Dimensionamento de Estruturas Em Concreto Armado - 2013-1

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ÍNDICE 1

INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1 1.1 Introdução ao Concreto ........................................................................................... 1 1.2 História do Concreto ............................................................................................... 2 1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado ..................................................... 4 1.3.1 Vantagens do Concreto Armado ....................................................................... 4 1.3.2 Desvantagens do Concreto Armado ................................................................. 4 1.4 Normas para Projeto ................................................................................................ 4 1.5 Concepções de Projeto............................................................................................. 5 1.6 Cargas de Projeto ..................................................................................................... 6 1.7 Elementos Componentes da Estrutura ..................................................................... 6 1.8 Etapas do Projeto Estrutural .................................................................................... 7 1.9 Exemplos de Estruturas em Concreto armado ......................................................... 7 1.9.1 Ponte Ernesto Dornelles................................................................................... 7 1.9.2 Estádio de Futebol Maracanã ............................................................................ 8 1.9.3 Condomínio Torre do Rio Sul .......................................................................... 9 1.9.4 Edifício Petronas Tower ................................................................................... 9 1.9.5 Plataforma de Petróleo Troll ........................................................................... 10 1.9.6 Usina Hidrelétrica de Itaipu ............................................................................ 11 1.9.7 Central Nuclear do Cattenom (Fança) ............................................................. 12 2 CRITÉRIOS DE PROJETO ............................................................................................. 13 2.1 Requisitos Básicos de Projeto de Estruturas ........................................................... 13 2.2 Requisitos Gerais de Qualidade da Estrutura e Avaliação da Conformidade do Projeto Segundo a NBR 6118 ........................................................................................... 13 2.2.1 Requisitos de Qualidade da Estrutura ............................................................. 13 2.2.2 Requisitos de Qualidade do Projeto ................................................................ 14 2.2.3 Avaliação da Conformidade do Projeto .......................................................... 15 2.3 Diretrizes para Durabilidade das Estruturas de Concreto Segundo a NBR 6118..... 15 2.3.1 Exigências de durabilidade .............................................................................. 15 2.3.2 Vida útil de projeto ......................................................................................... 15 2.3.3 Mecanismos de Envelhecimento e Deterioração ............................................. 16 2.3.4 Agressividade do Ambiente ............................................................................ 16 2.4 Critérios de Projeto que Visam a Durabilidade Segundo a NBR 6118 .................... 17 2.4.1 Simbologia específica desta seção.................................................................... 17 2.4.2 Drenagem ....................................................................................................... 17 2.4.3 Formas arquitetônicas e estruturais ................................................................. 18 2.4.4 Qualidade do concreto de cobrimento da armadura ........................................ 18 2.5 Estados Limites (NBR 6118) .................................................................................. 21 2.5.1 Estados Limites Últimos (ELU) ...................................................................... 21 2.5.2 Estados Limites de Utilização (Serviço) .......................................................... 21 2.6 Ações (NBR 6118) ................................................................................................. 22 2.6.1 Ações Permanentes ......................................................................................... 22 2.6.2 Ações Variáveis (Fq) ........................................................................................ 22 2.6.3 Ações Excepcionais ........................................................................................ 23 2.7 Solicitações (NBR 6118)......................................................................................... 23 2.8 Valores Característicos e de Cálculo (NBR 6118) ................................................... 23 2.8.1 Valores Característicos .................................................................................... 23


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2.8.2 Valores de Cálculo .......................................................................................... 24 2.9 Cálculo Segundo a NBR 6118 ................................................................................ 25 2.10 Etapas do Dimensionamento Estrutural ................................................................ 26 3 HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ................................. 27 3.1 Introdução ............................................................................................................. 27 3.2 Concreto ................................................................................................................ 27 3.2.1 Classes ............................................................................................................ 27 3.2.2 Massa Específica ............................................................................................. 28 3.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica.................................................................... 28 3.2.4 Resistência à Tração ........................................................................................ 28 3.2.5 Resistência à Compressão ............................................................................... 30 3.2.6 Módulo de Elasticidade................................................................................... 32 3.2.7 Diagramas Tensão-Deformação (NBR 6118) .................................................. 33 3.2.8 Diâmetro máximo do agregado e do vibrador ................................................. 35 3.3 Aço ........................................................................................................................ 35 3.3.1 Categoria ........................................................................................................ 35 3.3.2 Tipo de Superfície ........................................................................................... 36 3.3.3 Coeficiente de Dilatação Térmica.................................................................... 36 3.3.4 Massa Específica ............................................................................................. 36 3.3.5 Módulo de Elasticidade................................................................................... 36 3.3.6 Diagrama Tensão-deformação, Resistência ao Escoamento e à Tração ........... 36 3.3.7 Características de ductilidade .......................................................................... 39 3.3.8 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura ............... 39 3.3.9 Bitolas Padronizadas ....................................................................................... 39 4 REQUISITOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL ............................................................... 41 4.1 Introdução ............................................................................................................. 41 4.2 Objetivo da Análise Estrutural ............................................................................... 41 4.3 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios ................................................. 42 4.4 Modelagem do Edifício .......................................................................................... 42 4.5 Determinação do Carregamento Vertical................................................................ 44 4.5.1 Carga Permanente ........................................................................................... 44 4.5.2 Carga Acidental............................................................................................... 45 4.6 Modelagem das Lajes ............................................................................................. 48 4.7 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares ............................................ 50 4.8 Modelagem das Estruturas de Contraventamento .................................................. 51 4.8.1 Carregamento Horizontal ............................................................................... 51 4.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento ................................................. 52 4.8.3 Deslocabilidade............................................................................................... 53 4.8.4 Análise Não-Linear ......................................................................................... 55 4.9 Modelagem de Vigas Isoladas ................................................................................. 57 4.10 Modelagem de Pilares Isolados............................................................................... 59 4.10.1 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem .......................................... 61 4.10.2 Solicitações Iniciais ......................................................................................... 62 4.10.3 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas ....................................... 62 4.10.4 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados ................................. 63 5 ELEMENTOS ESTRUTURAIS: PRÉ-DIMENSIONAMENTO .................................... 66 5.1 Projeto Arquitetônico ............................................................................................ 66 5.2 Lançamento da Estrutura ....................................................................................... 66

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5.3 Lajes....................................................................................................................... 70 5.3.1 Lajes maciças .................................................................................................. 70 5.3.2 Lajes pré-fabricadas ........................................................................................ 71 5.3.3 Lajes nervuradas ............................................................................................. 72 5.3.4 Lajes em grelha ............................................................................................... 73 5.3.5 Lajes mistas .................................................................................................... 73 5.3.6 Lajes duplas .................................................................................................... 73 5.3.7 Lajes cogumelo ............................................................................................... 74 5.3.8 Lajes lisas (ou planas) ...................................................................................... 74 5.4 Pré-Dimensionamento da Estrutura do Edifício Construído com Lajes Maciças .... 74 5.4.1 Pré-dimensionamento das lajes maciças .......................................................... 75 5.4.2 Pré-dimensionamento das vigas ...................................................................... 76 5.4.3 Estimativa das cargas verticais para o pré-dimensionamento ........................... 76 5.4.4 Determinação do carregamento horizontal ..................................................... 77 5.4.5 Pré-Dimensionamento dos Pilares .................................................................. 77 5.5 Determinação do Carregamento Vertical................................................................ 79 5.5.1 Carga Permanente ........................................................................................... 79 5.5.2 Carga Acidental............................................................................................... 80 5.5.3 Cargas atuantes em estruturas de edificações (NBR 6120) ............................... 83 5.5.4 Revestimento das lajes .................................................................................... 83 5.5.5 Paredes sobre lajes .......................................................................................... 84 5.5.6 Cálculo das reações nas vigas .......................................................................... 85 5.6 Determinação do Carregamento Horizontal ........................................................... 90 5.6.1 Procedimento para o cálculo das forças devidas ao vento nas edificações (NBR 6123) 90 5.6.2 Determinação da velocidade característica ...................................................... 91 5.7 Verificação da estabilidade global do edifício.......................................................... 94 5.7.1 Deslocabilidade............................................................................................... 94 5.7.2 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis .................................................. 94 5.8 Elaboração das Formas .......................................................................................... 94 6 DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO – SOLICIAÇÕES NORMAIS ................................................................................................................................ 97 6.1 Introdução ............................................................................................................. 97 6.2 Hipóteses Básicas ................................................................................................... 97 6.3 Domínios de Deformações .................................................................................... 98 6.4 Equações de Compatibilidade ................................................................................ 99 6.5 Limites entre Domínios........................................................................................ 101 6.6 Tração Simples e Tração com Pequena Excentricidade ........................................ 101 6.7 Flexão Simples ..................................................................................................... 102 6.7.1 Seções Retangulares com Armadura Simples................................................. 102 6.7.2 Seções Retangulares com Armadura Dupla ................................................... 105 6.7.3 Seções “T” .................................................................................................... 108 6.7.4 Seções Simétricas com Zona Comprimida de Forma Qualquer ..................... 112 6.7.5 Tabela Universal para Seções Retangulares ................................................... 113 6.8 Flexão Composta ................................................................................................. 117 6.8.1 Flexão Composta com Grande Excentricidade ............................................. 117 6.8.2 Flexão Composta com Pequena Excentricidade ............................................ 118 6.8.3 Diagramas de Interação Para Flexão Composta Reta .................................... 119


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6.9 Flexão Oblíqua..................................................................................................... 120 6.9.1 Caso Geral .................................................................................................... 120 6.9.2 Cálculo pelo Método Exato .......................................................................... 121 6.9.3 Diagramas de Interação Para Flexão Oblíqua ................................................ 122 6.9.4 Métodos Simplificados De Cálculo ............................................................... 123 7 CISALHAMENTO......................................................................................................... 124 7.1 Panorama de tensões principais numa viga de comportamento elástico linear. ..... 124 7.2 Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado. ................................. 125 7.3 Método de verificação .......................................................................................... 126 7.3.1 •Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça clássica ou treliça de Mörsch) ................................................................................................................. 126 7.3.2 Dimensionamento (NBR 6118/1980) ........................................................... 128 7.3.3 Armadura transversal mínima (estribo mínimo) ............................................ 128 7.3.4 Cobertura do diagrama de força cortante ...................................................... 129 7.4 Verificação do estado limite último (NBR 6118/2007) ......................................... 131 7.4.1 Cálculo da resistência .................................................................................... 131 7.4.2 Modelo de cálculo I ...................................................................................... 131 7.4.3 Modelo de cálculo II ..................................................................................... 133 8 LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO .......................................................... 138 8.1 Introdução ........................................................................................................... 138 8.2 Lajes Maciças ....................................................................................................... 139 8.2.1 Classificação ................................................................................................. 139 8.2.2 Vãos Teóricos ............................................................................................... 140 8.2.3 Condições de Apoio ..................................................................................... 141 8.2.4 Cálculo dos Esforços .................................................................................... 142 8.2.5 Dimensionamento à Flexão: Estado Limite Último....................................... 145 8.2.6 Força Cortante (Cisalhamento) ..................................................................... 146 8.2.7 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas .............................................. 147 8.2.8 Verificação das Flechas ................................................................................. 148 8.2.9 Barras Sobre os Apoios................................................................................. 152 8.2.10 Barras Inferiores ........................................................................................... 154 8.2.11 Armadura de Canto ...................................................................................... 154 8.2.12 Armadura de Borda ...................................................................................... 155 8.3 Lajes Nervuradas.................................................................................................. 156 8.3.1 Generalidades ............................................................................................... 156 8.3.2 Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas .............................. 157 8.3.3 Verificação de flechas ................................................................................... 158 9 VIGAS ............................................................................................................................ 159 9.1 Introdução ........................................................................................................... 159 9.2 Vãos efetivos de vigas .......................................................................................... 159 9.3 Largura colaborante de vigas de seção T .............................................................. 161 9.4 Instabilidade lateral de vigas ................................................................................. 162 9.5 Carregamento das vigas ........................................................................................ 163 9.6 Esforços atuantes nas vigas .................................................................................. 164 9.6.1 Combinação das ações no estado limite último ............................................. 165 9.7 Tipos de Ruptura ................................................................................................. 167 9.8 Dimensionamento à Flexão: Estado Limite Último .............................................. 169 9.9 Armadura Mínima ................................................................................................ 169


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INTRODUÇÃO

1.1 Introdução ao Concreto O concreto é o material mais utilizado pelo homem na construção civil. Sua utilização em larga escala ocorreu após a patente do cimento Portland por Joseph Aspdin, em 1824, na Inglaterra. Naquela época, os primeiros concretos eram produzidos utilizando cimento Portland, areia, brita e água, que era adicionada em abundância. A resistência à compressão simples dificilmente ultrapassava o valor de 10 MPa [1]. Atualmente, com os avanços na tecnologia de dosagem do concreto e com a adição de outros materiais, tais como adições minerais e aditivos químicos de terceira geração em sua composição, a resistência à compressão simples pode superar o valor de 200 MPa [2]. Também, adições de fibras minerais, metálicas ou vegetais podem aumentar a ductilidade e a tenacidade à fratura do concreto, diminuindo sua característica de ruptura frágil. O concreto é comumente empregado na construção de edifícios, pontes, estádios, túneis, paredes de contenção, reservatórios, barragens e em muitos outros tipos de estruturas. O concreto é um material heterogêneo constituído por uma vasta gama de partículas granulares. O tamanho destas partículas pode variar de dimensões menores que 1 mícron (sílica ativa) até alguns centímetros (agregados graúdos). De acordo com o nível macroestrutural de sua composição granulométrica, o concreto pode ser dividido em duas fases: matriz e agregados. A matriz é formada por uma mistura de cimento Portland e a água, enquanto que os agregados, materiais potencialmente inertes e rígidos, servem como esqueleto principal. O concreto apresenta boa resistência aos esforços de compressão, porém apresenta baixa resistência aos esforços de tração. O concreto armado resulta da união entre o concreto simples e uma armadura de reforço imersa em seu interior. Como armadura utiliza-se barras de aço posicionada na zona onde o concreto é solicitado à tração. Desse modo, o concreto e o aço trabalham em conjunto: o concreto resiste aos esforços de compressão; e o aço aos esforços de tração. No caso de uma viga sem armadura solicitada continuamente à flexão, no instante que a resistência à tração no concreto for excedida, provocará a formação de uma fissura única levando a ruptura brusca. Por outro lado, se for considerada uma viga similar submetida à flexão, porém com armadura na região onde o concreto é tracionado, tanto o concreto como a armadura irão suportar os esforços de tração. A partir do momento que a tensão limite de tração no concreto for excedida, surgirão fissuras, e o concreto deixará de absorver o esforço de tração que passará a ser suportado pela armadura. A armadura de reforço no concreto deve Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Professor Uniderp

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Capíulo 1 - Introdução - 2

ser adicionada na região onde o elemento estrutural será submetido a tensões de tração para que possa suprir sua deficiência na resistência. Nos elementos estruturais submetidos apenas à compressão, a adição de armadura melhorará sua resistência à compressão.

1.2 História do Concreto O primeiro uso de concreto produzido com cal hidráulica e cimento pozolânico, datado pela literatura, é atribuído aos Romanos nas construções de monumentos e aquedutos. Após a utilização pelos Romanos como material de construção, o concreto só voltou à tona em 1760 na Grã-Bretanha, quando John Smeaton o utilizou para assentar pedras na construção de uma parede para conter as águas do rio Calder. No ano de 1796, o inglês J. Parker reproduziu o cimento romano e 15 anos mais tarde Vicat produzir cimento através da queima de argila e cal. Em 1824, Joseph Aspdin produziu cimento portland na cidade de Wakefield, Grã-Bretanha. Foi atribuída a denominação de cimento portland porque a pasta de cimento, após endurecer, assemelhava-se com as pedras oriundas das pedreiras da Ilha de Portland [3]. Em 1832, o francês François Marte Le Brun, na cidade de Moissac, construiu uma casa usando concreto para moldar arcos com 5,50m de vãos. Também usou concreto na construção de uma escola em St. Aignan em 1834, e de uma igreja em Corbarièce em 1835. Em 1854, Joseph Louis Lambot construiu um pequeno barco em concreto armado com barras de aço que foi apresentado numa exposição em Paris, e patenteado em 1855. No mesmo ano, o inglês W. B. Wilkinson obteve a patente do uso de lajes em concreto armado com barras de ferro torcidas. O pesquisador francês François Cignet em 1855 obteve a patente de um sistema desenvolvido sobre o uso de barras de ferro imersas em lajes de concreto, levando-as até os apoios. Um ano mais tarde, adicionou porcas nas extremidades das barras, e em 1969 publicou um livro descrevendo alguns princípios básicos do concreto armado e possíveis aplicações [3]. Outro pesquisador francês, Joseph Monier, ganhou o crédito da invenção do concreto armado com a patente reconhecida 1867, em Paris, pela construção de tubos e vasos de jardins armados com malha de ferro. Em seguida, deu início a uma série de patentes como tubos e reservatórios (1868), placas planas (1869), pontes (1873), escadas (1875), vigas e colunas (1877). Entre os anos de 1880 e 1881, Monier recebeu patentes alemãs de amarrações de estrada de ferro, calhas de alimentação da água, vasos circular, placas planas, canaletas para irrigação, entre outras [3]. Nos Estados Unidos, em 1873, Willian E. Ward construiu em Nova Iorque, próximo ao porto de Chester, uma casa em concreto armado que existe até os dias atuais. O concreto armado foi usado para construir paredes, vigas, lajes e escadas. As primeiras pesquisas envolvendo o uso do concreto armado foram feitas por Thaddeus Hyatt, um advogado, que conduziu experiências com 50 vigas nos anos de 1870. De uma maneira correta, as barras de ferro nas vigas de Hyatt foram posicionadas na zona de tração, dobradas e escoradas na zona de compressão. Adicionalmente, o reforço transversal (estribos verticais) foi usado próximo aos apoios. Entretanto, as experiências de Hyatt ficaram desconhecidas até o ano de sua publicação, em 1877. Em 1890, E. L. Ransome construiu o museu Leland Stanford Jr. em São Francisco, um edifício em concreto armado com dois pavimentos e comprimento de 95 m. A partir desta data, o desenvolvimento do concreto armado nos Estados Unidos foi rápido. Durante o período de 1891 e 1894, os vários pesquisadores europeus publicaram teorias e resultados de ensaios; entre eles estavam Moeller (Alemanha), Wunsch (Hungria), Melan (Áustria), Hennebique (França), e Emperger (Hungria), mas o uso prático era menos extensivo do que nos estados unidos [3]. Entre os anos de 1850 a 1900, poucas publicações foram feitas, porque os métodos conhecidos sobre o uso do concreto armado eram considerados como segredos de comércio. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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A primeira publicação que pode ser classificada como livro texto foi a do pesquisador Considère, em 1899. Pelo decorrer do século, havia uma multiplicidade dos sistemas e dos métodos com pouca uniformidade em procedimentos de projeto, nas tensões permissíveis e nas técnicas de detalhamento da armadura. Em 1903, construtores formaram nos Estados Unidos um comitê comum com representantes de todas as organizações interessadas no uso do concreto armado cujo objetivo era uniformizar os conhecimentos e técnicas para o dimensionamento estrutural. Emil Mörsch, professor eméritos da Universidade de Stuttgart, publicou em 1902, uma descrição com base científica e fundamentada dos ensaios publicados até a época sobre o comportamento do concreto armado. Desenvolveu ainda, a primeira teoria sobre o dimensionamento de elementos em concreto armado. Em 1879 na Alemanha, G. A. Wayass comprou a patente francesa de Monier e publicou um livro com métodos de construção de Monier, em 1887. Rudolph Schuster comprou os direitos da patente na Áustria, e o nome de Monier se espalhou por toda a Europa, motivo pelo qual se creditou a Monier o invento do concreto armado. Em 1900, o ministro do trabalho da França foi chamado para um comitê dirigido por Armand Considère, engenheiro chefe do departamento de estradas e pontes, a fim de estabelecer especificações para o uso do concreto armado, que foram publicadas em 1906. Vários ensaios foram realizados no início do século XX (Arthur N. Talbot universidade de Illinois, Frederick E. Turneaure e Morton O. Withey, universidade de Wisconsin, e por Bach na Alemanha, entre outros), para estudar o comportamento de vigas, resistência à compressão e à tração do concreto e módulo de elasticidade. Entre os anos de 1916 e 1940, as pesquisas concentraram-se no comportamento de colunas submetidas a cargas axiais e excêntricas. O concreto armado foi sendo refinado cada vez mais até a introdução de uma précompressão na zona de tração cujo objetivo foi diminuir a fissuração excessiva. Este refinamento deu-se pela introdução parcial ou completa de protensão, desenvolvida pelo pesquisador francês Eugene Freyssinet, em 1928, estabelecendo assim a prática do uso de concreto protendido. A partir de 1950, já era conhecido o comportamento de vários elementos em concreto armado, então, foram elaboradas normas sobre dimensionamento de estruturas em concreto armado, de acordo com restrições geográficas e climáticas de cada país, e atualizadas constantemente conforme necessidades de novas aplicações e da redução de custos obedecendo a critérios de segurança. Por volta do ano 1960 na região de Chicago (EUA), começou-se usar concreto de alta resistência (30MPa) em estruturas de edifícios altos. Aumentar a resistência do concreto era sempre um desafio, fato que nas primeiras obras construídas com esse tipo de concreto, foram concretadas apenas algumas colunas, para provar que o concreto de alta resistência podia ser feito, entregue, lançado e curado. A primeira obra em concreto de alta resistência foi o Edifício Lake Point Tower em 1965 (Figura 1), cuja resistência à compressão do concreto foi de Figura 1: Lake Point Tower. 53MPa aos 28 dias [5]. Com o desenvolvimento de aditivos químicos para concretos (com função de dispersantes) no início dos anos 1970, no Japão e na Alemanha, e seu aperfeiçoamento no início dos anos 1980 juntamente com a chegada da sílica ativa, foi que o concreto de alto desempenho teve seu grande impulso. Desde então, muitas pesquisas foram desenvolvidas e sua aceitação tem sido muito boa no ramo de estruturas, devido a suas propriedades jamais alcançadas pelo concreto comum. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Avançando ainda mais nos estudos sobre o concreto, no final dos anos 1990, foi desenvolvida no Canadá uma nova concepção de concreto, produzidos com Pós Reativos (da tradução Powder Reactive Concrete). A resistência deste concreto aplicando modernas técnicas de cura atingir a resistência à compressão na faixa de 800MPa [2].

1.3 Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado O concreto armado ao ser comparado ao aço apresenta vantagens e desvantagens quanto ao seu uso na construção de estruturas de edifícios, pontes, plataformas de petróleo, reservatórios, barragens, entre outros.

1.3.1 Vantagens do Concreto Armado Dentre as principais vantagens em utilizar o concreto armado como um material estrutural estão:  Pode apresentar alta resistência a compressão;  É facilmente moldável adaptando-se aos mais variados tipos de forma, e as armaduras de aço podem ser dispostas de acordo com o fluxo dos esforços internos;  Resiste melhor às influências atmosféricas e ao desgaste mecânico;  Apresenta melhor resistência ao fogo do que o aço;  Resiste a grandes ciclos de carga com baixo custo de manutenção;  Na maior parte das estruturas tais como barragens, obras portuárias, fundações, é o material estrutural mais econômico.

1.3.2 Desvantagens do Concreto Armado Dentre as principais desvantagens em utilizar o concreto armado como material estrutural estão:  Tem baixa resistência à tração, aproximadamente um décimo de sua resistência à compressão;  Elevado peso próprio nas estruturas;  É necessário mistura, lançamento e cura, a fim de garantir a resistência desejada;  O custo das formas usadas para moldar os elementos de concreto é relativamente cara. Em alguns casos, o custo do material e a mão de obra para construir as formas tornam-se igual ao custo do concreto.  Apresenta resistência à compressão inferior a do aço;  Surgimento de fissuras no concreto devido à relaxação e a aplicação de cargas móveis.

1.4 Normas para Projeto Todo e qualquer dimensionamento estrutural deverá ser feito de acordo com a normalização vigente na região onde a construção será efetuada. Cada país ou comunidade apresenta sua respectiva norma, que leva em conta condições ambientais tais como a existência ou não de abalos sísmicos, furacões, grandes variações de temperatura, qualidade dos materiais, tipos de construções, entre outros fatores.


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As normas foram desenvolvidas para padronização os critérios de dimensionamento, oferecendo condições mínimas de utilização e segurança das estruturas. Elas são elaboradas a partir de inúmeros resultados de ensaios experimentais, oferecendo margem de segurança precavendo-se de possíveis falhas nos materiais, na dosagem do concreto, possíveis imperfeições geométricas durante a execução da estrutura ou, até mesmo, compensar pequenos erros de projetos. No Brasil, a norma vigente para dimensionamento de estruturas em concreto armado é a NBR 6118 (ABNT, 2007), Projeto de Estruturas de Concreto. Dentre as normas estrangeiras, as mais importantes de acordo com seus respectivos países de origem são:  Instituto Americano do Concreto, ACI-318 (EUA);  Association of State Highway and Transportation Officials, AASHTO (EUA);  American Society for Testing and Materials, ASTM (EUA);  Código Modelo para Concreto Armado, BS-8110 e CP-110 (Inglaterra);  Código Nacional de Construção do Canadá, CAN (Canadá);  Código Modelo Alemão para Concreto Armado, DIM 1045 (Alemanha);  Especificações para Reforços em Aço (Rússia);  Especificações Técnicas para a Teoria e Projeto das Estruturas em Concreto Armado, CC-BA (France);  O código do CEB (Comitè Europeu Du Beton),  Euro Codes, são normas desenvolvidas abrangendo especificações válidas a todos os países membros da União Européia.

1.5 Concepções de Projeto O projeto estrutural deve atender a requisitos de segurança, funcionalidade, economia, estabilidade global e local dos elementos estruturais, trabalhabilidade e todos aqueles que se referem à vida útil da estrutura. Para que estes requisitos sejam satisfeitos, primeiro é necessário conhecer as condições ambientais e os meios pelo qual a obra será executada. Em segundo lugar, selecionar os materiais adequados ao tipo de construção. A escolha do tipo de estrutura a ser empregada pode ser considerada tarefa fácil quando o projetista tem uma vasta experiência de projeto. A funcionalidade da estrutura dependerá da forma que ela for elaborada, da quantidade e das dimensões dos elementos estruturais, tais como pilares, lajes e vigas. O método de cálculo deverá ser bem interpretado, pois a diferença nos resultados do projeto de um edifício de múltiplos andares calculados entre um programa preciso de computador e técnicas manuais poderão ser significativas. Esta diferença se deve ao uso de vários métodos de análise e teorias matemáticas complexas, as quais seriam impossíveis de serem analisadas manualmente. A estabilidade global da estrutura é requisito mínimo de um projeto estrutural, principalmente quando a construção é submetida às condições de sismos, ventos, recalques no terreno, impactos laterais, entre outras solicitações. A norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) classifica a qualidade de uma estrutura em concreto armado de acordo com três requisitos básicos, relativos a:  Capacidade resistente ou de seus elementos componentes: segurança a ruptura e estabilidade;


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Desempenho em serviço: fissuração excessiva, deformações inconvenientes e vibrações indesejáveis; Durabilidade, sob as influências ambientais previstas: conservação da estrutura.

1.6 Cargas de Projeto As cargas que podem atuar em uma estrutura são classificadas de várias formas, conforme ocorrência:  Carga permanente: peso próprio da estrutura, revestimento, materiais permanentes colocados sobre a estrutura, empuxo de terra em contenções;  Cargas móveis: fluxo de pessoas e materiais que não permanecem fixos sobre a estrutura;  Cargas ocasionais: ventos, sismos, variação da temperatura, peso da neve em países frios.  Carga dinâmica: impactos, terremotos. Todo dimensionamento estrutural deverá ser elaborado para as mais desfavoráveis combinações de carregamento que podem atuar na estrutura, sem proporcionar deformações excessivas, oscilações, e colapso parcial ou total da estrutura. Em estruturas de edifícios, após analisar as combinações do carregamento vertical atuante (cargas móveis, permanente ou ocasionais), torna-se necessário realizar uma análise destas combinações de carregamento com as condições de vento prescritas pela norma de ventos NBR 6123 (ABNT, 1988). O efeito dinâmico das cargas de vento, normalmente começa a exercer influência nos elementos estruturais em edifícios maiores que 15 a 18 pavimentos, onde o controle das oscilações e do deslocamento horizontal passa a ser fundamental para a estabilidade global da estrutura. Sobre estas condições, economias significativas poderão ser atingidas pela escolha adequada do sistema estrutural, que deverá ser contraventado de maneira a garantir rigidez à estrutura impedindo excessivas oscilações e deslocamentos. A NBR 6120 (ABNT, 1980) fornece valores de cargas padronizadas para o cálculo de estruturas de edificações relacionadas a diversos tipos de ocupações, assim como a massa específica dos materiais mais usados na construção civil.

1.7 Elementos Componentes da Estrutura Todas as estruturas de edifícios sejam elas compostas com um pavimento ou múltiplos pavimentos, são formados basicamente por:  



Fundações: recebem todo o carregamento do edifício e podem ser blocos sobre estacas, sapatas isoladas ou associadas, laje radier, tubulões, etc. Paredes: são elementos estruturais esbeltos (placas) e servem para transferir tanto os esforços horizontais como os esforços verticais às fundações. As paredes podem ser de contenção, contraventamento, caixas de água; Pilares ou colunas: são os elementos estruturais que suportam as cargas das vigas, laje, caixas de água, ventos, transferindo-as as fundações;


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



 


Vigas: São elementos estruturas que fornecem sustentação as lajes, transferindo os esforços para os pilares. As vigas podem se horizontais, inclinadas, curvas ou até mesmo em forma de arco. São geralmente apoiadas nos pilares; Lajes: As lajes são placas planas e esbeltas que servem de piso para os edifícios. Podem suportar cargas verticais tão bem como cargas horizontais. As lajes podem ser maciças, nervuradas, planas, mistas, pré-moldadas, alveolares, protendidas; Escadas: São elos de ligação entre os pavimentos. Pórticos: os pórticos espaciais consistem em elementos estruturais trabalhando em conjunto entre os pilares, paredes, vigas ou lajes. Podem se estaticamente determinados ou estaticamente indeterminados.

1.8 Etapas do Projeto Estrutural A primeira etapa do projeto estrutural compreende a interpretação do projeto arquitetônico, para efetuar o lançamento da estrutura em cada pavimento. Muitas vezes os arquitetos desenvolvem seus projetos arquitetônicos em conjunto com o projetista estrutural, gerando assim uma estrutura com segurança e custos reduzidos. Diferentes concepções estruturais poderão ser elaboradas, baseando-se em diferentes materiais ou para as diferentes condições de uso que a estrutura será submetida. Dentre as diversas etapas de um projeto estrutural as mais importantes são:  Compreendimento do projeto arquitetônico;  Escolha dos materiais e da estrutura mais adequada ao meio em questão;  Estudo e lançamento das plantas de formas;  Estimativa dos diferentes tipos de carregamento atuantes na estrutura;  Análise prévia da estrutura por meio de métodos computacionais, levando em considerações a estabilidade global, limite de fissuração e deformações excessivas dos elementos estruturais tais como vigas, lajes, pilares, recalque nas fundações;  Análise final e cálculo das armaduras de todos os elementos estruturais;  Detalhamento da armação de todos os elementos estruturais, assim como o desenho final das plantas de forma.  Entrega do projeto estrutural e acompanhamento durante a execução da obra.

1.9 Exemplos de Estruturas em Concreto armado O concreto armado foi consagrado com êxito nos mais diferentes tipos de estruturas, como será mostrado a seguir por meio de exemplos de construções no Brasil e no mundo.

1.9.1 Ponte Ernesto Dornelles A ponte Ernesto Dornelles situa-se na Rodovia Buarque de Macedo entre os municípios de Bento Gonçalves (RS) e Veranópolis (RS), serra gaúcha teve sua construção iniciada em 1942 e foi concluída em 1952, sendo o projeto de Antônio Alves de Noronha. A Ponte do Rio das Antas, também conhecida por este nome, com seus dois arcos paralelos de 186 metros de vão livre, representou a maior ponte em concreto armado até então concluída nas Américas. Em sua construção foram aplicados 41 mil sacos de cimento, 440 toneladas de Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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ferro, 2 mil m³ de madeira para sustentar o concreto, 3.300 m³ de brita, 2.000 m³ de areia e 300 mil horas de trabalho. Mais de uma dezena de pessoas morreram em sua construção. Dita uma verdadeira obra de arte, foi executada em arco, pois a correnteza das águas em época de cheias não permitia a existência de pilares. Com 186 metros de vão livre e 28 metros de flecha, possuindo o tabuleiro intermediário e 2 viadutos de acesso, medindo na margem direita 56,60 metros e na esquerda 36, 80 metros. Seu comprimento total é de 278 metros.

Figura 2: Ponte sobre o Rio das Antas, construída na Serra Gaúcha, Brasil. Estrutura em forma de Arco.

1.9.2 Estádio de Futebol Maracanã O Estádio de Futebol Maracanã (Rio de Janeiro, Brasil) foi construído com estrutura em concreto armado e é considerado o maior estádio de futebol do mundo. As obras iniciaram-se em 2 de agosto de 1948, data do lançamento da pedra fundamental. Trabalharam na construção cerca de mil e quinhentos homens, tendo somado a estes mais dois mil nos últimos meses de trabalho. Apesar de ter entrado em uso em 1950, as obras só ficaram completas em 1965. Foi projetado por projetistas brasileiros.

Figura 3: Estádio de Futebol do Maracanã, Rio de Janeiro, Brasil.


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1.9.3 Condomínio Torre do Rio Sul O condomínio Torre do Rio Sul (Rio de Janeiro, Brasil) é um dos maiores condomínios empresariais do Brasil, com 160 metros de altura e 40 pavimentos. No total são 119.751,56 metros quadrados de área construída. Sua construção começou no fim da década de 70. As obras, um marco na história da engenharia civil no Brasil, foram conduzidas pela Construtora Norberto Odebrecht. Seu projeto arrojado para a época, com fachada de concreto aparente e muito vidro, fez da Torre um empreendimento moderno, integrado ao ambiente e à natureza ao redor. A estrutura é dotada de vigas em forma de treliças construídas em concreto armado acopladas a cada dois pavimentos. Sua torre possui um núcleo central que serve de contraventamento e duas colunas de pilares em cada face conforme é mostrado na Figura 4.

Figura 4: Edifício Comercial Rio Sul, Rio de Janeiro, Brasil. Exemplo típico de vigas em forma de treliça.

1.9.4 Edifício Petronas Tower O Edifício Petronas Tower é um dos maiores edifício comerciais do mundo, com 452m de altura e 88 andares. Está situado na cidade de Kuala Lampur, capital da Malásia. É composto por duas torres gêmeas, idênticas e ligadas por uma passarela no 44° andar. A passarela está apoiada sobre apoios móveis cuja finalidade é permitindo translações durante as oscilações das duas torres provocadas pela ação do vento e de sismos. Foi construída ao longo de cinco anos e inaugurado em 1998. Sua estrutura foi erguida em concreto de alto desempenho cuja resistência à compressão aos 28 dias atingiu o valor de 100 MPa. Nesta obra foram consumidos cerca de 180 mil metros cúbicos de concreto.


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Figura 5: Torres gêmeas The Petronas Tower, Kuala Lumpur, Malásia.

1.9.5 Plataforma de Petróleo Troll A Plataforma de Petróleo flutuante Troll (Mar do Norte, Noruega) é a maior plataforma de Petróleo em operação no Mundo. Sua altura é de 472m, sendo que 369m encontram-se abaixo do espelho de água (condição normal de serviço). A construção da plataforma constituiu-se de uma mega operação ao longo de 4 anos, sendo inaugurada em 1995. Durante a construção foram gastos cerca de 245 mil metros cúbicos de concreto, cuja resistência à compressão aos 28 dias atingiu 82 MPa. O consumo de 100 mil toneladas de aço foi 15 vezes superior ao consumo da Torre Eifell de Paris. A espessura da parede de concreto de cada perna da Plataforma é de 1 metro.

Figura 6: (a) Etapas de Construção das Fundações.


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Figura 6: (b) Plataforma de Petróleo Troll, Mar do Norte, Noruega.

1.9.6 Usina Hidrelétrica de Itaipu A hidrelétrica de Itaipu possui 180 metros de comprimento e foi construída no leito do Rio Paraná, divisa do Brasil com o Paraguai, tendo sua construção concluída no ano de 1982. A obra teve um custo de 18,5 bilhões de dólares. Sua construção consumiu 12,5 milhões de metros cúbicos de concreto cuja resistência à compressão aos 28 dias atingiu cerca de 35MPa. É atualmente a maior hidrelétrica Brasileira e deteve o recorde mundial por mais de uma década.

Figura 7: Hidrelétrica de Itaipu, construída em 1982 no leito do Rio Paraná.


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1.9.7 Central Nuclear do Cattenom (Fança) A Central Nuclear do Cattenom (Fança), por se tratar de uma obra especial, teve sua estrutura construída com concreto de pós-reativos (Reactive Powder Concrete) cuja dimensão máxima dos agregados foi de 600µm. A resistência à compressão do concreto aos 28 dias alcançou o valor de 200 MPa. Este tipo de concreto foi usado em função de suas propriedades de impermeabilidade durabilidade uma vez que possui porosidade cerca de 100 vezes menor que a do concreto convencional.

Figura 8: Torre de resfriamento da Central Nuclear do Cattenom, França..


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CRITÉRIOS DE PROJETO

2.1 Requisitos Básicos de Projeto de Estruturas Qualquer estrutura, seja parte dela ou em sua totalidade, deve resistir com margem de segurança a todos as solicitações provenientes de carregamentos aplicados, além de não apresentar deformações excessivas ou fissuração indesejável que possa comprometer sua utilização e durabilidade. A segurança das estruturas envolve a verificação da capacidade de carga, da estabilidade e da capacidade de utilização e durabilidade durante a vida útil prevista.

2.2 Requisitos Gerais de Qualidade da Estrutura e Avaliação da Conformidade do Projeto Segundo a NBR 6118 2.2.1 Requisitos de Qualidade da Estrutura 2.2.1.1

Condições gerais As estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, durante sua construção e serviço, e aos requisitos adicionais estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto estrutural e o contratante. 2.2.1.2

Classificação dos requisitos de qualidade da estrutura Os requisitos da qualidade de uma estrutura de concreto são classificados para efeito da NBR 6118 (ABNT, 2007) em três grupos distintos, relacionados em:   

Capacidade resistente: consiste basicamente na segurança à ruptura; Desempenho em serviço: consiste na capacidade de a estrutura manter-se em condições plenas de utilização, não devendo apresentar danos que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foi projetada; Durabilidade: consiste na capacidade de a estrutura resistir às influências ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e o contratante, no início dos trabalhos de elaboração do projeto.


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Construções de Concreto

Capítulo 2 – Critérios de Projeto - 14

2.2.2 Requisitos de Qualidade do Projeto Todo o projeto deve ser elaborado atendendo aos critérios estabelecidos nas normas técnicas da ABNT. 2.2.2.1

Qualidade da solução adotada A solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecida nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura. A qualidade da solução adotada deve ainda considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas conforme NBR 14931 (ABNT, 2004), estruturais, de integração com os demais projetos (elétrico, hidráulico, ar-condicionado e outros) explicitados pelos responsáveis técnicos de cada especialidade com a anuência do contratante. 2.2.2.2 Condições impostas ao projeto Todas as condições impostas ao projeto, descritas a seguir, devem ser estabelecidas previamente e em comum acordo entre o autor do projeto estrutural e o contratante:  Para atender aos requisitos de qualidade impostos às estruturas de concreto, o projeto deve atender a todos os requisitos estabelecidos na NBR 6118 (ABNT, 2007) e em outras complementares e específicas, conforme o caso;  As exigências relativas à capacidade resistente e ao desempenho em serviço deixam de ser satisfeitas, quando são ultrapassados os respectivos estados limites definidos na seção 2.5;  As exigências de durabilidade deixam de ser atendidas quando não são observados os critérios de projeto definidos na seção 2.5;  Para tipos especiais de estruturas, devem ser atendidas exigências particulares estabelecidas em Normas Brasileiras específicas. (exigências particulares podem, por exemplo, consistir em resistência a explosões, impactos, sismos, ou ainda relativas à estanqueidade, isolamento térmico ou acústico);  Exigências suplementares podem ser fixadas em projeto. 2.2.2.3 Documentação da solução adotada Toda a solução adotada deverá ser em forma de documento:  O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto;  Os documentos relacionados à cima devem conter informações claras, corretas, consistentes entre si e com as exigências estabelecidas pela NBR 6118 (ABNT, 2007);  As especificações e os critérios de projeto podem constar nos próprios desenhos ou constituir documento separado;  O projeto estrutural deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura;  Com o objetivo de garantir a qualidade da execução de uma obra, com base em um determinado projeto, medidas preventivas devem ser tomadas desde o início dos trabalhos. Essas medidas devem englobar a discussão e aprovação das decisões tomadas, a distribuição dessas e outras informações pelos elementos pertinentes da equipe multidisciplinar e a programação coerente das atividades, respeitando as regras lógicas de precedência.


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2.2.3 Avaliação da Conformidade do Projeto Dependendo do porte da obra, a avaliação da conformidade do projeto deve ser requerida e contratada pelo contratante a um profissional habilitado, devendo ser registrada em documento específico que acompanha a documentação do projeto. A avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada antes da fase de construção e, de preferência, simultaneamente com a fase de projeto, como condição essencial para que seus resultados se tornem efetivos e conseqüentes. Estes critérios de aceitação e os procedimentos corretivos são dados por:  Cabe ao contratante proceder ao recebimento do projeto, quando cumpridas às exigências da NBR 6118 (ABNT, 2007), em particular aquelas prescritas na seção 2.2.2;  Verificada a existência de não-conformidades, deve ser emitido termo de aceitação provisório do projeto, do qual devem constar todas as pendências;  Na falta de habilitação técnica do contratante para a aceitação do projeto, ele deve designar um preposto legalmente habilitado para tal;  Uma vez sanadas as pendências, deve ser emitido o termo de aceitação definitiva do projeto.

2.3 Diretrizes para Durabilidade das Estruturas de Concreto Segundo a NBR 6118 Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2007) devem ser cumpridos requisitos de durabilidade e vida útil das estruturas em concreto armado.

2.3.1 Exigências de durabilidade As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizados em projeto conservem sua segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil.

2.3.2 Vida útil de projeto Por vida útil de projeto, entende-se o período de tempo durante o qual se mantêm as características das estruturas de concreto, desde que atendidos os requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como de execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais. O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Dessa forma, determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil diferente do todo. A durabilidade das estruturas de concreto requer cooperação e esforços coordenados de todos os envolvidos nos processos de projeto, construção e utilização, devendo, como mínimo, ser seguido o que estabelece a NBR 12655 (ABNT, 2006), sendo também obedecidas às disposições com relação às condições de uso, inspeção e manutenção. Dependendo do Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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porte da construção e da agressividade do meio e de posse das informações dos projetos, dos materiais e produtos utilizados e da execução da obra, deve ser produzido por profissional habilitado, devidamente contratado pelo contratante, um manual de utilização, inspeção e manutenção. Esse manual deve especificar de forma clara e sucinta, os requisitos básicos para a utilização e a manutenção preventiva, necessária para garantir a vida útil prevista para a estrutura, conforme indicado na NBR 5674 (ABNT, 1999).

2.3.3 Mecanismos de Envelhecimento e Deterioração 2.3.3.1

Generalidades Dentro desse enfoque devem ser considerados, ao menos, os mecanismos de envelhecimento e deterioração da estrutura de concreto, relacionados em 2.3.2. 2.3.3.2 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto Os mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto de cimento Portland podem ser classificados em:  lixiviação por ação de águas puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e carregam os compostos hidratados da pasta de cimento;  expansão por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado;  expansão por ação das reações entre os álcalis do cimento e certos agregados reativos;  reações deletérias superficiais de certos agregados decorrentes de transformações de produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica. 2.3.3.3 Mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura Os mecanismos preponderantes de deterioração relativos à armadura imersa no concreto podem ser classificados em:  despassivação por carbonatação, ou seja, por ação do gás carbônico da atmosfera;  despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto). 2.3.3.4 Mecanismos de deterioração das estruturas propriamente dita São aqueles relacionados às ações mecânicas, movimentações de origem térmica, impactos, ações cíclicas, retração, fluência e relaxação.

2.3.4 Agressividade do Ambiente A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto.


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Tabela 1: Classes de agressividade ambiental (NBR 6118:2003). Classe de agressividade ambiente

Agressividade

Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

I

Fraca

Rural Submersa

Insignificante

II

Moderada

Urbana1), 2)

Pequeno

III

Forte

IV

Muito Forte

Marinha1) Industrial1), 2) Industrial1), 3) Respingos de Maré

Grande Elevado

Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 1)

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes.

2.4 Critérios de Projeto que Visam a Durabilidade Segundo a NBR 6118 2.4.1 Simbologia específica desta seção De forma a simplificar a compreensão e, portanto, a aplicação dos conceitos estabelecidos nesta seção, os símbolos mais utilizados, ou que poderiam gerar dúvidas, encontram-se definidos:  cmin - cobrimento mínimo  cnom - cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução)  UR - umidade relativa do ar  ∆c - Tolerância de execução para o cobrimento

2.4.2 Drenagem 





Deve ser evitada a presença ou acumulação de água proveniente de chuva ou decorrente de água de limpeza e lavagem, sobre as superfícies das estruturas de concreto; As superfícies expostas que necessitem ser horizontal, tais como coberturas, pátios, garagens, estacionamentos e outras, devem ser convenientemente drenadas, com disposição de ralos e condutores; Todas as juntas de movimento ou de dilatação, em superfícies sujeitas à ação de água, devem ser convenientemente seladas, de forma a torná-las estanques à passagem (percolação) de água;


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


Todos os topos de platibandas e paredes devem ser protegidos por chapins. Todos os beirais devem ter pingadeiras e os encontros a diferentes níveis devem ser protegidos por rufos.

2.4.3 Formas arquitetônicas e estruturais  

Disposições arquitetônicas ou construtivas que possam reduzir a durabilidade da estrutura devem ser evitadas; Deve ser previsto em projeto o acesso para inspeção e manutenção de partes da estrutura com vida útil inferior ao todo, tais como aparelhos de apoio, caixões, insertos, impermeabilizações e outros.

2.4.4 Qualidade do concreto de cobrimento da armadura 



Atendidas as demais condições estabelecidas nesta seção, a durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura; Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na Tabela 2.

Tabela 2: Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto (NBR 6118).

Relação água/cimento em massa

CA

I ≤ 0,65

Classes de agressividade II III ≤ 0,60 ≤ 0,55

IV ≤ 0,45

CP

≤ 0,60

≤ 0,55

≤ 0,50

≤ 0,45

Classe de concreto (NBR 8953)

CA

≥ C20

≥ C25

≥ C30

≥ C40

CP

≥ C25

≥ C30

≥ C35

≥ C40

Concreto

Tipo

NOTAS 1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir os requisitos estabelecidos na NBR 12655. 2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado. 3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.



Para edificações, deverão ser seguidas recomendações para a escolha da espessura da camada de cobrimento da armadura de acordo com a Tabela 3 a serem exigidos para diferentes tipos de elementos estruturais, visando a garantir um grau adequado de durabilidade para a estrutura.


