Deber Deflexiones Deformaciones Esfuerzos

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE ESPE DPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCION PAVIMENTOS

7.1 50⁄ 1 ⁄ = 0.0.0981 0 9 81    1000⁄  0.5  == 0.0.0.00938715  =0. = 98.985 .1   = 0.20 

1. La figura 4 muestra una masa de suelo semi-infinita sometida a una carga circular de

de

diámetro

y

a

una

presión en el área circular de , el modulo de elasticidad de la capa es de y la relación de Poisson de . Determine los esfuerzos, deformaciones y la deflexión deflexión en el punto A Datos: o o o o o



, ,   = .     =1  +⁄   0 . 2 0   = 0.0.0981981  11 0.0375 +0.20⁄  =4.95487 ×10− 

ESFUERZOS: ( 

profundidad

Esfuerzo vertical

1

:

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE DPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCION PAVIMENTOS

   21+   = 2 1 +2  +⁄ +  +⁄    0. 0 981  2 1+0. 5  0 . 2 0  0. 2 0  = 2 1+20.5  0.0375 +0.20⁄ + 0.0375 +0.20⁄  =4.29218×10−     21+   = 2 1 +2   +⁄ +  +⁄    0. 0 981  2 1 +0. 5  0 . 2 0  0. 2 0  = 2 1+20.5  0.0375 +0.20⁄ + 0.0375 +0.20⁄  =4.29218×10−  =.   1+  12   Δ =   + +   +   5  Δ = 1+0.50.98.09811 0.0375 √ 0.00.3750375 +0. 20 + 120. 0.0375  0.0375 +0.20 0.20 Δ =1.03662×10− =.     1 +  2   =  12+  +⁄   +⁄ 

Esfuerzo radial



Esfuerzo tangencial



DEFLEXION: profundidad



DEFORMACIONES: profundidad 

:

:

Deformación vertical

    1+0. 5  0 . 0 981  2 0 . 5  0 . 2 0 0. 2 0  = 98.1  120.5+ 0.0375 +0.20⁄  0.0375 +0.20⁄ 2


 =5.00708×10−    1 +  21   = 2 1 2   +⁄ +  +⁄  = 1+0.2598.01.0981  120.5 0.2037510. +0.502.020⁄ + 0.03750. +0.20 20⁄  =2.50354×10− 1     =   +        = 98.11 4.29×10− 0.504.95×10− +4.29×10−   =2.50354 ×10−   =2 − − 4. 9 54871872 ×10   4. 2 92175638×10    = 2  =2.45598 ×10−  , , 2050   ⁄ 5. 6 0 ⁄0, 0.2 , 0.5 , 1.0 , 2.0 , 4.0,8.0 

Deformación radial



Deformación tangencial



Cizallamiento máximo

màx

2. Determine el estado completo de esfuerzos , usando la teoría de una capa, bajo la línea del centro de una llanta con carga de y una presión de inflado de para las siguientes relaciones profundidad – radio . Asuma que la capa está caracterizada por un módulo La presión de contacto se asume aproximadamente igual a la presión de inflado de la llanta del vehículo. DATOS:

P= 2050 Kg q=5.60 Kg/cm2 E= 210 Kg/cm2 u=0.5 r/a = 0 3


Para resolver el siguiente ejercicio es necesario obtener los datos de los paramentos de A, B, C, D, E, F y G según la relación de r/a y z/a.

Formulas:

Para z/a =0 Esfuerzo vertical:

=5.=∗+ 6 ∗1+0  =5.6 /  =∗2++12     =5. 6 ∗2∗0. =5.5 ∗1+0+ 1 2∗0. 5 0 . 5   6 /    =∗2+ 12     =5. 6 ∗2∗0. =5.5 ∗10+ 1 2∗0. 5 0 . 5   6 / =5.=∗6 ∗0  =0

Esfuerzo radial horizontal:

Esfuerzo tangencial horizontal:

Esfuerzo cortante vertical radial

Para las siguientes relaciones se utilizó una hoja electrónica

4


Relación

[ σz ]

[ σr ]

[ σt ]

