1.
Determine en función de r g , r L, R, L y ω el ángulo de defasamiento entre los voltajes V o y Vi de la figura.
Primero tenemos el modelo de cada voltaje (de entrada y salida) con su resectiva transformada de Lalace!
V i
= r g i( t ) + L
V i ( s ) V o
di( t ) dt
+ r L i( t ) + Ri( t )
= r g i( s ) + Lsi( s ) + r L i( s ) + Ri( s ) =
r g
+ Ls + r L + R i( s ) = Req + Ls i( s )
= Ri( t )
V o ( s )
= Ri ( s )
"#ora con ellas, o$tendremos la función de transferencia!
R h( s )
=
V o V i
=
Ri ( s )
( Req + L )i ( s )
=
R Req
+ L
Req
=
La función de transferencia se tendrá %ue oner en función de j
1
+
ω
L Req
s
ara oder tra$ajar con ángulos
(ya %ue son n&meros comlejos).
R h ( jw )
R eq
= 1
+
L ( jw ) R eq
'omo vemos, la fracción está formada or la raón de un real con un comlejo, or lo %ue el ángulo será la suma alge$raica de los ángulos ángulos del numerador con el denominador, denominador, sin em$argo el ángulo del numerador es cero, entonces!
1
+ j Lω ⇒ φ = − ang tan Lω R eq R eq
%ue es el ángulo de defasamiento .
Determine en función de r g , R, ' y ω el ángulo de defasamiento entre los voltajes V o y Vi de la figura.
De nueva cuenta tenemos el modelo del circuito y sus transformadas!
= r g i ( t ) + Ri ( t ) +
V i ( t )
V o ( t )
V i ( t )
=
1
C
=
1
Cs
C
∫ i( t ) dt
∫ i ( t ) dt
= r g i ( s ) + Ri ( s ) +
V o ( s )
1
1
Cs
i ( s ) = Req i ( s ) +
1
Cs
i ( s ) = Req
+
i ( s ) Cs 1
i ( s )
y su función de transferencia es! 1
h( s )
=
Cs
1
i ( s )
R + 1 i( s ) eq Cs
Cs
= Req
+
1
=
1
CReq s + 1
Cs
De igual manera %ue en ejemlo anterior, ondremos esta función en función de j ω.
h( jω )
=
1
CR eq ( jω )
+1
* alicando el mismo criterio de el asado ejercicio, tendremos el siguiente ángulo.
CR eq ( jω )
+ 1 ⇒ φ = − ang tan CR eq ω
+.
Determine en función de r g , R 1, r L, R , L, ' y ω el ángulo de defasamiento entre la corriente i e y el voltaje V o del circuito de la figura +, con el interrutor a$ierto y cerrado.
Abierto
enemos el siguiente modelo con sus resectivas transformadas!
V i
= r g i( t ) + R i ( t ) + L
V i ( s )
V o
di ( t )
1
dt
+ r L i( t ) + R i( t ) )
= r g i( s ) + R i( s ) + Lsi( s ) + r L i( s ) + R i( s ) = ( r g + R + Ls + r L + R )i ( s ) = ( Req + Ls )i ( s ) 1
= r L i( t ) + L
V o ( s )
)
di ( t ) dt
1
)
+ R i( t ) )
= r L i( s ) + Lsi( s ) + R i( s) )
-$tenemos la función de transferencia y la igualamos con ella misma, eresada de diferente manera, (sólo desarrollando Vi).
h( s ) =
V o V i
=
( r L + R + Ls)i( s) V o = ( Req + Ls)i ( s) ( Req + Ls)i ( s ) )
/sta eresión nos ermitirá o$tener la relación i0V o
( r L + R + Ls ) i( s ) = V o i ( s ) )
i ( s ) V o
=
1
r L
+ R + Ls )
Para el ángulo, eresamos en función de j ω!
i( jω ) V o
=
1
r L
+ R + L( jω ) )
* alicamos el mismo mtodo %ue #emos utiliado #asta el momento!
+ R + L( jω ) ⇒ φ = −ang tan
r L
)
Lω r L
+ R
)
Cerrado
De$ido a la comlejidad del circuito, se #ará el análisis or imedancias!
Z L + Z R + Z R i( s ) V i ( s ) = Z r + Z R + Z C Z L + Z R + Z R + Z C L
g
)
1
L
)
Z L + Z R + Z R V o ( s ) = Z C Z L + Z R + Z R + Z C i( s ) L
)
L
)
2iguiendo el mtodo, tendremos la función de transferencia e igualaremos con ella misma eresada diferente!
Z L + Z R L + Z R Z C Z L + Z R + Z R + Z C i( s ) L )
h( s ) =
V o V i
=
)
Z L + Z R + Z R i( s ) Z r + Z R + Z C Z L + Z R + Z R + Z C L
g
=
)
1
L
)
V o
Z L + Z R + Z R i( s ) Z r + Z R + Z C Z L + Z R + Z R + Z C L
g
1
L
De a#3 desejaremos ara o$tener la relación i0V o
Z L + Z R + Z R V o Z L + Z R + Z R + Z C = i ( s )
Z C
)
L
)
L
i ( s ) V o
=
1
Z L + Z R + Z R Z C Z L + Z R + Z R + Z C L
L
)
=
Z L + Z R L + Z R Z C ( Z L + Z R L
)
+ Z C
+ Z R ) )
)
"#ora sólo remlaaremos las imedancias or su elemento! Ls + R L
+ R + )
( Ls + R L + R ) )
1
Cs 1
=
+ Cs( R L + R ) + 1 CLs + CsReq + 1 = Ls + ( R L + R ) Ls + Req )
CLs )
Cs
/resaremos en función de j ω!
)
)
)
)
+ CReq ( jω ) + 1 1 − CLω + j (ω CReq ) = L( jω ) + Req Req + jω L
CL ( jω )
)
)
'omo vemos, en am$as artes de la raón #ay n&meros comlejos, or lo %ue a#ora el ángulo del numerador no será cero.
1
− CLω + j (ω CReq ) ⇒ φ = ang tan
CR eq ω
)
1
R eq
1
− CLω
)
+ jω L ⇒ φ = − ang tan ω L )
R eq
* alicando la suma alge$raica de los ángulos de la raón! φ = φ 1
+ φ = ang tan )
CR eq ω 1
L
− CLω
)
− ang tan ω
Req
