Deber 2

Andrés Miniguano Trujillo

21 de febrero de 2013

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 2: Propiedade B!i"a# M$todo de Co%teo# Probabi&idad Co%di"io%a& '. Si P ( A )=0.4 ( P ( B ) =0.3 ( P ( A ∩ B ) =0.1 # )a&&e : i. P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 0.4 + 0.3 −0.1= 0.6 ii. P ( B c − A ) c c c P ( B − A )= P ( B ∩ A ) c c P ( B − A )= P [ ( B ∪ A ) ] c P ( B − A )=1 − P ( A ∪ B ) c P ( B − A )=1 −0.6 =0.4 iii. P [ ( A − B )c ] c c c P [ ( A − B ) ]= P [ ( A ∩ B ) ] c c c P [ ( A − B ) ]= P ( A ∪ B )= 1− P ( B ∩ A ) c P [ ( A − B ) ]=1 −[ P P ( A ) − P ( A ∩ B ) ] c P [ ( A − B ) ]=1 −0.4 + 0.1 =0.7 i*. P [ A ∪ ( B ∩ A c ) ] c c P [ A ∪ ( B ∩ A ) ]= P ( ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A ) ) c P [ A ∪ ( B ∩ A ) ]= P ( ( A ∪ B ) ∩ U ) c P [ A ∪ ( B ∩ A ) ]= P ( A ∪ B )= 0.6 2. Si P ( A ∩ B ) =0.3 ( P ( B ) =0.6 ( P ( A ∩ B c ) =0.2 +a&&e : i. P ( A ) c P ( A )= P ( A ∩ B )+ P ( A ∩ B ) P ( A )=0.3 + 0.2 =0.5 ii. P ( A c ∩ Bc ) c c c P ( A ∩ B ) = P [ ( A ∪ B ) ] c c P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ∪ B ) c c P ( A ∩ B ) = 1−0.5 − 0.6 + 0.3 =0.2 iii. P ( B − A ) c P ( B − A )= P ( B ∩ A ) P ( B − A )= P ( B )− P ( B ∩ A ) P ( B − A )=0.3 i*. P ( A c ∩ B ) c c P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ) =0.3 ,. Si Si

-

A

B

o% o% /t/a /t/ae% e%te te e0"&/ e0"&/-e% -e%te te##

P ( A ∩ B ) . c

c

P ( A ∩ B ) = P [ ( A ∪ B ) ] c

c

c

P ( A ) =0.25

- P ( B ) =0.41 # )a&&e



P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ∪ B ) c c P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ) − P ( B )+ P ( ∅) c

c

P ( A ∩ B ) = 1−0.25 −0.41 −0 =0.34 c

c

1. Si P ( B ) =0.6 ( P ( A ∩ B ) =0.2 ( P ( A ∩ B c ) =0.1 # )a&&e : i. P ( A ) c P ( A )= P ( A ∩ B )+ P ( A ∩ B ) P ( A )=0.3 ii. P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 0.3 + 0.6 −0.2=0.7 iii. P ( A c ∩ Bc ) c c c P ( A ∩ B ) = P [ ( A ∪ B ) ] c c P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ∪ B ) c c P ( A ∩ B ) = 1−0.7 = 0.3 i*. P ( B − A ) c P ( B − A )= P ( B ∩ A ) P ( B − A )= P ( B )− P ( B ∩ A ) P ( B − A )=0.6 −0.2 =0.4 P ( A ∪ B )= 0.6

. Si P ( A

#

P ( A ) =0.58

-

P ( B ) =0.4

+a&&e

P ( A ∩ B

c

)

-

) . i. P ( A ∩ B c ) c P ( A ∩ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) c P ( A ∩ B ) =0.58− ( 0.58 + 0.4 −0.6 ) = 0.20 ii. P ( A c ∪ Bc ) c c P ( A ∪ B )=1 − P ( A ∩ B ) c c P ( A ∪ B )=1 −( 0.58 + 0.4 −0.6 ) =0.6200 c

∪B

c

3. De/etre 4/e P ( A ∪ B )= P ( A ) + P ( A c ∩ B ) . P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) +[ P ( B )− P ( B ∩ A )] c P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ∩ A ) P ( A )+ P ( A ∩ B ) = P ( A )+ P ( B ∩ A ) c

c

P ( A )+ P ( A ∩ B ) = P ( A )+[ P ( B )− P ( A ∩ B ) ] c P ( A )+ P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) c

