DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE ESQUEMAS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT M.E.Moreno & J.G.Saldarriaga Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
RESUMEN: Este artículo presenta un análisis comparativo del desarrollo e implementación de tres esquemas de solución de las ecuaciones de Saint-Venant para simular el comportamiento hidráulico de las redes de alcantarillado operando bajo condiciones de flujo no permanente en el programa ALCANTARILLADOS. El esquema de solución de Preissman es implícito en donde se calcula el nivel del agua y el caudal en cada tramo del conducto. El esquema de solución de Abbott & Ionescu es implícito que calcula los niveles de agua y el caudal de una manera intercalada en los puntos internos del conducto. El esquema de solución desarrollado por la EPA es explícito en donde se calcula el caudal en el conducto y los niveles de agua en los nodos de unión. Los tres esquemas de solución han mostrado ser efectivos para solucionar la hidráulica de alcantarillado.
ABSTRACT: This paper shows a comparative analysis of the development and -Venant equations to implementation of three three solution’s solution’s schemes of the the Saint Saint -Venant simulate the hydraulic behavior of sewer system networks working under not permanent flow conditions using the software “ALCANTARILLADOS”. The Preissman scheme is implicit where the water level and the flow in each section of the conduit are calculated. The Abbott & Ionescu scheme is implicit that calculates the water levels and the flow, in an interspersed way in the internal points of each conduit. The scheme developed by the EPA is explicit where the flow in the conduit and the water levels in the join nodes are calculated. The three schemes of solution have shown to be useful to solve the hydraulics of sewer systems.
1 INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia de la Ingeniería Hidráulica se han desarrollado ecuaciones empíricas y numéricas que rigen el comportamiento hidráulico de los flujos gradualmente variados y de los flujos no permanentes, que son los más comunes en la naturaleza por la variación temporal y espacial. A su vez, en e n el proceso evolutivo de la ciencia cien cia matemática se han encontrado diferentes métodos para la solución numérica de dichas ecuaciones. Los métodos más utilizados en la modelación de sistemas de alcantarillado son: el método de las características, el método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos. En cada ca da uno de estos métodos de solución diferentes autores han desarrollado esquemas de solución para resolver las ecuaciones de Saint Venant, que son las ecuaciones que rigen el comportamiento hidráulico de los flujos en las redes de los sistemas de alcantarillado.
En esta investigación se implementarán tres esquemas de solución de las ecuaciones de Saint Venant como lo son el esquema de solución de Preissman el cual es un esquema implícito en e n donde se calculan los niveles y caudales en todos los puntos internos de los conductos condu ctos que componen la red de alcantarillado, el segundo esquema de solución es el desarrollado por Abbott & Ionescu, el cual es un esquema implícito que calcula los niveles y caudales de forma intercalada en los puntos internos de los conductos y el último esquema de solución es un esquema explícito que es utilizado en el programa SWMM el cual calcula caudales en los conductos y niveles en los nodos. En la actualidad se cuenta con una serie de programas comerciales que permiten simular el comportamiento hidráulico de las redes de un sistema de alcantarillado, teniendo en cuenta cue nta las características propias de cada uno de los países de origen. Cada uno de estos programas comerciales utiliza un esquema de solución diferente, haciendo que el usuario escoja el programa ya sea por los resultados obtenidos o por la experiencia que tiene con ese esquema. En esta investigación se implementaron los tres esquemas de solución en el módulo de cálculo del programa ALCANTARILLADOS (ver Figura 1) desarrollado en el Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de Los Andes – CIACUA, con el fin de tener un programa que le permita al usuario escoger el esquema de solución que más se acomode a sus necesidades sin tener que cambiar de programa.
Figura 1. Programa ALCANTARILLADOS 1.1
Objetivo
El objetivo general de la investigación era desarrollar, implementar y comparar diversos esquemas de solución de las ecuaciones de Saint Venant para el cálculo hidráulico de sistemas de alcantarillado, dada la topología, materiales, secciones y demás características de la red de alcantarillado teniendo en cuenta las condiciones de frontera en los nodos de la red.