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Tabela 3: Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆c = 10mm. Tipo de Estrutura

Elemento

I

Concreto Armado Concreto Protendido 1)

Laje 2) Viga/Pilar

20 25

Todos

30

Classe de Agressividade II III Cobrimento Nominal (mm) 25 35 30 40 35

45

IV 3) 45 50 55

1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm.



 

 

Os requisitos das tabelas 2 e 3 são válidos para concretos executados com cimento Portland que atenda, conforme seu tipo e classe, às especificações das NBR 5732 (ABNT, 1991), NBR 5733 (ABNT, 1991), NBR 5735 (ABNT, 1991), NBR 5736 (ABNT, 1999), NBR 5737 (ABNT, 1991), NBR 11578 (ABNT, 1997), NBR 12989 (ABNT, 1993) ou NBR 13116 (ABNT, 1994), com consumos mínimos de cimento por metro cúbico de concreto de acordo com a NBR 12655 (ABNT, 2006); Não é permitido o uso de aditivos contendo cloreto na sua composição em estruturas de concreto armado ou protendido; A proteção das armaduras ativas externas deve ser garantida pela bainha, completada por graute, calda de cimento Portland sem adições, ou graxa especialmente formulada para esse fim; Atenção especial deve ser dedicada à proteção contra a corrosão das ancoragens das armaduras ativas; Para o cobrimento deve ser observado: o Para atender aos requisitos estabelecidos na NBR 6118 (ABNT, 2007), o cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação; o Para garantir o cobrimento mínimo ( cmin ) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal ( cnom ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na Tabela 3, para ∆c = 10 mm; o Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm; o Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 3 em 5 mm;


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o Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: a) cnom ≥ φ barra (armadura passiva);

cnom ≥ φ feixe = φn = φ n (feixe de armadura passiva); c) cnom ≥ 0,5φ bainha (armadura ativa). o A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja, dmáx ≤ 1,2 cnom ; b)

o No caso de elementos estruturais pré-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das armaduras (Tabela 3) devem seguir o disposto na NBR 9062. 2.4.4.1

Detalhamento das armaduras Em relação ao detalhamento da armadura, a NBR 6118 (ABNT, 2007) recomenda:  As barras devem ser dispostas dentro do componente ou elemento estrutural, de modo a permitir e facilitar a boa qualidade das operações de lançamento e adensamento do concreto;  Para garantir um bom adensamento é vital prever no detalhamento da disposição das armaduras espaço suficiente para entrada da agulha do vibrador.

2.4.4.2 Controle da fissuração  O risco e a evolução da corrosão do aço na região das fissuras de flexão transversais à armadura principal dependem essencialmente da qualidade e da espessura do concreto de cobrimento da armadura. Aberturas características limites de fissuras na superfície do concreto dadas pela seção 13.4.2 da NBR 6118 (ABNT, 2007), em componentes ou elementos de concreto armado, são satisfatórias para as exigências de durabilidade;  Devido à sua maior sensibilidade à corrosão sob tensão, o controle de fissuras na superfície do concreto na região das armaduras ativas deve obedecer ao disposto na seção 13.4.2 da NBR 6118 (ABNT, 2007). 2.4.4.3 Medidas especiais  Em condições de exposição adversas devem ser tomadas medidas especiais de proteção e conservação do tipo: aplicação de revestimentos hidrofugantes e pinturas impermeabilizantes sobre as superfícies do concreto, revestimentos de argamassas, de cerâmicas ou outros sobre a superfície do concreto, galvanização da armadura, proteção catódica da armadura e outros. 2.4.4.4 Inspeção e manutenção preventiva  O conjunto de projetos relativos a uma obra deve orientar-se sob uma estratégia explícita que facilite procedimentos de inspeção e manutenção preventiva da construção;  O manual de utilização, inspeção e manutenção deve ser produzido conforme seção 25.4 da NBR 6118 (ABNT, 2007).


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2.5 Estados Limites (NBR 6118) O estado limite é definido como aquele em que a estrutura se apresenta em condições inadequadas para seu uso. Os estados limites se apresentam em dois grupos: Estados Limites Últimos e Estados Limites de Utilização.

2.5.1 Estados Limites Últimos (ELU) Estados Limites Últimos são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. Como a ocorrência de um estado limite último, pode envolver perda de vidas humanas, portanto, sua probabilidade de ocorrência deve ser muito baixa. A segurança das estruturas de concreto deve sempre ser verificada em relação aos seguintes estados limites últimos:  Resistência: quando a resistência de uma ou mais regiões da estrutura é atingida, resultando no colapso parcial ou total;  Perda de Equilíbrio: estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido (esse estado limite não depende das resistências dos materiais e corresponde ao início da movimentação das estruturas, ou parte dela, como corpo rígido);  Formação de um mecanismo: ocorre quando a estrutura se transforma num mecanismo devido à formação de rótulas plásticas em número suficiente de regiões, tornando a estrutura instável;  Flambagem: flambagem local ou parcial da estrutura causada por deformações;  Fadiga: ocorre em estruturas sujeitas a tensões cíclicas. Embora ocorra em sob cargas de serviço, a fadiga é considerada como estado limite último porque ela causa a ruptura do material;  outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.

2.5.2 Estados Limites de Utilização (Serviço) Estados Limites de Serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e da boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja as máquinas e aos equipamentos utilizados. A segurança das estruturas de concreto pode exigir a verificação de alguns dos seguintes estados limites de serviço:  Estado de deformação excessiva: estado em que as deformações ultrapassam os limites aceitáveis para a utilização da estrutura. Estas deformações podem causar danos inaceitáveis em elementos não estruturais ou uma aparência indesejável à estrutura.  Estado de fissuração inaceitável: estado em que as fissuras se apresentam com abertura prejudicial ao uso ou a durabilidade da estrutura.  Vibrações excessivas: ocorre quando as vibrações atingem intensidade inaceitável, podendo causar desconforto ou perda da utilidade da estrutura.


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2.6 Ações (NBR 6118) As ações (F) são qualquer causa capaz de provocar esforços ou deformações nas estruturas. Na análise estrutural deve-se levar em conta todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e serviço. As ações podem ser :  Diretas: constituída por forças;  Indiretas: oriundas de deformações impostas. Segundo a variabilidade no tempo, as ações são classificam de acordo com a NBR 8681 em permanentes, variáveis e excepcionais.

2.6.1 Ações Permanentes Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 2.6.1.1

Ações permanentes diretas (Fg) As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio dos elementos construtivos permanentes, peso próprio da estrutura, equipamentos fixos, empuxos devido ao peso próprio de terras e hidrostático em casos particulares.

2.6.1.2

Ações permanentes indiretas (Fε)

As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão.

2.6.2 Ações Variáveis (Fq) São as ações que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção, tais como:      

Cargas acidentais (pessoas, mobiliário, veículos, etc.); Forças de frenagem, de impacto e centrífugas; Variações de temperatura; Atrito nos aparelhos de apoio; Pressão do vento; Pressões hidrostáticas e aerodinâmicas (em geral). Em função de sua probabilidade de ocorrência se classificam em:


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




Ações variáveis normais: probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de um dado tipo de estruturas. Ações variáveis especiais: ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou intensidade especiais.

2.6.3 Ações Excepcionais    

As ações decorrem de causas tais como: Explosões; Choque de veículos; Incêndios; Enchentes ou sismos excepcionais.

2.7 Solicitações (NBR 6118) Os esforços que provocam solicitações na estrutura são: momentos fletores, forças cortantes, forças normais, momentos torçores. Onde: S g são provocadas por Fg (ações permanentes diretas) S q são provocadas por Fq (ações variáveis)

S ε são provocadas por Fε (ações permanentes diretas)

2.8 Valores Característicos e de Cálculo (NBR 6118) 2.8.1 Valores Característicos Os valores característicos das resistências dos materiais ( Rk ), das ações ( Fk ) e das solicitações ( S k ) são valores que apresentam uma probabilidade prefixada de não serem ultrapassados. Rk é um valor que tem 95% de probabilidade de ser ultrapassado no sentido favorável (i.e., existe uma probabilidade de 95% dos resultados individuais obtidos nos ensaios de corpos de prova serem superiores a Rk ).

Fk é um valor que apresenta 5% de probabilidade de ser ultrapassado durante a vida útil da estrutura. Os valores nominais fixados para as ações a serem considerados no cálculo estão indicados nas normas: NB-5: cálculo de edifícios NB-6: pontes rodoviárias NB-7: pontes ferroviárias NB-599: ação do vento Logo, S k é efeito de Fk . Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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2.8.2 Valores de Cálculo Os valores de cálculo das ações, solicitações e da resistência dos materiais são os valores a serem adotados no cálculo nos Estados Limites. 2.8.2.1

Valores de Cálculo das Ações e Solicitações Os valores são calculados pelas equações: Fd = γ f Fk Sd = γ f Sk

(1)

onde: γ f = coeficiente de segurança que leva em consideração:   

variações desfavoráveis das ações e solicitações; aproximações inevitáveis das hipóteses de cálculo; imprecisões geométricas da construção. Se o cálculo das solicitações for feito por processo linear o coeficiente γ f poderá ser

aplicado à ação característica ou diretamente a solicitação característica: S d = S (γ f Fk ) ou

S d = γ f S k = γ f S (Fk )

onde: S (γ f Fk ) representa o efeito de γ f Fk . Se o cálculo da solicitação for feito por processo não linear, o coeficiente γ f será aplicado à ação característica: S d = S (γ f Fk )

2.8.2.2 Valores de γ f da NBR 6118 A NBR 6118 (ABNT, 2007) fornece os seguintes valores para γ f : Carga permanente:

Carga acidental: Deformações impostas:

γ f = 1,4 γ f = 0,9 γ f = 1,4 γ f = 1,2

em geral quando a influência da carga permanente for favorável acrescido de impacto quando houver

O cálculo no estado limite último é feito então com a mais desfavorável das seguintes solicitações: S d = 1,4 S gk + 1,4 S qk + 1,2 S εk S d = 0,9 S gk + 1,4 S qk + 1,2 S εk

(2)

No cálculo de edifícios, pode ser considerado apenas a primeira destas expressões. Observação: No caso de ações acidentais de diferentes origens com pouca probabilidade de ocorrência simultânea que causam as solicitações S qk1 ≥ S qk 2 ≥ S qk 3 .... , pode-se considerar:


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S d = S gk + 0,8(S qk 2 + S qk 3 + ...)

2.8.2.3 Cálculo nos Estados Limites de Utilização Considera-se: S d = S gk + χ S qk + Sεk A observação acima também se aplica neste caso. χ é um coeficiente que leva em conta a probabilidade de ocorrência dos valores máximos de S qk . para estruturas de edifícios χ = 0,7 para as demais χ = 0,5 2.8.2.4 Valores de Cálculo das Resistências dos Materiais Concreto: Aço:

f cd = f ck γ c compressão f td = f tk γ c tração f yd = f yk γ s tração f ycd = f yck γ s compressão

γ c e γ s são coeficientes de ponderação das resistências. Levam em conta:   

variação dos materiais defeitos de ensaios correlação entre os corpos de prova e a realidade

γ s = 1,15 γ s = 1,25

γ c = 1,4 γ c = 1,3 γ c = 1,5

desde que sejam obedecidas as exigências da EB-3. em obras de pequena importância quando as exigência da norma EB-3 não são obedecidas. em geral. no caso de peças pré-moldadas em usinas. no caso de peças em condições desfavoráveis de execução.

2.9 Cálculo Segundo a NBR 6118 A condição de segurança no estado limite último é dada pela expressão

R ( Rc γ c , R s γ s ) ≥ γ s S k A resistência interna de uma seção, onde Rc e Rs são as resistências oferecidas pelo concreto e o aço, deve ser maior ou igual à solicitação de cálculo nela atuante. Os coeficientes γ c , γ s e γ f tem os valores indicados nos itens anteriores.


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2.10 Etapas do Dimensionamento Estrutural As etapas do dimensionamento estrutural compreendem:  Definição das necessidades e prioridades do cliente;  Elaboração do esquema estrutural (lançamento da estrutura), fixando a disposição geral, condições de apoio, dimensões, etc.;  Estabelecimento das hipóteses de carga: combinações das ações que atuam na estrutura de modo a obterem-se as situações mais desfavoráveis;  Determinação dos esforços solicitantes;  Cálculo das seções (via de regra, apenas as seções críticas);  Verificação dos estados limites de utilização.


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3

Capítulo 3 – Hipóteses Básicas e Propriedades dos Materiais- 27

HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOS

MATERIAIS

3.1 Introdução Este capítulo apresenta as propriedades mecânicas do concreto e do aço, que são os materiais mais utilizados na construção civil. Tais propriedades se baseiam na Norma Brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) [14]. Cabe ressaltar que nada impede que propriedades mecânicas, baseados em outros códigos internacionais, para o concreto e para o aço sejam introduzidas no futuro, pois todos os algoritmos de dimensionamento (softwares de cálculo) foram desenvolvidos visando uma grande generalidade e uma possível posterior expansão dos modelos de materiais disponíveis. Assim sendo, neste capítulo, são apresentadas as características mecânicas do concreto e do aço (módulo de elasticidade, diagramas tensão-deformação, módulo de dilatação), recomendadas pela NBR 6118 (ABNT, 2007) [14].

3.2 Concreto 3.2.1 Classes Os concretos são classificados pela NBR 6118 (ABNT, 2007) [14] em grupos de resistência, grupo I e grupo II, conforme a resistência característica à compressão ( f ck ), determinada a partir do ensaio de corpos-de-prova preparados de acordo com a NBR 5738 e rompidos conforme a NBR 5739 (ABNT, 2007) [15]. Dentro dos grupos, os concretos são designados pela letra C seguida do valor da resistência característica à compressão ( f ck ), expressa em MPa. O grupo I compreende resistência à compressão variando de 10 a 50 MPa (C10, C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50) e o grupo II variando de 55 a 80 MPa (C55, C60, C70 e C80).


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A Norma NBR 6118 (ABNT, 2007) [14] se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, indicadas na NBR 8953 (1992) [16], ou seja, até a classe C50. Também relaciona a resistência do concreto à durabilidade das estruturas e por isto estabelece valores mínimos da resistência à compressão, que deverá ser superior a 20 MPa para concretos que contenham apenas armadura passiva, 25 MPa para concretos com armadura ativa e 15 MPa para fundações e obras provisórias.

3.2.2 Massa Específica A massa específica dos concretos, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo de 2400 kg/m3 para o concreto simples e de 2500 kg/m3 para o concreto armado.

3.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC.

3.2.4 Resistência à Tração A resistência à tração indireta ( f ct,sp ) e a resistência à tração na flexão ( f ct,f ) devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a NBR 7222 (ABNT, 1994)e a NBR 12142 (ABNT, 1991), respectivamente. 3.2.4.1

Ensaio de tração direta A resistência à tração do concreto, determinada pelo ensaio de resistência à flexão, segue os procedimentos estabelecidos pela NBR 12142 (ABNT, 1991) [21]. A configuração do ensaio é mostrada na Figura 9.

(a) Início do ensaio

(b) viga após a ruptura

Figura 9: Esquema do ensaio de resistência à tração na flexão para corpos de prova de concreto.

No ensaio de tração por flexão com carregamento aplicado nos terços de vão, a viga prismática é carregada à velocidade constante até a ruptura. A resistência à flexão é expressa em função do módulo de ruptura, definido como máxima tensão na ruptura, dada pela expressão: σ ct = Pl bd 2 (3) Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Onde, σ ct é a tensão de ruptura, P a carga máxima indicada, l , b e d são respectivamente comprimento (entre apoios), largura e altura da viga prismática. Esta expressão é válida somente se a ruptura na superfície tracionada estiver no terço do comprimento do vão. Se a ruptura estiver fora desse intervalo em não mais que 5% do comprimento, deverá ser utilizada a seguinte expressão:

σ ct = 3Pa bd 2

(4)

Onde a é a distância média entre a linha de ruptura e o suporte mais próximo, medida na superfície de tração da viga. Se a linha de ruptura estiver fora do vão de mais de 5%, os resultados dos ensaios deverão ser desprezados. A resistência à tração direta ( f ct ) pode ser considerada igual a f ct = 0,9 f ct,sp ou f ct = 0,7 f ct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de f ct,sp e f ct,f , pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das expressões:

f ct,m = 0,3 (f ck ) 2 / 3

(MPa)

f ctk,inf = 0,7 f ct,m

(5)

f ctk,sup = 1,3 f ct,m

Sendo fckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 dias. 3.2.4.2 Ensaio de tração indireta O ensaio indireto mais comumente usado para determinar a resistência à tração do concreto é o de tração por compressão diametral conforme ilustrado na Figura 10. y

carga tração

compressão

σx

σx x

cilindro de concreto y guia de madeira (3mm x 25mm)

plano de ruptura à tração

tração

compressão

σy

placa de apoio da máquina de ensaio

σy x

(a) Aplicação da carga no corpo de prova.

(b) Estado de tensões no corpo de prova.

Figura 10: Ensaio de tração por compressão diametral (indireta) e forma de ruptura do corpo de prova.

No ensaio de tração por compressão diametral, os cilindros de concreto são submetidos a cargas de compressão ao longo de duas linhas axiais, as quais são diretamente opostas. A carga é aplicada continuamente a uma velocidade constante até a ruptura do corpo de prova. A tensão de compressão produz uma tensão transversal que é uniforme ao longo do diâmetro vertical. A resistência à tração determinada por esse ensaio é calculada por: Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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σ ct = 2 P π l d

(6)

Onde σ ct é a resistência à tração, P a carga de ruptura, l e d são respectivamente o comprimento e o diâmetro do cilindro. Comparado com o ensaio de tração direta (flexão) o ensaio por compressão diametral superestima a resistência à tração do concreto de 10 a 15%.

3.2.5 Resistência à Compressão 3.2.5.1

Configuração do ensaio A resistência à compressão e o módulo de elasticidade dos concretos são determinados segundo a prescrição da NBR 5739 (ABNT, 2007) [15]. A Figura 11 mostra a configuração de um ensaio de ruptura de um corpo de prova padrão.

Figura 11: Configuração do ensaio de compressão e módulo de elasticidade do concreto.

3.2.5.2 Mecanismos de ruptura de corpos de prova Quando um corpo de prova é submetido a um carregamento uniaxial de compressão, fissuras tendem a se desenvolver paralelas ao sentido da máxima tensão de compressão. Durante o ensaio de compressão, a fricção entre as extremidades do copo de prova e os pratos de apoio da máquina, impede a expansão lateral das extremidades do corpo de prova e também restringem verticalmente o desenvolvimento de fissuras na região. Isso produz uma resistência cônica em ambas as extremidades do corpo de prova. Fissuras verticais se desenvolvem na parte central do corpo de prova prolongando-se até o início da região cônica em ambas as extremidades. Após alcançarem o início da região cônica, elas tendem a se propagarem na diagonal delimitando a superfície de ruptura na forma de dois cones. O estágio de desenvolvimento de fissuras e ruptura de corpos de prova submetidos a carregamento uniaxiais de compressão pode ser classificado em quatro etapas [3]:  As primeiras micro-fissuras ocorrem devido à retração do concreto durante a fase de hidratação e cura. Após o corpo de prova em concreto ser carregado até um limite de 30% da tensão de ruptura ( σ r ), as tensões de tração perpendiculares resultantes não tem intensidade suficiente para produzir novas micro-fissuras na interface matriz agregado. Logo, as micro-fissuras existentes têm pouca influência sobre o concreto e a curva tensão deformação do concreto permanece linear; Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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






Quando o concreto é submetido a tensões de compressão maiores que 30 a 40% de σ r , as tensões na superfície do agregado excederão a resistência ao cisalhamento da interface agregado matriz, desenvolvendo novas fissuras neste ponto. Estas fissuras são estáveis e se propagam apenas se a carga for aumentada. Uma vez formada a fissura, as tensões de tração serão absorvidas e redistribuídas pela vizinhança da matriz que ainda permanecem intactas. Esta redistribuição das tensões provoca uma curvatura gradual na relação tensão-deformação do concreto para carregamento acima de 40% de σ r . Aumentando a carga à compressão para valores acima de 50 a 60% de σ r , as primeiras fissuras tendem a se desenvolver na matriz. Estas fissuras se desenvolvem paralelas ao carregamento a compressão devido ao surgimento das tensões de tração transversais. Durante este estágio, a propagação das fissuras se mantém estáveis e podem aumentar com o aumento do carregamento, porém não aumentam se o carregamento for mantido constante; Aumentando a carga para valores acima de 75 a 80% de σ r , o número de fissuras formadas na matriz começa a aumentar gerando caminhos contínuos. Como conseqüência, há uma pequena fração do concreto que ainda não foi danificada e irá suportar as tensões resultantes, fazendo com que a curva tensão deformação apresente-se cada vez mais não linear. Neste estágio é alcançada a tensão crítica do concreto. As tensões resultantes no concreto de compressão e tração e a deformação lateral aumentam rapidamente levando a ruptura do corpo de prova. A ruptura de corpos de prova de concreto de alta resistência ocorre de maneira explosiva enquanto que concretos de baixa resistência rompem formando múltiplas fissuras visíveis.

σ< 0.3σr

ε σr

0.75σr

σ

0.3σr

Deformação

ε

(a)

σ ≈ σr

0.5σr

σ ≈ 0.75 a 0.8σ r

Tensão

σ

σ ≈ 0.5 a 0.6σ r

σ

(b)

Figura 12: (a) curva tensão deformação; (b) formação das fissuras no corpo de prova.


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Figura 13: Forma de ruptura de corpos de prova submetida à compressão uniaxial.

3.2.6 Módulo de Elasticidade Segundo Metha e Monteiro (2008), o módulo de elasticidade do concreto pode ser definido como sendo a relação entre a tensão aplicada e a deformação instantânea dentro de um limite proporcional adotado. Como o concreto apresenta um comportamento elastoplástico, a metodologia da norma tenta estimar o módulo de elasticidade no trecho linear aproximado da curva tensão-deformação.

σ

σ

Agregado Concreto

0,3.f c

Pasta de cimento

P

Eci

o

ε

ε

(a)

o

ε

(b)

Figura 14: (a) Representação do diagrama tensão-deformação para o concreto. (b) Curvas tensãodeformação da pasta de cimento, agregado e concreto (Fonte: Adaptado de NEVILLE (1982)).

O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522 (ABNT, 2008), sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% de f c , ou outra tensão especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, podese estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão: E ci = 5600 f ck

(7)

Onde: Eci e f ck são dados em MPa.


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O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se f ck por f ckj . Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: ECS = 0,85 ECI (8) Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante ( ECS ). Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial ( ECI ). Silva et Al. (2010) realizou 27 ensaios de módulo de elasticidade tangente inicial em concretos dosados com agregados disponíveis na região de Campo Grande, MS. Os resultados experimentais juntamente com a equação da linha de tendência que melhor se ajustou aos resultados experimentais são mostrados na Figura 15 e na Equação (9).

Módulo de Elasticidade ECi (GPa)

50 Eci = 13866 fc0,25 R2=0,771 FI

P

CE

B

M

C9

0

61 NBR

1 8 :2

0 03

40 li D al M o

n e Mo

ACI 3

nteiro (1

63:19

99 6 )

97

30

FIP-CEB MC90 ACI 363:97 ACI 318:92 NBR 6118:2003 Dal Molin e Monteiro (1996) Experimental ECi = 13,87 fc^0,25

20 AC

1 I3

8 :1

99

2

10 10

20

30

40

50

60

70

80

Resistência à Compressão fc (MPa)

Figura 15 – Resultados experimentais versus modelo proposto para a correlação entre o módulo de elasticidade tangente inicial e a resistência à compressão.

E ci = 13866 fc 0, 25

(9)

3.2.7 Diagramas Tensão-Deformação (NBR 6118) 3.2.7.1

Compressão

Para tensões de compressão menores que 0,5 f c , pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão (8). Para análises no estado limite último, podem ser empregados o diagrama tensãodeformação idealizado mostrado na Figura 16 ou as simplificações propostas na seção 17 da NBR 6118 (ABNT, 2007) [14]. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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O diagrama é descrito por uma parábola, para deformações entre 0 e ε c1 e por uma reta ( σ c = 0,85 f cd ) entre ε c1 e ε cu , sendo σ cd dado pela expressão:

σ cd = α f cd = α

f ck

(10)

γc

onde: γ c é o coeficiente de minoração da resistência do concreto, tendo para os casos normais valor 1,4 definido pela NBR 6118 [14] e 1,5 pelo CEB/90 e α assume o valor 0,85 (consideração a deformação lenta do concreto (Efeito Rüsch)) e é utilizado para o dimensionamento no estado limite último ou 1,10 na análise não-linear física (item 15.2 da NBR 6118). σc

diagrama característico

fck

diagrama de cálculo para ε c ≥ 2 0 00

0,85fcd

σc = σcd = 0,85fcd para ε c < 2 0 00

σc = 0,85fcd 1- 1-

εc 2

0

2 00

εc ε c1 = 2 0 00

ε cu = 3,5 0 00

Figura 16: Diagrama tensão-deformação idealizado para o concreto.

As expressões que fornecem a relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo são dadas por: 2   εc   σ c = 0,85 f cd 1 − 1 − 0     2 00  

σ c = σ cd = 0,85 f cd

para 0 < ε c < ε c1

(11)

para ε c1 ≤ ε c < ε cu

A NBR 6118 [14] permite a utilização deste diagrama para concretos com f ck máximo de 50 MPa, entretanto, o CEB/90 permite que se utilize o mesmo diagrama para concretos com f ck entre 50 e 80 MPa, alterando-se o valor de ε cu conforme a expressão:

ε cu = 3,5

50 f ck

(em MPa)

(12)

A deformação específica ε cu é o valor convencional para o qual se admite a ruptura do concreto comprimido. Segundo a NBR 6118 [14], para o encurtamento de ruptura do concreto ( ε cu ) nas seções não inteiramente comprimidas considera-se o valor convencional de 3,5‰ (domínios 3 e 4a cuja definição é encontrada no Capítulo 0). Nas seções inteiramente


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comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5‰ a 2‰, mantendo-se inalterada e igual a 2‰ a deformação a 3/7 da altura total da seção, a partir da borda mais comprimida. No caso particular de compressão centrada o encurtamento de ruptura do concreto é de 2‰. 3.2.7.2 Tração Para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bilinear de tração adotado pela NBR 6118 (ABNT, 2007), sendo mostrado na Figura 17. σct fctk 0,9 fctk

ε ct

E ci

ε cu = 0,5

0

00

Figura 17: Diagrama tensão-deformação bilinear na tração para o concreto.

No estado limite último o concreto tracionado se encontra fissurado, e nesta situação, não se considera resistência à tração nas rotinas de dimensionamento e geração de diagramas força normal – momento – curvatura.

3.2.8 Diâmetro máximo do agregado e do vibrador O agregado graúdo utilizado tem diâmetro máximo de 19mm (brita 1) e o vibrador tem diâmetro máximo de 30 mm.

3.3 Aço 3.3.1 Categoria Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480 (ABNT, 2007) com o valor característico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60 conforme apresenta a Tabela 4. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os estabelecidos nesta norma. Tabela 4: Efeito do Categoria dos aços para armadura passiva. Aço

Tipo de Barra

CA-25 CA-50

Lisa Entalhada

Fyk (MPa) 250 500

Coeficiente de Conformação ηb η1 1,0 1,0 1,2 1,4


Dobramento (180°) φ<20 φ≥20 2φ 4φ 4φ 6φ 26/2/2013

Construções de Concreto CA-60


Alta Aderência

600

≥1,5

2,25

5φ

---

3.3.2 Tipo de Superfície Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, ηb, determinado através de ensaios de acordo com a NBR 7477 (ABNT, 1982), deve atender ao indicado na NBR 7480 (ABNT, 2007). A configuração e a geometria das saliências ou mossas devem satisfazer também ao que é especificado na NBR 6118 (ABNT, 2007) nas seções 9 e 23, desde que existam solicitações cíclicas importantes. Para os efeitos da NBR 6118 (ABNT, 2007), a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1, cujo valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb, como estabelecido na Tabela 4.

(a) Aço CA25 e CA50

(b) Aço CA60

Figura 18: Rugosidade das barras de aço.

3.3.3 Coeficiente de Dilatação Térmica O valor 10-5/°C pode ser considerado para o coeficiente de dilatação térmica do aço, para intervalos de temperatura entre – 20°C e 150°C.

3.3.4 Massa Específica Pode-se assumir para a massa específica do aço o valor de 7850 kg/m3.

3.3.5 Módulo de Elasticidade Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa.

3.3.6 Diagrama Tensão-deformação, Resistência ao Escoamento e à Tração O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento f yk , da resistência à tração f stk e da deformação na ruptura ε uk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO 6892 (ABNT, 2002). O valor de


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f yk para aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2‰.

3.3.6.1

Aços de dureza natural São os aços de classe A que possuem patamar de escoamento bem definido [22]. σs


fyk

(tração)

fyd

ε ycd

ε ycu = 10 0 00

diagrama de cálculo

εs

Es

ε yu = 10

00

(compressão)

ε yd

0

fycd fyck

Figura 19: Diagrama tensão-deformação para aços de dureza natural de armadura passiva.

O início do patamar de escoamento é dado pela expressão:

ε yd = ε ycd =

f yd Es

, onde f yd =

f yk

γs

(13)

Onde: γ s é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tendo o valor 1,15 definido tanto pela NBR 6118 como pelo CEB/90. A relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo é dado pelas expressões:

σ s = Es ε s σ s = f yd

 ε yd ≤ ε s ≤ 0 para  0 ≤ ε s ≤ ε ycd  (ε yu = 10 0 00 ) ≤ ε s ≤ ε yd para  0 ε ycd ≤ ε s ≤ (ε ycu = 10 00 )

(14)

3.3.6.2 Aços Encruados a Frio São os aços ditos de classe B. Possuem patamar de escoamento convencional para o valor de tensão correspondente à deformação permanente de 2‰ [22].


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Capítulo 3 – Hipóteses Básicas e Propriedades dos Materiais- 38 σs


fyk fyd 0,7fyk 0,7fyd (tração)

diagrama de cálculo

ε ycd

-2 0 00

εs

Es (compressão)

ε ycu = -10 0 00

2

0

00

ε yd

ε yu = 10

0

00

0,7fyd 0,7fyk fycd fyck

Figura 20: Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio de armaduras passivas.

O início do patamar de escoamento é dado pela expressão: f yk f yd + 2 0 00 , onde f yd = ε yd = ε ycd = γs Es

(15)

O diagrama tensão deformação para aços encruados a frio é descrito por uma reta, para deformações situadas nos intervalos [ 0,7 ε yd ; 0] e [0 ; 0,7 ε ycd ], por uma parábola para os intervalos [ ε yd ; 0,7 ε yd ] e [ 0,7 ε ycd ; ε ycd ] e por retas horizontais ( σ s constante) para os intervalos [ ε yu ; ε yd ] e [ ε ycd ; ε ycu ]. As equações que fornecem a relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo são dadas por:

σ s = Es ε s

σs =

B + B 2 − 4AC 2A

σ s = f yd

 f yd ≤ εs ≤ 0 0,7 Es  para  f 0 ≤ ε s ≤ 0,7 yd  Es 1   A = 45 f 2 f yd  yd  ε yd ≤ ε s ≤ 0,7  1,4 1 Es   com  B = para  − f 45 f yd E s 0,7 yd ≤ ε s ≤ ε ycd    0,49 Es  C = 45 − ε sd   (ε yu = 10 0 00 ) ≤ ε s ≤ ε yd para  0 ε ycd ≤ ε s ≤ (ε ycu = 10 00 )


(16)

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3.3.6.3 Considerações de cálculo Para cálculo nos estados limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na Figura 19 e Figura 20, para os aços com ou sem patamar de escoamento. Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre –20ºC e 150ºC e pode ser aplicado para tração e compressão.

3.3.7 Características de ductilidade Os aços CA-25 e CA-50, que atendam aos valores mínimos de f yk /f stk e ε uk indicados na NBR 7480 (ABNT, 2007), podem ser considerados como de alta ductilidade. Os aços CA60 que obedeçam também às especificações da NBR 6118 [14] podem ser considerados como de ductilidade normal. Admite-se que a tensão de ruptura f stk do aço utilizado seja no mínimo igual a 1,10 f yk , atendendo aos critérios de ductilidade da NBR 7480 (ABNT, 2007) [18].

3.3.8 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura Os valores para ε yu e ε ycu são iguais para os aços de dureza natural e para os aços encruados a frio. Tanto ε yu como ε ycu são valores convencionais. Segundo a NBR 6118 [14], o alongamento máximo permitido ( ε yu ) ao longo da armadura de tração é de 10‰ (domínios 1 e 2), a fim de prevenir deformação plástica excessiva. O alongamento ε ycu deve ser limitado a um valor inferior a 3,5‰ em virtude do limite convencional de ruptura do concreto à compressão.

3.3.9 Bitolas Padronizadas As barras de aço destinadas à construção civil são fabricadas com comprimento de 12m, com as bitolas apresentadas na Tabela 5.

Tabela 5: Bitolas, áreas e massa linear para barras de aço de armadura passiva. Fios (mm) 3,2 4,0 5,0 6,3 8,0 10,0 -

Bitola Barras (mm) 5,0 6,3 8,0 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0 32,0 40,0

Valor nominal para cálculo Área da seção (cm²) Massa linear (kg/m) 0,08 0,063 0,125 0,10 0,20 0,16 0,315 0,25 0,50 0,40 0,80 0,63 1,25 1,00 2,00 1,60 3,15 2,50 5,00 4,00 8,00 6,30 12,50 10,00


Perímetro (cm) 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00 12,50

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Tabela 6: Área da seção da armadura por barras (cm²), (armadura principal de vigas e pilares). Bitolas Fios Barras (mm) (mm) 3,2 4,0 5,0 5,0 6,3 6,3 8,0 8,0 10,0 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0 32,0 40,0

Área de aço por número de fios ou barras (cm²) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,08 0,125 0,20 0,315 0,50 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,5

0,16 0,25 0,40 0,63 1,00 1,60 2,50 4,00 6,30 10 16 25

0,24 0,38 0,60 0,95 1,50 2,40 3,75 6,00 9,45 15,0 24,0 37,5

0,32 0,50 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 8,00 12,60 20,0 32,0 50

0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,0 15,75 25,0 40,0 62,5

0,48 0,75 1,20 1,89 3,00 4,80 7,50 12,0 18,90 30,0 48,0 75

0,56 0,88 1,40 2,21 3,50 5,60 8,75 14,0 22,05 35,0 56,0 87,5

0,64 1,00 1,60 2,52 4,00 6,40 10,0 16,0 25,2 40,0 64,0 100

0,72 1,13 1,80 2,84 4,50 7,20 11,25 18,00 28,35 45,0 72,0 112,5

0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,5 20,0 31,5 50,0 80,0 125

Tabela 7: Área da seção da armadura usada por metro linear (lajes e estribos de vigas (cm²/m)). Espaçamento (cm) 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 25 30 35 40 45 50

3,2 1,60 1,07 0,80 0,64 0,53 0,46 0,40 0,32 0,27 0,23 0,20 0,18 0,16

4,0 2,50 1,67 1,25 1,00 0,83 0,71 0,63 0,50 0,42 0,36 0,31 0,28 0,25

5,0 4,00 2,67 2,00 1,60 1,33 1,14 1,00 0,80 0,67 0,57 0,50 0,44 0,40

6,3 6,30 4,20 3,15 2,52 2,10 1,80 1,58 1,26 1,05 0,90 0,79 0,70 0,63

Bitola (mm) 8 10 10,0 16,0 6,67 10,67 5,00 8,00 4,00 6,40 3,33 5,33 2,86 4,57 2,50 4,00 2,00 3,20 1,67 2,67 1,43 2,29 1,25 2,00 1,11 1,78 1,00 1,60


12,5 25,0 16,67 12,5 10,0 8,33 7,14 6,25 5,00 4,17 3,57 3,13 2,78 2,50

16 40,0 26,67 20,0 16,0 13,33 11,43 10,0 8,00 6,67 5,71 5,00 4,44 4,00

20 63,0 42,0 31,5 25,2 21,0 18,0 15,75 12,6 10,5 9,00 7,88 7,00 6,30

25 100 66,7 50 40 33,3 28,6 25 20 16,7 14,3 12,5 11,1 10

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REQUISITOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

4.1 Introdução Este capítulo aborda etapas do processo de análise estrutural de edifícios compostos por múltiplos pavimentos. O primeiro passo será identificar no edifício os elementos estruturais que podem ser calculados e dimensionados por métodos convencionais ou utilizando ferramentas computacionais. Em seguida, são apresentados processos de cálculo recomendados pela norma brasileira NBR 6118 [14] para a obtenção da envoltória de esforços para cada um destes elementos (ou sub-estruturas) no estado limite último, sem considerar os efeitos de fluência no concreto [22].

4.2 Objetivo da Análise Estrutural O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos em uma parte ou em toda a estrutura levando em conta requisitos pré-escritos na NBR 6118 [14]. Em geral as estruturas das construções são excessivamente complexas para possibilitarem um tratamento numérico global. Desta forma, faz parte da análise estrutural a divisão das estruturas em elementos mais simples, identificando o comportamento estrutural principal destas partes simples para associá-las aos modelos da Teoria das Estruturas (isostática e hiperestática). Deve-se ressaltar, entretanto, que o projetista da estrutura terá sempre limitações quanto às simplificações a serem adotadas, pois ele não poderá ignorar o comportamento real da mesma como um todo. A análise estrutural será tanto mais eficaz quanto mais os resultados do tratamento numérico simplificado aproximarem-se dos valores reais esperados. A análise estrutural é de fundamental importância para se determinar os esforços internos atuantes na estrutura devidos as mais variadas solicitações externas.


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Capítulo 4 – Requisitos de Análise Estrutural - 42

4.3 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios Em geral o comportamento das estruturas de concreto armado é bastante difícil de ser representado. São inúmeros os aspectos a serem considerados, entre eles:  o emprego de materiais (concreto e aço) com diagramas tensão-deformação não lineares, com características físicas que variam conforme a idade do concreto (fluência do caso do concreto e relaxação para os aços);  o processo de construção artesanal, que pode inserir diversas imperfeições na construção: “bicheiras” devidas a uma má vibração do concreto, falta de prumo em pilares, cobrimentos insuficientes e concretos com características diferentes nos diversos pontos da construção;  o processo de construção incremental, que faz com que existam concretos com diversas idades na construção, com características físicas diferentes, o que ocasiona uma grande redistribuição de esforços pela estrutura;  a interação entre o solo e a estrutura;  os esforços de vento;  as exigências quanto à durabilidade da estrutura;  a grande quantidade de elementos básicos (a saber: vigas, lajes, pilares, ... );  a presença constante de elementos complementares (escadas, caixas d’água) e de fundação (blocos, estacas, cortinas, ...). Percebe-se que sem uma análise estrutural adequada, o projeto das estruturas de concreto assume proporções “épicas”. Deve-se considerar que com o grande aumento da capacidade de processamento dos computadores, a custos cada vez menores, a cada dia há maior poder de processamento nos escritórios de engenharia, tornando mais fácil a análise global e a utilização modelos não-lineares no projeto das estruturas de concreto.

4.4

Modelagem do Edifício

Um edifício pode ser modelado como um pórtico espacial ao qual são acrescentadasplacas em diversos níveis (ou pavimentos). Observa-se na Figura 21 que a estrutura de um edifício é composta por elementos com funções estruturais bem definidas, sendo os elementos estruturais básicos:  Laje: elemento estrutural bidimensional, geralmente horizontal. Constitui os pisos dos compartimentos. Suporta diretamente as cargas verticais do piso, e é solicitado predominantemente à flexão (placa). No caso mais usual, as lajes descarregam as cargas verticais do piso e o seu peso próprio a vigas de apoio, embora existam casos (lajes cogumelo) aonde as lajes apoiam-se diretamente nos pilares;  Viga: elemento unidimensional (barra), geralmente horizontal, que vence os vãos entre os pilares dando apoio às lajes, às alvenarias de tijolos e, eventualmente, a outras vigas. É solicitado predominantemente à flexão. As vigas devem ainda ser dimensionadas para absorver esforços de cisalhamento decorrentes de seu carregamento e de esforços devidos à torção se suportarem platibandas ou pertencerem a estruturas tridimensionais;  Pilar: elemento unidimensional (barra), geralmente vertical, que garante o vão vertical dos compartimentos (pé-direito) fornecendo apoio às vigas, e é solicitado predominantemente à compressão.


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Figura 21: Estrutura de concreto armado de um edifício.

Além dos elementos básicos podemos citar também os elementos de fundação (sapatas, radiers e blocos sobre estacas) responsáveis pelo encaminhamento da carga total da estrutura para o solo e elementos complementares como escadas, caixas de água, muros de arrimo, rampas para acessos de veículos, piscinas, etc.. Desta forma, dentro do processo de análise da estrutura, tendo em vista diminuir a complexidade da estrutura de forma que possamos modelá-la, o primeiro passo é identificar os elementos principais, eliminando do modelo os elementos secundários (em muitos casos substituídos por um sistema de forças equivalentes), de menor importância para o comportamento global da estrutura. Resulta então, um modelo tridimensional composto por elementos de barra e de placa. A Figura 22 apresentamos o esquema convencional de estrutura de um edifício, destacando alguns de seus elementos básicos. Para que o problema possa ser resolvido por sistemas computacionais de estruturas planas, as lajes devem ser destacadas da estrutura e modeladas a parte. Após a análise das lajes, seu carregamento deve ser transferido para as vigas ou pilares, que podem estar sendo modelados individualmente ou fazer parte de uma estrutura plana de contraventamento conforme mostra Figura 22.


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laje

viga

pilar

elemento de fundação (bloco, sapata) pórtico de contraventamento

edifício

Figura 22: Decomposição do edifício em elementos básicos.

4.5 Determinação do Carregamento Vertical O carregamento vertical atuante na estrutura pode ser considerado permanente ou acidental. O carregamento permanente é constituído em geral pelo peso próprio da estrutura e pelo peso dos revestimentos e fechamentos. O carregamento acidental é decorrente do tipo de utilização da estrutura e será representado por cargas normalizadas uniformemente distribuídas sobre as lajes. Valores para tais cargas são encontrados na NBR 6120. Deve-se lembrar que durante todos os cálculos, as cargas permanentes devem ser mantidas em um caso de carga diferente do das cargas acidentais, facilitando combinações futuras com outros tipos de carregamento, como o efeito do vento e da excentricidade acidental global. Primeiramente deve-se fazer a estimativa das cargas atuantes nas lajes. A análise das lajes fornecerá reações de apoio que deverão ser somadas ao carregamento aplicado diretamente sobre as vigas (seu peso próprio e alvenarias por exemplo), constituindo o carregamento final das vigas.

4.5.1 Carga Permanente Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal da carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor


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que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1,0 kN/m2. Na falta de determinação experimental, deve ser utilizada a Tabela 8 para adotar os pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais freqüentes [23].

4.5.2 Carga Acidental Carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.) durante período de tempo reduzido assim como para longo período de tempo.

Tabela 8: Peso específico dos materiais de construção [23]. Materiais Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e Calcário 2 Blocos Artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos Maciços Tijolos sílico-calcáreos 3 Revestimentos e concretos Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado 4 Madeiras Pinho, cedro Louro, Imbúia, pau óleo Guajuvirá, guatambú, grápia Angico, gabriúva, Ipê róseo 5 Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco 6 Materiais Diversos Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico em folhas Vidro plano 1 Rochas

Peso específico aparente (kN/m3) 26 30 30 28 28 22 20 18 13 18 20 19 21 12,5 24 25 5 6,5 8 10 78,5 28 85 114 89 72,5 74 85 72 12 13 17 15 21 26

Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc. Não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere, um acréscimo de 3,0 kN/m2 no valor da carga acidental. As cargas verticais que se consideram atuando nos planos de edificações, além das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos, devido a pessoas, móveis, Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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utensílios e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na Tabela 9. No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o peso dos materiais armazenados pode ser obtido através dos pesos específicos aparentes que constam na Tabela 10. Todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças e barras de banzo superior de treliças) deve ser projetado para receber, na posição mais desfavorável uma carga vertical de 1kN, além da carga permanente. Ao longo dos parapeitos e balcões deve ser considerado aplicado, uma carga horizontal de 0.8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2,0 kN/m. Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem uma carga concentrada de 2.5kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para carga indicada na Tabela 9.


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Tabela 9: Valores mínimos das cargas verticais (distribuída em 1,0 m2) [23]. Local 1 – Arquibancada 2 – Balcões

Mesma carga da peca com a qual se comunicam e as previstas na seção 2.2.1.5 da NBR 6120. Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência Salas de leitura Salas para depósitos de livros Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2.5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de

3 – Bancos 4 – Bibliotecas

5 – Casas de máquinas 6 – Cinemas 7 – Clubes

8 – Corredores 9 – Cozinhas residenciais 10 – Depósitos

( Incluindo o peso das máquinas ) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de biliar e banheiro Com acesso ao público Sem acesso ao público não A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme o indicado na seção 2.2.1.3 da NBR 6120 11 – Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro residenciais Despensa, área de serviço e lavanderia 12 – Escadas Com acesso ao público (seção 2.2.1.7 da NBR 6120) Sem acesso ao público 13 – Escolas Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula Outras salas 14 – Escritórios Salas de uso geral e banheiro 15 – Forros Sem acesso a pessoas 16 – Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 17 – Galerias de lojas A ser determinado em cada caso, porém com o mínimo 18 – Garagens e Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25 estacionamentos kN por veículo. 19 – Ginásios de esportes 20 – Hospitais Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor 21 – Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 22 – Lavanderias Incluindo equipamentos 23 – Lojas 24 – Restaurantes 25 – Teatros Palco Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas 26 – Terraços Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica 27 – Vestíbulo Sem acesso ao público Com acesso ao público


Carga (kN/m2) 4 --2 1,5 2,5 4 6 7,5 3 4 2 3 4 5 2 3 2 3 --1,5 2 3 2,5 3 2 2 0,5 3 3 3 5 2 3 3 3 4 3 5 --2 3 0,5 ----1,5 3

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Capítulo 4 – Requisitos de Análise Estrutural - 48 Tabela 10: Características dos materiais de armazenagem [23]. Material

Materiais de construção

Combustíveis

Produtos agrícolas

Areia com umidade natural Argila arenosa Cal em pó Cal em pedra Caliça Cimento Clinker de cimento Pedra britada Seixo Carvão Mineral (pó) Carvão vegetal Carvão em pedra Lenha Material Açúcar Arroz com casca Aveia Batatas Café Centeio Cevada Farinha Feijão Feno prensado Frutas Fumo Milho Soja Trigo

Peso específico aparente (kN/m3) 17 18 10 10 13 14 15 18 19 7 4 8,5 5 Peso específico aparente médio (kN/m3) 7,5 5,5 5 7,5 3,5 7 7 5 7,5 1,7 3,5 3,5 7,5 7 7,8

Ângulo de atrito interno 30o 25o 25o 45o ---

25o 30o 40o 30o 25o 45o 30o 45o Ângulo de atrito interno 35o 36o 30o 30o --35o 25o 45o 31o ----35o 27o 29o 27o

No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios, para escritórios residenciais e casas comerciais são destinados a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 11. Tabela 11: Redução das cargas acidentais [23]. Número de pisos que atuam sobre o elemento 1,2 e 3 4 5 6 ou mais

Redução percentual das cargas acidentais (%) 0 20 40 60

Nota: Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.

