Bab 3 Bab 3.
Gerbang Logika
Secara umum dalam sistem digital hanya dikenal dua keadaan yang diwakili oleh dua logika, yaitu: 0 dan 1. Sehingga pada sistem ini dapat kita gunakan Aljabar Boole untuk keperluan perhitungan di dalamnya. Perbedaan Aljabar Boole dengan aljabar yang lain adalah pada aljabar ini hanya ada dua kemungkinan nilai variabel, yaitu 0 dan 1. Kedua nilai logika ini bukan mencerminkan suatu nilai bilangan, namun keduanya mencerminkan dua keadaan yang berbeda sebagaimana Tabel 3.1. Dua keadaan yang berbeda pada sistem digital dapat diwakili oleh suatu variabel tegangan, arus, atau kondisi hidup atau mati. Suatu tegangan pada untai logika dikatakan mewakili logika 0 atau 1 tergantung standar yang digunakan untai tersebut. Pada IC TTL, logika 0 biasanya mewakili tegangan 0 volt dan logika 1 mewakili tegangan 5 volt. Lihat kembali Tabel 1.1! Tabel 3.1 Analogi untuk logika 0 dan 1 0 1 Mati Hidup Salah Benar Rendah Tinggi Tidak Ya Tak Ada ada Dua keadaan berbeda dalam sistem digital dapat dianalogikan dengan beberapa keadaan yang terjadi secara nyata dalam kehidupan sehari-hari. Logika 0 sering dianalogika dengan kondisi mati, salah atau rendah. Sedangkan logika 1 sering dianalogikan dengan kondisi hidup, benar atau tinggi. Aljabar Boole dapat digunakan untuk mengekspresikan hubungan antara masukan dan keluaran untai logika. Biasanya digunakan lambang alfabetik untuk mewakili Teknik Elektro, Sekolah Tinggi Teknologi Adisutjipto
55
variabel logika. Misalnya A adalah masukan sebuah untai logika, dan Y adalah keluaran untai tersebut. Jika dikatakan Y = A, berarti untai logika tersebut mempunyai satu masukan, yaitu A, dan satu keluaran, yaitu Y. Untai tersebut akan menghasilkan logika keluaran yang sama dengan logika masukannya karena Y = A. Pada umumnya untai logika hanya mempunyai satu keluaran, namun dapat mempunyai lebih dari satu masukan keluaran.
Gambar 3.1 Untai logika dengan satu masukan dan satu keluaran Aljabar Boole juga dapat digunakan untuk menyederhanakan untai logika kompleks yang terdiri dari banyak gerbang logika menjadi untai logika yang terdiri dari gerbang yang jumlahnya lebih sedikit. Bahkan aljabar ini dapat digunakan untuk membantu merancang suatu untai yang telah ditentukan fungsi logikanya. Fungsi logika merupakan pernyataan hubungan antara masukan dan keluaran. Sebagai contoh, pernyataan matematis fungsi logika pada Gambar 3.1 adalah Y = A. Fungsi logika dapat dinyatakan dengan pernyataan matematis atau dengan tabel kebenaran. Pada buku ini, pada sebuah gerbang logika atau untai logika, masukan dinyatakan dengan notasi A, B, C, D, E, dan F; sedangkan keluaran dinyatakan dengan notasi Y. 3.1
Tabel Kebenaran
Salah satu cara untuk menyatakan fungsi logika suatu untai logika adalah dengan suatu tabel kebenaran. Tabel ini mancakup semua variasi logika masukan yang dapat terjadi beserta logika keluaran setiap masukan tersebut. Suatu untai logika yang mempunyai dua masukan, maka tabel kebenarannya harus mencakup empat variasi dari masukannya. Untai logika dengan tiga masukan, maka tabel kebenaran untai tersebut harus mencakup delapan variasi masukannya. Dan suatu untai logika yang mempunyai N masukan, tabel kebenaran untai tersebut harus mencakup 2N variasi masukannya. Tabel pada Gambar 3.2(a) merupakan contoh tabel kebenaran gerbang AND yang mempunyai dua masukan yaitu A dan B dan satu keluaran yaitu Y. Sedangkan Gambar 3.2(b) merupakan tabel kebenaran suatu gerbang AND yang mempunyai tiga masukan yaitu A, B dan C dan satu keluaran yaitu Y. Untuk mempermudah penentuan semua variasi masukan, variasi masukan diurutkan sesuai dengan urutan bilangan biner. Sebagai contoh untuk dua masukan, maka variasi masukan AB diurutkan menjadi 00, 01, 10 dan 11.
56
Gerbang Logika
A B Y = AB 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 (a) Dua masukan
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y = ABC 0 0 0 0 0 0 0 1
(b) Tiga masukan Gambar 3.2 Tabel kebenaran gerbang AND. Tabel pada Gambar 3.2(a) dapat dibaca sebagai berikut. Jika pada masukan A dan B untai tersebut diberi masukan logika 0, maka keluaran Y akan berlogika 0. Jika pada masukan A dan B diberi masukan logika 0 dan 1, maka keluaran Y juga akan berlogika 0. Jika pada masukan A dan B diberi masukan logika 1 dan 0, maka keluaran Y juga tetap akan berlogika 0. Sedangkan jika pada masukan A dan B diberi masukan logika 1 semua, maka keluaran Y akan berlogika 1. Cara pembacaan yang sama jika berlaku untuk tabel kebenaran dengan jumlah masukan untai berbeda, misalnya dengan tiga masukan sebagaimana Gambar 3.2.b. 3.2
Diagram Pewaktuan
Penyajian logika dengan tabel kebenaran efektif untuk keadaan masukan dan keluaran statis. Jika masukan dan keluaran untai logika bersifat dinamis, penyajian logika akan lebih efektif menggunakan diagram pewaktuan. Sebagai contoh adalah pembacaan logika untuk untai di Gambar 3.3(a) berikut.
(a) Untai logika Y = AB
(b) Diagram pewaktuan
Gambar 3.3 Contoh untai logika dan tabel kebenarannya. Pada saat awal A = 0 dan B = 0, sehingga keluaran gerbang AND menjadi 0. Keadaan berikutnya A = 0 dan B = 1, dan Y tetap 0. Setelah itu A = 1 dan B = 0, keluaran Y tetap 0, dan akhirnya A = 1 dan B = 1 maka Y = 1. Perubahan masukan dan keluaran akan sulit dijelaskan jika kita hanya menggunakan tabel kebenaran. Agar lebih jelas, maka dapat kita gunakan diagram pewaktuan (timing diagram) sebagaimana Gambar 3.3(b). Sumbu X (horisontal) merupakan sumbu waktu, dan waktu berjalan dari kiri ke kanan. Pada gambar tersebut dilukiskan logika untuk masukan A dan B serta keluaran gerbang AND yaitu z. Masukan A dan B secara berurutan dapat pula dinyatakan dengan
Teknik Digital
57
(A,B) = (0,0) diikuti (0,1), (1,0) dan (1,1). Dalam praktek, grafik berbasis waktu atau sering disebut dalam kawasan waktu seperti pada Gambar 3.3 dapat dilihat menggunakan logic analyzer. Dalam kasus ini dan dalam kebanyakan untai dalam buku ini, gerbang dianggap dalam keadaan ideal, yaitu logika keluaran suatu gerbang akan langsung mengikuti perubahan logika masukannya. Sementara itu dalam kenyataan, suatu gerbang logika mempunyai waktu tunda. Adanya waktu tunda ini mengakibatkan perubahan keluaran suatu gerbang akan tertunda terhadap perubahan masukan gerbang tersebut. Atau dengan kata lain, suatu gerbang memerlukan waktu tertentu untuk menanggapi dan memproses masukan gerbang tersebut. Pembahasan waktu tunda untuk sebuah gerbang dalam sebuah IC digital akan dijabarkan pada Bab 6 buku ini. 3.3
Gerbang Logika Dasar
Unit fungsional terkecil yang dapat melaksanakan fungsi logika dinamakan dengan gerbang logika. Dinamakan gerbang logika karena unti tersebut dapat bertindak sebagaimana gerbang atau pintu gerbang. Jika pintu gerbang ditutup, maka semua yang berada di dalam tidak dapat masuk, dan semua yang berada di luar tidak dapat masuk. Sementara itu, jika pintu gerbang dibuka, maka sesuatu yang berada di luar dapat masuk. Atau secara teknis, sesuatu dari masukan dapat menuju ke bagian keluaran. Masuknya sesuatu dari bagian masukan ke bagian keluaran tersebut dapat hanya dimasukkan apa adanya atau melalui proses modifikasi terlebih dahulu. Sebuah gerbang logika dapat melarang atau memperbolehkan sesuatu yang berada di bagian masukan menuju ke bagian keluaran. Sesuatu yang melewati gerbang logika tentu berupa data logika. Data tersebut diwakili oleh tegangan tertentu sesuai yang telah dijelaskan di Bab 1. Terdapat tiga gerbang logika dasar, yaitu NOT, OR dan AND. Setiap operasi logika dasar dapat dibentuk oleh sebuah gerbang logika. Gerbang-gerbang logika dapat dibuat dari komponen dioda, resistor dan transistor. Beberapa gerbang dasar tersebut dapat dirangkai menjadi sebuah untai logika untuk membentuk suatu fungsi logika. Sistem digital biasanya melibatkan lebih dari satu gerbang yang membentuk suatu untai logika yang akan membentuk fungsi logika tertentu. Untuk memudahkan penggambaran fungsi logika dalam suatu untai elektronis, digunakanlah lambang gerbang logika. Terdapat dua jenis lambang yang sering digunakan, yaitu lambang tradisional dan lambang kotak. Lambang tradisional sering digunakan untuk tujuan pemahaman ilmu teknik digital, sedangkan lambang kotak sring digunaka untuk menggambarkan suatu fugnsi logika dalam bidang elektronis praktis. Secara umum gerbang logika dapat dibagi menjadi dua, yaitu gerbang dasar dan gerbang kompleks. Gerbang logika dasar ada tiga, yaitu NOT, OR dan AND. Ketiga tersebut menjadi dasar bagi pembentukan beberapa gerbang lain. Sedangkan gerbang kompleks dapat tersusun dari beberapa gerbang dasar. Contoh gerbang kompleks adalah: NOR dan NAND.
