Cuaderno de trabajo Dinamica

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMEN

Cuaderno de Trabajo: DINÁMICA 2016 Academia de Física M. en C. Francisco A. Tamayo Ordoñez, M. en C. Nain Elvira Antonio y M. en C. Luis Jorge Pérez Reda.

Universidad Autónoma Del Carmen Facultad De Química

INDIC E Introducción

3

Objetivo del cuaderno de trabajo

5

Capitulo I

6 Sistemas de medida y Movimiento En Una Dimensión

I.1 Sistema De Unidades y Conversión de un Sistema de Unidades a Otro Ejercicio No. 1 I.2 Vectores I.2.1 Método del Paralelogramo (gráfico) y Método del Polígono (gráfico) (gráfic o) Ejercicio No. 2 I.2.2 Método del Paralelogramo y Método del Polígono para Determinación de la Resultante de forma analítica Ejercicio No. 3 I.3 Cinemática de una Partícula I.3.1 Movimiento Rectilíneo de Partículas I.3.1.1 Posición, Velocidad y Aceleración Aceleraci ón Ejercicio No. 4

6 10 13 13 15 18

Capitulo II

36

21 23 23 23 31

Movimiento en Dos y Tres Dimensiones

II.1 Caída Libre, Tiro Vertical y Movimiento Parabólico Parabólic o Ejercicio No. 5

36 42

Capitulo III

45 Cinética de Partículas (Leyes de Newton)

III.1 Leyes de Newton Ejercicio No. 6 Fricción o Fuerza de Rozamiento Ejercicio No. 7

45 48 52 55

Capítulo IV

56 Trabajo, Potencia y Energía

IV.1 Trabajo Ejercicio No. 8 IV.2 Potencia Ejercicio No. 9 IV.3 Energía Cinética Ejercicio No. 10

56 59 61 63 64 67

2


INDIC E Introducción

3

Objetivo del cuaderno de trabajo

5

Capitulo I

6 Sistemas de medida y Movimiento En Una Dimensión

I.1 Sistema De Unidades y Conversión de un Sistema de Unidades a Otro Ejercicio No. 1 I.2 Vectores I.2.1 Método del Paralelogramo (gráfico) y Método del Polígono (gráfico) (gráfic o) Ejercicio No. 2 I.2.2 Método del Paralelogramo y Método del Polígono para Determinación de la Resultante de forma analítica Ejercicio No. 3 I.3 Cinemática de una Partícula I.3.1 Movimiento Rectilíneo de Partículas I.3.1.1 Posición, Velocidad y Aceleración Aceleraci ón Ejercicio No. 4

6 10 13 13 15 18

Capitulo II

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21 23 23 23 31

Movimiento en Dos y Tres Dimensiones

II.1 Caída Libre, Tiro Vertical y Movimiento Parabólico Parabólic o Ejercicio No. 5

36 42

Capitulo III

45 Cinética de Partículas (Leyes de Newton)

III.1 Leyes de Newton Ejercicio No. 6 Fricción o Fuerza de Rozamiento Ejercicio No. 7

45 48 52 55

Capítulo IV

56 Trabajo, Potencia y Energía

IV.1 Trabajo Ejercicio No. 8 IV.2 Potencia Ejercicio No. 9 IV.3 Energía Cinética Ejercicio No. 10

56 59 61 63 64 67

2


68

Capitulo V Energía Potencial

V.1 Energía Potencial Ejercicio No. 11

68 70

Capítulo VI

71 Rotación y Movimiento Circular

III.1 Desplazamiento, Desplazamiento , Velocidad y Aceleración Angular Ejercicio No. 12

71 76

Respuestas a los Ejercicios

79

Fuentes de Información

84

3


IN TRO TRO DUCCIÓN DUCCIÓN El presente cuaderno de trabajo está dirigido a los estudiantes de la Facultad de Química de la carrera de Ingeniero Químico e Ingeniero Petrolero, el cuál es un apoyo para la aplicación de las Experiencias de Aprendizajes de la asignatura de Dinámica, con una serie de ejercicios recopilados de diferentes fuentes de consulta, estos ejercicios impactan en un 100 % del programa de curso, y ayudan en entender de una manera amplia los fenómenos físicos que se presentan. El material se desarrolla partiendo de una breve explicación que podrá servir de repaso para lo ya visto en clase, para continuar con la realización independiente por parte de los estudiantes de los ejercicios recopilados, distribuidos en 6 capítulos, de acuerdo a 5 temas del programa de curso: movimiento en una dimensión, movimiento curvilíneo de partículas, cinética de partículas, trabajo y energía y energía potencial. Al final de la serie de ejercicios se encuentran los resultados correctos de cada uno de ellos. Es prudente mencionar que todos los ejercicios fueron extraídos de las fuentes bibliográficas que aparecen al final del documento.

Física. La Ciencia es el equivalente equivalente actual de lo que se solía llamar filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas sin respuesta acerca de la naturaleza. A medida que se encontraban estas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy se le denomina Ciencia. El estudio de la Ciencia actual se divide divide en el estudio de los seres vivos y de los objetos que no tienen vida, es decir, en Ciencias de la Vida y Ciencias Ciencias Físicas. Las Ciencias de la Vida se dividen a su vez en áreas como la Geología, la Zoología y la Botánica. Las Ciencias Físicas se dividen a su vez, en ramas como la Geología, la Astronomía, la Química y la Física. La Física es más que una rama de las Ciencias Físicas: es la más fundamental de las ciencias. La Física estudia la naturaleza de las cosas tan básicas como el movimiento, las fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y la composición de los átomos. La Química estudia la manera como está integrada se combinan a su vez para conformar los diversos tipos de materia que nos rodean. La biología es aún más compleja, pues estudia la materia viva. Así pues, la Física sirve de apoyo a la Química, Química, y está sustenta a la biología. Las ideas de la Física 4


son esenciales para estas ciencias más complicadas, por eso la Física es la ciencia más fundamental. Podemos entender mejor otras ciencias si antes entendemos la Física.

Mecánica Óptica Física

Acústica Electricidad y Magnetismo Termología

La mecánica es parte de la Física que se encarga del análisis de los cuerpos en movimiento. Esta a su vez se divide en dos grandes ramas, la dinámica y la estática. La dinámica incluye: 1. La cinemática, que es el estudio de la geometría del movimiento. La cinemática se usa para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. 2. La cinética, que es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento de éste. La cinética se usa para predecir el movimiento causando por unas fuerzas dadas o para determinar las fuerzas requeridas para producir cierto movimiento.

5


Objet ivo del Cu ad er n o de trabajo

El presente cuaderno de trabajo está dirigido a los estudiantes de la Facultad de Química de la carrera de Ingeniero Químico e Ingeniero Petrolero que llevan el curso de Dinámica en el modelo educativo basado en experiencias de aprendizaje y en competencias. Este le ayudará a entender los fenómenos físicos que se presenten así, como apoyo para los cursos de flujo de fluidos, fenómenos de transporte y balance de materia y energía. El contenido está diseñado para proporcionar un conjunto de ejercicios que permitan lograr el siguiente objetivo: Que el alumno analice la interrelación que hay entre el espacio, el tiempo, la masa y la fuerza, estudiando los diferentes movimientos de una partícula como una relación del espacio tiempo, y la acción de las fuerzas sobre los cuerpos y el movimiento que en ellos se produce por su acción, de acuerdo con las leyes de Newton.

6


C APIT ULO I Sistema de Medidas y Movimiento en una Dimensión

I.1 Si st e m a De uni da des y Conversión de un Si st e ma de Uni da des a Otro La física es una ciencia basada en las mediciones exactas, por lo tanto las mediciones se clasifican en:

Objetivo:

Organizar una serie de ejercicios, para que con su resolución, el alumno aprenda a diferenciar los tipos de cantidades físicas que existen y las unidades de medida de esas cantidades, mediante los diferentes sistemas de unidades. Lectura:

Cantidades físicas. Cantidades Fundamentales: No se definen en función de otras cantidades,

ejemplo: Longitud, masa, tiempo. Cantidades Derivadas: Son aquellas cuyas operaciones, se basan en otras

cantidades físicas, ejemplo: superficie, volumen, velocidad. Sistemas de Unidades. En general existen dos grupos de unidades: a) Sistema métrico o también llamado Sistema Internacional (SI): MKS (metro, kilogramo, segundo) y CGS (centímetro, gramo, segundo). b) Sistema inglés: pulgada, pie, yarda, etc.

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Principales Unidades Del SI Utilizadas En La Mecánica Ca n ti da d aceleración

U n i da d

Metro por segundo al cuadrado Aceleración angular Radian por segundo al cuadrado Angulo Radian Area Metro cuadrado Densidad Kilogramo por metro cubico Energía Joule Esfuerzo Pascal Frecuencia Hertz Fuerza Newton Impulso Newton-segundo Longitud Metro Masa Kilogramo Momento de una Newton-metro fuerza Potencia Watt Presión Pascal Tiempo Segundo Trabajo Joule Velocidad Metro por segundo Velocidad angular Radian por segundo Volumen Metro cubico Sólidos litro líquidos

S í mb ol o

For mu l a

...

M/S²

...

Rad/s²

Rad ... ...

1 rev=2 rad=360º M² Kg/m³

J Pa Hz N ... M Kg ...

n.m N/m² S-¹ Kg.m/s² Kg.m/s Unidad básica Unidad básica n.m

W Pa S J ... ... ... l

J/s N/m² Unidad básica N/m M/s Rad/s M³ 10-³ m³

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Tabla de algunos factores de conversión

LONGITUD

1 metro (mt)=100cm 1 yarda (yd)=36 in 1 pie (ft)=30.48cm 1 pie (ft)=121 in 1 milla terrestre (mi)=5280 ft 1 milla marina internacional (mi)=1852 mt VOLUMEN

1 metro cúbico (mt³)=1000000 cm³ 1 pie cúbico (ft³)=1728 in³ 1 pie cúbico (ft³)=7.48 gal 1 yarda cúbica ( yd³)=0.76 mt³ 1 galón (gal)=231 in³ 1 galón (gal)=3.781 lt

SUPERFICIE

1 metro cuadrada (mt²)=10000 cm² 1 yarda cuadrada (yd²)=1296 in² 1 pie cuadrado (ft²)=929 cm² 1 pie cuadrado (ft²)=144 in² 1 pulgada cuadrada (in²)=6.452 cm² PESO

1 kilogramo (kg)=1000 gr 1 kilogramo (kg)=2.20 lb 1 libra (lb)=454 gr 1 libra (lb)=16 oz 1 onza (oz)=28.35 gr 1 tonelada (ton)=2000 lb 1 tonelada (ton)=1000 kg

Actividades:

Realizar las conversiones de las cantidades físicas a otros sistemas de unidades. a) 50 gr 50 gr

50 gr

50 gr

kg , ton, lb 1kg

1000 gr

0.05kg

1ton 1000000 gr 1lb 454 gr

0.00005ton

0.11lb

9


gal min

b) 560 lt seg

lt 1 gal 60 seg 560 seg 3.781lt 1min

c) 95 kmhr

95

8886.53

gal min

mt seg

km

1000mt

1hr

hr

1km

3600 seg

26.388 mt seg

10


Ejerci c i o No. 1 Conv er s i ón D e Un i dad e s Resolver cada una de las conversiones y los problemas que se indican. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 9 15. 16. 17. 1. ¿Cuál es su estatura en metros, pies y pulgadas?

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2. Calcule el número de kilómetros en 20 millas usando solamente los siguientes factores de conversión.

3. Un cohete alcanza una altura de 300 km ¿Cuánto es esta distancia en millas ?

4. a) En competencia de pista se usa tanto las 100 yardas como los 100 metros para medir distancias de carreras cortas. ¿Cuál de ellas es mayor?¿En cuántos metros es mayor y en cuántos ft? b) se conservan marcas de competencia de pista y campo tanto para la milla como para los 1500m. Compare estas distancias.

5. Proporcione la relación entre: a) 1 in² y 1 cm² b)1 mi² y 1 km² c)1 m³ y 1 cm³ d) 1 ft² y yd² 6.- Resolver las siguientes conversiones a) b) c) d) e) f) g) h) i) 12


j) k) l) m) 7.- La tierra se encuentra a una distancia promedio de 9.3 x 10 7 mi del sol. ¿Cuál es esa distancia en kilómetros?¿E n metros? 8.- ¿Cuántos pies cúbicos hay en un metro cúbico? 9 .- En muchos pueblos europeos el límite de velocidad es de 60 km/h. ¿ Cuánto representa esto en millas por hora? 10.- La velocidad de la luz es de 3.00 x 10 8 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la luz en pies por segundo? 11.- Una milla náutica equivale a 6076 (ft), y un nudo (kn) es una unidad de velocidad que es igual a una milla náutica/h. Un barco lleva una velocidad de 8 kn. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora?¿ En pies por segundo?

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I.2 Vectore s I.2 .1 Mét od o d el para le l ogram o y Mét od o d el P ol í gon o ( gráf i co) Ciertas cantidades físicas se representan mediante vectores, esto para hacer el análisis de estas cantidades más sencillo. Objetivo:

Analizar las magnitudes o cantidades físicas y representar estas cantidades mediante vectores. Interpretar los métodos que se utilizan para llevar a cabo la suma de vectores. Utilizar los métodos existentes para la suma de vectores. Lectura:

Diferenciar entre magnitudes escalares y vectoriales. Definir vector y los tipos de vectores. Leer y comprender sobre los métodos para realizar la suma de vectores ESCALARES MAGNITUDES VECTORIALES VECTOR: 80 Km/hr

30º

noroeste

magnitud

dirección

sentido

VECTOR RESULTANTE: Vector único que produce los mismos efectos de todos los vectores dados y tienen magnitud, dirección y sentido. VECTOR EQUILIBRANTE: Produce los mismos efectos que el vector resultante solo que en sentido contrario. Las reglas que hay que seguir para efectuar geométricamente una adición vectorial son las siguientes: 1) 2) Después se dibuja el vec

Método Geométrico Del Paralelogramo : La resultante de dos vectores cuyas

direcciones forman un ángulo, se representa por medio de un vector, cuya

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dirección es la diagonal del paralelogramo formado con los dos vectores dados y cuyo origen coincide con el común de ambos.

Método Geométrico Del Polígono: Deriva del método anterior, pero es más fácil

para trabajar con varias fuerzas. Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes: 1.- Traza la rectas paralelas a F 2 desde el extremo de F 1 (con líneas punteadas) 2.- Toma la medida de esa fuerza y desde su extremo (flecha del vector) traza la siguiente. 3.- Uní con una línea el extremo de la última fuerza con el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector) 4.- Calcula el valor de la resultante.

Si hay más de dos fuerzas se traza una fuerza detrás de la otra (ojo con la dirección de cada una); cuando se dibujó la última fuerza se traza la resultante desde el punto de origen de las fuerzas hasta el extremo de la última fuerza. Actividades:

Los problemas a resolver por los métodos del paralelogramo y el polígono se deben realizar en hojas milimétricas, usando la descripción que se da en cada método.

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Ejerci c i o No. 2 Método del paralelogramo 1.- Un automóvil viaja 16 m al este y otro 24 m al norte. Encuentre los valores de la resultante del desplazamiento originado. Escala: 1 cm- 5m.

2.- Una fuerza de 160 N y otra de 316N, se aplican sobre el mismo objeto. Si el ángulo entre las dos fuerzas es de 90º ¿ Cuál será la magnitud de la fuerza resultante? Escala : 1 cm- 100N.

3.- Una fuerza de 610N y otra de 220N perpendiculares entre si, actúan simultáneamente sobre el mismo objeto ¿Cuál es el valor de la magnitud de la fuerza resultante? ¿Qué ángulo forma la fuerza resultante con la fuerza de 610N?

4.- Hallar la resultante de un sistema de vectores formado por: Vector 1= 4Kpa Vector 2= 3Kpa El ángulo que forman entre sí es igual a 60º. Escala 1cm-1Kpa

5.- Un baúl es arrastrado por dos fuerzas. La primera es de 150N y la segunda es de 300N. Ambas fuerzas forman un ángulo de 75º entre sí. Halla las características del vector resultante. Escala 1cm-75N.

6.- Una fuerza de 200N y otra de 400N se aplican sobre el mismo objeto, si el ángulo entre las dos fuerzas es de 63º ¿Cuál es la magnitud de la resultante?, ¿Cuál es la dirección? Escala 1 cm-50N.

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Método del Polígono 7.- Un sistema formado por las siguientes fuerzas es aplicado sobre un cuerpo. Determine los valores del vector resultante. Escala 1N-1cm. 8N

5N 30°

20° 10 N

8.- Una lancha viaja primero 26 km, 45ºal noreste, luego 22 km al sur y finalmente 18 km en una dirección de 30º al noroeste. Encuentre las características de las resultantes por el método del polígono. Escala 1cm-10 Km

30°

45°

9.- Las siguientes fuerzas actúan sobre el mismo objeto. Determine el valor de la resultante. Escala 1 cm-50 lb. 100 Lb

250 Lb 35 °

240 Lb

500 Lb 40 °

275 Lb

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10.- Calcule las características del vector resultante en un sistema formado por los siguientes vectores. Escala 1cm-1kg. 13 kg 6 kg

20 ° 35 ° 4 kg

45 ° 10 kg

11.- Las siguientes fuerzas actúan sobre el mismo objeto. Determine las características del vector resultante. Escala 1 cm-1 N. 8N 20 N

5N

20 ° 60 ° 6N

12.- Las siguientes fuerzas actúan sobre el mismo objeto. Determine las características del vector resultante. Escala 1 cm-10 lb. 150 95 Lb

75 Lb

35 ° 20 °

40 °

80 Lb

100

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I.2 .2 Métod o d el Para l el ogram o y Mét od o d e l P ol í gon o p ar a D et er mi n ac i ón d e l a Res u lt a nt e d e For m a A n a l í ti ca Ciertas cantidades físicas se representan mediante vectores, esto para hacer el análisis de estas cantidades más sencillo. Objetivo:

Analizar las magnitudes o cantidades físicas y representar estas cantidades mediante vectores. Interpretar los métodos que se utilizan para llevar a cabo la suma de vectores. Utilizar el método analítico del paralelogramo. Lectura:

Revisar la bibliografía para entender las ecuaciones necesarias para resolver los problemas por este método. Paralelogramo:

Y

c

a X

b

Donde contra del movimiento de las manecillas del reloj, a par tir de dicho eje. Teorema de los cosenos (magnitud) c2

a2

b2

2ab cos

Teorema de los senos a

b

c

sen

sen

sen

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Polígono:

Utilizando el método de los componentes de un vector se puede calcular los valores del vector resultante en un sistema formado por varias fuerzas que actúan sobre un mismo punto, es decir un sistema de fuerzas concurrentes para determinar sus valores se tomarán en cuenta los siguientes pasos: 1) Calcular los componentes en cada uno de los vectores. 2) Sumar algebraicamente componentes en x e y. 3) Utilizar el teorema de Pitágoras para el calculo de magnitud y tangente de un ángulo para dirección. Y

R

Fy X

Fx

Actividades:

Aplicar las ecuaciones necesarias para obtener el valor de la resultante en la suma de vectores por los métodos que se requiera. Calcule analíticamente las características del vector resultante en un sistema de vectores formados por: V1= 4Kpa y V2= 3Kpa un ángulo de 65° entre ellos

Y

V2= 3Kpa

R

115°

X

V1= 4Kpa

Calculando la magnitud de la resultante tenemos:

20


R

4kpa

2

3kpa

2

2 4kpa 3kpa cos115 R

5.928kpa

Y la dirección es: R

3kpa

sen115

sen 3kpa sen115

sen

5.928kpa 27.30

Calcule las características de un sistema formado por los siguientes vectores: 90 N

40 N 25 °

35 °

80 N

F x

F cos

F y

Fsen

Fuerza 40 N 90 N 80 N

R

R

117.471 N

135.996 N

2

68.5258 N

R

F x

2

F y

2

Fx 36.252 -73.723 -80

Fy 16.904 51.621 0

-117.471

68.5258

2

tg

68.5258 117.471

0.58334

149.742

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Ejerci c i o No. 3 1.- Un empuje de 200 libras hacia el norte y otro empuje de 500 libras hacia el oeste actúan sobre un objeto. Determine de manera gráfica y analítica las características de la fuerza resultante. Escala 1cm-50lb

2- Un bote en un canal es remolcado por 2 cables que entre si forman un ángulo de 45 grados. Si las fuerzas son de 150 kg. (a) y 175 kg. (b) ¿ Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? Calcule los valores de manera analítica.

3- Dos fuerzas de 120 N (a) y 160 N (b), son aplicadas al mismo cuerpo. Si el ángulo entre sus direcciones es de 90 grados. Encuentre gráficamente y analíticamente las características del vector resultante. Escala 1cm-50N.

4- Un aeroplano vuela hacia el este a una distancia de 300 km., posteriormente el otro vuelo cambia 70 grados hacia el noreste 210 km. ¿ a qué distancia y en que dirección esta el aeroplano de su punto de partida compare sus resultados gráfica y analíticamente. Escala 1 cm-50 Km.

5- Un baúl es arrastrado por dos fuerzas, la primera es de 150N y la segunda es de 300N . Ambas fuerzas forman un ángulo de 75 grados entre si. Hallar las características del vector resultante. Escala 1 cm-75N.

6.-Una fuerza de 200N y otra de 400N se aplican sobre el mismo objeto, si el ángulo entre las 2 fuerzas es de 63 grados ¿ Cuál es la magnitud de la resultante, ¿Cuál es la dirección? Escala 1 cm-50N.

7.- Calcule las características de un sistema formado por los siguientes vectores. Compare los resultados con la gráfica.

22


90 N 40 N 35 °

25 ° 45 °

80 N 60 N

20 N

8.- Comparar el valor de la resultante gráfica y analíticamente. 300 Lb

100 Lb

45 °

35 °

35 °

400 Lb

30 °

80 Lb

250 Lb

9.-Resolver analíticamente los siguientes vectores. 480 N 375 N 270 N 42 °

38 ° 27 °

450 N

430 N 325 N

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I.3 Ci nemática de u n a Pa rt í cu l a I.3.1 Mo vi mi e nt o Re c ti lí ne o d e Pa r tí cu l a s I.3.1.1 P o si c ió n , Ve loc id a d y Acel e ra ci ón . C i n e m át i ca y C i n e m á ti c a ve c to r i al . La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. Objetivo:

Describir y analizar el movimiento rectilíneo de partículas mediante intervalos de tiempo. Describir y analizar el movimiento rectilíneo de partículas mediante un instante de tiempo tiempo. Lectura: Dinámica.- parte de la mecánica que se encarga del análisis de los cuerpos en

movimiento. La dinámica incluye la cinemática y la cinética. Cinemática.- es el estudio de la geometría del movimiento, se usa para relacionar

el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo sin hacer referencia a la causa del movimiento. Partícula.- Es la representación de un objeto con extensión que nos es útil para

determinar el comportamiento de este. Matemáticamente, se considera a una partícula como un punto es decir, como un objeto sin extensión, de tal forma que no intervienen las consideraciones relativas a las rotaciones o vibraciones. El sol, la tierra, una pelota, las moléculas, los protones y los electrones pueden tratarse frecuentemente como partículas. Aun si un cuerpo es demasiado grande como para considerarlo una partícula en un problema especifico, siempre puede considerarse que esta formado por cierto numero de partículas y el resultado del movimiento de ellas es útil en el análisis del problema. Preguntas clave 1. ¿Por qué la masa es una magnitud escalar y el peso es vectorial ? 2. La aceleración de un móvil es un vector y como tal se puede descomponer en componentes. Si se elige un sistema de referencia con el origen centrado en el 24


móvil, un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma,¿qué significado físico tienen las componentes de la aceleración referidas a ese sistema de referencia? 3.- Comenta la frase pronunciada por un automovilista imprudente después de estar a punto de salirse de la carretera: "¡la curva era tan cerrada que la fuerza centrífuga me ha sacado de la carretera! 1.- Cinemática 1.1.- Vector de posición (r)