4.6 Modelagem das Lajes As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses da NBR 6118 [14]:  

manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; representação dos elementos por seu plano médio.


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Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis (indeslocáveis). Além disso, também a rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da laje [22].

(a) - Face superior da laje

(b) - Face inferior da laje

Figura 23: Configuração das fissuras de uma laje de concreto armado retangular sob carga uniforme no estado de ruptura.

As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais. As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem ser encontrados no item 3.3.2.6 da NBR 6118). Já as lajes armadas em duas direções, podem ser modeladas com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko). Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos triângulos ou


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trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica da NBR 6118. Estas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas por retas inclinadas (Figura 24), a partir dos vértices com os ângulos:

60 o

45 o apoio

45 o apoio

apoio/engaste

engaste

apoio



45° entre dois apoios de mesmo tipo; 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

engaste

 

engaste

90 o livre

Figura 24: Linhas de ruptura para diferentes condições de apoios entre lajes.

Além das lajes usuais, temos as lajes nervuradas e as lajes cogumelo (que se apoiam em pilares com capitéis) e lajes planas (apoiadas diretamente sobre pilares). Embora a forma de modelar as lajes apresentadas possa não ser a mais exata, ela permite que as lajes sejam modeladas de uma forma simples, com a obtenção de esforços condizentes com a realidade e que estes esforços resultantes (reações de apoio) possam ser aplicados de maneira consistente às vigas e pilares modelados utilizando-se como ferramenta computacional o FTOOL.

4.7 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares Após a análise das lajes e da transferência das reações destas para as vigas e pilares, como próxima etapa, é feita a análise dos elementos lineares, vigas e pilares. Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares poderão ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses NBR 6118:  manutenção da seção transversal plana após a deformação;  representação dos elementos por seus eixos longitudinais;  comprimento limitado pelo centro de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elemento estrutural. Dentre o conjunto de vigas e pilares da estrutura de um edifício, deve-se identificar sempre elementos que resistam aos esforços horizontais formando um sistema chamado de estrutura de contraventamento. A estrutura de contraventamento pode ser formada por pilares de maior rigidez (como caixa de elevadores, pilar parede), pela associação destes as vigas e a outros pilares, formando conjuntos de pórticos planos em cada direção considerada, ou finalmente por todos os pilares e vigas principais do edifício. É interessante fazer com que


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todos os pilares e vigas principais participem do modelo de contraventamento, pois por menor rigidez que possuam, sempre contribuirão para a rigidez global da estrutura. Após a análise global da estrutura de contraventamento, cada elemento deverá ser analisado individualmente. Nesta análise local, são introduzidas as excentricidades acidentais locais, e quando necessário, modelados os efeitos localizados de 2ª ordem. Os demais elementos deverão ser calculados individualmente, como elementos contraventados, utilizando o processo de modelagem apresentado na NBR 6118.

4.8 Modelagem das Estruturas de Contraventamento 4.8.1 Carregamento Horizontal Segundo a NBR 6118, o carregamento horizontal é constituído pelo vento, pela consideração do desaprumo global e pelo efeito da assimetria da geometria ou do carregamento do edifício. O desaprumo global não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Dentre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável, permitindose escolher o mais desfavorável como sendo o que provoca o maior momento total na base de construção. 4.8.1.1

Efeito do vento A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo NBR 6118 sendo que este efeito pode ser calculado com base na NBR 6123 (Forças Devidas ao Vento em Edificações). Em geral, pela introdução da ação do vento, deve-se levar em conta sempre duas combinações de carga considerando a simultaneidade das ações acidentais verticais e o caráter acidental do vento. Segundo a NBR 6118, a primeira combinação considera a carga acidental como ação variável principal e a segunda combinação considera carga horizontal de vento como a ação variável principal. As combinações são dadas pela expressão: n

Fd = γ g Fgk + γ q Fq1k + γ q ∑ψ 0 j Fqjk

(17)

2

Onde: Fd representa os valores de cálculo das ações; Fgk representa as ações permanentes diretas; Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; γ g , γ q

representam os coeficientes de ponderação aplicados às ações permanentes e variáveis; ψ 0 representa o coeficiente que leva em conta a simultaneidade de atuação das ações. As combinações ficam assim determinadas: Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4 Cargas Var. + 1,4×0,4 Ações horizontais Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4×0,4 Cargas Var. + 1,4 Ações horizontais


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4.8.1.2

Consideração das Imperfeições Construtivas Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 25 (NBR 6118).

l θa

n prumadas de pilares

Figura 25: Consideração das imperfeições geométricas globais (NBR 6118).

Onde:

θ1 =

θ a = θ1

1 100 l

1+1 n 2

(18)

Sendo l a altura da estrutura em metros e n o número total de elementos verticais contínuos.

θ1 min

 1 para estruturas de nós fixos  =  400 1  para estruturas de nós móveis imperfeições locais  300 1 θ max = 200

(19)

4.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento Deve ser considerado efeito do vento e das imperfeições construtivas pelo menos nas direções principais x e y da estrutura (horizontais). Desta forma devem existir dois sistemas de contraventamento ortogonais entre si, formado por vigas pilares. Na direção y (vertical) deve ser adotado arranjo similar. A compatibilização dos deslocamentos dos pilares e transferência dos esforços horizontais em cada pavimento deverá ser feita com a introdução de uma série de barras rígidas articuladas nas extremidades.


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4.8.3 Deslocabilidade Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis:  Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem); nestas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem;  Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem da NBR 6118. Dois processos aproximados são indicados pela NBR 6118 (transcritos a seguir) para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. È bom lembrar que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de carga aplicadas à estrutura. 4.8.3.1

Parâmetro de Instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 definido como:

α ≤ α1

α = H tot

Nk EC I C

α1 = 0,2 + 0,1n se n ≤ 3 α1 = 0,6 se n ≥ 4

(a) (b)

(20)

(c)

Onde: n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; N k - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot ), com seu valor característico.

EC I C - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez EC I C de um pilar equivalente de seção constante. Para EC permite-se adotar, nessa expressão e em todas as análises de estabilidade global, o valor do módulo de elasticidade inicial (expressão (7)). O valor de I C é calculado considerando as seções brutas dos pilares.


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Para determinar a rigidez equivalente ( EC I C ) em pórticos planos e estruturas treliçadas, procede-se da seguinte maneira:  

calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico; calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo da estrutura de contraventamento.

O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. 4.8.3.2 Coeficiente γ Z É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γ z de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados nas equações (20), que estimam o efeito da não-linearidade física. Para lajes

(EI )SEC

= 0,3 EC I C

Para vigas

(EI )SEC

= 0,4 EC I C para As’≠ As

(EI )SEC (EI )SEC

= 0,5 EC I C para As’= As = 0,8 EC I C

(EI )SEC

= 0,7 EC I C

e Para pilares Para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e pilares, pode-se considerar para ambas

(21)

Sendo EC o módulo de elasticidade inicial do concreto (7) e I C o momento de inércia da seção bruta de concreto. O valor de γ Z é dado pela expressão:

γZ =

1 1−

∆M tot , d ah + av M 1, tot , d ah

(22)

sendo: M 1, tot , d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura;


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∆M tot ,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus

valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem; a h , a v - são os deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas verticais da estrutura. O deslocamento horizontal a v é o decorrente somente das ações verticais e o deslocamento horizontal a h é decorrente somente das ações horizontais. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γ Z ≤ 1,1 , sendo que neste caso é possível desconsiderar os efeitos de 2ª ordem. Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95 γ Z dos momentos de 1ª ordem, desde que γ Z ≤ 1,3 . Para valores de γ Z maiores que 1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a adoção do processo P-∆ para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de rigidez dados por (21) representativos do efeito da não-linearidade física da NBR 6118.

4.8.4 Análise Não-Linear A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não ocasionem perda de estabilidade ou esgotamento da capacidade resistente de cálculo (NBR 6118). Assim sendo, este item apresenta como proceder a uma análise não-linear de um pórtico plano utilizando o software FTOOL. Num primeiro momento, não é possível utilizar a análise não-linear física e geométrica, pois com o pré-dimensionamento temos apenas as dimensões das peças, mas não as armaduras. Desta forma, primeiro deve-se processar todas as combinações utilizando a opção de análise não-linear geométrica, adotando valores de rigidez aproximados para a seção transversal fissurada de concreto. Os valores de rigidez para vigas e pilares recomendados pela NBR 6118 [14] podem ser vistos em (3.9). Outras referências indicam valores levemente diferentes para a avaliação da rigidez da seção fissurada de concreto, ficando a cargo do projetista a utilização dos valores mais adequados: Vasconcelos & Franco: (EI )SEC = 0,5 EC I C para vigas

(EI )SEC

MacGregor & Hage:

ACI-318-95:

= 0,8 EC I C para pilares

(a)

(EI )SEC = 0,4 EC I C para vigas (EI )SEC = 0,8 EC I C para pilares

(b)

(EI )SEC = 0,3 EC I C para vigas (EI )SEC = 0,7 EC I C para pilares

(c)


(23)

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Na sequência, dimensionar todos os elementos da estrutura utilizando a envoltória de esforços (calculam-se as áreas de aço para cada combinação e depois comparam-se estes valores para o traçado da envoltória). Após o dimensionamento tem-se os valores para a taxa de armadura em cada elemento, permitindo que se proceda à verificação do dimensionamento recalculando os esforços atuantes através de análises não-lineares físico-geométricas para todas as combinações de carga. Nesta análise, o sistema pode resultar instável, por falta de rigidez. Neste caso, a falta de rigidez da estrutura é ocasionada por terem sido adotados valores muito altos para a rigidez da seção de concreto fissurado nos cálculos não lineares geométricos (prédimensionamento). Assim sendo, deve-se estimar uma rigidez inicial menor para as vigas e pilares e efetuar uma nova análise não-linear geométrica com o posterior redimensionamento das armaduras. Havendo rigidez suficiente, o sistema convergirá para todas as combinações de carga, originando mais uma envoltória de esforços solicitantes. Observa-se que no cálculo não linear físico e geométrico haverá uma redistribuição de rigidez ao longo da estrutura conforme o dimensionamento das armaduras efetuado. Esta redistribuição poderá alterar significativamente os esforços solicitantes em toda a estrutura ou em parte dela. Por causa disto, mais uma vez deve-se proceder ao dimensionamento das armaduras das seções de concreto armado. Se os valores obtidos para as armaduras calculadas com os esforços provenientes da análise não-linear física e geométrica forem muito diferentes dos obtidos pela análise não-linear geométrica, deve-se proceder a novos cálculos (com a nova distribuição de armadura) que considerem a não-linearidade física e geométrica até que se tenha a estabilização (convergência) da distribuição da armadura nos diversos elementos. Cabe lembrar que segundo a NBR 6118, poderá ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de γ f γ f3 que posteriormente são majorados de γ f3 , com γ f3 = 1,1 . O fator γ f3 considera as incertezas provenientes do método de análise e deve ser aplicado aos valores finais dos esforços. Nos problemas não-lineares, a consideração deste fator em γ f poderia conduzir a deformações e conseqüentemente a esforços de 2ª ordem super avaliados. Finalmente, devem-se ainda avaliar os efeitos de 2ª ordem e decorrentes de desaprumos locais em cada tramo de pilar da estrutura de contraventamento. O processo é análogo ao dimensionamento de elementos contraventados. Os efeitos localizados de 2ª ordem tornam-se presentes apenas quando o índice de esbeltez do pilar definido entre dois pavimentos superar os valores de λ1 estabelecidos no item 4.10.1. Caso haja necessidade da avaliação destes efeitos, ela pode ser feita de várias maneiras:  no modelo global, discretizando-se cada tramo de pilar em pelo menos três elementos;  criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico, discretizado em pelo menos três elementos com a posterior análise não-linear física e geométrica;  criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico e utilizando métodos aproximados baseados no método do pilar padrão (item 4.10.4.2).


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pilar de contraventamento

θ1 l θ1 pilar contraventado

Figura 26: Efeito de imperfeição geométrica em um viga que liga um pilar contraventado a um pilar de contraventamento (NBR 6118).

As excentricidades acidentais podem ser introduzidas no modelo localizado através de momentos mínimos de extremidade ( M 1d ,min ). Deve-se também efetuar a análise local de vigas que liguem pilares contraventados a pilares de contraventamento, considerando a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (NBR 6118). O valor de θ1 para a avaliação de imperfeições locais é considerado como l 300 . Finalmente, a última recomendação é ressaltar o fato de que quando o FTOOL constrói os diagramas M-1/r (momento – curvatura) utilizados para estimar a não-linearidade física, ele utiliza taxas de armadura constantes (valores máximos calculados da área de aço) em todo o elemento. Desta forma, para uma avaliação da rigidez um pouco mais refinada, convém dividir cada tramo de viga em pelo menos três elementos. Dimensionada a estrutura de contraventamento, deve-se calcular as vigas e pilares contraventados. A análise destes elementos restantes é feita através de modelos localizados supondo que estes façam parte de estruturas indeslocáveis.

4.9 Modelagem de Vigas Isoladas O modelo básico para a consideração das cargas verticais é a análise linear de uma viga contínua. A caracterização da geometria das vigas pode ser vista no item 14.5.2 da NBR 6118. O carregamento das vigas é composto pelas reações das lajes (admite-se que estas sejam consideradas uniformes sobre cada viga de bordo), pelo seu peso próprio e pelo peso das alvenarias. Permite-se supor que a posição das cargas acidentais uniformemente distribuídas (q) com a qual se obtém a situação mais desfavorável para a seção considerada, seja determinada com cada tramo totalmente carregado ou totalmente descarregado. Dispensa-se o cálculo das envoltórias quando a carga acidental for menor que 20% da carga total.


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Capítulo 4 – Requisitos de Análise Estrutural - 58 q

q

q

q

q

q

Figura 27: Modelo básico para a determinação da envoltória para uma viga contínua.

No modelo básico de viga contínua, é desconsiderada a solidariedade da viga aos pilares e por isso, devemos utilizar modelos adicionais de forma a estimar esta influência. Quando um pilar interno for muito rígido (largura na direção da viga maior que o pé direito dividido por 4 (NBR 6118), não poderá ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio. O efeito de pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído por três barras convergentes, todas consideradas engastadas nas extremidades (pode-se considerar a viga simplesmente apoiada no pilar interno, dependendo de sua rigidez). O esquema básico é representado na Figura 28).

l sup

l inf

l

Figura 28: Modelo simplificado para a consideração do efeito de pilar de extremidade.

M0 =

rinf + rsup rinf + rsup + rvig

M eng = rvig =

rinf = rsup =

M eng

( g + q) l 2 12 4 E I vig l 4 E I vig

linf 4 E I vig lsup

(momento na viga, apoio de extremidade) (momento de engastamento perfeito) (rigidez da viga)

(24)

(rigidez do pilar inferior) (rigidez do pilar superior)


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Em certas situações, a articulação perfeita junto a pilares internos pode subestimar o momento positivo em um vão pequeno ou pouco carregado em face de vãos adjacentes mais carregados. Costuma-se então comparar valores dos momentos positivos em cada tramo, obtidos engastando-se todos os apoios internos. Todo este processo de modelagem de viga contínua pode ser substituído pela análise de um pórtico plano que considere a solidariedade dos pilares com as vigas, o que conduz a uma modelagem muito mais simples e eficaz da viga conforme mostra Figura 29. Sobre os apoios, os momentos fletores poderão ser arredondados conforme o item 14.5.3 da NBR 6118. Pode também ser considerado no cálculo das vigas o momento fletor de 2ª ordem dos pilares a que ela está rigidamente ligada. Na análise local de vigas que liguem pilares contraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (NBR 6118).

Figura 29: Consideração da solidariedade dos pilares com as vigas.

4.10 Modelagem de Pilares Isolados As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (ventos e terremotos). As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de modelagem) de serem adotadas no projeto de pilares estão diretamente relacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar dado pelas expressões:

λ= ir =

le ir IC AC

(25)

onde le - comprimento de flambagem ir - raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se considerando a presença da armadura) I C - momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo principal de inércia na direção considerada AC = área da seção transversal do pilar Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le dos pilares é determinado conforme a Figura 30 e a expressão (25). Nas estruturas de nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis. laje superior

l

H

l0

l

H

l

H

laje inferior

Figura 30: Comprimento de flambagem em casos usuais de estruturas de edifícios.

O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto vinculado em ambas as extremidades é o menor dos seguintes valores: l + h le ≤  0  l A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função de seu índice de esbeltez. 0

λ1

90

140

200

Considerações dos efeitos de 2° ordem Consideração da fluência Método geral Método do pilar padrão com curvatura aproximada Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada Método do pilar padrão acoplado a diagramas de M, N, 1/r

As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade a consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NBR 6118. Deve-se ainda complementar que o valor λ1 é um valor que determina o início da consideração dos efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no próximo item e que não são permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200.


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4.10.1 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem A NBR 6118 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem. Ela estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 (ao invés do valor fixo de 40 utilizado anteriormente pela NBR 6118/78). O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:  a excentricidade relativa de 1ª ordem e1 / h ;  a vinculação dos extremos da coluna isolada;  a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ1 é calculado pela expressão:

≤ 90 25 + 12,5 e1 / h  35 λ1 = ≥ αb  α b

(26)

O parâmetro ab é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da forma do diagrama de momentos de 1ª ordem: 4.10.1.1 Para pilares biapoiados M α b = 0,60 + 0,40 B ≥ 0,40 para pilares biapoiados sem cargas transversais. MA α b = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura. Sendo, MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário. 4.10.1.2 Para em pilares em balanço M α b = 0,80 + 0,20 C ≥ 0,85 MA Sendo, MA o momento de 1ª ordem no engaste, e MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço. 4.10.1.3 Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo Deve-se tomar α b = 1,0 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momento mínimo definido na expressão (29). Nas figuras seguintes apresentamos curvas representativas do valor de λ1 para pilares em balanço e biapoiados para diversos fatores e1 / h (excentricidade relativa de 1ª ordem) e para diversas formas do diagrama de momentos de primeira ordem (MA/MB ou MC/MA).


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4.10.2 Solicitações Iniciais A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) e pelos momentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras. O momento inicial é introduzido nos pilares em virtude da sua solidariedade com as vigas. Para pilares de edifícios com cargas previstas na NBR 6120, sem a consideração de cargas transversais (vento), admite-se:  que para pilares intermediário, não há momento aplicado, desde que não haja grande variação de rigidez ou carregamento nos tramos das vigas de uma direção, pois neste caso pode haver um momento fletor expressivo aplicado ao pilar;  para pilares extremos, serão aplicados os momentos fletores provenientes da solidariedade viga-pilar; os pilares de canto, com momentos fletores de duas vigas ortogonais será solicitado à flexão oblíqua. 1 2

M sup

M vig

Msup

Minf

1 2

M inf

Figura 31: Pilares de extremidade (Modelo simplificado).

M INF = M SUP =

rinf M eng rinf + rsup + rvig rsup rinf + rsup + rvig

(27)

M eng

onde as definições de rinf , rsup , rvig podem ser vistas nas equações (24). Deve-se ressaltar que os momentos iniciais nas extremidades podem ser oriundos de uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem (constituídos pelos esforços de extremidade da análise não-linear de um pórtico). O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 4.10.3.

4.10.3 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas A NBR 6118 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de retilinidade e de desaprumo no pilar. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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θ1

θ1

l/2

(a) Falta de retilinidade do pilar.

l

(b) Desaprumo do pilar.

Figura 32: Imperfeições em pilares.

A excentricidade acidental mínima deve respeitar a relação da expressão (28), admitindo-se para as estruturas reticuladas que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado este valor. ea , min = 1,5 + 0,03h (dimensões em cm)

(28)

Onde h é a dimensão do pilar paralelo à excentricidade acidental considerada. A consideração desta excentricidade gera M 1d , min , o momento de 1ª ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais que sempre deve respeitar o valor mínimo dado por (29): M 1d , min = N d ea , min = N d (1,5 + 0,03h) (dimensões em cm)

(29)

4.10.4 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados A NBR 6118 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção de esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a transcrição destes métodos. 4.10.4.1 Método Geral Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração da nãolinearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para λ > 140 . Na modelagem de um pilar utilizando o FTOOL discretizado em mais de três elementos e selecionando a opção “análise não-linear física e geométrica”, estamos empregando o método geral com a avaliação rigorosa do efeito de 2ª ordem geométrico.


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4.10.4.2 Métodos Aproximados A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado.

Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada É permitido para λ < 90 , em pilares de seção constante e de armadura simétrica e

constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. O momento total máximo na coluna é dado por: M d ,tot = α b M 1d , A

l e2 1 + Nd ≥ M 1d , A 10 r

(30)

sendo 1 / r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada:

1 0,005 0,005 = ≤ r h (ν + 0,5) h

(31)

Onde, h é a altura da seção na direção considerada, ν é a força normal adimensional, dada N sd pela expressão ν = e M 1d , A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em (29) ( Ac f cd M 1d , A ≥ M 1d ,min ). O momento M 1d , A e o coeficiente α b têm as mesmas definições do item 4.10.1, sendo M 1d , A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento M A .

Método do Pilar Padrão com rigidez K (kapa) aproximada É permitido para λ < 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura

simétrica e constante ao longo do eixo. A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo na coluna é dado por:

M d ,tot =

α b M 1d , A ≥ M 1d , A ≥ M 1d ,min λ2 1− 120 κ /ν

(32)

sendo o valor da rigidez adimensional κ (kapa) dado aproximadamente 

κ = 32ν 1 + 5 

M d ,tot   h N d 

(33)

As variáveis h,ν , M 1d , A e α b são as mesmas definidas no item anterior e o processo é iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso.


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ELEMENTOS ESTRUTURAIS:

PRÉ-DIMENSIONAMENTO

5.1 Projeto Arquitetônico O projeto arquitetônico é o processo pelo qual uma obra é concebida com os mínimos detalhes para que possa ser executada na prática. Para o lançamento de uma estrutura seja ela de concreto, aço ou madeira é necessário ter em mãos o projeto arquitetônico. Tomando como base o projeto arquitetônico de um edifício residencial (Figura 33), onde o pavimento tipo prevalece na maior parte da estrutura, será feito um estudo de caso com o lançamento da estrutura utilizando lajes maciças apoiadas sobre vigas.

5.2 Lançamento da Estrutura A escolha e o lançamento dos elementos estruturais é realizado tendo como base o projeto arquitetônico, levando em conta aspectos como:  Estética: o projetista deve sempre procurar esconder ao máximo a estrutura (viga, pilares, consoles) dentro das paredes;  Economia: deve-se lançar a estrutura pensando em minimizar o custo da estrutura. A economia pode vir da observação de vários itens: o Uniformização da estrutura, gerando fôrmas mais simples, menor número de reformas das fôrmas (o que reduz o custo com fôrmas e maior velocidade de execução). Em alguns casos, é mantida a mesma geometria para uma prumada de pilares reutilizando assim o mesmo jogo de formas; o Compatibilidade entre vãos, materiais e métodos utilizados (ex.: o vão econômico para estruturas protendidas é maior do que o de estruturas de concreto armado);


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



Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 67

o Caminhamento o mais uniforme possível das cargas para as fundações. Apoios indiretos, de vigas sobre vigas e transições devem ser evitadas ao máximo, pois acarretam um maior consumo de material. Funcionalidade: um aspecto funcional importante é o posicionamento dos pilares na garagem. Em virtude da necessidade crescente de vagas para estacionamento, deve ser feita uma análise minuciosa nos pavimentos de garagem, de modo a aumentar ao máximo a quantidade de vagas, sempre procurando obter vagas de fácil estacionamento (considerando vagas com 2,50×5,50m, um bom aproveitamento pode ser obtido espaçando os pilares a cada 4,80 ou 5,0m, ou a cada 7,2 a 7,5m, evitando posicioná-los nas extremidades das vagas); Resistência quanto aos esforços horizontais: ao lançar a estrutura deve-se procurar estabelecer uma estrutura responsável por resistir aos esforços horizontais atuantes na estrutura (vento, desaprumo da construção, efeitos sísmicos). Esta estrutura pode ser composta por um núcleo estrutural rígido composto por pilares de grande inércia, geralmente o das caixas de escadas e elevadores, ou por pórticos (planos ou espaciais) formados pela associação entre vigas (ou às vezes lajes) e pilares do edifício.

Para o projeto arquitetônico do pavimento tipo mostrado na Figura 33, foi adotada como solução a construção de lajes maciças, cujas fôrmas são mostrada mais a diante, na Figura 51. Os pilares obedecem a uma disposição econômica visando à obtenção de vãos entre 4m e 6m para as vigas (Figura 34), respeitando as condições de arquitetura, tanto no pavimento-tipo quanto em outros pavimentos não apresentados. Uma melhor concepção estrutural poderá ser feita sobrepondo-se todos os pavimentos que compões o projeto arquitetônico. Feito isso, são definidas as posições dos pilares e verificado sua continuidade desde a fundação e a cobertura. A escolha da posição dos pilares é mais influenciada pela disposição das garagens e do pavimento tipo do que outros componentes do projeto arquitetônico. Geralmente, em edificações residenciais, o afastamento ideal entre os pilares deve variar de 4 a 7 m. Após definida a posição dos pilares é feito o lançamento das vigas. Geralmente a largura da viga coincide com a espessura da alvenaria com a finalidade de evitar engrossamento das paredes com argamassas ou possíveis requadros entre as paredes e as vigas. Para a altura das vigas é de bom valor atribuir um valor igual a 1/10 do comprimento do vão.


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Varanda

Varanda


Suíte

Banheiro

Banheiro

Suíte

Dormitório

Circulação

Sala de Estar

Sala de Estar

Circulação

Dormitório

Área de Serviço

Cozinha

Cozinha

Dormitório Empregada

Banheiro

Escada


Banheiro

Banheiro

Banheiro

Hall



Área de Serviço

Cozinha

Cozinha

Área de Serviço

Dormitório

Banheiro

Banheiro

Dormitório

Figura 33: Planta baixa do pavimento tipo de um edifício residencial.

PROJETO ARQUITETÔNICO - Planta Baixa do Pavimento Tipo

Dormitório

Banheiro

Banheiro

Dormitório

Área de Serviço

Dormitório

Circulação

Sala de Estar

Sala de Estar

Circulação

Dormitório

Suíte

Banheiro

Banheiro

Suíte

Varanda

Varanda

Concreto Armado Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 68

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Figura 34: Planta baixa do pavimento tipo com os pilares já lançados.


PROJETO ARQUITETÔNICO - Posição dos Pilares na Planta Baixa do Pavimento Tipo

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5.3 Lajes Lajes são partes elementares dos sistemas estruturais dos edifícios de concreto armado. São elementos planos com comportamento bidimensional que são utilizadas para a transferência das cargas que atuam sobre os pavimentos para os elementos que as sustentam. As principais ocorrências de lajes incidem nas estruturas de edifícios residenciais, comerciais e industriais, pontes, reservatórios, escadas, obras de contenção de terra, pavimentos rígidos de rodovias, aeroportos, dentre outras [3]. No caso particular de edifícios de concreto, existem diversos métodos construtivos com ampla aceitação no mercado da construção civil. A seguir, serão apresentados os principais sistemas estruturais de pavimentos de concreto armado (ou protendido) utilizados pela grande gama de profissionais que atuam no âmbito da engenharia estrutural.

5.3.1 Lajes maciças São constituídas por peças maciças de concreto armado ou protendido. Foi, durante muitas décadas, o sistema estrutural mais utilizado nas edificações correntes em concreto armado [2]. Graças a sua grande utilização, o mercado oferece uma mão-de-obra bastante treinada. Este tipo de laje não oferece grande capacidade portante, devido sua relação rigidez/peso ser pequena. Os vãos encontrados na prática variam, geralmente, entre 3 e 6 metros, podendo-se encontrar vãos até 8 metros. Dentro dos limites práticos, esta solução estrutural apresenta uma grande quantidade de vigas, o que dificulta a execução das fôrmas. Estruturalmente, as lajes são importantes elementos de contraventamento (diafragmas rígidos nos pórticos tridimensionais) e de enrijecimento (mesas de compressão das vigas “T” ou paredes portantes) [3].

Figura 35: (a) Laje maciça; (b) Laje maciça e bloco de transição.

A Figura 35a mostra uma laje maciça apoiada sobre vigas e blocos de transição (requerido devido à mudança de seção do pilar de retangular para circular). Esta solução permite uma grande versatilidade geométrica das peças constituintes da edificação uma vez que são moldadas in loco. A maior desvantagem desse tipo de solução estrutural é a necessidade de execução de uma estrutura de cimbramento (fôrmas), tornando-a antieconômica quando não houver repetitividade do pavimento.


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5.3.2 Lajes pré-fabricadas Existem diversos tipos de lajes pré-fabricadas, que seguem um rígido controle de qualidade das peças, inerente ao próprio sistema de produção. Podem ser constituídas por vigotas treliçadas ou armadas, que funcionam como elementos resistentes, cujos vãos podem ser preenchidos com blocos cerâmicos, de isopor ou de cimento, conforme indicado na Figura 36, ou por painéis pré-fabricados protendidos ou treliçados, apoiados diretamente sobre as vigas de concreto ou vigas metálicas (estrutura mista), dispensando-se o elemento de vedação.

Figura 36: Operação de alinhamento das vigotas e painéis treliçados.

No caso das lajes compostas por vigotas e blocos cerâmicos, ao contrário dos painéis pré-fabricados, deve ser feita a solidarização do conjunto com uma capa superior de concreto, geralmente de 4 cm de espessura. A grande vantagem deste tipo de solução é a velocidade de execução e a dispensa de fôrmas. Seus vãos variam de 4 a 8 metros, podendo-se chegar a 15 metros [3].

Figura 37: Operação de montagem de painéis pré-fabricados.

Os tipos de painéis mais difundidos são ilustrados na Figura 38.


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(a) Tipo “Π”

(a) Tipo “T”

(b) Alveolar

(b) Múltiplo “T”

(a) Tipo “U invertido”

(b) Tubado

Figura 38: Painéis pré-fabricados.

5.3.3 Lajes nervuradas São empregadas quando se deseja vencer grandes vãos ou grandes sobrecargas. O aumento do desempenho estrutural é obtido em decorrência da ausência de concreto entre as nervuras, que possibilita um alívio de peso não comprometendo sua inércia. Devido à alta relação entre rigidez e peso apresentam elevadas freqüências naturais. Tal fato permite a aplicação de cargas dinâmicas (equipamentos em operação, multidões e veículos em circulação) sem causar vibrações sensíveis ao limite de percepção humano. Para a execução das nervuras são empregadas fôrmas reutilizáveis ou não, confeccionadas normalmente em material plástico, polipropileno ou poliestireno expandido. Devido à grande concentração de tensões na região de encontro da laje nervurada com o pilar, deve-se criar uma região maciça para absorver os momentos decorrentes do efeito da punção. Pode-se simular o comportamento de uma laje nervurada com laje pré-fabricada, vista anteriormente, colocandose blocos de isopor junto à camada superior. Este tipo de solução oferece uma grande vantagem quanto à dispensa da estrutura de cimbramento, conforme observado na Figura 39 e Figura 40.


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Figura 39: Laje nervurada de um edifício comercial

Figura 40: Laje nervurada formada por lajes pré-fabricadas com incorporação de blocos de isopor.

5.3.4 Lajes em grelha Estas lajes são consideradas uma particularização das lajes nervuradas sendo caracterizadas por nervuras com espaçamento superior a um metro.

5.3.5 Lajes mistas São semelhantes às lajes nervuradas, tendo como diferença básica à utilização de blocos cerâmicos capazes de resistir aos esforços de compressão, oriundos da flexão, sendo considerados no cálculo.

5.3.6 Lajes duplas São particularizações das lajes nervuradas, sendo que neste caso as nervuras ficam situadas entre dois painéis de lajes maciças (teto do pavimento inferior e piso do pavimento superior). Também são conhecidas como lajes do tipo “caixão-perdido” devido à tradicional forma de execução empregada. Podem, entretanto, ser executadas com lajes que se apóiam em vigas invertidas, o que evita a perda da fôrma na região interna.


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5.3.7 Lajes cogumelo São apoiados diretamente nos pilares por intermédio de capitéis (Figura 41a), ou engrossamentos (Figura 41b) cuja função é absorver os esforços de punção presentes na ligação laje-pilar. O dimensionamento é feito com base nos esforços de cisalhamento, que são preponderantes sobre os esforços de flexão.

Figura 41: Laje cogumelo: (a) com capitel (b) com engrossamento.

5.3.8 Lajes lisas (ou planas) São apoiadas diretamente nos pilares sem o uso de capitéis ou engrossamentos. Do ponto de vista arquitetônico, esta solução apresenta uma grande vantagem em relação às demais, pois propicia uma estrutura mais versátil. A ausência de recortes nas lajes permite uma redução no tempo de execução das fôrmas, além da redução expressiva do desperdício dos materiais. Devido à ausência de capitéis, o seu dimensionamento deve ser criterioso, pois requerem um cuidado especial quanto ao problema de puncionamento. Para combater os esforços de punção são utilizados, habitualmente, conectores ou chapas metálicas na conjunção entre a laje e o pilar. A experiência mostra que o uso de vigas de borda traz inúmeras vantagens sem aumento significativo dos recortes das fôrmas.

Figura 42: Laje lisa (ou plana).

5.4 Pré-Dimensionamento da Estrutura do Edifício Construído com Lajes Maciças No dimensionamento das estruturas tem-se um paradoxo: a geometria dos elementos estruturais é definida para suportar os esforços solicitantes, entretanto, os esforços solicitantes


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só podem ser obtidos após ser definida a geometria da estrutura, determinando seu peso próprio e a rigidez dos diversos elementos estruturais. Desta forma, é necessário estabelecer um pré-dimensionamento da estrutura, ou seja, determinar a geometria aproximada dos elementos estruturais, que será utilizada numa análise preliminar, em seguida, efetuar os ajustes necessários, determinando a geometria final e conseqüentemente o carregamento real que permite o dimensionamento correto das armaduras. Uma vez definido o esquema estrutural, o pré-dimensionamento dos elementos deverá ser efetuado da seguinte maneira:  Pré-dimensionamento das lajes;  Pré-dimensionamento das vigas (com base nas cargas verticais).;  Estimativa do carregamento vertical (peso próprio, revestimento, alvenaria, cargas acidentais decorrentes da utilização da estrutura), distribuído pela área de laje dos pavimentos;  Pré-dimensionamento dos pilares (com base nas cargas verticais);  Estimativa dos carregamentos horizontais devidos à ação do vento e do desaprumo global do edifício;  Determinação da rigidez (aproximada) da estrutura (parâmetros α e γ z );  Determinação da flecha (aproximada) do edifício sob cargas de serviço;  Correção do pré-dimensionamento da estrutura para provê-la de maior rigidez, caso necessário, tendo como base as duas análises anteriores.

5.4.1 Pré-dimensionamento das lajes maciças A altura útil d da laje pode ser estimada pela expressão empírica:

d ≅ (2,5 − 0,1nb )l1

(34)

Onde, nb é o número de bordas engastadas da laje (em cm) e l1 é dado pelo menor dos valores entre l x e 0,7l y (com l x ≤ l y ) ou ainda, pela expressão h = l x 40 . O pré-dimensionamento deve respeitar as espessuras mínimas definidas na NBR 6118, expressas na Tabela 12. Tabela 12: Espessuras mínimas de lajes maciças (segundo a NBR 6118/03). Finalidade Lajes de cobertura não em balanço Lajes de piso e lajes em balanço Lajes que suportem veículos de peso total ≤ 30kN Lajes que suportem veículos de peso total ≥ 30kN Lajes cogumelo Lajes lisas

Espessura mínima (cm) 5 7 10 12 14 16

Em estruturas convencionais de edifícios residenciais, pode-se considerar que o vão teórico das lajes se prolonga até o eixo das vigas que as apóiam.


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5.4.2 Pré-dimensionamento das vigas A altura das vigas pode ser calculada pela expressão: h=

l l a com hmin = 25 cm 10 12,5

(35)

onde l é o vão da viga (normalmente, igual à distância entre os eixos dos pilares de apoio). Para vigas contínuas com vãos adjacentes de dimensões comparáveis (2/3 a 3/2 do comprimento principal), costuma-se uniformizar a altura das vigas. A largura da viga, em geral, é definida em função do projeto arquitetônico e dos materiais e técnicas utilizadas pela construtora. Desta forma, quando a viga ficar “embutida” em paredes de alvenaria, sua largura deve sempre que possível levar em conta o tipo de tijolo e revestimento utilizado e a espessura final definida pelo projeto arquitetônico.

5.4.3 Estimativa das cargas verticais para o pré-dimensionamento 5.4.3.1

Peso Próprio O peso próprio pode ser estimado multiplicando o peso específico do concreto amado pela espessura média do pavimento, que é obtida a partir da divisão da somatória do volume de concreto de todos os elementos estruturais do pavimento lares (lajes, vigas e pilares) pela área do pavimento. q pp = emedia , pav γ c , com emed , pav =

(V

conc , lajes

+ Vconc , vigas + Vconc , pilares + ...)pav Apav

(36)

Para edifícios residenciais, esta espessura média pode ser estimada em 17cm para as dependências e 20cm para as escadas. 5.4.3.2 Revestimento O peso próprio do revestimento das lajes (piso, contrapiso, reboco, etc.) pode ser obtido de maneira exata multiplicando a espessura dos revestimentos pelos valores apresentados na Tabela 8. Considerando revestimentos convencionais podemos, para fins de pré-dimensionamento, estimar a carga devida ao revestimento entre 0,5 e 1,0 kN/m². 5.4.3.3 Carga Acidental O carregamento acidental é apresentado na Tabela 9 conforme a utilização da edificação e da finalidade do compartilhamento. Em edifícios residenciais (para efeito de prédimensionamento) pode-se utilizar 1,5 kN/m² para todas as lajes, exceto lajes de fundo de caixas de água e casa de máquinas. 5.4.3.4 Alvenaria O carregamento distribuído devido às paredes de alvenaria pode ser obtido da divisão da soma do peso de todas as paredes do pavimento pela área do pavimento. Para edifícios


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residenciais, com alvenaria de blocos cerâmicos e espessura de parede de 15cm, podemos estimar o valor deste carregamento entre 3,0 e 5,0 kN/m². 5.4.3.5 Ático Na determinação do carregamento do ático, devemos considerar o carregamento devido à água armazenada na caixa d’água, a carga acidental introduzida pelos elevadores e o peso próprio da estrutura (pilares, lajes, vigas, caixa d’água).

5.4.4 Determinação do carregamento horizontal 5.4.4.1

Vento A determinação do carregamento proveniente da ação do vento pode ser feita por expressões aproximadas ou por meio da metodologia da NBR 6123. 5.4.4.2 Consideração das imperfeições construtivas A determinação do carregamento proveniente do desaprumo global da estrutura pode ser feita de acordo com o procedimento que será descrito mais adiante nesse texto na seção de determinação das caras verticais atuantes.

5.4.5 Pré-Dimensionamento dos Pilares Os pilares devem ser dimensionados de maneira a resistir às cargas verticais da edificação e, junto com as vigas, formar pórticos de contraventamento capazes a resistir aos esforços horizontais. Desta forma, em primeiro lugar, devemos determinar a seção dos pilares, levando em consideração as cargas verticais e em seguida calcular a deformabilidade da estrutura e seu comportamento sobre cargas de serviço. Para o pré-dimensionamento dos pilares, levando-se em consideração as cargas verticais, a área da seção transversal Ac , pilar pode ser pré-dimensionada por meio da carga total Pd , total / pilar prevista para o pilar no nível considerado: O quinhão de carga correspondente a cada pilar, por andar, pode ser estimado multiplicando-se a carga média (por m²) para o andar pela área de influência do pilar em questão, Ainf l de acordo com a Figura 43. No caso de um andar tipo, tem-se: A área de influência de um pilar pode ser obtida a partir das figuras geométricas que envolvem os pilares formadas por retas que passam pela mediatriz dos segmentos de reta que unem pilares adjacentes e pelo contorno do pavimento. Costuma-se não descontar furos e o poço dos elevadores. A carga da laje de cobertura do edifício, em geral, pode ser estimada como uma fração do carregamento dos andares tipo: Pcobertura / pilar ≅ 0,75 Ptipo / pilar


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Figura 43: Determinação das áreas de influência dos pilares.


PROJETO ESTRUTURAL - Determinação das Áreas de Influência dos Pilares

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Depois de obter o carregamento total atuante no pilar, pode-se obter a área de concreto necessária para resistir aos esforços de compressão, por meio da expressão:

Ac , pilar =

Ptotal , pilar

σ adm

onde se admite uma tensão admissível no pilar em torno de σ adm ≅ 0,5f ck Para determinar as dimensões dos pilares, devem ser seguidas as prescrições da NBR 6118/2003 quanto à dimensão mínima dos lados de pilares e pilares parede apresentados na Tabela 13. A seção transversal de pilares e pilares parede maciços, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γ n de acordo com o indicado na Tabela 13. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm².

Tabela 13: Dimensões mínimas de pilares (NBR 6118). b (menor dimensão do pilar)

γn

≥ 19cm

1,0

γ n = 1,95 − 0,05b 12 ≤ b ≤ 19cm O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento.

5.5 Determinação do Carregamento Vertical O carregamento vertical atuante na estrutura pode ser considerado permanente ou acidental. O carregamento permanente é constituído em geral pelo peso próprio da estrutura e pelo peso dos revestimentos e fechamentos. O carregamento acidental é decorrente do tipo de utilização da estrutura e será representado por cargas normalizadas uniformemente distribuídas sobre as lajes. Valores para tais cargas são encontrados na NBR 6120. Deve-se lembrar que, durante todos os cálculos, as cargas permanentes devem ser mantidas em um caso de carga diferente das acidentais, facilitando combinações futuras com outros tipos de carregamento, como o efeito do vento e da excentricidade acidental global. Primeiramente, deve-se fazer a estimativa das cargas atuantes nas lajes. A análise das lajes fornecerá reações de apoio que deverão ser somadas ao carregamento aplicado diretamente sobre as vigas (seu peso próprio e alvenarias, por exemplo), constituindo o carregamento final das vigas.

5.5.1 Carga Permanente Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes. Na falta de determinação experimental, deve ser utilizada a Tabela 14 para adotar os pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais freqüentes [23].


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Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 80 Tabela 14: Peso específico dos materiais de construção [23].

Materiais 1 Rochas Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e Calcário 2 Blocos Artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos Maciços Tijolos sílico-calcáreos 3 Revestimentos e concretos Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado 4 Madeiras Pinho, cedro Louro, Imbúia, pau óleo Guajuvirá, guatambú, grápia Angico, gabriúva, Ipê róseo 5 Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco 6 Materiais Diversos Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico em folhas Vidro plano

Peso específico aparente (kN/m3) 26 30 30 28 28 22 20 18 13 18 20 19 21 12,5 24 25 5 6,5 8 10 78,5 28 85 114 89 72,5 74 85 72 12 13 17 15 21 26

5.5.2 Carga Acidental Carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.) durante período de tempo reduzido assim como para longo período de tempo. Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes, etc. Não é necessária uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere, um acréscimo de 3,0 kN/m2 no valor da carga acidental. As cargas verticais que se consideram atuando nos planos de edificações, além das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos, devido a pessoas, móveis, utensílios e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na Tabela 15.


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Tabela 15: Valores mínimos das cargas verticais (distribuída em 1,0 m2) [23]. Local 1 – Arquibancada 2 – Balcões

Mesma carga da peca com a qual se comunicam e as previstas na seção 2.2.1.5 da NBR 6120. Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência Salas de leitura Salas para depósitos de livros Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2.5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de

3 – Bancos 4 – Bibliotecas

5 – Casas de máquinas 6 – Cinemas 7 – Clubes

8 – Corredores 9 – Cozinhas residenciais 10 – Depósitos

( Incluindo o peso das máquinas ) a ser determinada em cada caso, porém com o valor mínimo de Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de biliar e banheiro Com acesso ao público Sem acesso ao público não A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme o indicado na seção 2.2.1.3 da NBR 6120 11 – Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro residenciais Despensa, área de serviço e lavanderia 12 – Escadas Com acesso ao público (seção 2.2.1.7 da NBR 6120) Sem acesso ao público 13 – Escolas Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula Outras salas 14 – Escritórios Salas de uso geral e banheiro 15 – Forros Sem acesso a pessoas 16 – Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 17 – Galerias de lojas A ser determinado em cada caso, porém com o mínimo 18 – Garagens e Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 25 estacionamentos kN por veículo. 19 – Ginásios de esportes 20 – Hospitais Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor 21 – Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 22 – Lavanderias Incluindo equipamentos 23 – Lojas 24 – Restaurantes 25 – Teatros Palco Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas 26 – Terraços Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica 27 – Vestíbulo Sem acesso ao público Com acesso ao público


Carga (kN/m2) 4 --2 1,5 2,5 4 6 7,5 3 4 2 3 4 5 2 3 2 3 --1,5 2 3 2,5 3 2 2 0,5 3 3 3 5 2 3 3 3 4 3 5 --2 3 0,5 ----1,5 3

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No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o peso dos materiais armazenados pode ser obtido através dos pesos específicos aparentes que constam na Tabela 16. Todo elemento isolado de cobertura (ripas, terças e barras de banzo superior de treliças) deve ser projetado para receber, na posição mais desfavorável uma carga vertical de 1 kN, além da carga permanente. Ao longo dos parapeitos e balcões deve ser considerado aplicado, uma carga horizontal de 0.8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2,0 kN/m. Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para carga indicada na Tabela 9.

Tabela 16: Características dos materiais de armazenagem [23]. Material Materiais de construção

Combustíveis

Produtos agrícolas

Areia com umidade natural Argila arenosa Cal em pó Cal em pedra Caliça Cimento Clinker de cimento Pedra britada Seixo Carvão Mineral (pó) Carvão vegetal Carvão em pedra Lenha Material Açúcar Arroz com casca Aveia Batatas Café Centeio Cevada Farinha Feijão Feno prensado Frutas Fumo Milho Soja Trigo

Peso específico aparente (kN/m3) 17 18 10 10 13 14 15 18 19 7 4 8,5 5 Peso específico aparente médio (kN/m3) 7,5 5,5 5 7,5 3,5 7 7 5 7,5 1,7 3,5 3,5 7,5 7 7,8

Ângulo de atrito interno 30o 25o 25o 45o ---

25o 30o 40o 30o 25o 45o 30o 45o Ângulo de atrito interno 35o 36o 30o 30o --35o 25o 45o 31o ----35o 27o 29o 27o

No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios, para escritórios residenciais e casas comerciais são destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 17.


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Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 83 Tabela 17: Redução das cargas acidentais [23].

Número de pisos que atuam sobre o elemento 1,2 e 3 4 5 6 ou mais

Redução percentual das cargas acidentais (%) 0 20 40 60

Nota: Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.

5.5.3 Cargas atuantes em estruturas de edificações (NBR 6120) Os valores de carga vertical a serem adotados em estruturas de edificações foram apresentados na Tabela 14 (cargas permanentes) e Tabela 15 (cargas acidentais, dadas em função da utilização do elemento estrutural). Em paredes divisórias sem posição determinada, usar carga uniformemente distribuída não menor que 1/3 do peso linear de parede pronta e maior que 1,00 kN/m². Em parapeitos de varandas ou sacadas deve-se adotar carregamento não inferior ao mostrado na Figura 44. 2,0 kN/m 0,8 kN/m

Figura 44: Carga acidental em parapeitos (sacadas, varandas, etc.).

