6. CURVAS ESPI RAL ES DE TRANSI CI ÓN
Aunque las curvas de transición hacen parte del diseño del alineamiento horizontal, pero dado que es un tema lo suficiente extenso y especifico se ha dec idido trata trata rlo po r sepa sepa rad o.
El alineamiento horizontal con curvas circulares simples esta compuesto por tramos rectos enlazados por arcos circulares. Un tramo recto, o en tangente, p resenta esenta un ra ra d io d e c urva urva tura tura infinito nfinito mientras q ue un a rc o c irc ular pres presenta enta una radio de curvatu curvaturra const constante ante lo que signif gnifica que en el PC PC y PT de una una curva curva c irc ular ular se se p resenta esenta un c a mb io b rusc usc o y p untual de c urvatur urvaturaa , oc asi asionand o a su su v e z u n c a m b io io in m e d ia ia to to e n la f u e rz rza c e nt nt rifu g a . Lo a nt n te ririo r o b lilig a a lo s conductores a desarrollar una trayectoria errónea durante un tramo de vía, p rinc ipalm ente a la en tra tra d a y sa sa lid lid a d e las c urvas urvas,, m ient ra s se a simila el c am b io en d ic ha fuerza fuerza c entrif entrifuga uga .
Por la razón razón expue sta a nteriorme nteriorme nte, y otras q ue se se trata ran m ás a de lante, se se ha hecho necesar necesariio implementar mplementar una una curva curva de trans transiición q ue permit permitaa un ca mbio mbio gradua l de c urvatur urvaturaa entre entre una recta y una c urva urva c ircular mejorand mejorand o d e ma nera nera ostens ostensiib le la la c om od ida d , seg uri urida d y estéti estéticc a e n una vía. vía. 202
C UR URV V A S ESPIRALES PIRALES D E TRAN RANS SICIÓ IC IÓN N
En la la Fi Figura 45 se pue d e ob servar el d iagram a d e c urva urva tura tura d e una c urva urva c irc irc ular simp le. Nótese Nótese la d isc ontinuid ontinuid a d en la c urvatura urvatura en el PC PC y en e l P PT T de la c urva.
Fig ura 45 45. Curva tura c urva c irc irc ular ula r simp le
6.1 6.1 VENTAJA DE LAS L AS CURVAS DE TRANSI TRANSI CI CIÓN ÓN Ad em ás de brinda brinda r una ma yor com od ida d y seg seg uri urida d pa ra los usuari usuarios os de una vía, las curvas de transición presentan otras ventajas de gran importancia como son: Permite ermite un c am bio de c urvatura urvatura grad ual y cóm od o entre entre un elem elem ento c on un ra d io io d e c ur u rv a tu tu ra in f in it o (re c ta ta ) y u n e le le m en en t o c o n ra d io io d e c ur u rva tu tu ra c onstante onstante (arc (arc o c irc ular). ular). Cuand o se em plea n solo solo línea línea s y a rc os este este c am b io se realiz ealiza de una ma nera nera puntual puntual oc asi asionando incom odidad e insegur nseguriida d en los conductores. 203
C UR URV V A S ESPIRALES PIRALES D E TRAN RANS SICIÓ IC IÓN N
En la la Fi Figura 45 se pue d e ob servar el d iagram a d e c urva urva tura tura d e una c urva urva c irc irc ular simp le. Nótese Nótese la d isc ontinuid ontinuid a d en la c urvatura urvatura en el PC PC y en e l P PT T de la c urva.
Fig ura 45 45. Curva tura c urva c irc irc ular ula r simp le
6.1 6.1 VENTAJA DE LAS L AS CURVAS DE TRANSI TRANSI CI CIÓN ÓN Ad em ás de brinda brinda r una ma yor com od ida d y seg seg uri urida d pa ra los usuari usuarios os de una vía, las curvas de transición presentan otras ventajas de gran importancia como son: Permite ermite un c am bio de c urvatura urvatura grad ual y cóm od o entre entre un elem elem ento c on un ra d io io d e c ur u rv a tu tu ra in f in it o (re c ta ta ) y u n e le le m en en t o c o n ra d io io d e c ur u rva tu tu ra c onstante onstante (arc (arc o c irc ular). ular). Cuand o se em plea n solo solo línea línea s y a rc os este este c am b io se realiz ealiza de una ma nera nera puntual puntual oc asi asionando incom odidad e insegur nseguriida d en los conductores. 203
C UR URV V A S ESPIRALES PIRALES D E TRAN RANS SIC IÓN IÓ N
Permiten a justa usta r el tra tra zad o d e la vía vía a la tra tra yec toria toria rec orrida orrida p or los los vehíc vehíc ulos en las c urvas urvas,, evitand o q ue e stos inva d a n e l ca rril c ontrario. ontrario. Brinda una me jor ap arienc arienc ia a la c a rrete ra . Permiten de sarrollar arrollar la la tra tra nsi nsic ión de l p eralte d e fo rm a q ue e l valor d e este este en cualquier punto corresponda al requerido por la curvatura en dicho punto. Cua nd o se tiene n a linea linea m iento s sólo c on línea línea s y a rc os c irc irc ulares se tiene tiene qu e e n el punto d e ta nge nc ia e ntre ntre e stos do s elemento s se d eb e p asa asa r d e un p era era lte d e c ero ero a un pe ralte req req ueri uerido pa ra la curva d e ac uerdo uerdo al valor del rad rad io y fuerz fuerza centrifuga. Lo anterior obliga a que este cambio de peralte, que debe ser gradual, se desarrolle ya sea en la recta, en el arco circular o en ambos elementos. Cualquiera que sea la solución genera problemas tanto de inc omo didad co mo d e ins inseguri egurida da d.
Si la transición del peralte se realiza en su totalidad en la recta entonces se está generando generando cierto cierto grad grad o d e incomo didad didad ya que no se requier equieree peralte peralte en una una recta.
Si se desarrolla la transición en la curva circular entonces se está generando in se g ur urid a d y a q u e t a nt n t o a la e nt nt ra d a c o m o a la sa lilid a d e la c u rv rv a se e st sta sum inis nistrand trand o u n va lor de p eralte inferi inferior al req uerid uerid o. Ad em ás esta esta soluc ión no e s posi posible en muc has ocasi ocasiones deb ido a que la longitu ongitudd de la curva curva circ circ ular ular es relativam elativam ente c orta orta .
204
C UR URV V A S ESPIRALES PIRALES D E TRAN RANS SIC IÓN IÓ N
Por último, si se combinan las dos soluciones anteriores se está generando, aunque en m enor prop prop orc orc ión, cierto cierto g rad o d e incom od ida d e ins insegur eguriida d. Inc reme nta la visi visibilid bilid a d Permite reem p laza laza r la la rg a s tang entes p or c urva urva s c óm od a s y seg seg uras uras sisin a la rga r m uc ho la long itud d e la vía vía y sin sin a fec tar la la vis visibili ibilidd a d. Fac ilita el ca mb io e n el anc ho d e c alzad alzad a en c urvas urvas do nde, de ac uerdo uerdo a su su rad io principalmente, principalmente, se se requiere equiere un anc ho ad ic ional. Es Este anc ho ad ic ional se d enom ina sob sob rea nc ho y ser seráá e studiad o en o tro tro c a pitulo. pitulo. Se evita evita la nec esi esid ad de entreta entreta ngenc ia s.
Ya que las curvas con espirales no requieren entretangencias, la tendencia mundial mundial en dis diseño de vías es la de obtener obtener alineami alineamien entos tos suav suaves es c on curvas curvas esp esp ira ira liz liza d a s y sin sin tram o s rec to s.
