DINAMICA ESTRUCTURAL

Din´ Din ´ amica ami ca Est Estruc ructur tural al

C M G An´ al isis alis is S´ ısmi ıs mico co de Es Estr truc uctu tura ras: s: Din´ Di n´ am ica amic a Es Estr truc uctu tura rall Jos´ e M.a Goicolea Depto. Mec´ anica anica de Medios Continuos Conti nuos y Teor´ eor´ıa de Estruc Est ructur turas as 22/03/2004

J M Goicolea

An´ alisis S´ısmico de Estructuras


I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L. Oscilado Oscilad or Arm´ onico Simple sin onico Amortiguamiento k

m

mx ¨ = f k (x) f k (x) =

x

−kx ⇒

V ( V (x) =

1 2 kx 2

Conservaci´ on on ener ne rg´ıa:

E = T + V =

1 1 1 mx˙ 2 + kx2 = kA2 2 2 2

(1)

donde A es la amplitud ampl itud m´ axima axi ma (x˙ = 0).

J M Goicolea



I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L. Oscilado Oscilad or Arm´ onico Simple sin onico Amortiguamiento k

m

mx ¨ = f k (x) f k (x) =

x

−kx ⇒

V ( V (x) =

1 2 kx 2

Conservaci´ on on ener ne rg´ıa:

E = T + V =

1 1 1 mx˙ 2 + kx2 = kA2 2 2 2

(1)

donde A es la amplitud ampl itud m´ axima axi ma (x˙ = 0).

J M Goicolea



Integraci´ o n de la ecuaci´ on on on Despejando x˙ en (1):

x˙ =



k 2 (A m

−

x2 )

 ⇒ 

k dt = m

√ Ad2 x− x2 ,

def

Integrando, denominando ω0 = k/m, y tomando como condici´ on on inicial x = 0 para t = 0,

ω0 t = arc arc sen sen

 x A

⇒

x(t) = A sen(ω sen(ω0 t).

En un caso general (condiciones iniciales gen´ ericas ericas x0 , x˙ 0 ):

x(t) = A sen(ω sen(ω0 t + φ).

J M Goicolea



Oscilado Oscilad or con Amo Amortigua rtiguamiento miento k m c

siendo ωD = ω0

−cx˙ ⇒ mx¨ + cx˙ + kx = 0 √ Si c < c = 2 km , crit

x def

f c =

x(t) = Ae−

 − 1

c 2m

t

sen(ω sen(ωD t + φ)

ζ 2 ; c = 2ζ ω0 m. Alternativamente: x ¨ + 2ζ 2ζ ω0 x˙ + ω02 x = 0

(2)

x(t) = Ae−ζω t sen(ω sen(ωD t + φ)

(3)

0

Las constantes (A, φ) se calculan mediante las condiciones iniciales (x0 , x˙ 0 ).

J M Goicolea



Amortiguamiento

• Medida del amortiguamiento: amortiguamie nto: decremento decrem ento logar´ logar´ıtmico (δ ),

logaritmo logaritmo del cociente de amplitudes m´ aximas aximas en dos ciclos sucesivos.

• Amplitud ciclo i: ui = Ae

ζω 0 ti

−

ti+1

2π = ti + ωD

⇒

.

δ = ln

   − ui ui+1

(aproximadamente lineal con ζ si ζ

J M Goicolea

=

2πζ

1

ζ 2

≈ 2πζ

≤ 20 %).


Din´ amica Estructural

Oscilaciones Forzadas

♠ Ecuación: m¨ x + cx˙ + kx = p(t)

♠ Solución general: x(t) = xh (t) + x p (t),

⇔

x ¨ + 2ζω0 x˙ + ω02 x =

 

p(t) . m

(4)

xh (t) = Ae−ζω t sen(ωD t + φ); 0

(5)

on particular. x p (t) : soluci´

♠ Solución particular para excitación armónica: ⇒ x p(t) = x0 sen(ωt − φ p) p(t) = p0 sen ωt x0 =

J M Goicolea

 − (k

p0 = 2 2 2 2 mω ) + c ω

 − (1

p0 /k , 2 2 2 2 β ) + 4ζ β

(6)

def

con β =

ω . ω0 (7)



Factor de Amplificaci´ on Din´ amica p0 = . k

♥ Deformación estática: xest ♥ Deformación dinámica máxima: Factor de Amplificación Din´ amica

1. 2. 3.

