Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad - bc Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A=
tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 =
= detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah c11 = (-1)
1+1
M11 = (-1)
1+1
a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 =
= detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21 Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah det(A) = a11C 11 11+a12C 12 12+a13C 13 13 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A= maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a12 + a13 = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 Contoh Soal:
A=
tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) =
=1
-2
+3
= 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A= maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31 = a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31) = a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32 Contoh Soal:
A= pertama
tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom
Jawab:
det(A) =
=1
-4
+3
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A= Kofaktor dari matriks A adalah C11 = -12 C 12 = 6 C13 = -8 C21 = -4 C 22 = 2 C23 = -8 C31 = 12 C 32 = -10 C33 = 8 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
= 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Determinan Matriks Segitiga Atas
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296 Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x1 + 2x3 = 6 -3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab: bentuk matrik A dan b
A=
b=
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 =
A2 =
A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka,
R=E r ...E 2 E 1 A dan, det(R)=det(E r)...det(E 2)det(E 1)det(E A)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det( A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det( A) ≠ 0, maka det( R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. Contoh Soal :
A=
karena det( A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A=
tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka, detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg) Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A= kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16 menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan Ax = λx
; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi ( λI - A) x = 0
contoh: diketahui persamaan linear x1 + 3x2 = λx1 4x1 + 2x2 = λx2 dapat ditulis dalam bentuk
=λ yang kemudian dapat diubah
A=
dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ
λ
sehingga didapat bentuk
λ
I - A =
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det (λ I - A) =
=0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0 dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5 dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x=
VEKTOR 1. Pengertian vektor
Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan :
Atau dapat juga dinyatakan sebagai : Dimana
adalah vektor satuan.
2. Panjang Vektor Jika titik A ( x 1 ,y 1 ,z1 ) dan B ( x 2 ,y2,z2) maka vektor AB adalah :
3. Vektor Satuan Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Jika vektor maka vektor satuan dari a adalah:
4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar a. Penjumlahan atau pengurangan vektor
Contoh : Diketahui vektor Nilai
Jawab :
b. Perkalian Skalar dengan vektor
5. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor a. Perkalian Skalar
b. Cross Product
d. Rumus Pembagian
Contoh : Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili adalah : Jawab :
LOGIKA l. PENGERTIAN LOGIKA
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
II. PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.
III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK
Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-operasi logika matematika.
Contoh:
1. Jakarta adalah ibukota negara RI 2. Merah putih adalah bendera negara RI 3. 2 adalah bilangan prima yang genap 4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap
IV. OPERASI LOGIKA
Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah 1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “ 2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ “ 3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ “ 4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ “ 5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ “
Contoh pernyataan majemuk: 1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih 2. Ani dan Ana anak kembar 3. Cuaca hari ini mendung atau cerah 2
4. Jika x = 0 maka x x 5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama
V. TABEL KEBENARAN
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan.
Operasi negasi dilambangkan “ ~ “ Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.
Definisi : Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p B S
~p S B
Contoh: p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia ~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia 2. Operasi Konjungsi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan
dengan “ “. Definisi : Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai benar, dan bernilai
salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
3. Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan
dengan “ “
Definisi : Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai
benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: Disjungsi Inklusif: p B B S S
q B S B S
Disjungsi Eksklusif:
pq B B B S
p
q
B B S S
B S B S
p q S B B S
4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ “ Definisi : Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya
salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
q
B B S S
B S B S
p
q
B S B B
5. Operasi Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ “ Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-komponennya mempunyai
nilai kebenaran sama, dan jika komponen-komponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.
Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: p
q
B B S S
B S B S
p
q
B S S B
VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN
Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam: 1. Kontradiksi 2. Tautologi 3. Kontingensi Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah,
atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai
kebenaran dari komponen-komponennya. Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.
