Dennis G. Zill Ejercicios 1.2.1

RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS En los los pr prob oble lema mas s 1 y 2,

1

y =

− x

1 + C 1 e

es una una fam famla la par param am!"r !"r#a #a $e $e

solu#ones $e la E%D% $e prmer or$en y&'y(y)2% En#uen"re una solu#*n $el P+I $e prmer or$en ue #onss"e en es"a e#ua#*n $feren#al $feren#al y la l a #on$#*n $a$a% 1% y-./ y-./' ' (10 (10

y =

1 − x

1 + C 1 e

[ ( 0 ) ( 1+ C e )− (1 ) (−C e ) ] y ’ = − x

− x

1

1

( 1+ C ❑ e− x )

2

1

y ’ =

C 1 e− x 2

(1 + c e− x ) 1

y ’ = y − y 2 C 1 . e− x

( 1 +C . e ) − x

2

=

1

− x

C 1 . e

− x 2

( 1 +C . e )

=

1

C 1 . e−

1

1

− x –

1 + C 1 . e

− x

x

= − x 2

( 1 +C . e ) 1

[

− x –

1 + C 1 . e

1 + C 1. 1. e

]

2

1 − x

1 + C 1 . e

1

(1 +C . e− x)

2

1

−1

( 1 +C . e− x)

2

1

− x

− x

C 1 . e

2

=

C 1.1. e

( 1 +C . e ) ( 1+ C . e− x) − x

1

2

1

.'.

y =

1 − x

1 + C 1 e

; y ( 0 )=

1 3

ARELIS FERNANDA VEINTIMILLA CELI

UG - SEMESTRE III - PARALELO “D”

−1 3

−1 3

=

=

1 1+ C 1 e

0

1 1+ C 1

−1 −C 1= 3 −1 −3=C 1 −4 =C 1 y =

1 − x

1− 4 e

2% y-(1/' 2

y =

1 − x

1 + C 1 e

[ ( 0 ) ( 1+ C e )− (1 ) (−C e ) ] y ’ = − x

− x

1

1

x 2

( 1+ C ❑ e− ) 1

y ’ =

C 1 e− x 2

(1 + c e− x ) 1

y ’ = y − y C 1 . e− x

( 1 +C . e ) − x

2

=

1

− x

C 1 . e

− x 2

( 1 +C . e )

=

1

− x

C 1 . e

= − x 2

( 1 +C . e ) 1

1

[

− x –

1 + C 1 . e

1

2

]

2

1 − x

1 + C 1 . e

1

2 − x – 1 + C 1 . e (1 +C 1 . e− x)

− x

1 + C 1. 1. e

−1

( 1 +C . e− x)

2

1



− x

− x

C 1 . e

2

=

C 1.1. e

( 1 +C . e ) ( 1+ C . e− x) − x

1

2

1

.'.

y =

2=

2=

1 − x

1 + C 1 e

; y (−1 ) =2

1 1 + C 1 e

1

1 1 + C 1 e 1

2 + 2 C 1 e

C 1 e 1= C 1 =

1

=1

−1 2

−1 2e

1

En los problemas , , 3 y 4,

y =

1 2 x + C es una famla unparam5"r#a $e 2

solu#ones $e la ED $e prmer or$en y ’ + 2 x y = 0 % De"ermne una solu#*n $el P+I $el prmer or$en ue #onss"e en es"a e#ua#*n $feren#al y la #on$#*n n#al $a$a% D! el n"er6alo lo m7s lar8o en el #ual es"7 $e9n$a es"a e#ua#*n% % y-2/' -2/'1 10 % y-(2/ (2/'102 3% y-./'(1 4% y-102 -102/' /'( (

y =

1 2 x + C

2 ( 0 ) ( x x + C ) −( 1 ) ( 2 x ) y ’ = ( x x 2 + C )2



y ’ =

2 x 2

( x x + c ) 2

y ’ + 2 x y 2= 0

( )

2 −2 x + 1 =0 2 x 2 2 2 + x c ( x + c )

−2 x 2 x + =0 2 2 2 2 x + c ) ( x + c ) ( x .'.

