Fuerzas y aceleración -
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Introducción Ecuaciones de movimiento Momento angular Movimiento plano Problemas resueltos Movimiento restringido o Movimiento restringido o Rotación no centroidal o Movimiento rodante o Movimiento rodante desbalanceado Ejemplos o Polea compuesta o Traslación del cuerpo rígido o Rotación no centroidal o Rotación restringida Pruebas o Traslación o Rotación o Movimiento restringido
Trabajo y Energía - Introducción - Principios de trabajo y energía - Trabajo de fuerzas - Energía cinética - Sistemas de cuerpos rígidos - Conservación de la energía - Ejemplos - Traslación y Rotación centroidal - Movimiento plano general - Pruebas Momento de impulso - Introducción - Modelación - Traslación - Rotación - Movimiento plano general - Conservación del momento angular - Impacto excéntrico - Ejemplos - Momento de impulso - Impacto excéntrico - Pruebas de momento e impulso - Pruebas de impacto
Resumen - Introducción - Palabras claves - Métodos múltiples - Ejemplos - Método simple INTRODUCCIÓN En el estudio de la cinemática de los cuerpos rígidos consideramos el efecto de las fuerzas externas resultantes en la aceleración del cuerpo rígido . A diferencia de las partículas , no todas las fuerzas pasan a través del centro de masa del cuerpo rígido . Por lo tanto , ambas pueden rotar y trasladarse . Típicamente , nos concentramos en la aceleración y rotación sobre el centro de masa del cuerpo rígido . Las aceleraciones del centro de masa son designadas con la letra a , donde la barra es usada para indicar que se trata de la aceleración del centro de masa . Las rotaciones sobre el centro de masa están relacionadas a la variación del tiempo durante el cambio del momento angular en el centro de masa . Desarrollando una relación entre los momentos de las fuerzas externas ( las cuales causan la rotación ) y la variación del tiempo para el cambio del momento angular , el momento inercia de la masa esta desarrollado . El momento de inercia de la masa es esencial para el correcto análisis de la cinemática de los cuerpos rígidos . Tanto el momento de masa con respecto al centro de masa ( I ) y el momento de masa con respecto a un conveniente eje paralelo ( Io )son usados . Si no estas familiarizado con ninguno de los momentos de inercia de la masa , o el uso del teorema del eje paralelo , es aconsejable tomarse un poco de tiempo para revisar estos temas . Además , el radio de giro ( curvatura ) es usado normalmente para definir el momento de inercia de la masa de un cuerpo rígido con respecto a algún eje conveniente . Los análisis pertinentes a la cinemática del cuerpo rígido estarán basados en la suposición que usted está familiarizado con las técnicas previamente presentadas acerca de la cinemática del cuerpo rígido . La habilidad para resolver problemas concernientes a la cinemática del cuerpo rígido requiere establecer las relaciones cinemáticas para el problema que esta siendo considerado . La velocidad y aceleración angular de un cuerpo rígido en un instante en particular , tan bien como la aceleración del centro de masa , son componentes esenciales de la solución global de los problemas . ECUACIONES DE MOVIMIENTO Un Cuerpo rígido puede ser representado por muchas fuerzas externas . El cuerpo rígido puede asumirse que esta compuesto de un gran número de partículas de masa mi. Considerando el movimiento del centro de masa G con respecto al sistema de referencia Newtoniano Oxyz , y aplicando los resultados del capítulo 14 ( Mecánica Vectorial para Ingenieros : Dinámica ) , escribimos
F = ma donde m es la masa del cuerpo , y a es la aceleración del centro de masa .
Considerando el movimiento del cuerpo rígido ralacionado a la referencia centroidal Gx’y’z’ , y del capítulo 14 , escribimos
MG = HG Donde HG es la variación de HG momento angular respecto a G del sistema de partículas que forman el cuerpo rígido .
