PÉNDULO SIMPLE Objetivo: Determinar la relación que hay entre la longitud de un péndulo simple y su periodo.
Material: 1 cronómetro digital marca Pasco Scientific con fotocompuerta. 1 plomada. Hilo para colgar la plomada.
Introducción: Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso peso,, capa capazz de osci oscila larr libr librem emen ente te en el vací vacío o y sin sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila oscila a ambos ambos lados lados de dicha dicha posició posición, n, realiz realizand ando o un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extr extrem emos os se prod produc uce e un equi equili libr brio io de fuer fuerza zas, s, segú según n observamos en el gráfico. El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:
T = mg cos θ La segunda componente, perpendicular perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:
F = -mg sen θ Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:
sen θ ≈ θ Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo: F = -mg
sen θ = -mg θ = -mg F = -mω2 x
F = -mg
Con la ecuación obtenida anteriormente:
F = -mg Vemos que: ω2 =
y teniendo en cuenta: ω =
Donde T es el periodo, es decir el tiempo utilizado en realizar re alizar una oscilación completa, así llegamos a:
T = 2π
Desarrollo:
Se registran las características de los instrumentos de medición a utilizar. Características de los instrumentos de medición Nombre Flexómetro Marca Truper Modelo FM-5 Resolución 0,1cm Incertidumbre asociada ±0,05cm Unidades Cm Alcance 500 cm
SMART TIMER PASCO ME-8930 0,1ms ±0,1ms Segundo
Se alimenta, con con energía eléctrica, el cronómetro a través de de su eliminador. eliminador. Es necesario necesario tener cuidado, ya que los eliminadores no son intercambiables entre los modelos.
El selector de función se coloca en modo “PEND”.
Se coloca la fotocompuerta de tal forma que su plano esté en posición vertical.
Se cuelga la plomada de una pinza, la cual, primero, se monta en un soporte universal. Es necesario tener cuidado de que el nudo del péndulo no se mueva mientras este oscila.
La longitud del péndulo se incrementa de 10 cm en 10 cm. El ángulo inicial de oscilación debe de ser menor a 5º y debe de ser el mismo en todo el experimento ( ¿qué aproximación se está utilizando? ¿en que intervalo de ángulo es valida esta aproximación?) aproximación?)
Se recomienda practicar algunas veces con el sistema antes de iniciar la toma de datos. Los datos se concentran en la siguiente tabla: Longitud (cm)
t1
t2
t3
(s)
(s)
(s)
(s)
t2 (s2)
0,0005 0,0004 0,0006 0,0005 0,0003 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0009 0,0001 0,0003 0,0006 0,0004 0,0003 0,0008 0,0021 0,0018 0,0015
