DEFORMATION CONTRAINTE ET ENERGIE .pdf

MK03 : Calcul des structures

« Utiliser le bon outil pour dimensionner une structure. »

2008 – 2009


1

Objectifs du cours 1 - Approche énergétique du comportement des structures Énergie de déformation dans les modèles poutre. Théorème de Castigliano. Théorème de Ménabréa (Résolution de problèmes hyperstatiques) Théorème de Muller Breslau (charge fictive)

2 - Introduction à la Mécanique des Milieux Continus (MMC) Contrainte (scalaire, vecteur, tenseur). Déformation (scalaire, vecteur, tenseur). Cercle de Mohr Densité d’énergie de déformation. Équation d’équilibre Critère de dimensionnement des structures.

2008 – 2009


2

Bibliographie

Bac +2

2008 – 2009

Bac +5


3

Modalité du cours Cours : 15,5 h TD : 4,5 h Évaluation : Exam écrit 2 h Critères d’évaluations : ¾ Modélisation des problèmes 35 % ¾ Choix de la méthode de résolution 15 % ¾ Résolution 15 % ¾ Analyse critique des résultats 35 %

2008 – 2009


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Chapitre 1 : Approche énergétique dans les modèles poutre But : Découvrir l’approche énergétique dans le calcul des poutres Contexte : Structure pouvant se décomposer en élément poutre afin de réaliser un dimensionnement simple et rapide « papier crayon ».

Avantages : ¾ Calcul de flèche sur des structures complexes Simplification des calculs Éviter les erreurs de signe

¾ Déterminations de inconnues hyperstatiques

2008 – 2009


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Plan du Chapitre 1 1 Rappel des hypothèses de la théorie des poutres Qu’est qu’une poutre ? Torseurs : Vitesses / Déplacements / de Cohésion Équation d’équilibre 2 Les sollicitations simples Traction / compression Cisaillement pur Torsion Flexion 3 Énergie de déformation Exemple d’une poutre en traction compression Définition de l’énergie de déformations Théorème de Castigliano Théorème de Ménabréa (problèmes hyperstatiques) Théorème de Muller-Breslau (de la charge fictive)

2008 – 2009


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Qu’est ce qu’une poutre ? Langage commun : Poutre : Quelque chose d’allongé.

Langage mathématique : Poutre : Objet dont les dimensions respectent :

largeur = o(longueur) hauteur = o(longueur)

Langage Mécanicien : Toute structure dont la modélisation en modèle poutre permettra de répondre au cahier des charges. Arbre de transmission

2008 – 2009

Châssis mécano-soudé


Dent d’engrenage

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Hypothèses géométriques Section droite Σ(s) : Surface perpendiculaire à la fibre neutre

Orientation de la fibre neutre Paramétrée par l’abscisse curviligne s

Fibre neutre : Courbe comprenant l’ensemble des centres de gravité des sections droites Centre de gravité G(s) : Associé à chaque section droite 2008 – 2009


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Définitions du repère local r

r y (s )

Premier vecteur unitaire : x(s ) r x (s )

G(s )

r z(s )

¾ tangent à la fibre neutre ¾ perpendiculaire à la section droite

r r y (s ) z (s ) Second et troisième vecteurs unitaires : ¾ inclus à la section droite ¾ trièdre orthonormé direct ¾ respectant les éventuelles géométries particulières de la section droite

Attention : Le repère R(s) =(G,x,y,z) est local. C’est-à-dire qu’il dépend de s !!! 2008 – 2009


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Hypothèses complémentaires 1 Petites déformations On effectue les calculs sur la structure non déformée. Il faut donc que les déformations soient petites au regard des dimensions de la poutre. De plus, on considère que les déformations ne modifient pas la position des efforts.

2 Section discontinue Les changements brusque de section ne sont pas pris en compte. Les résultats dans ces zones sont fortement discutables. On introduit alors des facteurs correctifs de concentration de contraintes (entre autres …).

3 Hypothèse de Saint-Venant : Les résultats obtenus ne sont valables qu'à une distance suffisamment grande des points d'application des chargements et des conditions aux limites. 2008 – 2009


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Torseur cinématique On suppose que localement chaque section droite S se comporte comme un solide se déplaçant par rapport à un repère de référence O.

r

ωΣ / 0 (s )

r y (s )

r x (s )

On peut alors définir un torseur cinématique analogue à celui utilisé en mécanique des solides.

r ⎧ ω Σ / 0 (s ) ⎫ {V Σ / 0 } = ⎨ r ⎬ V ( s ) ⎩ G ∈Σ / 0 ⎭G ( s )

G(s )

r VG∈Σ / 0 ( s )

r z(s )

r

ωΣ / 0 (s ) Vecteur rotation de S par rapport à 0

0

r VG∈Σ / 0 ( s ) Vecteur vitesse du point G appartenant à S par rapport à 0

2008 – 2009


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Torseur des petits déplacements On intègre par rapport au temps le torseur cinématique entre la position initiale et la position déformée.

r

ϕ Σ / 0 (s )

r y (s )

r x (s )

On peut alors définir le torseur des déplacements.

r ϕ ⎧ Σ / 0 (s ) ⎫ {U Σ / 0 } = ⎨ r ⎬ U ( s ) ⎩ G∈Σ / 0 ⎭G ( s )

G(s )

r U G∈Σ / 0 ( s )

r z(s )

r

ϕΣ / 0 (s ) Vecteur d’orientation de la section Σ r U G∈Σ / 0 ( s ) Vecteur de déplacement du point G 2008 – 2009


0

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Torseur des petits déplacements r y (s )

Position déformée

ϕy

Position initiale

r r r ϕ = ϕ x x + ϕy y + ϕz z r

r U (s )

ϕx

ϕz

r x (s )

r z(s )

Attention les déplacements peuvent se mettre sous la forme d’un torseur uniquement avec l’hypothèse des petits déplacements 2008 – 2009