Las dos ecuaciones vectoriales del movimiento para cuerpos rígidos son :
F = ma
MG = HG
expresan que el sistema de fuerzas externas es equipolente para el sistema que consiste del vector ma ligado a G y la pareja de momentos HG
MOMENTO ANGULAR Considerar una lámina rígida en movimiento plano . Asumir que la lámina esta hecha de un gran número n de partículas Pi de masa mi . El momentum lineal i de una partícula es v’ . mi . El momentum angular i de la lámina es el momento del momentum lineal . El momentum angular puede ser determinado con respecto a los sistemas de referencia Oxy o Gx’y’ . Usando el sistema de referencia Gx’y’ , escribimos el vector momentum angular como : i
H G (r 'i xv 'i mi ) n 1
Donde r’i y v’i mi denotan los vectores posición y momentum lineal de la partícula , respectivamente . El vector velocidad de la partícula se puede escribir como :
v’i = x r’i
donde es el vector velocidad angular . Por lo tanto , podemos escribir el momentum angular como : i
H G (r 'i x(xr 'i )mi ) n 1
La expresión obtenida del producto cruz representa un vector de la misma dirección que . Por lo tanto . es perpendicular a la lámina . La magnitud es igual a :
r’i2 mi La sumatoria r’i mi representa el momento de inercia de la masa de la lámina respecto al eje centroidal perpendicular al plano de la lámina . Entonces : 2
I = r’i2 mi HG = I
Concluimos que derivando HG tenemos que : HG = I + I El momento de inercia de la masa es una función geométrica . Por lo tanto , la derivada con respecto al tiempo es cero . La derivada de tiempo del vector velocidad angular es el vector aceleración angular , entonces
HG = I = MG MOVIMIENTO PLANO Consideramos una lámina rígida de masa m sujeta a fuerzas severas sobre el plano de la placa . El efecto de estas fuerzas son la causa del movimiento de la placa . Nosotros asumimos el centro de masa de la lámina acelerada, y la placa tiene una aceleración angular .
El movimiento de la placa esta completamente definido por la fuerza resultante y el momento resultante sobre G de las fuerzas que actúan sobre el .
El cuerpo rígido está compuesto por numerosas partículas , cada una de las cuales puede estar sujeta a diferentes fuerzas . Por lo tanto , podemos decir que las fuerzas externas actuando sobre el cuerpo rígido son equivalentes a las fuerzas efectivas de varias partículas que forman el cuerpo . Para modelar el movimiento consideramos tanto las fuerzas resultantes como el momento angular , y la aceleración del centro de masa . Esto fácilmente se puede llevar a cabo construyendo un diagrama del cuerpo – libre ( representando las fuerzas ) y un diagrama masa – aceleración ( cinético) representando las aceleraciones . Las fuerzas desbalanceadas resultan en la aceleración en el centro de masa . La relación F = ma representan dos ecuaciones escalares , las cuales pueden ser representadas como :
FX = maX FY = maY
Los momentos de estos vectores de fuerza producen sobre el centro de masa dan como resultado la rotación del cuerpo rígido , descrito por la ecuación vectorial MG = I . Desde que el movimiento plano es considerado , la aceleración angular esta siempre en el eje Z . Puede ser positiva ( en el sentido horario ) o negativa ( en el sentido antihorario ) . La ecuación escalar para los momentos es :
MG = I Hay tres tipos de movimientos que pueden ocurrir : - Traslación - Rotación centroidal - Movimiento plano general
TRASLACION
En algunos casos la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo pasan a través del centro de masa . En tales casos MG = 0 , y la aceleración del cuerpo rígido es cero . En dichos casos el cuerpo rígido sufre pura traslación . Las fuerzas desbalanceadas resultan en la aceleración del centro de masa . La relación F = ma representa dos ecuaciones escalares , las que pueden ser representadas por :
FX = maX FY = maY ROTACION CENTROIDAL
Cuando el cuerpo rígido rota sobre un eje perpendicular al plano de referencia pasando a través de su centro de masa G , se dice que el cuerpo esta en rotación centroidal . En el centro de masa la aceleración es igual cero ( a = 0 ) . Por lo tanto , las fuerzas que actúan sobre el cuerpo producen únicamente rotación . Solo se requiere una ecuación de movimiento en este caso :
MG = I
MOVIMIENTO PLANO GENERAL
El movimiento plano general es una combinación de traslación y movimiento centroidal Esta es un afirmación mas restrictiva que la afirmación similar hecha para la cinemática Ahora requerimos que el centro de masa sea escogido como un punto de referencia . En el caso del movimiento plano general las dos ecuaciones vectoriales F = ma y MG = I pueden ser expresadas por estas tres ecuaciones escalares :
FX = maX
FY = maY
MG = I
RESOLUCION DE PROBLEMAS
MOVIMIENTO RESTRINGIDO Muchas aplicaciones de Ingeniería tratan con cuerpos rígidos , los cuales se están en movimiento bajo restricciones . Estas restricciones varían desde requerir a una rueda girar sin resbalar hasta describir barras con un movimiento definido , o un cigüeñal que debe rotar sobre un eje fijo . En todos los casos el análisis del movimiento plano restringido requiere un análisis cinemático antes que el análisis cinético . Analizaremos cuatro opciones : - Movimiento restringido - Rotación no centroidal - Movimiento rodante - Movimiento rodante desbalanceado MOVIMIENTO PLANO RESTRINGIDO En el análisis del movimiento plano restringido , la aceleración del centro de masa y la aceleración angular del cuerpo rígido deben ser determinadas primero . Si la barra es soltada desde el reposo en la posición mostrada , se producirá moviendo plano restringido . El extremo A se moverá a la derecha , mientras el extremo B se moverá hacía abajo .
