Calcular la varianza y la desviación estándar para los datos del ejemplo 3. Solución: En primer lugar debemos hallar la suma de los cuarenta valores y la suma de sus cuadrados:
y ahora, según la fórmula que acabamos de obtener:
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA
NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
9. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 9.1 Unidades estadísticas y caracteres. . Se llaman unidades estadísticas o individuos a los componentes de una determinada población de datos centro del estudio estadístico. Cada uno de los individuos de la población puede describirse según uno o varios caracteres.
Cada uno de los caracteres estudiados puede presentar dos o más modalidades. Las modalidades son las diferentes situaciones posibles del carácter, y deben ser al mismo tiempo, incompatibles y exhaustivas. Ejemplo 1: El personal de una empresa (unidades estadísticas), del cual puede ser realizado un estudio estadístico de su edad, sexo, antigüedad, sueldo, etc. (caracteres). Por ejemplo, de la antigüedad podría subdividirse en "menos de tres años", "entre tres y diez años" y "más de diez años" (modalidades). Ejemplo 2: La totalidad de barcos fabricados en un determinado periodo de tiempo (unidades estadísticas), de la que se hace un estudio del material de fabricación, capacidad, modalidades de uso, etc. (caracteres). Por ejemplo, en cuanto a las modalidades de uso pueden ser: transporte y mercancías. * Carácter cuali tativo y cuantitativo. Un caracter se dice cualitativo si sus diversas modalidades no son expresables numéricamente (por ejemplo: sexo, profesión...). Un caracter se dice cuantitativo si sus diversas modalidades se expresan numéricamente (por ejemplo: sueldo, edad, ...). A este número se le llama variable estadística. NOTA: Nosotros en este tema nos limitaremos a tratar únicamente
caracteres cuantitativos. Una variables estadística se llama discreta si sus valores son números aislados (por ejemplo, números enteros como sucede en el caso de "número de hijos", pues nadie tiene 1,57 hijos ). Una variable estadística se llama continua si sus valores pueden ser cualquier número (por ejemplo, el "tamaño de una pieza").
9.2 Distribuciones estadísticas de una carácter. Consideremos una población estadística de n indivíduos descrita según el carácter C, cuyas k modalidades son: C1, C2, ... , Ci, ... , C k
Se designa por ni el número de individuos que presentan la modalidad Ci , y se la llama "frecuencia absoluta" de la modalidad Ci. Por otra parte, se llama "frecuencia relativa" o simplemente "frecuencia" de la modalidad Ci a la proporción:
Como las modalidades son a la vez incompatibles y exhaustivas, la suma de las frecuencias absolutas es igual a la población total, y la suma de las frecuencias es igual a la unidad, es decir:
Cuando la variable estadística es continua, las modalidades del carácter son las clases de valores posibles definidas por los extremos de clase. Por ejemplo, si designamos por eo, ..., ei, ..., ek los elementos de clase, tal como se muestra en la gráfica:
entonces la clase nº i estará definida por el intervalo:
* Marca de la clase nº i viene definida por:
* Distancia entre las marcas de las clases nº i y nº i+1 viene definida por:
* Amplitud de la clase nº i viene definida por:
* Frecuencia relativa acumulada : es la proporción de observaciones cuyos valores son menores o iguales al límite superior de la clase, o, en forma equivalente, menores que el límite inferior de la siguiente clase.
