2(-6) + III -
°= 2
x
(Ill ) +
4 (-112)
L
2112 = -6
Dato del problema:
...
(I)
.:. hasta instantes antes de colisionar con el :~:otro cuerpo.
e=0,5
il2 - ill = e (V 1 - V 2) -ilz - ill = 0,5(-6 - 0)
III
=
. 1 z 1 EKA =2"mVA =2"x2x1O
°
Ilz =3
EKA =looJ
:. [ 112 = 3 m!SIl]
'-'-
-..;1-,
~
:~:En el trayecto AB pierde energfa cinetica de.:. bido a la fricci6n, Luego : Clave: C':'
Sem. CEPRE UNI :~:
Un cuerpo de 2 kg es lanzado con una velo- :~: cidad de 10i m sobre una superficie rugo- :~: 5
sa de 3,6 m de longitud y de Ilk = 0,5; al final de esta se encuentra con otro cuerpo de 1 kg en reposo. Calcular las rapideces de ambos cuerpos despues del choque elastico, si la superficie sobre la cual se desplazaron finalmente es Iisa. A) 1,67 m/s ; 10,67 m/s
~
= -fxd
= -llxN xd = -Ilx mgxd
f
WAB = -Ilmgxd
=-D,5x2x1Ox3,6
wk = -36J
';' Por tanto en el punta "B" lIegara con ener:;: gfa cinetica : .:. :~: ';' '.' .:.
B) 3,67 m/s ; 12,67 m/s C) 2,67 m/s ; 10,67 m/s D) 3,33 m/s ; 8,53 m/s 112
1 z 2"x2x VB = 64
= 5,33 m/s
RESOWCION
=100
RP ta.
:~: w/,s
E) III =
Z
.:.
Analicemos el movimiento del cuerpo por .:. la superficie rugosa desde que es lanzado :~:
:. [VB =
8:]
~
--
~
C·UZCANG ----------------~
Cuando el cuerpo llega a B colisiona con .;. choca elasticamente con mz = 20 9 iCon otro cuerpo en forma elastica. :~:que rapidez inicia ml su retroceso?
.
.:
.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi- .;. miento al sistema. :~: .:. Po =Pf
.;.
.:.
mVI +MVz =mi:i1 +Mi:iz
A)
M/5
0) 2M/15
.:. C) MIl5 .:. E)
2M/5
B)
2J15/3 ~
Asignando un signa a la direcci6n del vector ::: velocidad. .:. RESOWCION .:.
~
.:. Analizamos a la masa pendular "ml " des::: de que es soltada hasta que liege a su punto .:. mas bajo.
L1 .
Ademas, en el choque elastico (e= 1)
(i:iz-i:il)=e(V1-V2)
ml
/-Lz - /-LI
= 1 x (8 -
T'
0)
h
1
. .:. Por conservaci6n .:
III
= 2,67 m/s l
- I Ilz = 10,67 m/s I Rpta. 11
1
v.=o 0
i
•
VI
de la energfa mecanica.
EMO
.:. .:.
llJ:2
~~---~:~-~
mgh1
= EMf
1
z
='2mV1
Clave: C :~: => Sem. CEPRE UNI :~: Reemplazando La figura muestra dos masas una de las cua- :~: les es la masa pendular y la otra descansa .: .:.. sobre una mesa Iisa. La masa ml = 10 g.:. se deja caer desde hI = 3 cm de altura y :~:
(VI =~) datos :
VI =~2xlOx3xlO-Z VI =M/5
m1s~
l:;A:NTlDAD
DE MOVIMIENTO
• IMPULSO
- CHOQUES
AnaHzamos ahara, instantes antes y despu€s .:. IPBOBLED"f131! de la eolision elastica. . .:. :~:Las esferitas de la figura ehaean elastica-
J
:~:mente en el punta A, si : £1 = 10 em ; ~ 1 .:. m1 = 0,2 kg; mz =0,2 kg ; casal ="2 y .:. 1 ~cas az = "6' Determinar la langitud £ z . il2 :~:
ill'
..,:-
~=O
---.• -G-----·
---6=~-~--
-
:~: .:.
--~
A', •,
'.m..z
... (I) .:. .:. A) 2 em
B) 4 em
: D) 6.em
E) 8 em
Del eaeficiente de restitucion :
.)
=e(V1-VZ)
~Z-~l
.:.RESOWCION .:.
::: Analizanda a la esferita ml desde que es .;. Iiberada hasta que lIega a A.
De (I) y (II) :
21lz - III = Ilz + III Ilz = 2111
V III =.....l
3
J151
III
= 15 m/s
Rpta. Clave:
C :~:
~
--
MMI!lJIII
C·UZCANG ----------------~ .;. Por geometria elemental : h2
EMB =EMA
=f2 -
f2
COS 0.2
Entonces : EpB =EKA mghl
1 z = -,-mV I
2
.;. Por conservacion de la energia mecanica :
.:.
VI
= J2g
VI
= J 2 x 10 x 5x 10-
hI
EMA =EMC 2
!;ri'!1~ = ;ri'ghz 2
3
:. ( £2
\!z=o - ~~-----@---_.
.
=
63
Rpta. Clave:
D
Para la condicion mostrada, se sabe por teo- ::: ria (propiedad L pag. 98); luego de la coli- .;. PROBLEMA 132 sian: .;. .:. La grafica corresponde al movimiento de .:. .:. una pelota que rebota elasticamente sobre .:. una mesa. Determinar el modulo de su can.:. .:. tidad de movimiento y su energia cinetica ':' despues del enesimo rebote. (masa de la '.'
.:. pelota .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
.:.
.:. .:. .:.
.:.
.:. .:. .:.
