IV. Sisteme de reglare automată au tomată a acŃionărilor de curent continuu 4.1 GeneralităŃi
Mărimile principale mecanice şi electrice “de ieşire” ale unui SAE sunt : viteza unghiulară (liniară), curentul de sarcină, momentul cuplului (forŃa motoare) şi ele se numesc coordonatele principale ale SAE . Se mai pot include aici: acceleraŃia, deplasarea unghiulară (liniară) şi alte mărimi, iar o parte din literatura de specialitate [23], include toate mărimile electrice, magnetice şi de natură mecanică ale unei acŃionări, în denumirea de coordonate ale acŃionării; acest termen este mai justificat în cadrul acŃionărilor automatizate. În principiu, în cadrul unui SAE nu se urmăreste numai o simplă convertire a energiei electromagnetice, în cea mecanică, ci şi o conducere a procesului de lucru, realizat în cadrul unui anumit flux tehnologic de către ML. Ori, un flux tehnologic dat poate impune multe condiŃionări în procesul de lucru realizat cu ML şi aspectele principale ale acestor condiŃionări, legate de reglarea coordonatelor SAE, sunt: - menŃinerea unei coordonate a SAE la o anumită valoare; - modificarea unei coordonate după o anumită lege impusă; - limitarea unei coordonate la o anumită valoare superioară (inferioară); - executarea unor legi de mişcare cu o anumită precizie (aspect important mai ales în cazul acŃionărilor de urmărire). ModalităŃile de conducere şi reglare ale coordonatelor unui SAE se pot împărŃi în două grupe marei: a) metodele parametrice de conducere folosite în sistemele deschise de acŃionări electrice; prin conducere (comandă) parametrică se înŃelege modificarea nivelului valoric al unei coordonate date a SAE-ului prin modificarea unui parametru oarecare al ME de care depinde caracteristica mecanică a acestuia; b) metodele reglajului automat realizate cu ajutorul unor legături inverse folosite în cadrul sistemelor închise de acŃionări electrice. Metodele parametrice sunt relativ simple, implică cel mai adesea scheme simple şi în majoritatea cazurilor se execută prin manevre (parŃial) manuale. Dar în multe cazuri ele nu pot asigura precizia necesară (impusă) pentru reglarea unei anumite coordonate si atunci se trece la metodele reglajului automat în sistem închis, în cadrul cărora ME este privit ca un element de execuŃie cu o anumită ecuaŃie (sistem de ecuaŃii) de funcŃionare şi anumite caracteristici dinamice. Pe de altă parte, în sistemele automate de comandă există două variante de reglare automată a unui parametru : 1) reglarea în funcŃie de abaterea parametrului de la valoarea impusă (prescrisă), care implică folosirea unei legături inverse (bucle) negative pentru parametrul respectiv; 2) reglarea în funcŃie de perturbaŃiile ce acŃionează asupra parametrului reglat, ceea ce presupune compensarea acestui efect printr-o legătură inversă (buclă) pozitivă. În sistemele închise de reglare ale acŃionărilor electrice cel mai adesea se foloseşte prima variantă, uneori o combinaŃie a celor două variante. În figura 5.1 sunt reprezentate variantele posibile: a) după abatere; b) după perturbaŃie; c) varianta combinată. 1
În figura 5.1 s-au făcut următoarele notaŃii: X i este mărimea de intrare; X e este mărimea de ieşire; X p este mărimea perturbatoare; X este mărimea abaterii; X r este mărimea de reacŃie ; K p , K r sunt elementele de schemă ce prelucrează semnalul perturbator după funcŃia K p , respectiv semnalul de reacŃie după funcŃia K r . Varianta cea mai folosită este deci cea din figura 5.1.a în care semnalul de reacŃie, aplicat la întrare în schemă, este rezultat dintr-o transformare (adesea de proporŃionalitate) a semnalului de ieşire X e . Semnalul X r se compară cu semnalul de intrare X i şi rezultă semnalul X al abaterii, care va reprezenta de fapt semnalul de comandă al acŃionării pentru coordonata dată. Sistemele la care semnalul stabilizat al abaterii este nul, adică X = 0 , se numesc sisteme astatice, iar cele lXa care X ≠ 0 (în regim stabilizat) se numesc sisteme statice. X’ p
Kp
X p X i i 1
X
X e ME
X i i
1
X
X’ p
X p
ME
Kp X e
X i i
X r r
X
1
X r r Kr
a.
b.
X p
ME
X e
Kr
c.
