Cuadriláteros y Circunferencia

3 456 a

M

78

9

0

2

1

Tutorial MT-m8

Matemática 2006

Tutorial Nivel Medio Cuadriláteros y circunferencia

Tutorial Tutorial

Cuadriláteros y circunferencia Marco Teórico 1. Elementos de la circunferencia y del círculo: O: centro de la circunferencia. OC : radio

E L

A

B

F O

AB : cuerda

α

D

EC : diámetro L1

L : secante L1

: tangente ( OC ⊥ CG )

C

G

EF : sagita ⇒ F punto medio de AB, EO ⊥ AB y si AB es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia ⇒ FO apotema.

CD : arco de la circunferencia ( siempre se leen en sentido contrario a los punt reloj). Como es una parte de la circunferencia, se puede determinar su medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360° COD : sector circular

2. Áreas y perímetros (considerando el dibujo anteri Sea r: radio, d: diámetro 2.1 Perímetro de la circunferencia: P = 2π r = π ⋅ d 2.2 Área del círculo: A = π ⋅ r2

⋅r 2A⋅α = π, α ángulo del centro 2.3 Área sector circular: 360 °

2 2

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006 CEPECH Preuniversitario, Edición

2006

3. Teoremas fundamentales: 3.1 Ángulo del centro: Mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo: Si arco AB = 35°⇒ α = 35°

O

“O”: centro de la ⊗

α

A

3.2 Ángulo inscrito: Mide la mitad del arco que subtiende. α

Ejemplo: Si arco AB = 80° ⇒ α = 40° A

B

3.3 Ángulo inscrito en una semicircunferencia: Todo ángulo inscrito a una cir recto.

C

A

B

AB

: diámetro

3 3


2006

Tutorial Tutorial

4. Cuadriláteros 4.1 Paralelógramos: Área = base ⋅ altura 4.2 Trapecios:

Área = 

base 1+ base 2

2

 ⋅ altura

4.1.1Trapecio isósceles

A

D

C

E

F

B

AD = BC ; AE = FB

Ejercicios 1. Si en una circunferencia el radio disminuye a la mitad, entonces, ¿cuál(es) de la aseveraciones es(son) verdadera(s)? I. El perímetro disminuye a la mitad. II. El área se reduce a la cuarta parte. III. La razón entre las áreas es 1 : 2 A) B) C) D) E) 4 4

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III


2006

2. Determine x: D

A) 45° B) 50° C) 55°

3.

D)

60°

E)

65°

Sea

ABCD

A)

45°

B)

60°

C)

90°

D)

120°

45º 45º A

E 100º x B

cuadrado inscrito en la circunferencia, determine α:

Sea arco

α

D

A

E) No se puede determinar

4.

C

BA

semicircunferencia , AB

A)

12,5 π − 24

B)

12,5 π − 48

C)

25 π − 24

D)

50 π − 24

E)

50 π − 48

= 6, BC

C

B

= 8. Determine el área achurada:

C

A

B

5 5


2006

Tutorial Tutorial 5. Determine el área achurada, O centro de la circunferencia, radio 7 cm. A) 49 π − 3 cm2 2 3 2  B) 1 50π − 49 3 cm2  4  3

(

30º O

))

C) 49 π − 3 cm2 6 D) 7π − 7 3cm2 6 4 E) 49 π − 3  cm2 2  2 

6. Se tiene una semicircunferencia de centro O y ∠ CBA = 80°, el valor del ángulo x A) B) C) D) E)

15° 30° 40° 55° 70°

C

D

x A

O

B

7. Sea AB diámetro, α = 160°, el valor del ángulo x es: A) B) C) D) E)

6 6

70º 80° 100° 120° 140°


α

A

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x

B

8. Determinar el área del trapecio. A) 48 3 B) 24 3 C) 12 3 D) 8 E) No se puede determinar

5 6

6 60º

9. Un terreno rectangular de lados 40 metrosy 50 metros se divide en 2, de manera que de los terrenos sea cuadrado y el otro rectangular. ¿Cuál(es) de las siguientes es(son) verdadera(s)?

