Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el el número .de columnas y filas del cuadrado mágico
Se cuenta que el primer cuadrado mágico fue fue encontrado en la antigua antigua Cina en el siglo !" antes de Cristo. #l mito se$ala que ace unos %&'' a$os en un lugar de Cina, el emperador Yu a()a a()a decidido acer ciertas ofrendas a los dioses para calmar su ira. *a istoria era que el r)o Lo +)o -marillo se a()a des(ordado, lo que causó grandes destrozos y gran mortandad entre sus sú(ditos. Con el fin de amortiguar la furia divina, el emperador ofreció / animales a los 0ioses. #l altar esta(a unto al r)o, y de a) salió una tortuga sagrada, se acercó a los tres animales sacrificados y regresó al r)o. #ra evidente que a los dioses no les complac)a la ofrenda. -s) que el emperador 2u izo izo sacrificar otro animal. *a tortuga volvió a salir, pero tam(i3n se retiró. 45u3 número de animales agradar)a a los l os 0ioses6. 7a()a entre los paes del emperador un oven muy avispado, que dio a(er visto en el caparazón de la tortuga unos signos como cuentas o puntos agrupados. !nmediatamente los escri(ió en la tierra t ierra y pudo verse el siguiente di(uo8
9e -stronomical :enomena +9ien 2uan ;a !!!, edición de la 0inast)a ?ing, 1%@AB1%/.
#quivale a la disposición num3rica de un cuadrado mágico de /D/. #l emperador 2u situado frente al di(uo o(servó algo asom(roso, los nueve primeros números del mundo, sumados en cualquier dirección, vertical, orizontal y diagonal suma(an quince. -s) supieron que el número de animales que de()an sacrificarse a los dioses era quince. #ste cuadrado mágico cino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu +#l +#l li(ro del r)o *o, y tiene otras propiedades importantes. :or eemplo, en las cuatro esquinas están los números pares +2in, y los números impares +2ang +2a ng forman una cruz central. #l número @, que está en el centro, sim(oliza la 9ierra, y los otros cuatro elementos del universo oriental se representan por las pareas adyacentes8 los metales +% y E, el fuego +& y A, el agua +1 y y la madera +/ y F.
Gtra leyenda Cuenta otra leyenda que el emperador 2u lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del r)o -marillo y que mandó copiarlo en una ta(lilla de (arro inmediatamente. 0esde entonces, se le atri(uyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que serv)an en la astrolog)a y en la predicción del futuro. :ara los cinos los números pares representan el HyinH, el principio femenino del universo, y los números impares representan el HyangH, el principio masculino. #n el cuadrado mágico HloBsuH am(os principios se encuentran armoniosamente distri(uidos y se complementan de manera natural.
-s), como recoge Cornelius -grippa en De oculta philosophia libri tres +1@//, el cuadrado de orden / +1@ esta(a consagrado a Saturno, el de % +/% a Iúpiter, el de @ +@ a ?arte, el del +111 al Sol, el del A +1A@ a "enus, el del F +&' a ?ercurio y el de E +/E a la *unaJ id3ntica atri(ución puede encontrarse en la .astrolog)a indú
Cuadrado de orden / Cuadrado de orden %
Cuadrado de orden @ Cuadrado de orden
!gualmente conocieron com(inaciones de esta clase los indios, egipcios, ára(es y griegos. - tales cuadrados, las diferentes culturas les an atri(uido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas gra(ándose con frecuencia en talismanes #n Kaurao +Lndia un templo construido entre los siglos >! y >!! tiene un pilar rodeado por una cuadr)cula con un cuadrado mágico de orden % el cual ser)a 8equivalente Mtraduciendo los caracteresB a la siguiente imagen
Como se puede o(servar fácilmente, todas sus filas, columnas y diagonales suman /%. :ero además, sus diagonales Nque(radasO +las l)neas imaginarias trazadas desde cada número de la primera fila, sus esquinas, sus cuatreo cuadrantes y el cuadrado central tam(i3n suman /%. Sin duda, un tra(ao .impresionante de algún matemático indú
*os matemáticos ára(es descu(rieron los cuadrados mágicos por contacto con esta tradición indú y tam(i3n se sintieron fascinados por sus caracter)sticas y, pro(a(lemente los difundieron por Gccidente durante la #dad ?edia. #l casillero de este cuadrado mágico ára(e está formado por las letras de la pala(ra -lP. 9odas sus filas, columnas y diagonales suman , cifra que en el !slam corresponde al valor num3rico de -lP.