2 GENERALIDADES 2.1 Ecuaciones de Saint Venant El comportamiento hidráulico de redes de alcantarillado operando bajo condiciones de flujo no permanente está descrito por las ecuaciones desarrolladas por Barré de Saint Venant. Estas ecuaciones son el resultado de la aplicación de los principios de continuidad y de conservación de momentum lineal sobre un volumen de control definido. Estas ecuaciones pueden ser expresadas de la siguiente manera:
2.1.1 Ecuación de continuidad
2.1.2 Ecuación de momentum
donde χ = distancia longitudinal; t = tiempo; Q = caudal en la sección; q = caudal lateral; A = área sección transversal; H = nivel del agua; = pendiente de fricción; β = factor de conversión de momentum; y g = aceleración de la gravedad. El término correspondiente a la pendiente de fricción se determina mediante la aplicación de alguna de las ecuaciones de resistencia fluida como puede ser la ecuación de Gauckler – Manning:
donde R = radio hidráulico; y n = coeficiente de rugosidad de Gauckler-Manning.
2.2 Condiciones de frontera Para solucionar el modelo matemático de las ecuaciones de Saint – Venant se requiere de la formulación de las condiciones de frontera en diferentes puntos de la red de alcantarillado. Las condiciones de frontera para los nodos externos de la
red son generalmente hidrogramas (aguas arriba) y limnigramas (aguas abajo). Para los nodos internos de la red, se permite la inclusión de hidrogramas; en el esquema de solución se debe contar con otras condiciones de frontera que permitan una conectividad coherente entre los conductos que convergen en estos nodos. En el caso de las condiciones de frontera en los nodos internos, se requiere una ecuación de continuidad de masa y otra de conservación de energía que correlacione los niveles de agua al interior del nodo en cuestión, en donde se tiene en cuenta la pérdida menor en la cámara de inspección. 2 .2.1 Ecuación de balance de masa
2.2.2 Ecuación de conservación de energía
donde = caudal que ingresa al nodo en cada paso de tiempo debido a aportes de conexión; = caudal que entra en cada paso de tiempo al nodo por parte de cada uno de los conductos que finalizan en dicho nodo; = caudal de salida del nodo en cada paso de tiempo; = nivel del agua en el conducto de salida del nodo; = nivel del agua en el conducto de entrada al nodo; ℎ = pérdida de altura en la cámara de inspección.
2.3 Condiciones iniciales El cálculo hidrodinámico parte de las condiciones de flujo en el sistema para el tiempo t = 0. La forma de establecer las condiciones iniciales adecuadas es encontrar las condiciones de flujo en todos los conductos de la red de alcantarillado por medio de la ecuación de flujo gradualmente variado:
Esta ecuación describe los diferentes perfiles de la superficie del agua para flujo gradualmente variado. Esta ecuación tiene las siguientes restricciones: El flujo debe ser permanente. La rugosidad del conducto debe ser constante a lo largo del perímetro mojado. El canal es prismático; es decir, el canal tiene alineamiento y sección transversal Constante.
3 ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE PREISSMANN
3.1 Esquema numérico El esquema de solución propuesto por Preissmann puede ser expresado de la siguiente manera:
Figura 2. Esquema de solución de Preissmann Al discretizar las ecuaciones de continuidad y momentum se obtienen las siguientes expresiones:
3.1.1 Ecuación de continuidad En la ecuación (7) se presenta la discretización de cada uno de los términos de la ecuación de continuidad.
