Spe MP
Travail de révision Sup MPSI Il est indispensable de mener un travail de révision régulier et et quotidien quotidien dès dès maintenant (et durant tout l'été).
Première approche : indispensable Reprendre très sérieusement tout le cours et les exercices du programme de Math Sup sans oublier la chimie. Rien de plus catastrophique en spe que de voir un élève être incapable de retrouver rapidement les équations et les graphes d'un régime transitoire du second et même du premier ordre, avoir des hésitations sur l'utilisation des complexes en électricité, sur Millman, sur la détente de Joule-Thomson, sur les forces d'inertie, sur les formules associées aux satellites, sur l'application de Biot et Savart, sur l'application du théorème d'Ampère ou du théorème de Gauss, sur la recherche de lignes de champ, sur le potentiel dipolaire, sur le champ dipolaire, se noyer dans les équations d'un dosage pHmétrique ou redox, ignorer les schémas de base de cristallographie. Des erreurs pardonnées en sup ne le sont plus à la rentrée et encore moins aux concours. En conclusion, ces révisions sont d'autant plus indispensables qu'un certain nombre de thèmes importants le jour du concours ne sont pas repris en spe.
Quelques questions à travailler systématiquement durant l’été : Donner un énoncé du premier principe. Donner un énoncé précis du second principe. Enoncer et démontrer les propriétés relatives à une détente de Joule-Thomson. Définir précisément une enthalpie de formation, une enthalpie de réaction. Redémontrer la relation r=p/(1+e cos θ) relative aus satellites. Enoncer et démontrer proprement les lois de Kepler. Donner les conditions pour avoir une particule chargée dont la trajectoire est en forme d’hélice. Retrouver l’équation de la trajectoire. Proposer un schéma de filtre actif du deuxième ordre. Calculer la fonction de transfert et donner le diagramme de Bode. Indiquer une méthode expérimentale pour obtenir le diagramme de Bode. Faire le schéma d’un RLC d’un RLC série série fermé sur lui-même avec une capacité initialement chargée. Donner l’équation différentielle et la solution pour un régime pseudo-périodique.
Faire le schéma d’un RLC série fermé sur un GBF avec une capacité initialement chargée. Donner l’équation différentielle et la solution générale pour un régime pseudo-périodique. Faire le schéma de Fresnel d’un RLC série. Enoncer proprement le théorème de Gauss, le théorème d’Ampère, la loi de Biot et Savart. Calculer le champ B créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant i par Ampère puis par Biot et Savart à une distance r du fil. Calculer le champ B créé par une spire circulaire en un point de son axe. Calculer le champ E créé par un fil infini portant une densité linéique de charges λ à une distance r du fil par deux méthodes. Idem pour le potentiel. Résoudre l’équation suivante dans le cas général (équation homogène associée à un cas d 2 i di pseudo-périodique) : d t 2 + 2 d t + 02 i = c cos f t Ne pas oublier un travail d’ensemble sur la chimie des solutions aqueuses, sur la thermochimie et sur l’oxydoréduction. Ne pas hésiter à faire de nombreuses applications numériques et à reprendre des constructions de critallographie. Recherche de sites sur des structures cfc par exemple.
Deuxième approche Préparer la rentrée si il vous reste du temps en défrichant déjà un certain nombre de sujets, dont nous donnons quelques exemples :
1 -Optique physique : après une solide révision de l'optique géométrique , aborder
quelques thèmes comme les phénomènes d'interférence.
2 -Magnétisme : après une solide révision de la magnétostatique , étudier des exemples
de phénomènes d'induction couplés à des problèmes de mécanique du type roue de Barlow.
3 -Electromagnétisme : après de solides révisions d'électrostatique , étudier les opérateurs
et leurs applications : → →
div, grad, rot,
4 -Mécanique du solide : après de solides révisions de mécanique du point, regarder
quelques exercices corrigés abordables avec un livre de cours.