!magen del cuadrado magico de -la
9raduccion a digitos modernos
.Cuadrado ?ágico -ritm3tico Son un conunto de números iguales o diferentes colocados en las casillas de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la .suma es denominado Contante del Cuadrado
#l cuadrado magico de 0urero
.Cuadrados *atinos Son un conunto de s)m(olos dispuestos en las casillas de tal manera que cada s)m(olo .aparezca una sola vez en cada fila y columna
+
+
=
=
.*os cuadrados grecolatinos Son el resultado de la com(inación de dos cuadrados latinos de modo que cada s)m(olo del primero se com(ine con cada s)m(olo del segundo una y sólo una vez
.9a(leros ?ágicos 0on ici, a finales del siglo >> estudio los cuadrados mágicos aritm3ticos y encontró que para una misma constante del cuadrado se pod)an encontrar infinitas posi(ilidades, formada no sólo con números naturales, sino con enteros, fracciones, números racionales, etc. :ero tam(i3n encontró que se pueden realizar cuadrados mágicos multiplicando las cantidadesJ estos para diferenciarlos de los cuadrados mágicos aritm3ticos los denominó ta(leros mágicos
*os SudoQu #l sudoQu es un uego de moda (asado en cálculos matemáticos, el sudoQu clásico está compuesto por nueve filas y nueve columnas, y a su vez está dividido en nueve celdas de tres por tres. 0entro de cada celda ay colocados algunos d)gitos gu)a, y falta completar con los d)gitos del 1 al EJ con la única condición de que en toda la malla no se repita en fila o columna un número. *a propiedad (ásica del sudoQu clásico es que las filas y columnas suman una constante +1R&R/R .RET%@, no as) las diagonales
Cuadrados ?ágicos -ritm3ticos Son cuadrados mágicos aritm3ticos un conunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enreado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número . de casillas de una fila o columna es el Grden del Cuadrado
9radicionalmente se les impon)a a los cuadrados mágicos aritm3ticos una condición etra, los números de()an ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas com(inaciones se les conoce como Cuadrados ?ágicos -ritm3ticos #sot3ricos, y se les atri(u)an propiedades mágicas. :or eemplo, en el enacimiento, los m3dicos y astrólogos de la 3poca receta(an cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terap3uticos, como una forma de que los pacientes auyentaran la melancol)a y el a(urrimiento +Claro que esto sólo serv)a a las clases altas que sa()an leer y escri(ir, y que esta(an a(urridas de ver tra(aar a los siervosJ el po(re que de()a tra(aar para comer y que era analfa(eta no ten)a tiempo para estos uegos de solitarios. -qu) está el origen del gra(ado de la N?elancol)aO del alemán -l(erto 0urero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la o(ra indicando incluso el a$o de la misma 1@1%. Se tiene que sólo eiste un cuadrado esot3rico de orden tres, en 1E/ ;renicle 0e =essy esta(leció que eisten FF' cuadrados mágicos esot3ricos de orden cuatro, ay &A@./'@.&&% com(inaciones posi(les para el orden cinco, para ordenes mayores sólo eisten estimaciones, as) que si a()a eercicio mental en encontrar tantas posi(ilidades para el orden cuatro como suer)an los m3dicos de la epoca.
*os cuadrados aritm3ticos esot3ricos reci(en el nom(re de Cuadrados dia(ólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales que(radas suman el número mágico. #l cuadrado mágico de 0urero a sido clasificado en esta categor)a en virtud de que aparecen mucas com(inaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición etra para realmente ser considerado dia(ólico. 9am(i3n suele ser llamado cuadrado dia(ólico o satánico el cuadrado esot3rico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al / tiene por resultado , número asociado a la (estia +Satanás o el anticristo en el *i(ro de las evelaciones.