5. E% /%a *e%ta de proo"i6% de pa%ta&o%e - "aia# "ierto a&a"$% o7re"e ,8 pa%ta&o%e b/e%o# 58 pa%ta&o%e "o% 7a&&a# 38 "aia b/e%a - 98 "aia "o% 7a&&a. Co%idera%do &o i/ie%te e*e%to - i e toa a& a;ar /%a pre%da# : La pre%da e pa%ta&6% : La pre%da e b/e%a A

B



: La pre%da e "aia

: La pre%da e "o% 7a&&a

D

C

+a&&e: B: Bueno 30 !0 "0

A: Pantalón C: Caisa

P ( A )=

100 250

=0.4, P ( B )=

90 250

=0.36, P (C )=

150 250

D: Malo 70 "0 1!0

=0.6, P ( D )=

160 250

100 1#0 2#0

=0.64

i. P ( A ∩ D ) n ( A ∩ D ) 70 = =0.2800 P ( A ∩ D )= n ( U ) 250 ii. P (C ∪ B ) P (C ∪ B ) = P ( C ) + P ( B ) − P ( C ∩ B )=

150 + 90− 60 250

=

18 250

= 0.7200

iii. P ( A −B ) P ( A − B )= P ( A )− P ( A ∩ B )=0.4 −

30 250

=

7 25

=0.2800

i*. P ( Bc ∩C c ) c c c P ( B ∩C ) = P [ ( B ∪ C ) ] c c P ( B ∩C ) =1− P ( B ∪ C ) c c P ( B ∩C ) =1− P ( B )− P ( C ) + P ( B ∩C ) P ( B ∩C ) =1−0.36 −0.6 + c

60

c

250

= 0.0100

<. Se &a%;a% do o%eda per7e"ta - e a%ota% &o re/&tado. a= +a&&e e& epa"io /etra& Ω ={ ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } b= Si &o e*e%to e&ee%ta&e o% e4/iprobab&e - e "o%idera% &o i/ie%te e*e%to : A : Se ober*a e0a"tae%te /%a *e; "ara A = { ( c , s ) , ( s ,c ) } B : Se ober*a a& e%o /%a "ara B ={ ( c , s ) , ( c , c ) , ( s , c ) } +a&&e: P ( A ) i. 2

P ( A )= = 0.5 4

ii.

P (B) 3

P ( B ) = =0.75 4

iii.

P ( A ∩ B ) 2

P ( A ∩ B ) = =0.5 4

i*.

P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )= P ( B )=0.75



P ( A ∪ B ) c P ( A ∪ B ) =1

*.

c

9. Dado Ω={ 0,1,2, … , 9 } # do%de &o e*e%to e&ee%ta&e o% e4/iprobab&e. A = { 0,1,3,4,8 } # B ={ 3,5,4,9 } # C ={ 4,5,6,8,9 } . +a&&e: a= P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )=

b=

7 10

=0.7

P ( A ∩C ) P ( A ∩C )=

2 10

=0.2

"=

P ( C ∪ B ) c c P ( C ∪ B ) =1− P ( C ∩ B ) =1− P ( C ) + P ( C ∩ B )=1 −0.5 + 0.3 =0.8

d=

P ( A ∩ B )

c

c

P ( A ∩ B ) = c

2 10

= 0.2

'8. Se &a%;a% do dado &ea&e: Co%idere &o i/ie%te e*e%to: ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , (1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , (1 , 5 ) , (1 , 6 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , Ω= ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) , ( 5 , 1 ) , (5 , 2 ) , (5 , 3 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 5 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 , 1 ) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) , ( 6 , 6 ) A : La /a de &o re/&tado e i/a& a < A = { ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 4,4 ) , ( 5,3 ) , ( 6,2 ) } B : E& prod/"to de &o re/&tado e i/a& a < B ={ ( 2,4 ) , ( 4,2 ) } C : La /a de &o re/&tado e a-or 4/e e& prod/"to C ={ ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 1,6 ) , ( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 4,1 ) , ( 5,1 ) , ( 6,1 ) } D: La /a de &o re/&tado e par o e%or 4/e 5 (1,1 ) , ( 1,3 ) , ( 1,5 ) , ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 3,1 ) , ( 3,3 ) , ( 3,5 ) , ( 4,2 ) , D = ( 4,4 ) , ( 4,6 ) , ( 5,1 ) , ( 5,3 ) , ( 5,5 ) , ( 6,2 ) , ( 6,6 ) , ( 1,2 ) , (1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , (3,2 ) , ( 4,1 ) +a&&e &a i/ie%te probabi&idade: P ( A ) a$

