Demostracion del teorema de muestreo y Reconstrucion de la se ˜ se ˜ nal Jairo Ca´ Ca´ın ın S anchez a´ nchez Estrada M. en C. en Ingen´ Ingen´ıa ıa Electronica o´ nica y Computacion o´ n Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenier´ıas ıas Universidad de Guadalajara
Abstract
SeñalAnalogica
Tren de Impulsos
1
1 0.8
0.5
Este documente desarrolla la demostracion matematica del teorema de muestreo y reconstruccion de la senal, ˜ asi como tambien se realiza una simulacion en el software de MATLAB para comprobar lo demostrado.
) t * i p * ) 5 2 / 1 ( ( n i s
) 0.6 T n − t ( &0.4
0
−0.5
−1 −50
0.2
0
50
0 −50
100
0
−50
50
100
−50
1
0.5 ) t ( T g
0
−0.5
−1 −50
0
50
100
−50
1.
Teorema eorema del Muestr Muestreo eo
El muestreo es la conversion de una se nal n˜ al en tiempo continuo a una se nal n˜ al en tiempo discreto obtenida tomando muestras de la se nal n˜ al en tiempo continuo en instantes de tiempo discreto[1]. Sea g (t) una funcion cualquiera definida para todo t, que representa una se nal n˜ al analogica, y δ (t) una funcion tal que:
δ (t) =
1 0
si si
t = 0 t =0
(2)
(3)
se verifica que g (T ) representa una muestra de la se nal ˜ analogica en el instante t = T . Por lo tanto el conjunto de muestras en diferentes instantes de tiempo que se obtienen ˜ analogica es: de una senal
g (t)δ (t)+g(t)δ (t−T s )+g (t)δ (t−2T s )+...+g (t)δ (t−nT s ) (4) pudiendo representar la se˜nal nal muestreada g T (t), mediante una suma de productos de la se nal n˜ al analogica con los impulsos unitarios desplazados en el tiempo: n=∞
gT (t) =
n=−∞
g (t)δ (t − nT s )
gT (t) = g (t)
(1)
que representa una muestra de la se nal n˜ al analogica en el instante cero. si ahora δ (t) se recorre una constante de tiempo δ (t − T ) y se realiza de nuevo el producto con la se˜nal nal analogica se obtiene:
g(t)δ (t − T s ) = g (T s )
o bien como un producto de la se nal n˜ al analogica g (t) y un tren de impulsos unitarios figure 1: n=∞
el producto de ambas funciones resulta:
g (t)δ (t) = g (0)
Figura 1: senal ˜ muestreada muestreada a partir partir de la mutiplic mutiplicacion acion de una senal n˜ al analogic analogicaa senoid senoidal al y un tren tren de impuls impulsos os (MATLAB).
(5)
δ (t − nT s )
(6)
n=−∞
Por la propiedad de que cualquier producto se convierte en una convolucion en el dominio de la transformada de fourier es posible determinar la transformada de fourier de la se˜ senal n˜ al muestrea muestreada da F { mediante te la convo convoluc lucion ion de { gT (t)}, median la transformada del tren de impulsos y la transformada de la senal n˜ al analogica figure 2. n=∞
F
n=−∞
δ (t − nT s )
n = T s
n=∞
δ (f − −
n=−∞
n F { { gT (t)} = G T (f ) = G (f ) ∗ T s
1 T s
n=∞
n=−∞
δ (f − −
) 1
T s
(7)
) (8)
suponi suponiedo edo que el espect espectro ro en frecue frecuenci nciaa de la se nal n˜ al analogica es como la figure 3, la se nal n˜ al se compone por frecuencias desde −f G hasta f G , el espectro en frecuencia del tren de impulsos tiene frecuencias de −f a f . Si se analiza el espectro en frecuencia de la se nal n˜ al muestreada se puede puede observ observar ar que GT (f ) represen representa ta un espectro espectro 1 continuo periodico con periodo T el cual por supuesto es el periodo de muestreo, el espectro continuo de la se˜nal nal
Transformada de Fourier de la SeñalAnalogica 60
8
50
) f ( &
4 2
30
(9)
20
0 0
50
−10 −50
100
0
−50
50
100
−50
500 400 300 ) f ( T G
≥ 2 f m
10
0 −2 −50
T s
40
6 ) f ( G
1
Transformada de Fourier delTren de Impulsos
10
y ya que T s es el periodo de muestreo o el tiempo entre cada impulso en el tren de impulsos, se puede representar por medio de la frecuencia de muestreo:
200 100
1
0 −100 −150
−100
−50
0 −150
50
100
150
T s Figura 2: Convolucion de dos espectros en frecuencia, un ˜ seno con frecuencia de 25Hz y un espectro de una se nal espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la se˜nal muestreada (MATLAB).