Para describir el movimiento de una partícula, respecto de un sistema de referencia, tenemos que conocer, en cada instante, la posición del móvil, su velocidad y la aceleración con la que está animado. Elegido un sistema de referencia, la posición del móvil queda determinada por el vector de posición: vector de posición r(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k(1) El extremo del vector de posición describe, a lo largo del tiempo, una línea que recibe el nombre de trayectoria. Esta curva se puede obtener eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas. r entre los instantes t 0 y t1 a: vector desplazamiento r i j k(2) 1.2.- Velocidad (v)

Se denomina vector velocidad media (v m) al desplazamiento que experimenta un móvil en la unidad de tiempo: Vector velocidad media

Y se llama velocidad media a la longitud de trayectoria recorrida en la unidad de tiempo. Velocidad media = v =

s/ t = distancia recorrida / tiempo empleado

Si la trayectoria es una línea recta y no hay cambios de sentido, el módulo del vector velocidad media coincide con la rapidez. Velocidad instantánea (v) es la velocidad que posee una partícula en un instante determinado. Es un vector tangente a la trayectoria y de sentido el del movimiento. vector velocidad instantánea

25


El valor numérico de la velocidad instantánea es el módulo de la velocidad y se denomina rapidez o celeridad :

1.3.- Aceleración (a)

Se denomina vector aceleración media, a m, a la variación que experimenta la velocidad instantánea en la unidad de tiempo. vector aceleración media

Aceleración instantánea a es la aceleración que posee la partícula en un instante determinado (en cualquier punto de su trayectoria). Su dirección y sentido coincide con el del cambio de la velocidad. vector aceleración instantánea

El valor numérico de la aceleración instantánea es el módulo del vector aceleración : a

a

a x2

a y2

a2

Componentes intrínsecas de la aceleración

Si elegimos como sistema de referencia uno con origen la posición de la partícula, en cada instante, con un eje tangente a la trayectoria y el otro perpendicular a la misma, la aceleración tiene dos componentes: a = at + an

26


Aceleración tangencial: es un vector tangente a la trayectoria y su módulo

representa la variación del módulo de la velocidad en un instante. at = |at| = dv/dt Aceleración normal: es un vector perpendicular a la trayectoria y sentido hacia el centro de curvatura. Su módulo representa la variación de la dirección del vector velocidad en un instante. an = |an| = v ²/R donde R es el radio de curvatura de la trayectoria. Por tanto, podemos escribir: a

dv dt

u t

v2 R

un

donde Ut y Un son dos vectores unitarios en la dirección tangente y normal a la trayectoria. Actividades: Analizar: 1) Para la gráfica de la figura, interpretar como ha variado la velocidad, trazar

el diagrama v = f(t) y hallar la distancia recorrida en base a ese diagrama.

27


2) Calcular el espacio recorrido por el móvil correspondiente a la gráfica:

3) Calcular el espacio recorrido para el móvil de la gráfica:

Desarrollo: 1) A partir de la pendiente de cada tramo de recta obtenemos la velocidad v AB = x AB/ t AB v AB = (20 m - 0 m)/(10 s - 0 s) Þ v AB = 2 m/s v BC = x BC/ t BC v BC = (30 m - 20 m)/(30 s - 10 s) Þ v BC = 0,5 m/s v CD = x CD/ t CD v CD = (30 m - 30 m)/(40 s - 30 s) Þ v CD = 0 m/s v DE v DE = (10 m - 30 m)/(50 s - 40 s)Þ v DE = - 2 m/s DE DE AE = xE - x A AE = 10 m - 0 m Þ AE = 10 m

Esto se debe a que el móvil regresa por el mismo camino.

2) En el gráfico de v = f(t) la superficie bajo la curva es el espacio recorrido, es

decir: x = (20 m/s).(5 s) + (20 m/s).(4 s)/2

x = 100 m + 40 m

x = 140 m

3) Como en el caso anterior: x = (100 m/s).(250 s)/2 x = 12500 m 28


Analizar:

La posición de una partícula que se mueve en línea recta esta definida por la relación x = t 3 6t2 15t + 40 donde x esta expresada en pie y t en segundos. Determínese: a) el tiempo en el cual la velocidad será 0 x = t3 6t2 15t + 40 v = 3t 2 12t 15 a = 6t 12 t =? v =0

0 = 3t 2 12t 15

t = -1 seg

t = 5 seg

b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo. X = 53 62 15(5) + 40 X = -60 ft dt = X5 X0 dt = -60 40 dt = -100 ft c) la aceleración de la partícula en ese instante a = 6(5) 12 a = 18 ft / seg 2 d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 seg hasta t = 6 seg d1 = X5 X4 d1 = -60 (-52) d1 = -8 d2 = X6 X5 d2 = -50 (-60) d2 = 10 dt = d2 d1 dt = 10 (-8) dt = 18 4) ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72 km/h?

Desarrollo: Datos: v = 72 km/h

29


5) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9

s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del mismo sentido: a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?. b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?. Desarrollo: Datos:

v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s a) El desplazamiento es: x = v.t Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm El desplazamiento total es: Xt = X1 + X2 Xt = 10800 cm + 3360 cm Xt = 14160 cm = 141,6 m b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos: v = xt/tt v = 141,6 m/16 s v = 8,85 m/s 6) Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenia el móvil antes de aplicar los frenos?. b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?. Datos:

t = 25 s x = 400 m vf = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t ²/2 a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.t Reemplazando (3) en (2):

a = -v0/t (3)

30


x = v0.t + a.t ²/2 x = v0.t - v0.t/2 v0 = (2.400 m)/(25 s) b) De la ecuación (3): a = (-32 m/s)/(25 s)

x = v0.t + (-v0/t).t ²/2 x = v 0.t/2 Þ v0 = 2.x/t v0 = 32 m/s

a = -1,28 m/s ²

31


Ejercic io No. 4 1.- El movimiento de una partícula esta definido por la relación x = 4t 4 6t3 +2t 1 donde x esta expresada en metros y t en segundos, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 2s. 2.- El movimiento de una partícula esta definido por la relación de x = 3t 4 + 4t37t2-5t+8 donde x esta expresada en milímetros y t en segundo determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t =3 s. 3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de x = 6t 2 8 +40 cos t donde x esta expresada en in y t en seg. determine la posición, la velocidad y la aceleración cuando t = 6s 4.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de x = 5/3 t 3-5/2t2 30t +8 donde x está expresada en in y t en seg determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0 5.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de x = 6t 4-2t3 12t2 +3t +3 donde x esta expresada en m y t en seg determine el tiempo, la posición y la velocidad, cuando a = 0. 6.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de x = 3t 3 6t2 12t+5 donde x esta expresada en metros y t en seg determine a) el instante t cuándo la velocidad es cero b) la posición y la distancia total recorrida cuando t = 4s. 7.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de x = t 3-9t2 +24t 8 donde x esta expresada en in y t en seg determine el instante t cuándo la velocidad es cero b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero. 8.- El movimiento de una partícula está definido por la relación de X= t 3 6t2 36t 40 donde x esta expresada en in y t en seg determine a) el instante t cuando la velocidad es cero B) la velocidad, aceleración y la distancia total recorrida cuando x = 0.

32


9.- El aceleración de una partícula está definido por la relación de a = 6ft/s 2 sabiendo que x = -32 ft cuando t = 0 y v = -6 ft/s cuando t = 2s determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 5s 10.- La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo en t = 0 la velocidad de la partícula es v = 16 in/s sabiendo que v = 15 in/s y x = 20 in cuando t = 1s determine la velocidad la posición de la distancia total recorrida cuando t = 7s. 11.- La aceleración de una partícula esta definida por la relación a = A- 6t 2 donde a es una constante en t = 0 partícula parte de x = 8 m con v = 0 sabiendo que en t = 1seg v = 30 m/s determine a) los instantes en los cuales la velocidad es cero b) la distancia total recorrida por la partícula cuando t =5s. 12.- La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo t cuando t = 0 la partícula esta en x = 24 m. Sabiendo que en t = 6 s, x = 96 m y v =18 m/s, exprese x y v en función de t. 13.- Se sabe que t = 2s a y =10 s la aceleración de una partícula es inversamente proporcional al cubo del tiempo cuando t = 2s v =-15 m/s y cuando t =10 s v = 0.36 m/s sabiendo que la partícula está dos veces más lejos del origen cuando t = 2s que cuando t = 10 seg determine a) la posición de la partícula cuando t = 2s y cuando t = 10 ,s b) la distancia recorrida por la partícula de t =2 s a t = 10 s. 14.- La aceleración de una partícula está definida por la relación de a=-8m/s 2 sabiendo que x = 20 m cuando t = 4s y que x = 4m cuando v =16 m/s determine a) el instante en el que la velocidad es cero b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando t = 11s 15.- Una partícula oscila entre los puntos x = 40mm y x = 160 mm con una aceleración a = k (100-x ) donde k es una constante la velocidad de la partícula es de 18 mm /s cuando x = 100mm y es cero tanto en x = 40mm como en x = 160 mm determine a) el valor de k b) la velocidad cuando x = 120 mm. 16.- Una partícula parte del reposo en el origen y se le proporciona una aceleración a = K/ (x+a)2 donde k es una constante la velocidad de la partícula es de 18 mm/s cuando x = 8m determine a) el valor de k b) la posición de la partícula cuando v = 4.5 m/s c) la velocidad máxima de la partícula.

33


17.- La aceleración de una partícula se define por la relación a = 6x 14 donde a y x se expresa en ft/s 2 y in respectivamente sabiendo que v = 4 ft /s cuando x = 0 determine el valor máximo de x B) la velocidad cuando la partícula la ha recorrido una distancia total de 1 ft. 18.- Una partícula parte del reposo en x = 1 ft y la aceleración de manera que la velocidad se duplica en magnitud entre x = 2ft y x =8ft sabiendo que la aceleración de la partícula está definido por la relación a = k(x-(A/x)) determine los valores de la constantes A y K si la partícula tiene una velocidad de 29 ft/s cuando x = 16 ft . 19.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = k(1- e-x) donde k es una constante con base en que la velocidad de la partícula es v = 6m/s cuando x = -2 m y que la partícula queda en reposo en el origen determine a) el valor de k, b) la velocidad de las partículas cuando x = -1m. 20.- De acuerdo con observaciones experimentales la aceleración de una partícula se define por la aceleración a = - (0.1+ seno x/b), donde a y x se expresan en m/s 2 y m, respectivamente. Sabiendo que b = 0.8 y que v = 1m/s cuando x = 0, determine: a) La velocidad de la partícula cuando x = -1m, b) b) La posición donde la velocidad es máxima , c) c) La velocidad máxima. 21.- Partiendo de x = 0 sin velocidad inicial, a una partícula se le proporciona una aceleración a = 0.8 V2 + 49, donde a y v se expresan en m/s 2 y m/s, respectivamente. Determine a) la posición de la partícula cuando v = 24m/s, b) la velocidad de la partícula cuando x = 40m. 22.- La aceleración de una partícula esta definida por la aceleración a = -K v, donde K es una cte. Sabiendo que x = 0 y V = 81m/s en t = 0 y que V = 36 m/s cuando x = 18m , determine a) la velocidad de la partícula cuando x = 20m, b) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo. 23.- Aceleración de una partícula esta definida por la aceleración a = -KV 2.5, donde K es una cte. La partícula parte en x = 0 con una velocidad de 16 in/s, y cuando x = 6in; se sabe que la velocidad es de 4m/s. a) la velocidad de la partícula cuando x = 5in, b) el instante en el que la velocidad de la partícula es de 9 in/s.