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Torseur de cohésion Soit une poutre P en équilibre sous l'action d’efforts extérieurs {Aext->p}. On effectue une coupe fictive de cette poutre suivant une section droite S à l’abscisse s0. On peut isoler 2 demies poutres : «P-» suivant les abscisses inférieures à s0. (à gauche) «P+» suivant les abscisses inférieures à s0. (à droite)

{Aext →P − }

P+ P-

{Aext →P + }

On définit alors le torseur de cohésion comme :

{Tc } = {Aext →P + } = −{Aext →P − } 2008 – 2009


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Torseur de cohésion ⎧ N Mt ⎫ En exprimant le torseur au point G dans le repère ⎪ ⎪ (G,x,y,z) on définit les différents types de sollicitations : {Tc } ≡ ⎨Ty M fy ⎬

r Tz z

G r M fy y

r Mfz z

2008 – 2009

⎪T M ⎪ ⎩ z fz ⎭G (s )

r Aext →P +

r Ty y r Nx

Effort normal

Moment de torsion

r Nx

r Mt x

Effort tranchant

Moment de flexion

r r Ty y + Tz z

r r M fy y + M fz z

r Mt x

rG M ext →P + MK03 : Calcul des structures

15

Équation d’équilibre On isole un tronçon de poutre de largeur ds en dynamique. Bilan des actions mécaniques : ¾ - Torseur de cohésion en s ¾ Torseur de cohésion en s+ds ¾ Glisseur des actions extérieures réparties (ds trop petite pour exercer un moment)

r ⎧fr ds ⎫ {Ar }(s ) = ⎨ r ⎬(s ) ⎩ 0 ⎭

ds

{Tc }(s + ds ) − {Tc }(s )

2008 – 2009

r x


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Équation d’équilibre de la résultante En supposant que le référentiel est Galiléen On applique le Principe Fondamental de la Dynamique au tronçon :

{Tc }(s + ds ) − {Tc }(s ) + {Ar }(s ) = {D}(s ) Théorème de la résultante dynamique : r r r r R(s + ds ) − R(s ) + fr (s )ds = ρS(s )γ G∈S / Rg ds

r r dR r + fr = ρSγ G∈S / Rg ds

2008 – 2009


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Équation d’équilibre du moment Théorème du moment dynamique exprimé au point G(s)

r r r ⎡ ⎤ r M (s + ds ) + G(s )G(s + ds ) ∧ R(s + ds ) − M (s ) = ⎢ ∫ ρG(s )M ∧γ M∈S / Rg dΣ⎥ds ⎣M∈Σ ⎦

r ⎯⎯→ r dM r r + x ∧ R = ∫ ρ GM ∧γ M∈S / Rg dΣ ds M∈S

2008 – 2009


18


2008 – 2009


19

Exemple de structures sollicitées en traction/compression

Les bielles

Les liens souples (courroie, câble)

Pylônes en béton 2008 – 2009


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Modèle d’une poutre en traction / compression Définition : Une poutre est soumise à une sollicitation de traction / compression si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit : r ⎧R1 ⎫ {A1} = ⎨ r ⎬ ⎩ 0 ⎭Gi

r fx {Ar } = ⎧⎨ rr ⎫⎬ ⎩ 0 ⎭G

r Nx {Tc } ≡ ⎧⎨ r ⎫⎬ ⎩ 0 ⎭G ( x )

r ⎧ ⎫ {A2 } = ⎨Rr2 ⎬ ⎩ 0 ⎭Gf

Dans une poutre sollicitée en traction / compression : ¾ la fibre neutre est nécessairement rectiligne s = x r ¾ les sollicitations sont nécessairement colinéaires à x ¾ la section peut éventuellement varier S(x ) 2008 – 2009


21

Traction ou compression ? Si N > 0 on parle de la sollicitation de traction

r R1

r Nx

r R2

Si N < 0 on parle de la sollicitation de compression

r R1

2008 – 2009

r Nx


r R2

22

Expression des contraintes de traction compression On s’intéresse ici à la répartition des contraintes sur une section droite (actions surfaciques élémentaires agissant sur une petite surface dS)

r

σ (M , x ) Hypothèse : les contraintes sont uniformes sur la section droite

M

r x

r N ( x )x

G( x )

r Nx =

r

N( x ) r σ (x) = x S( x ) 2008 – 2009

r

∫ σ (M , x )dS = σ ( x ) ∫ dS = σ ( x )S (s )

M ∈S ( s )

r

r

M ∈S ( s )

r Les contraintes sont colinéaires à x MK03 : Calcul des structures

23

Expression des déformations de traction compression On s’intéresse ici à L’allongement relatif d’un tronçon de poutre de longueur ds.

dx

G(x )

G( x + dx )

r x

G( x + dx )

G(x )

r u (x )

r x

r u ( x + dx )

r r r u ( x + dx ) − u ( x ) du = (x) L’allongement relatif : ε ( x ) = dx dx r

2008 – 2009


24

Loi de comportement On rajoute des hypothèses ici sur le matériau utilisé (ELHI) : ¾ Élastique ¾ Linéaire ¾ Homogène E est le module d’Young ou module ¾ Isotrope d’élasticité homogène à une pression Loi de Hooke

r

r

σ ( x ) = Eε ( x ) Loi de comportement

r r du Déformation ε ( x ) = (x) dx

Contrainte

2008 – 2009

r N ( x ) du = (x) ES( x ) dx

N( x ) r σ (x) = x S( x ) r


25

TD d’application

Tour de Babel

Ascenseur à câble

2008 – 2009


26

Exemple de structure sollicitée en cisaillement pur

Cisaillage de barre

Les rivets

Les clavettes 2008 – 2009


27

Modèle du cisaillement pur Définition : Une poutre est soumise à une sollicitation de cisaillement si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

r ⎧ ⎫ {A1} = ⎨Rr1 ⎬ ⎩ 0 ⎭G1 G1

Cette poutre soumise est nécessairement soumise à 2 glisseurs perpendiculaires à la fibre neutre

Le cisaillement pur n’existe pas car il n’y a pas équilibre de la structure. G2 r ⎧R2 ⎫ {A2 } = ⎨ r ⎬ ⎩ 0 ⎭G 2