I. El terreno menor tiene área 400 m2. II. El área del terreno cuadrado corresponde al 75% del área del terreno tota III. El perímetro del terreno total es 180 m. A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

10.Si un cuadrado aumenta su lado en un 20%,¿en qué porcentaje aumenta su área? A) 10% B) 20% C) 40% D) 44% E) Otro valor

7 7


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Tutorial Tutorial 11. Para el rectángulo de la figura, ¿a qué porcentaje corresponde el área achurada

A) 10% B) 12,5% C) 25% D) 30% E) 40%

a b b a

12. La circunferencia de perímetro 16 π está inscrita en el cuadrado ABCD y AE= AB; DF= DC. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD? 2 2 E A B A) 256 B) 128 ( E y F puntos de tangencia) C) 82 D) 8 E) Ninguna de las anteriores D C F 13. Determine la razón entre el área del trapecio ABDE y el área del rectángulo ABCD. A) 3 : 5 E B) 4 : 5 C) 5 : 4 D) 5 : 3 8 E) No se puede determinar

A

8 8


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9

D

C

10 B

14.Sea O centro de la circunferencia de radio 4 cm, ABCD cuadrado, E, F, G, H puntos m Determine el área achurada: A) B) C) D) E)

(16 - 4 π ) cm2 (16 - 16 π ) cm2 (54 - 16 π ) cm2 (64 - 4 π ) cm2 (64 - 16 π ) cm2

D

H

E

O

A

F

C

G

B

15.Determine el área achurada, si ABCD cuadrado de lado 6 cm. CA y AC arcos de circunferencia. A) (18π - 36 ) cm B) (36 - 18π ) cm2 C) (72 - 18π ) cm2 D) (18π - 72 ) cm2 E) Ninguno de ellos 2

D

C

A

B

Respuestas Preg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Alternativa D C A A A C A B C D C B B E A 9 9


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Solucionario Solucionario

Solucionario: 1. La alternativa correcta es la letra D) Si el radio de una circunferencia es r ⇒ P = 2π r r r El radio disminuido a la mitad es2π⋅ ⇒ P= 2 2 P=π⋅ r 2 r ⇒ A= π⋅r 2 2

y A = π r2

(Simplificando)

()

(Elevando al cuadrado)

2 r A = π ⋅4

El perímetro disminuye a la mitad, entonces I es verdadera. El área disminuye a la cuarta parte, entonces II es verdadera. La razón entre las áreas es 1 : 4, entonces III es falsa. ∴

Las verdaderas son I y II

2. La alternativa correcta es la letra C) El ∠ x subtiende el arco DA y el ∠ DCA subtiende el mismo arco ⇒ ∠ DCA = x D

En Δ ECD, 100° es ángulo exterior ⇒ 100

= 45 + x (Despejando x)

100

– 45 = x

=

A

E 100º x

x

55

B

∴x

10 10

45º 45º

= 55


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x

C

3. La alternativa correcta es la letra A) Como ABCD cuadrado, entonces AC bisectriz, (ya que las diagonales de un cuadrado son bisectrices). α D

C

45º

Entonces ∠ ACB = 45°, además ∠ ACB y α, subtienden el mismo arco ⇒ α = 45°

A

B

4. La alternativa correcta es la letra A) C

Como O centro de la circunferencia, entonces AB diámetro ⇒ arco BA semicircunferencia. ABC rectángulo en C. AC = 6, BC = 8, por números pitagóricos AB = 10 ⇒ OA = 5 (radio de la ⊗)

∴Δ

Área Área achurada = ⊗ −- Área ∆ ABC 2

5 = ⋅ - 6⋅ 8 π

2

2

2

8

6 A

O

10

B

(Reem plazando) p (Respetando el orden ee lasdoperaciones)

= 25π - 24 2 =12, 5π - 24 π 5 hurada h =, 12 - 24 ∴ Área ac

1 11 1


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Solucionario Solucionario 5. La alternativa correcta es la letra A)

C

30º Como ∠ ACB = 30° ⇒ ∠ AOB = 60° (subtienden el mismo arco), entonces Δ AOB equilátero, ya que OA = OB = 7 (radios), o sea , O