ω ω0 ω β = ω0 ω β = ω0 ωr = ω0 β =

J M Goicolea

1 . 2 2 2 2 β ) + 4ζ β

x0 = Ad xest ,

Ad =

 1: Ad → 0;

x0

p0 ≈ mω . (controlado por m). 2

 1: Ad → 1;

x0

≈ xest = pk0 . (controlado por k).

 − (1

(8)

≈ 1: Ad máximo (resonancia), para p0 1 − 2ζ 2 ; ⇒ x0,r = (controlado por c). cω0





Factor de Amplificaci´ on Din´ amica 6 ζ = 0.01 ζ = 0.05 ζ = 0.10

d

A

, . z 5 a l p s e d 4 n e a t s 3 e u p s e r 2 e d r o 1 t c a F

ζ = 0.20 ζ = 0.70

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ω/ω0

J M Goicolea



Amplificaci´ on de desplazamientos, velocidades y aceleraciones

♣ Despreciando la solución de la homogénea xh (t) → 0, p0 x(t) = Ad (β ) sen(ωt − φ p ); k p0 x(t) ˙ = √ Av (β ) cos(ωt − φ p ); km p0 x ¨(t) = − Aa (β ) sen(ωt − φ p ). m Donde Av =

ω ω0 Ad ;

Aa =

ω ω0 Av

=

2

 ω ω0

(9) (10) (11)

Ad .

♣ En gráfico doblemente logar´ıtmico (ln(ω/ω0 ), ln Av ): • Ad = cte.: ln Av = ln(ω/ω0 ) + ln Ad, recta pendiente +45 • Aa = cte.: ln Av = − ln(ω/ω0 ) + ln Aa, recta pendiente −45 ◦

J M Goicolea

◦



Representaci´ on logar´ıtmica de amplificaci´ on din´ amica 10 ζ = 0.01 ζ = 0.05 ζ = 0.10

v

A

, s e a i c o l e v n e a t s e u p s e r e

ζ = 0.20

1

Aa = constante; escala medida Ad

Ad = constante; escala medida Aa ζ = 0.70

r o t c a F

0.1 0.1

1

10

ω/ω 0

J M Goicolea



Ejemplo de espectro de respuesta para acci´ on sismica

J M Goicolea



Excitaci´ on en la base. Ecuaciones u(t) m

uT (t) = ub (t) + u(t) m¨ uT = f (t) =

−ku(t) − cu(t) ˙ m¨ u + cu˙ + ku = −m¨ ub (t)

♦ Excitación armónica: ub (t) = ub0 sen(ωt)

ub (t)

u ¨b =

−ω2 ub0 sen(ωt).

♦ Equivale a fuerza aplicada (fuerza inercial, ficticia): p(t) = p0 sen ωt;

J M Goicolea

p0 = mub0 ω 2 .



Excitaci´ o n en la base. Ecuaciones (2)

♦ Desplazamientos relativos mω 2 ub0 2 u(t) = Ad sen(ωt − φ p ) = ub0 (ω/ω 0 ) Ad sen(ωt − φ p ) k Son los que generan los esfuerzos estructurales (fuerzas est´ aticas equivalentes, f S ):

f S (t) = ku(t) =

−müT − cu˙

♦ Desplazamientos totales 2

uT = ub + u = ub0 sen(ωt) + ub0 (ω/ω 0 ) Ad sen(ωt

− φ p)

Mediante la aceleraci´ on total se obtienen las fuerzas totales sobre m:

f T = J M Goicolea

−müT = ku + cu˙ An´ alisis S´ısmico de Estructuras


Excitaci´ on en la base. Transmisibilidad.