2008 – 2009

r r Tyy + Tzz {Tc } ≡ ⎧⎨ r ⎫⎬ 0 ⎩ ⎭G ( s )


On modélise le cisaillement pur comme la limite G2 → G1

28

Expression des contraintes de Cisaillement On s’intéresse ici à la répartition des contraintes sur une section droite (actions surfaciques élémentaires agissant sur une petite surface dS)

r T

r

σ (M ) M

G

r r r T τ =σ = S 2008 – 2009

r x

Hypothèse : les contraintes sont uniformes sur la section droite

r T =

r

r

∫ σ (M )dS = σ

M ∈S

r dS σ S = ∫

M ∈S

r Les contraintes sont colinéaires à T et ne dépendent que de S


29

Exemple de structure sollicitée en torsion Les arbres de transmission

Les ressorts

2008 – 2009


30

Modèle d’une poutre en torsion Définition : Une poutre est soumise à une sollicitation de torsion si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

r ⎧ 0 ⎫ {Tc } ≡ ⎨ r ⎬ ⎩M t x ⎭G ( x )

Nous n’étudierons que les poutres rectilignes cylindriques de révolution (éventuellement creuses) soumises à 2 torseurs couples.

r ⎧0⎫ {A2 } = ⎨ r ⎬ ⎩M 2 ⎭ r x

r ⎧0⎫ {A1} = ⎨ r ⎬ ⎩M1 ⎭

En appliquant le TMS :

2008 – 2009

r r r r M t = M 2 .x = −M1.x


Le moment de torsion est constant sur toute la longueur de la poutre.

31

Expression des contraintes de torsion On s’intéresse ici à la répartition des contraintes sur une section droite (actions surfaciques élémentaires agissant sur une petite surface dS)

r

σ (M )

r x

G

r Mt x

On intègre les moments des contraintes afin de calculer le moment de torsion

r Mt x =

r GM ∧ σ (M )dS ∫

M∈S

Il manque une hypothèse pour trouver l’expression des contraintes

2008 – 2009


32

Angle de rotation d’une poutre circulaire en torsion Si on trace une ligne sur la poutre, après déformation cette ligne s’enroule autour d’elle. L’angle final mesuré est appelé angle de torsion θt.

θt

L

La rotation semble uniforme tout au long de la poutre. On peut donc définir un angle unitaire θu de rotation (deg.m-1 ou rad.m-1)

2008 – 2009


θu =

θt L

33

Déformation d’une poutre circulaire en torsion On considère la déformation d’un petit élément de matière. (dx,dr,r dθ)

dx

dx

γ

dθ

rθu dx

dr r On exprime alors l’angle de distorsion de l’élément

rθ u dx γ (r ) = = rθ u dx 2008 – 2009


34

Loi de comportement Expression de la contrainte de cisaillement grâce à la loi de Hooke :

r

r

Module de Coulomb :

G=μ=

r

τ ( r ) = μγ ( r )uθ = μθ u ruθ

E 2(1 + ν )

Coefficient de Poisson : ν

Expression du moment de torsion en fonction de l’angle de torsion

r Mt x =

r r r ∫ GM ∧ σ (M )dS = ∫ rur ∧ μθu ruθ dS = μθu x r

M∈S

M∈S

On définit l’inertie de surface

I0 =

2 r ∫ dS

2

dS

M∈S

Loi de comportement

M t = μθu I0 = μ

M∈S

2008 – 2009

∫r


θt L

I0

35

Calcul de la contrainte max Loi de comportement de la poutre

Contrainte de cisaillement

r τ (r ) = μθu ruθ r

M t = μθu I0

μθu =

rMt r τ (r ) = uθ I0

Mt I0

r

r y

La contrainte de cisaillement varie de manière linéaire par rapport au rayon On trouve alors la contrainte max en r = R

r z r

τ max =

2008 – 2009


RM t I0 36

TD EX3 : Torsion

2008 – 2009


37

Exemple de structure sollicitée en flexion simple

Aile d’avion

plongeoir

Châssis de véhicule 2008 – 2009


38

Modèle d’une poutre en flexion pure Définition : Une poutre est soumise à une sollicitation de flexion pure si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

r ⎧⎪ ⎫⎪ 0 {Tc } ≡ ⎨ r r⎬ ⎪⎩M fy y + M fz z ⎪⎭G ( x )

On se limitera au poutre rectiligne soumise à 2 torseurs couple perpendiculaires à la fibre neutre

r ⎧ ⎫ {A1} = ⎨ 0r ⎬ ⎩M1 ⎭

r ⎧ 0 ⎫ {Aext } = ⎨ r ⎬ ⎩M ext ⎭

r ⎧0⎫ {A2 } = ⎨ r ⎬ ⎩M 2 ⎭

En pratique on ne trouve très rarement de la flexion pure

2008 – 2009


39

Modèle d’une poutre en flexion simple Définition : Une poutre est soumise à une sollicitation de flexion pure si et seulement si le torseur de cohésion s’écrit :

r r ⎧ Ty y + Tz z ⎫ {Tc } ≡ ⎨ r r⎬ M y M z + fz ⎭G ( x ) ⎩ fy

On se limitera au poutre rectiligne de section éventuellement variable.

r ⎧ ⎫ {A1} = ⎨ Tr1 ⎬ ⎩M1 ⎭

r ⎧ Text ⎫ {Aext } = ⎨ r ⎬ ⎩M ext ⎭

r ⎧T ⎫ {A2 } = ⎨ r ⎬ ⎩M 2 ⎭

En pratique on ne trouve très souvent de la flexion simple

2008 – 2009


40

Hypothèse de Bernoulli « Les sections droites restent planes et perpendiculaires à la fibre neutre après la déformation. »

2008 – 2009


41

Conséquences de l’hypothèse de Bernoulli r y

dx

r z

r x

ϕ z (x )

U y ( x + dx )

U y (x )

r y dx

r x

dx

r z U z (x )

r x

ϕ z ( x ) ≈ tan(ϕ z ) =

U z ( x + dx )

du y dx

− ϕ y (s )

