UNIVERSIDAD NACIONAL P%)+o R'i, G!**o
FACULTA FACUL TAD D DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO
CURSO DOCENTE
: :
DINAMICA
ING. IRMA RODRIGUEZ LLO LLONTOP
INTEGRANTES
: SERQUEN ESCURRA Antonio VENTURA DIAZ Jhon
CICLO
:
2015 I
L!"#!$%&'%( M!$o )%* 2015
INDICE INTRODUCCION………………………………………………………….. (3) OBJETIVOS…………………..……………………………….. ………….(4) 1. CONCEP CONCEPTO TOS S BÁSICO BÁSICOS…… S………… ………… …………… ………….. …..... ...... ....…… .………… …….. ..... ... (5) 2. DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO Y DIFERENTES DIFERENTES TIPOS DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE DE UN CUERPO CUERPO R!IDO…… R!IDO……………… …………………… ……………..… …..………… ………….... …......… ..… (") TRES DESPLAZAMIENTOS BASICOS# $. T%&'&*$+' $$. R,-& R,-&*$+ *$+' ' &%/ &%//,% /,% / 0' $,… $,……… …….…… .…………… …………… ……….. …..() () $$.1. R,-&*$+' &%//,% / 0' 0'-, $,……...…………...() $,……...………….. .() $$$. $$ $. M,6$7$ 6$7$'-, &', 8 8'%& %& $$$.1. V,*$/&/ &9,0-& : %&-$6& ' 7,6$7$'-, &', $$$.2. C'-%, $'-&'-;', / %,-&*$+' ' 7,6$7$'-, &',……………………… &',………………………………………… ………………………….…….... ……….…….... (1<) $$$.3. A*%&*$,' &9,0-& : %&-$6& ' 7,6$7$'-, &',……………………… &',………………………………………… ……………………………..…... …………..…... (11) $$$.4. A';$$ / 7,6$7$'-, %&-$6, ,% 7/$, / %,-&-$6,………………………………………………….(12=13) 3. EJERCICIOS DE APLICACI>N…………… APLICACI>N…………………………….. ……………….....(14=2") ...(14=2") 4. CONCLUSI CONCLUSIONES ONES……… ………………… …………………… ………………… ………………… ……………... …...(2) (2)
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2
INTRODUCCIÓN Este tema trata de cinemática de un cuerpo rígido, o de los cuerpos rígidos. El concepto de la cinemática de una partícula se hace extensivo ahora a la cinemática de un cuerpo rígido, considerando que un cuerpo rígido consiste en un número infinito de partículas y que la distancia entre dos partículas cualesquiera, es constante, pero mientras que no consideramos la rotación de una partícula, a menos que sea el vector giratorio de posición de la partícula, si consideraremos la rotación de un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido puede girar alrededor de un punto o alrededor de una recta y existen movimientos giratorios relativos de dos cuerpos rígidos.
Al tratar la cinemática de un cuerpo rígido, deemos especificar la velocidad y la aceleración de un punto del cuerpo rígido y la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo! a partir de ellas podemos otener la velocidad y aceleración de cualquier punto del cuerpo rígido. "ara la mayoría de los casos, la cinemática de los cuerpos rígidos puede tratarse aislando sucesivamente un cuerpo rígido, a la ve#. En otros casos, tienen que considerarse los movimientos relativos de los cuerpos rígidos.
DINAMICA
3
OBJETIVOS $lasificar los diversos tipos de movimiento que puede experimentar un cuerpo rígido Entender el concepto de lo que es la cinemática de un cuerpo rígido y lo que es un cuerpo rígido. %nvestigar la traslación y el movimiento angular con respecto a un e&e fi&o de un cuerpo rígido. Anali#ar la velocidad y la aceleración del movimiento relativo mediante un marco de referencia trasladante y rotatoria. Además de desarrollar e&ercicios de aplicación de cada tema para una me&or comprensión.
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4
1. CONCEPTOS BÁSICOS CUERPO RÍGIDO Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuer#as externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no camian. 'in emargo, las estructuras y máquinas reales nunca son asolutamente rígidas y se deforman a&o la acción de cargas que actúan sore ellas.
