ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ŞI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Catedra de CIBERNETICĂ ECONOMICĂ
CULEGERE DE PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE LICENŢĂ
BUCUREŞTI 2006
Colectiv de autori: Prof. univ.dr. SPIRCU LILIANA
1 – 29
Prof. univ.dr. STANCU STELIAN
30 – 123
Prof Prof.. univ univ.d .dr. r. OPR OPRES ESCU CU GHE GHEOR ORGH GHE E 124 124 – 171 171 Prof. univ.dr. SCARLAT EMIL
172 – 200
Prof. univ.dr. CIOBANU GHEORGHE 201 – 275 şi prof. univ.dr. NICA VASILE Prof. univ.dr. DOBRE ION şi prof. univ.dr. BADESCU ADRIAN
276 – 298
constatat, în urma unui studiu studiu de marketing, marketing, că cererea şi oferta oferta unui produs pot fi 1. S-a constatat, validate statistic ca funcţii liniare de preţul unitar al produsului, mai precis: cererea D t = α – β – β P t t cu α , β > 0 şi oferta S t = – γ – γ + δ P t t – 1 cu γ , δ > 0 iar t ∈{t 0 , t 0 +1, ..., t f } – Pentru reglarea preţului produsului se foloseşte funcţia excedent de cerere iar parametrul de reglare este 0 < ε < 1. Identif Identifica icaţi ţi răspun răspunsul sul corect corect privin privindd valoare valoareaa preţulu preţuluii de echili echilibru bru P e în condiţiile condiţiile enunţate: ε(α + γ) a) P e = β + δ , –
α +γ b) P e = β + δ , α −γ c) P e = β − δ , α −γ d) P e = β + δ ,
−α + γ e) P e = β + δ ;
– // –
2. Să considerăm modelul creşterii economice al lui Solow şi Swan descris de următoarea ecuaţie de dinamică – continuă şi neliniară – a variabilei înzestrarea tehnică k : = f ( k ) −λ k −c k
unde λ este un parametru (λ (λ > 0) iar c este variabila de comandă (consumul per capita). Dacă M k este înzestrarea tehnică corespunzătoare consumului de aur, selectaţi răspunsul corect ce indică mulţimea valorilor de echilibru stabile în modelul creşterii economice: a) {k e | f (k e ) − λ k e = c , b) {k e | f (k e ) − λ k e = c , c) {k e | f (k e ) + λ k e = c , d) {k e | f (k e ) − λ k e = 0 , e) {k e | f (k e ) − λ k e = 0 ,
k e
> k M } ;
< k M } ; 0 < k e < 1} ; k e < k M } ; k e ∈ R} ; k e
– // – 3.. Fie modelul macroeconomic descris, în timp discret, de relaţiile: C t
= α 0 + α 1Y t d −1
– cererea de consum C în funcţie de venitul disponibil Y d ;
– taxele T în funcţie de venitul Y ; M D = kY t −1 + γ1r t + γ 0 – cererea totală de bani în funcţie de rata dobânzii r şi de venitul t Y ; a I t = I + βr t – investiţia I în funcţie de rata dobânzii r . Pentru ansamblul ansamblul parametrilor parametrilor (α1 ; τ ; k ; γ1 ; β) sele select ctaţ aţii vari varian anta ta care care ar putea putea fi alea aleasă să respectând dependenţele economice cunoscute: a) (– 0,7; 0,2; 0,1; – 0,5; 2); b) (0,7; – 0,3; 0,2; 0,4 ;1); c) (– 0,7; –0,2; 0,1; – 0,5; 0,8); d) (0,65; 1,3; 0,2; – 0,3; – 0,2); e) (0,65; 0,4; 0,6; – 0,3; – 0,2); T t
= T a + τY t
– // – 4. Fie modelul dinamic neliniar discret y n +1 = f ( y n ) , n ∈{0, 1, 2, ...} , descris de funcţia f derivabilǎ, cu derivata f '. Dacă a este o valoare de echilibru oarecare a modelului, ce puteţi să afirmaţi despre aceasta? x) = 0; a) a este o soluţie a ecuaţiei f ( x
b) a este o soluţie a ecuaţiei f ( x x) – x x = 0; c) a este o soluţie reală a ecuaţiei f ( x x) – x x= 0; d) a este o soluţie reală a ecuaţiei f ( x x) = 0; e) a este o soluţie reală a ecuaţiei f ( x x) – x x = 0 şi f |f '(a)| > 1;
– // – 5. În urma unui studiu (folosind date statistice) s-a constatat că, cota de piaţă y a unui produs, pe o piaţă concurenţială, este descrisă prin relaţia dinamică: y t +1
= 3 , 2 yt (1 − yt ) ,
t ∈{0, 1, ... } .
Cota de piaţă a produsului fiind la momentul iniţial y0 = 60%, folosind ecuaţia logistică de mai sus, ce concluzii se pot trage privind privind cota de piaţă a produsului produsului la un moment t > 0, suficient de mare a) se stabilizează la
69%;
b) nu se stabilizează la 69%; c) se stabilizează la 0%; d) se stabilizează la 100%; e) se stabilizează la 50%; – // –
forma:
6. S-a constatat statistic că ecuaţia de dinamică (discretă) a venitului naţional Y este de Y t
= 4 Y t −1 −4 Y t −2 +2 , 5
Gt
unde G reprezintă cheltuielile guvernamentale. Dacă se cunosc valorile iniţiale Y –1 = 800 şi Y 0 = 850 iar G1 = 400, care va fi, folosind relaţia relaţia de dinamică, venitul la momentul t = 2? (Se presupune că, cheltuielile guvernamentale se păstrează la acelaşi nivel) a) 2400; b) 2700; c) 850; d) 1200; e) 1000; – // – 7. Pe o piaţă de capital cererea şi respectiv oferta pentru un activ financiar sunt estimate prin funcţii liniare în variabila preţ, adică – în timp continuu: D (t ) = α −β P (t ) S (t ) = −γ + δ P (t ) cu α , β > 0 şi cu γ , δ > 0.
Se consideră că variaţia preţului se poate scrie sub forma: dP dt
= ε ⋅ ( D(t ) − S (t )) cu 0 < ε < 1.
Dacă preţul de echilibru este P e iar preţul iniţial al activului este P 0 identificaţi, din traiectoria preţului ca soluţie a modelului de mai sus, componenta de care depinde stabilitatea (t ∈ [0, t f ]) ]) a)
ε ( β + δ) t ( P 0
− P e ) ;
t
+ b) α γ ; β + δ
c)
e
−ε ( β +δ) t
( P 0
− P e ) ;
d) P e; e)
e −ε ( β +δ)
; – // –
8. Fie modelul cu multiplicator şi accelerator de forma: C t
= aY t cu 0 < a < 1, I t = b (Y t −1 −Y t −2 ) cu b > 0 şi
Y t
= C t + I t + Gt ,
pentru orice t discret. Presupunem Presupunem că variabila variabila cheltuieli cheltuieli guvernamentale guvernamentale G rămâne constantă pe orizontul de timp discret fixat. Ce condiţie suplimentară va trebui să verifice acceleratorul b pentru ca variabilele venit Y , consum C şi investiţie I să aibă, pe orizontul dat, un comportament oscilant periodic? a) b > 4 (1 − a ) ; b)
0< b
< 1 −a ;
c) b < 4 (1 − a ) ; d) orice b > 0; e) 0 < b 2 < 1 ; – // -
Fie secv secven enţa ţa de nume numere re real realee { y n+2 }∞ desc descri risă să de rela relaţi ţiaa de recu recure renţ nţă: ă: 9. Fie n =0 y n +2 = a1 y n +1 + a 2 y n cu a1 şi a2 coeficienţi reali daţi. Dacă λ 1 şi λ 2 sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice asociate modelului şi λ 1 ≠ λ 2, identificaţi constantele C 1 şi C 2 din traiectoria soluţie t yt = C 1λ 1t + C 2 λ 2t în funcţie de două valori iniţiale y0 şi y1 − y1 şi λ 2 − λ 1
y 0 λ 2
a)
C 1
=
c)
C 1
= y 0 λ 2 − y1 şi C 2 =
e)
C 1
=−
C 2
− y1 şi λ 2 − λ 1
y 0 λ 2
=
C 2
− y 0 λ 1 , b) λ 2 − λ 1
C 1
=
− y0 λ 1 , d) λ 2 − λ 1
C 1
= 0 şi
y1
y1
=
− y1 şi λ 2 − λ 1
y 0
− y1 ; λ 2 − λ 1
y 0 λ 1
– // –
C 2
C 2
=
y1
λ 2
= λ 2 − λ 1 ,
− λ 1 ,
10. Fie x variabila ce exprimă o suma de bani supusă unui proces de fructificare cu dobânda a(t ) – depinzând de timp. Dacă ecuaţia de dinamică asociată este (t ) x
= a(t ) x(t )
iar suma de bani iniţială (pentru t 0 = 0) este x0, care va fi suma de bani rezultată în urma procesului de fructificare la un moment t > 0 ? t
a) x(t ) =e ∫ a (s)ds x ; 0
0
b) x(t ) = e a (t ) t x 0 ; t
c) x(t ) =e
∫
− a (s)ds 0
x0
;
d) x(t ) = t x0 ; e) x(t ) = a(t ) x0 ; – // –
11. Modelul analitic asociat unui sistem cibernetic este descris de ansamblul S = (T , X , U , Y ,
Ω , Γ , ϕ , η ). Reamintim că aici T este orizontul de timp, X este mulţimea valorilor variabilelor de stare, Ω este mulţimea mulţimea funcţiilor funcţiilor de comandă acceptate acceptate de către sistem sistem iar ϕ este funcţia de tranziţie (transfer) a stării. Identificaţi răspunsul corect privind definirea funcţiei ϕ a) ϕ : T ×T × X ×Ω → X ; b) ϕ : T × X ×Ω → X ; c) ϕ : T × X → X ; d) ϕ : T → X ; e) ϕ : X → X ; –
este:
// –
12. Traiectoria soluţie a unui model dinamic discret de ordinul doi cu două valori iniţiale t
y t
=2
π + 2π t 2 3
3 cos cos
Ce puteţi afirma despre această traiectorie ? a) are defazajul
π 2
şi perioada oscilaţiei 3;
b) nu este defazată, are perioada oscilaţiei 3; c) are defazajul π şi perioada oscilaţiei 3; d) are defazajul
π 2
şi perioada oscilaţiei 2;
e) nu este este defaz defazată ată şi şi nu este este periodi periodică.; că.; –
// –
13, Fie modelul dinamic liniar continuu descris de ecuaţia de dinamică a stării: (t ) = A x (t ) + B u(t ) x
Când spunem că matricea A ce descrie dinamica proprie a sistemului este stabilizatoare ? a) toate valorile proprii valorile proprii ale matricei au partea reală negativă; b) toate valorile proprii sunt în modul mai mici ca unu; c) unele valori proprii sunt în modul mai mici decât unu; d) unele valori proprii au partea reală negativă; e) matricea A este obligatoriu singulară;
–
// –
(t ) = A x (t ) şi condiţia iniţială x (0) = x 0 (la 14. Fie sistemul diferenţial omogen x momentul t 0 = 0). Identificaţi funcţia de tranziţie (transfer) a stării pentru un moment de timp t > 0
a) b)
− +1 e A( t t 0 ) x 0 ; x 0 ;
A t
e
c) A t x 0 ; d) A t -t x 0 ; 0
e)
t x 0 ;
–
// -
15. Fie modelul dinamic discret neliniar yn + 1 = f ( y n ) , n ∈{0, 1, ... } descris de funcţia f – derivabilǎ, cu derivata f '. Când spunem că numerele a1, a2, a3 formează un ciclu de ordinul trei pentru modelul dinamic descris de funcţia f ? a) a1, a2, a3 sunt numere reale şi de exemplu a2 = f (a1), a3 = f (a2) şi a1 = f (a3); b) a1, a2, a3 sunt numere reale şi de exemplu doar a2 = f (a1) şi a3 = f (a2); c) a1, a2, a3 sunt numere complexe şi f |f ' (a1) f f ' (a2) f ' (a2)| < 1; d) a1, a2, a3 sunt numere reale şi obligatoriu a1 = a2 = a3; e) a1 este un număr real, a2 = a3 sunt complex conjugate şi a3 = f (a2);
– // – (t ) = f ( x (t )) – multidimensional, cu vectorul f 16. Fie sistemul diferenţial neliniar x format din funcţii netede. Când spunem că un vector de echilibru x e este de tip focar ?
a) toate traiectoriile soluţii converg sau diverg oscilant periodic relativ la el ; b) toate traiectoriile soluţii converg spre el ; c) toate traiectoriile soluţii converg sau diverg relativ la el ; d) toate traiectoriile soluţii sunt bucle cu aceeaşi amplitudine ; e) toate traiectoriile soluţii diverg relativ la el ;
– // –
17. S-a constatat, în urma unui studiu de marketing, că cererea şi oferta unui produs pot fi considerate funcţii liniare de preţul unitar al produsului, mai precis
cererea Dt = α + β P t t resp. oferta S t t = γ + δ P t t – 1 unde
t ∈{t 0 , t 0 +1, ..., t f } .
Identificaţi condiţiile pe care trebuie să le verifice parametrii α , β , γ , δ astfel încât dependenţele de mai sus să fie validate economic: a) α > 0; β < 0, γ < 0, δ > 0 şi
α γ > ; β δ
b) α > 0; β < 0, γ < 0, δ > 0 şi c) α > 0; β < 1, γ > 0, δ > 0 şi d) α > 0; β < 0, γ < 0, δ > 0 şi e) α > 0; β < 0, γ < 0, δ > 0 şi
α β
<
γ δ
;
α γ > ; β δ α β
<
γ δ
;
α γ = ; β δ
– // – 18. Modelul creşterii economice al lui Solow şi Swan este descris de următoarea ecuaţie de dinamică: = f ( k ) −λ k −c k .
Aici considerăm că λ = n + µ (adică suma dintre rata creşterii forţei de muncă şi rata deprecierii stocului de capital). Selectaţi răspunsul corect privind caracteristicile modelului: a) este neliniar în variabila înzestrare tehnicǎ, iar λ este variabilǎ de comandǎ; b) este liniar în variabila înzestrare tehnicǎ, iar λ este variabilǎ de stare; c) este neliniar în variabila c, iar λ este variabilǎ de stare; d) este neliniar în variabila înzestrare tehnicǎ, iar consumul per capita este variabilǎ de comandǎ; e) este liniar în variabila λ, iar înzestrarea tehnică este variabilǎ de comandǎ; – // – 19. Un cercetător al pieţei începe o urmărire a evoluţiei preţului unui produs, momentul de start fiind t = 0 când preţul produsului este P 0. El presupune presupune cǎ, în perioada strict următoare, următoare, funcţiile (validate) ce descriu cererea şi oferta pentru produs (ca funcţii de preţul unitar) nu se vor modifica şi evident, nu se modifică nici funcţia excedent al cererii E ( P P ) = D( P P ) – S ( P P ) (cu notaţiile clasice). Se constatǎ cǎ, la momentul iniţial, aceasta din urmă este pozitivǎ, adică E ( P P 0) > 0. Ce concluzii poate trage cercetătorul pentru perioada următoare (conform teoriei lui Walras)?
a) preţul a) preţul rămâne neschimbat, P 0 fiind chiar preţul de echilibru; b) preţul b) preţul va descreşte spre preţul de echilibru iar cererea excedentarǎ va descreşte; c) preţul c) preţul va creşte spre preţul de echilibru iar cererea excedentarǎ va descreşte;
d) preţul d) preţul va creşte spre preţul de echilibru iar cererea excedentarǎ va creşte; e) preţul e) preţul va descreşte spre preţul de echilibru iar cererea excedentarǎ va creşte; – // – 20. În modelele cu multiplicator şi accelerator studiate (Samuelson, Hicks) ipotezele principale sunt: a) cererea de consum C nu depinde de venitul venitul Y iar investiţia I depinde de variaţia cererii totale D; b) cererea de consum C depinde de venitul Y iar investiţia I depinde de cererea totală D; c) cererea de consum C nu depinde de venitul Y iar investiţia I depinde de cererea totală D; d) cererea de consum C depinde de venitul Y iar investiţia I depinde de variaţia cererii totale D; e) cererea de consum C nu apare în modele iar investiţia I depinde de variaţia cererii D;
– // – 21. Dacǎ aveţi o sumǎ de bani într-un depozit la o bancǎ asupra căreia nu efectuaţi nici o modificare în perioada strict următoare, dar dobânda d se modifică, ce model – în timp continuu – dintre cele de mai jos credeţi cǎ trebuie folosit pentru a verifica – la orice moment de timp t ce sumǎ aveţi? a) x (t ) = d (t ) ⋅ x(t ) + u (t ) ; b) x (t ) = d (t ) ⋅ x (t ) ; c) x (t ) = d ⋅ x (t ) ; d) x (t ) = d (t ) ⋅ x (t ) + c(t ) ⋅ u (t ) ; e) x (t ) = d (t ) x(t ) + c ⋅ u (t ) ;
– // –
22. Să considerăm modelul creşterii economice al lui Solow şi Swan în care se doreşte maximizarea utilităţii actualizate a consumului (cu factorul de actualizare δ ): k
= f (k ) −λ k −c
şi
t f
max J = U (c )e −δ t dt c
∫ 0
Folosind principiul lui Pontreaghin putem scrie hamiltonianul H (k , q , c , t ) =e −δ t [U (c ) +q ( f ( k ) −λ k −c)]
în care q este variabila adjunctă. Din condiţia necesară de optim impusă, alegeţi expresia care rezultă pentru variabila adjunctă: dU
a)
q
=−
b)
q
=
dU
c)
q
=
dU
d)
q
= const . ;
e)
q
=
dc
dt dc
dU dc
;
; ;
+ k ; –
// –
(t ) = f ( x (t )) (cu vectorul f format din funcţii 23. Fie sistemul diferenţial neliniar x netede). Când spunem că un vector de echilibru x e este de tip centru ?
a) toate traiectoriile soluţii converg sau diverg periodic relativ la el ; b) toate traiectoriile soluţii converg spre el ; c) toate traiectoriile soluţii converg sau diverg relativ la el ; d) toate traiectoriile soluţii sunt bucle cu aceeaşi amplitudine; e) toate traiectoriile soluţii diverg relativ la el; – // – 24. S-a constatat, prin estimări econometrice, că venitul naţional Y urmează dinamica discretă: Y t = a1 ⋅ Y t −1 + a 2 ⋅ Y t −2 + b pentru t ∈{1, 2 , ...}
unde
a1 , a 2 , b
sunt coeficienţi estimaţi şi există relaţia r elaţia
2
a1
< − 4 ⋅ a2 .
Dacă se cunosc valorile iniţiale Y –1 şi Y 0 ale venitului naţional, la ce comportament al venitului vă puteţi aştepta folosind modelul pe orizontul de timp precizat? a) venitul va creşte permanent pe orizontul precizat; b) venitul se va stabiliza la valoarea Y 0 ; c) venitul va descreşte permanent pe orizontul precizat; d) venitul va evolua oscilant periodic crescător sau descrescător pe orizontul precizat; e) venitul se va stabiliza la valoarea Y – 1; – // –
3
25. Fie A = 0
1
matricea ce descrie dinamica proprie, în timp continuu - fără
3
comandǎ- a vectorului variabilelor de stare x = ( x1 , x 2 ) . Care dintre următoarele matrice Ψ este o matrice fundamentalǎ de soluţii pentru sistemul diferenţial liniar asociat matricei A?
e 3t t ⋅ e 3t ; a) Ψ = 3t e 0 3t 3t e e ; b) Ψ = 3t e 0 3t e 0 ; c) Ψ = 3t e 0 3t e 0 ; d) Ψ = 3t 0 − e e 3t − t ⋅ e 3t e) Ψ = 3t ; e 0 – // – −1 2 26. Fie A = − 2 −1 matricea ce descrie dinamica proprie, în timp continuu şi fără comandǎ a vectorului variabilelor de stare x = ( x1 , x 2 ) . Identificaţi tipul traiectoriilor soluţii ale sistemului diferenţial liniar asociat: a) sunt spirale logaritmice crescătoare în timp; b) sunt spirale logaritmice descrescătoare în timp; c) sunt constante în timp; d) sunt circulare cu raza constantǎ; e) nici una dintre afirmaţii;
– // – 27. O persoanǎ împrumutǎ o sumǎ de bani y0 (în $) cu o dobândǎ de 1% pe lunǎ angajându-se sǎ o ramburseze în rate constante de câte 20$ pe lunǎ. Dacǎ y este variabila ce exprimǎ suma de bani, modelul asociat este y t +1 =1,01 y t − 20 cu t ∈{0,1,2,...}. Ce proprietǎţi trebuie sǎ aibǎ suma maximǎ de bani pe care persoana poate sǎ o împrumute astfel ca, în condiţiile precizate, aceasta sǎ poatǎ fi şi rambursatǎ?
a) sǎ fie < 2000 $; b) sǎ fie = 2500 $;
c) sǎ fie = 3500 $; d) sǎ fie > 3000 ; e) sǎ fie > 4500 ; – // – Fie secv secven enţţa de nume numere re real realee { y n+2 }∞ descri descrisă să de relaţ relaţia ia de recure recurenţ nţă: ă: 28. Fie n =0 y n +2 = 8 y n +1 −16 y n . Dacǎ valorile iniţiale ale secvenţei sunt fixate, de exemplu y 0 = 4 şi y 1=12 , selectaţi forma corectǎ a traiectoriilor soluţii pentru recurenţa datǎ considerând cǎ t ∈ {0, 1, 2, ...} a) yt = (4 − t ) ⋅ 4t ; b) yt = (4 + t ) ⋅ 4t ; c) yt = 4t + 2t ; d) yt = −4t + 2t ; e) yt = (4 − t ) ⋅ 2t ; – // –
y n +2
29. Fie secvenţa de numere reale { y n+2 }∞ n =0 descrisă de relaţia de recurenţă neliniarǎ: = 2,4 y n +1 − 0,14 y n2 . Ce puteţi afirma despre valorile de echilibru ale modelului:
a) sunt a = 0 valoare instabilǎ şi a = 10 valoare stabilǎ; b) sunt a = 0 valoare stabilǎ şi a = 10 valoare stabilǎ; c) sunt a = 0 valoare instabilǎ şi a = 10 valoare instabilǎ; d) sunt a = 1 valoare instabilǎ şi a = 10 valoare stabilǎ; e) sunt a = 1 valoare stabilǎ şi a = 8 valoare instabilǎ; – // – 30. În modelul de echilibru (IS-LM), o creştere a ratei taxelor conduce la o deplasare a curbei (IS) astfel: a) se roteşte spre dreapta; b) se translateazã sp spre stânga; c) se trans ransllatea ateazã zã spre spre drea dreapt pta; a; d) se rote roteşşte spre pre st stânga ânga;; e) nu se modificã.
– // –
31. În modelul de echilibru (IS-LM), când masa monetarã se menţine constantã( M ), o creştere a preţurilor( cu dp>0) conduce la o deplasare a curbei (LM) astfel: a) se roteşte spre dreapta; b) se translateazã sp spre stânga; c) se trans ransllatea ateazã zã spre spre drea dreapt pta; a; d) se rote roteşşte spre pre st stânga ânga;; e) nu se modificã.
– // – 32. Fie modelul Kaldor cu anticiparea preţurilor de tip Goodwin: Dt
= a + bp t
S t
= a1 + b1 pt e
S t
= Dt
= pt −1 + ρ ( pt −1 − pt −2 ) . Ştiind cã ρ -indicã intensitatea variaţiei în timp a preţului asupra nivelului preţului anticipat, atunci dacã ρ > 0 avem cã: a) preţul anticipat modificã tendinţa evoluţiei anterioare; a) preţul antici anticipat pat menţine menţine tendinţa tendinţa evoluţi evoluţiei ei din perioada perioada anterio anterioarã; arã; c) preţul anticipat se menţine la nivelul existent; d) ρ > 0 nu are effect asupra tendinţei evoluţiei din perioada anterioarã; e) nici una din din afirmaţiile anterioare nu este corectã. pt e
– // – 33. Evoluţia consumului agregat şi a investiţiilor este descrisă cu ajutorul modelului Samuelson următor:
C t = 0.75Y t −1 I = β (C − C ) t t t −1 Y t = C t + I t + G cu
= 8 ⋅10 12 u.m. (cheltuielile guvernamentale) C t t valoarea consumului la momentul t ; Y t t venitul naţional la momentul t ; I t t investiţiile la momentul t ; β > 0 parametru. Se dau Y 0 = 15 ⋅10 12 u.m., Y 1 = 15 .5 ⋅10 12 u.m. Studiind Studiind dinamica venitului, venitului, precizaţi precizaţi condiţiile condiţiile pe care trebuie să le verifice parametrul β astfel încât traiectoria obţinută să fie stabilă oscilantă (cu oscilaţii proprii): a) β > 0.3 ; b) 0.1 < β < 0.2 ; c) β > 0.02 ; d) β < 0.1 ; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. G
– // – 34. Fie modelul descris de
=cY t −1 , 0 < c < 1 I t = β (C t −C t −1 ) , β > 0 Y t = C t + I t + G C t
unde:- consumul C t este proporţional cu venitul Y −1 din perioada precedentă (c multiplicator); - investiţia I t este proporţională cu diferenţa dintre consumul din perioada t ş i perioada perioada t
t −1 ( β accelerator);
- ultima ecuaţie este o ecuaţie de echilibru general. Care dintre următoarele afirmaţii nu este adevărată? G a) Soluţia particulară este o constantă Y e = ; 1−c 4 β , traiectoria de evoluţie a lui Y (1 + β ) 2 4β c= , traiectoria de evoluţie a lui Y (1 + β ) 2 4 β c< , traiectoria de evoluţie a lui Y (1 + β ) 2
b) dacă c > c) dacă
t
t
d) dacă
t
Y t = ρ t [a cosθ t + β sin θ t ] + Y e
este de forma Y t = ar 1t + br 2t + Y e ; este de forma Y t = (a + bt ) r t + Y e ; este de forma
cu a şi b două constante reale definite plecând de la
condiţiile iniţiale Y 0 şi Y 1 ; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // – 35. Se consideră ecuaţia de dinamică a ratei de schimb (notată cu s(t)): (t ) + ( 2 − cα ) s (t ) + s (t ) = s , cu 0 < c < 1, α > 0 , pentru care se cunosc: s , s (0) şi s (0) . s Traiectoria de evoluţie a ratei de schimb este dată de s (t ) = eℜe ( r )t [ A cos bt + B sin bt ] + s , unde A şi B sunt două două constante constante reale determina determinate te din s(0) şi s (0) , condiţii condiţii iniţiale iar r şi r cα − 2 sunt valorile proprii cu ℜe(r ) = , dacă: 2
a) b) c)
c<
c
>
4
α 5
7
;
d) c >
;
e) nici una din variantele de mai sus nu este adevărată.
