UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
Investigación Operativa TEMA: Cuaderno digital NOMBRE
VILLAMARÍN MARÍA JOSÉ
PROFESOR
ING. BYRON EDUARDO EDUARDO COCHA COCHA CARRERA
CURSO
4TO SEMESTRE “B”
INDICE CAPITULO 1: PROGRAMACION LINEAL ............................. 2 INVESTIGACION BIBLIGRAFICA ......................................... 2 Ejercicio 1........................................................................ 15 Ejercicio 3........................................................................ 19 Ejercicio 4........................................................................ 21 Ejercicio 5........................................................................ 24 Ejercicio 6........................................................................ 26 Ejercicio 7........................................................................ 28 Ejercicio 8........................................................................ 30 Ejercicio 9........................................................................ 34 Ejercicio 10...................................................................... 36 Ejercicio 11...................................................................... 38 Ejercicio 13...................................................................... 43 Ejercicio 14...................................................................... 45 EJERCICIO 15 ................................................................... 48 EJERCICIO 16 ................................................................... 50 EJERCICIO 17 ................................................................... 54 EJERCICIO 18 ................................................................... 57 EJERCICIO 19 ................................................................... 59 EJERCICIO 20 ................................................................... 62 CONCLUSION: ................................................................. 64
1
CAPITULO 1: PROGRAMACION LINEAL INVESTIGACION BIBLIGRAFICA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ejercicio 1
En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q, y R. Se dispone de 90 toneladas de P, 90 de Q y 70 de R, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 12 euros. Una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende a 10 euros. ¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio?
P M1 M2
1. 2. 3.
2 Toneladas 1 Tonelada 1 Tonelada 2 Toneladas ≤ 90 ≤ 90 Toneladas Toneladas
R
Costo
1 Tonelada 1 Tonelada ≤ 70 Toneladas
12 Euros 10 Euros
Restricciones:
2 + ≤ 90 + 2 ≤ 90 + ≤ 70
Q
“Disponibilidad de P” “Disponibilidad de Q “ “Disponibilidad de R”
Función Objetivo:
(Á) 12 +10 (Á) 1230 + 1030 (Á) 660
Puntos (30; 30)
Variable de No Negatividad:
, ≥ 0
Grafico 15
16
Conclusión final Debe facturarse 30 toneladas de cada pienso para obtener un beneficio de 660 euros. El modelo matemático satisface la disponibilidad de los ingredientes P y Q pero presenta un sobrante de 10 toneladas en el ingrediente R. Se recomienda aumentar la disponibilidad del ingrediente R para que la producción sea más eficiente.
Ejercicio 2 Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000. La demanda de ambos productos conjuntamente es mayor de 3000 unidades y menor de 6000 unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble del otro. Para obtener los máximos beneficios vendiendo toda la producción, ¿cuál debe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precio que es el triple del otro?
Restricciones:
+ ≤ 6000 + ≥ 3000 3. ≥ 4. ≤ 2 1. 2.
Función Objetivo:
(Á) + 3 (Á) 2000 + 34000 (Á) 14000
Puntos:
2000 4000 17
Variable de No Negatividad:
, ≥ 0
Grafico:
18
Conclusion final: Se debe elaborar 2000 de un producto y 4000 unidades del otro producto para obtener un beneficio máximo de 14000 unidades monetarias. El modelo matemático satisface la restriccion del número de unidades máximas que se puede fabricar.Se recomienda aumentar la produccion para satisfacer las cantidades demandadas.
Ejercicio 3
Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar dos tipos de piensos P y Q, cuyo precio por kilogramo es para ambos de 30 pesetas, y cuyo contenido vitamínico por kg se expresa en la siguiente tabla. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo?
P Q
A
B
C
D
1 mg 1 mg
1 mg 3 mg
20 mg 7.5 mg
2 mg 0 mg
Restricciones:
+ ≥ 2 2. + 3 ≥ 3 1.
3. 20+
“Requerimiento de vitamina A” “Requerimiento de vitamina B”
≥ 30 → 8 + 3 ≥ 12
“Requerimiento de
vitamina C”
4.