TRASLACIÓN El cuerpo rígido puede tener un movimiento de traslación pura! en este tipo de movimiento, las velocidades de cada una de las partículas que componen al sólido, en cada instante de tiempo, son iguales (tener presente que la velocidad es un vector! esto implica que el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad son iguales para todas las partículas en un instante dado). En general, el movimiento del sólido será curvilíneo y, por lo tanto, tendrá componentes de aceleración tangencial y normal.
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5
ROTACIÓN En este caso, las trayectorias de todas las partículas del sólido son circunferencias conc*ntricas! la velocidad de cada partícula tendrá la dirección y sentido del vector tangente a la circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las distintas partículas que integran el sólido no serán las mismas! la única velocidad común será la velocidad angular del cuerpo.
2. DESPLAZAMIENTO Y DIFERENTES TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO TRASLACI/N -AS.COS
ROTACI/N EN UN EJE 0IJO MOVIMIENTO PLANO GENERAL ROTACI N AL REDEDOR DE UNA RECTA 0IJA
COMPUESTOS MOVIMIENTO GENERAL DINAMICA
%. +A'-A$%/0 'e afirma que un movimiento será de traslación si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. 1onde0 r A y r B son los vectores posición de A y 2. r B/A el vector que une A y 2.
% B ? % A @ % BA 3ay que resaltar que de la definición pura de traslación, el vector r B/A dee mantener una dirección constante! su magnitud tami*n dee ser constante, ya que A y B pertenecen al mismo cuerpo rígido. 1e tal modo, la derivada de r B/A es cero y se tiene
6 B ? 6 A Al diferenciar una ve# más se otiene0 &B ? & A En consecuencia, cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado. En el caso de traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración camian en dirección, así como en magnitud, en cada instante.
En el caso de traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de líneas rectas paralelas, y su velocidad y aceleración se mantienen en la misma dirección durante el movimiento completo.
DINAMICA
!
%%. 4+A$%/ A-E1E14 1E U/ E5E 6%540 En este movimiento, las partículas que forman al cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sore el mismo e&e fi&o. Posició !"#$!r% en el instante que se muestra, la posición angular de r está definida por el ángulo ", medido desde una línea de referencia fi&a hasta r. Al oservar que la longitud &s del arco descrito por " cuando el cuerpo gira un ángulo & es0 ∆ s =( BP ) ∆ θ =(r sin φ ) ∆ θ
7 al dividir amos miemros entre &', se otiene en el límite, cuando &' tiende a cero, V =
ds =r θ´ sin φ dt
-a velocidad v de " es un vector perpendicular al plano que contiene a AA8. "ero *ste es precisamente el resultado que se ´ otendría al diu&ar un vector () θ * a lo largo de AA8 y se formara el producto vectorial (+r .
DINAMICA
#
Entonces se escrie0 V =
dr =ω x r dt
V$oci-!- !"#$!r .(% el camio con respecto al tiempo de la posición angular. dθ ω= dt
Ac$r!ció !"#$!r .0% mide el camio de la velocidad angular con respecto al tiempo. α =
dω dt
II.1 MOVIMIENTO DE UN PUNTO IJO $ $uando el cuerpo rígido gira, el punto " se despla#a a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto 4. v =ω x r
V$oci-!-%
Ac$r!ció% puede expresarse en función de sus componentes normal y tangencial. at =dv / dt an =v / ρ , donde $omo y 2
ρ= r
, v =ωr y α =dω / dt , tenemos0 at =αr 2
an =ω r
El componente tangencial de la aceleración, representa el camio de la magnitud de la velocidad con respecto al tiempo. -a componente normal de la aceleración representa el camio respecto al tiempo de la dirección de la velocidad.
%%%. 94:%9%E/+4 "-A/4 ;E/EAEl movimiento plano general de un cuerpo rígido se descrie como una cominación de traslación y rotación. "ara ver estos movimientos
%
Movimiento plano =Traslacióncon A + Rotación alrededor de A
III12 VELOCIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO -a velocidad asoluta v 2 de una partícula 2 de la cadena se otiene de la fórmula de velocidad relativa 3B ) 3A 4 3B/A 1onde el miemro del lado derecho representa una suma vectorial. -a velocidad v A corresponde a la traslación de la placa con A, mientras que la velocidad relativa v2>A se asocia con la rotación de la placa en torno a A y se mide con respecto a e&es centrados en A de orientación fi&a.