0,5 kg) V(m!s)
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
A) 20 N - s
100 J
B) 10 N -s
100 J
C) 20 N -s
50 J
0) lON-s
200J
.;. Respecto a la conservaci6n de la cantidad :~:de movimiento, sefiale la verdad (V) 0 false.,':' dad (F) de las siguientes proposidones.
E) 50 N - s ; 200 J
.:.;. . I) No se conserva
RESOWCION
.;.
Ffsicamente, el movimiento realizado por la partfcula es : (considerando positiva la velocidad dirigida hada arriba).
.; .:.. .;. II) Es imposible hacer un experimento en .:. .;. un piso horizontalliso, donde se conserve la cantidad de movimiento en esa direcd6n; debido a que la gravedad terrestre es una fuerza externa.
.
,..-.....
~""",
I
I'
I
i i
I I
:!
l!
I I
i i
I I
v:
,
I I
vi'
t
~r'i
.'
j
':t':
* ..:.
-'!!..
..L
,f)::! ~ ••
la cantidad de movimiento de un ladrilJo cuando este desli-
:~:III) Es un sistema donde se conserva el momentum total no necesariamente se .:.:. . .;. conserva la energfa cinetica .
.:.
·;·A)VW
B) VFF
:~:C) WF
0) VFV
:~:E) FFF La rapidez antes y despues de la coli- .;. si6n es la misma. :~:RESOWCION
:~:IP-ropos~n I]] (V)
En el enesimo rebote : a)
':' Si hacemos O.C.L. alladrillo, deslizando en '.' .;. un piso rugoso.
P=mV P=0,5x20j P=lOj
.:.
...
N -s
,~
--E
.. (P~lON-s]
~-=.
Slstema7:"~
b)
EK
1
=ZmV
2
1 EK =ZxO,5x20 EK =100J
.. (=~2..00J]
2
"f" : es una Juerza externa desequiIibrante, par tanto la cantidad de movimiento no se conserva.
:~: I Proposicion In 1(F) Rpta .. (II) :~:Hacemos O.c.L. al ladrillo en una superfiClave: B';' de lisa.
~
-
MJI!W!I.'I
C'UZCA.~ -----------------~ centro de masa comun cuando lIegan a la estacion.
*
En la horizontal: No hay fuerzas externas por tanto la cantidad de movimiento en esa direccion si se conserva.
= de
A)
(3,331+ 33,31) m/s
En la vertical : Hay fuerzas externas, aunque se anulan.
B)
(-3,331+33,31)
C)
-301 m/s
D)
301 m/s
E)
301 m/s
PH
*
IProposicffin
111I
I
Recordar por teorfa :
RESOWCION
- En una colision elastica se conserva la cantidad de movimiento y su energfa mecanica. -
En una colision plastica (totalmente inelastica) la cantidad de movimiento se conserva, mas no la energfa cinetica.
(E
Kf
Las proposiciones
<
E
Ko )
del problema seran :
( VFV
m/s ,
l Rpta.
Los cuerpos en analisis estan en el espacio; por tanto consideraremos que estos no se encuentran afectados por el campo gravitatorio. Significa entonces que sus velocidades deben de ser constantes. Segun la condicion del problema, la colision entre la persona (A) y el elemento estructuraJ "B" debe ser plastica.
En la figura la velocidad del astronauta "A" de 100 kg es (401+301) m/s. La velocidad del elemento estructural "8" de 200 kg es (-20 1+30 1) m/s. Cuando se aproximan uno al otro el astronauta se sujeta del elemento estructural y permanece junto a el. Determine la velocidad (en m/s) de su
* Vf=VCM
*
mA
=100 kg
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO - CHOQUES
*
(A)
* mB = 200 kg
*
~€ti- 1-1P~
V A = (40 ;, 30) m / s
VB = (-20;
v: v:'
30) m/s
~i:;::~~
(B)
sera la uelocidad con la cual lIeguen .:. a la estacion. :~:A) 6 im/s
im/s E) -12 im/s B) -6
:~:D) 12 im/s mAVA + mBVB = (mA + mB)Vf 30) = (100+ 2oo)VCM
100(40; 30)+200(-20;
C) -8
im/s
';' RESOWCION :i: Seglin la figura A:
...
_------
:~:
.:.
VCM =
.. (V
CM
(0,90)
3
= 30 j
= 90 j
:~:
3
~s]
.:.
Rpta.
:~:
*
VI
= 4i m/s
*
VCM
=-'3x4i
Clave: D :~:
(3m)VCM
Recuerde la teorfa, si se'conserua la cantidad de mouimiento; entonces en el choque plastico cumple :
(3)( -~x(4i)
2
-
= mV1 + mV2 + mV3 )=4i+
V2 + V3
V2+V3=-12i
... (1)
:~:Analizando el choque plastico entre .:. m2 iiiiiii __
••••• iioiiiio
ioiiiioi
La figura A muestra tres esferas identicas en movimiento tal que la velocidad del cen-V 2- m tro de masa es CM ='--3 V I Y s -
VI
-m
= 4i -.
s
y
MS-
S••e•.m.,._C ••E••P••R••E••.•• U••N•.1 :~:
:~: :~: .'. .:. .
2m. V' .•..•.....
v
Un instante posterior m3 cho- .:;
ca plasticamente
v
con m2 y el conjunto
Po =Pf
:~:
(m2 y m3) se mueve con rapidez V' como .:. se muestra en la figura B. Halle la rapidez :~: V'. .:. .:.
mV2 + mV3 = 2mV' V'= V2+V3 2
,:
~
C·UZCA ••
.4!11.
----------------
De (I) :
\1,=(-121)
P:2- P:l = e (\:\ -
2
:. ( V' = -6 i
m/S]
\12 )
P:2- P:l = 1 x (\1 - 0) Rpta.
... (II) .:. Resolviendo de (I) y (II) :
Sem. CEPRE UNI :~: .:;
Una particula
A de masa 1 kg que tiene .:.
una velocidad de tal y elasticamente
(41- 31)
m/s choca fron- :~: con otra masa de 2 kg .:.
