VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS TEORINĖS MECHANIKOS KATEDRA
Leonidas Syrus, Petras Baradokas, Edvard Michnevič
TEORINĖ MECHANIKA DINAMIKA Mokomoji knyga
Vilnius „Technika“ 2008
UDK 531/534 (075,8) Si-136
L. Syrus, P. Baradokas, E. Michnevič. Teorinė mechanika. Dinamika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2008. 182 p. [23,0 sp. l.]
Knygoje išdėstyta klasikinės mechanikos teorijos dalis – dinamika. Pateikta nagrin ė jamų dinaminių charakteristikų klasifikacija, išnagrin ėti materialiojo taško, standžiojo k ūno ir mechaninės sistemos dinamikos uždavini ų apibrėžimai ir jų sprendimai. Aprašytos judan čių materialių jų taškų ir mechaninės sistemos dinamikos bendrosios teoremos ir j ų taikymo atvejai, pateikti standžiojo k ūno dinamikos uždavini ų sprendimo metodai. Mokomoji knyga parašyta remiantis teorin ės mechanikos kurso programa, patvirtinta Vilniaus Gedimino technikos universiteto mechanikos ir statybos specialybi ų pagrindinių studijų studentams ir rekomenduojama pagrindini ų , vakarini ų bei neakivaizdini ų studijų studentams, siekiantiems savarankiškai savarankiškai susipažinti su dinamikos teorijos pagrindais.
Leidinį rekomendavo Vilniaus Gedimino technikos universiteto Fundamentini ų mokslų fakulteto studij ų komitetas
Recenzavo: prof. habil. dr. J. Atko čiūnas, VGTU Statybin ės mechanikos katedra prof. dr. V. Turla, VGTU Poligrafini ų mašinų katedra
Redaktorė Viktorija Tamoševi čienė
VGTU leidyklos „Technika“ 1016-S mokomosios metodin ės literatūros knyga http://leidykla.vgtu.lt
ISBN 978-9955-28-269-3 © L. Syrus, P. Baradokas, E. Michnevi č, 2008 © VGTU leidykla „Technika“, 2008 2
PRATARMĖ Svarbiausia ir sud ėtingiausia teorin ės mechanikos dalis dinamika nagrin ė ja papras čiausių jų kūnų – materialių jų taškų , standžių jų kūnų ir absoliučiai standžių kūnų mechaninių sistemų judė jimą . Mokomoji knyga parašyta remiantis šiuolaikin ėmis studijų programomis ir yra rekomenduojama mechanikos ir statybos specialybi ų pagrindinių studijų studentams, taip pat vakarinių bei neakivaizdini ų studijų studentams, siekiantiems savarankiškai nagrin ėti dinamikos pagrindus. Autoriai dėkoja Vilniaus Gedimino technikos universiteto profesoriams J. Atko čiūnui ir V. Turlai už diskusijoms rengiant ši ą knygą skirtą laiką , už jų pastabas ir vertingas rekomendacijas, jie bus d ėkingi ir skaitytojams už pastabas.
3
TURINYS PRATARMĖ
3
ĮVADAS
6
1 PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI IR JUDĖJIMO CHARAKTERISTIKOS 1.1. Dinamikos aksiomos 1.2. Materialiojo taško masė 1.3. Standžiojo kūno ir mechaninės sistemos masės centras 1.4. Inercijos momentai 1.4.1. Inercijos momentai lygiagre čių jų ašių atžvilgiu 1.4.2. Inercijos momentai laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu 1.4.3. Inercijos moment ų skaičiavimo pavyzdžiai 1.5. Mechaninio judė jimo dinaminės charakteristikos 1.5.1. Materialiojo taško judesio kiekis 1.5.2. Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis 1.5.3. Mechanin ės sistemos judesio kiekio skai čiavimas 1.5.4. Materialiojo taško ir mechanin ės sistemos kinetinis momentas 1.5.5. Standžiojo k ūno kinetinio momento skai čiavimas 1.5.6. Materialiojo taško ir mechanin ės sistemos kinetin ė energija 1.5.7. Standžiojo k ūno kinetinė energija 1.6. Veikiančių jų jėgų poveikio matai ir jų charakteristikos 1.6.1. Materialių jų taškų mechaninės sistemos vidin ės jėgos 1.6.2. J ėgos impulsas 1.6.3. J ėgos darbas 1.6.4. Galingumas 1.6.5. Potencin ės jėgos. J ėgų laukas. Potencin ė energija
7 7 10 10 11 15 16 18 25 25 26 27 28 29 31 32 33 33 35 36 46 47
2. DINAMIKOS UŽDAVINI Ų APIBRĖŽIMAI IR SPRENDIMAI 2.1. Materialiojo taško diferencialinės judė jimo lygtys 2.1.1. Pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai 2.1.2. Reliatyvusis materialiojo taško jud ė jimas 2.2. Materialių jų taškų sistemos diferencialinės judė jimo lygtys 2.3. Bendrosios dinamikos teoremos 2.3.1. Judesio kiekio teorema 2.3.2. Kinetinio momento teorema 2.3.3. Kinetinės energijos teorema 2.3.4. Mechanin ės energijos tverm ės dėsnis 2.4. Masės centro judė jimo teorema 2.5. Standžiojo kūno dinamika 2.5.1. Standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo dinamika 2.5.2. Standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą ją ašį dinamika 2.5.3. Standžiojo k ūno plokštuminio jud ė jimo dinamika