En un instante dado la barra tiene una velocidad y aceleración angular única . Estas son funciones de la masa de la barra , su longitud y el ángulo con respecto a un conveniente sistema de referencia . Las componentes de la aceleración del centro de masa son funciones de , y también como la longitud de la barra . Después de haber establecido la cinemática para el instante que va a ser considerardo , estas son investigadas .
Asumimos que para el instante mostrado , el ángulo y la velocidad angular de barra son conocidas . Nosotros deseamos determinar la aceleración angular y las dos componentes de la aceleración en el centro de masa . El primer paso es expresar la aceleración en el centro de masa in función de . Luego las tres ecuaciones relacionadas con las fuerzas para aceleraciones y momentos para I pueden ser expresadas en función de NA , NB y . Estas ecuaciones pueden ser resueltas para las incógnitas . En casos donde los mecanismos están formados de muchas partes móviles , esta aproximación puede ser usada para cada parte del mecanismo .
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama masa-aceleración
ROTACIÓN NO CENTROIDAL
El movimiento de un cuerpo rígido restringido a la rotación sobre un eje fijo sobre el cual no pasa el centro de masa se llama rotación no centroidal . El centro de masa sigue un camino circular de radio r con centro en el punto A , donde el eje de rotación se interseca con el plano de referencia .
Las componentes normal y tangencial de la aceleración del centro de masa están definidas por :
El cuerpo libre y los diagramas masa - aceleración para este problema se muestran a continuación :
Las ecuaciones FX = maX , FY = maY y MG = I pueden ser usadas para satisfacer las ecuaciones de movimiento . Asumimos que la reacciones en A son desconocidas . Como opuestas tomamos los momentos sobre el centro de masa ( incluye las reacciones desconocidas en A ) , asumimos que tomamos loa momentos sobre el punto A . Esto elimina las reacciones desconocidas en A por la ecuación del momento .Tomando momentos sobre el punto A:
Recordando el teorema del eje paralelo , sabemos que donde IA es el momento de inercia de la masa de un cuerpo rígido sobre un eje fijo . De esto podemos concluir que en lugar de tomar los momentos sobre el centro de masa , podemos tomar momentos sobre le eje fijo de rotación . Esto resulta en :
MOVIMIENTO RODANTE
El movimiento rodante es otro caso importante de movimiento plano . El sistema de fuerzas efectivas en el movimiento plano se reduce a ma y al par I . Para el disco que se muestra en la figura , el modelo apropiado incluye las fuerzas normal y de fricción en el punto de contacto entre la rueda y tierra , y la aceleración apropiada y el par del centro de masa .
Si el disco gira sin resbalar , no hay movimiento relativo entre el disco y tierra . La magnitud de la Fuerza de fricción F puede tener un valor grande que no exceda el valor máximo de donde S es el coeficiente estático de fricción y N es la magnitud de la fuerza normal . El valor de F debe ser determinado independientemente de N . La fuerza de fricción máxima es
y puede ser :
Cuando el disco gira y se desliza al mismo tiempo , hay movimiento relativo entre el disco y tierra y su punto de contacto en común . En este caso la fuerza de fricción tiene un valor de
, donde K es el coeficiente de fricción cinético .
Los tres casos posibles son resumidos fácilmente . En dos de los casos la aceleración del centro de masa esta relacionada con la aceleración angular de la rueda . En el otro caso son independientes una de otra .