( P:l = -2V/3)
( P:2
= V/3 )
61)
en reposo en la posicion r = (-81m. :~: Determine la posicion de la primera partfcu- .;. la 3s despues del impacto. .:.
.:.
A)
161m
1)
C) (-16 E)
B) 161m m
D)
Notar que la partfcula luego de 10 colisi6n.
"1" retrocede
(-8I)m
(-161) m
RESOWCION Para hacer mas practica su resolucion analizemos la colision elastica entre dos partfculas de masas "m" y 2m.
V1=V
~@
V2=O
j
.:. .:. .:.
.:.
.:. HaciendC> una analogfa con 10 resuelto an.:. teriormente, diremos que la masa ml, lue:~:go de la colision invierte la direccion de su .:. velocidad .
.:. Po =Pf
.:. Esta velocidad de retroceso sera :
.:.
m V = mp:l + 2mP:2 ~i+2jlm/sl ( P:l=3~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
La posicion inicial en ese instante por dato .:. II) Si: .:es: .:. rj = (-8i m .:.
61)
-:-
La posicion final tres segundos despues del .:. impacto sera : :~:
Tf
= Tj +)Il t
Tf=(-8 ;-6)+( -~ ; 2}3 Tf = (-8 ; -
6):- (-8 ; 6)
Tf =(-16,
O)m
.. (Tf = -16
i:J
PROBLEMA 137!
.:. Resolviendo de (1) y (II) :
.:.
~\
/12=-
Rpta.
Clave: A :~:Para el caso del problema : esbozando el .:. grafico del movimiento de las partfculas y a Sem. CEPREUNI :~:partir de los resultados anteriores.
Una partfcula de 1 kg que se mueve con :~: una velocidad (4i + 41) m / s choca frontal :~: e inelasticamente (e=6,5), con otra partf- .:. cula de 2 kg de masa en reposo en el origen de coordenadas. Hallese el desplazamiento (en m) de la partfcula de 2 kg, 6s despues del impacto. . A) 12(i+l) B) 6(i+l) C) 2(i+l) D) 24
(i + 1)
E) 8
(i + 1)
. Antes
-4.... . -".'
';' :;: .:. :~:.... :~: ~
:~:
,,:T"
~
~ VI
..~@
2 V.=0
@-
__
ill
~
il:z
-@-..
..~'V~
.....,..
1
.ft~\~o.
RESOLUCION :~: De modo identico. al problema anterior y de- .:. ~ terminemos sus velocidades luego de la co- .:. Diremos : lision. :~: _
2
~
Si:
VI
=(41+41)
_ V (41+41) /12=_1 =--2
2
)I2 = (21 + 21)
L
.:. EI desplazamiento de la partfcula de 2 kg :~:luego de 6 segundos de la colision sera : .:. d="2,t .:. t"
:~: -:.
:~:
d = (2i + 21)·6
.. d=12(i+j)m
Rpta. Clave: A
II-
~a!a
c.u~c
MI~SCELANEA. Un cuerpo de masa "m" choca con rapidez V contra un cuerpo de ·masa "M" en reposo, el valor de la fuerza que surge durante la interacci6n de los cuerpos, crece I1nealmente durante el tiempo "t" desde cero hasta un valor Fo' disminuyendo despues linealmente hasta hacerse nul a en ese mismo tiempo "t" . Determinese las rapideces de los cuerpos despues de la interacci6n considerando que el choque fue central.
';' '.' .:. :~: .:. .:.:. :~: .:. ';' :;: .:. :~:Calculo de las velocidades
finales:
.:.
.:. a) Si analizamos al cuerpo 2, diremos :
A) Fot/MFot/m
.:-
B) Fot/M
V+Fot/m
C) V + Fot/M
:~: .:.
; V -Fot/m
Dt Fot/M
V -Fot/m
E) Fot/M
-Fot/m
~€) (1)
l
.:.
.:.
.:.
ffsicamente el fen6meno
de la :~: .:. .:.
V ----..
+
.:.
RESOLUCION Esbozando colisi6n.
Pf=I12
~ =??
III
1!2 ~ =?? ....';'
00. ~~ ~Q :~:
Pf=Po + +m1J.1=+mV
~y.':'.o .. (2)
(1)
(2)
.:.
·~V
.. ~
121
+(_ ;2t) Fo
Fat
Rpta. (II)
Seglin el problema durante la colisi6n. Clave: D
(F12 = F21 = F) .. _.~
... ~
:~: PROBLEMA. 139
Sem. CEPRE UNI
.:. Una pelota fue liberada en el punta A; La fuerza impulsiva "F" varia seglin la grafi- ';' '.' colisiona con el piso y la fuerza impulsiva ca. ~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
varia segun el grafico cidjunto. Si la pelota es de 1 kg. LCuantC'len~rgia disminuy6 producto de la colisi6n. (Considerar la fuerza impulsiva mucho mayor que la gravitacional yg=lOm/s2). _
Ai T 1
.;. :~: ';', :~:
Fax e
t
= __ 2_/_ Fax 3t 2
:~:
F(kN) Por propiedad
i
: instantes antes y des-
pues de la colisi6n, cumple :
2m
A) 20 J
B) 40 J
D) 80J
E) 100 J
C) 60J
RESOWCI0N Empecemos analizando el grafico F vs 1. .:.
o
I: Impulso
1.
.;. Para saber cuanto vari6 laenergia cinetica ::: antes y desp,ues de lacolisi6n es necesario .;. calcular dichas rapideces.
.;. Ccilculo de Vt
.:.
e : Coeficiente de restituci6n
I(Fuerzas en el p~~OdO) de recuperaClon.
e=-------I(Fuerzas en el penOdO) de deformaci6n.
