ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS
Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 2: Propiedade B!i"a# M$todo de Co%teo# Probabi&idad Co%di"io%a& '. Si P( A) = 0.4 ; P( B) = 0.3 ; P ( A ∩ B ) = 0.1 , halle : P ( A − B ) P ( B c − A) P ( A ∪ B ) c
a)
; b)
; c)
∪ ( B ∩ A )
P A
; d)
c
c
0.2 Halle : 2. Si P( A ∩ B) = 0.3 ; P( B) = 0.6 ; P ( A ∩ B ) = 0. c c P ( A ∩ B ) P ( Ac ∩ B ) P ( B − A) P ( A) a) ; b) ( c) ( d) P ( A )
). Si A y B son mutuamente excluyentes,
P A ∩ B *. Si P( B) = 0.6 ; P( A ∩ B) = 0.2 ; (
a)
+. Si
P ( A) P ( A
; b)
P ( A
∪ B ) = 0.6
"emuest#e $ue ,. "emuest#e
∪ B) #
( c)
P ( A )
P ( A ∪ B )
P ( A
c
∩
B
c
c
= 0.2 y P( B) = 0.41 , halle P ( Ac ∩ B c )
) = 0.1 ,
)(
d)
halle :
P ( B − A)
= 0.! y P( B) = 0.4 Halle P ( A ∩ B c ) y P ( Ac ∪ B c )
=
P ( A)
+
P( A
c
∩
B)
-. %uando se a##o&an simult'neamente 4 monedas, a) cu'les son los #esultados osibles osibles $ue se uede obtene#* b) cu'ntos cu'ntos casos hay en $ue $ue sal+an 2 ca#as y 2 c#uces* %onside#e los casos de monedas i+uales y monedas die#entes
. -n una enta de #omoci/n de antalones y camisas, cie#to almacn o#ece 30 antalones buenos, 0 antalones antalones con allas, allas, 60 camisas camisas buenas buenas y 0 0 camisas camisas con allas. allas. %onside#ando los si+uientes eentos y si se toma al aa# una #enda, A : a #enda es antal/n B : a #enda es buena C : a #enda es camisa D : a #enda es con allas Halle : P ( B c ∩ C c ) P ( A ∩ D ) P ( A − B ) P ( C ∪ B ) a) ; b) ; c) ; d)
/. Se lanan dos dados le+ales: %onside#e los si+uientes eentos: A : a suma de los #esultados es i+ual a ! B : -l #oducto de los #esultados es i+ual a ! C :
a suma de los #esultados es mayo# $ue el #oducto D : a suma de los #esultados es a# o meno# $ue Halle las si+uientes #obabilidades: P ( D ) P ( A ∪ D ) P ( A ) P ( B ) P ( C ) a) ; b) ; c) ; d) ; e)
2
'0. Si se ext#ae una ca#ta de un naie (2 ca#tas), halle la #obabilidad de obtene#: a) 5n s diamante o una i+u#a t#bol b) 5na ca#ta mayo# $ue 2 y meno# $ue !
''. -xli$ue o#$ue son alsas las si+uientes #oosiciones: a) a #obabilidad de $ue una muest#a de mine#al conten+a lata es 0.! y la #obabilidad de $ue no conten+a lata es 0.3 b) a #obabilidad de $ue un estudiante obten+a en un examen es 0.3 y de $ue obten+a o es 0.31 c) 5na em#esa t#aba&a en la const#ucci/n de dos ediicios. a #obabilidad de $ue el mas +#ande $uede te#minado en el tiemo estiulado es 0.3 y la #obabilidad de $ue los dos se te#minen en el tiemo estiulado es 0.
