UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
Facultad de ingeniería de minas geología y civil Escuela de formación profesional de ingeniería civil
CURSO: DINAMICA (IC-244) Solucionario de ejercicios
GRUPO NUMERO 2 (Merian) ESTUDIANTES: BARRIENTOS FLORES, Fredy QUISPE QUINO, Wilian QUICAÑO PRADO, Jenner MARTINEZ CONTRERAS, Jose jhonatan
1
CINEMÁTICA DE CUERPO RÍGIDO Ejercicio nº 1 El cilindro de 12Kg montado en los soportes con cojinetes en A y B posee un momento de inercia de 0.080Kg.m 2 respecto al eje vertical Z 0 que pasa por su centro de masa G. El disco y los soportes tiene un momento de inercia de 0.06Kg.m 2 respecto al eje vertical vertical de rotación z. Si al disco se aplica un par de momento M=16m.N a través de su árbol y estando inicialmente inicialmente en reposo, calcular calcular las componentes horizontales x de las fuerzas que soportan los cojinetes A Y B.
SOLUCION I ztotal = = I zdisco + I zcojinete y cilindro I ztotal = 0.6 + 0.08 +12(0.2) 2 I ztotal = 1.16kg.m 2 →
∑ = = I M F (0.1) (0.1) -F (0.3) = I 16 0.1F 0.3F = 1.16
Sabemos que –
–
N N
Z
z
A
B–
z
…………(I)
A
F R = ma → F B = m( ) ^ F A = m( ) 0.1F B = 0.3F A →
= 0.3F
A
= 3F A
(II)
……………………
(II) en (I) 16 – 0.1(3F A ) +0.3F A 1.16
16 = 0.029F A + 0.6F A → F A = 25.44N ^ F R = 16.31N
2
Ejercicio nº 2 para el mecanismo de biela y cigüeñal representado, deducir la expresión de la velocidad
del
pistón tomando como positivo hacia la derecha en función de θ para 0 < θ < 180° representar en función de θ y determinar su valor máximo y el valor correspondiente de θ. gráficamente la ( por simetría prever los resultados los resultados para 180° < θ < 360°.
y B w
L
x
0
A
O
Va=>
o
SOLUCION Realizamos un u n diagrama de cuerpo libre Y B r
L
X
0
0
A
w
O
H
Va
Lcos0 0
rcos0
Tenemos como datos del problema ω=
̇
De el grafico podemos obtener
Derivando
̇ ̇ ̇
…….. …….. (1)
También tenemos:
̇ ̇
…………(2) …………(2)
Entonces
̇
̇ ̇ ̇ ̇ ̇
En 1 y 2
̇ Entonces al derivamos derivamos a Podemos obtener ………..**
3
Y evaluamos en ** con los valores ya obtenidos
̇
Ejercicio nº 3
La posición angular de unos de los radios de un disco que gira está dada por el ángulo horario , donde está en radianes y t está en segundos. Calcular el desplazamiento angular del disco 2 2 durante el intervalo en que su aceleración angular aumenta de 42 rad/s a 66 rad/s .
SOLUCION : De la expresión:
̇ ̈ Cinética de partículas Ejercicio nº 4 La esferita de masa ´m´ está unida mediante la cuerda a un pivote O y describe una circunferencia de radio r sobre el plano liso inclinado un ángulo respecto a la horizontal. Si en la posición mas alta A la esferita tiene tiene una celeridad u, hallar la tracción T que sufre la cu erda cuando la esferita pasa por las posiciones B a 90° y C abajo.