Una observación: La cantidad de clases a emplear para clasificar los datos en un conjunto están en íntima dependencia del total de observaciones de éste. Si la cantidad de observaciones es relativamente pequeña, la cantidad de clases a emplear será cercana a 5. Si existe una cantidad sustancial de datos, la cantidad de clases debe encontrarse entre 8 y 12, aunque generalmente no suele superarse a 15. Ejemplo 3: De acuerdo con los datos publicados en la revista Sea men's en su número de febrero de 1980, las cuotas anuales de 40 compañías para un seguro de $25.000 por marino incluido en la tripulación son las siguientes: $ 82 - 85 - 86 - 87 - 87 - 89 - 89 - 90 - 91 - 91 - 92 - 93 - 94 - 95 - 95 95 - 95 - 95 - 97 - 98 - 99 - 99 - 100 - 100 - 101 - 101 - 103 - 103- 103 - 104 - 105 - 105 - 106 - 107 - 107 - 107 - 109 - 110 - 110 - 111
Como la diferencia entre los valores extremos es 111 - 82 = 29, al decidir -por ejemplo- utilizar 6 clases, el intervalo de cada clase será aproximadamente de $5. Para establecer los límites de cada clase, hay que considerar la unidad más cercana con respecto a la cual se miden las observaciones. En este caso se va a redondear al dolar más cercano. Con estos datos podemos establecer la siguiente tabla: Agrupamiento y frecuencias absolutas y acumuladas del ejemplo 3 Límites de clase
Marca de clase
Frecuencia, f i
82-86 87-91 92-96 97-101 102-106 107-111 Totales
84 89 94 99 104 109
3 7 8 8 7 7 40
Frecuencia relativa f i /n 3/40 = 0,075 7/40 = 0,175 8/40 = 0,200 8/40 = 0,200 7/40 = 0,175 7/40 = 0,175
Frec. acumulada
Frec. relativa acumulada
3 10 18 26 33 40
3/40 = 0,075 10/40 = 0,250 18/40 = 0,450 26/40 = 0,650 33/40 = 0,825 40/40 = 1,000
1,000
9.3 Representación gráfica de las distribuciones Aunque una tabla estadística encierra toda la información disponible, para realizar una síntesis visual de los datos es recomendable pasarla a forma gráfica. El principio de la representación de los caracteres es la proporcionalidad de las áreas con las frecuencias absolutas. Se pueden utilizar diagramas de sectores, o de rectángulos (denominado histográma) . También se
pueden representar las frecuencias acumuladas, dando lugar a la denominada curva de distribución, denotada por F(x).
Representación gráfica por sectores de los datos d el ejemplo 3.
Histograma de los datos del ejemplo 3.
Curva de distribución de los datos del ejemplo 3.
Otra característica gráfica útil de un conjunto de datos, es la distribución de frecuencia relativa acumulativa u ojiva. Se trata de una poli-línea que se obtiene trazando en el eje vertical la frecuencia relativa acumulada (última columna de la tabla) de cada clase y en el eje horizontal el límite inferior de la clase siguiente, y uniendo con segmentos los puntos consecutivos así obtenidos. El principal uso de la distribución acumulativa es lo que comúnmente se conoce como cuantíles. En una distribución de frecuencia relativa acumulativa se define cuantíl como el valor bajo el cual se encuentra una determinada proporción de los valores de la distribución. El valor del cuantíl se lee en la dirección opuesta, en el eje horizontal, a la proporción correspondiente deseada sobre el eje vertical. El cuantíl más común es el percentíl. Por ejemplo, qo.2 es el valor bajo el cual se encuentra el 20% de los valores de la distribución, y qo.9 es el valor bajo el cual se
encuentra el 90% de los valores de la distribución, tal como se aprecia en la gráfica adjunta.