58
Gerbang Logika
a)
Gerbang NOT
Gerbang NOT sering disebut gerbang inverter karena berfungsi membalik atau menginversi logika masukan. Tanda lingkaran kecil pada keluaran gerbang ini merupakan tanda pembalik. Tanda ini akan banyak dijumpai dalam berbagai gerbang dengan fungsi yang sama. Lambang gerbang NOT dapat dilihat pada Gambar 3.4(a) dan (b). Notasi Boole untuk gerbang NOT adalah adanya tambahan garis di atas suatu variabel. NOT A dinotasikan A . Notasi lain untuk NOT A adalah A’, !A dan ~A.
A Y= A 0 1 (a) Lambang 1 0 (b) Tabel kebenaran Gambar 3.4 Lambang gerbang NOT dan tabel kebenarannya. A merupakan masukan gerbang NOT, sedangkan A merupakan keluaran gerbang tersebut. Bentuk grafik di A merupakan kebalikan dari grafik A. Jika A = 1 maka A = 0, dan jika A = 0 maka A = 1. Karena gerbang NOT mempunyai fungsi membalik logika masukan, maka gerbang ini banyak digunakan sebagai untai pembalik bentuk gelombang seperti diperlihatkan pada Gambar 3.5 berikut.
Gambar 3.5 Keluaran gerbang NOT mempunyai bentuk berkebalikan dari masukannya. Secara elekronis cara kerja gerbang NOT dapat digambarkan dengan untai pada Gambar 3.6. Gerbang NOT diwakili oleh saklar S dan keluaran gerbang NOT diwakili oleh nyala lampu. Jika masukan gerbang NOT berlogika 0 maka saklar dalam kondisi terbuka. Dan jika masukan gerbang NOT berlogika 1 maka saklar dalam kondisi tertutup. Keadaan lampu menyala mewakili logika keluaran 1 dan keadaan lampu padam mewakili logika 0.
Gambar 3.6 Cara kerja gerbang NOT. Dari untai tersebut akan terlihat, bahwa masukan 0 (saklar mati/terbuka) akan menyebabkan lampu menyala atau logika keluaran 1; dan masukan 1 (saklar hidup/tertutup) akan menyebabkan lampu padam atau logika keluaran 0.
Teknik Digital
59
b)
Gerbang OR
Keluaran gerbang OR akan berlogika 1 jika salah satu masukannya 1. Notasi Boole untuk gerbang OR adalah tanda + (plus). A yang di-OR-kan dengan B dinotasikan A + B. A B Y=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 (a) Lambang (b) Tabel kebenaran Gambar 3.7 Gerbang OR dua masukan dan tabel kebenarannya. Berlainan dengan gerbang NOT yang hanya dapat mempunyai satu masukan, maka gerbang OR dapat mempunyai lebih dari dua masukan. Gambar 3.8 merupakan contoh gerbang OR dengan tiga masukan beserta tabel kebenarannya. Sekali lagi, keluaran gerbang OR akan berlogika 1 jika salah satu masukannya berlogika 1. Jadi jika masukan A atau B atau C berlogika 1, maka Y = 1. A B C Y=A+B+C 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A 1 0 0 1 Y B C 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 (a) Lambang (b) Tabel kebenaran Gambar 3.8 Gerbang OR tiga masukan. Secara elektronis, cara kerja gerbang OR dapat digambarkan dengan untai beberapa saklar yang dirangkai paralel. Jumlah saklar dalam untai mewakili jumlah masukan gerbang OR. Gerbang OR dua masukan dapat digambarkan dengan dua saklar yang dirangkai paralel.
Gambar 3.9 Cara kerja gerbang OR yang digambarkan dengan untai saklar paralel. Masukan A = 0 diwakili oleh saklar A dalam keadaan terbuka, sedangkan masukan A = 1 diwakili oleh saklar A dalam keadaan tertutup. Hal ini berlaku pula untuk masukan B. Keadaan lampu menyala mewakili logika keluaran 1 dan keadaan lampu 60
Gerbang Logika
padam mewakili logika 0. Dari untai pada Gambar 3.9 akan terlihat bahwa dengan menjadikan salah satu saklar dalam keadaan tertutup, maka lampu akan menyala atau logika keluaran 1. Lampu akan padam jika kedua saklar dalam kondisi terbuka, atau logika keluaran akan 0 jika kedua masukan berlogika 0. c)
Gerbang AND
Keluaran gerbang AND akan berlogika 1 jika semua masukannya 1. Notasi Boole untuk gerbang AND adalah tanda . (kali). Gerbang AND dapat mempunyai dua masukan atau lebih. A yang di-AND-kan dengan B dinotasikan A.B. A 0 0 1 1
B Y = A.B 0 0 1 0 0 0 (a) Lambang 1 1 (b) Tabel kebenaran Gambar 3.10 Gerbang AND dua masukan. Secara elektronis, cara kerja gerbang AND dapat digambarkan dengan untai beberapa saklar yang dirangkai seri. Jumlah saklar dalam untai mewakili jumlah masukan gerbang AND. Gerbang AND dua masukan dapat digambarkan dengan dua saklar yang dirangkai seri.
Gambar 3.11 Cara kerja gerbang AND yang digambarkan dengan untai saklar seri. Dari untai pada Gambar 3.11 akan terlihat bahwa dengan menjadikan kedua saklar dalam keadaan tertutup, maka lampu akan menyala atau logika keluaran 1. Lampu akan padam jika salah satu saklar dalam keadaan terbuka. Logika keluaran akan 0 jika salah satu masukan berlogika 0. Contoh 31 Suatu gerbang AND dengan masukan A dan B diberi masukan grafik logika seperti Gambar 3.12. Tentukan gafik keluaran z!
Gambar 3.12 Grafik masukan Contoh 3.1. Jawab: Berdasar tabel kebenaran pada Gambar 3.10 didapat bahwa masukan AND hanya akan berlogika 1 jika kedua masukan berlogika 1. Sehingga grafik keluaran Y seperti Gambar 3.13.
Teknik Digital
61
Gambar 3.13 Grafik masukan dan keluaran untuk Contoh 3.1. Contoh 32 Gambarkan untai gerbang dan saklar untuk gerbang OR dan AND yang dinyatakan dengan persamaan Y = (A + B).C! Jawab: Persamaan tersebut mangharuskan masukan A dan B di-OR-kan, hasilnya kemudian di-AND-kan dengan C.
SA
SC
SB
Lampu
(a)
(b)
Gambar 3.14 Untai (a) gerbang dan (b) saklar untuk (A + B).C 3.4
Gerbang NOR dan NAND
Gerbang NOR (NOT-OR) dapat dibentuk dari gabungan gerbang OR dan NOT. Sedangkan gerbang NAND (NOT-AND) dapat dibentuk dari gerbang AND dan NOT. Keluaran gerbang NOR merupakan kebalikan dari keluaran gerbang OR; sedangkan keluaran NAND merupakan kebalikan dari keluaran gerbang AND. Gerbang NOR dapat dibentuk dengan menambahkan gerbang NOT di bagian keluaran gerbang OR, sedangkan gerbang NAND dapat dibentuk dengan menambahkan gerbang NOT di bagian keluaran gerbang AND. Lihat Gambar 3.15! Tanda lingkaran kecil di keluaran gerbang NOR dan NAND merupakan tanda inversi. Kedua gerbang ini dapat diimplementasikan dengan untai elektronis yang lebih sederhana dibandingkan gerbang OR dan AND.
62
Gerbang Logika
(a) A B
A+B
Y = A+B
A B
A NOR B
Y = A+B
(b) A 0 0 1 1
B A+B Y = A B 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 (c)
AB Y = AB 0 1 0 1 0 1 1 0
Gambar 3.15 Pembentukan gerbang (a) NOR dan (b) NAND, dan (c) tabel kebenarannya. Notasi Boole untuk gerbang NOR adalah tanda + diikuti dengan pemberian garis di atasnya, dan untuk gerbang NAND adalah tanda kali diikuti dengan pemberian garis di atasnya. Gerbang NOR dan NAND dapat mempunyai dua masukan atau lebih. A yang diNOR-kan dengan B dinotasikan A B dan A yang di-NAND-kan dengan B dinotasikan AB . Contoh 33 Tiga buah gerbang NAND dirangkai seperti Gambar 3.16. Buatlah tabel kebenaran untai tersebut! A B
1
E
3 C D
Y
2 F
Gambar 3.16 Untai logika dengan 3 gerbang NAND Jawab: Tabel kebenaran harus memuat seluruh variasi masukan A, B, C dan D. Karena ada 4 masukan, maka jumlah variasi ada 24 = 16, sehingga tabel akan mempunyai 16 baris.