α 4 c= . α
α
;
– // – 36. Se consideră ecuaţia de dinamică a ratei de schimb (notată cu s(t)): (t ) + ( 2 − cα ) s (t ) + s (t ) = s , cu 0 < c < 1, α > 0 , pentru care se cunosc: s , s (0) şi s (0) . s
Traiectoria de evoluţie a ratei de schimb este oscilantă cu oscilaţii explozive, dacă: 2 a) c = ; α
b) c) d) e)
c<
2
α c
4
α
;
>
4
4
α
;
;
α 4 c= . α
– // – 37. Fie sistemul dinamic liniar continuu neautonom, cazul multidimensional:
x (t ) = A(t ) x(t ) + B(t )u(t ) y(t ) = C (t ) x(t )
2 0 Cunoscând = nd − t 0 . Cunoscâ fundamentală de soluţii ψ (t ) este dată de:
pentr pentruu care care matric matricea ea
A(t )
e 2t 0 a) ψ (t ) = 1 ; 2t 1 2t 1 − t e + e − t 2 4 4 e 2t 0 b) ψ (t ) = 1 ; 2t 1 t 1 − e + e − t 2 4 4 et 0 c) ψ (t ) = 1 ; 2t 1 2t 1 − t e + e − 1 2 4 4
x10
=1 şi
x 20
= 0 , atunci atunci matric matricea ea
e 2t d) ψ (t ) = 1 2t 1 2t 1 − te + e − 2 4 4
0
; 1
e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // –
Se consideră piaţa unui anumit bun, pentru care s-au identificat funcţiile cererii şi ofertei(model Kaldor cu anticipãri de tip Goodwin):
Dt = 9 8− 2.8 pt e S 1 7 1 . 7 p = − + t t S t = Dt p e = p + 0.2( p − p ) N t − 1 t t − 1 p0 = 2 0$ . Preţul p N este considerat ca fiind un preţ normal pentru bunul respectiv, el fiind determinat prin studii econometrice. – // – a) b) c) d) e)
38. Considerând p N dat de p N = α ⋅ t + β , atunci traiectoria de evoluţie a preţului este: instab instabilă ilă,, cu instabi instabilit litate ate unifor uniformă; mă; stabil stabilă, ă, cu stabi stabili litat tatee uniformă uniformă;; stabilă, stabilă, cu stabili stabilitate tate oscilan oscilantă, tă, având oscil oscilaţii aţii impropri improprii;i; instab instabilă ilă,, cu instab instabili ilitat tatee oscilant oscilantă; ă; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
a) b) c) d) e)
39. Considerând p N dat de p N = β ⋅ eα t , atunci traiectoria de evoluţie a preţului este: instab instabilă ilă,, cu instabi instabilit litate ate unifor uniformă; mă; stabil stabilă, ă, cu stabi stabili litat tatee uniformă uniformă;; stabilă, stabilă, cu stabili stabilitate tate oscilan oscilantă, tă, având oscil oscilaţii aţii impropri improprii;i; instab instabilă ilă,, cu instab instabili ilitat tatee oscilant oscilantă; ă; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
Fie modelul de creştere al lui Solow, dat de relaţiile: 1 [ s k t α + (1 − δ) k t ] k t +1 = 1+ n 0 < s < 1, 0 < δ < 1, n > 0, 0 < α < 1 unde - k este capitalul unitar; s înclinaţia marginală spre economisire; - δ rata de depreciere a capitalului; - n rata de creştere a populaţiei active. ●
40. Mulţimea punctelor de echilibru, E , este dată de:
a) b) c) d)
E = k e1 1 E = k e E = k e1 1 E = k e
1 s 2−α =1, k = ; δ + n 1 1−α = 0, k e2 = s ; δ + n 1 1−α = 0, k e2 = s ; δ − n 1 1−α = 0, k e2 = n ; δ + n 2 e
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
a) b) c) d) e)
41. Cât priveşte cele două puncte de echilibru, avem că: ambele ambele echi echili libre bre sunt sunt instab instabil ile; e; ambele ambele echil echilibr ibree sunt local local stab stabile ile;; unul dintre dintre echilibre echilibre este este instabil instabil,, iar celălalt celălalt este este local local stabil; stabil; ambele ambele echil echilibr ibree sunt global global stab stabile ile;; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
42. Domeniul de stabilitate
a)
S k * = [1,+ ] ;
S k * pentru echilibrul local stabil, dacă există, este
b) S k * = [,+∞] ; c)
S k * = [2,+ ] ;
d)
S k * = [2 0 ,0+ 5] ;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
unde:
43. Fie sistemul dinamic liniar continuu neautonom: x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ) y (t ) = C (t ) x(t )
(1)
x (t ) ∈ R n reprezintă
vectorul variabilelor de stare; u (t ) ∈ R reprezintă vectorul variabilelor de comandă; y (t ) ∈ R p reprezintă vectorul variabilelor de ieşire; A(t ) , B( t ) , C (t ) conduc la nestaţionaritatea sistemului. Care dintre următoarele afirmaţii nu defineşte observabilitatea unui sistem cibernetico-economic: a) observabilitatea este caracteristica unui sistem cibernetico-economic cibernetico-economic specificat de a putea determina nivelul iniţial al stãrii xτ ,τ ∈[t 0 , t ] cunoscând vectorul ieşirilor pe perioada [τ , t ) ; b) observabilitatea corespunde principiului cutiei cutiei negre: fiind cunoscute intrările şi ieşirile sistemului, se cere să se identifice starea sistemului x pe perioada t 0, t ; c) sistemul (1) este observabil în momentul t = τ dacă pentru orice stare dată xτ = x(t τ ) şi orice altă stare dată x1 = x (t 1 ), se poate alege comanda u (t ) pentru t ∈[t 0 , t 1 ] care transferă sistemul din starea xτ în starea x1 , într-un timp finit ∆t = t 1 − t τ ; d) observabilitatea corespunde principiului cutiei negre: fiind cunoscute stările şi ieşirile sistemului, se cere să se identifice intrarea sistemului uτ pe perioada t 0, t ; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. m
τ
– // –
unde:
44. Fie sistemul dinamic liniar continuu neautonom: x (t ) = A(t ) x (t ) + B (t )u (t ) y (t ) = C (t ) x(t ) x (t ) ∈ R n reprezintă
(1)
vectorul variabilelor de stare; u (t ) ∈ R reprezintă vectorul variabilelor de comandă; y (t ) ∈ R p reprezintă vectorul variabilelor de ieşire; A(t ) , B( t ) , C (t ) conduc la nestaţionaritatea sistemului. Care dintre următoarele afirmaţii defineşte controlabilitatea unui sistem cibernetico-economic: m
a) controlabilitatea este caracteristica unui sistem cibernetico-economic specificat de a putea determina nivelul iniţial al stãrii xτ ,τ ∈[t 0 , t ] cunoscând vectorul ieşirilor pe perioada [τ , t ) ; b) controlabilitatea corespunde principiului cutiei cutiei negre: fiind cunoscute intrările şi ieşirile sistemului, se cere să se identifice starea sistemului x pe perioada t 0, t ; c) sistemul (1) este controlabil la momentul t = τ dacă pentru orice stare dată xτ = x(t τ ) şi orice altă stare dată x1 = x (t 1 ), se poate alege comanda u (t ) pentru t ∈[t 0 , t 1 ] care transferă sistemul din starea xτ în starea x1 , într-un timp finit ∆t = t 1 − t τ ; d) controlabilitatea corespunde principiului cutiei negre: fiind cunoscute stările şi ieşirile sistemului, se cere să se identifice intrarea sistemului uτ pe perioada t 0, t ; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. τ
– // – 45. Care dintre următoarele afirmaţii nu este adevărată: a) observa observabil bilita itatea tea unui unui sistem sistem dinami dinamicc exprim exprimăă posibi posibilit litate ateaa de a deduce deduce stăril stărilee sistemului pe baza intrărilor şi ieşirilor; b) orice sistem dinamic observabil este este detectabil; c) control controlabi abilit litatea atea unui sistem sistem dinami dinamicc reprezi reprezintă ntă posibi posibilit litate ateaa de a atinge atinge stăril stărilee sistemului pe baza intrărilor; d) orice sistem dinamic controlabil este accesibil; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã.
– // –
x (t ) = A x(t ) + B u(t ) 46. Fie sistemul cibernetico-economic clasic , unde U ⊂ R m reprezintă y(t ) = C x(t ) p n spaţiul intrărilor, X ⊂ R reprezintă spaţiul stărilor, iar Y ⊂ R reprezintă spaţiul ieşirilor, pentru
11 0 0 1 0 0 1 2 3 1 1 1 1 0 0 A = B = C = 10 21 21 0 0 1 2 0 2 0 1 0 1
care se cunosc
,
,
,
Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată: a) sistemul sistemul este detectabil, detectabil, dar nu este accesibil; accesibil; b) sistemul sistemul este este accesibil, accesibil, dar dar nu este detectabil; detectabil;
m
= 2,
n
= 4 , p = 2 .
c) sistemul sistemul nu nu este este nici nici detectabi detectabil,l, nici nici accesibi accesibil;l; d) sistemul sistemul este este atât detectabil detectabil,, cât şi accesib accesibil; il; e) siste sistemul mul nu este este obse observa rvabil bil.. – // –
x (t ) = A x(t ) + B u(t ) sistemul ul cibern ciberneti etico-e co-econo conomic mic clasic clasic 47. Fie sistem , unde U ⊂ R m y(t ) = C x(t ) reprezintă spaţiul intrărilor, X ⊂ R n reprezintă spaţiul stărilor, iar Y ⊂ R p reprezintă spaţiul 3
0
ieşirilor, pentru care matricea A = 0 − 2 . Presupunând că spaţiul comenzilor are o singură b1 dimensiune, iar matricea B este de forma B = , b1 , b2 ∈ℜ, atunci condiţia necesară şi b 2 suficientă ca sistemul sistemul să fie fie controlabil este ca: a) b1b2 ≠ 0 ; b) b2 ≠ 0 ; c) b1 ≠ 0 ; d) b2 = 0 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – firmă pentru pentru care care se cunoaş cunoaşte te urmãtor urmãtorul ul model model ciberne cibernetic tico-ec o-econom onomic, ic, cazul cazul 48. Fie o firmă
dinamic:
xi (t ) -
x 1 (t ) = a1 1 x1 (t ) + a1 2 x2 (t ) + b1u1 (t ) x (t ) = a x (t ) + a x (t ) + b u (t ) 2 21 1 22 2 2 2 y1 (t ) = A1 (t ) x1 (t ) y2 (t ) = A2 (t ) x2 (t )
reprezintã variabila de stare la nivelul subunitãţii i (în mii $); u i (t ) - reprezintã variabila de comandã la nivelul subunitãţii i (în mii $); y i (t ) - reprezintã variabila de ieşire la nivelul subunitãţii i (în mii $);
0,5 3 x(0) = A(0) = 0,5 2
Se dau: a11 = 0,03; a12 = 0,02; a 21 = 0,02; a 22 = 0,02 ,
.
Nivelul Nivelul variabilei variabilei de stare pentru fiecare fiecare subunitate subunitate i, în al 5-lea an, care asigură în al 7-lea an
2,5 x(7) = 2,5 1,7 2,2 2,0 1,1 x(5) = x(5) = x(5) = x(5) = 1,7 2,2 2,0 1,1
nivelul
a)
, pentru A1 ( t ) şi A2 ( t ) constante, este:
; b)
; c)
; d)
e) nici una din variantele de mai sus nu este adevãratã. – // –
;
49. Nivelul variabilei de ieşire pentru fiecare subunitate i, în al 5-lea an, care asigură în al 7-
2,5 y(7) = 2,5 6 1 y(5) = 4 0 6 y(5) = 4 5 y(5) = 3
lea an nivelul
a)
b)
c)
;
;
;
, pentru A1 ( t ) şi A2 ( t ) constante, este:
d)
4 5 y(5) = 2 8
;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 50. Nivelul variabilei de ieşire pentru fiecare subunitate i, în al 5-lea an, care asigură în al 7-
2,5 y(7) = 2,5 6 y(5) = 6
lea an nivelul
r 2
= 12%, este:
a)
;
, pentru A1 ( t ) şi A2 ( t ) crescând crescând cu ritmurile ritmurile
r 1
= 11% şi respectiv
b)
c)
d)
6 y(5) = 4 8 y(5) = 8 1 0 y(5) = 1 0
;
;
;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 51. Fie problema de optim: T
∫
[max] sau [min] I = F ( x (t ), x (t ), t ) dt x ( t )
x ( t )
0
= x 0 , x (T ) = xT sunt date unde F este o funcţie diferenţiabilă în cele trei variabile t , x, x . Pentru ca valoarea lui I să fie maximă (respectiv minimă), trebuie ca drumul optim x* (t ) să verifice ecuaţia ecuaţia Euler, dată de: a) F t x'' + F x x'' x + F x'' x+ F x' = 0 ; x (0)
2
b) F t x'' − F x x'' x + F x'' x− F x' = 0 ; 2
c) F t x'' + F x x'' x + F x'' x− F xx'' = 0 ; 2
d) F t x'' + F x x'' x + F x'' x− F x' = 0 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
2
– // – 52. Fie problema de optim: T
∫
[max] sau [min] I = F ( x(t ), x (t ), t ) dt x ( t )
x ( t )
0
= x 0 , x (T ) = xT sunt date unde F este o funcţie diferenţiabilă în cele trei variabile t , x, x . Dacă x (T ) nu este fixat, problema se numeşte cu stare finală liberă, şi trebuie ca x * (t ) să fie ales astfel încât (condiţia de transversalitate): a) F x' ( x * (T ), x * (T ), T ) = 0 ; x (0)
b) c)
' * * F x ( x (T ), x (T ), T )
=1;
' * * F x ( x (T ), x (T ), T )
=0;
d) F x' ( x * (T ), x * (T ), T ) = 0 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus sus nu este adevãratã. adevãratã.
– // – 53. Fie problema de optim: T
∫
[max] sau [min] I = F ( x(t ), x (t ), t ) dt x ( t )
x ( t )
0
= x 0 , x (T ) = xT sunt date unde F este o funcţie diferenţiabilă în cele trei variabile t , x, x . Dacă T → ∞ problema se numeşte cu orizont infinit şi trebuie ca x* (t ) să fie ales astfel încât (condiţia de transversalitate): x (0)
lim ' * * a) lim ; t →∞ F x (t , x (t ), x (t )) =
lim ' * * b) lim ; t →∞ F x (t , x (t ), x (t )) =
lim ' * * c) lim ; t →∞ F x (t , x (t ), x (t )) = 0
lim ' * * d) lim ; t →∞ F x (t , x (t ), x (t )) = 1 e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
54. Fie problema de optim: [max] sau [min] I = xt
xt
T −1
∑ F (t , x , x t
t =0
t +1
)
x0 , xT sunt date
unde - F este o funcţie diferenţiabilă în cele trei variabile t , x t , xt +1 ; - starea iniţială, x0 şi starea finală, xT , sunt date. Pentru ca valoarea lui I să fie maximă (respectiv minimă), trebuie ca drumul optim xt * să verifice ecuaţia cunoscută ca fiind condiţia necesară de optim, numită şi condiţia de ordinul 1, dată de: a) F 3' (t −1, xt *−1 , xt * ) + F 2' (t , xt * , xt *+1 ) = 0 ; b) F 3' (t , xt *−1 , xt * ) + F 2' (t , xt * , xt *+1 ) = 0 ; c) F 3' (t −1, xt *−1 , xt * ) + F 1' (t , xt * , xt *+1 ) = 0 ; d) F 3' (t −1, xt * , xt * ) + F 2' (t , xt * , xt *+1 ) = 0 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. ' unde F i (,,) reprezintă derivata de ordinul 1 a funcţiei F în raport cu variabila 1, cu i 1,3 . =
– // – 55. Fie problema de optim: T
∫
[max] I = F [ x(t ), u (t ), t ]dt u ( t )
pe pe restrictii
0
le :
= f ( x(t ), u (t ), t ) x (0) = x 0 , x (T ) = xT date x (t )
t ∈[0, T ]
unde:
- x(t ) şi u (t ) sunt variabile reale; - x şi u sunt funcţii definite pe R+ cu valori în R , de clasă cel puţin C 2 ; - x0 şi xT sunt numere reale date, numite condiţii la limitã (iniţialǎ şi respectiv finalǎ) - F şi f sunt două funcţii definite pe R 3 cu valori în R de clasă cel puţin C 2 ; - x(t ) se numeşte variabilă de stare; - u (t ) se numeşte variabilă de control sau de comandǎ; - I se numeşte funcţie obiectiv, sau indicator de performanţǎ al sistemului economic analizat; - x (t ) = f ( x(t ), u (t ), t ) se numeşte ecuaţie de dinamicã Pentru ca valoarea lui I să fie maximă, trebuie ca drumurile optime u * (t ) şi x * (t ) să verifice următoarele condiţii, numite şi condiţii necesare de optim sau condiţii ale principiului de maxim, ∀t ∈[0, T ] :
∂ H =0 u (t ) ∂ a) x (t ) = f ( x(t ), u (t ), t ) ∂ H (t ) = ψ ∂ x(t ) ∂ H =0 u (t ) ∂ c) x (t ) = f ( x(t ), u (t ), t ) ∂ H (t ) = − ψ ∂ x(t )
∂ H =0 ∂ u (t ) b) x (t ) = − f ( x(t ), u (t ), t ) ∂ H (t ) = − ψ ∂ x(t ) ∂ H =0 ∂ u (t ) d) x (t ) = − f ( x(t ), u (t ), t ) ∂ H (t ) = − ψ ∂ x(t )
e) nici una din variantele de mai sus nu este adevãratã. unde H [ x(t ), u (t ), ψ (t ), t ] = F ( x(t ), u (t ), t ) +ψ (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) , iar vectorul variabilelor adjuncte.
(t ) reprezintă ψ
– // – 56. Fie problema de optim: T −1 I = ∑ F ( xt , ut , t ) [max] t = 0 u (t ) pe restrictiile x − x = f ( x , u , t ) t +1 t t t x , x date 0 T t = 0,1,......T − 1
unde: - x t şi u t sunt variabile reale; - x şi u sunt funcţii definite pe R+ cu valori în R , de clasă cel puţin C 2 ; - x0 şi xT sunt numere reale date, numite condiţii la limitã (iniţialǎ şi respectiv finalǎ) - F şi f sunt două funcţii definite pe R 3 cu valori în R de clasă cel puţin C 2 ; - x t se numeşte variabilă de stare; - u t se numeşte variabilă de control sau de comandǎ; - I se numeşte funcţie obiectiv, sau indicator de performanţǎ al sistemului economic analizat; - xt +1 − xt = f ( xt , u t , t )
Pentru ca valoarea lui I să fie maximă, trebuie ca drumurile optime ut * şi xt * să verifice următoarele condiţii, numite şi condiţii necesare de optim sau condiţii ale principiului de maxim, ∀t =0,1,...... T −1 :
∂ H =0 ut ∂ ∂ H = f ( xt , ut , t ) cu t = 1,2,..T − 1 a) xt +1 − xt = ∂ ψ t ∂ H − = ψ ψ t t − 1 ∂ xt ∂ H =0 ∂ u t x − x = ∂ H = − f ( x , u , t ) cu t = 1,2,..T − 1 b) t +1 t t t ∂ψ t ∂ H − = − ψ ψ t t −1 ∂ xt ∂ H =0 ut ∂ ∂ H = f ( xt , ut , t ) cu t = 1,2,..T − 1 c) xt +1 − xt = ψ ∂ t ∂ H − = − ψ ψ t t − 1 ∂ xt ∂ H =0 ut ∂ ∂ H = − f ( xt , ut , t ) cu t = 1,2,..T − 1 d) xt +1 − xt = ∂ ψ t ∂ H − = ψ ψ t t − 1 ∂ xt
e) nici una din variantele de mai sus nu este adevãratã. unde H [ x(t ), u (t ), ψ (t ), t ] = F ( x(t ), u (t ), t ) +ψ (t ) f ( x(t ), u (t ), t ) , iar vectorul variabilelor adjuncte. – // –
(t ) reprezintă ψ
57. Traiectoria optimală şi comanda optimă pentru următoarea problemă de control 1 2 u (t ) [ m in I ]= ∫ d t + x(1) optimal: 2 0 x (t ) = x(t ) + u(t ) x, (0) = 1
este dată de: 1 2 ~ (t)=et( 1 b) x 2 1 ~ (t)=et( c) x 2 ~ (t)=et( 1 d) x 2 ~ (t)=et( a) x
1 e), 2 1 e1-3 t+1- e), 3 1 e1-2 t+1- e), 2 1 e2-2 t+1- e), 2
e1-2 t+1-
~ (t)= u
-e1-t;
~ (t)= u
-e1-t;
~ (t)= u
-e1-2t;
~ (t)= u
-e2-t;
e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã.
– // –
58. Valoarea optimă a variabilei de stare, la momentul următoarea problemă de control optimal: 2 1 1 2 = [m ax ] [ (ut ) + (ut 2 ) 2 ] + x31 + x32 I t = 0 2
∑
1 1 2 1 1 xt +1 = 0,5 xt + 0,3 xt + u t , x0 = 1 0 x 2 = 0,4 x1 + 0,2 x 2 + u 2 , x 2 = 1 0 t t t 0 t +1
este dată de: a) ( x31 , x 32 ) = ( 2.0;1.0) ; b) ( x 31 , x 32 ) = (2.0;1.5) ; c) ( x 31 , x 32 ) = ( 2.3;1.0) ; d) ( x 31 , x32 ) = ( 2.3;1.5) ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
t = 3 , x3
= ( x31 , x32 ) , pentru
59. Performanţa sistemului pentru următoarea problemă de control optimal:
xt 1+1 = xt 1 − 2 xt 2 + ut 1 , x10 = 1 2 2 1 2 2 = + − =1 x x u u x , 1 0 + t t t t 1 ≤ ut 1 ≤ 3 1 ≤ 2ut 2 ≤ 4 [max] I = 2 x31 + 3 x32 este dată de: 37 a) I * = ; b) c) d)
I *
=
2 35
;
2 39 I * = ; 2 31 I * = ; 2
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
60. Performanţa sistemului pentru următoarea problemă de control optimal:
xt 1+1 = 0,2 xt 1 + 0,3 xt 2 + 0,4ut 1 , x10 = 1 2 1 2 2 2 xt +1 = 0,6 xt + 0,5 xt + 0,4ut , x0 = 1 2 [m ax I ] = ∑ 1[ (ut 1 ) 4 + (ut 2 ) 4 ] + x31 + 2 x32 t = 0 4 este dată de: a) I * = −0,707 ; b) I * = 0,345 ; c) I * = −0,410 ; d) I * = −0,207 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
61. Din rezolvarea problemei de optimizare dinamicǎ urmǎtoare cu ajutorul principiului maximului sau cu ajutorul ecuaţiei lui Euller: T
∫
[ m ax] T = V (t) u(t)
1 1− ε
dt
0
pe restricţiile: (t) = − S V (t) −αS(t)
=S 0 dat S(T) =0 dat S(0)
unde
- S(t) reprezintã situaţia stocului de marfă la momentul t: variabilă de stare; - V(t) volumul vânzărilor de marfă la momentul t: variabila de control; - α coeficientul de deteriorare (perisabilitate) 0< α <1; -ε elasticitatea cererii în raport cu preţul, 0< ε <1; volumul optim al vânzărilor de marfă este dat de: a) V * (t) = − b) V * (t) = − c) V * (t) = − d) V * (t) = −
S0
(
)
( 1-ε ) T α 1 − ε e
1- e S0
−αεt
;
α ( 1- ε ) T
α(1 − ε ) e −αεt ;
α ( 1-ε ) T
α(1 − ε ) e −αt ;
1- e S0 1- e S0
− αεt α 1 2 ε e ( ) ; − 1 - e α (1-ε ) T
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 62. Se consideră problema de optimizare dinamică în timp continuu 5 3 [ m a x I ] = ∫ ( x (t ) + 2)d t 0 p e restrictii le pe x(0) = 2 x(5) = 7
Atunci, valoare maximă a funcţionalei obiectiv este:. a) I * = 15 ; b) I * = 10 ; c) I * = 17 ; d) I * = 25 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 63. Se consideră problema de optimizare dinamică în timp discret 4 3 I x x [m ax ] [ ( ) = − ∑0 t +1 t + 2] le p erestrictii x = 2 0 x5 = 7
Atunci, traiectoria optimală xt * este dată de: a) xt * = t + 3, t = 0,1,2,3,4,5 ; b) xt * = 2t + 2, t = 0,1,2,3,4,5 ; c) xt * = t + 2, t = 0,1,2,3,4,5 ; d) xt * = t + 1, t = 0,1,2,3,4,5 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 64. Fie ecuaţia diferenţialã de ordinul 1: x (t ) = f ( x(t )) şi x e o situaţie de echilibru (o xe) = 0) . situaţie de echilibru este xe dacã ∀ t, x e = 0, deci dacã f ( x Presupunem că f : R→ R este o funcţie de clasă cel puţin C 1 pe domeniul de definiţie. Care dintre următoarele afirmaţii nu este adevărată referitoare la echilibru: a) Echi chilibrul xe este global stabil pe I ⊂ R , dacă oricare ar fi condiţia iniţialã x(0) , variabila funcţională x(t ) converge către x e când t tinde la infinit; b) b) Echi chilibru ibrull x e este local stabil stabil dacă dacă există o vecinătat vecinătatee a lui xe, astfel încât, oricare ar fi condiţia iniţialã x (0) aparţinând acestei vecinătăţi, x(t ) converge către x e când t tinde la infinit; c) Echi chilibrul x e este instabil dacă nu există nici o vecinătate a lui x e , pentru care condiţia iniţială x(0) , să permită ca x(t ) să conveargă către x e , când t tinde către infinit; d) Dacă f ' ( x e ) < 0 , atunci xe este un echilibru echilibru local stabil, iar dacă f ' ( x e ) > 0 , atunci xe este un echilibru instabil; e) nici una din din variantel variantelee de mai sus sus nu este adevãratã. adevãratã.
– // – 65. Fie ecuaţia recurentă(cu diferenţe finite) de ordinul 1: xt +1 = f ( xt ) şi x e o situaţie de echilibru( o situaţie de echilibru xe este atunci când ∀ t , xe = f ( x e )) Presupunem că f : R→ R este o funcţie neliniară de clasă cel puţin C 1 pe domeniul de definiţe. Care dintre următoarele afirmaţii nu este adevărată referitoare la echilibru:
a) Echi chilibrul xe este global stabil pe I , dacă oricare ar fi condiţia iniţialã x0 , seria de termen general x t , converge către xe când t tinde către infinit; b) b) Echi chilibru ibrull xe este local stabil , dacă există o vecinătate a lui xe , astfel încât, oricare ar fi condiţia iniţialã x0 aparţinând acestei vecinătãţi, xt converge către xe când t tinde către infinit; c) Echi chilibrul xe este instabil , dacă nu există nici o vecinătate a lui xe pentru care condiţia iniţialã x0 să permită ca xt să conveargă către xe ; d) Dacã f ' ( x ) <1, atunci xe este un echilibru local stabil, iar dacă dacã f ' ( x ) >1, atunci xe este un echilibru instabil; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. e
e
– // – 66. Se considerã modelul dinamic al evoluţiei preţurilor P t : = 20 − P P P t +2( t +1 − t −1 ) Q st = −7 − 2 P t Qdt
Q st = Qdt
Evoluţia preţului este dată de: t 1 a) P t = A − + B 2t + 9 , cu A şi B constante reale; 2 t
1 b) P t = A − + B2t + 9 , cu A şi B constante reale; 3 t 1 c) P t = A − + B3t + 9 , cu A şi B constante reale; 2 t 1 d) P t = A − + B2t + 10 , cu A şi B constante reale; 2
e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // –
este
67. Se considerã o firmã pentru care funcţia inversa a cererii pe piaţa pe care este activã
p
= 8 − 0,006 Q . Dacã firma stabileşte preţul p=7, atunci cererea pentru produsele sale va fi:
a) cu elasticitate unitarã; b) inelasticã; c) elasticã; d) infinit elasticã; e) nici una din afirmaţiile anterioare. – // –
68. Se considerã un model de ajustare a preţului unui produs pentru care avem: - cererea cererea la mome momentu ntull t, in raport raport cu preţu preţull la acelaş acelaşii moment moment,, Dt = −4 P t + 200 ; - oferta oferta la la momen momentul tul t,t, in raport raport cu cu preţul preţul la mome momentu ntull t-1, t-1, S t = 9 P t −1 + 20 ; - ecua ecuaţi ţiaa de de aju ajust star aree a pre preţu ţulu lui, i, P t +1 = P t + 0,2( Dt − S t ) .
