Cuerdas vibrantes •
QUE ES UNA CUERDA VIBRANTE?
Es un cable elastico, tendido entre 2 puntos fijos, suceptible de emitir un sonido musical gracias a sus vibraciones. Una tal cuerda , supuesta cilindrica y homogenea, puede vibrar longitudinalmente o transversalmente es alejada de su posicion de equilibrio. En musica utilizamos unicamente vibraciones tranversales. Las cuerdas pueden ser hechas de acero (piano) o de tripa de obeja; se les aumenta el peso envolviendolas en helice con un alambre de cobre o de plata: obtenemos entonces cuerdas 'enfiladas' (notas graves del piano, sol del violin; cuarta cuerda).
•
EXCITACION DE LA CUERDA
Para alejar la cuerda de la posicion de equilibrio podemos 'pelliscar' con el dedo (arpa), con una uña (guitarra) o con una pluma o espina camandada por las teclas de un teclado (clavecin). La cuerda puede ser golpeada por un martillo (piano) o incluso razgada por una rueda (viela). Enfin, para el violin y los instrumentos del mismo tipo la cuerda es atacada por un arco constituido por un gran numero de crines (de caballo) tendidos e impregnados de colofano para aumentar la aderencia a la cuerda. El arco empuja la cuerda por frotamiento hasta el momento en el que la elasticidad de la cuerda es mayor que el frotamiento: esta ultima vuelve a la posicion de equilibrio. El mismo fenomeno se reproduce un gran numero de veces por segundo y encontramos que la frecuencia del fenomeno es la misma que la vibracion de la cuerda, gracias al fenomeno de resonancia.
•
FORMULA DE LAS CUERDAS VIBRANTES
Una cuerda fijada a sus 2 extremidades presenta siempre un nudo de vibracion en sus extremidades y un cierto numero de nudos intermediarios. Ese sistema de ondas estacionarias se manifesta por un numero entero de zonas repartidas a lo largo de la cuerda. Si vemos k zonas, la longitud de cada zona es λ / 2 , la longitud total de la cuerda L es dada por la expresion:
L = k *λ / 2 γ siendo la frecuencia y v la velocidad de ondas transversales. Obtenemos , puesto que λ = v / γ L = k * v / 2* γ Pero v =
√ (F / µ )
d' où
L = k /2
γ
* √ (F / µ )
Ou encore
γ
γ
= k/2L * √ (F / µ )
es en hertz (Hz o 1/s)
F es en newton (N) L es en metros (m) v es en metros por segundo (m/s) k es un numero entero (k ∈ | N)
µ es la masa lineica de la cuerda, en gramos por metro (g/m) EJERCICIO Una cuerda de 1m y de masa total 5g vibrando en una sola zona produce un sonido de frecuencia 130,5Hz. Calcular la tension F F = 4*µ *L²∗ γ ² / k² como (k = 1) F = 4*µ *L²∗ γ ² F = 4.5.10exp(-3)*(130.5)² = 345N Soit F = 35kg
MODOS DE VIBRACIÓN DE UNA CUERDA SUJETA POR LOS EXTREMOS Vamos a realizar una experiencia virtual similar a la que puedes llevar a cabo en el laboratorio. Lee antes la teoría correspondiente al tema.
Teoría Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc. Son ondas que resultan de la superposición de ondas de propagación que mantienen una interferencia constante dando un nuevo patrón de onda. En primer lugar, vamos a encontrar los modos de vibración de una cuerda mediante una experiencia virtual. Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelgan pesas. Una aguja sujeta al centro de la membrana de un altavoz atraviesa la
cuerda y le comunica la vibración. Se conecta el altavoz a un generador de ondas y la membrana vibra. Disponemos de un sistema oscilante, de la cuerda, y de la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador, coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente: estamos en una situación de resonancia. Esta experiencia simulada, difiere de la experiencia de laboratorio, en que no cambiamos la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. En la práctica es lo mismo porque están relacionadas, pero en el laboratorio real el generador de ondas tiene una frecuencia de oscilación que fijamos al iniciar la práctica y nosotros, mientras la cuerda vibra, tiramos con distinta fuerza de ella con lo que varíamos la v de propagación de la onda. La relación entre una y otra magnitud se explica en la sección dedicada al estudio de las ondas transversales en una cuerda sometida a una tensión es:
Donde T es la tensión de la cuerda y
la densidad lineal de la cuerda.
La frecuencia que debe tener una onda para dar una onda estacionaria estable es:
Si la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son: v/2, v, 3v/2, 2v, ...Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. Sustituyendo la velocidad:
Onda estacionaria Onda estacionaria en una cuerda. Los puntos rojos representan los nodos de la onda.
Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos.La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana, ... determinados, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple, ...). Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje.
Onda Completa Se considera que una onda es completa cuando ha finalizado su recorrido, lo que podemos considerar como dos movimientos;
•
Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle.
Ondas estacionarias El análisis del movimiento (generado mediante un vibrador) de una cuerda tensa resulta de gran importancia en nuestro curso de Física II. Comprender como es el movimiento de la cuerda a ciertas frecuencias bajo circunstancias determinadas y controladas en un laboratorio nos ayuda a tener un mejor concepto de cómo podemos utilizar mejor los resultados y darles una mejor aplicación en múltiples campos de nuestra vida. Dentro de los objetivos de la práctica se pueden destacar los siguientes: • Estudiar la propagación de ondas armónicas transversales en una cuerda tensa y la forma en que se superponen para dar lugar a ondas estacionarias.
Ondas estacionarias
Al hablar de ondas estacionarias se debe sobrentender que son el resultado de una superposición de ondas transversales al reflejarse ya que le extremo del medio donde se propagan, es fijo. Toda onda transversal propagada en una cuerda, contiene sus propias características que son su velocidad, amplitud y su frecuencia (f); y estarán afectadas por la constante que define la densidad lineal de la cuerda.
T = tensión de la cuerda. Se puede definir longitud de onda como la distancia mínima entre dos puntos cuales quiera sobre una onda que se comporta idénticamente. La frecuencia de estas ondas periódicas es definida como la tasa en el tiempo a la cual la perturbación se repite a si misma. Las ondas viajan con una velocidad especifica, la cual depende de las propiedades del medio perturbado. 3. Materiales