Fig. 5.1 Variante de sisteme de reglare în circuit închis Asa cum s-a menŃionat deja, o legătură (buclă) de reacŃie poate fi de două feluri: a) reacŃia inversă pozitivă , la care semnalul de reacŃie X r are acelaşi semn cu cel al semnalului de intrare X i (adică cele două semnale se adună); b) reacŃia inversă negativă, la care semnalele X r , X i au semne contrarii. O reacŃie inversă poate fi liniară , când funcŃia K r este o funcŃie liniară, sau neliniară în caz contrar. Despre o reacŃie inversă se mai poate spune că ea este o reacŃie rigidă sau sau dură , dacă ea operează atât în regim stabilizat al acŃionării cât şi în cel tranzitoriu, sau că este elastică dacă ea operează numai în cadrul proceselor tranzitorii şi ea are rolul de a realiza caracteristicile dinamice ale acŃionării. 4.2. Calitatea reglării
În ceea ce priveşte calitatea reglării unei coordonate, aceasta este apreciată cu ajutorul unor indicatori de calitate, care sunt prezentaŃi în cele ce urmează. 1) Precizia reglajului se apreciază prin abaterea posibilă a coordonatei reglate, sub influenŃa perturbaŃiilor, în raport cu valoarea impusă. În cazul reglajului parametric precizia reglajului poate fi stabilită prin raportul dintre abaterea maximă ∆ X max şi valoarea medie X m a coordonatei, adică 2
∆ X =
∆ X max
X m
=
X max − X min X m
(4.1)
în care X max , X min sunt valorile maxime, respectiv minime ale coordonatei X ce se obŃin când semnalul de intrare este X m . Dar precizia reglajului unei coordonate X se poate referi la regimurile statice ale sistemului sau la regimurile sale dinamice. De exemplu, cu expresia vitezei din (1.130), în cazul unei variaŃii lente a sarcinii de la “ 0 ” (zero), la M n , se poate nota: ∆Ω* =
∆Ωn Ω 0 − ∆Ωn
(4.2)
dar dacă sarcina are o variaŃie tip treaptă (adică foarte rapidă), atunci “căderea de viteză” dinamică ∆Ωd poate fi mai mare decât cea statică ∆Ω n . În reglajul automat se foloseste uneori drept criteriu al preciziei reglajului relaŃia (4.1), dar alte ori se aplică criteriul: X i − X max ≤ ∆ X adm
(4.3)
în care X i este semnalul de intrare (impus); X este valoarea curentă a coordonatei reglate în regim static sau dinamic, iar ∆ X adm este eroarea maximă admisibilă. 2) Domeniul reglajului se caracterizează prin limita maximă, respectiv minimă a coordonatei X ce se poate obŃine în timpul reglajului în anumite condiŃii. Cel mai adesea aceste limite sunt dictate de anumite condiŃii de funcŃionare ale sistemului şi/sau impuse tehnologic. Cunoaşterea limitelor de reglaj are o importanŃă deosebită pentru toate coordonatele unui SAE, dar mai ales pentru coordonatele principale ale sistemului. 3) FineŃea reglajului poate fi caracterizată prin numărul valorilor discrete X k pe care le poate lua coordonata X în timpul reglajului său pe întregul domeniu de reglaj. FineŃea reglajului se poate defini şi prin coeficientul de fineŃe al reglajului, dat de relaŃia: k f =
X k X k − X k −1
(4.4)
în care X k , X k −1 sunt valorile coordonatei X pe două trepte de reglaj imediat vecine. Cu cât k f este mai aproape de 1 (unitate), cu atât fineŃea reglajului este mai mare; tot din (4.4) rezultă că fineŃea reglajului creşte cu cât creşte numărul treptelor de reglaj pe domeniul dat de reglaj al coordonatei X . Coeficientul k f poate fi constant pe întregul domeniu de reglaj, dar este posibil ca el să rămână constant doar pe o anumită porŃiune a domeniului de reglaj.
3
Reamintind faptul că aici ne referim în special la reglajul coordonatelor unui SAE, este necesar să includem printre indicatori suplimentari ai reglajului: sarcina maximă admisibilă pentru motorul de acŃionare (în timpul reglajului) şi economicitatea reglajului. Primul indicator suplimentar se referă la faptul că în timpul reglajului unei anumite coordonate (de exemplu, a vitezei unghiulare) se pot modifica anumite pierderi din motor (la reglajul vitezei se modifică, de exemplu, răcirea motoarelor autoventilate) şi în final se poate ajunge la suprasolicitarea termică a motorului. De aceea un criteriu al acestui indicator poate fi curentul nominal I n al motorului ce nu trebuie depăsit în timpul reglajului. În acest fel, de exemplu, la reglajul vitezei pentru a asigura îndeplinirea criteriului respectiv se ajunge la un reglaj în varianta “ la cuplu constant ” sau în varianta ”la putere constantă ”. În ceea ce priveşte economicitatea reglajului, aceasta se referă la faptul că pentru reglajul unei coordonate se ajunge la o anumită soluŃie tehnică, care necesită anumite cheltuieli de investiŃii, iar ulterior sunt necesare unele cheltuieli de exploatare. Însă pentru un anumit nivel de rezolvare a problemei reglajului unei coordonate, se pot găsi mai multe soluŃii tehnice şi atunci un calcul tehnico-economic trebuie să decidă asupra variantei de soluŃie ce se va adopta. 