Considerând cã nu intervin modificãri de parametri şi cunoscând valorile pentru P-1 şi P0, atunci traiectoria preţului va fi: a) explozivã; b) constantã; c) uniformã şi stabilã; d) se stabilizeazã în jurul valorii 13,85; e) se stabilizeazã in jurul valorii 11,92. – // – 69. Se considerã cã piaţa unui anumit produs este una normalã. Care din rezultatele urmãtoare, obţinute pe baza datelor statistice privind funcţiile inverse ale cererii p D = p D (Q) şi respective ofertei p S = p S (Q) , poate fi ales? p D (Q ) = 0,4Q + 3 p D (Q ) = −0,4Q + 3 a) b) p S (Q) = 0,6Q − 4 p S (Q ) = 0,6Q − 4
c)
e)
= −0,4Q + 2 S p (Q ) = −0,5Q + 5 p D (Q )
p D (Q ) S
p (Q)
c)
p D (Q ) S
p (Q )
= −0,4Q + 6
= 0,5Q − 3
= −0,4Q + 7
= 0,6Q + 4
– // – 70. Considerãm piaţa unui anumit bun normal, în care funcţiile cererii şi ofertei sunt liniare. Atunci, condiţia de stabilitate statica în sens Marshall(SSM): a) este este adevã adevãrat rat doar doar în cazul cazul în în care care p D (Q) are termenul liber negativ; b) este este adev adevãrat ãratãã în în gene general ral;; c) este este adevã adevãrat ratãã doar doar în cazul cazul în care p D (Q) este crescãtoare doar în Q; d) este adevãrat adevãratãã doar pentru pentru dependenţ dependenţee neliniare neliniare între între p şi şi Q; e) nici una din din afirmaţii afirmaţiile le anterioar anterioaree nu este este adevãrat adevãratã. ã.
– // – 71. Pe piaţa unui anumit produs sau identificat funcţiile cererii şi ofertei: Dt
S t
= 100 − 3 pt
= −20 + 2 pt −1
cu p0 = 25[um ] . Atunci, nivelul preţului in anul 2, p 2 este: a) p 2 = 24,33 ; b) p 2 = 24,66 ; c) p2 = 24,44 ; d) p 2 = 24,88 ; e) nici una din variantele anterioare nu este adevãratã. – // –
72. Pe piaţa unui bun, evoluţiile cererii şi ofertei sunt descrise de următoarele relaţii: Qd (t ) = 80 − 4 p (t ) (t ) Q s (t ) = −20 + 3 p (t ) + 0.2 p Qd (t ) = Q s (t ) unde Qd (t) (t) este funcţia cererii; Q s(t) este funcţia ofertei; p(t) este preţul unitar al bunului, la momentul t . Dacă p(0) = 20 , atunci traiectoria de evoluţie a preţului este: a) instabilă, cu instabilitate uniformă; b) stabilă, cu stabilitate stabilitate uniformă; uniformă; c) stabilă, cu stabilitate stabilitate oscilantă, având oscilaţii oscilaţii improprii; d) instabilă, cu instabilitate oscilantă; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã.
– // – 73. Pe piaţa unui bun, evoluţiile cererii şi ofertei sunt descrise de următoarele relaţii: = 20 − 2 pt Q s ,t = −13 + 4 p t p t +1 = p t + 0.1 ⋅[Qd ,t − Q s ,t ] Q d ,t
unde
Qd,t este funcţia cererii; Q s,t este funcţia ofertei; pt este preţul unitar al bunului, la momentul t .
Dacă p0 = 6 , atunci traiectoria de evoluţie a preţului este: a) instabilă, cu instabilitate uniformă; b) stabilă, cu stabilitate stabilitate uniformă; uniformă; c) stabilă, cu stabilitate stabilitate oscilantă, având oscilaţii oscilaţii improprii; d) instabilă, cu instabilitate oscilantă; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // – 74. Fie modelul de piaţă: Qdt = α − β P t , α , β > 0 Q st
= −γ + δ P t , δ , γ > 0
= P t + j[Qdt − Q st ], j > 0 unde: - Qdt reprezintă funcţia cererii, Qst funcţia ofertei; - ajustarea ajustarea preţului preţului P este proporţională cu cererea excedentară( cu j coeficientul de ajustare). Condiţia necesară şi suficientă ca traiectoria de evoluţie a lui P să tindă uniform către P este ca: P t +1
t
t
a)
j
>
2
β + δ
;
e
b) c) d)
j
<
1
β + δ
1
β + δ j
=
;
< j < 1
β + δ
2
β + δ
;
;
e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // – 75. Fie o industrie(o piaţă a unui anumit produs sau serviciu) în concurenţă perfectă, pentru care funcţiile cererii şi ofertei sunt liniare, de forma: 100 − p , pentru 0 ≤ p < 100 y D ( p ) = 0 , pentru p ≥100 −10 + 2 p , pentru p > 5 y S ( p ) = 0 , pentru 0 ≤ p ≤ 5
unde:
dy D ( p ) dp
= −1 şi arată faptul că la o creştere a preţului cerut de ofertant cu o unitate,
cantitatea cerută de cumpărător scade cu o unitate; dy S ( p ) dp
= 2 , semnificând faptul că la o creştere a preţulu oferit de cumpărător cu o
unitate, cantitatea oferită creşte cu două unităţi;
y D (0) = 1 0 0
semnifică nivelul cererii şi ofertei, atunci când preţul cerut, respectiv cel y (0) = 0 S
oferit este zero. Presupunem că se modifică curba cererii, devenind: 120 − p , pentru 0 ≤ p <120 y D ( p ) = 0 , pentru p ≥120 În aceste condiţii, ajustarea statică a echilibrului duce la modificarea perechii de echilibru (preţ de echilibru, cantitatea de echilibru) la nivelul: 110 , 220 ; a) 3 3 130 , 230 ; b) 3 3 130 , 220 ; c) 3 3
110 , 230 ; d) 3 3 e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 76. Stabilitatea Walrasiană presupune scăderea cererii excedentare la:
a) b) c) d)
20 3 40 3 50
3 34 3
; ; ; ;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 77. Stabilitatea Marshalliană presupune scăderea preţul cererii excedentare la:
a) b) c) d)
20 3 40 3 50
3 34 3
; ; ; ;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã adevãratã – // – 78. Pe piaţa unui produs se cunosc funcţiile cererii şi respectiv ale ofertei:
Dt = 8 2− 2 pt S = − 2 + p t t − 1 S = D t t ultima relaţie reprezentând condiţia de echilibru static, iar p0 =29. Traiectoria de evoluţie a preţului este dată de: a) pt = ( − 2) t +28;
t
1 b) pt = − +27; 2 t 1 c) pt = − +28; 3 t 1 p d) t = − +28; 2
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 79. Fie modelul Kaldor cu anticipări raţionale, dat de:
Dt = a + b pt e = + S a b p t 1 1 t S t = Dt p e = p + c( p − p ) t t − 1 N t − 1 cu p N = 28. Traiectoria de evoluţie a preţului pentru c = a) b)
pt =
( −3) +28;
pt = −
1 3
este dată de:
t
t
1 +27; 2
t 1 p c) +28; t = − 3 t 1 d) pt = − +28; 2
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 80. Fie modelul Kaldor cu anticiparea preţului de tip Goodwin, dat de:
Dt = 8 2− 2 pt S = − 2 + p + ρ ( p − p ) t t − 1 t − 1 t − 2 S = D t t
Pentru ρ = 1, ştiind că preţurile înregistrate anterior sunt la momentul 5 este dată de: a) p5 = 41.518;
p0
= 29,
p
1
−
= 25, valoarea preţului
b) p5 = 40.618; c) p5 = 40.538; d) p5 = 41.588; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 81. Pe piaţa produsului X s-au deteminat funcţiile cererii şi ofertei, ca având următoarele relaţii(model Kaldor cu anticipãri de tip Goodwin):
Dt = 1 0 0− 3 pt e S p = − + 2 0 2 t t S t = Dt p e = p + 1( p − p ) t − 1 t − 2 t t − 1 p0 = 2 5$ ; p − 1 = 2 2. În condiţiile date, traiectoria de evoluţie a preţului este: a) instab instabilă ilă,, cu instabi instabilit litate ate unifor uniformă; mă; b) stabil stabilă, ă, cu stabi stabili litat tatee uniformă uniformă;; c) stabilă, stabilă, cu stabilita stabilitate te oscilantă, oscilantă, având oscilaţ oscilaţii ii improprii improprii (de periodicit periodicitate ate 2); d) instabilă instabilă,, explozivă, explozivă, cu oscilaţ oscilaţiiii improprii improprii (de (de periodicit periodicitate ate 2); e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 82. Pe piaţa unui anumit bun s-au estimat prin metode econometrice următoarele expresii ale funcţiilor cererii şi ofertei:
D( p( t ) ) = a + b p( t ) S ( p( t ) ) = a1 + b1 p( t ) unde a = 2000, a1 = -1200 p(t ) - preţul în $/bucată; Q (t ) - cantitatea, măsurată în milioane bucăţi. Care dintre următoarele afirmaţii satisface condiţiile de normalitate ale cererii şi ofertei? a) b < 0, b1 < 0 ; b) b < 0, b1 = 0 ; c) b > 0, b1 > 0 ; d) b < 0, b1 > 0 ;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – =55$ care care dint dintre re urmă următo toare arele le afir afirma maţi ţiii 83. Pentru b =-20, b1 = 40, p1 =52$, p 2 =55$ ˆ ): ˆ, Q reprezintă nivelul de echilibru ( P ˆ ) = (52 ,22 ;922 ,22 ) ; ˆ, Q a) P ˆ ) = (54 ,4;944 ,44 ) ; ˆ, Q b) P ˆ ) = (51 ,11 ;911 ,11 ) ; ˆ, Q c) P ˆ ) = (53 ,33 ;933 ,33 ) ; ˆ, Q d) P e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. f) – // – 84. Pentru b =-20, b1 = 40, p 0 =54$, care dintre următoarele afirmaţi caracterizează traiectoria de evoluţie a preţului: a) p(t ) = e −1,1t 0,67+52,22; b) p(t ) = e −1, 2t 0,67+53,33; c) p(t ) = e −1,3t 0,67+51,11; d) p(t ) = e −1, 4t 0,67+54,44; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 85. Se dă următorul model Hicks pentru cazul discret:
Y t = C t + I t + Gt C = α Y ; α ∈ ( 0,1) t t − 1 I = β ( Y − Y ) ; β > 0 t t − 1 t − 2
Ritmul de creştere a cheltuielilor guvernamentale este presupus ca fiind r =12%. Se consideră, de asemenea, momentul iniţial ca fiind anul 2005, pentru care avem: Y 0 ( 2005 ) =259927 mld.lei Y −1( 2004 ) =108919,6 mld.lei G0 =30999,8 mld.lei În condiţiile date, traiectoria de evoluţie a PNN este: a) stabilă, stabilă, cu stabili stabilitate tate oscilantă, oscilantă, având având oscilaţi oscilaţiii improprii improprii (de perioadă perioadă 3); b) stabil stabilă, ă, cu stabi stabili litat tatee uniformă uniformă;; c) stabilă, stabilă, cu stabili stabilitate tate oscilantă, oscilantă, având având oscilaţi oscilaţiii improprii improprii (de perioadă perioadă 2); d) inst instab abil ilă, ă, expl exploz oziv ivă; ă; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 86. Se consideră modelul Samuelson dat de următoarele relaţii:
Y t = C t + I t + Gt C = α Y t t − 1 I t = k ( C t − C t − 1 ) Gt − d a t pentru care se cunosc: α = 0,8; k =2,5, de asemenea G0 = 18396 mld.lei; Y −1 = 49773 ,2; C −1 = 38452 ,4 şi ritmul de creştere: r = 10% . Care dintre următoarele afirmaţi este corectă: a) traiectoria traiectoria de evoluţi evoluţiee a PNN se stabiliz stabilizează ează în jurul jurul valorii valorii de 171.224,3 171.224,3 mld.lei; mld.lei; b) traiectoria traiectoria de evoluţie evoluţie a PNN se stabiliz stabilizează ează în jurul valorii valorii de 151.224,3 151.224,3 mld.lei; mld.lei; c) traiectoria traiectoria de evoluţi evoluţiee a PNN se stabiliz stabilizează ează în jurul jurul valorii valorii de 161.224,3 161.224,3 mld.lei; mld.lei; d) traiectoria traiectoria de evoluţi evoluţiee a PNN se stabiliz stabilizează ează în jurul jurul valorii valorii de 181.224,3 181.224,3 mld.lei; mld.lei; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 87. Se considerã modelul de piaţă cu anticiparea preţurilor dat de (t ) + n P (t ) = α − β P (t ) + m P Q s (t ) = −γ +δ P (t ) , α , β , γ , δ > 0, n ≠ 0
Q d (t )
= Q s (t ) Condiţia necesară şi suficientă pentru care P (t ) converge cãtre echilibru este ca: a) m < 0, n > 0 ; b) m > 0, n < 0 ; c) m < 0, n < 0 ; d) m > 0, n > 0 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. Qd (t )
– // – AK t 0, 4 L0t , 6 şi inzestrarea tehnicã 88. Fie o firmã pentru care funcţia de producţie este Qt = AK
la momentul curent este
k 0
=
K 0 L0
= 150 . Informaţiile de pe piaţa muncii şi piaţa de capital, permit
anticiparea unui nivel al ratei marginale de substituire a factorilor, Rms(K,L), egal cu 270, care asigurã desfãşurarea unei activitãţi optime. Având in vedere cã pe termen scurt, decizia este de angajare sau de disponibilizare de personal, atunci nivelul viitor k t al inzestrarii tehnice va fi: a) cu 20 mai mai mar mare; e; b) cu 30% 30% mai mai mare mare;; c) cu 20% 20% mai mai mare mare;; d) cu 40 mai mai mar mare; e; e) cu 40% 40% mai mai mare. are. – // – 89. Funcţia de producţie Y ( L, K ) omogenã de grad 1, pentru care elasticitatea producţiei în raport cu factorul L este: E L = α + β k unde α , β reprezintã parametri în intervalul (0,1), iar k – reprezintã înzestrarea tehnicã a muncii, are forma: K K −β −β α 1−α α 1−β a) Y ( L, K ) = AL b) L ; Y ( L, K ) = AL AL K e L ; AL K e K
−β c) Y ( L, K ) = AL d) Y ( L, K ) = ALα K 1−α ; AL β K 1−α e L ; e) nici una din variantele de mai sus nu este adevãratã.
– // – 90. Fie o firmã care activeazã in domeniul web design-ului. Firma are douã sedii, unul in Bucureşti şi unul în Braşov. Pentru aceastã firmã se considerã urmãtorul model dinamic: = a11 x1,t +a12 x 2,t +b1u1,t x 2,t +1 = a 21 x1,t + a 22 x 2,t +b2 u 2 ,t y1,t = A1,t x1,t y 2,t = A2,t x 2,t x1,t +1
unde
x i ,t - reprezintã rentabilitatea activului
total din filiala i, i = 1,2 (mii $); u i ,t - rotaţia activului total din filiala i, i = 1,2 (mii $); y i ,t - profitul net dupã impozitare în filiala i, i = 1,2 (mii $); Ai ,t - total active ale filialei i, i = 1,2 (mii $); c - cifra de afaceri la momentul t a filialei i, i = 1,2 (mii $). i ,t
Se dau
Atunci:
a11
= 0,3 ,
a12
= 0,2 ,
a21
= 0,2 ,
a 22
x = 0,5 A = 3 0 0 0,5 0 3
= 0,2 ,
,
0
şi rãmâne aceeaşi in timp.
a) b) c) d) e)
sistem sistemul ul este este doar doar contr controla olabil bil;; sistem sistemul ul este este doar doar obser observabi vabil; l; sistemul este este in acelaşi timp controlabil controlabil şi observabil; sistemul nu este este in acelaşi timp timp controlabil şi observabil; nici una din variantele de mai sus nu este adevãratã. – // –
(t ) = I (t ) −δ K (t ) 91. Fie ecuaţia de dinamicã a evoluţiei capitalului, la momentul t: K unde: - K (t ) reprezintã capitalul la momentul t, variabilă endogenă; - I (t ) investiţia la momentul t, variabilă exogenă; - δ rata de depreciere, parametru, 0 ≤ δ < 1 ; Care dintre următoarele variante reprezintă traiectoria de evoluţie a capitalului: τ a) K (t ) = K (0)e −δ t + ∫ 0t e −δ I (τ )d τ ;
b) K (t ) = K (0)e −t + ∫ 0t e −δ (1−τ ) I (τ )d τ ; t
c) K (t ) = K ()e −δ t + ∫ e −δ (−τ ) I (τ )d τ ; d) K (t ) = K (0) + ∫ 0t e −δ (1−τ ) I (τ )d τ ; e) nici una din variantele variantele de mai sus nu este adevãratã. – // – omogenă pentru care elasticita elasticitatea tea producţiei î n raport cu 92. Funcţia de producţie liniar omogenă factorul L este E L = α , este: a) o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas clasic; b) o func ţie de producţie de tip Cobb-Douglas generalizată; c) o funcţie de producţie de tip CES; d) o funcţie de producţie de tip Allen; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – omogenă pentru care elasticita elasticitatea tea producţiei î n raport cu 93. Funcţia de producţie liniar omogenă factorul L este E L = α + β k , este: a) o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas clasic; b) o func ţie de producţie de tip Cobb-Douglas generalizată; c) o funcţie de producţie de tip CES; d) o funcţie de producţie liniar ă î n raport cu ambii factori; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
94. Funcţia de producţie liniar omogenă pentru care norma de substituire a factorilor este r (k ) = a , este: a) o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas clasic; b) o func ţie de producţie de tip Cobb-Douglas generalizată; c) o funcţie de producţie de tip CES; d) o funcţie de producţie liniar ă î n raport cu ambii factori; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 95. Funcţia de producţie liniar omogenă pentru care norma de substituire a factorilor este ak − b , a, b, c − parametri, este: r (k ) = a − ck a) o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas clasic; b) o func ţie de producţie de tip Cobb-Douglas generalizată; c) o funcţie de producţie de tip CES; d) o funcţie de producţie de tip Allen; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 96. Funcţia de producţie liniar omogenă pentru care elasticitatea normei de substitu ţie a factorilor este constantă, σ (k ) =1 + a , este: a) o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas clasic; b) o func ţie de producţie de tip Cobb-Douglas generalizată; c) o funcţie de producţie de tip CES; d) o funcţie de producţie de tip Allen; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 97. Pentru un sistem de producţie s-a determinat din analiza datelor statistice următoarea dependenţă între η L şi w: η L (k t ) =α w(k t ) +γ Ştiind că α = 0,2 şi γ =−0,1, atunci funcţia de producţie liniar omogenă, este dată de: AL 0,8 K 0, 2 ; a) Y ( L, K ) = AL AL 0, 5 K 0, 5 ; b) Y ( L, K ) = AL AL 0, 2 K 0, 8 ; c) Y ( L, K ) = AL AL 0, 4 K 0, 6 ; d) Y ( L, K ) = AL e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 98. Se considerã modelul ce caracterizează planul de vânzare pentru un produs perisabil
S t + 1 = (1 − α )S t − ut , cu 0< α <1 şi 0< ε <1 ut + 1 = (1 − α )ut unde
- S reprezintã starea stocului; - u vânzarea (variabila endogenă dependentă de timp); - α coeficient de deteriorare (pentru produsul perisabil).
Mulţimea punctelor de echilibru, E = (S ∗ , u ∗ ) , este dată de: a) E = (S ∗ , u ∗ ) / S ∗ = 0, u ∗ = 0 ; b) E = ( S ∗ , u ∗ ) / S ∗ = 1, u ∗ = 0 ; c) E = (S ∗ , u ∗ ) / S ∗ = 0, u ∗ = 1 ; d) E = ( S ∗ , u ∗ ) / S ∗ = 1, u ∗ = 1 ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
{ { { {
} } } }
– // – a) b) c) d) e)
99. Cât priveşte punctul de echilibru, avem că: punctu punctull de echil echilibr ibruu este este instab instabil; il; punctul punctul de echilibru echilibru este este doar local local stabil; stabil; punctul punctul de echilibru echilibru este este global global stabil, stabil, acesta acesta fiind fiind un nod nod stabil; stabil; punctu punctull de echil echilibr ibruu este este un nod inst instabi abill ; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // –
100. Se considerã modelul lui Dornbusch, cu rată de schimb şi politică monetară, dat de
p (t ) = π [e(t δ ) − p(t ) ] e (t ) = α e(t ) − (α − 1 ) p(t ) − 1 m − i β β λ λ cu π > 0, α > 0, β > 0, λ > 0, δ > 0, β > α λ unde - e reprezintã logaritmul ratei de schimb; - p logaritmul nivelului preţurilor (e şi p sunt variabile endogene funcţie de timp); - i rata internă a dobânzii; - m logaritmul cantităţii de monedă oferită (i şi m sunt variabile exogene);
- π coeficient de ajustare(parametru ). Mulţimea punctelor de echilibru, E = ( p ∗ , e ∗ ) , este dată de: a) E = ( p ∗ , e ∗ ) / p ∗ = m + λ i, e ∗ = m ; b) E = ( p ∗ , e ∗ ) / p ∗ = m + λ i, e ∗ = λ i ; c) E = ( p ∗ , e ∗ ) / p ∗ = λ i, e ∗ = m + λ i ; d) E = ( p ∗ , e ∗ ) / p ∗ = m + λ i, e ∗ = m + λ i ; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
{ { { {
} } }
}
– // – a) b) c) d) e)
101. Cât priveşte punctul de echilibru, avem că: echi echili libru brull este este insta instabi bil; l; echili echilibrul brul este este doar doar local local stab stabil; il; echilibrul echilibrul este este global global stabil, stabil, acesta acesta fiind fiind un nod stabil; stabil; echilibrul echilibrul este este global global stabil, stabil, având având totuşi totuşi un nod instabil instabil;; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 102. Se considerã o economie inchisã, în care se cunosc urmãtoarele date: funcţia cererii de consum este C = 300 + 0,8 D , unde D = Y − T , D-reprezintã venitul disponibil, Y-venitul oferit, T=750 reprezintã impozitele şi taxele, I=600 investiţiile la nivelul economiei şi G=800 cheltuielile guvernamentale. Atunci, creşterea cheltuielilor guvernamentale cu dG=50 va induce o creştere a valorii de echilibru a lui Y cu: a) 6,3%; b) 7,5%; c) 3,5%; d) 4,5%; e) 9%.
– // – 103. Se considerã modelul Hicks al dezvoltãrii macroeconomice ciclice, cu α ∈(0,1) propensiunea spre consum şi β > 0 acceleratorul investiţiei: Yt = Ct + I t + Gt Ct = α Y t −1 I t = β (Yt −1 − Yt − 2 ) Gt = G , constant unde Y - reprezintã produsul naţional; C t - reprezintã consumul agregat; I t - reprezintã investiţia totalã la nivelul economiei; eco nomiei; G - reprezintã cheltuielile guvernamentale. t
Atunci, economia spunem cã are o dezvoltare ciclicã stabilã, dacã: a) β ∈[1, (1 + 1 −α ) 2 ] ; b) β ∈[0, (1 − 1 −α ) 2 ] ; c) β ∈[(1 − d) β ∈[(1 + 1 −α ) 2 ,2] ; e) β ∈[0, 1 −α ] .
1 −α ) 2 ,1] ;
– // – 104. Se considerã modelul unei economii deschise mici: Y = C + I + G + NX C =100 + 0,7Y I = 900 − 2500 r M = (0,1855 Y −1500 r ) P
NX NX
= 700 − 0,2Y − 120e P ∗ P
unde G=800. Presupunem cã rata de schimb este fixatã la e=1 şi cã rata mondialã a dobânzii r = 0,06 , în timp ce P = P ∗ =1,2. Atunci, soldul balanţei comerciale la echilibru va fi: a) NX = 421 421;; b) NX NX = -25 -256; 6; c) NX NX = 329 329;; d) NX NX = -31 -312; 2; e) NX NX = 0; 0; – // – 105. Se considerã economia naţionalã ca sistem deschis în cadrul economiei mondiale , in care modelul cibernetico-economic este dat de: = C t + I t +( E t − M t ) C t = 0,6Y t −1 + 200 I t = 0,2Y t −1 +100 M t = 0,3Y t −1 + 50 E t = E dat exogen ( E = 350 ) Y t
unde
- reprezintã produsul naţional; C t - reprezintã consumul agregat; I t - reprezintã investiţia totalã la nivelul economiei; E t - reprezintã exportul; M t - reprezintã importul. Atunci, produsul naţional, Y t , se stabilizeazã stabilizeazã la nivelul nivelul valoriiY ∗ egalã cu: a) Y ∗ =1200; b) Y ∗ =140 1400; c) Y ∗ =2200; d) Y ∗ =1800; e) Y ∗ =1000. Y t
– // – 106. Într-o economie inchisã, funcţia cererii de consum este C = 0,75YD
YD = Y − T T = 700 I = 500 G = 700 .
+ 200
Creşterea cheltuielilor guvernamentale cu dG=200 va induce o creştere a valorii de echilibru a lui Y cu: a) 16,45%; b) 21,33%; c) 22,86%; d) 34,62%; e) 12,36%. – // – creştere a unei variabile variabile economice x(t ) este diferenţa dinte 107. Se presupune că rata de creştere ( ) x t λ un termen constant r , şi un termen proporţional cu variabila. Ca urmare, rata este influenţatã de un “efect de saturaţie” numit şi “frânaj logistic”, cu atât mai mare cu cât variabila x (t ) = r − λ x(t ) , cu r > 0 , λ > 0 şi x (0) creşte. Formalizarea problemei este dată deci de: x(t )
dat. Scrierea sub forma x (t ) = f ( x) , implicã x = rx − λ x 2 Mulţimea punctelor de echilibru, E , este dată de: λ a) E = k e1 = 0, k e2 = ; r r b) E = k e1 = 0, k e2 = ; λ r c) E = k e1 = 1, k e2 = ; λ 2r d) E = k e1 = 0, k e2 = ; λ e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – a) b) c) d) e)
108. Cât priveşte cele două puncte de echilibru, avem că: ambele ambele echi echili libre bre sunt sunt instab instabil ile; e; ambele ambele echil echilibr ibree sunt local local stab stabile ile;; unul dintre dintre echilibre echilibre este este instabil instabil,, iar celălalt celălalt este este local local stabil; stabil; ambele ambele echil echilibr ibree sunt global global stab stabile ile;; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 109. Traiectoria de evoluţie a variabilei economice x(t ) este dată de:
a) b)
r r λ [1 + ( −1)e −rt ] x (0) λ r x (t ) = r λ (1 + e −rt ) ; λ x (0) x (t )
=
;
c) d)
x (t )
r
=
r −1)e −rt ; x (0) λ 1 x (t ) = r 1 +( −1)e −rt λ x (0)
λ (
;
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 110. Fie modelul de creştere(Haavelmo-Stutzer ) dat de:
N + 1 − N N N = α − β Y , c α u > 0, β > 0, A > 0 Y = A 1/2N t
t
t
t
unde
t
t
t
- N reprezintã populaţia; - Y venitul ; 1 - a= 2
Mulţimea punctelor de echilibru, E , este dată de: a) b) c) d)
2 1 α + A 2 E = N e = 1, N e = ; β 2 1 2α A 2 E = N e = 0, N e = ; β 2 1 α A 2 E = N e = 0, N e = ; β 2 1 α − A 2 E = N e = 0, N e = ; β
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 111. Se considerã sistemul dinamic(modelul Walras-Keynes-Phillips)
Y (t ) α ( D' y −1) α D' p − α E ' r Y (t ) − Y ∗ ∗ ∗ p p (t ) − p 0 p (t ) = γ p ∗ π e (t ) β γ π e (t ) − π e ∗ 0 0
cu 0 < α < 1, β > 0, γ > 0, D' y < 1, D' p < 0, E 'γ < 1 în care -
Y(t) reprezintã venitul;
-
P(t) reprezintã preţul;
-
π e (t ) este inflaţia aşteptatã.