34


24.- En t = 0, la partícula parte de x =0 con una velocidad V 0 y una aceleración definida por la relación a = -5/(2V 0 V), donde a y v están expresadas en ft/s 2 y ft/s, respectivamente. Sabiendo que V = 0.5, V 0 en t = 2seg, a) la velocidad inicial de la partícula, b) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo, c) la posición donde la velocidad es 1ft/s. 25.- La aceleración de una partícula esta definida por la relación a = 0.4 (1-kv), donde K es una cte. Sabiendo que t = 0. La partícula parte del reposo en x =4m y cuando t = 15s, V = 4m/s, determine a) la cte K, b) la posición de la partícula cuando V = 6m/s, c) la velocidad máxima de la partícula. 26.- Una partícula es proyectada a la derecha partir de la posición x = 0 con una velocidad inicial de 9m/s. Si la aceleración de una partícula esta definida por la relación a = -0.6V 3/2, donde a y v están expresadas en m/s 2 y m/s, respectivamente, determine a) la distancia en que la partícula habrá recorrido cuando su velocidad es 4m/s, b) el instante en el que v = 1m/s, c) el tiempo requerido para que la partícula recorra 6m. 27.- Con base en observaciones, la velocidad de un atleta se puede aproximar a la relación v = 7.5(1-0.04x) 0.3 donde v y x están expresadas en millas/hrs y millas, respectivamente. Sabiendo que x = 0 en t = 0, determine a) la distancia en que el atleta ha corrido cuando t = 1hr, b) la aceleración del atleta en ft/s 2 en t = 0, c) el tiempo requerido para que el atleta corra 6 millas. 28.- Los datos experimentales muestran que, en una región de la corriente de aire que fluye de una rejilla de ventilación, la velocidad del aire emitido esta definida por v = 0.18V 0/x, donde v se expresa en m/s y x en mts, y V 0 es la velocidad inicial de la descarga de aire. Para V 0 = 3.6m/s, determine a) la aceleración del aire en x = 2m, b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x = 1m a x = 3m. 29.- La aceleración debida a la gravedad a una altitud y sobre la superficie de la tierra se puede expresar como a = -32.2/ [1 + (y/20.9 x 10 6)] donde a esta expresada en ft/s 2 y y en ft. Usando esta expresión, calcule la altura alcanzada por un proyectil disparado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra si su velocidad inicial es a) 1800ft/s, b) 3000 ft/s, c) 36700 ft/s. 30.- La aceleración debida a la gravedad de una partícula que cae hacia la tierra es a = -gR 2/r 2, donde r es la distancia desde el centro de la tierra a la partícula, R es el radio de la tierra y g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la tierra. Si R = a 3960 millas, calcule la velocidad de escape, esto es la mínima velocidad con la que una partícula debe proyectarse verticalmente hacia arriba 35


desde la superficie de la tierra, si se desea que no regrese a esta. (Sugerencia, v = 0 para r = ) 31.- La velocidad de una partícula es v = V 0[ 1 seno( t/ T)]. Sabiendo que la partícula parte desde el origen con una velocidad inicial de V 0, determine a) su posición y aceleración en t = 3T, b) su velocidad promedio durante el intervalo t = 0at=T 32.nt + ). Denotando la posición y la velocidad de la corredera en t = 0 por x 0 y v0, respectivamente y sabiendo que el desplazamiento máximo de la corredera es 2x, 2 2 2 0 + x 0 n )/ 2x0 n,v) , b) el máximo valor de la velocidad ocurre cuando x = x0[3 (v0/x0 n)2]/ 2.

36


C APITULO II Movimiento Movimiento en Dos y Tres Dimensiones

II.1 Caí da da Li bre, bre, T iro Ver ti ti ca ca l y Mov imi imi e ento nto Para ból ból ico Hemos logrado describir movimientos en una sola dimensión y hemos encontrado que existen dos tipos básicos, el que hemos llamado Rectilíneo uniforme y el que llamamos Uniformemente acelerado. ¿Podríamos describir un movimiento de dos dimensiones? Si mezclamos estos dos movimientos de manera que sea un movimiento rectilíneo uniforme en el eje x y un uniformemente acelerado en el eje y, generamos lo que se llama Tiro Parabólico. Objetivo:

Describir y analizar el movimiento de partículas, el cuál es afectado por la gravedad Lectura:

Este movimiento consiste en un tiro (impulso) y lo podemos describir como tener sólo una velocidad inicial v o en un ángulo . De esta forma podemos tener una componente en la dirección de x de la velocidad inicial y otra componente en la dirección de y. La suma de estas dos componentes nos da la velocidad inicial. Los valores de estas e stas dos componentes son: vy = vo se sen y vx = vo co cos El movimiento en la dirección x es un movimiento rectilineo uniforme y el movimiento en la dirección y es un movimiento uniformemente acelerado. Por lo tanto las ecuaciones de movimiento en cada dirección son: En la dirección de x se tiene: x = v 0 cos t y la velocidad es: vx = vo cos En la dirección de y se tiene: sen

y

1 2

gt gt 2

v o sen t

y la velocidad es: v y = -gt + v o

Tenemos varias preguntas que resolver: 1. ¿Cuál es la altura máxima que se alcanza? 2. ¿Cual es la distancia máxima que se alcanza? 3. ¿Cuál es el tiempo tiempo total de vuelo? 37


4. ¿Cuál es el ángulo para obtener la máxima x? Para responder la primera pregunta tenemos que plantear alguna condición. Si analizamos por experiencia y lanzamos un objeto hacia arriba, éste recorre una cierta distancia subiendo y después cae. Para que cambie de dirección de movimiento debe de existir un cierto momento en que la velocidad de acenso sea cero. Por lo que nuestra condición será ésta velocidad v y = 0. Si igualamos la v y a cero y resolvemos la ecuación para encontrar el tiempo, sabemos en que tiempo cambia el movimiento y en este tiempo se habrá alcanzado la máxima altura en y. Así: gt

v o sen

gt t

0

v o sen v o sen g

Sustituyendo el valor del tiempo en la ecuación de movimiento en la dirección de y se tiene: g(v o sen )2

y max

2g

2

v o sen

v o sen g

v 2o sen2 2g

v2o sen2 g

v 2o sen2 2g

por lo que: y max

v 2o sen 2 2g

Si nos damos cuenta hemos medio respondido otra de las preguntas al responder ésta. Para poderla responder tuvimos que calcular el tiempo que tarda en llegar a su máxima altura que resultó ser: t

v o sen g

en este tiempo el proyectil llega a la máxima altura posible y cae. El tiempo en caer será el mismo que en subir, por lo que el tiempo total de vuelo debe de ser el doble del calculado para la máxima altura es decir: t

2 v o sen g

Con este cálculo podemos calcular la distancia que se obtiene en x. La ecuación de movimiento para el movimiento en la dirección x es la de un movimiento Rectilíneo uniforme y es para este caso:

38


x

v o cos

t

El tiempo es el tiempo en el que el proyectil está en vuelo, ya que después de este tiempo está en tierra, así que calculando para este tiempo tenemos que x será: x

2v o sen

v o cos

2 v o2 sen cos

g

g

por lo que la distancia recorrida en x es: 2

x

2v o sen cos g

cos Si empleamos la relación trigonométrica que nos dice que: sen co distancia x es:

x

la

sen 2

2v o2 sen 2 g

El valor máximo del sen es 1 para cuando el ángulo sea de noventa grados. Para el caso de la ecuación anterior el ángulo debe de medir 45 0 para que al multiplicarlo por dos sea 90 0. Por lo que el ángulo al cual se alcanza la máxima x será el de = 450. Con esto dimos respuesta a nuestra cuatro pregunta planteadas y resumiendo resultados podemos tener la tabla siguiente: Altura máxima 2

y max

v o sen 2g

Distancia máxima

2

x

2 v o2 sen 2 g

Tiempo de vuelo t

2v o sen

Angulo óptimo = 450.

g

En el tiro parabólico tenemos las ecuaciones siguientes: La distancia en x es un movimiento rectilíneo y uniforme cuya ecuación es : x = v0 t y la distancia en y es un movimiento uniformemente acelerado cuya ecuación es: y

gt 2 2

39


de la ecuación del movimiento uniformemente acelerado obtenemos resolviendo para el tiempo: 2y g

t

x

sustituyendo en x:

x

de aquí:

2

gx 2

por lo que: y

y de aquí:

2y

v0

g 2

v0

2y g

v 20 2 y

gx 2

g

2v 20

2v 20

x2

a esta forma de curva se le llama parábola. Actividades:

Analizar y discutir los siguientes ejemplos de este tipo de movimiento. movimiento. 1.- Una pelota con velocidad horizontal de 1.5m/s rueda hasta caerse de una repisa que esta a 2.0m de altura. (a) ¿Cuanto tardara la esfera en llegar al piso? (b) ¿que tan lejos de un punto en el piso situado directamente abajo del borde de la repisa caerá la pelota? v o x

1.5m / s

y t

h

2.0m

t

1 2l gt 2 2 y g 2( 2m)

9.8m / s t 0.635

2

2.- Se lanza una pelota horizontal desde la cima de una colina de 6.0 m de altura, con una rapidez de 15 m/S. ¿Qué tan lejos del punto en el suelo directamente debajo del punto de lanzamiento tocas el suelo la pelota?

40


v

15m / s

h

vo

15m / s

vo

v o x

6.0m

2h

t x

?

t t

g 2( 6m ) 9.8m / s 2 1.10 s

x

v o x.t

x

(15m / s )(1.10 s )

x

16.5m

Un futbolista patea un balón estacionario y le imprime una velocidad de 20m/s con un ángulo de 15° respecto a la horizontal. (a) Calcule la altura máxima que alcanza el balón (b) calcule el alcance del balón (c) ¿como podría aumentarse el alcance? 3.-

v o x

v o cos

v o x

20 m / s cos 15

vo y

vo sen

v o x

19.31m / s

vo y

20m / ssen15

vo y

5.17 m / s

t t

v o y g 5.17 m / s

9.8m / s 2 t 0.52 s

a

c)

gt 2

v o y.t

y max

( 5.17 m / s )( 0.52 s )

y max

1.364 m

2t 2( 0.52 s ) b

1

y max

2

1 2

2

(9.8m / s )(0.52 s )

2

1.04 s

R

v x ( 2t )

R

19 .31m / s (1.04 s )

20.08m

Disminuyendo su velocidad

41


4.- Un rifle dispara una bala con una rapidez de 250m/s y con un ángulo de 37° sobre la horizontal. (a) ¿Que altura alcanza la bala? (b) ¿cuanto tiempo esta la bala en el aire? (c) ¿que alcance horizontal tiene la bala?

vo

250m / s h

t

?

? x

vo x

v o cos

vo x

250m / s cos 37

vo x

199.65m / s

vy t t t

vo y

c

gt

vo y

vo sen

vo y

(250m / s ) sen37

vo y

150.45m / s

v o y g 150.45m / s 9.8m / s 15.33 s

2

1

gt 2

y

v o y.t

y

(150.45m / s)(15.33 s)

y

1152.66m

t

2t

t

2(15.33 s)

t

30.66 s

x

vo x.t

x

(199.65m / s)(30.66 s)

x

6121.26m

a

b

?

2

1 2

(9.8m / s 2 )(15.33 s) 2

42


Ejerci c i o No. 5 1.- Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 1200 m sobre el suelo con una velocidad de 200 Km / h deja caer una bomba sobre un blanco situado en tierra. Determinar el ángulo agudo formado por la vertical y la línea que une el avión con el blanco en el instante en que se abandona la bomba. 2.- Desde un Puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del puente y la velocidad de la piedra al momento de llegar al agua. 3.- Desde un globo a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s se deja caer un objeto. Calcular a) La máxima altura al cabo por esta, b) La posición y velocidad del objeto al cabo de 5 segundos, c) el tiempo que tardara en llegar al suelo. 4.- Un esquiador inicia un salto horizontalmente con una velocidad inicial de 25 m/s. La altura inicial es de 80 m , con respecto al punto de contacto con el suelo. a) Cuanto tiempo permanecerá en el aire el esquiador, b) Cual es su alcance o recorrido horizontal, c) Cuales son los componentes horizontal y vertical de la velocidad final. 5.- Un proyectil se lanza con una velocidad de 400 ft/s con un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Encuentre a) Su posición y velocidad después de 8 segundos, b) El tiempo necesario para que alcance su altura máxima, c) el recorrido horizontal. 6.- Se lanza una caja de provisiones desde un avión ubicado en una distancia vertical de 340 m por encima de un lago, el avión lleva una velocidad horizontal de 70 m/s respecto al suelo ¿que distancia horizontal recorrerá la caja antes de caer al agua? 7.- Un proyectil se lanza con un ángulo de 30º con una velocidad inicial de 20 m/s, calcular a) el punto mas alto de la trayectoria, b) el alcance horizontal, y c) si el vuelo se toma con relación al suelo cuanto tiempo estuvo el proyectil en el aire.

