1 FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DE AMÉRICA
INGENIERÍA QUIMICA
Elaborado por: Maria Camila Carvajal Vea C!dio: "#$%&%"
Do'e()e: I(e(iero: N*+)or ,-mber)o A-delo D.a/ A+i(a)-ra: M*)odo+ (-m*ri'o+ Gr-po: " #0 de Noviembre de %0#" 1oo)2 D3C
2 C4N5ENID4
623 IN5R4DUCCI4N 417E5IV4S CA6I5U84 I #3 5E4RÍA DE ERR4RES #3# Dep-ra'i!( de da)o+ #3#3# Di+)rib-'i!( ) de ;+)-de()< #3#3#3# 6ropaa'i!( de errore+ #3% 648INÓMI4 648INÓMI 4 DE 5A>84R 5A>84R
& $ 9 = ## #=
CA6I5U84 II %3# %3% %3& %3$ %39
MÉ54D4 DE 1ISECCI4N MÉ54D4 REG8A FA8SA MÉ54D4 NE?54N@RA6,S4N MÉ54D4 SECAN5E MÉ54D4 6UN54 FI74
%& %" %= &9 $0
CA6I5U84 III &3# MÉ54D4 7AC41I &3% MÉ54D4 DE GAUSS@SEIDE8
$& 9%
CA6I5U84 IV $3# IN5ER648ACIÓN $3#3# Rere+i!( 8i(eal $3% C4EFICIEN5E DE DE5ERMINACI4N $3& 648INÓMI4 8AGRANGE
99 99 9 "%
CA6I5U84 V 93# DERIVACIÓN NBMERICA 93#3# M*)odo )re+ p-()o+ 93% IN5EGRACIÓN NBMERICA 93%3# M*)odo 5rape'io 93& IN5EGRACI4N NUMERICA C4M6UES5A 93&3#3# M*)odo Simp+o( (% 93&3#3# M*)odo Simp+o( (& 93$ ECUACI4NES DIFERENCIA8ES 93$3# M*)odo R-(e@-))a "3 Co('l-+io(e+ 3 1ibliora.a
" "= # # $ 9 0 # 9 "
2 C4N5ENID4
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3 INTRODUCCION
Co( Co( el pre+e pre+e() ()e e )rab )rabaj ajo o +e pre) pre)e( e(de de dar a 'o(o' 'o(o'er er lo+ lo+ die diere re() ()e+ e+ m*)o m*)odo+ do+ (-m*ri'o+ -e ei+)e( H la ma(era de reali/arlo+ 'o( la aH-da del prorama E'el el '-al lo+ Ja'e m2+ r2pido H (o+ aH-da a a-me()ar la Jabilidad el -+o de prorama+ prorama+ e( la 'omp-)adora3 'omp-)adora3 A 'o()i(-a'i!( 'o()i(-a'i!( podr2( ver -(a re'opila'i!( re'opila'i!( de lo+ diere()e+ )ema+ pre+e()ado+ e( la 'la+e de m*)odo+ (-m*ri'o+ e+)2( epli'ado+ 'o( +- debido pro'edimie()o para el 2'il ma(ejo H e(+eKa(/a de e+)o+3
4 OBJETIVOS Objetivo Principal: 6ar)ie(do del a(2li+i+ de -( problema 'omplejo poder dar +ol-'io(e+ aproimada+ a par)ir de diere()e+ m*)odo+ de ari)m*)i'a 'o( -( 'o(j-()o de opera'io(e+ H orm-la+ alebrai'a+3 Objetivos especíicos: U+ar el 'omp-)ador 'omo Jerramie()a para re+olver problema+ de '!mp-)o H 'omo -( medio de aH-da a-diovi+-al3 ,a'er -+o de la+ !rm-la+ -e )rae el prorama ELCE8 para -e +ea m2+ 2'il el re+olver problema+ por medio de diere()e+ m*)odo+3 De+'ribir lo+ pa+o+ para la prorama'i!( de 'ada -(o de lo+ m*)odo+ (-m*ri'o+ -e +e epli'ara(3
5 !" C#PITU$O I
!"!TEORI# DE ERRORES: De+de el p-()o de vi+)a de la i(e(iera +e )ie(e 'omo reere('ia vario+ 'o('ep)o+ impor)a()e+ 'omo: a %e&ir: E+)able'e '-a()a+ ve'e+ e+)2 'o()e(ida la -(idad pa)r!( ( -( e+pa'io .+i'o de)ermi(ado3 b E'actit(&: Se dei(e 'omo el rado de a'er'amie()o ab+ol-)o a -( valor real3 ' Precisi)n: Se dei(e 'omo el rado de a'er'amie()o rela)ivo a -( valor real #3 ;E()re m2+ ob+erva'io(e+ m2+ +e a'er'a al valor<
#3
Imae( )omada de +i)io Oeb 3
E('o()ramo+ do+ )ipo+ de errore+ impor)a()e+ -e +o(: •
Errores siste*+ticos: So( debido+ a problema+ e( el -('io(amie()o de lo+ apara)o+ de medida o al Je'Jo de -e al i()rod-'ir el apara)o de medida e( el +i+)ema *+)e +e al)era H +e modii'a por lo )a()o la ma(i)-d -e de+eamo+ medir 'ambia +- valor3 Normalme()e a')Pa( e( el mi+mo +e()ido %3 Un eje*plo: C-a(do +e reali/a la medi'i!( de -(a ma)erial e( do+ 'a+o+ el primero e+ e( -( l-ar 'o( )empera)-ra r.a 1oo)2 D3C3 H el +e-(do +e reali/a -(a medi'i!( e( -( l-ar 'alie()e ,o(da3 Ei+)ir2 -( error Ha -e el ma)erial +e ve ae')ado por la )empera)-ra3
Bogotá A
B
6 A1 #0m 1oo)2 9C@%$C
B
A
B´ ΔX
A1A1@ TL ,o(da TL #mm #' %0C $0C •
ERRORES #CCIDENT#$ES: Se orii(a( debido a la+ limi)a'io(e+ e( la ob+erva'i!( por par)e del +er J-ma(o o -(a m2-i(a +e pre+e()a( de orma alea)oria H +e p-ede( modelar bajo la )eor.a de la probabilidad3 Al prod-'ir+e alea)oriame()e la+ medida+ +e di+)rib-He( alrededor del valor real por lo -e -( )ra)amie()o e+)ad.+)i'o %3 Un eje*plo: +e pre)e(de medir el di2me)ro de -( )-bo3
"#
"%%
"#"
"
"%9
E( e+)e 'a+o el valor e+)imado e+ "%0% 'm3 Valor Valor 1 Valor 2 Valor 3
Serían errores Sería una equivocación
!",DEPUR#CION DE D#TOS:
7 Más de 1σ (seccin se considera co!o e"ui#ocacin $ !enor a 1σ (seccin naran%a& se considera co!o errores $ se 'raa%a solo con es'a
8a dep-ra'i!( e+ -(a a')ividad i(evi)able H di.'il de()ro de la prod-''i!( de da)o+ e+)ad.+)i'o+3 Si +e dei(e pla(ii'a H eje'-)a de orma dei'ie()e p-ede )e(er -( impa')o m-H (ea)ivo e( la 'alidad de lo+ da)o+ e( lo+ 'o+)e+ de prod-''i!( H e( lo+ pla/o+ de di-+i!( de lo+ da)o+ &3 Media Aritmética y Desviación Estándar: Parametrización:
-. N-mero de de+via'io(e+ e+)2(dar -e e+)a ;Li< /i. Da)o+ 4b+ervado+ 0. Media 6obla'io(al 1. De+via'i!( E+)2(dar EJE%P$O: U( +-je)o -e Ja p-()-ado =9 e( -(a di+)rib-'i!( de media
#00 H de+via'i!( ).pi'a #9 'al'-lar la p-()-a'i!( e+)2(dar W3 z =
100−95 =−0,67 15
Form-la de de+via'i!( e+)2(dar:
Un eje*plo:
+ Se Ja'e medi'i!( 'i('o ve'e+ de -( ma)erial e( i-ale+ 'o(di'io(e+ 'lim2)i'a+ ob)e(ie(do lo+ +i-ie()e+ re+-l)ado+: "#X "%#X "#"X "#9X "%$3 YC-2l -e la di+)a('ia medidaZ YC-2l e+ el promedioZ
Sol(ci)n: •
6rimero +e +a'a el valor promedio 6R4MEDI41:1##
•
8-eo la de+via'i!( e+)2(dar DESVES51:1##
•
6a+o +i-ie()e +e Jalla el W lo+ re+-l)ado+ debe( e+)ar e()re @# [ W [ # lo+ -e e+)*( por -era de e+)e ra(o +e 'o(+idera( e-ivo'a'io(e+ 'o( la +i-ie()e orm-la3 ´ X i − X
•
Se deja( lo+ da)o+ +i( e-ivo'a'io(e+ e( o)ra )abla -e e+ la 5A18A DE DA54S DE6URAD4S H +a'a de (-evo el promedio
,
!","! DISTRIBUCION t DE STUDENT: E+ -(a di+)rib-'i!( de probabilidad -e +-re del problema de e+)imar la media de -(a pobla'i!( (ormalme()e di+)rib-ida '-a(do el )amaKo de la m-e+)ra e+ pe-eKo$3
Eje*plo:
Reali/a(do el ejemplo a()erior e( E'el H )e(ie(do e( '-e()a -( i()ervalo de 'o(ia(/a del =9\: •
•
6ar)ie(do de la )abla a()erior
Se lle(a( lo+ +i-ie()e+ da)o+ 'omo el i()ervalo de 'o(ia(/a +eP( dado e+ 0=9 el rado de liber)ad -e +e 'al'-la (@# H el (Pmero de da)o+ 'o( la orm-la C4N5AR3
1-
•
Se 'al'-la el valor 'r.)i'o H la de+via'i!( e+)2(dar 'o( la orm-la a()e+ -)ili/ada DESVES5:
•
Se 'al'-la el error de e+)ima'i!(:
•
Fi(alme()e +e 'al'-la( lo+ do+ l.mi)e+:
11
!","!"!