En la Fig ura ura 46 se se tiene tiene el d ia grama de c urvatura urvatura d e una c urva urva c on espir espirales ales de transi transic ión la inic inic io y al final de esta esta .
6.2 6.2 TI POS DE CURVAS DE TRANSI TRANSI CI CIÓN ÓN La s c urvas d e tra tra nsición nsición inic inic ialme nte se se a p lic lic a ron en e l traza traza d o d e línea línea férrea férrea s a finales d el siglo siglo XIX XIX m ientras qu e p a ra las c a rrete rrete ra s su uso uso se se inicia e n la d éc a d a d e los treinta treinta en e l siglo siglo p a sa do . A lo lo la rgo d e to d os estos estos añ os se ha n pla ntea d o d iferentes tip tip os d e c urvas urvas de tra tra nsi nsic ión d entro d e la s c ua les tene mo s: 205
C UR URV V A S ESPIRALES PIRALES D E TRAN RANS SIC IÓN IÓ N
Fig ura ura 46. 46. Curvatura c urva urva c irc ular c on esp esp ira les
La p arábola c úbic úbic a La esp esp iral c úb ica Curva de transición de Klein Curva d e tran sic ión se se noid e d e Blos Blosss Curva Curva d e tra tra nsi nsic ión de Sc hram hram (pa ráb ola d e c uarto gra gra d o) Curva Curva de trans transiición d e Lange Lange (ec uac ión d e q uint uintoo grado ) Curva de transición de óvalos de Cassini o curva elástica (radioide a las abscisas) La lem nis nisc ata d e Bernoull Bernoullii (r (ra d ioide a las c uerda s) 206
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Cloto ide o e spira l de Euler (ra d ioide a los arc os) Curva de tra nsic ión d e sép tim o g rad o Espiral de Searles Espiral logarítmica
Dentro de todas las anteriores las más utilizada s son la espiral de Euler, la lemn isc at a d e Bernoulli y la c urva e lástica . Siendo la p rim era la má s c onven iente y em plea d a en ferroc a rriles y c a rretera s.
6.3 LA CLOTOI DE O ESPI RAL DE EULER Es tam b ién c ono c id a c om o esp ira l de Co rnu y esp ira l de Arquím ed es y se tra ta d e una c urva pla na q ue se d esa rrolla a p artir de un pun to d an do vueltas, alejánd ose de él ca d a ve z má s y disminuyend o su rad io. Pa ra el diseño g eom étric o d e vías se utiliza solo su p a rte inic ial (Figura 47).
6.3.1 Ley de c urvatura de la espiral de Euler . Cua nd o un vehíc ulo tra nsita sob re una curva de radio Rc a una velocidad constante V, experimenta una ac eleración centrífuga o rad ial cuya ma gnitud se c alcula c om o:
ac
V
2
Rc
207
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Fig ura 47. Cloto ide o esp iral de Euler
Este va lor sería e l ca mb io inme dia to q ue se tiene e n el mo m ento d e p asa r d e una recta a una curva circular y viceversa, es decir en el PT y e n e l PC . Si entre el tra m o rec to y el tra m o c ircular se ub ic a una c urva de transición, d e longitud Le , se produc e una va riac ión p or unida d d e longitud a lo largo de esta d ad a p or: ac u
V
2
Rc Le
Ahora, la ac elerac ión c entrífuga en un p unto cua lquiera de la transic ión, a una distancia L d el pu nto inic ial es ig ua l a: ac
V 2
[ ] L Rc Le
208
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Reem p lazand o la a c en este p unto d ond e e l rad io e s R se tiene q ue:
V
2
V
2
[ ] L Rc Le
R
Luego,
Rc. Le
R. L
Llamando A 2 el prod uc to de las c onstantes Le y Rc :
A 2 = R.L
Donde:
A
2
A
Rc. Le
(6 – 1)
Rc. Le
(6 – 2 )
Esta última ec ua c ión e s lla m ad a Ley d e Curvatura d e la Espiral d e Euler e indica q ue e l ra d io d e c u rva tura R es inversamente proporcional a la distancia L rec orrid a a lo largo d e la c urva d esde su orig en. De otra m anera, en un punto c ualquiera d e la curva el produ c to de l rad io R y la d ista nc ia L es c onstan te e igua l a A 2. 209
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
La c on stante A se d enom ina p arám etro de la esp iral y pe rmite halla r el rad io d e la c urva e n un punto c ualquiera d e esta c on la e xpresión: R = A 2 / L
Por ejemp lo en una c urva espiral d ond e e l rad io final es R = Rc = 90 y la long itud final L = Le = 40, el valor d e A 2 es 3600 se tienen los siguiente s va lores d e R a lo la rgo de la c urva:
Tab la 14. Va lores d e r a lo largo d e la e sp ira l P U N TO
A
2
A
L
R
1
3600
60
0
2
3600
60
10
360
3
3600
60
20
180
4
3600
60
30
120
5
3600
60
40
90
En la Figura 48 se tiene la clotoide de la tab la a nterior do nde se pued e o bservar además la evo luta de la esp iral que corresponde al lugar g eométrico de los c entros d e los ra d ios d e c urva tura.
6.3.2 Elem ento s de la curva espiral – c ircula r – espiral . En la Fig ura s 49, 50 y 51 se presentan todos los elementos q ue conforman la curva compuesta por una espiral de entrad a, un arco circ ular c entral y una espiral de salida . Luego se d efine c a d a uno de los eleme ntos indic ad os en las figuras.
210
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Fig ura 48. Clotoid e y evo luta c on a = 60
211
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Fig ura 49. Ge ometría c urva esp ira l – c irc ular – espiral
Fig ura 50. Xc , Yc , Ce 212
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
TE
= Punto d e em pa lme entre la rec ta y la esp iral
EC
= Punto d e em p alme entre la espiral y el a rc o c irc ula r
CE
= Punto d e em p lam e en tre el a rc o c irc ular y la esp ira l
ET
= Punto d e em plam e entre la esp ira l y la rec ta
= Deflexión d e la c urva .
Rc
= Ra dio c urva c irc ula r
Le
= Lon gitud c urva espiral
e
= Delta o d eflexión c urva esp ira l
Xc
= Co orde nad a X d e la espiral en los p untos EC y CE
Yc
= Co orde na d a Y d e la espira l en los p untos EC y CE
P
= Disloque = Desp la za miento d el a rc o c irc ula r c on resp ec to a la tang ente
213
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
K
= Ab sc isa Med ia . Distanc ia entre el TE y el p unto do nd e se p rod uc e el disloque
Te
= Tang ente d e la curva . Dista nc ia TE – PI y PI - ET
Ee
= Exte rna
Tl
= Tang ente larga . Dista nc ia entre TE o ET y PIe
Tc
= Ta ng ent e c orta . Dista nc ia entre PIe y EC o CE
Ce
= Cue rda larga d e la espiral. Línea q ue une TE c on EC y CE c on ET
= Angulo de la c uerda larga d e la espira l
c
= Deflexión de la c urva c irc ular
G
= Grad o d e c urvatura c irc ular
Lc
= Long itud c urva c irc ula r
Cc
= Cuerda larga c irc ular
214
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Figura 51. Otros elem entos c urva e spiral
Ecuaciones de la clotoide. Para c alcular los elementos de una c urva Espiral – Circ ular – Esp ira l se d eb en c ono c er inicialme nte tres va lores: -
El delta d e la c urva ( ) que se p uede leer en el terreno, en el plano o en el co mp utador de ac uerdo al proced imiento utilizad o.