5 -Electromagnétisme : essayer d'apprendre les équations de Maxwell ainsi que les relations
de passage avec l'aide d'un livre de cours qui de toute façon seront à connaître parfaitement durant toute l’année de Spe.
PHYSIQUE I
Filière TSI
PHYSIQUE I Calculatrices autorisées Données numériques Charge d’un électron q (valeur absolue)
=
1, 6 ⋅ 10
Masse d'un électron
=
9, 1 ⋅ 10
m
–
19
–
C
31
kg
Vitesse de la lumière dans le vide Perméabilité du vide
c
µ0
=
=
8
–
3 ⋅ 10 m ⋅ s –
7
1
–
4 π ⋅ 10 H ⋅ m
1
Ce problème porte sur l'étude sommaire du confinement d'un électron (de masse m et de charge q ) dans une petite région de l'espace à l'aide d'un champ électromagnétique. On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que les forces électromagnétiques. L'électron se déplace dans le référentiel R ( Oxyz ) , supposé galiléen ; on appelle respectivement e x , e y , e z les vecteurs unitaires des axes Ox , Oy et Oz . Suivant les questions, on repérera un point M de l'espace par ses coordonnées cartésiennes x2 y 2 . ( x, y, z ) ou cylindriques ( r, θ, z ) avec r –
=
+
Partie I - Mouvement de l'électron dans un champ magnétique uniforme L'électron, se déplaçant dans le vide, est soumis à l'action d'un champ magnétique B uniforme et permanent (indépendant du temps). Le champ magnétique B est colinéaire à Oz : B Be z ( B > 0 ) . On pose ω c qB ⁄ m . À l'instant initial, l'électron se trouve en O avec la vitesse v0 v ox e x v oz e z ( v ox et v oz désignent des constantes positives). =
=
=
+
I.A - Déterminer la coordonnée z ( t ) de l'électron à l'instant t . I.B - On étudie la projection du mouvement de l'électron dans le plan Ox y . I.B.1) Déterminer les composantes v x et v y de la vitesse de l'électron en fonction de v ox , ω c et du temps t . I.B.2) En déduire les coordonnées x ( t ) et y ( t ) de l'électron à l'instant t . I.B.3) Montrer que la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan Ox y est un cercle Γ de centre H et de rayon r H . Déterminer les coordonnées x H et y H de H , le rayon r H et la fréquence de révolution f c de l'électron sur ce cerConcours Centrale-Supélec 2010
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PHYSIQUE I
Filière TSI
Filière TSI cle en fonction de v ox et ω c . Tracer, avec soin, le cercle Γ dans le plan Ox y . Préciser en particulier le sens de parcours de l'électron sur Γ . I.C - Application numérique : calculer la fréquence f c pour
B
=
1, 0 T .
I.D - Tracer l'allure de la trajectoire de l'électron dans l'espace. L'électron est-il confiné au voisinage de O ?
Partie II - Mouvement de l'électron dans un champ électrique quadrupolaire À l'aide d'électrodes de forme appropriée (cf figures 1 et 2), on crée autour du point O , dans une zone vide de charges, un champ électrostatique E quadrupolaire de révolution autour de l'axe Oz , dérivant du potentiel : U ( x, y , z )
α0 + α1 ( x
=
2
+
2
y ) + α 2 z
2
où
α0 , α1
et
α2
sont des constantes.
On peut également mettre U sous la forme U ( r, z ) z
Electrode supérieure E E Électrode supérieure A 1 en forme coupelle en forme dedecoupelle A1
=
α 0 + α1 r
2
+
α2 z
2
.