4
SOLUCION : De la conservación de energía mecánica en A y B E M (A) EM (B) E M 0 1 2
m(v B2 u 2 ) mgrsen 0...(1)
donde : a n
v B2
r ento entonc nces:1 es:1 y 2
u2 r
2 gsen .. . .. ( 2 )
F man TB m(
u2
2 gsen ) r conser conservac vacion ion, de _ energi energia a : AyC E M 0
an
u
1 2
m(vc2 u 2 ) mg mg(2 rs rsen ) 0...(3)
2
4 gsen ...( 4) r entre:3y4
Tc m(
u2 r
5 gsen )
Ejercicio nº 5 La placa cuadrada se halla en reposo en la posición pos ición A en el instante instant e t=0 y después ejecuta un movimiento de traslación siguiendo una circunferencia vertical de acuerdo con donde donde k=1rad/s el desplazamiento de esta en radianes y el tiempo t en segundos. Un pequeño instrumento P de 0,4 kg kg se fija temporalmente a la placa con un adhesivo. Representar la fuerza constante F requerida en función del tiempo t para . Si el adhesivo falla cuando la fuerza cortante c ortante F alcanza los 30N, determinar el instante t y la posición angular en k tiene lugar el fallo.
SOLUCION : 2
k 1rad / s
...( )
m 0, 4kg
kt 2
t
an
v2 r
2
2
r (2t) r
2t
También de la dinámica:
5
Fn man Fn mg cos m(2 t) 2 r F n 3,9 cos( cos(tt 2 ) 2, 4 t 2 ...( ...(1 1) También de las fuerzas tangenciales:
Ft mat Ft mgsen(t
2
) m(r )
Ft 3,9 sen(t 2 ) 1,2.. ,2...(2) (2) F
Fn2 Ft 2 16, 84 84 18, 8t 8 t 2 cost 2 sen t 2 5, 76 76 t 4 Por métodos numéricos Si: F 30 t 3, 4s Entonces en ( )
t 2 (3, 4) 2 11, 56rad 66.3
Ejercicio nº 6 El collarín A se desliza libremente a lo largo del eje liso B montado en el bastidor. El plano de este es vertical. Hallar la aceleración aceleración a del bastidor necesaria para que el collarín collarín se mantenga en una posición fija respecto al eje.
SOLUCION : Aplicamos la 2da ley de newton:
6
CINÉTICA DE VARIAS PARTÍCULAS Ejercicio nº 7 La masa del cohete en el lanzamiento es de 8,5Mg/s. El consumo de combustible es 200kg/s con una velocidad de descarga en tobera de 760m/s. Calcular la aceleración inicial a del cohete en la rampa y hallar el Angulo que forma con la horizontal la aceleración del centro de masa un instante después de que el cohete abandone la rampa.
SOLUCION : Por la segunda ley de newton:
F x ma E mgsen60 ma
200* 200* 760 760 8,5 *10 *10 3 (9.8 (9.81 1)sen60 8,5 *10 *10 3 a 39m / s a 9, 39
2
Después que abandona la rampa: Tsen (mgcos 60)cos )cos (mgsen sen 60 )sen )sen sen
7
gcos60 0)cos )cos (mgsen sen 60)sen )sen Tsen (mgcos6 sen 60) mgcos60 cos cos sen (T mgsen tan tan
mg cos60 T mgsen 60 8,5 *10 *103 *9,81*cos *9,81*cos 60 152000 8,5*10 ,5*10 3 *9,81 *9,81* * sen60
27.59
Ejercicio nº 8 Dos bolas de acero, de de masa m cada una, están soldadas a una varilla liviana liviana de longitud L e inicialmente reposan sobre una superficie horizontal lisa. Repentinamente se aplica a la varilla, tal como se indica una fuerza horizontal de módulo F. Hallar (a) la aceleración instantánea a del centro de masa G y (b) la correspondiente variación por unidad de de tiempo de la velocidad angular del conjunto alrededor del centro de masa G.