Movimiento plano =Traslación con A + Rotación alrededor de A
Al denotar mediante r 2>A el vector de posición de 2 relativo a A, y por ?@ la velocidad angular de la placa con respecto a los e&es de orientación fi&a, se tiene de V B / A = ωk xr B / A
V B / A =rω
1onde r es la distancia de A a B. 'ustituyendo v2>A tami*n se puede escriir V B =V A + ωk x r B / A
'e dee tener presente que la velocidad angular ? de un cuerpo rígido en movimiento plano es independiente del punto de referencia. DINAMICA
1&
III15 CENTRO INSTANT6NEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO -a velocidad de cualquier punto 2 locali#ado en un cuerpo rígido puede otenerse de madera muy directa el seleccionar el punto ase ' como un punto de velocidad cero en el instante considerado. En este caso, : A B y por consiguiente la ecuación de velocidad, : 2 : A C ? x r 2>A, se vuelve :2 ? x r 2>A. En el caso de un cuerpo que tenga movimiento plano general, el punto A así seleccionado se llama centro instantáneo de velocidad cero ($%) y se uica en el e&e instantáneo de velocidad cero. -a posición del centro instantáneo puede definirse de otras dos formas. 'i se conocen las direcciones de las velocidades de las dos partículas A y 2 de la placa y si *stas son diferentes, el centro instantáneo $% se otiene diu&ando la perpendicular a v A a trav*s de A y la perpendicular a v 2 a trav*s de 2 y determinando el punto en el cual se intersecan estas dos líneas (figura a). 'i las velocidades v A y : 2 de las dos partículas A y 2 son perpendiculares a la línea A2 y si se conocen sus magnitudes, el centro instantáneo puede encontrarse intersecando la línea A2 con la línea que une los extremos de los vectores v A y v2 (figura ).
Advierta que si v A y v2 fueran paralelas en la 7i"#r! ! o si v A y v2 tuvieran la misma magnitud en la 7i"#r! 81
PROPIEDADES DEL CI +odos los puntos reali#an instantáneamente una rotación (sin traslación) alrededor del $%. El $% puede ser un punto del ', pero tami*n puede estar fuera del '. DINAMICA
11
En un movimiento plano el $% siempre existe, pero puede camiar su locali#ación con el tiempo. "ara locali#ar el $%, asta con tra#ar las perpendiculares a la velocidad de dos puntos del ' y ver donde se cortan. El punto donde se corten es el $%. 'i el sólido tiene un punto D&o, este será el $%. El módulo de la velocidad de cada punto es v ? d, donde d es la distancia del punto al $%. A más distancia de un punto al $%, mayor será el módulo de su velocidad.
III19 ACELERACIONES ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO $ualquier movimiento plano puede sustituirse por una traslación definida por el movimiento de un punto de referencia aritrario A y una rotación simultánea alrededor de A. Esta propiedad se utili#ó para determinar la velocidad de los diferentes puntos de la placa en movimiento. -a misma propiedad se utili#ará ahora para determinar la aceleración de los puntos de la placa. Entonces la aceleración asoluta !B está definida por0
!B ) !A 4 !B/A
Movimiento plano =Traslación con A + Rotación alrededor de A
-a aceleración a A corresponde a la traslación de la placa con A, en tanto que la aceleración relativa a2>A se asocia con la rotación de la placa entorno a A y se mide con respecto a los e&es centrados en A y de orientación fi&a. -a aceleración relativa a2>A puede descomponerse en dos componentes, una componente tangencial (a 2>A)t perpendicular a la línea A2, y una componente normal (a2>A)n dirigida hacia A . 1enotando por r 2>A el vector de posición de 2 relativo a A y, respectivamente, mediante ? * y * la velocidad angular y la aceleración angular de la placa con respecto a los e&es de orientación fi&a, se tiene0 ( a B / A )t =αk x r B / A ( a B / A ) t = r α
( a B A )n=−ω /
DINAMICA
2
r B / A
( a B / A ) n=r ω
2
12
1onde r es la distancia desde A hasta 2. Al sustituir en la fórmula de la aceleración asoluta de 2 (!B) las expresiones que se otienen para las componentes tangencial y normal de a 2>A, tami*n se puede escriir0 a B ¿ a A + αk xr B / A −ω r B/ A 2
III1: AN6LISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE E;ES ROTATIVOS $onsidere los dos puntos A y 2 de la figura a. los vectores de posición r A y r 2 especifican su uicación, los cuales se miden con respecto al sistema de coordenadas F, 7, G fi&o. $omo se muestra en la figura, el
A especifica la posición de 2 con respecto a A. En el instante considerado, la velocidad del punto A es : A y su aceleración a A, en tanto que la velocidad y aceleración angulares de los e&es x, y, # son H (omega) y ´ = dΩ / dt , respectivamente. Ω V (¿¿ B / A ) x! V B =V A + Ω " r B/ A +¿
V$oci-!-% 1onde0
VB velocidad de 2, medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. VA velocidad del origen A del marco de referencia x, y, # medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. V (¿¿ B / A ) x! velocidad de 2 con respecto a A, medida por un
¿
oservador situado en el marco de referencia rotatorio x, y, #. < velocidad angular del marco de referencia x, y, # medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. r B/A posición de 2 con respecto a A.