ϕ y ( x ) ≈ tan(ϕ y ) = − 2008 – 2009

(x)


du z (x) dx 42

Déformations des poutres en flexion r y

r z

dx

r x

ϕ zmoy = ϕ ymoy =

ϕ z ( x + dx ) − ϕ z ( x )

− y (ϕ z ( x + dx ) − ϕ z ( x ))

2 ϕ y ( x + dx ) − ϕ y ( x )

r x

2

ϕz (x) − ϕ

Avant déformation

z (ϕ y ( x + dx ) − ϕ y ( x ))

r y

r z

r x

moy z

ϕ z ( x + dx ) − ϕ zmoy

dx

ϕ y ( x + dx ) − ϕ ymoy ϕ y ( x ) − ϕ ymoy

r

⎣

dx 2008 – 2009

⎡

ε ( x, y , z ) = ⎢ − y MK03 : Calcul des structures

dϕ y ⎤r dϕ z (x) + z ( x )⎥ x dx dx ⎦ 43

Loi de Hooke Bernoulli :

ϕ z ( x ) ≈ tan(ϕ z ) =

Relation de déformation

du y dx

ϕ y ( x ) ≈ tan(ϕ y ) = −

(x)

dϕ y ⎡ ⎤r dϕ z (x) + z ( x )⎥ x ε ( x, y , z ) = ⎢ − y dx dx ⎣ ⎦ r

du z (x) dx

⎡ ⎤r d 2u y d 2u z (x) − z ( x )⎥ x ε ( x, y , z ) = ⎢ − y 2 2 dx dx ⎢⎣ ⎥⎦

Répartition linéaire des déformations dans la section :

r

Application de la loi de Hooke :

Répartition linéaire des contraintes dans la section : 2008 – 2009

⎡ d 2u y ⎤r d 2u z σ ( x, y , z ) = Eε ( x, y , z ) = − ⎢Ey ( x ) + Ez ( x )⎥ x 2 2 dx dx ⎢⎣ ⎥⎦ r

r


44

Contraintes de flexion et moment fléchissant r Mfy ( x ) =

r y M

r z

r x G

r d 2u z ( ) GM ∧ − Ez x x dS 2 ∫ dx M∈S ( x )

⎡ ⎤r r r d 2u z d 2u z 2 ( x ) x dS E ( x ) z dS = ∫ zz ∧ −Ez = − ⎢ ∫ ⎥y 2 2 dx dx M∈S ( x ) ⎣⎢M∈S ( x ) ⎦⎥ r M fz ( x ) =

∫

GM ∧ −Ey

M∈S ( x )

d 2u y dx 2

r ( x )xdS

⎤r ⎡ d 2u y d 2u y r r 2 ( x )xdS = E ( x )⎢ ∫ y dS ⎥ z = ∫ yy ∧ −Ey 2 2 dx dx ⎥⎦ ⎢⎣M∈S ( x ) M∈S ( x )

Hypothèse de symétrie de la section

r d 2u y r d 2u z r M f = −EI y y + EI z z 2 2 dx dx

2008 – 2009


Iy ( x ) =

2 z ∫ dS

M∈S ( x )

Iz ( x ) =

∫y

2

dS

M∈S ( x )

45

Calcul de la contrainte max Expression de la contrainte normale

Loi de comportement de la poutre d 2u y

⎡ d 2u y ⎤r d 2u z ( ) + ( ) σ ( x, y , z ) = −E ⎢ y x z x ⎥x 2 2 dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ r

dx 2

=

Mfz EI z

M fy d 2u z =− dx 2 EI y

r y

⎡ ⎤r M fy M fz σ ( x, y , z ) = ⎢− y (x) + z ( x )⎥ x Iy Iz ⎥⎦ ⎣⎢ r

r x

r y

r x

r z

r z 2008 – 2009


46

TD EX3 : Flexion

2008 – 2009


47


2008 – 2009


48

Analogie énergétique r On tire régulièrement l’extrémité d’une poutre avec un effort R . Le déplacement u peut être considéré comme quasi-statique. r U

r R

On calcule le travail des efforts extérieurs

Wext =

umax

umax

0

0

∫ Rdu = ∫

ES 1 ES 2 udu = umax L 2 L

Wext =

2008 – 2009

umax = R

L ES

1 L 2 R 2 ES


49

Analogie énergétique r Vx ( x )

U

r R

r − N( x ) On calcule la puissance des inters efforts

dε x ( x ) N ( x ) dN ( x ) 1 d N 2(x) Pint = − ∫ N ( x ) dx = − ∫ dx = − dx ∫ dt ES dt 2 dt 0 ES 0 0 L

L

L

N ( x, t = 0 ) = 0

On calcule le travail des inters efforts t1

Wint = ∫ Pint dt t0

2008 – 2009

∀x

L

1 N 2(x) Wint = − ∫ dx 2 0 ES


50

Théorème de l’énergie cinétique On applique le théorème de l’énergie cinétique

ΔEc = Wint + Wext En statique, la variation de l’énergie cinétique est nulle

− Wint = Wext On définit alors l’énergie potentielle élastique ou énergie de déformation d’une poutre en traction L

1 N 2(x) 1 L 2 R dx = Ed = ∫ 2 0 ES 2 ES

2008 – 2009


51

Énergie de déformation

Soit une poutre dont le torseur de cohésion est

r ⎧N ⎪r {τ c } = ⎨Try ⎪T ⎩ z

r Mt ⎫ r ⎪ M fy ⎬ r M fz ⎪⎭

On définit son énergie de déformation

2 L 1 ⎡ N 2 T 2 M t2 M fy M fz2 ⎤ Ed = ∫ ⎢ + + + + ⎥ds 2 0 ⎢⎣ ES GS I0G I y E I z E ⎥⎦

2008 – 2009


52

Théorème de Castigliano r Ai

r Aj

r dAk

d 2E d

Ed

r Ai

r Aj

r dδ k

r Ak

r Ai

r r Ak + dAk

r Aj

Ed + dE d

r

δk

r r Ak + dAk

Ed + dE d

Alberto Castigliano 1847-1884

r dE d = δ k ⋅ d Ak r

2008 – 2009


53

Énoncé du théorème de Castigliano r Mi

Pi

Soit une structure poutre, en matériau ELHI, chargée par : ¾ Des efforts répartis r A ¾ Des forces k aux pointsr Pk ¾ Des couples ponctuels M i aux points Pi

r

αi r

δk

Pk r Ak

Cette structure emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit : 2 L 1 ⎡ N 2 T 2 M t2 M fy M fz2 ⎤ + + + + Ed = ∫ ⎢ ⎥ds 2 0 ⎢⎣ ES GS I0G I y E I z E ⎥⎦

r P δ Chaque point d’application des forces k se déplace de k r r r r ( P , x Chaque repère au point d’application des couples i i , y i , zi ) tourne de α i