Teknik Digital
63
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
F 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Y 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
Tabel kebenaran tersebut dapat dibuat per baris maupun per kolom. Jika dibuat per baris, maka pada baris pertama tentukan kombinasi untuk A, B, C dan D. Logika E ditentukan dari kolom A dan B, E = A NAND B. Logika F ditentukan dari kolom C dan D, F = C NAND D. Sedangkan logika keluaran Y ditentukan dari kolom E dan F, Y = E NAND F. Sedangkan jika dibuat per baris kolom, maka tentukan dulu kombinasi masukan A, B, C dan D. Logika E, F dan Y dapat ditentukan dengan cara yang sama seperti di atas. Gerbang NOR dan NAND mempunyai keistimewaan. Dari kedua gerbang tersebut dapat dibentuk fungsi logika gerbang yang lain, seperti NOT, OR dan AND. Sebagaimana Gambar 3.17 dan Gambar 3.18, gerbang NOT dapat dibentuk dari NOR atau NAND yang semua masukannya digabungkan. Gerbang OR dapat dibentuk dari NOR yang keluarannya di-NOT-kan. Dan gerbang AND dapat dibentuk dari NAND yang keluarannya di-NOT-kan. AND juga dapat dibentuk dari tiga NOR, sedangkan OR dapat dibentuk dari tiga NAND. Dengan demikian, hampir seluruh untai logika dapat dibuat hanya menggunakan gerbang NOR dan NAND saja. Karena sifat tersebut, gerbang NOR dan NAND disebut gerbang universal. Gerbang NOR dan NAND banyak digunakan terutama untuk menghemat pemakaian IC. Sebuah IC digital hanya memuat satu macam gerbang saja, meskipun banyaknya gerbang dalam satu IC dapat lebih dari satu. Silakan dilihat skema internal IC digital di Lampiran A.
64
Gerbang Logika
Y A A A AB
Y A B A B A
Y A B AB
B
Gambar 3.17 Universalitas gerbang NOR
Y AA A AB
Y AB
AB
A
Y A B A B
B
Gambar 3.18 Universalitas gerbang NAND Contoh 34 Berikut sebuah untai logika yang dibentuk dari gerbang AND dan OR. A B
1
E
3 C D
Y
2 F
Gambar 3.19 Aplikasi sifat universal gerbang NAND Untuk dapat merealisasikan untai tersebut, dibutuhkan 2 buah IC digital. Pertama, IC yang mempunyai gerbang AND yaitu 7408 (lihat lampiran A). Kedua, IC yang Teknik Digital
65
mempunyai gerbang OR yaitu 7432. Gerbang pertama dan kedua menggunakan dua buah gerbang pada IC 7408, dan gerbang ketiga hanya menggunakan sebuah gerbang pada IC 7432. Dengan memanfaatkan sifat universal dari gerbang NAND, ubahlah untai di atas agar dapat direalisasikan menggunakan gerbang NAND saja! Berapa IC yang dibutuhkan? Jawab: Berdasar baris kedua dan ketiga Gambar 3.18, gerbang AND dapat diwakili oleh dua buah gerbang NAND; sedangkan gerbang OR dapat diwakili oleh tiga buah gerbang NAND. Sehingga terbentuk 7 buah gerbang NAND seperti pada Gambar 3.20. A
E
1
B
Y
3 C
2
OR
F
AND
D
A
E 1A
1B
3A
B 3C C
2A
2B
D
Y
3B F
Hilangkan NOT ganda A B
1
E 3
C D
2
Y
F
Gambar 3.20 Aplikasi sifat universal gerbang NAND dari Contoh 3.3 Kita misalkan gerbang AND bagian atas diberi nomor 1 dan yang bawah diberi nomor 2, sedangkan gerbang OR di sebelah kanan diberi nomor 3. Gerbang nomor 1 dapat diganti dengan NAND menjadi gerbang nomor 1A dan 1B. Demikian pula gerbang nomor 2 dapat diganti menjadi gerbang nomor 2A dan 2B. Sedangkan gerbang nomor 3 yaitu OR dapat diganti dengan tiga gerbang NAND menjadi gerbang nomor 3A, 3B dan 3C.
66
Gerbang Logika
Terdapat dua pasang NOT ganda, yaitu gerbang 1B-3A dan 2B-3B. Kedua pasang NOT tersebut dapat dihilangkan. Sehingga hasil akhir hanya dibentuk oleh tiga buah gerbang NAND. Untai hasil hanya menggunakan tiga gerbang NAND. Karena sebuah IC NAND 7400 mempunyai empat gerbang NAND, maka realisasi untai tersebut hanya membutuhkan sebuah IC. Perhatikan bahwa untai pada Gambar 3.19 dan Gambar 3.20 mempunyai fungsi logika sama. Silakan dicek dengan membuat tabel kebenaran untuk kedua untai tersebut dan bandingkan! 3.5
Gerbang XOR dan XNOR
Gerbang XOR atau X-OR atau EXOR mempunyai ciri khusus. Keluaran gerbang ini akan berlogika 1 jika logika masukan gerbang ini berbeda; dan berlogika 0 jika logika masukan gerbang ini sama. Notasi Boole untuk gerbang XOR adalah tanda . A yang diXOR-kan dengan B dinotasikan A B. (a) Lambang A B Y=AB 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 (b) Tabel kebenaran Gambar 3.21 Gerbang XOR dan tabel kebenarannya. Gerbang XOR banyak digunakan sebagai komponen utama untai pembeda logika masukan. Jika terdapat dua masukan A dan B, maka kapan logika A dan B berbeda dapat dideteksi menggunakan gerbang XOR. Gambar 3.22 memperlihatkan Y sebagai grafik keluaran gerbang XOR sebagai hasil perbedaan logika dari masukan A dan B. Y akan berlogika 1 jika logika A dan B berbeda.
Gambar 3.22 Grafik keluaran XOR Gerbang XOR dapat dibentuk dari beberapa gerbang dasar. Dua buah gerbang NOT, dua buah gerbang AND dan satu gerbang OR yang dirangkai seperti Gambar 3.23 dapat memberikan fungsi sebagaimana fungsi gerbang XOR. Dengan demikian A B = A B A B . Silakan dibuktikan dengan tabel kebenaran!
Teknik Digital
67
Gambar 3.23 Pembentukan gerbang XOR Gerbang XNOR atau sering ditulis X-NOR atau EXNOR dapat dibentuk dari gerbang XOR yang keluarannya di-NOT-kan. Sehingga keluaran gerbang ini berkebalikan dengan keluaran gerbang XOR. Keluaran gerbang ini akan berlogika 1 jika logika masukan gerbang ini sama dan berlogika 0 jika logika masukan gerbang ini berbeda. Notasi Boole untuk gerbang XNOR adalah tanda diikuti dengan pemberian garis di atasnya. A yang di-XNOR-kan dengan B dinotasikan A B . A B Y = A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 (a) Lambang (b) Tabel kebenaran
Gambar 3.24 Gerbang XNOR dan tabel kebenarannya. Gerbang XNOR dapat dibentuk dari beberapa gerbang dasar. Dua buah gerbang NOT, dua buah gerbang AND dan satu gerbang OR yang dirangkai seperti Gambar 3.25 dapat memberikan fungsi sebagaimana fungsi gerbang XNOR. A B
A B
AB Y = AB+ AB
A B
AB
Gambar 3.25 Pembentukan gerbang XNOR Contoh 35 Salah satu contoh penerapan gerbang X-NOR adalah untai pendeteksi kesamaan dua bilangan biner sebagaimana Gambar 3.26. Tentukan kombinasi masukan x1, x0, y1 dan y0 yang akan menjadikan Z=1!
