Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor Ogin Sugianto
[email protected] Wordpress & FB: Penma2B Majalengka, 20 November 2016
Tidak lengkap rasanya membahas matriks tanpa membahas tiga metode populer. Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor untuk menghitung determinan. Serta metode Cramer untuk menyelesaikan SPL 3 variabel. Namun, kali ini yang di bahas yaitu metode Sarrus dan Minor-Kofaktor. Determinan Cara Sarrus
Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Maka determinan matriks A, yaitu:
= (−2)(3)(−8) (−2)(3)(−8) + (4)(−7)(−1 (4)(−7)(−1)) + (−5)(1)(4) (−5)(1)(4) – ((−5)(3)(− ((−5)(3)(−1) 1) + (−2)(−7)(4) + (4)(1)(−8)) = (48 (48 + 28 – 20) 20) – (15 (15 + 56 − 32) 32) = 56 – 39 = 17 Matriks 3×3 mempunyai sembilan elemen. Jika salah satu atau beberapa elemennya bernilai ber nilai nol. Perhitungan determinan dengan cara sarrus akan sedikit lebih cepat.
Satu Elemen Nol Matriks yang salah satu elemennya nol, maka kita hanya perlu menghitung 4 jalur. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian:
= (−2)(3)(−8) (−2)(3)(−8) + (−5)(1)(4) (−5)(1)(4) – ((−5)(3)(−1) ((−5)(3)(−1) + (4)(1)(−8) (4)(1)(−8))) = (48 (48 – 20) 20) – (15 (15 − 32) 32) = 28 + 17 = 45
Dua Elemen Nol Dua elemen nol dalam dua baris berbeda, determinan berbeda, determinan dapat dihitung dengan 3 jalur. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian:
= (−2)(3)(−8 (−2)(3)(−8)) + (−5)(1)(−4 (−5)(1)(−4)) – ((−5)(3)(−1 ((−5)(3)(−1)) ) = (48 (48 – 20) 20) – 15 = 28 – 15 = 13 Dua elemen nol dalam baris yang baris yang sama, maka sama, maka determinan dapat ditentukan dengan 2 jalur saja. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian:
= (4)(− (4)(−7) 7)(− (−1) 1) – ((4) ((4)(1 (1)( )(−8 −8)) )) = 28 + 32 = 60
Tiga Elemen Nol Ada beberapa kemungkinan posisi tiga elemen elemen nol. Saya hanya akan membahas dua diantaranya. Pertama, tiga Pertama, tiga elemen nol dalam satu baris. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian:
Det E = 0 Dalam pembahasan SPL homogen 3 persamaan dan 3 variabel, matriks matr iks yang salah satu barisnya nol. Maka, nilai determinannya adalah nol dan solusi solus i SPL homogen tersebut non trivial.
Kedua, tiga elemen nol membentuk matriks segitiga atas atau bawah. Contoh soal: Tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian:
= (−2) (−2)(3 (3)( )(−8 −8)) = 48 Cara diatas adalah sebagian dari determinan matriks 3×3 metode operasi baris elementer (OBE) matriks segitiga atas. Untuk determinan matriks 3×3, sebagian orang mungkin lebih memilih metode sarrus daripada metode Minor-Kofaktor dan OBE. Tapi ketika bahasannya adalah determinan matriks berordo 4×4 dan seterusnya, cara OBE mungkin lebih efisien jika dibandingkan dengan dua metode lainnya.
Determinan Cara Minor Kofaktor
Gambar di atas menunjukan minor matriks 3 x 3, misalnya:
Minor a =
Minor e = e =
Minor h = h = Dst.
Kofaktor
Gambar diatas memperlihatkan kofaktor misalnya +a, -b, +e, + e, -h, dll. Determinan menggunakan cara Minor-Kofaktor, yaitu:
Det A =
Det A =
Det A =
Dari beberapa rumus diatas kita bisa memilih salah satu rumus yang akan digunakan. Namun, pembahasan kali ini ketiga rumus akan digunakan untuk menyelesaikan contoh soal determinan matriks, yaitu:
Penyelesaian: Baris Pertama
= −2(( −2((3) 3)(− (−8) 8)−− (−7) (−7)(4 (4)) ) − 4((1 4((1)( )(−8 −8)) − (−7) (−7)(− (−1) 1))) − 5((1 5((1)( )(4) 4) − (3)( (3)(−1 −1)) )) = −2(−24 − (−28)) − 4(−8 − 7) − 5(4 − (−3)) =−2(4)−4(−15)−5(7)=17 Baris Kedua
= −1(( −1((4) 4)(− (−8) 8)−− (−5) (−5)(4 (4)) ) + 3((− 3((−2) 2)(− (−8) 8)−− (−5) (−5)(− (−1) 1) ) + 7((− 7((−2) 2)(4 (4)) − (4)(−1)) =12+33−28=17
Baris Ketiga
= −1(( −1((4) 4)(− (−7) 7) − (−5) (−5)(3 (3)) ) − 4((− 4((−2) 2)(− (−7) 7) − (−5) (−5)(1 (1)) )8( )8((− (−2) 2)(3 (3)) − (4)( (4)(1) 1) ) =13−76+80=17
Dari tiga rumus diatas semunya menghasilkan jawaban yang sama yaitu Det G = 17. Cara mana yang digunakan? Tergantung …. jika salah satu barisnya terdapat satu atau lebih elemen nol, maka baris itulah yang digunakan. Contoh soal: tentukan determinan matriks berikut ini!
Penyelesaian: Baris ketiga mempunyai satu elemen nol, maka
−5 − 8 −2 4 = 0− 4−12 −7 1 3 )(1)) = 0 − 4 ( (−2)( −2)(−7 −7))— 5( 5(1) − 8(( 8((−2)( −2)(33) − (4)(1 =−76+80=4
Baca juga
3 Langkah Determinan Matriks 3×3 Metode OBE 4 Langkah Determinan Matriks 4×4 Metode OBE Invers matriks 3×3 metode OBE Gancu dan Kunci Invers matriks 4×4 metode OBE Kunci K SPL Homogen 3p x 3V SPL 3 Variabel Metode Cramer Perkalian matriks matriks