Condiţiile necesare şi suficiente pentru care punctul de echilibru: (Y ∗ , p ∗ , π e ∗ ) este stabil, sunt date de: − β D' p p ∗ ∗ a) D' p p − β E ' r < ; D'Y −1 − β D' p p ∗ ∗ b) D' p p − β E ' r < ; α ( D'Y −1) − β D' p p ∗ ∗ c) D' p p − E ' r < ; α ( D 'Y −1) − D' p p ∗ ∗ d) D' p p − β E ' r < ; α ( D 'Y −1) e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // –
112. Se considerã modelul inflaţie-şomaj, dat de:
9 1 Π t + 1 = Π t − 4 U t + 8 U t + 1 = 1 Π t − 1 U t − 1 (m − 1 ) 2 2 2 6 unde
- Π reprezintã rata inflaţie; - U este rata şomajului; - m este parametru pozitiv. Mulţimea punctelor de echilibru, E = (Π∗ , U ∗ ) , este dată de: 1 a) E = (Π ∗ ,U ∗ ) / Π ∗ = m + 1,U ∗ = ; 18 1 b) E = (Π ∗ ,U ∗ ) / Π ∗ = m,U ∗ = ; 18
∗ ∗ ∗ = m,U ∗ = 1 ; 28 1 d) E = (Π ∗ ,U ∗ ) / Π ∗ = m + 1,U ∗ = ; 28 e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. c)
E = (Π ,U ) / Π
– // – a) b) c) d) e)
113. Cât priveşte punctul de echilibru, avem că: echi echili libru brull este este insta instabi bil; l; echili echilibrul brul este este un focar focar stab stabil; il; echilibrul echilibrul este este global global stabil, stabil, acesta acesta fiind fiind un nod stabil; stabil; echili echilibrul brul este este un un focar focar global global stab stabil il ; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 114. Traiectoria de evoluţie a ratei inflaţiei este dată de:
a) b) c) d)
Πt = Πt = Πt = Πt =
t
8 3 A cos θ t + 3 B sin θ t + m ; 5
[
]
t
5
[3 A cos θ t + 3 B sin sin θ t ] + m ;
8
t
5 3 A cos θ t + 3 B sin sin θ t ; 8
[
]
t
5 A cos θ t + 3 B sin sin θ t + m ; 8
[
]
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 115. Traiectoria de evoluţie a ratei şomajului este dată de: a) U t = b) U t = c) U t =
t
5 B( cos θ t + sin θ t ) + A(sin sin θ t − cos θ t ) 8
[
t
5 A( cos cos θ t + sin sin θ t ) + B (sin sin θ t − cos θ t ) 8 t
5
[
]+ 1 ; 18
];
1 ( cos θ t + sin θ t ) + B( sin sin θ t − cos θ t ) ] + [ A ; 8 18
d) U t =
t
8 A( cos θ t + sin θ t ) + B(sin sin θ t − cos θ t ) 5
[
]+ 1 ; 18
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. m 1 unde A, B sunt două constante reale, date de A = Π0 − şi respectiv 3
B = −U 0
1
m
3
3
+ Π0 −
+
1 18
3
. – // –
116. Fie piaţa bunurilor şi serviciilor, descrisã de curbele ofertei şi cererii agregate: Y = 30000 ( p − p ) + 5000 M D =1500 +1,5G + 3,6 . p
Piaţa monetarã este la echilibru prin oferta realã de bani egalã cu 6000; nivelul aşteptat al preţurilor este p =1,2 iar guvernul decide volumul cheltuielilor guvernamentale G=800 pentru echilibrarea pieţei bunurilor. Atunci, cea mai bunã aproximare a preţului, p, la care se realizeazã echilibrul este: a) 1,32; b) 1,58; c) 1,25; d ) 1, 6 8 ; e) 1,39. – // – 117. Într-o economie, funcţia cererii de bani este:
M D
=
1 Y ( ) P , venitul real Y este 16 r
10000, iar rata dobânzii este 25%. Oferta de bani M este iniţial egalã cu 4000. Dacã in perioada urmãtoare oferta de bani creşte cu 50%, iar reglarea la echilibru se face prin nivelul preţurilor P, atunci rata inflaţiei va fi: a) 30%; b) 50%; c) 70%; d) 80%; e) 110%. – // – 118. Guvernul intenţioneazã sã utilizeze politici fiscale şi monetare pentru a atinge un anumit nivel de creştere a P.I.B.. Dacã aţi fi consilier economic guvernamental, care dintre urmãtoarele politici aţi recomanda: a) reducerea reducerea cheltuielil cheltuielilor or guvernamentale guvernamentale şi menţinerea menţinerea masei masei monetare monetare la nivelul nivelul anterior; b) reducerea reducerea plãţilor plãţilor transferabi transferabile le insoţitã insoţitã de o uşoarã uşoarã creştere creştere a masei monetar monetare; e; c) creşterea creşterea ratei ratei fiscali fiscalitãţi tãţiii şi a datoriei datoriei publice; publice; d) creşterea creşterea cheltuieli cheltuielilor lor guvernamentale guvernamentale insoţit insoţitãã de o expansiune corespunzã corespunzãtoare toare a masei monetare; e) nici una din din variantel variantelee de mai mai sus sus nu este adevãratã. adevãratã.
– // –
119. Fie modelul dinamic al venitului, Y(t): (t ) 0 < c < 1 C (t ) =cY (t ) −Y , > I (t ) = β C (t ) , β 0
Y (t ) = C (t ) + I (t ) + G (t ) (c multiplicator); unde: - consumul C (t ) depinde de venitul Y (t ) şi de evoluţia sa Y (t ) ( β - investiţia I (t ) este proporţională cu dinamica indicatorului consum C
accelerator); - ultima ecuaţie este o ecuaţie de echilibru general. Condiţia necesară şi suficientă de stabilitate pentru Y (t ) este ca: 1 a) β < ; b) c) d) e)
2
β c >1 ; β <1 ; β c <1 ; β > 2 .
– // – 120. Se considerã dinamica ratei de schimb datã de: st + − cα st + + cα st = s , cu 0 < c < 1 şi α > 0 , unde s t -reprezintã rata de schimb a variabilei endogene, s constantã pozitivã. Condiţia necesară şi suficientă pentru care s t converge cãtre echilibrul s este ca: 1 a) α < ; 2
b) α > 1 ; c) α < 1 ; d) c < 1; e) cα < 1 . – // – 121. Se consideră modelul IS-LM, dat de
Y (t ) = a[ E (Y (t ) − T , r (t ) )+ G − Y (t )] M r (t ) = b L(Y (t ) ,r (t ) )− P unde - Y reprezintă producţia; - r reprezintă rata dobânzii( Y şi r sunt variabile endogene); - G cheltuieli publice;
- M oferta de monedă; - P indicele preţurilor( G, M şi P sunt variabile exogene). - parametrii reali a şi b sunt viteze de ajustare (a, b>0); - E este funcţia care reprezintă reprez intă consumul şi cheltuielile de investiţii: 0 < E 'Y <1 , E 'r < 0 ( E 'Y = E 'Y −T );
- L funcţia cererii de monedă, cu L 'Y > 0 , L' r > 0 . Atunci, punctul de echilibru este: a) instabil; b) b) un punc punctt şa; şa; c) local ocal stab stabiil; d) global global stabi stabil,l, acesta acesta fiin fiindd un nod stabi stabil; l; e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – 122.Se consideră modelul(sistemul hamiltonian al modelului privind durata optimă de
viaţă a unor brevete), dat de
( ) = ρ ( ) + 1 2 ( ) x t α − 1 x t aα x t n (t ) = − n x(t ) + L a a cu L > 0, a > 0,0 < α < 1, ρ > 0 unde -
n(t) reprezintă numele sortimentului;
-
x(t) reprezintă consumul din fiecare sortiment.
Mulţimea punctelor de echilibru, E ( x, n) , este dată de: aα ρ L (1 − α ) a) E = ( x, n) / x = 1 − α , n = aα ρ ; a ρ L (1 − α ) b) E = ( x, n) / x = 1 − α , n = aα ρ ; aα ρ L (1 − α ) c) E = ( x, n) / x = 1 − α , n = a ρ ; (1 − α ) aα d) E = ( x, n) / x = 1 − α , n = aα ρ ; =
e) nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã. – // – a) b) b) c) d) e)
123. Echilibrul este: instabil; un punc punctt şa; şa; local ocal stab stabiil; global global stabi stabil,l, acesta acesta fiin fiindd un nod stabi stabil; l; nici una din din variantele variantele de mai mai sus nu este este adevãratã. adevãratã.
– // – 124. Pentru o firmă s-a determinat econometric că există o corelaţie liniară stabilă între elasticitatea EL şi productivitatea medie a muncii ηL , adică E L = α ηL şi în plus EL+EK =1. =1. Determinaţi randamentul marginal al capitalului η L şi arătaţi că: a) are un maxim pentru un nivel al dotării tehnice per capita k *=1-α; b) are un minim pentru k *=1-α; c) randamentul marginal al capitalului este descrescător; d) randamentul marginal al capitalului este crescător; e) randamentul marginal al capitalului este crescător numai pentru k *>1-α. – // – 125. Pentru o firmă s-a determinat pe baza datelor statistice că există corelaţiile stabile: EK +E +EL=1; E L = αηL , unde EK şi EL sunt elasticităţile producţiei în raport cu factorii de producţie şi ηL este productivitatea medie a muncii. Pentru această firmă se cunoaşte starea iniţială: K 0=100 [mld lei], L0=100 [persoane], Q0=5000 [tone]. În plus se cunoaşte că activitatea firmei s-a derulat optimal, în condiţiile în care costul real al capitalului a fost 0,25. În aceste condiţii evoluţia productivităţii medii a muncii ηL în funcţie de nivelul dotării tehnice per capita k este; în [tone/persoană]:
a)
k ⋅10 4 ; 199k +1
b)
0,25
k
⋅10 ; 4
c)
k 0,5 200
;
d)
k 1,5 200
;
e)
200 ⋅ k 0,25
.
– // – 126. Pentru o firmă s-a determinat pe baza datelor statistice că există corelaţiile stabile: E L = α η L şi E K +E +EL=1, unde EK şi E L sunt elasticităţile producţiei în raport cu factorii (L şi K) şi ηL este productivitatea medie a muncii. În aceste condiţii, rata marginală de substituire a factorilor la această firmă este: α a) r = α⋅ α⋅ k; b) r = α⋅ k 2; c) r = α ⋅ k ; d) r = ; e) r =β ⋅k , unde β >0. α
k
– // – 127. Pentru o firmă, pe baza datelor statistice s-a identificat o funcţie de producţie: −1 Q t = K t ⋅ L t ⋅ [19,9K t + 0,1L t ] . Se ştie că în anul de bază t=0 activitatea s-a desfăşurat în mod optim optimal al,, în condi condiţi ţiil ilee în care care costu costull real real al capit capital alul ului ui a fost fost 0,25 0,25.. Folo Folosi sind nd mode modelu lull de fundamentare a cererii potenţiale optime de investiţii, dacă se anticipează o indexare perfectă a preţurilor preţurilor pe cele 3 pieţe (a bunurilor, bunurilor, a capitalului capitalului şi a forţei de muncă), deduceţi nivelul optim * viitor viitor al dotării tehnice per capita capita k 1 , în funcţie de salariul brut real şi arătaţi că acesta este de
forma k 1* = α
w0 p 0
unde:
a) α = 0,199;
b) α = 0,214;
c) α = 0,1417;
d) α = 0,1714;
e) α = 0,299.
– // – 128. Pentru o firmă, productivitatea medie a muncii este
ηL
= 50
k ,
unde k = K L .
Folosind ecuaţia Euler a gradientului, determinaţi nivelul optim al capitalului necesar în perioada viitoare K 1* , în ipoteza anticipării indexării perfecte a preţurilor pe piaţa muncii şi a capitalului, dacă producţia planificată planificată este Q1. Se ştie că la momentul iniţial dotarea tehnică per capita este k 0=1 (mld lei/persoană). Atunci: 1 1 Q1 ; a) K 1* = Q1 ; b) K 1* = 50 Q1 ; c) K 1* = 25 Q1 ; d) K 1* = e)
( )
50
K 1*
=
1 Q1 25
50
. – // –
129. Pentru o firmă s-a identificat relaţia r t =199k 2t , unde r t este rata marginală de substituţie. La momentul iniţial t=0, se cunoaşte: productivitatea medie ηL =50 [t/pers.] şi înzestrarea tehnică a muncii k 0=1 [mld. Lei/pers.]. Activitatea firmei se desfăşoară în condiţiile de randamente constante la scală. Dacă preţul de desfacere este p0=16 [mil. lei/t], atunci venitul marginal al capitalului realizat în perioada de bază este [în mil. lei/tonă]:
a) 4;
b) 16
50
;
c)
199 16
;
d)
16 50
;
e) 6,5.
– // – 130. Folosind modelul ratei q marginale Tobin, în ipoteza că rata de actualizare r este egală cu rata aşteptată inflaţiei inflaţiei π şi costul aşteptat al capitalului capitalului şi preţul aşteptat aşteptat al producţiei
vândute sunt egale, deduceţi nivelul minim al randamentului marginal al capitalului (η K ) ce trebuie realizat în perioada viitoare pentru ca firma să facă în prezent o investiţie netă pozitivă: 1+δ δ 1+ δ a) η K >1 + δ ; b) η K > ; c) η K > δ ; d) η K > ; e) η K > . 1 + r 1+ π 1+ π unde δ - este rata deprecierii capitalului. – // – 131. Pentru o firmă funcţia de producţie este Q t = 0,6 K t L t şi la momentul curent avem; K 0= 100 [mld. lei], L0=25 =25 pers pers.. Se antic anticipe ipeaz azăă pentr pentruu peri perioa oada da viit viitoa oare re o rată rată de actualizare egală cu cea a inflaţiei şi un preţ al producţiei egal cu costul anticipat al capitalului. Rata Rata de depr deprec ecie iere re a capi capita talu lulu luii este este 10% 10% şi cost costur uril ilee de ajus ajusta tare re inve invest stiţ iţio iona nale le sunt sunt 2 C( i ) = 0,01 ⋅ I . Folosind modelul ratei marginale q - Tobin, deduceţi limitele între care trebuie să se situeze dotarea tehnică per capita în perioada viitoare (k 1), pentru a se decide în prezent realizarea unei investiţii nete (pozitive): a) 4 < k 1 < 9; b) 9 < k 1 ≤ 25; c) k 1 ≥ 10; d) 10 ≤ k 1 ≤ 25; e) 4 < k 1 ≤ 10.
– // – 132. Pentru o firmă randamentul marginal al capitalului este 0,25. În condiţiile în care se anticipează indexări perfecte (pe piaţa bunurilor, pe piaţa forţei de muncă şi pe cea de capital), că rata de actualizare este egală cu valoarea anticipată a ratei inflaţiei, pe baza modelului ratei q – marginale Tobin, deduceţi nivelul investiţiei nete ce trebuie realizată, I *0 , ştiind că costurile investiţionale sunt C( i 0 ) = 0,01 ⋅ I 20 şi rata deprecierii capitalului este de 10%: a) I *0 =5; b) I *0 =5,8; c) I *0 =6,8; d) I *0 =7,2; e) I *0 =7,8. (în mld. lei.).
– // – 133. Pentru o firmă, funcţia de producţie este Q t = 0,6 K t L t . Folosind modelul cererii potenţiale de investiţii, determinaţi acceleratorul v al investiţiei nete care permite creşterea producţiei cu 10% în condiţiile în care se anticipează indexări perfecte pe cele 3 pieţe (piaţa bunurilor, a capitalului şi cea a forţei de muncă) ştiind că rata deprecierii capitalului este 10% şi că la momentul curent nivelul factorilor este K 0=100 [mld. lei] şi L0=25 [persoane]. Atunci: 3 10 11 3 a) v = ; b) v = ; c) v = ; d) v = ; e) v = 0,12 . 10
3
3
11
– // – 134. Pentru o firmă funcţia de producţie este Q t = 0,6 K t L t şi la momentul curent se cunoaşte că L0=25 pers., Q0=30 =30 [mii [mii bucăţ bucăţi] i].. Rata Rata depre depreci cieri eriii capit capital alul ului ui este este 10% şi se anticipează indexări perfecte pe cele trei pieţe (cea a bunurilor, a capitalului şi a forţei de muncă).
Folosind modelul de fundamentare a cererii potenţiale de investiţii, determinaţi investiţia brută care permite creşterea producţiei cu 10%: a) I=10; b) I=12; c) I=16; d) I=20; e) I=21. [mld. lei] – // – 135. P.43. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei, managerul fixează obiectivul: max I t ,L t
∞ −0,2t
∫ e [3Q − 2L − 1,5I ]dt , cu 0 ≤ I ≤ 10 [în mld. lei]. 0
t
t
t
t
Dinamica capitalului este descrisă prin ecuaţia binecunoscută, cu restricţia K t > 0 rata de amortizare este de 10% şi funcţia de producţie Qt = F(K t, Lt) are proprietăţile neoclasice, cu matric matricea ea hessia hessiană nă negativ negativ defini definită. tă. În aceste aceste condiţi condiţiii există există N traiec traiector torii ii optime optime admisi admisibil bilee (fezabile): a) N=2; b) N=3; c) N=4; d) N=6; e) N=8. – // – 136. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a unei firme, managerul utiliz utilizează ează modelu modelull Jorgen Jorgenson son.. Calcul Calculele ele evidenţ evidenţiaz iazăă că pe traiec traiector toria ia final finalăă a magist magistral ralei, ei, capitalul firmei va fi de 550 [mld. lei]. Se cunoaşte că rata amortizării capitalului este 10%, rata de actualizare este de 30% şi nivelul actual al capitalului este K 0=100[mld. lei]. Dacă prin proiectul de fezabilitate se urmăreşte atingerea traiectoriei finale peste 10 ani, precizaţi care va fi nivelul investiţiei maxime brute [în mld. lei]: a) 51; b) 63; c) 81; d) 93; e) 55.
– // – 137. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei, managementul 0,4 foloseşte modelul Jorgenson, funcţia de producţie fiind Q t = K 0t ,5 L0,4 [mii tone] cu K 0=20 [mld. t lei]. Firma îşi derulează activitatea, în raport cu ansamblul informaţiilor disponibile, în condiţii de optim, astfel că venitul marginal al capitalului este 0,45 şi venitul marginal al muncii este 2. în aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei de dezvoltare a firmei, nivelul optim al forţei de muncă va fi L* [persoane]: a) 52; b) 42; c) 32; d) 162; e) 92.
– // – 138. Pentru fundamentarea magistralei dezvoltări optime a firmei, managerul fixează ∞ criteriul max J = ∫ 0 e −0,2t [3Q t − 2L t −1,5I t ]dt . În condiţii de evoluţie optimă a firmei, pe traiectoria finală a magistralei, rata de substituire a factorilor va fi r = 0,8k * şi capitalul K * = 1600/9 1600/9 [mld. [mld. lei]. lei]. Decideţ Decideţii care va fi nivelu nivelull optim optim al angajăr angajărilo ilorr pe aceast aceastăă traiec traiector torie ie [în persoane]:
a) 48
b) 42;
c) 88
d) 32;
e) 98.
– // – 139. Pentru o firmă mică, funcţia de producţie este Q t = K 0t ,5 L0t,4 [mii tone]. Managerul ∞ fixează obiectivul: max = ∫ 0 e −0,2t [3Q t − 2L t −1,5I t ]dt , sub restricţiile 1 ≤ It ≤ 10 [mld. lei], K t>0, K 0= 20 şi rata amortizării de 10%. Pe traiectoria optimă de creştere, a magistralei dezvoltării firmei, la momentul t=5, necesarul de forţă de muncă (L5) va fi: a) 21 b) 11; c) 17 d) 19; e) 25.
– // – 140. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei managerul fixează ∞ −0, 3t ⋅ Rt dt sub restricţiile 1 ≤ It ≤ 10, K t >0, K 0= 20 [mld. lei] şi rata e obiectivul: max ∫ 0 amortizării amortizării de 10%. Ştiind că pe traiectoria finală a magistrale magistraleii dezvoltări dezvoltări optime capitalul capitalul va fi * de 70,5 [mld. lei], determinaţi momentul optim de comutaţie t [ani]: a) t*=5 b) t*=8,5; c) 17 t*=10; d) t*=12,6; e) t*=15.
– // – 141. Pentru fundamentarea strategiilor de dezvoltare optimă pe termen lung, managerul unei firme foloseşte modelul van Hilten, cu notaţiile cunoscute, dinamica capitalului social este: ( t) X
= 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t )
Sub restricţia X(t) ≤ K(t) ≤ 1,5X(t). Antecalculaţia costurilor evidenţiază că nivelul costului autofinanţării pure este 0,046666 şi cel al autofinanţării mixte este 0,06. Ştiind că randamentul marginal al capitalului este qk = 5, demonstraţi că pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime a firmei: a) creditele vor fi maxime; b) creditele vor fi nule; c) capitalul fix devansează capitalul cap italul social al firmei; d) dividendele vor creşte cu o rată anuală de 6,99%; e) dividendele vor creşte cu o rată anuală de 9%. – // – 142. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare pe termen lung a firmei, managerul foloseşte modelul van Hilten. Cu notaţiile cunoscute, dinamica capitalului social este: ( t) X
= 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t )
Rata amortizării este 10%, randamentul mediu al capitalului este ηk = 5 şi costul autofinanţării pure este 0,1. Demonstraţi că pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime a firmei: a) creditele vor fi maxime;
b) creditele vor fi nule; c) capitalul fix este egal cu capitalul social; d) investiţiile nete vor creşte cu o rată anuală de 10%; e) dividendele vor creşte cu o rată anuală de 5%. – // – 143. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare pe termen lung a firmei, managerul foloseşte modelul van Hilten. Dinamica capitalului social şi a celui corporal: ( t ) = 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t ) , K ( t ) = I( t ) − 0,1K ( t ). (cu notaţiile cunoscute). X Profitul marginal al capitalului este Π′K = 0,05[15 − 0,05K t ] , randamentul marginal al capitalului este 5, rata maximă de levier este γ =0,5 şi costul autofinanţării pre este 0,7 15 . Atunci, pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime a firmei, se va înregistra: a) producţia va creşte cu 7%; b) capitalul social va fi constant, egal eg al cu 246,66 [mld. lei]; c) investiţia netă va fi 26,4 [mld. lei]; d) investiţia brută va fi 26,4 [mld. lei]; e) producţia va creşte cu 0,7 3% .
– // – 144. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare pe termen lung a firmei, managerul foloseşte modelul van Hilten. Se estimează că venitul marginal din vânzări este dat de funcţia 0,01[17 − 0,01Q t ] , costul marginal al autofinanţării pure pur e este 0,05 şi cel al autofinanţării mixte este 0,06; rata amortizării este 10% şi randamentul capitalului este 5. În aceste condiţii, pe traiectoria de consolidare a firmei, se va înregistra situaţia: a) producţia va creşte cu ritmul de 17%; b) producţia va fi constantă, egală cu 990 tone; c) producţia va fi constantă, egală cu 1100 tone; d) producţia va creşte cu ritmul de 6%; e) capitalul fix va fi 180 mld. lei.
– // – 145. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei pe termen lung, managerul foloseşte modelul van Hilten. Calculele evidenţiază că venitul marginal din vânzări va fi 0,01(17-0,01Qt) şi în situaţia concretă a pieţelor financiare costurile vor fi: costul autofinanţării pure: 0,065, cel al autofinanţării mixte 0,06 şi cel al finanţării prin credite va fi 0,086666 [toate exprimate în miliarde lei]. În aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime, producţia va fi (în tone): a) 833,4; b) 1050; c) 1100; d) 1700; e) 1733,4.
– // – 146. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei pe o durata de 10 ani, se foloseşte modelul van Hilten. Se cunosc indicatorii [în mld. Lei/tonă]: venitul marginal din vânzări este 0,01(17-0,01Qt), costul autofinanţării pure 0,1; costul autofinanţării mixte 0,06; costul finanţării prin împrumuturi la rata maximă de levier 0,086666. În aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei, volumul investiţia rata maximă de levier 0,086666. În aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei, volumul vo lumul investiţiei nete va fi [în mld. Lei]: a) 20; b) 0; c) 15; d) -20; e) -15;
– // – 147. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a unei firme, pe o durata de 10 ani, folosiţi modelul van Hilten. Se anticipează că venitul marginal din vânzări este 0,01(170,01Qt) în mld lei/tonă şi costurile pe unitatea de capital în raport cu structura de finanţare: costul autofi autofinan nanţăr ţării ii pure 0,2333, 0,2333, costul costul autofi autofinanţ nanţării ării mixte mixte este este egal cu costul costul finanţ finanţări ăriii prin prin împrumuturi la rata maximă de levier, 0,30. Se cunoaşte că randamentul marginal al capitalului este 5. Pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime producţia va fi: a) Q*= 833; b) Q*=1050; c) Q*=1133; d) Q*=1233; e) Q*=1283.
– // – 148. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei pe termen lung (T=15 1 (34Q t − 0,01Q 2t ) ani), folosiţi modelul van Hilten. Se anticipează că venitul din vânzări este 200
şi, în situaţia concretă a pieţelor financiare, costul marginal pe unitatea de capital al autofinanţării pure este 0,2333, cel al autofinanţării mixte este egal cu cel al finanţării prin credite maxime, 0,30. Se cunoaşte situaţia curentă a firmei: Q0=300[t], K 0=60[miliarde] şi X0=40[miliarde lei]. În aceste condiţii, nivelul împrumuturilor pe traiectoria traiectoria finală a magistralei va fi [în miliarde lei]: * * a) Yt = 82,2; b) Yt = 52,2; c) Yt* = 40,6; d) Yt* = 50 e0,03t ; e) Yt* = 50 e 0,0233t . – // – 149. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a firmei pe termen lung (T=15 1 (34Q t − 0,01Q 2t ) , ani), folosiţi modelul van Hilten. Se anticipează că venitul din vânzări este 200
costul marginal al autofinanţării mixte este egal cu cel al finanţării prin împrumuturi maxime. De 0,06 (mld. lei/tonă). Dinamica pieţelor financiare reflectă situaţia creditelor scumpe. Starea iniţ iniţia ială lă a firm firmei ei:: Q0=300[t =300[t], ], K 0=60[miliarde] =60[miliarde],, X0=40[m =40[mil ilia iarde rde lei] lei].. În aces aceste te condi condiţi ţii,i, pe magistrala dezvoltării optime, de-a lungul traiectoriei de consolidare, se va atinge: a) un nivel al capitalului social X *t = 146,6 [în mld. lei]; b) un nivel al împrumuturilor Yt* = 73,3 [mld. lei];
c) un nivel al investiţiilor brute I*t = 22 e 0,2t ; d) un nivel al investiţiilor nete I Nt =11 e 0,06t ; e) un nivel al producţiei Q*t = 1100 [tone]. – // – 150. Pentru fundamentarea strategiilor de dezvoltare optimă a firmei pe termen lung (T=10ani), utilizaţi modelul van Hilten. Dinamica capitalului social este data de ecuaţia ( t ) = 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t ) , X0=40 [miliarde lei] X Rata maximă de levier este γ=50%, rata amortizării a=10%, costul marginal al capitalului în condiţiile finanţării prin împrumuturi maxime este 0,433 şi venitul marginal din vânzări este 0,01(17-0,01Qt), unde Q0=300 [tone]. În aceste condiţii momentul de comutaţie pe traiectoria finală a magistralei este t*=1,3∙ln(α), unde: a) α=3,55; b) α=4,36; c) α=1,45; d) α=2,45; e) α=6,45.