♦ Sea movimiento en la base u¨b(t) = u¨b0 sen ωt. Aceleraciones: def ω u ¨T (t) = u ¨b + u¨ = u ¨b0 sen(ωt) + β 2 Ad sen(ωt − φ p ) ; β = . ω0





u ¨T 0 ♦ Se define la Transmisibilidad como T R def ; = u ¨b0 F max,base = m¨ uT = m¨ ub0 T R;

·

TR =



1 + 4ζ 2 β 2 (1 β 2 )2 + 4ζ 2 β 2

−

• β = ωω0 → 0: T R → 1, u¨T 0 ≈ u¨b0 . • β = ωω0 → ∞: T R → 0, u¨T 0 ≈ 0. √ ω • Si β = ω0 > 2, ¡amortiguamiento aumenta respuesta! J M Goicolea



100

Excitaci´ on en la base. Transmisibilidad. ζ = 0.01

0 0

T g u u

¨ ¨

=

R T

ζ = 0.05

10

, d a d i l i b i s i m s n a r T

ζ = 0.10 ζ = 0.20 1 ζ = 0.70

0.1 0.1

1

10

ω/ω0

ω/ω 0 J M Goicolea

→0 ⇒

TR = 1;

ω/ω 0

→∞ ⇒

TR = 0 (aislam. base) An´ alisis S´ısmico de Estructuras


Impulso Instant´ aneo: δ de Dirac

♣ En t = τ , se define mediante:

 

δ (t) = 0 l´ımt→τ δ (t) =

∞;

∀t = τ



+∞

−∞

δ (t

− τ ) dt = 1

f (t) 

(12)

∞

→0

1/   τ

♣ Prop. fundamental: J M Goicolea

τ

t



+∞

−∞

g(t)δ (t

t

− τ ) dt = g(τ ) An´ alisis S´ısmico de Estructuras


Respuesta a funci´ on impulso. def



♣ Impulso de una fuerza: I = tt f (t)dt = m(v1 − v0 ) = m∆v. ♣ Fuerza impulsiva o impulso instantáneo: f I (t) = Iδ (t − τ ) ♣ Sistema inicialmente en reposo (v0 = 0): impulso 1

0

−

instant´ aneo equivale a velocidad inicial v0+ = ∆v0 = I/m, seguida de vibraci´ on libre.

♣ Para impulso unidad (I = 1) en t = τ , sustituyendo en vibraci´ on libre (3) las C.I. (x0 = 0, x˙ 0 = 1/m) resulta 1 A = mω , φ = 0: D

h(t

− τ ) = mω1 D e

ζω 0 (t−τ )

−

sen(ωD (t

− τ ))

( t > τ )

∀

(13)

(funci´ on elemental de respuesta a un impulso unidad) J M Goicolea



Respuesta en el tiempo: Convoluci´ on f (t)

Efecto de f (τ ) cualquiera: superposici´ on lineal de impulsos elementales, dI = f (τ ) dτ ; Respuesta (en el instante t) a un impulso elemental (en el instante τ ): h(t τ )f (τ ) dτ

• •

f (τ )dτ τ

t

−

τ

• Respuesta a f (τ ) cualquiera: suma de impulsos elementales,

 

t

x(t) =

−∞

t

=

−∞

h(t

− τ )f (τ ) dτ

f (τ ) −ζω e mωD

0

(t−τ )

(14)

sen(ωD (t

− τ )) dτ

• Incluye respuesta en régimen transitorio J M Goicolea



Ciclo de hist´ eresis en amortiguamiento viscoso

♥ Energ´ıa disipada por las fuerzas internas: (f int = −ku − cu)˙ en un ciclo del r´ egimen permanente, u(t) = u0 sen(ωt − φ p ):



2π/ω

E D =

f int u˙ dt

ku 0 f

0

=

cωu 20

−



2π/ω

0

1 + sen(2ωt 2

[cos2 (ωt

− φ p)

− 2φ p)] dt ω = −πcωu20 = −2πζ ku20 ω0

−u0

u0 u

−ku0

♥ El resorte (f k = −ku) no desarrolla trabajo. ♥ ¡E D depende de la frecuencia ω! J M Goicolea



Amortiguamiento Hister´ etico

♣ Buscamos E D independiente de ω, más acorde con

resultados experimentales en vibraciones estructurales.

♣ Tomamos c



E D =

=

ηk ω

→

f D =

−πηku20 = −2πηE S

0

− ηkω u˙ : (siendo E S = 0

1 2 ku ) 2 0

(15)

♣ Más realista para materiales estructurales, pero más inc´ omodo para resolver anal´ıticamente.