A Tabela 18 apresenta valores de cargas verticais especiais para casa de máquinas e elevadores.

Tabela 18: Cargas verticais especiais. Casa de máquina e poço dos elevadores Laje sobre a caixa dos elevadores Laje adjacente à caixa dos elevadores Forro da casa de máquinas Forro de molas dos elevadores (laje inferior)

Velocidade V ≤ 1m/s V > 1m/s V ≤ 1m/s V > 1m/s

Peso específico (kN/m²) 30 50 5 7 10 20

/

área

5.5.4 Revestimento das lajes Para calcular cargas permanentes devidas ao revestimento das lajes (piso, camada de regularização e forro), é satisfatório adotar as espessuras mostradas na Figura 45. É comum adotar piso de madeira (γ ≅ 10 kN/m³), cerâmico (γ ≅ 18 kN/m³), a camada de regularização Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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de argamassa de cimento e areia (γ = 21 kN/m3) e revestimento de forro de argamassa de cimento, cal e areia (γ = 19 kN/m3).

camada de regularização

piso 2,0 cm 2,5 cm h 1,5 cm

laje

revestimento

Figura 45: Camadas de revestimento das lajes.

A carga total de revestimento por m² de laje é dada pelo produto dos pesos específicos dos revestimentos adotados pelas suas respectivas espessuras.

5.5.5 Paredes sobre lajes As paredes de edifícios são geralmente construídas por blocos cerâmicos vazados (γ = 13 N/m³), blocos cerâmicos maciços (γ ≅ 18 kN/m³), blocos de argamassa (γ ≅ 22 kN/m³), todos revestidos de argamassa de cimento e areia (γ = 21kN/m3). A espessura do revestimento resulta de 3 cm para as paredes internas e 6 cm para as paredes externas, respectivamente. Para se obter o peso por metro linear de parede, multiplica-se o peso específico do bloco e do revestimento de parede adotado pelas suas respectivas espessuras e pelo pé direito. O peso total da parede é dado pelo produto da carga por metro linear pelo seu comprimento total. Nas lajes armadas em duas direções, divide-se o peso total da parede pela área da laje, obtendo-se uma carga por m² suposta uniformemente distribuída. É uma simplificação de certo modo grosseira, porém justificável pelas pequenas dimensões dos vãos das lajes de edifícios. Nas lajes armadas numa só direção, a simplificação precedente pode fugir muito da realidade sendo preferível substituí-la pelas seguintes regras práticas:  se a parede é paralela ao lado l x (menor dimensão da laje), supõe-se que a faixa 

resistente tenha largura 2/3 l x ; se a parede é paralela ao lado l y (maior lado da laje), considera-se a carga distribuída linearmente.

Quando forem usadas lajes pré-moldadas (pré-fabricadas), estas por sua vez, não são dimensionadas para suportar paredes sobre elas. Neste caso, adota-se na prática como solução aceitável deixar uma faixa maciça sob a parede devidamente dimensionada para resistir aos esforços de flexão caudada pelo carregamento distribuído da parede em toda sua extensão.


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laje superior

parede em alvenaria

tijolo

parede

l

l

b laje inferior

revestimento de 1,5 a 3cm

Figura 46: Revestimento em paredes.

5.5.6 Cálculo das reações nas vigas Para o cálculo das reações das vigas, isto é, para calcular a carga que a laje transmite às vigas que a sustenta, o critério mais prático é o indicado na Figura 47. Supõe-se que a borda maior l y receba a carga existente na área Ay , enquanto que Ax corresponde à borda menor

l x . As áreas Ax e Ay são formadas pelas bissetrizes tiradas de cada canto da laje. É um cálculo simples baseada na teoria das charneiras plásticas. No caso de duas bordas adjacentes serem uma engastada e a outra apoiada, alguns autores recomendam que se faça o desenho do telhado com retas que formam ângulos de 30º e 60º e não dois ângulos de 45º (Figura 48). Em tal caso, 60º para o lado do engastamento.

Ay

lx

Ax

q(Ay)

q(Ax)

q(Ax)

q(Ay)

Ax

Ay

lx Ay

Ay

ly

ly q(Ay)

(a) laje maciça

q(Ay)

(b) laje pré-moldada

Figura 47: Esquema de distribuição de cargas das lajes para as vigas.


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A transferência de cargas das lajes para as vigas, segundo processo referido, é dado pelas linhas de ruptura ilustradas na Figura 48.

Rye

Engaste

Engaste

Engaste

Apoio

Apoio

Rya

Rya

Engaste

Rxa

Apoio

Rxa

l

Rxa

Apoio

Apoio

Rxe

Rye

l

l

l

l

Rxe

Rxa

Engaste

Rxe l

l

Rxe

Engaste

Engaste

Rxe

Rye

Engaste

l

l

Rxe

Engaste

Rxa

Apoio

Rye

l

l

Rxe Rxe

Rya

Rye

l

Engaste

Rye

Engaste

Engaste

Apoio

Apoio

Engaste

Rye

Rya

Engaste

Rye Engaste

l

l

Engaste

Rxa

Apoio

l

l

l

Rya Apoio

Apoio

Rya

Rxa

Apoio

Rya

Rxa

Apoio

Rya

Apoio

Apoio

l

Apoio

Engaste

Rxa

Rye

Apoio

Rya Apoio

Figura 48: Linhas de ruptura em lajes maciças para diferentes tipos de apoio.

As reações de apoio das lajes maciças do tipo 1 a 6 (Figura 48), podem ser calculadas pelas expressões apresentadas na Tabela 19.


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Tabela 19: Reações de apoio das lajes tipo 1 a 6. Tipo da laje 1

Reações de apoio na direção x e y 2 l y − lx 2 l y − lx Pl Rya ou Rxa = P lx Rya = x ; Rxa = ly 4 ly 4

ly

Para

lx

lx − 0.366l y

Rye = 0.634 P l y

< 1.366 :

lx

;

Rya = 0.577 Rye ;

Rxa = 0.183 P l y

2A

ly

Para

lx

Rxa = P lx 2B

3

> 1.366 :

4 ly −

(

Rye =

)

3 P lx ; 4

Rya = P lx / 4 ;

3 + 1 lx

8 ly

Rxe = 0.634 P lx

Rxe = 0.634 P lx

l y − 0.366lx ly

2 l y − lx 2 ly

; Rxa = 0.577 Rxe ; Rya = 0.183 P lx

Rxa = 0.577 Rxe ;

;

Rye = 0.317 P lx ;

Rya = 0.575 Rye

Para 4A

Para Para 4B

Para Para 5A

ly lx ly lx

ly lx ly lx

ly lx

Para

> 1.732 : Rxe= Rye = P lx ≤ 1.732 : Rxe = P lx

≤ 1.732 : Rye = P l y > 1.732 : Rxa = P lx

≤ 1.268 : Rye = P l y ly lx

> 1.268 :

l y − 0.289lx 2 ly

l y − 0.866lx 2 ly

lx − 0.289l y 2 lx l y − 0.866lx 2 ly

; Rya = 0.144 P lx ; Rxa = 0.144 P l y ; Rye = 0.433 P lx

2 lx − 0.789l y 4 lx

Rxe = 0.634 P lx

; Rya = 0.144 P lx

; Rxe =

P ly

l y − 0.634lx ly

4

;

; Rxa = 0.577 Rxe Rye = 0.317 P lx ;

Rxa = 0.577 Rxe 5B 6

Rxe = P lx Rye =

2 l y − 0.789lx 4 ly

; Rye =

P lx ; Rya = 0.577 Rye 4

2l − l P lx ; Rxe = y x Rye ly 4


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Lajes com um bordo livre e três bordos com apoiados Rxe

Rxa

l

Rye

Rya

l

l

l

Rxa

Rxe

l

l

  4 − lx  ly 

   

4 ly  ly = p  4 − lx 8

   

Rxa = Rxe = p

lx 8

R ya = R ye = p

lx 4

Rye

l

Rye

Rya

Rya

Para l y < 2l x :

l

Rxa = Rxe = p

R ya = R ye Rxa

ly

Rxe

Rye

l

Rye

Rya

Rya

Para l y ≥ 2l x : l l

l

Rxa

Rxe

lx l y − lx ly

R ya = R ye = p

lx 2

Rxa = p

Rxa

Rye

l

)

3 × l x  l x  4− 8  2  3 × lx 4

R ye = p

l

(

Rxa = Rxe = p

Rxa

(

Para l y < l x 1+ 3 Rya

Rye

l

l

Rxa =

R ye =

p ly 3  ly  l x −  = R ya 3 1 + l x 3  2 1 + 3 

Rya

Rye

)

ly   R ye l x − = l x 1 + 3  2 1 + 3  3

(

(

p ly

(

)

(

)

(

)

)

)

p lx  l  2 − 1 + 3 x  2  l y  R ye pl = x = 2 3

Rxa = R ya

(

)

Para l y ≥ l x 1+ 3

l

Rxa

2 1+ 3

R ya = Rxa

l

(

p ly

)

R ye =

p lx × 3 = R ya 3 2


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Rxe =

Rya

Rxa

l

Rxa =

l

R ya =

Rxe

 lx p lx 3  l y −  = Rxa 3 l y 1 + 3  2 1 + 3 

(

Rya

Rya

R ya =

l

(

(

(

)

ly 3 4

Rya

Rya

)

pl y  l y 3  4− 8  lx   

(

R ya = p

Rxe

)

3 :

)

Para l y ≥ 2l x

l l

(

)

2 1+ 3

Rxe = p

Rxe

)

  Rxe lx l y − = 2 1 + 3  3 l y 1 + 3  p lx p lx

Para l y < 2l x l

(

)

3 :

lx 3 6

 l  Rxe = pl x 1 − x   l 3 y   l x 3  Rxe p lx  = 1 − 3 1 + 3  2 l y 1 + 3  lx 3  pl 3   = Rxa 3 1 − Rxe = x 1 + 3  2 l y 1 + 3 

Rxa

Rxa =

Rye

l

l

Rxe

R ye =

p lx 3

(

2 1+ 3

( (

)

(

)

(

)

) )

Para l y < l x 1 + 3 3 : Rya

Rye

l

l

Rxa

Rxe

ly 3  p ly 3   = R ya 3 1 − 1 + 3  2 l x 1 − 3  ply  l y 3  R ya 1 − = = 1 + 3  2 l x 1 − 3  3

Rxe =

Rya

Rye

Rxe

)

(

ply 3

(

2 1+ 3

( (

)

)

) )

Para l y ≥ l x 1 + 3 3 :

l l

(

R ye =

R ye = p l x / 2 = R ya 3

[

( )]

R ya = ( p l x ) / 2 3 =

R ye 3

 l  3  Rxe = p l x 1 − x 1 +   3   2l y 


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Rxe

Rxe =

Rya

l

R ya =

l

p lx 4

   2 − lx   2l y 3  

p lx 4 3

Rxe

Para l y < 2l x 3 : Rye

Rye

l l

R ye = Rxa =

Rxa

pl y  ly  2 −  4  2l x 3 

p ly 4 3

l Rxa

Rye

Rye

Para l y ≥ 2l x 3 : l

 l 3  Rxa = p l x 1 − x   2   R ye =

p lx 3 2

5.6 Determinação do Carregamento H orizontal 5.6.1 Procedimento para o cálculo das forças devidas ao vento nas edificações (NBR 6123) A consideração do efeito do vento em edificações é obrigatória segundo a NBR 6118. O carregamento de vento, um carregamento acidental, pode ser calculado de acordo com a NBR 6123 (Forças Devidas ao Vento em Edificações). A velocidade básica do vento, v 0 , é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10m acima do terreno, em campo aberto e plano. A velocidade básica do vento é obtida a partir do gráfico de isopletas mostrado na Figura 49, em função da localização geográfica da edificação. Como regra geral, é admitido que o vento básico pode soprar de qualquer direção horizontal.


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Figura 49: Isopletas da velocidade básica do vento V0 (m/s) no Brasil.

5.6.2 Determinação da velocidade característica A velocidade característica ( v k ) é obtida da multiplicação da velocidade básica pelos fatores s1 (topográfico), s2 (rugosidade do terreno) e s3 (fator estatístico), dados pela expressão: v k = (s1 s2 s3 ) v 0 (37) 5.6.2.1

Fator topográfico (Fator s1 )

O fator topográfico s1 leva em consideração as variações do relevo do terreno e é determinado de acordo com o perfil do terreno, apresentado na Tabela 20


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Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 92 Tabela 20: Fator topográfico s1.

Perfil do terreno Terreno plano ou fracamente acidentado no ponto A (morros) e nos pontos A e C Taludes e morros: (taludes): (alongados nos quais pode ser admitido um fluxo de ar bidimensional no ponto B: soprando no sentido ( s é uma função 1 indicado na Figura s1 (z)): 50):

s1

1,0 1,0

θ ≤ 3° ⇒ s1( z ) = 1,0 3° < θ < 6° interpolar linearmente para 17° < θ < 45°

e

z  6° ≤ θ ≤ 17° ⇒ s1( z ) = 1,0 +  2,5 −  tg (θ − 3°) ≥ 1 d  z  θ ≥ 45° ⇒ s1( z ) = 1,0 + 0,31 2,5 −  ≥ 1 d 

Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção

0,9

Onde: z é altura medida a partir da superfície do terreno no ponto considerado, d a diferença de nível entre a base e o topo do talude ou morro e θ a inclinação média do talude ou encosta do morro. S1(z) S 2 z

S1(z) S 2 z

z

z

z

C

B S1=1

S1(z)

d A S1=1

4d

θ

B S1(z) d

perfil do terreno

(a) talude

S1=1 A

θ

(b) morro

Figura 50: Fator topográfico s1.

5.6.2.2 Rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno: (Fator s2 ) O fator s2 considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação ou parte da edificação em consideração. Em ventos fortes em estabilidade neutra, a velocidade do vento aumenta com a altura acima do terreno. Este aumento depende da rugosidade do terreno e do intervalo de tempo considerado na determinação da velocidade. Este intervalo de tempo está relacionado com as dimensões da edificação, pois edificações pequenas e elementos de edificações são mais afetados por rajadas de curta duração do que grandes edificações. Para estas, é mais adequado considerar o vento médio calculado com um intervalo de tempo maior. O fator s2 usado no cálculo da velocidade do vento em uma altura z acima do nível geral do terreno é obtido pela expressão:


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Capítulo 5 –Elementos Estruturais: Pré-Dimensionamento - 93 p

 z  (38) s 2 = b Fr    10  onde b , Fr e p são determinados pela categoria de rugosidade e classe da edificação apresentadas nas tabelas a seguir. Tabela 21: Categoria do relevo. Categoria I II III IV V

Relevo Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão. Terrenos abertos com poucos obstáculos isolados. Terrenos planos ou ondulados com obstáculos. Terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados. Terrenos com obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados.

Tabela 22: Classe da edificação. Classe A B C

Tamanho da Edificação dimensão horizontal ou vertical < 20m. Maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50m. Maior dimensão horizontal ou vertical > 50m.

Tabela 23: Parâmetros metereológicos. Categoria

Parâmetro

I

b p b Fr p b p b p b p

II III IV V

A 1,10 0,06 1,00 1,00 0,085 0,94 0,10 0,86 0,12 0,74 0,15

Classes B 1,11 0,065 1,00 0,98 0,09 0,94 0,105 0,85 0,125 0,73 0,16

C 1,12 0,07 1,00 0,95 0,10 0,93 0,115 0,84 0,135 0,71 0,175

5.6.2.3 Fator estatístico ( s3 ) O fator estatístico s3 é baseado em conceitos estatísticos, e considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação. Segundo a NBR 6123, a velocidade básica v 0 é a velocidade do vento que apresenta um período de recorrência médio de 50 anos. A probabilidade de que a velocidade v 0 seja igualada ou excedida neste período é de 63%. O nível de probabilidade (0,63) e a vida útil (50 anos) adotado são considerados adequados para edificações normais destinadas a moradias, hotéis, escritórios, etc. (grupo 2). Na falta de uma norma específica sobre segurança nas edificações ou de indicações correspondentes na norma estrutural, os valores mínimos do fator s3 são os indicados na tabela:


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Tabela 24: Valores mínimos do fator estatístico s3. Grupo I II III IV V

Descrição Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou possibilidade de socorro a pessoas após 1 uma tempestade destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de segurança, centrais de comunicação, etc.) Edificações para hotéis e residências. Edificações para comércio e indústria com alto fator de ocupação Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação (depósitos, silos, construções rurais, etc.) Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.) Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção

s3 1,10 1,00 0,95 0,88 0,83

5.7 Verificação da estabilidade global do edifício 5.7.1 Deslocabilidade Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis:  Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem); nesta estrutura basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem.  Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem (NBR 6118/2003).

5.7.2 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis Dois processos aproximados são indicados pela NBR 6118 para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. Lembramos que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de carga aplicadas à estrutura, através de um parâmetro de instabilidade (α) dado pela expressão (20) e coeficiente γ z dado pela expressão (22) definidos no item 4.8.3.

5.8 Elaboração das Formas Após estimados os carregamentos atuantes no pavimento e pré-definidas as dimensões dos elementos estruturais, como próximo passo, estas informações são transferidas para a planta de forma do pavimento. A planta de forma para do projeto arquitetônico do pavimento tipo mostrado na Figura 33 é mostrada na Figura 51. As linhas de ruptura das lajes maciças do pavimento são mostradas na Figura 52.


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Figura 51: Planta de forma do pavimento tipo de um edifício residencial.


PROJETO ESTRUTURAL - Planta de Forma do Pavimento Tipo

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Figura 52: Determinação das linhas de ruptura das lajes.


PROJETO ESTRUTURAL - Determinação das linhas de ruptura das lajes

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6

DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE

ÚLTIMO – SOLICIAÇÕES NORMAIS

6.1 Introdução Este capítulo apresenta os métodos e considerações utilizadas para dimensionar elementos de concreto armado no estado limite último de acordo com os procedimentos estabelecidos na NBR 6118 [14].

6.2 Hipóteses Básicas A NBR 6118 [14] estabelece certas hipóteses básicas para o cálculo dos elementos lineares sujeitos a solicitações normais nos Estados Limites Últimos. Para o dimensionamento das armaduras passivas são consideradas as seguintes hipóteses:  as seções transversais se mantêm planas após a deformação (Hipótese de Navier);  a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno;  as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas;  a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola retângulo definido na seção 3.2.7 com pico igual a 0,85f cd . Permite-se ainda a substituição desse diagrama pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a posição da linha neutra em relação ao bordo mais solicitado à compressão) com a seguinte tensão: o 0,85f cd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, aumentar a partir desta para a borda comprimida; o 0,80 f cd no caso contrário.  a tensão nas armaduras será obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do aço. Segundo NBR 6118 [14], os valores de cálculo utilizados são os definidos no item 8.3.6, tanto para aços com ou sem patamar de escoamento;


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


o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios de deformações caracterizados pelos pólos de ruptura definidos na Figura 53.

Figura 53: Domínio de deformação.

6.3 Domínios de Deformações 53.

Os domínios de deformação definidos pela NBR 6118 [14] são mostrados na Figura

O domínio 1 representa a tração não uniforme (cujo caso particular é a tração uniforme representada pela reta a). É caracterizado pelas retas representativas do estado de deformação da seção transversal passarem necessariamente pelo pólo de ruína C que caracteriza o alongamento máximo permitido para a armadura de tração e pelo fato de toda a seção de concreto estar tracionada. O domínio 2 representa a flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto. É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de existirem fibras de concreto comprimidas. A deformação específica da fibra mais comprimida fica compreendida entre 0 e o limite ε cu . O domínio 3 representa a flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço ( ε s ≥ ε yd ). Desta forma, este domínio é caracterizado pelo pólo de ruptura A, ou seja, o estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto e pela deformação da armadura mais tracionada se encontrar entre 10‰ e ε yd . O domínio 4 representa a flexão simples (peça superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto (caracterizada pelo pólo de ruptura A) e aço tracionado sem escoamento ( ε s ≤ ε yd ). O domínio 4a representa a flexão composta com armaduras comprimidas. Este domínio é caracterizado pelo pólo de ruína A e por toda armadura estar comprimida. O domínio 5 representa a compressão não uniforme (cujo caso particular é a compressão uniforme representada pela reta b). É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo


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fato de toda seção transversal e conseqüentemente todas as armaduras estarem comprimidas. O encurtamento máximo do concreto varia de 2‰ na compressão centrada a 3,5‰, mantendo-se sempre o encurtamento de 2‰ a uma distância de 3h/7 da borda mais comprimida. Conforme [25], a divisão dos estados limites últimos em domínios de deformação facilita o tratamento teórico, entretanto, do ponto de vista do dimensionamento, dos domínios de deformação, só é de interesse as regiões para as quais são válidas cada pólo de ruptura, pois é a partir do estabelecimento destes pólos que se estabelecem a equação de compatibilidade que caracterizam a deformação específica ao longo da seção transversal. Desta forma serão estabelecidas três regiões caracterizadas pelos três pólos de ruína.

Figura 54: Domínio de deformação.

6.4 Equações de Compatibilidade O princípio básico para o estabelecimento das equações de compatibilidade é o de que a Hipótese de Navier seja válida. Desta forma, as deformações ao longo da seção transversal do elemento (supostas constantes para retas paralelas à linha neutra) podem ser dadas por retas. A equação de uma reta precisa que dois coeficientes sejam definidos. O primeiro é dado pela deformação no pólo de ruptura e o segundo pela posição da linha neutra (x). Desta forma, é necessário estabelecer três equações de compatibilidade, uma para cada região de deformação ou pólo de ruína. Pela hipótese de que há uma aderência perfeita entre concreto e armadura, as expressões aqui deduzidas servem para que se obtenha tanto a deformação para o concreto como para o aço a uma dada altura (posição). Abaixo são apresentadas as expressões deduzidas em [25] para as equações de compatibilidade:


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6.4.1.1

Região I O diagrama de deformações é do tipo apresentado na Figura 55, onde x é a posição da linha neutra medida a partir do bordo mais solicitado à compressão. O encurtamento na borda mais comprimida (ou superior no caso padrão) é ε c e na borda inferior ε c1 . Todas as deformações são dadas em ‰.

Figura 55: Deformações na Região I.

Por semelhança de triângulos na Figura 55 obtém-se a expressão geral da deformação:

ε =

14 ( x − d ) 7 x − 3h

(39)

que permite que se calcule a deformação nas duas bordas da seção, ec quando d = 0 e ε c1 quando d = h : 14 ( x − h) 14 x ε c1 = εc = (40) 7 x − 3h 7 x − 3h 6.4.1.2

Região II

Figura 56: Deformações na Região II.

Por semelhança de triângulos na Figura 56 obtém-se a expressão geral:

ε = 3,5

x−d x


(41)

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6.4.1.3


Região III

Figura 57: Deformações na Região III.

Por semelhança de triângulos na Figura 57 obtém-se a expressão geral:

ε=

10 ( x − d ) (h − d , ) − x

(42)

6.5 Limites entre Domínios Pode-se determinar o valor de x correspondente a cada limite entre dois domínios. No dimensionamento das vigas é particularmente necessário o conhecimento de x correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 (dimensionamento econômico). Limite entre domínio 2 e 3:

x2 − 3 =

Limite entre domínio 3 e 4:

x3− 4 =

3,5 d 10 3,5 d

(43)

3,5 + ε yd

6.6 Tração Simples e Tração com Pequena Excentricidade O dimensionamento de um elemento estrutural, quando solicitado à tração simples ou a tração com pequena excentricidade, deve ser feito no domínio I. Neste domínio, toda a seção trabalha a tração e toda seção é considerada fissurada, isto é, as tensões de tração no concreto são nulas. A linha neutra encontra-se fora da seção do elemento ( x ≤ 0 ou x ≥ h , Figura 55). O domínio I é alcançado quando ε s = 10 ‰ na armadura mais tracionada. Partindo-se da condição de equilíbrio tracionada, obtém-se: N d = As f yd

∑ M ( A'

s

) = 0 sendo As a armadura mais

d − d' (d − d ' ) − e

e da verificação da tensão na armadura σ 's partindo-se da condição de equilíbrio obtém-se:

σ 's =

∑F = 0,

N d − As f yd A's


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L.N.

d' A's

C.G.

h

x<0

ε yd

0

0

σs'

ε's

R'sd

f yd

d

Nd

e

elemento solicitado à flexão

ε s =10%o

As

seção transversal

f yd

diagrama de tensões

deformações

Rsd

resultante de tração

Figura 58: Distribuição das tensões e deformações no aço (domínio I).

Para o dimensionamento de As e A's , a situação mais econômica ocorre quando

σ s = σ 's = f yd . Então a partir da condição de equilíbrio As =

∑M

( A' s )

= 0 obtém-se:

N d (d − d ' ) − e f yd (d − d ' )

A armadura A's é obtida a partir da outra condição de equilíbrio

A's =

Nd e f yd (d − d ' )

(44)

∑M

( As )

= 0:

(45)

6.7 Flexão Simples 6.7.1 Seções Retangulares com Armadura Simples A determinação dos esforços resistentes do concreto (força normal e momento fletor resistidos pelo concreto) é fundamental para a verificação e dimensionamento das seções de concreto armado. Na flexão normal de seções transversais com um eixo de simetria, os esforços resistentes, ficam caracterizados quando se determina a resultante Rcc de tensões de compressão no concreto e a sua posição em relação à borda mais comprimida. A Figura 59 mostra a resultante Rcc para dois diagramas de distribuição de tensões no concreto, o parábola-retângulo e o retangular. O diagrama retangular é uma simplificação do diagrama parábola-retânculo a fim de facilitar o cálculo.


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seção transversal

ε c =3.5%o

σc

σc Rcd

2%o

x

Md

distribuição das tensões

deformações

Rcd

0,8x

L.N. C.G.

d

h

εs

Rsd

Rsd

ε c1 diagrama parábola-retângulo

diagrama retângular

Figura 59: Diagramas de distribuição das tensões e deformações no concreto.

Para efeito de simplificação, será adotado o diagrama retangular de distribuição de tensões para a dedução das expressões a serem utilizadas no dimensionamento. seção transversal


deformações

ε c =3.5%o

C.G.

x

0,8x Rcd

L.N.

z=d-0,4x

C.G.

σc 0,4x

Rcd

Md

tensões

h

d d-0,4x

εs

Rsd

Rsd

ε c1 diagrama retângular

Figura 60: Diagrama retangular de distribuição das tensões e deformações no concreto.

A seção retangular mostrada na Figura 60 com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:  a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;  a barras que constituem a armadura estão agrupadas junto à borda tracionada e podem ser imaginadas concentradas no seu centro de gravidade;  Resultantes das tensões: Rcd = 0,85f cd b 0,8 x No concreto: 

Na armadura: Equações de equilíbrio: Força: Momento:

Rsd = As σ sd Rcd = Rsd ou 0,68f cd b x = As σ sd M d = Rcd (d − 0,4 x) ou M d = Rsd (d − 0,4 x)

Substituindo o valor das resultantes de tensão, obtém-se: Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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M d = 0,68f cd b x (d − 0,4 x)

ou

M d = As σ sd (d − 0,4 x)

(46)

A posição da linha neutra é obtida isolando-se o valor de x da equação (46), dada pela expressão:   Md x = 1,25 d 1 − 1 − (47)  0,425 b d 2 f cd   Com o valor de x conhecido, calcula-se a área de aço ( As ) pela expressão: Md As = σ sd (d − 0,4 x)

(48)

Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, σsd = fyd. Valores de d para dimensionamento no limite entre os domínios 2 e 3: Md Md d 23 = 2,516 d 34 = 1,768 bf cd bf cd

(49)

Exemplo 1: Dimensionar a área de aço (As) da armadura longitudinal para a viga com seção retangular e identificar o domínio no qual o dimensionamento foi realizado. elemento solicitado à flexão

seção transversal

C.G.

h

40

Md

d

As

15cm

Dados: bw = 15 cm h = 40 cm d´= 4 cm M k = 80 kN.m fck= 25 MPa Aço CA50A e CA 60

a) Determinação dos valores de projeto: M d = M k × 1,4 = 80 × 1,4 =112 kN .m = 11200 kN .cm

f cd =

f ck

=

25 = 17,86 MPa =1,79 kN / cm 2 1,4

γc f yk 500 f yd = = = 434,78 MPa = 43,48 kN / cm 2 γ s 1,15 d = h − d ´= 40 − 4 = 36cm b) Determinação da posição da linha neutra (x):     Md 11200 x = 1,25 d 1 − 1 −  = 1,25 × 36 1 − 1 −  2 2 0,425 b d f cd  0,425 × 15 × 36 × 1,79    x = 22,83cm c) Determinação da área de aço (As): Md 11200 As = = = 9,59cm 2 σ sd (d − 0,4 x) 43,48 (36 − 0,4 × 22,83) Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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d) Identificação do domínio de dimensionamento Considerando que o polo de ruptura ocorre primeiro com escoamento do aço ( εs = 10‰) tem-se como deformação no concreto: x 22,83 εc = 10 = 10 = 17,33 o oo (hipótese inválida, pois εc encontra-se fora do d−x 36 − 22,83 intervalo: 0‰ ≤ εc ≤ 3,5‰). Considerando então que o polo de ruptura ocorre primeiro com esmagamento no concreto ( εc = 3,5‰), tem-se como deformação no aço: d−x 36 − 22,83 εs = 3,5 = 3,5 = 2,01 o oo (hipótese válida, pois εs encontra-se no intervalo 0‰ ≤ 22,83 x εs ≤ 10‰, sem que ocorra escoamento na armadura). Nota: O Dimensionamento foi realizado no Domínio IV, muito próximo ao domínio III.

6.7.2 Seções Retangulares com Armadura Dupla Quando se tem, além da armadura de tração As, outra A’s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção subarmada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. seção transversal


ε c =3.5%o ε's

R'sd A's

Md C.G.

z=d-0,4x

C.G.

Rcd

Rsd

tensões

deformações

x

0,4x

σc

d' R'sd Rcd

0,8x

L.N.

h

d d-0,4x

εs

As

Rsd


Figura 61: Diagrama retangular de distribuição das tensões e deformações no concreto.



Resultantes das tensões: No concreto: Na armadura:



Equações de equilíbrio: Força: Momento:

Rcd = 0,85f cd b 0,8 x Rsd = As σ sd e R'sd = A's σ 'sd

Rsd = Rcd + R'sd M d = Rcd (d − 0,4 x) + R´sd (d − d ' )


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Substituindo o valor das resultantes de tensão na expressão anterior do momento Md, obtémse:

As σ sd = 0,68 f cd b x + A' s σ ' sd

(a)

M d = 0,68f cd b x (d − 0,4 x) + A's σ 'sd (d − d ' )

(b)

(50)

Nas expressões (50), tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas: x, As e A’s (pois, as tensões nas armaduras dependem de x). Costuma-se adotar um valor para x (naturalmente, menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. As equações (50a) e (50b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte. d'

c

R'sd Rcd

A's

0,4x

Rcd

x

R'sd

C.G.

z=d-0,4x

Md

h

d

L.N.

= Mwd

Rsd

As

d-d'

+

d-0,4x

∆Md Rsd1

Rsd2

Figura 62: Parcelas do momento resistidas pelo concreto e armadura de compressão.

Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por Mwd:

M wd = 0,68f cd b x (d − 0,4 x)

(51)

Como σsd = fyd (peça subarmada), tem-se a primeira parcela de armadura: Rsd 1 =

R M wd ∴ As1 = sd 1 f yd (d − 0,4 x)

(52)

Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente ∆M d = M d − M wd e também: ∆M d = R'sd (d − d ' ) = A'sd σ 'sd (d − d ' ) e ∆M d = Rsd 2 (d − d ' ) = As 2 σ sd (d − d ' ) que permitem determinar as áreas restantes de armadura, As2 e A’s. R'sd = Rsd 2 =

R ∆M d ∴ As 2 = sd 2 f yd (d − d ' )


(53)

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O cálculo de A’s, requer a determinação da tensão σ’sd (compressão). Com x = x, temse, no domínio 3 εc = 3,5‰ e no domínio 2 εc = 10‰ x / (d – x) (por semelhança de triângulos). Logo, ε’s = εc (x - d’) / x, que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura). Finalmente:

A' sd =

R' sd ∴ As = As1 + As 2 σ ' sd

(54)

Exemplo 2: Dimensionar a área de aço (As) da armadura longitudinal para a viga com seção retangular e identificar o domínio no qual o dimensionamento foi realizado. elemento solicitado à flexão

seção transversal

C.G.

h

40

Md

d

As

15cm

Dados: bw = 15 cm h = 40 cm d´= 4 cm M k = 110 kN.m fck= 25 MPa Aço CA50A e CA 60


f cd =

f ck

=

25 = 17,86 MPa =1,79 kN / cm 2 1,4

γc f yk 500 = = 434,78 MPa = 43,48 kN / cm 2 f yd = γ s 1,15 d = h − d ´= 40 − 4 = 36cm b) Determinação da posição da linha neutra (x):     Md 15400 x = 1,25 d 1 − 1 −  = 1,25 × 36 1 − 1 −  2 2 0,425 b d f cd  0,425 × 15 × 36 × 1,79    x = ERRO ! (isto ocorre, pois o valor dentro da raiz é negativo) Neste caso, adotar um valor para x (menor ou igual a x34), por exemplo, x = d/2=18cm. c) Determinação da primeira parcela do momento (resistente pela seção de concreto), Mwd: M wd = 0,68f cd b x (d − 0,4 x) = 0,68 × 1,79 × 15 × 18 (36 − 0,4 × 18) = 9465 kN .cm d) Determinação da segunda parcela do momento (a ser resistida pelo aço), ∆Md: ∆M d = M d − M wd = 15400 − 9465 = 5935kN .cm e) Determinação da área de aço (As1) correspondente a parcela do momento Mwd:: M wd 9465 As = = = 8,10cm 2 σ sd (d − 0,4 x) 43,48 (36 − 0,4 × 22,83) f)

Determinação da área de aço (As2) correspondente a parcela do momento ∆Md:


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∆M d 5935 = = 4,26cm 2 ( ) σ sd (d − d ' ) 43,48 36 − 4 g) Determinação da área de aço total (As): As = As1 + As 2 = 12,36cm 2 As 2 =

h) Identificação do domínio de dimensionamento Nota: Por se tratar de armadura dupla, o dimensionamento foi realizado no Domínio IV.

6.7.3 Seções “T” No dimensionamento de uma seção tipo “T” a linha neutra (x) pode atuar nos dois casos mostrados na Figura 63.

εc

bf hf

εc

bf

L.N. L.N.

h

d

As

εs

bw (a) linha neutra na mesa

As

εs

bw (b) linha neutra na alma

Figura 63: Hipóteses de posicionamento da linha neutra numa seção “T”.

6.7.3.1

Linha neutra na mesa (x ≤ hf)

O dimensionamento é feito, inicialmente, tratando a seção como retangular, com largura bf e altura d. Podem ser utilizadas as formulações apresentadas na seção 6.7.1 ou a tabela universal. 6.7.3.2 Linha neutra na alma (x ≥ hf) Neste caso podem ocorrer duas situações: zona comprimida atinge a mesa ou a zona comprimida atinge a alma. A zona comprimida atinge a mesa quando 0,8x ≤ hf. Neste caso a seção “T” é dimensionada como se fosse uma seção retangular de base bf.


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εc hf h

σc 0,8x≤hf

L.N.

0,4x

Rcd

d

d-0,4x

εs

As

Rsd

bw

Figura 64: Zona comprimida atinge a mesa.

A zona comprimida atinge a alma quando 0,8x ≥ hf. Neste caso, o dimensionamento da seção “T” é feito em duas etapas: cálculo da parcela de momento resistida pela mesa e calculo da parcela resultante de momento que será resistida pela alma.

σc 1 2

hf

hf

σc 0,4x

Rcfd

Rcwd

x

L.N.

h

d

d-hf /2

+

d-0,4x Mdw

Mdf Asf

Asw

Rsfd

bw

Rswd

bw

Figura 65: Zona comprimida atinge a alma.

O dimensionamento pode ser feito subdividindo a zona comprimida em retângulos. As resultantes de tensão sobre a mesa e a alma mostrados na Figura 65 valem: Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85f cd (bf − bw ) hf Resultante do concreto na alma:

Rcwd = 0,85f cd bw (0,8 x)

A parcela do momento resistida pela mesa é dada pela expressão:

h   M df = 0,85f cd (bf − bw ) hf  d − f  2 

(55)

A parcela do momento resistida pela alma é dada pela expressão:

M dw = M d − M df

(56)

A posição da linha neutra é calculada pela expressão (47), substituindo os termos Md por Mwd e b por bw.


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  M wd x = 1,25 d 1 − 1 −  2 0,425 bw d f cd  

Com a posição da linha neutra conhecida, calcula-se a resultante do concreto na alma, Rcwd. A área da armadura é obtida pela equação de equilíbrio de força, dada pela expressão: As =

Rsfd + Rswd

(57)

f yd

De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.

Exemplo 3: Dimensionar a área de aço (As) da armadura longitudinal para a viga com seção T e identificar o domínio no qual o dimensionamento foi realizado. seção transversal


50 10 Md

50

C.G.

47

As

15

Dados: bw = 15 cm bf = 50 cm h = 50 cm d´= 3 cm M k = 110 kN.m fck= 25 MPa Aço CA50A e CA 60


f cd =

f ck

=

25 = 17,86 MPa =1,79 kN / cm 2 1,4

γc f yk 500 f yd = = = 434,78 MPa = 43,48 kN / cm 2 γ s 1,15 d = h − d ´= 40 − 4 = 36cm b) Determinação da posição da linha neutra (x):     Md 15400 x = 1,25 d 1 − 1 −  = 1,25 × 47 1 − 1 −  2 2 0,425 b d f cd  0,425 × 50 × 47 × 1,79    x = 5,65cm Neste caso, como x é menor que hf, o dimensionamento poderá ser realizado como seção retangular de dimensão 15x50cm. e) Determinação da área de aço (As): Md 15400 As = = = 7,91cm 2 σ sd (d − 0,4 x) 43,48 (47 − 0,4 × 5,65) f) Identificação do domínio de dimensionamento Considerando que o polo de ruptura ocorre primeiro com escoamento do aço ( εs = 10‰) tem-se como deformação no concreto:


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εc = 10


x 5,65 = 10 = 1,35 o 47 − 5,65 d−x

oo

(hipótese válida, pois εc encontra-se no intervalo: 0‰ ≤

εc ≤ 3,5‰). Considerando então que o polo de ruptura ocorre primeiro com esmagamento no concreto ( εc = 3,5‰), tem-se como deformação no aço: d−x 47 − 5,65 εs = 3,5 = 3,5 = 25,62 o oo (hipótese inválida, pois εs encontra-se fora do intervalo x 5,65 0‰ ≤ εs ≤ 10‰). Nota: O Dimensionamento foi realizado no Domínio II, com ruptura por escoamento da armadura sem que haja ruptura no concreto.

Exemplo 4: Dimensionar a área de aço (As) da armadura longitudinal para a viga com seção T e identificar o domínio no qual o dimensionamento foi realizado. seção transversal


50 10 Md

50

C.G.

47

As

15

Dados: bw = 15 cm bf = 50 cm h = 50 cm d´= 3 cm M k = 230 kN.m fck= 25 MPa Aço CA50A e CA 60

c) Determinação dos valores de projeto: M d = M k × 1,4 = 230 × 1,4 = 322 kN .m = 32200 kN .cm

f cd =

f ck

=

25 = 17,86 MPa =1,79 kN / cm 2 1,4

γc f yk 500 f yd = = = 434,78 MPa = 43,48 kN / cm 2 γ s 1,15 d = h − d ´= 50 − 3 = 47cm d) Determinação da posição da linha neutra (x):     Md 32200 x = 1,25 d 1 − 1 −  = 1,25 × 47 1 − 1 −  2 2 0,425 b d f cd  0,425 × 50 × 47 × 1,79    x = 12,61cm Neste caso, como x é maior que hf, o dimensionamento poderá ser realizado como seção T de dimensão (15/50)x50cm. e) Determinação da parcela do momento resistida pela mesa, Mdf: h  10    M df = 0,85f cd (bf − bw ) hf  d − f  = 0,85 × 1,79(50 − 15)10  47 −  = 22366kN .cm 2 2   f) Determinação da parcela do momento resistida pela alma, Mdw: M dw = M d − M df = 32200 − 22366 = 9834 kN .cm g) Determinação da nova posição da linha neutra (x) considerando a parcela do momento resistida pela Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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alma para a seção retangular 15x50cm:     M dw 9834 x = 1,25 d 1 − 1 − 1 , 25 47 1 1 = × − −    0,425 b d 2 f cd  0,425 × 15 × 47 2 × 1,79    x = 12,86cm g) Determinação da área de aço (As1) para a parcela do momento resistido pela mesa: M df 22366 = 12,25cm 2 As1 = = hf  10    σ sd  d −  43,48  47 −  2  2   h) Determinação da área de aço (As2) para a parcela do momento resistido pela alma: M dw 9834 As = = = 5,40cm 2 σ sd (d − 0,4 x) 43,48 (47 − 0,4 × 12,86) i) Determinação da área de aço total (As): As = As1 + As 2 = 17,65cm 2 i) Identificação do domínio de dimensionamento Considerando que o polo de ruptura ocorre primeiro com escoamento do aço ( εs = 10‰) tem-se como deformação no concreto: x 12,86 εc = 10 = 10 = 3,76 o oo (hipótese inválida, pois εc encontra-se fora do intervalo: d−x 47 − 12,86 0‰ ≤ εc ≤ 3,5‰). Considerando então que o polo de ruptura ocorre primeiro com esmagamento no concreto ( εc = 3,5‰), tem-se como deformação no aço: d−x 47 − 12,86 εs = 3,5 = 3,5 = 9,29 o oo (hipótese válida, pois εs encontra-se no intervalo 0‰ ≤ x 12,86 εs ≤ 10‰). Nota: O Dimensionamento foi realizado no Domínio III, com ruptura por esmagamento no concreto com escoamento da armadura.

6.7.4 Seções Simétricas com Zona Comprimida de Forma Qualquer No caso de seções de zona comprimida que apresentam forma qualquer, tais como as ilustradas na Figura 66, o emprego do diagrama retangular de tensão no concreto é mais conveniente. Dependendo da forma da seção, o dimensionamento ou a verificação serão feitos por tentativas ou analiticamente.


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0,80 fcd

0,85 fcd

0,4x

0,4x

Rcd

x

Rcd

x L.N.

h

d

L.N. Md

h

d

d-0,4x

As

Md

d-0,4x

As

Rsd

Rsd

Figura 66: Seções simétricas com zona comprimida de forma qualquer.

6.7.5 Tabela Universal para Seções Retangulares O dimensionamento de seções de concreto submetidas à flexão simples também pode ser feito empregando-se a tabela universal. 6.7.5.1

Construção da tabela universal A tabela universal foi construída fazendo-se variar as deformações no concreto ε c , e

no aço ε s de modo a constituir os domínios de dimensionamento 2, 3 e 4. Para cada par de valores das deformações ε c e ε s , são determinados os coeficientes ξ , α , ξ ' , ζ , µ d . As deformações tanto no aço como no concreto variam de acordo com o domínio apresentado na Tabela 25: Tabela 25: Variação das deformações × domínios.

εc

Domínio 2

0 <

εc

≤ 3.5o/oo

3

ε c = 3.5o/oo

4

ε c = 3.5o/oo

εs

ε s = 10.0o/oo ε yd ≤ ε s ≤ 10.0o/oo 0≤

ε s ≤ ε yd

Procedimento para uso da tabela universal no dimensionamento a flexão simples e composta com grande excentricidade São conhecidos: M d , f cd , f yd , b, d . Com estes valores determina-se o parâmetro µ d de entrada na tabela.

µd =

Md b d 2 f cd

(58)

Com µ d obtém-se ζ na tabela universal. A área de aço As é dada pela expressão

As =

Md ζ dσs


(59)

26/2/2013

Concreto Armado


Nos domínios 2 e 3, como ε s ≥ ε yd , a tensão σ s é o próprio valor da tensão de escoamento do material σ s = f yd . No domínio 4, como ε s < ε yd , a tensão σ s deverá ser calculada a partir da relação tensão × deformação dada de acordo com tipo e classe do aço usado.


