a) Encontrar f’’(1.0) o sea i=2, aplicando las fórmulas centrales de 3 y 5 puntos, es decir:
i-2
-1
i-1 1 1 16
i -2 -2 -30
i+1 1 1 16
i+2 0 -1
factor 1/(h*h) 1/(h*h) 1/12(h*)
orden error 2 fórmula 12 2 fórmula13 4 fórmula 15
La fórmula 14 no es central.
Solución: según
fórmula 12 f''(1.0) es = (
0 +
0.7833 + -1.6829 +
0.9 +
0 ) *1/
0.010 =
-0.8400
según
fórmula13 f''(1.0) es = (
0 +
0.7833 + -1.6829 +
0.9 +
0 ) *1/
0.010 =
-0.8400
según
fórmula 15 f''(1.0) es = (
-1 +
12.533 + -25.244 +
14 + -0.9320 ) *1/
0.120 =
-0.8405
b) Encontrar fIII(1.4) o sea i=6,
2-9
aplicando la fórmula 17.
Para aplicar la fórmula 17 que es lateral derecha o inicial en el punto 1.4 y según los datos que poseo, debo transformarla en fórmula lateral izquierda o final formula 17 lateral derecha o inicial i i+1 i+2 i+3 i+4 -5 18 -24 14 -3 cambio signo de indices y signo de factores i i-1 i-2 i-3 i-4 5 -18 24 -14 3 reordeno y obtengo formula 17 lateral izquierda o final i-4 i-3 i-2 i-1 3 -14 24 -18
3º EJERCICIO: Calcular la derivada primera de f(x)=seno(x)/x en los puntos x=1.2 y x=1.3 aplicando la formula “8” con pasos de cálculo h1=0.1 y h2=0.2 y Extrapolando por Richardson.
La fórmula “8” es: i-2 1
i-1 -8
i 0
i+1 8
i+2 -1
factor 1/12h
Los datos de la función discretizada que necesito para el cálculo son: x f(x)
INTEGRACIÓN NUMÉRICA (ESTOS EJERCICIOS SON LOS QUE SE TOMARON EN LOS PARCIALES 1º SEMESTRE 2003)
4º EJERCICIO:
Resolver 2
∫
1 + x3
dx
Aplicando la fórmula I23 e indicar el orden de
0
error de la fórmula aplicada.
Solución:
4-9
Nota:La solución exacta es 3.239 La solución numérica se obtiene de la fórmula I23 (# 11) h/3
•
•
4
orden de error es 5
Aplico paso h= 0.5, y obtengo la siguiente tabla: x= f(x)=
0.0 1.000
0.500 1.061
1.000 1.414
1.500 2.092
2.000 3.000
Primera integración de 0 a 1 I1= 1.11 Segunda integración de 1 a 2 I2= 2.13 Integral Numérica I= 3.24
5º EJERCICIO: Resolver π
∫ sen ( x) / x
dx aplicando la fórmula I43 y extrapolando por Richardson indicar
0
cual es el mejor valor obtenido. Solución Nota: La solución exacta es I=1.85 La solución numérica la obtenemos con la formula I43 (#14) 4h/3
€
2
-1
2
€
1)con h=Pi/4= 0.785 obtengo la siguiente tabla x= f(x)=
0.000 NAN
0.785 0.900
1.571 0.637
2.356 0.300
I= 1.84749 2) con h=Pi/8=0.393 obtengo la siguiente tabla
5-9
3.142 0.000
x=
0.000 2.749
0.393 3.142
0.785
f(x)=
NaN 0.974 0.900 0.139 0.000
1.178
0.784
1.571
0.637
1.963
0.471
2.356
0.300
I= 1.3703 + 0.48139 = 1.85169 3) Aplicando Richardson: n= orden de error es 5 h1/h2= 2 I mejor es: (16 * 1.85169 - 1.84749)/15 =1.8520
6º EJERCICIO: Resolver La integral numérica entre x=0 y x= 2 de la siguiente función discreta x=
(0.00000
0.50000
1.00000)
f(x)=
(1.00000
1.06066
1.41421)
Solución Nota: La solución exacta es I=3.239 Debería aplicar la fórmula h/12
32
-64
80
0
I43(# 24) 0
con h=0.5 I = 3.219
7º EJERCICIO: Resolver
6-9
orden de error es 4
La integral de la función discreta definida en la tabla adjunta, entre x=0 y x= PI, x=
0.393 3.142
0.785
1.178
1.571
1.963
2.356
2.749
f(x)=
0.974 0.000
0.900
0.784
0.637
0.471
0.300
0.139
Aplicar Extrapolación de Richardson para obtener un mejor valor. Utilizar los menores pasos de calculo h posibles. Solución Nota: La solución exacta es 1.85 Aplico formula I21 (#9) 2h 0 1 0 orden de error es n=3 1) con h= PI/4=0.785 Calculo I= 2 * 0.785 * (0.9 + 0.3)= 1.884 2) con h=Pi/8=0.393 Calculo I= 2* 0.393 (0.974 + 0.784 +0.471 + 0.139)=1.8612 3) Por Richardson I= (4* 1.8612 – 1.884)/3=1.8536
8º EJERCICIO: Resolver la siguiente integral numérica
∫
3
2
( X 3 + 1 / X )dx
con un paso h=0.5 aplicando la siguiente formula fórmula I23 (# 11) h/3
•
4
•
orden de error es 5
Luego elegir otro paso h’ y aplicar Extrapolación de Richardson. 7-9