(EMA =EMB] 1 .
mgh=2mV1
2
·-Im
__cuifu..
AI1i!!I
. 1
fK = (0,02 t)mg
212
M: =-mV1 --mV2 2 2 M: = ~x .. (AE
fK=(O,02t)(8xlO)
1x( 180-1:°)
= 80J)
fK=1,6t~
Rpta. Cl
ave:
::: La fuerza de rozamiento va incrementandose ::: en forma lineal a medida que transcurre el D';' tiempo. .;.
.
.;. Hacienda.. una grafica
.:. Sem. CEPRE UNI .;•
Un bloque de 8 kg es lanzado con Vo = 10 m/s sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de friccion es Ilk = 0,02t; donde "t" esta expresado en segundos. GQue potencia desarrolla la fuerza de friccion para detener el bloque?
(g = 10 m/s2) A) lOW
B) 20 W
D) -40W
E) -20 W
f
t :
VB
.:. ':' :;: ::: .;. ::: .;. ~:
C) 40 W
.:.
..;..;:.. Por teoria
RESOWCION SegUn la condicion del problema :
:
Area = PI -Po -(1,6 t)(t) = 0 _ mV
2
0
2
1,6xt Si hacemos el D.C.L. aI bloque durante su ::: movimif'ntO, notamos : .;:..
.
nr.tl
.. ~-
=8x10
2
t:dOs~
CANTIDAD
La paten cia desarrollada friccion se calcula asf :
par la fuerza de .:. A) .:. .;. D) .:.
wk
pf:
DE MOVIMIENTO
- IMPUlSO
J3 V
B)
J3 V/4
2V1J3
E)
V/J3
C)
- CHOQUES
J3 V/2
.:. RESOWCION
t
:~:Analizando instantes antes y despues de la Pero la friccion hizo que el cuerpo cambie :~:colision elastica. su energfa cinetica, entonces : 1*paa pI :
wk : L\E .9<:;- E K :
t
i
pI:
-
il11Sen30" 30° . - --------JP
t
E
1 --mV
t
' t
Ko:
111 ~
Ko
2
1J1cosO
2 0
-l.x8x 102 pl:_2
_
10 .:. Par principia de la conservadon :~:dad de movimiento,
pi =-40W
de la canti-
•.:. ;;::C;;;;;;la;;;:v;;;;:e;;;;;;:;;;;:D:;;;
.:.
.:.
~
C,;;,E;;,;P;,,;R,;,;;E;;.;UN;;,;,;,;I .:. n d .:. rO emos
m mV = mill + -Ilz : de
2
d d e mOVl. no t ar que Ia can t'd 1 a Una partlcula de masa "rn" que se mueve :~:rniento (inidal) solo tiene cornponente horicon rapidez V, choca ehisticamente con otra .:. zontal; es decir al final las cantidades de partfcula en reposa, cuya masa es rn/2, y es :~:rnovimiento vertical deben anularse : '-..:;;;;;o::;,;::;==.~,;.:.,_....;;;;S;;;em;;;;,;.,' -
despedida par ella formando un cingula de ':' '.' 300 can la direcci6n inicial de su -movimien- .:. to. iCon que rapidez empezara a moverse :~: Ja segunda partkula? ..::..
~~:~
ft';--
~()--Y-----.@ ¢> --------------------11--m
~
ml1", ~-'"
__
~ C·UZCANO
~ Am:II
Ademas cumple el principio de conservaci6n de la energia mecanica.
... (III)
Resolviendo de (Ij, (II) y (III) se obtiene :
.;. RESOLUCION :~:Segun la condici6n del problema, la bala .;. consigue incrustarse en el bloque, la mini.:. .;. ma velocidad para conseguir dar una vuel.;. ta, seria para el caso en que en el punto .:. .;. mas alto el conjunto se mueva s610por inercia .:. .;. (10 que equivale a decir que la tension en la ..;.:. cuerda sea nula) . .;. Analizando instantes antes y ?eSPUeS de la :~:colisi6n plastica entre m y M.
e = 30° ~l
= ~2
1 x-
2
Luego en (III) :
• ~+~ .:. Por conservaci6n de la cantidad de movi.:. .;. miento :
~l
4:'~
Que rapidez minima llevaba la bala, si lue- ';' v go de incrustarse en el bloque M; consigui6 .;. dar una vuelta alrededor del punto "0". :~: .:.. .:
Por conservaci6n de la energia, analizando .;. el punto mas bajo y el mas alto. ~
--Y.-
~1
..
/,//'
----~EB>_----m
A) m JSgR V
B) (
m ) JSgR M+m N.R.
C) (M + m) JSgR m
M-m f0=n E) M+m v3gR
Dj (M+m) J3gR m
......
--~-------->~
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES
.;. "V" sera la minima velocidad y reempla.;. zando L por R, obtenemos : .:.
~l~ (v=~x~J J..l2=J..li + 4gR 1_
c
•••
(II)
· d' ,. . Ah ora ana Ilcemos por mamlca Clrcunferencial la rapidez en el punto mas alto. .
:::PROBLEMA 143]
Rpta.
Sem. CEPRE UNI
.;. Un bloque de masa "m", colisiona en for.;. , . . , . .;. ma elastica con otro bloque Identlco como .;. se muestra en la figura. Despreciando toda :: fricci6n calcule la maxima deformaci6n que :~:sufre el resorte .
-
•;.
V
.;.
o De la 2da Ley de Newton : :LFrad
=
:~:A) V,Jm/K .'. .;. C) V,J2K/m
mTa cp
T + mTg = mT ~ Para la condici6n
L
de minima
~1~E) velocidad
T=O. Luego : .....v": Y'Tg
,.,./
Ilf
Reemplazando
2V,Jm/K
.;. RESOWCION :~:Antes de analizar la deformaci6n producida :~:en el resorte, analicemos que ocurre instantes antes y despues de la colisi6n elastica.