26/2/2013

Concreto Armado


Tabela 26: Tabela Universal para seções retangulares: Diagrama Parábola-Retângulo. Limite

µsd

ξ=x/d ζ=z/d

ξ'

α

Aço

ε cd

ε sd

Limite

(%o)

(%o)

Aço

µsd

ξ=x/d ζ=z/d

ξ'

α

ε cd

ε sd

(%o)

(%o)

0,002

0,020

0,993

0,336

0,099

0,20

10,00

0,222

0,385

0,840

0,416

0,810

3,50

5,59

0,007

0,040

0,986

0,340

0,194

0,42

10,00

0,225

0,390

0,838

0,416

0,810

3,50

5,47

0,014

0,060

0,979

0,343

0,285

0,64

10,00

0,227

0,395

0,836

0,416

0,810

3,50

5,36

0,019

0,070

0,976

0,345

0,329

0,75

10,00

0,229

0,400

0,834

0,416

0,810

3,50

5,25

0,025

0,080

0,972

0,347

0,372

0,87

10,00

0,232

0,405

0,832

0,416

0,810

3,50

5,14

0,031

0,090

0,969

0,350

0,413

0,99

10,00

0,234

0,410

0,829

0,416

0,810

3,50

5,04

0,037

0,100

0,965

0,352

0,453

1,11

10,00

D

0,236

0,415

0,827

0,416

0,810

3,50

4,93

0,041

0,105

0,963

0,354

0,472

1,17

10,00

O

0,239

0,420

0,825

0,416

0,810

3,50

4,83

0,044

0,110

0,961

0,355

0,491

1,24

10,00

M

0,241

0,425

0,823

0,416

0,810

3,50

4,74

0,048

0,115

0,959

0,356

0,509

1,30

10,00

Í

0,243

0,430

0,821

0,416

0,810

3,50

4,64

0,051

0,120

0,957

0,358

0,527

1,36

10,00

N

0,245

0,435

0,819

0,416

0,810

3,50

4,55

0,055

0,125

0,955

0,359

0,544

1,43

10,00

I

0,247

0,4384

0,818

0,416

0,810

3,50

4,48

0,059

0,130

0,953

0,361

0,561

1,49

10,00

O

0,247

0,440

0,817

0,416

0,810

3,50

4,45

0,063

0,135

0,951

0,363

0,577

1,56

10,00

0,250

0,445

0,815

0,416

0,810

3,50

4,37

0,067

0,140

0,949

0,364

0,593

1,63

10,00

0,252

0,450

0,813

0,416

0,810

3,50

4,28

0,071

0,145

0,947

0,366

0,608

1,70

10,00

0,254

0,455

0,811

0,416

0,810

3,50

4,19

0,075

0,150

0,945

0,368

0,623

1,76

10,00

0,256

0,460

0,809

0,416

0,810

3,50

4,11

0,079

0,155

0,943

0,370

0,637

1,83

10,00

0,257

0,4623

0,808

0,416

0,810

3,50

4,07

0,083

0,160

0,940

0,372

0,650

1,90

10,00

0,258

0,465

0,807

0,416

0,810

3,50

4,03

0,087

0,165

0,938

0,374

0,663

1,98

10,00

0,260

0,470

0,804

0,416

0,810

3,50

3,95

0,089

0,1667

0,937

0,375

0,667

2,00

10,00

0,262

0,475

0,802

0,416

0,810

3,50

3,87

0,091

0,170

0,936

0,377

0,675

2,05

10,00

0,264

0,480

0,800

0,416

0,810

3,50

3,79

0,095

0,175

0,934

0,379

0,686

2,12

10,00

0,266

0,485

0,798

0,416

0,810

3,50

3,72

0,099

0,180

0,931

0,381

0,696

2,20

10,00

0,268

0,4891

0,797

0,416

0,810

3,50

3,66

0,103

0,185

0,929

0,384

0,706

2,27

10,00

0,268

0,490

0,796

0,416

0,810

3,50

3,64

0,107

0,190

0,927

0,386

0,716

2,35

10,00

D

0,270

0,495

0,794

0,416

0,810

3,50

3,57

D

0,111

0,195

0,924

0,389

0,725

2,42

10,00

O

0,272

0,500

0,792

0,416

0,810

3,50

3,50

O M

CA 60

2a

0,115

0,200

0,922

0,391

0,733

2,50

10,00

M

0,274

0,505

0,790

0,416

0,810

3,50

3,43

0,119

0,205

0,919

0,393

0,741

2,58

10,00

Í

0,276

0,510

0,788

0,416

0,810

3,50

3,36

Í

0,123

0,210

0,917

0,396

0,749

2,66

10,00

N

0,278

0,515

0,786

0,416

0,810

3,50

3,30

N

0,126

0,215

0,914

0,398

0,757

2,74

10,00

I

0,280

0,520

0,784

0,416

0,810

3,50

3,23

I

0,130

0,220

0,912

0,400

0,764

2,82

10,00

O

0,282

0,525

0,782

0,416

0,810

3,50

3,17

O

0,134

0,225

0,909

0,402

0,770

2,90

10,00

0,284

0,530

0,780

0,416

0,810

3,50

3,10

0,138

0,230

0,907

0,404

0,777

2,99

10,00

0,286

0,535

0,777

0,416

0,810

3,50

3,04

0,141

0,235

0,904

0,407

0,783

3,07

10,00

0,288

0,540

0,775

0,416

0,810

3,50

2,98

0,145

0,240

0,902

0,409

0,789

3,16

10,00

0,290

0,545

0,773

0,416

0,810

3,50

2,92

0,149

0,245

0,899

0,411

0,795

3,25

10,00

0,292

0,550

0,771

0,416

0,810

3,50

2,86

0,152

0,250

0,897

0,413

0,800

3,33

10,00

0,294

0,555

0,769

0,416

0,810

3,50

2,81

0,156

0,255

0,894

0,414

0,805

3,42

10,00

0,296

0,560

0,767

0,416

0,810

3,50

2,75

0,159

0,2593

0,892

0,416

0,810

3,50

10,00

0,297

0,565

0,765

0,416

0,810

3,50

2,69

0,160

0,260

0,892

0,416

0,810

3,50

9,96

0,299

0,570

0,763

0,416

0,810

3,50

2,64

0,162

0,265

0,890

0,416

0,810

3,50

9,71

0,301

0,575

0,761

0,416

0,810

3,50

2,59

0,165

0,270

0,888

0,416

0,810

3,50

9,46

0,303

0,580

0,759

0,416

0,810

3,50

2,53

0,168

0,275

0,886

0,416

0,810

3,50

9,23

0,305

0,585

0,757

0,416

0,810

3,50

2,48

0,170

0,280

0,884

0,416

0,810

3,50

9,00

0,306

0,590

0,755

0,416

0,810

3,50

2,43

0,173

0,285

0,881

0,416

0,810

3,50

8,78

0,308

0,595

0,753

0,416

0,810

3,50

2,38

0,175

0,290

0,879

0,416

0,810

3,50

8,57

0,310

0,600

0,750

0,416

0,810

3,50

2,33

0,178

0,295

0,877

0,416

0,810

3,50

8,36

0,312

0,605

0,748

0,416

0,810

3,50

2,29

0,181

0,300

0,875

0,416

0,810

3,50

8,17

D

0,313

0,610

0,746

0,416

0,810

3,50

2,24

0,183

0,305

0,873

0,416

0,810

3,50

7,98

O

0,315

0,615

0,744

0,416

0,810

3,50

2,19

0,186

0,310

0,871

0,416

0,810

3,50

7,79

M

0,317

0,620

0,742

0,416

0,810

3,50

2,15

0,188

0,315

0,869

0,416

0,810

3,50

7,61

Í

0,318

0,625

0,740

0,416

0,810

3,50

2,10

0,191

0,320

0,867

0,416

0,810

3,50

7,44

N

0,319

0,6283

0,739

0,416

0,810

3,50

2,07

0,193

0,325

0,865

0,416

0,810

3,50

7,27

I

0,320

0,630

0,738

0,416

0,810

3,50

2,06

0,196

0,330

0,863

0,416

0,810

3,50

7,11

O

0,322

0,635

0,736

0,416

0,810

3,50

2,01

0,198

0,335

0,861

0,416

0,810

3,50

6,95

0,323

0,640

0,734

0,416

0,810

3,50

1,97

0,201

0,340

0,859

0,416

0,810

3,50

6,79

0,325

0,645

0,732

0,416

0,810

3,50

1,93

0,203

0,345

0,856

0,416

0,810

3,50

6,64

0,326

0,650

0,730

0,416

0,810

3,50

1,88

0,206

0,350

0,854

0,416

0,810

3,50

6,50

0,328

0,655

0,728

0,416

0,810

3,50

1,84

0,208

0,355

0,852

0,416

0,810

3,50

6,36

0,329

0,660

0,725

0,416

0,810

3,50

1,80

0,211

0,360

0,850

0,416

0,810

3,50

6,22

0,331

0,665

0,723

0,416

0,810

3,50

1,76

0,213

0,365

0,848

0,416

0,810

3,50

6,09

0,333

0,670

0,721

0,416

0,810

3,50

1,72

0,215

0,370

0,846

0,416

0,810

3,50

5,96

0,334

0,675

0,719

0,416

0,810

3,50

1,69

0,218

0,375

0,844

0,416

0,810

3,50

5,83

0,335

0,6788

0,718

0,416

0,810

3,50

1,66

0,220

0,380

0,842

0,416

0,810

3,50

5,71

0,336

0,680

0,717

0,416

0,810

3,50

1,65

2b

3

CA 50A


3

26/2/2013

Concreto Armado


Tabela 13 (cont.): Tabela Universal para seções retangulares: Diagrama Parábola-Retângulo. Limite

µsd

ξ=x/d ζ=z/d

ξ'

α

Aço

CA 25

ε cd

ε sd

(%o)

(%o)

0,337

0,685

0,715

0,416

0,810

3,50

1,61

0,339

0,690

0,713

0,416

0,810

3,50

1,57

0,340

0,695

0,711

0,416

0,810

3,50

1,54

0,341

0,700

0,709

0,416

0,810

3,50

1,50

0,343

0,705

0,707

0,416

0,810

3,50

1,46

0,344

0,710

0,705

0,416

0,810

3,50

1,43

0,346

0,715

0,703

0,416

0,810

3,50

1,40

D

0,347

0,720

0,701

0,416

0,810

3,50

1,36

O

0,348

0,725

0,698

0,416

0,810

3,50

1,33

M

0,349

0,7254

0,698

0,416

0,810

3,50

1,32

Í

0,350

0,730

0,696

0,416

0,810

3,50

1,29

N

0,351

0,735

0,694

0,416

0,810

3,50

1,26

I

0,352

0,740

0,692

0,416

0,810

3,50

1,23

O

0,354

0,745

0,690

0,416

0,810

3,50

1,20

0,355

0,750

0,688

0,416

0,810

3,50

1,17

0,356

0,755

0,686

0,416

0,810

3,50

1,14

0,358

0,760

0,684

0,416

0,810

3,50

1,11

0,359

0,765

0,682

0,416

0,810

3,50

1,08

0,360

0,770

0,680

0,416

0,810

3,50

1,05

0,361

0,7717

0,679

0,416

0,810

3,50

1,04

0,361

0,775

0,678

0,416

0,810

3,50

1,02

0,363

0,780

0,676

0,416

0,810

3,50

0,99

0,364

0,785

0,673

0,416

0,810

3,50

0,96

0,365

0,790

0,671

0,416

0,810

3,50

0,93

0,366

0,795

0,669

0,416

0,810

3,50

0,90

0,367

0,800

0,667

0,416

0,810

3,50

0,88

0,368

0,805

0,665

0,416

0,810

3,50

0,85

0,370

0,810

0,663

0,416

0,810

3,50

0,82

0,371

0,815

0,661

0,416

0,810

3,50

0,79

0,372

0,820

0,659

0,416

0,810

3,50

0,77

0,373

0,825

0,657

0,416

0,810

3,50

0,74

0,374

0,830

0,655

0,416

0,810

3,50

0,72

0,375

0,835

0,653

0,416

0,810

3,50

0,69

0,376

0,840

0,651

0,416

0,810

3,50

0,67

0,377

0,845

0,649

0,416

0,810

3,50

0,64

0,378

0,850

0,646

0,416

0,810

3,50

0,62

D

0,379

0,855

0,644

0,416

0,810

3,50

0,59

O

0,380

0,860

0,642

0,416

0,810

3,50

0,57

M

0,381

0,865

0,640

0,416

0,810

3,50

0,55

Í

0,382

0,870

0,638

0,416

0,810

3,50

0,52

N

0,383

0,875

0,636

0,416

0,810

3,50

0,50

I

0,384

0,880

0,634

0,416

0,810

3,50

0,48

O

0,385

0,885

0,632

0,416

0,810

3,50

0,45

0,386

0,890

0,630

0,416

0,810

3,50

0,43

0,387

0,895

0,628

0,416

0,810

3,50

0,41

0,387

0,900

0,626

0,416

0,810

3,50

0,39

0,388

0,905

0,624

0,416

0,810

3,50

0,37

0,389

0,910

0,621

0,416

0,810

3,50

0,35

0,390

0,915

0,619

0,416

0,810

3,50

0,33

0,391

0,920

0,617

0,416

0,810

3,50

0,30

0,392

0,925

0,615

0,416

0,810

3,50

0,28

0,392

0,930

0,613

0,416

0,810

3,50

0,26

0,393

0,935

0,611

0,416

0,810

3,50

0,24

0,394

0,940

0,609

0,416

0,810

3,50

0,22

0,395

0,945

0,607

0,416

0,810

3,50

0,20

0,395

0,950

0,605

0,416

0,810

3,50

0,18

0,396

0,955

0,603

0,416

0,810

3,50

0,16

0,397

0,960

0,601

0,416

0,810

3,50

0,15

0,397

0,965

0,599

0,416

0,810

3,50

0,13

0,398

0,970

0,597

0,416

0,810

3,50

0,11

0,399

0,975

0,594

0,416

0,810

3,50

0,09

0,399

0,980

0,592

0,416

0,810

3,50

0,07

0,400

0,985

0,590

0,416

0,810

3,50

0,05

0,401

0,990

0,588

0,416

0,810

3,50

0,04

0,401

0,995

0,586

0,416

0,810

3,50

0,02

0,402

1,000

0,584

0,416

0,810

3,50

0,00


3

4

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6.8 Flexão Composta 6.8.1 Flexão Composta com Grande Excentricidade A flexão composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força normal seja tração seja compressão com a linha neutra posicionada na seção, ou seja, parte da seção encontra-se comprimida e parte tracionada. Nd Nd

εc

R'sd A's

C.G.

z=d-0,4x

Rcd

es

x

ε's

d'

σc

Nd R'sd

0,4x Rcd

es

L.N.

h

d

d-d' d-0,4x

εs

As

Rsd

Rsd

Figura 67: flexão composta por grande excentricidade.

O diagrama tensão deformação no concreto, adotado nos procedimentos de cálculo desenvolvidos a seguir é o diagrama retangular. A Figura 67 mostra a distribuição de tensões numa seção retangular submetida a flexão composta com grande excentricidade. As resultantes das tensões e as equações de equilíbrio formuladas a partir das informações dadas nesta figura são: 





Rcd = 0,85f cd b 0,8 x Rsd = As σ sd e R'sd = A's σ 'sd

Rsd + N d = Rcd + R'sd N d es = Rcd (d − 0,4 x) + R´sd (d − d ' )

Substituindo o valor das resultantes de tensão nas expressões anteriores do momento obtém-se:

As σ sd + N d = 0,68f cd b x + A's σ 'sd

(a)

N d es = 0,68 f cd b x (d − 0,4 x) + A's σ 'sd (d − d ' )

(b)

(60)

As armaduras As e A’s podem ser determinadas de acordo com o procedimento estabelecido no item 6.7.


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6.8.2 Flexão Composta com Pequena Excentricidade Flexão composta com pequena excentricidade é a flexão acompanhada de força normal de compressão com a linha neutra posicionada fora da seção, ou seja, toda seção encontra-se comprimida. O dimensionamento é feito no domínio de deformação correspondente ao estado limite último, domínio 5.

εc

σc R'sd

0,4h e's

Nd

x

εs ε c1

As Rsd L.N.

d-d'

Rcd

d-0,4h

d

es

ε's

A's Nd

h

d'

0,8h

C.G.

es z=d-0,4x d-d'

R'sd Rcd Nd

Rsd

Figura 68: flexão composta por pequena excentricidade.

O diagrama tensão deformação no concreto, adotado nos procedimentos de cálculo desenvolvidos a seguir é o diagrama retangular. A Figura 67 mostra a distribuição de tensões numa seção retangular submetida a flexão composta com pequena excentricidade. As resultantes das tensões e as equações de equilíbrio formuladas a partir das informações dadas nesta figura são: 





Rcd = 0,85f cd b 0,8 h Rsd = As σ sd e R'sd = A's σ 'sd

Rsd + N d = Rcd + R'sd N d es = Rcd (d − 0,4h) + R 'sd (d − d ' )

Substituindo o valor das resultantes de tensão nas expressões anteriores do momento obtém-se:

As σ sd + N d = 0,68f cd b h + A's σ 'sd

(a)

N d es = 0,68 f cd b h (d − 0,4h) + A's σ 'sd (d − d ' )

(b)

(61)

As armaduras As e A’s podem ser determinadas de acordo com o procedimento estabelecido no item 0, substituindo x por h.


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6.8.3 Diagramas de Interação Para Flexão Composta Reta 6.8.3.1

Construção dos ábacos de interação A construção de ábacos de dimensionamento para flexão composta reta ou oblíqua é uma tarefa simples, a partir das formulações apresentadas, que se baseia em cálculos no estado limite último. Uma vez estabelecida à geometria da seção de concreto armado e as resistências de cálculo do aço e do concreto ( f yd e f cd ), são geradas tabelas de esforços resistentes para valores de As que variam incrementalmente dentro dos intervalos de interesse. As tabelas são armazenadas em arquivos, em seguida, é feito o traçado dos ábacos. No caso de flexão composta reta obtém-se uma série de curvas de interação entre esforços normais resistentes e momentos fletores resistentes na direção x, cada curva correspondendo a uma taxa de armadura pré-estabelecida. Os diagramas são construídos para seções com forma, disposição de armadura, tipo de aço e valores de d ' / h pré-fixados conforme ilustrado na Figura 69. Nd

Nd

e

Nd

A

A

h

A

A

A A

A

Figura 69: Exemplos de seções pré-estabelecidas para a construção dos diagramas.

Onde o momento provocado pela força Nd vale M d = N d e 6.8.3.2 Parâmetros de entrada nos ábacos A utilização dos ábacos de interação de esforços é feita a partir da definição dos seguintes parâmetros adimensionais:  Para momento fletor de cálculo M d em torno do centro de gravidade (eixo x) dado pela expressão: M µd = 2 d (62 b h f cd 



Para o esforço normal de cálculo N d dado pela expressão: Nd νd = b h f cd

(63)

Para a área de armadura As dado pela expressão:

ω=

As f yd Ac f cd


(64)

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6.8.3.3 Utilização dos ábacos Obtêm-se inicialmente os parâmetros µ d e ν d através das expressões (58) e (63). Momentos fletores positivos têm o sentido indicado no ábaco e esforços normais são negativos quando forem de compressão. Uma vez conhecidos estes parâmetros, retira-se do ábaco em análise o valor da taxa mecânica de armadura ω . De posse desse valor a obtenção da área de armadura necessária As é feita utilizando-se a expressão (64) na forma:

As =

6.9

ω Ac f cd f yd

(65)

Flexão Oblíqua

6.9.1 Caso Geral Uma seção é submetida à flexão obliqua quando um carregamento for aplicado fora de seus eixos principais (x,y) conforme ilustrado na Figura 70.

ex Nd

z ey

dy y

dz C.G.

εc

z

θ

εs'

Nd

σc

i

Nd

.

εc

εs

res p.)

x

L.N

(N

(N

σc

Rc d

res p.)

i

1

Do 2,3 míni ,4 os e4 a

Rs d

Rc d Do mí nio

5

Figura 70: flexão oblíqua.


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6.9.2 Cálculo pelo Método Exato 6.9.2.1

Esforços resistentes Os esforços resistentes de cálculo N d , M xd e M yd são as resultantes das tensões

normais calculadas em relação ao centro geométrico da seção transversal, e dados por: n

N d = ∫ ∫ σ cd d x d y + ∑ Asi σ si i =1

n

M xd = ∫ ∫ σ cd x d x d y + ∑ Asi σ si x = N d ex

(66)

i =1 n

M yd = ∫ ∫ σ cd y d x d y + ∑ Asi σ si y = N d e y i =1

Serão positivas as tensões e as forças de compressão, assim como os momentos que comprimem o primeiro quadrante dos eixos x e y da seção transversal. 6.9.2.2 Condições de compatibilidade As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana da seção transversal. Dada a posição da L.N. e conhecida à deformação em uma fibra da seção, podem ser determinadas as deformações de todas as outras fibras e, portanto, as respectivas tensões σ i (concreto e nas barras da armadura). No domínio 2, ε s = 10‰. Nos domínios 3, 4 e 4a, ε c = 3,5‰. No domínio 5, ε ci = 2‰. Como solução, para uma dada seção transversal, adota-se um valor de N d e, portanto tem-se:

νd =

Nd b h f cd

Adota-se uma inclinação α para a linha neutra e, para valores crescentes de x, calculase N d . Quando se obtém um valor pré-estabelecido para N d , para esse valor de x são calculados M xd e M yd . Portanto tem-se:

µ xd =

M xd d h 2 f cd

e

µ yd =

M yd b h 2 f cd

(67)

Sendo Mxd é o momento que atua no plano que contém o eixo x e Myd é o momento que atua no plano que contém o eixo y. Adotam-se, a seguir, novas inclinações α para a linha neutra e repete-se, para cada uma delas, o processo descrito anteriormente. Obtém-se desse modo, por pontos, o diagrama de interação (µxd, µyd, νd=cte.).


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y

y

ν d=

α= dado

µ yd

0

µ xd

ν d=

µ xd=0

valor pré-fixado

valor pré-fixado

α= variando

µ yd

µx

µx

µ xd µ yd=0

0

Figura 71: flexão oblíqua – dimensionamento pelo método exato.

Para νd = valor dado, para cada taxa total de armadura, ω, tem-se uma curva como a da figura acima, à direita. Variando a taxa de armadura, obtêm-se novas curvas de interação.

6.9.3 Diagramas de Interação Para Flexão Oblíqua Adotando-se a forma da seção transversal e o arranjo das armaduras, podem ser determinados os termos de valores Nd, Mxd e Myd que levam a seção transversal ao estado limite último. Para cada taxa total de armadura os ternos Nd, Mxd e Myd pertencem a uma superfície de interação. Nu (compressão)

(ν u )

diagrama de interação: Nu x Mxu (Myu=0, flexão normal composta)

diagrama de interação: Nu x Myu (Mxu=0, flexão normal composta) superfície de interação (Nu, Mxu=0, Myu)

superfície de interação (Nu, Mxu, Myu=0) diagrama de interação (Nu=cte=0, Mxu, Myu)

Myu

(µ yu )

diagrama de interação (Nu=0, Mxu, Myu)

superfície de interação (Nu, Mxu, Myu)

Mxu

(µ xu )

Figura 72: flexão oblíqua – dimensionamento pelo método exato.

A principal propriedade dessas superfícies de interação (Nu, Mxu, Myu) é a sua convexidade, que permite o estabelecimento de processos aproximados de cálculo a favor da segurança. Esta apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação definidos para diferentes valores de νu.


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6.9.4 Métodos Simplificados De Cálculo 6.9.4.1

Linearização dos Diagramas de Interação Nu

Myu

0,Myu xu ,0

Nd= valor dado

B

M

0,Myu

diagrama real diagrama linearizado

B

A

Myd Nd

A

Myu

C

C Mxd

0

Mxu

Mxu,0

com: Mxd= Nd . ex Myd= Nd . ey

Mxu

Figura 73: flexão oblíqua – linearização do diagrama de interação.

Este critério conduz a soluções a favor da segurança, em virtude da convexidade da superfície de interação. Emprega-se um diagrama linearizado de interação, obtendo-se a expressão:

µ xd =

M xd d h 2 f cd

e

µ yd =

M yd

(68)

b h 2 f cd

Para emprego do método, dado o ponto A (νd, µxd, µyd), escolhe-se uma reta que passe por esse ponto cortando os eixos x e y em B (νd, µxd=0) e C (νd, µyd=0). Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos pontos B e C e verifica-se a seguir para a outra flexão normal. Outras formas: eyu

eyu

0,eyu

eyu 0,µyu

0,eyu/ hy

exu 0

exu,0

exu 0

exu,0/hx

exu 0

µxu,0

Figura 74: linearização do diagrama de interação.


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7

CISALHAMENTO

Serão analisadas seções sujeitas à força cortante (V) e a momento torçor (T) que geram tensões de cisalhamento (t).

7.1 Panorama de tensões principais numa viga de comportamento elástico linear. Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradas de valor P, simetricamente dispostas no vão à distância a dos apoios, conforme mostra a Figura 75a. As trajetórias de tensões principais estão esquematizadas na Figura 75b. P

P

σ1

σ1 σ 2

σ2

>45° 45°

a

a

a

P Mf

Mf=P.a σ1 <45°

V=P

σ2

trajetória de σ1 trajetória de σ 2

Q (a) diagrama de momento fletor e esforço cortante

(b) trajetória das tensões

Figura 75: diagrama de momento fletor e esforço cortante em uma viga simplesmente apoiada.

O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga concentrada está sujeito a momento fletor e a força cortante. No trecho compreendido entre as cargas concentradas, sujeito à flexão simples, a direção das tensões principais de tração é paralela ao eixo da viga.


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Capítulo 5 – Cisalhamento- 125

7.2 Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado. Como se sabe, o concreto é um material de boa resistência à compressão (fcc), porém, de baixa resistência à tração (fct). Dessa forma, se a viga da primeira figura fosse de concreto armado ela tenderia a apresentar fissuras perpendiculares à tensão principal de tração (σ1), ou seja, fissuras paralelas à tensão principal de compressão (σ2). Pode-se notar que na flexão simples (trecho compreendido entre as cargas concentradas) as fissuras tendem a ser perpendiculares à LN; e na flexão combinada com cisalhamento (trecho compreendido entre a carga concentrada e o apoio), as fissuras tendem a se inclinar devido à força cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma fissuração diagonal. A idéia básica do concreto armado está na associação de dois materiais, concreto e armadura, de modo que esta última supra à deficiência à tração do primeiro. Para isso, a armadura deve ser posicionada de modo a “costurar” as fissuras de tração e, quando possível, paralelamente às tensões de tração. As trajetórias de tensões de tração (Figura 75b) sugerem os seguintes arranjos práticos de armadura: P

estribo vertical

P

Seção transversal

ferro dobrado (cavalete) estribo

ferro reto

(a) Armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo)

P

estribo vertical

P

Seção transversal

ferro reto ferro reto

(b) Armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo)

estribo

Figura 76: estribos posicionados a 45º e a 90º.

O estribo nunca é dispensado nas vigas devido, principalmente, a razões de ordem construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser melhor porque a armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, as trajetórias de tensões principais de tração; os ensaios, Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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contudo, têm mostrado o bom comportamento do segundo arranjo onde os estribos, distribuídos com pequeno espaçamento entre si, têm a função de resistir ao cisalhamento e a armadura longitudinal, à flexão e constitui esquema muito prático e de uso bastante comum.

7.3 Método de verificação 7.3.1 •Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça clássica ou treliça de Mörsch) O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (Figura 77a). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45º (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática (Figura 77b), dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

(a) modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente

(b) modelo simplificado de treliça Figura 77: Modelo simplificado da treliça de Morsch.

Do equilíbrio do ponto J (Figura 77b) tem-se: Rswd = Vd

e

Rcwd = Vd

2

Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto):


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Figura 78: tensão média na biela comprimida (modelo simplificado de treliça).

Conforme a figura acima (Figura 78) pode-se escrever que a tensão média na biela comprimida é dada por meio de:

σ cwd =

Rcwd Vd 2 2Vd 2V = = = 2τ 0 , onde, τ 0 = d z bw h1 bw z bw z bw 2

(69)

Como z ≅ d/1,15, tem-se, também que:

σ cwd =

V 2Vd 2Vd V ≅ = 2,3 d = 2,3τ wd , onde, τ wd = d d bw d bw z bw d bw 1,15

(70)

Tensão média no estribo:

Figura 79: tensão média no estribo em uma determinada faixa de concreto.

Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a Figura 79, tem-se: σ sw =

ou

Vd Vd Rswd τ = = = 0 Asw z Asw z bw Asw bw z ρ w s s bw bw s


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σ sw =


Rswd Vd V Vd Vd τ ≅ = 1,15 d = 1,15 = 1,15 = 1,15 wd z d Asw d Asw d Asw bw Asw ρw Asw bw d s 1,15 s s s bw s bw

onde: z/s = número de estribos no comprimento z de viga e A ρ w = s = taxa geométrica de armadura transversal bw s

7.3.2 Dimensionamento (NBR 6118/1980) Verificação do Concreto Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida quando:

τ wd ≤ τ wu , sendo τ wu = 0,3 f cd Com, τ wd =

(não maior do que 4,5 MPa)

Vd bw d

( Vd = γ f Vk )

De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples:

τ c = 0,15 f ck

(em MPa)

Cálculo dos Estribos Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor f yd , eles podem ser quantificados através da expressão:

ρw =

1,15τ wd − τ c f yd

(71)

7.3.3 Armadura transversal mínima (estribo mínimo) Exige-se em todos os elementos lineares submetidos a esforço cortante a taxa mínima de armadura dos estribos dada por: Asw f ≥ 0,2 ctm ρ w,min = (72) bw s sen (α ) f yk onde: Asw é a área da seção transversal dos estribos; s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural; α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Para estribos posicionados a 90º, α=1; bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, respeitada a restrição indicada em (17.4.1.1.2 – NBR 6118 (ABNT, 2007)); Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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fyk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal; fct,m é a resistência à tração do concreto determinada por: f ct,m = 0,3 (f ck ) 2 / 3 (em MPa). O ângulo de inclinação α das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. Fazem exceção à subseção anterior:  os elementos estruturais lineares com bw > 5 d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser tratado como laje (item 19.4 da NBR 6118 (ABNT, 2007));  as nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, também podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1 da NBR 6118 (ABNT, 2007);  os pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio I, às condições seguintes: o em nenhum ponto deve ser ultrapassada a tensão fctk; o VSd ≤ Vc, sendo Vc definido em 17.4.2.2 da NBR 6118 (ABNT, 2007).

Cortante resistido pela armadura mínima A esta taxa de armadura ( ρ w,min ) do estribo mínimo, corresponde uma força cortante Vd,min, determinada por:

Vd , min =

bw d ( f yd ρ w, min + τ c ) 1,61

(73)

7.3.4 Cobertura do diagrama de força cortante Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A Figura 80 ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar para cada vão, três trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρw,min e Vd,min), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas forças cortantes máximas.


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Figura 80: cobertura do diagrama de esforço cortante.

Seções próximas aos apoios Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. A NBR 6118 (ABNT, 2007)propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a:  no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (Figura 81a);  a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a≤2h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-se por a 2h (Figura 81b).

(a) redução da força cortante próxima ao apoio a uma distância d/2

(b) redução da a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a< 2h

Figura 81: redução da força cortante próximo ao apoio.


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Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem redução.

7.4 Verificação do estado limite último (NBR 6118/2007) 7.4.1 Cálculo da resistência A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:

Vd ≤ VRd 2 Vd ≤ VRd 3 = Vc + Vsw onde: Vd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com o processo indicado em 17.4.2.2 ou 17.4.2.3 da NBR 6118 (ABNT, 2007); VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e Vsw a parcela resistida pela armadura transversal, de acordo com o processo indicado em 17.4.2.2 ou 17.4.2.3 da NBR 6118 (ABNT, 2007). Na região dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas respectivas faces, levando em conta as reduções prescritas em 7.3.4.

7.4.2 Modelo de cálculo I O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de Vd.

Verificação da compressão diagonal do concreto: VRd 2 = 0,27 α v 2 f cd bw d onde: α v 2 = 1 − f ck 250

(com fck em MPa)

Cálculo da armadura transversal: VRd 3 = Vc + Vsw onde: Vsw = ( Asw s ) 0,9 d f yd (senα + cos α ) Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção; Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; Vc = Vc0 (1+ Mo / Md,máx ) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Vc0 = 0,6 fctd bw d fctd = fctk,inf/γc onde: bw é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de tração; fyd é a tensão na armadura transversal passiva, limitada a 0,7fyd no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa; α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°; M0 é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com Vd, sendo essa tensão calculada com valores de γf e γp iguais a 1,0 e 0,9 respectivamente; os momentos correspondentes a essas forças normais não devem ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em Md; devem ser considerados apenas os momentos isostáticos de protensão; Md,max é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semi-tramo considerado (para esse cálculo não se consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos);

Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado: Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:   Vd ,max (1 + cot α ) − cot α  al = d    2(Vd ,max − Vc )

onde: al ≥ 0,5 d, no caso geral; al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°. Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores. A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida simplesmente aumentando a força de tração, em cada seção, pela expressão: M 1 Rsd ,cor = d + Vsd (cot θ − cot α ) z 2


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7.4.3 Modelo de cálculo II O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de Vd.

Verificação da compressão diagonal do concreto: VRd 2 = 0,54 α v 2 f cd bw d sen(2θ ) (cot α + cot θ ) Com α v 2 = 1 − f ck 250 (com fck em MPa) Cálculo da armadura transversal: VRd 3 = Vc + Vsw onde: Vsw = ( Asw s ) 0,9 d f yd (cot α + cot θ ) sen α Vc = 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção; Vc = Vc1, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; Vc = Vc1 (1+ M0 / Md,máx) < 2Vc1 na flexo-compressão, com: Vc1 = Vc0 quando Vd ≤ Vc0 Vc1 = 0 quando Vd = VRd2 , interpolando-se linearmente para valores intermediários. São mantidas a notação e as limitações definidas em 7.4.2;

Deslocamento do diagrama de momentos fletores: São mantidas as condições estabelecidas em em 7.4.2, o deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa seção, deve ser:

al = 0,5d (cot θ − cot α ) onde: al ≥ 0,5 d, no caso geral; al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°. Permanece válida para o modelo II a alternativa dada em decalagem do diagrama de força no banzo tracionado do item 7.4.2.


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Exemplo 5: Dimensionar a armadura transversal para a seção 15x50cm utilizando estribos verticais (α=90º), conforme Modelo de Cálculo I da NBR 6118/2003 para uma força solicitante Vk=82 kN. Considere cobrimento da armadura de 2 cm, d=47cm e fck=30 MPa.

1 Opção: o dimensionamento da armadura será realizado em termos de esforços. a) Determinação dos valores de cálculo Vsd = Vk γ f = 82 × 1,4 = 114,8 kN

f cd = f ck γ c = 3 / 1,4 = 2,14 kN/cm² b) Verificação do esforço de compressão na biela deverá ser atendida a verificação: Vsd ≤ VRd 2 VRd 2 = 0,27 α V 2 f cd bw d VRd 2 = 0,27 × 0,88 × 2,14 × 15 × 47 VRd 2 = 358,5 kN Logo Vsd ≤ VRd 2 , ou seja, 114,8 kN < 358,5 kN

α v 2 = 1 − f ck 25 (kN/cm²) α v 2 = 1-3 / 25 = 0,88

c) Cálculo da armadura transversal deverá ser atendida a verificação: Vsd ≤ VRd 3 Cálculo de V Rd 3 :

VRd 3 = Vc + Vsw (como a força cortante VRd3 deve ser no mínimo igual a Vsd, logo, pode-se assumir que VRd 3 = Vsd = 114,8 kN) Cálculo de Vc :

Vc = 0,6 × f ctd × bw × d Vc = 0,6 × 0,145 × 15 × 47 Vc = 61,3 kN

f ctd = f ctk ,inf γ c

f ctd = 0,203 1,4 f ctd = 0,145 kN/cm²

f ctk ,inf = 0,7f ctm = 0,7 × 0,3(f ck f ctk ,inf = 0,21 × 30

2/3

2/3

)

(fck em MPa)

f ctk ,inf = 2,03MPa = 0,203kN/cm²

Cálculo do esforço tangencial a ser resistida pela armadura Vsw :

Vsw = VRd 3 − Vc = 114,8 – 61,3 = 53,5 kN Cálculo da Armadura Transversal (duas pernas): A Vsw = sw 0,9 d × f ywd (sen a + cos a ) como α=90º (estribos verticais), tem-se: s A A Vsw = sw 0,9 d × f ywd → espaçamento dos estribos: s = sw 0,9 d × f ywd s Vsw Adotando estribos de 6,3mm (As= 0,315cm²) A 2 × 0,315 s = sw 0,9 d × f ywd = 0,9 × 47 × 43,5 = 21,6 cm (φ6,3mm c/ 20cm) Vsw 53,5 Adotando estribos de 5,0mm (As= 0,20cm²) A 2 × 0,20 s = sw 0,9 d × f ywd = 0,9 × 47 × 43,5 = 13,8 cm (φ5,0mm c/ 12,5cm) Vsw 53,5


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2 Opção: o dimensionamento da armadura será realizado em termos de tensões. a) Determinação dos valores de cálculo Vsd = Vk γ f = 82 × 1,4 = 114,8 kN

f cd = f ck γ c = 3 / 1,4 = 2,14 kN/cm² b) Determinação da tensão atuante na seção transversal V 114,8 τ sd = d = = 0,163 kN/cm² bw d 15 × 47 c) Verificação das tensões de compressão na biela deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 2 α v 2 = 1 − f ck 25 (kN/cm²) τ Rd 2 = 0,27 α V 2 f cd τ Rd 2 = 0,27 × 0,88 × 2,14 = 0,508 kN/cm² α v 2 = 1-3 / 25 = 0,88 Logo τ sd ≤ τ Rd 2 , ou seja, 0,163 kN/cm² < 0,508 kN/cm² (condição atendida) d) Cálculo da armadura transversal deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 3 Cálculo da tensão a ser resistida pela seção τ Rd 3 :

τ Rd 3 =τ c + τ sw (como a força cortante τ Rd3 deve ser no mínimo igual a τ sd, logo, pode-se assumir que τ Rd 3 =τ sd = 0,163 kN/cm²) Cálculo da tesnsão resistida pelo concreto τ c : 2/3 f ctd = f ctk ,inf γ c τ c = 0,6 × f ctd f ctk ,inf = 0,7f ctm = 0,7 × 0,3(f ck ) τ c = 0,6 × 0,145 f ctd = 0,203 1,4 f ctk ,inf = 0,21 × 30 2 / 3 (fck em MPa) τ c = 0,087 kN/cm² f ctd = 0,145 kN/cm² f ctk ,inf = 2,03MPa = 0,203kN/cm² Cálculo da tensão a ser resistida pela armadura transversal τ sw :

τ sw = τ Rd 3 − τ c = 0,163 – 0,087 = 0,076 kN/cm² Cálculo da Armadura Transversal (duas pernas) como α=90º (estribos verticais):

Taxa de armadura necessária: A Vsw = sw 0,9 d × f ywd (sen a + cos a ) s

ρ sw,90 =

→

ρ sw,90 =

1,11τ sw f ywd

1,11τ sw 1,11× 0,076 = = 1,939 × 10-3 f ywd 43,5

Espaçamento dos estribos: A ρ sw,90 = sw bw s

→

s=

Adotando estribos de 6,3mm (As= 0,315cm²) Asw 2 × 0,315 s= = = 21,7 cm ρ sw,90 bw 1,939 × 10 −3 × 15 Adotando estribos de 5,0mm (As= 0,20cm²) Asw 2 × 0,20 s= = = 13,8 cm ρ sw,90 bw 1,939 × 10 −3 × 15

Asw

ρ sw,90 bw (φ6,3mm c/ 20cm)

(φ5,0mm c/ 12,5cm)


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Exemplo 6: Dimensionar a armadura transversal para a seção 12x40cm utilizando estrivos verticais (α=90º), conforme Modelo de Cálculo I da NBR 6118/2003 para uma força solicitante Vk=36 kN. Considere cobrimento da armadura de 2 cm, d=37cm e fck=20 MPa. Dimensionamento da armadura será realizado em termos de tensões. a) Determinação dos valores de cálculo Vsd = Vk γ f = 36 × 1,4 = 50,4 kN

f cd = f ck γ c = 2 / 1,4 = 1,43 kN/cm²

α v 2 = 1 − f ck 25 (em kN/cm²) = 1-2 / 25 = 0,92 f ctk ,inf = 0,7f ctm = 0,7 × 0,3(f ck

2/3

) = 0,21 × 20(2/3) = 1,55 MPa = 0,155 kN/cm²

f ctd = f ctk ,inf γ c = 0,155 / 1,4 = 0,111 kN/cm²

b) Determinação da tensão atuante na seção transversal V 50,4 τ sd = d = = 0,114 kN/cm² bw d 12 × 37 c) Verificação das tensões de compressão na biela deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 2

τ Rd 2 = 0,27 α V 2 f cd = 0,27 × 0,92 × 1,43 = 0,355 kN/cm² Logo τ sd ≤ τ Rd 2 , ou seja, 0,114 kN/cm² < 0,355 kN/cm² (condição atendida) d) Cálculo da armadura transversal deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 3 Cálculo da tensão a ser resistida pela seção τ Rd 3 :

τ Rd 3 =τ c + τ sw (assume-se que τ Rd 3 =τ sd = 0,114 kN/cm²) Cálculo da tesnsão resistida pelo concreto τ c : τ c = 0,6 × f ctd = 0,6 × 0,111 = 0,052 kN/cm² Cálculo da tensão a ser resistida pela armadura transversal τ sw : τ sw = τ Rd 3 − τ c = 0,114 – 0,052 = 0,062 kN/cm² Cálculo da Armadura Transversal (duas pernas) como α=90º (estribos verticais): Taxa de armadura necessária: 1,11τ sw 1,11× 0,062 ρ sw,90 = = = 1,582 × 10-3 f ywd 43,5 Espaçamento dos estribos: Adotando estribos de 6,3mm (As= 0,315cm²) Asw 2 × 0,315 s= = = 33,2 cm ρ sw,90 bw 1,582 × 10 −3 × 12 Adotando estribos de 5,0mm (As= 0,20cm²) Asw 2 × 0,20 s= = = 21,1 cm ρ sw,90 bw 1,582 × 10 −3 × 12


(φ6,3mm c/ 17,5cm)

(φ5,0mm c/ 17,5cm)

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Exemplo 7: Dimensionar a armadura transversal para a seção 30x60cm utilizando estrivos verticais (α=90º), conforme Modelo de Cálculo I da NBR 6118/2003 para uma força solicitante Vk=150 kN. Considere cobrimento da armadura de 3 cm, d=56cm e fck=30 MPa. Dimensionamento da armadura será realizado em termos de tensões. a) Determinação dos valores de cálculo Vsd = Vk γ f = 150 × 1,4 = 210 kN

f cd = f ck γ c = 3 / 1,4 = 2,14 kN/cm²

α v 2 = 1 − f ck 25 (em kN/cm²) = 1- 3 / 25 = 0,88 f ctk ,inf = 0,7f ctm = 0,7 × 0,3(f ck

2/3

) = 0,21 × 30(2/3) = 2,03 MPa = 0,203 kN/cm²

f ctd = f ctk ,inf γ c = 0,203 / 1,4 = 0,145 kN/cm²

b) Determinação da tensão atuante na seção transversal V 50,4 τ sd = d = = 0,125 kN/cm² bw d 12 × 37 c) Verificação das tensões de compressão na biela deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 2

τ Rd 2 = 0,27 α V 2 f cd = 0,27 × 0,88 × 2,14 = 0,508 kN/cm² Logo τ sd ≤ τ Rd 2 , ou seja, 0,125 kN/cm² < 0,508 kN/cm² (condição atendida) d) Cálculo da armadura transversal deverá ser atendida a verificação: τ sd ≤ τ Rd 3 Cálculo da tensão a ser resistida pela seção τ Rd 3 :

τ Rd 3 =τ c + τ sw (assume-se que τ Rd 3 =τ sd = 0,125 kN/cm²) Cálculo da tesnsão resistida pelo concreto τ c : τ c = 0,6 × f ctd = 0,6 × 0,145 = 0,087 kN/cm² Cálculo da tensão a ser resistida pela armadura transversal τ sw : τ sw = τ Rd 3 − τ c = 0,125 – 0,087 = 0,038 kN/cm² Cálculo da Armadura Transversal (duas pernas) como α=90º (estribos verticais): Taxa de armadura necessária: 1,11τ sw 1,11× 0,062 ρ sw,90 = = = 0,970 × 10-3 f ywd 43,5 Espaçamento dos estribos: Adotando estribos de 6,3mm (As= 0,315cm²) Asw 2 × 0,315 s= = = 20,7 cm ρ sw,90 bw 1,582 × 10 −3 × 12 Adotando estribos de 5,0mm (As= 0,20cm²) Asw 2 × 0,20 s= = = 13,7 cm ρ sw,90 bw 1,582 × 10 −3 × 12


(φ6,3mm c/ 20cm)

(φ5,0mm c/ 12,5cm)

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8

LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

8.1 Introdução Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos cujas cargas preponderantemente atuam normais ao seu plano médio. Em uma estrutura convencional, a principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no pavimento, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para as vigas. As vigas transmitem aos pilares os carregamentos recebidos das lajes e provenientes de alvenarias. Os pilares recebem o carregamento proveniente de cada pavimento e transmitem às fundações, que são responsáveis em transmitir ao solo. As lajes apresentam comportamento estrutural primário de placa, que por definição, é uma estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h), com esforços externos aplicados perpendicularmente a S. Possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais, comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento dos pilares em cada piso (contraventando-os). Podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2007):  Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas;  Representação dos elementos por seu plano médio. Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas (ou adjacentes). Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da laje. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Professor Uniderp

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Sidiclei Formagini

Capítulo 8 –LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO - 139

As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais.

8.2 Lajes Maciças 8.2.1 Classificação As lajes maciças podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (NBR 6118 (ABNT, 2007), item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções, podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko). V1

P2

P4

V2

Mx= q lx² / 8

P3

P3

q

V4

lx

V3

P1

P1

ly>2lx (a) dimensionamento da laje numa só direção P2

P1

V1

P4

P3 V2

P1

P3

lx

q

V4

V3

ly>2lx

Mx

P1

P2 q (b) dimensionamento da laje nas duas direções

My

Figura 82: lajes maciças: (a) armada numa só direção; (b) armada nas duas direções.

A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparando-se a relação entre os vãos (dimensões) da laje, conforme apresentado na Figura 82. Desta forma, tem-se:


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Sidiclei Formagini


ly



lajes armadas em cruz, quando



armadas numa só direção, quando

lx

≤ 2;

ly lx

> 2.

Mesmo que a laje seja armada numa só direção, sempre existirá uma armadura perpendicular a direção principal, que é dada pela armadura mínima conforme a NBR 6118/2003.

8.2.2 Vãos Teóricos O vão teórico das lajes de edificações é calculado de acordo com as seguintes condições, sendo adotado por convenção l x ≤ l y , sempre. Condição Laje isolada:

Vão teórico

h V1

V2

l'

l ' + b1 / 2 + b2 / 2 l≤  l'+ h / 2 + h / 2

b2

b1

Laje contínua extrema

h V1

V2

l'

l ' + b1 / 2 + b2 / 2 l≤  l ' + b1 / 2 + h / 2

b2

b1

Laje contínua intermediária

V1

l = l ' + b1 / 2 + b2 / 2

V2

l' b2

b1

Laje em Balanço

h V1

l'

l ' + b1 / 2 l≤ l'+ h / 2

b1

Figura 83: vão teórico de lajes de edificações.


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8.2.3 Condições de Apoio 8.2.3.1

Vinculação Existem nas lajes, basicamente, três tipos de vínculo de suas bordas: borda livre, borda simplesmente apoiada e borda engastada, representadas por: Borda livre

Borda simplesmente apoiada

Borda engastada

A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando, portanto, deslocamentos verticais. Nos outros dois tipos de vinculação, não há deslocamentos verticais. Nas bordas engastadas, também as rotações são impedidas. Este é o caso, por exemplo, de lajes que apresentam continuidade, sendo o engastamento promovido pela laje adjacente. Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. É claro que cuidados devem ser tomados na consideração dessas vinculações, devendo-se ainda analisar a diferença entre os momentos atuantes nas bordas das lajes, quando consideradas engastadas. 8.2.3.2 Lajes isoladas São admitidos como condições de apoios de lajes: bordo engastado (há impedimento do deslocamento vertical e rotação da laje neste apoio), bordo livre (quando não há suporte, ou seja, caso de balanço) e bordo apoiado (quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem impedir a rotação das lajes no apoio), conforme ilustrado na Figura 84.

f f bordo livre 4

f bordos apoiados

3

1 ql 1 pl + f = 8 ECS I 3 ECS I

4

5 ql f = 384 ECS I

bordos engastados

1 ql 4 f = 384 ECS I

Figura 84: condições de apoio para lajes.

8.2.3.3 Painéis de Lajes Contíguas Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como mostra a Figura 85:


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h2 h1 P4

L3

la

lb P6

V2

P7

P8

P9 se h1 ≈ h2

L1

L2

L4

V8

L2

P5

V7

P3

V6

L1

P1

V5

V1

V4

P1

se la < 2/3 lb

se h1 << h2

P10

V3

se la ≥ 2/3 lb

L3

L2

L4

L4

Figura 85: condições de apoio para lajes contínuas.

Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, como mostrado na Figura 3. Um critério aproximado, possível para este caso, é indicado na Tabela 3. Tabela 27: – Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada.

l y1 ≤

ly 3

3

< l y1 <

l1 >

Considera-se a borda totalmente apoiada

ly

2ly

2ly 3

3

Calculam-se os esforços para as duas situações − borda totalmente apoiada e borda totalmente engastada − e adotam-se os maiores valores no dimensionamento Considera-se a borda totalmente engastada

Se a laje do exemplo apresentado na Tabela 27 fosse armada em uma direção, poderiam ser consideradas duas partes, uma relativa à borda engastada e a outra, à borda simplesmente apoiada. Portanto, seriam admitidas diferentes condições de vinculação para cada uma das partes, resultando armaduras também diferentes, para cada uma delas.