♣ Amortiguamiento viscoso equivalente: centrado en ω = ω0 , c η η = ; (16) ζ = β = 1 ⇒ ζ eq = 2mω0 2β 2 J M Goicolea



Funci´ on de Respuesta Compleja (I)

♠ Carga definida como función compleja: p(t) = p0 eiωt = p0 (cos(ωt) + i sen(ωt))

(17)

(s´ olo tiene validez f´ısica la parte real, p0 cos(ωt))

♠ Respuesta: u(t) = u0eiωt = u0 (cos(ωt) + i sen(ωt)), con u0 ∈ C. ♠ Derivando: u˙ = iωu; u¨ = −ω2 u, luego: m¨ u +cu+ku ˙ = p(t) ⇒ u0 eiωt (−mω 2 + icω + k) = p0 eiωt (18)

      = Z (ω), impedancia

♠ Otra forma de expresar Z (ω): Z (ω) = (1 − β 2 ) + 2iζβ k,



J M Goicolea

β =

ω ω0

.

(19)



Funci´ on de Respuesta Compleja (II)

♠ Funci´ on de Respuesta Compleja o Admitancia: H (ω) ∈ C, u0 Z (ω) = p0

1 u0 = p0 = H (ω) p0 Z (ω)

⇒

H (ω) =

(1

−

1/k β 2 ) + 2iζβ

(20)

♠ El módulo define la amplitud de la respuesta: |H (ω)| =

J M Goicolea

 − (1

1/k 1 = Ad k β 2 )2 + 4ζ 2 β 2

(21)



Rigidez Compleja

♦ Sistema con amortiguamiento histerético, c



= ηk/ω .

En notaci´ on compleja,

m¨ u+

u˙

      ηk ω

iωu +ku = p0 eiωt

m¨ u + k(1 + iη) u = p0 eiωt

(22)

k

♦ Rigidez compleja: k = k(1 + iη) ♦ En este caso, la función de respuesta compleja es: H (ω) =

J M Goicolea

1 = 2 k(1 + iη) + mω (1

−

1/k β )2 + iη

(23)



Sistemas con N G.D.L.: Ecuaciones

¨ + [C] u˙ + [K] u = p(t) [M] u

{}

{}

{} {

mip u ¨ p + cip u˙ p + kip u p = f i ,

}

i, p = 1, . . . N

Ejemplo:

k1 , c1

k2 , c2 m1

m2

u1 [M] =

J M Goicolea



m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3



; [C] =

k3 , c3 m3

u2



0 c1 +c2 −c2 c2 +c3 −c3 −c2 0 c3 −c3

u3



; [K] =



0 k1 +k2 −k2 k2 +k3 −k3 −k2 0 k3 −k3





Sistemas con N G.D.L.: Propiedades

♣ Matrices de coeficientes: [M]: matriz de masa; sim´ etrica y > 0. [C]: matriz de amortiguamiento viscoso;

≥ 0.

etrica y > 0. [K]: matriz de rigidez; sim´

♣ Linealidad: si {u1 } soluci´ on de {f 1 } y {u2 } soluci´ o n de {f 2 } ⇓ on de α{f 1 } + β {f 2 } α{u1 } + β {u2 } soluci´

J M Goicolea



Vibraciones libres sin amortiguamiento

♣ Ecuaciones del movimiento (acopladas): ¨ } + [K]{u} = {0} [M]{u mip u¨ p + kip u p = 0,

Buscamos soluci´ on del tipo

{ } ∈    a

{u(t)} =

RN ;

C = D + Ei

i, p = 1, . . . N

∈ C,

 { } 

(D, E

a C eiωt .

∈ R);

eiωt = cos(ωt) + i sen(ωt).

C eiωt = D cos(ωt)

J M Goicolea

− E sen(ωt)) = B cos(ωt − δ ) An´ alisis S´ısmico de Estructuras


An´ alisis modal Sustituyendo en la ecuaci´ on:

{u˙ } = iω{a}C eiωt ; {u¨ } = −ω2{a}C eiωt ; −ω2 [M] + [K] {a}C eiωt = {0} Para que exista esta soluci´ on, {a} y ω deben cumplir: −ω2 [M] + [K] {a} = {0}









Se trata de un problema de autovalores generalizado , en funci´ on de λ = ω 2 :

[K] a = λ[M] a

{}

{}

(Podr´ıa convertirse en un problema de autovalores est´ andar , del tipo

[A]{a} = λ{a}, mediante [A] = [M]−1 [K], pero esto llevar´ıa a perder la propiedad de simetr´ıa.) J M Goicolea



An´ alisis modal (2) Condici´ on para la existencia de soluci´ on no trivial ( a = 0 ) (ecuaci´ on caracter´ıstica):

{ } { }

det

−



ω 2 [M] + [ K] = 0

♣ Polinomio de grado N en λ. Al ser [M] y [K] simétricas y > 0, se obtienen N autovalores reales y positivos.