4. Indicatorii dinamici ai reglajului. În cazul sistemelor de reglare automată a coordonatelor o importanŃă mai deosebită o au anumiŃi inducatori dinamici ai reglajului. În figura 5.2 este redată curba de variaŃie tip a unei mărimi de ieşire X e (t ) în cazul unui semnal tip treaptă aplicat sistemului. Dacă X ep este valoarea prescrisă a mărimii de ieşire, iar X es este valoarea efectivă realizată a aceleiaşi mărimi, atunci: ε s
= X ep − X es
(4.5)
este abaterea staŃionară . Valoarea lui ε s nu este standartizată, dar ea este cuprinsă, de regulă, între 2,…,5%. Timpii legaŃi de procesul tranzitoriu din perioada reglajului sunt: - timpul iniŃial de încadrare t ii , este intervalul de timp de la aplicarea semnalului de intrare până în momentul când X (t ) atinge prima dată plaja ± ε s ; - timpul de primă stabilire t s1 , este timpul scurs de la aplicarea semnalului de intrare până la momentul când X e (t ) = X es ; - timpul final de încadrare t if , este timpul scurs de la aplicarea semnalului de intrare până la momentul în care X e (t ) intră în plaja ± ε s fără să o mai părăsească. Mai apar timpii t 0,1 , t 0,9 , t s 2 , t m a căror definiŃie rezultă relativ simplu din figura 5.2. La sisteme cu o bună amortizare a oscilaŃiilor parametrului X , timpul t s 2 (uneori chiar t s1 ) corespunde intrării definitive în plaja X es ± ε s a parametrului X . Tot ca indicator dinamic se mai poate lua în considerare coeficientul de depăşire sau de suprareglare definit ca fiind raportul dintre depăşirea maximă ∆ xmax a mărimii reglate şi valoarea sa staŃionară: 4
σ
=
∆ xmax
X es
=
X e max − X es X es
(4.6)
un coeficient de suprareglare σ prea mare duce, de regulă, la o suprasolicitare şi o uzură prematură a SAE. Xes+εs Xes Xes-εs
xe(t)
0.9Xes
0.1Xes
0 t0.1
t0.9
ts1
tm
ts2
tif
tii
Fig. 5.2 Explicativă privind indicatorii dinamici ai reglajului 5) Gradul de amortizare este determinat de numărul de oscilaŃii ce se produc până la momentul când mărimea X e (t ) intră difinitiv în plaja de ± ε s ; un proces tranzitoriu, în principiu, poate fi complet amortizat (fără nici o oscilaŃie) sau oscilant cu 1,2 sau mai multe oscilaŃii. 4.3. Legile de reglare
Având în vedere că există blocuri tipizate pentru acŃionări electrice reglabile şi chiar unele elemente tipizate pentru i a c m e blocul regulatorului, este necesară ES R EE OR cunoaşterea legilor tip pe care le realizează blocurile respective sau elementele lor componente. Pentru a r concretiza studiul propus se ia în ER considerare figura 5.11 în care se fac urătoarele notaŃii: ES este Fig. 5.11. Schema bloc tip pentru un SRA sumatorul (comparatorul); R este regulatorul; EE este elementul de execuŃie; OR este obiectul de reglat; ER este elementul reacŃei (buclei inverse); pentru semnale se folosesc notaŃiile: i este semnalul de intrare (comandă); a este semnalul de abatere; c este semnalul de comandă; m este semnalul modificator; e este semnalul de ieşire; r este 5
semnalul reacŃiei inverse. Schema bloc apare secŃionată imediat după ES pe legătura directă şi pe legătura reacŃiei, înainte de ES, astfel încât în sistemul deschis ce se formează în acest fel, ca semnalul de intrare apare “a ”, iar ca semnalul de ieşire este ” r ”. 1. Reglajul de tip proporŃional. Dacă funcŃia de transfer a elementelor de reglare din sistem (adică a elementelor înseriate R+EE din sistemul deschis) se notează cu H r ( p ) , atunci în cadrul unui reglaj de tip proporŃional vom avea relaŃia: m(t ) = H r ( p ) ⋅ a (t ) = K 1a (t ), în care H r ( p ) = K 1 = const .
(5.31)
În principiu, funcŃia de transfer H r ( p ) din relaŃia (5.31) poate apare sub o formă mai complexă, de exemplu: A( p ) (5.32) H r ( p ) = K 1 B( p ) în care A( p ) şi B( p ) sunt nişte polinoame de p. Dar esenŃial este faptul că în acest caz segmentul corespunzător reglării (R+EE) din circuitul deschis format, este echivalent unui element static, adică unui element neinerŃial (vezi tabelul 5.1 punctul 1) care pentru p → 0 implică H e = (0 ) → K 1 ; K 1 se numeşte coeficientul de transmitere al segmentului de reglare.