La relación simplifica en gran manera el análisis para los casos donde existe rodamiento sin deslizamiento . En casos donde la aceleración angular y la aceleración del centro de masa son independientes entre si , el análisis es mas complicado . MOVIMIENTO RODANTE DESBALANCEADO
La condición de rodamiento desbalanceado ocurre cuando el centro de masa de la rueda ( disco ) no coincide con el centro geométrico . Si el disco rueda sin deslizamiento , la aceleración en el punto O puede ser descrita como :
La aceleración del centro de masa esta definido por :
Las componentes de la aceleración tienen las direcciones indicadas y sus magnitudes son :
EJEMPLOS : POLEA COMPUESTA
Una polea de 18 lbs de peso y con un radio centroidal de 10 plg está conectada a dos cilindros como de muestra en la figura . Asumiendo que no hay fricción en el eje , Determine la aceleración de la polea , la aceleración de cada cilindro y la tensión de cada cable .
Se puede asumir una dirección de movimiento arbitraria ( ninguna fricción es considerada ) luego puede ser comprobada por el signo de la respuesta . Para este caso es simple establecer la dirección del movimiento . Para el modelo mostrado , determinamos el peso del cilindro B requerido para mantener el equilibrio
Desde que el cilindro B pesa 20 lbs , la polea gira en sentido antihorario
Traslación del cuerpo rígido
ROTACIÓN NO CENTROIDAL
ROTACIÓN RESTRINGIDA
TRABAJO Y ENERGIA Los métodos de trabajo y energía presentados para partículas son extendidos fácilmente para los cuerpos rígidos . Solo dos términos presentados anteriormente de las expresiones de trabajo y energía cambian cuando consideramos cuerpos rígidos . La expresión de la energía cinética cambia , y un termino adicional es añadido a la expresión del trabajo resultante de las fuerzas externas además de la gravedad o los resortes elásticos . Estos cambios se produjeron debido a la rotación de los cuerpos rígidos . Aunque trabajo y energía pertenecen al campo de la cinética de los cuerpos rígidos , la cinemática de los cuerpos rígidos juega un rol esencial en la correcta resolución de problemas . Para cuerpos rígidos , se requiere identificar el movimiento del centro de masa . Desde que el cuerpo rígido puede trasladarse y rotar , el entendimiento de la cinemática del cuerpo rígido se ha vuelto crítico . Los métodos de trabajo y energía son usados generalmente en problemas donde está envueltos la velocidad y el desplazamiento . A menudo es muy útil usar trabajo y energía como un paso intermedio en la resolución de los problemas de masa y aceleración .
PRINCIPIOS DE TRABAJO Y ENERGIA
Para aplicar los principios de trabajo y energía para el análisis del movimiento de cuerpos rígidos , asumimos que el cuerpo rígido esta hecho de un gran número de partículas n de masa mi
La expresión para el trabajo y energía es :
donde T1 , T2 son las energías cinéticas inicial y final de las partícula que forman el cuerpo rígido . U1 , U2 son el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre varias partículas del cuerpo
La energía cinética total es : En el término del trabajo están las fuerzas que resultan de los resortes elásticos , y la fuerza debido a la gravedad . La contribución del trabajo total fue presentado en tutorial de Cinética de la Partícula . Para el cuerpo rígido el trabajo debido a la gravedad se determina considerando el cambio de posición del centro de masa del cuerpo rígido . Aunque esto estaba implícito para las partículas , esto es explícito para cuerpos rígidos . El trabajo resultante de los resortes elásticos es el mismo para partículas que para cuerpos rígidos .
El trabajo debido a la gravedad y al resorte elástico para un cuerpo rígido está definido como :
Debido a que el peso esta en dirección contraria al movimiento , el trabajo debido a ala gravedad es negativo .
El termino x en la expresión del trabajo elástico es donde x2 es la longitud final del resorte estirado y x0 es la longitud del resorte sin deformaciones . El trabajo debido a los resortes elásticos y a la gravedad pueden ser considerados como energías potenciales . Escribiremos a Ve y Vg como energía potencial elástica y gravitacional respectivamente . Recordando que y , las expresiones de trabajo y energía pueden ser expresados en términos de energía potencial como : Alternativamente En ambas expresiones U1-2 es el trabajo resultante solamente de las fuerzas externas ( y momentos ) . Este termino y el de la energía cinética se expresan de manera diferente
que en el caso de las partículas . Las expresiones para la energía potencial gravitacional y elástica son las mismas que en el caso de las partículas .
