Capítulo 7
Flexión DEFLEXIONES EN VIGAS Curvatura de un elemento sometido a flexión pura Si aplicamos cargas a una viga, el eje longitudinal se curva, si cogemos un tramo ds limitado por los puntos a y b y trazamos una línea perpendicular a la tangente de cada uno de los puntos, las normales se cortarán en el punto O que llamamos centro de curvatura y se definirá un radio de curvatura ρ que en las vigas generalmente es muy grande, ya que las deflexiones que se presentan son muy pequeñas y las curvas elásticas son casi planas. En cálculo diferencial definimos la curvatura como el inverso del radio de curvatura, que es una medida de cuánto se está curvando la viga y que a su vez representa la variación del ángulo infinitesimal dθ entre las normales y la distancia infinitesimal ds a lo largo de la curva cuya fórmula es: O
1
ρ
=
d2y dx 2
ds = 2 3/ 2 dθ dy 1 + dx
dθ
ρ
y
a
b
ds x
x
dx
Ahira calculemos el valor de la curvatura para el caso de flexión pura en una sección dada de un elemento. La longitud inicial L se encuentra teóricamente en el Eje Neutro (EN) ya que éste no sufre deformaciones. L = ρθ La longitud de la fibra inferior L’, debe haber cambiado, ya que en este caso fue sometida a la máxima tensión. L ′ = (ρ + c )θ ρ
θ
La deformación sufrida por la fibra es: ∆ = L′ − L = (ρ + c )θ − ρθ = cθ
c EN L L’
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Capítulo 7
Flexión Y la deformación unitaria máxima por consiguiente es igual a: ∈max =
∆ cθ c = = L ρθ ρ
La curvatura por lo tanto será es igual a
1
ρ
=
∈max c
Aplicando la Ley de Hooke podemos decir que ∈max =
σ max E
=
Mc c = IE ρ
⇒
1
ρ
=
M EI
Método de la doble integración Recordemos la definición de curvatura
1
ρ
=
d2y dx 2 dy 2 1 + dx
3/ 2
Como las deflexiones de las vigas son tan pequeñas, dy/dx también lo es y al elevarla al cuadrado se hace prácticamente despreciable, entonces la curvatura nos queda: 1
ρ
=
d2y dx 2 2
dy Se ha demostrado que el error que se presenta al despreciar el término es aproximadamente dx del 1% cuando y = L/20 y de 4% cuando y = L/10 que implicaría por ejemplo que para que el error sea del 4% se debe presentar una deflexión de 40cm en una viga de 4 m de luz, lo cual es bastante exagerado para nuestros diseños, sobretodo porque las deflexiones máximas de diseño por lo general están limitadas a L/200.
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Capítulo 7
Flexión Si remplazamos la curvatura hallada para elementos a flexión tenemos que: d 2 y M ( x) = dx 2 EI En donde M(x) es la ecuación de momentos de la viga y EI se conoce como la rigidez a flexión. Si integramos la ecuación obtenemos
EI
dy = M ( x)dx + C1 que es la ecuación de la pendiente de la curva elástica de la viga. dx ∫
Y al integrar por segunda vez obtenemos: EIy = ∫ [∫ M ( x )dx ].dx + C 1 x + C 2
que es la ecuación de las deflexiones de la viga o la curva elástica de la
viga Dado que las constantes C1 y C2 se obtienen evaluando condiciones iniciales o de frontera, que corresponden a puntos cuyas coordenadas son conocidas, en nuestro caso podemos decir que dichas condiciones se dan en los apoyos, donde la flechas son nulas y en apoyo con empotramiento además podemos asegurar que el giro también es nulo. En el siguiente ejemplo se ilustra el cálculo de las constantes. Con la ecuación de la curva elástica podemos calcular la “flecha” o deflexión y en un punto x dado. Teniendo en cuenta que cada tramo de la viga tiene una ecuación de momento diferente, tendremos que resolver para cada tramo dos integrales y sus respectivas constantes. Este proceso puede volverse muy largo, pero si utilizamos el concepto de ecuaciones singulares, podemos obtener una ecuación que sirva para toda la viga y así calcular solo dos constantes para ella. Ejemplo 7-7