51 51 53 67 72 72 73 76 79 81 82 84 84 85 86
4
3. SUVARŽYTOS MECHANIN ĖS SISTEMOS DINAMIKA 3.1. Bendrosios sąvokos 3.1.1. Suvaržyta mechanin ė sistema 3.1.2. Ryšiai 3.1.3. Apibendrintosios koordinat ės 3.1.4. Virtualieji poslinkiai 3.1.5. J ėgos virtualusis darbas 3.1.6. Idealieji ryšiai 3.1.7. Apibendrintosios j ėgos 3.2. Bendrieji mechanikos metodai 3.2.1. Virtualių jų poslinkių principas 3.2.2. d’Alambero principas 3.2.3. Besisukan čio kūno dinaminės guolių reakcijos 3.2.4. Bendroji dinamikos lygtis 3.2.5. Bendroji dinamikos lygtis, išreikšta apibendrintomis j ėgomis 3.2.6. Lagranžo antrojo tipo lygtys
88 88 88 88 90 91 92 93 93 95 95 99 106 110 113 114
4. SMŪGIS 4.1. Judesio kiekio teorema smūgiui 4.2. Kinetinio momento teorema smūgiui 4.3. Atsistatymo koeficientas 4.4. Ekscentrinis kūno smūgis į nejudantį glotnų paviršių 4.5. Tiesioginis centrinis dviejų kūnų smūgis 4.6. Karno teorema 4.7. Smūgio jėgos poveikis besisukančiam apie nejudamą ją ašį kūnui 4.8. Smūgio centras
120 120 123 124 126 128 132 134 134
5. SVYRAVIMAI 5.1. Laisvieji svyravimai 5.2. Gęstantieji svyravimai 5.3. Priverstiniai svyravimai nesant slopinimui 5.3.1. Priverstini ų svyravim ų fazė 5.3.2. Priverstini ų svyravim ų amplitudė 5.3.3. Plakimas 5.3.4. Rezonansas 5.4. Priverstiniai svyravimai esant slopinimui
138 139 143 146 149 150 153 155 157
LITERATŪRA
161
PRIEDAI 1 priedas. Klausimai savarankiškam darbui 2 priedas. Pagrindinės dinamikos formulės
162 162 165
5
ĮVADAS
Dinamika yra teorin ės mechanikos dalis, kuri nagrin ė ja materialių jų taškų , arba kūnų , judė jimą priklausomai nuo vis ų juos veikian čių jų jėgų ir šių kūnų inertiškumo. Jėgos są voka, voka, apibr ėžta statikoje, laikoma veikianti pastoviu dydžiu [1–4]. Toks yra sunkis, automobilio traukos j ėga, trinties j ėga, vė jo arba vandens sl ėgis į paviršių ir kt. Statika nagrinė ja tik statinį jėgų poveikį (jėgų veikiamas k ūnas yra pusiausviras arba, kitaip tariant, nejuda) [3–7]. K ūno kinematinė būsena charakterizuojama jo grei čiu. Šiuo atveju k ūno greitis r lygus nuliui, t. y. v = 0 . Taikant ryšių atlaisvinimo principą [1], bet kurį nelaisvą jį kūną galima į sivaizduoti sivaizduoti kaip laisvą jį , jeigu bus nutraukti kūno ryšiai ir pridėtos atitinkamos ryšių reakcijos. Šiuo atveju tariame, kad kūnas nekeičia savo kinematinės būsenos, t. y. nejuda. Veikianti jėgų sistema, tiek išorinių aktyvių jų , tiek pridėtų ryšių reakcijų , sudaro atsvarinių jėgų sistemą , kurios dedamosios jėgos gali būti pavadintos statinėmis, nes jų poveikis į laisvą jį kūną nekeičia kūno r kinematinės būsenos ( v = 0 ). Tačiau materialiuosius objektus veikiančios jėgos gali būti ir kintančios [7–11] pagal dydį ir pagal kryptį : a) jėgos gali priklausyti nuo laiko, t. y. F = f (t ) . Pavyzdžiui, automobilio traukos jėga; b) jėgos gali priklausyti nuo padėties, t. y. F = f ( x ) . Pavyzdžiui, prie ištemptos arba suspaustos spyruoklės galo pritvirtintą kūną veikia atstatomoji spyruoklės jėga; r r c) jėgos gali priklausyti nuo greičio, t. y. F = f (v ) . Pavyzdžiui, k ūną , judantį tam tikroje aplinkoje, veikia šios aplinkos pasipriešinimas. Patyrimas rodo, kad, norint išjudinti arba sustabdyti judant į kūną , t. y. pakeisti jo greit į arba judė jimo krypt kr yptį , tenka pridėti tam tikrą jėgą , kuri pakeistų kūno judė jimo būseną [7–11]. Jėga, arba jėgų sistema, kuri yra pridedama prie laisvojo kūno ir pakeičia jo kinematinę būseną , gali būti pavadinta dinamine. Dėl tokios jėgos poveikio laisvojo materialiojo taško judė jimas tampa netiesiaeigis ir netolydusis, pasikeičia taško judė jimo greičio kryptis arba greičio didumas. Greičio pakeitimo matas yra pagreitis. Tai reiškia, kad j