{

{

}

3

P ( A )= b$

P (B) P ( B ) =

%$

2 36

11 36

=0.3056

P ( D ) P ( D ) =

e$

=¿ 0.05556

P (C ) P (C )=

d$

=0.08333

36

23 36

=0.6389

P ( A ∪ D ) P ( A ∪ D ) = P ( A )+ P ( D )− P ( A ∩ D )= P ( D )= 0.6389

}



''. Si e e0trae /%a "arta de /% %aipe >2 "arta=# )a&&e &a probabi&idad de obte%er: a= U% A diaa%te o /%a 7i/ra tr$bo& 1 13 1 C 1∗13 C 1 = 0.2644 P ( A ∪ B )= P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B )= + − 52 52 52∗ 52 b= U%a "arta a-or 4/e 2 - e%or 4/e < ( 5∗ 4 ) 20 = = 0.3846 P (C )= 52

52

'2. E0p&i4/e por4/e o% 7a&a &a i/ie%te propoi"io%e: a= La probabi&idad de 4/e /%a /etra de i%era& "o%te%a p&ata e 8.< - &a probabi&idad de 4/e %o "o%te%a p&ata e 8.,. &i la 'robabilidad de (ue )a*a 'lata es P ( A ) + la 'robabilidad de (ue no )a*a es P ( Ac ) , &e tiene (ue P ( A c )=1 − P ( A ) , -ee'la.ando los datos se tiene: c P ( A )=0.42 ó P ( A ) =0.65 + datos (ue se %ontradi%en,

b= La probabi&idad de 4/e /% et/dia%te obte%a 9 e% /% e0ae% e 8.,5 - de 4/e obte%a 9 o 5 e 8.,' /sta es la 'robabilidad de una unión de su%esos+ la unión no 'uede ser enor (ue un %o'onente de ésta,

"= U%a eprea traba?a e% &a "o%tr/""i6% de do edi7i"io. La probabi&idad de 4/e e& a ra%de 4/ede teri%ado e% e& tiepo etip/&ado e 8.,9 - &a probabi&idad de 4/e &o do e teri%e% e% e& tiepo etip/&ado e 8. /sta es la 'robabilidad de una interse%%ión de su%esos+ la %ual no 'uede ser a*or (ue uno de sus %o'onentes,

',. E% /% a&a"$% de ropa# &a probabi&idad de 4/e /%a pero%a "opre /%a "aia e P ( A )=0.4 # de 4/e %o "opre /% pa%ta&6% e P ( B c ) =0.7 - de 4/e %o "opre /%a "aia - %o "opre /% pa%ta&6% e P ( A c ∩ Bc ) =0.55 . a= +a&&e &a probabi&idad de 4/e "opre /%a "aia o /% pa%ta&6%. c c c P ( A ∩ B ) = P [ ( A ∪ B ) ]= 1 − P ( A ∪ B ) c c P ( A ∪ B ) =1 − P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) =1 −0.55= 0.4500 b= +a&&e &a probabi&idad de 4/e "opre /%a "aia - /% pa%ta&6%. c P ( A ∩ B ) = P ( A )+( 1− P ( B ) )− P ( A ∪ B ) P ( A ∩ B ) =0.4 + ( 1 −0.7 )− (1 −0.55 )= 0.2500 "= +a&&e &a probabi&idad de 4/e "opre /% pa%ta&6% - %o /%a "aia. c P ( B ∩ A ) = P ( B ) − P ( B ∩ A ) c P ( B ∩ A ) =1− 0.7 −0.2500 =0.0500 '1. La probabi&idad de 4/e e% /% a&a"$%# /%a pero%a "opre /%a "aia e P ( A )= 0.18 # &a probabi&idad de 4/e "opre /% pa%ta&6% P ( B ) =0.25 # - &a probabi&idad de 4/e "opre &a do "oa e P ( A ∩ B ) =0.10 : a= @C/!& e &a probabi&idad de 4/e /%a pero%a 4/e e%tra a& a&a"$% "opre /%a "aia o /% pa%ta&6% P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B )=0.3300 b=@C/!& e &a probabi&idad de 4/e /%a pero%a 4/e e%tra a& a&a"$% %o "opre %i "aia %i pa%ta&6%



