1 Tarea 0.0.1. Co ns i de r eunas o l uc i óne ns e r i edepo t e nc i a sa l r e de do rde lc e r o .Enc ue nt r eunar e l a c i ó n
der e c ur r e nc i apa r al osc oe fic i e nt e sye s c r i bal ospr i me r o sc i nc ot é r mi mi nosdi s t i nt osdec e r o 1. de lde s a r r o l l o e ns e r i edepo t e nc i a sa l r e de do rdec e r odedoss o l uc i o ne sl i ne a l me nt e i nde pe ndi e n-t e s : a ) y + (1 − x) y + 2 xy = 0; 2 2 b) y + x y + ( x − 1) y = 0; c) y − 4 y + xy = −4 + 6 x. rr
r
rr
r
rr
r
2 . Enc ue nt r el ospr i me r osc i nc ot é r mi mi nosdi s t i nt osdec e r odel as e r i edeMa Ma c l a ur i ndel a s o l uc i ónge ne r a ldel aec ua c i óndi f e r e nc i a l .Enc ue nt r el ar e l a c i ónder e c ur r e nc i apa r al os c o e-fic i e nt e sdel as ol uc i óne ns e r i e : a ) y + 2 y Cosx = x; b) y − 2 y Tanx + y = 0; c ) y − y + ySen 2 x = 1 + x; rr
r
rr
rr
r
r
rr
3 . Re s ue l v al ae c ua c i óndeAi r y : y = xy.
1.1.2. Tarea
1 . Enc ue nt r et odosl ospunt oss i ngul a r e sdel ae c ua c i óndi f e r e nc i a lyc l a s i f í que l osc omo r e gu-l a roi r r e gul a r : 2 2 2 2 a) x ( x − 3) yrr + 4 x( x − x − 6) yr + ( x − x − 2) y = 3 2 2 2 rr r 0; b) ( x − 2 x − 7 x − 4) y − 2( x + 1) y + (5 x − 2 2 x) y = 0; c) x ( x − 2) yrr + (5 x − 7) yr + 2(3 + 2 5 x ) y = 0.
2. s t r equec e r oe sunpunt os i ng ul a rr e g ul a rdel ae c u ac i ó ndi f e r e nc i a l ;b) encuena) Mue t r eyr e s u e l val ae c ua c i óni ndi c i a l ;c) de t e r mi mi nel ar e l a c i ó n der e c ur r e n c i a ;d) us el a s r a í c e sdel ae c ua c i óni ndi c i a lyl ar e l a c i ónder e c ur r e nc i apa r ae nc o nt r a rl ospr i me r o ss e i s t é r mi no snonul osdedo ss o l uc i one sl i ne a l me nt ei nde pe ndi e nt e sdel ae c ua c i óndi f e r e n c i a l v ál i da se na l gúni nt e r v a l oa l r e de do rdec e r o ,e x c e pt opos i bl e m me e nt ee nc e r o: 2 2 a) 16 x y − 4 x y + 3 y = 0; 2 2 b) 2 x y + x(2 x + 1) y − (2 x + 1) y = 0; 2 2 c) 2 x y − x(5 + 3 x ) y + (5 + 9 x) y = 0; rr
rr
rr
3 . Lae c u ac i ó n di f e r e nc i a l
r
r
r
x(1
rr
r
x) y + [c − (1 + a + b) x] y
−
−
aby = 0
s el l a m ma ae c ua c i ónhi pe r g e omé t r i c a ;a,b yc s o nc o ns t a nt e s . s t r equec e r oe su npunt os i ngul a rr e g ul a rd el ae c ua c i ó nhi pe r g e omé t r i c a . a ) Mue uponi endoquec noe se n t e r o ,us ee l mé t o dodeFr o be ni uspa r aob t e ne rl o spr i me r o ss e i s b) S t é r mi no snonul o sdedo ss o l uc i o ne sl i ne a l me nt ei nde pe ndi e nt e sa l r e de do rdec e r o .
2 0.0.3. Tarea
1 . a ) Mue s t r equec e r oe sunpunt os i ngul a rr e gul a rd el ae c ua c i óndi f e r e n c i a l ; b) encuent r e y r es uel va l a ec uac i ón i ndi ci al ; c) encuent r e dos s ol uc i ones l i neal ment e i ndependi ent espar a x e na l gúni nt e r v a l o(0; R).Es t ospr o bl e ma si nc l uy e nl ost r e sc a s o s delt eor ema.Enc)es cr i baalmenoscuat r ot ér mi nosnonul osdecadaunadel ass er i es s o l uc i ón: 2 2 a) x y + x( x − 2) y + ( x + 2) y = 0; 2 2 3 b) 3 x y + (6 x − 7 x) y + 3(1 + x ) y = 0; 2 c) 4 x y − 2 x( x + 2) y + ( x + 3) y = 0; 2 2 d) x y + xy + ( x − 4) y = 0. rr
r
rr
r
rr
r
rr
r
1.1.4. Tarea
1 . Ut i l i c el at a bl a ,e lt e or e mac or r e s pondi e nt ey , pos i bl e me nt e ,l ai nt e gr a c i ónde f unc i one s ,paraha l l a rL f [ ]( s): a ) Cost − Sent ; 2
−3t
b) 2t e − 4t + 1; c ) −3Cos2t + 5Sen4t ; 2 d) 4Cos 3t .