FuncŃia de transfer a circuitului deschis devine în acest caz: H ( p ) = H r ( p ) ⋅ H o ( p ) = K 1 H 0 ( p )
(5.33)
În care H 0 ( p ) reprezintă funcŃia de transfer pentru elementele OR+ER. În regim staŃionar avem: lim H ( p ) = K 1 lim H 0 ( p ) = K 1 K 0 = K
p → 0
p → 0
(5.34)
în care K reprezintă coeficientul general de amplificare al sistemului deschis; el este adimensional ca şi funcŃiile de transfer cu ajutorul cărora se defineşte. Dacă regulatorul R lucrează după o lege de reglare de proporŃionalitate, atunci între semnalul său de intrare şi cel de ieşire va exista relaŃia: c(t ) = K R a(t )
(5.35)
adică o relaŃie de proporŃionalitate (constanta de proporŃionalitate K R) între semnalul de comandă c(t ) şi abaterea a(t ) . Dacă se iau în considerare toate elementele circuitului deschis în afară de regulatorul R, adică elementele înseriate EE+OR+ER, atunci ele formează ceea ce se denumeşte partea fixă a circuitului deschis; pentru acest segment al circuitului deschis semnalul de comandă este “c”, iar semnalul de ieşire este ”r”. Deci forma cea mai generală a ecuaŃiei diferenŃiale a părŃii fixe, în acest caz, apare astfel: 6
d n r n−1 d n−1r dr T n + T n−1 n−1 + ... + T 1 + r = K / c = K / K R a = K a dt dt dt n n
(5.36)
în care K este definit prin (5.34) dar altfel prezentat, iar T n ,...,T 1 sunt nişte constante de timp corespunzătoare circuitului dat. În cazul sistemului închis (varianta cu reacŃie negativă!) avem, (5.37) a = i − r şi atunci ecuaŃia din (5.36) se va nota sub forma: d n r n −1 d n −1r dr T n + T n −1 n −1 + ... + T 1 + (1 + K )r = Ki dt dt dt n n
(5.38)
În regimul stabilizat (deci pentru p = d / dt = 0 ) semnalul r devine un semnal de valoare constantă r s şi deci toate derivatele sale devin nule, iar din relaŃia precedentă rezultă: r s =
K i 1 + K
(5.39)
Eroarea staŃionară ε s , în principiu, este egală cu mărirea prescrisă (deci i) din care se scade mărimea de ieşire ( adică r s) şi deci în acest caz avem: ε s
= i − r s = i −
1 K i= i 1 + K 1 + K
(5.40)
Din cele precedente rezultă câteva concluzii: - într-un SRA în care se face un reglaj proporŃional apare o componentă staŃionară a erorii
-
ε s
ce depinde de semnalul de intrare şi de coeficientul
general de amplificare K al sistemului; ca să scadă ε s , este necesar să crească K, adică să fie folosit un regulator cu un K R cât mai mare; este însă posibil ca sistemul să devină instabil dacă K R depăşeşte o anumită valoare limită.
2. Reglajul de tip integrativ. În cazul reglării integrative relaŃia între semnalele m(t )
şi a (t ) este de forma: dm(t ) = K 2 a(t ) dt
(5.41)
adică există proporŃionalitate între viteza de variaŃie a semnalului modificator şi semnalul abaterii a (t ) , respectiv (5.42) m(t ) = K 2 ∫ a(t )dt 7
ceea ce în forma operaŃională se poate nota astfel: m(t ) = H r ( p ) ⋅ a (t ) =
K 2 a (t ) p
(5.43)
În relaŃia (5.43) funcŃia de transfer H r ( p ) a elementelor de reglare are expresia: H r ( p ) =
K 2 p
(5.44)
dar, în principiu, ea poate avea şi o formă mai complexă H r ( p ) =
K 2 A( p ) p B( p )
(5.45)
Este însă esenŃial faptul că funcŃia H r ( p ) conŃine un element integrator ideal de tipul K/p şi de 1 dm(t ) aceea variaŃia abaterii a(t ) se face relativ lent, (din relaŃia (5.41) rezultă că a(t ) = ). K 2 dt Similar cu (5.42) reglarea integrativă se poate efectua proporŃional cu o integrală dublă, triplă, etc. a abaterii şi deci în cazul general se poate nota: m(t ) =
K a(t ) p γ
(5.46)
în care γ (gama) este gradul de astatism al sistemului. Un regulator ce execută un reglaj integrativ, formează între semnalele c(t ) şi a(t ) o relaŃie de forma: c(t ) =
1 a(t )dt T i ∫
(5.47)
în care T i este o constantă de timp a regulatorului. Partea fixă a regulatorului deschis poate fi caracterizată, în acest caz, printr-o ecuaŃie diferenŃială a cărei expresie generală este: T nn
1 d n r n −1 d n −1r dr ... + + + + = = ( ) T T r Kc t K a(t )dt n − 1 1 dt n dt n −1 dt T i ∫
(5.48)
Dacă această ecuaŃie se mai derivează odată în raport cu timpul, apoi se înmulŃeşte cu Ti şi se Ńine seama de relaŃia (5.37), atunci (5.48) devine: d n +1r n −1 d n r d 2 r dr T T n +1 + T n −1 T i n + ... + T 1T i 2 + T i = K (i − r ) dt dt dt dt 8 n n i
(5.49)
d k r În regimul stabilizat avem r = r s ; k = 0 , pentru k = 1,2,..., n + 1 şi deci eroarea statică este: dt ε s
(5.50)
= i − r s = 0
adică un sistem SRA la care se realizează un reglaj integrativ, eroarea statică este nulă şi de aceea acest sistem se numeşte astatic.
După această prezentare se poate explica şi expresia “astatismul sistemului este de ordinul gama (în general vorbind!) dacă sistemul se caracterizează printr-o relaŃie de tip (5.46), respectiv numitorul expresiei (5.46) posedă γ (gama) rădăcini nule. În această idee, un SRA cu o reglare proporŃională este un sistem cu un astatism de ordinul zero.