z
Electrode latérale EB
Électrode en formelatérale d’anneau E B E B
EA1
en forme d’anneau
EB A1
O
B
y
O
x
r
A2
Figure 1
Électrode inférieure E A 2 inférieure E enElectrode forme de coupelle
EA2
Figure 2
A2
en forme de coupelle
Coupe des électrodes dans le plan méridien
II.A - Étude du potentiel U et du champ E II.A.1) À quelle équation aux dérivées partielles doit satisfaire le potentiel U ? II.A.2) En déduire une relation entre α 2 et α1 . Concours Centrale-Supélec 2010
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PHYSIQUE I
Filière TSI
II.A.3) Les surfaces internes des 2 électrodes E A 1 et E A 2 , de révolution autour de Oz , 2 E A 1 ont pour équation : r2 2 z2 2 z 0 (les points A 1 et A 2 de la figure 2 ont respectivement pour ordonnées + z0 et z0 sur l'axe Oz ). Ces E B 2 électrodes sont au potentiel nul (cf figure 3). La surface interne de l'électrode latérale E B V 0 également de révolution autour de Oz , a pour E A 2 2 2 2 r 0 (le point B de la figure équation : r 2 z Figure 3 2 est à la distance r0 de l'axe Oz ). Cette électrode est au potentiel V 0 ( V 0 > 0 ) . On définit la constante positive d par 4 d2 r20 2 z20 . Exprimer le potentiel U ( r, z ) en fonction de d , z0 , V 0 , r et z . II.A.4) Représenter, au voisinage du point O , dans le plan méridien rO z (voir Figure 2), les lignes équipotentielles (préciser en particulier les lignes équipotentielles qui passent par O ) et les lignes de champ en justifiant brièvement le schéma. Préciser également le sens du champ E sur les lignes de champ. II.A.5) Représenter, au voisinage du point O , dans le plan Oxy , les lignes équipotentielles et les lignes de champ, en précisant le sens du champ E sur les lignes de champ. II.A.6) Calculer les composantes cartésiennes E x , E y et E z du champ E en un point M en fonction de d , V 0 , x , y , z . –
= –
–
–
=
=
+
II.B - On considère le mouvement de l'électron dans le champ quadrupolaire II.B.1) Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox , Oy et Oz . On introduira la constante ω0
=
qV 0
-----------
md
2
.
II.B.2) Montrer que le mouvement de l'électron suivant Oz (mouvement longitudinal) est périodique et déterminer sa fréquence f 0 en fonction de ω 0 . II.B.3) Application numérique : r0 3, 0 mm , z0 2, 0 mm , V 0 10 V . Calculer f 0 . Comparer les valeurs numériques de f 0 et de f c . II.B.4) Montrer que le mouvement de l'électron dans le plan Ox y (mouvement transversal) n'est pas borné. Il n'y a donc pas confinement de l'électron au voisinage de O dans le champ quadrupolaire. =
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=
=
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Partie III - Mouvement de l'électron dans les champs magnétique et électrique L'électron est maintenant soumis simultanément au champ magnétique B de la Partie I et au champ électrique quadrupolaire E de la Partie II. III.A - Écrire les trois équations différentielles du mouvement en projection sur les axes Ox , Oy et Oz . On utilisera les constantes ω c et ω 0 . III.B - Montrer que le mouvement longitudinal suivant l'axe Oz , déterminé à la question II.B.2) n'est pas modifié. III.C - Pour déterminer le mouvement transversal dans le plan Ox y , on utilise la variable complexe u x iy . III.C.1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par u . III.C.2) Montrer que l'électron sera confiné autour de O si la pulsation ω c est supérieure à une certaine valeur ω c 0 que l'on exprimera en fonction de ω 0 . En déduire la valeur minimale B0 de B qui permet le confinement de l'électron. Exprimer B0 en fonction de V 0 , d , m et q . III.C.3) On suppose dorénavant ω c ω 0 , ce qu'indiquaient les valeurs numériques précédentes. Déterminer, dans ce cas, u en fonction de deux pulsations ω 1 et ω 2 , ( ω1 < ω2 ) du temps t et de deux constantes d'intégration A1 et A 2 qu'on ne cherchera pas à déterminer (la constante A1 est associée à la pulsation ω1 et la constante A 2 à la pulsation ω2 ). Exprimer ω 1 et ω2 en fonction de ω0 et ω c (compte tenu de ω c ω0 ). III.C.4) Application numérique : calculer les fréquences f 1 et f 2 associées aux pulsations ω1 et ω 2 . III.C.5) Montrer qu'à chaque pulsation ω 1 ou ω2 est associé un mouvement circulaire de l'électron. =
+
»
»
III.D - Le mouvement de l'électron apparaît donc comme la superposition de trois mouvements : (1) un mouvement circulaire à la pulsation ω 1 dans le plan Ox y ; (2) un second mouvement circulaire à la pulsation ω 2 dans le plan Ox y ; (3) un mouvement sinusoïdal longitudinal à la pulsation ω0 le long de l'axe Oz . Compte tenu des valeurs numériques des différentes pulsations et en supposant A 2 nettement plus petit que A 1 , tracer l'allure de la projection de la trajectoire de l'électron dans le plan Ox y , puis l'allure générale de la trajectoire dans l'espace.