.;.
... (III)
en (II) :
D) V,J2m/K
.;.
= Y'T R
J..li=~
B) V~m/(2K)
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
Antes
V
v=o
:~:Durante este breve intervalo de tiempo la .;. fuerza elastica es nula. Luego se deduce a :~:partir de la propiedad I(pag. 98); se conclu.;. ye: .JSgR
=
m
xV
.:.
(M+m)
lID
~
--
~
CUZCAN. ----------------~
Una vez que el bloque unido al resorte recibe la colisi6n, el resorte ira deformandose progresivamente, del mismo modo que el otro bloque atado al resorte ira aumentando su rapidez. la maxima deformaci6n ocurrira cuando ambos bloques (unidos por el resorte) tengan igual rapidez; esto porque luego de ese instante en que la velocidad relativa es nula; el bloque que inicialmente recibi6 el impacto ira disminuyendo su rapidez y el otro ira aumentando, por 10 que el resorte ahora ira descomprimiendose.
.:. PROBLEMA 144 .:. ::: Una bola fue lanzada con cierta rapidez .:. inicial Vo y realiza los movimientos ::: parab6licos que se indica, debido al co';' eficiente de restituci6n bola-piso (e). Eva:;: hie la distancia horizontal (d) desde que ';' fue lanzado hasta que deja de rebotar. :;: Desprecie fricci6n y g : aceleraci6n de la .:. gravedad. ::: .:. .:. .... -.... .'-.
-lv............
.:.
. .
~
.:. .$............., En el grafico :
:~: Despues
:~:
~
Por conservaci6n miento :
~
.:.
.:.
.'
'i
I
A
:
"
"'(.
d
V2sene ) g(l-e)
Po =Pf
:~:E) g(l-e)
mV = (m + m)ll
:;:RESOWCION
I
V2sen2e D) g(l-e)
:;: Para la soluci6n de este problema recorde.:.
EMo = EMf 12121212 -mV =-mll 2 2"" Reemplazando
+-mll 2
(I) 2
mV = 2m(~
J
+-Kx 2
< ••
m"".
+ Kx~ax.
Resolvienclo : .. [-: xm-. ax-=-V
m;-2i<-j
.
V2sen2e B) g(l+e)
:;:. eV2sen2e .:. C) g(l-e) de la cantidad de movi- .':' :~: V2sen2e
II= V / 2 ~ ... (I)
.
t
Rpro Clave: B':'
.:.
2V
2(V sen e)
g
g
= __ v = ----
(d = (V cos e)
t)
(Tiempo
de
vuelo)
(Alcanze horizontal)
·> Los intervalos de tiempo s!'!calculan :
:~ {.
2 t1 -= - V sen9 g
2e t2 =-Vsen9
0_
g
.> .:. En (I) : .:.
*
[2Vsene (2Vsena} (2vsene}2 + ...] -+ --
Si no e'xiste rozamiento es faeil concluir . que la componente horIZontal de la velocidad no cambia.
-;' '.' d=Vcose --+ .:. 9 :;~
La componente vertical de la veiocidad inicial de elevaei6n se modifica debido a que existe el coeficiente de restitueion, cada vez que la bola colisiona con el pisoo
.:. 2V sen9 ~. d = ---cas 9 + e + e 2 + e 3 +... )J- ... (II) ~: g ,, x . -:. .:. La suma limite se evalua : .:.
\
*
2e2 , t3 = -- Vsen9 g
•
Es decir: (desco'Tlponiendo sus velocidades,
;.:
al inicio).
.:.
2
9
9
[rJ
x = 1 + e (1 + e + e2 + ...) = 1 + e (X)
.:. .:.
X=l+e(X)
.:.
x=_J._ 1
l-e
d
= 2V sen9cos9 = V sen29 2
g (1d2 = V cos 9
x t2
d3 =Vcos9
x t3
2
e)
g (1-
e)
.:.
Luego: d
= d1 + d2 + d3 + ...
d = V cos9(t1 + t2 + t3 + ... )
.:. .PROBLEMA
145
Sem. CEPRE UNI
:~:Un muchacho de 75 kg y una chica de ';' 60 kg permanecen de pie sin moverse '.' .:. en los extremos de una tabla de 16 m :~:de longitud y 25 kg de masa, que se -;' encuentra en reposo sobre una superfieie '.' .:. horizontal. Si intercatnbian posiciones A
pasa a B y B pasa a la 'posici6n original de A, que distanda (en m) se mueve la tabla. A) 1,5 B) 11,6 C) 1,8
.::~: -:.:.
D) 2,2
-:.:. Desarrollando
E) 0,8
:
15L 15xJ6
x=--=--160
IM~t~~il II Siel muehaeho y la ehiea empiezan a eaminar en direeciones opuestas, entonees debido a la fried6n entre los pies y el tabl6n; tambien el tabl6n se movera. Como la masa del muehaeho es mayor que la de la ehica entonees el tabl6n se habra desplazado
m]
=
:~: .. ( x 1,5 Rpta. -;---:-:- Il\Ietoaojn I -:::: AI no existir fuerzas externas en la h9rizon-:- tal, la eantidad de movimiento se eonserva
en diree<:i6n opuesta al movi- ::: en esa direeei6n.
miento del muehaeho.
160
:::
Luego:
Po = P f
::: O=IT\(VI-VT)+Inz(VrVT)+IT\VT+InzVT+MJT .:.
:~: O=IT\(V1-VT)+Inz(V2-VT)+(IT\ -:.:.
I--x--+---el------r--
'----y-'
~
+ffi.z+ffi.3)VT ...(a)
X-
I
e2-----~
Veloddad relativa del muehaeho respecto del tabl6n.