[ τ max ]

kg / cm2

kg / m2

kg / m2

kg / m2

0

5.6000

5.6000

5.6000

0.000

0.2

0.80388 0.18857 -0.09429 0.09429 0.40194 0.40194 0

5.5577

3.9737

3.9737

0.000

0.5

0.55279 0.35777 -0.17889 0.17889 0.27639 0.27639 0

5.0991

2.0938

2.0938

0.000

1

0.29289 0.35355 -0.17678 0.17678 0.14645 0.14645 0

3.6201

0.6502

0.6502

0.000

2

0.10557 0.17889 -0.08944 0.08944 0.05279 0.05279 0

1.5930

0.0903

0.0903

0.000

4

0.02986 0.05707 -0.02854 0.02854 0.01493 0.01493 0

0.4868

0.0074

0.0074

0.000

8

0.00772 0.01526 0.00763 0.00763 0.00386 0.00386 0

0.1287

0.0860

0.0005

0.000

Valores de la función de elasticidad

Prof. / Radio z/a

A

B

C

D

E

F

0

1

0

0

0

0.5

0.5

G H

=0. 3

3. Repetir el problema anterior, para el caso de considerar una relación de Poisson de y comente el efecto de la relación de Poisson sobre el estado completo de esfuerzos.

DATOS:

Relación

=2050   =5. 6 / =0. 3 Valores de la función de elasticidad

Prof./ Radio z/a

A

B

C

D

E

F

0

1 0.80388 0.55279 0.29289 0.10557 0.02986 0.00772

0 0.18857 0.35777 0.35355 0.17889 0.05707 0.01526

0 -0.09429 -0.17889 -0.17678 -0.08944 -0.02854 0.00763

0 0.09429 0.17889 0.17678 0.08944 0.02854 0.00763

0.5 0.40194 0.27639 0.14645 0.05279 0.01493 0.00386

0.5 0.40194 0.27639 0.14645 0.05279 0.01493 0.00386

0.2 0.5 1 2 4 8

5

[ σz ]

[ σr ]

kg / cm2

kg / m2

[ σt ]

[ τ max ]

kg / m2 kg / m2

G H

0 0 0 0 0 0 0

5.6000 5.5577 5.0991 3.6201 1.5930 0.4868 0.1287

4.4800 4.4800 3.0734 3.0734 1.4747 1.4747 0.3222 0.3222 -0.0279 -0.0279 -0.0261 -0.0261 0.0773 -0.0081

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000


, , 2050 

4. Determine el estado completo de deformaciones usando la teoría de una capa, bajo la línea del centro de una llanta con carga de y una presión de inflado de , para la siguiente relación profundidad – radio . Asuma que la capa está caracterizada por un módulo resiliente de y una relación de Poisson de . Repita el análisis considerando una relación de Poisson de . Comente el efecto de la relación de Poisson en el estado de deformaciones del sistema.

5.60⁄  =0. 3 =0. 5 =2050   =5. 6 =0.ó3  =0.5 =210 /

210 ⁄⁄=0.5

DATOS: o o

o

o o

Formulas:

Dado los valores calculados para la relación z/a=0.5 Relación Valores de la función de elasticidad

Profundidad / Radio z/a

A

B

C

D

E

F

Para cuando u=0.5: 

Deformación vertical:

∈= 1.5  ∈= 1.5210∗5.6 0.35777 ∈=0.0143 6

[ εr ]

[ εt ]

kg / cm2

kg / m2

kg / m2

0.0201

-0.0024

-0.0024

G H

0.55279 0.35777 -0.17889 0.17889 0.27639 0.27639 0

0.5

[ εz ]




Deformación radial:



Deformación tangencia:



1.5  ∈= ∈= 1.5210∗5.6 ∗0.17889 ∈=0.0072 ∈1.5=∗5.1.65  ∈= 210 0.27639 ∈=0.0072

Cuando la relación de Poisson aumenta las deformaciones del sistema disminuyen.

=0. 5

5. Demostrar que cuando la relación de Poisson es de , el cambio de volumen unitario de un elemento es cero, cuando está sujeta a un estado triaxial de esfuerzos. Si consideramos un elemento de la estructura del pavimento, se tiene que actúan los siguientes esfuerzos: teóricamente, para un punto dado del sistema estructural existen nueve esfuerzos; de estos, tres son las componentes normales (σx, σy, σz), actuantes perpendicularmente en cada una de las caras de un elemento, y seis son los esfuerzos cortantes (ζxy, ζyx, ζxz, ζzx, ζzy, ζyz), actuantes parale lamente en cada una de las caras del elemento. En condiciones de equilibrio, los esfuerzos cortantes son iguales.