%

y=

1

y ( 2 )=1 / 3 x + C : 2

1 / 3=1 / ( ( 2 )

2

+ C )

1 / 3=1 / ( 4 + C ) 4 + C =3

=−1 C =− y =

%

1

x2− 1 √ x y=

1

y (−2)= 1 / 2 x + C : 2

1 / 2=1 /( (−2 )

2

+ C )

1 / 2=1 /( 4 + C ) 4 + C =2

C =−2

y =

1 2 x − 2 √ x



y=

3%

−1 =

1

y ( 0 )=−1 x + C : 2

1 0 + C

−C =1 C =−1

y =

1 2 x − 1 √ x

y=

4%

−4 =

−4

1

y (1 / 2 ) =−4 x + C : 2

1

( )+ 1 2

2

C

( )= 1 +c 4

1

−1 −C =1 −C =2 C =−2

y =

1

x2− 2 √ x

En los los pr pro obl ble ema mas s ;, <, = y 1.,

x =C 1 cost + C 2 sent

es una faml famla a $e

solu# so lu#o one nes s $e $o $os s pa par7 r7me me"r "ros os $e la ED $e se se8u 8un$ n$o o or or$e $en n

x ’ ’ + x =0 %

De"ermn De"er mne e la so solu# lu#*n *n $el P+ P+II $e se8 se8un$ un$o o or or$e $en n ue #o #ons nss" s"e e en es" es"a a e#ua#*n $feren#al $feren#al y las #on$#ones n#ales $a$a% ;%

x ( 0 )=−1 , x ’ ( 0 )=8



() () ( )= ( )= π

x

<%

x

=%

2

π

6

x

1.%

=0 , x ’ π =1 2

1 ' π , x 2 6

0

( )= ( )= π

√2, x

4

'

π 4

2√2

x =C 1 cost + C 2 sent x ’ =( 0 ) cost −C 1 sent + ( 0 ) sent + C 2 cost x ' =−C 1 sent + C 2 cost ' ' x =−( 0 ) sent −C 1 cost + ( 0 ) cost −C 2 sent

x ' ' =−C 1 cost −C 2 sent

x ’ ’ + x =0

−C 1 cost −C 2 sent + ( C 1 cost + C 2 sent ) =0 −C 1 cost −C 2 sent + C 1 cost + C 2 sent =0 .'.

;%

)=−1 , x ’ (0 )= 8 x ( 0 )=−

[−1=C cos ( 0 )+C sen ( 0 ) ] ; [8 =−C sen ( 0 )+ C cos ( 0 ) ] [−1 =C ] ; [ 8=C ] 1

1

2

1

2

2

x =−cost + 8 sent

<%

x

() π

2

()

=0 , x ’ π =1 2



[

0=C 1 cos

( )+ π 2

C 2 sen

( )] [ =− ( )+ π 2

; 1

π

C 1 sen

2

C 2 cos

( )] π 2

[ 0= C ] ; [−1= C ] 2

1

x =−cos t

=%

[

π 1 π x ( )= , x ' ( )=0 6

2

6

( )]

()

1 =C 1 cos π 2 6

()

()

+ C 2 sen π ; [ 0=−C 1 sen π + C 2 cos π ] 6

6

6

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 3 =C 1 √ 2 2

[

1 2

+ C 2

][

; 0 =C 1

1 1 = √ 3 C 1 + C 2 ; 0 = 1 2 2 2

(

)

1 2

1 2

+ C 2

(−C + √ 3 C ) 1

2

]

[ 1 =√ 3 C 1+ C 2 ] ; [ 0 =−C 1 +√ 3 C 2 ]