ėgos poveikis pasireiškia tuo, kad judančiam objektui yra suteikiamas pagreitis. Greičio pokytis priklauso nuo veikiančių jų jėgų , taip pat nuo kūno medžiagos kiekio, kuris apibūdinamas kūno mase. Kūno judė jimas priklauso nuo jo geometrinių charakteristik ų – dydžio ir formos, masės pasiskirstymo jame ir kt. Materialių jų kūnų savybė pasipriešinti greičių pasikeitimui vadinama inertiškumu. Kūno inertiškumas priklauso nuo kūno masės ir jos išsidėstymo erdvė je. Sisteminant nagrinė jamą ją medžiagą dinamika skirstoma į dvi dalis: materialiojo taško dinamiką ir materialių jų taškų mechaninės sistemos dinamiką . Pirmojoje dalyje nagrinė jamas paprasčiausiojo kūno, arba materialiojo taško, judė jimas, t. y. tokio k ūno, kurio matmenys yra be galo maži. Materiali ų jų taškų mechaninės sistemos dinamika nagrinė ja judė jimą tokios materialių jų taškų visumos, kurioje taško judė jimas priklauso nuo kitų taškų judė jimo ir nuo ryšių tarp judančių taškų . Dinamika taip pat nagrinė ja standžiojo kūno judė jimą , t. y. jud ė jimą tokios materialių jų taškų visumos, kurioje atstumai tarp bet kurių taškų judant kūnui nesikeičia. Dinamikos uždavinių sprendimo pagrindus sudaro dinamikos aksiomos. 6
1
PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI IR JUDĖJIMO CHARAKTERISTIKOS
Dinamika nagrinė ja į vairius vairius mechaninius reiškinius: kūnų judė jimą veikiant sunkio jėgoms, kūnų judė jimą paviršiais, veikiant tam tikroms j ėgoms, mašinų ir mechanizmų judė jimą ir kt. Šiuos į vairius vairius sudėtingus reiškinius galima nagrinėti ir uždavinius sprę sti sti taikant kelis pagrindinius mechanikos dėsnius – dinamikos aksiomas, paremtas praktine patirtimi. Mechanikos pagrindus suformulavo senovės graikijos filosofas ir mokslininkas Archimedas (287–212 m. pr. m. e.). Pagrindinius mechanikos dėsnius XVII a. apibendrino fizikas, mechanikas ir astronomas Galilė jus (Galileo Galilei, 1554 −1642) savo knygoje Pasikalbė jimai ir matematiniai įrodymai apie dvi naujas mokslo šakas … (1638 m.). Klasikin ės mechanikos principus suformulavo anglų fizikas, mechanikas, astronomas ir matematikas Niutonas (Isaac Newton, 1642−1727) savo svarbiausiame veikale Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai (1687 m.).
1.1. Dinamikos aksiomos Pirmoji aksioma − inercijos dėsnis (šį dėsnį 1638 m. suformulavo Galilė jus): kiekvienas r r k ūnas yra ramyb ės b ūsenos v = 0 arba juda tiesiai ir tolygiai v = const , kol atsiranda j ėgos, čia kurios priver č i a jį pakeisti šią būseną. Lotynų kalba dėsnis skamba taip: corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statam suum mutare. Galilė jus išk ėlė mintį , kad tiktai j ėgos dinaminis poveikis turi į takos takos laisvojo materialiojo kūno greičio kitimui. Minėtoji kūno kinematinė būsena vadinama inercine ir šiuo atveju kūno pagreitis lygus r nuliui, t. y. a = 0 . Atskaitos sistema, pagal kurią nagrinė jamas kūno judė jimas, vadinama inercine (nejudria) arba Galilė jaus atskaitos sistema. sis tema. Sprę sdami sdami technikos uždavinius laikome, kad inercinė atskaitos sistema visada yra susijusi su Žeme. Antroji dinamikos aksioma − pagrindinis dinamikos dėsnis. Pagrindinį dinamikos iai dėsnį suformulavo Niutonas: materialiojo taško pagreitis yra proporcingas tašk ą veikianč iai jėgai ir nukreiptas j ėgos veikimo kryptimi. Lotynų kalba dėsnis skamba taip: mutationem motus proportionalen esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur . Aksioma nusako laisvai judančio materialiojo taško pagreičio atsiradimo priežastį – greičio pokytis yra pagreitis, o materialiojo taško judė jimo kiekis yra judančio taško dinaminė r charakteristika, kuri lygi materialiojo taško mas ės ir greičio sandaugai, t. y. mv (žr. 1.5 sk.). r Tarkime, kad masės m tašką veikia pastoviojo dydžio ir krypties jėga F . Kai pradiniu r r laiko momentu taško greitis yra v 0 , o galutiniu laiko momentu yra v , antrą jį Niutono (dinamikos) dėsnį galima užrašyti taip: r
r
r
F (t − t o ) = mv − mv 0 ,
arba
r
r
r
F ∆t = mv − mv 0 .
