1- CURVAS VERTICALES Se utilizan para empalmar dos tramos de pendientes constantes determinadas, con el fin de suavizar la transición de una pendiente a otra en el movimiento vertical de los vehículos. Ayudan también a la seguridad, a la comodidad, a la mejor apariencia y con las características de drenaje adecuadas de la vía.
Por lo general se utilizan arcos parabólicos, en vez de arcos circulares como en las curvas horizontales, porque estos arcos parabólicos producen un cambio constante de la pendiente y sus cotas se pueden calcular mas fácilmente.
PCV = Principio de la curva vertical. Es el punto Común de la Tangente con la curva vertical en su origen. PIV = Punto de intersección de las tangentes verticales. PTV = Terminación de la curva vertical. Es el punto Común de la curva vertical en su fin, con la Tangente.
2- TIPOS DE CURVAS VERTICALES
Para una operación segura de los vehículos al circular sobre curvas verticales, especialmente si son convexas, deben obtenerse distancias de visibilidad adecuadas, como mínimo iguales a la de parada. Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección. Debe también tenerse en cuenta el aspecto estético, puesto que las curvas demasiado cortas pueden llegar a dar la sensación de quiebre repentino, hecho que produce cierta incomodidad.
3- ELEMENTOS Y ECUACIONES DE LAS CURVAS VERTICALES La curva vertical recomendada es la parábola cuadrática, cuyos elementos principales y expresiones matemáticas se incluyen a continuación, tal como se aprecia en la Figura:
siendo: L = Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, (m). S1 = Pendiente de la tangente de entrada, (%). S2= Pendiente de la tangente de salida, (%). A = Diferencia algebraica de pendientes, o sea E = Externa: Ordenada vertical desde el PIV a la curva, que se determinará así:
X = Distancia horizontal a cualquier punto de la curva desde el PCV o PTV, (m) Y = Ordenada vertical en cualquier punto (m) y, se calcula mediante la expresión:
Esta es la fórmula utilizada para los cálculos. Esta ordenada se le resta a las cotas de las tangentes en las curvas verticales tipo 1 y 2 y se le suma en las tipo 3 y 4. Las cotas de la curva completa, que normalmente corresponden a las de los puntos de abscisas múltiplos de 10 metros que haya dentro de ella, pueden determinarse por desplazamientos desde la tangente de entrada tomando como origen de coordenadas el PCV, o también se puede determinar la primera mitad desde la tangente de entrada con origen en el PCV y la otra mitad a partir de la tangente de salida con origen en el PTV. Ejemplo: Teniendo los siguientes datos realizar el diseño de la curva vertical. • • • • •
Pendiente de entrada = - 4.0% Pendiente de Salida = + 2.0% Cota PIV = 428.360 m Abscisa del PIV = K9 + 400 m Longitud de la Curva = 60 m.
A= I S2 – S1 I = I 2- (-4) I = 6 E= (6* (60/2)^2)/(200(60)) = 0.45 m. DISEÑO DE LA CURVA (Un solo Origen)
ABSCISA K0+ K0+ K0+ K0+ K0+ K0+ K0+
370 380 390 400 410 420 430
COTA TANGENTE 429,560 429,160 428,760 428,360 427,960 427,560 427,160
X
X2
Y
COTA RASANTE
0 0 0,000 429,560 10 100 0,050 429,210 20 400 0,200 428,960 30 900 0,450 428,810 40 1600 0,800 428,760 50 2500 1,250 428,810 60 3600 1,800 428,960
DISEÑO DE LA CURVA (Dos Origenes)
ABSCISA K0+ K0+ K0+ K0+ K0+ K0+ K0+
370 380 390 400 410 420 430
COTA TANGENTE
X
X2
Y
COTA RASANTE
429,560 429,160 428,760 428,360 428,560 428,760 428,960
0 10 20 30 20 10 0
0 100 400 900 400 100 0
0,000 0,050 0,200 0,450 0,200 0,050 0,000
429,560 429,210 428,960 428,810 428,760 428,810 428,960
Este último procedimiento es el más utilizado porque es más sencillo y se adapta mejor a la cartera de rasantes.
