3.- Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167x10 -6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m 2, de 667x10-6 m/m. Si el límite de proporcionalidad es de 200 MN/m 2. ¿Cuál es el esfuerzo correspondiente correspondiente a una deformación def ormación unitaria de 0.002? Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m 2, ¿se hubieran deducido los mismos resultados? Razonar la respuesta. SOLUCIÓN:
E
35
140 140
167 167 667 667 E 209 209 ,581 581 GPa
140 106 N/m2 667 10 x
6
m/m
6
209 209 ,581 581 10 9 N/m 2
x 0,002 m/m
419 ,79 10 N/m N/m
2
419,79 MPa
4.- Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad ϼ se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es δ= ϼ gL2/2AE. Llamando M a su masa total demostrar que tambi én δ= MgL/2AE.
SOLUCIÓN:
F 0 y
y A g A y 0
g A y
y
A
y g y
L
L
0
0
y E
dy
g y dy E
g y 2 E
2
L
0
g L2 2 E
g L A ; pero M V M L A Premultiplicando por A: 2 E A 2
Reemplazando: M g L 2 AE
CORTE M-M W= g V V A L W g A L
P L E A
Pero: P A
5.- Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300mm 2 y una longitud de 150m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20kN que depende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850kg/m 3 y E= 200 x 103 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204. SOLUCIÓN: carga axial peso propio 20 10 150 3
6
300 10 200 10
9
P L E A
g L2
7850 9,81 150 2 200 10
9
2 E 2
0,0543 m 54,3 mm
6.- Un alambre de acero de 10m de longitud que cuelga verticalmente soporta una carga de 2000 N. Determinar el diámetro necesario, despreciando el peso del alambre, si el esfuerzo no debe exceder de 140 MPa y el alargamiento debe ser inferior a 5mm. Supóngase E= 200 GPa.
SOLUCIÓN:
P L E A
, donde : A
4 P L
d 2
E d 2 P A
4 P
d 2
d
d 2 4 P L
E P
d 2
2
2000 10 0,005 20010
9
0,00505 m
2000 140 10 6
d 0,0043 m d 4,3 mm
De los 2 valores escogemos el mayor:
d 5,05 mm
7.- Una llanta de acero, de 10mm de espesor, 80mm de ancho y de 1500mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿Qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E= 200GPa. SOLUCIÓN: Debido a la dilatación hay un incremento radial: 0,25 mm
R
(2) :
E
donde: R 750 mm E 200 GPa
Pero el esfuerzo es provocado por la fuerza N sobre el área de acción:
N A
N
r 2 r 2
;
r
8.- Una barra de aluminio de sección constante de 160mm 2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos que indica la figura. Si E=70GPa, determinar el alargamiento, o acortamiento, total de la barra (No hay pandeo de este elemento).
SOLUCIÓN: AB BC CD 35 10 3 0,8 20 10 3 1,0 10 10 3 0,6
1
70 10 160 10 9
6
3,39 mm
9.- Resolver el problema 9 intercambiando las fuerzas aplicadas en sus extremos, en el izquierdo la fuerza de 10KN y en el derecho la de 35KN.
SOLUCIÓN:
P
AB
10 kN
P
BC
5 kN
P
CD
35 kN
AB BC CD 10 10 3 0,8 5 10 3 0,6
1
70 10 160 10 9
6
1,607 10 3 m 1,61 mm
10.- Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2mm ni las tensiones han de sobrepasar 140 MN/m 2, en el acero, 80 MN/m 2 en el aluminio ni 120 MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto esta convenientemente anclado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200x10 3 MN/m2 para el acero, 70x103 MN/m2 para el aluminio y 83x103 MN/2 para el bronce.
SOLUCIÓN:
total
AB BC CD
0,002
3 P 0,6
2 P 1,0
2P 0,8
83 10 450 10 70 10 600 10 200 10 300 10 3
0,002 4,819 10
6
5
P 4,762 10
3
8
6
P 2,667 10
6
9
6
P
P 28,927 kN
SOLUCIÓN: Del bronce:
120 106
3 P 25010
2 P
Del aluminio:
80 106
Del acero:
140106
6
600 10 2 P
6
300 10
6
P Bronce 18 kN P Alu minio 24 kN P Acero 18 kN
De los 4 valores obtenidos escogemos el menor, por lo tanto: P 18 kN
11.- Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.
SOLUCIÓN:
M
C
0
D y 4 50 2
D y 25 kN
M
C
0
A y 4,5 T B 50 T B 3 A y
F 0 y
A y D y T B 50
A y 25 3 Ay 50 A y 12,5 kN
SOLUCIÓN:
TB 37,5 kN
P L E A
37 ,5 10 3 3
1,875 mm 3m
200 10 300 10
9
y 4,5 m
6
1,875 mm
y 2,8125 mm
12.- Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.
SOLUCIÓN:
M
A
0
T AL 5 M g3
3
T aL M g 5
F 0 y
T AC T aL M g TAC
2 5
M g
aC aL
T aC L AC E AC Aac
T al LaL E al Aal
2
M g3
3
M g6 AaL 5 5 8,571 AaC 200 10 9 AaC 70 10 9 AaL
13.- La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura, esta en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si P=50kN, determine el movimiento vertical de la barra.
SOLUCIÓN:
M TaL 5 P2
A
0
TaL 20 kN
F 0 y
Tac TaL P
Tac 30 kN
30 10 3 3
A
200 10 300 10 9
6
200 10 4
A 1,5 mm
3
B
70 10 500 10
0,786mm 5m
9
x 2m
6
B 2,286 mm
x 0,314mm y 1,814mm
14.- Las barras rígidas AB y CD mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en A y en C, y mediante las varillas mostradas. Determine la máxima fuerza P que
pueda aplicarse como se muestra si el movimiento vertical de las barras esta limitado a 5mm. Desprecie los pesos de todos los miembros.
SOLUCIÓN:
M
C
0
TDB 6 P3 TDB P/ 2
M
A
0 P 2
TaL 3 TBD 6 TaL 2 TaL P
2 x y 5 mm 2 aL ac 0,005
aL x
aL y
P2 P/ 22 0,005 6 6 9 9 70 10 500 10 200 10 300 10
2
1,309 10
1
P 0,005 P 38,182 kN
15.- Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuerza P de tensión.
SOLUCIÓN: x y
D Ld
d
LD
L D
P dy
Ld
E A
x
D y LD
LD Ld
D d