-
El ra d io d e la c urva c irc u la r ( Rc ) q ue se d efine a p a rtir d e lo s m ism o s p arám etros y c riterios q ue e l de la c urva c ircular sim ple.
-
La long itud e sp iral (Le ) c uya long itud mínim a se e studiará m ás ad elante.
De la Fig ura 52 se p ued e o bt ene r q ue: dl
R.d
Pero: 215
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
R = A 2 / L
Por lo q ue: d
l.dl A
2
Figura 52. Ob tenc ión d e e c uac iones d e esp ira l Integrando: l
2
2 A
2
,Con
en ra d ia nes
(6 – 3)
Rem p la za nd o el valor d e A 2 por Rc .Le se tiene q ue: l2 2 Rc. Le
216
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Ahora pa ra un va lor de l e
Le 2 Rc
,
Le
se tiene que
Con e en rad ia nes
e po r lo
tanto:
(6 – 4 )
Para obtener el valor en grados sexagesimales de debe multiplicar por 180 y d ivid ir p or : e
90 Le
Rc
, Con e en grad os
(6 – 5)
Ahora en e l triáng ulo diferenc ial d e la fig ura anterior se pued e o bserva r que, po r tener los lados ortogonales entre sí, el ángulo formado por d l y d x es
, p or lo
tanto: dx
dl .Cos
dy
dl.Sen
Para ha llar las c oo rd ena d as c artesiana s (x,y) de l punto p se d eb e integrar: x
l o
dl.Cos
y y
l o
dl.Sen
Utilizand o la s series de M c Cla urin de l seno y el c oseno d o nd e:
217
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
1
Cos
Sen
2
4
6
2!
4!
6!
3
5
7
3!
5!
7!
...
...
Reem p laza nd o estos do s va lores y el d e la ec ua c ión (6 – 3) se tiene: x
y
l 0
l 0
[1
[(
l2
1
( ) 2! 2 A 2
l
2
2 A
2
1
)
l2
1
1
( ) 4! 2 A 2
l
2
( ) 3! 2 A 2
1
l2
( ) 6! 2 A 2
l
2
( ) 5! 2 A 2
1
...]dl
l
2
( ) 7! 2 A 2
...]dl
Por último , integrand o y reem plazando d e nuev o e l valor de 2
x
l (1
4
10
y
l(
3
42
Los va lores d e
2
2 A
2
se o b tiene:
6
216 3
l
9360 5
1320
(6 – 6 )
...)
7
75600
(6 – 7)
...)
están en rad ianes y so n suficiente s los tres p rimeros término s de la
serie p a ra el c á lculo d e los va lores d e x y y en un p unto c ualquiera d e la espira l a una d istanc ia l d el orige n.
Norma lm ente la long itud d e la e spira l inicial o d e en trad a e s ig ua l a la long itud d e la espiral fina l o d e salida teniéndo se una c urva sim étric a. Inicialme nte tra tarem os 218
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
este tipo d e c urva, po r lo ta nto p ara ha llar las c oorden ad as c a rtesiana s de l EC y d el C E se reem plaza l p or Le y Xc
Le(1
Yc Le(
e
2
e
10
4
e
216
por e quedando:
6
9360
(6 – 8)
)
e
e3
e5
e7
3
42
1320
75600
(6 – 9)
)
Si se ob serva la Fig ura 51 se pue de nota r que la e sp ira l de spla za la c urva c ircular hacia el centro de esta separándola un distancia Yc en el punto donde estas empalman ( EC y C E) y una dista nc ia p , llam ad a d isloque, en el PC. Aunque e l PC
no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estaría
ub ic a do éste si no se tiene la c urva espira l, en o tras p ala bras, es el p unto d ond e la tangente a la prolonga c ión d e la c urva c ircular es pa ralela a la tangente d e la curva.
El punto p está ubicado a una distancia K desde el TE e n la d ire c c ió n d e la tangente. El valor de K se conoce como abscisa media ya q ue su va lo r e s a p ro xim a d a m ente ig ua l a la m ita d d e Le . Podría decirse entonces, que el disloq ue e s el va lor d e Y en la mitad de la c urva e spira l y que la m itad de la c urva esp iral reem plaza pa rte d e la c urva c irc ular. De la Figura 51 se tiene qu e: Cos e
Rc
P Yc Rc
219
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Desp ejand o P ob tenem os: P
(6 – 10)
Yc Rc (1 Cos e)
En el mism o triá ng ulo, Sen e
Xc
K
Rc
Por lo tanto: K
(6 – 11)
Xc Rc.Sen e
La utilid a d d e l d islo q ue ra d ic a e n q ue d e a c ue rd o a su va lo r se d e fine la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con c urva s d e t ransic ión po r lo q ue se p od ría p resc ind ir d e e sta s. Un valor a lto indic a que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se d eb en usa r las esp ira les d e tra nsición.
De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al a ume ntar el rad io d isminuye el peralte po r lo q ue c urvas c on rad ios muy g ra nd es no requiere de espirales de transición. Aunque se han manejado valores límites pa ra d isloque, inic ialmente fue d e 0.30 m y luego de 0.09 m, po r deb ajo d e los c ua les se rec om ien da no usa r transicion es, los d iseño s a c tua les c ontem plan el uso d e e sp irales pa ra tod a s las c urvas d e un trazad o sin im p ortar el valor d el d isloq ue. 220
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Aho ra, en la Fig ura 49 se tiene q ue: K ( Rc
Te
(6 – 12)
P ).Tan ( / 2)
De la m ism a Figura; Rc
Cos( / 2)
Rc Ee
(P
Ee
P
Rc )
Cos
(6 – 13)
Rc
2
Reg resa nd o a la Fig ura 51: Tl
Yc
Xc
Tc
(6 – 14)
Tan e
Yc
(6 – 15 )
Sen e
De la Fig ura 50 p od em os o bte ner C e : Ce
Xc 2
Yc 2
(6 – 16)
Ahora obtengamos los elementos de la curva circular. De la Figura 49 es claro que: c
(6 – 17)
2 e
Los valores d e los d em á s elem ento s se c a lcula n c om o e n la c urva c irc ular simp le, esto es: 221
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
2Sen
G
c
1
(6 – 18)
2 Rc
cxC
Lc
(6 – 19)
G
o Rc c
Lc
(6 – 20)
180
Cc
2 RcSen ( c / 2)
El valor del áng ulo de deflexión pa ra un p unto c ualquiera P de la c urva espiral de sde e l TE o el ET está da do por: 1 y Tan ( ) x
p
(6 – 21)
Pero pa ra evitar el c álc ulo d e los va lores d e X y Y pa ra c ad a estac ión de la c urva esp ira l se ha proba d o que : p
3
(6 – 22)
J
Donde J es una c orrec c ió n m uy p eq ue ña , q ue se p ue de d esp rec ia r, y equivalente a: J
3
(3.1 x10 )
Con
3
( 2.3 x10
8
)
5
en grad os y J en segundos.