68
Gerbang Logika
Gambar 3.26 Gerbang XNOR sebagai pendeteksi kesamaan dua bilangan biner Jawab: Y akan berlogika 1 jika kedua keluaran XOR berlogika 1. Hal ini hanya dapat terjadi jika x1 = y1 dan x0 = y0. Lihat tabel kebeneran berikut. Y = ( x1 y1 )( x 0 y 0 ) x1 y1 x0 y0 x0 y1 y0 x1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 lainnya 0 Bilangan biner 2 bit x1x0 dikatakan sama dengan y1y0 jika dan hanya jika x1 = y1 dan x0 = y0. Jika kedua bilangan biner tersebut sama maka keluaran untai ini akan berlogika 1, jika tidak maka keluaran untai ini akan berlogika 0. Tabel kebenaran pada Contoh 3.5 di atas merupakan tabel kebenaran yang menggunakan format diperpendek. Dengan empat masukan, seharusnya tabel kebenaran di atas mempunyai 16 baris. Namun karena empat variasi masukan yang menjadikan keluaran 1 merupakan jawaban atas pertanyaan, maka dapat saja hanya keempat variasi masukan tersebut yang ditampilkan. Variasi masukan lainnya boleh tidak ditampilkan dan cukup dituliskan kata ‘lainnya’. Contoh 35 di atas merupakan salah satu aplikasi gerbang XNOR yang bertindak sebagai pembanding kesamaan dua bilangan biner 2 bit. Untai pada Gambar 3.26 bertindak sebagai untai komparator dua bit. Pengembangan dari untai tersebut dapat menjadi untai komparator 4 bit dan 8 bit. 3.6
0 1 0 1
0 0 1 1
Gerbang Penyangga
Gerbang penyangga (buffer) merupakan gerbang yang paling sederhana. Namun gerbang ini jarang digunakan dalam perancangan untai dasar logika, karena tidak berfungsi mengubah logika masukan. A Y=A A Y=A 0 0 1 1 (a) Lambang (b) Tabel kebenaran Gambar 3.27 Gerbang penyangga dan tabel kebenarannya Keluaran gerbang penyangga mempunyai logika sama dengan logika masukannya. Gerbang ini biasanya digunakan untuk keperluan khusus, misalnya: penyesuai tegangan logika, memperbesar arus keluaran, mengisolasi untai atau Teknik Digital
69
menambah waktu tunda. Contoh aplikasi gerbang penyanggga untuk memperbesar arus keluaran akan dibahas dalam Bab 6. 3.7
Pemicu Schmitt
Pemicu Schmitt (Schmitt-Trigger) bukan merupakan suatu gerbang logika, namun komponen ini banyak berguna terutama pada untai yang sangat presisi. Seperti dijelaskan pada Subbab 1.2, perubahan logika pada suatu untai digital memerlukan waktu tertentu. Hal ini disebabkan oleh perubahan tegangan logika dari suatu logika ke logika yang lain juga memerlukan waktu tertentu. Akibatnya grafik isyarat digital tidak tegak lurus seperti Gambar 1.4 melainkan akan berupa grafik melandai seperti Gambar 1.5. Waktu perubahan tegangan logika yang terlalu panjang, dapat menyebabkan grafik menjadi terlalu melandai. Hal ini dapat mengakibatkan beberapa permasalahan. Sebagai contoh adalah Gambar 3.28 yang merupakan grafik masukan dan keluaran sebuah gerbang penyangga. Grafik masukan A yang terlalu landai akan menyebabkan keluaran gerbang penyangga menjadi berosilasi.
Gambar 3.28 Osilasi dapat terjadi jika grafik terlalu landai. Untuk mengatasi osilasi dapat digunakan gerbang penyangga yang mempunyai pemicu Schmitt pada masukannya. Suatu gerbang dengan pemicu Schmitt mempunyai lambang agak berbeda. Sebagai contoh lambang penyangga dengan pemicu Schmitt pada masukannya dapat dilihat pada Gambar 3.29. A
Y
Gambar 3.29 Lambang gerbang NOT dengan pemicu Schmitt. Dari keluaran gerbang NOT tersebut dapat dihasilkan grafik keluaran dengan perubahan logika yang lebih tajam dan tanpa adanya osilasi meskipun grafik perubahan logika masukan sangat landai. Bagaimana sebuah pemicu Schmitt bekerja?
70
Gerbang Logika
Gambar 3.30 Grafik masukan dan keluaran gerbang penyangga dengan pemicu Schmitt. Suatu pemicu Schmitt mempunyai batas tegangan terjadinya sisi naik (VT+) dan batas tegangan terjadinya sisi turun (VT-). VT+ merupakan tegangan minimal suatu isyarat masukan agar gerbang dengan pemicu Schmitt menganggap telah terjadi sisi naik atau berubahnya logika dari 0 ke 1. Pada Gambar 3.30 terlihat, sebelum tegangan masukan mencapai VT+, gerbang tidak akan menanggapi perubahan tegangan yang terjadi pada masukan, sehingga tidak ada perubahan pada keluarannya. Namun setelah tegangan masukan lebih besar atau sama dengan VT+, maka gerbang segera memberi tanggapan atas masukan yang terjadi. Demikian pula pada sisi turun, sebelum tegangan turun mencapai VT-, gerbang tidak akan menanggapi perubahan tegangan yang terjadi pada masukan, sehingga tidak ada perubahan pada keluarannya. Nilai VT+ selalu lebih tinggi dibandingkan nilai VT-, namun kedua nilai tersebut dapat berbeda untuk seri gerbang logika yang berbeda. Selisih antara nilai VT+ dan VT- dinamakan tegangan histerisis dan diberi notasi VH. 3.8
Gerbang Tiga Keadaan
Suatu gerbang disebut gerbang tiga keadaan (tri-state gate) karena keluaran gerbang tersebut mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan rendah (logika 0), keadaan tinggi (logika 1) dan impedansi tinggi (high-Z). Keluaran keadaan tinggi dari suatu gerbang merupakan keadaan keluaran yang ‘dekat’ ke VCC (biasanya tegangan positif catu daya). Sedangkan keluaran keadaan rendah dari suatu gerbang merupakan keadaan keluaran yang ‘dekat’ ke pentanahan. Pada untai digital, biasanya pentanahan terhubung ke tegangan netral catu daya. Sehingga di buku ini tegangan pentanahan dianggap sama dengan tegangan netral. Keadaan impedansi tinggi merupakan keadaan keluaran yang tidak dekat ke pentanahan maupun VCC. Dalam keadaan ini keluaran suatu gerbang seakan terisolasi terhadap gerbang itu sendiri, pentanahan maupun VCC. Keluaran gerbang seakan tidak terhubung ke mana-mana. Dalam kenyataan, keadaan ini mempunyai nilai impedansi keluaran beberapa megaohm terhadap pentanahan dan VCC. Dalam keadaan impedansi tinggi, apapun keadaan masukan tidak akan mempengaruhi keluaran dan apapun keadaan di keluaran gerbang tidak akan mempengaruhi gerbang. Dalam keadaan ini gerbang dapat dianggap dalam keadaan tidak aktif. Keadaan keluaran dapat diibaratkan seperti saklar dalam keadaan terbuka.
Teknik Digital
71
Gerbang tiga keadaan biasanya diwujudkan untuk gerbang penyangga. Pada gerbang ini, terdapat satu tambahan masukan enable bagi gerbang penyangga. Masukan Enable (E) akan menentukan keluaran gerbang ini dalam keadaan impedansi tinggi atau tidak. Gambar 3.32(a) merupakan contoh gerbang tiga keadaan untuk gerbang penyangga. Gerbang tersebut akan berfungsi sebagaimana gerbang penyangga jika masukan Enable diberi logika 1. Jika Enable = 0, maka keluaran akan mempunyai impedansi tinggi. Lihatlah tabel kebenaran di bawahnya. Gerbang ini sering dinamakan gerbang penyangga dengan enable aktif tinggi. Perhatikan bahwa terdapat lambang segitiga pada keluaran tiga keadaan. E A Y 0 0 Z-tinggi 0 1 Z-tinggi 1 0 0 1 1 1 (b) Tabel kebenaran (a) Lambang Gambar 3.31 Gerbang penyangga tiga keadaan dengan enable aktif tinggi. E A Y 0 0 0 0 1 1 1 0 Z-tinggi 1 1 Z-tinggi (a) Lambang (b) Tabel kebenaran Gambar 3.32 Gerbang penyangga tiga keadaan dengan enable aktif rendah. Sedangkan gerbang pada Gambar 3.32(a) akan berfungsi sebagaimana gerbang penyangga jika masukan E diberi logika 0. Gerbang ini sering dinamakan gerbang penyangga dengan enable aktif rendah. Tanda lingkaran kecil pada masukan E menandakan bahwa logika 0 merupakan logika yang berarti bagi masukan Enable ini. Pada lambang kotak, masukan aktif rendah ditandai dengan adanya segi tiga kecil pada masukan tersebut.
Contoh 36 Gambarkan gerbang NOT tiga keadaan dengan enable aktif tinggi beserta tabel kebenaran! Jawab:
72
Gerbang Logika
E A Y 0 0 Z-tinggi 0 1 Z-tinggi 1 0 1 1 1 0 (a) Lambang (b) Tabel kebeneran Gambar 3.33 Gerbang NOT tiga keadaan dan tabel kebenarannya. Gerbang tiga keadaan banyak digunakan pada keluaran gerbang yang menuju sebuah bus yang digunakan bersama oleh banyak gerbang. Jika sebuah bus digunakan untuk jalur pengiriman data beberapa untai logika, maka bus tersebut harus digunakan secara bergantian. Tidak boleh ada dua atau lebih untai memberikan data secara bersamaan. Sebagai contoh adalah Gambar 3.34. Dua gerbang penyangga memberikan data secara bersamaan. Penyangga atas memberikan logika 1 dan penyangga bawah logika 0. Jika hal ini terjadi maka akan mengalir arus sangat besar dari keluaran logika 1 ke keluaran logika 0. Arus akan mengalir dari keluaran gerbang penyangga atas ke keluaran gerbang penyangga bawah. Masing-masing penyangga akan ‘mempertahankan’ tegangan bus sesuai dengan logika keluarannya. Akibatnya tegangan pada bus mungkin tidak akan mewakili logika 1 ataupun 0 lagi. Keadaan ini dapat merusak salah satu atau kedua gerbang.
