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´ INDICE GENERAL 8.2.6. EDO de Bernouilli . 8.2.7. Algunas aplicaciones 8.3. Problemas propuestos . . . 8.4. Problemas resueltos . . . .
iii
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Pr´ ologo El presente libro de teor´ıa y problemas corresponde a algunos temas b´asicos de un primer curso de introducci´on al c´alculo. Los autores imparten dicha asignatura en las titulaciones de Grado en Ingenier´ıa Mec´anica y Grado en Ingenier´ıa Electr´onica Industrial y Autom´atica de la Universitat de Lleida. El libro resulta igualmente recomendable para estudiantes de otras titulaciones t´ecnicas y es un complemento del libro de problemas resueltos [6]. El objetivo principal es que el alumno disponga de un material preliminar para el curso, con los resultados principales y algunas demostraciones de estos. Adem´ as es interesante que el alumno pueda seguir paso a paso la resoluci´ on de numerosos problemas de los temas mencionados como ejemplificaci´on de los conceptos y resultados te´oricos. Se ha procurado presentar las soluciones en la forma m´as pr´actica y directa. Nos gustar´ıa que este libro facilitase el aprendizaje de la asignatura y agradecer´ıamos cualquier sugerencia o comentario que pueda mejorarlo dirigi´endose a cualquiera de las siguientes direcciones electr´ onicas: [email protected], [email protected].
Dr. Isaac A. Garc´ıa y Dra. Susanna Maza, Enero de 2013
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Cap´ıtulo 1
Continuidad de Funciones Reales de Variable Real 1.1.
Concepto de funci´ on. Dominio y recorrido
Dados dos conjuntos A y B, se define su producto cartesiano A × B como el conjunto de pares ordenados siguiente: A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es cualquier subconjunto de A × B. Definici´ on 1.1 Decimos que una correspondencia f : R → R es una funci´ on (real de variable real) si existe un subconjunto A ⊂ R tal que la restricci´on de f en A, es decir, f : A → R es una aplicaci´ on (todo elemento de A tiene una y solo una imagen). Definici´ on 1.2 Dada una funci´on f : D ⊂ R → R, se llama dominio de f , y lo denotaremos por Dom(f ), al subconjunto D donde est´e definida la funci´on f . Dicho de otro modo, Dom(f ) = D = {x ∈ R : ∃ f (x)}. Nota 1.3 Para el c´alculo del dominio de una funci´ on se usan a menudo los siguientes resultados elementales concernientes a denominadores, ra´ıces de ´ındice par y logaritmos. Supongamos que las funciones reales de variable real A(x), B(x) tienen por dominio todo R. Definimos las funciones f (x) = A(x)/B(x), g(x) = n A(x) con ´ındice n par, h(x) = loga B(x) con a ∈ R. Entonces, Dom(f ) = {x ∈ R : B(x) = 0}, Dom(g) = {x ∈ R : A(x) ≥ 0}, Dom(h) = {x ∈ R : B(x) > 0}. Ejemplo 1.4 Hallar el dominio de las siguientes funciones: 2x − 1 3−x (x − 1)(x − 2) . (i) f (x) = 2 , (ii) g(x) = , (iii) h(x) = ln x −x−2 x+6 (x − 3)(x − 4) Soluci´ on. (i) Como el denominador de f solo se anula para x = −1, 2 se tiene que Dom(f ) = R − {−1, 2} = (−∞, −1) ∪ (−1, 2) ∪ (2, ∞) . 3
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Continuidad de Funciones Reales de Variable Real (ii) Se tiene que Dom(g) =
3−x ≥ 0, x + 6 = 0 = (−6, 3] , x∈R : x+6
donde en la u ´ltima igualdad se han tenido en cuenta los signos del cociente viendo los signos de su numerador y denominador. (iii) De manera an´aloga al caso anterior (x − 1)(x − 2) > 0, (x − 3)(x − 4) = 0 , Dom(h) = x ∈ R : (x − 3)(x − 4) es decir, Dom(h) = (−∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, ∞).