222
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
De ig ual form a la deflexión 1 Tan (
e
Yc Xc
)
pa ra el EC o CE es:
y
(6 – 23)
(6 – 24)
J
3
Se ha d em ostra d o a de m ás q ue la s d eflexione s p a ra las diferentes estac iones d e la e sp iral se pu ed en c a lcular de una m a nera má s rá p id a e igua l d e prec isa c on la expresión: l2 p
Le
(6 – 25)
2
Donde: p
Deflexión d e un p unto P cua lquiera d esd e e l TE o de sde e l ET en grad os Deflexión p ara el EC o C E en grados
l
2
Le
Distan c ia d el punto P de sde e l TE o el ET Long itud d e la c urva esp ira l
6.3.3 Long itud mínima de la espiral (Le). Aunque la longitud de la c urva espiral se asume, esta debe tener una longitud tal, que satisfaga ciertos parámetros y c riterios, princ ipa lm ente d e tipo d iná mic o , estético y g eo m étric o . De tod as forma s es bueno considerar cuales de estos c riterios son lo más relevantes para el
223
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
ingeniero de diseño en el momento de definir la longitud mínima y simplificar los cálculos.
En la p rác tic a no se ac ostumb ra c a lc ular la long itud p ara c ad a c urva, sino q ue de acuerdo a los criterios que se analizarán se asume un valor mínimo para el proyec to o ta mb ién se a c ostumb ra elab orar una ta bla c on valores que va rían d e ac uerdo a l rad io d e la c urva.
Long itud mínima seg ún transic ión de l pe ralte. Pod ría d ec irse q ue es d e los c riterios má s impo rtantes ya que en la transición d el p eralte, c uando pasa de un tram o rec to a un tra mo c urvo, se d eb e ga ra ntiza r una c ierta co m od id ad y seg urid a d . En un tram o rec to la inclinac ión transversal d e la ca lzad a co rrespond e al b om beo c uyo va lor es d el orden d el -2.0%, mientras q ue en un tramo c urvo la inc linac ión transversal c orresp ond e a l peralte req uerid o d e a c uerdo al ra dio d e c urvatura y la veloc ida d de diseño co n valores que pueden alcanzar hasta el 10.0%. Se requiere entonces para este cambio una longitud, que será analizada en el capitulo del diseño del peralte, calculada con la siguiente expresión: Le
Lt
e.a
(6 – 26)
I
Donde: Lt
= Long itud d e tra nsición de l peralte (m)
e
= va lor de l pe ra lte (%) 224
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
a
= d istanc ia d el eje a l borde de ca lzad a (m)
I=
Inc linac ión long itudinal de la ra mp a d e p era ltes (%)
La inclinación longitudinal d e rampa de peraltes está dad a en función de la veloc ida d , a m ayor veloc ida d meno r inclinac ión, por lo tanto ma yor longitud de transición. En el capitulo de peralte se presenta la tabla con los valores recomendados de I.
Longitud mínima seg ún variac ión de la a c elerac ión c entrifuga . Realmente este aspec to, que tiene que ver principalmente c on la c omo didad , va m uy liga do al de la transic ión d el peralte. Aunque e l valor de la inclinac ión d e ramp a d e pe ralte ( I ) ha considerado la comodidad para el alabeo que se experimenta en el asc enso y d esce nso de los bordes de c alzad a c on respec to a l eje de esta en la tra nsic ión d el p eralte, existen a lguna s fórmulas que p ermiten c alc ular la long itud mínima que ga rantic e un b uen co nfort.
Se tiene una fórmula g eneral ded uc id a a pa rtir d e la ec uac ión de eq uilib rio d e un vehíc ulo en m ovimiento en una c urva: Le
V
V
2
46.66C Rc
(6 – 27)
127.e
Donde: V
= Veloc id ad (Km/ h) 225
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Rc
= Ra dio d e la c urva (m )
e
= Peralte (d ec im a les)
C
= Variac ión d e la ac elerac ión rad ial po r unida d de tiemp o (m/ s 3)
El p arám etro C es una c onstante em píric a q ue se a sume de ac uerdo a l grad o d e comodidad que se desee obtener y se ha demostrado experimentalmente que varía entre 0.3 y 0.9 rec om end á ndo se un va lor prome d io d e 0.6 m/ s 3.
Existe la fórmula d e Smirnoff la que ac onseja un valor pa ra C d e 0.41 6 m / s 3, po r lo qu e se tiene: Le
V V 2 19 Rc
127.e
Fó rmula d e Smirnoff
(6 – 28)
La fórmula d e shortt no tiene en c uenta el peralte po r lo que se c onvierte e n: Le
V
3
46.66.C . Rc
Fó rm ula d e Sho rtt
(6 – 29)
Por último se tiene la fórmula de Barnett que es la misma de Shortt pe ro c on un valor de C de 0.6 m/ s3: Le
V
3
28. Rc
Fórmula d e Barnett
(6 – 30)
Longitud mínima de acuerdo a la estética. Se reco mienda q ue p or estétic a el valor de la d eflexión d e la esp ira l e sea m ínimo d e 3.15 g rad os. 226
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Despejando Le y reem plazand o e p or 3.15 de la e xpresión: e
90 Le
2
Rc
Se tiene q ue: Le = 0.11Rc
Le
o
Rc
(6 – 31)
9
Debe tenerse en cuenta además que la longitud de la espiral no difiera demasiado de la circular. Desde el punto de vista estético no es aconsejable emp lear longitudes muy larga s de espiral c on longitudes muy c ortas de c urva c ircular o vice versa . Longitud mínima según la AASHTO.
Según esta institución norteamericana la
long itud m ínim a d e e spiral no d eb e ser inferior a la d ista nc ia rec orrid a d ura nte d os seg undo s a la veloc id a d d e d iseño. Quiere de c ir esto q ue: Le
2Vd 3.6
Por lo q ue: Le
Vd
(6 – 32)
1.8
Con Vd en Km/ h y Le en m etros.
227
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Longitud mínima según el I.N.V. El Instituto Nacional d e Vías m aneja tod os los c riterios a nteriores p ero a p artir del p a rá me tro d e la c lotoide, es d ec ir el valor de A. Quiere d ec ir que e l I.N.V. c onsid era q ue: A min
(6 - 33)
Rc. Le
El valor de Le se ree m plaza ento nc e s p or los d efinido s en los c riterios a nteriores.
Según Velocidad de Diseño. Independientemente de los criterios anteriores, se rec om iend a un valor mínimo ab soluto pa ra la longitud d e la e sp iral a p artir de la velo c ida d de diseñ o. Estos va lores son:
Tab la 15. Long itud mínim a a b soluta d e esp ira l Vd (Km/ h)
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Le m inima (m )
25
30
35
40
45
50
55
60
65
6.3.4 Ab sc isado d e la c urva Espiral – Circ ular – Espiral . El valor de los pu ntos d e la c urva c irc ular con e spirales transic ión a la entrad a y sa lid a se p ued e ob tener d e la Fig ura 49: TE
= PI – Te
(6 – 34)
EC
= TE + Le
(6 - 35)
CE
= C E + Lc
(6 – 36)
ET
= CE + Le
(6 – 37)
228
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Lo que quiere decir que además de conocer el valor del delta de la curva, el radio y la longitud de la espiral es necesario conocer la abscisa del PI, para c a lcular tanto los elem ento s c om o las de flexione s d e la c urva.
6.3.5 Loc alizac ión de curva Espiral – Circ ula r – Espira l . Aunque existen diferentes forma s d e loc a liza r una c urva c on e sp ira les d e transición, la m a nera tra d ic iona l y má s a propiad a de hac erlo es p or med io d e c uerd as y de flexiones.