♣ Para cada autovalor λk , resolviendo el problema de autovalores, se obtiene un autovector asociado {ak }. Este queda definido a falta de una constante (si {ak } es autovector, µ{ak } tambi´ en lo es). ♣ Se denomina: √ ω = λ : frecuencia propia; k

k

{ak }: modo normal de vibraci´ on. J M Goicolea



An´ alisis modal (3)

♣ La solución general es combinación lineal de los N modos: N

{u(t)} =

{

ak Bk cos(ωk t

k=1

}

− δ k ),

donde (Bk , δ k ) son 2N constantes que se obtienen con las 2N condiciones iniciales ( u0 , u˙ 0 ).

{ }{ }

♠ Ortogonalidad de los modos normales de vibración:

Modos correspondientes a frecuencias propias distintas son ortogonales respecto de la matriz de masa ( (

) )

{ak }T [M]{al } = 0 ♠ Masa modal : def M k = {ak }T [M]{ak }  =0 J M Goicolea

si k = l.

(= 1 :



normalizados )

( (

) )




♠ Definimos la matriz modal como aquella que tiene por filas los modos normales de vibraci´ on:

[A] =

{ }   { }   ···  { } a1

T

a2

T

aN

T

= [aij ]

 →

modo i comp. j

♠ Diagonaliza simultáneamente [M] y [K]: [A][M][A]T = diag(M 1 , M 2 , . . . MN ) 2 [A][K][A]T = diag(ω12 M 1 , ω22 M 2 , . . . ωN M N )

♠ Otros autores (Clough, Chopra, Humar) usan [Φ] = [A]T J M Goicolea




♠ La matriz modal permite un cambio de variables, de las coordenadas geom´ etricas ({u}) a las coordenadas normales as que las amplitudes, variables con el ({x}). Estas no son m´ tiempo, de los modos de vibraci´ on:

{u(t)} = {a1 }x1(t) + {a2}x2 (t) + . . . + {aN }xN (t) = [A]T {x(t)}. ♠ Cambiando a las coordenadas normales y premultiplicando por [A], las ecuaciones quedan desacopladas:

M k x ¨k + ωk2 M k xk = 0,

k = 1, . . . N

(N ecuaciones independientes de 1 g.d.l.) J M Goicolea




♠ Descomposición modal espectral de M, K N

M=



k=1

1 (Mak )(aT k M); M k

N

K=



k=1

ωk2 (Mak )(aT k M) M k 1

−

♠ Descomposición modal espectral de M N

1

−

M

=



k=1

J M Goicolea

1 ak aT k; M k

N

1

−

K

=



k=1

, K−1

1 ak aT k 2 ωk M k



Oscilaciones libres con amortiguamiento

♦ Sistema de ecuaciones (acopladas): ¨ } + [C]{u˙ } + [K]{u} = {0} [M]{u mip u¨ p + cip u˙ p + kip u p = 0,

i, p = 1, . . . N

♦ Caso general: [C] no se diagonaliza simultáneamente con [M] y [K].

♦ Amortiguamiento clásico: [C] diagonalizable simult´ aneamente con [M] y [K]

[A][M][A]T = diag(M 1 , M 2 , . . . MN ); [A][C][A]T = diag(2ζ 1 ω1 M 1 , 2ζ 2 ω2 M 2 , . . . 2ζ N ωN M N ); 2 [A][K][A]T = diag(ω12 M 1 , ω22 M 2 , . . . ωN M N )

J M Goicolea



Amortiguamiento Cl´ asico

♦ Resultan N ecuaciones desacopladas (de 1 g.d.l. con amortiguamiento):

M k x ¨k + 2ζ k ωk M k x˙ k + ωk2 M k xk = 0,

k = 1, . . . N

♦ Solución general: oscilaciones amortiguadas N

{u(t)} =

{

ak Bk e−ζ k ωk t cos(ωD,k t

k=1

}

− δ k ).