Este interesant de remarcat şi următorul fapt: dacă abaterea din SRA variază liniar în
timp; a(t ) = Kt
(5.51)
şi se execută o reglare a) de tip proporŃională, atunci semnalul m(t ) se va modifica după legea m p (t ) = K 1 Kt
(5.52)
b) de tip integrativ, atunci acelaşi semnal se va modifica după legea: K 2 Kt 2 m I (t ) = K 2 ∫ a (t )dt = 2 m(t)
t K 1 K ) t = ( m p 2 2 / t K 2 K ) t = ( I m K t a ( t ) = 0
t
Fig 5.12. Curbele variantelor de reglare proporŃională şi integrativă
(5.53)
Variantele respective sunt prezentate grafic în figura 5.12. Din relaŃia (5.53) se vede că în momentul t = 0 este nul nu numai m I (0 ) dar şi dm I (0) / dt ceea ce explică o creştere relativ lentă a semnalului m I (t ) în primele momente ale reglării. La un SRA cu reglare proporŃională apariŃia unei abateri a (t ) provoacă o reacŃie imediată a sistemului (reacŃie care depinde totuşi de coeficientul general de amplificare K), în timp ce la un SRA cu o reglare integrativă este necesar să treacă un timp oarecare până
“se acumulează” o valoare suficient de mare a integralei
∫ a(t )dt , care să provoace o
reacŃie corespunzătoare. Este evident acum că dacă reglarea în SRA se face după o integrală
9
dublă, (triplă, etc), atunci viteza de răspuns a a sisitemului respectiv scade şi mai mult. 3. Reglajul izodromic. Tipul acesta de reglare presupune o modificare a semnalului m(t ) după o lege de tip P (P- proporŃional) şi de tip I (I- integrativ) pentru care se admite relaŃia: K K p + K 2 m I (t ) = K 1a (t ) + 2 a (t ) = 1 a (t ) (5.54) p p
i p
adică se operează cu un element izodromic (vexi tabelul 5.1 punctul 8). Deoarece în acest caz pentru p → 0 , avem:
xs
i1
H ( p ) =
PI
K 1 p + K 2 →∞ p
I P
te 0
teI
t
Fig.5.13 Explicativă privind compararea legilor de reglare de tip P, I şi izodromică
este evident că tipul acesta de reglare este astatică. Regulatorul ce realizează o reglare izodromică, modifică semnalul c(t ) după relaŃia c(t ) = K R a (t ) +
K R a (t )dt T i ∫
(5.55)
Din relaŃia (5.55) rezultă că în primele momente ale reglajului izodromic, efectul comenzii de tip P este mai mare, iar apoi apare şi efectul comenzii de tip I . În figura 5.13 se compară acŃiunea a trei sisteme de reglare: de tip P, de tip I şi de tip PI (izodromică) în condiŃiile în care sistemelor se aplică un semnal de tip treaptă. La sistemul cu relarea de tip I timpul tranzitoriu t tI este mai mare pentru că, de regulă, constanta regulatorului T i este mare, dar în schimb reglarea se face cu ε s = 0 , adică sistemul se comportă astatic. La sistemul cu reglarea de tip P, timpul procesului tranzitoriu t tP este relativ mic, dar reglarea se face cu o anumită eroare staŃionară ε s . În cazul sistemului de reglare de tip PI în prima fază acŃionează comanda de tip P şi reduce componenta tranzitorie a erorii la un interval de tipm relativ scurt (≅ T tP ) , după care comanda de tip I devine preponderentă şi se ajunge ca în intervalul de timp (t tI − t tP ) să se anuleze componenta statică ε s a erorii. Deci avantajul principal al reglajului izodromic este acela că reglarea se face fără o componentă staŃionară a erorii ,ε s = 0 , iar componenta tranzitorie a erorii se reduce foarte repede (≅ T tP ) la o valoare mică. 4. Reglarea de tip derivativ. Tipul acesta de reglaj se caracterizează prin relaŃia
m(t ) = K 4
da(t ) = K 4 pa(t ) dt
(5.56)
Reglajul derivativ, folosit ca atare, nu are importanŃă de-sine-stătătoare pentru că
10
într-un regim stabilizat derivata erorii este nulă şi deci reglajul respectiv de fapt a luat sfârşit. Totuşi relajul de tip derivativ are un rol deosebit în dinamica unui sistem, pentru că el
ia în considerare nu numai “aspectul prezent” al erorii, ci şi tendinŃa sa de creştere sau de descreştere, adică un reglaj anticipativ. Dacă reglajul se face după legea: m(t ) = K 1a(t ) + K 4 pa (t )
(5.57)
atunci în sistem se realizează o acŃiune de reglare chiar şi în cazul în care a(t ) = 0 , dar da (t ) / dt ≠ 0 . Astfel, reluând cazul când a(t ) = Kt şi efectuând reglajul cu relaŃia (5.57), se constată că pentru t = 0 , adică m(0) = K 4 K ≠ 0 , iar aceasta măreşte reacŃia sistemului de reglare, adică măreşte viteza de răspuns a sistemului. Dacă se iau eventual în considerare şi derivatele de ordin superior (2,3,...) ale abaterii a(t ) , aceasta va conduce la o îmbunătăŃire şi mai mare a calităŃilor dinamice ale sistemului, dar posibilităŃile tehnice actuale de realizare a elementelor derivative de ordin superior (2,3,...) sunt limitate şi întâmpină dificultăŃi mari. 5. Reglarea de tip PID. În cazul general reglajul se poate realiza după o lege complexă de forma: K (5.58) m(t ) = K 1 + 2 + K 4 p a (t ) p care reprezintă de fapt un reglaj izodromic extins sau de tip PI D având în vedere că legea de reglare cuprinde şi prima derivată a abaterii a (t ) . Tipul acesta de reglaj se realizează cu un regulator ce modifică semnalul de comandă conform cu relaŃia: c(t ) = K R a (t ) +