Encuentre las ecuaciones de los giros θ(x) y de las “flechas” y(x) de la siguiente viga. EI=cte. P A
C
B
RA
L1
L2
RC
La ecuación de momento del primer tramo es: M A
V RA x
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M(x1) = RA x
Capítulo 7
Flexión La ecuación de momento del segundo tramo es: P
M
A B
V
RA
M(x2) = RA x – P(x – L1)
L1 x
Podemos observar que la ecuación del segundo tramo consta de la primera ecuación, más el momento generado por la fuerza adicional P que empezó a afectar a los puntos del segundo tramo. Si utilizamos esta ecuación como de singularidad, tendríamos que tener cuidado de que ella nos indique claramente qué puntos se ven afectados por cada fuerza así:
M(x) = RA x – P
x – L1
La ecuación nos indica que la fuerza RA afecta a todos los puntos de la viga para un corte que avanza hacia la derecha y que la fuerza P afecta a todos los puntos que están después de un x = L1. Analíticamente podemos identificar si la ecuación del segundo tramo es válido para un x dado, si el valor dentro del corchete es positivo ( todos los x < L1 darán un valor negativo que nos indica que para esos puntos P no es una fuerza que los afecte). Al integrar dos veces obtenemos respectivamente: EIθ ( x ) = R A
x − L1 x2 −P 2 2
2
+ C1
y EIy ( x ) = R A
x − L1 x3 −P 6 6
3
+ C1 x + C 2
Para obtener las constantes de integración evaluamos en las condiciones iniciales brindadas por los apoyos, que en este caso son: x=0 , y=0 y x=L , y=0 Recordemos que si al evaluar un x el valor dentro de en un corchete da negativo, éste valor negativo no debe ser tenido en cuenta, porque la fuerza asociada a ese corchete no actúa para ese punto. Entonces: C1 =
L 3 1 R A L3 −P 2 L 6 6
y C2 =0 , con lo cual quedan completas las ecuaciones.
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Capítulo 7
Flexión Casos especiales del método de la doble integración Existen cuatro casos especiales en la solución de vigas por el método de la doble integración. Cada caso será ilustrado mediante un ejemplo.
1. Carga distribuida que termina antes del último tramo x 20 kN
5 kN/m
2
1 13 kN
0.5
3
0.5
3m
1m
22 kN
Al cortar de izquierda a derecha y deducir la ecuación de momentos del tercer tramo obtenemos: M ( x ) = 13 x − 15( x − 2) − 20( x − 4) , pero esta ecuación nos está dando una información errónea respecto a los puntos del segundo tramo al decir que para los x<2m no hay carga distribuida ya que el corchete da negativo y al asegurar que para todos los x>2m la carga resultante (de 15 kN) de la fuerza distribuida es la que los afecta, cuando esto sólo es cierto para el tercer tramo. Para corregir esta falla en la ecuación podemos recurrir a un artificio al suponer que la viga tiene el siguiente sistema de carga (equivalente en fuerzas al primero) y obtener la ecuación de su último tramo así: 20 kN 5 kN/m
M ( x ) = 13 x − 5
x − 0.5 2
2
+5
x − 3.5 2
2
− 20 x − 4
5 kN/m 13 kN
0.5
3m
0.5
1m
22 kN
La ecuación obtenida al suponer que la carga distribuida de 5 kN/m va hasta el final y contrarrestarla con una de igual magnitud en el tramo en que no existía nos da una información acertada para toda la viga. El primer término de la ecuación nos dice que la reacción de 13 kN afecta a todos los puntos, el segundo término nos dice que a todos los puntos con x>0.5m los afecta la carga distribuida de 5kN/m y el tercero nos dice que para todos los x>3.5m se anula el efecto anterior, quedando sólo el efecto de la carga distribuida ya terminada. El último término nos dice que los todos los puntos con x>4m se ven afectados por la carga de 20kN. Todas estas afirmaciones son ciertas para la viga inicial, así que ésta ecuación singular puede ser utilizada tranquilamente como la que representa a todos los puntos de la viga.