Las 2N constantes (Bk , δ k ) se obtienen a partir de las 2N condiciones iniciales

J M Goicolea



Amortiguamiento Cl´ asico (2)

♦ Amortiguamiento de Rayleigh: ([C] = α[M] + β [K]): [A][C][A]T = α[A][M][A]T + β [A][K][A]T 6

1 α ( 2 ω

5

+ βω) 1 2 βω 1α 2ω

4

1 ζ k = 2



α + βω k ωk



) % ( ζ

3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

ω(rad/s)

♦ Puede elegirse el valor del amortiguamiento en dos modos: (ωa , ζ a ), (ωb , ζ b ) ⇒ (α, β ). J M Goicolea



Amortiguamiento Cl´ asico (3)

♦ Amortiguamiento modal prefijado para cada modo: (ωk , ζ k ). ♦ La matriz se construye mediante la descomposición espectral modal:

N

C=



k=1

2ζ k ωk (Mak )(aT k M) M k

Se comprueba que aT i Caj = δ ij 2ζ i ωi M i

J M Goicolea



Vibraciones forzadas

♥ Sistema de ecuaciones (acopladas): ¨ } + [C]{u˙ } + [K]{u} = {p(t)} [M]{u ¨ p + cip u˙ p + kip u p = pi (t), mip u

i, p = 1, . . . N

♥ Solución general: sol. general homogénea + sol. particular completa:

{u(t)} = {uh (t)} + {u p (t)} ♥ Sistema con amortiguamiento: l´ımt {uh(t)} = 0. ♥ Régimen permanente (para excitación periódica): l´ımt {u p(t)} →∞

→∞

J M Goicolea



Vibraciones forzadas (2)

♥ Suponemos excitación definida como {p(t)} = {s} p(t) ({s} vector de excitaci´ on; p(t) variaci´ on temporal de la excitaci´ on)

♥ Realizando la descomposición modal: N

{u} = [A]T {x} =

{

k=1

ak xk (t);

}

¨ + [A][C][A]T x˙ + [A][K][A]T x = [A] s p(t) [A][M][A]T x

{}

J M Goicolea

{}

{}

{}



Vibraciones forzadas (3)

♦ resultan N ecuaciones desacopladas,

M k x ¨k + 2ζ k ωk M k x˙ k + ωk2 M k xk = akp s p p(t)

k = 1, . . . N

   P k (t)

♦ Dividiendo por las masas modales M k , x ¨k + 2ζ k ωk x˙ k + ωk2 xk =

1 akp s p p(t) M k

k = 1, . . . N

(24)

   Γk

♦ P k (t) se denominan fuerzas modales , y los términos on Γk = M 1 {ak }T {s} se denominan coeficientes de participaci´ k

modal (Coeficientes de las fuerzas modales por ud. de masa modal). Determinan las amplitudes modales xk (t). No ofrecen una definici´ on intr´ınseca, dependen del tipo de normalizaci´ on elegida para los modos de vibraci´ on. J M Goicolea



Descomposici´ o n modal de la excitaci´ on

♠ El vector de excitación {s} se puede descomponer como suma

N

{s} =

N

{ }  sn =

n=1

Γn [M] an ,

n=1

{ }

♠ Es inmediato comprobar que la componente {sn} sólo produce respuesta para el modo n (por la ortogonalidad modal, am T sn = Γn am T [M] an = 0 si m = n).

{ }{ }

{ }

{ }



♠ La descomposición en las componentes modales {sn} no depende de la normalizaci´ on elegida, es intr´ınseca.

♠ La componente del modo n de la excitación produce la componente modal n del desplazamiento respuesta:

{sn} p(t) = Γn[M]{an} p(t) J M Goicolea

=

⇒ {un (t)} = {an}xn(t) An´ alisis S´ısmico de Estructuras


Descomposici´ o n modal de la excitaci´ o n (2)

♥ Fuerzas estáticas equivalentes: aplicadas de forma estática a la estructura, producen los mismos esfuerzos que la excitaci´ on din´ amica

{f n(t)} = [K]{un} = [K]{an}xn(t) = ωn2 [M]{an }xn (t) ωn2 = {sn }xn(t) Γn

(25)

♥ Los valores de las amplitudes modales xn(t) se calculan de las ecuaciones modales de 1 G.D.L. (24):

x ¨n + 2ζ n ωn x˙ n + ωn2 xn = Γn p(t)