7


Dado el estado triaxial de esfuerzos de un elemento, las deformaciones pueden ser calculadas por las siguientes ecuaciones:

=0, 5 1 ε = 11 0,50,5 2 ε = 1 0,50,5 3 ε =  0,50,5 ε= ∆ ó ε= ε + ε + ε ε= 1 0,50,5+1 1 0,50,5+ 1 0,50,5 ε=  ++ = Reemplazando el valor de

en las ecuaciones anteriores obtenemos:

Definimos la dilatación o deformación volumétrica, ε como el cambio de volumen unitario (cambio del volumen total ∆V dividido por el volumen original V) y lo expresamos mediante:

Reemplazando en esta ecuación con los valores de (1), (2) y (3):

Bibliografia: o o o

http://camineros.com/docs/cam071.pdf http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf http://noticias.espe.edu.ec/hfbonifaz/files/2012/09/ENSAYO-TRIAXIAL.pdf

8


15  40 

6. Calcular la deflexión total del pavimento en la primera capa y en la superficie de la subrasante, bajo el centro de una carga circular de de radio y presión de contacto de para un pavimento de de espesor con un módulo de elasticidad de , y un módulo de elasticidad de la subrasante de . Considere una relación de Poisson en ambas capas de .

  5. 60 7000 ⁄  ⁄ 700 ⁄

=15   ⁄ =5. 6 0   ℎ=40   =0.=70005 ⁄   =0.=7005 ⁄ 

DATOS: o o o o o o o

DEFLEXION: (utilizando formulas) o

Fórmulas de Palmer y Barber:



deflexión en la superficie del pavimento

∆ 

    ⁄ +  ∆= 1.5  1 +ℎ  700 151 1. 5  5 . 6 0  1 5 7000 ∆= 700    7000 ⁄ + 7000700 15 +40  700  9

0.50


∆=0.46  ∆    ∆= 1.5 1   +ℎ ⁄ [  ]   ∆= 1.5 57000.6015 1   15 7000 ⁄ [ 15 +40  700  ] ∆=0.15   ∆  ∆=   1.+ℎ5 ⁄   ∆=  1.5 5.60175000 ⁄ 700 15 +40  700  ∆= 0.31 



Deflexión en la primera capa



Deflexión en la superficie de la subrasante

o

Formulas de Odemark:



Deflexión en la superficie del pavimento

∆  

∆= 1.5 1  1+0.19 ℎ ×  +  1+0.9 1ℎ /   ∆= 1.557.600015 [(1  1+0.19 4015) × 7000700 +  1+0.9 40151 7000700/] ∆=0.45  10






Deflexión en la superficie de la subrasante

∆ 

∆= 1.5  1+0.9 1ℎ /   ∆= 1.5 5700.6015  1+0.9 40151 7000700/ ∆=0.34 

Deflexión en la primera capa

 = =. 

∆ 

∆=∆ ∆ ∆=0.11  ⁄     ℎ=0.9ℎ ⁄   7000 ℎ=0.940 700  ℎ=77.56 



Si

, entonces el espesor equivalente es



Esfuerzo vertical de compresión sobre la subrasante

  1  = 1 1+ℎ ⁄  =5. 6 01 1+ 151 ⁄ 77.56  =0.300 ⁄  11

 


Tabla de Resultados:

DEFLEXIÒN EN LA:

ODEMARK [ cm ] 0,045 0,034 0,011 [ cm ]

Superficie del pavimento Superficie de la subrasante Primera capa Espesor equivalente

PALMER Y BARBER [ cm ] 0,046 0,031 0,015

77,560 [ kg / cm2 ]

Esfuerzo Vertical en la subrasante

0,300

75  25  0.5  20500.5 

7. Una prueba de placa fue hecha usando una placa de de diámetro. Se hicieron dos ensayos, uno sobre una subrasante y otro sobre una base granular de de espesor. La presión requerida para causar una deflexión de fue de , respectivamente. Determine el espesor de la capa de base granular requerido para resistir una llanta de , con una presión de inflado y mantener una deflexión de

0.7  2.8 ⁄ =5.60 ⁄

DATOS:

 1. 5  ∆=    1  2∗  +ℎ ∗2  1. 5 ∗0. 7 ∗37. 5 0.5=    1  1 2∗ 37.5 +25 ∗2  1 2953.13=2∗  37.5 +25 ∗2 2953.213 =  37.5 +25 ∗12  1 8.72096∗10^6=37.5 +25 ∗2∗2 3

p=2050 Kg Deflexión= 0.5 q= 5.6 Kg/cm 2 Espesor base granular= 25cm

En (1):

12


4 en 3:

∆= 1.15 1    1   +ℎ ∗2 0.5= 1.5∗2.18∗37.5 1   37.5 1  2 37.5 +25 ∗2 0.5= 1.5∗2.18∗37.5 1  2953.37.2513 0.5= 157.15  221 1=31542 4  8.72096∗10^6=37.5 +25 ∗−∗2  = .   / = .  /

Calculo del Espesor de la capa base granular:

∆= 1.15 1    1   +ℎ ∗2 0.5= 1.5∗5.39.63∗37.6 5 1   37. 5 39.36  [ 37.5 +ℎ ∗68.91 ] ℎ=16.77  13


ℎ =10. 0     ⁄ ⁄ ℎ =40.0   =25000 ⁄ =5. 60=2000   =500   ⁄ =15 

8. Una estructura de pavimento tiene las siguientes características: , , , Para una presión de contacto, y radio de carga, calcule los esfuerzos y las deformaciones de sus capas.