7
Jeigu jėgos veikimo laikas neapibrėžtai mažė ja ir art ė ja prie nulio, r
r
r
mv − mv 0 d r d v F = lim = (mv ) = m , ∆t → 0 ∆t dt dt r
arba r
r
F = ma.
(1)
Gautoji lygtis yra antrojo Niutono (dinamikos) d ėsnio matematinė išraiška, ji vadinama pagrindine dinamikos lygtimi . Iš šios lygties išplaukia pagrindinio dinamikos d ėsnio io sandauga yra lygi j į veikianč iai iai jėgai, o apibrėžimas: materialiojo taško mas ės ir pagreič io pagreič io io kryptis sutampa su j ėgos veikimo kryptimi (1 pav.). r
mv
r
v
M liestinė
r
a
r
F
B
A
r
1 pav. Taško M judė jimas veikiant jėgai F
Trečioji dinamikos aksioma – veiksmo ir atoveikio dėsnis. Poveikis visada lygus atoveikiui (reakcijai), t. y. dviej ų k ūnų poveikiai vienas kitam yra vienodo dydžio ir nukreipti į priešingas puses. Lotynų kalba šis d ėsnis skamba taip: actioni centriam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper easse aequales et in paries contrarias dirigi. r Tarkime, kad judantis materialusis m A masės taškas A jėga F A veikia material ų jį m B B (2 pav.). masės tašką B
r
r
r
F B
a A
r
F A
a B
m A
m B A
B
veika 2 pav. Materialių jų taškų są veika
8
Užrašysime materialiajam taškui B pagrindinę dinamikos lygt į , į vertindami vertindami tai, kad taškas r B juda pagrei čiu a B : r
r
F A = m B a B . r
Taško B atoveikis į taško A poveikį pasireiškia reakcija F B , kuri bus prid ėta prie taško A ir kurios reikšmė remiantis pagrindine dinamikos lygtimi bus lygi taško A masės m A ir taško r pagrei čio a A sandaugai, sandaugai, t. y. r
r
F B = m A a A . Įvertinant tai, kad poveikis lygus atoveikiui, t. y. F A = F B , gaunama m A a A = m B a B ,
todėl m A a B = . m B a A
(2)
iai yra atvirkš č i ai proporcingi j ų masėms – Vadinasi, materialių jų tašk ų ų įgyjami pagrei č iai čiai didesnės masės taškas į gyja gyja mažesn į pagreitį , ir atvirkščiai. Be to, pagrei čiai nukreipti į tą pačią tiesę , kaip ir veikian čios jėgos.
Ketvirtoji dinamikos aksioma – jėgų veikimo nepriklausomumo dėsnis. Kai materialų jį tašk ą vienu metu veikia kelios j ėgos, taško pagreitis lygus geometrinei sumai pagreič ių , kuriuos taškas įgis nuo kiekvienos j ėgos. r r r Tarkime, material ų jį masės m tašką veikia jėgos F 1 , F 2 , ..., F n . Pasižymėsime taško r r r r pagreitį a , o dydžiais a1 , a 2 , ..., a n tuos pagrei čius, kuriuos taškas į gyt gytų , jeigu šios j ėgos veiktų kiekviena atskirai. Remiantis j ėgų veikimo nepriklausomumo d ėsniu galima užrašyti: r
r
r
a = a1 + a 2 + ... + a n .
Dauginame abi šios lygties puses iš taško mas ės m: r
r
r
ma = ma1 + ma 2 + ... + ma n .
Remiantis pagrindiniu dinamikos d ėsniu: r
r
r
r
r
r
F 1 = m1 a1 , F 2 = m 2 a 2 , ..., F n = m n a n . Įrašę jėgų reikšmes į (3) formulę , gauname: r
r
r
r
ma = F 1 + F 2 + ... + F n ,
9
(3)
arba r
n
r
ma = ∑ F i .
(4)
i =1
Gautoji išraiška (4) yra pagrindinis dinamikos d ėsnis tuo atveju, kai judant į materialų jį tašką veikia kelios j ėgos.