Contoh: Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi! ( ~p q ) v ( q p ) p B B S S
q B S B S
~p S S B B
~pq S S B S
qp B B S B
( ~p q ) v ( q p ) B B B B
Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu TAUTOLOGI
VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS
Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis. Contoh: p B B S S
q B S B S
pq B S B B
(pq)p B S S S
[(pq)p]p B B B B
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen
logis dengan notasi “ “ atau “ “ Contoh: p q p q pq qp (pq)(qp) B B B B B B B S S S B S S B S B S S S S B B B B Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q ) ( q p ), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis . Jadi, p q
(pq)(qp)
VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers
Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi
Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb: konvers pq
invers
qp
kontraposisi
~p ~q
invers ~q ~p
konvers
Contoh: Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “ Konvers
: Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar
Invers
: Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah
Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar IX. PENGERTIAN KUANTOR
Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan. Kuantor dibedakan atas:
1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ” 2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “ Contoh: Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S ) atau
x, x + 3 > 5 ( B ) Jika x bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!
1. ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 ) 2. ( x) ( y) (x + 2y = x) 3. ( x) ( y) ( x > y ) 4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )
X. PERNYATAAN BERKUANTOR
Contoh pernyataan berkuantor:
1. Semua manusia fana 2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa 3. Ada bunga mawar yang berwarna merah 4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter
Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya
terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x) Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!
1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) ) 2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) ) 3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) ) 4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )
XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut. Contoh: Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah
“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “ Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:
x, M(x) T ( x ) , negasinya x, M(x) T(x) XII. ARGUMEN
Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataanpernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. Contoh:
1. p q 2. p / q
1. ( p q ) ( r s ) 2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r
1. p 2. q / p q
XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN
Bukti keabsahan argumen dapat melalui: 1. Tabel Kebenaran 2. Aturan Penyimpulan Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen y ang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan. Contoh: Buktikan keabsahan argumen
1. 1. p q 2. ~ q / ~p
2. 1. a b 2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Bukti: Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran P B B S S
q B S B S
~p S S B B
~q S B S B
p q B S B B
[( p q) ~q] S S S B
[(p q) ~q] ~p B B B B
Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen SAH
XIV. ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP) pq p /q
2. Modus Tolens (MT) pq ~q / ~p
3. Hypothetical Syllogisme (HS) pq q r / p r
4. Disjunctive Syllogisme (DS) pvq ~p/q
5. Constructive Dillema (CD) (pq)(rs) p v r / q v s
6. Destructive Dillema (DD) (pq)(rs) ~qv~s/
~p
v ~r
7. Conjunction (Conj) p q / p q
8. Simplification (Simpl) pq p
9. Addition ( Add) p p
vq
Fungsi 1. Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A B dan g : B C
x
f
y=f(x)
A
B
g
z=g(y ) C
h = g f Fungsi baru h = (g o f) : A C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) ( g o f)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R f ∩ D g ≠ Ø Nilai fungsi komposisi (g o f)(x) untuk x = a adalah (g o f)(a) = g(f(a)) Contoh 1: Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4) a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} c) (f o g)(1) = 4
b) (g o f) = {(0,1), (4,3)} d) (g o f)(4)
