Demostracion de como se llega a la forma de los limites notables
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Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recorda…Descripción completa
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Descripción: Orientar a los padres en algunas situaciones normales pero de difícil manejo: berrinches,agresión, mentiras y robo, identificar las características deseables de la puesta de límites, recordar las p...
Teoremas de Calculo integralDescripción completa
Descripción: Demostración de la expresión de la divergencia de un campo vectorial y teorema de Gauss
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matematica
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Descripción: Cocientes Notables
Ejercicios de productos notables
Descripción: Productos Notables
Descripción: teoría de productos notables perteneciente al curso de algebra, con sus respectivos ejercicios
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Triángulos Notables
LIMITES NOTABLES:
Demostráremos en esta sección que bajo ciertas condiciones existen limites notables como ser:
lim lim
x0
senx x
; en este caso es claro ver que si reemplazamos el valor de x 0 en la función dada
tendremos: lim lim
x 0
lim lim
x0
senx x
senx x
0 que sería una indeterminación. Lo que se va a demostrar es que: 0
1 .-
Q P
x A
R
T
Trabajaremos sobre una cuarta parte de un u n circulo trigonométrico de radio unitario. Se denominará :”x” al ángulo en estudio Esta demostración parte de una comparación de áreas generada en la gráfica anterior, las cuales se denominan:
1 AT .PR 2 1 Área del triángulo: AQT AT .QT 2 1 Área del sector circular: APT x . AP 2 Área del triángulo: APT
De la gráfica claramente podemos ver que la relación entre ellas, teniendo en cuenta sus superficies es la siguiente: Área del triángulo APT < Área del sector circular: APT < Área del triángulo AQT Al plantear esta desigualdad en función de la medida de sus lados, tendremo t endremos: s:
1 1 1 AT . PR x . AP AT .QT 2 2 2
(I)
Si tenemos en cuanta que se trabaja sobre la base de un triángulo trigonométrico de radio unitario podemos plantear :
AP AT 1 reemplazando en (I) : . PR x .QT (II)
1
PR PR AP . sen x sen x AP De la misma gráfica surge: tg x QT QT AT .tg x AT Reemplazando en (II) : AP . sen x x AT .tg x pero: AP AT 1 sen x tg Escribiendo esta expresión utilizando las relacione r elacioness entre las funciones f unciones trigonométricas trigonométricas tendremos: sen x x
sen x
(III)
.
si a esta expresión se la divido en todos sus miembros por sen x :
cos x
sen x sen x
x sen x
sen x
cos x. sen x
1
x sen x
1 cos x
Posteriormente se debe invertir la expresión, teniendo en cuanta que al hacerlo cambia el sentido de la desigualdad:
1
sen x
cos x reordenando cos x
sen x
1 posteriormente se toma limite cuando la variable tiende
a cero en cada uno de sus miembros: lim lim cos x lim lim x 0
tendremos: 1 lim lim
sen x
x 0
x
sen x
x 0
x
lim 1 luego calculando estos limites lim x 0
1 al presentarse esta situación debemos razón de la siguiente manera, es obvio
pensar que si una expresión es a la vez mayo y menor que uno, la única alternativa que se tiene es de que dicha relación valga uno:
lim lim
sen x
x 0
x
1
Con lo cual se demuestra el limite, esta expresión se puede generalizar de la siguiente siguiente manera:
lim lim
x 0
sen ax ax
1
Ejemplo 1: sen3 x
Calcular:
lim lim
sen3 x
x 0 sen5 x
lim lim
sen3 x
x 0 sen5 x
3 x.