1.2. Materialiojo taško masė Nagrinė jant judančio materialiojo taško dinamikos klausimus susiduriame su šio taško medžiagos kiekiu, kuris vadinamas mase. Klasikinė je mechanikoje laikoma, kad materialiojo taško mas ė yra pastovusis dydis ir nepriklauso nuo jud ė jimo greičio. Todėl iš pagrindinės dinamikos lygties (1) išplaukia i šplaukia išvada, kad, norint suteikti materialiajam taškui tam tikr ą pagreitį , reikia jį paveikti jėga, kuri priklausytų nuo taško mas ės. Kuo didesn ė taško masė, tuo didesn ė turėtų būti veikianti jėga, ir atvirkščiai. Kitaip sakant, išjudinti lengvesn į materialų jį tašką yra lengviau negu tašk ą , kurio masė didesnė, nes didesn ės masės taško inertiškumas yra didesnis. Taigi materialiojo taško masė yra šio taško inertiškumo matas. Iš pagrindinės dinamikos lygties (1) galima rasti mas ės bendrą ją išraišką kilogramais: m=
F (kg), a
(5)
o konkreti materialiojo taško mas ė gali būti rasta pagal žinom ą veikiančią ją jėgą ir žinomą pagreitį : m=
G . g
(6)
Pavyzdžiui, prie Žem ės paviršiaus veikia sunkis G, o Žemės traukos pagreitis yra g (jis priklauso nuo geografinio plo čio ir aukš čio virš jūros lygio tos vietos, kurioje yra materialusis taškas). Žem ės traukos pagrei čio dydį galima apskai čiuoti pagal empirin ę formulę : g = 9,7805(1 + 0,00529 sin 2 ϕ)(1 − 0,000000314h ) [m/s 2 ];
(7)
čia ϕ – materialiojo taško pad ėties geografinis plotis; h – materialiojo taško aukštis virš j ūros lygio metrais.
1.3. Standžiojo kūno ir mechaninės sistemos masės centras Statika [1] nagrin ė ja lygiagrečių jų jėgų centro są vok voką , kuria remiantis buvo suformuluotas ir kitas apibr ėžimas – standžiojo k ūno svorio centras, arba toks standžiojo
10
kūno taškas C , kuriame pridedamas k ūno sunkis ir kurio koordinat ės skaičiuojamos taikant formules: n
xc =
Gk x k ∑ k 1 =
n
Gk ∑ k 1
n
,
G k y k ∑ k 1
y c =
=
n
Gk ∑ k 1
=
n
,
z c =
=
Gk z k ∑ k 1 =
n
Gk ∑ k 1
.
=
Įvertinę tai, kad tarp materialiojo taško sunkio ir mas ės yra priklausomyb ė (6), gauname elementaraus k ūno arba jo dalies sunkio išraišk ą Gk = mk g . Atlikę atitinkamus pakeitimus,
gauname išraiškas taško C koordinatėms rasti: n
n
xc =
mk x k ∑ k 1 =
n
mk ∑ k 1 =
,
y c =
m k y k ∑ k 1 =
n
mk ∑ k 1
n
,
=
z c =
mk z k ∑ k 1 =
n
mk ∑ k 1
.
(8)
=
Mechaninės sistemos arba standžiojo k ūno taškas C , kurio koordinat ės randamos iš (8), vadinamas masės centru. Sprendžiant uždavinius daroma prielaida, kad jame sukoncentruota visa mechanin ės sistemos arba standžiojo k ūno masė. Šis taškas, analogiškai lygiagre čių jėgų centrui arba standžiojo k ūno svorio centrui, nekei čia savo pad ėties, kai mechanin ė sistema arba standusis k ūnas yra pasukami bet kokiu kampu bet kuria kryptimi. Matome, kad mas ės centro pad ėtis kiekvienu laiko momentu priklauso nuo tašk ų padėties ir taškų masių . Todėl galima padaryti išvad ą , kad mechanin ės sistemos, taip pat standžiojo kūno masės centras kiekvienu momentu sutampa su sunkio j ėgos pridėties tašku. S ą voka voka masės centras priimtina bet kokiai mechaninei sistemai nepriklausomai nuo to, ar ši ą sistemą kitos išorinės aktyvios j ėgos veikia, ar ne. Mas ės centro są voka voka yra mechanin ės sistemos masės pasiskirstymo charakteristika ir tinka bet kokiai atskaitos sistemai. Svorio centro są voka voka egzistuoja tik tuo atveju, kai mechanin ė sistema arba standusis k ūnas yra vienalyčiame sunkio jėgų lauke, pavyzdžiui, prie Žem ės.