DINAMICA
13
Ac$r!ció%
Ω"r V a (¿¿ B / A ) x! " (¿¿ B / A ) x! +¿ ´ " (¿¿ B / A )+ 2 Ω ¿ Ω aB =a A + ´ Ω " r B / A +¿
1onde0
!B aceleración de 2, medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. VA aceleración del origen A del marco de referencia x, y, # medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. a V # (¿ ¿ B / A ) x! (¿¿ B / A ) x! ¿
aceleración y velocidad de 2 con respecto a A, medida
¿
por un oservador situado en el marco de referencia rotatorio x, y, #. Ω´ # < aceleración y velocidad angulares del marco de referencia x, y, # medida con respecto al marco de referencia F, 7, G. r B/A posición de 2 con respecto a A.
E;ERCICIOS DE APLICACIÓN TRASLACION PURA PROBLEMA N= >2 DINAMICA
14
-os extremos A y 2 de una arra de
2
metros, de longitud se mueven a lo largo
de ranuras guía, como se indica en la figura. "ara la posición mostrada el extremo 2 tiene una rapide# de Im>seg. y un módulo de aceleración de Jm>seg I., siendo el sentido de la velocidad y la aceleración, de i#quierda a derecha. 3allar la velocidad y la aceleración del extremo A, en este instante.
SOLUCIÓN0 -os datos indican que0 :2 Ii,
A2 Ji
$omo el extremo A está oligado a moverse a lo largo de la ranura guiada, en la dirección del e&e y, : A v A &,
a A v A &,
7 como la arra tiene movimiento plano, escriimos0 DINAMICA
15
? ?@
? ?@
Aplicando las ecuaciones de la velocidad y la aceleración para dos puntos de un cuerpo rígido dotado de movimiento plano, tenemos los resultados siguientes. "ara la velocidad. v A v2 C ? x ρ 2A, v A & Ii C ?@ x (Ki C &) Ii L ?& L ?i, 7 por consiguiente0 B I L ?,
? Irad>seg
v A K?,
v A KIm>seg.
"ara la aceleración0 a A a2 C C ? x ρ 2A C ? x (? x ρ 2A) α A &
Ii C ?@ x (Ki C &) Ii L ?& L ?i,
7 por consiguiente0 B I L ?,
? Irad> seg
v A K?,
v A KI m>seg
"or lo tanto0 v A v A & KI &m>seg,
a A α A & K MI& m>segI.
ROTACION PURA% PROBLEMA N=>5% El diámetro A2 del volante de la figura se desvía según la expresión θ It N, donde si t está en s, θ resulta en rad. El volante tiene un radio de IB cm en el DINAMICA
1
instante mostrado, θ OBP, determine0 a) el valor de t. ) la velocidad y aceleración lineales del punto 2.
'4-U$%4/0
60 $
a).
t =
√ 3
%
%
3
3
= rad
3
=2 t
% 6
t =0.806 s
).
ω =θ=´6 t
2
2
ω =6 ( 0.806) =3.898
DINAMICA
1!