sen 3 x sen 5 x 3 x como lim lim lim 1 ; lim 1 tendremos: sen5 x x 0 x 0 3 x x 0 5 x 5 x. 5 x
lim lim
3 x 3 3 lim lim 5 x 0 5 x x0 5
lim lim
Puede notarse que en el ejercicio se trata de generar el límite notable multiplicando y dividiendo por un valor que sea igual al argumento a rgumento de la función trigonométrica .Límite notable:
lim lim
x 0
tgax ax
1
Para demostrar este límite usaremos el ya demostrado lim lim
x 0
expresión a demostrar de la siguiente siguiente manera:
2
sen ax ax
1 , para lo cual escribiremos la
sen ax
lim lim
x 0
cos ax ax
lim lim
sen ax
x 0 ax . cos ax
lim lim
x 0
sen ax ax
1 1 1. 1 con lo cual se demuestra el límite. 1 x 0 cos ax
. lim lim
Como podrá verse se utilizó la propiedad del limite de un producto. x
1 lim 1 e Limite Notable: lim x x En este caso se debe tener en cuanta que el valor “e” se refiere a la base de los logaritmos neperianos.Para poder demostrar esta expresión usaremos el enunciado del Teorema del Binomio de Newton: k n n n n! n a b a n k .bk donde k k k !.(n k )! k 1 x x 1 0 x x 1 1 1 x x 2 1 2 x x3 1 3 x x 4 1 4 1 1 .1 . .1 . .1 . .1 . .1 . ..... x x 2 x 3 x 4 x 0 x 1 x
x x x( x 1)! x! x! x! 1 x 0 1 0 !.( x 0 )! x ! 1 !.( x 1 )! ( x 1 )! x x ( x 1)( x 2)! x( x 1) x! 2 2 !.( x 2 )! 2 !.( x 2 )! 2! x x ( x 1)( x 2)( x 3)! x( x 1)( x 2) x! 3 3 !.( x 3 )! 3 !.( x 3 )! 3! x x ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)! x( x 1)( x 2)( x 3) x! 4 4 !.( x 4 )! 4 !.( x 4 )! 4! Posteriormente reemplazamos estos valores y tendremos: 2
x
3
x( x 1)( x 2) x 3 1 1 x x 1 1 x ( x 1) x 2 1 .1 . .1 . 1 1.1 .1 x.1 . 2! 3! x x x x
x( x 1)( x 2)( x 3)
4!
.1
x 4 1
4
. ..... x
x
1 x( x 1)( x 2) 1 x( x 1)( x 2)( x 3) 1 1 1 x( x 1) .1. . .1. .......... 1 1 x.1. 2! 3! 4! x x x 2 x 3 x 4
A continuación sacamos factor común “x” de cada uno de los paréntesis:
3
x
1 1 1 1 x. x x
x. x1
2!
1
3 1 2 1 2 x. x. x1 1 x. x. x. x1 1 1 x 1 x x . 1 x x x 1 .... . x 2
x 3
3!
x 4
4!
Operando y tendremos: x
1 1 1 1 x. x x
x 2 1
1
1 2 1 2 3 x 3 1 1 x 4 1 1 1 x 1 x x 1 x x x 1 .............. . . 2
2!
x 3
3!
4!
x 4
Simplificamos: 1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 1 .............. . 1 1 1 2! 3! 4! x En esta expresión tomamos límite cuando la variable var iable tiende al infinito x
1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 1 lim .............. lim lim 1 lim lim 2 lim . lim lim lim 2! 3! 4! x x x x x x x
Si tenemos en cuanta que: lim lim
a
x x n
0 , la expresión anterior adopta la forma: x
1 1 1 1 lim 1 2 . .......... .... 2! 3! 4! x x Al desarrollar los factoriales: x
x
1 1 1 1 1 lim 1 2 . .......... ... . lim 1 2 0,5 0.16666... 0.0416666..... ... 2 6 24 x x x x Al hacer la suma de estos valores obtenidos en el segundo miembro, la misma se acercar{a al valor de la base de los logaritmos neperianos: e 2,718281828 ... Por lo tanto de esta forma se puede concluir que: x
1 lim lim 1 e x x 1
Limite Notable:
lim lim 1 x x e
x0
Para este caso usaremos la propiedad demostrada anteriormente, pero se hace necesario realizar un cambio e base sobre el mismos, para lo cual se adoptar{a:
1 1 u x lim lim 1 x x Adoptamos x u x0 Si x 0 entonces : u por lo tanto la la expresión anterior se convierte convierte en : 1
4
u
1 lim lim 1 e u u Con lo cual se demuestra el valor de este nuevo limite notable.En resumidas cuentas los límites notables vistos son:
