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SISTEMAS HIPERESTÁTICOS DEFINICIONES Sistemas isostático: aquellos en el que es posible determinar las reacciones y los esfuerzos en cualquier punto mediante las ecuaciones de la Estaática.
Sistemas hiperestáticos: aquel aquellos los en los los que que las las ecuac ecuacion iones es de la Esta Estaáá tica tica resultan insuicientes para determinar las reacciones y los esfuerzos en cualquier punto. Tipos de sistemas hiperestaáticos:
internamentee hiperestáti hiperestática ca si las Una estruc estructur tura a es internament las ecua ecuaci cion ones es de la estaática no son suicientes para determinar los esfuerzos internos de la misma.
Una estruc estructur tura a es externamente hiperestática si las las ecua ecuaci cion ones es de la esta estaá tica tica no son suici suicient entes es para para determ determina inarr fuerza fuerzass de reacci reaccio oá n de la estructura al suelo o a otra estructura.
Una estructura ura es compet competame ament ntee externamente hiperestaá hiperestaá tica.
hipere hiperestá státic ticaa si
es
internamente
y
Para Para entende entenderr el estudi estudio o de tensio tensiones nes de las estruc estructur turas as indete indetermi rminada nadas, s, es necesario necesario comprender comprender primero primero la diferencia diferencia fundamental fundamental entre una estructura estructura ines inesta tabl ble e m mec ecan anism ismo! o!,, una una esta estaáá tica ticamen mente te determ determin inada ada iso isost sta aá tica tica!! y una una estaá estaá ticamente indeterminada hiperestaá hiperestaá tica!
"nalicemos una estructura sometida a un determinado estado de car#a, y en ella planteamos el esquema de cuerpo libre:
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Reai!amos e es"#ema $e car%as : al#unas son datos #eneralmente las car#as exteriores acti$as! y al#unas son incoá#nitas la accioán que e%ercen los $&ánculos eliminados, fuerzas reacti$as!. 'e acuerdo a si el cuerpo estaá en el plano o en el espacio queda determinado un nuá mero de ecuaciones deinidas por la Estaá tica E! y un nuá mero de incoá #nitas a calcular (!.
)i el nuá mero de incoá #nitas, (, es menor que el nuá mero de ecuaciones, E, la estructura es inestable, es un mecanismo o sistema hipostaático. *onstituye un sistema incompatible. )i el nuámero de incoá#nitas, (, es i#ual al nuámero de ecuaciones, E, : la estructura es estaá ticamente determinada o isostaá tica. )i el nuá mero de incoá #nitas, (, es mayor que el nuá mero de ecuaciones, E, : la estructura es estaáticamente indeterminada o hiperestaática.
+os sistemas isostaáticos e hiperestaáticos deben tener los $&ánculos bien dispuestos, de modo de resultar estables. +a estabilidad de una estructura se lo#ra ubicando los $&ánculos de modo tal que anulen los #rados de libertad posibles en el plano y - en el espacio!.
Sistema inestable (existe
E=3
desplazamiento horizontal).
I = 4
El $alor e / ( 0 E se llama rado de 1iperestaticidad o rado de (ndeterminacioá n Estaá tica de la estructura. *uando un sistema posee un nuá mero de $&ánculos superabundantes se tiene una estructura hiperestaá tica, que puede serlo por condicioá n interna, externa o ambas a la $ez. En un sistema donde se tiene mayor nuá m ero de ( que de E se pueden i%ar arbitrariamente ( 0 E! $alores a las incoá #nitas y resol$er el sistema de Ingeniería Civil
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ecuaciones. En dicho caso existen ininitas soluciones, que satisfacen las ecuaciones de equilibrio de la Estaática, una solucioán para cada $alor que se le asi#ne arbitrariamente a las incoá#nitas superabundantes. Pero existe un uánico %ue#o de $alores de todas las incoá#nitas, que satisface condiciones basadas en el comportamiento elaástico de la estructura, en referencia a condiciones impuestas por la $inculacioá n, continuidad de la tan#ente de la l&ánea elaá stica, etc.
"plicado al caso particular de una estructura como se muestra en la si#uiente
i#ura:
ESTÁTICA DE &OS SISTEMAS R'(IDOS ) DE &OS SISTEMAS E&ÁSTICOS: +os sistemas isostaáticos se estudian mediante la estaática de los sistemas r&á#idos, que utiliza solamente las ecuaciones de equilibrio sin tener en cuenta las deformaciones elaá sticas. En cambio, en los sistemas hiperestaáticos las reacciones ser&áan indeterminadas si consideramos el sistema r&á#ido, es decir, habr&áa ininitos $alores de reacciones capaces de equilibrar las car#as, por eso debe tomarse en consideracioá n la deformacioá n del sistema y las condiciones que ella debe satisfacer, lo cual constituye la estaática de los sistemas elaásticos Ingeniería Civil
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. +os principios e hipoátesis en que se basa el caálculo estaático de estructuras son analizados en 2esistencia de 3ateriales. 3encionamos los si#uientes: homo#eneidad, isotrop&áa, elasticidad, hipoá tesis de 4ernoulli05a$ier, +ey de 1oo6e, deformaciones elaásticas y pequen7&sá imas respecto a las dimensiones del cuerpo, y principio de superposicioá n de los efectos.
