UNIVERSIDAD CIENTÍFICA DEL PERÚ
Ing. Estuardo Lozada Aldana MSc.
[email protected] móvil : 942 624247 2013 - II
rpm : *241435
OBJETIVOS: Después de terminar esta unidad, el estudiante deberá: • Escribir y aplicar la ley de Hooke para objetos que se mueven con movimiento armónico simple.
• Escribir y aplicar fórmulas para encontrar frecuencia f, periodo T, velocidad v ó aceleración a en términos de desplazamiento x ó tiempo t. • Describir el movimiento de péndulos y calcular la longitud requerida para producir una frecuencia dada.
Ejemplos de algunas oscilaciones Oscilación: variación o perturbación de un cuerpo o sistema cuando su movimiento cambia continuamente pasando por valores máximos y mínimos.
MOVIMIENTO PERIÓDICO Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en acción una fuerza o un momento de torsión para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, ha adquirido cierta energía cinética que lo hace pasarse hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado otra vez al equilibrio. Imagine una pelota que rueda dentro de un tazón redondo, o un péndulo que oscila pasando por su posición vertical.
MOVIMIENTO PERIÓDICO El movimiento periódico simple es aquel movimiento en el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre una trayectoria fija y regresa a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido. 1 f T Amplitud A
El periodo, T, es el tiempo para una oscilación completa. (segundos,s)
La frecuencia, f, es el número de oscilaciones completas por segundo. Hertz (s-1)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Un sistema constituye un oscilador armónico cuando <
> entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio
Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima
Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima
A
2
A Posición de equilibrio
A
A
1
ALGUNAS DEFINICIONES Un movimiento se llama periódico cuando a intervalos iguales de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Las dos magnitudes características de los movimientos periódicos son: el período y la frecuencia. El período, T, es el tiempo empleado en realizar una vuelta completa o ciclo, es decir el que transcurre hasta que se repite el movimiento. Se mide en segundos (s). La frecuencia, n o f, es el número de vueltas o ciclos realizados en la unidad de tiempo. Se mide en hertzs (Hz) o s-1. ó ciclos s La frecuencia angular, w, es el número de radianes que recorre en la unidad de tiempo. Se mide en radianes s . 1 De las definiciones se deduce :T f
w 2 f
2 T
Ejemplo 1.Un transductor ultrasónico (una especie de altavoz) empleado para el diagnóstico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz = 6,7x106 Hz. Cuánto tarda cada oscilación, y que frecuencia angular tiene.? Solución.-
Ejemplo 2.La masa suspendida realiza 30 oscilaciones completas en 15 s. ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia del movimiento? Solución .T
x
F
1 f
f = 30 osc/15 seg
15 s T 30 ciclos
0.50 s
Periodo: T = 0.500 s 1 1 f T 0.500 s
Frecuencia: f = 2.00 Hz
Ejemplo 3 .- Una piedra oscila en círculos a velocidad constante en el extremo de una cuerda, describiendo 50 revoluciones en 30 s. ¿Cuál es la frecuencia y la duración de este movimiento?. Solución .50 rev f 1.67 rev/s 30 s 1 1 T f 1.67 hz
T = 0,60 seg
;
Ejemplo 4 .- Un niño se sienta en el borde de una plataforma que gira a 30 rpm. La plataforma es de 10 m de diámetro. ¿Cuál es el periodo del movimiento y cuál es la velocidad del niño?
Solución .f = 30
T
rev 1 min 0.500 rev/s; min 60 s
1 1 f 0.500 hz
v = ωR
v
2 R 2 (5 m) T 2.00 s
= 2 seg T = 2π/ω
= 15,7 m/seg
Fuerza que actúa sobre una partícula unida a un muelle sin masa. Supongamos que el movimiento se realiza sobre una superficie horizontal (unidimensional, a lo largo de la dirección x) y sin rozamiento.
Ley de Hooke La fuerza varía con la posición. El signo menos indica que la fuerza ejercida por el muelle tiene sentido opuesto al desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. .
Movimiento de una partícula unida a un muelle sin masa: movimiento armónico simple. Cuando una partícula está bajo el efecto de una fuerza de recuperación lineal, el movimiento de la partícula se denominada movimiento oscilatorio armónico. Aplicando a la partícula la segunda ley de Newton en la dirección x, xx
La aceleración es proporcional al desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio y va dirigida en sentido opuesto. Definiendo una nueva constante Por definición de aceleración
Movimiento armónico simple: solución para la posición como función del tiempo. Ecuación de movimiento:
ecuación diferencial de segundo orden
La siguiente función coseno es una solución
Amplitud del movimiento Constante de fase (o ángulo de fase)
Las dos quedan determinadas únicamente por la posición y velocidad de la partícula en el instante t = 0.