2 ≥ 2 → ≥ 1
“Requerimiento de vitamina D”
Función Objetivo:
30 +30 19
301.2 + 300.8 60
Puntos
1,2 0,8
Variable de No Negatividad:
, ≥ 0
Grafico
20
Conclusión final: Se debe mezclar 1,2 kilogramos del pienso P y 0,8 kilogramos de Q para incurrir en un costo de 60 pesetas. La solución presentada por el modelo matemático satisface con el mínimo requerido de vitamina A y C pero existe una holgura de 0,60 kilogramos en el requerimiento de la vitamina B y de 0,20 kilogramos en la vitamina D. Se recomienda aumentar los mínimos requeridos en la vitamina B y D para que el modelo se cumpla en su totalidad.
Ejercicio 4
Un estudiante reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre. La empresa A le paga 0,05 euros por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 0,07 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para, los impresos de tipo A, en la que le caben 120, y otra para los de tipo B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrán de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
21
Pequeños
Grandes
Total
-
-
≤
≤
≤
120
100
150
Impresos tipo A ( ) Impresos tipo B ( )
1. 2. 3. 4.
Restricciones:
Ñ
≤ 120 ≤ 100 + ≤ 150 , ≥ 0
Función objetivo: Z (Max) 0,05 + 0,07 Z (Max) 0,05 + 0,07 Z (Max) 0,0550 + 0,07100 Z (Max) 2 , 5 + 7 Z (Max) $9,5
Puntos
50 100
22
Grafico
Conclusion final: El estudiante debe repartir 50 impresos de tipo A y 100 impresos de tipo B para una ganancia máxima diaria sea de $9,50
23
Ejercicio 5
Para el tratamiento de cierta enfermedad hay que suministrar a los pacientes tres tipos de vitaminas, a, b, g. Quincenalmente precisan al menos, 875 mg de vitamina a, 600 mg de vitamina b, y 400 mg de vitamina g. En el mercado dichas vitaminas están en dos productos Ay B. Cada comprimido de A tiene 25 mg de vitamina a, 20 mg de vitamina b, y 30 mg de vitamina g. Cada comprimido de B tiene 35 mg de vitamina a, 30 mg de vitamina b, y 10 mg de vitamina g. El coste de cada comprimido de A es de 0.05 euros y el de & de 0.06 euros. ¿Qué número de comprimidos de cada producto hará más económico el tratamiento?
Vitamina a
Vitamina b
Vitamina g
25mg 35mg
20mg 30mg
30mg 10mg
≥
≥
≥
875mg
600mg
400mg
Producto A ( ) Producto B ( )
1. 2. 3. 4.
Restricciones:
25 +35 ≥ 875 20 +30 ≥ 600 30 +10 ≥ 400 , ≥ 0
Función objetivo: Z (Min) 0,05 + 0,06 Z (Min) 0,05 + 0,06 Z (Min) 0,056,5625 + 0,0620,3125 Z (Min) 0,33 + 1,22 Z (Min) $1,55
24
Puntos:
6,5625 20.3125
Grafico:
25
Conclusión final Para que el tratamiento sea más económico de $1,55 debe contener del producto A 6,5625 comprimidos y del producto B 20,3125 comprimidos.
Ejercicio 6
En una empresa se fabrica diariamente dos tipos de aparatos Ay B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente al menos un aparato de tipo B. Indicar todas las posibilidades de fabricación si se requiere realizar ventas por impórtate superior a 60 euros, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son, respectivamente, 30 euros y 10 euros.
Restricciones 1. 2. 3.
3 3 1
“Disponibilidad máxima de fabricación A” “ Disponibilidad máxima de fabricación B” “ Requerimiento mínimo de B”
Puntos
3 ; 0 3 ; 0 1 ; 0
Función Objetivo
30 + 10
Variables no negatividad
;≥0 26
Grafico
Reemplazo
30 + 10 ≥ 60 302 + 102 > 60 80≥60 302 + 103 > 60 90>60 303 + 102 > 60 110 > 60 303 + 103 > 60 120 >> 60
27
Conclusión final :
Exactamente existen 4 combinaciones para que sus importes sean mayores a 60 euros. Ejercicio 7
Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los siguientes:
A 2 4
P1 P2
B 6 3
Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, ¿Cómo debe suministrar las vitaminas requeridas en un coste mínimo? Pienso P1: Pienso P2:
Vitamina A (mg)
Vitamina B (mg)
2 4 4
6 3 6
Pienso P1 Pienso P2 Requerimientos
Restricciones:
1. 2.