Existe otro mé tod o q ue es el de las c oo rde na d as c a rtesia na s, es d ec ir va lores d e X y Y, p ero esto implica un mayor número de cá lculos y un procedimiento más la bo rioso e n el terreno ya que se d eb en ub ic ar inic ia lmente p untos a lo largo de la tangente, que serian los valores de X, y lueg o pe rp end iculares a estos pun tos, correspondientes a los valores de Y. De todas ma neras en los ejemp los que se p resente n se c a lc ularán los co rrespo nd ientes valo res d e X y Y pa ra la s d iferentes esta c io nes red o nd as d e la espiral.
Un tercer mé tod o es el d e las c oo rden ad as ab solutas o rad iac ión de sde un p unto cualquiera. Esta metodología es apropiada cuando el terreno presenta una configuración topográfica tal que no permita localizar la curva por cuerdas y de flexiones y se d eb e ub ic a r un p unto q ue p ermita un d om inio visual p ara to da la c urva. Ta mb ién es rec om end a ble en p royec tos de rec tific ac ión d ond e se hac e nec esario loca lizar e l nuevo d iseño d esde puntos que no interrump a n e l tránsito veh ic ular y ad em á s no po ng an en p eligro la integ rida d física d e los traza d ores. Se 229
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
requiere para este procedimiento del uso de una estación total y de una c alculado ra program ab le o un c om putad or que permita realizar los cá lc ulos de una forma ág il y p rec isa.
A c ontinuac ión se p resenta la m etod ología pa ra loc a liza r la c urva p or el métod o de c uerda s y d eflexione s: Estand o ub ic ad o en el PI se m id e el valor d e la tang ente, Te, en d irec ción de los d os a linea mientos que d efinen d ic ho PI. Se o b tiene a sí la ub ica c ión de l TE y el ET.
Se traslada el eq uipo hac ia el TE y c on “c eros” en el PI se loc a liza n tod a s las estaciones redondas de la primera espiral hasta llegar al EC . Esta loc alizac ión se rea liza c on c uerda s y d eflexiones, esta s última s c alc ulad a s p reviam ente . Se mide sobre la tangente (línea TE – PI) el valor de la tangente larga Tl de terminand o a sí la ubic ac ión d el PIe . Luego se c hequea el valor d e la tangente corta Tc c on el fin de verific a r que la p rime ra espira l ha sido bien loc aliza da . La tang ente c orta es la d istanc ia entre el PIe y e l EC . Se ub ic a a hora e l equip o en e l EC y c on e l telesc op io invertid o y línea en el PIe se transita 180 g ra do s d ete rmina nd o a sí la línea d e referenc ia pa ra med ir la s d eflexiones d e la c urva c irc ular lleg and o a sí hasta e l C E. Finalmente se ubica el equipo en el ET y con línea en el PI se localiza la seg unda espiral en sentido c ontrario al ab sc isad o, es de c ir d esde el ET al CE, ob teniend o e l error de c ierre en e ste últim o.
230
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
El procedimiento anterior también puede realizarse de forma inversa, es decir, inic iand o en el ET y loc alizand o hasta el CE, lueg o la c urva c irc ular desde el CE ha sta el EC y p or últim o d esd e e l TE c erra ndo en el EC.
6.3.6 Ejem plos de c álc ulo de c urva Espiral – Circ ular – Espiral. Inicialmente es bueno c onside rar que este tipo de c urvas requiere del uso de una ca lc ulad ora programable con el fin de agilizar tanto sus cálculos como su localización en el terreno. Primero que todo, debido a la gran cantidad de elementos que conforman una curva con espirales de transición incluyendo sus deflexiones, se re quie re d e un b uen la pso d e tie mp o si se re aliza c on una c a lc ula d ora c onvenc iona l. Pero a de má s se d eb e tener la seg urid a d de los valores ob tenido s en el m omento de loc alizar la curva, ya que si esta no cierra en el terreno, se pue d e tene r la c erteza d e q ue el error ha sido d ura nte la loc alizac ión, porque de lo contrario la pérdida de tiempo sería considerable ya que si además de lo c a liza rla de nuevo se d eb e volver a c a lcular.
Ejem plo 6.1: Cálc ulo d e c urva e spiral – circ ular – espiral. Datos: Curva No 1 Derec ha = 57º11’ 36” R = 80.00 C
= 10.00
Abscisa PI = K0+231.54 231
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Veloc idad d e d iseño = 50.0 Km/ h Anc ho d e c alzad a = 7.30 m Obtener: Le
adecuada
Tod os los de m á s elem ento s Deflexiones d e tod a la c urva Cálculos: Long itud e spiral ( Le ) De ac uerdo a la transic ión d el p era lte la long itud m ínima esta d ad a p or Le
e.a I
Del Ma nua l de l I.N.V. se tiene qu e p a ra un rad io de 80.0 m: e = 8.0% I = 0.77% a = 3.65 Le
8 x3.65 0.77
37.9m
Seg ún la va ria c ión d e la a c elerac ión c entrifuga, em pleand o la fó rmula d e Barnett se tiene que : Le
V 3
503
28. Rc
28 x80
55.8m
232
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
De a c uerdo al c riterio estétic o se tiene qu e: Le
Rc
80
9
9
8.9m
Según la AASHTO: Le
Vd
50
1.8
1.8
27.8m
Se puede observar, comparando los resultados, los valores tan diferentes: 37.9, 55.8, 8.9 y 27.9. Esto indic a q ue p ara d efinir la long itud mínima d e la e spiral jueg a un papel importante otros aspectos como podrían ser la disponibilidad de espacio, el tipo de vía y principalmente la experiencia del diseñador. Como c onc lusión, co nside ro que e l c rit erio m ás im p ortante e s el de la transic ión d el peralte ya que implícitamente considera la comodidad y seguridad y el valor obtenido está por encima del calculado según el aspecto estético y de la longitud mínima absoluta.
La long itud e sp iral se red ond ea n orma lmente a u n valor m últiplo d e 5 y m ayo r d el valor c alcu lado po r lo tanto p ara el ejem plo se c onsid era una longitud espiral de 40 m etros. Demá s elem entos Paráme tro d e la c lotoide: A
Rc. Le
80 x40
57.57
233
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Deflexión d e la e sp ira l: e
e
Le
40
2 Rc
2 x80
90 Le
0.25 Rad
90 x 40
14 19'26"
80
Rc
Coo rd enad as Xc y Yc : Xc
Le 1
Yc Le
e2
e4
10
216
e
e3
3
42
40 1
40
0.25 2
0.25 4
10
216
0.25
0.25
3
42
39.75
3
=3.32
Coo rde nad as del PC : P
Yc Rc(1 Cos
K Xc RcSen
e
e)
3..32 80(1 Cos14 19'26" )
39.75 80Sen(14 19'26" )
0.83
19.96
Nótese q ue el va lor de K es ap roxima da mente igual a la mitad d e Le .
Tang ente d e la c urva: Te
K ( Rc
P).Tan( / 2)
19.96
(80
0.83)Tan (57 11'36" / 2)
Externa d e la c urva : Ee
(P
Cos
Rc )
Rc
2
0.83
80
Cos (57 11'36" / 2)
80
Ubica ción de l PIe: 234
12 .06
64.02
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Tl
Tc
Yc
Xc
Tan
3.32
13.41
Sen(14 19'26" )
e
26.75
Tan(14 19'26" )
e
Yc Sen
3.32
39.75
Por lo g eneral el valor de la ta nge nte c orta, Tc , es levem ente sup erior a la mitad de la tangente larga , Tl.