'2. -n un almacn de #oa, la #obabilidad de $ue una e#sona com#e una camisa es 0.4, de $ue no com#e un antal/n es 0. y de $ue no com#e una camisa y no com#e un antal/n es 0. a) Halle la #obabilidad de $ue com#e una camisa o un antal/n b) Halle la #obabilidad de $ue com#e una camisa y un antal/n c) Halle la #obabilidad de $ue com#e un antal/n y no una camisa
'). Se lana una moneda dos eces y se conside#an los eentos. A :
%a#a en el #ime# lanamiento B : l menos una e sello en los dos lanamientos. Halle: c P ( B ) P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) P ( A − B ) a) ; b) ; c) ; d)
'*. -n una ca&a se hallan 10 &u+uetes buenos, 4 con e$ue7os deectos y 2 con deectos +#aes. Se toma al aa# 1 &u+uete, halle la #obabilidad de $ue : a) A : 8o ten+a deectos, b) B : Sea bueno o ten+a e$ue7os deectos c)
C
: 8o ten+a deectos +#aes
'+. Se sabe $ue en un cu#so hay 0 e#sonas de las cuales ! son mu&e#es $ue uman y 10 homb#es $ue no uman; si hay tantas e#sonas $ue uman como e#sonas $ue no uman, si se toma al aa# una e#sona, halle las si+uientes #obabilidades: a1 $ue sea mu&e#; b1 sea mu&e# $ue uma; "1 si es mu&e#, $ue sea de las $ue uman; d1 sea mu&e# o $ue ume; e1 si uma $ue sea homb#e
',. -n una #euni/n se hallan : homb#es mayo#es, 4 homb#es &/enes, 6 mu&e#es mayo#es, 3 mu&e#es &/enes Si se toma al aa# una e#sona y se conside#an los si+uientes eentos : A : a e#sona es mayo# B : a e#sona es &oen C :
a e#sona es homb#e D : a e#sona es mu&e#. Halle: a)
P ( B
∪ C ) ;
b)
P ( B
∩ C ) ;
c)
P ( A − C )
; d)
P ( B c
∪
Dc )
; e)
P ( D ∩ Ac )
3
'-.
a #obabilidad de $ue un alumno a#uebe %ontabilidad es de
3 4 y
la #obabilidad de $ue
2
a#uebe -stad9stica es de 3 . Si la #obabilidad de $ue a#uebe las dos mate#ias es de es la #obabilidad de $ue a#uebe los dos cu#sos*
4 %u'l
'. as #obabilidades de $ue las e#sonas A, B, C a#ueben un examen son: 0., 0.! y 0. #esectiamente. Halle la #obabilidad de $ue: '. Sola una de las t#es e#sonas a#uebe el examen 2. "os de las t#es a#ueben el examen ). "e $ue A a#uebe dado $ue C a#ob/
'/. -n una 5nie#sidad el 30 de los alumnos son coste7os, el 10 estudia medicina, el 1 son coste7os y estudian medicina. Si se selecciona un estudiante al aa#, cu'l es la #obabilidad de $ue sea coste7o o estudie medicina*
20. -n una u#na se hallan cinco bolas enume#adas del 1 al . a#a +ana# el
2'. "ete#mine el n
( ) = 4,
( ) = 3
( ) = ,
( ) = 4
( ) = 13,
( ) =
22. %u'ntos a##e+los se ueden o#ma# con los elementos de los con&untos cuya ca#dinalidad se indica: a) b)
( ) = 4,
( ) = 2,
( ) =
( ) = ,
( ) = ,
( ) = 4,
( ) =
2). -n una %a##e#a de 400 met#os a#ticiant ! atletas. "e cuantas o#mas distintas od#'n se# #emiados los t#es #ime#os lu+a#es con medulla de o#o, lata y b#once*
2*. -n un hosital se utilian cinco s9mbolos a#a clasiica# las histo#ias cl9nicas de sus acientes, de mane#a $ue los dos #ime#os son let#as y los t#es
2+. >#es atletas toman a#te en una cometici/n. "e cu'ntas mane#as od#'n lle+a# a la meta* (ueden lle+a# &untos) 5n alumno uede estudia# ce#o, una o dos ho#as cada noche a#a un examen de #obabilidades. Halle el n
4
2,. 5n ent#enado# de baloncesto tiene un e$uio o#mado o# 11 ni7os de los cuales uno es su hi&o. %u'ntos $uintetos de baloncesto se ueden o#ma: a) si todos los ni7os tienen i+ual o#tunidad de &u+a# b) si su hi&o siem#e debe &u+a#