43


8.- Un bombardero que vuela con una velocidad horizontal de 500 mi/h suelta una bomba, 6 segundos después la bomba cae en el océano, a que altitud volaba el avión, que tan lejos llego la bomba, cual es la magnitud y dirección de su velocidad final. 9.- Una pelota de golf se golpea con una velocidad de 30 m/s y un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcule los componentes horizontal y vertical de la velocidad de la pelota.

10.- Un lanzador de baseball lanza una recta horizontalmente con una rapidez de 140 Km/h hacia home, que esta a 18.4 m de distancia, a) Si los tiempos combinados de reacción y bateo del bateados suman 0.350 segundos, ¿durante cuanto tiempo pude mirar el bateador la bola después de que ha dejado la mano del lanzador, antes de hacer el sping, b) en su recorrido hacia home ¿Qué tanto baja la pelota respecto a su línea horizontal original? 11.- Se dejara caer un paquete de provisiones desde un avión de modo que toque tierra en cierto punto cerca de unos excursionistas. El avión se mueve horizontalmente con una rapidez constante de 140 Km/h y se acerca al lugar a una altura de 0.500 Km sobre el suelo. Al ver el punto designado, el piloto se prepara para soltar el paquete a)¿Que ángulo deberá haber entre la horizontal y la visual del piloto en el momento de soltar el paquete?, b) ¿Dónde esta el avión cuando el paquete toca tierra? 12.- Un carrito con un canon de resorte dispara una esfera metálica verticalmente. Si la rapidez inicial vertical de la esfera es de 5.0 m/s y el cañón se mueve horizontalmente a 0.75 m/s, a)¿a que distancia del punto de lanzamiento la esfera vuelve a caer en el cañón y b) que sucederá si el cañón estuviera acelerando? 13.- Dos edificios altos están separados 400 ft entre si. Una pelota se arroja horizontalmente desde la azotea del primer edificio situada a 1700 ft del suelo con que velocidad horizontal debe haberse arrojado la pelota si logra entrar por una ventana del segundo edificio situada a 800 ft del suelo.

14- Una pelota de baseball es golpeada por un bat con una velocidad de 35 m/s y un ángulo de 32º ¿cual es el punto mas alto de su trayectoria?

44


15.- La pelota del problema anterior se eleva y cae golpeando un marcador que se encuentra a 8 m de altura sobre el campo de juego. ¿Cuál fue el tiempo de vuelo, que tan lejos llago el golpe de la pelota horizontalmente?

45


C APIT ULO III Cinética De Par tícu l a s (Le yes d e Ne wton) III.1 Le ye s De Ne wt on Se denomina fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo, es decir, de imprimirle una aceleración. La aceleración que experimenta un cuerpo es, por definición, proporcional a la suma de las fuerzas (o fuerza neta) que actúa sobre él. La constante de proporcionalidad entre la fuerza neta y la aceleración se denomina masa. Objetivo:

Describir y analizar los efectos de una fuerza sobre el movimiento de los cuerpos en diferentes referencias. Lectura:

Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia

Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de la física clásica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento uniforme y rectilíneo en ausencia de fuerzas. Principio de Inercia

La Primera ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistemas de referencia inerciales o sistemas de referencia Galileanos. Los sistemas no inerciales son todos aquellos sistemas de referencia que se encuentran acelerados. Unidades de Masa y Fuerza.

Verificas las equivalencias entre los sistemas de unidades, absolutos y gravitacionales. Segunda Ley De Newton.

La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas. Newton definió el momento lineal (momentum) o cantidad de movimiento como una magnitud representativa de la resistencia de los cuerpos a alterar su estado de movimiento definiendo matemáticamente el concepto coloquial de inercia. , 46


donde m se denomina masa inercial. La segunda ley se escribe por lo tanto:

Para los cuerpos de masa constante la segunda ley de Newton adquiere la forma más familiar de: . Tercera Ley De Newton o Ley de Acción-Reacción.

Finalmente, en la interacción entre dos cuerpos, si el momento ha de conservarse el cambio de momento de uno de los cuerpos debe ser el negativo del cambio de momento del otro.

lo que de acuerdo a la definición de fuerza, puede expresarse como

que equivale al enunciado "a toda fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción igual y opuesta". Actividades:

Analizar los ejercicios que se presentan y definir que leyes están siendo aplicadas. a) ¿Qué fuerza se necesita para hacer que un automóvil de 14000N, inicialmente en reposo, alcance una velocidad 16m/s en un tiempo de 8s? Datos: w 14000 N m

F

w

m a

v m

16m / s 14000 N

9.81m / s F

2

t 8 s 1428.6 Kg

1428.2kg 2m / s 2

a

F

?

vi

16m / s

v f t

8 s

2m / s 2

2857.2 N

b) La fuerza que ejercen los frenos de un automóvil de 1000kg sobre este es de 3000N. a) ¿Cuánto tiempo tardara el automóvil en detenerse desde una velocidad de 30m/s? b) ¿Qué distancia recorrerá en ese tiempo? 47


Datos: m 10 Kg

w 3000 N

v

30m / s

t ?

s

?

a) F

3000 N

m

1000 Kg

v

vo

at

0

30m / s

a

3m / s 2

3m / s 2 t

t

30m / s 3m / s 2

10 s

b) at 2

s

vo t

s

30m / s 10 s

1 2

3m / s 2 10 s

1 2

2

300m 150m

150m

c) Calcular la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una tiene una masa de 70 Kg. Y la otra de 60 Kg., y la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m. Datos : F ? m1

70kg

m2

60kg

d 1.5m G

6.67(10

11

) Nm 2 / kg 2

Fórmula y desarrollo : F G F

m1 m2 d 2

(6.67)(10

F 6.67(10

11

F 6.67(10

11

11

)

Nm 2 kg 2

(70kg )(60kg ) 1.5m

2

Nm 2 4200kg 2 ) ) x 2 kg 2 1.5m Nm 2 4200kg 2 ) ) x kg 2 2.25m 2

F 12450.66(10

11

) N

48


Ejerci c i o No. 6 1.- Se aplica una fuerza neta de 3.0 N a una masa de 1.5 kg ¿qué aceleración tiene el objeto? 2.- ¿Que masa tiene un objeto que acelera a 3.0 m/s 2 bajo la influencia de una fuerza neta de 5.0 N? 3.- Un trabajador empuja una caja con una fuerza neta de 75 N. Si la carga experimenta una aceleración de 0.50 m/s 2 ¿cuánto pesa? 4.x 10 5 kg. ¿qué fuerza neta se requiere para imprimirle una aceleración de 3.5 m/s 2 en la pista de despegue? 5.- Un objeto de de 6.0 kg se lleva a la luna, donde la aceleración debida a la gravedad es solota sexta parte que en la tierra. (a) la masa del objeto en la luna es (1) cero;(2)1.0kg;(3)6.0kg, o (4)36kg. ¿Por qué? (b) ¿qué pesa el objeto en la luna?

6.- ¿Qué masa tiene una persona que pesa 740N en la Tierra? 7.- ¿Qué fuerza neta actúa sobre un objeto de 1.0 kg en caída libre? 8.- ¿Qué peso en newton tiene una masa de 8.0kg?¿En libras?

9.- ¿Cuánto pesa en Newton una persona de 150 lb.? Calcule su masa en kilogramos.

49


10.- En una competencia universitaria, 16 estudiantes levantan un auto deportivo. Mientras lo sostienen, cada estudiante ejerce una fuerza hacia arriba de 400N ¿Qué masa tienen el automóvil en kilogramos? ¿Cuánto pesa en libras? 11.- Una fuerza horizontal de 12N actúa sobre un objeto que descansa sobre una superficie sin fricción en la tierra, donde el objeto pesa 98N ¿Qué magnitud tiene la aceleración del objeto?

¿Qué aceleración tendría el mismo objeto en una situación similar en la luna?

12. El motor de un avión de juguete de 1.0 Kg. ejerce una fuerza de 15 N hacia delante. Si el aire ejerce una fuerza de resistencia de 8.0 N sobre el avión, ¿Qué magnitud tiene la aceleración del avión?

13. Cuando se aplica una fuerza horizontal de 300 N a una caja de 75.0 Kg., ésta se desliza por un piso plano oponiéndose a una fuerza de fricción cinética de 120 N, ¿Qué magnitud tiene la aceleración de la caja?

14. Un hombre y una mujer empujan un automóvil de 1500 Kg. que se quedó sin gasolina, sobre un camino plano. Las fuerzas horizontales aplicadas son de 200 N para la mujer y de 300 N para el hombre, a) si el coche experimenta una fuerza eficaz de fricción de 300 N mientras se mueve, ¿Qué aceleración tiene? b) una vez que el coche se esta moviendo, ¿Qué fuerza combinada sería apropiado aplicar, y por que?

15.- Una fuerza de artillería con una longitud de anima de 3 m, dispara un proyectil de 20 kp de peso con una velocidad de 600 m/s. Calcular la fuerza media ejercida sobre el proyectil durante su recorrido por el tubo.

50


16.- A un cuerpo de 50 kp, se le aplica una fuerza constante de 8 kp formando un ángulo de 30° con la horizontal. Suponiendo que no existe rozamiento, hallar la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una distancia de 6 m partiendo del reposo. 30°

17.- Hallar la fuerza media necesaria para obtener, en un espacio de 30 m. un automóvil de 1200 kp de peso con una velocidad de 90 km/h. 18.- Un automóvil de 1000 Kg cambia su velocidad de 10 a 20 m/s en 5s, a) ¿Cuál es la fuerza sobre el? b)¿Cuál es el origen de la fuerza? 19.- Un automóvil que pesa 1000 Kp a una velocidad de 90 km / hr calcular la fuerza resultante de los frenos para detenerse en 70 m sobre una carretera horizontal 20.- Calcular el espacio que recorre un cuerpo de 5 Kg. de masa cuando sobre el actué aun fuerza constante 1 N durante 10 s. 21.- Un cuerpo de 25 kp cuelga del extremo de una cuerda. Hallar la aceleración de dicho cuerpo si la tensión es de a) 25 kp, b) 20 kp, c) 40 kp F=25Kp

a=?

w=25Kp

F=20Kp

F=40Kp

a=?

w=25Kp

a=?

w=25Kp

51


22.- Un montacargas de 3200Kp desciende con una aceleración 1 m/s 2. Hallar la tensión del cable T=? a=1 m/s2

w=3200Kp 23.- Un cuerpo de 2 Kg de masa pende del extremo de un cable a) 5 m/s2 b) -5 m/s2

w=19.62N 24.- Un montacargas de 3200 Kp de peso, asciende con una aceleración de 1 m/s2. Hallar la tensión del cable.

52


III.2 Fricción o Fuerza de Rozamiento Se define a la fricción como una fuerza resistente que actúa sobre un cuerpo, que impide o retarda el deslizamiento de este respecto a otro o en la superficie que este en contacto. Esta fuerza es siempre tangencial a la superficie en los puntos de contacto con el cuerpo, y tiene un sentido tal que se opone al movimiento posible o existente del cuerpo respecto a esos puntos. Por otra parte estas fuerzas de fricción están limitadas en magnitud y no impedirán el movimiento si se aplican fuerzas lo suficientemente grandes. Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática., podemos así establecer que hay dos coeficientes de rozamiento: el estático, m e, y el cinético, m c, siendo el primero mayor que el segundo: e >

c

Objetivo:

Analizar el efecto del rozamiento en el movimiento de las partículas. Lectura:

Fuerza de fricción estática.