$omo v =ωr v =3.898 ( 20 )=78.0
cm con&n'n(&lode 30 $ s
-a aceleración normal del punto 2 es0 2
2
an =ω r =( 3.898 )
( 20 )=303.9
7 la tangencial0 at =αr α =θ´ =12 t =12 ( 0.806 )= 9.672
an =(9.672 ) ( 20 )=193.44
-a magnitud de la aceleración de 2 es0 a =√ 303.9 + 193.44 =360.2 2
2
7 el ángulo Q es0 tan )
=
193.44
"or tanto como0
360.2
* ) =32.5 $
60 $ −32.5= 27.5 $
2
cm a =360 con &n 'n(&lo de 27.5 $ s
DINAMICA
1#
MOVIMIENTO PLANO GENERAL VELOCIDADES PROBLEMA N=>9 -os pasadores insertados en A y 2 que se desli#an en las ranuras mostradas, guían el movimiento de la varilla A2. En el instante mostrado, RNBP y el pasador de A a&a a una velocidad constante de S in>s. 1etermine0 a) la velocidad angular de la varilla. ) la velocidad del pasador del extremo 2.
DATOS% V A = 9 in s W AB = ? V B = ?
SOLUCION%
DINAMICA
1%
V B = V A + W AB * r B / A V B Cos15º i − V B Sen15º j = −9 j + W AB k * ( 20Sen30º i − 20Cos30º j ) V Cos15º i − V B Sen15º j = −9 J + 20 Sen30º W AB j + 20Cos30º W AB i i : V B Cos15º = 20Cos30º W AB (1) j : −V B Sen15º = −9 + 20Sen30º W AB ( 2 ) V B =
20Cos30º W AB Cos15º
( 3)
( 3) en( 2) −
20Cos30º W AB Sen15º
= −9 + 20 se30º W AB Cos15º − 4.6410W AB = −9 + 10W AB . − 14.641W AB = −9 W AB = 0.614 rad ↑ ( 4 ) s ( 4) en( 3) V B =
20Cos30º (0.614)
Cos15º V B = 11.02 in < 15º s
DINAMICA
2&
ACELERACIONES PROBLEMA N=>: 'i en el instante que se muestra la varilla A2 tiene una velocidad angular constante de Orad>s en el sentido de movimiento de las manecillas del relo&, determine la aceleración del punto 1.
DATOS% W AB = 6 rad (cte) s
a D
=
?
DINAMICA
21
SOLUCIÓN%
W AB = W AB k = 4 rad k s
W BD = W BD k W DC
=
W DC k
V D = V B + V D / B W DC k * r D = W AB k * r B + W BD k * r D / B W DC k * ( 0.75 j ) = 6k * ( 0.375 j ) + W BD k * ( 0.9375i + 0.375 j )
− 0.75W DC i = −2.25i + 0.9375W BD j − 0.375W BD i i : −0.75W DC = −2.25 − 0.375W BD j : 0 = 0.9375W BD W BD = 0 W DC = 3rad / s 0
α AB
=
α BD
=
α BD k
α DC
=
α DC k
DINAMICA
22
a D = a B + a D / B 2 a D = α DC k × r D − W DC .r D
a D = α DC k × (0.75 j ) − 3 * (0.75 j ) 2
a D = −0.75α DC i − 6.75 j 2 W AB .r B
a B
=
α AB k × r B
a B
=
0 − 6 2 ( 0.375 j )
a B
= −
−
13.5 j
a D / B = α DB k × r D / B − W DB .r D / B 2
a D / B = α DB k × (0.9375i + 0.375 j ) a D / B = 0.9375α DB j − 0.375α DB i
0.75α DC i − 6.75 j i : −0.75α DC
13.5 j + 0.9375α DB j − 0.375α DB i
= −
0.375α DB
= −
j : −6.75 = −13.5 + 0.9375α DB α DB α DC
7.2 rad 2 s rad = 3.6 s 2
=
0.75α DC i − 6.75 j
a D
= −
a D
= −
a D
= −
0.75(3.6i ) − 6.75 j 2.7i − 6.75 j
ft s 2 a D = 87.12 in 2 s a D
=
7.26
CENTRO INSTANTANEO% PROBLEMA N=>?% El disco 4 indicado en la figura tiene un rodamiento perfecto siendo ? su velocidad angular y T su aceleración su aceleración angular. El extremo A de la DINAMICA
23
arra A2 está ligado a la periferia del disco y el extremo 2 se mueve a lo largo del piso. 3allar la velocidad y aceleración de 2, para la posición indicada.
SOLUCION% A partir de la figura, vemos que0 θ
senKM Ir>l
7 notamos que para el disco0 ? ? @,
T T @!
"ara la arra ? A2 ? A2@,
T A2 T A2 @!