– // – 151. Considerăm modelul:
10
∫ e
()
cu Dt≥0 şi ecuaţiile de dinamică ( t ) = 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t ) , K ( t ) = I( t ) − 0,1K ( t ), sub X sub restr restric icţi ţiaa X(t) X(t) ≤ K(t) ≤ 1,5X(t). Costul marginal al capitalului în condiţiile finanţării prin împrumuturi maxime este 0,433 şi profitul marginal al capitalului este Π′( K ( t ) ) = 0,05[15 − 0,05 K ( t ) ] . Date iniţiale: X0=40 [mld. lei], Q0=300 [tone]. În aceste condiţii, pe traiectoria de lansare pe magistrala dezvoltării optime, la momentul t=1, capitalul social al firmei va fi X 1* [în miliarde lei]: a) X 1* =51,5; b) X 1* =66,5; c) X 1* =76,5; d) X 1* =86,5; e) X 1* =91,5. max
0
−it
D t dt +e
X t ,
−10 i
– // – 152. Pentru fundamentarea strategiilor de dezvoltare optimă a firmei, utilizaţi MDF, pe orizontul T=15 ani. Evoluţia pieţelor financiare evidenţiază situaţiile de credite scumpe şi costurile marginale ale autofinanţării mixte şi prin credite maxime sunt egale cu 0,06 iar costul autofinanţării pure este 0,04666. Funcţia veniturilor din vânzări este 1,2 11 Qt . În aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime a firmei, producţia va fi [în tone]: a) Q*t =1283e 0,0466t ; b) Q*t = 1100e 0,06t ; c) Q*t = 1100 ; d) Q*t = 1823 ; e) Q*t = 1883 .
– // – 153. Pentru fundamentarea strategiilor optime de dezvoltare a unei firme pe orizontul T=15ani, folosiţi MDF. Sunteţi în situaţia creditelor scumpe şi antecalculaţia costurilor arată că există există egalitate egalitate între costul marginal marginal al autofinanţ autofinanţării ării mixte şi cel al finanţării finanţării prin împrumuturi împrumuturi
maxime, costuri mai mari ca cel al autofinanţării pure care este 0,0466, cu 29%. Veniturile din vânzări sunt 1,2 11 Q . În aceste condiţii, pe traiectoria de consolidare a firmei, producţia va fi [în tone]: a) Q*t = 1100 ; b) Q*t = 1100e 0,29t ; c) Q*t =1832e 0,0466t ; d) Q*t = 1283 ; e) * Q t = 1328 . t
– // – 154. Pentru fundamentarea strategiilor de dezvoltare optimă a firmei folosiţi MDF. Pe orizontul [0,T], T=15 ani, venitul marginal din vânzări este 0,6 11Qt −1 2 şi costurile marginale induse de strategia de finanţare sunt de 10% - în cazul autofinanţării pure, 6% în cazul autof autofin inan anţă ţări riii mixt mixtee şi de 8,66% 8,66% în cazu cazull împru împrumu mutu turi rilo lorr maxi maxime me.. În acest acestee cond condiţ iţii ii,, pe traiectoria finală a magistralei dezvoltării optime, producţia va fi: a) Q*t = 1100 ; b) Q*t = 528 ; c) Q*t = 396 ; d) Q*t = 396e 0,06t ; e) Q*t = 528e 0,0866t .
– // – Pentru fundam fundament entarea area strate strategii giilor lor de dezvol dezvoltar taree optim optimăă a firmei firmei,, folosi folosiţi ţi MDF. MDF. 155. Pentru Dinamica capitalului social X( t ) = 0,75[ Π( K ( t ) ) − 0,2Y ( t ) ] − D( t ) şi venitul marginal din vânzări este 0,6 11Qt −1 2 . Randamentul marginal al capitalului este 5, costul marginal al autofinanţării mixte este egal cu cel al finanţării prin împrumuturi maxime (de 6%) iar cel al autofinanţării pure este 4,66%. Atunci volumul dividendelor distribuite pe durata evoluţiei pe traiectoria finală a magistralei va fi Dt * [în miliarde lei], egal cu: a) 0;
b) 0,75
11 e 0, 06 t ;
c) 100;
d) 100 11e − 12t ;
e)
100 11
e
0, 046 t
.
– // – 156. Pentru fundamentarea strategiilor de dezvoltare optimă a firmei folosim MDF. Pe ori orizont ontul [0,T], T=15 ani, ni, se anticipează ază că dinamica capitalului soci ocial este ( t ) = 0,75 ⋅ Π( K ) − 0,15Y − D şi venitul marginal al vânzării este 0,6 11Q −1 2 . X t t t t Costul Costul marginal marginal al autofinanţ autofinanţării ării pure este 10%, cel al finanţării finanţării din împrumuturi împrumuturi maxime este 13,33% mai mic şi cel al autofinanţării autofinanţării mixte este 6%. Rata amortizării amortizării este 10%. În aceste condiţii, pe traiectoria finală a magistralei, volumul dividendelor D* [în miliarde lei] va fi: a) D*=0; b) D*=31,86; c) D*=60,66; d) D*=91,46; e) D*=105,6.
– // – 157. În modelul van Hilten se cunoaşte că randamentul marginal al capitalului este 5, costul marginal al capitalului în strategia autofinanţării pure este 0,5, cel în cazul autofinanţării mixte este 30% şi cel al finanţării prin împrumuturi maxime este 43,33%. Dinamica capitalului social ( t ) = 0,75 ⋅ Π( K ) − 0,15Y − D . În aceste condiţii, rata maximă de levier este: este dată de X t t t * * * a) γ =60%; b) γ =50%; c) γ =57,7%; d) γ*=70%; e) γ*=67,33%.
– // – 158. Pentru două pieţe, cerinţele excedentare în raport cu preţurile p1(t) şi p2(t) sunt date de funcţiile: 1000 2400 E 1 ( t ) = − 5 p1 + 50 p2 − 350 ; E 2 ( t ) = −10 p1 − 50 p2 . p1
p2
Se cunoaşte că la echilibru, p1* = 10 . Cercetaţi Cercetaţi dacă sunt îndeplinite îndeplinite condiţiile condiţiile stabilităţii stabilităţii statice perfecte în sens Hicks şi dacă da, cercetaţi reacţia pieţelor la creşterea lui p2 cu 10%: a) p1 va creşte cu 20%; b) p1 va descreşte cu 2%; c) cererea excedentară E2 va descreşte cu 70; d) cererea excedentară E2 va creşte cu 70; e) pieţele nu verifică cerinţele stabilităţii statice perfecte în sens Hicks. – // – 159. Pentru două pieţe, cerinţele excedentare în raport cu preţurile p1(t) şi p2(t) sunt date de funcţiile: 1000 2400 E 1 ( t ) = E 2 ( t ) = − 5 p1 + 50 p2 − 350 ; −10 p1 − 50 p2 . p1
p2
Se cunoaşte că la echilibru, p1* = 10 . Cercetaţi Cercetaţi dacă sunt îndeplinite îndeplinite condiţiile condiţiile stabilităţii stabilităţii statice perfecte în sens Hicks şi dacă da, cercetaţi reacţia pieţelor la creşterea lui p2 cu 10%: a) p1 va creşte cu 2%; b) p1 va descreşte cu 10%; c) cererea excedentară pe piaţă 2 va descreşte cu 90; d) cererea excedentară pe piaţa 2 va creşte cu 20; e) pieţele nu verifică cerinţele stabilităţii statice perfecte în sens Hicks. – // – 160. Pentru două pieţe, cerinţele excedentare în raport cu preţurile p1(t) şi p2(t) sunt date de funcţiile: 1000 2400 E 1 ( t ) = E 2 ( t ) = − 5 p1 + 50 p2 − 350 ; −10 p1 − 50 p2 . p1
p2
Se cunoaşte ca pe piaţa 2, preţul de echilibru este 6. Cercetaţi dacă sunt îndeplinite condiţiile stabilităţi statice imperfecte şi dacă da, cercetaţi reacţia pieţelor la creşterea lui p 1 cu 14%: a) p2 va creşte cu 2%; b) p2 va descreşte cu 12%; c) p2 va descreşte cu 2%; d) pe piaţa 1, cererea va devansa oferta cu 100; e) ) pieţele nu verifică cerinţele stabilităţii statice imperfecte Hicks. – // –
161. Pentru două pieţe, cerinţele excedentare în raport cu preţurile p1(t) şi p2(t) sunt date de funcţiile: 1000 2400 − 5 p1 + 50 p2 − 350 ; −10 p1 − 50 p2 . E 1 ( t ) = E 2 ( t ) = p1
p2
Preţul de echilibru pe piaţa a doua este 6. Vitezele de ajustare a ofertei la cerere pe cele două pieţe , în formularea dinamicii preţurilor în sens Hicks (adică p 1 ( t ), p 2 ( t ) ), sunt α1 şi α2. Dacă α2=10%, =10%, determ determinaţ inaţii α1 astfel încât dinamica preţurilor să corespundă modelului Samuelson al preţurilor: a) α1=20%; b) α1=2%; c) α1=5%; d) α1=24%; e) dinamica preţurilor nu corespunde modelului Samuelson. – // – 162. Cererile excedentare pe două pieţe sunt: 1000 E 1 ( t ) = − 5 p1 + 50 p2 − 350 ; p1( 0) = 8 p1
E 2 ( t )
=
2400 p2
−10 p1 − 50 p2 ,
p2 ( 0)
=8
Preţul de echilibru pe prima piaţă este 10. Vitezele de ajustare a ofertei la cerere pe cele două două pieţ pieţee sunt sunt α1=2% =2% şi α2=3%. În aceste condiţii evoluţia preţurilor rezultată din modelul Hicks: a) este instabilă, cu evoluţia ciclică, cu perioada T=6,2 ani; b) este stabilă, cu evoluţia ciclică, cu perioada T=6,2 ani; c) este stabilă, cu evoluţia ciclică, cu perioada T=9,6 ani; d) este stabilă, cu evoluţie monotonă; e) este instabilă, cu evoluţie monotonă. – // – 163. Cererile excedentare pe trei pieţe, în funcţie de nivelul anticipat al preţurilor p1=p1(t), p2=p2(t), p3=p3(t) sunt: 100 100 300 − 5 p3 ( t ); − 10 p1 ( t ); E 1 ( t ) = E 2 ( t ) = E 3 ( t ) = 10 p1 ( t ) − 30 p3 ( t ) − 40 .
()
p1 t
()
p2 t
Se cunoaşte că pe piaţa 3, preţul de echilibru este 2. Cercetaţi, dacă sunt îndeplinite condiţiile stabilităţii statice imperfecte în sens Hicks a celor 3 pieţe şi dacă da precizaţi care va fi efectul creşterii cu 20% a preţului pe piaţa 2: a) pe piaţa 1, oferta devansează cererea cu 33,33; b) pe piaţa 1, cererea devansează oferta cu 33,33; c) pe piaţa 3, cererea devansează oferta cu 33,33; d) pe piaţa 2, oferta devansează cererea cu 33,33; e) cele 3 pieţe nu îndeplinesc condiţiile stabilităţii statice imperfecte în sens Hicks. – // –
164. Cererile excedentare pe trei pieţe sunt: 100 100 300 − 5 p3 ( t ); − 10 p1 ( t ); E 1 ( t ) = E 2 ( t ) =
()
p1 t
()
p2 t
( ) = 10 p ( t ) − 30 p ( t ) − 40
E 3 t
1
3
Preţu Preţull de echi echili libr bruu pe piaţ piaţăă 2 este este 3. Meca Mecani nism smul ul Hick Hickss al dina dinami mici ciii preţ preţur uril ilor or ( ) evidenţiază evidenţiază că vitezele vitezele de ajustare ajustare a ofertei ofertei la cerere sunt α1=20%, α2=3%, α3=1%. În aceste condiţii, evoluţia preţurilor pe cele 3 pieţe este: a) instabilă, cu evoluţia ciclică; b) stabilă, cu evoluţia preţurilor; c) stabilă, cu evoluţia monoton crescătoare; d) stabilă, cu evoluţia monoton descrescătoare; e) tipul de stabilitate şi natura evoluţiei depind de preţurile iniţiale. 1 ( t ), p 2 ( t ), p 3 ( t ) p
– // – 165. Conform cerinţelor din MDF, dacă notăm: R E – venitul marginal al unei acţiuni R T – venitul marginal al capitalului după impozitare C – costul marginal al împrumutului după impozitare, atunci, în condiţiile creditelor ieftine, evoluţia pe traiectoria de lansare pe magistrala dezvoltării optime se derulează atâta timp timp cât: a) R E > i; b) R T > i; c) R T + C > i; d) R E – C > i; e) R E – C < i.
– // – 166. Conform cerinţelor din MDF, dacă notăm: R E, R T – venitul marginal al unei acţiuni, respectiv al capitalului după impozitare, C, CXY – costul marginal al împrumutului după impozitare, respectiv costul finanţării mixte pe unitatea de produs, atunci, în condiţiile creditelor scumpe, pe traiectoria optimă pe care se înregistrează R T>C, politica optimă a firmei va fi: a) Yt / Xt ↑ ; b) Yt / Xt ↓ ; c) Yt=0; d) R E < R T ; e) R E < CXY .
– // – 167. În condiţiile creditelor scumpe, conform cerinţelor MDF, dacă notăm R E, R T – venitul marginal al unei acţiuni, respectiv al capitalului după impozitare, γ – rata maximă de levier, CXY, CX – costul finanţării mixte, respectiv al autofinanţării pure pe produs, atunci, pe traiectoria optimă a magistralei pe care se înregistrează CXY < S'(Q) < CX, politica optimă a firmei este: a) Yt / Xt ↑ ; b) Yt / Xt ↓ ; c) Yt / Xt =constant= γ; d) R E> R T; e) R T> i.
– // –
168. Conform MDF, pe traiectoria optimă a magistralei dea lungul căreia R T =i, unde R T – este venitul marginal al capitalului după impozitare, atunci: a) D(t)=0; b) D(t) < ∫t2*t1* R T dk ; c) K(t) = X(t) ; d) K(t) > X(t) ; e) R E> i , unde D(t) – volumul dividendelor distribuite la momentul t, K(t), X(t) – capitalul şi capitalul social, R E – venitul marginal al unei acţiuni, t1*, t2* - momentul de intrare, respectiv de încheiere a evoluţiei pe traiectoria respectivă.
– // – 169. Pe baza modelului MDF extins cu taxe pe bunurile de capital şi pe profit, cu ratele τg şi τd, în ipoteza că τd > τg, atunci, pe traiectoria finală a magistralei: a) Producţia este Q*=constant; b) Distribuţia dividendelor este Dt*=max; c) În condiţiile creditelor ieftine, politica de împrumuturi este Yt*=max; d) Atât în condiţiile creditelor scumpe cât şi a creditelor ieftine, politica de împrumuturi este Yt*=0; e) În condiţiile creditelor scumpe, capitalul social creşte. – // – 170. O gospodărie decide în cursul vieţii să lase moştenire zero. Funcţia de utilitate este U=0,4lnC0 + 0,6lnC1. Dacă rata dobânzii este egală cu rata inflaţiei (r=10%), pentru p0=1, atunci propensitatea consumului curent (C0) în raport cu resursele viagere estimate V, este V0, egală cu: a) 5/11 ; b) 5/9 ; c) 4/11 ; d) 4/9 ; e) 4/10.
– // – 171. Folosind modelul intertemporal consum-economii pe două perioade, în condiţii de incert incertit itudi udine ne asupra asupra venitur veniturilo ilorr viitoa viitoare, re, creşte creşterea rea ratei ratei dobânzi dobânziii cu dr antren antrenează ează asupra asupra economiilor curente (E0): a) un efect de venit cert pozitiv; b) un efect de substituţie cert pozitiv; c) un efect de substituţie substituţie cert pozitiv numai dacă ARR în raport cu avuţia iniţială este mai mare ca [(1+π)/(1+r)]*p0; d) un efect de substituţie cert pozitiv numai dacă ARR în raport cu avuţia iniţială este sub nivelul [(1+π)/(1+r)]*p0; e) un efect de venit cert pozitiv numai dacă ARR în raport cu avuţia iniţială este sub nivelul [(1+π)/(1+r)]*p0. 172. Care dintre următorii factori ce influenţează sistemul cibernetic al forţei de muncă nu reprezintă o cauză a şomajului structural: (a) Căutarea unei slujbe mai bune; (b) restrângerea activităţii unor industrii poluante;
(c) reducerea cererii pentru produse depăşite tehnic; (d) un ritm mai lent al progresului tehnic; (e) lipsa investiţiilor pe termen lung. – // – 173. Considerăm următorul model al unei economii cu anticipaţii perfecte: p) d = 0,75y + 2,5 + 0,2(e – p md = p + 0,0075y – 0,2 r ms = 155 r = r* + ėe
•
= 0.2(d - y) ėe = ė y = 1000; r* = 12,5
p
unde y – oferta agregată; d – cererea agregată; e – rata de schimb reală; ee – rata de schimb anticipată; p – nivelul preţurilor; r – rata internă a dobânzii; r* – rata externă a dobânzii; md – cererea de bani; ms – oferta de bani. Nivelele de echilibru ale ratei de schimb şi, respectiv, preţurilor sunt: (a) (150;250); (150; 150); (c) (200; 150); (d) (200;200); (e) (100;100) –
// –
Solow-Swan cu funcţia funcţia de producţie producţie în formă intensivă intensivă y = k α , s, η şi δ 174. In modelul Solow-Swan sunt rata economisirii economisirii,, rata de creştere creştere a populaţiei populaţiei şi, respectiv, respectiv, rata de depreciere a capitalului capitalului.. Dacă α = 0,3, η = 0,02 şi δ = 0,1, valoarea optimă a lui s (dată de regula de aur) este: (a) 0,6 ; (b) 0,48; (c) 0,2; (d) 0,3; (e) Nici una dintre aceste valori –
// –
175. Banca Centrală(BC) dintr-o economie are drept ţintă reducerea ratei inflaţiei. Dacă economia este deschisă şi cu mobilitate perfectă a capitalului, atunci mecanismul de reglare care stă la baza deciziei BC este următorul: 1. Dacă nivelul preţurilor este mai mare, oferta reală de bani este mai mică; 2. Pentru o ofertă reală de bani mai mică, curba LM se deplasează spre stânga, determinând un nou echilibru, căruia îi corespunde un venit real mai mare şi o rată a dobânzii mai mare; 3. Deoarece rata dobânzii creşte, investiţia privată va fi mai mică; 4. Creşterea ratei dobânzii determină şi creşterea (aprecierea) ratei de schimb, ceea ce duce la un export net mai mic; 5.Cererea de consum a populaţiei va scădea ca urmare a creşterii ratei dobânzii şi a scăderii venitului disponibil. Se va atinge astfel rata dorită a inflaţiei. Una dintre aceste afirmaţii este falsă, şi anume: (a) 2; (b) 1; (c) 3; (d) 4; (e) 5.
-//176. Intr-o economie descrisă de un model IS-LM, o politica monetară este denumită tare(du tare(dură) ră) dacă o scădere scădere semnific semnificati ativă vă a ratei ratei dobânzi dobânziii determ determină ină o creşte creştere re putern puternică ică a
investiţiilor şi a exporturilor nete. O astfel de politică monetară poate fi aplicată cel mai eficient dacă: (a) Curba IS este plată (apropiată de orizontală) sau curba LM este puternic înclinată(apropiată de verticală); (b) Curba IS este puternic înclinată sau curba LM este plată; (c) Curba IS şi curba LM au pante egale (în valoare absolută); (d) Curba IS şi curba LM au ambele pante pozitive finite; (e) Curba IS şi curba LM au ambele pante negative finite. – // – 177. Care dintre următoarele funcţii nu poate fi, în mod normal, o curbă AD (se presupune că toate condiţiile de existenţă ale funcţiilor sunt îndeplinite):
(a) Y = Y0 + M/P ; (b) Y = Y0 + M2/P2 ; (c) Y = k
M
1 P
; (d) Y = ln(M/P)β;
(e) Y = P M . – // – 178. Care dintre următoarele variabile nu poate reprezenta un parametru de control pentru sistemul cibernetic al economiei reale: (a) cererea pentru cheltuielile guvernamentale; (b) rata fiscalităţii: (c) veniturile din taxele indirecte; (d) rata dobânzii la creditele acordate; (e) plăţile transferabile.
– // – 179. Într-o economie, descrisă de modelul Solow - Swan, rata economisirii, s este constantă şi nu există progres tehnic (λ = 0). Funcţia de producţie intensivă este f(k) = k 1/3. Are loc o reducere a taxelor care determină creşterea cu 1% a lui s. Dacă rata de creştere a populaţiei, n rămâne constantă, atunci această modificare a taxelor va determina o modificare a ratei salariului real, w cu: (a) 1% ;(b) - 1,5% ;(c) 0,5% ;(d) - 2%;(e) 2,5%.
– // – 180. O economie are tehnologia descrisă de o funcţie de producţie de forma: Y = K (NA)1-α, unde K reprezintă capitalul iar N este forţa de muncă angajată. Presupunem că N = 1 şi că parametrul tehnologic A = γK. Rata de depreciere a capitalului K utilizat în economie este egală cu δ şi nu există investiţii. Rata de creştere a outputului/venitului o utputului/venitului va fi atunci: (a) δ ; (b) – δ ; (c) δ/α ; (d) δ/1-α; (e) - δγ. α
– // – 181. Într-o economie normală, descrisă de un model AD-AS, au loc simultan, datorită acţiunii unor factori conjuncturali externi, o descreştere a ofertei agregate, AS şi o creştere a
cererii agregate, AD. Ştiind că, în valoare absolută, oferta agregată scade mai mult decât creşte cererea agregată, atunci, în anul următor: (a) producţia şi preţul nu se modifică; (b) producţia şi preţul cresc; (c) producţia creşte şi preţul scade; (d) producţia scade şi preţul creşte; (e) producţia şi preţul scad. – // – 182. Două economii, notate 1 şi 2, au aceeaşi funcţie de producţie Y = K αL1-α, rate constante ale economisirii identice, s , rata de deprecierea δ = 0 şi rate constante ale progresului tehnic, λ egale. Ştiind că rata de creştere a populaţiei în prima economie, n1 este mai mare decât în a doua economie, n2, atunci: (a) Economia 2 va avea o producţie per capita mai mare; (b) Economia 1 va avea o producţie per capita mai mare; (c) Producţia per capita în ambele economii este aceeaşi; (d) Producţia per capita în ambele economii va scădea; (e) Nici una dintre afirmaţiile de mai sus nu este adevărată.
– // – 183. Într-o economie, creşterea datoriei publice, ∆b(t) este descrisă de relaţia stilizată: ∆b(t) = [ r(t) – gy(t)] b(t-1) + [ g(t) – tn(t) – m(t)], unde r(t) este rata dobânzii; gy(t) – rata de creştere a PIB; g(t) – rata de creştere a cheltuielilor guvernamentale; tn – rata de creştere a taxelor nete; m(t) – rata de creştere a masei monetare. Ştiind că r = 25%, gy = 5%, m = 4,5 % şi că ponderea deficitului bugetar în PIB este de 6%, atunci datoria publică, exprimată ca pondere în PIB (pentru ponderi negative, economia este creditor net, iar pentru ponderi pozitive economia este debitor net), va fi: (a)-7,5%; (b) -8%; (c) -1,5%; (d) 1,4%; (e) 6,5%.
– // – 184. O economie este compusă dintr-o singură firmă şi o singură gospodărie. Firma, maximizatoare de profit, realizează o producţie descrisă de funcţia y = a n 1 - α, n fiind fiind cererea de muncă a firmei, a şi α fiind constante pozitive date. Gospodăria maximizează funcţia de utilitate a 1 c + β (1 − n) , unde c este consumul per capita, n - oferta de muncă şi consumului u = şi β > 0. 2
Ştiind că c = w ⋅ n , unde w este rata salariului real, salariul de echilibru (care asigură utilizarea completă a forţei de muncă) în condiţiile unei modificări de productivitate va fi: 1
[
]
α +1 (a) w ∗ = a (1 −2α α ) ; (b) w∗ = a (1 −α ) β 2α α +1 ; (c) w ∗ β
[
]
1
(d) w ∗ = a (1 − α ) β 2α α +1 ; (e)
1
β 2α α +1 w∗ = . a (1 −α )
=
[a(1 − α )β ]
2
α α +1
;
– // – economie, Banca Centrală Centrală anunţă creşterea, creşterea, în perioada perioada următoare, următoare, a ratei 185. Intr-o economie, rezervelor obligatorii. Drept urmare, agenţii economici se vor aştepta ca: (a) nivelul preţurilor să crească, rata dobânzilor la credite să crească, investiţiile să se reducă şi oferta de produse să scadă ; (b) nivelul preţurilor să scadă, rata dobânzilor la credite să crească, investiţiile să se reducă şi oferta de produse să crească; (c) nivelul preţurilor să scadă, rata dobânzilor la credite să scadă, investiţiile să crească şi oferta de produse să crească; (d) nivelul preţurilor preţurilor să crească, crească, rata dobânzilor la credite să scadă, investiţ investiţiile iile să crească şi oferta de produse să crească; (e) nici una dintre variantele de mai sus. -//186. Investiţiile realizate în sectorul firmelor (tehnologic) al economiei nu sunt influenţate
de: (a) starea curentă şi aşteptată a economiei; (b) rata dobânzilor; (c) nivelul taxelor şi impozitelor; (d) gradul de utilizare a capacităţilor de producţie; (e) veniturile din muncă. -//Dacă preţul preţul pe piaţa piaţa bunuril bunurilor or şi servic serviciil iilor or este este menţin menţinut ut consta constant, nt, atunci atunci o 187. Dacă schimbare în oricare dintre factorii determinanţi ai cererii datorită unei perturbaţii în sistemul de impozite şi taxe va determina: (a) o deplasare de-a lungul curbei AD; (b) o rotaţie a curbei AD; (c) o translaţie a curbei AD; (d) o deplasare a curbei AS; (e) o rotaţie a curbei AS. -//188. Dacă într-o economie preţurile sunt flexibile, o creştere a ratei nominale a dobânzilor pe termen scurt va determina în final: (a) scădere scădereaa ratei ratei aştept aşteptate ate a inflaţ inflaţiei iei;; (b) scăderea scăderea ratei ratei reale reale a dobânzi dobânziii pe termen termen lung (c) scăderea volumului de investiţii rezidenţiale; (d) creşterea volumului de investiţii în bunuri de folosinţă îndelungată; (e) creşterea cererii agregate. -//189. Dacă R este dobânda nominală, r – dobânda reală şi πe – inflaţia aşteptată, atunci condiţia Fisher se scrie: (a) R = r - πe ; (b) R = πe – r ; (c) r = R / πe ; (d) R = r / πe ; (e) R = r + πe.