P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ∪ B ) =0.6700 c

c

'. Se &a%;a /%a o%eda do *e"e - e "o%idera% &o e*e%to. A : Cara e% e& prier &a%;aie%to A ={( c , s ) , ( c , c ) } B : A& e%o /%a *e; e&&o e% &o do &a%;aie%to. B ={ ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } +a&&e : a= P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) =

1 4

b= P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )=1 "= P ( A − B ) P ( A − B )=

1 4

d= P ( B ) c

P ( B ) =1− P ( B )= c

1 4

'3. E% /%a "a?a e )a&&a% '8 ?//ete b/e%o# 1 "o% pe4/eo de7e"to - 2 "o% de7e"to ra*e. Se toa a& a;ar ' ?//ete# )a&&e &a probabi&idad de 4/e : uguetes

A: Buenos 10

D: Pe(ueos defe%tos 

/: Defe%tos graes 2

1!

a= A: No te%a de7e"to: 10 P ( A )= =0.625 16

b= B: Sea b/e%o o te%a pe4/eo de7e"to 10 4 P ( A ∪ E )= + = 0.875 16

16

"= C: No te%a de7e"to ra*e 2 c P ( E )=1 − = 0.875 16

'5. E% /%a re/%i6% e )a&&a% :  )obre a-ore# 1 )obre ?6*e%e# 3 /?ere a-ore# , /?ere ?6*e%e. C: 4obre D: Mujer

B: oen  3 7

A: Ma*or # ! 11

Si e toa a& a;ar /%a pero%a - e "o%idera% &o i/ie%te e*e%to : A : La pero%a e a-or B : La pero%a e ?o*e% C : La pero%a e )obre D : La pero%a e /?er.

" " 15



+a&&e: a= P ( B ∪ C ) P ( B ∪ C ) =

b=

18

+

9 18

−

4 18

= 0.6667

P ( B∩ C ) P ( B ∩C )=

"=

7

4 18

=0.2222

P ( A −C ) P ( A −C )= P ( A ) − P ( A ∩ C ) =

d= e=

11 18

−

5 18

=0.3333

P ( B ∪ D ) c c P ( B ∪ D )=1 − P ( B ∩ D )=0.8333 c P ( D ∩ A ) c P ( D∩ A ) = P ( D )− P ( D∩ A )=0.1667 c

c

18. De los 8 profesores disponibles de un colegio, 5 son mujeres y se van a elegir dos inspectores. ¿De cuántas maneras se pueden elegir: a) Dos cualesuiera! n = 8, k =2 ⇒8 C 2=28 b) Del mismo se"o! +¿3 C 2=13 ⇒5 C 2 ¿ c) #$lo %ombres! ⇒3 C 2=3 d) &n %ombre y una mujer! ⇒5 C 1 ¿3 C 1=15 1'. &na empresa cuenta con 1( ingenieros, dos de los cuales son %ermanos. alle la probabilidad de ue al menos uno de los %ermanos sea escogido para un trabajo en el ue se va a necesitar * ingenieros. n ( U )= 10.9 .7 =630 Si P ( A ) es la probabilidad de que al menos uno sea escogido, P ( Ac ) es la probabilidad de que ninguno sea escogido. P ( A )= c

8.7.6 630

P ( A )=1−

8 15

=

=

8 15 7 15

≈ 0.4667

+(. ¿uántos n-meros de 5 cifras se pueden %acer con , *, 5, 8, '! Hay que llenar cinco espacios k = 5 :

¿ ¿¿

Se tienen cinco números:

n =5


⇒5 P5


=55 =3125 [ números ]