7 para el extremo 2 :2 :2i,
a2 a2i
Aplicando las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de un cuerpo rígido dotado de movimiento plano, tenemos resultados siguientes0 : A
r A r B C ? x ρ 4A r ? i C ? @ x (Kr&) r?i C r?i Ir?i
a A
r A r B C T x ρ 4A C ? x (? x ρ 4A) rTi C T@ x (Kr&) C ?@ x (r?i) rTi C rTi C rT I &
DINAMICA
24
IrTi C rT I & :2
v2i r 2 r A C ? A2 x ρ A2 Ir?i C ? A2 x (l cos ρθi C Ir&) Ir?i C ? A2lcos θ & L Ir? A2i
1e modo que :2 Ir(? K ? A2),
B ? A2lcosθ
$omo l ≠ B y cos θ B, deemos tener que0 ? A2 B "or lo tanto, :2
Ir?,
:2 Ir?i
Vue es igual a v A, "ara la elección, tenemos a2 a2i
a A C T A2 x ρ A2 C ? A2 x (? A2 x ρ A2) a A C T A2@ x (l cos θi C Ir&) C B IrTi C rT I & C T A2lcos θ & L IrT A2i,
7 por lo tanto0 a2 IrT L IrT A2,
o rWIC T A2l cos θ
T A2 Kr?I>l cos R,
a2 IrT C Ir ITI>l cos R
Entonces0 a2 (Ir? C Ir I?I>lcosθ) i.
PROBLEMA N= >@0 DINAMICA
25
1eterminar las velocidades de A y : en el e&emplo anterior, usando el m*todo del centro instantáneo.
SOLUCIÓN% El centro instantáneo del disco, movi*ndose con rodamiento perfecto es $. Entonces0 : A r A ? x X $A ?@ x (KI r&) Ir?i $omo v2 v2i, y es paralela a v A, el centro instantáneo de la arra A2 está en el infinito. En otras palaras, A2 está experimentando en ese instante un movimiento de translación. "or lo tanto0 :2 : A Ir?i
PROBLEMA N=> 0 Una rueda que rueda y desli#a en el plano xy tiene su centro 4 locali#ado en0 FB YtJ,
7B N,
En donde FB 7B están medidas en metros, y t está medido en segundos. El despla#amiento angular de un radio, medido a partir de una recta vertical de referencia, es0 R ItN, En donde R está medido en radianes y en el sentido de las manecillas del relo&. 1eterminar0 (a) la velocidad, () la aceleración de un punto " locali#ado en el extremo derecho de un diámetro, cuando r M seg. Encontrar tami*n (c) el centro instantáneo del movimiento, en ese instante.
SOLUCIÓN0 A partir de los datos correspondientes a F B y R, tenemos0
DINAMICA
2
´ " 0
FB YtJ,
´ " 0
IBtN,
θ´ OtI,
R ItN, ´0 " IBtNi, ? KOtI@,
OBtI,
θ´ MIt,
´0 " OBtIi, T KMIt@
Aplicando las ecuaciones para la velocidad y la aceleración, tenemos lo siguiente0 ´ :6 " C ? x ρ4" IBtNi C (KOtI@) x Ni
(a)
0
IBtNi L MZtI &, 7 para t M, : p IBi L MZ& m>seg. ´ aX " CT x ρ4" C ? x (? x X 4")
()
0
OBtIi C (KMI t@ C Ni) C (Ot I@) x (KOtI@ x Ni) OBtIi K OSt& L MBZtJi, 7 para t M, aX KJZi L NO& m>seg I. $uando t M seg., v (IB C Oy) i L Ox&. 'i $ es el centro instantáneo, entonces v B, y por lo tanto0 B (IB C Oy) i L Ox&, IB C Oy B, Ox B 1
Esto da por resultado que x B, y KN
3
m! ósea
1
ρ4"
DINAMICA
3
N &m,
2!
1 3
Es decir, el centro instantáneo está a N metros medidos verticalmente hacia aa&o del centro de la rueda.
CONCLUSIONES "rimero se consideró la traslación de un cuerpo rígido y se oservó que en un movimiento de este tipo, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la aceleración en cualquier instante dado. El movimiento plano de una placa rígida puede considerarse como la suma de una traslación y una rotación. DINAMICA
2#
El centro de rotación instantáneo es el punto alrededor del cual es posile suponer que un cuerpo está girando en un instante dado, al determinar las velocidades de los puntos del cuerpo en ese instante.
DINAMICA
2%