2 + 4 ≥ 4 6! + 3 ≥ 6
Función Objetivo:
0.4 + 0.6 0.40.66 + 0.60.66
28
Puntos:
0.66 0.66
Variables de No Negatividad :
, ≥ 0
Grafico
29
Conclusión final: Para que el coste sea mínimo y cumpla con los requerimientos del granjero se debe mezclar 0.66 kg de pienso P1 y 0.66 kg de pienso P2. Habría un mayor coste si los requerimientos de P1 y P2 subieran a 8 y 12 mg de vitaminas A y B respectivamente; mientras que, habría un menor coste si los requerimientos de P1 y P2 descendieran a 2 y 3 mg de vitaminas A y B respectivamente. No hay holgura o excedente en ambos piensos P1 y P2 ya que se utiliza toda la cantidad disponible de vitaminas.
Ejercicio 8
Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitamina diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0.3 euros y el de pienso compuesto 0.52 euros, se pide: a) ¿Cuál es la composición diaria de la dieta que minimiza los costes? b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado, el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto? Cantidad en kg de maíz:
30
Cantidad en kg de pienso:
Maíz Pienso Requerimientos
Hierro (u)
Vitaminas (u)
2.5 1 3
1 2 4
LITERAL a):
Restricciones:
1. 2.
2.5 + ≥ 3 + 2 ≥ 4
Función Objetivo:
0.3 + 0.52 0.30.75 + 0.521.75 1.06
Puntos:
0.75 1.75
Variables de No Negatividad:
x , x ≥ 0
31
Grafica:
Conclusión final:
Habría un mayor coste si los requerimientos de maíz y pienso subieran a 20 y 6 unidades de hierro y vitaminas respectivamente; mientras que, habría un menor coste si los requerimientos de maíz y pienso descendieran a 4 y 1.2 unidades de hierro y vitaminas respectivamente. No hay holgura o excedente tanto en el maíz como en el pienso ya que se utiliza toda la cantidad disponible de unidades de hierro y vitaminas. 32
LITERAL b) Restricciones:
1. 2. 3.
2.5 + ≥ 3 + 2 ≥ 4 ≤ 1 Función Objetivo:
0.3 + 0.52 0.32 + 0.521 1.12
:
2 1
Variables de No Negatividad
, ≥ 0
Grafica
33
Conclusión final:
Para que el coste sea mínimo y cumpla con los requerimientos del veterinario se debe utilizar 2 kg de maíz y 1 de pienso. Habría un mayor coste si el requerimiento de maíz subiera a 12 unidades de hierro; mientras que, habría un menor coste si el requerimiento de pienso descendiera a 2.8 unidades de vitaminas respectivamente. No hay holgura o excedente tanto en el maíz como en el pienso ya que se utiliza toda la cantidad disponible de unidades de hierro y vitaminas.
Ejercicio 9
Un agricultor utiliza un invernadero de 300 para dos tipos de cultivo. Los gastos de cada uno de ellos son de 50 y 20 euros por metro cuadrado, siendo los beneficios que se obtienen de 300 y 100 euros por metro cuadrado respectivamente. Si se dispone de 7500 euros para
34
invertir ¿qué superficie debe dedicar a cada tipo de cultivo para obtener un beneficio máximo?
1. 2.
Restricciones:
50 + 20 ≤ 7500 +≤300 cultivos “
“ Disponibilidad de inversión” “ Disponibilidad de inversión para los
Función Objetiva
300 + 100 max 30050 + 100250 max 40000
Variable no negatividad
;≥0
Puntos
0 ; 375 1 5 0 ; 0 0 ; 3 0 0 300 ; 0
Grafico
35
Intersección 1 y 2
50 + 20 7500 50 50 15000 30 7500 250 300 300 250 50 ;
Conclusión final:
El agricultor deberá dedicar 50 del primer cultivo y 250 del segundo cultivo para obtener un beneficio máximo de 40000 euros y además es para lo que le alcanza utilizando todos sus factores de tierra y capital. Ejercicio 10
Un sastre tiene 80 de tela de algodón y 120 de tela de lana. Un traje de caballero requiere 1 de algodón y 3 de lana y un vestido de señora necesita 2 de cada una de las telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizas los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. 36
Algodón
Lana
Dama
2
2
x
Caballero
1
3
Y
≤80
≤120
Restricciones: 1. 2.