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. Si se aplica una fuerza F que aumenta gradualmente a un el bloque, este permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de fricción estática Fe , ejercida por la superficie. La máxima fuerza de fricción estática Fe max , corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los experimentos demuestran que: Fe máx = m eN

Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción estática varía, hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra: 53


Fe máx <= m eN

Fuerza de fricción cinética

En un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad constante. Sobre el bloque actuán tres fuerzas: el peso mg , la fuerza normal N, y la fuerza de fricción Fk entre el bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de fricción Fk. Si se duplica la masa m, se duplica la fuerza normal N, la fuerza F con que tiramos del bloque se duplica y por tanto Fk se duplica. Por tanto la fuerza de fricción cinética Fk es proporcional a la fuerza normal N. Fk = m k N

La constante de proporcionalidad m k es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción cinético. Actividades:

Analizar cada uno de los ejercicios mostrados y discutir su resolución. a) Sobre un bloque 50 kp situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza 20 kp durante 3. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque es de 0.25. Hallar la velocidad del bloque al cabo de 3s. Datos: N 50kp

f k f K

w

N

vo

20kp

k

m

0.25 50kp

12.5kp

m

5.102UTM a

a

0.25

t 3 s

v

?

w 50kp 9.81m / s 2

5.1020UTM

ma

20kp 12.5kp

v f

F

k

F f k

v f

50kp

at

1.47m / s 2 3 s

vo

7.5kp 5.1020UTM

1.47m / s 2

0

4.41m / s

54


Ejerci c i o No. 7 1.- Una fuerza horizontal de 20N arrastra un block de 4 Kg. A través de un piso, Si k = 0.2 determine la aceleración del block.

f

F k

2.- Sobre un bloque de 50 kp situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza de 20 kp durante 3 seg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es de 0.25. Hallar la velocidad que adquiere el bloque al cabo de 3 seg. 3.- Un bloque está apoyado en una superficie. Esta superficie se va inclinando gradualmente y cuando el movimiento del bloque es inminente el ángulo que coeficiente de rozamiento estático y cinético entre el bloque y la superficie.

4.- Calcular la aceleración y el tiempo que tarda en recorrer 10 m, un cuerpo de 12 Kp de peso sometido a la acción de una fuerza constante de 3 kp.

5.- Calcular la fuerza de rozamiento necesaria para detener en 5 seg. un automóvil de 1500 kp de peso que marcha a una velocidad de 90 km/h. ¿Qué espacio recorrerá hasta detenerse?

6.- El ascensor de una mina que pesa 800 kp arranca hacia arriba con una aceleración de 6 m/s 2. Calcular la tensión en el cable en el momento de la rampa.

55


7.- Sobre un bloque de 20 kp situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza de 10 kp formando un ángulo de 30º sobre la horizontal como se indica en la figura. Sabiendo que al cabo de 3 seg. la velocidad del bloque es de 9 m/s. Calcular el coeficiente de rozamiento. N Fy

f

30 °

20 kp

a

8.- a) Calcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 5kp de peso para desplazarlo con una velocidad uniforme sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento 0.2. b) sabiendo que la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 150kp de peso para desplazarlo sobre una superficie horizontal con velocidad uniforme es de 30kp. Calcular el coeficiente cinético de rozamiento. 9.- Sabiendo que para ascender un bloque de 50 kp de peso con velocidad uniforme por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal es necesario aplicar una fuerza, paralela al plano, de 40 kp. Calcular el coeficiente de rozamiento cinético.

10.- Un bloque de metal se coloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente. Cuando la tabla forma un ángulo de 27º con la horizontal, el bloque está a puno de comenzar su desplazamiento. Calcular el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la mesa. 11.- Un bloque de 10kp de peso se mantiene en reposo sobre un plano inclinado riguroso, que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es igual a 0.15, calcular la fuerza paralela al plano que se necesita aplicar al cuerpo para que pueda empezar a desplazarse hacia arriba.

56


C APIT ULO IV Tra bajo, Potenci a y Ene rgí a IV.1 Tra bajo En Física, trabajo es una magnitud que da información sobre la diferencia de energía que manifiesta un cuerpo al pasar entre dos estados. Viene dada por la integral del producto escalar de la fuerza generalizada que provoca el cambio de estado por el desplazamiento generalizado que se produce entre ambos. El producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Cuando se levanta un objeto desde el suelo hasta la superficie de una mesa, por ejemplo, se realiza trabajo al tener que vencer la fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo; la energía comunicada al cuerpo por este trabajo aumenta su energía potencial. También se realiza trabajo cuando una fuerza aumenta la velocidad de un cuerpo, como ocurre por ejemplo en la aceleración de un avión por el empuje de sus reactores. En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza aplicada durante un cierto desplazamiento se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. Es una magnitud física escalar. La fuerza puede no ser mecánica, como ocurre en el levantamiento de un cuerpo o en la aceleración de un avión de reacción; también puede ser una fuerza electrostática, electrodinámica o de tensión superficial. Por otra parte, si una fuerza constante no produce movimiento, no se realiza trabajo. Por ejemplo, el sostener un libro con el brazo extendido no implica trabajo alguno sobre el libro, independientemente del esfuerzo necesario. Objetivo:

Describir el significado de Trabajo mecánico. Analizar el trabajo producido por la aplicación de una fuerza a un cuerpo en reposo o movimiento. Lectura:

Trabajo de una Fuerza.

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

57


Donde F t es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr , y el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza F t, y el desplazamiento s.

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W = Ft · s Para calcular el trabajo que una fuerza realiza a lo largo de una trayectoria curvilínea se utiliza el cálculo diferencial. El trabajo que la fuerza realiza en un elemento diferencial ds de la trayectoria es: Para calcular el trabajo a lo largo de toda la trayectoria basta con integrar entre los puntos inicial y final de la curva. 58


El concepto de trabajo está ligado íntimamente al concepto de energía y ambas magnitudes se miden en la misma unidad: el Julio. Esta ligazón puede verse en el hecho que, del mismo modo que existen distintas definiciones de energía para la mecánica y la termodinámica, también existen distintas definiciones de trabajo en cada rama de la física. Es una magnitud de gran importancia para establecer nexos entre las distintas ramas de la física. Actividades:

Analiza y discute los ejercicios planteados. a) Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

b) Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m paralela a la fuerza, expresar el resultado en J y ergios. 1 J ----------- 1x107 ergios 36 J ---------- x= 3.6x108ergios W Fd W 3 N 12m

36 J

59


Ejerci c i o No. 8 1.- Hallar el trabajo útil realizado por una maquina que eleva 1m 3 de alquitrán hasta una altura de 15m en 23 seg. El peso específico de alquitrán es de 1065 kp/m3. 2.- Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 4kp a una altura de 1.5m 3.- Una bomba descarga 380 lt./min. De agua sobre un deposito situado a una altura sobre ella de 10 m. Calcular el trabajo útil realizado por la bomba en una hora. El peso especifico del agua es 100 kp/m 3. 4.- Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3N cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m paralela a la fuerza. Expresar el resultado en Joules y Ergios.

5.- Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 4 kp a una altura de 1.5 m.

6.- Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

7.- Un bloque asciende por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal por la acción de las tres fuerzas representadas en la figura. La fuerza F1 es horizontal y de 20 kp de modulo. F2 es normal al plano y de 10 kp. F3 es paralelo al plano y de 15 kp. Sabiendo que el punto de aplicación de cada una de las fuerzas se desplaza 3 m, calcular el trabajo realizado por cada una de ellas. F2 F1

F3

30 ° 60


8.- Un resorte tiene una constante de 40 N/m. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo 2.0 cm respecto a su posición de equilibrio?

9.- Si se requiere 400 J de trabajo para estirar un resorte 8.00 cm ¿Qué valor tiene la constante del resorte?

10.- Calcular el trabajo realizado por una bomba que descarga 2250 litros de petróleo a un punto situado a 15m de altura. El peso especifico del petróleo es de 0.95 kp/litros.

61


IV.2 Pot enci a Objetivo:

Analizar la potencia mecánica que se produce por un trabajo determinado. Lectura:

Potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. Esto es equivalente a la velocidad de cambio de energía en un sistema o al tiempo empleado en realizar un trabajo, según queda definido por: donde P es la potencia E es la energía o trabajo t es el tiempo. El concepto de potencia no se aplica exclusivamente a situaciones en las que se desplazan objetos mecánicamente. También resulta útil, por ejemplo, en electricidad. Imaginemos un circuito eléctrico con una resistencia. Hay que realizar una determinada cantidad de trabajo para mover las cargas eléctricas a través de la resistencia. Para moverlas más rápidamente en otras palabras, para aumentar la corriente que fluye por la resistencia se necesita más potencia. Actividades:

Analizar y discutir los ejercicios planteados a) Un motor con un rendimiento de 90 % esta instalado con una grúa de rendimiento igual al 40 %. Sabiendo que la potencia suministrada al motor es de 5 kw, calcular la velocidad con la que subirá la grúa un peso de 450 kp. Datos: motor

p

p p

W t

90%

F

gr ua

d t

5kw 36% 1.8kw

relación

36%

w

450kp

p

5kw

Fv

450kp v

450kp v

183.42kp.m / s v

40%

450kp v

0.4076m / s

62


b) Hallar la potencia media para elevar un peso de 50 kp a una altura de 20 m en 1 min. Expresar el resultado en vatios. Datos: F

50kp

p F

p

h

20m

t 1min

60 seg

d t

50kp

20m 60 s

p

1000kpm / min

p

163.55w

16.66kpm

63


Ejerci c i o No. 9 1.- Una carga de 40 Kg. Se eleva hasta una altura de 25 m. Si la operación requiere de 1 min., encuentre la potencia necesaria. ¿cuál es la potencia en unidades de caballo de fuerza?

2 . -Un motor de 60 hp acciona el ascensor de un hotel. Si el peso del ascensor es de 2000 lb., ¿cuánto tiempo se requiere para que el ascensor suba 120 ft.?

3 .- Un motor de 90 kW se utiliza para elevar una carga de 1200 Kg. ¿cuál es la velocidad promedio durante el ascenso?

4 .- Hallar la potencia media empleada en elevar un peso de 50 Kp. A una altura de 20m. En 1 min. Expresar el resultado en vatios.

5.- Hallar el peso que puede arrastrar un vehículo de 6 caballos de fuerza sobre un terreno horizontal a la velocidad de 25 km/h y sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el peso y el terreno es igual a 0.2.

6.- Un motor con un rendimiento de 80 % esta instalado con una grúa de rendimiento igual al 30 %. Sabiendo que la potencia suministrada al motor es de 5 kw, calcular la velocidad con la que subirá la grúa un peso de 350 kp.

7.- Una fuerza realiza un trabajo de 8 [ J ] en 4 [ s ] . Calcula la potencia.

64


IV.3 Energía Cinéti ca En física la energía puede definirse como una cantidad globalmente constante en un sistema. Durante la evolución de un sistema la energía toma formas diversas por intermedio del trabajo de las fuerzas involucradas. La energía puede materializarse en masa y la masa transformarse en energía en ciertos procesos físicos y químicos. Energía también es definida como la capacidad para realizar un trabajo. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en julios. Se suele representar por la letra E . El julio o joule (J) es la unidad del Sistema Internacional para energía y trabajo. Se define como el trabajo realizado por la fuerza de 1 newton en un desplazamiento de 1 metro y toma su nombre en honor al físico James Prescott Joule. El julio también es igual a 1 vatio por segundo, por lo que eléctricamente es el trabajo realizado por una diferencia de potencial de 1 voltio y con una intensidad de 1 amperio durante un tiempo de 1 segundo. Objetivo:

Analizar la relación que hay entre la energía cinética y el trabajo Lectura:

Energía Cinética.