√ 3 C 1 + C 2 =1 ( 1) 3

√ ¿ ¿ ¿ −C 1 + √ 3 C 2=0 ¿ ¿

{

√ 3 C 1+ C 2=1 −√ 3 C 1 + 3 C 2 =0

4 C 2=1 → C 2=

0 = C 1

1 4

() ( ) 1 2

3 + C 2 √ 2



0 =−C 1

( )+( )( )

0 =−C 1

( )+

1 2

1 2

( )=

−√ 3 −2 8

√ 3

1 4

1

2

√ 3 8

C 1

√ 3 = C

1

4

x = √ cost + sent 3 4

1 4

()

()

π

π

1.% x 4 =√ 2, x ' 4 =2 √ 2

[

√ 2=C 1 cos

[

2 √2 √ 2 + C 2 √ 2 √ 2=C 1 √ + C 2 ; 2 √ 2=−C 1

[

√ 2=

() π 4

+ C 2 sen

( )] π 4

; [ 2 √ 2=−C 1 sen

( ) ( )] [ 2

√ 2 2

1

2

][

; 2 √ 2=

4

+ C 2 cos

( )] π

4

( ) ( )]

2

( C + C )

() π

2

√ 2 2

(−C + C ) 1

2

2

]

[ 2 =C 1 +C 2 ]; [ 4 =−C 1 + C 2 ]

{

C 1 + C 2=2 −C 1+ C 2= 4

2 C 2=6 → C 2 =3

C 1 + C 2=2



C 1 + 3 =2 C 1 =2−3 C 1 =−1

x =−cost + 3 sent

En lo los s pr prob oble lema mas s 11 11,, 12 12,1 ,1  y 1 1,,

y =C 1 e x + C 2 e− x

es un una a fa fam ml la a $e $e

solu# so lu#on ones es $e $o $os s par par7me 7me"r "ros os $e la ED $e se se8un 8un$o $o or or$en $en

y ’ ’ − y =0 %

De"ermne una solu#*n $e P+I $e se8un$o or$en ue #onss"e en es"a e#ua#*n $feren#al $feren#al y las #on$#ones n#ales $a$a% 11%y-./'1 ,y&-./'2 12%y-1/'. ,y&-1/'e 1%y-(1/'. ,y&-(1/'(3 1%y-(1/'. ,y&-(1/'(3

y =C 1 e x + C 2 e− x x x y ’ =C 1 e −C 2 e−

y ’ ’=C 1 e x + C 2 e− x

y ’ ’− y =0 − x − x x x C 1 e + C 2 e – ( C 1 e + C 2 e )= 0 − x − x x x C 1 e + C 2 e −C 1 e −C 2 e =0

0 =0

11% y ( 0 )=1 , y ’ ( 0 )= 2

[ y =C e +C e− ] ; [ y = C e −C e− ] x

1

x

'

x

2

x

1

2

[ 1=C e +C e ] ;[ 2=C e −C e ] 0

1

0

2

0

1

0

2



[ 1=C +C ] ; [ 2=C −C ] 1

2

1

2

{

C 1 + C 2=1 C 1−C 2=2

2 C 1= 3

C 1 =

3 2

1=C 1 e 1=

2

y =

+ C 2 e 0

3 + C 2 2

1−·

−1

0

3 = C 2 2

=C 2

3

1 2

− e− x x

2e

12% y ( 1 )=0 , y ’ ( 1 )=e

[ y =C e +C e− ] ; [ y = C e −C e− ] x

x

1

'

x

2

x

1

2

[ 0 =C e +C e ] ;[ e =C e −C e ] 1

1

1

1

2

1

1

2

[ 0= C +C ] ; [ e =C −C ] 1

2

e1

1

2

{

C 1 +C 2= 0 e C 1−C 2= 1 e

2 C 1=

e 1 e



−1

2 C 1= e ¿ e 1 0

2 C 1= e

C 1 =

1 2

0 = C 1 + C 2 0=

−1 2

1 + C 2 2

=C 2

1 2

1 2

− x x y = e − e

)=−5 1% y (−1)= 0 , y ’ (−1 )=− − x − x x x y =C 1 e + C 1 e ; y ’ =C 1 e – C 2 e