J M Goicolea

n = 1, . . . N




♣ El máximo desplazamiento obtenido de estas ecuaciones modales, como se vi´ o en (8), puede determinarse como:

xn,0 = xest n Ad (ωn )

(26)

xest n

Γn p0 = ωn2

♣ Si p0 = máx[ p(t)], el desplazamiento estático es: ♣ El factor de amplificación dinámico Ad(ωn) depende de la

variaci´ on temporal de la excitaci´ on p(t) y de la frecuencia propia del modo considerado, ωn . Para el caso particular de una excitaci´ on arm´ onica pura de frecuencia ω , vimos que su valor es (en funci´ on de β = ω/ω n ):

Ad =

J M Goicolea

1

 − (1

β 2 )2

+ 4ζ 2 β 2

.




♦ Suponemos ahora una determinada componente de la

respuesta que interesa determinar, r(t) (p. ej. un esfuerzo cortante, un flector, el desplazamiento de un punto determinado, etc.).

♦ El valor de r(t) podrá ser determinado a partir de las

fuerzas est´ aticas equivalentes (25) (con dependencia lineal de las mismas). La componente de r(t) debida a la componente on —es decir, sn p(t)— es rn (t), siendo n de la excitaci´ N atica (debida a r(t) = n=1 rn (t). Sea rnest la respuesta est´ sn = Γn [M] an ). Considerando (25)3 y la linealidad de la respuesta, se verifica:

{ }



{ }

{ }

rn (t) =

J M Goicolea

2 est ωn rn xn (t) Γn

(27)




♠ Sea rn,0 el máximo valor de la respuesta debida al modo n, que provendr´ a de la m´ axima amplitud modal xn,0 (26). Sustituyendo en la ecuaci´ on (27),

rn,0

2 est ωn = rn Γn

     Γn p0 Ad (ωn ) ωn2

= rnest p0 Ad (ωn ).

(28)

xn,0 = xest n Ad (ωn )

♠ La respuesta máxima queda definida como producto de: El factor constante p0 (m´ aximo de p(t)); atica a la comp. sn = Γn [M] an ; rnest , respuesta est´

{ }

{ }

on din´ amica del modo n; Ad (ωn ), amplificaci´ esta amplificaci´ on ser´ a 1 para ωn altos, 1 para ωn resonantes, y 0 para ωn bajos.

≈

J M Goicolea

≈






♥ Teniendo en cuenta la respuesta estática total rest =



N est n=1 rn ,

cabe definir unos factores de contribuci´ on modal (Chopra, 1995):

rnest r¯n = est . r

(29)

♥ Estos factores de contribución modal r¯n definen la

contribuci´ on est´ atica de cada modo en la respuesta estructural para la componente que se pretende calcular, r(t). A diferencia de los denominados factores de participaci´ on modal Γn , no dependen de la normalizaci´ on que se haya llevado a cabo en los modos. Su suma es la unidad, N ¯n = 1. n=1 r



J M Goicolea



Vibraciones por movimiento de la base

♠ Descomposición mov. base + mov. rela-

u m4

tivo:

{uT } = {ub} + {u} {ub } = { }ub (t)

m3

ι

m2

♠ { }: (vector de influencia). ι

m1

En este caso (2 g.d.l. / nodo),

{ } = { x} = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)T ι

ι

ub (t)

♠ Las ecuaciones resultan: ¨ } + [C]{u˙ } + [K]{u} = −[M]{ }u [M]{u ¨b (t) mip u¨ p + cip u˙ p + kip u p = −mip ι p u ¨b (t), i, p = 1, . . . n ι

J M Goicolea



Vibraciones por movimiento de la base (2)

♠ Vectores de influencia:

m4

Desplazamientos est´ aticos en cada GDL para un movimiento unitario de la base. Si el apoyo isost´ atico, son simplemente los desplazamientos cinem´ aticos.

m3 m2

u2

m1 u3

u4

u1

θb (t)

ub (t)

{ x}T = (1, 1, 0, 0) ι

J M Goicolea

{ θ }T = (y1 , y2 , y3 , y4) ι




♣ Vectores de influencia en caso general (3D, con 6 GDL por nodo): para cada nodo I , x T ι I