PROP#2#CION DE ERRORES:
E( el '-r+o +e e+)-dia '!mo +e propaa( lo+ errore+ para variable+ depe(die()e+ '-a(do la+ i(depe(die()e+ - ob+erva'io(e+ )ie(e( errore+ i(vol-'rado+3 F!rm-la+ -e +e emplea(:
∑ f ( x )
2
= Errores en la ( s ) Variable ( s ) dependient es
G = Matriz de las derivadas parciales de la ( s ) var iables dependient es respecto a las independie ntes u observaciones
∑ x = Matriz de los errores en las observaciones o var iables dependient es 2 2 T ∑ f ( x ) = G * ∑ x * G 2
8a ari)m*)i'a -+ada por el 'omp-)ador (o re+pe)a la ari)m*)i'a ordi(aria3 Cada +imple opera'i!( e( -( p-()o lo)a()e 'a+i +iempre e(era -( error pe-eKo -e +e p-ede propaar 'o( varia+ opera'io(e+3 Se p-ede( mi(imi/ar lo+ errore+ de redo(deo i('reme()a(do el (Pmero de 'ira+ +i(ii'a)iva+ e( el 'omp-)ador H a+. el error (o +er2 )a( repre+e()a)ivo 93 6rimero a(ali/aremo+ vario+ 'o('ep)o+ -e abar'a( e+)e )ema de propaa'i!( de errore+3
#n+lisis &el error &e propa3aci)n : E+)e )*rmi(o e+ impor)a()e '-a(do +e -iere i(ve+)iar o ara()i/ar el de+empeKo de lo+ m*)odo+ (-m*ri'o+ -+ado+ e( problema+ )e!ri'o+ H pr2')i'o+93
12 Se epre+a a+.:
|
ρ=
x −rd ( x ) x
|
(ormalme()e +e e+'ribe a+.
RD4'5.'
4!6 ε ¿ ,|ε|= ρ ,|ε|≤eps E('o()ramo+ diere()e+ opera'io(e+ ma)em2)i'a+ 'omo m-l)ipli'a'i!( divi+i!( +-ma H re+)a3 o
M-l)ipli'a'i!(: S-po(amo+ -e
εx y εy
+o( )a( pe-eKo+ -e 2 2 ε x , ε y , εx∗εy - orde( +-perior
lo+ )*rmi(o+ de orde( do+ p-eda( +er de+pre'iado+ e+ de'ir: 1 + E x + E y L # εx ¿∗ y ( 1 + εy ) ≈ x ∗ y ¿
> por )a()o el error rela)ivo E xy ≈ E x + E y i(alme()e e( el prod-')o lo+ errore+ rela)ivo+ de lo+ da)o+ +e +-ma( e( el re+-l)ado3 o
Divi+i!(: Si H ≠ 0 e()o('e+ -+a(do la epa(+i!( e( +erie de # #
x ( 1+ E x ) x = (1 + E x )( 1− E y + E2 y −.. ) ≈ x ( 1 + E x − E y ) y ( 1+ E y ) y y x E E()o('e+ el error rela)ivo y
≈ E x − E y .
S-ma H re+)a: Como H p-ede( )e(er '-al-ier +i(o ba+)a 'o( 'o(+iderar e+)a +-ma: L # E x ¿+ y ( 1 + E y )= x + y + x E x + y E y o
Un eje*plo: E( el '-r+o +e pla()ea -( ejer'i'io el '-al por medio de e+)e m*)odo +e debe 'al'-lar lo+ valore+ m2+ probable+ del 2rea del +i-ie()e re')2(-lo j-()o 'o( +- diao(al3
13
•
E+)able'er la+ variable+ depe(die()e+ A = x
•
2 2 D= √ x + Cal'-lar la yMa)ri/ ;G<
|
dA dx G= dD dx
•
d dy d dy
|
y x
G=
x y
2 2 2 2 √ x + y √ x + y
|
Se Reali/a la ma)ri/ de lo+ errore+ al '-adrado ma)ri/ ]L %
|
G=
∇ x
0
2
0 ∇ y
14
•
Se reali/a la )ra(+p-e+)a de ;G< 5RANS64NERC&$:D&9
NOTA: 6ara poder )ra+po(er )oda la ma)ri/ debe +ele''io(ar la+ 'a+illa+
e( e+)e 'a+o $ 'a+illa+ +e pre+io(a F% do(de vemo+ la orm-la H a 'o()i(-a'i!( C)rlSJi)E()er3 •
Se reali/a la ma)ri/ ] %
15 •
•
•
Se reali/a el '2l'-lo del 2rea H +- error de e+)ima'i!(3
Se Jalla( lo+ l.mi)e+ e( el l.mi)e +-perior el 2rea +e le +-ma el error H el l.mi)e i(erior +e le re+)a el error3
8o mi+mo+ do+ pa+o+ a()eriore+ +e Ja'e( para Jallar la diao(al
16
%3 Ejercicio Prop(esto: 8a delei!( de la p-()a de -( m2+)il e( -( bo)e de vela e+:
Do(de F -(a 'ara la)eral -(iorme lb) 8 Al)-ra ) EMod-lo de ela+)i'idad lb) % e Iel mome()o de i(er'ia ) $ 3E+)ime el error e( ;H< dado+ lo+ +i-ie()e+ da)o+:
17 Da)o+: . / 0
•
52 31 15------ 1-------6 ----6
Co( lo+ da)o+ Ja'er la Ma)ri/ G
1+
•
,a'er la ma)ri/ )ra(+p-e+)a de la ma)ri/ G -e +e a'ab! de Jallar3
NOTA: ara oder 'rasoner 'oda la !a'ri) dee seleccionar las casillas en es'e caso 1X4 casillas se resiona .2 donde #e!os la or!ula $ a con'inuacin 'rlS8i'0n'er* •
8-eo la ma)ri/ de lo+ errore+ de la+ ob+erva'io(e+ 'ada error pre+e()e +e eleva al '-adrado ob)e(ie(do -(a diao(al de errore+ al '-adrado3
•
Se 8alla la !a'ri) del error de la #ariale deendien'e
1,
•
Se calcula el #alor de la uncin ree!la)ando los da'os $ se 8allan los li!i'es sueriores e ineriores
2!"7 PO$INO%IO DE T#8$OR E+ la aproima'i!( de -(a -('i!( media()e -( modelo de 'ar2')er poli(omio e()or(o a -( p-()o "3
ERR4R A1S48U54: |Vr −Vaprox| ERR4R REA8:
|
εr =
|
Vr −Vaprox x 100 Vr
A SERIE DE 5A>84R pn ( x ) =
f ( x0 ) 0!
+
f ′( x0 )( x − x0 ) 1!
+
f ′′( x0 )( x − x0 ) 2!
2
+
f ′′′( x0 )( x − x0 ) 3!