K T da(t ) a (t )dt + K RT D ∫ T i dt
(5.59)
în care K R este coeficientul general de amplificare al regulatorului, iar T i, T d reprezintă timpul integrator, respectiv timpul derivativ al regulatorului. Referindu-ne la conturul deschis al unui sistem dat, în cazul general, funcŃia de transfer a acestuia poate avea forma: K r (1 + Bm −1 p + ... + B0 p m ) H ( p ) = (5.60) p (1 + C n − p + ... + C 0 p n − ) γ
γ
γ
în care K r; 1/ s este coeficientul general de amplificare al sistemului deschis, iar γ este gradul astatismului său. Pentru comoditatea unei folosiri ulterioare este convenabil ca expresia lui H ( p ) din (5.60) să fie pusă sub forma: γ
11
m
K r ∏ (1 + T j p ) j =1 n−γ
W ( p ) = p
γ
(1 + T i p ) ∏ i 1
(5.61)
=
Dacă numitorul sau numărăt orul formei din (5.60) conŃine unele rădăcini complexe, atunci forma din (5.61) va avea la numitor şi/sau numărător factori de tipul: 1 + 2ξTp + T 2 p 2
(5.62)
care sunt specifice unor elemente de sistem de tip oscilant. Forma din (5.61) a funcŃiei de transfer este utilă la obŃinerea caracteristicilor logaritmice de frecvenŃă; pentru constantele de timp T j , T i j = 1,2,..., m; i = 1,2,..., n − r se determină imediat frecvenŃele de ajustare necesare construirii CLAF şi trasarea acesteia se poate realiza rapid (Ńinând seama de unele reguli stabilite anterior) fără calcule suplimentare.
12
4.4. Reglarea în cascadă
Reglarea în cascadă este utilizată atât în cazul proceselor rapide, cât şi în cazul proceselor lente şi cu timp mort. În cazul proceselor cu un anumit grad de complexitate, funcŃia de transfer H F (p) poate conŃine un număr mai mare de constante de timp, ceea ce impune pentru compensarea lor utilizarea unor algoritmi de reglare care să conŃină mai multe binoame de gradul întâi. Date fiind dificultăŃile de realizare a unor asemenea regulatoare şi Ńinând seama de efectul negativ pe care-l au componentele derivative asupra răspunsului sistemului (amplificarea zgomotelor, creşterea suprareglajului) se recomandă reglarea în cascadă. Astfel, pentru a nu se recurge la complicarea structurii şi construcŃiei regulatoarelor destinate proceselor ce conŃin mai mult de două constante de timp dominante, se adoptă o structură de reglare în cascadă în cadrul căreia se utilizează mai multe blocuri de reglare tipizate. Principiul reglării în cascadă se bazează pe împărŃirea procesului în subprocese, prin alegerea unor mărimi intermediare măsurabile care se transmit cauzal de la intrare la ieşire. În figura 4.47 se prezintă schema de principiu a unui sistem de reglare în cascadă, unde procesul a fost descompus în două subprocese cu funcŃiile de transfer H 1(p) şi H 2(p). Astfel, în această schemă, pe lângă regulatorul principal R1 destinat reglării mărimilor de ieşire y(t), se introduce şi regulatorul R2, al cărui rol este de a limita şi controla mărimea intermediară y2(t). În funcŃie de complexitatea procesului pot fi structurate în cascadă mai multe regulatoare, asigurându-se în acest caz reglarea mai multor mărimi intermediare şi implicit o limitare simultană a mai multor mărimi din cadrul sistemului, împreună cu mărimea de ieşire. Pentru folosirea eficientă a avantajelor reglării în cascadă este necesar ca alegerea variabilelor intermediare să se efectueze în conformitate cu anumite considerente. Astfel, în primul rând , aceste mărimi trebuie să fie uşor accesibile, respectiv să poată fi măsurate prin mijloace tehnice simple, fără dificultăŃi la instalarea traducătoarelor corespunzătoare fiecărei mărimi. În al doilea rând , este indicat ca mărimile intermediare - sau cel puŃin unele dintre ele să răspundă mai repede decât mărimea de ieşire la acŃiunea anumitor perturbaŃii, reducânduse în acest mod influenŃa perturbaŃiilor respective asupra mărimii y(t). Cu alte cuvinte, se vor alege variabilele intermediare, pe cât posibil, astfel încât perturbaŃiile dominante să fie compensate total sau parŃial în cadrul unor bucle