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Pr´ actica acti ca 06: Cinem´ Cine m´ atica atic a 2-D 2-D:: Coord Co ordenad enadas as Polares Polar es y Cil´ Cil´ındrica ınd ricass 1. Una part´ part´ıcula se mueve a lo largo larg o de una tray trayector ectoria ia circu circula larr de 300 mm de raradio. Si su velocidad angular es θ˙ = (2t (2t2) rad/s, donde t est´ a en segundos, determine la magnitud de la aceleraci´ on on de la part´ part´ıcula cuando t = 2 s. 2. Las ecuacio ecuaciones nes r = (300 300e 0,5t ) m m y θ = (t2) rad, donde t est´ a en segundos, describen la posici´on on de una part´ part´ıcula. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleraci´ on on de la part´ part´ıcula en el instante t = 1,5 s.
A
P r
θ O
2 r
(4 cos 2 θ )m2
B
Figura del problema 4
−
3. El braz brazoo ran ranurad uradoo O A gira gira en sen sentitido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de O de modo que cuando θ = π/4, π/ 4, el brazo O A gira con una velocidad angular de θ˙ y una aceleraci´on on ¨ angular de θ. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleraci´ on on del pasador B en este instante. El movimiento del pasador B est´ a limitado a la superficie circular fija y a lo largo de la ranura en O A. B r
A
2 a cos θ
θ O
a
Figura del problema 3 4. El movi movimi mien ento to de la cla clavija vija P P est´a limitado por la ranura en forma de lemniscata en OB y por el brazo ranurado OA.. Si OA gira en sentido antihorario OA con una velocidad angular constante de ˙θ = 3t3/2 rad/s, donde t est´a en segundos, determine las magnitudes de la velovelocidad y aceleraci´on on de la clavija P clavija P cuano do θ = 30 . Cuando t = 0, θ = 0. Din´amica - Ingenier´ıa Civil
5. Si el brazo OA OA gira gira en sentido antihorario con una velocidad angular de θ˙ = 2 rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleraci´ on on de la espiga P espiga P cuan cuano do θ = 30 . La espiga se mueve en la ranura fija definida por la lemniscata y a lo largo de la ranura del brazo. 2 r
(4 sin 2 θ )m2
r
P
O
θ
Figura del problema 5 6. Si la leva leva gira en sentido sentido horario a una vevelocidad angular constante de θ˙ = 5 rad/s, determine determine las magnitudes magnitudes de la velocidad y aceleraci´ on on del seguidor AB en el instante θ = 30o. La superficie de la leva tiene la forma de limaron definida por r = (200 + 100 cosθ cos θ) mm.
(200
r
θ
100 cosθ ) mm
A
B
Figura del problema 6 Universidad Privada del Norte
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7. El autom´ovil se desplaza desde un estacionamiento abajo a lo largo de una rampa en espiral cil´ındrica a una velocidad constante de v = 1,5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m por cada vuelta completa, θ = 2π rad, determine la magnitud de la aceleraci´on del coche que se mueve a lo largo de la rampa, r = 10 m. Pista: Para parte de la soluci´on, en cuenta que la tangente a la rampa en cualquier punto se encuentra en un a´ngulo de ϕ = tan 1(12/[2π(10)]) = 10, 81 desde la horizontal. Utilizar para determinar la velocidad componentes vθ y vz que a su vez se utilizan para determinar θ y z.
9. La superficie parcial de la leva es la de una espiral logar´ıtmica r = 40e0,05θ mm, donde θ es en radianes. Si la leva gira a una velocidad angular constante de ˙ 4 rad/s, determinar las magnitudes θ = de la velocidad y la aceleraci´on del punto de la leva que contacta con el v´astago seguidor en el instante θ = 30 . ◦
−
θ
·
θ
40e
r
0.05 θ
4 rad / s
Figura del problema 9
10 m
12 m
Figura del problema 7 8. La caja desciende por una rampa helicoidal definida por r = 0, 5 m, θ = (0, 5t3) rad y z = (2 − 0, 2t2 ) m, donde t est´a en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleraci´ o n de la caja en el instante θ = 2π rad.
10. El brazo ranurado AB mueve el pasador C a trav´es de la ranura espiral descrita por la ecuaci´ on r = (1, 5θ) pies, donde θ est´a en radianes. Si el brazo comienza a moverse del reposo cuando θ = 60o y es propulsado a una velocidad angular de θ˙ = (4t) rad/s, donde t est´a en segundos, determine los componentes radial y transversal de la velocidad y aceleraci´ on del pasador C cuando t = 1 s.
B C
0.5 m r
1 m
θ
A
Figura del problema 8 Din´amica - Ingenier´ıa Civil
Figura del problema 10 Universidad Privada del Norte
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11. La barra O A gira en sentido antihorario con una velocidad angular de θ˙ = (2t2) rad/s. Mediante conexiones mec´ anicas el collar´ın B se mueve a lo largo de la barra con una rapidez de r = (4t2 ) m/s. Si θ = 0o y r = 0 cuando t = 0, determine las magnitudes de la velocidad y aceleraci´on del collar´ın cuando θ = 60o .
con θ¨ = 2(10 3 ) rad/s2 . Determine los componentes radial y transversal de la velocidad y aceleraci´ on del avi´on en este instante. −
2
r
2500 cos 2 u
A
r
r
B
θ θ O
Figura del problema 11 12. Un meteoro P es detectado por un radar de un observatorio en la Tierra en O. Cuando el meteoro esta exactamente sobre el radar (θ = 90 ), se recogen los siguientes datos: r = 80 km, r˙ = −20 km/s, y θ˙ = 0, 4 rad/s. (a) Determine la velocidad v del meteoro y el a´ngulo β que hace con la horizontal. Desprecie los efectos de la rotaci´ on de la tierra. (b) Repita lo mismo, manteniendo todo igual excepto que θ = 75 . ◦
◦
Figura del problema 13 14. El brazo ranurado, en cuyo interior se mueve el cursor C, gira en torno a O. La posici´ o n de C dentro de la ranura est´a controlada por el cordel que est´ a su jeto en D y se mantiene tenso. Durante un intervalo del movimiento el brazo gira en sentido antihorario con la velocidad ˙ 4 rad/s. La longiangular constante θ = tud DBC del cordel valr R, con lo que r = 0 cuando θ = 0. Hallar el m´odulo a de la aceleraci´ on del cursor en la posici´ on θ = 30 . La longitud R es 375 mm. ◦
Figura del problema 12 13. Durante un corto tiempo el avi´ on de reacci´on vuela en una trayectoria en forma de lemniscata, r 2 = (2500 cos 2θ) km2 . En el instante θ = 30o , el dispositivo rastreador del radar gira a θ˙ = 5(10 3 ) rad/s −
Din´amica - Ingenier´ıa Civil
Figura del problema 14
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