-//-
sistemul ul econom economiei iei moneta monetare, re, agregat agregatul ul moneta monetarr M1 este este format format din baza baza 190. In sistem monetară M0 (valuta în circulaţie, C plus rezervele, R) şi depozitele la vedere, D. Agregatul monetar M2 este dat de relaţia M2 = M1 + T, unde T reprezintă depozitele la termen. Stiind că rata rezervelor obligatorii ρ a fost stabilită la 10% , raportul C/D = 0,5 şi raportul T/D = 3, atunci multiplicatorii monetari ai lui M1 şi, respectiv, M2 sunt: (a) (1,5 ; 3) ; (b) (3 ; 7) ; (c) ( 2,5 ; 7,5) ; (d) ( 4 ; 8,5) ; (e) (5,5 ; 10,5) -//191. Intr-o economie dezvoltată, funcţia de producţie este: Y = K α (NH)1-α , unde Y este outputul, K – stocul de capital, N – populaţia şi H – capitalul uman. Să presupunem că α = 0,4, , atunci rata de creştere a outputului per capita va fi: dN/dt = 0,01, dH/dt =0,04. Dacă Y = K (a) 2% ; (b) 3% ; (c) 4%; (d) 5% ; (e) 6%.
-//192. Intr-o economie descrisă de un model Solow-Swan, rata economisirii s este constantă şi nu există de preciere şi progres tehnic. Funcţia de producţie sub formă intensivă este f(k) = k α , unde α = 1/3. Guvernul decide o schimbare a ratei fiscalităţii care va creşte rata economisirii. Nu cunoaştem rata curentă a economisirii şi nici rata de creştere a populaţiei. Totuşi, creşterea cu 1% a ratei economisirii s va determina creşterea ratei reale a salariului din economie cu: (a) 1% ; (b) 0,5%; (c) 1,5%; (d) 2%; (e) nu va modifica rata salariului.
-//193. In urma aplicării unei politici monetare restrictive, într-o economie deschisă cu rată de schimb rigidă (fixată) se obţine: (a) o scădere a venitului, o creştere a ratei dobânzii şi un excedent al soldului BP; (b) o scădere a venitului, o creştere a ratei dobânzii şi un deficit al soldului BP; (c) o creştere a venitului, o scădere a ratei dobânzii şi un deficit al soldului BP; (d) o creştere a venitului, o scădere a ratei dobânzii şi un excedent al soldului BP; (e) nici una dintre cele de mai sus. -//194. Cererea de bani pe piaţa monetară depinde negativ de: (a) rata reală a dobânzii la credite; (b) rata nominală a dobânzii la credite; (c) nivelul preţurilor; (d) oferta de bani; (e) nivelul venitului/outputului.
-//195. Care dintre următoarele afirmaţii nu corespunde logicii de funcţionare a mecanismului
feedback al reglării deficitului bugetar: (a) creşterea deficitului bugetar de termină sporirea datoriei publice; (b) o datorie publică mare necesită creşterea masei monetare; (c) creşterea masei monetare duce la scăderea ratei dobânzii pe piaţa monetară;
(d) scăderea ratei dobânzii determină creşterea cererii de obligaţiuni guvernamentale; (e) vânzările de obligaţiuni guvernamentale reduc masa monetară. -//-
196. Pentru o economie deschisă mică cu funcţia de producţie în formă intensivă y = k 0,5, se
cunosc cunosc următo următoare arele le date: s = 0,12, 0,12, n = 0,03 0,03 , δ = 0. Dacă pieţele pieţele de capita capitall sunt sunt deschi deschise se şi rata rata internaţională a dobânzii r* = 6%, atunci multiplicatorul multiplicatorul m, care face ca r = r* m, va fi: (a) mai mare decât 2 ; (b) între 1 şi 2; (c) mai mic decât 1; (d) mai mic decât 0; (e) nici una dintre cele de mai sus.
-//( pe fiind preţul aşteptat): 197. Un mecanism de piaţă este descris de modelul cu aşteptări naive (p
Qd(t) = 18 – 3p(t) Qs(t) = -10 + 4pe(t) pe(t) = p(t-1) Q(t) = Qd(t) = Qs(t) Preţul şi cantitatea de echilibru pe această pia ţă sunt: (a) (4; 5) ; (b) (2; 6) ; (c) (6; 4) ; (d) (3; 7) ; (e) nu există. -//-
198. Care dintre următoarele afirmaţii nu corespunde logicii de funcţionare a mecanismului
feedback al raportului de echilibru cerere – ofertă agregate: (a) creşterea cererii agregate determină diminuarea stocurilor reale de bunuri; (b) producţia de bunuri creşte; (c) scala proceselor de producţie se modifică; (d) outputul proceselor ce realizează produse cerute pe piaţă creşte; (e) excedentul de stoc dorit se micşorează. -//-
199. Care dintre următoarele fluxuri reprezintă intrări de la sistemul cibernetic al economiei
monetare la sistemul cibernetic al economiei reale: (a) cererea de bani; (b) investiţiile în active financiare; (c) oferta de bani; (d) rata fiscalităţii; (e) nici una dintre cele de mai sus.
-//200. Intr-o economie, conexiunile dintre sistemul cibernetic al economiei reale şi sistemul cibernetic al economiei monetare este realizată de: (a) canalul de transmisie monetară; (b) Banca Cerntrală; (c) Guvern; (d) intrările şi ieşirile de fluxuri monetare; (e) canalul de transmisie monetară şi informaţie despre starea economiei.
-//-
201. Se dau următoarele masive:
4 A = 3 1
1
1
b
1
c
5
2 0
6 = 5, 4 =[6
7, 1
1
2
b
],
8
2
10 = , 12 2
c
= [4
2 A= 3
, 1
1
3
4
b
5 1 = 6 ; 2 7
7
1
3
3
3 A =1 − 1
1 ; 2 1
].
5
Care din următoarele combinaţii de masive pot conduce la scrierea unui model liniar de maximizare în forma canonică, a)
1
2
1
A ,b ,c ;
b)
1
3
2
A ,b ,c ;
c)
Ax≤ b ( P ) x ≥ 0 ? (max) f = cx 2
2
1
A ,b ,c ;
d)
3
1
1
A ,b ,c ;
e) A
3
1
2
,b , c ;
-//-
202. Fie ( P P ) un program liniar în care funcţia obiectiv se minimizează şi ( P ’) ’) programul dedus din ( P P ) prin adăugarea unei restricţii suplimentare. Presupunem că ( P ’) au soluţii optime şi fie min P , min P ’ valorile optime ale funcţiilor obiectiv P ) şi ( P P ’) P ) resp P ’). din ( P respec ecttiv ( P ’). Care Care din din urmă următo toar arel elee afir afirma maţi ţiii este este ÎNTO ÎNTODE DEAU AUNA NA adevărată ?
a) min P < min P ’ ; b) min P = min P ’ ; c) min P > min P ’ ; d) min P ≤ min P ’ ; e) min P ≥ min P ’ -//-
’) 203. Fie ( P P ) un program liniar în care funcţia obiectiv se maximizează şi ( P ’) P ) prin adăugarea unei restricţii suplimentare. Presupunem că programul dedus din ( P ( P ’) au soluţii optime şi fie max P , max P ’ valorile optime ale funcţiilor P ) şi ( P P ’) obiectiv din ( P ’). Care din următoarele afirmaţii este ÎNTODEAUNA P ) respectiv ( P P ’). adevărată ? a) max P < max P ’ ; b) max P = max P ’ ; c) max P > max P ’ ; d) max P ≤ max P ’ ; e) max P ≥ max P ’
-//-
204. Se consideră programul liniar:
(P)
(max) f = x1 + x2 2 x1 + 3 x2 ≤ 6 3 x1 + x2 x1 , x2
≤
6
≥0
Care din următoarele răspunsuri este corect? a) Mulţimea Mulţimea soluţiilo soluţiilorr admisibile admisibile ale programul programului ui (P) este vidă; vidă; b) Programul Programul (P) (P) are mai mai multe multe solutii solutii optime; optime; 12 6 c) Programul (P) are soluţia optimă x1 = x2 = ; , 7 7 d) Mulţimea Mulţimea soluţiilor soluţiilor admisibil admisibilee ale programului programului (P) este nemărginită; nemărginită; e) Programul (P) are soluţia optimă x1 = 0, x2 = 2. -//-
205. Se consideră programul liniar: (min) y x 2 + y ≥ 5 0 ≤ x ≤ 3
Care este valoarea lui y în soluţia optimă? a) – 2 ; b) 2 ; c) 1 ; d) – 1 ; e) 0 . -//-
206. Se consideră programul liniar: 2 x1 + 3 x2
( P )
≤6 3 x1 + x2 ≤ 6 x1 ,x2 ≥ 0 ( max max )f = x1 + x2
Alegeţi varianta corectă: a) Mulţimea soluţiilor admisibile ale programului (P) este nemărginită; b) Mulţimea soluţiilor admisibile ale programului (P) este vidă;
c) Mulţimea soluţiilor admisibile ale programului (P) nu este convexă; d) Programul (P) are optim infinit; e) Soluţia optimă a programului (P) verifică relaţia x1 = 2 x2. -//-
207. Se consideră un program liniar (P). După aducerea la forma standard şi adăugarea variabilelor artificiale s-a obţinut problema (FBP) căreia i s-a aplicat metoda simplex. Să presupunem că în soluţia optimă a problemei (FBP) există cel puţ puţin in o varia variabi bilă lă arti artifi fici cial alăă cu valo valoar aree nenu nenulă lă.. În acea aceast stăă situ situaţ aţie ie,, care care din din următoarele răspunsuri este corect? a) b) c) d) e)
Programul (P) are soluţie optimă; Programul (P) are soluţii admisibile; Programul (P) are optim infinit; Programul (P) nu are soluţii admisibile; Mulţimea soluţiilor admisibile ale programului (P) este nemărginită. -//-
208. Se consideră un program liniar ( P P ) în forma standard. Care afirmaţie NU este adevărată ? P ) are optim finit, atunci cel puţin o soluţie optimă se găseşte a) Dacă programul ( P într-unul din vârfurile mulţimii soluţiilor admisibile; b) Dacă programul ( P P ) are optim finit, atunci cel puţin una din soluţiile sale optime este o soluţie de bază; c) Programul ( P P ) are un număr finit de soluţii de bază; d) O soluţie a programului ( P ), ), nu neapărat admisibilă, se numeşte soluţie de bază dacă mulţimea coloanelor din matricea tehnologică, corespunzătoare componentelor nule, este liniar independentă; independentă; e) Numărul soluţiilor admisibile de bază efectiv generate de algoritmul simplex este de regulă mult mai mic decât numărul total al acestora.
-//-
209. Fie un program liniar ( P P ) în forma standard în care b este vectorul termenilor liberi iar c este vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv. Care afirmaţie NU este, ÎN GENERAL, adevărată ?
a) În orice soluţie optimă de bază a programului liniar ( P ) numărul componentelor nenule este cel mult egal cu numărul restricţiilor problemei; b) Variabilele din programul dual nu au restricţie de semn; c) Dacă x * este soluţie optimă a problemei ( P ) şi u* este soluţie optimă a problemei duale ( D D) atunci c ⋅ x* = u* ⋅ b; ~ ~ P ) înlocuind vectorul termenilor liberi b cu b d) Fie ( P ) programul rezultat din ( P . Fie ~ ~ ~ − B o bază optimă pentru programul ( P ) şi x~ = B ⋅ b , x = 0 soluţia programului ( P ) ~ asociată bazei B. Atunci x~ = ( x~ , x~ ) este soluţie optimă a programului ( P ); e) O soluţie de bază este optimă dacă şi numai dacă este simultan primal şi dual admisibilă. Pentru problemele 10 şi 11 se va considera programul liniar: 1
S
B
B
S
( min ) f = 5 x1 + 7 x2 + 7 x3
7 x1 + 8 x2 + 9 x3
≥
95
x1 + x2 + x3 ≤ 13 x1 , x2 , x3 ≥ 0
.
Introducem variabilele de abatere x4 şi x5 şi variabila artificială x6 pentru a obţi obţine ne baza baza unit unitar arăă de star start.t. Pent Pentru ru baza baza B = (a3, a1) se cuno cunoaş aşte te inve invers rsaa 1 / 2 -7 / 2 B = -1 / 2 9 / 2 . -1
-//-
210. Soluţia optimă a programului este:
a) x1 = 2, x2 = 11, x3 = 0; b) x1 = 11, x2 = 0, x3 = 2; c) x1 = 11, x2 = 2, x3 = 0; d) x1 = 2, x2 = 0, x3 = 11; e) x1 = 0, x2 = 11, x3 = 2 -//-
211. Soluţia optimă a programului dual este:
a) u1 = -1, u2 = 2; b) u1 = 2, u2 = -1; c) u1 = -2, u2 = 1;
d) u1 = 1, u2 = -2; e) u1 = 2, u2 = 1. -//-
212. Se consideră programul liniar: (min) f = 12( x1 − 5) + 12( x 2 − 3 x1 − 2 x 2 + 8 ≤ 0
(P)
− 3)
− 2 x1 + 3 x 2 − 3 ≤ 0 − x1 + x2 ≤ 0 x1 − 8 ≤0
Care din următoarele răspunsuri este soluţia optimă a programului (P)? a) x1 = 3, x2 = 3; b) x1 = 8, x2 = -8; 19 c) x1 = 8, x2 = 3 ; 8
d) x1 = 3 , x2 = 0; e) x1 = 8, x2 = 0. -//-
213. Se dă problema de programare liniară: (min) f = 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 2 x4 + 3 x5 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 10
2 x + 3 x + x + x = 2 3 5 1 x j ≥ 0, j = 1,5
15
Sistemul de restricţii explicitat în raport cu baza (a2, a5) are forma:
1 x + x + 1 x + 1 x = 5 2 1 2 2 3 2 4 1 x1 − 1 x3 − 3 x4 + x5 = 0 2 2 2 Care din următoarele afirmaţii NU este adevărată? a) Baza (a2, a5) nu este optimă; b) (min) f f = 10;
c) Soluţ Soluţia ia optim optimăă este este unică; unică; 7 d) Soluţia optimă a dualei problemei date este u = − , u = 3; 2 e) În duala probleme problemeii date toate restricţ restricţiile iile sunt sunt inegalităţi inegalităţi de acelaşi acelaşi sens. sens. * 1
* 2
-//-
214. Se consideră problema de programare liniară: (max) f = 2 x1 + 7 x2
− 3 x3
x1 + 3 x2 + 4 x3 ≤ 3 0 r e s u 1r x1 + 4 x2 − x3 ≤ 1 0 r e s u 2r x1 , x 2 , x3 ≥ 0
După aplicarea algoritmului simplex se obţine următoarea formă explicită a sistemului de restricţii din forma standard ( x4 şi x5 sunt variabile de abatere):
− x2 + 5 x3 + x4 − x5 = 2 x1 + 4 x2 − x3 + x5 = 1 Cu cât se modifică valoarea funcţiei obiectiv dacă disponibilul resursei 2 creşte cu o unitate? a) 0 ;
b) 4 ;
c) -1 ;
d) 2 ;
e) -3.
-//-
215. Se consideră problema de programare liniară: (max) f = 4 x1 + 3 x2
+ x3 + 2 x4
4 x1 + 2 x2 + x3 + x4 ≤ 5 3 x1 + x2 + 2 x3 + x4 ≤ 4 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
Fie x , x variab variabile ilele le de abatere abatere introd introduse use în cele cele două două restri restricţi cţiii pentru pentru aducer aducerea ea proble problemei mei la forma forma standa standard. rd. După După aplica aplicarea rea algori algoritm tmulu uluii simple simplexx o porţiune a tabelului simplex este următoarea: 5
6
V B
x1 x2 x3
x4
x2
x4
Precizaţi care este valoarea sumei este soluţia optimă a problemei : a) 4 ;
b) 9 ;
x5
x6
1 -1
-1 2
S = x1∗ + x2∗ + x3∗ + x4∗
c) 0 ;
d) 2 ;
unde
x ∗
= ( x1∗ , x 2∗ , x3∗ , x 4∗ )
e) 5.
-//-
216. Se consideră un program liniar ( P P ) în forma standard în care b este vectorul termenilor liberi iar c este vectorul coeficienţilor funcţiei obiectiv. Care afirmaţie NU este adevărată ? P ) are optim finit, atunci cel puţin o soluţie optimă se găseşte a) Dacă programul ( P într-unul din vârfurile mulţimii soluţiilor admisibile; b) O soluţie a programului ( P ), nu neapărat admisibilă, se numeşte soluţie de bază P ), dacă mulţimea coloanelor, în matricea tehnologică corespunzătoare componentelor nule, este liniar independentă; independentă; c) În orice soluţie optimă de bază a programului liniar ( P ) numărul componentelor nenule este cel mult egal cu numărul restricţiilor problemei;
d) Dacă în soluţia optimă a formei bune (FBP) a programului liniar ( P ) apare o variabilă artificială cu valoare nenulă, atunci programul ( P ) nu are soluţii admisibile; e) Dacă x * este soluţie optimă a problemei ( P ) şi u* este soluţie optimă a problemei duale ( D D) atunci c ⋅ x* = u*⋅ b; -//-
217. În procesul rezolvării unui program liniar (P) a cărui funcţie obiectiv se maximizează s-a obţinut următorul tabel simplex: c j 4 3 2 0 0 c B
B
4 0
A1 A4
VVB
10 20
A1
1 0
A2
A3
A4
A5
-2 -1
3 2
0 1
2 1
Care din următoarele afirmaţii este ÎNTOTDEAUNA adevărată? a) Soluţia conţinută în tabel este optimă; b) Soluţia conţinută în tabel nu este admisibilă; b) Soluţia conţinută în tabel este dual admisibilă; c) Programul (P) are optim infinit; d) Programul (P) nu are soluţii admisibile. -//-
218. Se consideră elementele: 1 A = 2 4
3 4
2
5 1 , 1
x1 x = x2 , x3
130 0 13 b = 92 , 21 212 2
[
]
c = 3 4 6.
cu ajutorul cărora se construieşte un model liniar pentru determinarea unui program de fabricaţie corespunzător valorii maxime a venitului total, astfel încât resursele să nu fie depăşite (forma canonică). Din tabelul: c j
3
4
6
0
0
0
c B B
x
a1
a2
a3
a4
a5
a6
6 3
24 34
0 1
1/7 17/7
1 0
2/7 -1/7
-1/7 4/7
0 0
a3 a1
B
0
a6
28
0
-9
0
0
-2
1
rezultă că: a) (a3,a1,a6) nu este bază optimală;
b) soluţia soluţia optimă optimă este degenerată degenerată;; c) resursa R 3 cu disponibilul 212 este excedentară prin programul optimal; d) În soluţia optimă a dualei problemei considerate avem u1* = 57/7; e) (min) g g = 146, unde g reprezintă funcţia obiectiv a problemei duale. -//-
219. Dacă ( P P ) este o problemă de programare liniară şi ( D) problema duală corespunzătoare, care afirmaţie NU este adevărată, ÎN GENERAL? D) au soluţii admisibile atunci ambele probleme au a) Dacă ambele probleme ( P ) şi ( D soluţii optime finite şi valorile funcţiilor obiectiv coincid; b) Dacă problema ( P ) are n variabile atunci problema ( D) va avea n restricţii; c) Variabilelor nenegative din problema ( P ) le corespund restricţii concordante în problema ( D D); d) Restricţiile concordante sunt inegalităţi de tipul (≤ ( ≤ ) în cazul problemelor de maximizare şi, respectiv, de tipul (≥ ( ≥ ) în cazul problemelor de minimizare; e) Dacă una din problemele în dualitate ( P ) şi ( D D) are domeniul admisibil nemărginit atunci aceasta are optim infinit.
-//-
220. Fie (P) un program liniar şi (Q) dualul său. Care afirmaţie NU este, ÎN GENERAL, adevărată?
a) Număr umăruul vari ariabi abilelo lelorr dint intr-u r-un prog rogram ram este este egal gal cu numă număru rull restricţiilor din celălalt; b) Dacă ambele ambele programe programe au soluţii soluţii admisibile admisibile atunci atunci valorile valorile optime ale funcţiilor obiectiv coincid; c) Dacă în (P) funcţia obiectiv se minimizează atunci o restricţie din (P) se numeşte concordantă dacă este o restricţie de tipul ≥ ; d) unei restricţii inegalitate de tip ≤ din (P) îi corespunde în (Q) o variabilă nenegativă (≥ (≥ 0);
e) dacă unul unul din programe programe are optim optim infinit infinit atunci atunci celălalt celălalt nu nu are soluţii soluţii admisibile. -//-
221. Se consideră programul liniar: (min) f = x1 + 5 x 2 + 6 x3 − x1 + x2 + 3 x3 ≥ 2 x1 + 2 x 2 − x3 ≥ 3 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0 11 1 a cărui soluţie optimă este: x = 0, x = 7 , x = 7 . * 1
* 2
* 3
Atunci, în soluţia optimă a problemei duale, variabila u2, asociată celei de a doua restricţii din (P), are valoarea: a)
11 7
b) 1
c)
17 7
d)
9 7
e)
15 7
Se consideră consideră următoarea următoarea problemă problemă de maximizare maximizare a venitului venitului unei firme cu trei activităţi care utilizează trei resurse: = 5 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 ≤ 100 2 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 120 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0
(max) f
În tabelul simplex, baza optimă este
(a 3 , a 1 , a 2 )
cu B
−1
1 / 2 −1 / 10 − 3 / 10 = 0 −1 / 5 3/ 5 −1 / 2 −1 / 10 7 / 10
Răspundeţi la următoarele 4 teste (problemele 22,23,24,25): -//-
222. Să presupunem că vectorul disponibilului de resurse se schimbă în b’ = (140, 200,150) T. Atunci, faţă de valoarea actuală, venitul maxim al firmei:
a) b) b) c) d) e)
creş creşte te cu 301; 301; creşt creştee cu cu 247 247;; creş creşte te cu 215; 215; creşt creştee cu 272; 272; creş creşte te cu 253. 253. -//-
223. Dacă disponibilul actual al resursei R 3 (care trebuie consumată în întregime) creşte cu o unitate atunci venitul maxim al firmei: a) creşte cu 110 ; b) creşte cu 2 5 ; c) scade cu 110 ; d) creşte cu 15 ;
e) nu se modi modifi fică că.. -//-
224. Între ce limite poate varia preţul c 1 al bunului produs în prima activitate astf astfel el încâ încâtt struc structu tura ra actu actual alăă a prog progra ramu mulu luii de prod produc ucţi ţiee să nu se modi modifi fice ce?? (preţurile celorlalte două bunuri rămân fixate la valorile indicate în (P)). a) 0 ≤ c1 ≤ 7; b) 5 ≤ c1 ≤ 8; c) c1 ≤ 7 6 ; d) c1 ≥ 7 6 ; e) 12 ≤ c1 ≤ 6; -//-
225. Între ce limite poate varia disponibilul b 1 al primei resurse astfel încât structura actuală a programul optim de producţie să nu se modifice? (disponibilele celorlalte două resurse rămân fixate la valorile indicate în (P)). a) 84 ≤ b1 ≤ 112;
b) c) d) e)
95 ≤ b1 ≤ 105; b1 ≤ 92; b1 ≥ 130; 92 ≤ b1 ≤ 148; -//-
226. Fie (P) un program liniar cu 3 variabile şi 2 restricţii. Se cunosc coeficienţ coeficienţii ii funcţiei obiectiv: obiectiv: 2, 5, 7 şi termenii termenii liberi ai restricţiilo restricţiilorr 10, 20. Ştiind Ştiind că soluţia optimă a programului (P) este: x1 = 20, x2 = 10, x3 = 0 şi că în soluţia optimă ( u1* , u 2* ) a problemei duale componenta u 2* = 5 determinaţi u1* .
a) 0;
b) – 1;
c) 2;
d) 5;
e) – 4
-//-
227. Se consideră un program liniar (P) şi fie (D) dualul său. Fie u1 ≥ 0 variabila din (D) asociată primei restricţii din (P). Care din următoarele afirmaţii privitoare la prima restricţie din (P) este ÎNTOTDEAUNA adevărată?
a) b) c) d) e)
este este o restric restricţie ţie conc concord ordant antăă este o restric restricţie ţie neconcord neconcordantă antă este este o restri restricţi cţiee egalit egalitate ate este fie fie o inegalitate inegalitate necon neconcordan cordantă tă fie o egalitat egalitate; e; este fie fie o inegalita inegalitate te concordan concordantă tă fie o egalit egalitate ate -//-
228. Se consideră modelele duale:
(1)
Ax Ax ≤ b x ≥ 0 (max) f ( x) = cx
(2)
uA ≥ c u ≥0 (min) g (u ) = ub
Care din următoarele afirmaţii NU este adevărată? a)
Dacă Dacă (1) (1) are are opti optim m infi infini nitt atun atunci ci şi (2) (2) nu nu are are solu soluţi ţiii admi admisi sibi bile le;; 1 1 1 b) f ( x x ) ≥ g (u ), unde x , u sunt două soluţii admisibile de bază pentru (1) respectiv (2). c) În tabelul simplex optimal optimal al primalei se poate citi soluţia soluţia optimă a dualei; d) Dacă cele două modele duale au soluţii admisibile atunci valorile optime ale funcţiilor obiectiv f ( x x) şi g (u) sunt egale; 1
e) Pent Pentru ru mode modelu lull (2) (2) mulţ mulţim imea ea solu soluţi ţiil ilor or admi admisi sibi bile le poat poatee fi nevi nevidă dă şi nemărginită. -//-
229. Fie problema de programare liniară: (min) f = 5 x1 + 3 x2 x1 + x2 ≥ 4
(P) − 2 x1 + x2 ≥ 3 x + x ≥ 1 2 x j ≥ 0, j = 1,2
3 5
Dualul modelului (P), rezolvat prin algoritmul simplex primal, are baza optimală 1 2 formată din din vectorii corespunzători lui u3 respectiv u2 şi B –1 = 51 53 . − 5 5 Utilizând aceste informaţii indicaţi afirmaţia adevărată: a) Soluţia Soluţia optimă optimă a model modelului ului (P) nu este este unică; unică; b) (min) f = 68/5; c) În soluţia optimă a dualei u = 7/5; d) Soluţia optimă a modelului (P) este: x = 2/5; x = 19/5; e) Mulţimea Mulţimea soluţiilo soluţiilorr admisibile admisibile ale modelului modelului (P) este nevidă nevidă şi mărginită. mărginită. * 2
* 1
-//-
230. Se consideră problema de programare liniară: (max) f = 2 x1
+ 7 x 2 − 3 x3
x1 + 3 x2 + 4 x3 ≤ 3 x1 + 4 x2 − x3 ≤ 1 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
* 2
cu soluţia optimă duală: obiectiv? a) f = 10;
u1
= 0 şi
f = 20; b) f
u2
= 2 . Care este valoarea optimă a funcţiei
c) f = 30;
d) f = 0;
e) f = 40
-//-
231. Un agent are la dispoziţie trei resurse R , R , R în cantităţile 1200, 500 şi 900 unităţi pentru a produce două bunuri G şi G la preţurile 12 şi 15 u.m. folosind o tehnologie liniară, cu consumurile specifice din următorul tabel: 1
2
1
3
2
Consumuri specifice R1
R2 R3
Pentru Pentru baza baza
B
= (a1, a 2 , a 5 )
avem
G 1
G 2
4 1 3
3 2 2
2 / 5 −3 / 5 0 B −1 = −1 / 5 4/ 5 0 ( x 3 , x 4 1/ 5 1 4 / 5
şi
x 5
sunt
variabile de abatere). Care este contribuţia unitară a resurselor la formarea venitului maxim : a) b) b) c) d) e)
( 9/5 9/5,, 24/ 24/5, 5, 0 ) ( 0, 0, 15/ 15/2, 2, 0 ) ( -1/ -1/5, 5, 4/5, 4/5, 0 ) ( -4/5 -4/5,, 1/5 1/5,, 1 ) ( 2/5 2/5,, -3/ -3/5, 5, 0 )
Pentru problemele 32,33 şi 34 se va considera programul liniar: ( max ) f = 3 x1 + x 2 + 2 x3 (P)
x1 - x 2 + 2 x3 ≤ 20
2 x1 + x 2 - x3 ≤ 10 , 2 , 3 x j ≥ 0 , j = 1
Fie x4 şi x5 variabilele de abatere din forma standard. În tabelul simplex final avem:
max c cB VB x B x3 30 2 1 x2 40
3
1 2
0 0
a1
a2 a3
a4 a5
3 5
0 1 1 0
1 1 1 2
-//-
232. Dacă funcţia obiectiv f se modifică în efectul modificării ?
~ f = 4 x1 + 2 x2 + 2 x3
, care este
a) Baza B = (a3, a2) nu rămâne optimă; b) În bază intră vectorul a1 şi iese vectorul a2; c) Soluţia Soluţia optimă este cu f max max = 100; d) Soluţia x = (10 , 50 , 30 , 0 , 0 ) este o soluţie de bază; e) Se modifică soluţia optimă a problemei duale. T
-//-
233. Din teoria dualităţii se cunoaşte cu cât se modifică venitul f * la o variaţie cu o unitate a disponibilului unei resurse. Precizaţi cu cât se modifică f * mărind cu o unitate disponibilul resursei b1 în problema ( P P ) ?
a) 4;
b) 3;
c) 7;
d) 1;
e) 0.