8.2.4 Cálculo dos Esforços Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses:  Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente; Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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 


Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis; Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.

8.2.4.1

Lajes armadas numa só direção Os esforços solicitantes nas lajes armadas numa só direção são calculados de acordo com as ilustrações na Figura 86. lx

lx

lx

Mx= q.lx²/8

q.lx/2

q.lx/2 Mx= q.lx²/8

0,625 q.lx

0,375 q.lx Mx= q.lx²/14,22

Mx= q.lx²/12

q.lx/2

lx

Mx= q.lx²/12

Mx= q.lx²/2

q.lx/2 Mx= q.lx²/24

q.lx

Figura 86: esforços e reações de apoio para lajes armadas numa só direção.

8.2.4.2 Lajes armadas em duas direções Os esforços solicitantes (momentos fletores por unidade de largura) nas lajes isoladas armadas nas duas direções são calculados de acordo com as expressões fornecidas pelas tabelas de Czerny (Anexo A, com p = q e l = l x ), dadas por: Momento positivo na direção x: M x = Momento negativo na direção x: M x− =

pl2

αx pl2

α xe pl2 Momento positivo na direção y: M y = αy − y

Momento negativo na direção y: M =

(74)

pl2

α ye

No caso de lajes contíguas (adjacentes), como indicado anteriormente, vários aspectos devem ser analisados para se adotar o tipo de apoio, nos vínculos entre lajes. Uma diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes contíguas poderia levar à consideração de borda engastada para uma das lajes e simplesmente apoiada para a outra, em vez de engastada para ambas. Tais considerações são indicadas na Figura 88.


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Figura 87: Critério para considerar bordas engastadas.

É importante salientar que critérios como este devem ser cuidadosamente analisados, tendo em conta a necessidade de garantir a segurança estrutural. O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da compatibilização dos momentos negativos M 1− e M 2− das lajes isoladas. Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são da mesma ordem de grandeza:  M 1− + M 2−  2  − M 12 ≥  0,8 M 1−  0,8 M − 2  

(75)

Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo (lajes L1 e L4 da Figura 88), ignora-se a redução (a favor da segurança). Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção deverá ser feita, somando-se ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios (laje L2 da Figura 88). Pode acontecer de a compatibilização acarretar diminuição do momento positivo, de um lado, e acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e considera-se somente o acréscimo, como no caso da laje L3 da Figura 88. Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro, por exemplo, m’12< 0,5 m’21, um critério melhor consiste em considerar L1 engastada e armar o apoio para o momento m’12, admitindo, no cálculo da L2, que ela esteja simplesmente apoiada nessa borda. O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não pode ser reduzido.


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Figura 88: Compatibilização de momentos fletores.

8.2.5 Dimensionamento à Flexão: Estado Limite Último O dimensionamento deverá ser feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m) e altura igual à espessura total da laje, h. O dimensionamento das lajes é feito no domínio II, de acordo com os procedimentos apresentados no item 6.7.1, de acordo com a ilustração da Figura 89. elemento solicitado à flexão

seção transversal

deformações

ε c =3.5%o x C.G. h d Md

σc

0,4x Rcd

0,8x L.N.

εs

As

b=100cm

tensões

d-0,4x Rsd


Figura 89: dimensionamento da laje à flexão simples no E.L.U.

Onde M d = M k γ f . Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça subarmada com armadura simples (x ≤ x34). Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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A área de aço dimensionada é convertida em n barras, distribuída ao longo da base considerada no cálculo, que é de 1 m. No dimensionamento do momento fletor negativo (sob os apoios) é usado os mesmos procedimentos apresentados acima, sendo que a única diferença está no posicionamento da armadura, que será no bordo superior.

8.2.6 Força Cortante (Cisalhamento) As lajes maciças ou nervuradas, usadas em edificações residenciais e comerciais com b ≥ 5d, podem ser dispensadas da armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão: Vd ≤ V Rd 1 (76) A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: V Rd 1 = [τ Rd k (1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15σ cp ]b d (77) onde: τRd = 0,25 fctd fctd = fctk,inf / γc A ρ1 = s1 , não maior que 0,002 bd σcp= NSd/Ac k é um coeficiente que tem os seguintes valores:  para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k = |1|;  para os demais casos: k = |1,6 - d|, não menor que |1|, com d em metros; onde: fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento; As1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d+lb,nec além da seção considerada (com lb,nec definido em 9.4.2.5 da NBR 6118 (ABNT, 2007)) e na Figura 90; b é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; NSd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva). Na zona de ancoragem de elementos com protensão com aderência prévia, a equação que define VRd1 só se aplica quando os requisitos de ancoragem são satisfeitos conforme item 9.4.5 da NBR 6118 (ABNT, 2007). Analogamente para os elementos contendo armadura passiva. No caso da pré-tração, deve ser levada em conta a redução da protensão efetiva no comprimento de transmissão. Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a resistência de cálculo VRd2 é dada por: V Rd 2 = 0,5 α v1 f cd b × 0,9 d (78) onde: α v1 = (0,7 − f ck 200 ) ≤ 0,5 (com fck em MPa). A distribuição dessa armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito em 18.3.2.3.1 da NBR 6118 (ABNT, 2007), considerando para al o valor 1,5d.


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Figura 90: Comprimento de ancoragem necessário.

8.2.7 Armaduras Longitudinais Máximas e Mínimas 8.2.7.1

Armaduras mínimas Para melhorar o desempenho e a ductilidade à flexão e à punção, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na Tabela 28. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas. Tabela 28: Valores mínimos para armaduras passivas aderentes (NBR 6118). Armadura

Taxa mínima de armadura

Armaduras negativas

ρ s = As b h

ρ s ≥ ρ min

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção Armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção

ρ s ≥ 0,67 ρ min ρ s ≥ ρ min

ρ s ≥ 20% da armadura principal ρ s ≥ 0,9 cm²/m ρ s ≥ ρ min

Se for necessário calcular ρmin para fatores diferentes, pode-se usar a equação:

ρ min = ωmin f cd f yd

(ωmin: taxa mecânica mínima de armadura longitudinal)

Admitindo-se b =100 cm e d em centímetros, obtêm-se as em cm2/m. Tabela 29: Valores de ρmin para ω=0,035. fck 20 25 30 35 40 45 ωmin 0,035(1) 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 ρmin (%) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc= 1,4 e γs=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmin dado. (1) taxas mínimas de armadura de flexão para seção retangular (NBR6118/2003)

50 0,288

Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118 (ABNT, 2007), algumas das quais são mencionadas a seguir:  Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.


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




As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve corresponder à porcentagem de armadura igual ou superior a 20% da porcentagem da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.

8.2.7.2 Armaduras máximas A soma das armaduras de tração e compressão (As + A’s) deve ser menor que 4% de Ac, calculada na região fora da zona de emendas.

8.2.8 Verificação das Flechas Um estado limite de utilização que não pode ser esquecido nas lajes é o de deformação excessiva. A flecha real da laje não pode exceder a flecha máxima admissível. Na verificação da flecha de uma laje, considera-se: a existência de fissuras; o momento de inércia; as flechas imediata, diferida e total; e os valores limites. 8.2.8.1

Existência de fissuras Durante a vida útil de uma estrutura, e mesmo durante sua construção, se atuar um carregamento que provoque um determinado estágio de fissuração, a rigidez correspondente a esse estágio ocorrerá para sempre. Com a diminuição da intensidade do carregamento, as fissuras podem até fechar, mas nunca deixarão de existir.

Carregamento a considerar     

Neste texto, a condição de fissuração será verificada para combinação rara. Em lajes de edifícios em que a única ação variável é a carga de uso, o valor da combinação rara coincide com o valor total da carga característica. Portanto, o momento fletor Ma na seção crítica resulta: Ma= Md,rara = Mr Se fosse conhecido um carregamento de construção cujo momento fletor superasse Mk , deveria ser adotado o valor de ma relativo a esse carregamento de construção.

Momento de fissuração A peça será admitida fissurada se o momento ma ultrapassar o momento de fissuração, dado por (item 17.3 da NBR 6118 (ABNT, 2007) α f ct I c Mr = (79) yt Onde: α =1,5 para seção retangular (item 17.3.1 da NBR 6118, 2003) (item 8.2.5 da NBR 6118, 2003) f ct = f ctm = 0,3f ck2/3 I c = bh 3 12

(momento de inércia da seção bruta de concreto)

yt = h 2

(distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

No cálculo da resistência do concreto à tração direta fct, a NBR 6118 (ABNT, 2007)não especifica o quantil a ser adotado. A opção pela resistência média (quantil de 50%) foi assumida como satisfatória. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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8.2.8.2 Momento de Inércia Com os valores de Ma e Mr, obtidos conforme o item anterior, duas situações podem ocorrer: Ma ≤ Mr e Ma > Mr.

Quando Ma ≤ Mr Se ma não ultrapassar Mr, admite-se que não há fissuras. Nesta situação, pode ser usado o momento de inércia da seção bruta de concreto Ic (seção não fissurada - estádio I), considerado no item anterior.

Quando Ma > Mr No caso em que ma ultrapassar Mr, considera-se que há fissuras na laje, embora partes da laje permaneçam sem fissuras, nas regiões em que o momento de fissuração não for ultrapassado. Neste caso poderá ser considerado o momento de inércia equivalente, dado por (item 17.3.2.1.2 da NBR 6118, 2003, adaptado):   M 3   Mr   I c + 1 −  r   I 2 I eq =    M a    Ma  Onde: I2 é o momento de inércia da seção fissurada - estádio II. Para se determinar I2, é necessário conhecer a posição da linha neutra, no estádio II, para a seção retangular com largura b=100 cm, altura total h, altura útil d e armadura As (em cm2/m). Considerando que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção homogeneizada, x é obtido por meio da equação: E bx 2 , onde: α e = c − α e As (d − x) = 0 Es 2 Conhecendo x, obtém-se I2, dado por: bx 3 − α e As (d − x) 2 I2 = 3 8.2.8.3 Flecha Imediata A flecha imediata ai pode ser obtida por meio da expressão adaptada:

1 p l x4 al = 12 ω Ec I c

(80)

Onde: ω é coeficiente adimensional tabelado, função do tipo de vinculação e de λ = l y l x , obtido a partira da tabela de Czerny (apresentada no Anexo A); p = g + ψ 2 q é o valor da carga para combinação quase permanente (ψ 2 = 0,3 para edifícios residenciais); l x é o menor vão da laje;

E c = E cs (módulo de elasticidade secante do concreto); Se Ma > Mr, deve-se usar Ieq no lugar de Ic.


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8.2.8.4 Flecha Diferida Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR 6118 (ABNT, 2007), a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração, em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado por: As' ∆ξ , sendo: ρ ' = αf = bd 1 + 50 ρ ' Onde: As' é a armadura de compressão, no caso de armadura dupla; ξ é um coeficiente em função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 30 ou ser calculado pelas expressões seguintes: ∆ξ = ξ ( t ) − ξ ( t 0 ) Sendo: ξ (t ) = 0,68 × 0,996 t t 0,32 para t ≤ 70 mêses e ξ (t ) = 2 para t> 70 mêses. t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t0 é a idade, em meses, relativa à aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, consultar item 17.3.2.1.2 da NBR 6118 (ABNT, 2007). Portanto, a flecha diferida af é dada por:

af = α f ai

(81) Tabela 30: Valores do coeficiente ξ em função do tempo.

Tempo (t) mêses Coeficiente ξ(t)

0 0

0,5 0,54

1 0,68

2 0,84

3 0,95

4 1,04

5 1,12

10 1,36

20 1,64

40 1,89

≥70 2

8.2.8.5 Flecha total A flecha total at pode ser obtida por uma das expressões:

a t = ai + α f a t = a i (1 + α f )

(82)

8.2.8.6 Flechas Limites Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. As flechas obtidas conforme os itens anteriores não devem ultrapassar os deslocamentos limites estabelecidos na Tabela 31 (NBR 6118:2007), na qual há várias situações a analisar.


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Capítulo 8 –LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO - 151 Tabela 31: Limites para deslocamentos (NBR 6118).

Tipo de efeito Aceitabilidade sensorial

Razão da limitação Visual outro Superfícies que devem drenar água

Efeitos estruturais em serviço

Pavimentos que devem permanecer planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis

Exemplo Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Vibrações sentidas no piso Coberturas e varandas Ginásios e pistas de boliche

Deslocamento a considerar

Deslocamento limite

Total

l/250

Devido a cargas acidentais

l/350

Total

l/2501)

Total

l/350+ contraflecha 2)

Ocorrido após a construção do piso

laboratórios

Ocorrido após nivelamento do equipamento

Alvenaria, caixilhos e revestimentos

Após a construção da parede

De acordo com recomendaçõe s do fabricante l/5003) ou 10 mm ou θ=0,0017 rad4) l/2503) ou 25mm H/1700 ou Hi/8505) entre pavimentos l/4007) ou 15 mm

Ocorrido após a instalação da divisória Provocada pela ação do Movimento lateral de vento para combinação edifícios frequente (ψ=0,30) Efeitos em Movimentos térmicos Provocado pela elementos verticais diferença de temperatura não Movimentos térmicos Provocado pela estruturais Hi/500 horizontais diferença de temperatura Revestimentos Ocorrido após l/350 Forros colados construção do forro Deslocamento ocorrido Revestimentos após construção do l/175 colados ou com juntas forro Deslocamento Desalinhamento de Pontes rolantes provocado pelas ações H/400 trilhos da frenação Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, Efeitos em Afastamento em seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura elementos relação às hipóteses devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural estruturais de cálculo adotadas adotado. 1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contra-flechas. Entretanto, a atuação isolada da contra-flecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l /350. 3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 5) H é a altura total do edifício e H o desnível entre dois pavimentos vizinhos. i 6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 7) O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. Paredes

Divisórias leves e caixilhos telescópicos

l/600

NOTAS 1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.


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2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. 3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11. 4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contra-flechas.

Definidos como:  aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23;  efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção;  efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados;  efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.

8.2.9 Barras Sobre os Apoios O comprimento das barras negativas deve ser determinado com base no diagrama de momentos fletores na região dos apoios. Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que não apresentem bordas livres, os comprimentos das barras podem ser determinados de forma aproximada, com base no diagrama trapezoidal indicado na Figura 91, adotando-se para l um dos valores:  o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes, quando ambas foram consideradas engastadas nesse apoio;  o menor vão da laje admitida engastada, quando a outra foi suposta simplesmente apoiada nesse vínculo. Com base nesse procedimento aproximado, são possíveis três alternativas para os comprimentos das barras, indicadas nas Figura 91a, b e c, respectivamente. 8.2.9.1 entre:

Um só tipo de barra (Figura 91a) Adota-se um comprimento a1 para cada lado do apoio, com a1 igual ao menor valor

 a + lb a1 ≥  l (no geral, maior valor) 0,25l + 10φ Onde: al = 1,5d decalagem do diagrama de momento fletor (NBR 6118:2007); lb = comprimento de ancoragem com gancho; φ = diâmetro da barra. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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8.2.9.2 Dois tipos de barras (Figura 91b) Consideram-se dois comprimentos de barras, com a21 e a22 dados pelos maiores valores entre:  0,25l + al + lb a21 ≥  2  0,25l + 10φ al + lb   a22 ≥  0,25l + al + 10φ  2

(no geral, maior valor)

(no geral, maior valor)

Figura 91: Alternativas para as armaduras negativas.

8.2.9.3 Barras alternadas de mesmo comprimento (Figura 91c) Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento, considerando na alternativa anterior as expressões que, em geral, conduzem aos maiores valores: 3 a = a21 + a22 = l + 20φ + 0,75 d 8 Pode-se estimar o comprimento das barras com o emprego da expressão anterior e posicionálas, considerando os valores: 1 2 a21 = a e a22 = a 3 3 Em geral esses comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Para garantir o correto posicionamento das barras da armadura sobre os apoios, recomenda-se adotar, perpendicularmente a elas, barras de distribuição, com as mesmas áreas e espaçamentos indicados para armadura positiva secundária, na Tabela 28.

8.2.10 Barras Inferiores Considera-se que as barras inferiores estejam adequadamente ancoradas, desde que se estendam, pelo menos, de um valor igual a 10φ a partir da face dos apoios. Nas extremidades do edifício, elas costumam ser estendidas até junto a essas extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado. Nos casos de barras interrompidas fora dos apoios, seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios especificados para as vigas. Podem ser adotados, também, os comprimentos aproximados e as distribuições indicadas na Figura 92.

Figura 92: Comprimentos e distribuição das barras inferiores.

A quantidade de barras nb necessárias para a armação de um pano de laje, baseia-se na dimensão do vão (l’), interno à laje (Figura 83), correspondente à direção ortogonal da armadura, sendo dada pela expressão: nb =

l' −1 e

Onde: (onde e é o espaçamento prático adotado entre as barras). Para a escolha do espaçamento adota-se sempre o valor prático imediatamente abaixo daquele calculado. Por outro lado, para a estimativa da quantidade total de barras adota-se sempre o número inteiro acima daquele calculado pela expressão anteriormente apresentada.

8.2.11 Armadura de Canto Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de momentos volventes (momentos torçores). Quando não for calculada armadura específica para resistir a esses momentos, deve ser disposta uma armadura especial, denominada armadura de canto, indicada na Figura 93. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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A armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Tanto a armadura superior quanto a inferior deve ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da armadura no centro da laje, na direção mais armada. As barras deverão se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão da laje, medida a partir das faces dos apoios. A armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares, conforme indicado na Figura 93.

Figura 93: Comprimentos e distribuição das barras inferiores.

Como em geral as barras da armadura inferior são adotadas constantes em toda a laje, não é necessária armadura adicional inferior de canto. Já a armadura superior se faz necessária e, para facilitar a execução, recomenda-se adotar malha ortogonal superior com seção transversal, em cada direção, não inferior a Asx/2.

8.2.12 Armadura de Borda Para evitar o aparecimento de fissuras ao longo das bordas das lajes recomenda-se utilizar a armadura borda em lados apoiados. Esta patologia decorre do fato que os apoios das lajes, constituídos pelas vigas, ofecerem uma resistência ao movimento de rotação das lajes, em função da sua inércia à torção. A armadura de compatibilização, adotada (φ6,3mm cada 20.cm), somente será aplicada nas bordas das lajes apoiadas sobre vigas sem continuidade.

Figura 94: Extensão da Armadura de Borda.


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8.3 Lajes Nervuradas 8.3.1 Generalidades Lajes nervuradas são lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser postos materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície externa (laje mista). Ainda que o material colocado entre as nervuras tenha certa resistência, não se conta com ela (caso contrário, teremos as lajes mistas). As lajes nervuradas podem ser armadas em uma só direção, ou em cruz. Para realizar uma laje nervurada, há vários tipos de materiais de enchimento ou de técnicas de execução: “caixão perdido”, moldes removíveis, tijolos furados, blocos de concreto, de pumex, de isopor, etc. As nervuras podem ficar também aparentes, não havendo o material inerte entre nervuras, sem ou com forro falso (placas de gesso, “duratex”, etc.). As lajes maciças cobrem, em geral, vãos de até 6 m, e possuem grande peso próprio. Já com as lajes nervuradas, aumentamos sua altura útil sem aumentar em demasia seu peso próprio. Um exemplo viável do uso de laje nervurada é mostrado na planta de formas da Figura 95. Neste caso, em particular, tem-se uma laje com espessura de 25 cm e dimensões variando de 6,06 m a 10,55 m. Esta solução em laje maciça com 25 cm de espessura seria antieconômica, uma vez que a maior parte dos esforços a ser absorvido pela laje seria de seu próprio peso.


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Figura 95: Planta de formas de uma laje nervurada.

8.3.2 Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas As lajes nervuradas apresentam algumas disposições construtivas que devem ser levadas em conta como:  A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm;  O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm, quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm;  A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm;  Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão;  Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições: o para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menores ou iguais a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje;


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 


o para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm; o para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maiores que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura; Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter espaçamento s ≤ 20 cm; O esforço cortante nas nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, também pode ser verificado como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras das nervuras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto no item 19.4.1 da NBR 6118 (ABNT, 2007).

8.3.3 Verificação de flechas A verificação da flecha nas lajes nervuradas deve ser feitas de modo similar às lajes maciças (Estádio II).


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VIGAS

9.1 Introdução As vigas são elementos estruturais horizontais, eventualmente inclinados, dos pórticos espaciais correspondentes às estruturas de edifícios, pontes e outras. As etapas de análise, dimensionamento e detalhamento correspondentes ao projeto estrutural de vigas segue as prescrições gerais da Norma Brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007). Devido à complexidade da descrição do comportamento tridimensional da estrutura, admite-se uma análise simplificada. A análise simplificada fundamenta-se no comportamento desacoplado de cada elemento estrutural. Com base em alguns critérios práticos, podem-se analisar, inicialmente, as lajes, em seguida as vigas e, finalmente, os pilares que levarão as cargas até as fundações. Em essência, as peças serão analisadas pela ordem em que ocorrerá a transmissão de carga, desde o ponto de aplicação até a dissipação no solo de fundação. Tais simplificações, de alguma forma, implicam no prejuízo de informações, tais como: influência dos pavimentos (diafragmas rígidos) no comportamento global, efeito de pórtico para absorção de cargas horizontais (vento), impossibilidade de verificação da torção global e localizada. Considera-se que tais medidas, apesar de refletirem de maneira simplificada o comportamento dos elementos do pórtico espacial, sejam a melhor maneira de se formar uma intuição estática. Este sentimento pode fornecer resultados qualitativos, sobretudo, para a compreensão e interpretação dos resultados advindos da análise tridimensional.

9.2 Vãos efetivos de vigas Os vãos das vigas são quantidades utilizadas na determinação dos esforços internos solicitantes e dos deslocamentos transversais. Os vãos efetivos das vigas podem ser estimados a partir de critérios práticos sugeridos no item 14.6.2.4 da Norma NBR 6118 (ABNT, 2007), podem ser determinados de acordo com: lef = l0 + a1 + a2

Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados pelos valores apropriados de ai, apresentados na Figura 96. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Professor Uniderp

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Capítulo 9 –VIGAS- 160

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Figura 96: Vão efetivo.

Apesar das vigas serem monoliticamente ligadas aos pilares, pode-se considerá-las articuladas ou engastadas nos mesmos, eliminando-se o efeito de pórtico. Adota-se, de modo simplificado, o critério proposto pela Norma NBR 6118 (ABNT, 2007). Quando a dimensão do pilar, segundo o plano de flexão da viga, for maior ou igual que um quarto de sua altura, no trecho correspondente ao apoio, deve-se considerar a extremidade da viga como sendo engastada. Neste caso, admite-se que o plano de engastamento esteja meia altura da viga contada a partir da face do pilar, conforme indicado na Figura 97. Por outro lado, quando não for verificada esta condição deve-se considerar um apoio simples locado na linha de centro dos pilares, como mostra a Figura 97.

Figura 97: Critério prático da condição de engastamento.

Outra situação prática comum é a vinculação de vigas por meio de apoios indiretos, que ocorrem quando uma viga apoia-se sobre outra viga. Adota-se como viga de sustentação aquela que apresentar a maior rigidez relativa (ou menor deformação) no ponto de concorrência. Analisando-se as vigas, indicadas na Figura 98, observa-se que a rigidez à flexão Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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de uma delas corresponde ao dobro da outra. Introduzindo-se a hipótese simplificadora de comportamento plano, deve-se analisar inicialmente a viga de menor rigidez e, posteriormente, a outra sob a influência desta viga. A viga de maior rigidez responde à outra como um apoio rígido no encontro delas.

Figura 98: Vigas espaciais ortogonais.

9.3 Largura colaborante de vigas de seção T Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. De acordo com o item 14.6.2.2. da Norma NBR 6118 (ABNT, 2007), a consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista. A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado, como se apresenta a seguir:  viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l ;  tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 l ;  tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 l ;  tramo em balanço: a = 2,00 l . Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima. Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na Figura 99.


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Figura 99: Largura de mesa colaborante.

Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa colaborante, a variação da largura efetiva (bef) da mesa deve respeitar o máximo bf e limitações impostas pelas aberturas conforme mostra a Figura 100.

Figura 100: Largura efetiva com abertura.

9.4 Instabilidade lateral de vigas A segurança à instabilidade lateral de vigas deve ser garantida através de procedimentos apropriados. De acordo com o item 15.10. da Norma NBR 6118 (ABNT, 2007), como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as seguintes condições:  b≥lo/50;  b≥βfl ×h; onde: Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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b é a largura da zona comprimida; h é a altura total da viga; l0 é o comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam o contraventamento lateral; βfl é o coeficiente que depende da forma da viga (ver tabela 15.1). Tipologia da viga

Valores de βfl 0,40

0,20 Onde

representa a zona comprimida.

9.5 Carregamento das vigas Simplificadamente adota-se neste curso que o carregamento das vigas será composto por três parcelas: peso próprio, alvenaria e reação das lajes. Os carregamentos devidos ao peso próprio e alvenaria sobre as vigas são facilmente determinados. Tais carregamentos são obtidos a partir dos pesos específicos do concreto armado e da alvenaria. Para representar estes carregamentos segundo um modelo matemático unidimensional, deve-se substituir a força volumétrica γ [kN/m3] pela força por unidade de comprimento p [kN/m]. Esta transformação está fundamentada na redução da dimensão do problema de 3-D para 1-D. Para tanto, deve-se multiplicar o peso específico pelas duas dimensões não preponderantes da viga ou da alvenaria. Carregamento devido ao peso próprio é dado por: g1k = γ conc b h = 25b h (em kN/m) Carregamento devido ao peso da alvenaria é dado por: g 2 k = γ alv ealv halv (em kN/m) Carregamento devido às reações das lajes, dado por: rlajes

Carregamento final: p = g1k + g 2 k + rlajes

Figura 101: Configuração do peso próprio da viga. Sidiclei Formagini, D.Sc. Estruturas – Engenharia Civil - UNIDERP

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Os carregamentos das vigas advindos das lajes são mais complexos de serem obtidos. Considerando-se comportamento elástico das lajes observa-se que a reação das lajes nas vigas tem uma distribuição não uniforme, conforme indica a Figura 102.

Figura 102: Reação das lajes nas vigas considerando-se comportamento elástico.

A resposta de uma viga sob ação de um carregamento parabólico, devido à reação das lajes, é mais complexa. Deste modo, pode-se uniformizar a ação das lajes sobre as vigas utilizando-se a Teoria das Linhas de Ruptura (Teoria das Charneiras Plásticas). Segundo esta teoria, utiliza-se a configuração de colapso da laje para a determinação da ação sobre as vigas. Na configuração de ruína da laje formam-se linhas de ruptura positivas (junto à face inferior) e negativas (junto à face superior). Nestas condições, as vigas que sustentam a laje recebem o carregamento correspondente aos painéis rígidos delimitados pelas linhas de ruptura. Seja uma laje retangular isolada de concreto armado, simplesmente apoiada, sujeita a um carregamento crescente. No limiar da ruptura da laje observa-se que linhas de ruptura positivas propagam-se a 45º em relação às bordas da laje, conforme indicado na Figura 103. Cada painel rígido descarrega na viga correspondente. Por exemplo, a Viga V3 recebe a reação relativa à área de influência abc, dada na Figura 103.

Figura 103: Configuração de colapso de uma laje retangular.

9.6 Esforços atuantes nas vigas Os esforços que podem atuar nas vigas são momento fletor, momento torçor, esforço cortante e esforço normal. O esforço normal é característico de vigas protendidas. Nas vigas de edificações em concreto armado, comumente atuam momento fletor, momento torçor e esforço cortante.


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Figura 104: Diagrama de Esforço cortante e Momento fletor.

9.6.1 Combinação das ações no estado limite último Devido à possibilidade de levantamento da alvenaria de vedação a partir de qualquer tramo, deve-se considerar o carregamento devido às paredes como não atuando concomitantemente, assim como, não foram considerados os vãos parcialmente carregados. Seguindo-se estas recomendações obtêm-se os esforços mais desfavoráveis. Pode-se, alternativamente, considerar o traçado de linhas de influência para se obter uma precisão maior. A consideração adotada, apesar de consistir num processo aproximado, produz resultados suficientemente seguros (Figura 105). Nas estruturas de edifícios onde as cargas acidentais são da mesma ordem de grandeza das cargas permanentes deve-se considerar apenas as ações mais desfavoráveis, ou seja:

(

)

Md = 1,4 M gk + 1,4 M q1k + M q 3k + 0,0 M q 2 k + ...

Quando houver predominância das cargas permanentes pode-se considerar um carregamento único total:

(

Md = 1,4 M gk + M qk

)


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Figura 105: Combinação das ações para vigas no estado limite último.


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9.7 Tipos de Ruptura Pode-se constatar, a partir de ensaios de flexão em peças desprovidas de armadura transversal (estribos), três tipos de ruptura [31]: 





Ruptura por flexão: ocasionada por um dimensionamento insuficiente da armadura de flexão (longitudinal) levando a peça a ruína em regime de sub-armação, que geralmente é avisada (ruptura dúctil). O padrão de fissuração, indicado na Figura 106a, é caracterizado por fissuras dispostas perpendicularmente à armadura de flexão, onde o esforço é máximo, inclinando-se fora desta região; Ruptura por tração diagonal: ocasionada pela ausência da armadura transversal (estribos) levando a peça à ruptura brusca (frágil), portanto não avisada. As fissuras principais, inclinadas segundo as trajetórias de compressão, conforme indicado na Figura 106b, quando interceptam a armadura longitudinal causam um desplacamento do concreto que envolve a mesma; Ruptura por esmagamento do concreto e tração diagonal: ocasionada pela diminuição da zona comprimida devida a propagação das fissuras inclinadas em direção ao topo da viga, ocasionando o esmagamento do concreto seguido da ruptura por tração diagonal, conforme indicado na Figura 106c, caracterizando uma ruptura do tipo não avisada.


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(a) ruptura por flexão

(b) ruptura por tração diagonal

(c) Ruptura por esmagamento do concreto e tração diagonal

Figura 106: Tipos de ruptura de uma viga (flexão e cisalhamento).


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9.8 Dimensionamento à Flexão: Estado Limite Último O dimensionamento à flexão de vigas no ELU é realizado de acordo com os procedimentos apresentados no item 6.7 (Flexão Simples). As vigas podem ser dimensionadas para os domínios II, III e IV. O dimensionamento no domínio II é feito para uma viga subarmada, a ruptura da viga ocorre por esgotamento da armadura (deformação de 10‰) sem que a deformação 3,5‰ no concreto seja alcançada. Neste caso, não há uma boa compatibilização entre as áreas de aço e de concreto, uma vez que, a seção transversal de concreto utilizada é muito superior a área de aço dimensionada. O dimensionamento mais econômico ocorre no domínio III. Tanto o aço como o concreto são mais solicitados. A ruptura ocorre por esmagamento do concreto (deformação de 3,5‰) com escoamento da armadura (deformação com valores entre ε yd e 10‰). Neste domínio, tem-se o melhor aproveitamento entre o consumo de aço e o de concreto, ou seja, o consumo de aço é satisfatório para a seção de concreto utilizada. Quando o dimensionamento for feito no domínio IV, ocorre insuficiência na seção de concreto para absorver os esforços internos de compressão, provocados pelo carregamento aplicado. Logo, o aço irá suprir essa deficiência. Neste caso, tem-se um consumo muito grande de aço para a seção pequena de concreto. Deve-se evitar o dimensionamento neste domínio, pois será antieconômico, e as deformações no qual o elemento encontra-se submetido podem comprometer a alvenaria posicionada sobre ela (maior probabilidade de fissuras). A área de aço dimensionada é convertida em n barras, distribuída próximo ao bordo mais solicitado à tração. No dimensionamento do momento fletor negativo (sob os apoios) é usado os mesmos procedimentos apresentados acima, sendo que a única diferença está no posicionamento da armadura, que será no bordo superior.

9.9 Armadura Mínima A armadura mínima à flexão de vigas deve ser superior a: As ,min = ρ min bw d

Onde, ρ min pode ser obtido na Tabela 29, não devendo ser inferior a 0,15%.


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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]

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ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 16 Murilo A. Scadelai, Libânio M. Pinheiro 9 nov 2005 PILARES Pilares são elementos estruturais lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes e cuja função principal é receber as ações atuantes nos diversos níveis e conduzi-las até as fundações. Junto com as vigas, os pilares formam os pórticos, que na maior parte dos edifícios são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura. As ações verticais são transferidas aos pórticos pelas estruturas dos andares, e as ações horizontais decorrentes do vento são levadas aos pórticos pelas paredes externas.

16.1 CARGAS NOS PILARES Nas estruturas usuais, compostas por lajes, vigas e pilares, o caminho das cargas começa nas lajes, que delas vão para as vigas e, em seguida, para os pilares, que as conduzem até a fundação. As lajes recebem as cargas permanentes (peso próprio, revestimentos etc.) e as variáveis (pessoas, máquinas, equipamentos etc.) e as transmitem para as vigas de apoio. As vigas, por sua vez, além do peso próprio e das cargas das lajes, recebem também cargas de paredes dispostas sobre elas, além de cargas concentradas provenientes de outras vigas, levando todas essas cargas para os pilares em que estão apoiadas. Os pilares são responsáveis por receber as cargas dos andares superiores, acumular as reações das vigas em cada andar e conduzir esses esforços até as fundações. Nos edifícios de vários andares, para cada pilar e no nível de cada andar, obtémse o subtotal de carga atuante, desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, no nível de cada andar, são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar. A carga total é usada no projeto da fundação. Nas estruturas constituídas por lajes sem vigas, os esforços são transmitidos diretamente das lajes para os pilares. Nessas lajes, deve-se dedicar atenção especial à verificação de punção.

16.2 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS No dimensionamento de pilares, a determinação das características geométricas está entre as primeiras etapas.

USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas

Pilares

16.2.1 Dimensões mínimas Com o objetivo de evitar um desempenho inadequado e propiciar boas condições de execução, a NBR 6118:2003, no seu item 13.2.3, estabelece que a seção transversal dos pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional γn, indicado na Tabela 1 e baseado na equação:

γ n = 1,95 − 0, 05 ⋅ b b é a menor dimensão da seção transversal do pilar (em cm). Tabela 1. Valores do coeficiente adicional γn em função de b (NBR 6118:2003)

B (cm)

≥ 19

18

17

16

15

14

13

12

γn

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

Portanto, o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento. Todas as recomendações referentes aos pilares são válidas nos casos em que a maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão (h ≤ 5b). Quando esta condição não for satisfeita, o pilar deve ser tratado como pilarparede (NBR 6118:2003, item 18.5). Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm². Exemplos de seções mínimas: 12cm x 30cm, 15cm x 24cm, 18cm x 20cm. 16.2.2 Comprimento equivalente Segundo a NBR 6118:2003, item 15.6, o comprimento equivalente le do pilar, suposto vinculado em ambas extremidades, é o menor dos valores (Figura 1):

l + h le ≤  0  l lo é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos h

l

horizontais, que vinculam o pilar; é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. No caso de pilar engastado na base e livre no topo, le = 2l.

16.2


Pilares

h/ 2

h

l

l

0

0

+h

l

h/ 2

Figura 1. Distâncias lo e l

16.2.3 Raio de giração Define-se o raio de giração i como sendo:

i=

I A

I é o momento de inércia da seção transversal; A é a área de seção transversal. Para o caso em que a seção transversal é retangular, resulta:

i=

I = A

b ⋅ h3 2 12 = h ⇒ i = h b⋅h 12 12

16.2.4 Índice de esbeltez O índice de esbeltez é definido pela relação:

λ=

le

i

16.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES Os pilares podem ser classificados conforme as solicitações iniciais e a esbeltez. 16.3.1 Pilares internos, de borda e de canto Quanto às solicitações iniciais, os tipos de plilares são mostrados na Figura 2. 16.3


PILAR DE CANTO

Pilares

PILAR DE BORDA

PILAR INTERNO

Figura 2. Classificação quanto às solicitações iniciais

Serão considerados internos os pilares em que se pode admitir compressão simples, ou seja, em que as excentricidades iniciais podem ser desprezadas. Nos pilares de borda, as solicitações iniciais correspondem a flexão composta normal, ou seja, admite-se excentricidade inicial em uma direção. Para seção quadrada ou retangular, a excentricidade inicial é perpendicular à borda. Pilares de canto são submetidos a flexão oblíqua. As excentricidades iniciais ocorrem nas direções das bordas. 16.3.2 Classificação quanto à esbeltez De acordo com o índice de esbeltez (λ), os pilares podem ser classificados em: • pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ λ1 • pilares de esbeltez média → λ1 < λ ≤ 90 • pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140 • pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200 A NBR 6118:2003 não admite, em nenhum caso, pilares com λ superior a 200.

16.4 EXCENTRICIDADES DE PRIMEIRA ORDEM As excentricidades de primeira ordem são comentadas a seguir. 16.4.1 Excentricidade inicial Em estruturas usuais de edifícios, ocorre um monolitismo nas ligações entre vigas e pilares que compõem os pórticos. A excentricidade inicial, oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto. 16.4


Pilares

A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas com as expressões (Figura 3):

ei ,topo =

M topo N

e

ei ,base =

M base N

Figura 3. Excentricidades iniciais no topo e na base do pilar

Os momentos no topo e na base podem ser obtidos no cálculo do pórtico, usando, por exemplo, o programa Ftool (MARTHA, 2001). Segundo a NBR 6118:2003, pode, também, ser admitido esquema estático apresentado na Figura 4.

Figura 4. Esquema estático

Para esse esquema estático, pode ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações: 16.5


ri

Pilares

3rinf + 3rsup

•

na viga:

•

no tramo superior do pilar:

•

no tramo inferior do pilar:

4rvig + 3rinf + 3rsup 3rsup 4rvig + 3rinf + 3rsup 4rvig

3rinf + 3rinf + 3rsup

é a rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada de acordo com a Figura 4 e dada por:

ri =

Ii li

16.4.2 Excentricidade acidental Segundo a NBR 6118:2003, na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições do eixo dos elementos da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. Muitas das imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, mas as imperfeições dos eixos das peças não. Elas devem ser explicitamente consideradas porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. a) Imperfeições globais Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 5:

a

Figura 5. Imperfeições geométricas globais (NBR 6118:2003)

θ1 =

1

θ a = θ1

100 l

16.6

1+ 1 2

n


Pilares

é a altura total da estrutura (em metros); n é o número total de elementos verticais contínuos; θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; ou θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais.

l

Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável (que provoca o maior momento total na base de construção). O valor máximo de θ1 será de 1/200. b) Imperfeições locais Na análise local de elementos dessas estruturas reticuladas, devem também ser levados em conta efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação de um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (Figura 6). E le m e n to d e lig a ç ã o

3 1 1

2

1 .P ila r d e c o n tra v e n ta m e n to 2 .P ila r c o n tra v e n ta d o 3 .E le m e n to d e lig a ç ã o e n tre o s p ila re s 1 e 2

/2

1

1

b )D e s a p ru m o

a )F a lta d e re tilin id a d e L a n c e d e p ila r

Figura 6. Imperfeições geométricas locais (NBR 6118:2003)

Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja suficiente. Assim, a excentricidade acidental ea pode ser obtida pela expressão:

ea = θ1 ⋅ l 16.7

2


Pilares

No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (Figura 6). Para pilar em balanço, obrigatoriamente deve ser considerado o desaprumo, ou seja:

ea = θ1 ⋅ l 16.4.3 Momento mínimo Segundo a NBR 6118:2003, o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem, dado por: M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) h

é a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros).

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente; isto é, o pilar deve ser verificado sempre à flexão oblíqua composta onde, em cada verificação, pelo menos um dos momentos respeita o valor mínimo indicado. 16.4.4 Excentricidade de forma Em edifícios, as posições das vigas e dos pilares dependem fundamentalmente do projeto arquitetônico. Assim, é comum em projetos a coincidência entre faces (internas ou externas) das vigas com as faces dos pilares que as apóiam. Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são denominadas excentricidades de forma. A Figura 7 apresenta exemplos de excentricidades de forma em pilares intermediários, de borda e de canto. As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento dos pilares, pelas razões apresentadas a seguir. A Figura 8 mostra as vigas VT01 e VT04 que se apóiam no pilar P01, com excentricidades de forma efy e efx, respectivamente. As tensões causadas pela reação da viga VT01, pelo Princípio de Saint-Venant, propagam-se com um ângulo de 45o e logo se uniformizam, distribuindo-se por toda a seção do pilar em um plano P. A excentricidade de forma provoca, no nível de cada andar, um momento fletor MVT01 = RVT01.efy que tende a ser equilibrado por um binário. A Figura 8 também representa esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos, os momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram. Observa-se que, em cada piso, atuam pares de forças em sentidos contrários com valores da mesma ordem de grandeza e que, portanto, tendem a se anular.

16.8


Pilares y

y P2

P1

x

x

efx

efx

a) Pilar interno

b) Pilar de borda y P1

efy

x

efx

c) Pilar de canto

Figura 7. Exemplos de excentricidades de forma em pilares

B

PO1

VT 01

Fd

L01

Andar i e fy

VT01 R VT01 RVT04

B

e fx

VT04

y

45° x

VT 04

P01

plano p e

fy

Corte B-B

M VT01

i+2 i+1

i

VT04

M VT01 M VT01

VT04 VT04

M VT01

i-1

VT04 i-2

VT04

Figura 8. Excentricidades de forma e binários correspondentes

16.9


Pilares

A rigor, apenas nos níveis da fundação e da cobertura as excentricidades de forma deveriam ser consideradas. Entretanto, mesmo nesses níveis, elas costumam ser desprezadas. No nível da fundação, sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos andares superiores, o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta significativamente os resultados do dimensionamento. Já no nível da cobertura, os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura mínima, em geral, capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de forma. 16.4.5 Excentricidade suplementar A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência. A consideração da fluência é complexa, pois a duração de cada ação tem que ser levado em conta, ou seja, o histórico de cada ação precisaria ser conhecido. O cálculo da excentricidade suplementar é obrigatório em pilares com índice de esbeltez λ > 90, de acordo com a NBR 6118:2003. O valor dessa excentricidade ec, em que o índice c refere-se a “creep” (fluência, em inglês), pode ser obtida de maneira aproximada pela expressão:

M  ec =  Sg + ea  N   Sg  Ne =

φN    2,718 N − N − 1     Sg

e

Sg

10 ⋅ E ci ⋅ I c (força de flambagem de Euler); l 2e

MSg, NSg são os esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; ea é a excentricidade acidental devida a imperfeições locais; ϕ é o coeficiente de fluência; Eci = 5600 fck½ (MPa); Ic é o momento de inércia no estádio I;

l e é o comprimento equivalente do pilar. 16.5 ESBELTEZ LIMITE O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de análises teóricas de pilares, considerando material elástico-linear. Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2a ordem começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar. Em estruturas de nós fixos, dificilmente um pilar de pórtico, não muito esbelto, terá seu dimensionamento afetado pelos efeitos de 2a ordem, pois o momento fletor total máximo provavelmente será apenas o de 1a ordem, num de seus extremos. Diversos fatores influenciam no valor da esbeltez limite. Os preponderantes são:

• • •

excentricidade relativa de 1a ordem e1/h; vinculação dos extremos do pilar isolado; forma do diagrama de momentos de 1a ordem. 16.10


Pilares

Segundo a NBR 6118:2003, os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1, que pode ser calculado pelas expressões:

λ1 =

( 25 + 12,5 ⋅ e1 h )

35 ≤ λ 1 ≤ 90

αb

sendo e1 a excentricidade de 1a ordem. A NBR 6118:2003 não deixa claro como se adota este valor. Na dúvida, pode-se admitir, no cálculo de λ1, e1 igual ao menor valor da excentricidade de 1a ordem, no trecho considerado. Para pilares usuais de edifícios, vinculados nas duas extremidades, na falta de um critério mais específico, é razoável considerar e1 = 0. O coeficiente αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir. a) Pilares biapoiados sem forças transversais

α b = 0, 60 + 0, 40

MB ≥ 0, 40 MA

sendo: 0,4 ≤ α b ≤ 1, 0

MA é o momento fletor de 1a ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado); MB é o momento fletor de 1a ordem no outro extremo B do pilar (toma-se para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário). b) Pilares biapoiados com forças transversais significativas, ao longo da altura

αb = 1 c) Pilares em balanço

α b = 0,80 + 0, 20

MC ≥ 0,85 MA

sendo: 0,85 ≤ α b ≤ 1, 0

MA é o momento fletor de 1a ordem no engaste; MC é o momento fletor de 1a ordem no meio do pilar em balanço. d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento mínimo (ver item 16.4.3)

αb = 1

16.11


Pilares

16.6 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM A força normal atuante no pilar, sob as excentricidades de 1a ordem (excentricidade inicial), provoca deformações que dão origem a uma nova excentricidade, denominada excentricidade de 2a ordem. A determinação dos efeitos locais de 2a ordem, segundo a NBR 6118:2003, em barras submetidas à flexo-compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. A consideração da fluência é obrigatória para índice de esbeltez λ > 90, acrescentando-se ao momento de 1a ordem M1d a parcela relativa à excentricidade suplementar ec.

16.7

MÉTODOS DE CÁLCULO

Apresentam-se conceitos do método geral, do pilar padrão e dos métodos simplificados indicados pela NBR 6118:2003. 16.7.1 Método geral O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer tipo de pilar, inclusive nos casos em que as dimensões da peça, a armadura ou a força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento. A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois considera a nãolinearidade geométrica, de maneira bastante precisa. Considere-se o pilar da Figura 9 engastado na base e livre no topo, sujeito à força excêntrica de compressão Nd.

e Nd

l

Figura 9. Pilar sujeito à compressão excêntrica

Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera nas seções um momento incremental Nd.y, provocando novas deformações e novos momentos (Figura 10). Se as ações externas (Nd e Md) forem menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra. Tem-se, portanto, uma forma 16.12


Pilares

fletida estável (Figura 10.a). Caso contrário, se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade (Figura 10.b). A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável.

Nd e

Nd a

y

e

a

y

a) Equilíbrio estável

∞

b) Equilíbrio instável

Figura 10. Configurações fletidas

A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável, como mostra a Figura 11, de flecha a, com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos, respeitada a compatibilidade entre curvaturas, deformações e posições da linha neutra, assim como as equações constitutivas dos materiais e sem haver, na seção crítica, deformação convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço. a

y

e N

n

x

y2

2

y1

1 0

y 0= a

1' 2'

Figura 11. Deformada estável

16.13

d


Pilares

16.7.2 Pilar padrão Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número muito grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método sem o auxílio do computador. A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidades física e geométrica. Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha a dada por:

 l2  l2  1  a = 0,4 ⋅   = e ⋅    r  base 10  r  base A elástica do pilar, indicada na Figura 12, é admitida senoidal, dada pela equação (1):

x

a

y Figura 12. Elástica do pilar padrão

π  y = − a ⋅ sen x  l 

(1)

Nessas condições, tem-se:

y' = − a ⋅

2

π π  ⋅ cos x  l l 

π π  y' ' = a ⋅   ⋅ sen x  l l 

Como:

1 d2y ≅ r dx 2

16.14


Pilares

Para a seção média, tem-se:

1 π = ( y ' ' )x = l / 2 = a ⋅      r  x =l / 2 l

2

Assim, a flecha máxima pode ser:

a=

l2  1  ⋅  π 2  r  x =l / 2

Para o caso do pilar em balanço, tem-se:

a=

l 2e  1  ⋅  10  r  base

em que π2 ≅ 10.