Alors, ces déplacements s’expriment en fonction de l’énergie de déformation

r r ∂E δ k .uk = d ∂Ak 2008 – 2009

r r A uk = r k Ak


r r ∂Ed α i .ui = ∂M i

r r M ui = r i Mi

54

Application directe du théorème de Castigliano r A

Un ressort spiral en acier E = 200 GPa G = 77 GPa Nombre de spires : N Diamètre d’enroulement :

r z0

Angle d’enroulement : α Surface circulaire de rayon : r

r y0

O r −A 2008 – 2009

Chargé par deux glisseurs :

r x0 MK03 : Calcul des structures

Calculer sa raideur en utilisant l’énergie de déformation

55

Paramétrage r A

On paramètre le système par l’angle cylindrique θ L’angle d’enroulement est faible α = 0,1rad

tan( α ) ≈ α Les coordonnées du point G sont

r r OG = R u r + α R θ z 0 ⎯⎯→

r z0

L’abscisse curviligne s’écrit

r y0

O r −A 2008 – 2009

θ

r x0

r uθ

G

s = θR 1 + α 2 s

αRθ

r ur


αRθ Rθ 56

Torseur de cohésion r A

r y0

r uθ

θ θ

r r OG = R u r + α R θ z 0

O

2008 – 2009

α

r x (s ) r uθ

⎯⎯→

r r A = A z0

r y0

r −A

α

r ur r x0

r r z (s ) = u r

r z0

r z0

r z0

r y (s )

θ

r x0

G

r uθ

r ur MK03 : Calcul des structures

r ⎧ A ⎫ {τ c }( s ) = ⎨ r G ⎬ ⎩M A ( s ) ⎭ G 57

Calcul de l’énergie de déformation r ⎧ A sin( α ) ⎧ ⎫ {τ c }( s ) = ⎨ r GA ⎬ = ⎪⎨ A cos( α ) ⎩M A ( s ) ⎭ G ⎪ 0 ⎩ 2 L 1 ⎡ N 2 T 2 M t2 M fy ⎤ Ed = ∫ ⎢ + + + ⎥ds 2 0 ⎣⎢ ES GS I0G IE ⎥⎦

AR cos( α ) ⎫ ⎪ − AR sin( α )⎬ ⎪ r r r 0 ⎭ ( G , x ( s ), y ( s ),z ( s )) 2 Changement de variable : s = θ R 1 + α

2 πN ⎡ A 2 sin 2 (α ) A 2 cos 2 (α ) A 2 R 2 cos 2 (α ) A 2 R 2 sin 2 (α ) ⎤ 1 2 Ed = + + + ⎥R 1 + α dθ ⎢ ∫ 2 θ =0 ⎣ ES GS I 0G IE ⎦

Ed =

2 πNA 2 R 3 1 + α 2 ⎡ sin 2 (α ) ⎛ r ⎞

I 0G

2008 – 2009

2 cos 2 (α ) ⎛ r ⎞ 2 sin 2 (α ) ⎤ 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + cos (α ) + ⎢ ⎥ 2 , 6 × 2 2 2 , 6 R R ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥


58

Calcul de la raideur Ed =

πNA2R 3 I0G

Théorème de Castigliano

M t = AR ∂Ed 2πNAR 3 8D 3N A δA = = = I0G Gd 4 ∂A

Vérification de la contrainte max

Calcul de la raideur du ressort

r

Gd 4 = k= δ A 8D 3N A

2008 – 2009

τ max =


2 AR πr 3

59

Théorème de Ménabréa (structures hyperstatiques) Soit une structure poutre, en matériau ELHI : Cette structure est chargée par des efforts extérieurs et elle emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit :

r Ai

2 L 1 ⎡ N 2 T 2 Mt2 M fy M fz2 ⎤ + + + + Ed = ∫ ⎢ ⎥ds 2 0 ⎢⎣ ES GS I0G I y E I z E ⎥⎦

r Mk

Pour connaître les efforts aux conditions aux limites, on y applique le théorème de Castigliano :

r r ∂E δ k .uk = d = 0 ∂Ak

2008 – 2009


r r

α i .ui =

∂Ed =0 ∂M i

60

Théorème de Muller-Breslau (de la charge virtuelle) r Mp

p

Soit une structure poutre, en matériau ELHI : r Ap

Cette structure est chargée par des efforts extérieurs et elle emmagasine de l’énergie potentielle de déformation qui s’écrit : 2 L 1 ⎡ N 2 T 2 Mt2 M fy M fz2 ⎤ + + + + Ed = ∫ ⎢ ⎥ds 2 0 ⎢⎣ ES GS I0G I y E I z E ⎥⎦

Pour connaître les déplacements r r en un point P où il n’y a pas d’effort, on place un effort virtuel en ce point M p ou Ap et on y applique le théorème de Castigliano :

r r ∂Ed δ P .uP = ( Ap = 0) ∂Ap 2008 – 2009

r r ∂Ed α p .u p = (M p = 0 ) ∂M p MK03 : Calcul des structures

61

Chapitre 2 : Mécanique des milieux continus (les bases)

But : Savoir interpréter correctement des mesures ou des simulations en terme d’effort ou de déformation. Appliquer des critères de résistance des matériaux afin de garantir la tenue et la rigidité des structures complexes.