Energía que un objeto posee debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa y la velocidad del objeto según la ecuación E = (1/2)mv 2

donde m es la masa del objeto y v 2 la velocidad del mismo elevada al cuadrado. El valor de E también puede derivarse de la ecuación E = (m a)d

donde a es la aceleración de la masa m y d es la distancia a lo largo de la cual se acelera. Las relaciones entre la energía cinética y la energía potencial, y entre los conceptos de fuerza, distancia, aceleración y energía, pueden ilustrarse elevando un objeto y dejándolo caer. Cuando el objeto se levanta desde una superficie se le aplica una fuerza vertical. Al actuar esa fuerza a lo largo de una distancia, se transfiere energía al objeto. La energía asociada a un objeto situado a determinada altura sobre una superficie se 65


denomina energía potencial. Si se deja caer el objeto, la energía potencial se convierte en energía cinética. Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. Se define energía cinética como la expresión El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética. Actividades:

Analiza y discute los ejercicios que se plantean a) Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F =1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

66


b) Un cuerpo de 12 kp de peso de una altura de 10 m. calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo y demostrar que es igual a la disminución que experimenta la energía potencial. Datos: F 12kp w m m t 2

v

h

10m

w F

m. w

F

g

g

12kp 10m 2

0203UTM

h g

d

10m

t

1.42 s 1

Ec

1

Ec

4.97 kpm

2

1.42 s

7m / s

mv 2

Ec

2

2.038 s 2

0.203UTM 7 m / s

2

67


Ejerc i c i o No. 10 1 .- Una pieza de artillería con una longitud de 3 m dispara un proyectil de 20 kp de peso con una velocidad de v = 600m/s. Calcular la fuerza media ejercida por el proyectil durante su recorrido por el tubo.

2 .- Hallar la fuerza necesaria para detener en un espacio de 30 m un automóvil de 1200 kp de peso con una velocidad de 90 km/h.

3.- Calcule la energía cinética de un automóvil de 3200 lb que viaja a 60 mi/h (88 ft/s).

4 .- ¿Qué fuerza media F es necesaria para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s y que penetra en un trozo de madera a una distancia de 12 cm?.

5.- Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F =1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.

68


C APIT ULO V E N ER GÍA P O TE NCIAL V.1 En e rgí a poten ci a l La energía mecánica involucra dos tipos de energía, según el estado o condición en que se encuentre el cuerpo. Estas formas de energía son: Energía potencial : es la energía que tienen los cuerpos que están en reposo y

depende de la posición del cuerpo en el espacio: a mayor altura, mayor será su energía potencial. Por ejemplo, una roca que está en la punta de un cerro posee energía potencial. También poseen esta forma de energía un macetero que está en el balcón de un edificio, un cuadro colgado en la pared, etcétera. Energía cinética: es la que posee todo cuerpo en movimiento. Por ejemplo,

cuando se lanza una pelota, esta adquiere energía cinética. También poseen esta forma de energía una persona cuando corre, una cascada, un automóvil en marcha, etcétera. Objetivo:

Analizar los tipos de energía que hay e identificar las características de la energía potencial. Lectura:

Puede pensarse como la energía almacenada en un sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Más rigurosamente, la energía potencial es un campo escalar (es decir, una función de la posición) asociado a una fuerza, y tal que la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A. La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa, es decir que cumpla con alguna de las siguientes propiedades: el trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido. el trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo. Se puede demostrar que ambas propiedades son equivalentes (es decir que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como

69


De la definición se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa. Evidentemente la forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitorio (o eléctrico) el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia. Por lo tanto la energía potencia se puede definir como: Ep

mgh

Actividades:

Analiza y discute los ejercicios planteados a) Una piedra de 2 kg se encuentra a 12 m del suelo. Calcula su energía potencial gravitatoria con respecto a él. Ep

2kg 9.81m / s 2 12m

235.2 J

b) Un cuerpo de 1 kp de peso se eleva a una altura de 5 m. Hallar el trabajo realizado y el aumento de su energía potencial. Datos: F 1kp w m

Ep Ep

h

5m

F

w

mg w

1kp

g

9.81m / s 2

0.1019UTM

mgh 0.1019UTM 9.81m / s 2 5m 5kpm

70


Ejerc i c i o No. 11 1.- Un bloque de 2 Kg reposa sobre una mesa a 80 cm del piso. Calcule la energía potencial del bloque en relación con: (a) el piso, (b) el asiento de una silla que está a 40 cm del piso y (c)en relación con el techo, a 3 cm del piso.

2.- En un instante un proyectil de mortero desarrolla una velocidad de 60 m/s. Si su energía potencial en ese punto es igual a la mitad de su energía cinética, ¿Cuál es el cambio en términos de energía potencial?

3.- Se requiere una fuerza promedio de 600 N para comprimir un resorte helicoidal a una distancia de 4 cm del piso. ¿Cuál es el valor de trabajo realizado por el resorte?¿Cuál es el cambio en la energía potencial del resorte comprimido?

4.- Un cuerpo de 2 Kp de peso cae desde una altura de 10 metros, calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo y demostrar que es igual a la disminución que experimenta su energía potencial.

5.- Un cuerpo de 1 kp de peso se eleva a una altura de 5 m. hallar el trabajo realizado y el aumento de su energía potencial.

6.- Un cuerpo de 12 kp de peso de una altura de 10 m. calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo y demostrar que es igual a la disminución que experimenta la energía potencial.

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C APIT ULO VI Rotación y Movimiento Circular

VI.1 Des pl a za mi ento, Vel oc i da d y Acel e ra ci ón An gu l ar Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante magnitudes análogas al movimiento rectilíneo. Objetivo:

Describir y analizar las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo. Lectura: a) Desplazamiento angular (posición angular).

Posición angular, , en el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r , =s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

b) Velocidad angular

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo ' . El móvil se habrá desplazado d = ' - en el intervalo de tiempo d t=t'-t comprendido entre t y t' .

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Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

c) Aceleración angular

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w' . La velocidad angular del móvil ha cambiado d w=w' -w en el intervalo de tiempo d t=t'-t comprendido entre t y t' .

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

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Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular. Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento - 0 entre los instantes t 0 y t , mediante la integral definida.

El producto w dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt , o en el intervalo dt . El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t 0 y t . d) Fuerza centrípeta

La fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el movimiento circular uniforme se conoce como fuerza centrípeta. De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta. Es decir: F C

mac

mv

2

R

Donde m es la masa de un objeto que se mueve con una velocidad v en una trayectoria circular de radio R. Las unidades elegidas para las cantidades Fc, m, v y R, deben ser congruentes con el sistema seleccionado. Por ejemplo las unidades del SI para mv2 / R , son. Kg .m2 / s 2 m

Kg .m / s

2

N

En la ecuación se pone de manifiesto que la fuerza hacia el centro Fc es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que, para incrementar la velocidad lineal al doble de su valor original, se requiere una fuerza cuatro veces mayor que la fuerza original. Igualmente si se duplica la masa del objeto o se reduce a la mitad el radio de giro, será necesaria una fuerza centrípeta dos veces mayor que la original. Cuando la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia la fuerza centrípeta se puede determinar a partir de: Fc

mv 2 R

4 2 f 2 mR

EJ. Fuerza centrípeta

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e) Fuerza Centrífuga

De acuerdo con la tercera ley de Newton los objetos ejercen una fuerza de reacción igual y opuesta llamad a fuerza centrifuga. La idea de fuerza centrífuga puede generar confusión. Frecuentemente se piensa que sobre un objeto que se mueve en una trayectoria curva actúa una fuerza que tiende a desplazarlo hacia fuera, alejándolo del centro, y que esta fuerza equilibra la fuerza centrípeta que tira de él hacia dentro. Pero, en realidad, no hay ninguna fuerza centrífuga que actúe sobre el objeto, con lo que la fuerza centrípeta no está equilibrada y el objeto no tiende a moverse hacia fuera. Si se suprimiera de pronto la fuerza centrípeta, el objeto no se aceleraría, sino que seguiría moviéndose en una línea recta tangente, lo que demuestra que sobre el objeto no actúa ninguna otra fuerza. Sin embargo, desde el punto de vista del objeto en movimiento, puede parecer que existe dicha fuerza centrífuga. Las personas que giran en un carrusel sienten una fuerza que tiende a alejarlas del centro. Al contrario que una fuerza real, que se debe a la influencia de un objeto o un campo, esta fuerza centrífuga es una fuerza ficticia. Las fuerzas ficticias sólo aparecen cuando se examina un sistema desde un marco de referencia acelerado. Si se examina el mismo sistema desde un marco de referencia no acelerado, todas las fuerzas ficticias desaparecen. Actividades:

Analiza y discute los siguientes ejercicios. 1.- Un disco de 12 in de diámetro debe girar 45 rpm ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto del disco que está a) a 2 in del centro, b) a 4 in del centro y c) en el borde del disco? (45 rev/min)/(1min/60s) = 0.75s T = 1/0.75 s = 1.33 s (2in)(1ft/12in) = 0.6667ft V1 V1= (60283)(0.6667ft)/1.33s V1 = 3.14453ft/s

(4in)(1ft/12in) = 0.333ft V2 = ((6.283)(0.333ft)/1.33s V2 = 1.573112 ft/s

(6in)/(1ft/12in) = 0.5ft 75


V3 = (6.283)(0.5ft)/1.33s V3 = 2.3620ft/s

2.- Un peso de 8 lb. se mueve en un circulo horizontal con una velocidad lineal de 95 ft/s. ¿Cual es la fuerza centrípeta si el radio es de 3.2 FT? m = 8 lb / 32 ft/s 2

m = 0.25 slug

ac = V2 / R ac = ( 95ft/s) 2 / (3.2 ft) ac = 2820.3 ft/ s 2 Fc = m * ac Fc = (0.25 slug)(2820.3 ft/ s 2 ) Fc = 705.075 lb

3.- Un carrusel gira con un periodo de 6 s. ¿Cuán alejado del centro debe sentarse para experimentar un aceleración centrípeta de 12 ft/s 2? Ac = V2/R V = (Ac*R)1/2 V = 2 R/ T R = VT / 2 R = (Ac*R)1/2 R = 12 ft/s 2 (6s)2 / (2 )2 R = 1.8237 ft 4.- Un electrón gira en un orbital alrededor del núcleo de una trayectoria circular de 6x10-9cm de radio si la masa del electrón es de 9.11x10 -31kg y su velocidad lineal 3.2x106m/s. *Hallar su aceleración y fuerza centrípeta. A = V 2 R (3.2X10 6 M/S)2 = (6X10 -9CM/S)

(3.2X10 6 M/S)2 = 1.7X10 23M/S2 (6X10 -11M/S)

FC = M V 2 R (9.11X10 -31KG)(3.2X10 6 M/S)2 =(9.11X10 -31KG)(3.2X10 6 M/S)2 =1.55X10 -7 N (6X10 -9CM) (6X10 -11M)

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Ejerc i c i o No. 12 1.- Una espectadora parada en el centro de una pista circular de atletismo observa a un corredor que inicia una carrera de práctica de 256 m al este de su propia posición. El atleta corre por el mismo carril hasta la meta, situada directamente al norte de la posición de la observadora. ¿Qué distancia corre? 2.- Un marinero mide la longitud de un buque tanque distante como una medida angular de 1.15° empleando un circulo dividido. El sabe, por las cartas de navegación, que el buque tanque mide 150 m a lo largo. ¿Aproximadamente a qué distancia está el buque tanque? 3.- Un disco compacto (CD) gira en un reproductor con rapidez constante de 200 rpm. Calcule a) la frecuencia y b) el periodo de revolución del CD. 4.- Una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 Rev., en un minuto, a) ¿Cuál es su velocidad angular?, b) ¿Qué distancia angular y lineal se desplazará la rueda? 5.- Encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de giro de 0.15 m y un periodo de 0.5 seg. 6.- Calcular el Vl de una piedra si tiene una V= 21 rad/s y un radio de giro de 1.5 m.