Movimiento armónico simple: definición de frecuencia angular, fase y periodo. Frecuencia angular (en el sistema internacional se mide en rad/s). ecuación diferencial de segundo orden Fase del movimiento
El periodo T del movimiento es el tiempo que necesita la partícula en cubrir un ciclo completo de su movimiento su movimiento iclo
Se mide en segundos
Movimiento armónico simple: definición de frecuencia, relación entre frecuencia angular, periodo y frecuencia La frecuencia f es el inverso del periodo, y representa el número de oscilaciones que la partícula lleva a cabo la partícula por unidad de tiempo Ecuación de movimiento: ecuación diferencial de segundo orden
Se mide en ciclos por segundo o Herzios (Hz)
Relación entre las distintas variables
Para un sistema muelle partícula No depende de los parámetros del movimiento como A y Φ
Ejemplo 3.-
Solución.-
Movimiento armónico simple: velocidad y aceleración. Velocidad
v w A x 2
Valores límites: wA Aceleración
Valores límites: w2A Valores máximos de aceleración, velocidad y el ángulo de fase
2
Resumen de expresiones matemáticas del M.A.S. x A cos(wt )
posición
v v0 senwt
v wAsen(wt ) v 2f
aceleración
1 f Hz T
x0 A cos v v0 coswt
velocidad
frecuencia
x Asen(wt )
x02 x 2 w x02 x 2
a w x 2
período
1 T s f
frecuencia angular
w 2f
Movimiento armónico simple: consideraciones energéticas Supongamos que el movimiento se realiza sobre una superficie horizontal y sin rozamiento.Podemos considerar a la combinación del muelle y del objeto unido a él como un sistema aislado. Suponiendo que el muelle carece de masa, la energía cinética se debe al movimiento de la partícula
La energía potencial elástica del sistema se debe al muelle
Movimiento armónico simple: consideraciones energéticas. Como la superficie no tiene rozamiento, la energía mecánica total del sistema permanece constante
La energía total vendrá dada por:
Como
Ejemplo 4.-
Una masa de 4 kg, suspendida de un resorte, produce un desplazamiento de 20 cm. ¿Cuál es la constante de resorte? La fuerza que estira es el peso (W = mg) de la masa de 4 kg:
F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N
20 cm
F
m
Ahora, de la ley de Hooke, la constante de fuerza k del resorte es:
k=
DF Dx
39.2 N = 0.2 m
k = 196 N/m
Continúa... La masa m ahora se estira una distancia de 8 cm y se sostiene. ¿Cuál es la energía potencial? (k = 196 N/m) La energía potencial es igual al trabajo realizado para estirar el resorte:
8 cm Trabajo
1 2
kx 2 2
1 2
2 1
F
0
m
kx
U ½ kx ½(196 N/m)(0.08 m) 2
U = 0.627 J
2
Ejemplo 5.- Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 400 N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm y se libera. ¿Cuál es la aceleración en el instante cuando el desplazamiento es x = +7 cm?
kx a m
(400 N/m)(+0.07 m) a 2 kg a = -14.0 m/s2
a
m
+x
Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo), la aceleración es -14.0 m/s2 (hacia arriba) independiente de la dirección de movimiento.
Continúa ... ¿Cuál es la aceleración máxima para la masa de 2 kg del problema anterior? (A = 12 cm, k = 400 N/m) La aceleración máxima ocurre cuando la fuerza restauradora es un máximo; es decir: cuando el alargamiento o compresión del resorte es mayor. F = ma = -kx
xmax = A
kA 400 N( 0.12 m) a m 2 kg
Máxima aceleración:
m
amax = ± 24.0 m/s2
+x
Ejemplo 6.- Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 800 N/m. La masa se desplaza una distancia de 10 cm y se libera. ¿Cuál es la velocidad en el instante cuando el desplazamiento es x = +6 cm?. Cuál es la velocidad máxima. Solución.½mv2 + ½kx 2 = ½kA2
k m
v
v
800 N/m 2 kg
A2 x 2
m
(0.1 m) (0.06 m)
v = ±1.60 m/s
2
2
+x
continúa ...