3
+ ⋅⋅⋅⋅⋅ +
f n ( x0 )( x − x0 )
Un eje*plo: f ( x )= 2
x
√ x 2 +1
E()or(o a L0% media()e -( poli(omio de 5aHlor de orde( % a 6rimer 5ermi(o 2 f ( 2 )= 2 =0,8944 2 2 1 √ + b 6rimera derivada
n!
n
+ Rn ( x )
21 1
f ´ ( 2 )=
( ( 2) + 1 ) 2
3 2
=0,08944
' Se-(da derivada f ´ ´ ( 2 )=
3( 2 )
(( 2 )2+ 1 )
5 2
=−0,1073
d El poli(omio p2 ( x )= 0,8944 +
0,08944 ( x −2 ) 1
+
−0,1073 ( x −2 )2 2
Si eval-amo+ %9X Valor real f ( 2,5 ) = 2
2,5
√ 2,5 + 1 2
=0,9284766
e Valor aproimado
p2 ( 2,5 )=0,8944 +
0,08944 ( 2,5−2 ) 1
+
−0,1073 (2,5 −2)2 2
=0,925732
Valor ab+ol-)o Ea =|0,9284766− 0,925732|=0,00274455
Valor rela)ivo
|
Er =
|
( 0,9284766 −0,925732 ) 0,9284766
∗100= 0,29559
J A 'o()i(-a'i!( +e pre+e()a( lo+ pa+o+ Je'Jo+ a()eriorme()e e( orm-la+ E'el
22
23
3olino!io :a$lor
93
92
1*5 1 -*5 91 9-*5 91
1
.;i(real&
2
3
4
5
6
7
2(Xi& olino!io
6or Pl)imo +e e+'oe el ra(o (e'e+ario -e e( e+)e 'a+o e+ me(or al #0\ )ambi*( podemo+ ob+ervar -e '-a(do -)ili/amo+ i 'omo % (o+ va dar -( error rela)ivo H ab+ol-)o de 03
24 ,"
C#PITU$O II:ECU#CIONES NO $INE#$ES: ,"!%9to&o &e bisecci)n: E+ -( alori)mo -e b-+'a ra.'e+ dividie(do el i()ervalo a la mi)ad H +ele''io(a el +-b i()ervalo -e )ie(e la ra./3 E( la +i-ie()e rai'a +e p-ede ob+ervar lo di'Jo a()eriorme()e3
Como ob+ervamo+ e( la imae( (o+ damo+ '-e()a -e el i()ervalo va de+de a# Ja+)a b# el p-()o rojo -e +e ve e( la r2i'a Ja'e reere('ia a la ra./ de la -('i!(3 6a+o+ de lo -e 'o(+i+)e el m*)odo3
25 #3 Debe ei+)ir +e-ridad de la 'o()i(-idad de la -('i!( F e( el i()ervalo aX b3 %3 Se debe mirar -e a^b_0 &3 Se 'al'-la el p-()o medio del i()ervalo +i e('o()ramo+ -e el valor e+ i-al a 'ero ee')ivame()e Jemo+ e('o()rado la ra./3 $3 Si (o +e Ja e('o()rado la ra./ +e verii'a -e m )ie(e +i(o op-e+)o 'o( a o 'o( b 6odemo+ dei(ir H 'o('l-ir -e el m*)odo de bi+e''i!( e+ me(o+ ei'ie()e -e el m*)odo de (eO)o( pero e+ m2+ +e-ro por-e ara()i/a la 'o(vere('ia3 Debemo+ )e(er e( '-e()a -e +i ei+)e m2+ de -(a ra./ e( el i()ervalo e()o('e+ el m*)odo +i-e +ie(do 'o(vere()e pero (o re+-l)a )a( 2'il 'ara')eri/ar Ja'ia -e ra./ 'o(vere el m*)odo 3
#$2ORIT%O:
a( ≤ pn≤ bn Pn=
an + bn 2
{
,
{
( ) ( ) ( ) ( ) an + 1= ansi f an ∗f pn < o : bn + 1 = bnsif bn ∗ f pn < 0 pn si f ( an )∗ f ( pn ) > 0 pn si f ( bn )∗ f ( pn ) > 0
}}
Un eje*plo: Apli'ar el m*)odo de bi+e''i!( a la e'-a'i!( ,allar la +ol-'i!( 'o( -(a )olera('ia #^#0 @ #3 8o primero -e +e debe Ja'er e+ e+'ribir la x e'-a'i!( 'omo -('i!(: 2 x x − ln ( x + 1 ) + e x −1 =10,2 x 2 x x −1 e+o +-'ede '-a(do -(a %3 Se )a()ea( (Pmero+ Ja+)a e('o()rar -(a ra./ imae( da po+i)ivo H la o)ra da (ea)iva3 E n E'cel 2
2
26
&3 Se Jalla 6( media()e la +i-ie()e orm-la -)ili/a(do a H b3 a + b 2 +3 Pn= = =0,25 2
2
$3 Si-ie()e pa+o +e evalPa e( la -('i!( el valor de a H el valor de 6( Jallado a()eriorme()e3
93 8-eo la m-l)ipli'a'i!( de lo+ valore+ Jallado+ e( la -('i!(:
"3 6a+o +i-ie()e +e empie/a por Jallar lo+ +i-ie()e+ a H b por medio de !rm-la+ 'o(di'io(ale+ 'o( 'o(di'io(ale+3
27
3 A par)ir del +e-(do )*rmi(o p-edo Jallar la )olera('ia3
3 6or Pl)imo +e arra+)ra( )oda+ la+ 'a+illa+ Ja+)a llear a la )olera('ia pedida por el ejer'i'io H el 6( de e+a )olera('ia e+ la ra./ (e'e+aria3
,",%9to&o &e Re3la alsa: Como e( el m*)odo de bi+e''i!( +e par)e de -( i()ervalo i(i'ial a 0 b0 'o( a 0 H b 0 de +i(o+ op-e+)o+ lo -e ara()i/a -e e( +- i()erior JaH al me(o+ -(a ra./3 El alori)mo va ob)e(ie(do +-'e+ivame()e e( 'ada pa+o -( i()ervalo m2+ pe-eKo a b -e +i-e i('l-He(do -(a ra./ de la -('i!( 3 A par)ir de -( i()ervalo a b +e 'al'-la -( p-()o i()erior ' :
El p-()o e+ la i()er+e''i!( de la re')a -e pa+a por a a H b b 'o( el eje de ab+'i+a+ i-al a 'omo +e Ja'e e( el m*)odo de +e'a()e 3
2+
8a+ primera+ do+ i()era''io(e+ de rela al+a la '-rva -e +e ob+erva roja m-e+)ra la -('i!( X la+ l.(ea+ a/-le+ +o( la+ +e'a()e+3 Media()e -( ejer'i'io +e demo+)rara lo a()e+ me('io(ado )e(ie(do e( '-e()a -e +e debe( Jallar primero lo+ i()ervalo+ H e+o+ +e Jalla( rempla/a(do (Pmero+ (o )a( ra(de+ e( la e'-a'i!( dada 3
Un eje*plo:
x
x − ln ( x + 1 ) + e x
2
2
x
−1
=10,2 5e(ie(do e( '-e()a el alori)mo x
Pn=
f ( x )= x −ln ( x + 1 ) + e x
2
x
2
−1
−10,2
a∗f ( b )−b∗f ( a ) f ( b )− f ( a)
#3 6rimero +e empie/a por de)ermi(ar lo+ a H b por )a()eo e( e+)e 'a+o +e -)ili/aro( lo+ mi+mo+ de ejer'i'io a()erior de+p-*+ +e evalPa la -('i!( 'o( lo+ valore+ de a H de b3
%3 8-eo +e Jalla 6( 'o( la (-eva !rm-la -e +e )ie(e para el m*)odo de rela al+a3
2, &3 Se evalPa el valor de 6( Jallado e( la -('i!( H e( o)ra 'a+illa +e m-l)ipli'a la -('i!( eval-ada e( a H 6(3
$3 6a+o +i-ie()e +e Jalla( lo+ +e-(do+ valore+ para a H para b media()e !rm-la+ 'o( 'o(di'io(ale+ para 'ada -(o3
93 Se Ja'e( lo+ mi+mo+ pa+o+ a()eriore+ 'o( e+)o+ do+ valore+ H +e Jalla -(a )olera('ia media()e la re+)a del 6( Jallado a()e+ H el (-evo3
"3 6or Pl)imo +e de+pla/a( )oda+ la+ 'a+illa+ Ja+)a Jallar la )olera('ia pedida3
3-
,"7%9to&o &e Neton;Rap