OAB isósceles y como ∠ AOB = 60°, entonces el triángulo se 60º convierte en equilátero, cuyo lado es 7. Δ

A

B

Área achurada = Área sector circular AOB – Área Δ AOB

π

r2 ⋅α

(lado )

2

= 360 − 4 ⋅ 3

(Reemplazando)

72 ⋅ 60 72 ⋅ = 3 360 − 4 ⋅

(Respetando el orden de la operaciones)

= 49π − 49 ⋅ 3 6 4

(Factorizand o o)

π

= 49 π − 3  2 3 2 

π − 3 cm 2 49= ∴ Área achurada 2  3 2  6. La alternativa correcta es la letra C) Como arco BA semicircunferencia, AB diámetro, D 40º entonces, ∠ ACB = 90° y como ∠ CBA = 80°, E entonces, ∠ BAC = 10° , además ∠ AEO = 90°, 10º 80º entonces, ∠ DOA = 80° (∠ exterior del Δ ODB A ) O como OD = OB (radios),Δ ODB isósceles en O, entonces ∠ DBO = 40° ⇒

12 12

x = 40°


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C

80º

x

40º

B

7. La alternativa correcta es la letra A) Como α = 160° ⇒ arco CB = 320° y como AB diámetro ⇒ arco AB = 180°, arco CB = arco CA + arco AB (Reemplazando) (Despejando arco CA) 320° = arco CA + 180° 320 – 180 = arco CA 140° = arco CA C 140º

x subtiende el arco CA ⇒ x = 70° ∴

160º x

A

x = 70°

320º

B

180º

8. La alternativa correcta es la letra B) D

5

C

6

A

3√3

3

E

5

6 60º F 6

B

En Δ FBC, se tiene que:

C 30º

3√3

F

6 3

(Por corresponder a la mitad de un triángulo equiláter 60º

B

Además, AE = FB 13 13


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Solucionario Solucionario Entonces: Área trapecioAB = + CD ⋅ CF  2 

(

(Reemplazando)

)

= =11+ 5 3⋅ 3 2

(Resolviendo el paréntesis)

=8⋅3 33

(Multiplicando)

=24 3

24=3 ∴ Área trapecio 9. La alternativa correcta es la letra C) 40

10

40

40

40

10

40

I) Área del terreno menor = 40 ⋅ 10 = 400 m2 Por lo tanto, es verdadera. II) Área del cuadrado = 40 ⋅ 40 = 1600 m2 Área total = 40 ⋅ 50 = 2000 m2 75% del área total = 3 ⋅ 2000 = 1500 4 Por lo tanto, no es verdadera. III) Perímetro del terreno = 2 ( 40 + 50 ) = 2 ⋅ 90 = 180 m. Por lo tanto, es verdadera. Entonces, I y III son verdaderas. 14 14


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10.La alternativa correcta es la letra D) 2 Lado “a” ; Área = a 1 Lado aumentado en un oo el porcentaje a fracción) 20% ; a +20 % a = (Transformand

a +1 a = 5

(Sumando ))

6a 5

( )

Área2 =6a 5

2

Entonces: Cantidad Porcentaje Área 1 100 Área 2 x a ⋅ x =100⋅ 2

( ) 6a 5

2

(Aplicando proporción directa y reemplazando)

(Resolviendo y despejand o o x)

x = ⋅36a2 ⋅100⋅ 12 25 a x = 144% Por lo tan tto, el área aumenta en un 44%100% ( 144% ) -1

15 15


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Solucionario Solucionario 11. La alternativa correcta es la letra C)

b G

D

F

a

C

I A

a

H b B

E

Según la figura, concluimos que E, F, G y H son puntos medios. Por lo tanto, Δ GAE = Δ FIH, entonces, el área achurada corresponde a 1 4 rectángulo, es decir al 25%.