8:ara ver la continuacion del articulo ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV
*os Cuadrados ?ágicos #l cuadrado ?ágico de 0urero #l cuadrado mágico de -l(erto 0urero, tallado en su o(ra Melancolía está considerado el primero de las artes europeas. #n el cuadrado de orden cuatro se o(tiene la constante mágica +/% en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro su(matrices de orden & en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas +o columnas primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1@1% el a$o de .eecución de la o(ra
#n el cuadro magico de 0urero ay @& formas de completar la suma de /%
:ara resolver cuadrados mágicos de orden par, seguiremos los siguientes pasos, que son muco más fáciles de aplicar de lo que puede parecer en un primer momento8 Utilizar3, en primero lugar, un cuadrado de orden %, que es el menor de los de orden par, para aclararlo meor. X 1. Comenzaremos por situar el número 1 +o la 1Y cifra de la serie en el etremo superior izquierda y entonces escri(iremos, desplazándonos de izquierda a dereca, sólo las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.
&. -ora nos situaremos en la primera casilla inferior dereca en (lanco, vecina de la del etremo, dónde pondremos el número & +o la &Y cifra de la serie e iremos desplazándonos acia arri(a y en sentido de dereca a izquierda para ir completando, en estricto orden, las casillas que faltan, es decir, las que forman los interiores de las diagonales principales y las dos casillas eteriores de las filas centrales. #s decir, pondremos el & e iremos contando de uno en uno asta llegar a una de las casillas mencionadas, entonces escri(imos esta cifra y las seguimos enumerando, si se aca(a una fila su(imos a la anterior y cam(iamos de sentido +zigzag, asta llegar al etremo superior izquierda. 0e eco, como se puede o(servar, el cuadrado mágico de orden % ya a quedado completamente resuelto.
Una peque$a refleión, llegado este punto, si comparamos este cuadrado con el de 0Zrer, podemos compro(ar que son completamente sim3tricos, de eco si aplicamos el m3todo situando la cifra 1 en el etremo inferior dereco y lo acemos todo a la inversa [[o(tendremos el cuadrado mágico de 0Zrer\\
4#s, por tanto, tan especial como piensan algunos6
*a introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atri(uye a #manuel ?oscopoulos en torno al siglo >!", autor de un manuscrito en el que por vez primera se eplican algunos m3todos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter cient)fico, atrao la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto o(ras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. #ntre ellos ca(e citar a Stifel, ;ermat, :ascal, *ei(nitz, ;renicle, =acet, *a 7ire, Saurin, #uler,... dir)ase que ningún matemático ilustre a podido escapar a su ecizo.
#l Criptograma de ]aud) Uno de los cuadrados mágicos de orden cuatro que llama poderosamente la atención del transeúnte es el cuadrado incorporado en la facada de la :asión de Cristo en el 9emplo de la Sagrada ;amilia, en =arcelona, o(ra del arquitecto espa$ol -ntonio ]aud). #l cuadrado se encuentra unto al grupo escultórico N#l (eso de IudasO y la constante mágica de este cuadrado es //, la edad de Iesucristo. :ara lograr ello +ya que la contante del cuadrado esot3rico de orden cuatro es treinta y cuatro se requirió modificar dos de los números de la serie natural, quedando el 1& convertido en 1' y el 1 en 1%, creando repeticiones en la serie y as) poder disminuir el /% natural a //. Si (ien no se trata de un cuadrado esot3rico, sino un aritm3tico cualquiera, lo interesante es que al igual que el cuadrado de 0urero aparecen com(inaciones de cuatro números que siguen formando la constante mágica. -lgunos se$alan incluso que este número se refiere tam(i3n a los grados dentro de la Grden de los ?asones
.0istintas formas de completar la cifra // en el cuadrado magico de la Sagrada ;amilia
#l cuadrado de =enamin ;ranQlin =enamin ;ranQlin, uno de los grandes próceres del proceso de !ndependencia de los #stados Unidos y uno de los autores de la Constitución ^orteamericana, recordado pol)tico e inventor norteamericano del pararrayos y de un tipo de lentes (ifocales, se divert)a con un pasatiempo matemático similar al moderno SudoQu, retando a sus amigos a que descu(rieran cómo lo a()a ela(orado, algo que era tan dif)cil, que su creador escri(ió con orgullo a su amigo Ion
-unque el propio autor reconoce que empezó a ela(orar Ncuadrados mágicosO inspirado por un li(ro franc3s, con el fin de superar a los matemáticos galos en este arte, pero despu3s en su diario se lamenta(a de a(er perdido el tiempo en una ocupación Nque no sería de utilidad ni para sí mismo ni para los demás .O #l cuadrado mágico en cuestión, cumple con la regla de las sumas de las filas y de las columnas, siendo la constante del cuadrado &'J pero no cumple con la regla de la suma de las diagonales principales.