Alori)mo:
31 S- demo+)ra'i!( e+:
( xi − xi −1 ) f ′( x ) = f ( xi ) xi * f ′( x ) − xi −1 * f ′( x ) = f ( xi ) − xi −1 * f ′( x ) = f ( xi ) − xi * f ′( x ) xi −1 * f ′( x ) = xi * f ′( x ) − f ( xi ) xi * f ′( x ) − f ( xi ) xi −1 = f ′( x ) xi * f ′( x ) f ( xi ) xi −1 = − f ′( x ) f ′( x ) f ( xi ) xi −1 = xi − f ′( x ) Un eje*plo: El Alori)mo
'omo -('i!( x x − ln ( x + 1 ) + e x −1 =10,2 x
i−¿
Se
2
2
f ( x i )
x
f ´ ( x i ) X n= x ¿
debe )e(er la derivada para poder 'omple)ar la )abla de NeO)o(@RapJ+o(3 x
(¿¿ 2−1 )2 #3 Se empie/a 'o( '-al-ier − x2 −1 valor e( Li l-eo de e+'oerlo +e evalPa la -('i!( 'o( e+)e mi+mo3¿ x
´ ( x )= x ( !nx + 1 )−
2 x 2
x + 1
x
+e
x
2
−1
¿
32
%3 8-eo 'o( la derivada a()eriorme()e Jallada +e reempla/a el valor de Li H +e evalPa3 &3 8-eo +e Jalla el alori)mo de L( reempla/a(do e( la orm-la
$3 AJora +e Jalla el +i-ie()e Li -e vie(e +ie(do el mi+mo L( a()eriorme()e Jallado3
93 6a+o +i-ie()e +e Jalla la )olera('ia 'o( la Ha vi+)a orm-la pero e( e+)e 'a+o +e re+)a( lo+ L( # H %3
"3 6ara )ermi(ar +e de+pla/a( la+ 'a+illa+ Ja+)a la )olera('ia pedida podemo+ ver e( e+)e m*)odo -e e+ m-H 2'il r2pido H ee')ivo3
Ejercicio e'tra clase
33 U( abrevadero de lo(i)-d 8 )ie(e -(a +e''i!( )ra(+ver+al e( orma de +emi'.r'-lo 'o( radio r ver i-ra C-a(do +e lle(a de a-a Ja+)a -(a di+)a('ia J de la par)e +-prior el vol-me( de a-a e+)2 dado por:
S-po(a S-po(a -e 8#0pie+ 8#0pie+ r# pie H -e V #%$6ie+ & 3De)ermi(e la pro-(didad de a-a e( el abrevadero abrevadero 'o( -(a )olera('ia )olera('ia de #^#0@" 3 6or el m*)odo de NeO)o( @ apJ+o(
Da)o+: / r V =
11 124 >?
F-('i!( H derivada:
[
−10 ´ ( x )= − ( 10 ) √ 1−"2 + 10 " 2 √ 1 −"
−1
()
1 ( 1− "2 ) 2 2
(−2 " )
]
−1
−10 2 2 2 10 √ 1 −" + 10 " ( 1− " ) 2 ´ ( x )= − 2 √ 1 −" 1* 0#alu 0#aluar ar el Xi en en la unc uncin in**
2* 0#aluar 0#aluar el Xi en deri#ada deri#ada de la uncin* uncin*
34 3* @ee!la)ar ee!la)ar #alor en la or!ula or!ula Xn* Xn*
4* 'ili)ar 'ili)ar el !is!o !is!o #alor #alor 8allado 8allado de Xn co!o el seundo seundo Xi* Xi*
5* @eali)a eali)a la 'olerancia 'olerancia con con los dos nu!er nu!ero o de Xn*
6* Cesla)ar Cesla)ar 'odas 'odas las colu!nas colu!nas 8as'a 8as'a llear a la 'oleranci 'olerancia a edida or el e%ercicio *
Ejercicio e'tra clase 8a velo'idad Ja'ia arriba de -( 'oJe)e +e 'al'-la 'o( la +i-ie()e orm-la:
35 Do(de vvelo'idad del 'oJe)e Ja'ia arriba - velo'idad 'o( la -e el 'omb-+)ible +ale +ale del del 'oJe 'oJe)e )e m0 ma+a ma+a i(i' i(i'ia iall del del 'oJe 'oJe)e )e e( el )0 )0 'o 'o(+ (+-m -mo o de 'omb-+)ible H =3m+% 3 Si -%3%00m+ m0 #"03000 H %"0+ 'al'-le el )iempo e( -e v#3000m+ 3Co( -(a )olera('ia de #^#0@" 3 6or el m*)odo de NeO)o( RapJ+o(3 Datos # 1--u 22--
!o "
unció
16---26+,+
Derivada:
(
0 ( $0 −%& )−( $ 0 ) ( −% )
( $ − %& )
2
0
#∗
$ 0−%&
(
$0−%&
(
( 2680)( 2200 ) −9,8 160000−2680 &
#%
)−
)
−'
$0
'
)
Se 8ace la 'ala an'erior!en'e ree!la)ando la deri#ada 8allada*
36
37
Asi encontra encontramos mos e! tiem"o tiem"o ut!iza ut!izado do que es de #$%&'# #$%&'#(& (&( ( con una ve!ocidad de )*** m+s,
,"=%eto&o &e Secante: E+ -( me)odo para e('o()rar lo+ 'ero+ de -(a -(+io( de porma i)era)iva3 E+ -(a varia'io( varia'io( del me)odo de (eO)o(@rapJ+o (eO)o(@rapJ+o( ( do(de e( l-ar de 'al'-lar 'al'-lar la derivada de la -('io( e( el p-()o de e+)-dio +e aproima la pe(die()e a la re')a -e -(e la -('io( -('io( eval-ada eval-ada e( el p-()o e+)-diado e+)-diado H e( el p-()o p-()o de la i()era'io( a()erior3
+eP( la orm-la a()erior e+)e me)odo (e'e+i)ara do+ aproima'io(e+ i(i'iale+ de la rai/ para poder i(d-'ir i(d-'ir -(a pe(die()e i(i'ial3 i(i'ial3Do+ Do+ primera+ primera+ i()era'io(e+ i()era'io(e+ #0 del me)odo de la +e'a()e 3
3+
Un eje*plo: ,allar la +ol-'i!( para la e'-a'i!( @ por el m*)odo de la +e'a()e 'o( -(a )olera('ia _#^#0 x
Co( el alori)mo:
x n= xi−
f ( xi)( xi− xi− 1) f ( x i )− f ( x i−1 )
#3 Se 'o(+)r-He la la +e-(da a e+e Li +e le re+)a #
)abla 'o( -( Li e+'oido H
%3 8-eo de )e(er lo+ do+ valore+ de Li H de Li@# +e evalPa( e( la -('i!( del ejer'i'io3
&3 6a+o +i-ie()e +e Jalla L( 'o( la !rm-la para el m*)odo +e'a()e3
3, $3 6ara la+ +i-ie()e+ 'a+illa+ i(eriore+ el Li@# pa+a a +er el Li (-evo H el L( Jallado pa+a a +er el (-evo Li@#3
5* /ueo se 8alla la 'olerancia co!o se 8a #enido 'raa%ando*
6* Cesla)o celdas 8as'a encon'rar la 'olerancia re"uerida*
Ejercicio Prop(esto:
4U( abrevadero de lo(i)-d 8 )ie(e -(a +e''i!( )ra(+ver+al e( orma de +emi'.r'-lo 'o( radio r ver i-ra C-a(do +e lle(a de a-a Ja+)a -(a di+)a('ia J de la par)e +-prior el vol-me( de a-a e+)2 dado por:
[
)] { }) ( ( )= ( ∗ ∗ )− −( ∗( − ) ) − { } ( ) [ ] Ejercicio prop(esto 2
(
2
V = ! ( 0,5∗( ∗r )− r sin f "
! 0,5 ( r
2
−1
2
1
" − "∗(r 2− "2)2 r
r sin
−1
" r
" r
2
1 2 2
"
V
8a velo'idad Ja'ia arriba de -( 'oJe)e +e 'al'-la 'o( la +i-ie()e orm-la:
Do(de vvelo'idad del 'oJe)e Ja'ia arriba - velo'idad 'o( la -e el 'omb-+)ible +ale del 'oJe)e m0 ma+a i(i'ial del 'oJe)e e( el )0 'o(+-mo de 'omb-+)ible H =3m+% 3 Si -%3%00m+ m0 #"03000 H %"0+ 'al'-le el )iempo e( -e v#3000m+ 3Co( -(a )olera('ia de #^#0@"3 6or el m*)odo de NeO)o( apJ+o(3 Datos 1--# 22-u !o 16---26+" ,+
unció
41
,"> %9to&o &e P(nto ijo:
42 E+ -( m*)odo i)era)ivo -e permi)e re+olver +i+)ema+ (o (e'e+ariame()e li(eale+3 E( par)i'-lar +e p-ede -)ili/ar para de)ermi(ar ra.'e+ de -(a -('i!( de la orma +iempre H '-a(do +e '-mpla( lo+ 'ri)erio+ de 'o(vere('ia3 Se re-iere volver a e+'ribir la e'-a'i!(3 F0 e( la orma Se le llama ^ a la ra./ de 3 S-po(emo+ -e ei+)e H +e 'o(o'e la -('i!( e()o('e+: ∀ x
F@
del domi(io3
x∗¿ E()o('e+: F^0 ) x ∗−' 9 x∗¿=0 ) x ∗¿ ' ¿
Se )ie(e -e a ^ 'omo p-()o ijo de 3 6a+o+ para )e(er e( '-e()a: Alori)mo3 #3 %3 &3 $3
Se -bi'a la ra./ de a(ali/a(do la rai'a Se de+peja de ma(era: 4b)e(emo+ de +- derivada ` Re+olvie(do la de+i-aldad @# ≤ ' * ( x ) ≤ 1 ob)e(emo+ el ra(o de
valore+ e( lo+ '-ale+ e+)2 el p-()o ijo llamado R3 93 Co( R b-+'amo+ la ra./ e( e+ de'ir R Ja'ie(do i()era''i!( de la+ opera'io(e+ ##3
Un eje*plo:
E('o()rar la ra./3 6rimer de+peje: x =
[
ln ln ( x
x 2
+ 1 ) −e
x
ln x
2
−1
+ 10,2
]
43 0s'e dese%e es oco eDcien'e $a "ue se de!ora !uc8o en encon'rar la 'olerancia edida*
Se-(do de+peje 2
x + 1 x
(¿)−e
2
x −1
+ 10,2
ln ¿
¿ ¿ ¿
ln ¿
¿ ¿ x =e
44
Co( el +e-(do de+peje +e p-do evide('iar -e e+ m2+ r2pido H 'o(vere Ja+)a la )olera('ia pedida3
7" C#PITU$O III
7"!%ETODO J#COBI:
45 E+ -( m*)odo i()era')ivo -+ado pri('ipalme()e para re+olver +i+)ema+ de e'-a'io(e+ li(eale+ de )ipo Ab ##3 8a +-'e+i!( de 'o(+)r-He de+'ompo(ie(do la ma)ri/ del +i+)ema A e( la +i-ie()e orma: AD8U E( do(de: D Ma)ri/ diao(al 8Ma)ri/ )ria(-lar i(erior UMa)ri/ )ria(-lar +-perior Se p-ede epre+ar e+)e m*)odo a+.:
##
Un eje*plo: Re+olver el +i-ie()e +i+)ema de e'-a'io(e+ 'o( -(a )olera('ia de _#^#0@ i(i'iar la+ i)era'io(e+ 'o( 09 H H#3
( ( + ))−
sin ln
tan
−1
(
x x y
x 2
x + y
2
√ xy + 2,304790604
)
+ e− xy− 0,332730843
Ma)ri/ 7a'obia(a:
|
[ ( ) ][
cos ln
x
x + y
]
− x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )2
(
−1
1 y − y ( xy ) 2 x ( x + y ) 2
)
2
x +1 2 2 x + y
− y e− xy
[ ( )] [ ] −2 xy ( x 2+ y 2 )2
(
−1
−1 1 − x ( xy ) 2 x + y 2
x cos ln x + y
)
2
x +1 2 2 x + y
− x e− xy
|
46 #3 Se reali/a la )abla del m*)odo ja'obia(o primero +e Ja'e la ma)ri/ reempla/a(do lo+ valore+ de # H %
%3 Se Ja'e la i(ver+a de la ma)ri/ ja'obia(o +i( olvidar -e +e debe +ele''io(ar )oda+ la+ 'a+illa+ de la ma)ri/ H pre+io(ar la 'ombi(a'i!( de ctrl6s
&3 8-eo +e reempla/a lo+ valore+ de # H % e( 'ada -(a de la -('io(e+ H +e -bi'a( de a'-erdo a la imae(3
$3 8-eo +e Ja'e la m-l)ipli'a'i!( de la+ do+ ma)ri'e+ la ma)ri/ de la i(ver+a ja'obia(o 'o( la de la+ do+ -('io(e+ eval-ada+3
47 93 Co( lo+ valore+ -e +e Jallaro( e( el a()erior pa+o +e re+)a( 'ada -(o 'o( la+ de i)era'io(e+3
"3 5ermi(a(do la )abla +e Jalla la )olera('ia de 'ada 3
3 6ara i(ali/ar +e de+li/a 'ada do+ l.(ea+ Jori/o()ale+ para -e (o +e vea ae')ada la ma)ri/ H a+. de do+ e( do+ llear a la )olera('ia pedida por el ejer'i'io3
4+ Ejercicio Prop(esto:
Sol-'io(ar el +i-ie()e +i+)ema de e'-a'io(e+: i(i'ia(do 'o( 03=X H#39 'o( -(a )olera('ia de _#^#0 @"3
Derivada+ 'o( re+pe')o a : d f 1 dx
d f 2 dx
=
x
2
x (2 x + y )( √ x + y ) x ( x + y ) 2
x
2
2
2
2 2
=e ( y + x )
(
2
2
2
2
+
)
y − x y + ( x2 + y 2 )2 ( x + y )2
Derivada+ 'o( re+pe')o a H: d f 1 dy d f 2 dy
=
1 − xy − (2 x 2 + y 2)( √ x 2 + y 2) ( x + y )
=e
x 2 2 y + x
(
)
−2 xy − x ( x 2 + y 2)2 ( x + y )2
Ma)ri/ ja'obia(o:
4,
|
x
2
x (2 x 2+ y 2 )( √ x2 + y 2 ) x ( x + y ) x
e
2
2
( y + x 2)2
(
+
2
y − x 2
2
2 2
( x + y )
)
+
2
( x + y )
Ejercicio Prop(esto:
#l3orit*o:
x
y
|
1 − xy − ( 2 x2 + y 2 )( √ x 2 + y 2 ) ( x + y )
e
y
2
+ x2
(
)
−2 xy − x ( x 2 + y 2)2 ( x + y )2
5-
51
7",%9to&o &e 3a(ss ?sei&el: E+ -( m*)odo i)era)ivo -)ili/ado pri('ipalme()e para re+olver +i+)ema+ de e'-a'io(e+ li(eale+3 A-(-e e+)e m*)odo +e p-eda -)ili/ar para '-al-ier +i+)ema de e'-a'io(e+ li(eale+ -e prod-/'a -(a ma)ri/ la 'o(vere('ia del m*)odo +olo +e ara()i/a +i la ma)ri/ e+ diao(alme()e domi(a()e o +i e+ +im*)ri'a #%3 Alori)mo:
Un eje*plo: Re+olver el +i-ie()e +i+)ema de e'-a'io(e+3
1
1 2
2
−5
3
−2
−1 4 1 2 6
Comprobamo+: Fila #
52 | || |
|1|+
1 2
+
−1 4
=1 +
3 4
Fila %
||
|−5|+|2|+ 1 =5 + 5 2
2
Fila &
|6|+|−2|+|3|=6 + 5
De+pejamo+ la diao(al domi(a()e
53
=" C#PITU$O IV ="!Interpolaci)n: E+ la ob)e('i!( de (-evo+ p-()o+ par)ie(do pri('ipalme()e del 'o(o'imie()o de -( 'o(j-()o di+'re)o de p-()o+3 8a+ orma+ m2+ 'om-(e+ de i()erpola'i!( +o( 8i(eal H poli(!mi'a
="!"! Re3resi)n lineal:
#&
3
54 E+ -( m*)odo ma)em2)i'o -e modela la rela'i!( e()re -(a variable depe(die()e H H la+ variable+ i(depe(die()e+ Li H -( )*rmi(o alea)orio3 f ( x )
=
a0
+
a1 x
8a+ ma)ri'e+ H H +o(:
L
[]
[]
1 y 2 y 3 = . . . yn
1 X 1 1 X 2 1 X 3
.. .. 1 Xn
Un eje*plo:
-
y
15
16
2-
2-
25
34
3-
4-
4-
6-