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Capítulo 7
Flexión 2. Momento puntual intermedio En este caso, si deducimos la ecuación de momento del tercer tramo de izquierda a derecha obtenemos:
10 kN 2 kN-m
M ( x ) = 8 x − 10( x − 1) − 2 8 kN
1m
2m
3m
2 kN
Esta ecuación no podría ser utilizada como ecuación singular de la viga, porque no está sugiriendo que el momento puntual aparece en la ecuación de todos los puntos, cuando éste solo aparece para los puntos con x>4m.
Para solucionar el problema, podemos acompañar el momento por un corchete que nos indique a partir de dónde aparece, pero cuidando de no alterar el resultado del mismo así: M ( x ) = 8 x − 10 x − 1 − 2 x − 4
0
La ecuación anterior puede ser utilizada en este caso como la ecuación de singularidad de la viga.
3. Vigas con rótula 15kN
Este caso presenta inconsistencias no en la ecuación de singularidad, sino en las restricciones de sus apoyos, ya que como la viga es determinada gracias a la ecuación adicional de la rótula, al tratar de encontrar las constantes de integración, quedará algún apoyo sin restringir.
22.5 kN-m
. 7.5 kN
3m
1.5m
1.5m
7.5 kN
Además la ecuación de singularidad supone continuidad en la elástica, mientras que la verdadera elástica es discontinua en la rótula al presentar un giro por la izquierda diferente del de la derecha. Para solucionar la viga debemos trabajar con cada lado de ella en forma independiente así: 15kN
x
7.5 kN
22.5 kN-m
.
x
. 7.5 kN
7.5 kN
3m
1.5m
1.5m
7.5 kN
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Capítulo 7
Flexión Entonces las ecuaciones de singularidad de cada lado quedan: y
M ( x ) I = 7.5 x − 22.5
M ( x ) D = 7.5 x − 15 x − 1.5
Al integrar obtenemos las ecuaciones de giro y flecha de cada lado EIθ ( x ) I = 7.5
x2 − 22.5 x + C 1 2
EIθ ( x ) D = 7.5
x − 1.5 x2 − 15 2 2
EIy ( x ) I = 7.5
x3 x2 − 22.5 + C1 x + C 2 6 2
EIy ( x ) D = 7.5
x − 1.5 x3 − 15 6 6
2
+ C3 3
+ C3 x + C4
Las condiciones iniciales serán para cada lado: Lado izquierdo
Lado derecho
θ =0
x = 0, x = 0,
x = 0, y=0 y ( x = 3) I = y ( x = 3) D
y=0
Nótese que al separar los lados no es necesario mantener el mismo origen para los dos, porque se están tratando de forma independiente. Al evaluar las condiciones quedarán los dos apoyos restringidos de la forma en que se encuentran y el giro en la rótula por la izquierda será diferente del de la derecha como ocurre realmente.
4. Vigas indeterminadas En este caso se debe resolver el problema dejando las reacciones desconocidas dentro de la ecuación de singularidad y las condiciones iniciales de los apoyos se encargarán de darnos las ecuaciones adicionales que requerimos así: La ecuación de singularidad de la viga es: 4 kN/m
M ( x) = R A x − 4 RA
3m
RB
RC
Las ecuaciones de giro y flecha nos dan:
4m
EIθ ( x ) = R A EIy ( x ) = R A
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x2 + RB x − 3 2
x −3 x2 x3 −4 + RB 2 6 2 x −3 x3 x4 −4 + RB 6 24 6
2
+ C1
3
+ C1 x + C 2
Capítulo 7
Flexión Las condiciones iniciales de la viga son: x = 0,
y=0
x = 3,
y=0
x = 7,
Al evaluar las dos primeras obtenemos
y=0
C1 = 1.5 RA − 4.5
y C2 = 0
Y al evaluar la tercer obtenemos una ecuación que no depende de x y cuyas variables son las reacciones RA y RB . 181R A + 32 R B = 1215
Esta ecuación combinada con las de equilibrio nos dará un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
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