La velocidad es máxima cuando x = 0: 0
½mv2 + ½kx 2 = ½kA2 v
k A m
800 N/m (0.1 m) 2 kg
v = ± 2.00 m/s
Ejemplo 7.- El sistema sin fricción que se muestra abajo tiene una masa de 2 kg unida a un resorte (k = 400 N/m). La masa se desplaza una distancia de 20 cm hacia la derecha y se libera. ¿Cuál es la frecuencia del movimiento?
x
a
v
m x = -0.2 m
1 f 2
x=0
k 1 m 2
f = 2.25 Hz
x = +0.2 m
400 N/m 2 kg
continúa... Suponga que la masa de 2 kg del problema anterior se desplaza 20 cm y se libera (k = 400 N/m). ¿Cuál es la aceleración máxima? (f = 2.25 Hz) x
a
v
m x=0
x = -0.2 m
x = +0.2 m
La aceleración es un máximo cuando x = A
a 4 f x 4 (2.25 Hz) (0.2 m) 2
2
2
a = 40 m/s2
2
Ejemplo 8.Consideremos el sistema masa resorte horizontal, con k = 200 N/m y m = 0.50Kg. Se le imparte al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial de + 0,40 m/s. a) Determinar la amplitud y ángulo de fase del movimiento. b) Escribir ecuaciones para el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Solución.Aplicando la ecuación para el MAS,
Ejemplo 9.Consideremos el sistema masa resorte, con k = 200 N/m y m = 0,50 Kg; si la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m. a) Calcular las velocidades máxima y minima que alcanza el cuerpo. b) Calcule la aceleración máxima. c) Determine la veocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro dede su posición inicial. d) Determine las energías total, potencial y cinética en esta posición.
Solución.-
a.- La velocidad vx para cualquier desplazamiento x , está dada por la ecuación
b.- Por la ecuación
c.- Velocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino, x = A/2
…FIN DE OSCILACIONES
PRIMERA PARTE
Ingel
1.- Una piedra oscila en círculos a rapidez constante en el extremo de una cuerda, describiendo 50 revoluciones en 30 s. ¿Cuál es la frecuencia y el período de este movimiento? 2.- Una pelota de caucho oscila en un círculo horizontal de 2 m de diámetro y describe 20 revoluciones por minuto. Una luz distante proyecta la sombra de la pelota sobre una pared por una luz distante. ¿Cuáles son la amplitud, frecuencia y periodo? 3.- Una masa oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 6 cm. ¿Cuáles son sus posiciones en el tiempo t = 0 y t = 2,5 s? 4.- Cuando una masa de 200 g cuelga de un resorte, la altura de éste desciende una distancia de 1,5 cm. ¿Cuál es la constante k? 5.- Una masa en el extremo de un resorte vibra hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 0.600 Hz y una amplitud de 5 cm. ¿Cuál es su desplazamiento 2,56 s después de alcanzar un máximo?
6.- Un cuerpo vibra con una frecuencia de 1,4 Hz y una amplitud de 4 cm. ¿Cuál es la velocidad máxima, y la posición cuando la velocidad es cero? 7.- Un bloque liso colocado sobre una superficie sin fricción está unido a un resorte, del que se tira a la derecha una distancia de 4 cm y luego se suelta. Tres segundos más tarde vuelve al punto de partida. ¿Cuál es su frecuencia y cuál es la velocidad máxima? 8.- Una masa que vibra a una frecuencia de 0,5 Hz tiene una velocidad de 5 cm/s al pasar el centro de oscilación. ¿Cuáles son la amplitud y el periodo de vibración? 9.- Una masa de 400 g se une a un resorte haciendo que se extienden a una distancia vertical de 2 cm. La masa se jala hacia abajo una distancia de 4 cm y puesto en libertad a vibrar con el MAS.. ¿Cuál es la constante del resorte? ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración cuando la masa se encuentra a 2 cm por debajo de su posición de equilibrio? 10.- Un cuerpo produce una oscilación completa en 0,5 s. ¿Cuál es su aceleración cuando se desplaza x = 2 cm de su posición de equilibrio? 11.- Las puntas de un diapasón vibran con una frecuencia de 330 Hz y una amplitud de 2 mm. ¿Cuál es la velocidad cuando el desplazamiento es de 1,5
12.- En un motor, un pistón oscila con movimiento armónico simple por lo que su posición varía según la expresión
donde x es en centímetros y t en segundos. Al t = 0 encontrar (a) la posición del pistón, (b) su velocidad, y (c) su aceleración. (d) Determinar el periodo y la amplitud de la moción. 13.- La posición de una partícula viene dada por la expresión,
donde x está en metros y t es en segundos. Determinar: (a) la frecuencia y el período de la movimiento, (b) la amplitud del movimiento, (c) la fase de constante, y (d) la posición de la partícula en t = 0,250 s.