2-. 5n mat#imonio decide com#a# un #adio y una cocina. Si en el lu+a# donde ha#'n la com#a hay 4 ma#cas de #adio y 2 clases de cocinas, de cu'ntas mane#as distintas ueden #ealie# la com#a de ambos ob&etos a la e*
2. -n un #estau#ant de comida #'ida se indica al cliente $ue su hambu#+uesa, a m's del an y la ca#ne, uede i# con todo lo si+uiente o sin ello: salsa de tomate, mostaa, mayonesa, lechu+a, tomate o $ueso. %u'ntos tios die#entes de hambu#+uesa son osibles*
2/. "e cu'ntas mane#as die#ente un ad#e uede diide# ! #e+alos ent#e sus t#es hi&os, si el mayo# debe #ecibi# 4 #e+alos y los meno#es 2 cada uno*
)0. %u'ntas a#e&as se ueden ele+i# de 4 homb#es y 6 mu&e#es, si cie#to a#/n #ehusa tene# como a#e&a a dos de las mu&e#es*
)'. -n una #ia se endie#on 0 boletos y se so#tean ! #emios. 5na e#sona se ace#ca a la u#na $ue contiene los boletos y saca . Halle el n
)2. "e los ! #oeso#es disonibles de un cole+io, son mu&e#es y se an a ele+i# dos insecto#es. "e cu'ntas mane#as se ueden ele+i#: a)"os cuales$uie#a*; b) "el mismo sexo*; c) S/lo homb#es*; d) 5n homb#e y una mu&e#*
)). 5na em#esa cuenta con 10 in+enie#os, dos de los cuales son he#manos. Halle la #obabilidad de $ue al menos uno de los he#manos sea esco+ido a#a un t#aba&o en el $ue se a a necesita# 4 in+enie#os.
)*. -n un concu#so lite#a#io se #esentan 2 t#aba&os, de los cuales 1 los han #ealiado mu&e#es. Se an a oto#+a# un #ime#o, se+undo y te#ce# #emio. "e cu'ntas mane#as se uede decidi# $ue los +anado#es sean: a) >#es cuales$uie#a* b) "el mismo sexo* c) #ime#o y se+undo #emio a homb#es*, d) #ime#o y te#ce# #emio a mu&e#es*
)+. %u'ntos n
),. %on las ci#as 1, 2, 3, 4, se esc#iben todos los n
)-. >#es homb#es y t#es mu&e#es se sientan, al aa#, al#ededo# de una o+ata. %u'l es la #obabilidad de $ue las t#es mu&e#es ocuen lu+a#es continuos*
). -n una ca&a hay 10 discos comactos, de los cuales 4 est'n en buen estado. 5na e#sona toma al aa# 3 discos. Halle la #obabilidad de $ue o# lo menos uno est en buen estado.
)/. Sob#e una mesa se colocan mananas, 3 na#an&as y limones, onindolas en 3 a$uetes de modo $ue cada uno de estos conten+a i+ual cantidad de #utas. -ncuent#e la #obabilidad de $ue: a) en cada uno de los a$uetes haya una na#an&a b) un a$uete dete#minado no contiene na#an&as
*0. -n un concu#so lite#a#io se #esentan 1 t#aba&os, de los cuales ! los han #ealiado mu&e#es. Se an a oto#+a# un #ime# #emio y un se+undo #emio. "e cu'ntas mane#as se uede decidi# $ue los +anado#es sean: a) "os cuales$uie#a* b) "el mismo sexo* c) 5n homb#e y una mu&e#*
*'. 5n almacn tiene en existencias: a#es de aatos de colo# ne+#o, 10 a#es de aatos de colo# ca, a#es de aatos de colo# ino tinto, 6 a#es de aatos de colo# blanco. Se #ecibe un edido o# ax de cuat#o a#es de aatos, halle la #obabilidad de $ue idan : a) ?ue los cuat#o a#es sean de distinto colo#b) ?ue dos a#es sean de colo# ne+#o y uno de colo# ca c) ?ue al menos dos a#es sean de colo# ca d) ?ue los cuat#o a#es sean del mismo colo#
*2. 5na u#na contiene 10 bolas de las cuales son e#des, 2 aules y 3 #o&as. Se sacan 3 bolas de la u#na, sin #eemlao. %u'l es la #obabilidad de $ue las 3 bolas sean e#des*