-//-
Dacă o nouă nouă eval evalua uare re a term termen enil ilor or libe liberi ri este este dată dată de vect vector orul ul 234. Dacă , care este efectul modificării ?
~ T b = ( 25 , 30 )
a) Soluţia x~ B este optimă cu f max max = 225; ~ ~ = B b nu verifică testul de optimalitate; b) x c) Problema nu are soluţii deoarece în cele două linii ale tabelului simplex final nu există elemente negative ; d) Baza B = (a3, a2) nu este optimă; e) Soluţia x~ B este optimă cu f max max = 195. B
-1
-//-
235. Se consideră problema:
(max) f = c1 x1 + 2 x2 x1 + 2 x2 ≤ 3 x1 + x2 x j ≥ 0, j
-1
Baza B = (a2, a4) cu B este optimală dacă:
12 = − 12
≤ 5 = 1,2
0
(variabilele de abatere s-au notat x , x ) 1 3
4
c1 ∈ (1, 2] c1 ≥ 1,5 c1 ∈ [0, 1] c1 ≥ 0 e) a, b, c, d fal false se
a) b) c) d)
-//-
236. Se consideră problema: x2 (max) f = 2 x1 + α
x1 + 2 x2 ≤ x + x ≤ 1 2
3 5
x1 , x2 ≥ 0
Baza B = (a este optimă dacă:
2
a) α ≥ 4 ;
, a4 )
cu B −
1
b) α = 2 ;
1 2 0 = (variabilele de abatere s-au notat −1 2 1
c) α ∈[1 2, 1] ;
d) α ∈[0, 1 2] ;
x3 , x4
)
e) α ≤ 0
-//-
237. O firmă realizează două produse principale p şi p . Fabricarea unei unităţi din p necesită 3 ore – om (forţa de muncă este considerată omogenă), 1 1
1
2
oră de folosire a unui utilaj U şi aduce un profit unitar de 4 u.m. O unitate din p necesită 5 ore – om, 2 ore utilajul U şi aduce un profit unitar de 7 u.m. Forţa de muncă poate fi folosită până la b ore – om, iar utilajul U până la 400 ore. 2 − 5 Baza B = (a, a ) cu B − = −1 3 este optimală dacă:
2
1
1
a) b ≤1000 ; b) b ≥ 1200 ; c) 1000 ≤ b ≤ 1200 ; d) b ≥ 0 ; e) b ≤1200 . 1
1
1
1
1
-//-
238. Se consideră o problemă de transport definită de următoarele elemente:
F1 F2 Cerere
C1 7 5 30t
C2 4 3 70t
Ofertă 60t 40t
Care afirmaţie este adevărată? a) Programul optim de transport este: x11 = 0 , x12 = 60 , x21 = 30 , x22 = 10 ; b) Programul (x11 = 20, x12 = 40, x21 = 10, x22 = 30) este soluţie de bază;
c) Problema Problema de transport transport este neechili neechilibrată brată;; d) Programul optim de transport este: x 11 = 30, x12 = 30, x21 = 0, x22 = 40; e) Costul Costul tota totall minim minim este este 450 450 u.m. u.m. -//-
239. Se consideră problema de transport de cost minim cu datele:
Destinaţi i Surs 11 e 2 Cerer
1
2
8 6 3
5 4 3
Ofert ă 4 2
Care afirmaţie este adevărată?
e
a) Programul (x11 = 2, x12 = 2, x21 = 1, x22 = 1) este soluţie de bază;
b) Restricţii Restricţiile le problemei problemei sunt: sunt: 8x11 + 5x12 = 4; 6x21 + 4x22 = 2; 8x11 + 6x21 = 3; 5x12 + 4x22 = 3; c) Problema Problema este neechil neechilibrat ibratăă pentru că suma element elementelor elor pe linie, linie, respectiv respectiv pe coloană, nu este egală cu oferta, respectiv cu cererea; d) Programul optim de transport este: (x 11 = 3, x12 = 1, x21 = 0, x22 = 2); e) Costul Costul minim minim de de transport transport este egal egal cu cu 35. -//-
240. Se consideră problema de transport de cost minim cu datele:
C1
C2
C3
C4 Dis p
F1 F2 F3 Nec
3 1 2 5
2 7 5 8
6 4 3 10
5 6 4 7
10 12 8
În ipoteza că pe ruta (F 2 , C4) trebuie transportate (cel puţin) 5 unităţi, care afirmaţie este adevărată? a) Costul Costul tota totall minim minim este este 88 88 u.m. u.m. b) Programul optim de transport este: x = 8 , x = 2 , x = 5 , x = 5 . c) Datorită Datorită condiţi condiţiei ei puse problem problemaa de transport transport nu are soluţi soluţie. e. d) Programul optim de transport este: x = 8 , x = 2 , x = 5 , x = 8 . e) Problema Problema de de transpor transportt este este neechili neechilibrată. brată. 12
14
21
x 23
=7,
x 33
=3,
12
14
21
x 23
=2,
x 24
=5,
34
33
-//-
241. Se consideră problema de transport de cost minim cu datele:
F1 F2
C1 4 6
C2 1 5
C3 10 3
C4 5 10
Disponibil 20 30
F3 Necesar
1 5
7 20
8 20
9 10
5
şi cu soluţia: x =10 , x =10 , x = 10 , x = 20 , x = 5 . 12
14
23
22
31
Care afirmaţie NU este adevărată? a) b) c) d) e)
Costul de transport este 175 u.m. Soluţia dată nu este soluţie de bază. Problema de de tr transport es este ec echilibrat rată. Soluţia da dată es este op optimă şi şi de degenerat rată. Soluţia este degenerată având 5 elemente şi
m + n −1 = 6, m
= 3, n = 4
-//-
242. Se consideră proiectul dat prin următoarea listă de activităţi:
Acti Activi vita tate te Acti Activi vită tăţi ţi direc directt precedente A B C D E F G H I J
A C C D,E B,F C H G,H
Durata 9 3 7 9 5 5 2 2 4 3
Se notează cu X drumul critic şi cu RH rezerva totală a activităţii H. Care din următoarele afirmaţii este adevărată? a) X=(B, G, J), RH= 4; b) X=(A,C, H, I) , RH= 0;
c) X=(A, C, E, F,G, J), RH= 13 d) X=(A, C,D,F,G,J), RH=13; e) X=( A, C, H, J), RH=0; -//-
243. În analiza drumului critic, alocarea resurselor înseamnă:
a) stabilirea necesarului de resurse umane şi materiale pentru realizarea întregului proiect în cel mai scurt timp; b) b) eval evalua uare reaa nece necesa sarul rului ui de resurs resursee pent pentru ru real realiz izar area ea acti activi vită tăţi ţilo lorr criti critice ce la termenele calculate prin procedeul ADC- timp; c) planificarea activităţilor unui proiect astfel încât necesarul de resurse să nu depăşească cantităţile disponibile iar durata de execuţie a proiectului să fie cât mai mică; d) planificarea activităţilor astfel încât să se asigure o utilizare cât mai uniformă a resurselor; e) direcţionarea resurselor umane şi materiale către anumite activităţi, în vederea prevenirii întârzierilor şi a respectării termenelor stabilite; -//-
244. În graful coordonator asociat unei acţiuni complexe, drumul critic este:
a) o mulţime de activităţi succesive a cărui durată de execuţie este minimă; b) o mulţime de activităţi ale căror durate sunt mari în raport cu duratele celorlalte activităţi; c) o mulţime de activităţi cu costuri de realizare foarte mari; d) o mulţime de activităţi succesive cu durata totală de execuţie cea mai mare; e) o mulţime maximală de activităţi între care nu există relaţii de precedenţă; Pentru Pentru problemele problemele 45,46 45,46 şi 47 se va considera considera proiectu proiectull dat prin lista lista de activităţi din tabelul următor. Activităţi A B C D E
Condiţionări Durată 7 5 2 A 6 A, B 3 A
F
10
-
-//-
245. Se notează cu X mulţimea activităţilor de pe drumul critic şi R C rezerva totală a activităţii C . Care afirmaţie este adevărată?
a) X = (B, D), R C = 2; b) X = (A, D), RC =2; c) X = (A, E), R C = 3; d) X = (A, D), R C = 4; e) X = (B, D), R C = 4. -//-
246. Durata minimă de realizare a proiectului este:
a) 13 ;
b) ;
c) 12 ;
d) 11 ;
e) 14.
-//-
247. Activităţile necritice sunt:
a) A,B,C,E;
b) B,C,D,F;
c) A,C,D,E;
d) B,C,E,F;
e) C,D,E,F.
Pentru problemele 48 şi 49 se va considera proiectul dat prin următoarea listă de activităţi: Activităţi
Condiţionări
A B C
A
D
A, B E F
A -
Durată 7 5 2 6 3 10
Resursă 4 2 3 4 2 2
Pentru fiecare activitate, în ultima coloană, s-a precizat cantitatea de resursă necesară în unitatea de timp. -//-
248. Presupunem că toate activităţile proiectului sunt planificate să înceapă la termenele cele mai devreme (EST), rezultate din analiza reţelei coordonatoare. Fie p (t ) mulţimea activităţilor care încep sau sunt în curs de desfăşurare la momentul t şi fie z (t ) cant cantit itat atea ea de resu resurs rsăă nece necesa sară ră la mome moment ntul ul t pentru pentru execuţia execuţia proiectului, Atunci:
a) p (8) ={C , D}, z (8) =11 b) p (8) ={C , D, E , F }, z (8) =11 c) p (8) ={ D, E , F }, z (8) = 8 d) p (8) ={C , D, E }, z (8) =12 e) p(8) ={ D, E }, z (8) =13 -//-
249. Se notează cu P (t ) mulţimea activităţilor care încep sau sunt în execuţie la momentul t , conform programării activităţilor la termenele de începere “cele mai târzii” (LST). La momentul t = 10 , care afirmaţie este adevărată?
a) P (10 ) ={C , D} ; b) P (10 ) ={C , D, E } ; c) P (10 ) ={ D, E , F } ; d) P (10 ) ={ E , F } ; e) P (10 ) ={ D, E , C , F } . -//-
250. Se consideră un proiect dat prin următoarea listă de activităţi:
Activităţi Act. direct precedente Durate
A
B
C
D
E
-
A
A
A
A
2
2
3
2
4
F B, C
G
5
1
C
H C, E
6
I F
3
J D, I
2
Determinaţi drumul critic X şi rezerva totală RT (G ) pentru activitatea G : RT (G ) = 2 a) X ={ A, B, F , I , J } , RT RT (G ) = 6 b) X ={ A, E , H , K } , RT RT (G ) = 3 c) X ={ A, C , H , K } , RT RT (G ) = 5 d) X ={ A, C , H , K } , RT RT (G ) =1 e) X ={ A, E , H , K } , RT
-//-
K G, H
4
251. Un graf este bipartit dacă şi numai dacă
a) G este un graf conex şi fără cicluri; b) G este un graf cu două componente conexe; c) Oricare două noduri din G sunt adiacente; d) G este un graf fără cicluri de lungime impară; e) G este un graf fără cicluri de lungime pară. -//-
252. Fie un graf finit şi valorizat. Un drum de valoare minimă între două noduri este:
a) un drum de valoare sub o anumită limită; b) un drum simplu de valoare minimă; c) un drum elementar de valoare minimă; d) o succesiune de arce permise; e) un drum cu cel puţin două arce. -//-
253. Fie G = ( X , E ) un graf cu s nodul sursă şi t nodul destinaţie. Dacă λ (i ), i ∈ X sunt etichetele asociate nodurilor i şi arcele (i , j ) ∈ E au valorile v (i , j ) ,care afirmaţie NU este adevărată?
a) drum rumuri urile de valoa aloare re mini inimă sun sunt date ate de arce arcelle (i, j ) pent pentru ru care care λ ( j ) − λ (i ) = v (i, j ) ; b) dacă λ ( j ) < λ (i ) + v(i, j ) nu se efectuează modificarea etichetei λ ( j ) ; c) etichetele λ (i) , i ∈ X iau valori minime dacă şi numai dacă λ ( j ) − λ (i ) ≤ v (i, j ) , (∀) (i, j ) ∈ E ; d) dacă λ ( j ) > λ (i ) + v(i, j ) se efectuează modificarea λ (i ) = λ ( j ) + v(i, j ) ; e) dacă λ ( j ) = λ (i ) + v(i, j ) nodul i devine nod precedent pentru nodul j; -//-
254. Se consideră o reţea de transport G, capacitată, cu intrarea s şi ieşirea t . O tăietură în reţeaua G este:
a) o mulţime de muchii circulate de fluxuri nenule; b) o partiţie a mulţimii vârfurilor reţelei G;
c) o mulţime de arce saturate; d) o partiţie a mulţimii vârfurilor care separă intrarea s de ieşirea t ; e) o partiţie a mulţimii muchiilor reţelei G; -//-
255. Se cons consid ider erăă reţe reţeau auaa de 15=> s 1 transport şi distribuţie a unui produs din figura figura alătur alăturată ată.. Nodur Nodurile ile s1,s2,s3 (8) sunt surse cu disponibilele 15,9,6 iar t1,t2 sunt destinaţii cu cererile 10,20. 9=> s 2 Valorile numerice înscrise pe muchii (în (în paran parante teze ze)) repe repezi zint ntăă capa capaci cită tăţi ţi,, (4) valabile în ambele sensuri de par parcu curg rger ere. e. Cant Cantit itat atea ea maxi maximă mă de s pro produ dus, s, tran transf sfer erab abil ilăă de la surs sursee la 6=> 3 destinaţii este:
a) 20;
b) 30;
c) 25;
(3) (5)
t1 (1)
(2) (12)
=>10
t2
=>20
Figura c)
d) 19;
e) 23
-//-
256. Fie G o reţea de transport capacitată cu intrarea s şi ieşirea t . Notaţii: f ≡ flux în G de la s la t ; T ≡ tăietură în G; v( f ) ≡ valoarea fluxului f ; c(T ) ≡ capacitatea tăieturii T . Teorema Ford – Fulkerson afirmă:
a) Dacă f este un flux maxim, există o tăietură T astfel încât: v( f ) = c(T ) ; b) Oricare ar fi fluxul f şi tăietura T există relaţia v( f ) ≤ c(T ) ; c) Dacă pentru un flux f şi o tăietură T avem egalitatea v( f ) = c(T ) atunci f este un flux maxim şi T este o tăietură de capacitate minimă; d) Dacă f nu este un flux maxim, există un lanţ de argumentare pentru f ; e) Oricare ar fi fluxul f şi tăietura T există relaţia v( f ) ≥ c(T ) . -//-
257. Se consideră o reţea de transport pentru un produs (dată în figura de mai jos) cu sursa s şi destinaţia t . Valorile numerice înscrise pe muchii, în paranteză, reprezintă capacităţi.Se propagă de la s la t un flux ϕ cu componentele: ϕ =11 , ϕ = 7 , ϕ = 6 , ϕ = 8 , ϕ = 3 , ϕ = 8 , ϕ = 5 , ϕ = 2 , ϕ =14 . s1
s 2
s 3
12
23
14
(15)
1
(6)
(5) 2
(8)
35
(3)
(9) (8) s
25
24
4
t
(2) 5
(15)
(10) (20)
3
Care afirmaţie este adevărată? a)Fluxul de valoare maximă de la s la t este de 25 u. b)În reţea există lanţuri de augmentare de la s la t relative la fluxul dat; c) S ={ s,1,2}, T ={3,4,5, t } este o tăietură ( S , T ) de capacitate minimă d)Arcul (3,5) este un arc saturat e) S ={ s,1,2,3}, T ={4,5, t } este o tăietură ( S , T ) de capacitate minimă. -//-
258. Se dă un arbore H = ( X , V ) . Care din următoarele afirmaţii NU este,ÎN GENERAL , adevărată:
a) H este conex şi fără cicluri ; b) H este fără cicluri şi are n −1 muchii, n = | X | ; c) H este fără cicluri şi dacă se uneşte printr-o muchie două noduri neadiacente se creează un ciclu şi numai unul; d) Dacă G = ( X , E ) este un graf oarecare atunci există un arbore H care să fie arbore de acoperire (maximal); e) H este conex şi dacă i se suprimă o muchie se crează două componente conexe. -//-
graf G cone conexx are are 26 nodu noduri ri.. Numă Număru rull much muchii iilo lorr unui unui arbor arboree 259. Un graf maximal din G este: a)24; b) 25; c) nu depinde de structura grafului; d) 26; e) 27. -//-
260. Fie G = ( X , E ) un graf conex în care fiecărei muchii e ∈ E i se asociază o valoare nenegativă v(e) . Se consideră următoarea procedură: Pasul 0. Se alege un nod oarecare x ∈ X şi fie S = { x } . Se identifică un alt nod x cel mai apropiat de nodul x , adică muchia [ x , x ] are valoarea mai mică. Fie S = S { x } şi V = {[ xi , x j ]} . Pasul k (k ≥1) . Se identifică un nod x , x ∉ S cel mai apropiat de unul din nodurile x ∈ S . Muchia [ x , x ] are valoarea cea mai mică. Se ia: S = S { x } şi V = V {[ x , x ]} . Se repetă Pasul k până când S = X . i
j
i
i
i
j
j
m
l
l
l
m
m
m
m
Care afirmaţie, relativă la subgraful H = ( X , V ) , este adevărată? a) Se poate întâmpla ca H = ( X , V ) să conţină un ciclu; b) H = ( X , V ) are mai multe componente conexe; c) H = ( X , V ) este conex şi orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ şi numai unul; d) H = ( X , V ) este conex şi are n muchii, n =| X | ; e) H = ( X , V ) conţine un drum hamiltonian. -//-
261. Pref Prefec ectu tura ra jude judeţu ţulu luii X a fixa fixatt ca obie obiect ctiv iv mode modern rniz izare areaa reţel reţelei ei drumurilor care leagă între ele localităţile 1, 2, ... ,8, reţea vizualizată prin graful de mai jos .
19
1
20
4
12 12
7
10
10
5
8
11
18
2
18
19
20
3
6
8
Pe fiecare muchie este înscrisă o valoare numerică reprezentând costul (în u.m. ) modernizării drumului respectiv. Din cauza bugetului limitat, prefectura doreşte, într-o primă etapă, să modernizeze numai unele drumuri, astfel încât: • Fiecare localitate să fie conectată la cel puţin un drum modernizat; • Costul întregii operaţii de modernizare (parţială) să fie minim. Acest cost este de: a) 81 u.m.; b) 88 u.m.; c) 79 u.m.; d) 77 u.m.; e) 84 u.m. -//-
262. Într-un oraş se studiază posibilitatea ca principalele instituţii să fie conectate într-un sistem printr-o reţea de comunicaţii. Schema tuturor legăturilor posibile precum şi costul executării acestor legături sunt cele din figura a). B
6
3
D
4
5 F A
2 3
6 C
E
Valorile indicate pe arce reprezintă costurile (în unităţi monetare) asociate realizării legăturii dintre cele 6 instituţii. Legăturile [C , D] şi [C , E ] sunt deja executate într-o fază anterioară. Cum sunt interconectate cele 6 instituţii cu un cost minim, astfel ca fiecare instituţie să fie conectată în reţea? a) { [ A, C ] , [ B, D ] , [C , D] , [C , E ] , [ D, F ] } b) { [ A, C ] , [C , D] , [C , E ] , [ D, E ] , [ B, D] , [ E , F ] } c) { [ A, C ] , [ B , D ] , [ D, E ] , [ D, F ] } d) { [ A, C ] , [ B, D] , [ D, C ] , [ D, F ] } e) { [ A, C ] , [ B, D] , [C , E ] , [ D, F ] } -//-
263. Următoarele propoziţii se referă la un program convex ( P ): P ): E 1) Dacă în ( P P ) funcţia obiectiv se maximizează, ea trebuie să fie convexă; E 2) Dacă în ( P P ) funcţia obiectiv se minimizează, ea trebuie să fie convexă; E 3) Dacă ( P P ) conţine o restricţie de forma g ( x x) ≤ 0, funcţia g trebuie să fie convexă; E 4) Dacă ( P P ) conţine o restricţie de forma g ( x x) ≥ 0, funcţia g trebuie să fie convexă; E 5) Dacă ( P P ) conţine o restricţie egalitate, aceasta trebuie să fie liniară; E 6 Orice optim al programului ( P ) este global.
În care din următoarele triplete, TOATE afirmaţiile sunt adevărate? a) E 1, E 3, E 6; b) E 2, E 3, E 6; c) E 1, E 5, E 6; d) E 2, E 4, E 5; e) E 2, E 4, E 6; -//-
264. Se consideră programul pătratic: (min) f = x12 + 2 x22 2 x1 + 3 x2 x1 , x2
≥6
≥0
Condiţia necesară şi suficientă ca x * să fie soluţia optimă a programului ( P ) este să existe u* astfel încât x*, u* să verifice condiţiile:
a)
b)
c)
2 x1 - 2u 4 x 2 - 3u - 2 x1 - 3 x 2 + 6 x1 ≥ 0 , x 2
- 2 x1 x1
≥ 0
x1 ( 2 x1 - 2u) = 0
≥ 0
x 2 ( 4 x 2 - 3u) = 0
≤ 0
u(- 2 x1 - 3 x 2 + 6 ) = 0
≥ 0
u
;
≥ 0
; d)
2 x1 - 2u = 0 4 x 2 - 3u = 0 ; -2 x1 - 3 x 2 + 6 = 0 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , u ≥ 0
; e)
2 x1 - 2u 4 x2 - 3u -2 x1 - 3 x 2 + 6 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , u
2 x1 - 2u = 0 4 x 2 - 3u = 0 3 x 2 + 6
≤ 0
u(- 2 x1 - 3 x 2 + 6 ) = 0
≥ 0 , x 2 ≥ 0
2 x1 - 2u 4 x 2 - 3u - 2 x1 - 3 x 2 + 6 x1 ≥ 0 , x 2
u
≥ 0
≤ 0
x1 ( 2 x1 - 2u) = 0
≤ 0
x 2 ( 4 x 2 - 3u) = 0
≤ 0
u(- 2 x1 - 3 x 2 + 6 ) = 0
≥ 0
u
≥ 0
≥
0
≥
0
≤
0
≥
0
.