:ero tiene otras propiedades, si se divide el cuadrado en cuatro partes iguales, cada una de las filas y columnas de cada su(cuadrado suman 1/'.
*os cuatro números de una diagonal que su(e más los cuatro número de la diagonal respectiva que (aa suman &'
*a suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de & & es 1/'.
*os cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman &'.
*os Cuadrados ?ágicos de -gripa Enrique Cornelio Agrippa +1%FB1@/@ fue un mago alemán, en su o(ra “De oculta Philosophia“ , dividida en tres li(ros8 ?agia ^atural +;)sica, ?agia Celeste +?atemáticas y ?agia Ceremonial +9eolog)a involucró los siete planetas conocidos con siete cuadrados mágicos, descri(iendo las virtudes mágicas de los siete cuadrados mágicos de órdenes / a E asociado a cada uno .de los planetas astrológicos Cuadrado mágico de Saturno.B 1 #s de orden / y utiliza todos los números de 1 a E. *a constante mágica es el 1@ y la suma de todos los números de cuadrado es de %@. #l quince y el cuarenta y cinco son triangulares números. *os colores aplicados a este cuadrado son el (lanco para los números y negro para la fondo, siendo el metal asociados a .Saturno el plomo, su color oscuro lo asocia a la muerte y el fin
Cuadrado mágico de Iúpiter .B & #l cuadrado de Iúpiter es de orden %. *a constante mágica es de /% _& 1A T /%` el producto del dos , primer número femenino y el diecisiete, un número primo masculino. *a suma de todos los números del cuadrado es 1/. *os colores de las letras son el narana para los números y el azul para el fondo, el metal es el .esta$o por su color azulado que lo vincula al cielo Cuadrado mágico de ?arte.B / #l cuadrado del planeta ?arte es de orden @, su constante mágica es @, número producto de @ y 1/, dos números importantes en sim(olog)a +el cinco es el número del om(re y el trece es el número de la carta de la muerte. *os colores son el verde para los números y el roo para .el fondo, y su metal es el ierro
Cuadrado mágico del Sol.B % -gripa dice que el cuadro del Sol es un cuadrado , con treinta y seis números. Cada columna vertical, fila orizontal o diagonal principal suman 111, y la suma de todos los números de cuadrado es , el número de la =estia en -pocalipsis. *os colores son violeta o magenta para los números y amarillo
Cuadrado mágico de "enus.B @ "enus cuadrado es de orden A, su constante mágica es de 1A@. *os colores de la ta(la son8 el amarillo limón para los números y de color verde oscuro para el fondo, siendo el .metal de "enus el (ronce Cuadrado mágico de ?ercurio.B ?ercurio cuadrado es de orden F, su constante mágica es &', la suma de todos los números de cuadrado es &'F'. *os colores son el claro azul para los números y narana para el fondo. #l metal de mercurio es el mercurio, único metal l)quido a .temperatura am(iente
Cuadrado mágico de la *una.B A *una cuadrado es de orden E, su constante mágica es /E, números formados por /D1, /D&, /D/. *os colores son opuestos a los colores del Sol, amarillo para los números y morado o magenta para el fondo. #l metal de la *una es la plata
HCuadrado ?ágico Hen un ta(lero de aedrez #ste cuadrado mágico de orden F, está formado por los números del 1 al %. 9iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a &', pero tam(i3n lo es la suma de sus cuatro esquinas con los cuatro números centrales. *a suma total de las casillas (lancas y negras es id3ntica, las fuerzas se mantienen .equili(radas, e igual a 1'%'
#l pro(lema del ca(allo *eonard #uler, nacido el 1@ de a(ril 1A'A, en los alrededores de =asilea +Suiza, a sido considerado uno de los matemáticos más prol)fico, su o(ra se aproima al millar de t)tulos, incluidos li(ros y art)culos. Se an recopilado F tra(aos suyos, dentro de los cuales eisten aportaciones directas en matemáticas, astronom)a, náutica, arquitectura, artiller)a, música y filosof)a. #n el siglo >!> #uler se planteó y resolvió 8el Npro(lema del movimiento del ca(alloO que dice as)