2x+y≥80 2x + 3y ≥ 120
Función Objetivo:
MA + MA 3 0 + 2 0 MA 50
Puntos
x = 30 y20
Variables de No Negatividad:
, ≥ 0
37
Grafico:
Conclusión final: Se tiene que elaborar 30 unidades de vestidos para damas y 20 unidades de trajes Para hombres para tener ingreso de 50 unidades monetarias
Ejercicio 11
Una empresa conservera puede enlatar diariamente un máximo de 1000kg de atún. Tiene dos tipos de envases latas pequeñas y latas grandes, cuyo contenido neto de 90g y 400g respectivamente. Por razones de producción, el número de latas pequeñas no puede superar el doble de latas grandes. Si la ganancia empresarial es de 0,3 euros por
38
lata pequeña y de 0,8 euros por lata grande ¿cómo debe planificar la producción para que la ganancia sea máxima
Restricciones: 1. Capacidad máxima de enlatado diariamente
90 1 + 4002 ≤
1000000 2. Relación
1 < 2 2
Función objetivo:
0,3 1 + 0.82 0,3 3448276 + 0.81724138 2413793
Puntos
3448276 1724138
Variable de no negatividad x1, x2 ≥ 0
Grafico:
39
Conclusión final:
Se debe empaquetar 3448276 gr en latas pequeñas y 1724138 gr en latas grandes para obtener una utilidad de 243793 EUROS. Se utiliza la totalidad del atún en el empaquetado
Ejercicio 12 Una persona quiere invertir 100000 euros en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tiene más riego, pero produce un beneficio del 10%. Las del tipo B son más seguras, pero produce solo el 7%. Decide invertir como máximo 60000 euros en acciones del tipo A y por lo menos 20000 euros en acciones del tipo B. Además, quiere que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100000 euros para que el beneficio anual sea máximo?
40
Restricciones:
1 + 2 ≤ 100000
Inversión en Ay B
1 ≤ 60000
Inversion máxima de
2 ≥ 20000
Inversión mínima de
1≥2
Relación entre A y B
A B
Función objetivo:
maxi 0,10x1 + 0,07x2 maxi 0,1060000 + 0,0740000 maxi 8800
Grafica
41
Puntos
1 + 2 100000 1 60000 2
40000
1
60000
1 600000 0 0 1 60000 2 20000 42
2 20000 12 0 1
20000 2 20000
Conclusión final
Se debe invertir 60000 en A y 40000 en B para obtener 8800. Cumple con la inversión en A, Cumple el requerimiento y se obtiene más de lo requerido con la inversión de B, Cumple con la relación dada entre A y B.
Ejercicio 13
Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas por día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A1 cuesta 20 euros por kilo y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. El alimento A2 cuenta 10 euros por kilo y contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determinar la combinación de alimentos más baratos que satisfaga las necesidades de la dieta
Restricciones:
1.
6001 + 502 ≥ 30000
Requeriemineto minmo de Calorias 2. 21 + 8 ≥ 80 minimo de Proteinas
Requerimiento
43
Función objetivo:
max 0,20x1 + 0,1x2 max 0,204.255319 + 0,18.936171 max 1.744681
Variable no negatividad:
1,2 ≥ 0
Puntos
6001 + 502 3000 21 + 82 80 300 6001 + 502 3000 6001 24002 24000
23502 21000 2 8,936171 1 4,25531
Grafica
44
Conclusión final:
Se debe realizar 4,26 de A1 y 8, 94 de A2 para obtener un costo mínimo de 1,74468 sabiendo que cumple con los requerimientos y satisface la función óptima.
