Deducción de la formula de esfuerzo cortante

Instituto Tecnológico de Celaya
Deducción de las fórmulas de Flexión y Esfuerzo cortante

Edgar Eduardo Morado Rodríguez
Lunes 27 de Octubre del 2014



Deducción de da fórmula de Flexión σ=MyI
Donde:σ=Esfuerzo (Pa, Psi, Kpsi) E=Modulo de Young (Pa, Psi,Kpsi)ϵ=Deformación (Adimensional)Donde:σ=Esfuerzo (Pa, Psi, Kpsi) E=Modulo de Young (Pa, Psi,Kpsi)ϵ=Deformación (Adimensional)Para deducir la fórmula de flexión primero debemos suponer que el material en este caso una viga tiene un comportamiento linealmente elástico de esta manera podemos apoyarnos en la ley de Hooke.
Donde:
σ=Esfuerzo (Pa, Psi, Kpsi)
E=Modulo de Young (Pa, Psi,Kpsi)
ϵ=Deformación (Adimensional)

Donde:
σ=Esfuerzo (Pa, Psi, Kpsi)
E=Modulo de Young (Pa, Psi,Kpsi)
ϵ=Deformación (Adimensional)

σ=Eϵ




Sabemos que una variación lineal de una deformación unitaria normal esta ocasionada por una variación lineal de esfuerzo normal.


Entonces por triángulos semejantes se concluye que:
σy=-σ maxc
σ=-y(σ max)c (Ecuación 1)
Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal
Para poder localizar la posición del eje neutro sobre la sección transversal satisfaciendo la condición de que la fuerza resultante que ocurre gracias a la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal debe ser igual a cero. También podemos observar que la fuerza:
dF=σdA


Actúa sobre el elemento arbitrario dA en la siguiente figura:



Es necesario que:
ϜR= ΣFx;
0=AdF
0=σdA
Recordemos que:
σ=-yc σ max
Sustituyendo:
0=-yc σ max dA
=-σ maxc AydA

Como σ maxc no es igual a cero, entonces
AydA=0 (Ecuación 2)
Podemos decir que el momento estático de la sección transversal del miembro respecto al eje neutro debe ser cero. Esto solo puede satisfacerse si el eje neutro es también el eje centroidal horizontal de la sección transversal:
y=ydAdA
Sabemos que:
ydA=0
Podemos determinar el esfuerzo en la viga a partir de que el momento interno resultante M debe ser igual al momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF en la figura anterior respecto al eje neutro es dM= ydF. Este momento es positivo ya que con la regla de la mano derecha apunta hacia +Z.
Como dF=σdA y sabemos que:
σ=ycσmaxdA
(MR)Z= ΣMZ;M=AydF=Ay(σdA)=Ayyc σ maxdA

M=σ maxcAy2dA (Ecuación 3)
De esta manera representamos la integral como I, la cual representa el momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto al eje neutro.

M=σmáxc(I)
Despejamos σmáx de la ecuación y obtenemos:

σmáx=M(C)I (Ecuación 4)
Donde:
σmáx: Es el esfuerzo normal máximo en el miembro que ocurre en el punto de la sección transversal más alejado del eje neutro.
M: Momento interno resultante, determinado con el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto al eje neutro de la sección transversal.
I: Momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.
c: Distancia perpendicular del eje neutro al punto más alejado de este eje y sobre el cual actúa σmáx.

Como σmáxc=-σy, la Ecuación 1, el esfuerzo normal a la distancia y intermedia puede determinarse con una ecuación similar a la Ecuación 4 tenemos:
σ=-M(y)I
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