Como no hay fuerzas externas en la hori- ::: zontal; en el /sistema la eantidad de movi- ::: ** Veloddad relativa de la ehica respeeto del tabl6n. miento en esa direeei6n se eonserva. -:-
-:- Respecto del tabl6n, el muehaeho y la ehi.:. _:_ea en total avanzaron una longitud 'T.'. Po =Pf O=m1V1 +m2V2 +MVT
J
En la figura se eono-een los desplazamien- -;. ( L (L tos; y tomando velocidades medias; obte-- :~: 0 = 75 +t' + 60 -t'
J
-
+ (75 + 60 + 25)f
CANTIDAD
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO
- CHOQUES
En la vertical (MVCL) ..•':' _---15L 160
15x16 160
1,5 m
];
:~:EI tiempo de vuelo se ca1cula :
X=--=---
:. ( x:;:;:
V t = 2· ~sen15° g
Rpta. Clave: A :~:En la horizontal
MRU)
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
Se dispara una pequena esfera de jebe de :~: 2 kg con un angulo de elevaci6n de 15° .:. experimentando un a1cance de 500 m, si luego del impacto con tierra rebota con una velocidad cuyo m6dulo es de 100 m/s forman do un angulo de 15° con la horizontal. Determine el m6dulo de la variaci6n de la cantidad de movimiento en el punto P (en kg· mls). g = 10 m/s2
A) 100(J6
--./2)
C) 200(2-vf3)
B) 200~ J6 D) 100(2+./3)
E) 200(~2-./3)
......... ~? .
V2
':' RId I '.' eemp azan 0 va ores, : .:. V; 1 :~: 500=-·:~: 10 2 .:. ':' Analizando en "P" '.' .:. w:.
-./2 Como puede notarse el choque es elastico . ..:. :. ·:·La variaci6n en la cantidad de movimiento ';' se ca1cula as! : '.'
RESOLUCION
V2-
d = ~ . 2sen15° cos 15° = ~ . sen300 g g
.-puifu..
~---.Gm!I
I~VI2 = 10(i + 1002 + 2x 100 x 100x cos150°
:~: * EI bloque "!\' tiene una energfa : .:.
I~vl= 100~2 -../3
,
1
2
EKA = "2mAIlA
1
I~pl= 2 x 100~2 -../3 .. (l~pl= 200( ~2 - 13))
IlA = 2·m/s ~ Rpta.
*
:1:
Clave: E·:·
.:.
.:. .:.
PROBLEMA 147
EI bloque "B" tiene una energfa : , 1 2' EKB = "2mBIlB
27
4
Sem.CEPRE UNI :~:
Dos bloqties de igual masa se desplazan :~: sobre una mesa horizontal lisa, el blo- .:. , que A de 1,5 kg tiene 48J de energfa y el bloque B se mueve hacia A con una rapidez de 3 m/s. Si despues de impactar frontal mente la energfa de los bloques A y B es 3J y 2: J , respectivamente; coeficiente de restitucion. A),l/11 B) 1/9 D) 1/5
C) 1/2
E) 1/3
RESOLUCION
~
:~:Esbozando
. VA =8 m/sl. ,
IlB = 3 m/s ~ el grafteo
:
--
~A=2nVs
:~:VA ~S
Halle el :~:
2
,Despulls del choq~e
~
----
~B=3nVs
:~:* .:.
Una posibilidad de choque frontal es el indicado .
.:.
Luego el coeficiente de restitucion sera :
.:. .:. .:.
e
Si el bloque ''/\' antes del impacto tiene 48J :~: de energfa, entonces : .:.
1 2 48=-x1,5xVA 2 -
1
= "2x 1,5 x IlB
.:. :~:
.:.
1 2 EKA =-mAVA 2
2
3 = "2 x 1,5 x IlA
.:. .:.
.:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:. .:.
~-
*
= I iIB -
e=
VA 5
-
3
iIA 1= 1 - (-2)1 VB 8 - (-3)
l1l
Otra posibilidad de realizado el choque frontal serfa : Despues"
Antes
-- --- -8nVs
3nVs
~A=2nVs
----
~B=3nVs
CANTIDAD DE MOVIMIENTO . IMPULSO . CHOQUES
e
p
=
10: =~:I= 18~(:3)1
t= 111)
..:.
Clave: A _:_
=~I
~~ ... (1) La bala de masa, me y velocidad Ve, se :~: incrusta en un bloque de mas a 4me que -:esta unido a un resorte ingravido de cons- -:- b) Luego del choque plastico la energfa metante elastica K, este bloque esta sujeto a:;: canica del sistema se conserva. un coche de masa 7me. Despn~ciando todo -:-. '.., ,., rozamiento, halle la maxima deformaci6n :;: Analtzando desde la sltuaclOn lnICIaIen que "x" (en m) del resorte, considere me = 30'g, -:. el conjunto bloque-bala inicia su movimienK = 35 N/m y Ve = 20 mls . :~:to hasta que el sistema : bloque - bala .:. coche tengan igual velocidad.
A) 1/5
B) 1/4
D) 1/2
E) 1
.:.
RESOLUCION
.:. Tambien la cantidad de movimiento se con:~:serva : Cuando la bala se incrusta en el bloque .:. el conjunto tiene cantidad de movimien- -:.:. to, la que hara que el resorte se deforme; .:. esta a su vez provocara movimiento en el -;-.' coche. ~ V = sl!:. .:. f 12 La maxima deformaci6n ocurrira cuando el .:conjunto bloque-bala y el coche tengan igual :~:De (I) : velocidad. .:V a) Por conservaci6n
de la cantidad de mo- :;: vimiento; instantes antes y despues de .:. la colisi6n plastica. :~:Reemplazando
f
V = 1~
l
(I) y (III) en (II) :
~
...
II-
~
J:·1JZCANQ ----------------~
3
2
7x30xlO- x20
= 35x2
60
'r::D :'LD'
Rpta.