-ndar con el ca(allo por todas las casillas del ta(lero de aedrez sin estar dos veces en .ninguna de ellas
*a solución del pro(lema, dio dos respuestas a dos pro(lemas distintos, el primero ya plantadoJ y el segundo es que el resultado es una solución a un cuadrado mágico aritm3tico esot3rico de orden oco y de contante &'J Como curiosidad etra el cuadrado resultante al ser dividido en cuatro cuadrados iguales, estos su(cuadrados de orden cuatro todos tienen contante del cuadrado igual a 1/'
Cuadrados ?ágicos *os cuadrados mágicos son cuadrados formados por letras, s)m(olos o números dispuestos de un modo particular y que antiguamente les atri(u)an propiedades mágicas. #isten mucos 8 tipos de cuadrados mágicos, entre ellos tenemos los siguientes .Cuadrados de figuras con reglas especificas .B 1 0estaca en este caso el antiguo pro(lema de ]auss de determinar de cuántas maneras es posi(le colocar oco reinas en un ta(lero de aedrez de tal manera que ninguna pueda atacar a la otra. *a .respuesta es que ay E& formas posi(les
7ay cuadrados mágicos que pueden tener la nota(le propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior de orden inferior, por tanto, son cuadrados mágicos do(les. !ncluso se pueden construir algunos que contienen sucesivos cuadrados mágicos en su interior en capas conc3ntricas. -qu) os propongo un eemplo de cuadrado mágico do(le de orden @ que contiene en su interior otro de orden /. *a suma de las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico de orden @ es igual a A@, mientras que las del cuadrado menor de orden / es igual a %@.
Como armar un cuadrado magico de orden @ #l m3todo (ásico consiste en a$adir lateralmente a los cuatro lados series virtuales de casillas, de forma triangular, de manera que nos quede la figura de un rom(o. Paso n!mero "# #ntonces, y comenzando desde el etremo superior, situaremos todas las cifras Ma partir del 1B siguiendo sólo las diagonales alternas formadas en el rom(o, o(servad que quedan, por tanto, l)neas diagonales y casillas interiores del cuadrado en (lanco. Paso n!mero $# #l cuadrado mágico se completa situando los números que an quedado en las casillas NvirtualesO eteriores del cuadrado, en las casillas interiores en (lanco, siguiendo primero una simetr)a orizontal, las del triángulo superior pasan a completar la parte inferior, como si lo recortásemos y lo pegásemos sin girarlo y las del triángulo inferior en la parte superiorJ y una simetr)a vertical, las de la parte eterior dereca en la interior izquierda y al rev3s. Paso n!mero %# #sta imagen ilustra claramente este procedimiento8
H#l HCuadrado ?ágico 0ivino #ste cuadrado mágico de orden 1' + , está formado por los 1'' primeros números pares. 9iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 1'1' +03uB03u. :or cierto, el número 1'1' en sistema (inario es igual al 1' en sistema decimal\\ 1'1'& T 1'1'
#strellas magicas
-ny magic star can (e made into anoter magic star (y complementing eac num(er of te original star in turn. 9is is done (y su(tracting eac num(er from n R 1. !n te case of te orderB star, Wic uses te num(ers 1 to 1&, you su(tract eac num(er from 1/ to o(tain te neW num(er.
ttp8VVWWW.reocities.comVbarveyVmagicstar
?agic Circles
” Cuadrado Sator N
Con la epresión cuadrado Sator se indica una estructura con forma de cuadrado mágico compuesta por cinco pala(ras latinas8 S-9G, -#:G, 9#^#9, G:#-, G9-S, que, consideradas en conunto +de izquierda a dereca o de arri(a a(ao, dan lugar a un pal)ndromo. -l disponer las pala(ras en una matriz cuadrada, se o(tiene una estructura que recuerda la de los cuadrados mágicos de tipo num3rico. *as cinco pala(ras se repiten si son le)das de izquierda a dereca o de dereca a izquierda, o (ien, de arri(a a(ao o de a(ao acia arri(a. #n el centro del cuadrado la pala(ra 9#^#9 forma una cruz.
