Demostracion Transformada de Laplace CAP

“Saber para ser” 

  

Carlos Morejón Ángel Usca Paúl Yunga

Ing. Javier Gavilanez

8vo “B”

03/05/2017

1. Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

 ,,  ∈  1, 2 ∈ 

La transformación de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones verifica

1 (()  2 () = 1 ()  2()

 se

2. Propiedad de cambio de escala

 () ∈ 

Sea

. La función

() () = ( ()) () ≡ (() = 1 ( )



 también pertenece a  y se verifica

3. Propiedad de desplazamiento en frecuencia

 ( () ∈ 

Sea

() =  () ( ()) ≡ () () = ( (  )

. La función



 también pertenece a  y se verifica.

4. Propiedad de desplazamiento en el tiempo

 () ∈ 

Sea

verifica

. La función

() ()== ( ( – ) )(( – ) )

también pertenece a



y se

“Saber para ser” 

La función escalón

() ≡ () =  −() (  ) (  ) = {01;≥ ; <  viene dada por

5. Transformada de Laplace de la derivada primera de una función

 ()

Sea

 una función continua y de orden exponencial, cuya derivada primera

 () sea continua a trozos y de orden exponencial (() ( () ∈ ). La transformada    ′() = ( () (0) () =  ()  (0)

de Laplace de la primera derivada de  verifica.

siendo

 el valor de la l a función en el origen.

6. Transformada de Laplace de la derivada n−ésima de una función

 () (1) Sea

 una función continua y de orden exponencial, cuyas derivadas hasta orden

sean también funciones continuas y orden exponencial y la derivada n−ésima

(() ( () ∈ )    [ ()()()]] = ()   − (0)  − ′(0) (0)  . . .  (−)(0)  (−)(0) () =  (),  (0 (0), ′(0),..,. . . , (−)(0) (  1) sea continua a trozos y de orden exponencial Laplace de la derivada n−ésima de  verifica.

donde sus derivadas hasta orden

. La transformada de

 son los valores de la función y de

 en el origen.

7. Transformada de Laplace de la primitiva de una función

() = ∫  () () ≡ () = 1 () ()  0,  − ()  ∫ () =  1  −  () ∈  () =  (()  () ≡ () =    ()  () ∈  () =  () (),,  ∈    ()  () ≡ () = (1) 

 () ∈ 

Sea

. Su primitiva

 es una funci´on continua y de orden

exponencial, y su transformada de Laplace viene dada por.

8. Transformada de Laplace de una función periódica Sea

 una función periódica, de periodo , continua a trozos y de orden

exponencial en

. La transformada de Laplace de esta función periódica es.

9. Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio t Sea

. La función

 también pertenece a  y se verifica

 

10. Transformada de Laplace del producto de una función por el monomio Sea . La función , tambi´en pertenece a  y se verifica

“Saber para ser”  11. Convolucion de dos funciones

 () ()

Sean



 y

, esto es,

 ℎ()  ℎ() = ( ∗ )) =   (   )( )  ℎ()  () () ℎ() ≡ () = ()()

 pertenecientes a . La función

 

 definida por la Convolucion de  y

también pertenece a , y se verifica que l a transformada de Laplace de producto de las transformadas de Laplace de  y :

 es el

DEMOSTRACION

Transformada de Laplace de un función exponencial a una constante at

 −  =   . () () =   −     =   .    −+    Cambio de variable

=  = () )  =   Remplazo la variable

      1     1  {∞ 0

Remplazo cuánto vale u

 1 [(−+)] {∞ 0  1 [−()+()  −(−()+()] 

“Saber para ser” 

1 [−(−() ∗ −(−()  ]  1 ()  ()   1 1   =   