".-/ 15-114+1 232-4-2 6 3117,74 67 3,+4-+3 47 613771,6
55 56-
+,22672 ,3 12-16-1 1252
56 Ma'ri) E
$<
16 234 46,12-
57
5+ 0ra1co 151-51-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
Coeiciente &e &eter*inaci)n:
No+ dei(e la 'alidad del aj-+)e e( )*rmi(o+ de probabilidad 0@# e+ de'ir (o+ mide la probabilidad de la variable depe(die()e 'o( re+pe')o a -(a i(depe(die()e #$ 3 Un Eje*plo: Deter*inar el coeiciente &e variaci)n:
#3 Como primer pa+o +e debe Ja'er -(a )abla 'o( lo+ da)o+ dado+ e( ejer'i'io3 2 -25 -75 125 15 2
3 9-45 9-6 -7 1++ 6
%3 Se aj-+)a -( poli(omio de rado & H +e +a'a la ma)ri/ 3
5,
6-
3* /ueo 8acer la !a'ri) ; 'ransues'a* Sin ol#idar seleccionar 'rlS8i'0n'er*
61
4* /ueo reali)ar la siuien'e r!ula ara 8allar a-a1a2a3*
aa1 a2 a3
5* /ueo se reali)a la 'ala*
9 --112+2 51 9 216,311 +1 1453553 36 -5663-, 12
62
6* or Fl'i!o se 8allan SS0 $ SS:*
63
A%us'e olino!ial 7 6
3
(;& < -*+,;G4 9 3*3+;G3 7*3;G2 9 5*4; -*4, @H < 1 $ ol$no!ial ($&
2
ol$no!ial ($&
5 4
A;is :i'le
1 -
91
-*5
1
1*5
2
2*5
A;is :i'le
=",Polino*io &e $a2ran3e: E( e+)a imae( +e m-e+)ra( para '-a)ro p-()o+ = 9 $ % # % = la i()erpola'i!( poli(!mi'a 'Pbi'a L x -e e+ la +-ma de la+ ba+e+ poli(!mi'a+ escaladas H0l 0 x H#l # x H%l % x H H&l & x 3 8a i()erpola'i!( poli(!mi'a pa+a ea')ame()e por lo+ '-a)ro p-()o+ llamado+ p-()o+ de 'o()rol H 'ada ba+e poli(!mi'a escalada pa+a por +- re+pe')ivo p-()o de 'o()rol H +e a(-la '-a(do #9 c orre+po(de a lo+ o)ro+ p-()o+ de 'o()rol
#9
64 El poli(omio i()erpola()e de lara(e vie(e dado por:
Q-e e( orma +implii'ada
Do(de
4n E5em"!o:
E('o()rar el poli(omio -e pa+e por i @% 0
>i 9 @% $
65
4olino!io laBranBe 6 4 2 94
92
-
92
2
4
6
+
1-
94 96 9+
E5ercicio "ro"uesto:
$ E( i(e(ier.a Jidr2-li'a el )amaKo de -( di-e depe(de de la e+)ima'i!( ea')a del l-jo de a-a e( el rio del '-al +e )oma3 E( al-(o+ r.o+ e+ di.'il ob)e(er rei+)ro+ Ji+)!ri'o+ de m-'Jo+ aKo+ a)r2+ de )ale+ l-jo+3 E( 'ambio da)o+ me)eorol!i'o+ +obre pre'ipi)a'i!( a me(-do +i e+)2( di+po(ible+3 6or lo )a()o 'o( re'-e('ia e+ P)il de)ermi(ar -(a rela'i!( e()re l-jo H pre'ipi)a'i!(3 E()o('e+ )al
66 rela'i!( +e -)ili/a para e+)imar lo+ l-jo+ de aKo+ a()eriore+ a-( '-a(do +olo +e )omaro( medi'io(e+ de pre'ipi)a'i!(3 6ara -( rio -e +e va a e('a-+ar a -( di-e +e m-e+)ra( lo+ +i-ie()e+ da)o+: 6re'ipi)a'i!( 3= #0#3" #0$3# #&=3 #&%3# =$ ##"3 #%#3= ==3# ;'m< Fl-jo
##$3
#%
#9%3=
%"=
%0"3$
#"#3$
#93
%&=
#&0
;M&+< Media()e -( aj-+)e poli(omial por m.(imo+ '-adrado+ e+'oja el rado del poli(omio -e mapee mejor lo+ da)o+ ob+ervado+ H -+e el poli(omio para e+)able'er el l-jo +i la pre'ipi)a'i!( e+ de ;#%0<3
$ 1147 172 152, 26, 2-64 1614 175+ 23, 13-
++, 1-16 1-41 13,7 1321 ,4 116+ 121, ,,1
#3 Se orde(a lo+ da)o+ dado+3 ;
$ ++, ,4 ,,1 1-16 1-41 116+ 121, 1321 13,7
1147 1614 13172 152, 175+ 23, 2-64 26,
%3 Se reali/a la )abla de lara(e empe/a(do por el primer (Pmero de la )abla -e e+ = +e +a'a el poli(omio de lara(e H 'ada -(o de lo+ 8( Ja+)a 8( Polino*io $a3ran3e: P ( x )=114,7 ln0 + 161,4 ln1+ 130ln 2+ 172ln3+ 152,9 ln4 + 175,8 ln5 + 239ln 6 + 206,4 ln7 + 269ln8
67 ln 0 =
( x − 94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) - . ( x −139,7 ) ( 88,9 −94 ) ( 88,9 −99,1 ) ( 88,9−101,6 ) - . (88,9 −139,7 )
ln 1=
( x −88,9 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) - . ( x −139,7 ) ( 94 −88,9 ) ( 94 −99,1 ) ( 94 −101,6 ) - . (94 −139,7 )
ln 2=
( x −88,9 ) ( x −94 ) ( x −101,6 ) ( x −104,1) - . ( x −139,7 ) ( 99,1 −88,9 ) ( 99,1−94 ) ( 99,1−101,6 ) - . (99,1− 139,7)
ln 3 =
( x −88,9 ) ( x −94 ) ( x − 99,1 ) ( x −104,1) - . ( x −139,7 ) ( 101,6 −88,9 ) ( 101,6−94 ) ( 101,6−99,1 ) - . (101,6 −139,7 )
ln 4=
ln5 =
( x −88,9 ) ( x −94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) ( x − 116,8 )- . ( x −139,7 ) (104,1 −88,9 ) ( 104,1−94 ) ( 104,1− 99,1 ) - . ( 104,1 −139,7 )
( x −88,9 ) ( x −94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) ( x −104,1 )- . ( x −139,7 ) ( 116,8 −88,9 ) (116,8− 94 ) ( 116,8 −99,1 ) -. ( 104,1−139,7 )
6+ ln6 =
( x − 88,9 ) ( x − 94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) ( x −104,1 )- . ( x −139,7 ) ( 121,9− 88,9 ) ( 121,9 −94 ) ( 121,9− 99,1 ) - . ( 121,9 −139,7 )
ln7 =
( x − 88,9 ) ( x − 94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) ( x −104,1 )- . ( x −139,7) ( 132,1− 88,9 ) ( 132,1 −94 ) ( 132,1−99,1 ) - . ( 132,1− 139,7)
ln8 =
( x − 88,9 ) ( x − 94 ) ( x −99,1 ) ( x −101,6 ) ( x −104,1 )- . ( x −132,1) (139,7 −88,9 ) ( 139,7 −94 ) ( 139,7 −99,1 ) - . ( 139,7−132,1 )
3* /ueo 8alla!os el olino!io a ar'ir de los an'eriores #alores 8allados*
4* Se su!a a la seunda casilla -1 $ se desla)an las casillas 8as'a 8allar el #alor "ue se ide en el e%ercicio es decir 12-*
6,
5* or Fl'i!o se 8ace la ráDca "ue !ues'ra la 'endencia de la uncin*
0ra1co 2--15-(;& < 9 -;G6 -*-1;G5 9 3*,3;G4 5,1*57;G3 9 4,+7-*3, ;G2 223-56 1*6,; 9 41354445*5, 1---@H < -*75 5-+-
,-
1--
11-
12-
13-
14-
95--
>" C#PITU$O V >"!
