C. Determinan dan Invers Invers Matriks
Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat :
Menentukan determinan dan invers matriks ordo 2x2;
Menentukan minor, kofaktor, dan adjoin matriks;
Menentukan determinan dan invers matriks ordor 3x3;
1. Determinan Matriks Ordo 2x2
Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2x2 berikut ini.
Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau diperoleh determinan dari matriks A sebagai berikut.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut.
dan
Jawab :
det
det
1
. Berdasarkan definisi determinan,
Contoh Soal 2 Diketahui matriks A dan matriks B berikut. dan
Jika det A = det B, tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawab :
det
det
Karena det A = det B, maka
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah – 4 dan 4.
2. Determinan Matriks Ordo 3x3
Misalkan, A matriks persegi berordo 3x3 berikut ini.
Determinan dari matriks A adalah
det(A) =
Untuk mencari nilai determinan dari matriks A yang berordo 3x3, digunakan Metode Sarrus. Adapun langkah-langkah metode Sarrus adalah sebagai berikut :
2
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua dari matriks A, kemudian diletakan di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah tersebut dengan D1.
D1 = (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h)
3. Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah tersebut dengan D2.
D2 = (g)(e)(c) + (h)(f)(a) + (i)(d)(b)
4. Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka det A = D1 – D2.
det(A) =
= (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) - (g)(e)(c) - (h)(f)(a) - (i)(d)(b) = D1 – D2 Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu matriks singular dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang determinanya nol, sedangkan matriks non singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol.
Contoh Soal 3 Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.
3
Jawab :
det
Contoh Soal 4
Determinan matriks
adalah 5, tentukan nilai x.
Jawab :
Karena
4
3. Invers Matriks
Pada aljabar bilangan, Anda telah mengenal bahwa jika suatu bilangan dioperasikan dengan invers perkaliannya maka akan diperoleh unsur identitas. Begitu pula dalam matriks, jika suatu matriks dikalikan
dengan inversnya maka akan diperoleh matriks identitas. Pelajari ilustrasi berikut,
supaya Anda lebih memahami pernyataan di atas.
Misalkan
dan
, maka
Karena perkalian antara matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas, maka dapat disimpulkan bahwa matriks A dan matriks B saling invers. Hal ini berarti matriks B merupakan -1
matriks invers dari matriks A (ditulis B = A ).
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika A
dan B merupakan dua matriks persegi berordo sama dan memenuhi persamaan AB = BA= I , maka matriks A adalah matriks invers dari B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.
Contoh Soal 5
Diketahui matriks-matriks berikut. ,
dan
Jawablah pertanyaan berikut ini. a. Apakah matriks H merupakan matriks invers dari matriks G ? b. Apakah matriks K merupakan matriks invers dari matriks G ? Jawab :
a.
Matriks H merupakan matriks invers dari matriks G jika memenuhi persamaan GH = I .
Karena GH = I, maka matriks H merupakan invers dari matriks G. b. Matriks K merupakan matriks invers dari matriks G jika memenuhi persamaan GK = I .
5
Karena GK ≠ I, maka matriks K merupakan invers dari matriks G. Untuk mempelajari tentang invers matriks lebih lanjut, Anda harus memahami bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks. a. Adjoin Matriks Ordo 2x2
Adjoin dari matriks ordo 2x2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada diagonal utama dan elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (- 1). Misalkan, jika
, maka adjoin
Contoh Soal 6
Diketahui matriks
tentukan adjoin dari matriks A.
Jawab :
, maka adjoin
Jadi, adjoin matriks A adalah
b. Minor, Kofaktor dan Adjoin Matriks 1) Minor Misalkan matriks A berordo 3x3 sebagai berikut :
Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan, maka akan diperoleh matriks baru dengan ordo 2x2, determinan dari matriksnya dinamakan minor . Karena kita menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2, maka minor tersebut dilambangkan oleh M12. Sehingga dari matriks A di atas akan diperoleh minor-minor matriks yaitu :
6
•
Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-1 adalah M11
•
Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-1 adalah M21
•
Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-1 adalah M31
•
Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-2 adalah M12
•
Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-2 adalah M22
•
Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-2 adalah M32
•
Minor dari baris ke-1 dan kolom ke-3 adalah M13
•
Minor dari baris ke-2 dan kolom ke-3 adalah M23
•
Minor dari baris ke-3 dan kolom ke-3 adalah M33
Sehingga diperoleh matriks minor dari matriks A adalah sebagai berikut :
2) Kofaktor Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor adalah hasil perkalian elemen minor M ij dengan (- 1)
i+j
.
Dengan demikian, Kij = (- 1)
diperoleh matriks kofaktor dari minor-minor di atas adalah. 7
i+j
Mij. Sehingga
3) Adjoin Matriks Jika kofaktor dari matriks A tersebut di-transposkan, maka didapat matriks baru yang disebut sebagai Adjoin A, dan ditulis sebagai berikut :
Adj
Contoh Soal 7
Diketahui matriks
Tentukan : a.
minor matriks A
b. kofaktor matriks A c.
adjoin A
Jawab : a) Menentukan minor matriks A.
8
Berdasarkan nilai-nilai minor di atas, maka matriks minornya adalah
b) Menentukan matriks kofaktor.
9
Sehingga, matriks kofaktor A adalah
c)
Menentukan adjoin A.
Adj
c.
Invers Matriks Berordo 2x2
Misalkan
merupakan matriks yang memiliki invers yaitu matriks yang
memiliki nilai dterminan tidak nol (matriks ini disebut matriks non singular , maka invers -1
dari A yaitu A yang dinyatakan
Adjoin A
Contoh Soal 8
Diketahui matriks
, tentukan invers dari matriks A.
Jawab :
det
Adjoin A
10
Jadi, invers dari matriks A adalah
Contoh Soal 9
Diketahui matriks-matriks berikut.
dan
Tentukan invers dari matriks-matriks tersebut jika ada.
Jawab :
Periksa nilai determinan dari matriks P
det
Karena det P ≠ 0, maka matriks P memiliki invers .
Adjoin P
11
Periksa nilai determinan dari matriks Q
det
Karena det Q = 0, matriks Q tidak memiliki invers.
d. Invers Matriks Berordo 3x3
Misalkan,
merupakan matriks yang memiliki invers, dengan
-1
det A ≠ 0, maka invers dari A, yaitu A yang dinyatakan
Contoh Soal 10
Tentukan invers dari
Jawab :
det
12
Adjoin A
Berdasarkan contoh soal nomor 7 di atas (halaman 8) diperolah
Adj
Dengan demikian
Adjoin A
Jadi, invers matriks A adalah
Contoh Soal 11
Diketahui matriks-matriks berikut
dan Tentukan : -1
a. R S -1
b. (RS)
13
Jawab : a.
Soal bagian a
maka
Adjoin R
b. Soal bagian b
Adjoin (RS)
Jadi,
14