12. La alternativa correcta es la letra B) E

A 16 G

D

8

B

8 O 8

8 F

C

Perímetro de la circunferencia = 16 π (Despejando r) 2 πr = 16 π r=8 Por lo tanto, radio de la circunferencia : 8

16 16


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Además, E y F puntos medios, entonces, EF : diámetro. Por lo tanto, OG = 8, DF = 8, OF = 8, AD = 16, OE = 8. Determinando el área del rectángulo ADFE: (Reemplazando) Área = AD ⋅ DF = 16 ⋅ 8 (Multiplicando) = 128 ∴

Área del rectángulo ADFE = 128

13. La alternativa correcta es la letra B) E

9

10

8 A

6

D

15

C 8 B

Como ABCD rectángulo, entonces, Δ DCB rectángulo en C. 2 Aplicando Pitágoras: DC 2 + BC 2 = BD (Reemplazando) DC 2 + 82 = 102 (Por trío Pitagórico) DC = 6

Por lo tanto, AB = 15

17 17


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Solucionario Solucionario AB= + DE ⋅ AE Área trapecio ABDE  2 

(

)

(Reemplaz aando)

= 15+ 9 8⋅ 2

(Desarrollando el paréntesiss)

= 12⋅ 8

(Multiplicando)

=96

96= ∴ Área trapecio ABDE ∴ AB⋅ BC Área rectángulo BBCD A=

=15 ⋅ 8

(Reemplazando) (Multip llicando)

=120

12 00 = ∴ Área rectángulo ABCD Entonces, la razón entre el área del trapeecio y el área del rectángulo es: Área trapeccio = Área rectángulo

96 = 120

(Reemplazando) (Sim plificando) p

4 5 4 : 5 es ∴ La razón entre las áreas

18 18


2006

14. La alternativa correcta es la letra E)

Si el radio de la circunferencia es 4 cm, entonces el diámetro mide 8 cm, o se cuadrado mide 8 cm, como E, F, G, H son puntos medios ⇒ ED = 4 (lado del cuad EOHD). Para determinar el área achurada, dividiremos el cuadrado ABCD en 4 par iguales (fig. 1).

Entonces, determinaremos el área achurada de una de esas partes (fig.2) y la por 4, obteniendo el área achurada que nos piden.

D

4

4

H

4

C

Figura 1

E

O

G

4

4

D

4

F

4

H

4

C

Figura 2

4

4

G

O

E A

H

B

A

4

F

4

B

Área achurada (figura 2) = Área cuadrado EOHD – Área ⊗ (Reemplazando) 4 2

=4 -

π

⋅4

2

4

Área achurada (figura 2) = 16 - 4π ⇒

Área achurada(figura 1) = 4(16 - 4π)

(Respetando el orden de las operaciones)

(Distribuyendo)

= 64 - 16π ∴

Área achurada(figura 1) = (64 - 16π )cm2

19 19


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Solucionario Solucionario 15. La alternativa correcta es la letra A)

Si el lado del cuadrado ABCD = 6, entonces,el radio de la circunferencia es es un cuarto de ella. Seguiremos 2 pasos: Paso 1) Determinaremos área achurada de la figura 1. 6

D

C

6

Figura 1

B

A 6

D

C

Si desglosamos la figura 1 en dos, obtenemos: 6

D

D

C

C

D

6

a) 6

b)

6

C

6

6

A

6

B

A

A

B

B

B A Entonces determinaremos el área de 1 de ellas y la multiplicamos por

Área ⊗ Área achurada (a) = Área cuadrado ABCD -(Reemplazando) 4 2 = 62 - π ⋅ 6 (Respetando el orden de las operaciones) 4 = 36 - 9π

20 20


2006

∴

Área achurada (figura 1)= 72 - 18π

Paso 2) Determinaremos el área achurada pedida en el ejercicio. D

6

C

6

A

B

Área achurada = Área cuadrado ABCD – Área achurada (figura 1) (Reemplazando) = 36 – (72 - 18π) = 36 – 72 + 18π = - 36 + 18π = 18π - 36 ∴

(Eliminando paréntesis) (Ordenando)

Área achurada = 18π - 36 cm2

2 21 1


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Solucionario Solucionario Mis notas

22 22


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Mis notas

23 23


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Cuadriláteros y Circunferencia

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