TRABAJO DE FUERZAS
Como se discutió en los métodos de trabajo y energía aplicables a partículas , el trabajo de la fuerza F durante el desplazamiento de su punto de aplicación desde el punto A1 hasta A2 es :
Una expresión alñternativa para el trabajo es :
donde F es la magnitud de la fuerza , es el ángulo que forma con la dirección del movimiento de su punto de aplicación A , y s es la variable de integración la cual mide la distancia recorrida por A a lo largo del camino
Para un cuerpo rígido el trabajo producido por una fuerza externa es calculado como si fuese una partícula .
A menudo es conveniente calcular el trabajo debido al par sin considerar separadamente el trabajo de cada fuerza F y –F formando un par de momento M actuando sobre el cuerpo rígido .
Dos Fuerzas iguales con distinto signo F y –F actuando sobre un cuerpo rígido forman un par de momento M . Como el cuerpo rígido se mueve , el punto A se mueve a una nueva posición A’ , y el punto B a B” . Este movimiento es una combinación de traslación y rotación .
En la fase de traslación A y B sufren desplazamientos iguales de dr1 para A’ y B’ . En la fase de rotación A’ permanece quieta y B’ se mueve a B” una distancia dr2 . La magnitud de dr2 es : En la primera parte de del movimiento , el trabajo hecho por F es igual en magnitud pero en sentido opuesto al hecho por –F , y su sumatoria es cero . Durante la segunda parte del movimiento , solo la fuerza F realiza trabajo y su trabajo es .
El producto Fr es la magnitud M del momento del par . El trabajo del par de momento M que actúa sobre un cuerpo rígido es : , donde d esta medido en radianes . El trabajo debido al par es :
Si el momento M del par es constante entonces :
Se debe notar que en algunos casos una fuerza no realiza trabajo . Un caso obvio es un pin sin frición cuando un cuerpo rígido gira sobre el pin , o una superficie sin fricción cuando un cuerpo rígido está en contanto con ella . Un caso no tan obvio es una rueda que gira sin deslizamiento .
El punto en contacto con tierra se mueve una distancia dsc . El trabajo debido a la fricción se escribe como : Podemos expresar dsc como : Por lo tanto : En el punto de contacto de la rueda y tierra Vc = 0 desde que la rueda gira sin deslizamiento , así que U = 0 . Por consiguiente , cuando un cuerpo rígido gira sin deslizarse sobre una superficie fija , la fuerza de fricción F al punto de contacto C no realiza trabajo ENERGIA CINETICA Un cuerpo rígido esta formado por un gran numero n de partículas , cada una con masa mi .
El cuerpo rígido puede rotar y trasladarse , en cualquier instante se puede determinar la velocidad angular y la velocidad del centro de masa . La energía cinética del cuerpo rígido es : De forma vectorial podemos escribir producto escalar
. Tomando en cuenta que vi2 es el
, podemos escribir T como :
La energía cinética puede ser representada como :
Para el instante considerado , v’i es la velocidad de la partícula i con respecto a G , u se puede escribir como : donde es la magnitud de la velocidad angular para el cuerpo rígido en el instante considerado .
Por lo tanto : La sumatoria representa I , el momento de inercia de la masa con respecto al centro de masa G . La energía cinética para el cuerpo rígido para en movimiento plano en general es en consecuencia :
Para cuerpos rígidos , hay cuatro posibles casos : movimiento plano general con energía cinética , traslación pura , rotación centroidal , y rotación no centroidal . La energía cinética para cada uno de esos casos es algo diferente de la expresión general para el movimiento plano . A continuación detallamos los diferentes casos : Movimiento Plano General : Para el movimiento plano general , el cuerpo rígido se traslada y rota . La energía cinética esta definida por :
Traslación pura : para la traslación pura la velocidad angular es cero ( = 0 ) , solo existe v . La energía cinética es :
Rotación centroidal : Para la rotación centroidal v = 0 y solo existe . La energía cinética es :
Rotación no centroidal : Para la rotación no centroidal sobre un punto fijo A , la velocidad del centro de masa es , la energía cinética es :
Por el teorema del eje paralelo
, la energía cinética es :
SISTEMAS DE CUERPOS RIGIDOS Para problemas en los cuales muchos cuerpos rígidos están involucrados , el principio de trabajo y energía puede ser usado para cada cuerpo por separado . Además el trabajo y energía para cada cuerpo da como resultado la expresión de trabajo y energía para todo el sistema . Por ejemplo , considerando el siguiente sistema , el cual consiste de una polea , un cable inextensible , y una masa sujeta .