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Partie IV - Amortissement du mouvement de l'électron par rayonnement Toute particule chargée accélérée émet une onde électromagnétique. L’énergie de ce rayonnement étant prélevée sur l’énergie mécanique, il en résulte un amortissement des oscillations qu’on se propose de caractériser dans cette partie. IV.A - On considère le mouvement longitudinal de l'électron suivant l'axe Oz . IV.A.1) Montrer qu'à ce mouvement, de pulsation ω0 ,on peut associer une énergie mécanique E =
1 dz 2 1 2 2 -- m ------ + --- m ω 0 z . 2 dt 2
IV.A.2) L’amplitude des oscillations variant lentement, on définit l’amplitude quadratique moyenne zm ( t ) des oscillations de l’électron par : 2
z m ( t )
=
1 T 0 + t 2 z ( t ′ ) dt ′ , T 0 t ------
∫
avec
T 0
=
2 π ⁄ ω 0 .
Exprimer E ( t ) en fonction de m , ω0 et z m ( t ) ; puis en fonction de m , ω0 et de la valeur quadratique moyenne am ( t ) de l’accélération longitudinale de l’électron suivant Oz , d 2 z ⁄ dt 2 . IV.A.3) La puissance moyenne P m ( t ) rayonnée par l’électron est donnée par la relation : P m ( t )
=
µ0
2 2
--------- q a m ( t ) 6 π c
.
De ce fait, l’énergie mécanique E ( t ) diminue lentement avec une constante de temps τ0 très grande devant la période T 0 d’oscillation de l’électron suivant Oz . Écrire l’équation qui lie E et Pm et en déduire l’équation différentielle que vérifie l’énergie E ( t ) . IV.A.4) Montrer que l’énergie décroît de manière exponentielle et exprimer la constante de temps τ0 en fonction de m , q , c , µ 0 et ω0 . IV.A.5) Application numérique : calculer τ 0 et comparer la valeur obtenue à celle de la période T 0 . IV.B - On considère le mouvement transversal de l’électron dans le plan Ox y On admet (même si cela n’est pas tout à fait vrai, les ordres de grandeur sont respectés) que les résultats précédents sont transposables directement et indépendamment aux deux mouvements circulaires de pulsations ω1 et ω2 ; on sup-
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pose donc que l’expression de la constante de temps τ en fonction de la pulsation ω (cf question IV.A.4) est inchangée. IV.B.1) Application numérique : calculer les constantes de temps τ1 et τ 2 associées respectivement aux mouvements circulaires de pulsations ω1 et ω 2 . IV.B.2) Expliquer pourquoi on peut ainsi supposer que le mouvement circulaire associé à la pulsation ω2 a un rayon B nettement plus petit que celui A associé à la pulsation ω1 (cf question III.D).