Ejercicio 14
Una empresa tiene dos centro de producción C1 y C2 en los que fabrican 3 tipos de artículos: A1, A2 y A3 Dicha empresa debe fabricar diariamente un mínimo de 360 unidades del articulo A1, 320 del A2 y 180 del A3. La producción por hora en cada centro es: en C1, 25 de A1, 30 de A2 y 10 A3; En C2, 30 de A1, 20 de A2 y 18 de A3. Si cada hora de funcionamiento cuenta 800 euros en C1 y 10000 en C2, ¿Cuántas horas debe funcionar cada centro para que produciendo, al menos, lo necesario, se reduzcan al mínimo los coste de producción
Restricciones: 1. 251 + 302 ≥ 360 2. 301 + 202 ≥ 320 3. 101 + 182 ≥ 180
Requerimiento mínimo de A1 Requerimiento mínimo de A2 Requerimiento mínimo de A3
45
Función objetivo
min 800x1 + 1000x2 min 8006 + 10007.2 min 11760
Variable de no negatividad
1,2 ≥ 0
Puntos: 1Y2
251 + 302 360
(-2)
301 + 20 320
(3)
501 602 720 901 + 602 960 401
240
1 6 2 7.2
46
Grafico
Reemplazo
366 ≥ 360 324 ≥ 320 189.6 ≥ 180
Conclusión final: Se debe realizar 6 de C1 y 7.2 de C2 para tener un mínimo de 11760 ya que cumple y satisface los requerimientos de A1, A2 y A3 en la cual supera al requerimiento mínimo Cumple con todos los requerimientos de las restricciones por lo tanto satisface la función óptima.
47
EJERCICIO 15
Agripac fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos, cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 Y K50 ,durante el período de fabricación actual existen disponibles 900 libras de k40 y 400 libras de k 50 cada libra de productos llamado jardín verde utilizada 3/5 libras de k40 y 2/5 de libra de k50 ,Cada libra de producto designado como atención al jardín utiliza ¾ de libra de k0 y 1/4 de libra de k 50 además un determinado limite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de atención al cliente a un máximo de 500 libras a) si la contribución a las utilidades para ambos productos es de $3 por libra, cuantas libras debe fabricar la compañía de cada producto. b) Debe preocupará a la compañía que la disponibilidad de materiales de empaques este restringiendo la producción de atención al jardín. c) Que sucedería con las cantidades de producción y con las utilidades esperadas si la empresa pudiera eliminar la restricción sobre la cantidad de atención al jardín que se puede fabricar.
Restricciones
1. Disponibilidad Jardín verde
+ ≤ 900
2. Disponibilidad Atención al jardín
+ ≤ 400
3. Restricción de atención al jardín
X ≤ 500
48
Función objetivo Z(MAX) = 3 + 3 Z(MAX) = 3687,5 3687,50 0
+ 3 500 500
Z(MAX) = 3562,50
Puntos
+ ≤ 400 1 2 125 4 2 1 275 5
1
= 687,50
2
= 500
Grafica
49
CONCLUSIÓN LITERAL A No se debe preocupar ya que al utilizar la restricción en atención a jardín la disponibilidad cumple en su totalidad
CONCLUSIÓN LITERAL B No se debe preocupar ya que al utilizar la restricción en atención a jardín la disponibilidad cumple en su totalidad
CONCLUSIÓN LITERAL C La fábrica Agripac al eliminar la restricción sobre la atención al jardín deberá fabricar 500 libras de jardín verde y 800 libras de atención al jardín, para obtener una utilidad máxima de 3900 USD. Todas las restricciones cumplen en su totalidad.
EJERCICIO 16
El ministerio de obras públicas ha decidido añadir exactamente 200 km de carretera y exactamente 100 km de autopista en el sector de la costa, el precio estándar para la construcción de la carretera es de 1´000.000 de dólares por km de carretera y de 5´000.000 por km de autopista. Solo dos contratistas pueden realizar este tipo de construcción, la compañía Hidalgo e Hidalgo y El cuerpo de Ingenieros del Ejército pueden realizar este tipo de construcciones, así que estos 300 km de vía deben ser construidos por estas compañías. Sin embargo, la compañía Hidalgo e Hidalgo puede construir a lo más 200 km de carretera y autopista y la segunda compañía puede construir a lo más 150 km (carretera y autopista), por razones políticas a cada compañía le debe adjudicar un contrato de al menos de 250´000.000 de dólares antes de descuento.