7.- Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s, recibe una aceleración angular constante de 2 rad/s 2, a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuántas revoluciones habrá dado?, c) ¿Cuál es su velocidad angular final? 8.- Calcular la velocidad angular ( ) y velocidad lineal de una partícula que gira con un periodo de 0.3 seg si su radio de giro es de 0.2 m. calcular también su aceleración lineal y radial, así como la resultante de ambas aceleraciones.

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9.- Una pelota que tiene una masa de 0.05kg, esta unida al extremo de un cordel de 1.5mde longitud. se hace girar la pelota en una trayectoria circular con una velocidad de 8.0m/s en el extremo del cordón ¿cuál es la fuerza centrípeta? 10.- Un peso de 8 lb. se mueve en un circulo horizontal con una velocidad lineal de 95 ft/s. ¿cual es la fuerza centrípeta si el radio es de 3.2 ft?

11.- Un objeto de 4 lb esta atado a una cuerda y se mueve en un circulo horizontal de 3 ft de radio. despréciense los efectos de la gravedad y supóngase una frecuencia de 80rpm. determine a) la velolcidad lineal b)la aceleración centrípeta c)la fuerza centrípeta d)¿qué pasa si la cuerda se rompe?

12.- Respóndase a las mismas preguntas que en el problema anterior, para una masa de 2 kg que gira en un circulo de radio 1.6m a 3 rev/seg.

13.- Dos masas de 8 kg se encuentran atadas al extremo de un rodillo delgado de 400mm de largo. el rodillo esta soportado por la mitad y gira en circulo. supóngase que el rodillo puede soportar una tensión máxima de solo 80 n. ¿cuál es la frecuencia máxima de revoluciones en rpm?

14.- Un disco de 12 in de diámetro debe girar 45 rpm ¿cuál es la velocidad lineal de un punto del disco que está a) a 2 in del centro, b) a 4 in del centro y c) en el borde del disco?

15.- Una flecha de tracción a 6cm de diámetro gira a 9rev/s ¿cuál es la aceleración centrípeta en la superficie de la flecha?

16.- Un carrusel gira con un periodo de 6 s. ¿cuán alejado del centro debe sentarse para experimentar un aceleración centrípeta de 12 ft/s 2?

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17.- Una masa de 4kg gira en un circulo horizontal de 2m de radio .s i gira a razón de 6 rev/s, ¿cuanto vale su periodo de rotación, cual es su velocidad lineal, encuentre su aceleración centrípeta y su tensión.

18.- ¿A qué frecuencia debe hacerse girar una pelota de 6 lb en un círculo de 3 ft de radio para que se produzca una aceleración centrípeta de 12 ft/s 2? ¿cuál es su tensión del cordel?

19.- ¿Que aceleración centrípeta se requiere para mover un peso de 16lb en un circulo horizontal de 6ft de radio si su velocidad lineal es de 44ft/s?¡cuanto vale la fuerza centrípeta?

20.- Un electrón gira en un orbital alrededor del núcleo de una trayectoria circular de 6x10-9cm de radio si la masa del electrón es de 9.11x10 -31kg y su velocidad lineal 3.2x106m/s. *hallar su aceleración y fuerza centrípeta.

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RE SP U E STA S A LOS EJ ER CICIOS CAPITULO I Sistema de medida y Movimiento en una Dimensión I.1 Sistema de unidades y conversión de un sistema de unidad a otro. Ejercicio No. 1 1.- 15.74 in 2.- 3.11 ft 3.- 98000 cm 4.- 0.02628 lt/seg 5.- 64.516 cm 2 6.- 2.27 ft 3 7.- 67.655 gal 8.- 14.166 gal/min 9.- 1181.10 in/min 10.- 22710 lt/hr 11.- 2.5 m/s 12.- 0.08 km/s 13.- 0.00022 ton 14.- 4.08 kg 15.- 1409.02 km 16.- 8.4961 m 3 17.- 306 km/hr I.2 Vectores Ejercicio No. 2 1.- 29 mt, 56° 2.- 360 N, 63° 3.- 650 N, 20° 4.- 6.1 Kpa, 25 ° 5.- 367.5 N, 52° 6.- 500 N, 43.4° 7.- 14.2 N, 22° 9.- 310 Lb, 308° 10.- 5.5 kg, 296 ° 11.- 8.2 N, 168 ° I.3.1 Movimiento Rectilíneo de Partículas I.3.1.1 Posición Velocidad y Aceleración Ejercicio No. 4 1.- x = 19 m, v = 58 m/s, a= 120 m/s 2 2.- x = 281 mm, v = 385 mm/s, a = 382 mm/s 2 80


3.- x = 248 in, 72 in/s, a = -383 in/s 2 4.- t = 3 seg, x = -59.5 ft, a = 25 ft/s 2 5.- t = 0.667 seg, x = 0.259 m, v = -8.56 m/s 6.- t = 2 seg, x = 53 m, a = 60 m/s 2, d = 96 m 9.- v = 19 ft/s, x = -47 ft, d = 39 ft 10.- v = -33 in/s, x = 2 in, d = 87.8 in 11.- a) 0,4 seg, b) 168.5 m 12.- a) x = t 4/108 + 10t + 24, b) v = t 3/27 + 10 15.- a) 0.09 seg -2, b) 16.97 mm/s 16.- a) 48 m 3/s2, b) 21.6 m, c) 4.90 m/s 17.- a) 0.667 ft, b)2.71 ft/s 18.- A = -36.8 ft 2, k = 1.832 seg -2 21.- a) 22.5 m, b) 38.4 m/s 22.- a) 29.3 m/s, b) 0.947 seg 23.- a) 4.76 in/s, b) 0.1713 seg 24.- a) 4 ft/s, b) 4.8 seg, c) 7.8 ft 25.- a) 0.1457 seg/m, b) 145.2 m, c) 6.86 m/s 26.- a) 3.33 m, b) 2.22 seg, c) 1.667 seg 27.- a) 7.15 mi, b) 275 x 10 -6 ft/s2, c) 49.9 mi 28.- a) 0.052 m/s2, b) 6.17 seg

CAPITULO II Movimiento en dos y tres dimensiones II.1 Caída Libre, Tiro Vertical y Movimiento Parabólico Ejercicio No. 5 1.- a) x = 865.8 m, b) tg = 35.8 º 2.- a) h = 122.62 m, b) V = 49.05 m/s 3.- a) h = 178.36 m, b) h = 92.4 m, c) t 1 = 5.21 seg 4.- a) t = 4.03 seg, b) x = 100.7 m, c) Vx = 25 m/s, Vy = 39.5 m/s 5.- a) x = 2771.2 ft, y = 576 ft, Vox = Vx = 346.41 ft/s, Vy = - 56 ft/s, b) t = 6.25 seg, c) x = 4330 ft 6.- x = 582.79 m 7.- a) h = 5.19 m, b) x = = 35.298 m, c) t = 2.037 seg 8.9.- Vx = 25.98 m/s, Vy = 29.91 m/s 10.- t = 0.12 seg, y = 0.70 m 11.- = 51.85º, x = 392.62 m 12.- x = 0.3822 m, t = 0.5096 seg 13.- Vox = 53.33 ft/s 14.- y = 17.5 m 15.- t = 3.27 seg, x = 97.05 m

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CAPITULO III Rotación y Movimiento Circular III.1 Desplazamiento, Velocidad y Aceleración Angular Ejercicio No. 6 1.- s = 402 m 2.- r = 7.46 Km 3.- a) f = 3.33 Hz, b) T = 0.3 s 4.- a) = 4.19 rad/s, b) = 251.32 rad 5.- a) = 12.56 rad/s, B) v = 1.88 m/s 6.- v = 30 m/s 7.- = 27 rad 8.- = 20.94 rad/s, v = 4.18 m/s, = 69.8 rad/s 2, aL = 13.96 m/s 2 , a r = 87.69 m/s 2, aR = 88.79 m/s 2 9.- F=2.13N 10.- Fc = 705.075 lb 11.- a) 25.13 Ft/s, b) Fc = 26.31 Ft Lb 12.- a) a = 568.48 m/s 2, b) Fc = 1136.96 N 13.- f= 675 rpm 14.- a) V1 = 3.14453ft/s, b) V 2 = 1.573112 ft/s, c) V 3 = 2.3620ft/s 15.- ac = 95.2 m/s 2 16.- r =1.82 ft 17.- a) T = .167 s, b) v = 75.24 m/s, c) a c = 2830.52 m/s 2, d) Fc = 11322.11 N 18.- a) 0.318 Rev, b) Fc = 2.25 Lb 19.- a) ac = 98.34 m/s 2, b) Fc = 717.45 N 20.- a) ac = 1.7 x 10 23 m/s2, b) Fc = 1.55 x 10 -5 N

CAPITULO IV Cinética de Partículas (Leyes de Newton) IV.1 Leyes de Newton Ejercicio No.7 1.- a = 2 m/s 2 2.- m = 1.6667 kg 3.- w = 1471.5 N 4.- F = 7 x 10 5 N 5.- b) w = 0, w= 1.635N, w= 9.81N,w = 58.86 N 6.- m = 75.51 kg 7.- Su peso 8.- a) w = 78.48 N, b) w = 17.64 Lb 9.- m = 68.012 Kg. 10.- a) m = 652.395 Kg, b) m = 1438.261 lb 11.- a) a=1.201m/s 2, b) a=0.200m/s 2 82


12.- a = 12.04 m/s 2 13.- a = 10.08 m/s 2 14.- a = 9.80 m/s 2 15.- F = 122800 kp 16.- v = 4.039 m/s 17.- F = 33026.4 18.- F = 2000 N 19.- F=454.6 Kp 20.- s = 10 m 21.- a = 0 m/s 2, a = 1.96 m/s 2, a = 5.88 m/s 2 22.- F=2873.81N 23.- a) T = 29.62N , b) T = 9.62N 24.- T = 2873.81 kp IV.2 Fricción o Fuerza de Rozamiento Ejercicio No. 8 1.- a = 12.2N/4N=3.04 m/s 2 2.- v = 4.41 m/s 3.- s = 0.3838, k = 0.2679 2 4.- a = 2.45 m/s 5.- s = 62.5 m 6.- T = 1289.29 kp 7.- k = 0.1028 8.- a) Fk= 10 kp, k = 0.2 9.- k = 0.346 10.- s = 0.5095 11.- F = 6.3 kp.

CAPITULO V Trabajo, Potencia y Energía V.1 Trabajo Ejercicio No. 9 1.- W = 15975 kpm 2.- W = 6kpm 3.- W = 228000 kpm 4.- W = 36 J, 3.6 * 108 Ergios 5.- W = 6 kpm 6.- a) W = 84 J, b) W = 42 J, c) W = 0 J, d) W = -42 J, e) W = -84 J 7.- a) W = 51.96 kpm, b) W = 0 kpm, c) W = 45 kpm 8.- W = -0.016J 9.- k=-62500, F=5000N 10.- w = 32062.5 kpm

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V.2 Potencia Ejercicio No. 10 1 .- P = 163 W, 0.219 hp 2.- t = 7.27 s 3.- V = 7.645 m/s 4 .- P = 16.66 kpm o 1000 kpm/min 163.55 vatios 5.- w= 324.2 kp 6.- V = 0.3526 m/s 7.- 2 W V.3 Energía Cinética Ejercicio No. 11 1.- F = 122,280 kp 2.- F = 1274.20 kp 3.- Ek = 3.87 x 10 5 ft. lb 4.- F = - 4510 N 5.- v = 431.31m/s

CAPITULO VI Energía Potencial VI.1 Energía

Potencial Ejercicio No. 12 1.- a) Ep = 15.68J, b) Ep = 7.84 J, c) Ep = 43.12 J 2.- h = 91.83 m 3.- Ep = W = -24J 4.- Ek = 19.97 Kp.m, Ep = 19.99 Kp.m. son las mismas energías 5.- W = 5 J Ep = 5 J 6.- Ec = 1.01 kpm

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Cuaderno de trabajo Dinamica

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