= f s ≥ 2 f m
(10)
lo que implica que la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a la frecuencia maxima de la se n˜ al analogica que se desea muestrear.
2.
Recontruccion de la Se ˜ nal Muestreada
El proceso de reconstrucion de una se˜nal discreta es lo inverso al muestreo, aqui se requiere convertir la se n˜ al discreta en una sen˜ al analogica. De la ecuacion 5 se obtiene: n=∞
gT (t) =
g(nT s )δ (t − nT s )
(11)
n=−∞
Figura 3: Convolucion de dos espectros en frecuencia, un espectro de una sen˜ al cualesquiera y un espectro de un tren de impulsos, que genera el espectro de la se nal ˜ muestreada.
ya que el impulso desplazado solo tiene valor diferente de cero para t = nT s , por lo tanto no importa el valor que = T S , pues el producto sera equivalente tenga g (t) para t g (nT s )δ (t − nT s ). Tomando la transformada de fourier en ambos lados de la ecuacion 11:
F { δ (t − nT s )} = e
j 2πnfT s
−
(12)
n=∞
GT (f ) = muestreada surge por la operacion de convolucion que se efectuo en la ecuacion 8. se puede apreciar que el espectro de la sen˜ al analogica se distribuyo sobre todo el intervalo del espectro del tren de impulsos. Es aqui donde surge el teorema de muestreo de nyquist, observese de nuevo la figure 3, como se habia mencionado antes los espectros se convolucionan resultando un espectro final que no es mas que el espectro de la se n˜ al analogica distribuido periodicamente, del cual eliminando todos los ciclos del espectro de la se n˜ al analogica excepto el ciclo centrado en f = 0, se puede aplicar la inversa de la transformada de fourier y obtener la se˜nal analogica original, sin embargo si el periodo T 1s es menor que 2 f m entonces ˜ muestreada se traslapan los ciclos en el espectro de la se nal y es imposible aislar el ciclo centrado en cero ya que ahora tendria frecuencias traslapadas[2], por tal motivo:
g (nT s )e
j 2πnfT s
−
(13)
n=−∞
y como se demostro anteriormente se debe elegir una frecuencia de muestreo igual o mayor a dos veces la frecuencia maxima, en este caso se elige f s = 2f m teniendo por tal T s = 2f 1m , sustituyendo en la ecuacion 13: n=∞
GT (f ) =
n=−∞
g(
−j πnf n )e f m 2f m 2
2
(14)
Observando la figure 3 se puede comprobar que se puede recuperar el espectro original G (f ) a partir del espectro de la se˜nal muestreada GT (f ) como se menciono anteriormente. La ecuacion 14 escala g (nT s ) en un factor de 2f 1m por lo tanto G T (f ) se puede representar mediante:
G(f ) =
1 2f m
GT (f )
− f m ≤ f ≤ f m
(15)
Por lo tanto la se n˜ al reconstruida: n=∞
g (t) =
n=−∞
n=∞
G(f ) =
2f m
g(
n=−∞
−j πnf n )e f m 2f m 2
(16)
3.