Square in St. :eter ad Gratorium. .#l cuadrado de Sator en Gppde
#l enigma del significado esulta dif)cil esta(lecer con certeza el significado literal de la frase compuesta por esas cinco pala(ras, ya que el t3rmino -#:G no eiste, estrictamente, en la lengua latina. -lgunas coneturas so(re esa pala(ra llevan a una traducción, con sentido poco claro, como el sem(rador, con su carro, mantiene con destreza las ruedas #l curioso cuadrado mágico es visi(le en un número (astante amplio de allazgos arqueológicos esparcidos por varias partes de #uropa. Se an encontrado en ruinas romanas de Cirencester +la antigua Corinium en !nglaterra, en el castillo de ocemaure, en Gppde, en Siena +pared de la catedral, en la a(ad)a de Collepardo, Santiago de Compostela, etc. - veces las cinco pala(ras se encuentran dispuestas .en forma radial, como en la -(ad)a de "alvisciolo en Sermoneta #l eemplo más antiguo y c3le(re es el de las ecavaciones de :ompeya y fue allado en el a$o 1E&@. #s una incisión en una columna del gran gimnasio8 tuvo gran importancia en los estudios que se an realizado so(re la istoria del cuadrado. #l eco de que el cuadrado sator se encontro en :ompeya indica que este cuadrado no tiene nada que ver con la cristiandad, como algunos investigadores lo eplican
:entacolo di Saturno derivato dal S-9G
; .
-
-
,
B
,
!
derivazione e(raica dal S-9G + !l cele(re esoterista Samuel *iddel ?ac]regor ?aters +1F@%B1E1F, foto a lato, uno tra i massimi esponenti dellGrdine del ]olden 0aWn, si sofferma a lungo sul quadrato del S-9G nella sua traduzione e riedizione di un antico manoscritto e(raico conservato presso la =i(liotque de l-rsenal a :arigi, H9e Sacred ?agic of -(ramelin te ?ageH, del 1%@F. ?ac]regor ?aters afferma ce il S-9G uno dei pentacoli della ciave di Salomone. #sso va tracciato sostituendo alle lettere latine quelle corrispondenti nellalfa(eto e(raico, il tutto va poi inserito in un doppio cercio, allinterno del quale va iscritto il seguente versetto del Salmo *>>!!, F8 !l suo dominio sarP dalluno allaltro mare, e dalle acque fino ai confini del mondo. 5uesto versetto, nelledizione originale e(raica, si compone esattamente di &@ lettere come quelle del quadrato magico. !l pentacolo in questione, riprodotto in fig. &, tratto da unaltra opera di ?ac]regor ?aters, H9e ]reater Key of SolomonH, ricavata da alcuni manoscritti antici conservati, stavolta, al =ritis ?useum di *ondra. 9ornando al li(ro di -(ramelin, invece, lautore riporta un cospicuo numero di altri quadrati magici Hca(alisticiH, tra i quali uno particolarmente simile +li(ro terzo, capitolo >!>, pentacolo E, v. fig. /)
"#$%&$%' ($$*(' %& &$/0*1 0* 2$3'4 %0&5$%' %0* (#$%&$%' 6$'&
ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiVCuadradohmC/-1gico ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiV-l(ertoh0urero ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV ttp8VVarescronida.Wordpress.comV&''EV'AV ttp8VVWWW.reocities.comVbarveyVmagicstarh&.tm ttp8VVWWW.trump.deVmagicBsquaresVmagicBcu(esVcu(esB1.tml ttp8VVWWW.trump.deVmagicBsquaresV ttp8VVen.WiQipedia.orgVWiQiVSatorhSquare ttp8VVes.WiQipedia.orgVWiQiV:ro(lemahdehlashocohreinas ttp8VVe.WiQipedia.jk k j ttp8VVWWW.notes.co.ilVsaQalV&/%@&.asp ttp8VVmatWorld.Wolfram.comV?agicSquare.tml ttp8VVWWW.artype.deVquadrateVinde.tml soluciones de las oco reinas ttp8VVWWW.grogono.comVmagicVindividual.pp