Al reorganizar los términos de la ecuación de continuidad se llega a la siguiente expresión:
3.1.2 Ecuación de momentum La discretización del término de aceleración local se presenta a continuación:
La discretización del término de aceleración convectiva corresponde a:
La discretización del término de variación espacial de la elevación de la superficie del agua esta dado por:
El término de la pendiente de fricción es expresado mediante:
De la ecuación anterior se puede observar que el término K es la capacidad de transporte, siendo el término que tiene incluido el coeficiente de rugosidad de Manning, que es el factor que influye en las pérdidas por fricción en los conductos del sistema de alcantarillado. El término K se puede expresar como:
El término de área que acompaña a los términos de la variación espacial del nivel del agua y la pendiente de fricción, se discretiza de la siguiente manera:
Al reorganizar los términos de la ecuación de momentum se llega a la siguiente expresión:
Los términos que tienen el superíndice j en las ecuaciones anteriores se conocen ya sea de las condiciones iniciales o de una solución del sistema de ecuaciones de Saint Venant en una línea de tiempo previa, por lo tanto las incógnitas +1 +1 +1 +1 serían: , +1 , ℎ , ℎ+1 . Como hay algunos de los términos que se encuentran elevados a potencias diferentes a 1, el sistema de ecuaciones no es lineal por lo tanto se debe utilizar un método de solución no lineal.
3.2 Método de solución Las ecuaciones (8) y (15) se caracterizan por tener cuatro incógnitas y por ser ecuaciones no lineales para éstas. Para poder resolverlas se utiliza un esquema implícito que considera las ecuaciones de continuidad (8) y de conservación de
momentum (15) en todos los puntos del intervalo de tiempo desconocido en forma simultánea; teniendo en cuenta el esquema de la Figura 2. Las ecuaciones de continuidad y momentum se consideran para cada una de las N 1 celdas rectangulares de la Figura 2, entre la frontera aguas arriba (hidrograma) y la frontera aguas abajo (limnigrama o curva de calibración). Teniendo en cuanta lo anterior el sistema de ecuaciones no lineales puede expresarse en forma funcional en términos de las incógnitas h y Q en el nivel de tiempo j + 1, como se presenta a continuación:
Para poder calcular las 2N incógnitas en el tiempo j se utiliza un proceso de prueba y error, como lo sería el método de Newton-Raphson. Es decir, se deben probar valores de h y Q para todos los tramos en cada instante de tiempo y comprobar si las ecuaciones son iguales a cero; si no lo son, es necesario probar otros valores de las incógnitas. El sistema de ecuaciones resultantes en forma matricial al utilizar el método de solución de Newton-Raphson para un conducto sencillo de una red de alcantarillado es:
La solución de la ecuación (16) arroja valores de hi y Qi. Los valores para las incógnitas en la iteración (k + 1) están dados por las siguientes ecuaciones:
Cada uno de los términos de la matriz izquierda de la ecuación (17) corresponde a los términos del jacobiano de las ecuaciones de continuidad y momentum, en donde los únicos términos que contribuyen a las derivadas son los del tiempo j +1, mientras que la matriz de resultados corresponde a los residuos de las ecuaciones de continuidad y momentum cuando se evalúan cada uno de los valores de nivel y caudal en cada uno de los tramos del conducto para cada iteración del método de solución de Newton-Raphson.
4 ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE ABBOTT & IONESCU 4.1 Esquema numérico El esquema de solución propuesto por Abbott & Ionescu puede ser expresado de la siguiente manera:
Figura 3. Esquema de solución de Abbott & Ionescu Al discretizar las ecuaciones de continuidad y momentum en forma de diferencias finitas se obtienen las siguientes expresiones:
4.1.1 Ecuación de continuidad En la Ecuación (20) se presenta la discretización de cada uno de los términos de la ecuación de continuidad
Al reordenar los términos de la ecuación de continuidad se llega a la siguiente expresión:
4.1.2 Ecuación de momentum En la Ecuación (22) se presenta la discretización de cada uno de los términos de la ecuación de momentum.