2 . Ut i l i c ee lt e or e mac or r e s pondi e nt eyl at a bl apa r aobt e ne rl at r a ns f or ma c i óni nv e r s ade Lapl acede F ( s): 4 s a ) ; 2 b)
c)
s − 14 3 s + 17
;2 s
−
5
7
;
( s + 7)2 2 1 3 4 + s d) + 6 ; s s2
.
s4 e)
.
s s −4 2 2 2 ( s + 5) s + 2 ; +
1.1.5. Tarea
1 . Ut i l i c el at r a ns f or ma c i óndeLa pl a c epa r ar e s ol v ere lpr o bl e madeva l o ri ni c i a l : a) y − 9 y = t,y (0) = 5; r
yr + 4 y = Cost, y(0) = 0; r −t c) y + 2 y = e , y(0) = r 1; d) y − 2 y = 1 − t, y(0) = 1; b)
.
.
2 f e f e . S upó ng a s eq ue s t áde fini da e n[0; ). De c i mo sq ue s 2 s( s + 4) f (t + T ) = f (t ). pe r i ó di c ac o npe r i o doT s i , pa r at ≥ 0, Une j e mpl oe sSent , quet i e neun pe r i o do2π .
2. De t e r mi n e
1
−
3 0.0.6. Tarea
1 . Ut i l i c el at a b l aj unt oc o ne lpr i me rt e or e madet r a s l a c i ónpa r ae nc o nt r a rl a t r a ns f o r ma dadeLa pl a c ed el af unc i ó n: −3t
a)
; (t − 2)e 4t b) (t − Cost )e ; 2 −t c ) (1 − t + Sent )e ; 4 −5t d) (t + 2t − 1)e .
2 . Ut i l i c el ave r s i óni nv er s ade lpr i me rt e or e madet r a s l a c i ónpa r aobt e ne rl a t r a ns f o r ma dai n ve r s adeLa pl a c edel af unc i ó n: 1 ; a) s2 + 4 s + 12
b) c )
s − 4 s2 − 8 s + ; 10 s + 2
;
s2 + 6 s + 1 s − 3 d) s2 + 10 s + ; 9
3 . Ut i l i c el at r a ns f or ma c i óndeLa pl a c epa r ar e s ol v ere lpr o bl e madeva l or e si ni c i a l e s : t
a) yrr − 6 yr + 8 y = e , y(0) = 3 , y r (0) = y(0) = 9; b) yrr + 6 yr + 8 y = 4 , r y (0) = 12; , c) yrr −4 y(0) = 9 , yr (0) = + 4 yr + 3 y = t, t y(0) = d) yrr + 4 y = e− Sent, −18; r y (0) = 4. 1 ,
4. Det er mi n e
.
L
¸
e−2t
t
.
2r
e Cos3rdr 0
5 . Es c r i bal af unc i óne nt é r mi nosdel af unc i ó ndeHe a vi s i de : s i 0 ≤ t < 5 0 ; a) f (t ) 1−t s it ≥ 5 = 0 s i 0 ≤ t < 2 ; b) f (t ) it ≥ 2 t 2 + t s = s i0 ≤ t < 6 .1 ; et s i t≥6 c) f (t )
.
.
= d) f (t ) =
0
1
1 + t
0
e) f (t ) =
s i t ≥ 8
s i 0 ≤ t < 3 2 s i3 ≤ t < 4 ; t + t i t ≥ 4 2 + t s
.
t 2 + 2t − 1
0
f) f (t ) =
−
s i 0 ≤ t < 4 i4 ≤ t < 8 ; ts
s i0
≤
s it ≥ 3
t < 3
.
4 6 . Det er mi neL [ f ]:
.
0
s i 0 ≤ t < 5
a ) f (t ) =
2
.1 + t 0
b) f (t ) =
−2t
.
−3e
0
s it ≥ 4
s i 0 ≤ t < 1
it ≥ 1 1 + 5t s
c) f (t ) =
0 2
t
2t
s i0
t < 3 s i3 ≤ t < 7 ;
e
2
0
s i0
≤
1 + t
e) f (t ) =
e
;
s i t ≥ 5
−3t
−3t
;
s i 0 ≤ t < 4 s i4 ≤ t < 5 ;
0
d) f (t ) =
;
s it ≥ 5 s i 0 ≤ t < 4
s i t ≥ 7
t < 4 s i4 ≤ t < 6 .
1 + t
≤
s i t ≥ 6
f) f (t ) =
7 . Det er mi neL−1 [ F ]:
s a) s2 e−2s ; + 9 3 b) −5s s + e ; 2 1 c) s( s2 + e−4s; d)
16) s −10s s2 + e .
4
8 . Ut i l i c el at r a ns f or ma c i óndeLa pl a c epa r ar e s ol v ere lpr o bl e madeva l or e si ni c i a l e s :
.
a) y (t ) =
(3)
− y
rr
r
i0 ≤ t < 1 s rr f y (0) = 1 ,
r
+4 y −4 y = f (t ) , y(0) = y (0) = 0 , ;
2
. b) =
y
rr
−
r
4 y + 4 y = f (t ) , y(0) =
s i0
t
r
2 , y (0) = 1 , f (t )
−
.t + 2 0
c) =
yrr + 2 yr − 7 y = f (t ) , y(0) =
r
y + 9 y = f (t ) , y(0) = y (0) = 1 , f (t )
r
s it ≥ 3 5
it Cost s
r
e) y + 4 y + 4 y = f (t ) , y(0) = 1 , y (0) = 2 , f (t ) =
s it
≥
5
;
s i0 ≤ t < π ; .2
rr
t < 3
s i 0≤ t <
2 , y r (0) = 0 , f (t )
.1 d) =
≤
−
2 rr
s it ≥ 5
0
≥
π
s i0 ≤ t < 2 s it ≥ 2
;
;
f) =
yrr + 5 yr + 6 y = f (t ) , y(0) = 0 , yr (0) =
4 , f (t )
−
.
4
t 2
s i 0 ≤ t < 3
0
s it ≥ 3
.