̈
SOLUCION :
Del gráfico obtenemos:
Para la aceleración instantánea del del centro de masa
⃗ ⃗ ⃗ Para la variación de ̈ , , alrededor del centro de masa G ̇ Derivamos: ̇ ̈ Luego del impulso angular: ̈ ̈ 8
CINETICA DE CUERPO RIGIDO Ejercicio nº 9 bajo la acción de la fuerza de 80N, el bastidor AC de de 6kg y la barra delgada uniforme AB de 4kg y longitud L se deslizan sin rozamiento a lo largo de la varilla horizontal fija. Calcular la tracción T que sufre el cable BC y las componente x e y De la fuerza que ejerce sobre la barra el pasador A. El movimiento tiene lugar en el plano vertical. 80N
A 60
60
L
B
SOLUCION : Realizamos un diagrama de cuerpo libre Ax
A
C
60
Ay
60
ma mg
Tsen60 T Tcos6O B
∑ Remplazando y evaluado obtenemos 2 Remplazamos en 1 También calculamos cuando el carro se esta desliando desliando …………..(1)
………..(2)
9
Ejercicio nº 10 El contenedor cargado tiene una masa de 80Mg y puede asimilarse a un bloque homogéneo macizo. En la posición inicial representada, el cilindro hidráulico aplica una fuerza de 300kn 300kn al contenedor. Calcular la aceleración inicial del contenedor (a) si el camión no se mueve y (b) si el camión posee una aceleración así delante de 3m/s2.
SOLUCION :
tan
1
2 F 300kN m 80Mg I A 4,08m Cuando el camión no se mueve:
M I F (sen (sen )1 mg(1 g(1,5) 4, 08m 1
) 8000 80000( 0(9,81 9,81)( )(1 1,5) 4, 08( 08(8000 80000) 0) 5 134 134,164 ,164 1177 1177,, 2 326 326, 4 3000 300000 00((
3,196rad / s
2
Cuando el camión acelera a 3m/s
10
M A I A mad 1341 1341,64 ,64 1177 1177,, 2 362 362, 4 80(3 80(3)( )(1 1,5) 1043,03 43,036 6 360 326, 4
2,093rad// s 2,093rad
2
Ejercicio nº 11 Hallar el valor valor de la fuerza P que iniciara el vuelco del armario. armario. ¿Qué coeficiente estático hace falta para que el vuelco no vaya acompañado de deslizamiento?
Solución Analizando la gráfica:
de rozamiento
11
TRABAJO Y ENERGIA Ejercicio nº 12 La biela y la manivela tienen una masa de2kg y un radio de giro centroidal de 60mm cada uno. La corredera B tiene una masa de 3kg y se mueve libremente por la gia vertical. el resorte tiene una constante de 6kN/m. Si a la la manivela OA se aplica un par de fuerzas constante de momento momento M=20m.N, atraves de O, y apartir de reposo con θ= 45° , hallar la velocidad angular ω de OA cuando θ= 0° . y
50mm
B
200mm
400mm A
0 200mm X
SOLUCION : Diagrama de cuerpo libre
0.05m 0.2 m 0.12
0.1 2
0.2 m 45
NR
Energia cinetica
( ( )
Energia potencial gravitatoria
(√) (√) Energía potencial elástica Entonces el trabajo neto
12
Ejercicio nº 13 En la figura se representa la sección transversal de una puerta de garaje formada por un papel rectangular uniforme de 2.4x2.4m cuya masa es 100Kg. La puerta está dotada de dos dispositivos de resorte tiene una constante de 700N/m cada uno y está sin alargar cuando la puerta se encuentra en la posición abierta representada. Si la puerta se suelta desde el reposo en tal posición, calcular la velocidad del borde A cuando llega al suelo del garaje.