En el último término de la Ecuación (22), f es un coeficiente de resistencia que busca minimizar cualquier efecto negativo que introduzca un eventual cambio brusco de caudal. El valor de f puede calcularse de la siguiente manera:
Al reordenar los términos de la ecuación de momentum se llega a la siguiente expresión:
4.2 Método de solución En la Figura 3 se observa que la condición de frontera aguas arriba son caudales (hidrograma) y la de aguas abajo niveles (limnigrama o curva de aforo). Esto implica que las series de tiempo Q (x = 0, t) y h (x = n x, t) se deben conocer desde antes de ejecutar el módulo de cálculo hidráulico. Una consecuencia de esta estructura en la malla de cálculo, es que todas los puntos con valores pares de i (0, 2, 4,.., n-1) contienen los "puntos de Q" mientras que todos los puntos con valores impares de i (1, 3, 5,.., n) contienen los "puntos de h". Esto implica que el valor de n sea impar. La ecuación (21) y ecuación (24) constituyen un sistema de n-1 ecuaciones lineales. Cuando los valores de caudal y nivel de agua en la condición de frontera aguas arriba y aguas abajo son conocidas para todo tiempo t, es evidente que se tendrán n-1 términos desconocidos de:
Para las n-1 ecuaciones lineales, se empieza en orden con una ecuación de continuidad (EC) seguida por una ecuación de momentum (EM) y así hasta llegar a las n-1 ecuaciones. Teniendo en cuenta lo anterior el sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en términos de las incógnitas h y Q en el nivel de tiempo j + 1, como se presenta a continuación:
El anterior sistema de ecuaciones se puede plantear matricialmente (27) y posteriormente ser resuelto mediante reducción Gaussiana en donde se encuentran los valores de caudal y nivel para cada uno de los puntos internos de los conductos. Para dar solución al sistema matricial de la ecuación (27) para el segundo paso de tiempo, se requiere introducir como valores semilla los valores de caudal y profundidad de flujo de la condición inicial. Mientras que para los otros tiempos de solución se utilizan los mismos valores del tiempo anterior.
5 ESQUEMA DE SOLUCIÓN DEL MODULO EXTRAN DE EPASWMM 5.1 Esquema numérico En el módulo EXTRAN del programa EPASWMM, la ecuación de momentum (2) es combinada con la ecuación de continuidad (1) para obtener una ecuación que sirve
para determinar el caudal en todos los conductos de la red para cualquier intervalo de tiempo. De la ecuación de momentum no se tienen en cuenta los términos de fricción del aire, de pérdidas menores y el caudal lateral a lo largo del conducto. Mientras que para calcular los niveles de agua en los nodos de la red se tiene en cuenta la ecuación de conservación de la masa en donde interviene el área de almacenamiento del nodo y el conducto para un determinado intervalo de tiempo, como se muestra en el siguiente esquema:
Figura 4. Esquema de solución del módulo EXTRAN del programa EPASWMM Al diferenciar el término de aceleración convectiva en la ecuación de momentum se obtiene la siguiente expresión:
Y al reordenar la ecuación de continuidad se obtiene la siguiente expresión:
Ahora, reemplazando la ecuación (29) en el segundo término de la ecuación (28) se obtiene la siguiente ecuación:
5.2 Método de solución La anterior ecuación se puede resolver numéricamente mediante un método iterativo en el cuál se emplea un adecuado factor de ponderación (w ) obteniendo la siguiente expresión:
donde
En esta ecuación los valores de V, A, y R son un resultado de la ponderación de dichos valores en el inicio, la mitad y el final del conducto. Para el primer paso de tiempo estos valores son iguales a los del paso inmediatamente anterior. El valor que se adopta para w es de 0.55. Los únicos datos desconocidos en la ecuación son +∆ son, H 2 y H 1, ya que las variables V , R, A, A1 y A2 se pueden expresar en función de Q y H . Para relacionar Q y H se utiliza la ecuación de continuidad en el nodo, como se muestra en la siguiente expresión:
6 EJEMPLO DE CÁLCULO Como ejemplo de cálculo para la comparación de los diferentes esquemas de solución se utilizó una red en forma de T, en donde el objetivo final es ver cómo es la suma de caudales en los nodos y la transición del flujo de un conducto a otro, mediante las ecuaciones de conservación de la masa y balance de energía. A continuación se describen las características geométricas e hidráulicas de la red de alcantarillado.