14.- La posición inicial, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve en un movimiento armónico simple son x1, v1, y a1, la frecuencia angular de oscilación es ω. (a) Demostrar que la posición y velocidad del objeto para todo tiempo se puede escribir como
(b) Si la amplitud del movimiento es A, demuestre que
15.- Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de
constante 6,50 N/m, y experimenta un armónico simple movimiento con una amplitud de 10,0 cm. Cuando el bloque está a medio camino entre su posición de equilibrio y la punto final, su velocidad medida es 30,0 cm/s. Calcular (a) la masa del bloque, (b) el período del movimiento, y (c) la aceleración máxima del bloque. 16.- Un bloque de 200 g se une a un resorte horizontal y ejecuta movimiento armónico simple con un período de 0.250 s. Si la energía total del sistema es 2.00 J, hallar (a) la constante de fuerza del resorte y (b) la amplitud del movimiento.
PÉNDULO SIMPLE.Consiste en un objeto puntual de masa m, suspendido de una cuerda o barra de longitud L, cuyo extremo superior está fijo. En el caso de un objeto real, siempre que el tamaño del objeto sea pequeño comparado con la longitud de la cuerda, el péndulo puede modelarse como un péndulo simple. Cuando el objeto se desplaza hacia un lado y luego se suelta, oscila alrededor del punto más bajo (que es la posición de equilibrio). El péndulo está impulsado por la fuerza de la gravedad.
El péndulo simple.Ecuación de movimiento
Fuerzas que actúan sobre el objeto: -Tensión de la cuerda, T - Peso,
mg
La componente tangencial de la fuerza de la gravedad, mgsenθ siempre actúa hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento. Ley de Newton para escribir la ecuación del movimiento en la dirección tangencial es la posición medida a lo largo del arco circular. sEl
signo menos indica que la fuerza tangencial apunta hacia la posición de equilibrio.
El péndulo simple.-
Ecuación de movimiento Ley de Newton para escribir la ecuación del movimiento en la dirección tangencial.
Si medimos
el ángulo en radianes
Como la longitud del hilo es constante Finalmente, la ecuación de movimiento es En general no se trata de un auténtico movimiento armónico simple
El péndulo simple.Aproximación para ángulos pequeños, si están expresados en radianes
Ecuación del movimiento armónico simple con Solución
Frecuencia angular Periodo
Posición angular máxima
Ejemplo 10.-
Solución .-
3.42.- Un reloj de péndulo simple marca segundos cada vez que su lenteja alcanza su máxima amplitud en ambos lados. ¿Cuál es el período de este movimiento? ¿Cuál debe ser la longitud del péndulo en el punto donde g = 9.80 m/s2? 3.43.- En la superficie de la luna, la aceleración de la gravedad es sólo 1.67 m/s2. Un reloj de péndulo ajustado por la tierra es colocado en la Luna. ¿Qué fracción de su longitud en la tierra debe ser la nueva longitud. 3.44.- Un estudiante construye un péndulo de 3 m de longitud y determina que tiene 50 vibraciones completas en 2 min y 54 s. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la ubicación del estudiante?
13.45.- Un hombre entra en una torre alta, con la necesidad de saber su altura. Él toma nota de que un péndulo largo se extiende desde el techo casi hasta el suelo y que su periodo es de 12.0 s. (a) ¿Cuál es la altura es la torre? (b) ¿Qué pasa si? Si el péndulo se lleva a la Luna, donde la aceleración en caída libre es de 1.67 m/s2, ¿cuál es su período ahí? 13.46.- El "péndulo de segundos" es uno que se mueve a través de su posición de equilibrio una vez cada segundo. (El período de el péndulo es, precisamente, 2 s.) La longitud de un péndulo de segundos es 0,9927 m en Tokio, Japón y 0.9942 m en Cambridge, Inglaterra. ¿Cuál es la relación entre la aceleración de caída libre en estos dos lugares?