SOLUCION : Datos: m = 100Kg
,
g = 9.81m/s 2
K = 700N/m La deformación para cada resorte: 2T = mg
……………………………..(1)
4T = 2KX ………………………………(2)
Donde T, es la tensión de la cuerda. De (1) y (2): Dividiendo miembro a miembro Mg = KX ; Reemplazando 100(9.81) = 700X → X = 1.40m
) ; Reemplazando = 2[ ] = 1372J
∆E PE PE = 2( ∆E PE PE
∆E P = -981(2.7 – 1.2) = - 1471.5J P =
W = ∆E c + ∆E P P + + ∆E PE PE W=
– 1471.5 + 1372 = 0
V 2 = 1.99 → V = 1.41m/s
13
Ejercicio nº 14 La caja de carga del camión de alimentos para servicio de aeronaves tiene una masa en carga m y se eleva por la aplicación de un par de momentos M al extremo inferior de la barra articulada al bastidor del camión. Las ranuras horizontales permiten abrirse al sistema articulado para elevar la caja de carga. Determinar la aceleración ascendente de la caja en función de h para un valor dado de M . Despreciar la masa de las barras.
SOLUCION :
dU’ = dE C + dE PG C + PG ^ dU’ = Mdϴ
dE C = madh = mad(2senϴ ) dE C C = = 2mbacosϴd ϴ dE p = mgdh = 2mbgcosϴd ϴ Así Md ϴ = 2mbcosϴ(a+g)d ϴ a+g=
Del gráfico: cosϴ =
√ /2b =
Finalmente el resultado: a =
Ejercicio nº 15
14
4)El bloque de piedra uniforme con b=1.2 m y h=0.9 m se suelta en reposo desde desde la posición en que su centro de masa G se halla casi en la vertical de la esquina sobre la que se apoya. Hallar la velocidad angular ω entorno a A inmedia tamente después después del impacto suponiendo que A permanezca permanezca en contacto con el suelo. Se supone también que el contacto tiene lugar únicamente en las esquinas y que no hay deslizamiento. ¿ Que fracción de la energía se pierde en el impacto. impacto.
⁄
A G
B
DATOS DEL PROBLEMA
Solución
b=1.2m A
h=0.9m
El momento de inercia del bloque de piedra en su centro de gravedad
√
G
B
Pero necesitamos el momento de inercia respecto al punto B para lo cual usaremos el teorema de Steiner
√ √
Ahora aplicamos la fórmula de variación de energía (trabajo total) Tenemos la energía potencial gravitatoria y energía cinética
……………**
Remplazamos los valores en **
15
Ejercicio nº 16
|| ] | | [ | | [ ] | |
El robot de la figura tiene cinco grados de libertad de rotación. Los ejes x,y,z están fijos al anillo de la base, que gira en torno al eje z a la velocidad ω 1. El brazo O 1O 2 gira en torno al eje x al velocidad ω 2 = . El brazo de mando O 2 A gira en torno al eje O1-O 2 a la velocidad ω 3 y a la velocidad ω 4= en en torno a un eje perpendicular que pasa por O 2 y que esta momentáneamente paralelo al eje x. Finalmente, la garra gira A a la velocidad ω5 . Los módulos de estas velocidades angulares son todo constante. en torno al eje O 2- A
̇
̇
Para la configuración representada, hallar el módulo ω de la velocidad angular total de las garras
̇
, , si ω1=2rad/s. =1.5rad/s =1.5rad/s y ω3= ω4= ω5 =0. para = 60 y =0. Expresar vectorialmente la aceleración angular del brazo O 1-O 2.
Solución La figura muestra un robot que tiene 5 grados de libertad. Para un determinado instante se tiene la siguiente información. = 1.5rad/s Hallamos la velocidad angular total de las garras. rad/s = + = 2 +1.5 ̂ rad/s = √ = 2.5 rad/s Como cambia de dirección girando en torno al eje z; entonces, la aceleración angular del brazo O O es: ⃗= x ⃗ = (2 x(1.5 x(1.5 = 3 ̂ rad/s rad/s rad/s = = 3 ̂ rad/s =0 3=ω4=ω5 =0
1
; ω1 = 2rad/s 2rad/s ; ω 2
2
2
1
1 2
2
2
2
16