1.4. Inercijos momentai Kaip buvo min ėta anksčiau, materialių jų taškų arba kūnų savybė pasipriešinti grei čių pasikeitimui vadinama j ų inertiškumu. Taip pat buvo min ėta, kad materiali ų jų taškų mechaninės sistemos inertiškumas vis ų pirma priklauso nuo sistemos mas ės ir jos išsid ėstymo erdvė je. Materialių jų taškų mechaninės sistemos inertiškumui į vertinti vertinti vartojama inercijos momento są voka. voka. Inercijos momentas žymimas raide I ir bendruoju atveju išreiškiamas kaip mechaninę sistemą sudarančių elementarių jų dalelių masių ir jų atstumų iki nagrinė jamo taško arba koordinačių ašies kvadrato sandaug ų suma, t. y.: n
I = ∑ m k ⋅ hk 2 . k =1
11
(9)
Nagrinėsime standžiojo k ūno charakteristikas. Kiekvienas k ūnas turi mas ę nepriklausomai nuo jud ė jimo pobūdžio. Tačiau masė yra kūno inertiškumo matas tik esant slenkamajam judė jimui. Esant kitiems kūno judė jimams inertiškumas charakterizuojamas charakterizuojamas inercijos momentu. Dažniausiai inercijos į taka taka aktuali esant sukamajam jud ė jimui bet kurios ašies arba taško atžvilgiu. Tarkime, kad erdv ė je yra standusis kūnas, sudarytas iš n materialių jų taškų (3 pav.): z mk O
zk yk
xk
y
x 3 pav. Standžiojo kūno elementariosios dalelės koordinatės
Tardami, kad k ūno bet kurios elementarios mas ės mk atskaitos sistemoje Oxyz koordinatės x k , y k , z k turėsime tokius inercijos momentus koordina čių ašių atžvilgiu: n
I x = ∑ m k ( y k 2 + z k 2 ), k =1 n
I y = ∑ mk ( z k 2 + x k 2 ),
(10)
k =1 n
I z = ∑ mk ( x k 2 + y k 2 ). k =1
Inercijos momentas koordina čių pradžios atžvilgiu vadinamas poliniu inercijos momentu, jo reikšmė bus tokia: n
I o = ∑ mk ( x k 2 + y k 2 + z k 2 ).
(11)
k =1
Kai inercijos momentai skai čiuojami koordinačių plokštumų atžvilgiu, galima taikyti tokias formulės: n
I yOz = ∑ m k x k 2 , k =1 n
I xOz = ∑ mk y k 2 , k =1 n
I xOy = ∑ m k z k 2 . k =1
12
(12)
Standžiojo kūno inercijos moment ą bet kurios ašies, pavyzdžiui, Oz, atžvilgiu galima išreikšti kūno masės ir tiesinio dydžio i z kvadrato sandauga: I z = M ⋅ i z2 ;
(13)
čia M – kūno masė; i z – kūno inercijos spindulys. Iš (13) formul ės išplaukia, kad inercijos spindulys i z yra toks nuo Oz ašies taško nutol ę s są lyginis lyginis atstumas, kuriame reikia sukoncentruoti k ūno masę tam, kad šio taško inercijos momentas būtų lygus kūno inercijos momentui. Kūno inercijos momentai pasižymi tokiomis savyb ėmis: – nepriklausomai nuo atskaitos sistemos pradžios pasirinkimo k ūno inercijos momentai visada yra teigiami ir nusako mas ės išsidėstymą erdvė je; – kūno inercijos moment ų koordinačių ašių atžvilgiu suma lygi dvigubam poliniam inercijos momentui, t. y.
I x + I y + I z = 2 I O ;
(14)
– k ūno inercijos moment ų koordinačių plokštumų atžvilgiu suma lygi poliniam inercijos momentui, t. y. I xOy + I xOz + I yOz = I O ;
(15)
– kūno inercijos momentas bet kurios koordina čių ašies atžvilgiu lygus inercijos momentui koordinačių plokštumų , kurios eina per ši ą ašį , sumai, t. y. I x = I xOy + I xOz , I y = I xOy + I yOz , I z = I xOz + I yOz .
(16)
Be ašini ų ir polinio inercijos moment ų , dar yra išcentriniai inercijos momentai , kurie taip pat apibūdina kūno masės išsidėstymą erdvė je ir kurie skai čiuojami kaip taškų masių ir dviejų koordinačių sandaugų suma, t. y. n
I xy = ∑ mk ⋅ x k ⋅ y k , k =1 n
I yz = ∑ mk ⋅ y k ⋅ z k ,
(17)
k =1 n
I xz = ∑ mk ⋅ x k ⋅ z k . k =1
Iš formulių (17) išplaukia, kad išcentriniai inercijos momentai savo indeks ų atžvilgiu yra simetriniai, t. y. 13
I xz = I zx .