interioare. În al treilea rând , este indicat ca porŃiunile separate în cadrul procesului să nu conŃină mai mult decât două constante de timp, iar valoarea acestor constante de timp să fie cât mai reduse în cadrul subproceselor din buclele interioare. Pe lângă avantajele legate de reglarea şi limitarea simultană a mai multor mărimi, de micşorarea corespunzătoare a influenŃei unor perturbaŃii asupra mărimii de ieşire, care determină un grad de invariantă al acestei mărimi (în raport cu perturbările) mult mai ridicat decât în cazul schemelor convenŃionale şi de creştere a vitezei de răspuns în raport cu modificarea referinŃei, structura de reglare în cascadă, datorită prezenŃei mai multor reacŃii 13
negative, prezintă şi avantajul unei sensibilităŃi reduse la variaŃia anumitor parametri ai modelului procesului, sub acŃiunea unor perturbări parametrice şi deci o bună robusteŃe. DificultăŃile în obŃinerea unor performanŃe cât mai bune, cu ajutorul structurilor de reglare în cascadă sunt legate de alegerea şi acordarea optimă a algoritmilor de reglare, Ńinând seama ca regulatoarele buclelor interioare au referinŃa fixată extern de către un alt regulator. În general pentru buclă interioară se recomandă un regulator P sau PI , foarte rar un regulator PID. Se recomandă ca bucla interioară să aibă o viteză de răspuns mai mare decât bucla principală, de aceea un regulator P este frecvent utilizat în cadrul buclei interioare, deşi prezintă dezavantajul unei reglări cu eroare. Creşterea factorului de amplificare în bucla interioară contribuie la creşterea vitezei de răspuns şi la diminuarea erorii. v1 R( p)
+
R2
R1
_
v2 H 1 ( p)
H 2 ( p)
y ( p)
-
Figura 4.47 Pentru bucla exterioară se recomandă un regulator PI sau PID. În cazul proceselor rapide, pentru alegerea şi acordarea regulatoarelor pot fi folosite criteriul modulului - variante Kessler sau criteriul simetriei. Pentru a ilustra modul de alegere şi acordare a regulatoarelor pentru procese rapide în cadrul unor structuri în cascadă, considerăm ca proces motorul de curent continuu alimentat de la reŃea prin intermediul unui convertor (fig. 4.50). ue u
BCG
M
TG
=
Fig. 4.50 În ipoteza reglării automate a vitezei unghiulare, presupunând excitaŃia independentă cu un curent de excitaŃie ie=const., modificarea vitezei unghiulare este controlată prin modificarea tensiunii de alimentare. Blocul de comandă pe grilă BCG elaborează succesiunea de impulsuri de comandă pentru convertor care poate fi convertor pentru două cadrane sau 14
pentru patru cadrane destinat acŃionărilor reversibile. Pentru a proiecta schema de automatizare, vom construi mai întâi modelul matematic al procesului supus automatizării. În literatură sunt prezentate mai multe modele matematice pentru caracterizarea funcŃionării unui sistem de acŃionare cu motor de curent continuu. Un model aproximativ pentru descrierea funcŃionării unui redresor comandat se obŃine pornind de la caracteristica statică a acestuia (fig. 4.51), unde se evidenŃiază dependenŃa tensiunii medii redresate u d în funcŃie de unghiul de amorsare α (fig. 4.51, a) şi dependenŃa factorului de amplificare de tensiunea de comandă. Astfel, pentru caracterizarea funcŃionării ansamblului bloc de comandă-convertor, un model matematic simplificat de forma α
H c ( s) = K c e − pτµ =
K c 1 + pτµ
poate fi utilizat. Constanta de timp τ şi factorul de amplificare K c pot fi calculate cu ajutorul relaŃiilor µ
K c =
du d α d α
α
=
π
= −ud 0 sin α
π
180°
[V °el ]
2
unde p reprezintă numărul de pulsuri ale tensiunii redresate, iar T e perioada reŃelei de c.a. Acest model caracterizează cu precizie redusă funcŃionarea convertorului comandat, având în vedere faptul că atât K c cât şi τ sunt parametri variabili. Un model mai exact pentru caracterizarea funcŃionării unui convertor comandat se obŃine pornind de la relaŃia ce permite calculul tensiunii medii redresate. Modelul matematic ce caracterizează funcŃionarea unui motor de curent continuu cu excitaŃie independentă se poate obŃine pornind de la ecuaŃiile generale de echilibru în circuitul rotoric (fig. 4.52) µ
K c
U d U d 0 π
2 π α
α − U d 0
b)
a) Fig. 4.52 15
u A = Ra i A +
d ( L i ) + e dt a A
u E = R E i E +
d ( L i ) dt e E
e + K E Φ E Ω M a = K M Φ E i A = J d dt Ω + M r Φ E = f (i E )
M r = g (Ω)