Contoh 2: f : R R ; f(x) = 2x² +1, g : R R ; g(x) = x + 3 (f o g)(x) = f( g( x) ) = f( x+ 3) = 2(x+ 3) ²+ 1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4 (f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33 (g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6 Contoh 3: Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real. f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan h = g o f : A → C. Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x! 2 h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1) h(x) = 64 → ( -x + 1) 2 = 64 ↔ -x + 1 = 8 -x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9 Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A B ; g : B C ; h : C D, maka berlaku: i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif) ii. (( fo g) oh )( x) = (f o( go h) )( x) (sifat asosiatif) iii. (f oI )( x) = (I of )( x) = f( x) (elemen identitas)
Contoh 1: Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 + 2, I(x) = x (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x 2
2
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x + 2) = 3 – (x + 2) = 1 - x
2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)
( ( f o g ) o h ) (x ) = ( f o g ) ( h ( x ) ) = ( f o g ) ( x2 + 2)= 7 – 2( x2 + 2) = 3 - 2x 2 2
2
2
(fo(goh))(x) =f((goh)(x) )= f( 1 - x )= 2( 1 - x ) + 1 = 2 – 2 x + 1 = 3 – 2 x
2
Dari hasil di atas tampak bahwa (( fo g) oh )( x) = (f o( go h) )( x)
(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1 (Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1 Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
3. Fungsi Invers
Definisi Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)la A dan b B}, maka invers -1 -1 dari fungsi f adalah f : B A ditentukan oleh: f : { ( b , a ) l b B dan a A} . -1
Jika f : A B, maka f mempunyai fungsi invers f : B bijektif atau korespondensi 1-1. Jika f : y = f(x) f -1 : x = f(y)
-1
-1
(f o f )(x) = (f o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
A jika dan hanya jika
f adalah fungsi
Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i. f(x) = ax + b; a ≠ 0
ii. f(x) =
ax b cx d cx
;x≠-
iii. f(x) = a ; a > 0
f -1(x) =
d c
x b a
f -1(x) =
-1
a
v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0
a dx b ;x≠ cx a c
1a log x ; c ≠ 0 c ax -1 f (x) = ;c≠0 c 1/c
f (x) = log x
iv. f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0
-1
;a≠0
f (x)=
=
b b 2 4a(c x) 2a
Catatan: Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh 1: Diketahui f: R R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1: -1 y = 2x - 5 (yang berarti x = f (y)) 2x = y + 5 x=
y5 2
-1
f (x) =
x5 2
Cara 2:
f(x) = ax + b
f(x) = 2x – 5
f -1(x) = f -1(x) =
x b a x5 2
Contoh 3: Diketahui f x Cara 1: 2x 1 y x4 y(x - 4) = 2x + 1 yx – 4y = 2x + 1 yx – 2x = 4y + 1 x(y – 2) = 4y + 1 4y 1 x= y-2
f -1(x) =
4x 1 x-2
2x 1 , x4
x R, x 4 Tentukan f 1 (x) !
Cara 2:
f(x) = f x
ax b cx d
2x 1 x4
f -1(x) = f -1(x) =
dx b cx a 4x 1 x-2
Contoh 3: Jika f x
2x , 3x 4
x R, x
4 dan f 1 (k) 1 . Tentukan nilai k! 3
Cara 1:
y
2x 3x 4
y(3x - 4) = 2x 3xy – 4y = 2x 3xy – 2x = 4y x(3y – 2) = 4y x=
4y 3y - 2
-1
f (x) =
-1
f (k) =
1=
4x 3x - 2 4k 3k - 2
4k 3k - 2
3k – 2 = 4k k = -2 Cara 2:
f -1(k) = a
k = f(a)
f 1 (k) 1
k = f(1) =
2.1 3.1 4
2
1
2
Contoh 4: Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)! Cara 1: 2x n y = 5 (ingat rumus logaritma: a = b n = a log b )
2x = 5 log y x=
15 log y 2
– 1
f (x) =
15 log x 2
Cara 2:
f(x) = acx
f(x) = 5
2x
f -1(x) =
f (x) =
– 1
1a log x c 15 log x 2
Contoh 5: –1
2
Diketahui f(x) = x – 6x + 4, tentukan f (x)! Cara 1:
y = x2 – 6x + 4 y – 4 = x2 – 6x y – 4 = (x – 3) 2 – 9 y + 5 = (x – 3) x – 3 = x=3
2
y 5
y5
– 1
f (x) = 3
x
5
Cara 2:
f(x) = ax² +bx +c
6 36 4(4 x)
2
-1
f (x) =
3
b b2 4a(c x) 2a 36 16 4 x 4
f(x) = x2 – 6x + 4 f -1(x) =
3 5 x
Contoh 6: Diketahui f ( x)
5 1 x3 2 , tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y 5 1 x3 2 y – 2 =
5
1 x3
(y – 2)5 = 1 – x3 x3 = 1 - (y – 2)5 x=
3
1 ( y 2)5
f – 1 (x) =
3
1 ( x 2)5
Cara 2:
f ( x) a bx c n
m
f ( x) 1 x 2 5
3
m
– 1
f (x) =
3
– 1
f (x) =
a ( x c) n
b
1 ( x 2)5
(1)
3 1 ( x 2)5
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui,
maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x). Contoh 1: Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x 2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)! Cara 1: 2
(g o f)(x) = 2x + 2x – 12 2
g(f(x)) = 2x + 2x – 12 2
3 – 2f(x) = 2x + 2x – 12 -2f(x) = 2x2 + 2x – 15 f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x
-1
g (x) =
3
x
2
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
3 (2 x 2 2 x 12 ) 2
2 x 2 2 x 15 2
x 2 x 7,5
Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) = Cara 1:
5 12 x 6 2x
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
5 12 x 6 2x
g(2x-1) =
5 12 x 6 2x
Misalkan: 2x – 1 = a
x=
a 1 5 2 g(a) = a 1 12 6 2 2
g(a) =
g(x) =
a 1 5 6(a 1) 6
x 4
Cara 2:
6 x
=
a4 6a
a 1 2
2 x 5 12 x 6
, tentukan rumus fungsi g(x)!