13.47.- Un péndulo simple es de 5.00 m de largo. (a) ¿Cuál es el período para pequeñas oscilaciones para este péndulo si está unido a un elevador que acelera hacia arriba a 5.00 m/s2? (b) ¿Cuál es su periodo si el elevador está acelerando hacia abajo a 5.00 m/s2? (c) ¿Cuál es el período de este péndulo si se coloca en un camión que está acelerando horizontalmente a 5,00 m/s2? 13.48.- La posición angular de un péndulo está representado por el ecuación θ = (0,320 rad) cosωt, donde θ está en radianes y ω = 4.43 rad/s. Determine el periodo y la longitud del péndulo. 13.49.- Un péndulo simple tiene una masa de 0.250 kg y una longitud de 1,00 m. Es desplazado un ángulo de 150 y luego se suelta. ¿Cuáles son (a) la velocidad máxima, (b) la aceleración angular máxima, y (c) La máxima fuerza la restauradora de la fuerza?
PÉNDULO FÍSICO.El péndulo físico oscila solamente por acción de su peso Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento de torsión de restitución: t = - (mg) (d senq) El momento de torsión se calcula con Ƭ = Fr; así mismo el torque se define como Ƭ = Iα, donde I, momento de inercia del material
Igualando se tiene : -mgdsenθ = I(d2θ/dt2)
Si se suelta el cuerpo, oscila; Para ángulos pequeños, el movimiento será armónico simple. (al aproximar senq θ ). Entonces: d2θ/dt2 = - (mg d)/I(θ)
Frecuencia: Periodo: Para amplitudes mayores, el movimiento es armónico, pero no simple.
Ejemplo .Una llave inglesa de 1.80 Kg está pivotada a 0.25 m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de 0.94 seg. a) Que momento de inercia tiene la llave respecto a un eje que pasa por el pivote. b) Si la llave inicialmente se desplaza 0.40 rad de la posición de equilibrio. Qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición.
Solución.Utilizar, T = 2π√I/mgd I = (T/2π)2mgd I = (0,940s/2π)2(1,80Kg)(9,80m/s2)(0,25m) I = 0,0987 Kg.m2 Para la parte b utilizar ,ω = √2(2π/T)2(1 – cos θ) ω = √2(2π/0,94s)2[(1 – cos(0,40rad)]
ω = 2,66 rad/seg
Práctica.-
13.51.- Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano se mueve con movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2,20 kg y el eje está situado a 0.350 m del centro de masa, determinar la momento de inercia del péndulo sobre el punto de giro. 13.52.- Una barra rígida muy ligera, con una longitud de 0.500 m se extiende en línea recta desde un extremo de una regla graduada. La regla está suspendida de un pivote en el otro extremo de la varilla y se pone en oscilación. (a) Determinar el periodo de oscilación. (b) ¿En qué porcentaje difiere el período con respecto del periodo de un péndulo simple 1,00 m de largo? (Usar el
PÉNDULO DE TORSIÓN.Cuando el cuerpo se tuerce un ángulo θ, el alambre torcido ejerce sobre el cuerpo un torque de torsión restaurador, esto es, Ƭ = -ƙθ Donde k’ es una constante de torsión Aplicando la segunda ley de Newton para movimiento rotacional se tiene, Ƭ = -ƙθ = Id2θ/dt2 Donde I momento de inercia del material Luego el periodo T de un péndulo de torsión está dado por: I T 2 k'
Ejemplo 9.- Un disco sólido de 160 g y radio 0,12 m, se une al extremo de un alambre, luego gira 0.8 rad y se libera. La constante de torsión k’ es 0.025 N m/rad. Encuentre el periodo. (Desprecie la torsión en el alambre)
Para disco: I=
I = ½mR2
½(0.16 kg)(0.12 m)2 = 0.00115 kg m2
T 2
I 2 k'
0.00115 kg m2 0.025 N m/rad
T = 1.35 s
13.66.- Un péndulo de torsión se forma al tomar una regla graduada de masa 2,00 kg, y unir un alambre a su centro. Con su extremo superior sujeto, el alambre vertical sostiene la regla cuando ésta gira en un plano horizontal. Si el período resultante es de 3.00 minutos. ¿Cuál es la constante de torsión para el alambre. 13.67.- Una rueda de balance de un reloj tiene un período de oscilación de 0.250 s. La rueda se construye de modo que su masa de 20,0 g se concentra alrededor de un aro de radio de 0,500 cm. ¿Cuáles son (a) momento de inercia del aro y (b) la constante de torsión del resorte conectado?
Gracias ...