Gambar 3.34 Dua gerbang memberikan keluaran secara bersamaan. Untuk mengatasi hal tersebut, dipasanglah gerbang penyangga tiga keadaan pada keluaran masing-masing untai. Gambar 3.35 merupakan contoh sebuah bus untuk menyalurkan data dari keluaran tiga buah untai pengirim untuk diteruskan ke tiga untai penerima.
Teknik Digital
73
Gambar 3.35 Proses pengiriman data melalui bus. Untai 1, 2 dan 3 tidak boleh memberikan data secara bersamaan. Di sinilah peranan penyangga tiga keadaan yang akan mengatur agar keluaran untai-untai tersebut tidak bersamaan. Pada contoh di atas, untai 3 sedang mengirim data kepada untai 4. Keluaran untai 1 dan 2 diisolasi oleh gerbang penyangga tiga keadaan agar tidak termasuki data dari untai 3. Nantinya, setelah untai 3 selesai memberikan data, maka kaki enable penyangga di bawah untai 3 harus diberi logika 1 lagi. Ini digunakan untuk memberi kesempatan untai lain agar dapat memberikan data. Sehingga sebuah untai hanya diberikan waktu singkat untuk memberikan data. Dan sebagian besar waktu untuk penyangga tiga keadaan adalah dalam keluaran keadaan impedansi tinggi. Cara kerja ini akan diaplikasikan pada untai konverter analog-ke-digital yang akan dibahas di akhir buku ini. 3.9
Gerbang dengan Keluaran Kolektor Terbuka
Keluaran gerbang logika pada suatu IC digital biasanya berasal dari kaki kolektor sebuah transistor. Gambar 3.36(a) merupakan contoh untai internal gerbang NOT yang disederhanakan. Keluaran gerbang NOT terhubung ke kaki kolektor transistor NPN. Jika masukan tinggi, maka transistor akan menghantar dan hampir seluruh tegangan ’diserap’ oleh transistor. Pada kondisi ini tegangan keluaran akan mendekati netral. Namun jika masukan rendah, maka transistor tidak akan menghantar, sehingga tegangan keluaran akan mendekati Vcc.
(a) normal
(b) kolektor terbuka Gambar 3.36 Untai dasar gerbang NOT
74
Gerbang Logika
Pada konfigurasi kolektor terbuka, kaki kolektor tidak dihubungkan ke Rc dan Vcc sebagaimana Gambar 3.36(b). Pada saat masukan diberi logika tinggi, maka transistor dapat menghantarkan arus dari kolektor jika di kolektor diberi tegangan dari Veksternal. Pada kondisi ini tegangan keluaran akan mendekti netral, baik jika keluaran diberi tegangan dari Veksternal maupun tidak. Perhatikan bahwa pemberian tegangan harus disertai dengan resistor seri sebagai pengganti RC. Tanpa adanya resistor ini, arus dari dari Veksternal akan mengalir sangat besar sehingga dapat merusakan transistor. Nilai Veksternal dapat melebihi VCC. Kerana fungsi RC sama dengan resistor pull-up seperti pada Gambar 3.36(a), maka resistor ini sering pula disebut resistor pull-up. Pada saat masukan diberi logika rendah, maka transistor tidak menghantar. Jika keluaran tidak diberi tegangan, maka tegangan di keluaran tetap akan mendekati netral. Keluaran akan mempunyai tegangan tertentu sesuai tegangan Vcc. Dengan konfigurasi ini, tegangan keluaran dapat lebih tinggi daripada tegangan catu. Konfigurasi kolektor terbuka ini biasanya untuk mendukung tegangan keluaran yang lebih tinggi dan membutuhkan keluaran arus yang cukup besar.
A
Y=A
Gambar 3.37 Lambang penyangga kolektor terbuka Lambang keluaran kolektor terbuka mempunyai tambahan tanda khusus yang menyerupai huruf omega dalam huruf Yunani. Gambar 3.37 merupakan contoh lambang untuk gerbang penyangga kolektor terbuka. 3.10
Aktif Rendah dan Aktif Tinggi
a)
Gerbang Logika Alternatif
Selain dengan gerbang standar, suatu fungsi logika juga dapat diwakili oleh gerbang alternatif atau gerbang logika takstandar. Penggunaan gerbang alternatif dapat memudahkan pemahaman dan perancangan suatu untai logika. Sebelum kita mencoba bagaimana kelebihan gerbang logika alternatif, terlebih dahulu akan dijelaskan bagaimana gerbang logika alternatif didapatkan. Gerbang alternatif didapatkan dengan cara berikut. 1. Baliklah logika setiap masukan dan keluaran gerbang standar dengan cara menambahkan lingkaran, sebagai tanda NOT, pada setiap masukan dan keluaran yang tidak ada lingkarannya; atau hilangkan lingkaran pada setiap masukan dan keluaran yang ada lingkarannya. 2. Ubahlah gerbang dari AND menjadi OR, atau OR menjadi AND. Khusus untuk NOT cukup biarkan gerbang NOT yang ada. Sebagai contoh adalah gerbang AND yang ada di baris pertama Gambar 3.38. Gerbang tersebut dapat diwakili oleh gerbang alternatifnya, yaitu gerbang OR dengan lingkaran NOT di masukan dan keluarannya. Pada baris kedua Gambar 3.38, gerbang OR dapat diwakili oleh gerbang alternatifnya, yaitu gerbang AND dengan lingkaran NOT di masukan dan keluarannya. Teknik Digital
75
A B
Y= AB
AND
A B
Y=A+B =AB
A B
Y= A+B
OR
A B
Y= A B = A+B
A B
Y= AB
NAND
A B
Y= A+B = AB
A B
Y= A+B
NOR
A B
Y=AB = A+B
A
Y=A
NOT
A
Y=A
Gambar 3.38 Gerbang standar dan alternatif untuk beberapa fungsi logika Jika suatu masukan atau keluaran gerbang tidak ada tanda lingkaran NOT, maka masukan atau keluaran tersebut disebut aktif tinggi. Sedangkan jika suatu masukan atau keluaran gerbang ada tanda lingkaran NOT, maka masukan atau keluaran tersebut disebut aktif rendah. Sehingga kerja suatu gerbang dapat diartikan: Keluaran akan aktif jika input aktif Contoh paling mudah adalah gerbang NOT pada baris terakhir kolom pertama Gambar 3.38 di atas. Pada masukan gerbang NOT tidak terdapat tanda lingkaran NOT, sehingga masukan gerbang NOT bersifat aktif tinggi. Sedangkan pada keluaran gebang NOT terdapat tanda lingkaran NOT, sehingga keluaran NOT bersifat aktif rendah. Lihat Gambar 3.39! Pada gerbang NOT dapat diberlakukan ketentuan keluaran aktif jika masukan aktif, atau keluaran NOT akan rendah jika masukan tinggi
Gambar 3.39 Gerbang NOT dan alternatifnya Pada gerbang NOT, jika dikehendaki keluaran berlogika rendah, maka masukan harus diberi logika tinggi. Bagaimana jika dikehendaki keluaran logika tinggi? Pernyataan di atas hanya memberikan syarat apabila dikehendaki keluaran rendah, dan tidak memberi syarat bagaimana agar keluaran berlogika tinggi. Hal ini disebabkan lambang NOT mempunyai kaluaran aktif rendah. Bagaimana jika keluaran aktif tinggi belum dapat ditentukan?
76
Gerbang Logika
Penentuan syarat agar keluaran NOT aktif tinggi dapat ditentukan dengan mengganti lambang gerbang NOT dengan lambang alternatifnya sebagaimana pada baris terakhir kolom kedua Gambar 3.38. Dari gerbang alternatif tersebut, terlihat bahwa keluaran NOT akan tinggi jika masukan rendah
Gerbang NOT dapat digunakan sebagai antar muka dari keluaran aktif tinggi ke masukan aktif rendah. Demikian pula sebaliknya. Contoh lain adalah gerbang AND pada baris dan kolom pertama Gambar 3.38 di atas. Di kedua masukan gerbang AND tidak ada tanda lingkaran NOT, sehingga kedua masukan aktif tinggi. Demikian pula untuk keluarannya. Lihat Gambar 3.40! Pada gerbang AND dapat diberlakukan ketentuan keluaran aktif jika masukan aktif. Karena pada gerbang AND terdapat dua masukan, maka ketentuan masukan harus melibatkan kedua masukan. Sehingga berlaku, keluaran akan aktif jika masukan A dan masukan B aktif. Di sini dugunakan kata sambung ‘dan’ karena pada gerbang ini berlaku logika AND. Kata ‘dan’ mengharuskan hadirnya semua pihak. Sehingga berlaku ketentuan: keluaran gerbang AND akan tinggi jika kedua masukan tinggi
Bagaimana jika dikehendaki keluaran gerbang AND berlogika rendah? Penentuan syarat agar keluaran AND berlogika rendah dapat dilakukan dengan mangubah gerbang AND menjadi gerbang alternatifnya. Y AB
Y A B AB
Gambar 3.40 Gerbang AND dan alternatifnya Dari Gambar 3.40 terlihat bahwa gerbang alternatif AND akan mempunyai keluaran rendah jika masukan A rendah atau masukan B rendah. Digunakannya kata ‘atau’ karena adanya logika OR pada gerbang alternatif tersebut. Kata ‘atau’ hanya menyaratkan kehadiran salah satu pihak. Sehingga pada gerbang tersebut berlaku ketentuan keluaran gerbang alternatif AND akan rendah jika salah satu masukan rendah. Ketentuan ini berlaku pula pada gerbang aslinya yaitu AND, sehingga: keluaran gerbang AND akan rendah jika salah satu masukan rendah
Suatu gerbang yang diganti oleh gerbang alternatifnya tidak akan mengubah tabel kebenaran gerbang tersebut atau dengan kata lain tidak mengubah fungsi logika gerbang tersebut. Silakan buktikan dengan membuat tabel kebenarannya! b)
Pemilihan Gerbang yang Digunakan
Dengan adanya gerbang alternatif, kita dapat menggunakannya untuk mempermudah pembacaan fungsi suatu untai logika. Sebagai pedoman perancangan, sebaiknya digunakan aturan berikut, Keluaran aktif tinggi terhubung ke masukan aktif tinggi Keluaran aktif rendah terhubung ke masukan aktif rendah
Teknik Digital
77
Contoh 37 Pada untai di Contoh 3.3, tentukan keadaan A, B, C dan D apa saja yang menjadikan Y tinggi?
