Diferencial total Antes de comenzar es buena saber que el concepto de diferencial de una función de una variable. Este es el producto de la derivada por el incremento ∆ arbitrario de la variable ¿ x), es decir:
y ´ =
dy → dy = y ´ dx dx
De igual forma, deniremos el concepto de deferencial de funciones de varias variables
Diferencial total de dos variables independientes e ! " f#x,!) una función de dos variables independientes. e llama diferencial total, al producto de las derivadas parciales por los incrementos arbitrios de las variables respectivamente ( ∆ x ) ! ( ∆ y ) , esto es:
dz = z x dx + z y dy $tilizando otra notación se podr% escribir:
dz =
∂ z ∂ z dx + dy ∂x ∂y
De forma pr%ctica, lo que deberemos &acer es &allar las derivadas parciales ! multiplicarlas por dx ! d!, como indican las anteriores formulas.
Diferencial total de una función de n variables independientes. El anterior concepto puede ser extendido de forma natural a funciones de varias variables. ea
y =( x , y , t , s ,… .. , n ) una función de n variables independientes, se llama
diferencial total al producto de las derivadas parciales por los incrementos arbitrarios de las variables correspondientes, correspondientes, esto es:
dz = z x dx + z y dy + z t dt + z s ds … .. z n dn $tilizando la otra notación, se podr% escribir:
dz =
∂ z ∂ z ∂z ∂z ∂ z dx + dy + dt + ds… ds… . dn ∂x ∂y ∂ t ∂s ∂n
Ejercicio 1 'allar la diferencial total d la siguiente función de dos variables:
z =√ x 3
−3
√ y
5
(omencemos por preparar la función, esto es:
z =[ x y ] = x 1
5
−3
3
2
5
−1
y 6
A continuación calculamos las derivadas parciales, es decir:
√ y z x =− x y = 5
−2
6
5
6
2
x
5
5 −1
z y = x y
6
−1
5
−1
−1
= x y =5 / 6 x √ y
6
6
6
6
uego la diferencial se &allara sustitu!endo las derivadas parciales, anteriormente calculadas, en la fórmula de la diferencial total, es decir:
dz = z x dx + z y dy
−√ y 6
z x =
x
z y =
−√ y 6
5
dz =
2
x
2
5
dx +
5 6 x √ y 6
dy
5 6 x √ y 6
Ejercicio 2 'allar la diferencial total de la siguiente función de cuatro variables:
z =√ x t √ y s 3
−3
2
5
3
(omencemos por preparar a función, esto es:
[
−3
2
1
1
3
3
z = x t y s
]
1 3
= x
−1
2
5
3
6
1
t y s 2
A continuación calculamos las derivadas parciales, es decir:
−√ t √ y √ s = −√ s √ t √ y z x = x t y s = −2
2
5
1
3
6
2
3
2 6
x
z y "
5 6
−1
2
5
3
6
x t y
−1
1
5
2
−1
s = x t y 2
3
−5 6
6
1
s = 2
5 √ s
3
5
2
z t "
2 −1 3
x
3
t
−1
5
1
−2
2
−1
5
2
√ t 3
2
6 x √ y 6
1
5
y s = x t y s = 2 y 6
2
3
6
2
s2
6
1
3
=
2 √ s
3
3 x t
2
z s "
1 2
x
−1
2
5
1
3
6
2
t y s
−1
1 −1
−2
5
−1
6
5
3
= x t y s = 3
2
5
x
1 2
2
t y 6 1
2
2 x s
3
5
3 x √ t 3
t √ y = √ 3
√ y
2
5
2 x √ s
2
uego la diferencial total se &allara sustitu!endo las derivadas parciales, anteriormente calculadas, en la fórmula de la diferencial total, es decir:
dz = z x dx + z y dy + z t dt + z s ds De donde:
dz =
−√ s
√ t √ y 3
x
2
2
5
dx +
5
√ t √ s dy + 2 √ s √ y dt + √ t √ y ds 3
3
2
6 x √ y 6
3 y
√ t 3
5
3
2
5
2 x √ s
Ejercicio 3 Sensibilidad al cambio
Su empresa fabrica tanques cilíndricos circulares rectos, con 25 pies de altura y 5 pies de radio, para el almacenamiento de melaza. ¿Cuál es la sensibilidad del volumen de los tanques a pequeñas variaciones en la altura y el radio 2
Solución
Con
V = p r h tenemos que la apro!imaci"n al cambio en el volumen es
Despu0s de que resolvamos la *ltima ecuación para
∂ x/∂ z
2
∂ z 2 x + y z = ∂ x 2 z − x y 2 Al mantener a&ora x constante,
∂ 2 ∂ 2 2 z = ( x + x y z ) ∂y ∂y Al resolver para
2 z
implica
∂z ∂ z = x ( y 2 + 2 yz ) ∂y ∂y
∂ z / ∂ y se obtiene
∂z 2 xyz = ∂ y 2 z − x y 2
Ejercicio 2 Determine
fyxyz
f ( x , y , z )=1−2 x y z + x y 2
si
2
1rimero derivamos con respecto a la variable y, lue(o con respecto a x, lue(o nuevamente con respecto a y, y por ltimo con respecto a z 3
fy =−4 xyz + x
2
fyx =−4 yz + 2 x fyxy =−4 z fyxyz =−4
Ejercicio 3 Elección del orden de derivación 2
∂ w / ∂ x ∂ y si
Encuentre
w = xy +
e
y
2
y + 1 2
&l símbolo
∂ w / ∂ x ∂ y nos dice que primero derivemos con respecto a y y lue(o con respecto a x. 1ero
si posponemos la derivaci"n con respecto a y y derivamos primero con respecto a x, obtenemos la respuesta rápidamente. &n dos pasos,
∂w = y ∂x
2
!
∂ w =1 ∂y∂x 2
∂ w =1 Si derivamos primero con respecto a y, obtenemos tambi/n que ∂x∂ y