*). 5na u#na contiene 6 bolas ne+#as y 4 blancas. Si se an a saca# 3 bolas %u'l es la #obabilidad de obtene# 2 ne+#as, si: a) Se sacan las 3 con #eosici/n* sin #eosici/n*
b) Se sacan las 3
**. Se #eciben al aa# dos ca#tas de una ba#a&a no#mal de 2 ca#tas. Halle la #obabilidad de #ecibi# as y t#bol, si: a) Se sacan de una en una sin #eone# la #ime#a; b) Se sacan de una en una #eoniendo la #ime#a; c) Se sacan las dos al mismo tiemo
( n < k ) ,
k bolas
enume#adas del 1 al k . Se saca n eces una bola deoliendo la bola a la u#na desus de aunta# el n
*+. -n una u#na se hallan
n
*,. -n una u#na se hallan bolas blancas y 4 bolas ne+#as. Se sacan al mismo tiemo 3 bolas. %u'l de los dos si+uientes eentos tiene mayo# #obabilidad* A : as bolas son de i+ual colo#, B : as bolas son de die#ente colo#
*-. -n una #euni/n se hallan: homb#es mayo#es, 4 homb#es &/enes, 6 mu&e#es mayo#es, 3 mu&e#es &/enes. Se toma al aa# una e#sona ; conside#ando los si+uientes eentos : A : a
e#sona es mayo#; B : a e#sona es &oen; e#sona es mu&e# Halle:
P ( B
∪ C ) ;
P ( B
c
∪
D
c
);
C :
a e#sona es homb#e; D : a
P ( D ∩ Ac )
*. Se lanan t#es monedas e#ectas y se anota el n
6
B es el eento:
Halle:
a)
P (
@Se obse#a al menos una ca#a@. P ( Ac ∪ B ) A ∪ B) P ( A ∩ B ) ( b) ( c)
( d)
P ( A B )
*/. -n el cuad#ado unidad se conside#an los si+uientes eentos: 1 A : -l t#i'n+ulo limitado o# x = 0 , y = 1 y A 1, y = x + 3 ; B : -l t#i'n+ulo limitado o# x = 0 , y = 1 − x
y = 0 ,
P ( B A ) P ( B − A) a) Halle y ; b) #uebe si A y B son mutuamente excluyentes( c) #uebe si A y B son indeendientes
+0. a #obabilidad de $ue -#nesto le #e+ale una &oya a su noia es i+ual a 0.4 ; de $ue le #e+ale un e#ume es i+ual a 0. y de $ue le #e+ale la &oya y el e#ume es i+ual a 0.1. Halle la #obabilidad de $ue: a) "e $ue no le #e+ale ni la &oya ni el e#ume; b) "e $ue le #e+ale m'ximo una de las dos cosas; c) "e $ue le #e+ale el e#ume dado $ue no le #e+ala la &oya
+'. Se sabe $ue en cie#to +#uo social, el 0 de los ni7os, el 0 de los &/enes y el 40 de los adultos +ustan de las iestas naide7as. "e 130 ni7os, 0 &/enes y !0 adultos de ese +#uo, se toma al aa# a una e#sona. Halle la #obabilidad de $ue esa e#sona: a) Sea &oen dado $ue no +usta de las iestas naide7as; b) 8o sea adulto conociendo $ue no +usta de las iestas naide7as c) Si es ni7o +uste de las iestas naide7as d) 8o +uste de las iestas naide7as dado $ue no es ni7o
+2. "e !00 e#sonas : el 4 son mu&e#es, el 30 son homb#es y el #esto son &/enes. 220 e#sonas ien en el su#, 300 e#sonas ien en el cent#o y el #esto ien en el no#te. 10 mu&e#es ien en el cent#o ; !0 homb#es ien en el su# ; 0 mu&e#es ien en el no#te y 10 &/enes ien en el no#te. Se esco+e al aa# a una e#sona. Halle la #obabilidad $ue esa e#sona : a) 8o sea mu&e#; b) Sea &oen dado $ue no ie en el cent#o c) Si es homb#e o mu&e# ia en el no#te; d) Sabiendo $ue es homb#e, ia en el su# o en el cent#o
+). "e 200 asi#antes a cie#to ca#+o 4! tienen exe#iencia #eia, 40 tienen o#maci/n acadmica adecuada y 32 tienen exe#iencia e#o no o#maci/n. Si se oto#+a el ca#+o a una e#sona al aa#, halle la #obabilidad de $ue esa e#sona sea: a) %on exe#iencia y o#maci/n; b) Sin exe#iencia c) %on exe#iencia dado $ue tiene o#maci/n; d) Sin exe#iencia o con o#maci/n