Gambar 3.41 Untai dengan tiga buah gerbang NAND dari Contoh 3.3. Jawab: Penentuan jawaban atas pertanyaan di atas dapat dilakukan dengan membuat tabel kebenaran seperti pada Contoh 3.3 karena hanya menggunakan 4 masukan. Tapi coba bayangkan jika untai tersebut mempunyai lebih dari 5 masukan atau lebih. Kita harus membuat tabel kebenaran 2n baris, dengan n adalah jumlah masukan untai. Berarti dengan 5 masukan kita harus membuat tabel kebenaran dengan 32 baris! Dengan ketentuan aktif tinggi dan aktif rendah, contoh soal di atas dapat diselesaikan dengan lebih cepat. Dari untai tersebut dapat diambil pengertian sebagai berikut. 1. Dari gerbang NAND nomor 3 dapat dinyatakan: Y akan rendah jika E dan F tinggi. 2. Dari gerbang NAND nomor 1 dapat dinyatakan: E akan rendah jika A dan B tinggi. 3. Dari gerbang NAND nomor 2 dapat dinyatakan: F akan rendah jika C dan D tinggi. Ketiga pernyataan di atas agak sulit untuk dikaitkan. Pernyataan nomor 1 tidak dapat diikuti oleh pernyataan nomor 2 dan 3. Pernyataan nomor 1 mensyaratkan E tinggi dan F tinggi; sedangkan pernyataan nomor 2 memberikan keadaan E rendah dan pernyataan nomor 3 memberikan keadaan F rendah. Bahkan dalam soal ditanyakan masukan apa yang menjadikan Y tinggi, padahal di pernyataan nomor 1 dinyatakan Y rendah. Agar ketiga pernyataan di atas dapat dikaitkan, gerbang nomor tiga diubah ke gerbang alternatifnya, yaitu OR dengan kedua masukan aktif rendah seperti Gambar 3.42. Sehingga didapat pernyataan: 1. Y akan tinggi jika E atau F rendah. 2. E akan rendah jika A dan B tinggi. 3. F akan rendah jika C dan D tinggi. A B
1
E 3
C D
2
F
Y Aktif tinggi
Gambar 3.42 Penggunaan gerbang alternatif
78
Gerbang Logika
Sehingga didapat pernyataan Y akan tinggi jika: 1. A dan B tinggi atau 2. C dan D tinggi. Pernyataan tersebut dapat disajikan dengan tabel kebenaran berikut. A B C D E F Y 1 1 X X 0 X 1 X X 1 1 X 0 1 lainnya 0 Gambar 3.43 Tabel kebenaran untuk untai di Gambar 3.42 Tabel kebenaran di atas akan lebih mudah dibaca dari kanan. Baris pertama tabel kebenaran menyatakan Y=1 jika E=0, sedangkan F bebas yang berarti boleh 0 atau 1. Kondisi bebas ini sering diberi notasi ‘X’. Karena E=0, maka A dan B harus sama dengan 1. Dan karena F bebas, maka C dan D pun boleh diisi sembarang. Sedangkan baris kedua tabel kebenaran menyatakan Y=1 jika F=0 sedangkan E bebas yang berarti boleh 0 atau 1. Karena F=0, maka C dan D harus sama dengan 1. Dan karena E bebas, maka A dan B pun boleh diisi sembarang. Jika dikehendaki, tabel kebenaran di gambar 3.43 dapat dilengkapi dengan mengisi semua kemungkinan logika untuk tanda ‘X’ sebagaimana Gambar 3.44. Tabel tersebut memuat semua kemungkinan masukan untuk Y=1. Dengan melengkapi juga untuk semua kemungkinan agar Y=0, akan dihasilkan tabel kebenaran seperti di Contoh 3.3. A
B
1
1
1 0 1 0
1 1 0 0
C 1 0 1 0
D 1 1 0 0
E 0
F 0 1
1
0 1
1
lainnya
1
Y
0 0
Gambar 3.44 Tabel kebenaran lebih terinci untuk untai di Gambar 3.42 Pengubahan beberapa gerbang asli ke gerbang alternatifnya tidak akan mengubah tabel kebenaran untai tersebut. Pengubahan hanya dilakukan untuk memudahkan analisis suatu untai logika. Dalam prakteknya, perancang dapat tetap menggunakan gerbang asli atau gerbang alternatifnya.
Teknik Digital
79
c)
Notasi Aktif Rendah
Isyarat logika yang bersifat aktif rendah biasanya diberi notasi berupa garis di atas nama isyarat. Misalnya: RD, ROM, MEM
Isyarat RD menandakan bahwa isyarat ini akan aktif jika berlogika rendah dan tidak aktif jika berlogika tinggi. Dalam praktek, isyarat aktif rendah lebih banyak digunakan dibandingkan isyarat aktif tinggi. 3.11
Lambang IEEE/ANSI
Lambang gerbang logika yang telah dibahas sebelumnya merupakan lambang yang umum dan banyak dipakai terutama untuk disajikan dalam keperluan ilmu pengetahuan dan industri. Lambang-lambang tersebut mudah diingat karena satu dengan yang lain terdapat perbedaan yang cukup mencolok. Namun untuk keperluan penyajian informasi yang lebih banyak, dapat digunakan lambang baku lain, yaitu lambang menurut bakuan IEEE/ANSI 911984. Lambang tersebut kini banyak digunakan pabrik pembuat IC digital, dan dipublikasikan dalam lembaran data yang menyertai IC tersebut. Lambang dari IEEE tersebut berbentuk kotak dengan menggunakan notasi yang menggambarkan ketergantungan keluaran atas masukan. Lambang kotak tersebut menggunakan segi tiga kecil di bagian keluaran atau masukan untuk menggambarkan bahwa keluaran atau masukan tersebut aktif rendah. Pada gerbang NOT atau penyangga, notasi ‘1’ menggambarkan bahwa gerbang tersebut hanya mempunyai satu masukan. Pada gerbang NOT, segi tiga di bagian keluaran menandakan bahwa keluaran tersebut aktif rendah. Tidak adanya segi tiga di bagian masukan NOT menandakan bahwa masukan gerbang NOT aktif tinggi. Sedangkan tidak adanya segi tiga pada masukan dan keluaran penyangga menandakan bahwa masukan dan keluaran penyangga aktif tinggi.
80
Gerbang Logika
Gambar 3.45 Lambang gerbang logika Pada lambang gerbang AND, terdapat notasi ‘&’. Tanda tersebut menggambarkan bahwa keluaran gerbang AND akan tinggi (masukan aktif tinggi karena tidak ada segi tiga) jika semua masukannya tinggi (keluaran juga aktif tinggi karena tidak ada segi tiga). Sedangkan tanda ‘≥1’ atau ‘>=1’ pada lambang gerbang OR menandakan bahwa keluaran gerbang tersebut akan tinggi jika satu atau lebih masukannya tinggi. Perhatikan pula lambang untuk gerbang NOR dan NAND. Lambang tersebut dapat dianggap gabungan dari lambang NOT-OR dan NOT-AND, karena kedua gerbang tersebut dapat dibentuk dari NOT-OR dan NOT-AND. Contoh lambang gerbang yang lain dapat dilihat pada Gambar 3.45.
Teknik Digital
81
3.12
Teorema Boole
Beberapa untai logika berbeda dapat mempunyai fungsi logika yang sama. Sebagai contoh adalah untai pada Gambar 3.46(a) dan (b). Kedua untai tersebut mempunyai fungsi logika sama. Lihat tabel kebenaran pada Gambar 3.46(c). Untuk setiap variasi masukan A dan B, keluaran untuk A AB dan A B selalu sama. Dengan demikian, dari dua masukan A dan B, jika kita menghendaki keluaran Y sesuai dengan tabel kebenaran pada Gambar 3.46(c), kita dapat menggunakan salah satu dari untai pada Gambar 3.46(a) atau (b).