¿uántos n-meros pares de 5 cifras se pueden %acer con , *, 5, 8, '! Hay que llenar cuatro espacios con cualquier número: k =4 Se tienen cinco números: n =5 4 ⇒5 P4 = 5 = 625 Para el último número se tienen dos opciones, entonces T : 2∗625=1250 [ números ] ¿uántos n-meros telef$nicos diferentes de / d0gitos se pueden formar si el primer d0gito no puede ser igual a (! Hay que llenar cinco espacios con cualquier número: k =5 Se tienen diez números: n =10 5 ⇒10 P 5= 10 = 100000 Para el último número se tienen nueve opciones, entonces T : 9∗100000= 900000 [ números ]

+1. &n almacn tiene en e"istencias: A : 9 pares de zapatos de color negro B : 10 pares de zapatos de color ca! C : " pares de zapatos de color vino tinto D : # pares de zapatos de color blanco T : n =3 0 #e recibe un pedido por fa" de cuatro pares de 2apatos, %alle la probabilidad de ue pidan: a) 3ue los cuatro pares sean de distinto color 9 C 1∗10 C 1∗5 C 1∗6 C 1 =0.09852 P ( A ∩ B ∩C ∩ D ) = 30 C 4 b) 3ue dos pares sean de color negro y uno de color caf 9 C 2∗10 C 1∗27 C 1 = 0.3547 P ( A ∩ B ) = 30 C 4 c) 3ue al menos dos pares sean de color caf 10 C 2∗28 C 2 1 0 C 3∗27 C 1 10 C 4 + + =0.7466 P ( E )= 30 C 4 30 C 4 30 C 4 d) 3ue los cuatro pares sean del mismo color 9 C 4 10 C 4 5 C 4 6 C 4 + + + = 0,01299 P ( F )= 30 C 4 30 C 4 30 C 4 30 C 4 ++. &na urna contiene 1( bolas de las cuales 5 son verdes, + a2ules y  rojas. #e sacan  bolas de la urna, sin reempla2o. ¿uál es la probabilidad de ue las  bolas sean verdes!


P (VVV )=

5 P 3 10 P 3


= 0.08333

+. &na urna contiene / bolas negras y * blancas. #i se van a sacar  bolas ¿uál es la probabilidad de obtener + negras, si: a) #e sacan las  con reposici$n! P ( NNN )=

6 6 6 10 10 10

=0.216

b) #e sacan las  sin reposici$n! 6 P 3 =0. 1667 P ( NNN )= 10 P 3 +*. #e reciben al a2ar dos cartas de una baraja normal de 5+ cartas. alle la probabilidad de recibir as y figura 4o figura y as), si: a) #e sacan de una en una sin reponer la primera. $asos avorables $asos posibles 4 = 4 C 1 52=52 C 1 1 % Sacar un as 12=12 C 1 51=51 C 1 & % Sacar igura P ( A ∩ B ) =

∗12 = 0.0181 52∗51 4

b) #e sacan de una en una reponiendo la primera. $asos avorables $asos posibles 4 = 4 C 1 52=52 C 1 1 % Sacar un as 12=12 C 1 52=52 C 1 & % Sacar igura P ( A ∩ B ) =

4∗12 52∗52

= 0.01775

c) #e sacan las dos al mismo tiempo. P ( A ∩ B ) =

4∗12

52 C 2

=0.0362

+5. n una urna se %allan

k bolas enumeradas del 1 al

k . #e saca

n

veces una bola ( n < k ) , devolviendo la bola a la urna despus de apuntar el n-mero. alle la probabilidad de ue los n n-meros obtenidos sean diferentes. P ( nnúmerosdiferentes )= P ( N 1 ∩ N 2 ∩ … ∩ N n) P ( n números diferentes )= P ( N 1 ) P ( N 2| N 1 ) P ( N 3| N 1 ∩ N 2) … k ( k −1 ) ( k −2 ) ( k − n + 1 ) ( k −n ) … 2.1 k = n P ( nnúmerosdiferentes )= … . k k k k ( k −n ) … 2.1 k ( k −n )  +/. n una urna se %allan 5 bolas blancas y * bolas negras. #e sacan al mismo tiempo  bolas. ¿uál de los dos siguientes eventos tiene mayor probabilidad! A : 6as bolas son de igual color B : 6as bolas son de diferente color


P ( A )= P ( B ) = ⇒ P


5 C 3 4 C 3

+ =0.1667 9 C 3 9 C 3 5 C 1∗4 C 2 5 C 2∗ 4 C 1 +

9 C 3

9 C 3

=0.8333

( B )> P ( A )