DERIV#CI@N NU%ARIC#: 8a dei(i'i!( de la derivada de -(a -('i!( 'omo -( l.mi)e lleva impl.'i)o -( m*)odo de aproima'i!( (-m*ri'a: 0 c J J DJX diremo+ -e e+)a Pl)ima 'a()idad e+ -(a derivada (-m*ri'a de 'o( pa+o J #" 3
15-
7%9to&o &e &ierencia pro3resiva:
4!5
Un eje*plo: ,allar la derivada de H rela)ivo e( L i pi$3
f ( x )= x∗tan
S( &eriva&a es:
−1
( )− x
2
e('o()rar +- error 2
ln ( x
+ 4)
(
x f ´ ( x )= A&an #l3orit*o: 2
f ´ ( x 0 )=
f ( x0 + " )− f ( x 0) "
!" 6rimero +e arma la )abla de diere('ia prore+iva 'o( el valor dado por el ejer'i'io Lipi$3
%3 8-eo Jallamo+ el valor real de la -('i!( para e+)o eval-amo+ Li e( la derivada3
71 &3 8-eo po(emo+ el pa+o 'omo 000# H reali/amo+ el alori)mo de e+)e m*)odo3
$3 6or Pl)imo Jallamo+ el error rela)ivo3
>"!"! %9to&o &e los tres p(ntos: E+ -( m*)odo e( el '-al aproima mejor la derivada Ha -e +e emplea( do+ pa+o+ r2i'ame()e #3 $=
$=
f ( x i + " ) −f ( x i− " )
( x i + " ) −( x i−" ) f ( x i + " ) −f ( x i− " ) 2"
Si J 0
x i m ¿ x * ( ¿ ¿ i )=
1 f ( x i + " )− f ( x i− " ) 2"
[
]
¿
f
Un eje*plo: ,allar la derivada de rela)ivo e( L i pi$3
f ( x )= x∗ tan
−1
( )− x
2
H e('o()rar +- error 2
ln ( x
+ 4)
72 Deriva&a &e la (nci)n &el ejercicio: −1
f ´ ( x )= tan
f ´ ( x 0 )=
() x
2
#l3orit*o
f ( x0 + " )− f ( x 0−" ) 2"
1* @eali)a!os 'ala de los 'res un'os ar'iendo del Xi dado or el enunciado*
2* Se 8alla el #alor real "ue es la deri#ada e#aluada en el Xi*
3* Se 8ace un aso de ---1 $ se reali)a el alori'!o del !I'odo de los 'res un'os*
4* or Fl'i!o se 8alla el error rela'i#o*
>",
Inte3raci)n n(*9rica:
73 Se 'o(+)i)-He de -(a ama de alori)mo+ -e aH-da a 'al'-lar el valor (-m*ri'o de -(a i()eral dei(ida H por 'o(+i-ie()e aH-da a re+olver e'-a'io(e+ diere('iale+ #3 b
∫ f ( x ) dx a
Veamo+ -(a r2i'a:
2 5e(emo+ -(a -('i!(: f ( x )= x Jallar el 2rea e()re #&
Valor real:
3
A
x
3
∫ X dx= 3 ( en&re 1 y 3 ) 2
1
1 3 ( 3 −13 ) = 23 3 3
>","! %9to&o &el trapecio: E+ -( m*)odo -e +e deriva de la i()era'i!( (-m*ri'a el '-al 'al'-la aproimadame()e el valor de -(a i()eral dei(ida3 Se ba+a e( aproimar el valor de la i()eral de por el de la -('i!( li(eal -e pa+a a)reve+ de lo+ p-()o+ aaH bb3 E+)a i()eral e+ i-al al 2rea del )rape'io bajo la r2i'a de la -('i!( li(eal #3
b
( )
∫ f ( x ) dx≈ (b −a ) f a +2f ( b ) a
El error 'orre+po(de a:
74 @
( b− a )3 12
f ( 2) ( . ) 'ie()o
-( (Pmero -e per)e(e'e al i()ervalo
Un eje*plo: M*)odo de i()era'i!( por )rape'io 10
S( &eriva&a:
∫ 1
#3
x
3
√ 9 x 2 +25
dx
6rimero +e reali/a la )abla de )rape'io do(de 'olo'amo+ lo+ l.mi)e+ de la i()eral H eval-amo+ 'o( lo+ l.mi)e+ el valor real -e e+ la derivada de +-('i!(3
%3 8-eo +e 'olo'a( el (Pmero de i()erale+ e( e+)e 'a+o -)ili/amo+ #0003 > reali/amo+ el pa+o3
&3 De+p-*+ +e Ja'e la )abla de i()erale+ e( do(de +e evalPa la i()eral3
$3 6ara +i-ie()e +e debe Ja'er la +i-ie()e orm-la H +e de+pla/a( )oda+ la+ 'elda+ Ja+)a llear a #03
75
93 Se Ja'e la i()eral 'o( la +i-ie()e orm-la3
"3 Se de+pla/a( la+ 'elda+ Ja+)a )ermi(ar )oda+ la+ i()erale+ e+ de'ir Ja+)a llear a #03
3 Se 'al'-la el alori)mo +-ma(do )oda+ la+ i(e)rale+ H +e +a'a el error rela)ivo3
76
>"7
Inte3raci)n n(*9rica co*p(esta:
E+ -(a orma ee')iva de aproimar -(a i()eral dei(ida -)ili/a(do ( )rape'io+3 Al orm-lar e+)e m*)odo +e +-po(e -e e+ 'o()i(-a H po+i)iva e( el i()ervalo ab3 8a i()eral repre+e()a el 2rea de la rei!( delimi)ada #=3
b
∫ f ( x) a
d
GRAFICA #=
Co( el ejemplo -e +e Ja ve(ido )rabaja(do ob+ervamo+: •
3
2
3
1
1
2
∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx 2
•
∫ x 1
2
dx =
( 2 −1 ) 2
( 2 + 1 )= 5 2
2
2
77 3
•
∫ x
2
dx =
2
( 3 −2 ) 2
( 3 + 2 ) = 13 / 13 + 5 = 2 2 2 2
2
Error rela)ivo:
[ ]
26 −9 3 x 100 =3,84 26 3
>"7"! Inte3raci)n *9to&o Si*pson: E+)e m*)odo )ambi*( Ja'e par)e -(dame()al de i()era'i!( (-m*ri'a ob)ie(e el valor aproimado de i()erale+ dei(ida+X e+pe'.i'ame()e e+ la aproima'i!( %03
8a -('i!( la de a/-l e+ aproimada por -(a -('i!( '-adr2)i'a projo3
>"7"!"!