4- LONGITUD DE CURVAS VERTICALES Existen cuatro criterios para determinar la longitud de las curvas verticales: a. Criterios de comodidad. Se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas, en donde la fuerza centrífuga que aparece en el vehículo al cambiar de dirección, se suma al peso propio del vehículo. Generalmente queda englobado siempre por el criterio de seguridad. b. Criterios de operación. Se aplica al diseño de curvas verticales con visibilidad completa, para evitar al usuario la impresión de un cambio súbito de pendiente. c. Criterios de drenaje. Se aplica al diseño de curvas verticales convexas o cóncavas, cuando están alojadas en corte. Para advertir al diseñador la necesidad de modificar las pendientes longitudinales de las cunetas. d. Criterio de seguridad. Se aplica a curvas cóncavas y convexas. La longitud de la curva debe ser tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada. En algunos casos, el nivel de servicio deseado puede obligar a diseñar curvas verticales con la distancia de visibilidad de adelantamiento.
Distancias de visibilidad en curvas verticales Las longitudes de las curvas verticales en función de las distancias de visibilidad (DV), se calculan según se trate de curvas verticales convexas o cóncavas. a. Curvas verticales convexas La longitud mínima de las curvas convexas, que cumpla con los requisitos mínimos pendientes en porcentaje (A), se determina para dos casos: − Primer caso (DV < L) Cuando el conductor y el objeto están sobre la curva, la distancia de visibilidad determinada es menor que la longitud de la curva, tal como se aprecia en la Figura.
En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina mediante la siguiente expresión:
en donde: H= Altura del ojo del conductor o altura de las luces delanteras del vehículo, (m)
h = Altura del objeto, (m). Para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que: DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m; A en %; se tiene:
Y
en donde: K, es el radio de la circunferencia inscrita en el vértice de la parábola y se presenta en el gráfico de la Figura. El valor de la expresión anterior corresponde a la distancia de visibilidad de parada en recta.
En los alineamientos curvos en planta se debe definir el valor de K en función de la coordinación resultante entre la planta, el perfil y la sección transversal. Aunque los parámetros anteriores siempre están al lado de la seguridad en los alineamientos en planta.
Por lo que: L=A·K Para la distancia de visibilidad de paso o de adelantamiento, tomando: DV = DVA; H = 1.15 m; h =0.15 m; y A en %.
− Segundo caso (DV > L) Cuando el conductor y el objeto están fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor que la longitud de la curva, de acuerdo con lo indicado en la Figura.
En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina así:
Para la distancia de visibilidad de parada, tomando como: DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m y A en %,
Para la distancia de visibilidad de adelantamiento, paso o de rebase asumiendo: DV = DVA; H = 1.15 m; h = 1.35 m y A en %,
b. Curvas verticales cóncavas La Figura de los Tipos de Curvas Verticales se muestran 3 tipos diferentes de curvas cóncavas, de acuerdo con diferentes combinaciones de pendientes. Para establecer la longitud que se va a emplear, se deben considerar cuatro características de seguridad vial y operación de vehículos, las cuales son: • Distancia de visibilidad, determinada por el alcance de las luces delanteras. • Comodidad y seguridad de los pasajeros. • El drenaje adecuado sobre la vía. • Los aspectos geométricos de la carretera. En las curvas cóncavas, el análisis de visibilidad considera únicamente las restricciones que se presentan en la noche, y estima la longitud del sector de carretera hacia adelante, como la distancia de visibilidad. Dicha distancia depende de la altura de las luces delanteras, para la cual se asume un valor de 0.60 m y un ángulo de divergencia del rayo de luz hacia arriba respecto al eje longitudinal del vehículo de 1 grado. − Primer caso (DV < L) Cuando el conductor y el objeto están dentro de la curva, la distancia de visibilidad es menor que la longitud de la curva. La Figura ilustra la anterior situación.
En términos generales, se tiene que:
para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que: DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1° = 0.0 1745; y A en %,
Y
Donde K es una constante para cada velocidad de diseño, y se representa en la Figura por: L=AK.
Para la distancia de visibilidad de adelantamiento, de paso o de rebase, no es indispensable su cálculo, porque se pueden ver las luces del vehículo que viene en sentido contrario. − Segundo caso (DV >L) Cuando el conductor y el objeto están fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor que la longitud de la curva, tal como se representa en la Figura.
En términos generales, la longitud de la curva vertical se determina así, para la distancia de visibilidad de parada, tomado como: DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1° = 0.0 0175; entonces
Para la distancia de visibilidad de adelantamiento de paso o de rebase, no es indispensable su cálculo, porque se pueden ver las luces del vehículo que viene en sentido contrario. Longitud mínima de cualquier curva vertical La longitud mínima de una curva vertical puede determinarse empleando los límites inferiores fijados por investigadores en forma empírica para pequeños valores de A y mediante la siguiente relación matemática:
en donde: L : Longitud de la Curva Vertical, (m).