+*. %ie#ta em#esa ha sacado, como #omoci/n, 00 bande#ines de tama7os : +#ande (B), mediano (C) y e$ue7o () ; los bande#ines son : #o&os (D) o blancos (=). 20 son +#andes, 260 son #o&os, 100 son e$ue7os, 40 son e$ue7os #o&os y 20 son medianos blancos. Se toma al aa# un bande#9n, halle la #obabilidad de $ue: a) Sea mediano o #o&o; b) Sea #o&o, y, +#ande o e$ue7o "1 Sea mediano dado $ue es blanco; d) Sea blanco dado $ue no es +#ande
++. Se sabe $ue en un ai/n an 100 e#sonas de las cuales 10 son mu&e#es $ue uman y 20 homb#es $ue no uman; si an tantas e#sonas $ue uman como e#sonas $ue no uman, halle las si+uientes #obabilidades:
a) Si se esco+e una e#sona al aa#, sea mu&e#; b)Si se esco+e una e#sona al aa#, sea mu&e# $ue uma c) Si se esco+e una mu&e#, $ue sea de las $ue uman; d) Si se esco+e una e#sona al aa#, sea mu&e# o $ue ume
+,. Suon+amos $ue hay una #ueba a#a dia+nostica# el c'nce# $ue da ositio en el de los casos cuando se alica a e#sonas $ue tienen esta ene#medad y da ne+atia en el de los casos cuando se alica a e#sonas sanas. Si la #obabilidad de $ue una e#sona ten+a c'nce# es 0.00. cu'l es la #obabilidad de $ue una e#sona ten+a #ealmente c'nce# cuando la #ueba le de ositio*
+-. 5n alcohol9met#o utiliado o# la olic9a a#a dete#mina# si el niel de alcohol en la san+#e de
) = (
(
) =
los conducto#es excede cie#to limite satisace $ue: "onde A es el eento: Eel aa#ato indica $ue el l9mite le+al se excedi/F y es el eento: Ela cantidad de alcohol en la san+#e en la san+#e del conducto# exceed el l9mite le+alF. Se conoce $ue una noche de s'bado el de los conducto#es excede el l9mite le+al a) "esc#iba en alab#as el si+niicado de b) %alcule
(
) si
(
)
(
) = 0,0
= 0,
c) %u'l debe se# el alo# de p a#a $ue
+. >#es ca&as i+uales tienen las si+uientes bolas: a #ime#a ca&a 12 bolas blancas y 16 ne+#as. a se+unda ca&a 13 bolas blancas y 1 ne+#as. a te#ce#a ca&a 1! bolas blancas y 10 ne+#as. Se toma una ca&a al aa#, se ext#ae una bola y #esulta se# blanca. ?u #obabilidad hay de $ue e#teneca a la se+unda ca&a*
+/. 5na 'b#ica tiene dos m'$uinas y = $ue hacen el 60 y el 40 de la #oducci/n, #esectiamente. #oduce 3 de #oductos deectuosos y = el de deectuosos. Se toma al aa# un a#t9culo y se obse#a $ue es deectuoso, %u'l es la #obabilidad de $ue ese a#t9culo haya sido #oducido o# =*
,0. >#es cu#sos tienen los si+uientes alumnos: -l #ime#o 2 a#ones y 1 mu&e#es, -l se+undo 30 a#ones y 10 mu&e#es, -l te#ce#o 20 a#ones y 20 mu&e#es Se toma al aa# el ca#n de uno de los estudiantes y #esulta se# el de una mu&e#. %u'l es la #obabilidad de $ue la due7a del ca#n sea del se+undo cu#so*
,'. >#es em#esas tienen los si+uientes emleados: -m#esa R : 2 homb#es y 14 mu&e#es; -m#esa B : 23 homb#es y 1 mu&e#es; -m#esa D : 21 homb#es y 12 mu&e#es a) Si se toma al aa# el ca#n de ailiaci/n al G-SS, cual es la #obabilidad de $ue sea de un homb#e* b) Si el ca#n de ailiaci/n al G-SS ha sido de una mu&e#. %u'l es la #obabilidad de $ue la due7a del ca#n sea emleada de la em#esa B*
,2. >#es caballos , = y % a#tician en una ca##e#a. -l suceso E ence a =F se desi+na o# =, el suceso E ence a =, el cual ence a %F como =%, y as9 sucesiamente. Se sabe $ue , y . dem's , 2 1 2 ( ) = ( )
(
) = 3
(
) = 3
(
) = 2
!