Definici´ on 1.5 Dada una funci´on f : R → R, se llama recorrido de f o bien imagen de f , y lo denotaremos por Rec(f ), al subconjunto de R dado por las im´ agenes de todos los elementos del dominio, es decir, Rec(f ) = f (Dom(f )). Dicho de otro modo, Rec(f ) = {y ∈ R : ∃ x ∈ Domf tal que f (x) = y}. Por ejemplo, Rec(exp(x)) = (0, ∞) mientras que Rec(ln(x)) = R. Definici´ on 1.6 La gr´ afica de una funci´on f : A ⊂ R → R es la curva plana formada por los puntos (x, f (x)) ∈ R2 para todo x ∈ A. Podemos clasificar las aplicaciones de la siguiente manera. Definici´ on 1.7 Consideremos una aplicaci´ on f : A ⊂ R → B ⊂ R. Entonces, decimos que: (i) f es inyectiva si ∀ x1 , x2 ∈ A con x1 = x2 se tiene que f (x1 ) = f (x2 ). (ii) f es exhaustiva si ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A tal que f (x) = y. Dicho de otro modo, f (A) = B. (iii) f es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez.
1.2.
Operaciones con funciones
Sean f : A ⊂ R → R y g : A ⊂ R → R dos funciones definidas en el mismo dominio A y λ ∈ R cualquier escalar. Entonces, se pueden definir las siguientes operaciones: 1. Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ A. 2. Producto por escalares: (λf )(x) = λ f (x) ∀x ∈ A. 3. Producto: (f g)(x) = f (x) g(x) ∀x ∈ A. 4. Cociente: (f /g)(x) = f (x)/g(x) ∀x ∈ A − {x | g(x) = 0}. Nota 1.8 Las anteriores operaciones tambi´en se pueden considerar entre funciones con dominios diferentes pero con intersecci´ on no vac´ıa, es decir, f : A ⊂ R → R y g : B ⊂ R → R con A ∩ B = ∅. En este caso se tiene que Dom(f + g) = Dom(f g) = A ∩ B , Dom(f /g) = (A ∩ B) − {x | g(x) = 0} .
1.3 Composici´ on de funciones
1.3.
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Composici´ on de funciones
La composici´on g ◦ f de las funciones f y g es una operaci´on que solo es posible cuando Rec(f ) ∩ Dom(g) = ∅. Dicho de otro modo, f : R → B ⊂ R y g : B ⊂ R → R. Definici´ on 1.9 La funci´on g compuesta con f se denota por g◦f y est´a definida de la forma (g ◦ f )(x) = g(f (x)) siempre que x ∈ Dom(f ) y adem´as f (x) ∈ Dom(g). Nota 1.10 Observemos que la composici´on no es una operaci´on conmutativa, es decir, en general g ◦ f = f ◦ g. Ejemplo 1.11 Considerar las funciones f (x) = 3x4 , g(x) = ex y h(x) = tan x. Calcular g ◦ f , h ◦ g y f ◦ g ◦ h. Soluci´ on. (g ◦ f )(x) = (h ◦ g)(x) =
(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(tan x)) = f (exp(tan x)) = 3(exp(tan x))4 = 3e4 tan x .
1.4.
Funci´ on inversa
Definici´ on 1.12 Consideremos una aplicaci´ on f : A ⊂ R → B ⊂ R biyectiva. Entonces, la funci´ on inversa de f se denota por f −1 : B ⊂ R → A ⊂ R y se define de la forma f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y. Nota 1.13 f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = I, donde I es la aplicaci´on identidad I(x) = x.
1.5.