9.4 Descripción numérica de una variable estadística. Para todo conjunto de datos hay dos medidas destacables: la localización de su centro, y su variabilidad . La tendencia central de un conjunto de datos es la disposición de éstos para agruparse ya sea alrededor del centro o de ciertos valores numéricos. La variabilidad de un conjunto de datos es la dispersión de las observaciones en el conjunto. * Características de tendencia central: Se llama mediana al valor de la variable estadística que divide en dos bloques iguales a los individuos de la población, suponiendo que están ordenados por valor creciente del carácter. Si la cantidad de observaciones es un número impar , la mediana es el valor de la observación que se encuentra a la mitad del conjunto ordenado. Si la cantidad de observaciones es par , la mediana es la media aritmética de las dos observaciones que se encuentran en la mitad del conjunto ordenado. Para datos agrupados, la mediana es aquel valor que divide en dos partes iguales la distribución de frecuencia relativa. La fórmula en este caso viene dada por: Mediana = L + c(j/f m) donde L es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana, f m es la frecuencia de esa clase, y j es la cantidad de
observaciones en esta clase que son necesarias para completar un total de n/2. Se llama moda de una variable estadística al valor del carácter que tiene mayor frecuencia. En el caso de que haya varios valores compartiendo la frecuencia máxima esta moda puede tener una utilidad muy limitada. Para el caso de datos agrupados, la moda es el punto medio de la clase que presenta una mayor frecuencia. Se llama media de una variable estadística, denotada por a la suma ponderada de los valores posibles por sus respectivas frecuencias:
Cuando la variable estadística es contínua, es decir, los datos están agrupados, los valores xi son las marcas de clase de cada uno de los intervalos.
Ejemplo 4: Calcular las tres medidas de tendencia central para el ejemplo 3. Solución: Teniendo en cuenta que eran 40 observaciones, se obtiene que: la mediana es la medida de los dos valores correspondientes a las observaciones 20 y 21, después de haberlas ordenado en orden creciente, es decir: (98+99)/2 = 98,50. La media en este caso es:
En cuanto a la moda es 95, el valor que más se repite, con una frecuencia de 5 observaciones.
* Características de tendencia central: Se denomina varianza de una variable estadística, y se denota por s² al promedio del cuadro de las distancias entre cada observación y la media:
Se llama desviación típica de una variable estadística, s, a la raíz cuadrada positiva de la varianza:
Para ciertos casos, tanto en en la fórmula de s² como en la de s, podemos expresar el recorrido del índice i entre 1 y n, en lugar de entre 1 y k, por ejemplo, para la varianza podemos poner:
De aquí podemos extraer otra fórmula muy empleada, para ello desarrollamos el cuadrado:
y por tanto, la desviación típica (o desviación estándar ) puede expresarse también:
Ejemplo 4: Calcular la varianza y la desviación estándar para los datos del ejemplo 3. Solución: En primer lugar debemos hallar la suma de los cuarenta valores y la suma de sus cuadrados:
y ahora, según la fórmula que acabamos de obtener:
Para datos agrupados la varianza y la desviación típica pueden calcularse de forma aproximada mediante las siguientes expresiones:
Ejemplo 5: Calcular los valores aproximados de la varianza y la desviación estándar para los datos del ejemplo 3 considerándolos como agrupados. Solución: Con los datos del ejemplo 3 podemos establecer la siguiente tabla ( NOTA: En xi se coloca el punto medio de la clase): xi² f i.xi²
xi
f i
84
3
7056
89
7
7921
94
8
8836
99
8
9801
104
7
10816
21 168 55 447 70 688 78 408 75 712
109
7
Total
40
11881
83 167 384 590
Ahora establecemos las siguientes cantidades:
Por lo tanto, tenemos:
Se llama desviación media al promedio de los valores absolutos de la diferencia entre cada observación y la media de las observaciones. La desviación media viene dada por:
Para datos agrupados, el valor aproximado de la desviación media se expresa:
Ejemplo 6: Hallar la desviación media para los valores no agrupados del ejemplo 3. Solución: Solamente tenemos que considerar la expresión para la desviación media, que en este caso es:
D.M = 264,2/40 = 6,61
La desviación mediana es el promedio de los valores absolutos de las diferencias entre cada observación y la mediana de éstas. La desviación mediana viene dada por:
El recorrido, R, de las observaciones en un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño del conjunto. El recorrido intercuantil es la diferencia entre los percentiles 75-avo y 25-avo. El recorrido interdecil es la diferencia entre los percentiles 90-avo y 10-avo (décimo). * Resumen de las medidas numéricas descriptivas para el ejemplo 3. Medida Datos no numérica agrupados Medida 97,90 Mediana 98,50 Moda 95,00 Varianza 61,015 Desv. 7,81 estándar Desv. 6,61 media Desv. 6,60 mediana Recorrido 29,0 Rec. --intercuantil Rec. --interdecil
Datos agrupados 97,75 98,25 96,50 61,217 7,82 6,63 6,57 --12,50 22,00
Ejercicios para el alumno: 1. Los siguientes datos son los tiempos, en minutos, necesarios para que 50 clientes de un banco comercial lleven a cabo una transacción bancaria: 2,3 2,4 3,3
0,2 4,4 9,7
2,9 5,8 2,5
0,4 2,8 5,6
2,8 3,3 9,5
1,8 7,8 3,1 2,4 0,4 4,2 6,3
4,7 0,8 3,7 4,6 1,2 1,2 7,6
0,7 0,9 7,2 3,8 1,1 0,5 1,4
6,2 0,4 1,6 1,5 5,5 6,8 0,5
1,2 1,3 1,9 2,7 3,4 5,2 1,4
a) Construir una distribución de frecuencia relativa. b) Construir una distribución de frecuencia relativa acumulada. c) Con los resultados del apartado (b), determinar los recorridos intercuantil e interdecil. d) Con los datos agrupados, calcular: media, mediana, moda, desviación estándar, desviación media y desviación mediana. e) Verificar los resultados del apartado (d) calculando las mismas medidas para los datos no agrupados. 2. La demanda diaria, en unidades de un cierto producto, durante 30 días de trabajo es: 38 67 28 49 47
35 63 25 78 66
76 33 36 48 58
58 69 32 42 44
48 53 61 72 44
59 51 57 52 56
a) Construir la distribuciones de frecuencia relativa y de frecuencia relativa acumulada b) Con la distribución acumulada, determinar los tres cuantiles. c) Calcular la media, mediana, moda, desviación estándar, desviación media y desviación mediana, empleando tanto los datos agrupados como los no agrupados, y comparar los dos conjuntos de resultados. 3. Los siguientes datos agrupados representan los pagos por almacenamiento para los 50 más grandes detallistas durante el año 1979. Límites de clase 1,10 - 1,86 1,87 - 2,63 2,64 - 3,40 3,41 - 4,17 4,18 - 4,94 4,95 - 5,71 5,72 - 6,48 6,49 - 7,25
Frecuencias 4 14 11 9 7 1 2 2
a) Construir el gráfico de la distribución de frecuencia relativa acumulada. b) Con los resultados del apartado (a), determinar los recorridos intercuantil e interdecil. c) Calcular: media, mediana y moda.
d) Calcular la varianza, desviación estándar, desviación media y desviación mediana. 4. La siguiente información agrupada representa el número de puntos anotados por equipo y por juego en la Liga Nacional de Fútbol Americano durante la temporada de 1973: Grupo
Frecuencia
0-3 4-10 11-17 18-24 25-31 32-38 39-45 46-52
27 66 91 70 57 34 16 3
a) Construir el gráfico de la distribución de frecuencia relativa b) Calcular: media, mediana y moda. c) Calcular la varianza, desviación estándar y desviación media. 5. Se seleccionaron 20 baterías aleatoriamente de un proceso de fabricación , y se llevó a cabo una prueba para determinar la duración de éstas. Los siguientes datos representan el tiempo de duración en horas para las 20 baterías: 52,5 58,9 62,3 56,8
62,7 57,3 64,4 53,1
58,9 60,4 52,7 58,7
65,7 59,6 54,9 61,6
49,3 58,1 48,8 63,3
a) Calcular: media y mediana. b) Determinar desviación estándar, desviación media y desviación mediana. c) Determinar los recorridos intercuantil e interdecil.
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