2008 – 2009


62


Grandeurs de la mécanique des milieux continus solides Contrainte (scalaire, vecteur, tenseur). Cercle de Mohr Équation d’équilibre Déformation (scalaire, vecteur, tenseur).

Loi de comportement Élasticité Loi de Hooke généralisée Densité d’énergie de déformation.

Critères de dimensionnement des structures. Critère de Tresca Critère de Von Misses

2008 – 2009


63

Vecteur contrainte On se place dans une structure quelconque à l’intérieur de la matière au point M.

r n1→2

2

M On choisit une surface dS qui partage l’espace en deux parties 1 et 2.

dS 1

r dA2→1

On définit la normale rà la surface de 1 vers 2 n1→2 La contrainte s’écrit alors

2008 – 2009

r r r d A2 → 1 σ ( M , n1→ 2 ) = dS MK03 : Calcul des structures

64

Propriété du vecteur contrainte

r n1→2

ds

2 Le vecteur contrainte EST

M 1

r r r d A2 → 1 σ ( M , n1→ 2 ) = dS

r dA2→1

UN VECTEUR.

La contrainte ne dépend pas du choix de 1 et 2. La contrainte dépend du point M. La contrainte dépend de l’orientation de ds.

Le vecteur contrainte est une fonction vectorielle de l’espace à 6 paramètres.

2008 – 2009


65

Contraintes normale et tangentielle r

r

σ n (M , n )

r n1→2

M

On décompose la contrainte en deux composantes

r σ (M , n ) r

r

r

r

r

r

r

σ (M , n ) = σ n (M , n ) + τ (M , n )

dS r

r

τ (M , n ) Contrainte normale

Contrainte de cisaillement

r r r r r σ n ( M , n ) = (σ ( M , n ).n1→ 2 )n1→ 2 r

2008 – 2009

r r r r r r r τ ( M , n ) = σ ( M , n ) − (σ ( M , n ).n1→ 2 )n1→ 2 r


66

Tétraèdre de Cauchy r x3

r dA

On cherche à déterminer une expression de : r r r dA σ (M , n ) = dS

r n

r d A1

r x2 r d A3

Le vecteur normal se décompose en 3 composantes r r r r n = n1x1 + n 2 x 2 + n 3 x 3

dS r dA2

r x1

Chaque effort s’exprime en fonction des coordonnées des contraintes :

2008 – 2009

r r r r d A1 = −σ 11dS 1x1 − σ 21dS 1x 2 − σ 31dS 1x 3 r r r r d A2 = −σ 12 dS 2 x1 − σ 22 dS 2 x 2 − σ 32 dS 2 x 3 r r r r d A3 = −σ 13 dS 3 x1 − σ 23 dS 2 x 2 − σ 33 dS 2 x 3


67

Tenseur des contraintes r r r r r On isole le tétraèdre : d A + d A1 + d A2 + d A3 = 0

TRS

σ (M , n ). x1 = σ 11

r

r r

dS 1 dS 2 dS 3 + σ 12 + σ 13 dS dS dS

r

r r

dS 3 dS 1 dS 2 + σ 22 + σ 23 dS dS dS

σ ( M , n ). x 2 = σ 21

r r dS 3 dS dS 2 σ ( M , n ). x 3 = σ 31 1 + σ 32 + σ 33 dS dS dS r

L’état de contrainte au point M se caractérise par un tenseur (matrice)

⎡σ 11 r r σ ( M , n ) = ⎢⎢σ 21 ⎢⎣σ 31 2008 – 2009

σ 12 σ 22 σ 32

σ 13 ⎤ r σ 23 ⎥⎥ .n σ 33 ⎥⎦ M


68

Symétrie du tenseur des contraintes r x2

On isole le tétraèdre

r TMS en projection sur x 3

σ 12

σ 21dx 1dx 2 dx 3 − σ 12 dx 1dx 2 dx 3 = 0

σ 21

dx 2 M

− σ 21

σ 21 = σ 12

r x1

On montre de même

− σ 12

σ 31 = σ 13

dx 1

σ 32 = σ 23

Le tenseur des contraintes est symétrique

2008 – 2009


69

Cercle de Mohr Pour simplifier, on se place en deux dimensions (contraintes planes). Le vecteur normal est paramétré par l’angle θ On calcule la contrainte normale

σ 12 ⎤ ⎡cos( θ )⎤ ⎡cos( θ )⎤ r ⎡σ .⎢ σ n ( M , n ) = ⎢ 11 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣σ 21 σ 22 ⎦ M ⎣ sin( θ ) ⎦ ⎣ sin( θ ) ⎦

r x2 r n (θ )

θ

r x1

r

σ n (M, n ) = σ 11 cos 2 (θ ) + σ 12 sin(2θ ) + σ 22 sin2 (θ )

On calcule la contrainte tangentielle σ 12 ⎤ ⎡cos( θ )⎤ ⎡ − sin( θ )⎤ r ⎡σ τ ( M , n ) = ⎢ 11 ⎥ ⎢ sin( θ ) ⎥.⎢ cos( θ ) ⎥ σ σ ⎦ ⎦⎣ 22 ⎦ M ⎣ ⎣ 21 r

τ (M , n ) = − 2008 – 2009

σ 11 − σ 22 2


sin( 2θ ) + σ 12 cos( 2θ ) 70

Cercle de Mohr r

σ n ( M , n ) = σ 11 cos 2 (θ ) + σ 12 sin( 2θ ) + σ 22 sin 2 (θ ) r

σ n (M , n ) − r

τ (M , n ) = −

σ 11 − σ 22 2

σ 11 + σ 22 2

=

σ 11 − σ 22 2

cos( 2θ ) + σ 12 sin( 2θ )

sin( 2θ ) + σ 12 cos( 2θ )

2

2

r σ 11 + σ 22 ⎞ r 2 ⎛ σ 11 − σ 22 ⎞ ⎛ 2 ⎜ σ n (M , n ) − ⎟ + (τ ( M , n ) ) = ⎜ ⎟ + (σ 12 ) 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On reconnaît que le point de rayon