L´ımites
Diremos que un punto a ∈ A ⊂ R es un punto de acumulaci´ on del conjunto A si es un punto al cual se puede uno aproximar tanto como se quiera utilizando u ´nicamente puntos del conjunto A. Por ejemplo, si A = [1, 2] es un intervalo cerrado, entonces todos los puntos de A son tambi´en puntos de acumulaci´on de A. Sin embargo, si A = (1, 2) es un intervalo abierto, entonces todos los puntos de A son puntos de acumulaci´ on de A pero tambi´en los puntos 1 y 2 son puntos de acumulaci´ on de A aunque no pertenecen al conjunto A.
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Continuidad de Funciones Reales de Variable Real
Definici´ on 1.14 Dado un punto de acumulaci´ on a de Dom(f ), se dice que el l´ımite de la funci´on f en el punto a es y se denota por l´ım f (x) =
x→a
si ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que si |x − a| < δ con x ∈ Dom(f ) entonces |f (x) − | < . Intuitivamente, el hecho de que una funci´on f tenga por l´ımite en el punto a significa que el valor de f puede ser tan cercano a como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos al punto a, con independencia de lo que ocurra en a. Ejemplo 1.15 Demostrar que x 1 = . 2 x→1 1 + x 2 l´ım
x Soluci´ on. Definimos f (x) = 1+x 2 , = 1/2. Entonces x (x − 1)2 1 −x2 + 2x − 1 = = − |f (x) − | = . 1 + x2 2 2(1 + x2 ) 2(1 + x2 )
Desarrollamos la condici´on |f (x) − | < . Se tiene entonces que (x − 1)2 < 2(1 + x2 ), es decir, √ |x − 1| < 2 1 + x2 . √ √ |x − 1| < 2, entonces la Como 1 + x2 ≥ 1 para todo x ∈ R, si tomamos √ anterior desigualdad se cumple. Luego δ = 2 en la Definici´on 1.14 de l´ımite. En resumen, hemos probado que √ ∀ > 0, tomando δ = 2 > 0 se tiene que |x − 1| < δ ⇒ |f (x) − 1/2| < , de modo que l´ımx→1
x 1+x2
= 12 .
Proposici´ on 1.16 El l´ımite de una funci´ on en un punto, si existe, es u ´nico. Veamos a continuaci´on algunas operaciones con l´ımites. Proposici´ on 1.17 Supongamos que existen los l´ımites de las funciones f y g en un punto a. Entonces: (i) l´ımx→a (f (x) ± g(x)) = l´ımx→a f (x) ± l´ımx→a g(x). (ii) l´ımx→a λ f (x) = λ l´ımx→a f (x) para todo escalar λ ∈ R. (iii) l´ımx→a (f (x) g(x)) = l´ımx→a f (x) l´ımx→a g(x). (iv) Si l´ımx→a g(x) = 0, entonces l´ım
x→a
.
f (x) l´ımx→a f (x) = . g(x) l´ımx→a g(x)
1.5 L´ımites
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Definici´ on 1.18 Se llaman indeterminaciones a las siguientes operaciones: ∞ − ∞, 0 ∞,
0 ∞ , , ∞0 , 00 , 1∞ . 0 ∞
Definici´ on 1.19 La funci´on f es un infinit´esimo en el punto a si y solo si l´ımx→a f (x) = 0. Se dice que dos infinit´esimos f y g en un mismo punto punto a son equivalentes cuando se verifique l´ımx→a f (x)/g(x) = 1. Esto lo denotaremos por f (x) ∼ g(x) cuando x → a. Nota 1.20 Cuando en un l´ımite, un infinit´esimo est´e multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinit´esimo equivalente. De este modo, si f (x) ∼ g(x) cuando x → a se tiene que l´ım
x→a
f (x) g(x) = l´ım , l´ım f (x)h(x) = l´ım g(x)h(x) . x→a h(x) x→a h(x) x→a