I yz = I zy ,
I xy = I yx ,
Išcentriniai inercijos momentai priklauso ne tik nuo koordina čių ašių krypties, bet ir nuo ašių pradžios pasirinkimo vietos. Kalbant apie išcentrinius inercijos momentus pasirinktame taške, laikoma, kad koordina čių ašių pradžia sutampa su pasirinktuoju tašku. Prie išcentrinių inercijos moment ų savybių galima priskirti tai, kad išcentriniai inercijos momentai gali turėti bet kok į ženklą ir gali būti lygūs nuliui. Jeigu standžiojo k ūno du išcentriniai inercijos momentai lyg ūs nuliui, tai indeksas išcentrinio inercijos momento pavadinime rodo koordina čių ašį , kuri šiuo atveju vadinama svarbiausią ja k ūno inercijos ašimi pasirinktame taške. Pavyzdžiui, jeigu I xz = I yz = 0, tai ašis Oz yra svarbiausioji inercijos ašis. Jeigu svarbiausioji ašis dar eina ir per k ūno masės centrą , tai tokia ašis vadinama svarbiausią ja centrine k ūno inercijos ašimi . Nustatyta, kad: a) jeigu kūnas turi materialios simetrijos plokštum ą , tai visiems k ūno taškams ašis, kuri statmena simetrijos plokštumai, yra svarbiausioji inercijos ašis; b) jeigu kūnas turi materialios simetrijos aš į , tai ši ašis yra svarbiausioji centrin ė kūno inercijos ašis, kuri vadinama dinamin ės simetrijos ašimi.
Tarkime, materialiojo k ūno simetrijos ašyje pasirenkame tašk ą O kaip atskaitos sistemos pradžią (4 pav.). Dekarto ašis išveskime taip, kad ašis Oz eitų per kūno simetrijos aš į . B
z
z B x B
A
y B
O
z A
y
x A
y A
x
4 pav. Standžiojo kūno išcentrinių inercijos momentų skaičiavimo schema
Kūno materialios simetrijos savybi ų ašies Oz atžvilgiu bet kokiam k ūno taškui A, kurio elementari mas ė m A ir koordinatės x A , y A , z A , visada atsiras taškas B, kurio elementari mas ė A ir B elementarios mas ės yra lygios, t. m B ir koordinatės x B , y B , z B . Įvertinant tai, kad tašk ų A y. m A = m B = m, ir koordinatės x B = − x A , y B = − y A , z B = z A , užrašysime išcentrinius inercijos momentus I xz ir I yz . Skaičiuodami išcentrinius inercijos momentus sudedame vis ų kūno elementarių masių ir atitinkamų koordinačių sandaugas: n
n
n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k =1
k =1
k =1
I xz = ∑ m A ⋅ x A z A + ∑ m B ⋅ x B z B = ∑ m ⋅ x A z A + ∑ m ⋅(− x A ) z A = ∑ m ⋅ x A z A − ∑ m ⋅ x A z A = 0,
14
n
n
n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k =1
k =1
k =1
I yz = ∑ m A ⋅ y A z A + ∑ m B ⋅ y B z B = ∑ m ⋅ y A z A + ∑ m ⋅(− y A ) z A = ∑ m ⋅ y A z A − ∑ m ⋅ y A z A = 0.
Gauname, kad I xz = 0 ir I yz = 0 , o ašis Oz – svarbiausioji centrin ė inercijos ašis, nes kūno masės centras yra simetrijos ašyje. Inercijos moment ų dimensija – kg ⋅ m 2 .
1.4.1. Inercijos momentai lygiagrečių jų ašių atžvilgiu Tarkime, kad turime materiali ų jų taškų mechaninę sistemą , kurios masės centras yra žinomas. Išvedimui supaprastinti nagrin ėsime sistemos atskir ą jį atvejį – standų jį kūną (5 pav.). z z1 O, C l y
xK x
mK z K z1 d
l x
O1 y1
x1
y K y y1
x1
5 pav. Standžiojo kūno inercijos momentų skaičiavimo schema
Išveskime koordina čių ašis Ox, Oy, Oz per kūno masės centrą C . Plokštumoje xOy atstumu d nuo taško O pasirenkame tašk ą O1 , pro kurį išvedame koordina čių ašis Ox1 , Oy1 ir Oz1 taip, kad jos b ūtų lygiagrečios su ašimis Ox, Oy, Oz . Užrašysime kūno inercijos momento ašies z1 atžvilgiu išraišk ą , į vertindami vertindami kūno bet kurio taško masės koordinat ę atskaitos sistemoje x1 y1 z1 . Turėsime: n
I z1 = ∑ m k ⋅ ( x12 + y12 ). k =1
Įvertinę tai, kad koordinat ės x1 = x k − l x ir y1 = y k − l y , po pertvarkymo gausime: n
I z1 = ∑ m k ⋅ [( x k − l x )2 + ( y k − l y )2 ] = k =1 n
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ mk ⋅ ( x k 2 + y k 2 ) + ∑ mk ⋅ (l x2 + l y2 ) − 2l y ∑ mk x k − 2l x ∑ mk y k . k =1
Pirmasis gautosios priklausomyb ės narys yra k ūno inercijos momentas ašies z, kuri eina per kūno masės centrą C , atžvilgiu, t. y. 15
n
I zC = ∑ m k ⋅ ( x k 2 + y k 2 ). k =1
Antrasis narys
n
m k ⋅ (l x2 + l y2 ) , kuriame kiekviena k ūno elementari mas ė dauginama iš ∑ k 1 =
pastoviojo dydžio (l + l y2 ) , pertvarkomas taip: 2 x
n
mk ⋅ (l ∑ k 1
2 x
2 y
+l
) = (l
2 x
2 y
+l
n
) ⋅ ∑ m k = M ⋅ d 2 ; k =1
=
čia M – k ūno masė, kuri yra lygi vis ų kūno materialių jų taškų masių sumai; d – atstumas tarp
z ir z1 ; ašių z
n
n
=
=
mk x k ir ∑ mk y k ∑ k 1 k 1
– kūno materialių jų taškų statinių moment ų sumos.