Partie V - Étude élémentaire de la détection du mouvement longitudinal de l’électron Dans cette partie, on considère uniquement le mouvement longitudinal de l’électron suivant Oz et on ne tient pas compte de l’amortissement de ce mouvement dû au rayonnement. L’oscillation de l’électron suivant Oz provoque une variation des charges des électrodes et donc un courant dans le circuit électrique extérieur aux électrodes (tout comme une variation de charges des armatures d’un condensateur produit un courant dans le circuit extérieur au condensateur). Ce courant peut dissiper de l’énergie par effet Joule dans la résistance du circuit. Par suite, l’énergie mécanique de l’électron diminue, ce que l’on peut modéliser en ajoutant à la force électromagnétique qui agit sur l’électron –m ω20 ze z (cf Partie III), une force supplémentaire F , de frottement. On considère le circuit de la figure 4 où on a ajouté une résistance R et I E A 1 un générateur de tension sinusoïdale V 1 V 10 cos ω t ; I désigne l’intensité du courant dans la résis E B R tance R . On admet que la force F a pour expression V =
q F = α ------ ( V 1 – RI ) e z , 2d q dz I = α ------ -----2 d dt
avec
;
α désigne un coefficient caractéristi-
V 2 ( t )
0
V 1 ( t )
Figure 4
que de la forme des électrodes. V.A - Quelle est l’unité du coefficient α ? Justifier brièvement votre réponse.
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V.B - Écrire la nouvelle équation différentielle qui régit le mouvement longitudinal de l’électron suivant Oz . ω
2
α q V.C - On définit le facteur de qualité Q du système par -----0- -R ---- ------- . m 2 d Q En déduire l’équation différentielle que vérifie la tension V 2 ( t ) aux bornes de la résistance R . On fera apparaître les constantes ω0 et Q dans cette équation. =
V.D - On se place en régime sinusoïdal établi. Dans ces conditions, la tension V 2 ( t ) peut se mettre sous la forme V 2 ( t ) V 2 c cos ω t V 2 s sin ω t , V 2 c et V 2 s désignant deux constantes indépendantes du temps. V.D.1) Déterminer, en notation complexe, la tension V 2 ( t ) . V.D.2) En déduire l’expression des amplitudes V 2 c et V 2 s en fonction de V 10 , Q , ω 0 et de la pulsation ω . V.D.3) Tracer l’allure des amplitudes V 2 c et V 2 s en fonction de la pulsation ω . L’étude de ces courbes permet d’avoir les informations sur le mouvement longitudinal de l’électron suivant Oz . =
+
V.E - L’analyse des amplitudes V 2 c et PB X V 2 s est réalisée par détection synchrone. D Le principe de cette V 2 V 5 méthode est expliqué V 4 figure 5. V 3 V 1 • Un circuit déphaFigure 5 seur D ajoute un déphasage ϕ à la tension V 1 ( t ) V 10 cos ω t ( V 1 ( t ) est identique à la tension délivrée par le générateur relié à l’électrode E A 2 ). • Un circuit multiplieur X , alimenté par la tension V 2 ( t ) que l’on souhaite analyser et par la tension V 3 ( t ) issu du circuit déphaseur, délivre une tension V 4 ( t ) K V 2 ( t ) V 3 ( t ) , K désignant une constante positive caractéristique du multiplieur. • Un filtre passe-bas PB permet de filtrer la composante variable de la tension V 4 ( t ) . V.E.1) Un circuit déphaseur D est représenté figure 6. L’amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire. Les résistances R1 et R 2 sont fixées et la capacité C 2 est réglable. =
=
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a) Déterminer, en notation complexe, la fonction de transfert de ce circuit : H D ( ω )
R 1
V 3 ( t ) =
R 1
--------------
V 1 ( t )
–
∞
b) En déduire que la tension V 3 ( t ) est de la forme + V 3 ( t ) V 10 cos ( ω t ϕ ) . R 2 Pour une pulsation ω V 1 V 3 C2 donnée, tracer l’allure du déphasage ϕ en fonction de la capacité C2 . Figure 6 V.E.2) Écrire la tension V 4 ( t ) à la sortie du multiplieur sous la forme : V 4 ( t ) V 40 V 41 ( t ) où V 40 désigne la composante continue de V 4 ( t ) et V 41 ( t ) sa composante variable. Exprimer V 40 en fonction de K , V 10 , V 2 C , V 2 s , ϕ et V 41 ( t ) en fonction de K , V 10 , V 2 C , V 2 s , ϕ , ω et t . V.E.3) Un filtre passe-bas PB est représenté figure 7. R 4 a) Déterminer, en notation complexe, la fonction de transfert V V =
+
=
H PB ( ω )
V 5 ( t )
=
--------------
V 4 ( t )
+
4
de ce circuit.