Nota 1.21 Si dos funciones f y g son positivas y equivalentes cuando x → a y son tal que o bien l´ımx→a f (x) = l´ımx→a g(x) = 0 o bien l´ımx→a f (x) = l´ımx→a g(x) = ∞, entonces las funciones ln f y ln g tambi´en son equivalentes cuando x → a. Proposici´ on 1.22 Los siguientes infinit´esimos son equivalentes: (i) x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x cuando x → 0. (ii) 1 − cos x ∼ x2 /2 cuando x → 0. (iii) x ∼ ln(1 + x) ∼ exp(x) − 1 cuando x → 0. Por supuesto, a partir de estos infinit´esimos equivalentes se pueden construir otros. As´ı, realizando el cambio z = 1+x en (iii) se tiene tambi´en que ln z ∼ z−1 cuando z → 1. Ejemplo 1.23 Demostrar que x ∼ sin x y que 1 − cos x ∼ x2 /2 cuando x → 0. Soluci´ on. Considerar la circunferencia de radio 1 y x ≥ 0 un ´angulo del primer cuadrante. Usando como referencia la circunferencia unidad en la definici´on de las razones trigonom´etricas y recordando que el arco es igual al ´angulo por el radio, es f´acil ver que se satisfacen las desigualdades siguientes sin x ≤ x ≤ tan x. Entonces, dividiendo por sin x se tiene que 1≤
x 1 ≤ . sin x cos x
Haciendo tender x → 0 en la anterior expresi´on se halla que 1 ≤ l´ım
x→0
de modo que
x ≤1, sin x
x =1, x→0 sin x l´ım
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Continuidad de Funciones Reales de Variable Real
tal y como se quer´ıa demostrar. Para demostrar la segunda equivalencia recordaremos la identidad trigonom´etrica sin2 x = (1 − cos(2x))/2. Entonces se tiene que 1 − cos x 2 sin2 (x/2) 2(x/2)2 = l´ ım = l´ım =1, 2 2 x→0 x→0 x→0 x2 /2 x /2 x /2 l´ım
finalizando la demostraci´on. Ejemplo 1.24 Calcular los l´ımites siguientes: √ (i)
l´ım
x→0
a+x− x
√
a
1 (ii) l´ım ln x→0 x
1+x 1−x
.
Soluci´ on. (i) Para resolver √ la indeterminaci´ on 0/0, multiplicamos y dividimos √ el cociente por el conjugado a + x + a del numerador. √ √ 1 a+x− a x 1 l´ım = l´ım √ √ = l´ım √ √ = √ . x→0 x→0 x( a + x + x 2 a a) x→0 a + x + a (ii) Para resolver la indeterminaci´ on 0/0, utilizamos propiedades de los logaritmos
1 1+x 1 1+x = l´ım ln = l´ım . ln x→0 x x→0 2x 1−x 1−x Recordando la equivalencia ln z ∼ z − 1 cuando z → 1, se tiene 1 1+x 1 = l´ım − 1 = l´ım =1. x→0 2x x→0 1 − x 1−x
Nota 1.25 Las funciones f (x) y g(x) tales que l´ımx→a f (x) = l´ımx→a g(x) = ∞ pueden tender a infinito con distintas velocidades. Entonces, se pueden comparar los dos infinitos. Se tiene lo siguiente: (i) Si l´ımx→a f (x)/g(x) = ∞ se dice que f (x) es un infinito de orden superior a g(x) cuando x → a y se denotar´ a por O(f (x)) > O(g(x)) cuando x → a. (ii) Si l´ımx→a f (x)/g(x) = 0 se dice que f (x) es un infinito de orden inferior a g(x) cuando x → a y se denotar´ a por O(f (x)) < O(g(x)) cuando x → a. (iii) Si l´ımx→a f (x)/g(x) = 1 se dice que f (x) y g(x) son infinitos equivalentes cuando x → a y se denotar´ a por f (x) ∼ g(x) cuando x → a. Los ´ ordenes fundamentales de infinitos son los siguientes. Con a, b > 1 y m > 0 se tiene que O(logb x) < O(xm ) < O(ax ) < O(xx ) cuando x → ∞ .