SISTEMAS HIPERESTÁTICOS POR CONDICI*N E+TERNA O INTERNA a, In$eterminaci-n estática externa: Un sistema puede ser hiperestaático por exceso de $&ánculos externos
., In$eterminaci-n estática interna: Un sistema puede ser hiperestaá tico por exceso de $&ánculos internos, que li#an al#unos puntos de la estructura.
+a estructura que se muestra en la i#ura 8 es isostaática, pero si a#re#amos 8 barras E' y *9! como se muestra en la i#ura externamente es isostaático pero internamente no. Podemos determinar las solicitaciones en los tramos "E y 94, pero no podemos hacerlo en el tramo E*'9 porque no conocemos el esfuerzo normal 5! en las barras E' y *9.
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En este caso, auán conociendo las reacciones de $&ánculo externas no se pueden calcular las solicitaciones en una seccioán. Para ello es necesario con$ertirlo en abierto mediante uno o maá s cortes y determinar utilizando consideraciones elaásticas las reacciones mutuas a tra$eás de dicho corte solicitaciones internas!
c) Indeterminación estáca por condición externa e interna.
TIPOS USUALES E EST!U"TU!AS #IPE!EST$TI"AS. Viga connua: La estructura hiperestáca que más se uliza en la prácca es la viga connua de ! " o más tramos.
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%&todos de reso'(ción de sistemas iperestácos M/TODO DE &AS F0ER1AS
Procedimiento: ! 4uscar un )istema (sostaá tico "sociado )("!, sustituyendo los enlaces superabundantes por las fuerzas de enlace correspondientes incoá #nitas hiperestaáticas!.
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8! En el )istema (sostaá t ico "sociado )("! calcular los desplazamientos correspondientes a los enlaces suprimidos. Es decir, calcular los desplazamientos en funcioá n de las fuerzas externas directamente aplicadas y de las incoá #nitas hiperestaáticas.
! Establecer la compatibilidad de las deformaciones as&á calculadas con las que posibilitan los enlaces realmente existentes.
;! 'e estas ecuaciones de compatibilidad hallar los $alores de las incoá #nitas hiperestaáticas.
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M/TODO DE DO2&E INTE(RACI*N: Este meátodo nos permite obtener las reacciones en $i#as hiperestaáticas asi como los #iros y desplazamientos a partir de la ecuacioá n #eneral de la elaástica. Ecuacioá n #eneral de la elaá stica: 2
EI
d Y dx
2
%$'oá nde:
3: Ecuacioá n de momento E(: 2i#idez
a.0ecuacioá n #eneral de #iro de la elaá stica: dy EI =∫ Mdx + C 1 dx
b.0 ecuacioá n #eneral de la ordenada: EIy =∫
(∫ Mdx )+C x +C 1
2
M/TODO DE NA3IER 2RESSE 4FORM0&AS,: Procedimiento de resolucioá n: ! )e realiza un corte $irtual o icticio seccioá n = de la i#ura! 8! )e transforma el sistema hiperestaá tico en un )istema (sostaá tico "sociado.
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Apicaci-n $e as 5orm#as: ! En el corte se introducen tres incoá #nitas: 3=, T= y 5=. 8! +as tres incoá #nitas introducidas obli#an a plantear tres ecuaciones para determinarlas. ! "l tratarse de un corte $irtual, las secciones "! y 4! se comportan i#ual por ser en realidad la misma seccioá n =!:
'oá nde:
Nota: *on estas ecuaciones podemos resol$er la hiperestaticidad interior. M/TODO DE CASTI(&IANO 4TEOREMA,:
Pero por ser las secciones " y 4 la misma seccioán esta situacioán no se produce en realidad sal$o que se produzca la rotura!. Es decir, el mo$imiento relati$o entre las secciones " y 4 debe ser nulo:
Nota: *on estas ecuaciones podemos resol$er la hiperestaticidad interior.> O.ser6aci-n: +as fuerzas externas 9 y las reacciones hiperestaáticas 3o, To y 5o deben considerarse como las fuerzas independientes al aplicar el teorema de *asti#liano.
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3I(AS HIPERESTATICAS El anaá l isis en las deformaciones en $i#as nos permite limitar los decesos de las mismas, entre#ando secciones adecuadas y por otra parte incorporar nue$as expresiones para resol$er $i#as hiperestaáticas. Una forma de enfocar la resolucioá n de $i#as hiperestaá t icas cosiste en descomponer la $i#a inicial en $arias $i#as cuyo efecto sumado equi$al#a a la situacioá n ori#inal. +as solicitaciones externas, car#as y reacciones, #eneran cortante, momento y deformacioán, siendo $aá lido el principio de descomposicioá n de $i#as cuyas acciones sumen el mismo efecto. Este principio puede ser aplicado a las $i#as 1iperestaticas como:
?i#as bi 0 empotradas. ?i#as empotrada @ apoyada. ?i#as continuas.
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