K : Factor que establece, para una determinada velocidad, condiciones óptimas de visibilidad y drenaje en el sector de la curva, (m/%). A : Diferencia algebraica de pendientes en el PIV, (%). Existen valores de límite inferior obtenidos en forma empírica, para cada velocidad de diseño, los cuales están representados en los gráficos mediante líneas verticales. Por razones de economía, comodidad y seguridad, se deben tener en cuenta dos condiciones especiales, para el diseño y cálculo de curvas verticales. − Para una diferencia algebraica de pendientes (A) y una velocidad de diseño (VD) determinada, la curva vertical que empalma los alineamientos debe proporcionar, en la operación de los vehículos, una distancia de visibilidad no menor que la distancia de visibilidad de parada, para lo cual se determina un valor de K, como función de la velocidad de diseño. En los casos en que sea económicamente factible, se puede adoptar distancias de visibilidad mayores que la de parada, incluso hasta obtener distancias de visibilidad de adelantamiento, cuando la condición del diseño horizontal lo permita, para lo cual se puede incrementar el valor de K. − El empleo de valores de K mayores a los establecidos para cada velocidad de diseño en los gráficos de las Figuras 3.4.9 y 3.4.11, tienen un límite superior; éste tiene que ver específicamente con la capacidad de drenaje de la vía. La situación más desfavorable en la provisión de un buen drenaje se presenta cuando se empalman dos tangentes de signo contrario; para lo cual la AASHTO considera que un valor de A igual a 0.6% en una longitud de curva igual a 30 metros, provee el adecuado drenaje en el sector más plano de las curvas.
La línea no continua localizada en los gráficos de las Figuras para K=50, permite al diseñador conocer la capacidad de drenaje del sector de acuerdo con el diseño vertical, el cual debe ser siempre mejorado al coordinarlo con el diseño horizontal y la sección transversal, especialmente para valores de K mayores a 50. De todas formas valores amplios de K se pueden utilizar en el diseño vertical de carreteras, siempre y cuando se conserve la capacidad de drenaje del sector.
En cualquier caso, se recomienda que la longitud mínima de una curva vertical sea, teniendo en cuenta la estabilidad de los vehículos:
Lmin= 0.6 V En que la longitud resulta en metros tomando la velocidad en KPH.
5- MAXIMOS Y MINIMOS EN CURVAS VERTICALES En ocasiones es necesario conocer la abscisa y la cota del punto más alto de una curva vertical convexa o del más bajo de una curva vertical cóncava. En general estos puntos no se encuentran sobre la vertical que pasa por PIV, sino antes o después de ella. La cota Hx de un punto cualquiera de una curva vertical situado a una distancia x del PCV se obtiene de la siguiente expresión: Hx = HA + S1X +y
Donde HA es la cota del PCV y como
se tiene:
Hx = HA + S1X/100 +AX2/200L La posición X de este punto está determinada por:
X= S1 * L A Si al calcular X resulta un valor negativo o mayor que L, esto indica que el máximo o mínimo no está dentro de la curva. Ejemplo: En una curva cóncava se tiene que S1 = -2.0%, S2= +1.5%, la Abscisa del PCV es K0+140 con una cota de 752.45m y la longitud de la curva es de 100m. Calcular si X está dentro o fuera de la curva.
X= S1 * L = 2*100 = 57.14 m (del PCV) A 3.5 Con esto tenemos que la Abscisa de este punto es K0+140+57.14 = K0+197.14 m. Lo que indica que si está dentro de la curva.
Hx=752.45 + ((-2)*57.14/100) + (3.5*(57.14)2/(200*100))
Hx= 751.88 m.
6- CASOS ESPECIALES Curvas asimétricas: Es posible que una curva parabólica asimétrica (con tangentes desiguales) se ajuste más que una curva simétrica (con tangentes iguales, como las hasta ahora tratadas) y haya que emplearla y calcularla, por razones de orden topográfico, cotas obligadas, etc. Las hay cóncavas y convexas, Para su diseño es necesario contemplar lo siguiente: L1= Distancia entre el PCV y el PIV.
S1= Pendiente de entrada.
L2= Distancia entre el PIV y el PTV.
S2= Pendiente de salida.
