35.35,25)

y = x

B) C(60.35,25) Bisectriz

C

20 X’

C) C(100,25) y=0

0

X

D) C(50,25)

Y’


146

MATEMÁTICAS IV

22.

¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola, cuyo eje de simetría es el eje “ X ” y su curva pasa por los puntos A(1,1), B(2,2) y C (5,–1). A) ( x + 1)2 = y + 1 B) ( x – 1)2 = y – 1 C) (y – 1)2 = x – 1 D) (y + 1)2 = x + 1

23.

Son las coordenadas del vértice y la longitud del lado recto de la parábola, cuya ecuación es la expresión y 2 + 6y + 6 x + 39 = 0. A) V (5,3) y LR = 6u. B) V (5,3) y LR = 3/2u. C) V (–5,–3) y LR = 6u. D) V (–5,–3) y LR = 3/2u.

24.

Resuelve el siguiente problema por medio de la aplicación de la parábola y sus ecuaciones. La recepción de una antena parabólica de televisión se encuentra a 1 m del vértice y corresponde al foco. Si el vértice se localiza en el origen del plano, entonces la ecuación ordinaria de la parábola y el diámetro de la antena ( ∅) de la antena, es: y

A) x 2 = 4y ; ∅ = 4 m. B) y 2 = 4 x ; ∅ = 4 m.

F 1m x’

0 V

x

C) y 2 = 4 x ; ∅ = 1 m. A) x 2 = 4y ; ∅ = 1 m.

y’

COMPENDIO FASCÍCULO 3 En el compendio fascículo 3, conociste los puntos y rectas notables de la elipse y la hipérbola para la obtención de sus ecuaciones ordinarias y generales que se aplican en la solución de diversos problemas. Con base en ello, marca la opción que corresponde a la respuesta correcta de cada uno de los siguientes reactivos.

25.

Si los ejes mayor y menor de una elipse son 34 cm y 16 cm respectivamente, entonces ¿Cuál es la distancia entre sus focos? A) 15 cm.

B) 16 cm.

C) 30 cm.

D) 34 cm.


147

MATEMÁTICAS IV

26.

¿Cuál es la ecuación general de la elipse con vértices en V (–1,2), V ’(–1,–4) y lado recto LR = 16/3? A) 9 x 2 + 8y 2 + 18 x + 16y – 55 = 0 B) 9 x 2 + 8y 2 – 18 x – 16y – 55 = 0 C) 8 x 2 + 9y 2 – 16 x – 18y – 55 = 0 D) 8 x 2 + 9y 2 + 16 x + 18y – 55 = 0

27.

Es el valor de la excentricidad y el lado recto de la elipse, cuya ecuación general es la expresión, 4 x 2 + 9y 2 – 16 x + 54y – 47 = 0. A) e = 8 3 y LR = 10 3 B) e = 5 3 y LR = 16 3 A) e = 10 3 y LR = 8 3 B) e = 16 3 y LR = 5 3

28.

Resuelve el siguiente problema apoyándote en los elementos de la elipse. A un carpintero se le pide fabricar una mesa de madera cuya cubierta debe tener forma elíptica; para ello ubica el centro de la mesa en una hoja de triplay y a partir de éste clava dos tachuelas situadas a 1 m del centro. Si la hoja tiene 2.6 m de largo, entonces el ancho que debe tener la mesa, es: Y

A) 2b = 2 m. 2.6 m

B) 2b = 1.66 m. X’

0

X

C) 2b = 1.33 m.

2m

D) 2b = 0.83 m. Y’

29.

Si a = b, entonces el tipo de hipérbola que se obtiene, es: A) Equilátera. B) Más abierta. C) Más cerrada.


148

MATEMÁTICAS IV

30.