Cue rd a larga esp iral: Ce
Xc
2
Yc
2
39.75
2
3.32
2
39.89
Deflexión d e la c uerda larga de la espira l: e
14 19'26"
3
3
4 46'28"
O tam bién, 1
Tan (
Yc Xc
)
Tan
3.32
1
39.75
4 46'28"
Elem ento s d e la c urva c irc ular: c
G
Lc
2 e
2Sen
1
cxC G
57 11'36" 2 x14 19'26"
c 2 Rc
2Sen
1
10 2 x80
28 32'44" x10 7 10'00"
28 32'44"
7 10'00"
39.83
235
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Cc
2 RcSen c / 2
2 x80 xSen( 28 32'44" / 2)
39.45
Ab scisad o d e la c urva TE = PI – Te = 231.54 - 64.02 = K0+167.52 EC = TE + Le = 167.52 + 40 = K0+207.52 EC = C E + Lc = 207.52 + 39.83 = K0+247.35 ET = CE + Le = 247.35 + 40 = K0+287.35
Deflexiones El cálculo de las deflexiones se realizará por dos métodos diferentes uno más rá pido que otro, pe ro c om o se p od rá o bservar, igua l de prec iso.
Rec orde mo s q ue la s de flexiones pa ra las estac ione s d e la c urva esp iral se p ued en ca lc ular c on: p
1 y Tan ( ) , o x
l2 p
Le
2
A c o ntinua c ió n se p re se nt a e l c u ad ro d e d e fle xio ne s p a ra to d a la c u rva incluyendo la c urva c irc ular:
236
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Tab la 16. Co ord ena d a s y de flexione s ejem plo 6.1 DISTANCIA DEFLEXIÓN X Y DEFLEXIÓN PUNTO ABSCISA TE
l
l p
2
Le
l 2
2
2 A
2
(6 – 6) (6 – 7)
1 y Tan ( ) x
167.52 170.00
0.00 2.48
0 º00’00” 0 º01’06”
0.0000 0.0010
0.00 0.00
0 º00’00” 0 º01’06”
180.00
12.48
0 º27’ 53”
0.0243 12.48 0.10
0 º27’53”
190.00
22.48
1º30’29”
0.0790 22.47 0.59
1º30’29”
200.00
32.48
3º08’53”
0.1648 32.39 1.78
3º08’51”
EC
207.52
40.00
4 º46’ 28
0.2500 39.75 3.32
4 º46’20
EC
207.52
0.00
0 º00’00”
210.00
2.48
0º53’19”
220.00
12.48
4 º28’19”
230.00
22.48
240.00 247.35
32.48 39.83
8 º03’19” 11º38’19” 14º16’22”
247.35 250.00
40.00 37.35
4 º46’ 28” 4º09’46”
0.2500 39.75 3.32 0.2180 37.17 2.70
4 º46’20 4º09’41”
260.00
27.35
2º13’56”
0.1169 27.31 1.06
2º13’55”
270.00 280.00 287.35
17.35 7.35 0.00
0º53’54” 0º09’40” 0 º00’00”
0.0470 17.35 0.27 0.0084 7.35 0.02 0.0000 0.00 0.00
0º53’54” 0º09’40” 0 º00’00”
CE CE
ET
0.00 2.48
p
Se d eb e te ner en c uenta qu e las d eflexione s d e la c urva c irc ular, es d ec ir entre el EC y el CE se c a lculan d e igua l forma q ue e n la c urva c irc ular simp le.
Se p ued e a prec ia r en la tab la que la d eflexión ca lc ula da c on los valores d e X y Y difiere en algunos segundos de la calculada en la cuarta columna. Esta 237
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
diferenc ia es insignific ante en el c am p o en el mo me nto d e ub ic ar las estac iones por lo que la fórmula
l p
2
Le
2
se puede considerar com o la más apropiada
p a ra el c álc ulo d e las d eflexiones de la esp iral. De to d a s forma s si se d isp one d e una c alc ulad ora program ab le e s indiferente usar alguna d e las d os.
Ejem plo 6.2: Cálc ulo de ele me ntos y de flexiones de una c urva e spiral – c irc ular – espiral. Datos: Curva No 2 Izq uierda = 27º28’ 14” R = 80.00 C
=10.00
Abscisa PI = K0+682.18 Veloc ida d d e d iseño = 50.0 Km / h Anc ho d e c alzad a = 7.30 m Obtener: Le
adecuada
Tod os los de m á s elem ento s Deflexione s d e tod a la c urva
Cálculos: Lon gitud esp ira l ( Le ) 238
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Com o el valor de l rad io e s el mismo d el ejem plo a nterior entonc es no c am bia los va lores d e Le y e , por lo ta nto: Le = 40.0 e
90 Le
Rc
90 x 40 80
14 19'26"
Se p ue d e o b se rva r a q uí, a nte s d e c o ntinua r c o n e l c á lc u lo d e lo s d e m á s elem ento s, que la sum a de las d os d eflexione s d e la c urva espiral es ma yor que la de flexión to tal de la c urva , es d ec ir qu e: 2x14º19’ 26” = 28º38’52” y 28º38’52” > 27º28’14”
Quiere d ec ir q ue si se c alc ula la d eflexión d e la c urva c irc ular, esta sería neg a tiva al igua l que la long itud: c
2 e
27 28'14" 2 x14 19'26"
1 10'38"
Se tiene e nton c es qu e g eo m étric a m ente no es p osible c om b inar los va lo res d e los tres elementos: deflexión, radio y longitud espiral.
Este problema puede tener tres soluciones: Aum enta r el valor de l radio ya q ue e sto d ism inuye el valor de
e
aumentando
p or lo t anto la d eflexió n c ircular. Esta soluc ión no siemp re es la a p rop ia d a ya que
239
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
se incrementa el valor de la ta nge nte y d e la e xterna, ob teniénd ose una c urva q ue p osib leme nte no se a da p te a las c ond iciones físic a s y de esp a c io disp onible. Disminuir el valor de Le , ya que esto disminuye también el valor de
e
y
aumenta la deflexión circular. Esta solución puede ocasionar que se trabaje con una long itud espiral po r de ba jo d e la mínim a reque rid a , p or lo ta nto p ued e ser no apropiada. Em p lear una c urva sin tra m o c ircula r, es d ec ir, solo c on la s d os c urvas esp ira les. Esta c urva, espira l – esp iral, es un c aso p artic ular d e la c urva espira l – c irc ular – esp iral d ond e la long itud c irc ula r es c ero. Su forma de c a lc ula rla d ifiere un p oc o de la c urva espiral – circ ular – espiral y es muy usad a pa ra valores de deflexión pequeños, regularmente por debajo de 30º. A continuación se analiza la ge om etría de este tipo d e c urvas. 6.3.7 Curva Espiral – Espiral. C o m o ya se h a d ic h o, e ste tip o d e c u rva s se presenta p rinc ipa lme nte cua nd o su de flexión es pe q ueña, normalme nte por de ba jo de los 30º. Aunque se pud iese aum entar el rad io y/ o d isminuir la long itud espiral, p ara obtener una curva espiral – c ircular – espiral c on longitud circ ular p ositiva, la m a yoría d e lo s inge nieros p refieren u tiliza r la c urva esp ira l – esp ira l po r va rias razones: Simplifica los c á lc ulos ya q ue no existen los elem ento s d e la c urva c irc ular. Se redu c e ta mb ién los trab ajos d e loc a liza c ión en el terreno . Fac ilita un m ejor c ontrol de c ierre en e l ca mp o. Permite una mayor flexibilización en los cálculos ya que, además de la deflexión, los cálculos se puede realizar partiendo de uno de estos elementos: 240
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
radio (Rc ) , longitud espiral ( Le ), externa ( Ee ) o tangente ( Te ). Quiere decir lo anterior que, dependiendo del control que se tenga en el campo, se puede a sumir el valor má s ap rop iad o d e uno d e e stos c uatro eleme ntos. Cua ndo se tienen longitud es d el arco c irc ular muy pe q ueñas, menores d e 10 me tros, la e stétic a de la c urva no e s la me jor, po r lo que se rec om iend a op tar por mo d ific arla po r una c urva d e este tipo .