6.1 Datos generales de la red de alcantarillad En la Figura 5 se presenta el esquema general de la red de alcantarillado a analizar, en donde se observan los identificadores de cada uno de los elementos que componen la red.
Figura 5. Esquema general de la red de alcantarillado.
En la Tabla 1 se describen las características geométricas y topológicas de los nodos que componen la red de alcantarillado:
Tabla 1. Características geométricas de los nodos de la red de alcantarillado.
Tabla 2. Características geométricas de los conductos de la red de alcantarillado.
En la Tabla 2 se especifican las características geométricas y topológicas de los conductos de la red de alcantarillado, en donde todos los conductos tienen sección circular:
6.2 Condiciones iniciales Para el cálculo de las condiciones iniciales se utilizó el esquema de solución de la ecuación de FGV que se encuentra incorporada en el módulo de cálculo del programa ALCANTARILLADOS, donde este parte del control aguas abajo ya que el flujo es subcrítico.
6.3 Condiciones de frontera En la Figura 6 se presenta la condición de frontera en los nodos 1 y 2 correspondiente a un hidrograma de caudales que representa la cantidad de agua residual o pluvial que le está entrando a cada uno de los conductos asociados.
Figura 6. Hidrograma de entrada a los nodos 1 y 2 de la red de alcantarillado. En la Figura 7 se presenta la condición de frontera para el nodo 4 correspondiente a un limnigrama que representa los niveles aguas abajo del conducto.
Figura 7. Limnigrama de salida en el nodo 4 de la red de alcantarillado. 7 RESULTADOS DE LOS ESQUEMAS DE SOLUCIÓN Después de introducir las características topológicas de la red, las condiciones de frontera y los tiempos de simulación, al ejecutar el cálculo dinámico del programa ALCANTARILLADOS se obtienen los siguientes resultados para cada uno de los esquemas de solución antes mencionados:
7.1 Esquema de Preissmann
En este numeral se presentan los resultados luego de ejecutar el ejemplo de cálculo con el esquema de Preissmann.
Figura 8. Hidrograma de salida en el nodo 4.
Figura 9. Perfil de flujo en el conducto 3 para el tiempo 2 horas. En la Figura 8 se observa el hidrograma de salida en el nodo 4 de la red de alcantarillado, mientras que en la Figura 9 se observa el perfil de flujo en el último conducto (3) para el tiempo de simulación de 2 horas.
7.2 Esquema de Abbott & Ionescu En este numeral se presentan los resultados luego de ejecutar el ejemplo de cálculo con el esquema de Abbott & Ionescu.
Figura 10. Hidrograma de salida en el nodo 4.
Figura 11. Perfil de flujo en el conducto 3 para el tiempo 2 horas.
En la Figura 10 se presenta el hidrograma de salida en el nodo 4 de la red de alcantarillado, en donde se observa que el resultado es similar al encontrado con el esquema de solución de Preissmann. En cuanto al perfil de flujo en el conducto 3 de la red de alcantarillado, con el esquema de solución de Abbott & Ionescu se observa que este tiene un menor número de intervalos (Figura 11) ya que en este esquema el número de puntos internos es impar.
7.3 Esquema de la EPA En este numeral se presentan los resultados luego de ejecutar el ejemplo de cálculo con el esquema desarrollado por la EPA.
Figura 12. Hidrograma de salida en el nodo 4.
Figura 13. Perfil de flujo en el conducto 3 para el tiempo 2 horas.