-//-
265. Se consideră programul neliniar: (min) f = x12 + x22 − 2 x1 − 2 x2 + 2 x1 + x2
≤ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Care este soluţia optimă a programului neliniar? a) (3,0); b) (0,3); c) (0,0); d) ( 3 2 , 3 2 );
e) (1,1);
-//-
266. Care este prima aproximaţie a minimului global al funcţiei: f ( x x) =
1 2
x 12
+ x1 x x2 + x 22 + x1 + x2 , x ∈ R2 , x = ( x x1, x2)T
pe direcţia celei mai rapide r apide descreşteri, luând ca punct iniţial x0 = (0, 0)T?
a) x1 = ( 2 5 , 2 5 )T;
b) x1 = x0;
c) x1 = (– 2 5 , 2 5 )T; d) x1 = ( 2 5 ,– 2 5 )T; e) x1 = (– 2 5 ,– 2 5 )T; -//-
267. Se consideră modelul neliniar:
(P)
(min) f ( x ) g ( x ) ≤ 0 i =1 ,m i u x ≥ 0
unde: diferenţiabile f : Rn → R , g i : R Rn→ R , i 1, m sunt funcţii convexe şi diferenţiabile (∀) i 1, m , x ≥ 0} D = { x ∈ Rn / g i( x x) ≤ 0 (∀ L( x , u) = functia lui Lagrange asociată problemei (P). =
=
Care afirmaţie NU este adevărată? a) Pentru fiecare u ∈ R+ funcţia L( - , u) este convexă pe D; b) Dacă (x*,u*) ∈ D × R+ este punct şa pentru funcţia lui Lagrange atunci • • u ⋅ g ( x ) = 0 , (∀ (∀) 1, ; c) Dacă (x*,u*) ∈ D × R+ este punct şa pentru funcţia lui Lagrange atunci x * este program optim pentru (P); d) Dacă (x*,u*) ∈ D × R+ este punct şa pentru funcţia lui Lagrange atunci: L (x*, u) ≥ L(x,u*), (∀) x ∈ D, u ∈ R+m e) Dacă (x*,u*) ∈ D × R+ este punct şa pentru funcţia lui Lagrange atunci x * este punct de minim global pentru funcţia f. m
m
i
i
i
=
m
m
m
m
-//-
268. Se consideră problema de programare convexă: *
f ( x )
= min{ f ( x ) | x ∈ R n }
unde f este o funcţie convexă şi diferenţiabilă. Fie x , x , x ,... aproximaţiile soluţiei soluţiei optime optime x în proce procesu sull de mini minimi miza zare re pe dire direcţ cţia ia cele celeii mai mai rapid rapidee descreşteri, x dat. 0
1
2
*
0
Ce afirmaţie NU este, ÎN GENERAL adevărată? * f ( x ) = 0 atunci x * este punct de extrem pentru f a) Dacă ∇ b) Deplasarea de la x 0 spre x * se face pe direcţii consecutiv perpendiculare; c) Deplasarea între două puncte succesive de la x k la x k +1 se face pe direcţia r k = +∇ f ( x k ) ; d) Aproximaţia x k +1 = x k + λ k r k se calcul calculeaz eazăă plecân plecândd din punctu punctull x k pe direcţia r = −∇ f ( x ) cu λ k > 0 scalar real astfel încât f ( x k +1 ) < f ( x k ) . Pasull de depl deplas asar aree într într-o -o iter iteraţ aţie ie se dete determ rmin inăă rezo rezolv lvân ândd prob proble lema ma e) Pasu k
k
min f ( x k + λ r k ) λ > 0
unde
r k
este direcţia de deplasare din x . k
-//-
269. Se consideră problema de programare convexă: min { f ( x ) | x ≥ 0, x ∈ R n }
în care f este o funcţie convexă şi diferenţiabilă. x ∈ X *
condiţiile:
este este solu soluţi ţiee opti optimă mă a prob proble leme meii dacă dacă şi numa numaii dacă dacă
x ≥ 0
a) ∇ f ( x) ≥0
x ≥ 0
b) ∇ f ( x ) ≥ 0 T
x
∇ f ( x ) = 0
x ≥ 0
;
c)
∇ f ( x ) ≤ 0 ; T x ∇ f ( x ) = 0
x ≥ 0
*
x
verifică
d) ∇ f ( x ) =0
e)
∇ f ( x) ≥ 0 T x ∇ f ( x) = 0
-//-
270. Fie (P) programul liniar care modelează următoarea situaţie:
Un agent economic are la dispoziţie resursele R 1, R 2, R 3 în cantităţile 50, 90, 120 unităţi specifice, din care produce bunurile G1, G2 la preţurile 15 respectiv 12 u.m. Consumurile unitare sunt următoarele: c (R 1, G1) = 2, c (R 1, G2) = 1, c (R 2, G1) = 2, c (R 2, G2) = 3, c (R 3, G1) = 3, c (R 3, G2) = 4. Agentul urmăreşte maximizarea venitului său. Se cunoaşte inversa bazei B = (a1, a4, a5) a formei standard (x3, x4, x5 sunt sunt variabile de abatere):
1/ 2 B = −1 −3 / 2 -1
0
0
1
0
0
1
Identificaţi afirmaţia adevărată: a) b) b) c) d)
Soluţia x1=25, x2= 0 este optimă Baza Baza B est estee opt optim imăă Valoare Valoareaa optimă optimă a funcţi funcţiei ei obiect obiectiv iv este este 456 Solu Soluţi ţiil ilee admi admisi sibil bilee (x1= 16, x2= 18) şi (u1=4, u2= 2, u3= 1) sunt optime pentru programul liniar dat respectiv pentru dualul său e) Funcţia Funcţia obiectiv obiectiv a programului programului dual are o valoare valoare mai mică mică funcţia funcţia obiectiv obiectiv a programului programului liniar dat – // –
271. Fie (P) programul liniar care modelează următoarea situaţie:
Un agent economic are la dispoziţie resursele R 1, R 2, R 3 în cantităţile 50, 90, 120 unităţi specifice, din care produce bunurile G1, G2 la preţurile 15 respectiv 12 u.m. Consumurile unitare sunt următoarele: c (R 1, G1) = 2, c (R 1, G2) = 1, c (R 2, G1) = 2, c (R 2, G2) = 3, c (R 3, G1) = 3, c (R 3, G2) = 4. Agentul urmăreşte maximizarea venitului său. Se cunoaş cunoaşte te inversa inversa baze bazeii B = (a1, a4, a5) a formei standard (x3, x4, x5 sunt sunt variabile de abatere): 1/ 2 B-1 = −1 −3 / 2
0 1 0
0 0 1
Identificaţi afirmaţia falsă: a) Soluţia (x (x1= 16, x2= 18) este optimă b) b) Baza Baza opti optimă mă este este (a1, a4, a2) c) Contri Contribuţ buţiil iilee unitar unitaree celor celor trei trei numere numere R 1, R 2, R 3 la formarea venitului maxim sunt 24/5, 0 respectiv 9/5 d) Din dispon disponibi ibilul lul din resurs resursaa R 2 creşte cu o unitate, venitul maxim este 9/5 u.m. e) Veni Venitu tull maxi maxim m este este de de 456 456 u.m u.m – // – trei 272. Un produs omogen este disponibil în două surse F1, F2 şi sunt cerute în trei
puncte de consum C1, C2, C3. Cant Cantit ităţ ăţil ilee disp dispon onib ibil ilee la surs sursee sunt sunt:: a1 = 35, a2 = 45, cereri cererile le consumatorilor sunt: b1 = 30, b2 = 20 şi b3 = 40. Costurile unitare de transport sunt : c11 = 2, c12 = 2, c13 = 1, c21 = 3, c22 = 1, c23 = 2.
Identificaţi afirmaţia falsă: a) b) c) d) e)
Costul Costul minim minim de de transp transport ort este este 125 125 u.m u.m Problem Problemaa este este neechi neechilib librat ratăă x = (x13 = 35, x21 = 20, x22 = 20, x23 = 5, xij = 0 în rest) este soluţie optimă x = (x11 = 20, x13 = 15, x22 = 20, x23 = 25, xij = 0 în rest) este soluţie optimă Soluţi Soluţiaa opti optimă mă este este dege degenera nerată tă – // –
273. Un manager doreşte să repartizeze trei muncitori M1, M2, M3 pe 3 locuri de
muncă L1, L2, L3 Dintr-un studiu se cunosc posibilităţile de repartizare şi costurile pe fiecare muncitor şi loc de muncă: c (M1, L1) = 5, c (M1, L2) = 6, c (M2, L1) = 6, c (M2, L2) = 7, c (M2 L3) = 5, c (M3, L1) = 2, c (M3, L2) = 3 şi c (M3, L3) = 6. Muncitorul M1 nu poate fi repartizat pe locul de muncă L3. Rezolvată ca problemă de transport care afirmaţie nu este adevărată: a) b) c) d) e)
( M1,L2), ( M2, L3), ( M3, L1) este o repartizare optimă ( M 1,L1), ( M2, L3), ( M3, L2) este o repartizare optimă Soluţi Soluţiaa opti optimă mă este este dege degenera nerată tă Problem Problemaa are mai mai multe multe soluţ soluţii ii optim optimee ( M1,L1), ( M2, L2), ( M3, L3) este soluţie optimă – // – modul 3 oferă servicii în şase localităţi conform unui graf cu 274. O firmă situată în modul
următoarele arce neorientate: (1,2), (1,3), (1,6), (2,3), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (4,5), (4,6), (5,6) Pe fiecare ruta posibila se estimeaza costul (in u.m) costul de transport: c12 = 7, c13 = 4, c16 = 5, c23 = 8, c25 = 2, c26 = 2, c34 = 25, c35 = 3, c45 = 15, c46 = 13, c56 = 2. Fie Fie λ(i) λ(i) ruta de cost minim minim de la nodul nodul 3 la nodul nodul i, i = 1, …, 6. Care Care afirma afirmati tiee NU este este adevarata? a) λ(2) λ(2) = 5, b) b) λ(4) λ(4) = 25, c) λ(5) λ(5) = 3, d) d) λ(1) λ(1) = 4, e) e) λ(6) = 5 – // –
275. Irigarea a trei terenuri T1, T2, T3 se face cu apă din două bazine, B1, B2 folosind
o reţea de conducte. Bazinul B1 are un debit disponibil de 45 l/s,iar bazinul B2 un debit de 35l/s. 35l/s. Terenul Terenul T1 are nevoie nevoie de 20 l/s ,terenu ,terenull T2 de 30 l/s iar terenul terenul T3 de 25 l/s. Capacităţile conductelor sunt : c11= 6, c12 = 12, c13 = 20, c21 = 15, c22 = 15 şi c23 = 10.
Care afirmaţie NU este adevărată? a) Reţeau Reţeauaa este este parc parcurs ursăă de un flux flux egal egal cu 72 l/s l/s b) ( T 1,t), ( B1,T2), ( B2,T2), ( T3,t) este o tăietura minimă c) Dacă Dacă se se măre măreşt ştee condu conduct ctaa de la la B1 la T2 cu 3 l/s atunci atunci sistemul sistemul de irigare irigare are eficienţă eficienţă optimă. d) Prin B2, trece un flux de valoare cel mult 35 l/s e) (s→ B2→ T3→ B1→ T2→ t)t) este un lanţ de augmentare pe care se propagă un flux de 3 l/s – // –
276. Soluţia unei probleme decizionale cu valori monetare coincide cu soluţia problemei
cu utilităţi, dacă decidentul este caracterizat de: a) încl înclin inaţ aţie ie căt către re ris risc; c; b) b) indi indife fere renţ nţăă la risc risc;; c) inclin inclinaţi aţiee sau aversiu aversiune ne la risc; risc; d) avers aversiu iune ne la risc risc;; e) nici nici un răsp răspuns uns anteri anterior or nu e corect corect..
-//-
277. Aveţi disponibile următoarele date referitoare la ratele de rentabilitate R i şi riscul σi
ale următoarelor portofolii:
Portofolii Ri (% ) σi (%) ______________________________________________________ P1 18 1 4 ,7 P2 20 1 4 ,1 5 P3 18 1 7 ,3 2 P4 22 1 4 ,7 P5 26 1 8 ,5 P6 28 1 8 ,5 P7 30 2 4 ,5 P8 26 2 4 ,5 ______________________________________________________ Mulţimea portofoliilor eficiente este dată de: a) { P2, P4, P6, P7 }; c) { P1, P2, P4, P5 }; e) { P2, P4, P6, P8 }.
b) { P1, P3, P4, P5 }; d) { P3, P5, P7, P8 }; -//-
278. Să se determine riscul minim al portofoliului format din acţiunile A şi B pentru care
se cunosc distribuţiile de probabilitate ale ratelor de rentabilitate:
Probabilităţi RA (%) RB (%) ______________________________________________________ 0,2 -20 - 15 0,3 15 10 0,5 25 30 ______________________________________________________ a) (σ p)min = 0,17; d) (σ p)min = 0,24 0,24;;
b) (σ p)min = 0,70; c) (σ p)min = 0,32; e) nici nici un răs răspuns puns ant anteri erior nu est este cor corec ectt. -//-
279. Dacă coeficientul de corelaţie între ratele rentabilităţii titlurilor T1 şi T2 este egal cu
-1, titlurile T1 şi T2 au un randament de fluctuaţii: a) b) c) d) e)
perfe perfect ct coord coordon onat atee în timp timp;; perfect coordonate coordonate în timp, dar cu ampli amplitudini tudini diferite; diferite; perf perfec ectt opus opuse; e; care nu sunt sunt perfect perfect depende dependente nte;; care urmăresc urmăresc mai mai mult sau mai puţin fluctu fluctuaţiil aţiilee generale generale ale economiei economiei.. -//-
280. Ca urmare a realizarii unui proiect de investitii, exista sanse egale ca profitul obtinut
sa fie de 200 u.m. sau de 300 u.m. Funcţia Funcţia de utilitate caracteristică decidentului este U(x) = 0,01x. Specificaţi care afirmaţie este adevărată? a) b) c) d) e)
prima de risc risc este este 260 260 u.m. u.m. şi deciden decidentul tul are are aversiune aversiune faţă de risc; risc; prima de risc este este de 0 u.m. u.m. şi deciden decidentul tul este este neutru la la risc; prima de risc este este – 250 u.m. u.m. şi decidentul decidentul are aversiune aversiune faţă faţă de risc; risc; prima de risc este este diferită diferită de de zero dar deciden decidentul tul este este neutru la la risc; nici nici un răsp răspuns uns anteri anterior or nu e corect corect.. -//-
281. Criteriul de decizie conservator (prudent) al lui Wald, în cazul în care matricea
decizională evidenţiază pierderi monetare este: min{aij } ; b) max max{aij } ; a) max j i i j
c) miin m jax{aij } ; d) miin m jin{aij } ; e) nici nici unul din din răspuns răspunsuri urile le anteri anterioare oare nu e corect corect..
-//-
282. Fie o problemă decizională cu variantele decizionale: V1, V2 şi V3, evaluate în trei
stări ale naturii: N1, N2 şi N3 sub formă de utilităţi: Stări ale naturii
N1
N2
N3
0 .3 9 5 0 .8 3 7 0 .7 4 5 0 .2
0 .2 0 7 0 .5 9 1 0 .6 0 .4
0 .1 3 9 0 .5 0 .5 4 8 0 .4
Variante
decizionale V1 V2 V3 Probabilităţi
Ştiind că problema este rezolvată prin: • regula optimistă (H); • regula pesimistă (W); • regula lui Laplace (L); • regula lui Savage (S); • regula utilităţii aşteptate maxime (U), determinaţi care sunt perechile de metode ce oferă aceeaşi soluţie. a) (H, (H, W); W); b) (W, (W, L); L); c) (H, (H, S); d) (S, (S , U); e) (H, U). -//-
283. Să se determine speranţa matematică a portofoliului de risc minim format din
acţiunile A şi B pentru care se cunosc distribuţiile de probabilitate ale ratelor de rentabilitate:
Probabilităţi
RA( %)
RB(%)
0 .3 0 .3 0 .4
- 10 10 40
- 20 10 30
a) E(R p)=0.20; d) E(R p)=0.10;
b) E(R p)=0.22; c) E(R p)=0.07; e) nici un răspuns anterior nu e correct. -//-
284. O variantă decizională V+ va fi aleasă ca soluţie în algoritmul metodei ELECTRE
dacă oricare ar fi o altă variantă Vi şi pragurile coeficienţilor de concordanţă p, respectiv de discordanţă q, alese de decident, avem:
a) b) c) d) e)
C(V*, Vi) ≤ p şi D(V*, Vi) ≤ q ; C(V*, Vi) ≤ p sau D(V*, Vi) ≤ q ; C(V*, Vi) ≥ p şi D(V*, Vi) ≤ q ; C(V*, Vi) ≥ p şi D(V*, Vi) ≥ q ; nici nici un răsp răspuns uns anteri anterior or nu e corect corect..
-//-
285. Decidenţii D1, D2, D3, D4 şi D5 au exprimat următoarele preferinţe individuale
pentru variantele decizionale V1, V2, V3, V4 şi V5. D1: V1 V2 V4 V3 V5; D2: V2 V1 V3 V5 V4; D3: V1 V3 V4 V2 V5; D4: V3 V5 V2 V4 V1; D5: V3 V5 V4 V2 V1. Determinaţi decizia colectivă perin metoda lui Condorcet: a) V2 c V1 c V3 c V5 c V4; b) V1 c V2 c V3 c V5 c V4; c
c
c
c
c
c
c
c
b) V1 V3 V2 V5 V4; d) V2 V3 V1 V4 V5; e) nici nici un răspu răspuns ns anter anterior ior nu nu este este corect. corect. -//-
286. Decidenţii D1, D2, D3, D4 şi D5 au exprimat următoarele preferinţe individuale pentru
variantele decizionale V1, V2, V3, V4 şi V5. D1: V1 V2 V4 V5 V3; D2: V2 V5 V1 V3 V4; D3: V1 V3 V2 V4 V5; D4: V3 V2 V5 V1 V4; D5: V5 V3 V4 V2 V1. Determinaţi decizia colectivă perin metoda lui Borda: a) V2 c V1 c V3 c V4 c V5; b) V2 c V1 c V3 c V5 c V4; c
c
c
c
c
c
c) V2 V1 ~ V3 V5 V4; d) V1 V2 V3 ~ V5 V4; e) nici nici un răspu răspuns ns anter anterior ior nu nu este este corect. corect. -//-
287. O companie are un fond de investiţii de 50.000 u.m.Aceşti bani pot fi investiţi în
obligaţiuni municipale cu o rată anuală a dobânzii de 5% sau într-un nou utilaj ce costă 50.000 u.m. Dacă se achiziţionează utilajul atunci, pentru o conjunctură economică favorabilă, se estimează un profit anual de 10.000u.m., iar în cazul unei conjuncturi economice nefavorabile, se estimează o pierdere anuală de 20.000u.m. Pentru ce probabilitate asociată stării favorabile a economiei, agentul economic este indiferent între cele două variante? a) p=0,75 b) p=0,77
c) p=0,72 d) p=0,57 e) p=0,7 -//-
288. Un investitor dispune de un fond de 1 mil. u.m. cu ajutorul căruia doreşte să procure
acţiuni de tip A şi B, ale căror rate de rentabilitate sunt R A=40% respectiv R B=50%. Ştiind că riscurile acţiunilor, exprimate prin abaterile medii pătratice, sunt σA=20% şi σB=30%, iar coeficientul de corelaţie între ratele de rentabilitate corespunzătoare celor două acţiuni este ρAB=0,5, care va fi structura portofoliului de risc minim? a) xA=0,3; xB=0,7
b) xA=0,63; xB=0,37
d) xA=xB=0,5
e) xA=0,7 ; xB=0,3
c) xA=0,1; xB=0,9
. -//-
289. Un portofoliu eficient se defineşte ca : a) portofoliul care are toate tipurile de acţiuni pe frontiera eficientă; b) portofoliul portofoliul cu cea cea mai mai mare mare rentabi rentabilitat litate; e; c) portofoliul portofoliul care, care, pentru pentru o anumită anumită rentabilitat rentabilitatee prezintă prezintă cel mai mic mic risc sau care, care, pentru un anumit nivel al riscului are cea mai mare rentabilitate; d) portofo portofoliu liull de de risc risc minim; minim; e) portofoliul portofoliul în care toate toate tipurile tipurile de acţiuni acţiuni au aceeaşi aceeaşi pondere. -//-
290. Patronul unui mic magazin alimentar are de ales între a se aproviziona cu 5,6,7,8
sau 9 cutii cu un produs alimentar perisabil pentru care cererea zilnică estimată este de 5,6,7,8 respectiv 9 cutii. Pentru fiecare variantă şi fiecare nivel al cererii s-au determinat următoarele valori ale profitului (în u.m.): Evenimente E1 E2 E3 E4 E5 Strategii S1 40 0 400 4 00 4 00 400 S2 20 0 450 4 50 4 50 450 S3 0 250 5 00 50 0 500 S4 -2 00 50 3 00 55 0 550 S5 -4 00 - 150 1 00 35 0 600 Dacă patronul doreşte să ia decizia pe baza regulii regretelor (a lui Saroige) atunci varianta aleasă va fi: a) V1; b) V5; c) este indiferent între V1 şi V2; d) V3; e) este indiferent între între V4 şi V5.
-//-
291. Patronul unui service auto trebuie să decidă asupra uneia din cele patru posibilităţi
(V1,V2,V3,V4) de extindere a activităţii de producţie având în vedere nivelul cererii pentru serviciile unităţii care poate fi: mică, medie sau mare. El estimează că probabilitatea ca cererea să fie mare este 0,2 dacă celelalte două evenimente sunt echiprobabile. Funcţia de utilitate a decidentului este expresia U(x)=log2100x iar matricea decizională (ale cărei componente reprezintă volumul profitului în u.m.) este: Evenimente Variante V1 V2 V3 V4
E1
E2
E3
1 2 4 2
4 8 4 1
8 8 8 4
Ţinând seama de atitudinea decidentului faţă de risc, precizaţi care va fi varianta aleasă: a) V3; b) este indiferent între V2 şi V3; c) nici una; d) V2; e) este indiferent între V1 şi V2. -//-
292. Managerul unei întreprinderi producătoare de mobilă analizează posibilitatea
producerii unei noi garnituri de mobilă pentru bucătărie pe scară mică, medie sau mare. El estimează că cererea pentru acest tip de mobilă poate fi mică, medie sau mare. În absenţa oricărei informaţii suplimentare se consideră că cele trei stări ale naturii sunt echiprobabile. Profiturile corespunzătoare fiecărei variante pentru fiecare stare a naturii sunt prezentate în următorul tabel: Starea naturii Variante V1 V2 V3
N1
N2
N3
200 50 - 1 50
200 300 150
20 0 30 0 45 0
În urma unui studiu de piaţă efectuat de o firmă specializată a rezultat că cererea va fi medie. Notând cu I rezultatul studiului şi cunoscând P(I/N1)=0,3, P(I/N2)=0,6 şi P(I/N3)=0,3 determinaţi probabilităţile posterioare şi varianta ce va fi aleasă: a) P(N1/I)=1/4; P(N2/I)=2/4; P(N3/I)=1/4; V2; b) P(N1/I)=1/6; P(N2/I)=2/6; P(N3/I)=3/6; V1 c) P(N1/I)=2/4; P(N2/I)=1/4; P(N3/I)=1/4; V1
d) P(N1/I)=1/4; P(N2/I)=2/4; P(N3/I)=1/4; V1 e) P(N1/I)=2/6; P(N2/I)=3/6; P(N3/I)=1/6; V2 -//-
293. În cadrul loteriei L1 100 0,5
10000
0,5
un decident se comportă după funcţia de utilitate U(x)=lgx. Calculaţi echivalentul, cert şi premiul la risc. a) b) c) d) e)
Ec=2000; R=4000 Ec=1000; R=4050 Ec=3000; R=5000 Ec=1500; R=3550 Ec=1050; R=4000 -//-
294. Coeficienţii de volatilitate corespunzători acţiunilor A, B şi C sunt βA=0,5, βB=1 şi
βC=1,5. La o creştere cu 2% a ratei rentabilităţii pieţei bursiere, rata rentabilităţii portofoliului format din cele trei tipuri de acţiuni în proporţiile XA=0,2, XB=0,6 şi XC=0,2 se modifică cu: a) 2% b ) 0 ,5 % c) 1% d ) 3% e) rămân rămânee la la ace acela laşi şi nive nivell -//-
295. A. Un agent economic participant la o licitaţie are de ales între două strategii.
Matricea pierderilor este următoarea: Stări ale naturii Strategii S1 S2
Câştigă licitaţia
Pierde licitaţia
- 3 0 0 .0 0 0 - 1 0 0 .0 0 0
1 0 0 .0 0 0 2 0 .0 0 0
Se estimează că probabilitatea ca agentul economic să câştige licitaţia este de 0,6. B. Ştiind că principalul contracandidat al agentului economic va face oferta “X” şi că P(firma concurentă face oferta “X” /agentul economic câştigă licitaţia)=0,1 iar P(firma concurentă face oferta “X” /agentul economic pierde licitaţia)=0,7. Să se determine care este
strategia căreia îi corespunde cea mai mică pierdere (A) şi care este strategia aleasă de agentul economic în cazul B. a) (S1,S1); b) (S2,S2); (S2,S2); c) (S1~S2,S1); (S1~S2,S1); d) (S2,S1); e) (S1,S2). -//-
296. Determinaţi caracteristicile portofoliului (σ p şi E(R p)) format din acţiunile de tip A
respectiv B pentru care distribuţiile de probabilitate ale ratelor de rentabilitate sunt date în tabelul următor: Probabilitate 0 ,3 0 ,3 0 ,4 a) b) b) c) d) e)
RA - 10 10 30
R B -2 0 10 20
(16, (16,88 88%; %; 5%) 5%) (2,7 (2,7%; %; 10% 10%) (16, (16,65 65%; %; 12%) 12%) (16, (16,61 61%; %; 12%) 12%) (16, (16,56 56%; %; 10%) 10%) -//-
297. Un vânzător de fructe trebuie să decidă câte cutii cu fructe să cumpere ştiind că ,
dacă nu le va vinde în următoarele cinci zile preţul lor de vanzare va scădea cu 60%, la noul preţ găsind cu siguranţă cumpărători. Preţul de cumpărare al unei cutii este de 20 u.m. iar cel de vânzare de 25 u.m. cantitatea cerută (exprimată în cutii) este o variabilă aleatoare cu următoarea distribuţie de probabilitate: 4 5 6 7 3 0 , 3 0 , 1 0 , 1 0 , 2 0 , 3
Care este soluţia adoptată de decident în aceste condiţii? a) 7 cutii; b) 4 cutii; cutii; c) 3 cutii; d) 5 cutii; e) 6 cutii cutii -//-
298. Proprietarul unei clinici doreşte să construiască o nouă secţie pe care o poate dota cu
30, 60 sau 120 de paturi. El a estimat că cererea pentru serviciile clinicii poate fi mică (E1), medie (E2) sau mare (E3). În absenţa oricărei informaţii suplimentare se consideră că cele trei stări ale naturii au următoarele probabilităţi de apariţie: P(E1)=0,10; P(E2)=0,40; P(E3)=0,50. Matricea decizională are ca elemente profiturile (exprimate în u.m.) corespunzătoare fiecărei variante în funcţie de starea naturii (vezi Tabelul 1). Proprietarul doreşte să contacteze o firmă specializată pentru efectuarea unui studiu de piaţă în vederea obţinerii unor informaţii suplimentare.
Tabelul 1 VARIANTE V30 V60 V120
E1 30 -20 -40
EVENIMENT E2 35 50 -10
E3 40 55 75
Să se determine care este suma maximă ce poate fi plătită pentru efectuarea studiului de piaţă? a) 45,5 u.m. u.m. b) 53,81 53,81 u.m. u.m. c) 60,5 60,5 u.m. u.m. d) 15 u.m. u.m. e) 8,31 8,31 u.m
roblema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Răspuns Problema Răspuns Problema Răspuns Problema Răspuns corect corect corect corect b 44 c 87 c 1 30 c a 45 e 88 c 1 31 a e 46 d 89 a 1 32 c c 47 a 90 c 1 33 b b 48 c 91 c 1 34 e a 49 a 92 a 1 35 c c 50 d 93 b 1 36 b c 51 d 94 d 1 37 c a 52 a 95 d 1 38 d a 53 b 96 c 1 39 b a 54 a 97 c 1 40 c a 55 c 98 a 1 41 b a 56 c 99 c 1 42 a b 57 a 10 0 d 1 43 b a 58 d 10 1 a 1 44 c a 59 c 10 2 d 1 45 a a 60 d 10 3 c 1 46 b d 61 b 10 4 d 1 47 d
19 c 62 a 10 5 a 20 d 63 c 10 6 c 21 b 64 e 10 7 b 22 c 65 e 10 8 c 23 d 66 a 10 9 a 24 d 67 c 11 0 c 25 a 68 a 11 1 b 26 b 69 e 11 2 b 27 b 70 b 11 3 a 28 a 71 c 11 4 b 29 a 72 b 11 5 c 30 d 73 b 11 6 b 31 c 74 b 11 7 b 32 a 75 b 11 8 d 33 e 76 b 11 9 d 34 e 77 a 12 0 e 35 a 78 d 12 1 c 36 a 79 c 12 2 a 37 d 80 a 12 3 b 38 c 81 d 12 4 c 39 c 82 d 12 5 a 40 b 83 d 12 6 b 41 c 84 b 12 7 a 42 b 85 d 12 8 a 43 d 86 a 12 9 a Pro Problema Răspuns Probl oblema Răspuns uns Prob Proble lem ma Răs Răspaun paunss corect corect corecct 1 73 b 216 b 25 9 b 1 74 d 217 d 26 0 c 1 75 a 218 c 26 1 b 1 76 a 219 e 26 2 a 1 77 e 220 d 26 3 b 1 78 d 221 d 26 4 a 1 79 a 222 b 26 5 e 1 80 b 223 c 26 6 e 1 81 d 224 d 26 7 d 1 82 a 225 e 26 8 c 1 83 a 226 b 26 9 b 1 84 d 227 a 27 0 c 1 85 a 228 b 27 1 d 1 86 e 229 d 27 2 e 1 87 b 230 b 27 3 e 1 88 c 231 a 27 4 b 1 89 e 232 e 27 5 e 1 90 c 233 b 27 6 b
1 48 1 49 1 50 1 51 1 52 1 53 1 54 1 55 1 56 1 57 1 58 1 59 1 60 1 61 1 62 1 63 1 64 1 65 1 66 1 67 1 68 1 69 1 70 1 71 1 72
a e a c d a b c c b a c c e d d b a a e c d c d a
1 91 1 92 1 93 1 94 1 95 1 96 1 97 1 98 1 99 2 00 2 01 2 02 2 03 2 04 2 05 2 06 2 07 2 08 2 09 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15
c b a b d a c e c e d d e c d e d d d b d b a d a
234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258
e e a c a e d b d c d d a d b c b d c d d a a c d
27 7 27 8 27 9 28 0 28 1 28 2 28 3 28 4 28 5 28 6 28 7 28 8 28 9 29 0 29 1 29 2 29 3 29 4 29 5 29 6 29 7 29 8
a a c b c c d c e d a b c c b a b a e e b d