+7. n una reuni$n se %allan: 5 %ombres mayores, * %ombres j$venes, / mujeres mayores,  mujeres j$venes. #e toma al a2ar una persona  considerando los siguientes eventos : C: 4obre D: Mujer A: Ma*or # ! 11 B: oen  3 7 " " 15 A : 6a persona es mayor B : 6a persona es joven C : 6a persona es %ombre D :6a persona es mujer alle: a) P ( B ∪ C )

P ( B ∪ C ) =

b)

P( B

c)

P ( B ∪ D c P ( D∩ A )

c

∪ D

c

c c

12 18

= 0.6667

) )=1 − P ( B ∩ D )=0.8333

P ( D∩ A ) = P ( D )− P ( D∩ A )=0.1667 +8. #e lan2an tres monedas perfectas y se anota el n-mero de caras ue uedan %acia arriba. #i: A es el evento: 9#e observa e"actamente una ve2 cara9 A = { ( c , s , s ) , ( s , c , s ) , ( s , s , c ) } B es el evento: 9#e observa al menos una cara9 B ={ ( c , c , c ) , ( s , c , c ) , ( s , s , c ) , ( c , s , s ) , ( c , c , s ) , ( s , c , s )} alle: a) P ( A ∪ B ) c

6

P ( A ∪ B )= = 0.6667 9

b)

P ( A ∩ B) 1

P ( A ∩ B ) = P ( A )= =0.3333 3

c)

P ( A

) 3 6 3 c P ( A ∪ B ) = P ( A )+ P ( B )− P ( B − A ) = + − =0.6667 c

∪B

9

d)

9

9

P ( A|B ) P ( A ∩ B ) =0.5 P ( A|B )= P ( B )

+'. n el cuadrado unidad se consideran los siguientes eventos:



A : l triángulo limitado por ! =0, " =1, " = ! +

1 3

B : l triángulo limitado por " =0, ! =0, " =1 − ! a) alle P ( B − A ) y P ( B| A ) Ω=C#$dr$do entre ! =0, " =0, ! =1, " = 1 P ( A ) %re$de& tri%n'#&o enΩ ($)o condición A P ( B ) %re$ de& tri%n'#&oen Ω ($)o condiciónB 2

1

1

9

2

9

P ( A )= , P ( B )= , P ( A ∩ B )= 1

1

7

2

9

18

P ( B − A )= − = P ( B| A )=

1 2

b) ruebe si A y B son mutuamente e"cluyentes P ( A ∩ B ) * 0 ⇒ No c) ruebe si A y B son independientes P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )=

1 9

⇒ +

(. 6a probabilidad de ue rnesto le regale una joya a su novia es igual a (.*  de ue le regale un perfume es igual a (.5 y de ue le regale la joya y el perfume es igual a (.15. alle la probabilidad de ue: a) ;o le regale ni la joya ni el perfume. c c P ( A ∩ B ) = 1− P ( A ∪ B ) =1−( P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ) =1−0.4 − 0.5 + 0.15=0.25 b) 6e regale má"imo una de las dos cosas. P ( A ∪ B ) = 0.75 c) 6e regale el perfume dado ue no le regala la joya. c P ( B ∩ A ) P ( B ) − P ( B ∩ A ) c = =0.5833 P ( B| A )= 0.6 1 − P ( A ) 1. #e sabe ue en cierto grupo social, el '(< de los ni=os, el 7(< de los j$venes y el *(< de los adultos gustan de las fiestas navide=as. De 1( ni=os, '( j$venes y 8( adultos de ese grupo, se toma al a2ar a una persona. C: 6ios D: óenes /: Adultos A: & 8iesta 117 !3 32 212 B: 6o 8iesta 13 27 5 55 130 "0 50 300 alle la probabilidad de ue esa persona: a) #ea joven dado ue no gusta de las fiestas navide=as. 27

P ( D ∩B ) 300 = = 0.3068 P ( D|B ) = 88 P ( B ) 300

b) ;o sea adulto conociendo ue no gusta de las fiestas navide=as.