%9to&o &e Si*pson n., "=
b −a 2
7+ A par)ir de lo+ )re+ p-()o+ amb3+e e(era -( poli(omio de 8aGra(e -e al i()erarlo +e ob)ie(e %03 b
∫ f ( x) a
≅
"
( f ( a )+ 4 f ( $) + f ( b ) )
3
Un eje*plo:
10
∫ 1
x
√ 9 x
3
2
+ 25
dx
#3 Se reali/a la )abla del m*)odo Simp+o( (% e( do(de Jallamo+ el valor real de la -('i!( a par)ir de +- derivada H e+)able'emo+ el (Pmero de i()erale+ 'omo #000 +eP( el proe+or3
%3 Se reali/a la !rm-la del pa+o J H +e divide e()re el (Pmero de i()*rale+3
&3 8-eo +e reali/a la )abla de i()erale+ empe/a(do por el (Pmero # H eval-a(do la -('i!(3 8-eo +e Ja'e la !rm-la para Jallar el +e-(do H lo+ +i-ie()e+ (Pmero+ de Li3
7, $3 6a+o +i-ie()e e( la i()eral 'omo e+ Simp+o( (% +e debe dejar do+ 'elda+ de e+pa'io H empe/ar e( la )er'era 'elda a Ja'er la i()eral l-eo +e deja( +olo -( e+pa'io e()re i()erale+3
93 8-eo +e de+pla/a( la+ 'elda+ Ja+)a llear al (Pmero de i#0
"3 8-eo +e Ja'e el alori)mo 'o( la +-ma de la+ i()erale+ H el error rela)ivo 'o( la orm-la3
+-
>"7"!",
%9to&o &e Si*pson n.7 A par)ir de $ da)o+ i0X ##X %%X &&X Se e(er! -( poli(omio de 8aGra(e -e el I()erarlo3 b −a "= 2
x 3
∫ f ( x ) dx x 0
≅
3" f ( x 0 )+ 3 f ( x 1 )+ 3 f ( x 2 ) + f ( x 3 ) 8
(
)
+1 Un eje*plo: 10
∫ 1
x
3
√ 9 x + 25 2
dx
#3 Se reali/a la )abla del m*)odo Simp+o( (& e( do(de Jallamo+ el valor real de la -('i!( a par)ir de +- derivada H e+)able'emo+ el (Pmero de i()erale+ 'omo #000 +eP( el proe+or3
%3 Se reali/a la !rm-la del pa+o J H +e divide e()re el (Pmero de i()*rale+3
&3 8-eo +e reali/a la )abla de i()erale+ empe/a(do por el (Pmero # H eval-a(do la -('i!(3 8-eo +e Ja'e la !rm-la para Jallar el +e-(do H lo+ +i-ie()e+ (Pmero+ de Li3
+2 $3 6a+o +i-ie()e e( la i()eral 'omo e+ Simp+o( (& +e debe dejar )re+ 'elda+ de e+pa'io H empe/ar e( la )er'era 'elda a Ja'er la i()eral l-eo +e deja( do+ e+pa'io+ e()re i()erale+3
93 8-eo +e de+pla/a( la+ 'elda+ Ja+)a llear al (Pmero de i#0
"3 8-eo +e Ja'e el alori)mo 'o( la +-ma de la+ i()erale+ H el error rela)ivo 'o( la orm-la3
+3
+4 >"=
Ec(aciones &ierenciales:
E( el '-r+o +e a(ali/a la +ol-'i!( de problema+ por aproima'i!( (-m*ri'a lo+ m*)odo+ +e Ja'e( releva()e+ e impor)a()e+ '-a(do e'-a'io(e+ diere('iale+ +o( m-H 'ompli'ada+ de re+olver por m*)odo+ a(al.)i'o+ %#3
>"="! %9to&o &e R(n3e;(tta: E+)o+ m*)odo+ de -))a +o( -( 'o(j-()o de m*)odo+ e(*ri'o+ i)era)ivo+ epl.'i)o+ e impl.'i)o+ de re+ol-'i!( (-m*ri'a de e'-a'io(e+ diere('iale+3 Ejemplo: E+-ema R-(e@-))a de do+ e)apa+ -(a e( ))( H o)ra e( & =&n + 0&n∗f ( & , y ( & ) ) e( la primera e)apa e('o()ramo+: fn = 1 1 = f ( &n,yn )
6ara e+)imar f ( & , y ) en & =&n+ 0&n +e -+a -( e+-ema de E-ler
%#
3
M*)odo de R-(e@-))a de '-ar)o orde(: Dei(ie(do -( problema de valor i(i'ial 'omo: y = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = y 0 *
El m*)odo de R-(e@-))a para e+)e problema e+)2 dado por la +i-ie()e e'-a'i!(: 1 1= f ( x i, y 1) 1 2
1 2
x i , + " , y i + 1 1 " 1 2
¿
1 2
x i , + " , y i + 1 2 "
¿ ¿
x i , + " , y i + 1 3 " 1 2 =f ¿ y
1 6
i+ 1= y i + " ( 1 1+ 2 1 2+2 1 3+ 1 4)−/
%#
¿
+5 6romedia(do la+ '-a)ro pe(die()e+ +e le a+i(a maHor pe+o a la+ pe(die()e+ e( el p-()o medio:
6e(die()e
1 1+ 2 1 2+ 2 1 3+ 1 4 6
Un eje*plo
Se Ja'e R-(e -))a de orde( $3
#l3orit*o 3eneral: 1 1 + 2 1 2 + 2 1 3 + 1 4 1 6
2 i+1=2 i+ ¿
Don&e: 1 1= " ( 2 i ,& i) 1 2= " ( 2 i +
1 3 =" ( 2 i +
1 1 2
1 2 2
" , & i + ) 2
" , & i + ) 2
1 4=" ( 2 i + 1 3 ,& i+ " )
#3 De)ermi(amo+ pa+o b l.mi)e +-perior H a l.mi)e i(erior3 b −a "= 3
E( e+)e 'a+o N#0
"=
2 −0 =0,2 10
%3 E+)able'emo+ la e'-a'i!( de la -('i!( diere('ial3 2 ( 2 i , & i ) =2 i −& i + 1 &3 Co(di'io(e+ i(i'iale+:
+6 & 0=0 2 0= 0,5
$3 Alori)mo para #%&$ 2 1 1= 0,2 ( 0,5−0 + 1 ) =0,3
[( [(
)−(( ) + )]= )−(( − ) + )]=
0,3 1 2= 0,2 0,5 − 2
0,328 1 3 =0,2 0,5 − 2
0,2 0− 2
0
2
0,2 2
1
0,328
2
1
0,3308
(0,5 + 0,3308 )−(0 −0,2)2 + 1 1 4 =0,2 [ ¿ ] =0,35816 93 Alori)mo e(eral para )0% 0,3 + 2 ( 0,328 ) + 2 ( 0,3308 ) + 0,35816= 0,82929333 1 6
2 i +1=2 0 + ¿
"3 ,allar el valor real3 2 0,2 y =( 0,2 + 1 ) − 0,5 e y =0,8292986209
3 Error rela)ivo3 Error re4a&i5o =
E( E'el:
5r − 5aprox −4 6 100= 6,37 6 10 5r
+7
++
" CONC$USIONES Se p-ede 'o('l-ir -e -)ili/a(do el prorama ELCE8 +e de+arrolla( Jabilidade+ para poder +ol-'io(ar problema+ 'omplejo+ H poder darle+ -(a +ol-'i!( aproimada Ha -e (o +e p-ede dar -(a ea')i)-d )o)al3 Cada m*)odo +e de+arrolla +eP( el problema a a(ali/ar H al-(o+ m*)odo+ +o( m2+ ee')ivo+ H r2pido+ -e o)ro+ pero e+ b-e(o )e(er el 'o(o'imie()o de )odo+ H +aber '!mo -)ili/arlo+ +i( )e(er (i(P( problema3 E+)a 'la+e de m*)odo+ (-m*ri'o+ deja -(a ra( e(+eKa(/a Ha -e podemo+ -)ili/ar !rm-la+ de E'el para (o )e(er -e Ja'er '2l'-lo+ pe-eKo+ +i(o -( '2l'-lo e( 'o(j-()o H Ja'er de orma r2pido el '2l'-lo de aproima'io(e+3
+,
" BIB$IO2R#I# #
Imae( ;Ea')i)-d H pre'i+i!(< )omado de: J))p:OOO3'ale)e'3'omblo"+imaea')i)-d@pre'i+io(@H@+e+o@de@lo+@+i+)ema+@ de@medida #
Co('ep)o+ b2+i'o+ de pre'i+i!( H ea')i)-d )omada de: J))p+:+i)e+3oole3'om+i)eme)(-mvm'-(idad@i@%#@%@#@%@'o('ep)o+@ba+i'o+@ 'ira@+i(ii'a)iva@pre'i+io(@ea')i)-d@i('er)id-mbre@H@+e+o %
Error alea)orio H +i+)em2)i'o )omado de: J))p+:e+3+'ribd3'omdo'9#990&Error@Alea)orio@H@Si+)ema)i'o &
Dep-ra'i!( de da)o+ e+)ad.+)i'o+ )omado de J))p+:dial(e)3-(irioja3e++ervle)ar)i'-loZ'odio"=&" $
Di+)rib-'i!( 5 +)-de() )omado de: J))p:e+3+lide+Jare3(e))orima)'ordovadi+)rib-'io(@)@de@+)-de()@%9$900$ 9
NES54R ,A-delo d3 I(e(iero %0#"3 Do'-me()o per+o(al mae+)ro U(idad %3 1oo)2 D3C3 "
Serie+ 5aHlor )omado de: J))p+:e+3Oiipedia3orOiiSeriefdef5aHlor
NES54R ,A-delo d3 I(e(iero %0#"3 Do'-me()o per+o(al mae+)ro U(idad %3 1oo)2 D3C3
NES54R ,A-delo d3 I(e(iero %0#"3 Do'-me()o per+o(al mae+)ro U(idad %3 1oo)2 D3C3 =
NES54R ,A-delo d3 I(e(iero %0#"3 Do'-me()o per+o(al mae+)ro U(idad &3 1oo)2 D3C3me()o proe+or3 #0
NES54R ,A-delo d3 I(e(iero %0#"3 Do'-me()o per+o(al mae+)ro U(idad &3 1oo)2 D3C3