[ 0 =C e− +C e ] ; [−5 =C e− −C e ] 1

1

1

2

1

1

1

1

[ 0=0.3679 C 1+ 2.7182 C 2 ] ; [−5= 0.3679 C 1 + 2.7182 C 2 ]

{

0=0.3679 C 1+ 2.7183 C 2

−5 =0.3679 C 1−2.7183 C 2

( 5 / 0.7358= C 1

−6.7983 =C 1

−5 =0.3679 ( 6.7953 )−2.7183 C 2 −5 =−2.5−2.7183 C 2 ARELIS FERNANDA VEINTIMILLA CELI


−2.5 =−2,7183 C 2 −2.5 2.7183

=C 2

0.9197 =C 2

− x

x

y =−6.7953 e + 0.9197 e 1% y ( 0 ) =0 , y ’ ( 0 ) =0

y =C 1 e x + C 1 e− x ; y ’ =C 1 e x – C 2 e− x

[ 0 =C e + C e ] ; [ 0=C e −C e ] 0

1

0

2

0

1

0

1

[ 0=C 1+C 2 ] ;[ 0 =C 1−C 2 ]

{

0=C 1 + C 2 0=C 1−C 2

. ¿ 2 C 1

C 1 =0

C 1 + C 2=0 C 2 =−C 1 C 2 =0 − x x y =0 e + 0 e

En los problemas 13 y 14 $e"ermne por nspe##*n al menos $os solu#ones $e P+I $e prmer or$en $a$o% 13%y&' y)-20/

,y-./'.

In"e8rar>



dy =3 y 2 /3 dx dy 3 y

2 3

=dx

dy

∫

3 y 1 3

∫ y

2 3

=∫ dx

−2 3

dy =∫ dx

1 3

1 y ( 3 1 3

)= x +c

1 3

y = x + c 1 3

y – x =c

1 3

y – x =c , y ( 0)= 0 1 2

( 0 ) −0 =c 0 =c 1 2

y − x =0 14%?y&' 2y

,y-./'.

In"e8rar>

x

d ( y )=2 y dx

1 d 1 ( y )= 2 y dx x ln ( y ) 1 d =ln ( x )+ C 1 ( y )= 1 : x 2 y dx 2 ARELIS FERNANDA VEINTIMILLA CELI


1 d 1 ( y )= 2 y dx x

∫ 21 y dy =∫ x1 dx ∫ x1 dx = ln ( x ) +C

1

ln ( y ) 1 +C 2 dy = 2 y 2 ln ( y ) 2 2

+ C 2=ln ( x )+ C 1 2 c1

y = x e 2

y = x C 1

En los problemas 1;, 1=, 21 y 2 $e"ermne una re8*n $el plano ?y para el ue la e#ua#*n $feren#al $a$a "en$r@a una solu#*n n#a #uyas 8r79#as pasen por un pun"o

( x 0 , y 0 ) en la re8*n%

2

dy 3 1;% dx = y

dy 1<% x =√ xy dy

1=% x dx = y

dy 2.% dx − y = x 21%-(y)2/y&' ?)2 22%

( 1 + y 3 ) y ' = x 2

2% -?)2  y)2/y&'y)2 '

2% ( y − x ) y = y + x

2

dy 3 1;% dx = y



dy 3 2 =√ y y dx ∂ f 2 = y ∂y 3

−1 3

=

2 3∛ y

y ≠0

R / ¿ Semiplan Semiplanoo definido definido por y > 0 y < 0

dy 1<% dx =√ xy f ( ( x , y ) =√ xy ∂ f √ x = ∂ y 2√ y

R / ¿ x  e y > 0 ! x " 0 e y < 0

dy

1=% x dx = y

xdy = ydx ∂ y y = ∂ x x ∂ f 1 = ∂ y x R / ¿ x > 0 ! x < 1 dy 2.% dx − y = x dy = x + y dx f ( ( x , y ) = x + y