Cuando parte del reposo , la masa baja y la polea gira . Usando el trabajo y energía , se puede calcular la velocidad de la masa después de moverse una distancia d . El movimiento del disco es la rotación centroidal . la energía cinética del disco es :
No hay otras energías asociadas con la polea , No estan presentes fuerzas externas ( la fricción del pin en A es omitida ) el trabajo de la polea no ha terminado . Para la masa , la energía cinética es :
De la cinemática para la masa y la polea conocemos que
, entonces :
El trabajo hecho por la masa que se mueve una distancia d es . Combinando el trabajo y energía tenemos como resultado la expresión de trabajo y energía de todo el sistema . Cuando el sistema arranca del reposo T1 = 0 , y La expresión completa para el trabajo y energía es : Si consideramos cada componente por separado tenemos el mismo resultado .
La expresión de la energía cinética para la masa y la polea permanece igual :
Para todo el sistema :
Tomando las tensiones del cable como fuerzas externas significa que el trabajo para cada componente debe ser definido . Para la polea y para la masa Combinando estos dos términos observamos que el trabajo resultante de la tensión del cable ( una fuerza interna cuando se considera todo el sistema ) en la polea se elimina por efecto de la masa . Por lo tanto , el trabajo en el sistema es La expresión del trabajo y energía es como al principio :
CONSERVACION DE LA ENERGIA
El trabajo debido a las fuerzas conservativas como el peso del cuerpo y los resortes elásticos puede ser expresado como un cambio de la energía potencial . Escribiremos la energía potencial como V , ni las energías potenciales gravitacional o elástica son posibles , tenemos :
Un ejemplo de la conservación de la energía se observa considerando la barra de la figura . El extremo A puede moverse libremente en la hendidura horizontal , mientras que el extremo B esta confinado para moverse en la hendidura vertical . La barra parte del reposo en la posición que se muestra . No hay momentos o fuerzas externas Usando energías potenciales , la expresión de trabajo y energía es :
Estas expresiones indican que cuando un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos , se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas , la sumatoria de la energía cinética y potencial del sistema permanece constante . Para resolver este problema , decimos que , para la velocidad angular de la barra cuando esta en la posición indicada , tenemos que definir la distancia que se movió G . Asumimos que la longitud de la barra es L , y ha girado un ángulo . El centro de masa se ha movido una cantidad :
Para un sistema conservativo la expresión para el trabajo y energía es : . El sistema es liberado desde el reposo , y asumiendo que la posición inicial de la barra es el dato para definir la energía potencial T1 = 0 y V1 = 0 Cuando el centro de masa viaja una distancia h , la energía potencial en la posición 2 es
La energía cinética de la barra en esta posición es : El centro instantáneo esta localizado en C , por geometría podemos decir que Por lo tanto
, entonces
Usando el principio de conservación de la energía
EJEMPLOS Rotación y traslación centroidal
Movimiento Plano General
MOMENTO DE IMPULSO
Los principios de momento e impulso para el movimiento plano de cuerpos rígidos es similar para el discutido en la cinemática de las partículas . Un cuerpo rígido esta hecho de un largo número de partículas . Asumimos que cada partícula tiene una masa mi y el vector velocidad vi El producto de la masa y velocidad para cada partícula es el momentum lineal de la partícula . El momento individual para cada partícula puede ser reemplazado por el vector momentum lineal para el cuerpo rígido de centro de masa G , y el momentum angular sobre G .