8 COMPARACIÓN DE RESULTADOS ENTRE LOS ESQUEMAS DE SOLUCIÓN
Figura 14. Comparación de hidrogramas de salida en el nodo 4 por los tres esquemas de solución.
Luego de solucionar numéricamente el mismo ejemplo en el programa ALCANTARILLADOS con los tres esquemas de solución antes mencionados, en la Figura 14 se observan los resultados de comparación para el hidrograma de salida en el nodo 4 de la red de alcantarillado. Se puede mencionar que los resultados obtenidos en los esquemas de Preissmann y Abbott & Ionescu son similares; mientras que el resultado obtenido con el esquema de la EPA difiere, esto se debe a que hay algún problema numérico en dicho esquema.
Figura 15. Comparación de perfiles de flujo en el conducto 3 para el tiempo 2 horas con los tres esquemas de solución. En cuanto a la comparación de los perfiles de flujo en el conducto 3 de la red de alcantarillado, se puede mencionar que los resultados también son muy similares entre los esquemas de Preissmann y Abbott & Ionescu. Mientras que en el esquema de la EPA sólo se tienen dos valores de nivel del agua, el de los nodos del conducto y el resto del perfil en el conducto se considera como una línea recta entre estos dos valores como se observa en la Figura 15, entonces de esta manera el perfil de flujo en el conducto es diferente al que realmente ocurriría en el conducto. Al observar la Figura 15 se ve que el valor del nivel aguas arriba es muy alto con una diferencia de 5.4 cm.
9 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES El generar una herramienta informática que responda a las necesidades y alcances de las ciudades de Latinoamérica, que esté desarrollada en su totalidad para ser operada en idioma español y que esté a la altura de los mejores programas de su tipo a nivel mundial, habla de la capacidad de producción intelectual y tecnológica de esta investigación.
9.1 Conclusiones
A continuación se presentan las conclusiones del proyecto de investigación desarrollado: 1- El resultado final de este proyecto de investigación fue el desarrollo de diferentes esquemas de solución de las ecuaciones de Saint Venant e implementación de los mismos en el programa ALCANTARILLADOS permitiendo entender de una manera concisa el comportamiento hidráulico de los sistemas de alcantarillado. 2- El módulo del cálculo hidráulico (esquemas de solución) implementado en el programa ALCANTARILLADOS fue desarrollado totalmente en una ambiente orientado objetos; esto se hace con el fin de usar la tecnología y métodos de desarrollo más modernos, procurando un producto de alta calidad. 3- Para el desarrollo e implementación del módulo de cálculo hidráulico en el programa ALCANTARILLADOS se usaron los métodos más modernos de calidad de software, con el fin de permitir a otros desarrolladores la modificación del código base de acuerdo a las necesidades que se presenten en el programa, además de permitir evolucionar rápidamente cada uno de los componentes de este módulo. 4- Con el desarrollo de esta investigación se logró tener un módulo de cálculo hidráulico en el programa ALCANTARILLADOS de baja complejidad lo que implica un pequeño número de simulaciones hidráulicas y por lo tanto una excelente velocidad de ejecución. 5- Los esquemas de solución desarrollados en esta investigación han mostrado ser efectivos, es decir que los resultados son buenos al compararlos con programas comerciales utilizados para la simulación hidráulica de los sistemas de alcantarillado.
9.2 Recomendaciones 1- Es importante seguir realizando este tipo de proyectos de investigación e innovación tecnológica ya que permiten fortalecer el conocimiento en el área de los alcantarillados. Además de pretender tener un programa más competitivo que los que se encuentran en el mercado actual. 2- Por último es recomendable realizar pruebas del programa para diferentes condiciones de flujo que se puedan presentar en redes de alcantarillado reales, para poder determinar errores de ejecución del programa, además de permitir establecer las mejoras que se le pueden realizar al módulo de cálculo del programa.