∂ f =1 ∂y

R / ¿ es contin#a contin#aenla enla totalid totalidad ad del plano plano xy xy

21%

( 4 − y2 ) y ’ = x 2

y ’ =

x

2 2

4− y

x ) (− 2 y ) ∂ f ( 0)( 4 − y )− ( x = ∂y ( 4 − y 2 )2 2

2

2

∂ f = 2 x y2 2 ∂ y ( 4− y ) R / ¿ y > 2 ! y <−2

22%

( 1 + y 3 ) y ' = x 2 2

x y = 3 1 + y '

2 f ( x , y ) = x 3 ( 1 + y

2

2

∂ f 3 x y = ∂ y ( 1 + y 3 )2

R / ¿ y <−1 ! y >−1

2

2

2% ( x + y ) y ’ = y

2



y ’ =

y

2

x 2+ y 2

∂ f ( 2 y )( x + y )−( 2 y ) ( y = 2 ∂y ( x x 2+ y 2 ) 2

2

2

3

∂ f 2 x y +2 y −2 y = ∂y ( x x 2+ y 2) 2

2

)

3

2

∂ f 2 x y = 2 22 ∂ y ( x x + y ) R / ¿ x no i$#al 0 y y noi$#a noi$#all 0 '

2% ( y − x ) y = y + x '

y =

y + x y − x

f ( ( x , y ) =

y + x y − x

∂ f 2 x = ∂ y ( y − x )2

R / ¿ semiplano semiplano definida definida por y < x ! y > x

En los problemas 25, 26, 27 y 28 determine si el teorema 1.2.1 garantiza que la ecuación diferencial

y ’ = √ ( y −9 ) tiene una solución nica que pasa por el punto 2

dado. Con$#*n : y > 3 ! y <−3

23%-1,/ 24%-3,/ 2;% -2,(/ 2<%-(1,1/

23%

2 y ’ = √ y y − 9



−1

∂ f 1 2 = ( y − 9 ) 2 ( 2 y ) ∂y 2 ∂ f y = 2 ∂ y √ y y −9 R / ¿ si pertenece pertenece por por%#e %#e 4 > 3 por y <−3 ! y > 3

y ’ = √ y y 2− 9

24% y (5 )=3

f ( ( x , y ) =√ ( y −9 ) 2

∂ f y = 2 ∂ y √ y y −9

R / ¿ no pertene pertenece ce a nin$#nade nin$#nade lasre$ione lasre$ioness definid definidas as p por or y<−3 ! y > 3

2;%

y ’ = √ y y 2− 9

y (2 )=−3 2 f ( ( x , y ) =√ ( y −9 )

∂ f y = 2 ∂ y √ y y −9

R / ¿ no perten pertenece eceaa nin$#nade nin$#nade lasre$iones lasre$iones definidas definidas por y <−3 ! y > 3

2<%

y ’ = √ y y 2− 9

y (−1 )= 1 2 f ( ( x , y ) =√ ( y −9 )



∂ f y = 2 ∂ y √ y y −9

R / ¿ no pertene pertenece ce a nin$#nade nin$#nade lasre$ione lasre$ioness definid definidas as p por or y<−3 ! y > 3

2=%a/ 2= %a/ Por ns nspe pe## ##* *n n $e $e"e "erm rmn na a un una a fa fam ml la a un unpa para ram! m!"r "r# #a a $e la e#ua#*n e#ua #*n $fer $feren#a en#all ?y&'y% ?y&'y% Compruebo Compruebo ue #a$a membr membro o $e la faml fa mla a es una so solu# lu#*n *n $e $ell pr probl oblema ema #o #on n 6a 6alor lores es n n#a #ales les ?y& ?y&'y 'y y-./'.