2008 – 2009

(σ n ;τ )

décrit un cercle de centre

⎛ σ 11 + σ 22 ⎞ ;0 ⎟ ⎜ 2 ⎝ ⎠

2

R=

⎛ σ 11 − σ 22 ⎞ 2 ⎜ ⎟ + (σ 12 ) 2 ⎝ ⎠ MK03 : Calcul des structures

71

Cercle de Mohr 2

R=

⎛ σ 11 − σ 22 ⎞ 2 ⎜ ⎟ + (σ 12 ) 2 ⎠ ⎝

− σ 12

τ (θ )

σ 11 + σ 22

2θ

σ 11

2

σn

σ n (θ ) σ 22

R

σ 12

τ 2008 – 2009


72

Tri cercle de Mohr Si on se replace en 3 dimensions, le tenseur est symétrique, il existe alors une base orthonormée dans laquelle le tenseur est diagonal.

r On peut alors effectuer 3 cercles de Mohr en faisant tourner n autour des 3 vecteurs propres. r Si on oriente n de manière quelconque on se trouve entre les 3 cercles. p σ 33

p σ 22

σ 11p σn On peut trouver la contrainte de cisaillement maximale

τ max

τ 2008 – 2009


73

Équation d’équilibre r x3

r fv

dx 2

On isole le cube en dynamique :

r Efforts volumiques : fv dV

dx 3 M

r x2

dx 1

r x1

Efforts surfaciques sur les 6 facettes : r r r r i ∈ [1,3 ] Aext → dS ( x ) = − [σ 1i ( x i ) x1 + σ 2 i ( x i ) x 2 + σ 3 i ( x i ) x 3 ] dV i dx i

r Aext → dS ( x

i + dx i

)

r r r dV = [σ 1i ( x i + dx i ) x1 + σ 2 i ( x i + dx i ) x 2 + σ 3 i ( x i + dx i ) x 3 ] dx i

r TRD en projection sur x k r r r r dV ( σ ( x + dx ) − σ ( x )) + dV f . x = ρ dV γ . x ∑ v k M / Rg k ki i i ki i dx i =1 i 3

k ∈ [1,3 ]

r r ∂σ ki r r + f . x = ρ γ . x ∑ v k M ∈dV / Rg k i =1 ∂ x i 3

2008 – 2009


Équation d’équilibre

r r div [σ ] + fv = ρ γ M / Rg 74

Notion de déformation Au cours du chargement d’une structure les particules subissent deux transformations : Un mouvement d’ensemble

r u ( x, y , z )

r

Des déformations des petits cubes élémentaires ε ( x, y , z )

r y r

ε ( x, y , z )

dy

M

2008 – 2009

r u ( x, y , z )

dx

M

r x


75

Déformations vues en 2D r y

r r u ( x, y + dy ) − u( x, y )

r y

ε xx =

∂u x ∂x

dy dy M

M

r r u ( x + dx, y ) − u ( x, y ) r x

dx

r y

ε yy =

∂y

r y

γ = 2ε xy

∂u x ∂u y = + ∂y ∂x

dy

dy M

∂u y

r x

dx

dx 2008 – 2009

r x

M

dx


r x 76

Tenseur des déformations ⎡ε xx ε xy [ε ] = ⎢⎢ε xy ε yy ⎢ ε xz ε yz ⎣

ε xz ⎤ ⎥ ε yz ⎥ = ε zz ⎥⎦

r T r ⎞ 1⎛ ⎜ grad (u )+ grad (u ) ⎟ 2⎝ ⎠

Le tenseur des déformations est symétrique

⎡ ∂u x 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ 1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎜⎜ + + ⎜ ⎟⎥ ⎢ 2 2 ∂ ∂ x y x z x ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎥ ⎠ ⎝ ⎢ r T r ⎞ ⎢ 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ ∂u y 1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎞⎥ 1⎛ ⎟⎟⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ( ) ( ) ⎟ = ⎢ ⎜⎜ + + grad u + grad u ⎜ 2⎝ 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y x y z y ⎠ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎝ ⎠ ⎢ 1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ 1 ⎛ ∂u y ∂u z ⎞ ∂u z ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ + + ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 y z x z ⎠ ⎠ ∂z ⎦ ⎝ ⎣ ⎝ 2008 – 2009


77

Vecteur déformation r

r

ε n (M , n ) De même qu’avec le tenseur des contraintes on peut calculer les déformations en tout point avec le tenseur des déformations

r n1→2

M

r ε (M , n ) r

r

r

r

ε (M, n ) = [ε ]M n

dS r ε t (M , n ) r

On peut décomposer la déformation en deux composantes une normale et une tangentielle

r r r r r r r ε ( M , n ) = ε n ( M , n )n + ε t ( M , n )t r

2008 – 2009


78

Utilisation des rosettes On place une rosette à 45° à la surface d’un matériau. On mesure 3 valeurs de déformation :

r y

r

r

rr

ε n (M, n ) = [ε ]M n.n rr

ε2

[ε ]M x.x = ε 1 = ε xx

ε3

r r [ε ]M y .y = ε 3 = ε yy

ε1

r x

ε xx + ε yy r r r r [ε ]M ( x + y ).( x + y ) / 2 = ε 2 = + ε xy 2

On trouve alors les valeurs du tenseur 2D

2008 – 2009


⎡ε xx

[ε ] = ⎢

⎣ε xy

ε xy ⎤ ε yy ⎥⎦ 79





2008 – 2009


80

Notion d’élasticité σ

σ

ε&

ε Élastique non linéaire

σ

ε Visco Élastique

ε

ε

2008 – 2009

ε inélastique

σ ε

σ

Inélastique avec endommagement

σ

t Relaxation MK03 : Calcul des structures

t Fluage 81

Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrés 4) On se place dans le cas d’un matériau élastique, linéaire, homogène, isotrope. ⎡ 1E ⎡ε xx ⎤ ⎢− ν E ⎢ε ⎥ ⎢ ⎢ yy ⎥ ⎢− ν E ⎢ε zz ⎥ ⎢ ⎢ε ⎥ = ⎢ ⎢ xy ⎥ ⎢ ⎢ε xz ⎥ ⎢ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎣ yz ⎦ ⎢ ⎢ ⎣