Es la ecuación ordinaria de la hipérbola representada en la siguiente figura. Y

A)

x 2

5

−

y 2

4

=1

P(2, 5) LR = 5

B)

F’(-3,0) X’

0 V(2,0)

5

−

x 2

4

=1

X

C)

D) Y’

31.

y 2

y 2

4 x 2

4

− −

x 2

5 y 2

5

=1 =1

¿Cuáles Son las coordenadas de los vértices de una hipérbola, cuya ecuación es la expresión, 4 x 2 – 9y 2 –16 x – 54y – 101 = 0 ? A) V (2,0) y V ’(2,–6) B) V (1,3) y V ’(–5,3) C) V (–2,6) y V ’(–2,0) D) V (5,–3) y V ’(–1,–3)

32.

Son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola que tiene como ecuación la expresión, 2

2

x – y + 2 x – 2y + 4 = 0.

A) x + y = 0 ; x – y + 2 = 0 B) x – y = 0 ; x + y – 2 = 0 C) x – y = 0 ; x + y + 2 = 0 D) x + y = 0 ; x – y – 2 = 0


149

MATEMÁTICAS IV

33.

Resuelve el siguiente problema, apoyándote en los elementos y ecuaciones de la hipérbola. Dos geófonos separados 1 Km, registran una explosión provocada. El geófono A recibe el sonido un segundo antes que el geófono B. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, entonces ¿Cuál es la ecuación que describe el lugar donde ocurrió la explosión? A)

B)

C)

D)

x 2

28900 x 2

28900 x 2

28900 x 2

28900

− − − −

y 2

221100 y 2

250000

=1 =1

y 2

1000000 y 2

971100

=1

=1


150

MATEMÁTICAS IV

5.1 HOJA DE RESPUESTA


151

MATEMÁTICAS IV


152

MATEMÁTICAS IV

5.2 HOJA DE COTEJO DE LA EVALUACIÓN MUESTRA COMPENDIO FASCÍCULO 1 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 C 12 A 13 B 14 C 15 D 16 A

COMPENDIO FASCÍCULO 2 17 D 18 D 19 A 20 B 21 B 22 C 23 C 24 A

COMPENDIO FASCÍCULO 3 25 C 26 A 27 B 28 B 29 A 30 D 31 D 32 C 33 A


153

MATEMÁTICAS IV

VI SIMBOLOGÍA AB

Segmento de recta. Diferente a Mayor que.

>

Mayor o igual que.

<

Menor que. Menor o igual que. Más menos.

( x ,y )

Coordenadas rectangulares.

(r , )

Coordenadas polares.

–1

tan a

Tangente inversa. Valor absoluto.

f ( x )

Notación de función (valor de f en x ).

m

Pendiente de la recta. Rectas perpendiculares.

//

Rectas paralelas. Por lo tanto. Incremento. Infinito.

(a,b)

Intervalo abierto.

(a,b]

Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

[a,b)

Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.

[a,b]

Intervalo cerrado. Notación de conjunto


154

MATEMÁTICAS IV

VII GLOSARIO ÁNGULO

Abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo origen llamado vértice.

BISECTRIZ

Recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

COLINEAL

Misma dirección donde se ubican dos o más puntos. Dos o más puntos son colineales si están sobre una misma recta.

CUADRILÁTERO

Polígono formado por cuatro lados y cuatro vértices

DIRECTRIZ

Recta fija que sirve para generar una o más curvas.

EJE DE SIMETRÍA

Recta que divide a una figura geométrica en dos partes iguales.

EQUIDISTANTE

Situado a igual distancia. Tres puntos son equidistantes si dos de ellos están a la misma distancia con respecto al tercero.

FUNCIÓN

Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos (dominio e imagen).

GENERATRIZ

Recta que gira en ángulo constante alrededor de otra recta fija.

INTERVALO

Espacio o amplitud comprendido por un conjunto de valores abierto, cerrado o semiabierto.

MEDIATRIZ

Perpendicular que pasa por el punto medio del lado de un triángulo. Perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento de recta.

ORTOGONAL

Distancia perpendicular entre un punto y una recta. La coordenada de un punto tiene una distancia ortogonal con respecto a su eje coordenado.