x

dy = y dx

xdy = ydx ∂ y y = ∂ x x ∂ f 1 = ∂ y x R / ¿ x > 0 ! x < 1

b/ E?plue el n#so a/ $e"ermnan$o una re8*n R en el plano ?y para ue la e#ua#*n $feren#al ?y'y& "en$r@a una solu#*n n#a ue pase por el pun"o

( x 0 , y 0 ) en R%

#/ Compruebo ue la fun#*n $e9n$a por "ramo>

¿

x< ¿ 0 x , x y = { ¿ } 0,

xy ’ = y xy ’ = y x

dy = y dx


y =


y x

dy dx = y x df 1 = dy x dx =∫ ∫ dy y x x ≠ 0 lny =lnx + C ln y – ln x =C

ln

()

y =C x

y =C x y =C . x

1%a %a//

+er9ue

ue

y =

−1 x + C

es

una

faml la

unparam!"r#a unparam!"r #a $e la e#ua#*n $feren#al y ’ = y

y =

$e

solu lu# #o on nes

2

−1 x + C

y ' =( 0 ) ( x + C )−

y ' =

(−1 ) ( 1 ) 2 x + C ) ( x

1

( x + C )2

y ’ = y 2 1

( x + C )

2

=

[+] 1

2

x C



1

( x +C )

2

=

1

( x +C )2

b/ Pue ues s"o u ue e f ( ( x , y ) = y

2

y

∂ f / / ∂ y =2 y son #on"nuas $on$e sea, la

re8*n R en el "eorema 1%2%1 se pue$e #ons$erar #omo el plano ?y% De"er De "ermn mne e una solu# solu#*n *n fa faml mla a $el n#so n#so a/ ue sa"sf sa"sfa8a a8a ue y ( 0 )=1 Despu!s $e"ermne una solu#*n $e famla $el n#so a/ ue sa"sfa8a ue

y ( 0 )=−1 % De"ermne el n"er6alo I $e $e9n#*n

m7s lar8o para la solu#*n $e #a$a problema #on 6alores n#ales%

y =

−1 ; y ( 0 ) =1 x + C

1=

−1 0 + C

=−1 C =− y =

y =

y =

−1 x −1

−1 −(− x + 1 ) 1

− x

+ 1

& (−  , 1)

y =

−1 ; y ( 0 ) =−1 x + C

−1 =

−1 0 + C

C =1 y =

−1 x + 1



& (−1,  )

#/ De"e De"ermn rmne e el n"er6 n"er6alo alo $e $e $e9n#* $e9n#*n n I m7s m7s lar8o lar8o para la solu#* solu#*n n $el prob pr oble lema ma #o #on n 6a 6alo lorres n n# #a ale les s

2

y ’ = y , y ( 0 )=0 % Su Su8er 8eren# en#a> a> La

solu#*n no es un membro $e la famla $e solu#ones $el n#so a/%

dy = y 2 dx dy =dx 2 y

∫ y− dy=∫ dx 2

y

−1

−1

= x + c

1

y −1

– x = C



y ( 0 )=0 1

y −1 1 0−1

− x =c ; y ( 0 )=0

−0 =c

−1 =C

1

y −1 1

y − x

− x =−1

=−1 + x

1=( 1+ x )( y −1 ) 1=− y + 1 + xy − x 1−1 + x = y (−1 + x )

x

= y −1 + x



& ( 1,  )

%a %a//

+er9ue

ue

2

3 x – y

2

=C

es

una un a

unparam5"r#as unparam5"r #as $e la e#ua#*n $feren#a $feren#all

fam fa ml la a $e solu lu# #o one nes s

ydy / dx =3 x

ydy =3 xdx

∫ ydy =∫ 3 xdx y 2 2

= 3

( )+ x 2 2

3 x y / 2= 2 2

C

2

+ C

−3 x 2 + y 2=C 2

3 x

− y 2=C

b/ Bo Bos sue uee e,, a ma mano no,, la 8r 8r79 79#a #a $e la so solu lu# #*n *n m mpl pl@# @#" "a a

2

3 x – y

2

= 3.