.:-
.:. Consideremos que la fuerza actua paralelo .:. aL plano horizontal. Clave: A':'
.:. Sem. CEPRE UNI .:.
.:.
Sobre un bloque actua una fuerza F(en N) .:. EI impulso resultante, en la figura esta defivariable en el tiempo t (en s), segun ::~: nida por el area debajo la grafica.
F=
j
t-4 6 f
Si 0~t<10 silO~t<12 si 12 ~ t
Si luego de 12s la fuerza disminuye linealmente hasta anularse y, considerando que el impulso resultante es 40 N-s; determine el valor de f (en N) cuando t=17,0 s. A) ION B) 6N C) IN 0) 9N E) 5N
40=Cf
-~+2}6_ 4;4
.:. :~: tf = 18 .:. Resolviendo: ':' '.' EI valor de~"fn en t= 17 sera: .:. F(N) : .: .:..
Reconstruimos la grafica F vs t, notamos :~: que entre t=O y t= 10 la grafica correspon- :~: de a una recta cuyas coordenadas seran: .:. .:.
Si : t = 0 => F=O - 4 =-4 Si:
t=10
=> F=10-4=6
Como los demas tram os son de fuerzas cons- .:. tantes, esta sera : :~:
6 6
1
.. (f = IN )j
Rpta. Clave: C
CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES
PROBLEMA
150
Ex. de Admision UNI ::: Por conservacion
La masa um" de un pendulo simple choca eiasticamente con el bloque de masa 3m, en reposo sobre la superficie Iisa mostrada y ubicada en el punta mas abajo de la trayectoria del pendulo. 5i soltamos la masa um" desde una altura H respecto de la superfi-
::: nlca : .:.
de ta energra meca-
EMA = EMB
::
Ep9A = EKB 1 z mgH = "2 mVI
::: .~ ::
cie horizontal, (.que porcentaje de la energia .:. mecanica inicial del pendulo se transfiere al :::
f0.::U
VI
=" 2gH ~
... (a)
b!oque en la colisi6n y hasta que altura He- ::: Analizamos ahora instantes antes y despues ga el pendulo despues de la colisi6n? de la colisi6n elastica . ..:. :. .~ .:.
Despues
~: *
Asumimos que despues de la colisi6n las direcciones son las indicadas
.:.
Durante
.Antes
.:.
A) 50%; H/2
B) 75% ; H/4
C) 66%; H/3
D) 75%; H/2
.:. Por conservacion .:..:. vimiento
de ta cantidad de mo-
:
Po =Pf
E) 25%; H/4
mV1 + 0 = mlll + 3mllz .;. RESOWCION .:. Analizamos el movimiento de la esferita ';' Asociando un signa a los vectores velocidesde que es soltado hasta instantes antes :~ dad, resultara : . de colisionar con el bloque.
:;:
m (-VI) = m (~1)+ 3m (-Ilz)
.:. Como la colisi6n es elastica cum pie :
.:.
~
,~
PUZCANQ ----------------~
II-
Resolviendo de (I) y (II) :
1 -mill 2
III = VI /21_ 112 = VI!
%x(i
21.
.:. Reemplazando La energia transferida al bloque se cal- .:. cula asi : - La esferita tiene una energfa cinetica:
EK -
0
4
m
vt'
J
= mgh
=gh
de "a" :
-21x [J2 gh )2 = gh 2
:~: .:.
.:.
:
2
R",olviendo,
[h ~ ~ ]
El bloque luego de la colisi6n tiene una ::: .:.
E
,1 K
=-(3m)1l2 2
2
vf
1 =-x3mx-=2 4
1
3(1 2) ':' PROBLEMA 151 -mVl -.4 2 . -:- La figura muestra dos partfculas antes de .:.
)
.:- que se produzca el choque entre ellas. Si E'K = 75% ( "2 mVf ::: ~l es la velocidad de la partkula de masa ,-,:::--_--, --,--::-:::-:::---:---:__ --;---... :- mI' Oespues del imp acto, indique la verSe concluye que ef 75% de fa energfa I ::: dad falsedad (F) de las siguientes proposique llevaba fa esfera, fue transferida af ciones : bfoque. ::: (e : coeficiente de restitlu;ion)
J':-
°
.:.
.
Para calcular la altura a que subira la esfe- .:rita procedemos en el trayecto BA :::
.
.:
.:_ I) Si e= 1 y ml
reposo
!2
m2~
liso
* m2 => III = V
::: II) Si e = 0 => III = 0
.
.:
.:_ III) Si ml = m2 y 0 < e < 1 => III = V
-. ..... >.. A: T h
--
~Q-""":"":"~: ~1
~
-:- A) VVV .:.
B) WF
.:- C) VFV
0) VFF
.:.
.:- E) FFF -:-RESOWCION .:. ::: Analizando las situaciones antes y despues -:- de la colisi6n :
.;I Caso .:. -Y-
.E!-
v=o
~fl ~ Por conservacion miento :
11111(F)
~~
.:.
III
=(,m -e,mJ'V=(~)V l' 2,m
2
de la cantidad de movi- -::~:
Po =Pf mlV=mllll+m21l2
... (I)
Del dato del coeficiente de restitucion :
li2-iiI
=
JK)
e(Vl-
.:.