Obtendo-se a flecha máxima, pode-se obter também o momento total, já que o momento de 2a ordem pode ser obtido facilmente pela equação (2).

M 2, base = N ⋅ a

M 2, base = N ⋅

l 2e  1  ⋅  10  r  base

(2)

16.7.3 Método da curvatura aproximada O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 90. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a configuração deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de 2a ordem e2 é dada por:

e2 =

l 2e 1 ⋅ 10 r

1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão:

1 0,005 0,005 = ≤ r h(ν + 0,5) h h é a altura da seção na direção considerada; ν = NSd / (Acfcd) é a força normal adimensional. Assim, o momento total máximo no pilar é dado por: 16.15


Pilares

 l2 1  M d , tot =  α b M1d , A + N d . e  ≥ M1d , A 10 r  

16.7.4 Método da rigidez κ aproximada O método do pilar padrão com rigidez κ aproximada é permitido para λ ≤ 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do comprimento. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo no pilar é dado por:

M d , tot =

κ

α b M1d , A ≥ M1d , A λ2 1− 120 κ ν

(3)

é valor da rigidez adimensional, dado aproximadamente por:



κ = 321 + 5. 

M d ,tot   ⋅ν h.N d 

(4)

Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo de Md,tot, e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de Md,tot. Assim, a solução pode ser obtida por tentativas. Usualmente, poucas iterações são suficientes.

16.8 CÁLCULO SIMPLIFICADO A NBR 6118:2003, item 17.2.5, apresenta processos aproximados para dimensionamento à flexão composta normal e à flexão composta oblíqua. 16.8.1 Flexão composta normal O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com armadura simétrica, sujeitas a flexo-compressão normal, em que a força normal reduzida (ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centrada equivalente, em que:

e  NSd , eq = NSd 1 + β  e M Sd , eq = 0 h  ν=

NSd A cf cd

e M = Sd h NSd h

16.16


β=

Pilares

1

(0,39 + 0,01α ) − 0,8 d' h

sendo o valor de α dado por:

α = -1/αS, se αS < 1 em seções retangulares; α = αS, se αS ≥ 1 em seções retangulares; α = 6, se αS < 6 em seções retangulares; α = -4, em seções circulares. Supondo que todas as barras sejam iguais, αS é dado por:

αS =

(n h − 1) (n v − 1)

O arranjo de armadura adotado para detalhamento (Figura 13) deve ser fiel aos valores de αS e d’/h pressupostos.

nh barras de área As d'

h

nv

MSd

d'

nv barras de área As

nh

b

Figura 13. Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αS (Figura 17.2 da NBR 6118:2003)

16.8.2 Flexão composta oblíqua Nas situações de flexão simples ou composta oblíqua, pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação:

16.17


Pilares

α

α

 M Rd , y   M Rd , x   =1   +  M Rd , xx   M Rd , yy  MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Esses são os valores que se deseja obter; MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Esses valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares, pode-se adotar α = 1,2.

16.9 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Serão considerados o cobrimento das armaduras dos pilares e alguns aspectos relativos às armaduras longitudinais e às transversais. 16.9.1 Cobrimento das armaduras O cobrimento das armaduras é considerado no item 7.4.7 da NBR 6118:2003. Cobrimento mínimo é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado. Para garantir o cobrimento mínimo (cmin), o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na Tabela 2, para ∆c = 10 mm.

c nom = c min + ∆c Tabela 2. Valores de cnom em pilares de concreto armado para ∆c = 10 mm (NBR 6118:2003)

Classe de agressividade cnom ( mm)

I 25

II 30

III 40

IV 50

Nas obras correntes, o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, redução de 5 mm dos cobrimentos nominais prescritos na Tabela 2. Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal deve ser maior que o diâmetro da barra. 16.18


Pilares

A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado não pode superar em 20% o cobrimento nominal, ou seja:

d max ≤ 1,2 ⋅ c nom 16.9.2 Armaduras longitudinais A escolha e a disposição das armaduras devem atender não só à função estrutural como também às condições de execução, particularmente com relação ao lançamento e adensamento do concreto. Os espaços devem permitir a introdução do vibrador e impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do pilar (item 18.2.1 da NBR 6118:2003). As armaduras longitudinais colaboram para resistir à compressão, diminuindo a seção do pilar, e também resistem às tensões de tração. Além disso, têm a função de diminuir as deformações do pilar, especialmente as decorrentes da retração e da fluência. O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal (item 18.4.2.1 da NBR 6118:2003):

10 mm ≤ φl ≤ b

8

16.9.3 Limites da taxa de armadura longitudinal Segundo o item 17.3.5.3 da NBR 6118:2003, a armadura longitudinal mínima deve ser:

A s,min = 0,15 ⋅

Nd ≥ 0,004 ⋅ A c fyd

O valor máximo da área total de armadura longitudinal é dado por:

A s,max = 8 % A c A maior área de armadura longitudinal possível deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda. 16.9.4 Número mínimo de barras A NBR 6118:2003, no item 18.4.2.2, estabelece que as armaduras longitudinais devem ser dispostas de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. A Figura 14 apresenta o número mínimo de barras para alguns tipos de seção.

16.19


Pilares

Figura 14. Número mínimo de barras

16.9.5 Espaçamento das barras longitudinais O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores (Figura 15):

 20 mm  a≥ φl  1,2 ⋅ d (diâmetro máximo do agregado) max  Esses valores se aplicam também às regiões de emenda por traspasse. Ø

a

l

a

a

a

l

lb

Ø

S em em end as p o r trasp asse

C o m em en d as p o r trasp asse

Figura 15. Espaçamento entre as barras da armadura longitudinal

Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da fôrma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. O espaçamento máximo sl entre os eixos das barras deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem exceder 40 cm, ou seja:

2b sl ≤  40 cm 16.20


Pilares

Para LEONHARDT & MÖNNIG (1978) esse espaçamento máximo não deve ser maior do que 30 cm. Entretanto, para pilares com dimensões até 40 cm, basta que existam as barras longitudinais nos cantos. 16.9.6 Armaduras transversais A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes (item 18.4.3 da NBR 6118:2003). Os estribos devem ser fechados, geralmente em torno das barras de canto, ancorados com ganchos que se transpassam, colocados em posições alternadas. Os estribos têm as seguintes funções: a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais; c) confinar o concreto e obter uma peça mais resistente ou dúctil. De acordo com a NBR 6118:2003, o diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal, ou seja:

5 mm

φt ≥  φl 4

Em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), e nos pré-moldados, LEONHARDT & MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham, nas suas extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a st/2 e st/4 (Figura 16).

Figura 16. Estribos adicionais nos extremos e ganchos alternados (LEONHARDT & MÖNNIG, 1978)

16.21


Pilares

FUSCO (1994) ainda comenta que, de modo geral, nos edifícios, os estribos não são colocados nos trechos de intersecção dos pilares com as vigas que neles se apóiam. Isso decorre do fato de a presença de estribos nesses trechos dificultar muito a montagem da armadura das vigas. A NBR 6118:2003 deixa claro que é obrigatória a colocação de estribos nessas regiões. 16.9.7 Espaçamento máximo dos estribos O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores:

 20 cm menor dimensão da seção  st ≤   12φl para CA − 50  25φl para CA − 25 Permite-se adotar o diâmetro dos estribos φ t < φl 4 , desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação (fyk em MPa):

 φ2  1 s max = 90.000 ⋅  t  ⋅  φl  f yk 16.9.8 Estribos suplementares Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície, devem ser tomadas precauções para evitá-la. A NBR 6118:2003 (item 18.2.4) considera que os estribos poligonais garantem contra flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a do canto (Figura 17).

t

t

t

t

t

t

Figura 17. Proteção contra a flambagem das barras longitudinais (LEONHARDT & MÖNNIG, 1981)

Quando houver mais de duas barras no trecho de comprimento 20φt ou barras fora dele, deve haver estribos suplementares. Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do pilar e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. 16.22


Pilares

Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado, como indicado na Figura 18. Essa amarra garantirá contra a flambagem essa barra encostada e mais duas no máximo para cada lado, não distantes dela mais de 20φt. No caso da utilização dessas amarras, para que o cobrimento seja respeitado, é necessário prever uma distância maior entre a superfície do estribo e a face do pilar.

(dois estribos poligonais)

(um estribo poligonal e uma barra com ganchos)

(barra com gancho envolvendo o estribo principal)

Figura 18. Estribos suplementares e ganchos

É oportuno comentar que a presença de estribos suplementares pode dificultar a concretagem. Uma alternativa seria concentrar as barras nos cantos, para evitar os estribos suplementares. A NBR 6118:2003 comenta ainda que, no caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal.

16.10 EXEMPLOS DE CÁLCULO Será feito o dimensionamento do pilar P5 (Figura 19 e Figura 20), utilizando-se o Método da Curvatura Aproximada, segundo a NBR 6118:2003. 16.10.1 Dados

• • • • • •

Concreto C25, aço CA 50; Cobrimento nominal cnom = 2,5 cm e d’=4,0 cm; Nk = 650 kN; Comprimento do pilar: 290 cm (Figura 20); Seção transversal: 15 cm x 45 cm; Carga total na viga pk = 24 kN/m.

Como a menor dimensão do pilar é inferior a 19 cm, no dimensionamento devese multiplicar as ações por um coeficiente adicional γn, indicado na Tabela 1, na qual b é a menor dimensão da seção transversal do pilar. Dessa forma, tem-se: 16.23


Pilares

V1 (15 x 50) P1

P3

P2

h = 9 cm

V2 (15 x 60) P4

P6

P5

(15x45)

h = 9 cm

h = 9 cm

V3 (15 x 60) P7

P9

P8

V7 (15 x 50)

h = 9 cm

V6 (15 x 60)

V5 (15 x 50)

(25x45)

h = 9 cm

V4 (15 x 50) P10

P12

P11 Figura 19. Planta de forma do edifício

V6 (15x40) V3

V2

V6 (15x40) V3

V2

P8

P5

(25x45)

(15x45)

Figura 20. Vista lateral

16.24


Pilares

γ n = 1,20 (b = 15cm ) ⇒ N d = γ f ⋅ γ n ⋅ N k = 1,4 ⋅1,2 ⋅ 650 ⇒ N d = 1092 kN ν=

Nd b ⋅ h ⋅ fcd

=

1092 ∴ ν = 0,91 2,5 15 ⋅ 45 ⋅ 1,4

16.10.2 Comprimento equivalente, raio de giração e índice de esbeltez O comprimento equivalente le do pilar deve ser o menor dos seguintes valores:

l + h  250 + 15 = 265 cm ⇒ le ≤  le ≤  0 ⇒ l e = 265 cm  l 290 cm Calculando-se o raio de giração e o índice de esbeltez, tem-se:

i=

h 15 = ∴ i = 4,33 cm 12 12

λ=

l e 265 = ∴ λ = 61,2 i 4,33

16.10.3 Excentricidade inicial Para o cálculo da excentricidade inicial, devem ser definidas algumas grandezas. a) Vão efetivo da viga O vão efetivo da viga V6 é calculado conforme a Figura 21.

l ef = l 0 + a1 + a 2

 1 ⋅ t1 = 15 = 7,5 cm 2 a1 ≤  2 ⇒ a1 = 7,5 cm 40 1 ⋅ = = 20 cm h  2 2  1 ⋅ t 2 = 45 = 22,5 cm 2 a2 ≤  2 ⇒ a 2 = 20 cm 40 1 ⋅ = = 20 cm h  2 2 l ef = l 0 + a1 + a 2 = 462,5 + 7,5 + 20 ⇒ l ef = 490 cm

16.25


Pilares

h

l0

t1

t2

Figura 21. Vão efetivo da viga

b) Momentos na ligação viga-pilar Para o cálculo dos momentos na ligação viga-pilar, será considerado o esquema apresentado na Figura 22. Portanto, para o caso em estudo, tem-se (Figura 23):

rsup = rinf

45 ⋅15 3 12656,25 I = = 12 = ⇒ rsup = rinf = 95,5 cm 3 265 le 132,5 2

rvig =

I vig lef

15 ⋅ 403 80000 = 12 = ⇒ rvig = 163,3 490 490

l sup 2

l inf 2 l vig Figura 22. Esquema estático para cálculo do momento de ligação viga-pilar

16.26


Pilares

,

650 kN

,

Figura 23. Esquema estático para pilar em estudo

M eng =

M sup = M eng ⋅

M inf = M eng ⋅

p ⋅ l 2 24 ⋅ 4,90 2 = ⇒ M eng = 48,02 kN ⋅ m 12 12

3 ⋅ rsup 3 ⋅ rsup + 4 ⋅ rvig + 3 ⋅ rinf

= 48,02 ⋅

3 ⋅ 95,5 ⇒ M sup = 11,22 kN ⋅ m 3 ⋅ 95,5 + 4 ⋅ 163,3 + 3 ⋅ 95,5

3 ⋅ rinf 3 ⋅ 95,5 = 48,02 ⋅ ⇒ M inf = 11,22 kN ⋅ m 3 ⋅ rinf + 4 ⋅ rvig + 3 ⋅ rsup 3 ⋅ 95,5 + 4 ⋅ 163,3 + 3 ⋅ 95,5

M vig = M sup + M inf = 11,22 + 11,22 = 22,44 kN.m O momento total no topo e base do pilar em estudo resulta:

M d , topo = − M d , base = 1,4 ⋅ 1,2 ⋅ 11,22 ⇒ M d, topo = −M d, base = 18,85 kN ⋅ m = 1885 kN ⋅ cm c) Excentricidade inicial no topo e na base

ei =

M d 1885 = ⇒ ei = 1,73 cm N d 1092

d) Momento mínimo

M 1d ,min = N

d

( 0, 015 + 0, 03 ⋅ h ) = 1, 4 ⋅1, 2 ⋅ 650 ⋅ ( 0, 015 + 0, 03 ⋅ 0,15 ) ⇒ M1d,min = 21, 29 kN.m

16.27


Pilares

e) Verificação da dispensa dos efeitos de 2a ordem Para pilares biapoiados sem cargas transversais, e sendo os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar M A = − M B = 18,85 kN.m < M 1d , min = 21,29 kN.m , tem-se, segundo o item 15.8.2.d da NBR 61128:2003:

α b = 1, 0 Considerando-se e1 = 0, resulta:

λ1 =

25 + 12,5 ⋅ e1 h 25 = ⇒ λ 1 = 25 αb 1,0

35 ≤ λ1 ≤ 90 ⇒ λ 1 = 35 Como λ = 61,2 > λ1 = 35 ⇒ Devem ser considerados os efeitos de 2a ordem. 16.10.4 Método da Curvatura Aproximada

M1d,min = N d ( 0, 015 + 0, 03 ⋅ h ) = 1, 4 ⋅1, 2 ⋅ 650 ⋅ ( 0, 015 + 0, 03 ⋅ 0,15 ) ⇒ M 1d,min = 21, 29 kN.m

(M

1d,A

= 18,85 kN.m ) <

(M

1d,mín

= 21, 29 kN.m ) ∴ M1d, A = 21,29 kN.m

1 0,005 0,005 1 0,005 0,005 1 ↔ = = 0,0236 ≤ = 0,033∴ = 0,0236 = ≤ r 0,15(0,91 + 0,5) 0,15 r r h (ν + 0,5) h

M d , tot = α b ⋅ M 1d ,A + N d ⋅

l 2e 1 2,65 2 ⋅ = 1,0 ⋅ 21,29 + 1,4 ⋅ 1,2 ⋅ 650 ⋅ ⋅ 0,0236 = 39,39 kN.m 10 r 10 M d , tot 39,39 e tot = = = 3,61 cm Nd 1,4 ⋅ 1,2 ⋅ 650 µ=

ν ⋅ e tot 0,91 ⋅ 3,61 = ∴ µ = 0,22 h 15

Será considerado:

d' 4 = = 0,27 ≅ 0,25 h 15 Utilizando-se o ábaco A-5 de Venturini (1987), obtém-se:

ω = 0,90 ⇒ A s =

A c ⋅ f cd ⋅ω = f yd

15 ⋅ 45 ⋅

2,5 1, 4

50 1,15

= 27, 72 ⋅ ω = 27, 72 ⋅ 0,90 ∴ A S = 24,95 cm 2

16.28


Taxa de Armadura: ρ =

Pilares

24, 95 = 3, 70% 15× 45

Armadura adotada: 12 φ 16 mm (24,0 cm²). Alternativa: 8 φ 20 mm (25,20 cm²) 16.10.5 Estribos a) Diâmetro

φ l 16 φ t ≥  4 = 4 = 4 mm  5 mm Adotado φt = 5 mm b) Espaçamento

15 cm (menor dimensão)  φ t ≥ 12φ l = 12 ⋅ 1,6 = 19,2 cm  20 cm  Adotado s = 15 cm

Figura 24. Detalhe da seção: 12 φ 16, estribos φ 5 c/ 15

16.29


Pilares

c) Estribos suplementares

20φ t = 20 ⋅ 0,5 = 10 cm As quatro barras centrais precisam de estribo suplementar. São adotados os estribos múltiplos, indicados na Figura 24. 16.10.6 Método da Rigidez κ Aproximada Utilizando as eq.(3) e (4), item 16.7.4, tem-se:

•

1a Iteração:

Será adotado para 1a aproximação o momento total obtido pelo método anterior.

(M )

d , tot 1.0

( ν ) = 321 + 5 0,15 ⋅ 139,2 ,⋅391,4 ⋅ 650  ∴ (κ ν )

= 39,39 kN.m ⇔ κ

(M )

d , tot 1.1

=

1





1

= 70,48

1,0 ⋅ 21,29 = 38,21 kN.m 61,20 2 1− 120 ⋅ 70,48

Para a segunda iteração, pode-se considerar como estimativa razoável a média entre os valores anteriores:

(M )

d , tot 2.0

•

39,39 + 38,21 ⇒ (M d,tot )2.0 = 38,80 kN.m 2

=

2a Iteração:

(M )

d, tot 2.0

( ν ) = 321 + 5 0,15 ⋅ 138,2 ,⋅801,4 ⋅ 650  ∴ (κ ν )

= 38,80 kN.m ⇔ κ

(M )

d , tot 2.1

=

1





1,0 ⋅ 21,29 = 38,47 kN.m 61,20 2 1− 120 ⋅ 69,90

Adotando-se a média dos dois últimos valores, tem-se:

(M )

d , tot 3.0

e tot =

=

M d , tot Nd

38,80 + 38,47 ⇒ (M d,tot )3.0 = 38,64 kN.m 2

=

38,64 ∴ e tot = 0,0354 m = 3,54 cm 1,4 ⋅ 1,2 ⋅ 650

16.30

2

= 69,90


µ=

ν ⋅ e tot

h

=

Pilares

0,91⋅ 3,54 ∴ µ = 0,21 15

Utilizando-se o ábaco A-5 de Venturini (1987), obtém-se:

ω = 0,88 ⇒ A s =

A c ⋅ f cd ⋅ω= f yd

Taxa de Armadura: ρ =

15 ⋅ 45 ⋅ 50 1,15

2,5 1,4

⋅ 0,86 = 27,72 ⋅ 0,88 ∴ A s = 24,39 cm 2

24,39 = 3,61% (2% menor que o anterior) 15 × 45

O dimensionamento também pode ser feito usando programas computacionais, como por exemplo os encontrados no site: www.cesec.ufpr.br/concretoarmado

16.11 CONCLUSÕES Inicialmente, é importante salientar que a excentricidade de 1a ordem e1 não inclui a excentricidade acidental ea, apenas a excentricidade inicial ei, sendo que a excentricidade acidental não interfere no resultado quando M1d,A > M1d, Min, pois este último leva em conta uma excentricidade acidental mínima. No cálculo de λ1, a NBR 6118 não deixa claro qual a seção em que se deve considerar a excentricidade de primeira ordem e1. Para pilares usuais de edifícios, ainda se pode imaginar que e1 deva ser considerado no centro do pilar. No entanto, para pilares em balanço, existe a dúvida sobre onde considerar a excentricidade, se no meio do pilar ou no engaste. Para se determinar a influência da solidariedade dos pilares com a viga, no cálculo do momento atuante no pilar, pode-se considerar o esquema estático da Figura 17. No entanto, os coeficientes da NBR 6118:2003 não estão em acordo com esse esquema, conforme pode ser constatado no item 14.6.7.1 dessa Norma.

16.31


Pilares

REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT. FUSCO, P. B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Editora Pini, 1994. LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1978). Construções de concreto: princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, Interciência. MARTHA, L. F. (2001). Ftool – two-dimensional frame analysis tool. Versão Educacional 2.09. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio. Departamento de Engenharia Civil e Tecgraf/PUC-Rio – Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica. Disponível em . VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. (1987). Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta. EESC/USP, São Carlos. Site: www.cesec.ufpr.br/concretoarmado (programas para cálculo de flexão composta normal e oblíqua)

16.32

Sidiclei Formagini

Capítulo 9 –REQUISITOS PARA

ANÁLISE ESTRUTURAL- 164 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24]

Hassoun, M. N. – “Structural concrete: Theory and Design”. Addison-Wesley Publishing Company, Inc, 1998. Aïtcin, P. C. – Cements of yesterday and today: Concrete of tomorrow, Cement and Concrete Research, Volume 30, Issue 9, September 2000, Pages 1349-1359. MacGregor, James G., “Reinforced Concrete: Mechanisms and Design”, Third Edition, Prentice-Hall, New Jersey, 1997. Mehta, P. Kumar e Monteiro, Paulo. J.M., “Concreto: Estrutura, Propriedades e Materiais”, ed. Pini, São Paulo, 1994. Aitcin, Pierre-Claude, “Concreto de Alto Desempenho”, tradução de Geraldo G. Serra, ed. Pini, São Paulo, 2000. Warner, R.F., Rangan, B.V. and Hall, A. S., “Reinforced Concrete”, ed. Pitman Australia, Revised edition, 1982. Leonhardt, F. e Monnig, E., “Construções de Concreto”, Volume 1, ed. Interciências, Rio de Janeiro, 1977. Wang, Chu-Kia and Salmon, Charles G., “Reinforced Concrete Design”, 6th ed., Addison Wesley, 1997. Pillay, S. U. and Kirk, D. W., “Reinforced Concrete Design”, Second Edition, McGrawHill, New York, 1983. Leet, Kenneth, “Reinforced Concrete Design”, McGraw-Hill, New York, 1982. Spiegel, L. and Limbrunner, G. F., “Reinforced Concrete Design”, Second Edition, Prentice-Hall, New Jersey, 1986. Taranath, Bungale S., “Steel, Concrete, & Composite Design of Tall Buildings”, Second Edition, McGraw-Hill, New York, 1998. NBR6118 – “Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado”. ABNT, Rio de Janeiro, 1980. NBR6118 – “Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado”. ABNT, Rio de Janeiro, 2003. NBR 5739 – “Concreto – Ensaio de Compressão de Corpos de Prova Cilíndricos”, ABNT, Rio de Janeiro, 1994. NBR 8953 – “Concreto para fins estruturais - Classificação por grupos de resistência”, ABNT, Rio de Janeiro, 1992. NBR 7477 – “Determinação do Coeficiente de Conformação Superficial de Barras e Fios de Aço Destinados a Armaduras de Concreto Armado”, ABNT, Rio de Janeiro, 1982. NBR 7480 – “Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado”, ABNT, Rio de Janeiro, 1996. NBR 12655 – “Concreto - Preparo, Controle e Recebimento”, ABNT, Rio de Janeiro, 1996. NBR 5739 – “Concreto – Ensaio de Compressão de Corpos de Prova Cilíndricos”, ABNT, Rio de Janeiro, 1994. NBR 12142 – “Concreto – Determinação da Resistência à Tração na Flexão em Corpos de Prova Prismáticos”, ABNT, Rio de Janeiro, 1991. Kaefer, L. Fernando – “Desenvolvimento De Uma Ferramenta Gráfica Para Análise De Pórticos De Concreto Armado”, Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000. NBR 6120 – “Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações”, ABNT, Rio de Janeiro, 1990. OLIVEIRA, R. M.. “Contribuição ao estudo da rigidez de vigas de concreto armado em análises de 2ª ordem”. Dissertação de Mestrado. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2000.


15/8/2010

Sidiclei Formagini

Capítulo 9 –REQUISITOS PARA

ANÁLISE ESTRUTURAL- 165 [25] SANTOS, L. M.. Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concreto armado. São Paulo. Ed. Thot, 1994. [26] ALBUQUERQUE, A. T. Análise de Alternativas Estruturais para Edifícios em Concreto Armado. São Carlos, 1998. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo. [27] COVAS, G. A. Estudo sobre os Modelos mais Usuais de Sistema Estrutural em Pavimentos de Edifícios em concreto Armado através do Software CAD/TQS. São Paulo, 1999. Trabalho de Graduação Interdisciplinar, Departamento de Engenharia Civil – Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie. [28] CUNHA, A. J. P.; SOUZA, V. C. M. Lajes em Concreto Armado e Protendido. Niterói, Editora Universidade Federal Fluminense – EDUFF, 1994. [29] FUSCO, P. B. Estruturas de Concreto. Fundamentos do Projeto Estrutural. Vol.1 São Paulo, Ed. McGraw-Hill do Brasil, 1976. [30] MENDES, M.; FERNANDES, M. B. H.; CASTILHO, P. P.; TAK, Y. J. Curso de Estruturas de Concreto Armado – Projeto de Lajes. Notas de Aula. São Paulo, Departamento de Engenharia Civil – Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, 1982. [31] SÁNCHEZ, E. organizador. Nova Normalização Brasileira para o Concreto Estrutural. Rio de Janeiro, Editora Interciência, 1999.


15/8/2010

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas

CONCRETO ARMADO: ESCADAS

José Luiz Pinheiro Melges Libânio Miranda Pinheiro José Samuel Giongo

Março de 1997

2

SUMÁRIO

1. GENERALIDADES................................................................................................ 04 1.1 Dimensões...................................................................................................... 04 1.2 Tipos............................................................................................................... 05

2. AÇÕES.................................................................................................................. 05 2.1 Peso próprio.................................................................................................... 05 2.2 Revestimentos................................................................................................ 05 2.3 Ação variável (ou ação de uso)...................................................................... 06 2.4 Gradil, mureta ou parede................................................................................ 07

3. ESCADAS RETANGULARES............................................................................... 08 3.1 Escadas armadas transversalmente............................................................... 08 3.2 Escadas armadas longitudinalmente.............................................................. 09 3.3 Escadas armadas em cruz.............................................................................. 10 3.4 Escadas com patamar.....................................................................................11 3.5 Escadas com laje em balanço......................................................................... 12 3.6 Escadas em viga reta, com degraus em balanço........................................... 13 3.7 Escadas com degraus engastados um a um (escada em "cascata").............. 14

4. ESCADAS COM LAJES ORTOGONAIS............................................................... 16 4.1 Escadas em L................................................................................................. 16 4.1.1 Escada em L com vigas em todo o contorno externo............................ 16 4.1.2 Escada em L sem uma viga inclinada................................................... 18 4.2 Escadas em U................................................................................................. 20 4.2.1 Escada em U com vigas em todo o contorno externo........................... 20 4.2.2 Escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4.................................... 22 4.2.3 Escada em U sem a viga inclinada V3.................................................. 23 4.3 Escadas em O................................................................................................. 26 4.3.1 Escada em O com vigas em todo o contorno externo........................... 26 4.3.2 Escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 ou V1 e V3.................. 28

3

5. ESCADAS COM LANCES ADJACENTES............................................................ 29 5.1 Escada com lances adjacentes, com vigas inclinadas no contorno externo .. 30 5.2 Escada com lances adjacentes, sem as vigas inclinadas V2 e V4................. 32 5.3 Escada com lances adjacentes, sem a viga V3.............................................. 33

6. OUTROS TIPOS DE ESCADA.............................................................................. 35

7. EXEMPLO: ESCADA DE UM EDIFÍCIO PARA ESCRITÓRIOS........................... 36 7.1 Avaliação da espessura da laje...................................................................... 39 7.2 Cálculo da espessura média .......................................................................... 40 7.3 Ações nas lajes............................................................................................... 40 7.4 Reações de apoio........................................................................................... 41 7.5 Vãos referentes aos lances inclinados e aos patamares................................ 42 7.6 Dimensionamento dos lances (L2 e L4).......................................................... 42 7.7 Dimensionamento dos patamares (L1 e L3)................................................... 44 7.8 Dimensionamento das vigas VE1, VE2 e VE3................................................ 46 7.8.1 Viga VE1 (22 cm x 30 cm)..................................................................... 47 7.8.2 Viga VE2 (22 cm x 30 cm)..................................................................... 48 7.8.3 Viga VE3 (22 cm x 30 cm)..................................................................... 49 7.9 Detalhamento.................................................................................................. 50 7.9.1 Detalhamento das lajes......................................................................... 50 7.9.2 Detalhamento da viga VE1.................................................................... 53 7.9.3 Detalhamento da viga VE2.................................................................... 53 7.9.4 Detalhamento da viga VE3.................................................................... 54 7.10 Comprimento das barras............................................................................... 54 7.11 Quantidade de barras................................................................................... 55

BIBLIOGRAFIA......................................................................................................... 58

4

1. GENERALIDADES Apresenta-se um estudo das escadas usuais de concreto armado. Escadas especiais, com comportamento diferente do trivial, não serão aqui analisadas.

1.1 Dimensões Recomenda-se, para a obtenção de uma escada confortável, que seja verificada a relação: s + 2 e = 60 cm a 64 cm (Figura 1), onde s representa o valor do "passo" e e representa o valor do "espelho", ou seja, a altura do degrau. Entretanto, alguns códigos de obra especificam valores extremos, como, por exemplo: s ≥ 25 cm e e ≤ 19 cm. Valores fora destes intervalos só se justificam para escadas com fins especiais, como por exemplo escadas de uso eventual. Impõe-se ainda que a altura livre (hl) seja no mínimo igual a 2,10 m. Sendo lv o desnível a vencer com a escada, lh o seu desenvolvimento horizontal e n o número de degraus, tem-se: lv e= ; lh = s ( n − 1 ) n s + 2 e = 60 cm a 64 cm tan α =

h1 =

e s

h cos α

(h1 ≥ 7 cm)

e hm = h1 + 2 n=

lv e

Figura 1 - Recomendações para algumas dimensões da escada Considerando-se s + 2 e = 62 cm (valor médio entre 60 cm e 64 cm), apresentam-se alguns exemplos: • escadas interiores apertadas: s = 25 cm; e = 18,5 cm • escadas interiores folgadas: s = 28 cm; e = 17,0 cm • escadas externas: s = 32 cm; e = 15,0 cm • escadas de marinheiro: s = 0; e = 31,0 cm Segundo MACHADO (1983), a largura da escada deve ser superior a 80 cm em geral e da ordem de 120 cm em edifícios de apartamentos, de escritórios e também em hotéis.

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Já segundo outros projetistas, a largura correntemente adotada para escadas interiores é de 100 cm, sendo que, para escadas de serviço, pode-se ter o mínimo de 70 cm.

1.2 Tipos Serão estudados os seguintes tipos de escadas: • retangulares armadas transversalmente, longitudinalmente ou em cruz; • com patamar; • com laje em balanço; • em viga reta, com degraus em balanço; • com degraus engastados um a um (escada em "cascata"); • com lajes ortogonais; • com lances adjacentes.

2. AÇÕES As ações serão consideradas verticais por m2 de projeção horizontal.

2.1 Peso próprio O peso próprio é calculado com a espessura média hm, definida na Figura 2, e com o peso específico do concreto igual a 25 kN/m3. Se a laje for de espessura constante e o enchimento dos degraus for de alvenaria, o peso próprio será calculado somando-se o peso da laje, calculado em função da espessura h1, ao peso do enchimento, calculado em função da espessura média e/2 (Figura 3).

Figura 2 - Laje com degraus de concreto

Figura 3 - Laje com degraus de alvenaria

2.2 Revestimentos Para a força uniformemente distribuída de revestimento inferior (forro), somada à de piso, costumam ser adotados valores no intervalo de 0,8 kN/m2 a 1,2 kN/m2. Para o caso de materiais que aumentem consideravelmente o valor da ação, como por exemplo o mármore, aconselha-se utilizar um valor maior.

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2.3 Ação variável (ou ação de uso) Os valores mínimos para as ações de uso, especificados pela NBR 6120 (1980), são os seguintes: • escadas com acesso público: 3,0 kN/m2; • escadas sem acesso público: 2,5 kN/m2. Ainda conforme a NBR 6120 (1980), em seu item 2.2.1.7, quando uma escada for constituída de degraus isolados, estes também devem ser calculados para suportar uma força concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição mais desfavorável. Como exemplo, para o dimensionamento de uma escada com degraus isolados em balanço, além da verificação utilizando-se ações permanentes (g) e variáveis (q), deve-se verificar o seguinte esquema de carregamento, ilustrado na Figura 4.

Figura 4 - Degraus isolados em balanço: dimensionamento utilizando-se a força concentrada variável Q Neste esquema, o termo g representa as ações permanentes linearmente distribuídas e Q representa a força concentrada de 2,5 kN. Portanto, para esta verificação, têm-se os seguintes esforços: Momento fletor: M =

g l2 +Ql 2

;

Força cortante: V = g l + Q

No entanto, este carregamento não deve ser considerado na composição das ações aplicadas às vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para a carga indicada anteriormente (3,0 kN/m2 ou 2,5 kN/m2), conforme a Figura 5.

Figura 5 - Ações a serem consideradas no dimensionamento da viga

7

2.4 Gradil, mureta ou parede Quando a ação de gradil, mureta ou parede não está aplicada diretamente sobre uma viga de apoio, ela deve ser considerada no cálculo da laje. A rigor esta ação é uma força linearmente distribuída ao longo da borda da laje. No entanto, esta consideração acarreta um trabalho que não se justifica nos casos comuns. Sendo assim, uma simplificação que geralmente conduz a bons resultados consiste em transformar a resultante desta ação em outra uniformemente distribuída, podendo esta ser somada às ações anteriores. O cálculo dos esforços é feito, então, de uma única vez. a) Gradil

O peso do gradil varia, em geral, no intervalo de 0,3 kN/m a 0,5 kN/m. b) Mureta ou parede

O valor desta ação depende do material empregado: tijolo maciço, tijolo cerâmico furado ou bloco de concreto. Os valores usuais, incluindo revestimentos, são indicados na tabela 1. Tabela 1 - Ações para mureta ou parede

Material

Espessura

Ação (kN/m2)

Tijolo maciço

1/2 tijolo (15 cm) 1 tijolo (25 cm) 1/2 tijolo (15 cm) 1 tijolo (25 cm) 10 cm 15 cm 20 cm

2,7 4,5 1,9 3,2 1,9 2,5 3,2

Tijolo furado Bloco de concreto

Segundo o item 2.2.1.5 da NBR 6120 (1980), ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m (Figura 6). Figura 6 - Ações definidas pela NBR 6120 (1980), para parapeitos

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3. ESCADAS RETANGULARES Serão consideradas as escadas armadas transversalmente, longitudinalmente e em cruz, as escadas com patamar e as com laje em balanço, além das escadas com degraus isolados engastados em viga reta e as escadas em cascata.

3.1 Escadas armadas transversalmente Sendo "l" o vão teórico indicado na Figura 7 e "p" a força total uniformemente distribuída, os esforços máximos, dados por unidade de comprimento, são: p l2 pl ; Força cortante: v = Momento fletor: m = 2 8 Em geral, a taxa de armadura de flexão resulta inferior à mínima (asmín). No cálculo da armadura mínima recomenda-se usar h1: asmín = 0,15% bw h1, sendo h1 ≥ 7 cm. Permite-se usar também a espessura h, mostrada na Figura 7, por ela ser pouco inferior a h1.

Figura 7- Escada armada transversalmente Denominando-se a armadura de distribuição de asdistr, obtém-se: 1 / 5 da armadura principal a sdistr ≥  0,90 cm 2 / m

O espaçamento máximo das barras da armadura principal não deve ser superior a 20 cm. Já o espaçamento da armadura de distribuição não deve superar 33 cm. Este tipo de escada é comumente encontrado em residências, sendo construída entre duas paredes que lhe servem de apoio. Neste caso, não se deve esquecer de considerar, no cálculo da viga-baldrame, a reação da escada na alvenaria.

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3.2 Escadas armadas longitudinalmente O peso próprio é em geral avaliado por m2 de projeção horizontal. É pouco usual a consideração da força uniformemente distribuída por m2 de superfície inclinada. Conforme a notação indicada na Figura 8, o momento máximo, dado por unidade de largura, é igual a: m=

l p li pi

= = = =

p l2 8

ou

m=

pi l i2 8

vão na direção horizontal força vertical uniformemente distribuída vão na direção inclinada força uniformemente distribuída perpendicular ao vão inclinado

Figura 8 - Escada armada longitudinalmente O valor da força inclinada uniformemente distribuída (pi) pode ser obtido da seguinte forma: considera-se largura unitária e calcula-se a força resultante que atua verticalmente (P); projeta-se esta força na direção perpendicular ao vão inclinado (Pi); divide-se essa força (Pi) pelo valor do vão inclinado (li), de forma a se obter uma força uniformemente distribuída (pi), na direção perpendicular ao vão inclinado. O roteiro referente a este cálculo está ilustrado na Figura 9. Com base no procedimento mencionado, têm-se as seguintes expressões: li = l / cos α P=pl Pi = P cos α = p l cos α pi = Pi / li = ( p l cos α) / (l / cos α ) = p (cos α)2

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Figura 9 - Roteiro para obtenção do valor de pi

O esforço cortante (v), por unidade de largura, nas extremidades resulta: 2  l  p ( cos α )    cos α  p l cos α pi l i v= = = 2 2 2

Supondo as mesmas condições de apoio nas duas extremidades, a força resultante projetada na direção do vão inclinado (P sen α) irá produzir as reações (p l sen α) / 2, de tração na extremidade superior e de compressão na extremidade inferior. As tensões produzidas são pequenas e em geral não precisam ser levadas em consideração. As extremidades poderão ser engastadas e, para este caso, deverão ser consideradas as devidas condições estáticas. Tanto no dimensionamento quanto no cálculo da armadura mínima, utiliza-se a altura h (Figura 8).

3.3 Escadas armadas em cruz Os esforços são calculados utilizando-se tabelas para ações verticais e considerando-se os vãos medidos na horizontal. Este tipo de escada está ilustrado na Figura 10. Para o dimensionamento, na direção transversal, pode-se utilizar a altura h1 no cálculo da armadura mínima. Já na direção longitudinal utiliza-se a altura h. O cálculo das vigas horizontais não apresenta novidades. Nas vigas inclinadas, as ações são admitidas verticais por metro de projeção horizontal e os vãos são medidos na horizontal.

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Figura 10 - Escada armada em cruz

3.4 Escadas com patamar Para este tipo de escada, são possíveis várias disposições conforme mostra a Figura 11. O cálculo consiste em se considerar a laje como simplesmente apoiada, lembrando que a ação atuante no patamar em geral é diferente daquela atuante na escada propriamente dita.

Figura 11 - Tipos de patamares (MANCINI, 1971) Nos casos (a) e (b), dependendo das condições de extremidade, o funcionamento real da estrutura pode ser melhor interpretado com o cálculo detalhado a seguir. Considera-se o comportamento estático da estrutura representado na Figura 12.

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Figura 12 - Comportamento estático (MANCINI, 1971) A reação RB pode ser dada pela composição das compressões Ce e Cp, que ocorrem na escada e no patamar, respectivamente. Essas compressões podem ocorrer em função das condições de apoio, nas extremidades da escada. Já os casos (c) e (d) não são passíveis deste tratamento, por se tratarem de estruturas deformáveis. Considerando-se o cálculo mencionado (escada simplesmente apoiada), devese tomar muito cuidado no detalhamento da armadura positiva. A armadura mostrada na Figura 13a tenderá a se retificar, saltando para fora da massa de concreto que, nessa região, tem apenas a espessura do cobrimento. Para que isso não aconteça, tem-se o detalhamento correto ilustrado na Figura 13b.

(a) Incorreto

(b) Correto

Figura 13 - Detalhamento da armadura

3.5 Escadas com laje em balanço Neste tipo de escada, uma de suas extremidades é engastada e a outra é livre. Na Figura 14, o engastamento da escada se faz na viga lateral V. O cálculo da laje é bastante simples, sendo armada em uma única direção, com barras principais superiores (armadura negativa). No dimensionamento da viga, deve-se considerar o cálculo à flexão e à torção. Este último esforço deverá ser absorvido por pilares ou por vigas ortogonais. Na Figura 15, os espelhos dos degraus trabalham como vigas engastadas na viga lateral, recebendo as ações verticais provenientes dos degraus, dadas por unidade de projeção horizontal. Já os elementos horizontais (passos) são dimensionados como lajes, geralmente utilizando-se uma armadura construtiva.

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Figura 14 - Laje em balanço, engastada em viga lateral (MANCINI, 1971)

Figura 15 - Laje em balanço, com espelhos trabalhando como vigas

3.6 Escadas em viga reta, com degraus em balanço Os degraus são isolados e se engastam em vigas, que podem ocupar posição central ou lateral (Figura 16).

Figura 16 - Escada em viga reta, com degraus em balanço Mesmo no caso da viga ocupar posição central, deve-se considerar a possibilidade de carregamento assimétrico ocasionando torção na viga, com ações variáveis (q e Q) atuando só de um lado (ver item 2.3). Os degraus são armados como pequenas vigas, sendo interessante, devido à sua pequena largura, a utilização de estribos. Detalhes típicos são mostrados na Figura 17. Para estes casos, a prática demonstra que é interessante adotar dimensões mais robustas que as mínimas estaticamente determinadas. A leveza deste tipo de escada pode ser responsável por problemas de vibração na estrutura. Os degraus podem também ser engastados em uma coluna, que, neste caso, estará sujeita a flexão composta.

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Figura 17 - Detalhes típicos

3.7 Escadas com degraus engastados um a um (escada em "cascata") Se a escada for armada transversalmente, ou seja, caso se possa contar com pelo menos uma viga lateral, recai-se no tipo ilustrado na Figura 15 do item 3.5. Caso a escada seja armada longitudinalmente, segundo MACHADO (1983), ela deverá ser calculada como sendo uma viga de eixo não reto. Os elementos verticais poderão estar flexo-comprimidos ou flexo-tracionados. Já os elementos horizontais são solicitados por momento fletor e por força cortante, para o caso de estruturas isostáticas com reações verticais. Tem-se este exemplo ilustrado na Figura 18. Segundo outros projetistas, pode-se considerar os degraus engastados um no outro, ao longo das arestas, resistindo aos momentos de cálculo. Neste caso, devido ao grande número de cantos vivos, recomenda-se dispor de uma armadura na face superior (Figura 19). As armaduras indicadas na Figura 19 podem ser substituídas pelas barras indicadas na Figura 18b, referente a vãos grandes.

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(Para vãos pequenos)

(Para vãos grandes) a) Esquema geral

b) Detalhamento típico

c) Esquema estático e diagrama dos esforços Figura 18 - Exemplo de escada em cascata (MACHADO, 1983)

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Figura 19 - Esquema para escada em cascata

4. ESCADAS COM LAJES ORTOGONAIS Podem ser em L, em U ou em O. Apresenta-se processo de cálculo simplificado, que pode ser utilizado nos casos comuns.

4.1 Escadas em L Este tipo de escada está ilustrado na Figura 20. Podem ter ou não vigas ao longo do contorno externo.

Figura 20 - Escada em L 4.1.1 Escada em L com vigas em todo o contorno externo

Uma escada em L com vigas em todo o contorno externo encontra-se esquematizada na Figura 21a. As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas, conforme indicado na Figura 21b. O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 22. As lajes L1 e L2 são consideradas apoiadas em três bordas, com a quarta borda livre. As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes.

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Os momentos fletores podem ser obtidos, por exemplo, nas tabelas indicadas por PINHEIRO (1993), utilizando-se, para este caso, a tabela referente à laje tipo 7. O detalhamento típico das armaduras encontra-se na Figura 23.

a) Forma estrutural

b) Reações de apoio

Figura 21 - Escada em L com vigas no contorno externo: forma estrutural e esquema das reações de apoio

Figura 22 - Esquema para cálculo dos momentos fletores

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Figura 23 - Detalhe típico das armaduras 4.1.2 Escada em L sem uma viga inclinada

Uma escada em L, sem uma das vigas inclinadas, encontra-se indicada na Figura 24a. A Figura 24b indica a distribuição das reações de apoio, segundo o processo das áreas.

a) Forma estrutural


Figura 24 - Escada em L sem uma viga inclinada: forma estrutural e esquema das reações de apoio O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 25a. Considera-se que a laje L1 esteja apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2. Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V3. A reação de apoio da laje L1 na L2, obtida pelo processo das áreas, é considerada uniformemente distribuída na L2. Esta reação resulta no valor indicado a seguir, que é somado à ação que atua diretamente na laje L2: p . c2 1 . 2 a (c + d )

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Para obtenção dos momentos fletores na laje L1, como já foi visto, podem-se utilizar tabelas, considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e a outra livre. Já a laje L2 é considerada biapoiada, com: m=

p * l2 , onde l, no caso, é igual ao comprimenmto (c + d). 8

O termo p* representa a ação total que atua na laje L2, sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje à reação proveniente da laje L1. O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 25b, recomendando-se posicionar as barras longitudinais da laje L2 por baixo das relativas à laje L1.

a) Escada em L, sem uma viga inclinada

b) Detalhe das armaduras Figura 25 - Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras

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4.2 Escadas em U Este tipo de escada está ilustrado na Figura 26. Pode ter ou não vigas ao longo do contorno externo.

Figura 26 - Escada em U

4.2.1 Escada em U com vigas em todo o contorno externo

Uma escada em U com vigas em todo o contorno externo encontra-se esquematizada na Figura 27a. As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas, conforme indicado na Figura 27b. O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 28. As lajes L1, L2 e L3 são consideradas apoiadas em três bordas, com a quarta borda livre. As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes. Conforme já visto no item 4.1.1, os momentos fletores podem ser obtidos através de tabelas. O detalhamento típico das armaduras encontra-se na Figura 29.