De"ermn De"e rmne e "o$a "o$as s las solu solu#one #ones s e?p e?pl#"a l#"a y =∅ ( x ) $e la ED $el n#so a/ $e9n$as por es"a rela#*n% D! un n"er6alo I $e $e9n#*n $e #a$a una $e las solu#ones e?pl#"as% 2

3 x

− y 2=3 S( y ( 3)=−2 2

3 (−2 ) – ( 3 )

2

= 3 12 −9= 33 =3



x =3 ; y =−2 ! ( 3, −2 )

2

3 x

−3= y 2

√ 3 x 2−3 = y & ( 0,− )

#/ El pu pun" n"o o -( -(2, 2,/ / es"7 es"7 en la 8r 8r79 79#a #a $e

2

3 x – y

solu#ones e?pl#"as $el n#so b/ sa"sfa#e ue

2

=3

pero per o F#u F#u7l 7l $e las

y ( 2 )=3 G

En los problemas 3 y ; se presen"a la 8r79#a $e un membro $e la famla $e solu#o on nes $e una e#ua#* *n n $f fe eren#a all $e se8un$o or$en

( x , y , y ’) % Rela#one la #ur6a solu#*n #on al menos un par $e d 2 y / d x 2= f ( las s8uen"es #on$#ones n#ales% a/

y (1 ) =1, y ’ ( 1)=−2



b/

)=−4 y (−1 )= 0, y ’ (−1 )=−

#/

y ( 1 )=1, y ’ ( 1)= 2

$/

y ( 0 ) =−1, y ’ ( 0 )=2

e/

y ( 0 )=−1, y ’ ( 0 )=0

f/

)=−4, y ’ ( 0)=−2 y ( 0 )=−

!lternati"a b 3% !lternati"a !lternati"a c ;% !lternati"a

PROBLEMAS DE ANALISIS> En los problem problemas as = u"l# u"l#e e el problema problema 31 $el eer##o eer##o 1%1 1%1 y -2/ y -/ $e es"a se##*n% =% En#uen"re una fun#*n y'f-?/ #uya 8r79#a en #a$a pun"o -?,y/ "ene una pen$en"e $a$a por

8e

2 x

+ 6 x

y la n"erse## n"erse##*n *n #on el ee y en -.,=/%

1% Cons$ere ue el problema #on 6alores n#ales

y ’ = x −2 y , y ( 0 )=1 / 2 %

De"ermne #u7l $e las $os #ur6as ue se mues"ra en la 98ura 1%2%11 es la n#a #ur6a solu#*n Hposble% E?plue su raonamen" raonamen"o% o%

dy = x −2 y dx dy = xdy −2 y dx x 2

x = − 2 xy + C 2



2

x x = – y + C 2 x 2 2

1 x − + y =C 2 2

y ( 0 )= 1 ( 0 ) – 2 2

1 2

2

+ 1 =C 2

1=C 2

1 x − + y =1 2 2 1 − x 2−1 =− y 2

−1 2

+ x2 + 1= y

1 2

( 0, )



y 1. < 4  2 (3

(

(

(2

(1

. .

1

2





3

#$$ %inea ro&a

% Supon8a ue la e#ua#*n $feren#al $feren#al $e prmer or$en $y0$?' f-?,y/ "ene una famla unparame"r#a $e solu#ones y ue f-?,y/ sa"sfa#e la Jp*"ess $el "eorema 1%2%1 en al8una re8*n re#"an8ular R $el plano ?y% ?y% E?plue por u! #ur6a solu#*n $feren"es no se pue$en n"er#ep"ar o ser "an8en"e en"re s@ en un pun"o

( x 0 , y 0 ) en R%



Dennis G. Zill Ejercicios 1.2.1

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