Elementos de la curva Espiral – Espiral . Los elem ento s d e la c urva esp ira l – esp iral son los mismo s de la c urva espiral – circ ular – espiral c on exce pc ión de los q ue corresponden al tramo circular, es decir, la deflexión circular, el grado de curvatura, la longitud circular y la cuerda larga c ircular. En la Figura 53 se presenta la ge om etría d e la c urva espiral – esp ira l.
Se puede observar en la Figura 53 q ue el radio de la curva Rc es puntual y se p resenta en el p unto d on d e se unen las d os esp ira les, de nom inad o EE o ECE, po r lo ta nto no existen los p untos EC y C E.
Cálculo de curva Espiral – Espiral. Inic ialmente se pued e c alcular el valor d e la d eflexión espiral cuyo va lor, ta l c om o se ob serva en la fig ura a nterior, está d a do por:
241
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Fig ura 53. Ge om etría c urva espiral - esp ira l
e
e
2
360
,
e
en grad os
(6 – 38)
,
e
en rad iane s
(6 – 39)
Ahora se a nalizará de ac uerdo al elemento d e c álculo asumido : Dado Rc De la e c ua c ión (6 – 4) se de sp eja Le: Le
2 Rc e
,
e
en rad ianes
(6 – 40) 242
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Conociendo Le y e se p ued en c a lc ular los elem ento s Xc y Yc , ec ua c ion es (6 – 8) y (6 – 9). Lueg o de la Figura 54 se tiene q ue: Cos e
Yc Ee
Por lo tanto: Ee
Yc Cos e
,
e
en grad os
(6 – 41)
e
en grad os
(6 – 42)
Se tiene ad em á s q ue: Te
Xc Ee.Sen e
,
Los de m ás elem ento s se c a lc ulan d e forma sim ilar.
Dado Le De la e c ua ción (6 – 40) se tiene que : Rc
Le 2 e
,
e
en rad ianes
(6 – 43)
Conociendo Rc se proc ede a ca lc ular los otros elementos co mo en el numeral anterior.
243
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Figura 54. Elem ento s c urva e sp ira l – esp ira l
Dado Ee Reem plazand o e l valor de Yc en la ec uac ión (6 – 41) se tiene q ue: Le Ee
3
e
e
3
42
Cos e
Por lo ta nto : Le
Ee.Cos e F 1
,
e
en grad os
(6 – 44)
Donde: 244
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
F 1
e
e3
3
42
,
e
en radianes
Se c alc ula luego el rad io y los d em ás elem ento s.
Dado Te De la fig ura se tiene q ue: Te
Xc
Yc.Tan e
Definiend o a F2 c o m o : F 2
1
e
2
e
10
4
216
Se tiene q ue: Xc = Le.F2 Yc = Le.F1
Entonces: Te
Le( F 2
F 1.Tan e)
Finalmente: Le
Te F 2
F 1.Tan e
,
e
en g ra d os
245
(6 – 45)
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Abscisado curva Espiral – Espiral. Co m o no e xiste long itud c irc ular en este tipo de c urva se tiene entonc es que : TE = PI – Te
(6 – 46)
EE = TE + Le
(6 – 47)
ET= EE + Le
(6 – 48)
Localización curva Espiral – Espiral . La lo c a liza c ión d e una c urva esp ira l – esp ira l en e l terreno solo req uiere ub ica r el ap a ra to e n el TE y lueg o e n el ET teniendo c om o punto de c ierre el EE ad emá s de no ser nece sario ubic ar el PIe ya que no existe a rc o c irc ular. Norma lmente e ste tipo d e c urva p resent a va lores de externa p eq ueño s lo que p ermite co ntrolar la ub ic a c ión de l EE en el m om ento d e loc aliza r la p rimera e sp ira l.
Al ig ual q ue la c urva c irc ular, la c urva espiral – espiral se p ued e loc aliza r d esd e e l PI, disminuyendo considerablemente el trabajo de campo. Las expresiones son prác tica me nte las misma s pe ro m od ific and o la no me nc latura:
p
Tan
2Sen
1
Tan(
2
)
2
p
Sen2
(6 – 49) p
Donde: p
= Deflexión d esd e el PI, co n línea en
ET o TE,
para un p unto c ualquiera p
sobre la espiral. p
= Deflexión d esd e e l TE o
ET pa ra
un p unto c ualquiera p sob re la e spiral 246
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
= Deflexión d e la c urva .
Las d istanc ia s se c alc ulan c on: D p
(Te x)
2
y
2
(6 – 50)
Donde:
Dp
= Distanc ia d esd e el PI pa ra un p unto c ua lquiera
Te
= Tang ente d e la c urva.
x, y
= Coordenad as de l punto.
Ejemp lo de c álc ulo de c urva e spiral – espiral. Se retom a el ejerc ic io prop uesto e n el ejemp lo 6.2 Datos: Curva No 2 Izq uierd a = 27º28’ 14” R = 80.00 C
=10.00
Abscisa PI = K0+682.18 Veloc ida d d e d iseño = 50.0 Km / h Anc ho d e c alzad a = 7.30 m Obtener: Tod os los d em ás eleme ntos 247
p
sob re la esp ira l.
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Deflexiones d e tod a la c urva
Se d ebe tener en cuenta que al p roponer un valor de cá lc ulo se deb e verifica r que el valor de otros elementos, radio y longitud espiral, este dentro de lo ad misib le. En e ste c aso se ha asumido el va lor del rad io y solo se de b e verific ar que el de la longitud espira l sea la ap ropiad a.
Cálculos: Elementos Deflexión d e la e sp ira l: e
e
27 28'14" 2
2
13 44'07"
27 28'14" x 360
0.24 Rd
360
Series F1 y F2 F 1
F 2
e
e3
0.24
0.24
3
42
3
42
1
e
2
10
e
4
216
1
3
0.24 10
0.0796
2
0.24
4
216
0.9943
Longitud e spira l Le
2 Rc e
2 x80 x0.24
38.36
248
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Este va lor c um ple c on e l req uerido p a ra tra nsición d e p eralte q ue es d e 37.9.
Coordenadas Xc y Yc Xc
Le.F 2
Yc
Le.F 1
38.36 x0.9943 38.36 x 0.0796
38.14 3.05
Externa Ee
Yc
3.05
Cos e
Cos13 44'07"
3.14
Tang ente Te
Xc Ee.Sen e
38.14
3.14 Sen13 44'07" 38.88
Ubica ción de l PIe: Tl
Tc
Xc
Yc Tan
38.14 e
e
25.65
Tan(13 44'07" )
3.05
Yc Sen
3.05
Sen(13 44'07" )
12.86
Cue rd a larga espiral: Ce
Xc
2
Yc
2
38.14
2
3.05
2
38.26
Deflexión d e la c uerda larga de la espira l: 249
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
1
Tan (
Yc Xc
)
Tan
1
3.05 38.14
4 34'34"
Ab sc isa do de la c urva TE = PI – Te = 682.18 - 38.88 = K0+643.30 EE = TE + Le = 643.30 + 38.36 = K0+681.66 ET =EE + Le = 681.665 + 38.36 = K0+720.02
Deflexiones Las deflexiones se calculan de igual manera que en la curva espiral – circular – esp iral, ob viam ente que sin las d eflexiones d e la c urva c irc ular.