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a) Forma estrutural


Figura 27 - Escada em U com vigas no contorno externo: forma estrutural e esquema das reações de apoio

Figura 28 - Esquema para cálculo dos momentos fletores

Figura 29 - Detalhe típico das armaduras

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4.2.2 Escada em U sem as vigas inclinadas V2 e V4

Uma escada em U, sem as vigas inclinadas V2 e V4, encontra-se indicada na Figura 30a. A Figura 30b indica a distribuição das reações de apoio, segundo o processo das áreas. O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 31a. Considera-se a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V3. Já a laje L2 é considerada apoiada na viga V3 e nas lajes L1 e L3. Por fim, a laje L3 apoia-se nas vigas V3 e V5. As reações de apoio da laje L2 nas lajes L1 e L3, obtidas pelo processo das áreas, são consideradas uniformemente distribuídas nas lajes L1 e L3. Portanto essas reações devem ser somadas às ações que atuam diretamente nas lajes L1 e L3. Os momentos fletores que atuam na laje L2 podem ser calculados utilizando-se tabelas e considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e a outra livre. Já as lajes L1 e L3 são consideradas biapoiadas, com: m=

p * l2 , onde l, no caso, é igual ao comprimenmto (a + b). 8

O termo p* representa a ação total que atua em cada laje, sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente em cada laje à reação proveniente da laje L2. O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 31b, com as armaduras longitudinais das lajes L1 e L3 passando por baixo das relativas à laje L2.

a) Forma estrutural


Figura 30 - Escada em U sem vigas inclinadas V2 e V4: forma estrutural e esquema das reações de apoio

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a) Escada em U, sem as vigas inclinadas V2 e V4


4.2.3 Escada em U sem a viga inclinada V3

Uma escada em U, sem a viga inclinada V3, encontra-se indicada na Figura 32a. A Figura 32b indica a distribuição das reações de apoio, segundo o processo das áreas. O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 33a. Considera-se a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2. Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V4. Por fim, a laje L3 apoia-se na laje L2 e nas vigas V4 e V5.

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As reações de apoio das lajes L1 e L3, obtidas pelo processo das áreas, são consideradas uniformemente distribuídas na laje L2. Portanto essas reações devem ser somadas à ação que atua diretamente na laje L2. Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados utilizando-se tabelas e considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e a outra livre. Já a laje L2 é considerada biapoiada, com: p * l2 m= , onde l, no caso, é igual ao comprimenmto (2c + d). 8

O termo p* representa a ação total que atua na laje L2, sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje às reações provenientes das lajes L1 e L3. O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 33b. Recomenda-se que as barras da armadura longitudinal da laje L2 passem por baixo daquelas correspondentes às lajes L1 e L3.

a) Forma estrutural


Figura 32 - Escada em U sem a viga inclinada V3: forma estrutural e esquema das reações de apoio

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a) Escada em U, sem a viga inclinada V3

b) Detalhe das armaduras

Figura 33 - Esquema para cálculo dos momentos fletores e detalhe das armaduras

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4.3 Escadas em O Este tipo de escada está ilustrado na Figura 34. Pode ter ou não vigas ao longo do contorno externo

Figura 34 - Escada em O 4.3.1 Escada em O com vigas em todo o contorno externo

Uma escada em O com vigas em todo o contorno externo encontra-se esquematizada na Figura 35a. As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas, conforme indicado na Figura 35b. O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 36. As lajes L1, L2, L3 e L4 são consideradas apoiadas em três bordas, com a quarta borda livre. As ações são admitidas uniformemente distribuídas nas lajes. Os momentos fletores podem ser obtidos mediante o uso de tabelas, considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e uma livre. O detalhamento típico das armaduras é análogo ao mostrado para escada em U, corte BB (Figura 29). Deve-se, sempre que possível, passar a armadura perpendicular à uma borda livre por cima da armadura que tenha extremidades ancoradas em vigas.

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a) Forma estrutural


Figura 35 - Escada em O com vigas no contorno externo: forma estrutural e esquema das reações de apoio

Figura 36 - Escada em O com vigas no contorno externo: esquema para cálculo dos momentos fletores

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4.3.2 Escada em O sem as vigas inclinadas V2 e V4 ou V1 e V3

Uma escada em O, sem as vigas inclinadas V2 e V4, encontra-se indicada na Figura 37a. A Figura 37b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas. O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 38a. Consideram-se as lajes L2 e L4 apoiadas nas vigas V1 e V3. Já a laje L1 é considerada apoiada na viga V1 e nas lajes L2 e L4. Por fim, a laje L3 apoia-se na viga V3 e nas lajes L2 e L4. As reações de apoio das lajes L1 e L3, obtidas pelo processo das áreas, são consideradas uniformemente distribuídas nas lajes L2 e L4. Portanto as reações provenientes das lajes L1 e L3 devem ser somadas às ações que atuam diretamente nas lajes L2 e L4. Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados mediante o uso de tabelas, considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e a outra livre. Já as lajes L2 e L4 são consideradas biapoiadas, com: m=

p * l2 , onde l, no caso, é igual ao comprimenmto (2c + d). 8

O termo p* representa a ação total que atua na laje, sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente em cada laje às reações provenientes das lajes L1 e L3.

a) Forma estrutural


Figura 37 - Escada em O sem vigas inclinadas V2 e V4: forma estrutural e esquema das reações de apoio

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O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 38b. Recomenda-se que a armadura longitudinal das lajes L2 e L4 passe por baixo daquelas correspondentes às lajes L1 e L3.

a) Escada em O, sem as vigas inclinadas V2 e V4


5. ESCADAS COM LANCES ADJACENTES. Este tipo de escada está ilustrado na Figura 39. Podem ter ou não vigas ao longo do contorno externo. Nas figuras utilizadas para representar este tipo de escada, a linha tracejada que acompanha internamente os lances da escada representa a faixa de sobreposição de um lance em outro.

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Figura 39 - Escada com lances adjacentes 5.1 Escada com lances adjacentes, com vigas inclinadas no contorno externo

Uma escada com lances adjacentes, com vigas em todo o contorno externo, encontra-se esquematizada na Figura 40a. As reações de apoio podem ser calculadas pelo processo das áreas, conforme indicado na Figura 40b. O processo simplificado ora sugerido para cálculo dos momentos fletores consiste em dividir a escada conforme o esquema indicado na Figura 41a. As lajes L1, L2 e L3 são consideradas apoiadas em três bordas, com a quarta borda livre.

a) Forma estrutural


Figura 40 - Escada com lances adjacentes, com vigas no contorno externo: forma estrutural e esquema das reações de apoio

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Os momentos fletores podem ser obtidos mediante o uso de tabelas, considerando-se carregamento uniformemente distribuído e considerando-se três bordas apoiadas e a outra livre. O detalhamento típico das armaduras encontra-se na Figura 41b.

a) Esquema para cálculo de momentos fletores

b) Detalhe típico das armaduras Figura 41 - Escada com lances adjacentes com vigas no contorno externo: esquema de cálculo e detalhe das armaduras.

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5.2 Escada com lances adjacentes, sem as vigas inclinadas V2 e V4

Uma escada com lances adjacentes, sem as vigas inclinadas V2 e V4, encontrase indicada na Figura 42a. A Figura 42b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas.

a) Forma estrutural


Figura 42 - Escada com lances adjacentes, sem as vigas inclinadas V2 e V4: forma estrutural e esquema das reações de apoio

O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 43a. Considera-se a laje L1 como estando apoiada nas vigas V1 e V3. Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V3 e V5. Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L2 são calculados considerando-as biapoiadas: p l2 m= 8

O termo p representa a ação total que atua nas lajes L1 e L2. Com relação à Figura 43a, o termo l representa o maior vão (a+b). O detalhamento das armaduras está ilustrado na Figura 43b.

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a) Escada com lances adjacentes, sem as vigas inclinadas V2 e V4


5.3 Escada com lances adjacentes, sem a viga V3

Uma escada com lances adjacentes, sem a viga V3, encontra-se indicada na Figura 44a. A Figura 44b indica a distribuição das reações de apoio segundo o processo das áreas. O cálculo dos momentos fletores encontra-se esquematizado na Figura 45a. Considera-se a laje L1 apoiada nas vigas V1 e V2 e na laje L2. Já a laje L2 é considerada apoiada nas vigas V2 e V4.

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Por fim, a laje L3 apoia-se nas vigas V4 e V5 e na laje L2. As reações de apoio das lajes L1 e L3, na laje L2, obtidas pelo processo das áreas, são consideradas uniformemente distribuídas na laje L2. Portanto estas reações devem ser somadas às ações que atuam diretamente na laje L2. Os momentos fletores que atuam nas lajes L1 e L3 podem ser calculados utilizando-se tabelas e considerando-se carregamento uniformemente distribuído, três bordas apoiadas e a outra livre. Já a laje L2 é considerada biapoiada, com: p * l2 m= , onde l, no caso, é igual ao comprimenmto (d). 8

O termo p* representa a ação total que atua na laje, sendo esta constituída pela soma da ação que atua diretamente na laje L2 às reações provenientes das lajes L1 e L3. O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 45b. Recomenda-se que a armadura longitudinal da laje L2 passe por baixo daquela correspondente às lajes L1 e L3.

a) Forma estrutural


Figura 44 - Escada com lances adjacentes, sem a viga V3: forma estrutural e esquema das reações de apoio

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a) Escada com lances adjacentes, sem a viga V3


6. OUTROS TIPOS DE ESCADA Para escadas diferentes das aqui apresentadas, devem ser consultados trabalhos específicos. Por exemplo, para escadas helicoidais, tem-se o trabalho de AZAMBUJA (1962); para escadas autoportantes sem apoio no patamar tem-se o trabalho de KNIJNIK; TAVARES (1977); para escadas em espiral com apoio no centro, tem-se o trabalho de RUTEMBERG (1975).

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7. EXEMPLO: ESCADA DE UM EDIFÍCIO PARA ESCRITÓRIOS O exemplo a ser desenvolvido será o de uma escada com lances adjacentes, com patamares, para um edifício de escritórios. Deverá ser considerada a existência de uma mureta de 1/2 tijolo furado separando os lances, com altura igual a 1,1 m e ação correspondente a 1,9 kN/m2 de parede. Já com relação às paredes localizadas sobre as vigas, considerou-se uma ação de 3,2 kN/m2, referente à espessura de 1 tijolo. A Figura 46 apresenta o desenho da forma estrutural da escada em planta, que é o corte horizontal da estrutura, com o observador olhando para baixo. Uma vista e dois cortes são apresentados nas figuras 47, 48 e 49, respectivamente. Como dados iniciais, serão utilizados, neste projeto, concreto C20 e aço CA 50A; além disso, os valores do passo (s) da escada e da altura do degrau (e) são, respectivamente, 30 cm e 16,67 cm, sendo este último um valor aproximado.

Figura 46 - Forma estrutural (dimensões em cm)

37

Figura 47 - Vista A-A (dimensões em cm)

Figura 48 - Corte B-B (dimensões em cm)

38

Figura 49 - Corte C-C (dimensões em cm)

Considera-se que a viga inclinada VE3 esteja apoiada na viga VT2 do pavimento tipo e no pilar P4. Já a viga inclinada VE1 é considerada apoiada na viga VT1 do pavimento tipo e no pilar P2. Os vãos das vigas inclinadas foram obtidos considerando-se a distância horizontal entre os pontos de intersecção dos eixos longitudinais das vigas e dos pilares (Figura 50).

a) Viga VE3

b)Viga VE1

Figura 50 - Vãos das vigas inclinadas Para melhor visualizar o esquema das ligações entre as vigas e os pilares, temse a Figura 51.

39

Figura 51 - Esquema das ligações entre vigas e pilares (sem escala)

7.1 Avaliação da espessura da laje Para avaliar a espessura da laje e, em função desse valor, adotar o efetivo, pode-se associar a abertura da escada a uma laje maciça, de lados com as mesmas dimensões (de centro a centro das vigas) e de condições de vinculação idênticas. Assim, para uma abertura retangular de 5,48 m x 3,32 m, tem-se uma laje de lados iguais a esses valores e simplesmente apoiada no seu contorno (Figura 52).

Figura 52 - Abertura da escada associada a uma laje maciça (dimensões em cm) Segundo a NBR 6118 (1982) e utilizando-se a tabela 2.1a, dada por PINHEIRO(1993): d ≥ l / (ψ2 ψ3)

onde:

d = altura útil da laje l = lx = menor vão

40

Para o aço CA 50A, tem-se: λ = 5,48 / 3,32 = 1,65 (tabela 2.1a)

ψ3 = 25 ψ2 = 1,24

d ≥ 332 / (1,24 . 25) = 10,71 cm

Adota-se: h = 10 cm

⇒

7.2 Cálculo da espessura média Têm-se que a largura (s) e a altura (e) dos degraus são iguais a 30 cm e 16,67 cm, respectivamente. Portanto: s + 2 e = 63 cm, o que satisfaz à condição de conforto. As espessuras h, h1 e hm estão ilustradas na Figura 53. tan α = 16,67 / 30 = 0,556 o

= 29,06

cos α = 0,874 h1 = h / cos α = 10 / 0,874 = 11,44 cm hm = h1 + e / 2 hm = 11,44 + 16,67 / 2 = 19,78 cm Figura 53 - Definição de algumas espessuras da escada (dimensões em cm)

7.3 Ações nas lajes a) Peso próprio

O peso próprio é calculado utilizando-se a espessura média (hm) para os lances inclinados e a espessura da laje (h) para os patamares. Considera-se o peso específico do concreto igual a 25 kN/m3. Portanto: pp =

γc

( hm . A l + h . 2 A p ) At

A = área dos lances = 2,40 . 3,10 = 7,44 m2 Ap = área do patamar = 1,43 . 3,10 = 4,43 m2 At = área total do espaço a ser ocupado pela escada = 5,26 . 3,10 = 16,31 m2

pp =

25 ( 0,1978 . 7,44 + 0,10 . 2 . 4,43) 16,31

= 3,62 kN / m 2

41

b) Piso e revestimento

Adotou-se um valor médio igual a 1,0 kN/m2. c) Mureta de meio tijolo furado

A ação proveniente da mureta deverá ser considerada em dobro, uma vez que esta ação está presente nos dois lances da escada. Peso próprio das muretas (ppm) = ( pm . Am . 2 ) / At pm = peso de parede de ½ tijolo furado = 1,90 kN/m2 Am = área de mureta presente em um lance de escada = 1,1 . 2,40 = 2,64 m2 At = área total do espaço a ser ocupado pela escada = 5,26 . 3,10 = 16,31 m2 Peso próprio das muretas (ppm): (1,90 . 2,64 . 2 ) / 16,31 = 0,62 kN/m2 d) Ação variável

NBR 6120 (1980), para escadas com acesso público: 3,0 kN/m2. e) Resumo das ações (tabela 2)

Tabela 2 - Resumo das ações (kN/m2) Peso próprio Piso + revestimento Mureta (tijolo furado) Ação variável Total:

3,62 1,00 0,62 3,00 8,24

Portanto: g + q = 5,24 + 3,00 = 8,24 kN/m2

7.4 Reações de apoio As reações de apoio serão obtidas utilizando-se a notação indicada na Figura 54 e a tabela 2.3b, de PINHEIRO (1993). As reações de apoio (v) são determinadas pela expressão:

v=

υ(g +q )l 10

;

υ = coeficiente (tabela 2.3.b) l = menor vão da laje lx = 332 cm

Com relação à notação utilizada, observa-se que a reação vx refere-se aos lados da laje que são perpendiculares ao eixo x.

42

Cálculos: Laje tipo 1 λ = 5,48 / 3,32 = 1,65

υx = 3,48

vx = (3,48 . 8,24 . 3,32 ) / 10 vx = 9,52 kN/m

υy = 2,50 Figura 54 - Reações da laje (unidades kN/m e m)

vy = (2,50 . 8,24 . 3,32 ) / 10 vy = 6,84 kN/m

7.5 Vãos referentes aos lances inclinados e aos patamares Na Figura 55 estão mostrados os vãos teóricos dos lances e dos patamares, que serão calculados separadamente.

Figura 55 - Esquema dos vãos referentes aos lances e aos patamares (dimensões em cm)

7.6 Dimensionamento dos lances (L2 e L4) O cálculo dos momentos fletores e o dimensionamento das lajes à flexão serão feitos utilizando-se, respectivamente, as tabelas 2.5d (laje tipo 7) e 1.1, dadas em PINHEIRO (1993).

43

a) Momentos fletores

O cálculo será feito considerando-se o esquema dado na Figura 56. Os momentos serão obtidos através da seguinte expressão: m=

µ ( g + q ) l2 100

;

µ = coeficiente (tabela 2.5d) l = la = lb = λ =

1,66 m 1,66 m 3,94 m la / lb

(menor vão entre la e lb - Figura 56) (lado perpendicular à borda livre) (lado paralelo à borda livre) = 0,421

Figura 56 - Notação para cálculo de momentos fletores (dimensões em m) Como este valor não está presente na tabela, faz-se uma interpolação. Esta interpolação, para cada um dos coeficientes, está ilustrada na tabela 3. Tabela 3 - Valores interpolados (lances)

γ

µx

µy

µyb

0,40 0,421 0,45

9,94 9,595 9,13

15,31 14,956 14,48

25,94 25,313 24,47

mx = (9,595 . 8,24 . 1,662) / 100 = 2,179 kN.m/m my = (14,956 . 8,24 . 1,662 ) / 100 = 3,396 kN.m/m myb = (25,313 . 8,24 . 1,662) / 100 = 5,748 kN.m/m Com relação à convenção utilizada, considera-se que os momentos fletores calculados são dados por unidade de largura e atuam em um plano de ação indicado pelo índice. Por exemplo, mx é o momento fletor, dado por unidade de largura, com plano de ação paralelo ao eixo x.

44

b) Cálculo das armaduras

Para este exemplo, o cálculo da armadura mínima foi feito considerando-se a espessura h na direção longitudinal ao lance e a espessura h1 na direção transversal. Para aço CA 50 e CA 60, tem-se: • direção longitudinal: asmin = 0,15% . bw . h = (0,15/100) . 100 . 10 = 1,50 cm2/m; • direção transversal: asmin = 0,15% . bw . h1 = (0,15/100) . 100 . 11,44 = 1,72 cm2/m. Em lajes armadas em duas direções, o espaçamento entre as barras (s) não deve superar 20 cm e o diâmetro das barras não deve ser superior a 0,1 h. Portanto:

s ≤ 20 cm φ ≤ 0,1 h = 0,1 . 10 = 1 cm = 10 mm

Adotando-se a altura útil (d) como sendo igual a 9 cm, o cálculo das armaduras está indicado na tabela 4. A disposição das armaduras paralelas ao eixo y está ilustrada na Figura 57. Tabela 4 - Dimensionamento dos lances (L2 e L4)

mx my myb

φ

s

mk kN.cm/m

md kN.cm/m

kc

ks

as 2 cm / m

cm /m

mm

cm

asef 2 cm /m

217,9 339,6 574,8

305,1 475,4 804,7

26,6 17,0 10,1

0,023 0,024 0,024

0,78 1,27 2,15

1,72 1,50 1,50

6,3 6,3 6,3

18 20 15

1,75 1,58 2,10

asmin 2

Obs.

-2%

Figura 57 - Armaduras paralelas ao eixo y (lances)

7.7 Dimensionamento dos patamares (L1 e L3) O cálculo e dimensionamento dos patamares é feito de forma análoga ao já visto no item anterior. a) Momentos fletores

O esquema referente ao cálculo dos momentos fletores está mostrado na Figura 58.

45

Cálculos iniciais: p = 8,24 kN/m2 la = 1,54 lb = 3,32

γ = la / lb = 0,464

Figura 58 - Esquema dos momentos fletores no patamar (dimensões em m) Como o valor de não está presente na tabela, faz-se uma interpolação. Esta interpolação, para cada um dos coeficientes, está ilustrada na tabela 5. Tabela 5 - Valores interpolados (patamares)

γ

µx

µy

µyb

0,45 0,464 0,50

9,13 8,906 8,32

14,48 14,247 13,64

24,47 24,063 23,00

Portanto: mx = (8,906 . 8,24 . 1,542) / 100 my = (14,247 . 8,24 . 1,542) / 100 myb = (24,063 . 8,24 . 1,542) / 100

= 1,740 kN.m/m = 2,784 kN.m/m = 4,702 kN.m/m

b) Cálculo das armaduras

Para o patamar, utiliza-se a espessura h para o cálculo da armadura mínima. Para aço CA 50 e CA 60, tem-se: asmin = 0,15% . bw . h = (0,15 / 100) . 100 . 10 = 1,50 cm2/m Analogamente ao item anterior, tem-se ainda que: s ≤ 20 cm ; φ ≤ 0,1 h = 0,1 . 10 = 1 cm = 10 mm Adotando-se a altura útil (d) como sendo igual a 9 cm, o cálculo das armaduras está indicado na tabela 6 (PINHEIRO, 1993, tabela 1.1). A disposição das armaduras paralelas ao eixo y está ilustrada na Figura 59.

46

Tabela 6 - Dimensionamento dos patamares (L1 e L3)

mx my myb

mk kN.cm/m 174,0 278,4 470,2

md kN.cm/m 243,7 389,8 658,3

kc

ks

33,2 20,8 12,3

0,023 0,0236 0,024

as cm2/m 0,62 1,02 1,76

asmin cm2/m 1,50 1,50 1,50

φ mm 6,3 6,3 6,3

s cm 20 20 18

asef cm2/m 1,58 1,58 1,75

Obs.

- 0,6%

Figura 59 - Armaduras paralelas ao eixo y (patamares)

7.8 Dimensionamento das vigas VE1, VE2 e VE3 Nas vigas inclinadas, as ações são verticais, dadas por metro de projeção horizontal, e os vãos são horizontais. Com relação à parede, será calculada a força resultante dada em função da área de parede e, a seguir, essa força será dividida pelo vão teórico da viga, de forma a se obter uma força linearmente distribuída. Para a parede localizada sobre as vigas, considerou-se a espessura de 1 tijolo, com ação igual a 3,2 kN/m2. A altura útil das vigas foi considerada como sendo igual a 27 cm. Serão calculados, a seguir, alguns parâmetros comuns relacionados às vigas aqui analisadas. a) Armadura longitudinal mínima

Asmin = 0,15% . bw . h = (0,15/100) . 22 . 30 = 0,99 cm2 b) Cálculo da força cortante última Vdu

Este valor indica o limite que a força cortante solicitante não poderá ultrapassar, em hipótese nenhuma. O coeficiente 0,1 altera a unidade de fcd de MPa para kN/cm2.

47

Vdu = τwu . bw . d

onde:

Vdu = 0,1 . 4,29 . 22 . 27 = 255 kN

τwu = 0,30 . fcd ≤ 4,5 MPa τwu = 0,30 . 20 / 1,4 = 4,29 < 4,5 MPa τwu = 4,29 MPa

c) Cálculo de Vd,mín

Toda vez que a força cortante solicitante for menor que Vd,mín, pode-se armar a viga com uma armadura transversal mínima. O coeficiente 0,1 altera as unidades de fcd e fyd de MPa para kN/cm2. Apesar do aço utilizado para estribos (φ 5mm) ser do tipo CA 60, a NBR 6118 (1982) limita o valor da tensão na armadura transversal em 435 MPa.

[

]

Vd,min =

1 ρ w min . f yd + 0,15 fck . 0,1 . b w . d , 115

Vd,min =

 1  0,14 . 435 + 0,15 20  . 0,1 . 22 . 27 = 66 kN  115 ,  100 

d) Armadura transversal mínima

aswmin / n = 0,14 . bw / n = 0,14 . 22 / 2 = 1, 54 cm2/m (n = número de ramos do estribo, geralmente igual a 2) Adotar φ 5 c/ 13 (1,54 cm2/m) Obs.: o espaçamento máximo entre os estribos (s) e o diâmetro das barras (φest), segundo a NBR 6118 (1982), deve obedecer a : 5 mm < φest < bw / 12 s ≤ 0,5 d e 30 cm → s ≤ 13,5 cm 7.8.1 Viga VE1 (22 cm x 30 cm)

O esquema da viga VE1 está mostrado na Figura 60. a) Ações

• • •

• • •

Peso próprio = 0,22 . 0,30 . 25 = 1,65 kN/m Reação de apoio da laje vx = 9,52 kN/m Área de parede = 0,80 . [ (2,818 + 1,378) / 2 ] = 1,678 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado = 1,678 . 3,2 = 5,371 kN Vão = 3,687 m Força de parede linearmente distribuída = 5,371 / 3,687 = 1,457 kN/m Ação total = 1,65 + 9,52 + 1,457 = 12,627 kN/m b) Esforços de cálculo

Momento fletor Md = 1,4 . p . l2 / 8 = 1,4 . 12,627 . 3,6872 / 8 = 30,04 kN.m Força cortante Vd = 1,4 . p . l / 2 = 1,4 . 12,627 . 3,687 / 2 = 32,59 kN

48

c) Armadura longitudinal

Dados: Md = 3 004 kN.cm, C20, CA 50A kc = 5,3 ; ks = 0,025 → As = 2,78 cm2 (superior à armadura mínima) Adota-se, como armadura longitudinal: 4 φ 10 (3,20 cm2)

d) Verificação do cisalhamento

Vd = 32,59 kN < Vdu = 255 kN Vd = 32,59 kN < Vdmin = 66 kN Utilizar armadura mínima: φ 5 c/ 13 (1,54 cm2/m)

Figura 60 - Viga VE1 (dimensões em cm)

7.8.2 Viga VE2 (22 cm x 30 cm)


Peso próprio = 0,22 . 0,30 . 25 = 1,65 kN/m Reação de apoio da laje vy = 6,84 kN/m Área de parede = 0,80 . 2,74 = 2,192 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado = 2,192 . 3,2 = 7,014 kN Vão = 3,14 m Força de parede linearmente distribuída = 7,014 / 3,14 = 2,234 kN/m Ação total = 1,65 + 6,84 + 2,234 = 10,724 kN/m b) Esforços de cálculo

Momento fletor Md = 1,4 . p . l2 / 8 = 1,4 . 10,724 . 3,142 / 8 = 18,50 kN.m Força cortante Vd = 1,4 . p . l / 2 = 1,4 . 10,724 . 3,14 / 2 = 23,57 kN c) Armadura longitudinal

Dados: Md = 1 850 kN.cm , C20, CA 50A kc = 8,7 ; ks = 0,024 → As = 1,64 cm2 (superior à armadura mínima) Adota-se, como armadura longitudinal: 2 φ 10 (1,60 cm2 ; dif. = -2,4%)

49

d) Verificação do cisalhamento


Figura 61 - Esquema para a viga VE2 (unidades em cm) 7.8.3 Viga VE3 (22 cm x 30 cm)


Peso próprio = 0,22 . 0,30 . 25 = 1,65 kN/m Reação de apoio da laje vx = 9,52 kN/m Área de parede = 0,80 . 1,182 + (2,50 + 0,80) . 3,06 / 2 = 5,995 m2 Força concentrada de parede de 1 tijolo furado = 5,995 . 3,2 = 19,183 kN Vão = 4,493 m Força de parede linearmente distribuída = 19,183 / 4,493 = 4,269 kN/m Ação total = 1,65 + 9,52 + 4,269 = 15,439 kN/m

b) Esforços de cálculo

Momento fletor : Md = 1,4 . p . l2 / 8 Md = 1,4 . 15,439 . 4,4932 / 8 Md = 54,54 kN.m Força cortante: Vd = 1,4 . p . l / 2 Vd = 1,4 . 15,439 . 4,493 / 2 Vd = 48,55 kN Figura 62 - Viga VE3 (dimensões em cm)

50

c) Armadura longitudinal

Dados: Md = 5 454 kN.cm, C20, CA 50A kc = 2,941 ; ks = 0,0275 → As = 5,56 cm2 (superior à armadura mínima) Adota-se, como armadura: 3 φ 16 (6 cm2) d) Verificação do cisalhamento


7.9 Detalhamento Apresentam-se os detalhamentos das lajes e das vigas da escada. 7.9.1 Detalhamento das lajes

Em vista da necessidade de se procurar facilitar a construção da escada, foi feita uma compatibilização entre o detalhamento dos lances e dos patamares. Os detalhamentos referentes aos lances e aos patamares estão ilustrados nas figuras 63, 64 e 65. Para o detalhamento da armação em lajes com dois espaçamentos diferentes, procedeu-se da seguinte forma: até a metade da laje utilizou-se um espaçamento; para a metade restante, utilizou-se o outro. Segundo a NBR 6118 (1982), qualquer barra da armadura, inclusive de distribuição, de montagem e estribos, deve ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não inferior a 0,5 cm e 1,5 cm, respectivamente, para lajes e para vigas no interior de edifícios. Para as barras de laje que estivessem ancoradas em vigas, considerou-se o valor do cobrimento utilizado para armaduras das vigas. Visando proteger as bordas livres dos lances, optou-se pela utilização de um gancho em forma de U, com comprimento de um de seus ramos igual a duas vezes a espessura da laje. Essa armadura foi disposta perpendicular ao plano médio da laje. Para fornecer às lajes um melhor comportamento estrutural, pode-se observar que a armadura perpendicular à borda livre foi disposta por cima da armadura disposta paralelamente à borda livre.

51

Observação: ver detalhamento correto das barras N1 e N2 na Figura 64

Figura 63 - Esquema geral da armação entre lances e patamares (dimensões em cm)

52

Figura 64 - Corte D-D (dimensões em cm)

Figura 65 - Corte B-B (dimensões em cm)

53

7.9.2 Detalhamento da Viga VE1

Este detalhamento é apresentado na Figura 66.

Figura 66 - Detalhamento da viga VE1


Este detalhamento é apresentado na Figura 67


54


Este detalhamento é apresentado na Figura 68.


7.10 Comprimento das barras O cálculo do comprimento total das barras foi realizado com o auxílio de tabelas presentes em PINHEIRO (1993). Estes cálculos estão resumidos na tabela 7. Como exemplo, ilustra-se o cálculo feito para a barra N1. Barra N1 ( φ 6,3 mm; CA-50A; C20 ): - acréscimo de comprimento relativo a um gancho tipo A (à esquerda), tabela 1.7a (PINHEIRO, 1993): ∆l / 2 = 10 /2 = 5 cm; - comprimento mínimo de ancoragem (à direita), tabela 1.5c (PINHEIRO, 1993), sem gancho, zona de boa aderência: lb = 28 cm; - comprimento dos trechos retilínios (sem considerar o comprimento de ancoragem): 161 cm + 324 cm = 485 cm. Portanto, o comprimento total da barra será igual a 518 cm.

55

Tabela 7 - Comprimento das barras Barra

φ (mm)

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13

6,3 6,3 6,3 6,3 10 5 5 5 5 10 5 16 16

Extremidade esquerda (cm) 5 (gancho A) 28 (ancoragem) 6 (gancho C) 6 (gancho C) 44 (ancoragem) 3,5 (gancho B) 9 (gancho C) 12,5 (gancho A) 70 (ancoragem)

Trechos retos (cm) 161 + 324 142 351 175 321 + 166 321 212 92 351 351 447 + 138 447 187

Extremidade direita (cm) 28 (ancoragem) 5 (gancho A) 6 (gancho C) 8 + 20 (gancho U) 9 (gancho C) 3,5 (gancho B) 9 (gancho C) 70 (ancoragem) 14,5 (gancho C)

Comprimento (cm) 518 175 363 209 540 321 212 99 351 369 585 529,5 271,5

7.11 Quantidade de barras Serão agora calculadas as quantidades de cada barra. a) Barra N1: Laje L2 = (77,5/20 + 1) + (77,5/15) = 4,875 + 5,1 ≈ 5 + 5 = 10 barras Laje L4 = 10 barras Total: 20 barras b) Barra N2 (análogo à barra N1): 20 barras c) Barra N3: Laje L1 = (71,5/20 + 1) + (71,5/18) = 4,57 + 3,97 ≈ 4 + 4 = 8 barras Laje L3 = 8 barras Total: 16 barras d) Barra N4: Laje L2= (240/18 + 1) = 13,33 + 1= 14,33 ≈ 14 barras Laje L4 = 14 barras Total: 28 barras e) Barra N5 (viga V1): 4 barras f) Barra N6 (viga V1): 2 barras g) Barra N7 (viga V1): 2 barras

56

h) Barra N8 (estribos das vigas): Os estribos, nos trechos inclinados das vigas VE1 e VE3, são dispostos perpendicularmente aos eixos longitudinais dessas vigas. A quantidade de estribos é calculada em função do comprimento do eixo longitudinal, de face a face de pilares e/ou vigas, conforme ilustram as figuras 69 e 70.

Figura 69 - Estribos para viga VE1

Figura 70 - Estribos para viga VE3 •Viga VE1: •Viga VE2: •Viga VE3:

comprimento: 142 + 196 = 338 cm número de barras = 338/13 + 1 = 27. comprimento: 274 cm; número de barras = 274/13 + 1 = 22,07 ≈ 22. comprimento: 319 + 114 = 433 cm; número de barras = 433/13 + 1 = 34,30 ≈ 35.

Total de barras N8 na escada = 27 + 22 + 35 = 84 barras i) Barra N9 (viga V2):

2 barras

j) Barra N10 (viga V2)

2 barras

k) Barra N11(viga V3):

2 barras

l) Barra N12 (viga VE3): 3 barras m) Barra N13 (viga VE3): 3 barras

57

A tabela 8 refere-se à lista de barras e a tabela 9 indica o resumo relativo a cada bitola. O tipo de aço adotado foi o CA 50A. Apenas para as barras com bitolas iguais a 5 mm é que foi utilizado o aço CA60.

Tabela 8 - Lista de barras

Barra

Bitola (mm)

Quantidade

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13

6,3 6,3 6,3 6,3 10 5 5 5 5 10 5 16 16

20 20 16 28 4 2 2 84 2 2 2 3 3

Comprimento unitário (m) 5,18 1,75 3,63 2,09 5,40 3,21 2,12 0,99 3,51 3,69 5,85 5,295 2,715

Comprimento total (m) 103,60 35,00 58,08 58,52 21,60 6,42 4,24 83,16 7,02 7,38 11,70 15,89 8,15

Tabela 9 - Resumo (aço CA 50A e CA 60)

Bitola (mm) 5 6,3 10 16

Massa linear (kg/m) 0,16 0,25 0,63 1,60

Comprimento total (m) 112,54 255,20 28,98 24,03

Massa total (kg) 18 64 18 38 Total:

Massa total + 10% (kg) 20 70 20 42 152

58

BIBLIOGRAFIA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980). NBR 6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. São Paulo. 6p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1982). NBR 6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro. 76p. AZAMBUJA, P. p.67-83.

(1962). Peças helicoidais biengastadas. Revista Estrutura, n.46,

GUERRIN, A.; LAVAUR, R.C. tome 4.

(1971).

Traité de béton armé. 4.ed. Paris, Dunod.

KNIJNIK, A.; TAVARES, J.J.A. (1977). Escada autoportante sem apoio no patamar. Revista Estrutura, n.81, p.109-121. MACHADO, C.P. (1983). Escadas. (Notas de aula). São Paulo. FTDE. MANCINI, E. (1971) Escadas. (Notas de aula). São Carlos, EESC-USP. Escadas. (Notas de aula). Campinas, Faculdade de PINHEIRO, L. M. (1984). Ciências Tecnológicas da Pontifícia Universidade Católica de Campinas.

PINHEIRO, L. M. EESC-USP.

(1993).

Concreto armado: tabelas e ábacos. ed.rev. São Carlos,

Novo curso prático de concreto armado. 14.ed. Rio de ROCHA, A.M. (1974). Janeiro, Editora Científica. v.3

RUTEMBERG, A. (1975). Analysis of spiral stairs supported on a central column. Build. Sci., v.10, p.37-42.

Tabela 1 Laje apoiada em 4 lados sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

Laje Tipo 1

ly

Mx

UNIDERP

Mx

My

My

ly !

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

VALORES

Mx =

p! 2 αx

22,8 20,9 19,4 18,1 17,0 16,0 15,2 14,5 13,9 13,3 12,8 12,4 12,0 11,7 11,4 11,1 10,8 10,6 10,4 10,2 10,0

Concreto Armado II – Lajes - Analogia Czerny

α

My =

VALORES

p! 2 αy

22,8 22,5 22,4 22,4 22,4 22,5 22,7 22,8 23,1 23,3 23,6 23,9 24,3 24,6 24,9 25,2 25,5 25,7 25,9 26,1 26,3

f =ω

ω

p! 4 Eh 3

0,0463 0,0511 0,0556 0,0602 0,0645 0,0690 0,0731 0,0772 0,0810 0,0849 0,0883 0,0919 0,0950 0,0982 0,1011 0,1040 0,1066 0,1092 0,1115 0,1139 0,1159

ANEXO A

1-9

Laje Tipo 2A

Tabela 2 Laje apoiada em 3 lados e engastada no lado menor sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

VALORES

My

ly !

UNIDERP

Mx

Mx

My

Mxe

Mxe

Mye

Mye

ly

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

31,6 28,4 25,7 23,5 21,6 20,0 18,7 17,5 16,5 15,7 14,9 14,3 13,7 13,2 12,7 12,3 11,9 11,6 11,3 11,0 10,8

M xe =

2

− p! α xe

73,4 69,8 66,7 64,1 61,9 60,0 58,4 57,0 55,9 54,8 53,9 53,2 52,5 51,9 51,4 51,0 50,6 50,3 50,0 49,8 49,6


α

My =

VALORES 2

p! αy

25,8 25,1 24,5 24,1 23,7 23,5 23,3 23,3 23,3 23,3 23,4 23,6 23,7 23,9 24,1 24,4 24,6 24,9 25,1 25,4 25,6

M ye =

2

− p! α ye

14,3 13,6 13,0 12,5 12,0 11,7 11,4 11,1 10,9 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 10,0 9,9 9,8 9,8 9,7 9,7 9,6

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0327 0,0368 0,0411 0,0454 0,0498 0,0541 0,0585 0,0627 0,0669 0,0709 0,0750 0,0788 0,0825 0,0860 0,0895 0,0928 0,0959 0,0989 0,1018 0,1045 0,1071

ANEXO A

2-9

Tabela 3 Laje apoiada em 3 lados e engastada no lado maior sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

Laje Tipo 2B

VALORES

Mxe

Mx

Mx

My

Mxe

Mye

My

Mye

ly

My

ly !

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

25,8 24,2 22,9 21,7 20,8 20,0 19,3 18,7 18,2 17,7 17,3 16,9 16,7 16,4 16,1 15,9 15,7 15,6 15,4 15,3 15,2

M xe =

2

− p! α xe

14,3 13,6 13,0 12,5 12,0 11,6 11,3 11,1 10,8 10,6 10,4 10,3 10,1 10,0 9,9 9,8 9,7 9,6 9,6 9,5 9,5


α

My =

VALORES 2

p! αy

31,6 32,1 32,7 33,4 34,2 35,1 35,9 36,7 37,4 38,0 38,5 39,0 39,3 39,7 39,9 40,1 40,3 40,5 40,6 40,7 40,8

M ye =

2

− p! α ye

73,4 69,4 66,3 63,4 61,2 59,1 57,5 55,9 54,7 53,5 52,6 51,7 51,0 50,3 49,8 49,2 48,8 48,4 48,0 47,7 47,4

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0327 0,0351 0,0372 0,0394 0,0413 0,0432 0,0448 0,0464 0,0478 0,0492 0,0503 0,0515 0,0525 0,0535 0,0543 0,0551 0,0558 0,0565 0,0570 0,0576 0,0580

ANEXO A

3-9

!

Mye

ly

VALORES

ly !

Mx

Mxe

Mx

My

Mxe

Mye

Mxe

Mxe

Mye

My

Mye

Laje Tipo 4B

UNIDERP

Tabela 4 Laje apoiada nos lados maiores e engastada nos lados menores sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

46,8 40,8 36,2 32,2 29,2 26,4 24,3 22,3 20,7 19,3 18,2 17,1 16,2 15,4 14,7 14,1 13,6 13,0 12,6 12,2 11,9

M xe =

2

− p! α xe

89,2 83,3 78,4 74,3 70,8 67,7 65,2 62,9 61,0 59,3 57,9 56,7 55,6 54,6 53,8 53,1 52,4 51,9 51,4 51,0 50,6


α

My =

VALORES 2

p! αy

32,0 30,2 29,0 27,9 27,1 26,3 25,8 25,3 25,0 24,7 24,5 24,4 24,4 24,4 24,4 24,5 24,7 24,8 25,0 25,3 25,5

M ye =

2

− p! α ye

17,4 16,3 15,3 14,5 13,8 13,2 12,7 12,2 11,9 11,5 11,3 11,0 10,8 10,6 10,5 10,3 10,2 10,1 10,0 9,9 9,8

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0218 0,0253 0,0288 0,0327 0,0364 0,0405 0,0445 0,0487 0,0527 0,0569 0,0609 0,0650 0,0689 0,0728 0,0765 0,0803 0,0837 0,0872 0,0904 0,0937 0,0966

ANEXO A

4-9

Tabela 5 Laje apoiada nos lados menores e engastada nos lados maiores sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

Laje Tipo 4A

VALORES

Mxe

Mxe

Mye

Mx

My

Mxe

Mye

My

Mx

Mye

Mxe Mye

ly

My

ly !

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

32,0 30,6 29,5 28,6 27,8 27,2 26,7 26,2 25,8 25,5 25,3 25,0 24,8 24,7 24,5 24,4 24,3 24,3 24,2 24,1 24,1

M xe =

2

− p! α xe

17,4 16,8 16,3 15,9 15,5 15,2 15,0 14,8 14,6 14,5 14,4 14,3 14,2 14,1 14,1 14,0 14,0 14,0 13,9 13,9 13,9


α

My =

VALORES 2

p! αy

46,8 48,7 50,4 51,9 53,0 54,0 54,9 55,6 56,2 56,6 56,9 57,2 57,3 57,5 57,6 57,6 57,7 57,7 57,7 57,7 57,7

M ye =

2

− p! α ye

89,2 85,6 83,0 80,6 78,8 77,1 75,9 74,7 73,8 73,0 72,4 71,8 71,3 70,9 70,6 70,3 70,1 70,0 69,8 69,7 69,6

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0218 0,0229 0,0238 0,0247 0,0254 0,0260 0,0266 0,0271 0,0275 0,0279 0,0282 0,0286 0,0288 0,0290 0,0292 0,0293 0,0295 0,0296 0,0297 0,0297 0,0298

ANEXO A

5-9

Tabela 6 Laje apoiada em 2 lados ortogonais e engastada nos demais sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

Laje Tipo 3

VALORES

Mxe

Mx

My

Mye

ly

My

ly !

Mx MX

Mye

Mxe

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

32,9 30,2 27,9 26,1 24,5 23,2 22,0 21,1 20,2 19,5 18,9 18,4 17,9 17,5 17,1 16,8 16,5 16,3 16,0 15,9 15,7

M xe =

2

− p! α xe

17,5 16,4 15,3 14,5 13,8 13,2 12,7 12,2 11,8 11,5 11,2 11,0 10,7 10,5 10,4 10,2 10,1 10,0 9,9 9,8 9,7


α

My =

VALORES 2

p! αy

32,9 32,8 32,8 33,0 33,4 33,8 34,3 34,9 35,5 36,2 36,8 37,4 37,9 38,4 38,9 39,2 39,5 39,8 40,0 40,2 40,4

M ye =

2

− p! α ye

17,5 17,0 16,5 16,2 15,9 15,7 15,5 15,3 15,2 15,1 15,0 14,9 14,9 14,9 14,8 14,8 14,8 14,8 14,8 14,8 14,7

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0252 0,0277 0,0302 0,0325 0,0348 0,0369 0,0389 0,0408 0,0426 0,0442 0,0458 0,0472 0,0486 0,0498 0,0510 0,0520 0,0530 0,0538 0,0546 0,0554 0,0560

ANEXO A

6-9

Tabela 7 Laje engastada em 3 lados e apoiada no lado maior sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

! Mye

Laje Tipo 5A

My

Mxe

Mx

Mx

Mye

Mxe

My

Mye

Mye

ly

VALORES

ly !

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

45,0 40,0 36,2 32,9 30,4 28,1 26,3 24,7 23,5 22,3 21,4 20,5 19,8 19,2 18,6 18,1 17,7 17,3 17,0 16,7 16,4

M xe =

2

− p! α xe

22,7 20,6 19,1 17,6 16,5 15,5 14,7 14,0 13,4 12,9 12,4 12,0 11,7 11,4 11,1 10,9 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1


α

My =

VALORES 2

p! αy

37,8 36,6 36,0 35,4 35,2 35,0 35,2 35,3 35,7 36,1 36,7 37,3 38,0 38,8 39,6 40,5 41,4 42,2 42,9 43,5 44,1

M ye =

2

− p! α ye

20,1 19,1 18,3 17,7 17,1 16,7 16,3 16,0 15,8 15,6 15,4 15,3 15,2 15,1 15,0 14,9 14,9 14,9 14,8 14,8 14,8

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0183 0,0207 0,0230 0,0255 0,0277 0,0301 0,0323 0,0345 0,0365 0,0385 0,0403 0,0421 0,0437 0,0453 0,0466 0,0480 0,0492 0,0504 0,0514 0,0524 0,0533

ANEXO A

7-9

Tabela 8 Laje engastada em 3 lados e apoiada no lado menor sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

!

Laje Tipo 5B

VALORES

Mxe

Mxe Mx

My

Mye

ly

My

ly !

Mxe

Mx

Mxe

Mye

MN

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

37,8 35,5 33,6 32,1 30,7 29,7 28,8 28,1 27,4 26,9 26,4 26,0 25,7 25,4 25,2 25,0 24,8 24,6 24,5 24,4 24,3

M xe =

2

− p! α xe

20,1 19,1 18,2 17,5 16,9 16,4 16,0 15,7 15,4 15,1 14,9 14,7 14,6 14,5 14,4 14,3 14,2 14,1 14,1 14,0 14,0


α

My =

VALORES 2

p! αy

45,0 46,0 47,2 48,5 49,8 51,1 52,2 53,2 54,1 54,9 55,5 56,1 56,5 56,8 57,1 57,2 57,4 57,5 57,6 57,6 57,6

M ye =

2

− p! α ye

22,7 22,4 22,1 22,0 21,9 21,8 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,8 21,8 21,8 21,8 21,8

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0183 0,0196 0,0208 0,0218 0,0228 0,0237 0,0245 0,0252 0,0259 0,0264 0,0269 0,0273 0,0278 0,0281 0,0284 0,0286 0,0289 0,0291 0,0292 0,0294 0,0295

ANEXO A

8-9

Tabela 9 Laje engastada em 4 lados sujeita ao carregamento uniforme p [kN/m2] e Coeficiente de Poisson ν=0,20

! Mye

Laje Tipo 6

My

Mxe

ly

VALORES

ly !

Mxe

My

Mye

Mye

Mx

Mxe

Mx MX

Mxe

Mye

My

MN

UNIDERP

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

Mx =

2

p! αx

47,9 43,6 40,5 37,7 35,6 33,7 32,2 30,9 29,9 29,0 28,3 27,6 27,1 26,6 26,2 25,8 25,6 25,3 25,1 24,9 24,8

M xe =

2

− p! α xe

24,5 22,6 21,3 20,1 19,1 18,3 17,6 17,0 16,6 16,1 15,8 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,6 14,4 14,3 14,3 14,2


α

My =

VALORES 2

p! αy

47,9 47,7 48,2 48,8 49,8 50,9 52,4 53,9 55,7 57,7 59,6 61,3 62,7 63,9 64,9 65,6 66,3 66,8 67,2 67,5 67,7

M ye =

2

− p! α ye

24,5 23,8 23,2 22,8 22,5 22,3 22,1 22,0 21,9 21,8 21,8 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,8 21,8 21,8

f =ω

p!

ω 4

Eh 3

0,0144 0,0159 0,0172 0,0185 0,0196 0,0208 0,0218 0,0228 0,0236 0,0244 0,0250 0,0257 0,0262 0,0268 0,0272 0,0276 0,0279 0,0282 0,0285 0,0287 0,0289

ANEXO A

9-9

Dimensionamento de Estruturas Em Concreto Armado - 2013-1

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