Derivada de una función de grado n[editar n[ editar]] Una función de grado n, n, donde n es un entero positivo, se representa por derivada es
y su
.
Cabe hablar de la derivada de una función potencial de exponente real sin mencionar grado. Por ejemplo
que es más fácil considerando
lgunos tipos de este tipo de funciones son! "unción cuadrática, función c#bica, entre otras. Pasos para cada tipo de derivación
$. Constantes% &n este caso todas las derivadas de una constante son iguales a cero.
'. "unción identidad% cualquier variable como a, b, c su derivada es $. f(x)* entonces f+(x)*$
. -egla de las potencias% i se tiene un termino que esta elevado a una potencia en una función
"ormula!
/. -egla del factor constante% $.e deriva la x con la regla de las potencias. '.e multiplica el resultado por la constante (el n#mero normal) n ormal) "órmula! f 0(x)*(a)nxn%$
1. -egla de la suma% e deriva con las reglas anteriores a cada cad a termino de la función. i "(x)*g(x)2f(x) entonces "3(x)*g 0(x)2f 0(x)
4. -egla de la diferencia% e reali5an los mismos pasos que en la regla de la suma igual pero restando.
6. -egla del producto% $.7dentificar las dos func iones, '.8ultiplicar la primera (u) por la derivada de la segunda (v), y se suma el producto de la segunda por la derivada de la primera. "ormula! f 0(x)*uv32vu3
9. -egla de la derivada der ivada del cociente% $.7dentificar las dos funciones u y v, '.8ultiplicar la
derivada de la primera (u) por la segunda (v), y se resta el producto de la primera por la derivada de la segunda, . :ividir todo entre la segunda al cuadrado. "ormula! f 3(x)*vu3% v3u;v<'
Por ejemplo la función!
=o primero es >bajar> el exponente de tal forma que ?ste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, as@!
Auedando finalmente!
Consid?rese la función e tiene!
Derivada de una constante por una función[editar] Cuando una función est? representada por medio de
, su derivada equivale a
de la siguiente manera! Consideremos la siguiente función! , lo primero a hacer es >bajar> al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaBa, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente!
Para obtener
Cuando una constante acompaBa a una variable cuyo exponente es $ su derivada será el valor de la constante!
&ntonces su derivada con respecto a esta variable será!
Puesto que
Derivada de una suma$ [editar] e puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
&s decir,
o
.
Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada t?rmino aparte y la suma de ambos será la derivada de la función!
?ngase presente que la derivada, teniendo en cuenta que una aplicación lineal en el conjunto de las funciones reales derivables. '
es
Derivada de un producto[editar] rt@culo principal! Regla del producto (cálculo)
=a derivada se expresa literalmente de la siguiente forma! >=a derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar.> D matemáticamente expresado por la relación la siguiente función como ejemplo!
7dentificamos a y anteriormente expuestas, vemos que!
. Consideremos
, utili5ando las reglas
y que Por lo tanto
implificando y organi5ando el producto obtenido nos queda!
umamos t?rminos semejantes y finalmente obtenemos la derivada!
i por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir dos funciones escogemos).
en donde
(sin importar que
Derivada de un cociente[editar] rt@culo principal! Regla del cociente
=a derivada de un cociente se determina por la siguiente relación!
Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir as@!
&s decir! >=a derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado>. &ste caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función!
hora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es
y se multiplique por la derivada del numerador que seria
E luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador ( derivar y lo multipliquemos por la derivada de esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, as@!
, que seria
) sin , todo
hora todo es cuestión de simplificar!
Regla de la cadena[editar] rt@culo principal! Regla de la cadena
=a regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. &sto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f g en t?rminos de las derivadas de f y g . Por ejemplo , la regla de la cadena de f g ( x) F f G g ( x)H es ∘
∘
o escrito en notación de =eibni5
Otras reglas[editar] Funciones inversas y diferenciación[editar] rt@culo principal! Derivada de la función inversa
i
,
entonces y si
, y su inversa
son diferenciables,
entonces
para los casos en que
y cuando
,
Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable[editar] ea
y
.
entonces
Diferenciación implícita[editar] i
es una función impl@cita,
se tiene que!
Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales[editar]
=o anterior es válido para todo c, pero para c I J el resultado es un n#mero complejo.
=o anterior es válido para todo c, pero para c I J el resultado es un n#mero complejo.
Derivada de funciones trigonométricas[editar]
rt@culo principal! Derivada de funciones trigonométricas
Derivada de funciones iperbólicas[editar]