5 12 x 6 2x
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
2x 12 x
12 x
6
5 6
(2 x 1) 4
g(2x-1) =
g(x) =
2x
g(2x-1) =
5
6(2 x 1)
x 4 6 x
Cara 3:
f(x) = 2x -1
-1
f (x) =
x 1 2
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))
x 1 5 x 1 5 x 4 2 g(x) = 6( x 1) 6 6 x x 1 12 6 2 2
4. Invers Dari Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi -1 -1 invers f dan g . Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.
x
f
y=f(x)
A
B g f
g
z=g(y ) C
Fungsi (g o f) -1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f -1. Sehingga (g o f)-1 dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f -1 0 g-1). Seperti tampak pada diagram berikut.
x
-1
f
-1 y=f(x) g
A
B
(g f) Jadi diperoleh hubungan:
z=g(y ) C
-1
(g o f) -1 (x) = (f -1 o g -1)(x) Contoh 1: Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) =
1 1 -1 , x . Tentukan (f o g) (x)! 3x 1 3
Cara 1:
(f o g)(x) = 2(
2 3(3x 1) 9x 1 1 ) – 3 = 3x 1 3x 1 3x 1
Misalkan y = (f o g)(x) y=
9x 1 3x 1
y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x=
(y 1) 3y 9 -1
(f o g) (x) =
x 1 3x 9
Cara 2:
(f o g)(x) = 2(
(f o g) - 1(x) =
2 3(3x 1) 9x 1 1 ) – 3 = 3x 1 3x 1 3x 1 x 1 x 1 3x 9 3x 9
Contoh 2: Diketahui f - 1(x) =
1 4x 5 x - 2, g - 1(x) = dan h(x)=(g o f)(x). tentukan h - 1(x)! 2 x2
Cara 1: 1 x – 2 2
f - 1(x) =
(f –1 o f)(x) =I(x)
f - 1(f(x)) = x
1 f(x) – 2 = x 2 1 f(x) = x + 2 2
f(x) = 2x + 4
g - 1(x) =
4x 5 x2
(g – 1 o g)(x) =I(x)
g - 1(g(x)) = x
4g(x) 5 =x g(x) 2
4g(x) + 5 = x.g(x)- 2x 4g(x) – x.g(x) = -2x – 5 g(x)(4 - x) = -2x – 5 g(x) =
2x 5 2x 5 4x 4x
h(x) = (g o f)(x) h(x) = -
2(2x 4) 5 4x 13 4 (2x 4) 2x
h - 1(x) =
13 2x 4
Cara 2:
h(x) = (g o f)(x)
h - 1(x) = (g o f) - 1 (x) = (f -1 o g -1)(x) = f -1( g -1(x))
4x 5 4x 5 2(2x 4) 4x 5 4x 8 13 1 4x 5 2 . -2= 2 x2 2x 4 2x 4 2x 4 2x 4
h - 1(x) =
Contoh 3: Ditentukan f(x) = 2x – 1, dan g(x) = 3 – x dan h(x) =
4 ,x x
= 1! Cara 1:
(go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) =
4 4 2x
Misalkan (h o g o f) (x) = y, maka: y=
4 4 2 x
4y – 2xy = 4 -2xy = 4 – 4y x=
4 4 y
2 y
2 y 2
y
(h o g o f) – 1 (x) =
2 x 2
x
2 x 2
x
=1
2x – 2 = x x=2 Cara 2: (go f)(x) = 3 – (2x – 1) = 4 – 2x (h o (g o f))(x) =
(h o g o f)
– 1
4 4 2 x
(x) = a
(h o g o f) – 1 (x) = 1
x = (h o g o f) (a) x = (h o g o f) (1) =
4 4 2.1
4 2
2
0 , carilah nilai x sehingga (h o g o f)
– 1
(x)