unde M r este momentul rezistent, M a - momentul activ, J - momentul de inerŃie redus la axul motorului, Φ - fluxul de excitaŃie, Ω - turaŃia, iar K E , K M sunt constante de proporŃionalitate. NeliniarităŃile ce apar în modelul matematic sunt determinate de variaŃiile inductivităŃilor L A şi L E cu starea de saturaŃie a circuitului magnetic, dependenŃa fluxului de excitaŃie de curentul i E, care este influenŃat de saturaŃie şi fenomenul de histerezis, dependenŃa momentului rezistent M r de viteza unghiulară, datorită produselor Φ E Ω şi Φ E i E ce definesc tensiunea electromotoare şi momentul activ. Pentru Φ E = const., prin neglijarea efectului saturaŃiei şi al histerezisului, modelul matematic liniarizat simplificat al motorului de curent continuu obŃinut prin liniarizarea în jurul unui punct de funcŃionare capătă forma: di u A = Ra i A + La A + e dt e + K E Ω M a = K mi A = J d dt Ω + M r Modelul (4.216) poate fi pus sub forma unei scheme funcŃionale (fig. 4.52) din care rezultă funcŃiile de transfer H 1(s) şi H 2(s). FuncŃiile de transfer H 1(s) şi H 2(S) se obŃin cu uşurinŃă din echivalenŃa celor două scheme funcŃionale: H 1S =
T m p I A ( p) 1 = U A ( p) Ra 1 + T m p + T 1T m p 2
H 2 ( p ) =
T m =
Ω( p)
Ra 1 I A ( p) K e T m p
J ⋅ Ra K e K m
16
=
si T 1 =
La Ra
Cele mai uzuale scheme de reglare a turaŃiei motoarelor de curent continuu apelează la modificarea tensiunii rotorice, cu menŃinerea constantă a fluxului de excitaŃie. FuncŃiile de transfer pentru fiecare canal intrare-ieşire se pot obŃine cu uşurinŃă din figura 4.53. Modelul matematic simplificat al motorului de curent continuu poate fi reprezentat prin cele două funcŃii de transfer H 1(p) şi H 2(p) H 1 ( p ) =
I ( p) K 1 = U ( p) T 1 p + 1 H 2 ( p ) =
(pentru T 1 << T m )
Ω( p)
I ( p)
=
K 2 T m p
Încadrarea motorului electric de curent continuu într-o schemă de reglare în cascadă, cu considerentele menŃionate pentru alegerea mărimilor intermediare, este ilustrată în figura 4.54. Cele două traductoare de curent ( T I ) şi de viteză unghiulară ( T Ω ) permit obŃinerea informaŃiei referitoare la cele două mărimi controlate. Limitarea şi reglarea curentului absorbit de motor se realizează în cadrul buclei interioare prin limitarea referinŃei impuse de regulatorul de turaŃie şi prin acŃiunile regulatorului PI din bucla interioară. AdmiŃând că traductoarele de curent şi de turaŃie sunt caracterizate prin funcŃii de transfer de forma:
V +
ε
_
RΩ
+
R I
H TI ( p ) =
K i τ i p + 1
H T Ω ( p ) =
K n τ n p + 1
n
H c ( p)
nA
I H 1 ( p)
H 2 ( p)
Ω
T I
T Ω
Figura 4.54 structura sistemului de reglare poate fi adusă la forma din figura 4.55. Pentru alegerea şi acordarea celor două regulatoare, vom considera mai întâi bucla interioară pentru care modelul 17
matematic echivalent al procesului este H I ( p ) =
K 1 (T I p + 1)(T Σi p + 1)
unde T Σi = τ + τ i si K I = K c K 1 K i µ
Conform criteriului modulului, varianta Kessler, pentru bucla interioară de curent se recomandă un regulator PI cu parametrii de acord: T i = T 1 si K R =
T 1 2 K I T Σi
FuncŃia de transfer a acestei bucle cu regulator PI , a cărui funcŃie de transfer H R I ( p ) este
H R I ( p) = K R 1 +
1 T i p
se calculează numai în funcŃie de constanta parazită de timp T Σi H 01 ( p) =
1 2T Σ i p + 2T Σ i p + 1 2
2
sau: H 01 ( p) ≅
1 2T Σ i p + 1
dacă se ia în consideraŃie faptul că T Σi are valori foarte mici. Bucla principală, cu aceste aproximaŃii, poate fi structurată ca în figura 4.56. Y +
H RΩ ( p)
_
+
K c τ µ p + 1
H RI ( p)
K i τ i p + 1
K n τ n p + 1
Figura 4.55 18
K 1 T 1 p + 1
K 2 T m p + 1
p + 1 K n
τ µ
+
1 2T Σ i p + 1
p + 1 K i
τ i
H RΩ ( p)
K n τ n p + 1
K 2 T m p
-
Figura 4.56 Modelul matematic asociat procesului condus în acest caz capătă forma: H Ω ( p ) =
K Ω T m p(T ΣΩ p + 1)
unde K Ω =
K n K 2 K i
si T ΣΩ = τ n + 2T Σ i − τ i
Pentru un asemenea model, se poate utiliza criteriul simetriei pentru alegerea şi acordarea regulatorului de turaŃie. Astfel, alegând un regulator PI , conform criteriului simetriei, se asigură o comportare optimă a buclei de reglare în raport cu semnalele de intrare lent variabile (rampă) sau pentru o variaŃie treaptă a cuplului rezistent M r. Algoritmul de reglare este definit prin H R ( p) =
K R (1 + T iΩ p) T iΩ s
cu valorile parametrilor de acord: K RΩ =
T iΩT m 2 8T ΣΩ K Ω
; T iΩ = 4T ΣΩ
Structurile de reglare în cascadă sunt mai performante decât structurile convenŃionale cu un singur regulator numai dacă se alcătuiesc în mod corespunzător, alegând corect variabilele intermediare şi asigurând alegerea optimă a regulatoarelor.
19
20