PERÍMETRO

Longitud del contorno de una figura geométrica. El perímetro de cualquier figura se obtiene sumando todos lo lados que la conforman.

PLANO

Extensión que se prolonga infinitamente en dos dimensiones: largo ancho.

POLÍGONO CONVEXO

Polígono conformado por ángulos interiores menores de 90°.

RAZÓN

Relación entre dos cantidades de la misma magnitud en forma de cociente.

RECTAS PARALELAS

Par de rectas que mantienen una misma dirección y la distancia entre ellas siempre es la misma (equidistante).

Par de rectas que se intersectan en un punto en común, formando ángulos PERPENDICULARES de 90°.

RECTAS ROMBO

Figura geométrica plana formada por cuatro lado iguales y dos pares de ángulos congruentes diferentes de 90°.

SEGMENTO DE RECTA

Línea recta limitada por dos puntos.

TABULACIÓN

Tabla de valores correspondientes a la variable independiente y dependiente de una función.

TRIÁNGULO ISÓSCELES

Triangulo conformado por dos lados iguales y dos ángulos congruentes.


155

MATEMÁTICAS IV

VI BIBLIOGRAFÍA

BAJVALOV S. J., Ivannitskaia V. P. y Babushki L. J.: Geometría Analítica Instituto Politécnico Nacional, México 1996.

CABALLERO Arquímedes, L. Martínez y G. Bernárdez: Geometría Analítica Editorial Esfinge, México 1999.

CHÁVEZ P. G. Xóchitl, Díaz G. Joel, García V. Ramón, Hernández R. M. Magdalena, Marrufo Ch. M. Ángel y Praxedis M. Francisco: Matemáticas IV, Fascículo 1 Colegio de Bachilleres, México 1993.

CRUZ F. Claudio, Ramírez S. M. Acacia, Sánchez C. Sergio, y Vélez C. Carlos: Matemáticas IV, Fascículo 3 Colegio de Bachilleres, México 1993.

FUENLABRADA de la Vega Trucios Joel: Matemáticas III, Geometría Analítica McGRAW-HILL Interamericana de México 1995.

GETCHMAN Murria: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica Limusa Noriega Editores México 1999.

GUERRA T. Manuel y Figueroa C. Silvia: Geometría Analítica para Bachillerato McGRAWHILL/Interamericana Editores S. A. de C. V, México 1992.

RAMÍREZ S. M. Acacia, Rodríguez S. Guadalupe, Sánchez C. Sergio, y Santoveño D. M. del Carmen: Matemáticas IV, Fascículo 2 Colegio de Bachilleres, México 1993.

SWOKOWSKI Eart W.: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica Iberoamericana, México 1996.

Grupo editorial

TORRES Carlos: Geometría Analítica Editores Santillana, México 1998.


156

MATEMÁTICAS IV

DIRECTORIO

JORGE GONZÁLEZ TEYSSIER Director General JAVIER GUILLEN ANGUIANO Secretario Académico FRANCISCO LARA ALMAZÁN Coordinador Sectorial Norte ALFREDO OROZCO VARGAS Coordinador Sectorial Centro HÉCTOR DE ITA MONTAÑO CAMPOS Coordinador Sectorial Sur ÁLVARO ÁLVAREZ BARRAGÁN Coordinador de Administración Escolar y del Sistema Abierto JOSÉ NOEL PABLO TENORIO Director de Asuntos Jurídicos

MARÍA ELENA SAUCEDO DELGADO Directora de Servicios Académicos

MA. ELENA SOLÍS SÁNCHEZ Directora de Información y Relaciones Públicas

RICARDO ESPEJEL Director de Programación

LILIA HIMMELSTINE CORTES Directora de Planeación Académica

FRANCISCO RENÉ GARCÍA PÉREZ Director Administrativo

MARIO E. MARTÍNEZ DE ESCOBAR Y FICACHI Director de Extensión Cultural

JAIME OSUNA GARCÍA Director de Recursos Financieros


157

cuaderno de actividades Matematicas 4.pdf

Recommend Documents