(a) Y =
(b) Y =
A AB
A B
Y=
A AB
Y=
A B
A B
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
(c) Tabel kebenaran Gambar 3.46 Dua untai dengan fungsi logika sama. Namun di antara kedua untai tersebut, untai mana yang sebaiknya kita pilih? Agar biaya realisasi untai menjadi kecil, maka kita memilih untai pada Gambar 3.46(b). Untai tersebut hanya membutuhkan dua gerbang logika, sedangkan untai pada Gambar 3.46(a) membutuhkan tiga gerbang logika. Fungsi logika yang diberikan oleh untai pada Gambar 3.46(a) adalah Y = A +AB, sedangkan fungsi logika yang diberikan oleh untai pada Gambar 3.46(b) adalah Y = A +B. Sesuai dengan tabel kebenaran pada Gambar 3.46(c), ternyata keduanya mempunyai logika keluaran Y sama. Sehingga jika kita diberikan fungsi logika Y = A +AB, boleh saja fungsi logika tersebut kita ubah menjadi Y = A +B. Toh, kedua kalimat matematis tersebut mempunyai fungsi logika sama. Pengubahan fungsi logika tersebut di atas dilakukan dengan menghilangkan sebuah gerbang AND. Pengurangan gerbang atau pengurangan jumlah masukan gerbang merupakan salah satu cara penyederhanaan persamaan logika. Penyederhanaan persamaan logika nantinya akan banyak digunakan karena dapat mempermudah analisis sebuah untai logika.
82
Gerbang Logika
Dari sini, muncullah suatu pertanyaan: bagaimana caranya menyederhanakan sebuah fungsi logika? Pertanyaan tersebut akan terjawab pada pembahasan mengenai Teorema Aljabar Boole pada subbab berikut. a)
Aksioma dan Teorema Aljabar Boole
Seperti juga pada aljabar yang lain, aljabar Boole mempunyai kaidah-kaidah khsusus yang diturunkan dari beberapa asumsi dasar. Asumsi-asumsi dasar ini disebut aksioma. Diasumsikan bahwa aljabar Boole hanya mengenal dua nilai untuk semua variabelnya, yaitu 0 dan 1. Terdapat beberapa aksioma Boole, di antaranya sebagai berikut. 1.a. 0.0=0 1.b. 1+1=1 2.a. 1.1=1 2.b. 0+0=0 3.a. 0.1=1.0=0 3.b. 0+1=1+0=1 4.a. Jika A = 0, maka A= 1 4.b. Jika A = 1, maka A= 0 Dari aksioma-aksioma tersebut diturunkan beberapa kaidah dasar yang dapat digunakan untuk variabel tunggal. Kaidah-kaidah ini dinamakan teorema. Jika A merupakan variabel Boole, maka berlaku teorema-teorema identitas berikut. 1.a.
A+0=A
1.b.
A.0=0
2.a.
A+1=1
2.b.
A.1=A
3.a.
A+A=A
3.b.
A.A=A
4.a.
A +A= 1
4.b.
A . A= 0
Perhatikan teorema 1.a. dan 2.a. juga 1.b. dan 2.b. Dari teorema 1.a. dan 2.a. didapat bahwa sebuah logika OR dapat digunakan untuk menjadi suatu bit berlogika 1; sedangkan dari teorema 1.b. dan 2.b. didapat bahwa sebuah logika AND dapat digunakan untuk menjadi suatu bit berlogika 0. Kenyataan ini dapat digunakan untuk memodifikasi isi suatu lokasi memori seperti Contoh 3.8.
Teknik Digital
83
Contoh 38 Suatu lokasi memori mempunyai nilai 1000 1100. Jadikan bit ke-5 dan ke-4 menjadi ‘1’, dan bit ke-3 dan ke-2 menjadi ‘0’ tanpa mengubah bit-bit yang lain! Jawab: Sesuai dengan teorema 1.b dan 2.b, untuk menjadikan bit ke-5 dan ke-4 menjadi ‘1’ dapat dilakukan dengan operasi OR. 1000 1100 0011 0000 OR 1011 1100 Sedangkan, sesuai dengan teorema 1.a dan 2.a, untuk menjadikan bit ke-3 dan ke-2 menjadi ‘0’ dapat dilakukan dengan operasi AND. 1011 1100 1111 0011 AND 1011 0000 b)
Aljabar Boole Dua dan Tiga Variabel
Untuk penyelesaian aljabar Boole dua hingga tiga variabel, dikenal beberapa sifat identitas. Prinsip dualitas juga digunakan pada setiap sifat identitas. Jika A, B dan C merupakan variabel Boole, maka berlaku sifat-sifat berikut, komutatif (pertukaran): A+B=B+A A.B=B.A asosiatif (pengelompokan): A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C distributif (penBebaran): A . (B + C) = A . B + A . C A + B . C = (A + B) . (A + C) absorbsi (penghilangan): A+A.B=A A . (A + B) = A kombinasi: A.B+A.B=A (A + B) . (A +B) = A
84
konsensus: A . B + B . C + A . C = A . B + A.C (A + B) . (B + C) . (A+ C) = (A + B) . (A+ C) Gerbang Logika
sifat-sifat identitas Bang lain: A +A . B = A + B A . (A + B) = A . B Sifat-sifat identitas tersebut dapat dibuktikan dengan manipulasi aljabar menggunakan sifat idenitas yang lain atau menggunakan tabel kebenaran. Beberapa sifat Teorema Boole dapat digunakan untuk menyederhanakan pernyataan logika. Dengan pernyataan logika yang lebih sederhana, suatu untai logika yang cukup kompleks dapat disederhanakan tanpa mengubah fungsi logika untai tersebut. Hal ini akan dijelaskan lebih kanjut pada Bab 4. Contoh 39 Sederhanakan pernyataan logika berikut:
Y = ABC ABC , Y = A B C D A B C D A B C D A B C D , dan Y = (A B)(A B)
Jawab:
Y= = =
Y=
ABC ABC ( A A )BC
(sifat distributif)
BC
(sifat identitas ke-4)
A B CD A B CD A B CD A B CD
=
A B C (D D) A B D (C C)
(sifat distributif)
=
ABC A BD
(sifat identitas ke-4)
Y = (A B)(A B) = A A A B B A BB = 0 + AB AB B = AB AB B = B(A A 1) =B
c)
Prioritas Operasi
Dengan menggunakan tiga operasi dasar logika, yaitu AND, OR dan NOT, dapat dibentuk berbagai macam fungsi logika. Untuk kemudahan penyusunan operasi logika dapat digunakan tanda kurung untuk pemberian prioritas. Prioritas operasi logika hampir sama dengan prioritas operasi aritmatika. Jika tidak digunakan tanda kurung, sebuah pernyataan logika dikerjakan menurut urutan: NOT, AND baru kemudian OR. Contoh: AB + A B Untuk pernyataan tersebut yang harus dikerjakan dahulu adalah melakukan negasi terhadap A dan B. Kemudian dilakukan operasi A AND B dan A AND B . Baru kemudian dilakukan operasi (AB) OR ( A B ).
Teknik Digital
85
3.13
Teorema De Morgan
Seorang matematikawan bernama Augustus DeMorgan, penganut teorema George Boole, telah memperkenalkan dua teorema penting. Dua teorema tersebut, yang kini dinamakan teorema DeMorgan sesuai dengan penemunya, yaitu: . . Teorema pertama adalah: keluaran dua gerbang NOT yang di-OR-kan akan sama dengan gerbang NAND. Atau, jika digunakan gerbang alternatif berarti: keluaran gerbang OR dengan kedua masukan aktif rendah akan sama dengan keluaran gerbang NAND.
(a)
(b)
Gambar 3.47 (a) Untai ekivalen NAND (b) lambang alternatifnya Sedangkan pada teorama kedua: keluaran dua gerbang NOT yang di-AND-kan akan sama dengan keluaran gerbang NOR. Atau jika digunakan gerbang alternatif berarti: keluaran gerbang AND dengan kedua masukan aktif rendah akan sama dengan keluaran gerbang NOR.
(a)
(b)
Gambar 3.48 (a) Untai ekivalen NOR (b) lambang alternatifnya Teorema DeMorgan dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut. A
B
0 0 1 1
0 1 0 1
A 1 1 0 0
B 1 0 1 0
A + B
A . B
0 1 1 1
0 0 0 1
A 1 1 1 0
B
A . B
A . B 1 1 1 0
1 0 0 0
A B 1 0 0 0
Gambar 3.49 Tabel kebenaran untuk pembuktian Teorama DeMorgan 86
Gerbang Logika
Teorema DeMorgan dapat banyak membantu dalam penyederhanakan untai logika karena kita mempunyai pilihan lain untuk suatu fungsi logika yang sama. Teorema yang dalam Gambar 3.47 dan Gambar 3.48 di atas hanya melibatkan dua variabel, yaitu x dan y, dapat diperluas untuk tiga atau lebih variabel. Contoh untuk tiga variabel adalah sebagai berikut: A B C A . B . C dan A . B . C A B C Contoh 40 Sederhanakan pernyataan logika Y = A C B D sehingga sebuah variabel hanya mengalami inversi satu kali! Jawab: Dengan menggunakan aturan DeMorgan didapat Y
= (A C).(B D)
= A .C B D = AC BD
3.14
Gerbang Logika sebagai Saklar Digital
Salah satu kelebihan gerbang logika adalah kemudahan gerbang tersebut untuk digunakan sebagai saklar digital. Sebuah saklar mempunyai dua sifat, yaitu meneruskan isyarat masukan ke bagian keluarannya atau tidak meneruskannya. Dengan berpedoman sifat identitas Aljabar Boole, gerbang AND, NAND, OR dan NOR dapat dipakai sebagai saklar digital sebagaimana Gambar 3.50. Dalam fungsinya sebagai saklar, gerbang logika dapat meneruskan isyarat digital dari masukan gerbang ke keluaran gerbang. Dalam keadaan ini, gerbang akan bertindak sebagai saklar dalam keadaan tertutup atau menghantar. Keadaan ini sering disebut enable. Gerbang logika juga dapat menghambat isyarat digital dari masukan gerbang. Dalam keadaan ini, gerbang akan bertindak sebagai saklar dalam keadaan terbuka atau tidak menghantar. Keadaan ini sering disebut disable.