Se em plea rá n las mism a s do s expresiones c on el fin d e c om pa rar los resulta d os p
1 y Tan ( ) x
y l p
2
Le
2
Los resulta d os de las d eflexion es se presenta n e n la Tab la 17.
250
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Tab la 17. Co ord ena d a s y de flexione s ejem plo 6.2 DISTANC IA DEFLEXION PUNTO ABSCISA
X l
l p
TE
EE
ET
DEFLEXION
Q
2
Le
l 2
2
2 A
2
Y
(6 – 6) (6 – 7)
p
1 y Tan ( ) x
643.30
0.00
0 00’00”
0.0000
0.00
0.00
0 00’00”
650.00
6.70
0 08’23”
0.0073
6.70
0.02
0 08’23”
660.00
16.70
0 52’02”
0.0454
16.70
0.25
0 52’04”
670.00
26.70
2 13’01”
0.1162
26.66
1.03
2 13’05”
680.00
36.70
4 11’19”
0.2194
36.52
2.68
4 11’22”
681.66
38.36
4 34’34”
0.2398
38.14
3.05
4 34’34”
690.00
30.02
2 48’09”
0.1468
29.96
1.47
2 48’14”
700.00
20.02
1 14’47”
0.0653
20.01
0.44
1 14’50”
710.00
10.02
0 18’44”
0.0164
10.02
0.05
0 18’45”
720.02
0.00
0 00’00”
0.0000
0.00
0.00
0 00’00”
6.3.8 Curva Espiral – Circ ula r – Espiral Asim étric a. Pued e suc ed er que una c urva esp iral – c irc ular – espira l requiera longitude s de espiral d iferentes co n el fin de a justa rse a un co ntrol de finid o c om o p or ejem p lo la e xistenc ia d e una estruc tura o la d ispo nibilida d d e esp ac io a la salid a o e ntrad a d e la curva.
Al asumir
longitudes de espiral diferentes se requiere calcular para cada una de estas los elemento s po r sep arad o.
Se c alc ula inic ialm ente los valores d el d elta esp ira l: e1
Le1 2 Rc
y
e2
Le2 2 Rc
251
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Así para cada uno de los elementos con excepción de la tangente la cual se ca lc ula de ac uerdo a dos condic iones y d enominando a la espiral d e entrad a c o m o Le1 y a la espiral d e salid a c om o Le2.
Si Le1 > Le2 Yc1
Te1
Xc1
( Rc
Yc1 ).Tan
Te2
Xc2
( Rc
Yc2 ).Tan
2
Yc2
Yc1 2
(6 – 51)
Sen Yc2
(6 – 52)
Sen
Si Le1 < Le2 Yc2
Te1
Xc1
( Rc
Yc1 ).Tan
Te2
Xc2
( Rc
Yc2 ).Tan
2
Yc1
Yc2 2
(6 – 53)
Sen Yc1
(6 – 54)
Sen
El valor de la d eflexión c irc ular se c alc ula c on: c
e1
(6 – 55)
e2
El a bsc isa do d e la c urva se c alc ula ento nc es a sí: TE
= PI – Te
(6 – 56)
EC
= TE + Le1
(6 - 57)
CE
= C E + Lc
(6 – 58)
ET
= CE + Le2
(6 – 59)
252
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
6.3.9 Deflexion de sde un punto de la espiral (POE). Al igual que en las curvas circulares simples puede suceder, en una curva espiral, que no sea posible loc a liza rla tod a d esde el TE o d esde el ET p or problem as d e visibilida d . Este inconveniente, que aunque se presenta pocas veces dado que las deflexiones son p eq ueñ a s, tiene d os so luc ione s. Una d e e lla s es loc a lizar la espiral en se ntido inverso, es dec ir, d esde el EC al TE o de sde el CE al ET y la otra d esd e la última esta c ión d e la e sp iral q ue h a sid o p osible loc aliza r desd e el TE o d esd e el ET.
En am bos c asos se requiere de un cá lc ulo adicional, siendo el má s apropiado desde la última estación loc alizad a en la espiral, p unto denom inado POE. La razón es que a partir de la tabla inicialmente calculada para las deflexiones desde el punto inicial (TE o ET) es fácil obtener las nuevas deflexiones desde el POE.
El proc ed imiento a seg uir es m uy senc illo y se d esc ribe a c on tinua c ión: El valo r de X y Y p ara el POE será n los va lores b a ses y se denomina n Xb y Yb . Para ca da estac ión i a lo c a liza r d esd e el POE se o btiene un de lta X y un delta Y restand o
d e los valores Xi y Yi los va lores d e Xb y Yb respectivamente.
X = Xi – Xb Y = Yi - Yb
La nue va d eflexión p ara la estac ión i d esde el POE se o bt iene a pa rtir de l arco tangente d e Yi / Xi
253
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Tan
i
1
Yi
(6 – 60)
Xi
Ejem plo 6.4: Cálc ulo de c urva espiral – espiral c on uso de un POE. Datos: Curva No 3 Derec ha = 26º18’ 42” = 50.00
Le
Abscisa PI = K0+824.36 Veloc ida d d e d iseño = 50.0 Km / h Anc ho d e c alzad a = 7.30 m Obtener: Tod os los d em ás eleme ntos Deflexiones d e tod a la c urva Cálculos: Elementos Delta espiral e
e
26 18'42" 2
2
13 09'21"
26 18'42" x 360
360
0.23 Rd
Series F1 y F2 254
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
F 1
F 2
e
e3
0.23
0.233
3
42
3
42
1
e
2
e
10
4
0.23
1
216
2
0.076
0.23
10
4
216
0.9947
Rad io (Rc ) Rc
Le
50
2 e
2 x0.23
108.88
Coordenadas Xc y Yc Xc
Le.F 2
Yc
Le.F 1
50 x0.9947 50 x 0.076
49.74 3.81
Externa Ee
Yc
3.81
Cos e
Cos13 09'21"
3.91
Tang ente Te
Xc Ee.Sen e
49.74
3.91.Sen13 09'21"
50.63
Ubica ción de l PIe: Tl
Xc
Yc Tan
49.74 e
3.81
Tan(13 09'21" )
33.44
255
CURVAS ESPIRALES DE TRANSIC IÓN
Tc
3.81
Yc Sen
e
Sen(13 09'21" )
16.74
Cue rd a larga espiral: Ce
Xc
2
Yc
2
49.74
2
2
3.81
49.89
Deflexión d e la c uerda larga de la espira l: 1
Tan (
Yc Xc
)
Tan
1
3.81 49.74
4 23'00"
Ab scisad o d e la c urva TE = PI – Te = 824.36 – 50.63 = K0+773.73 EE = TE + Le = 773.73 + 50.00 = K0+823.73 ET =EE + Le = 823.73 + 50.00 = K0+873.73
Deflexiones En la Tab la 18 se p resenta n la s d eflexione s d e la c urva em plea nd o la e xpresión: p
1 y Tan ( ) x
Deflexión d esd e un POE. Se tiene que la prim era esp iral solo es visible d esd e el TE ha sta la ab sc isa 800, p or lo tanto se requiere ubicar en esta estación un POE para localizar el resto de la esp iral ha sta el EE. 256