-:- PROBLEMA 152 Resolviendo de (I) y (II) am1logo alas pro;- :~:Un bloque Bl con masa igual a 1,0 kg Y piedades dadas en las colisiones : :~:velocidad de 8,0 mis, colisiona con un blo-:- que identico B2, inicialmente en reposo. / "I = ml -e·m2 V •... [ -:- Despues de la colision ambos quedan pel J m + m2 :~:gados y suben la rampa hasta comprimir el Analizando los casas particulares : .:. resorte M en 0,10 m, seg(ln muestra la figu.:. _:_ra. Despreciando los efectos por rozamienICasoW (F) -:- to y considerando g = 10 mls2, h=0,50 m, .:. Si: e=l /\ ml:F m2 -;- e = 300. <'Cuill es el valor de la constante .:. _:_del resorte en N/m? III = (.ml - m2 Jv ml + m2
l
Como se puede notar solo cumple que : III
=V
si:
m2
=0
Si e=O entonces :
-l ml + m2 Jv
11 - ( 1
Si:
III
:.
=0
ml
=>
ml
= 0 I.
Resulta absurdo.
-:- A) 1 000 .:.
B) 1 100
.:- D) 1300
E) 2400
.:. -;- RESOWCION
C) 1 200
.:. .:. Analizando descle antes de la coIision has.~ ta la situacion final en que ambos quedan .:. -:- adheridos.
~
MJ!!JIII!IlI
.....- C,UZCANCl ----------------~ Por conservaci6n miento.
de la cantidad de movi- .:. Resolviendo: .'.;..
(K l:~~~/mJ =
Rpta. Clave: C
-~; Para la situacion del problema hemos supuesto que "h" es la altura a que se eleva el CM. del sistema, cosa que no es cierto. EI problema presenta esta ambiguedad porque solo dan las dimensiones de la longitud del bloque mas no :~: sus otras dimensiones.
Po =Pf 1 x 8 = (1 + 1) . J.! J.!:;=
4 m/sl
Considerando ambos bloques como uno s610 :~: de masa : M=2kg, y que inicialmente esta en la superficie horizontal, esta cuando sub a . por la rampa comprimira al resorte; consi. ., .. derando que conslgulo compnmlr al resorte como maximo en 0)0 m, entonces por con., , ',. servaclon de la energla mecamca.
::: ll'RoBaMA---YS3~-Sem. CEPRE UNI .:. Elf' tr· t f d .:. n a 19ura se mues a un SIS ema orma 0 .:.. d 'I d 2 k .'. por os parhcu as e masas m1 = g y : ' g :;: m2 = 3 k '2 Sil(a ve )ocid adrelat~dvadedI .:. respecto de es 50 I m s /y consl eran 0 .:. -V 3-V d . I I'd d( .:. que CM= 2' etermme -.il ve OCI a en .:. m/s) del centro de masa (V CM) del siste-
J
.:. .:. ma .
.:. .:. A) 30 i
. B) 40 1
.:. D) 60 1
E) 701
.:. .:.
C) 50 1
.:. RESOWCION
.:.
:~:Par la condidon del problema ~(M)(V)2
1
'2x2x4
= (M)gxh+~ 2'
·Kx2
1
=2xl0x(0,5)+'2.K.(0,1)
-1
V2 =50 2
.:.
:~: .:. b)
~ I
\11-\12=5011VGM=3V2
:
CANTIDAD
Pero:
VCM= m1V1 +m2V2 m1 +m2
DE MOVIMIENTO
- IMPULSO - CHOQUES
.:.
... (a)
.:. Mientras el bloque desciende por el plano, :~:las fuerzas de interaccion haran que el pla.:. no avance a la derecha y el bloquecito a la .:.:. izquierda.
3V = 2xV1 +3V2 2 (2+3) 15V2 = 2V1 + 3V2 12V2 =2V1 VI =6V2
l-
De (I) y (II), resolviendo : _
A
V2
= 10 i
VI
= 60 i
:~: ~F.ib'il::g
La velocidad del centro de masas del siste- .:. ..:. ma se calcula segtin (a) 0
V
_ eM -
.:.
2 x 60i + 3 x lOi 2+3 .;. Notar que cuando el bloque llega al punto '..
l! que
Clave: A :~:inferior tiene una velocidad
es la ve-
Sem. CEPRE UNI ::: locidad relativa del bloquecito respecto del
En la figura se muestra un plano inc1inado de masa "M"y un bloque de masa "m", Si no existe rozamiento entre las superficies en contacto. Determine el modulo de la velocidad del centro de
.:. plano. .:. La velocidad resultante en el bJoquecito es ::: la suma vectorial : .:. :~ :;: * 112= 11: Velocidad relatiua de 1 respecto de 2,
masa de! sistema, cuando "m" lIegue al extremo inferior del plano, si el bloque parte del reposo en el punta lOA".
.~ ..:. .:. ..::•.
I
....
"
,'a
..:.
o
.:. a) :~: .:. .:. .:. ~eccion
Si tomamos como sistema bloquecitoplano inclinado, notamos que no actUan fuerzas extern as en la horizontal; por tanto la ~antidad de movimiento en esa dise conserva.
0
~
--
M'J!W!III
J:UZCAK. ----------------~
Asociando un signa a dad, se obtiene :
105
vectores veloci- :~: .:. .:.
a = M~2 + m( -(~coso:
- ~2))
(m~cosa=(M+m)~2)
... (I) -:.
b) Por conservacion de la energia en el sis- .:. tema bloque-plano
J 2
mgh=-m~l
ii1Clinado.
2
1
+-M~2
2
2
:~:Para calcular la velocidad -:-masas, razonamos· : .:.
del centro de
.:. En el sistema no actUan fuerzas externas ho:~:rizontales; por tanto la velocidad de su cen.:. tro de masas en esa direccion no se modifi.:. .:. ca . .:. Luego la velocidad de su centro de masas .:. .:. solamente 10 evaluaremos en la vertical. .:. Para la 'situation final. .:.
--------
v
I
2mgh = (M + m)~~ + m~2 - 2m~ ~2 cosa
CM
v. _
msena
CM -
(M +m)
1= m~ena+ (M+m)
a
2(M+m)gh 2 (M +msen a)
.:.
.:.
2gh (M+rn)(M+rnsen2a) Rpta.