−ν E 1E −ν E

⎡σ xx ⎤ ⎡λ + 2μ ⎢σ ⎥ ⎢ ⎢ yy ⎥ ⎢ λ ⎢σ zz ⎥ ⎢ λ ⎢σ ⎥ = ⎢ ⎢ xy ⎥ ⎢ ⎢σ xz ⎥ ⎢ ⎢σ ⎥ ⎢ ⎣ yz ⎦ ⎣ 2008 – 2009

−ν E −ν E 1E

0 1+ν 2

0

λ

λ λ

λ + 2μ λ λ + 2μ 0

1+ν 2

0 2μ 2μ


⎤ ⎥ ⎡σ ⎤ ⎥ ⎢ xx ⎥ ⎥ ⎢σ yy ⎥ ⎥ ⎢σ ⎥ ⎥ ⎢ zz ⎥ ⎥ ⎢σ xy ⎥ ⎥ ⎢σ ⎥ ⎥ ⎢ xz ⎥ 1 + ν ⎥ ⎣σ yz ⎦ ⎥ 2 ⎦

⎤ ⎡ε xx ⎤ ⎥ ⎢ε ⎥ ⎥ ⎢ yy ⎥ ⎥ ⎢ε zz ⎥ ⎥ ⎢ε xy ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ε xz ⎥ 2μ ⎥⎦ ⎢⎣ε yz ⎥⎦ 82

Loi de Hooke (formalisme tenseur de degrés 2) Le matériau est caractérisé par deux paramètres que l’on obtient par des essais mécaniques. E

υ Coefficient de poisson

Module d’Young

La loi de Hooke peut alors s’écrire :

[ε ] = − υ Tr ([σ ])[Id ] + 1 + υ [σ ] E

E

On peut inverser la relation en faisant apparaître les coefficients de Lamé :

[σ ] = λTr ([ε ])[Id ] + 2μ [ε ] On passe des coefficients de Lamé aux paramètres de Hooke par les relations suivantes : E=μ

3λ + 2 μ λ+μ 2008 – 2009

υ=

λ 2(λ + μ )

λ=


Eυ (1 + υ )(1 − 2υ )

μ=

E 2(1 + υ ) 83

Exemple une poutre en traction r −F

r F

[ε ] = − υ Tr ([σ ])[Id ] + 1 + υ [σ ]

⎡σ xx 0 0⎤ [σ ] = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦

σ xx =

F S

E

E

r x

⎡ σ xx ⎤ 0 0 ⎢ E ⎥ ⎢ ⎥ υσ xx [ε ] = ⎢0 − 0⎥ E ⎢ ⎥ υσ ⎢0 0 − xx ⎥ ⎢⎣ E ⎥⎦

On retrouve les 2 résultats bien connus :

ε yy ε zz = = −υ ε xx ε xx

σ xx = E ε xx

2008 – 2009


84

Densité d’énergie de déformation (pour la culture) Soit une structure en matériau ELHI sous contraintes, on peut calculer l’énergie de déformation élastique accumulée dans un élément infiniment petit de matière de volume dV. Cette énergie s’exprime en fonction des tenseurs des contraintes et des déformations : dE d 1 = Tr ([σ ][ε ]) dV 2

De même, on exprime l’énergie totale de déformation élastique par :

Ed =

2008 – 2009

1 Tr ([σ ][ε ])dV 2 ∫∫∫ V


85





2008 – 2009


86

Essai de traction Rupture ductile

σ Rm

Re 0,2% Rupture fragile

E

0,2%

2008 – 2009

A%


ε

87

Cercle de Mohr Rupture des matériaux ductiles selon la plus grand contrainte tangentielle :

τ max =

Rm 2

τ max

La rupture des métaux en traction est due aux contraintes de cisaillement

Rm

σn

Rupture des matériaux fragiles selon la plus grand contrainte normale :

τ

2008 – 2009


88

Critère de Tresca τ

Il n’y a pas de plastification tant que la contrainte de cisaillement max ne dépasse pas la demie limite élastique :

Re 2

τ max

p σ 33

2008 – 2009

2τ max = max σ iiP − σ Pjj < R e

p σ 22

σ 11p


σn

89

Critère de Von Mises Il n’y a pas de plastification tant que la contrainte de Von Mises ne dépasse pas la limite élastique :

σ VM =

σ

P 33

1 2

P P 2 P P 2 P P 2 (σ 11 − σ 22 ) + (σ 11 − σ 33 ) + (σ 22 − σ 33 ) < Re

Basé sur une approche énergétique

P σ 33

P σ 22

σ 11P

σ 11P 2008 – 2009


P σ 22

90

TD d’application Dans un premier temps on a identifié sous Catia le point où les contraintes seront les plus fortes dans une aile d’avion.

On dispose en ce point sur une pièce prototype un rosette à 60°et on relève les mesures suivantes : 1 : Trouver les tenseurs de contraintes et des déformations ainsi que leurs directions principales :

ε 2 = 2 x10 −3 ε 1 = 10 −3

2 : Conclure quant à la tenue de la pièce :

ε 3 = 5 x10 −3 2008 – 2009


91

Matériau : Alliage d’aluminium aéronautique 7175 T7351 On choisit une nuance classique d’alliage aéronautique : 7175 (AW-AlZn5,5MgCu (B)) Si

Fe

Cu

Mn

Mg

Cr

Zn

Ti

autre

Al

0,15

0,20

1,2 2,2

0,1

2,1 2,9

0,18 0,28

5,1 6,1

0,1

0,15

reste

Composition chimique nominale % (selon norme EN 573-1) :

État métallurgique pour des tôles de 1 à 30 mm : T7351 T73 Trempe + sur-revenu désensibilisant à la corrosion sous contrainte Txx51 : détentionnement par traction sans aucun dressage complémentaire après la traction.

Propriétés mécaniques Rm (MPa)

Re0,2 (MPa)

A%

E (GPa)

ρ (kg.m-3)

470

370

8

72

2800

2008 – 2009


92

DEFORMATION CONTRAINTE ET ENERGIE .pdf

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