0,3993 0,7978 1,1992 1,6073 2,0101 2,4146 2,8174 3,2123 3,6324 4,0296 4,4441 4,8369 5,2523 5,6587 6,0467 6,4247 6,8476 7,2495 7,5498
st
t
s
2
t
*
(s2)
(s)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
*
2s
t
=2
0,6313 0,8936 1,0945 1,2681 1,4176 1,5537 1,6786 1,7920 1,9057 2,0064 2,1082 2,1991 2,2925 2,3787 2,4592 2,5356 2,6148 2,6906 2,7495
0,6322 0,8927 1,0957 1,2673 1,4176 1,5544 1,6788 1,7925 1,9061 2,0080 2,1081 2,1996 2,2918 2,3793 2,4587 2,5344 2,6166 2,6942 2,7468
0,6323 0,8933 1,0951 1,2681 1,4182 1,5536 1,6782 1,7925 1,9058 2,0079 2,1079 2,1992 2,2912 2,3784 2,4591 2,5341 2,6190 2,6928 2,7468
0,6319 0,8932 1,0951 1,2678 1,4178 1,5539 1,6785 1,7923 1,9059 2,0074 2,1081 2,1993 2,2918 2,3788 2,4590 2,5347 2,6168 2,6925 2,7477
tt s
Análisis de datos Gráfica de periodo al cuadrado en función de la longitud X (cm)
Y (s2)
XY (cm s)
X2 (cm2)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0,3993 0,7978 1,1992 1,6073 2,0101 2,4146 2,8174 3,2123 3,6324 4,0296
3,9930 15,9560 35,9760 64,2920 100,5050 144,8760 197,2180 256,9840 326,9160 402,9600
100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 1 0000
0,0006 0,0007 0,0013 0,0013 0,0008 0,0012 0,0010 0,0011 0,0008 0,0036 0,0004 0,0013 0,0027 0,0019 0,0015 0,0040 0,0109 0,0097 0,0082
110 120 130 140 150 160 170 180 190 Σx Σxy (Σx2)
M
n
n m=
i
i
i =1
∑x
B
1 2100 1 4400 1 6900 1 9600 2 2500 2 5600 2 8900 3 2400 3 6100 7 6 ,4 3 0 3 3610000 19 0,0062
i
m=
i =1
2
n
n
488,8510 580,4280 682,7990 792,2180 907,0050 1027,9520 1164,0920 1304,9100 1434,4620 Σy (Σx)2 N
n
∑x y − ∑x ∑y i
4,4441 4,8369 5,2523 5,6587 6,0467 6,4247 6,8476 7,2495 7 .5 4 9 8 1900 9932,3930 247000 0.0402
2 i
i =1
n x − ∑ i i =1
m = 0,0402 s2/cm
Ordenada al origen n
b=
n
n
n
∑ x ∑ y − ∑ x ∑x y 2
i
i=1
i
i =1
n
∑x
n
i
i =1
i =1
i
b=
− ∑ xi i =1 n
2 i
i
i =1 2
b = 0,0062 s2
Valor de la aceleración de la gravedad
T2 =
T = 2π
g=
982,0503 cm/s2
g= Experimental
g = 9,82 m/s
m=
En la ciudad de México
2
g= 9,78 m/s2
Incertidumbre
Yexp (s) 0,3993 0,7978 1,1992 1,6073 2,0101 2,4146 2,8174 3,2123 3,6324 4,0296 4,4441 4,8369 5,2523 5,6587 6,0467 6,4247 6,8476 7,2495 7,5498
Sm
X (cm) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
0,0001
ycalc=mx+b
(yexp - ycal)2
0 ,4 0 8 2 0 ,8 1 0 2 1 ,2 1 2 2 1 ,6 1 4 2 2 ,0 1 6 2 2 ,4 1 8 2 2 ,8 2 0 2 3 ,2 2 2 2 3 ,6 2 4 2 4 ,0 2 6 2 4 ,4 2 8 2 4 ,8 3 0 2 5 ,2 3 2 2 5 ,6 3 4 2 6 ,0 3 6 2 6 ,4 3 8 2 6 ,8 4 0 2 7 ,2 4 2 2 7 ,6 4 4 2
0,0001 0,0002 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0000 0,0003 0,0000 0,0004 0,0006 0,0001 0,0002 0,0001 0,0001 0,0089
Σ(yexp - ycal)2 Sy
0,0113 0,0256 0,0122
Sb
Syi = 0,0256 s2