1.6 Continuidad de funciones
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Realicemos una peque¯ na parada para ver de qu´e forma se pueden resolver las indeterminaciones de potencias, es decir, las indeterminaciones ∞0 , 00 y 1∞ . Supongamos que hemos de calcular el valor del l´ımite siguiente l´ımx→a f (x)g(x) pero resulta que en principio obtenemos alguna de las anteriores indeterminaciones. En el caso 00 , realizaremos la hip´otesis de que f (x) es una funci´on positiva en un entorno punteado del 0 (esta hip´otesis se hace para que exista la expresi´ on de ln f (x) que aparecer´a posteriormente). Para resolver la indeterminaci´on, tomaremos logaritmos a ambos miembros de la igualdad = l´ımx→a f (x)g(x) , de modo que se obtendr´a ln = ln l´ımx→a f (x)g(x) . Posteriormente, conmutando el logaritmo y el l´ımite (operaci´on v´alida siempre que la funci´on a la que se le calcula el l´ımite sea continua en el punto al que se tiende, ver la siguiente secci´on sobre continuidad de funciones) y aplicando propiedades del logaritmo de una potencia se llega a que ln = l´ımx→a g(x) ln f (x). En definitiva se tiene que = l´ım f (x)g(x) ⇔ = exp l´ım g(x) ln f (x) . x→a
x→a
En el caso particular de que la indeterminaci´on sea 1∞ , con lo que l´ımx→a f (x) = 1, podemos usar adem´as el infinit´esimo equivalente ln f (x) ∼ f (x) − 1 cuando x → a en la anterior expresi´on, quedando ´esta de la forma l´ım f (x)g(x) = exp l´ım g(x)[f (x) − 1] . x→a
x→a
Notar como a partir de aqu´ı se ve trivialmente que x 1 l´ım 1 + =e. x→∞ x
1.6.
Continuidad de funciones
Definici´ on 1.26 Se dice que una funci´on f : A ⊂ R → R es continua en un punto a ∈ A si y solo si l´ımx→a f (x) = f (a). Intuitivamente, f es continua en un punto a ∈ Dom(f ) si se puede dibujar la gr´ afica de f entorno del punto a sin levantar el bol´ıgrafo del papel. Observemos que esta forma de proceder es simplemente intuitiva como muestra la funci´on f (x) = x sin(1/x) que es continua en x = 0 aunque no es posible realizar su gr´ afica entorno de x = 0 debido a las oscilaciones que tiene. Definici´ on 1.27 Si una funci´on f es continua en todos los puntos de un conjunto A ⊂ R diremos que f es continua en A y lo denotaremos por f ∈ C(A). Aqu´ı, C(A) denota el conjunto de las funciones continuas en el conjunto A. Dadas dos funciones continuas, se pueden construir otras funciones tambi´en continuas realizando ciertas operaciones entre ellas. M´as concretamente se tiene lo siguiente.
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Continuidad de Funciones Reales de Variable Real
Proposici´ on 1.28 Sea a ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g) y f y g dos funciones continuas en a. Entonces: (i) f ± g es una funci´ on continua en a. (ii) λ f es una funci´ on continua en a para todo escalar λ ∈ R. (iii) f g es una funci´ on continua en a. (iv) Si g(a) = 0, entonces f /g es una funci´ on continua en a. (v) Si g es continua en f (a), entonces g ◦ f es una funci´ on continua en a. Como a ∈ R, entonces x → a (es decir, x tiende hacia a) puede hacerlo de dos formas distintas: con x > a o bien con x < a. Estas dos formas de tender al punto a dan lugar al concepto de l´ımite lateral. Definici´ on 1.29 Se define el concepto de l´ımite lateral. (i) El l´ımite lateral por la derecha + de la funci´on f en el punto a es + = l´ım+ f (x) = x→a l´ım f (x) . x→a
x>a
(ii) El l´ımite lateral por la izquierda − de la funci´on f en el punto a es − = l´ım− f (x) = x→a l´ım f (x) . x→a