Resuelto por el método de Ábacos: DATOS: E1=25000 kg/cm2 o E2=2000 kg/cm2 o E3=500 kg/cm2 o u1=0,5 o u2=0,5 o u3=0,5 o h1=10 cm o h2=40 cm o a=15 cm o q=5,6 kg/cm2 o Formulas:

14

, . ,


Datos Sistema de Pavimentos:

1= 12 , 2= 23 , 1 = ℎ2 , = ℎ1ℎ2

k1(K1) k2(K2)

a1(A)

H

Esfuerzo Vertical en la interfase 1- Por Tablas

12.5 4 0.375 0.25

ZZ1= 0,35

σz1= q*ZZ1 σz1= 1,96 kg/cm2

Esfuerzo Vertical en la interfase 2 - Por Tablas

ZZ2= 0,07

σz2= q*ZZ2 σz2= 0,392 kg/cm2

Cuadro Resumen de los Factores de esfuerzos por Tablas a1(A)

(ZZ1-RR1)

(ZZ2-RR2)

(ZZ2-RR3)

0,2 0,375 0,4

1,90693 3,86066 4,13976

0,07623 0,26391 0,29072

0,00381 0,01320 0,01454

Esfuerzos de Tracción σz1-σr1= q(ZZ1-RR1) σr1= -19,659675 kg/cm2 σz2-σr2= q(ZZ2-RR2) σr2= -1,085889 kg/cm2 σz2-σr3= q(ZZ1-RR1) σr3= 0,318087 kg/cm2

Deformación Radial por Tracción:

∈= 1 ∗

15


Єr1= -4,3E-04 Єr2= -3,69E-04 Єr3= -7,39E-05

Deformación Vertical de la Subrasante 3:

∈= 1 ∗

Єz3= 1,48E-04

15  2050 

  ⁄ 28 000   ⁄ 60  1400   ⁄ 700  =0.=5.5 60 ⁄

9. Una estructura de pavimento está compuesta de las siguientes capaz: una capa de de concreto asfáltico con un módulo dinámico de , una capa de base granular de de espesor con un módulo dinámico de y la subrasante tiene un modulo resiliente de . Todas las tres capas tienen una relación de Poisson de . La carga aplicada por una llanta es de y la presión de contacto es de . Calcular la deformación radial horizontal de tracción en la base de la capa asfáltica . la deformación vertical de compresión y el esfuerzo vertical de compresión sobre la capa de subrasante. DATOS: Capa de concreto asfaltico:

Base granular:

Subrasante:

=2050  =5,60 ⁄

ℎ  =15   ⁄  =28000   =0,5 ℎ  =60   ⁄  =1400   =0,5 ⁄5   =700 =0, 

16


Calculo del radio circular

Cálculo de los esfuerzos

= ∗  = ∗ = ∗5,2050 6/2 =10,79  =  = 28000 =20 1400  =  = 1400700 =2  = ℎ = 10,6079 =0,18 = ℎℎ = 1560 =0,25

Las soluciones gráficas y tabulares para los esfuerzos utilizan las siguientes funciones:

17


 

Zz1=0,12 Zz2=0,17

Determinación del esfuerzo vertical en la capa de concreto asfaltico

 =∗1 18


 =5,60=0,⁄672 ∗0,12    =∗2  =5,60=0,⁄952 ∗0,17

Determinación del esfuerzo vertical en la base granular

RESUMEN DE LOS FACTORES DE ESFUERZOA a1(A)

(ZZ1-RR1)

(ZZ2-RR2)

(ZZ2-RR3)

0.1 0.18 0.2

0.63215 1.59548 1.83766

0.00962 0.03215 0.03781

0.00481 0.01608 0.01891

Calculo de los esfuerzos de tracción

Capa asfaltica

σr1

Base granular

σr2

Subbase

σr3

-8,26269 0,77198 0,86197

kg/cm2 kg/cm2 kg/cm2

Calculo de la deformacion radial por traccion

Capa asfaltica

∈r1

Base granular

∈r2

Subbase

∈r3

-1,60E-04 -6,43E-05 -6,43E-05

Calculo de la deformación vertical sobre la subrasante.

∈z3

Subbase

19

1,29E-04

Deber Deflexiones Deformaciones Esfuerzos

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