{ } = { yI }T = { zI }T = { θI }T = { θI }T = { θI }T = ι

ι

ι

ι

ι

x

y

z

    −  −

  

1

0

0 0

0

0

0

1

0 0

0

0

0

0

1 0

0

0

0

zI yI 1

zI 0

−xI

0

  

0

0

1

0

yI xI 0 0 0 1

(siendo (xI , yI , zI ) las coordenadas relativas del nodo I respecto a la base). J M Goicolea




♠ Cortante Qx en la base, como respuesta a un movimiento impuesto (s´ısmico) en direcci´ on x de la misma: se obtiene tambi´ en mediante el vector de influencia ιx :

{ }

{ }T { x }

Qx = s

(30)

ι

♠ Componente modal n de cortante Qx: Qx,n = {sn }T { x } = Γxn {an }T [M]{ x }; ι

ι

(31)

teniendo en cuenta la definici´ on de Γxn , para la excitaci´ on que 1 T x ι [ ] nos concierne: Γxn = M 1n an T s = M , resulta a M n n

{ } {}

{ }

def

{ }

x Qx,n = Γxn (Γxn M n ) = (Γxn )2 M n = M eff ,n .

J M Goicolea

(32)




♦ La Masa efectiva del modo n en dirección x, M eff x ,n, define

la contribuci´ on de dicho modo al cortante en la base en dicha direcci´ on, para una aceleraci´ on unitaria de la base.

♦ La definición realizada de masa efectiva es intr´ınseca,

independiente de c´ omo se hayan normalizado los modos.

♦ La suma de las masas efectivas para todos los modos es la masa total de la estructura (salvo la masa asignada a los nodos de la base): N



x x = M eff M . ,n

n=1

♦ Por tanto, si el cortante en la base es una variable

relevante, el n´ umero de modos deber´ a ser tal que su masa efectiva sea suficientemente pr´ oxima a la total (p.ej. 90 %). J M Goicolea




♣ Momento en la base M θ (caso 2D), debido a movimiento x de la base ({s} = [M]{ x }): M θ = {s}T { θ } ♣ La componente debida al modo n es M θ,n = {sn }T { θ } = Γxn {an }T [M]{ θ } 1 { an }T {s} {an }T [M]{ θ } = M n ι

ι

ι

1 = M n

 {

an

ι

T

}



♣ Altura efectiva modo n: heff ,n J M Goicolea

 { } {

[M]

= M n Γxn Γθn

ι

x

ι

an

T

}

[M]

 { } ι

θ

M θ,n Γθn = = x. Qx,n Γn

def



Excitaci´ o n en apoyos m´ ultiples

♦ Suponemos excitación s´ısmica distinta en N b apoyos: {ub} = (ub,1 , ub,2 , . . . ub,N )T b

ub,1

ub,4 ub,2

ub,3

♦ Particionamos vector de desplazamientos:

   uT

,

ub

siendo uT los desplazamientos (totales ) en los N g.d.l. estructurales, y ub los N b desplazamientos s´ısmicos impuestos. J M Goicolea



Excitaci´ o n en apoyos m´ ultiples (2)

♠ Ecuación matricial (particionada):

 

M

Mb

MT b

Mbb

         u ¨T u ¨b

                         +

C

Cb

u ˙ T

CT b

Cbb

u ˙b

+

K

Kb

uT

KT b

Kbb

ub

=

0

pb (t)

(33)

♠ Descomposición de desplazamientos estáticos + dinámicos: uT ub

J M Goicolea

=

us ub

+

u 0



Excitaci´ o n en apoyos m´ ultiples (3)

♣ us: desplaz. estáticos en estructura debidos a mov. impuesto ub (t). Deben verificar:

 

K

Kb

KT b

Kbb

         us

0

=

ub

(34)

psb

(psb = 0 si los apoyos son isost´ aticos).

♣ Desarrollando primera fila de expresión matricial anterior: ⇒ us = −K 1 Kb ub = ub. (35) Kus + Kb ub = 0 ♣ Matriz de influencia (N × N b): una columna por cada grado de libertad impuesto, [ ] = [ 1 | 2 | . . . | N ]: −

ι

ι

ι

ι

ι

ι

b

N b

us (t) =



ιl

ub,l (t) = ιub (t).

(36)

l=1

J M Goicolea


DINAMICA ESTRUCTURAL

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