C4
5
Figure 7
b) Représenter l’allure du diagramme de Bode en amplitude de ce filtre. c) À quelle condition portant sur le produit R4 C4 ω , le filtre passe-bas est-il efficace ? On suppose que cette condition est réalisée par la suite. d) Exprimer la tension V 5 de sortie en fonction K , V 10 , V 2 C , V 2 s et ϕ . V.E.4) Quelle valeur faut-il donner au déphasage ϕ pour que la tension de sortie V 5 soit proportionnelle à V 2 C ? Comment faut-il choisir C2 dans ce cas ? V.E.5) Quelle valeur faut-il donner au déphasage ϕ pour que la tension de sortie V 5 soit proportionnelle à V 2 s ? Déterminer la valeur à donner à C2 en fonction de R2 et de la pulsation ω dans ce cas. V.E.6) Compte tenu des valeurs numériques des différentes fréquences caractéristiques du mouvement de l’électron, peut-on utiliser les circuits électroniques proposés dans cette partie ? ••• FIN ••• Concours Centrale-Supélec 2010
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LYCÉE NAVAL de Brest
Juin 2013
Classes préparatoires scientifiques (MP, PSI, MPSI, PCSI)
L’importance de l’épreuve de français–philosophie aux concours militaires que vous allez affronter ne se dément pas. Une
préparation ambitieuse s’impose qui doit commencer dès les vacances d’été. Il est
absurde de diminuer ses chances en ne profitant pas des mois d’été pour lire et prendre de l’avance.
Voici le programme officiel ainsi que votre plan de travail pour les vacances.
Programme de français – philosophie pour l’année scolaire 2013-2014 I. Thème :
Le temps vécu
II. Textes : -
Henri Bergson, Essai sur les données immédiates de la conscience, chapitre II : « De la multiplicité des états de conscience. L’idée de durée » (Edition GF avec dossier n° 1521)
-
Gérard de Nerval, Sylvie (Edition GF avec dossier n° 1520)
-
Virginia Woolf, Mrs Dalloway (Traduction de Marie-Claire Pasquier, édition Folio Gallimard)
III. Pistes de travail : Vous devez impérativement avoir lu les 3 œuvres au programme avant la rentrée. Ne pas prendre d’avance quand on est étudiant en prépa, c’est déjà accumuler du retard… Le site internet
« C@pConcours » est consacré au programme de français–philosophie des classes
préparatoires scientifiques : http://jacques.casari.free.fr/capconcours Vous y trouverez de nombreux renseignements, des pistes de réflexion et des liens sélectionnés sur le Web. Il existe aussi de nombreuses publications destinées aux étudiants qui préparent le programme indiqué plus haut. Équipez-vous d’ouvrages qui vous permettront d’amorcer votre réflexion :
-
un recueil de textes, Le temps (GF n° 3003) ;
-
un volume d’étude des œuvres et du thème, L’épreuve littéraire, prépas scientifiques – Le Temps vécu, (Bréal) ;
-
un volume pour la dissertation, Le temps vécu en 30 dissertations corrigées (Sedes).
IV. Contrôle des connaissances : Notez dès à présent qu’un contrôle de vos connaissances est programmé dès la rentrée. Il aura pour objectif d’évaluer la qualité de votre lecture des textes au programme. Sans travail, point de salut.