50
La primera compañía ofrece un descuento de 1000 dólares por km de carretera y 6000 por km de autopista. La segunda compañía ofrece un descuento de 2000 dólares por km de carretera y de 5000 por km de autopista. a)
Si x1 y x2 representan el número de km de carretera y autopista
respectivamente adjudicados a la compañía Hidalgo e Hidalgo, demuestre que el descuento total D recibido de ambas compañías está dada por D = 90 9000 0000 00 – b)
1000 10 001 1 + 10 1000 002 2..
El ministerio de Obras Públicas desea maximizar el descuento
total D, resuelva por el método gráfico y realice un análisis análisis del mismo con sus recomendaciones recomendaciones correspondientes.
Variables de decisión x1= Carretera x2= Autopista
Función objetivo:
á á 90 900000 0000 1 + 2
DATOS: Hidalgo e Hidalgo Carretera
1 ≤ 200
Autopista
2 ≤ 10 1000 51
Cuerpo de Ingenieros del Ejército Carretera
200 1 ≤ 200
Autopista
100 2 ≤ 100
CARRETERA
1 + 200 1 ≤ 200
AUTOPISTA
2 + 100 2 ≤ 100
D = – +
10001 + 60002 + 2000200 – 1 + 5000100 2 10001 + 60002 + 400000 20001 + 500000 50002 900000 – 10001 + 20002
Restricciones
1. 2.
1 + 2 ≤ 200 200 – 1 + 100 2 ≤ 150
10000001 + 50000002 ≥ 250000000 3.
1000000200 – 1 + 5000000100 2 ≥ 250000000
200000000 10000001 + 500000000 50000002 250000000 700000000 10000001 50000002 250000000 0 52
450000000 10000001 50000002 0 ABSTRACCIONES
1 + 2 ≤ 200
2 200 1 200
200 – 1 + 100 2 150
200 + 100 2 150
200 1 + 100 150
2 150 100 200
1 150 100 200
2 150
1 150
2 150
1 150
1000000x1 450000000 450000000 1 − − 1 450
50000002 2 − − 190
GRAFICA
53
Conclusión final Se requieren 187.2 km de carretera y 12.5 km de autopista para que se pueda maximizar a 200$. Recibiendo un descuento total de 1200000$.
EJERCICIO 17
La compañía rila fábrica mesas y sillas, el proceso de cada una es similar ya que ambas requieren ciertas horas de trabajo de carpintería, así como ciertas horas de trabajo en el departamento de pintura y barnizado. Cada silla requiere 3 horas de carpintería, y una hora de pintura durante el periodo de aprobación actual están disponibles 24 horas el tiempo de carpintería, así como 100 horas de pintura y barnizado, cada mesa requiere 4 horas de carpintería y 2 horas de pintura y barnizado, cada mesa vendida genera una utilidad de 25 dólares y cada silla fabricada se vende con una utilidad de 15 dólares El problema de rila es determinar la mejor combinación posible de mesas y sillas con la finalidad de alcanzar la máxima utilidad.
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Restricciones
1. 41 + 32 ≤ 240
Disponibilidad de carpintería para
mesas y sillas 2. 1 + 22 ≤ 100 mesas y sillas
Disponibilidad de pintura para
Función óptima (Max) = 25x1 + 15x2 (max) = 25(60) + 15(0) (max) = 1500
Variable de no negatividad 1,2 ≥ 0
Puntos 1 ∧ 2 = 0 41 + 32 = 240 41 + 3(0) = 240 1 = 60 2 = 8
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Grafica
Conclusión final:
La empresa debe realizar solo 60 mesas y 0 sillas para así tener una máxima utilidad de 1500 240 ≤ 240
Disponibilidad horas de carpintería para
mesas y sillas 60 ≤ 100
Disponibilidad horas de pintura para mesas
y sillas
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EJERCICIO 18
El rancho Luisa María está considerando comprar 2 marcas diferentes de pavo y mezclarlos para ofrecer una buena dieta de bajo costo para sus aves. Cada alimento contiene en proporciones variables algunos o los 3 ingredientes nutricionales esenciales para pavos de engorde. Por ejemplo, cada libra de la marca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A 4 onzas del ingrediente B y 0,5 del ingrediente C. Cada libra de la marca 2 contiene 5 onzas del ingrediente A, 3 onzas del ingrediente B. Los requerimientos nutricionales para una buena dieta son 90 onzas de A 48 onzas de B 1,5 onzas de C. La marca 1 de alimento le cuesta al rancho 0,02 por libra en tanto que la marca 2 le cuesta 0,03 por libra. El propietario del rancho desea determinar la mezcla óptima para cumplir con los requerimientos nutricionales al menor costo posible cumpliendo con la ingesta mensual de cada ingrediente nutricional.