Teknik Digital
87
Enable 1
1
0
0
Disable
YA
Y A
Y A
Y A
0
0
1
1
Y=0
Y=1
Y=1
Y=0
Gambar 3.50 Gerbang logika sebagai untai saklar. Untuk gerbang AND dua masukan, keadaan enable dibentuk dengan memberikan logika 1 pada salah satu masukan gerbang. Masukan yang lain dari gerbang AND akan diteruskan ke keluaran. Sedangkan keadaan disable dibentuk dengan mengubah logika salah satu masukan dengan 0, maka masukan yang lain tidak akan diteruskan ke keluaran. Pada kondisi disable, keluaran gerbang AND berlogika 0. Hal ini sesuai dengan sifat identitas 1.a dan 2.a Teorema Boole yang telah diutarakan pada subbab 3.8.a. Cara yang sama juga ditempuh untuk gerbang NAND. Perbedaannya di sini adalah dalam keadaan enable, keluaran gerbang NAND akan terbalik terhadap masukannya. Untuk gerbang OR dua masukan, keadaan enable dibentuk dengan memberikan logika 0 pada salah satu masukan gerbang. Masukan yang lain dari gerbang OR akan diteruskan ke keluaran. Sedangkan keadaan disable dibentuk dengan mengubah logika salah satu masukan dengan 1, maka masukan yang lain tidak akan diteruskan ke keluaran. Pada kondisi disable, keluaran gerbang AND berlogika 1. Hal ini sesuai dengan sifat identitas 1.b dan 2.b Teorema Boole. Cara yang sama juga ditempuh untuk gerbang NOR. Perbedaannya di sini adalah dalam keadaan enable, keluaran gerbang NOR akan terbalik terhadap masukannya.
88
Gerbang Logika
Contoh 41 Ulangi Contoh 3.1 namun untuk gerbang NAND! Jawab:
Gambar 3.51 Gerbang AND dan NAND sebagai untai saklar. Karena gerbang NAND dapat dibuat dari gerbang AND yang ditambah inverter di keluarannya, maka keluaran NAND dapat ditentukan dengan membalik logika keluaran AND. 3.15
Istilah Penting
aksioma Boole aktif rendah aktif tinggi aljabar Boole diagram pewaktuan disable enable gerbang logika alternatif gerbang logika takstandar gerbang tiga keadaan
histerisis impedansi tinggi inversi inverter lambang IEEE/ANSI pemicu Schmitt tabel kebenaran teorema Boole teorema DeMorgan tri-state gate
Soal-soal Latihan 1. Berapa jumlah isyarat masukan suatu gerbang? Dan berapa jumlah isyarat keluarannya? 2. Jika sembilan buah gerbang inverter dirangkai secara kaskade (seri), maka akan menjadi gerbang apa? 3. Sebuah gerbang OR mempunyai 6 masukan. Masukan apa saja yang akan menjadikan keluaran gerbang berlogika 1? 4. Ulangi Soal 3-3 untuk gerbang AND! 5. Suatu gerbang NOR mempunyai tiga masukan seperti gambar berikut.
a. Berikan ungkapan matematis gerbang NOR tersebut! b. Buatlah tabel kebenaran untuk gerbang NOR tersebut!
Teknik Digital
89
c. Masukan apa saja yang menjadikan keluaran gerbang aktif? 6. Jika ketiga masukan NOR pada Soal 3-5 diberi masukan dengan grafik gelombang seperti gambar berikut, tentukan grafik gelombang keluarannya! A B C
7. Ulangi Soal 3-5 namun ubahlah gerbang NOR tersebut menjadi gerbang XOR! 8. Buatlah untai saklar dan lampu untuk menggambarkan cara kerja gerbang NOR dan NAND! 9. Ulangi Soal 3-8 untuk gerbang XOR dan XNOR! 10. Buatlah suatu tabel kebenaran yang memuat tiga masukan untuk keluaran gerbang OR, AND, NOR, NAND, XOR dan XNOR! 11. Keluaran sebuah port mikroprosesor bernilai 1111 0000. Dengan tanpa mengubah bitbit yang lain, operasi logika apa saja yang diperlukan agar: a. bit ke-3 = 1 dan bit ke-4 = 0. b. nibble tinggi = 0011. 12. Ulangi Soal 11 untuk data port 0000 1111! 13. Dengan menggunakan sifat identitas yang lain, buktikan sifat identitas berikut, a. A + AB = A b. A +AB = A + B 14. Sebuah gerbang OR mempunyai dua masukan A dan B serta satu keluaran Y. Masukan A dan keluaran Y mempunyai grafik gelombang berikut.
Tentukan grafik gelombang masukan B! 15. Gunakan teorema DeMorgan dan/atau teorema Boole untuk menyederhanakan pernyataan matematis berikut. a.
ABC
e.
(M N)(M N)
b.
ABC
f.
ABCD
c.
A BC
g.
d.
A(B C) D
h.
A B C B C B(A C AC) (C D) A C D A B C A B C D A C D
16. Berikut untai pengaktif alarm. Alarm akan aktif jika Y = 1. Tentukan kondisi masukan yang menjadikan alarm aktif!
90
Gerbang Logika
17. Salah satu masukan gerbang XOR dua masukan diberi isyarat seperti berikut. a. Jika masukan diberi logika 0, bagaimana grafik keluarannya? b. Bagaimana jika salah satu masukan tadi diberi logika 1? c. Apakah gerbang XOR dapat digunakan untuk saklar digital sebagaimana gerbang lain di Gambar 3.50? 18. Ulangi soal no 3-17 untuk gerbang XNOR! 19. Dengan menggunakan gerbang dua masukan, buatlah untai logika yang akan mempunyai keluaran tinggi jika A, B dan C mempunyai logika sama! 20. Berikut sebuah untai logika dengan tiga masukan dan satu keluaran beserta grafik diagram pewaktuan untuk setiap masukannya. Gambarkan grafik keluaran di Y!
21. Pada gambar berikut, tentukan posisi saklar A dan B yang membuat LED menyala?
22. Berikut merupakan untai pembentuk gelombang kotak dari sumber listrik. Gambarkan grafik keluaran gerbang 74LS14!
Teknik Digital
91
23. Pada gambar berikut tentukan keadaan masukan apa saja yang akan membuat keluaran Y aktif! a. b. A B
F
3
Y G
C D E
H
24. Ulangi soal nomor 22 namun gantilah IC 74LS14 dengan gerbang NOT biasa dalam IC 74LS04! Soal Khusus Pada proses pengiriman data, kadang sebelum dikirim, data ditambah satu bit sebagai bit paritas. Dengan adanya bit paritas, penerima dapat mendeteksi adanya kesalahan dalam proses pengiriman data. Terdapat dua macam paritas, yaitu paritas genap dan paritas ganjil. Dengan sistem paritas genap, data yang akan dikirim ditambah satu bit sehingga banyaknya bit 1 adalah genap. Sedangkan dengan sistem paritas ganjil, data yang akan dikirim ditambah satu bit sehingga banyaknya bit 1 adalah ganjil. Jika panjang data dari pengirim n bit, maka dengan ditambah bit paritas, data yang dikirim menjadi n+1 bit. Gambar 3.52 merupakan salah satu untai pembentuk bit paritas (P) dalam sistem paritas genap. Untai tersebut sering disebut generator paritas. Dan Gambar 3.53 merupakan salah satu untai pendeteksi kesalahan yang terjadi dalam proses pengiriman data. Dari untai pendeteksi kesalahan, jika keluaran E = 1, maka dinyatakan telah terjadi kesalahan atas data yang diterima, dan jika E = 0, maka data yang diterima dinyatakan benar.
Gambar 3.52 Untai generator paritas
92
Gerbang Logika
Gambar 3.53 Untai pendeteksi kesalahan 1. Tentukan keluaran P pada generator paritas untuk data masukan D3D2D1D0 berikut: a. 0111, b. 1001, c. 0000, d. 0100. 2. Tentukan keluaran E pada untai pendeteksi kesalahan untuk data masukan P D3D2D1D0 berikut: a. 0 1010, b. 1 1110, c. 1 1111, d. 1 0000. 3. Dengan bit paritas dapatkan dideteksi bit mana yang salah? 4. Jika dalam proses pengiriman data, terdapat dua bit yang mengalami kesalahan, apakah sistem paritas dapat mendeteksi adanya kesalahan?
Teknik Digital
93