30

P ( E |B )= c

P ( E ∩ B ) 300 = =0.3 409 88 P ( B ) c

300

c) #i es ni=o guste de las fiestas navide=as. 117

P ( C ∩ A ) 300 = =0.5519 P (C | A ) = 212 P ( A ) 300

d) ;o guste de las fiestas navide=as dado ue no es ni=o P ( B|C )= c

P ( B ∩C )

75

c

c P ( C )

=

300 1−

130

=0. 4412

300

+. De 8(( personas : el *5< son mujeres, el (< son %ombres y el resto son j$venes. ++( personas viven en el sur, (( personas viven en el centro y el resto viven en el norte. 17( mujeres viven en el centro  8( %ombres viven en el sur  '( mujeres viven en el norte y 1(5 j$venes viven en el norte. :óen M: Mujer 4: 4obre &: &ur 0 100 50 220 C: Centro ## 170 7# 300 6: 6orte 10# "0 5# 250 200 3!0 20 500 #e escoge al a2ar a una persona. alle la probabilidad ue esa persona : a) ;o sea mujer P ( - ) =1− P ( - )=1− c

360 800

=0.55

b) #ea joven dado ue no vive en el centro 200 c

−

55

P (  ∩C ) P (  ) − P (  ∩C ) 800 800 c = = =0.29 P (  |C ) = c 300 − ( ) 1 P C P (C ) 1− 800

c) #i es %ombre o mujer viva en el norte 85

P ( N | / ∪ - ) =

P ( N ∩ ( / ∪ - ) ) P ( ( N ∩ / ) ∪ ( N ∩ - ) ) P ( N ∩ / ) + P ( N ∩ - ) 800 = = = 240 P ( / ∪ - ) P ( / ∪ - ) P ( / ) + P ( - ) 800

+ +

d) #abiendo ue es %ombre, viva en el sur o en el centro P ( + ∪ C ) ∩ / 80

P ( + ∪ C | / )=¿

+

75

¿ = P ( ( + ∩ / ) ∪ ( C ∩ / ) ) = P ( + ∩ / ) + P ( C ∩ / ) = 800 800 = 0.6458 P ( / ) 240 P ( / ) P ( / ) 800

. De +(( aspirantes a cierto cargo:

90 800 360 800

=0



E : *8 tienen e"periencia previa: P ( E ) =

48 200

F : *( tienen formaci$n acadmica adecuada: P ( F )=

40 200

c E ∩ F : + tienen e"periencia pero no formaci$n: P ( E∩ F )= c

32 200

#i se otorga el cargo a una persona al a2ar, %alle la probabilidad de ue esa persona sea: a) on e"periencia y formaci$n P ( E ∩ F )= P ( E )− P ( E ∩ F )= c

16 200

=0.08

b) #in e"periencia c P ( E )= 1 − P ( E ) =0.76 c) on e"periencia dado ue tiene formaci$n P ( E ∩ F ) 16 = =0.4 P ( E| F ) = 40 P ( F ) d) #in e"periencia o con formaci$n c c c c P ( E ∪ F )= P ( E ) + P ( F ) − P ( E ∩ F ) = P ( E )+ P ( E ∩ F ) =0.84 *. ierta empresa %a sacado, como promoci$n, 5(( banderines de tama=os : grande 4>), mediano 4?) y peue=o 4)  los banderines son : rojos 4@) o blancos 4A). +5( son grandes, +/( son rojos, 1(( son peue=os, *( son peue=os rojos y +( son medianos blancos. 9: 9rande M: Mediano P: Pe(ueo -: -ojos "0 130 0 2!0 B: Blan%os 1!0 20 !0 20 2#0 1#0 100 #00 #e toma al a2ar un bander0n, %alle la probabilidad de ue: a) #ea mediano o rojo P ( - ∪ 0 )= P ( - )+ P ( 0 ) − P ( - ∩ 0 )=

150 + 260 −130 500

=0.56

b) #ea rojo, y, grande o peue=o P ( 0 ∩ (1 ∪ P ) )= P ( ( 0 ∩1 ) ∪ ( 0 ∩ P ) )= P ( 0 ∩1 )+ P ( 0 ∩ P )− P ( ( 0 ∩1 ) ∩ ( 0 ∩ P ) )= P ( 0 ∩1 )+ P (

c) #ea mediano dado ue es blanco 20

P ( - |B )=

P ( - ∩ B ) 500 = =0.08333 240 P ( B ) 500

d) #ea blanco dado ue no es grande P ( B ∩ 1 ) c = P ( B|1 ) = 1− P ( 1 ) c

240 −160 500 1−

25 0

=0.32

500

5. #e sabe ue en un avi$n van 1(( personas de las cuales 1( son mujeres ue fuman y +( %ombres ue no fuman si van tantas personas ue fuman como personas ue no fuman, %alle las siguientes probabilidades:



M: Mujer 10 30 0

A: 8uan B: 6o 8uan

4: 4obre 0 20 !0

#0 #0 100

a) #i se escoge una persona al a2ar, sea mujer P ( - ) =

40 100

=0.4

b) #i se escoge una persona al a2ar, sea mujer ue fuma P ( - ∩ A ) =

30 100

=0. 3

c) #i se escoge una mujer, ue sea de las ue fuman P ( A ∩ - ) =0.75 P ( A| - )= P ( - ) d) #i se escoge una persona al a2ar, sea mujer o ue fume P ( - ∪ A )=

40 + 50− 10 100

=0. 8

/. Bres cajas iguales tienen las siguientes bolas: 6a primera caja 1+ bolas blancas y 1/ negras. 6a segunda caja 1 bolas blancas y 15 negras. 6a tercera caja 18 bolas blancas y 1( negras. #e toma una caja al a2ar, se e"trae una bola y resulta ser blanca. ¿3u probabilidad %ay de ue pertene2ca a la segunda caja! P ( B ) = P ( ( B ∩ 2 ) ∪ ( B∩22 ) ∪ ( B∩222 ) )= P ( B∩ 2 ) + P ( B ∩ 2 2 ) + P ( B∩222 ) = P ( 2 ) P ( B| 2 ) + P ( 2 2 ) P ( B| 2 ) + P ( 2 1 13

P ( 22 ∩ B) P ( 22 ) P ( B| 22 ) 3 18 = = = 0.3023 P ( 22 |B ) = 43 P ( B ) P ( B ) 84

7. &na fábrica tiene dos máuinas C y A ue %acen el /(< y el *(< de la producci$n, respectivamente. C produce < de productos defectuosos y A el 5< de defectuosos. #e toma al a2ar un art0culo y se observa ue es defectuoso, ¿uál es la probabilidad de ue ese art0culo %aya sido produci do por A! A 0.60

0.40

B

0.03

0.05

D

D

P ( D ) = P ( A ) P ( D| A ) + P ( B ) P ( D|B ) =( 0.6∗0.03 ) + ( 0.4∗ 0.05 )= 0.038



P ( B∩ D ) P ( B ) P ( D|B ) ( 0.4 ) ( 0.05 ) = = =0.5263 P ( B| D ) = 0.038 P ( D ) P ( D)

8. Bres cursos tienen los siguientes alumnos: A : l primero +5 varones y 15 mujeres B : l segundo ( varones y 1( mujeres C : l tercero +( varones y +( mujeres #e toma al a2ar el carn de uno de los estudiantes y resulta ser el de una mujer. ¿uál es la probabilidad de ue la due=a del carn sea del segundo curso! 40 10

P ( B| - )=

P ( B ∩ - ) P ( B ) P ( - |B ) 120 40 = = =0.1389 45 45 P ( - ) 75

75

'. Bres empresas tienen los siguientes empleados: mpresa 0 : +5 %ombres y 1* mujeres: 0= 25 / + 14 - = 39 mpresa B : + %ombres y 17 mujeres: B =23 / + 17 - =40 mpresa D : +1 %ombres y 1+ mujeres: 0=21 / + 12 - =33 T =112 R

39/112 40/112

B

33/112 D

25/39

23/40

21/33

H

H

H

a) #i se toma al a2ar el carn de afiliaci$n al E##, ¿cuál es la probabilidad de ue sea de un %ombre! P ( / ) = P ( 0 ) P ( / | 0 ) + P ( B ) P ( / |B ) + P ( D ) P ( / | D ) =

39 25 112 39

+

40 23 112 40

+

33 21 112 33

=0.6161

b) #i el carn de afiliaci$n al E## %a sido de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de ue la due=a del carn sea empleada de la empresa B ! 40 17

P ( B| - )=

P ( B ∩ - ) 112 40 = =0.3953 P ( - ) 1− P ( / )

Deber 2

Recommend Documents