RESTRICCIONES 1. 51 + 102 ≥ 90 A 2. 41 + 32 ≥ 48 B 3. 0,5 ≥ 1,5
Requerimiento mínimo de Requerimiento mínimo de Requerimiento mínimo de C
Función optima (min) = 0,02x1 + 0,03x2 (min) = 0,02(8,4) + 0,03(4,8) (min) = 0,31
Variable de no negatividad 1,2 ≥ 0
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Puntos
1y2 201 + 402 = 360 −201 − 152 = 240 252 = 120 2 = 4,8 1 = 8,4
Grafica
Conclusión final: Se recomienda realizar una mezcla optima de 8,4 de la primera marca y de la otra marca utilizar 4,8 y así cumplir con los requerimientos nutricionales al menor costo posible de 0,31 cumpliendo con la ingesta mensual de cada ingrediente nutricional.
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EJERCICIO 19
Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 200 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 4 quintales de maíz y 2 de trigo. Cada hectárea requiere un capital de $ 60 si se cultiva con un maíz y de $ 20 si se cultiva con trigo. El capital disponible es al menos de $ 6000. Las necesidades de agua de riego son de 50 por hectárea de maíz y 50 por hectárea de trigo en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es al menos de 6250 y en noviembre cuando mucho de 25000 . Si los precios de venta de maíz y de trigo son de $ 60 y $ 30 por quintal métrico respectivamente. Determinar la cantidad de maíz y de trigo que se debe cultivar para obtener el beneficio máximo y que recomendaciones daría al agricultor.
variables Terreno capital Riego/octubre Riego/noviembre 1 60 200 50 maíz
4 1 2
trigo
200 Restricciones
4 20 2 6000
6250
Disponibilidad de terreno para cultivar Capital destinado al cultivo por hectárea
6000 Requerimiento agua de riego octubre
6250
25000
+ ≤ 200
+ ≥
+ ≥
Requerimiento de agua de riego noviembre
4 100 2
4 50 2
+ ≤ 25000
Función objetivo
Z máx 60 +30 59
Z máx 60350 + 3075 Z máx 23250 Variable de no negatividad
; ≥ 0
Puntos
interseccion 3 y 2 12.5 +25 ≥ 6250 15 +10 ≥ 6000 − .
−
93750 375 75000 125
remplazando
93750 75000 125 + 375
−
18750 250
− 350
75
Grafica
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Conclusión final Recomendamos al agricultor que para tener una utilidad máxima de $ 23250 se debe cultivar 350 quintales de maíz y 75 quintales de trigo.
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EJERCICIO 20
Se desea realizar una campaña publicidad para promocionar un nuevo producto para llegar a dos tipos de clientes. Ama de casa de familia con ingresos anuales superiores a $ 5000 y amas de casa de familia con ingresos anules inferior a $ 5000. Consideramos que las personas del primer grupo compraron dos veces más nuestro producto que las personas que el segundo grupo y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto de tv y en una revista. Una unidad de publicidad de tv cuesta $ 10000 y llega aproximadamente a 1000 personas del primer grupo y 4000 del segundo grupo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta $6000 y llega aproximadamente a 3000 personas del primer grupo y a 1000 del segundo grupo. Hay que usar al menos 3 unidades de publicidad tv y 6 unidades de publicidad en la revista, respectivamente, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de $ 9000. Resuelva por el método gráfico y encuentre la solución óptima que maximice las compras.
variables Grupo 1 Grupo 2
revista
1000 4000 10000
3000 1000 6000
Restricciones 1. Unidades publicitarias Tv 2. Unidades publicitarias Revistas 3. Presupuesto
90000
TV
3 6 10000 + 6000 ≤
Función objetivo
á 2×1000+1×4000 +2×3000+1×1000 á 2000 + 4000 + 6000 + 1000 62
á 6000 + 7000 á 60003 + 70006 á 60000
Puntos (3;6)
Variable de no negatividad
; ≥ 0
Grafica
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