g(t) = F
1
−
2f m
f m
g(t) =
n=∞
f m
−
2f m
2
2
n=−∞
n=∞
1
g(
n=−∞
−j πnf n g( )e f m 2f m
(17)
−j πnf n )e f m ej 2πf t df (18) 2f m 2
2
La integral en la transformada inversa de fourier se evalua desde la frecuencia −f m a f m por que solo se quiere convertir al dominio del tiempo el espectro centrado en cero o mejor dicho el espectro de la se n˜ al analogica. Como solo las exponenciales estan en funcion de f la integral se puede recorrer sacando como constante los demas terminos: n=∞
g (t) =
n=−∞
1
n g( ) 2f m 2f m
f m
ej 2πf (t
−
n 2f m
)
df (19)
f m
−
Integrando la exponencial con respecto a f y evaluando la integral definida se obtiene el seno dividido entre su argumento, que no es mas que la funcion sinc: f m
j 2πf (t− 2f n )
e
m
df =
ej 2πf m (t
f m
−
n
− e j 2πf m(t j 2π(t − 2f nm )
−
2f m
)
−
−
n 2f m
(20) f m
ej 2πf (t
−
f m
−
n 2f m
)
df =
sin(2πf m t − nπ) 2πf m t − nπ
(21)
Codigo Simulacion Matlab Codigo Main
Si se conocen todas las muestras de la se n˜ al analogica g (t) entonces la transformada de fourier esta univocamente determinada por la representacion en serie de fourier de la ecuacion 16. ademas puesto que G (t) se puede determinar a partir de su espectro G(f ) utilizando la transformada inversa de fourier, la se n˜ al original esta tambien univocamente determinada por las muestras de la se n˜ al analogica. Se considerara ahora reconstruir la se n˜ al a partir de las muestras utilizando la transformada inversa de fourier:
1
(22)
−f m ≤ f ≤ f m
2
n sin(2πf m t − nπ) ) 2f m 2πf mt − nπ
La ecuacion 22 es la formula para reconstruir la se n˜ al original a partir de las muestras, siendo la funcion sinc la funcion interpoladora. Si se presta atencion la funcion sinc representa un filtro pasa bajas de ancho de banda f m cuya entrada es la se n˜ al muestreada figure 4.
Figura 4: Reconstrucion de la se n˜ al muestreada por medio de la Transformada inversa de fourier (MATLAB).
1
g(
)
clear all close all T=50; sample=50; t=0.01-T:0.01:2*T; t2=0.02-3*T:0.01:3*T; signal=sin((1/25)*pi*t); trendepulsos=pulsetrain(sample,3*T,0.01,1); muestreada=signal.*trendepulsos; figure(1) subplot(2,2,1); plot(t,signal) xlabel(’-50¡t¡100’) ylabel(’sin((1/25)*pi*t)’) title(’Se˜nal Analogica’) subplot(2,2,2); stem(t,trendepulsos) xlabel(’-50¡t¡100’) title(’Tren de Impulsos’) subplot(2,2,[3:4]); stem(t,muestreada) xlabel(’-50¡t¡100’) ylabel(’gT(t)’) title(’Se˜nal Muestreada’) fouriersignal=fftshift(fft(signal)); figure(2) subplot(2,2,1); stem(t,fouriersignal) xlabel(’-50¡f¡100’) ylabel(’G(f)’) title(’Transformada de Fourier de la Se n˜ al Analogica’) fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos)); subplot(2,2,2); stem(t,fouriertren)
xlabel(’-50¡f¡100’) title(’Transformada de Fourier del Tren de Impulsos’) convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal); subplot(2,2,[3:4]); stem(t2,convolucion) xlabel(’-150¡f¡150’) ylabel(’GT(f)’) title(’Transformada de Fourier de la Se nal ˜ Muestreada’) fouriersignal=fftshift(fft(signal)); figure(3) stem(t,fouriersignal); fouriertren=fftshift(fft(trendepulsos)); figure(4) stem(t,fouriertren); convolucion=conv(fouriertren,fouriersignal); figure(5) subplot(2,1,1) stem(t2,convolucion); xlabel(’-150¡f¡150’) ylabel(’GT(f)’) ˜ Muestreada’) title(’Transformada de Fourier de la Se nal analogica = ifftshift(ifft(convolucion)) subplot(2,1,2) stem(t2,analogica); xlabel(’-150¡t¡150’) ylabel(’g(t)’) title(’se n˜ al Analogica Reconstruida’)
Funcion generadora del tren de impulsos. function pt=pulsetrain(Size,t,incre,Amplitude) pt=zeros(1,t/incre); for j=1:(t/(Size*incre)):(t/incre) pt(j)=Amplitude; end end
Referencias [1] John G.Proakis y Dimitris G.Manolakis Author, ”Tratamiento Digital de Senales,” A Book, Madrid,1998. [2] Jonh C. Bellamy,”Digital Telephone,”A Book, USA, 2000.