Se debe calcular la excentricidad “e” como: e = A * L1 * L2 2(L1 + L2) A partir de cada uno de los Extremos (PCV y PTV) se calculan los valores de las “y” asi: Tramo de entrada: y = ((X/L1)^2) * e Tramo de salida: y = ((X/L2)^2) * e Ejemplo: Diseñar la curva vertical asimétrica que tiene estos datos: Abscisa del PIV=K1+180; cota del PIV=724.14 m; L1=60 m; L2=40 m; S1=4.0% y S2=-2.4%. Se tiene que
A= I -2.4 – 4 I = 6.4
e = 6.4*60*40/(200*(60+40)) = 0.77 m.
Con estos datos se obtiene la siguiente tabla: (La curva es cóncava)
PUNTO ABSCISA PCV
PIV
PTV
K0+ K0+ K0+ K0+ K0+ K0+
120 130 140 150 160 170
COTA TANGENTE 721,740 722,140 722,540 722,940 723,340 723,740
K0+ 180
724,140
K0+ K0+ K0+ K0+
723,900 723,660 723,420 723,180
190 200 210 220
X
X/L
(X/L)2
Y
0 10 20 30 40 50 60 40 30 20 10 0
0,000 0,167 0,333 0,500 0,667 0,833 1,000 1,000 0,750 0,500 0,250 0,000
0,000 0,028 0,111 0,250 0,444 0,694 1,000 1,000 0,563 0,250 0,063 0,000
0,00 0,02 0,09 0,19 0,34 0,53 0,77 0,77 0,43 0,19 0,05 0,00
COTA RASANTE 721,74 722,12 722,45 722,75 723,00 723,21 723,37 723,47 723,47 723,37 723,18
Curvas reversas: Se dan las curvas verticales reversas cuando dos curvas verticales con una tangente común, como se ilustra en la Figura, pueden representar el alineamiento vertical para una rampa de intercambio entre dos vías.
7- CRITERIOS GENERALES PARA EL ALINEAMIENTO VERTICAL Existen controles generales para el alineamiento vertical, que deben aplicarse en forma coordinada con los del alineamiento horizontal, como más adelante se detalla. Estos controles son: a. En lo posible, se deben buscar cambios graduales de la pendiente, de acuerdo con las características topográficas de la zona y el tipo de carretera; esta solución es preferible a la de una línea con numerosos quiebres y pendientes de corta longitud. b. Los perfiles de tipo tobogán, compuestos de subidas y bajadas pronunciadas deben evitarse, especialmente cuando el alineamiento horizontal es recto. Este tipo de perfil contribuye a crear accidentalidad, sobre todo cuando se realizan maniobras de adelantamiento, ya que el conductor que adelanta toma la decisión después de ver aparentemente libre la carretera más allá del tobogán, existiendo la posibilidad de que un vehículo que marche en sentido contrario quede oculto por la protuberancia y hondonada. Incluso, en toboganes de hondonadas poco profundas, esta forma de perfil es desconcertante, puesto que el conductor no puede estar seguro de si viene o no un vehículo en sentido contrario. c. En tramos largos de ascenso, es preferible proyectar las mayores pendientes iniciando el tramo y las más suaves cerca de la parte superior del ascenso, o dividir la pendiente sostenida larga en tramos de pendiente más suave, que puede ser sólo un poco más baja que la máxima permitida. Esto es particularmente aplicable para carreteras con velocidades de diseño bajas. d. En carreteras donde se presentan bifurcaciones, para el sector de la intersección se recomienda diseñar con pendiente longitudinal máxima del 4%, siendo deseable reducirla en beneficio de los vehículos que giran, ya que esto ayuda a disminuir la inseguridad del usuario. e. Una curva vertical convexa de longitud pequeña, puede llegar a reducir la distancia de visibilidad de parada, transmitiendo al usuario de la carretera la sensación de incomodidad. En las Figuras se muestra un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva vertical convexa.
f. El uso de curvas verticales cóncavas de longitud pequeña, transmite al usuario cierta sensación de incomodidad, pues éstas aparecen como quiebres y, especialmente en la noche, presentan inseguridad por la escasa visibilidad que permite la curvatura misma. Las Figuras muestran un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva cóncava, para condiciones semejantes de planta y perfil.
La Figura muestra un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva vertical cóncava, coincidente con un sector de curva horizontal.
g. Un perfil longitudinal con dos curvas verticales de la misma dirección separadas por una tangente corta, generalmente debe evitarse, particularmente en curvas cóncavas, donde la visibilidad completa de ambas curvas no es placentera. Las Figuras corresponden a ejemplos de mal y buen diseño vertical, en el cual, mediante el uso de longitudes mayores de curva vertical, la apariencia estética de la vía se mejora notablemente.