El momentum lineal y angular sobre G estan expresados de forma simple como : y Estos dos sistemas son equivalentes . Un cuerpo rígido puede tener tanto el momentum lineal y angular en un instante dado . Modelando un problema con diagramas de momento e impulso para simplificar el análisis dando una referencia visual del problema . Los diagramas de momento e impulso para cuerpos rígidos son similares a las usadas en dinámica de partículas . La gran excepción es que para cuerpos rígidos tanto el momentum angular como el lineal debe ser considerado para
MODELACION
Modelar un problema de impulso y trabajo para el movimiento plano de cuerpos rígidos requiere la construcción de tres diagramas . Estos diagramas modelan el momento inicial del sistema , las fuerzas impulsivas , y el momento final del sistema respectivamente . Modelando todas las tres componentes tenemos como resultado un simple conjunto de expresiones para las cuales la relacion predominante es :
El momento del cuerpo rígido tanto en la configuración inicial como final ( posición 1 y 2 respectivamente ) es un vector , y por lo tanto tiene magnitud y dirección . Para problemas en el plano quiere decir que el momentum lineal tiene dos direcciones , y un momentum horario y otro antihorario Por lo general hay tres tipos de problemas : - Traslación - Rotación - Movimiento plano general TRASLACION Cuando el movimiento del cuerpo rígido es la traslación ( = 0) , el momentum angular es cero . El momento inicial del sistema puede cambiar como resultado del impulso .
En estos problemas el impulso y el momento del sistema en las dos direcciones debe ser considerado . Las ecuaciones generales requeridas son :
ROTACION La rotación puede ser centroidal o no centroidal . En el caso de la rotación centroidal el momentum angular es simplemente I . Cuando se trata de rotación no centroidal un conjunto diferente de relaciones esta presente . Modelando el impulso y el momentum
del sistema luego que las fuerzas impulsivas son aplicadas se revela una intersante situación
Si el momentum angular es balanceado con respecto al centro de masa , las componentes de reacción en A deben ser incluidas en la ecuación del momento . Las reacciones en A será a menudo desconocidas , incluyendolas en la ecuación podemos tener mas incognitas que ecuaciones posibles . Tomando los momentos sobre A se elimina la reacción de la ecuación , y hace la solución mas simple . Observamos que y usando el teorema del eje paralelo , la magnitud del momentum angular HA sobre A es :
Escribiendo las ecuaciones de los momentos e impulsos sobre A tenemos :
MOVIMIENTO PLANO GENERAL Tanto el momentum angular y lineal están presentes en el movimiento plano general . Muchas situaciones pueden surgir . La mas general es cuando el momento inicial y final del sistema comprenden el momentum angular y lineal .
El impulso y momento del sistema en dos direcciones , también el momentum angular debe ser considerado . Las ecuaciones generales requeridas son :
Otras condiciones son posibles . Por ejemplo , un sistema puede iniciar solo con momentum lineal , y debido al impulso un momento angular y/o lineal se puede producir
Además , un sistema puede iniciar solo con momentum angular , y debido al impulso un momentum angular y/o lineal se puede producir
CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULAR Cuando las fuerzas externas no actúan sobre un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos , los impulsos de las fuerzas externas son cero . En consecuencia , Los momentos que resultan de las fuerzas externas son también cero . Por lo tanto , el momento angular sobre el mismo punto A al instante t1 debe ser igual que el momento angular en el instante t2
Problemas que involucran conservación del momentum angular sobre un punto A se resuelven por los métodos generales de momentum e impulso . Dibujar los diagramas de momento e impulso es una parte importante de la solución .
Hay muchas aplicaciones de ingeniería en las cuales el momentum angular sobre un punto se conserva , pero el momentum lineal no .
IMPACTO EXENTRICO Cuando los centros de masa de dos cuerpos que chocan estan ubicados a llo largo de la línea de impacto , el problema se conoce como Impacto Central . Si los centros de masa de los dos cuerpos que chocan no se encuentra a lo largo de la línea de impacto , el problema se llama Impacto Excéntrico . Hay tres fases para dicho evento . Prmero , ambos cuerpos estan viajando con la velocidades que se muestran
Cuando chocan , y mientras están en contacto , los dos cuerpos se mueven a la misma velocidad . Durante el tiempo que están en contacto , cada cuerpo sufrirá una deformación , y una restauración . Luego de la fase de restauración , los dos cuerpos se separan .
Cuando los dos cuerpos se separan , viajan a velocidades diferentes de las que tenían cuando chocaron .
La velocidad de cada cuerpo luego de que se separan es función del coeficiente de restitución , el cual esta definido por .
donde ºR dt y º P dt son las magnitudes de los impulsos durante los períodos de deformación y restauración de la colisión , respectivamente .
Como se demostró para la partículas , los problemas de impacto involucran impulso y momentum . Si los cuerpos se separan luego del impacto , el coeficiente de restitución se sigue usando . EJEMPLOS
QUIZZES
RESUMEN