) = (
( (
ena )
y
)
. Son ,
,
,
y
1
, 1
)
%alcula#
(
ena )
,
(
ena )
,
y
,
son indeendientes*
,). "emost#a# $ue si $ue si
) = (
(
.
y
2
son indeendientes, entonces tambin lo son 3
1
2
. 3
son indeendientes, entonces son indeendientes o# a#es, e#o $ue lo
2
3
#ec9#oco no es cie#to.
,*. Sean
y
dos sucesos mutuamente excluyentes. "a# una condici/n necesa#ia y
1
2
suiciente a#a $ue
y
sean indeendientes
1
2
,+. "ado $ue
, 1 ( ) = 3
, dete#mina# si se cumle $ue:
(
1
) = 3
a) y = son indeendientes b)
∩ =φ
c) d)
⊆
(
2
) = 3
,,. Son cie#tas las i+ualdades* a)
(
) = (
)
(
) + (
) = 1
(
) + (
) = 1
b) c)
,- Dilema del concurso teleisio. -n un concu#so de teleisi/n se le o#ece al concu#sante la .
osibilidad de ele+i# una ent#e t#es ue#tas (, b, % a#a $ueda#se lo $ue hay t#as ella. -l #esentado# le ino#ma de $ue s/lo una de ellas tiene un buen #e+alo mient#as $ue las ot#as dos est'n ac9as. -l concu#sante ota o# una y t#as decidi#lo, el #esentados ($ue conoce exactamente d/nde est' el #e+alo) le ab#e una de las ot#as dos ue#tas no ele+idas o# el concu#sante donde no est' el #e+alo. ue+o le o#ece al concu#sante la oci/n de cambia# su decisi/n inicial eli+iendo la ot#a ue#ta a
, Dilema del prisionero. -n una c'#cel hay t#es #isione#os (, =, %) con histo#iales .
simila#es. -n un momento dado, los t#es solicitan el indulto a un t#ibunal, y sin conoce#se m's detalles lle+a la ino#maci/n al #isione#o de $ue han concedido el indulto a 2 de los 3 #isione#os. -l #isione#o conoce a uno de los miemb#os del t#ibunal y uede intenta# hace#le una #e+unta a#a obtene# al+o de ino#maci/n. Sabe $ue no uede #e+unta# si l es uno de los dos indultados, e#o s9 uede edi# $ue le den el nomb#e de uno de los ot#os dos (nunca l) $ue est indultado. ensando un oco concluye $ue si no hace tal #e+unta, entonces la #obabilidad de se# uno de los dos indultados es 2I3, mient#as $ue si la hace obtend#' #esuesta y entonces la #obabilidad de se# el ot#o indultado es J. o# ello, concluye $ue es me&o# no hace# la #e+unta, o#$ue sea cual sea la #esuesta, solo le se#i#' a#a disminui# la #obabilidad de se# uno de los dos indultados. "/nde est' el e##o# de su #aonamiento*
,/. Sean y = dos sucesos tales $ue
. "eci# si son 1 ( ) = 4 , (
1
) = 2 , (
1
) = 4
cie#tas o alsas las si+uientes #elaciones: a)
⊂
b) y = son indeendientes c) y son indeendientes d) y = son incomatibles e) 1
(
)
(
) = 2
) + (
) = 1
-0. 5n banco ha com#obado $ue la #obabilidad de $ue un cliente con ondos extienda un che$ue con echa e$uiocada es de 0.001. -n cambio todo cliente sin ondos one una echa e##/nea en sus che$ues. -l 0 de los clientes del banco tienen ondos. Se #ecibe hoy en ca&a un che$ue con echa e$uiocada. ?u #obabilidad hay de $ue sea de un cliente sin ondos*