Sm = 0,0001 s2/cm
S(b) = 0,0122 s2cm
Δg =
Δm = S(m) Δm = 0,0001 s2/cm
Δg =
(0,0001)
Δg = 2,44 2,4 4 s2/cm
Análisis de datos Gráfica del logaritmo del periódo en función del logaritmo de la longitud X (m)
Y (s)
XY (ms)
X2 (m2)
- 1 ,0 0 - 0 ,7 0 - 0 ,5 2 - 0 ,4 0 - 0 ,3 0 - 0 ,2 2 - 0 ,1 5 - 0 ,1 0 - 0 ,0 5 0 0 ,0 4 0 ,0 8 0 ,1 1 0 ,1 5 0 ,1 8 0 ,2 0 0 ,2 3 0 ,2 6 0 ,2 8 Σx Σxy (Σx2)
- 0,1994 - 0,0491 0 ,0 3 9 5 0 ,1 0 3 1 0 ,1 5 1 6 0 ,1 9 1 4 0 ,2 2 4 9 0 ,2 5 3 4 0 ,2 8 0 1 0 ,3 0 2 6 0 ,3 2 3 9 0 ,3 4 2 3 0 ,3 6 0 2 0 ,3 7 6 4 0 ,3 9 0 8 0 ,4 0 3 9 0 ,4 1 7 8 0 ,4 3 0 2 0 ,4 3 9 0 -1 , 9 1 0 ,6 2 7 9 2 ,4 1 0,51
0,1994 0,0343 - 0,0206 - 0,0410 - 0,0456 - 0,0425 - 0,0348 - 0,0246 - 0,0128 0 0 , 0 1 34 0 , 0 2 71 0 , 0 4 10 0 , 0 5 50 0 , 0 6 88 0 , 0 8 24 0 , 0 9 63 0 , 1 0 98 0 , 1 2 24 Σy (Σx)2 N
1 ,0 0 0 ,4 9 0 ,2 7 0 ,1 6 0 ,0 9 0 ,0 5 0 ,0 2 0 ,0 1 0 ,0 0 0 0 ,0 0 0 ,0 1 0 ,0 1 0 ,0 2 0 ,0 3 0 ,0 4 0 ,0 5 0 ,0 7 0 ,0 8 5 3,67 19 0,314
M Pendiente
B
m=
n
n
i =1
i =1
n∑ x i yi − ∑ x i ∑ yi 2
n 2 n ∑ x i − ∑ x i i =1 i =1 n
m= m = 0,51 s/m
Ordenada al origen n
b=
n
n
n
∑ x ∑ y − ∑ x ∑x y 2
i
i=1
i
i =1
n
∑x
n
i
i =1
i =1
i
b=
− ∑ xi i =1 n
2 i
i
i =1 2
b = 0,314 0,3 14 s
Valor de la aceleración de la gravedad
log T = log(2πg-1/2) + 1/2logλ
T = 2π g = 9,29 Experimental
g = 9,29 m/s
b= log (2πg-1/2)
En la ciudad de México
2
g= 9,78 m/s2
Incertidumbre Yexp (s) -0,1994 -0,0491 0,0395 0,1031 0,1516 0,1914 0,2249 0,2534 0,2801 0,3026 0,3239 0,3423 0,3602
X (m) - 1 ,0 0 - 0 ,7 0 - 0 ,5 2 - 0 ,4 0 - 0 ,3 0 - 0 ,2 2 - 0 ,1 5 - 0 ,1 0 - 0 ,0 5 0 0 ,0 4 0 ,0 8 0 ,1 1
ycalc=mx+b
(yexp - ycal)2
- 0,1960 - 0,0430 0 ,0 4 8 8 0 ,1 1 0 0 0 ,1 6 1 0 0 ,2 0 1 8 0 ,2 3 7 5 0 ,2 6 3 0 0 ,2 8 8 5 0 ,3 1 4 0 0 ,3 3 4 4 0 ,3 5 4 8 0 ,3 7 0 1
0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0001
0,3764 0,3908 0,4039 0,4178 0,4302 0,4390
0 ,1 5 0 ,1 8 0 ,2 0 0 ,2 3 0 ,2 6 0 ,2 8
0 ,3 9 0 5 0 ,4 0 5 8 0 ,4 1 6 0 0 ,4 3 1 3 0 ,4 4 6 6 0 ,4 5 6 8
Σ(yexp - ycal)2 Sy
Sm
0,0081
Sb
0,0002 0,0002 0,0001 0,0002 0,0003 0,0003 0,0025
0,0121 0,0029
Syi = 0,0121 s
Sm = 0,0081 s/m
S(b) = 0,0029 0,0 029 s Δb = S(b) + Inc. del instrumento Δb = 2,9ms + ±0,1ms Δb = 3,0 ms *ms(milisegundo)
Δg = Δg = Δg = 0,006s
Conclusiones
Esta práctica nos permitio calcular experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad, el valor teórico de esta en la ciudad de México es de 9,78m/s2, y nuestro valor más cercano fue de 9,82m/s2, mientras que el otro fue de 9,29m/s2; a pesar que estos dos valores experimentales difieren no es tan grande esa diferencia y ambos se acercan al valor teórico.
Bibliografía:
http://usuarios.multimania.es/pefeco/pendulo.htm
