Identidades Trigonométricas, demostraciones y ejercicios.Full description
Identidades Trigonométricas, demostraciones y ejercicios.Descripción completa
Dominio de identidades trigonometricasDescripción completa
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TRIGO
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Demostración de Desviación EstándarDescripción completa
Este documente desarrolla la demostración matemática del teorema de muestreo y reconstrucción de la señal, así como también se realiza una simulación en el software de MATLAB para comprob…Descripción completa
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
Definición: Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
Demostración de una identidad: Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x Comprobamos que: Si x=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1
+
1
=
√2
. √2
Recíprocas: Sen x =
1
.
Cosec x =
Cosec x Cos x =
1
.
1
.
Ctg x
.
Sen x Sec x =
Sec x Tg x =
1
1
.
Cos x Ctg x =
1 Tg x
.
cos x sen x = -------ctg x
sen x tan x = -------csc x
sen x cos x = -----tan x
cos x ctg x = -------
sen x
Pitagóricas • sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1
Demostración: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos: Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen x Sen x Sen x 1 . – Cos² x = Sen x Sen x Sen x 1 – Cos ² x = Sen x
Sen x Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x
Simplificación •
Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x .
Sen x Cos x
+1
Cos x . Sen x + Cos x Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
Tipo Condicional •
Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida. Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución: (Tg x + Ctg x) ² = (4) ² Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16 Tg² x + Ctg² x = 16 – 2 Tg² x + Ctg² x = 14
Eliminación Angular Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. ß de: x = 4 Senß y = 5 Cosß x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß •
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß X²/16 + y²/25 = 1
Definición: - Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre ecuaciones trigonométricas de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica. - Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.
• Ejemplo: Sen
2x
2x + Cos x = 0
sí es E.T.
+ 3 Tan x = √2 no es E.T.
Sen
E.T.
x + Sen 2x + Sen 3x = 1
sí es
Soluciones Generales: • Para Sen y Cosc: n Л + (-1) V.P. k
• Para Cos y Sec: 2n Л + - V.P k
• Para Tag y Cotg: m Л + V.P. k
• Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas.
• Son aquellas que presentan la siguiente forma: F.T. (Kx) = a
• Donde: K Є R – {0} ; a Є R
Ejemplo: – Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0 – Resolución: • Resolviendo la ecuación tenemos: Cotg 3 X -1 = 0 Cotg 3x = 1 • Hallando la soluciones generales para la cotangente: x = n Л + arc Cotg (1) 3 x = n Л + Л; o también; 3 12 x = 60° n + 15° Solución General
• Luego (n Є Z) n = 0 x = 60° (0) + 15° = 15° n = 1 x = 60° (1) + 15° = 75° n = 2 x = 60° (2) + 15° = 135° C.S = { 15° ; 75° ; 135°}
• Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.
Ejemplo: – Hallar el menor valor positivo de “x” en: 4 Sen x Cos x – 1 = 0
– Resolución: • Recordemos que: Sen 2 x = 2 Sen x Cos x
En la ecuación tenemos: 2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0 2 Sen 2x – 1 = 0 Sen 2x = 1 2
Recomendaciones Generales para resolver una E.T. 1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico. 2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.
“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de