Iš (8) formulės gausime: n
∑ mk x k = M ⋅ xC ir k =1
n
m k y k = M ⋅ y C ; ∑ k 1 =
čia xC ir y C – kūno masės centro koordinat ės. Koordinačių ašis z išvesta per k ūno mases centr ą C , todėl xC = 0 ir yC = 0. Gauname,
kad trečiasis ir ketvirtasis nariai lyg ūs nuliui, nes n
m k x k = 0 ∑ k 1
ir
=
n
m k y k = 0. ∑ k 1 =
Galima padaryti išvad ą , kad I z1 = I zC + M ⋅ d 2 .
(18)
Heigenso ir Šteinerio Gavome inercijos momento lygiagre čių jų ašių atžvilgiu teoremą ( Heigenso teoremą): standžiojo k ūno inercijos momentas bet kurios ašies atžvilgiu lygus inercijos momento lygiagre č ios ios ir išvestos per k ūno masės centr ą ašies atžvilgiu, ir k ūno masės, padaugintos iš atstumo tarp ašių kvadrato, sumai . Iš (18) matome, kad standžiojo k ūno, arba materiali ų jų taškų sistemos, mažiausias inercijos momentas yra per mas ės centr ą išvestos ašies atžvilgiu.
1.4.2. Inercijos momentai laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu Per laisvai pasirinkt ą kūno tašką O (6 pav.) išvedamos Dekarto koordina čių sistemos ašys:
16
z
L hK
γ
mK
β
α
y
z K
O
xK y K
x
6 pav. Standžiojo kūno inercijos momento laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu skaičiavimo schema
Iš taško O išvedame aš į OL, sudarančią su koordinačių ašimis kampus α, β ir . Skaičiuosime kūno inercijos moment ą šios ašies atžvilgiu. Laisvai parenkamas k ūno elementariosios mas ės mk taškas, kurio koordinat ės xk , yk , z k , nutolę s nuo ašies OL atstumu hk . Kūno inercijos momentas ašies OL atžvilgiu yra kiekvienos kūno elementarios mas ės ir atstumo hk iki ašies OL kvadratu sandaug ų suma: n
I OL = ∑ m k hk 2 .
(19)
k =1
Naudodami analizin ės geometrijos formul ę , galime užrašyti išraišk ą atstumui hk tarp taško ir ašies OL rasti: hk 2 = ( y k cos γ − z k cos β)2 + ( z k cos α − x k cos γ )2 + ( x k cos β − y k cos α) 2 . Įtraukę gaut ą ją hk išraišką į ą į (19) formulę ir atlikę matematinius pertvarkymus, gauname: n
n
n
n
I OL = ∑ m h = cos α ∑ ( y + z ) + cos β∑ m k ( z + x ) + cos γ ∑ mk ( x k 2 + y k 2 ) − 2 k k
2
k =1
2 k
2 k
2
k =1
2 k
2 k
k =1
n
n
k =1
k =1
2
k =1 n
2 cos β cos γ ∑ m k y k z k − 2 cos γ cos α∑ mk z k x k − 2 cos α cos β∑ mk x k y k . k =1
Toliau, į vertin vertinę (10) ir (19) priklausomybes, galime užrašyti: užrašyti: I OL = cos 2 α ⋅ I x + cos 2 β ⋅ I y + cos 2 γ ⋅ I z − 2 cos β cos γ ⋅ I yz −
2 cos γ cos α ⋅ I xz − 2 cos α cos β ⋅ I xy .
(20)
Žinodami standžiojo k ūno inercijos momentus Dekarto koordina čių ašių atžvilgiu ir kūno išcentrinius inercijos momentus, pagal (20) formul ę galime apskai čiuoti šio kūno inercijos momentą bet kaip nukreiptos ašies atžvilgiu.
17
1.4.3. Inercijos momentų skaičiavimo pavyzdžiai Jeigu vienalyčio kūno geometrinė forma yra taisyklinga, tai jo inercijos momentus galima rasti integralinio skai čiavimo metodais. Taikydami šį metodą tariame, kad vienalytis k ūnas susideda iš be galo didelio skai čiaus elementarių jų masių mi , kurių atstumai iki bet kuruos ašies, pavyzdžiui OK , yra hi . Tuomet kūno inercijos momentas šios ašies atžvilgiu bus: n
I OK = ∑ hi2 mi . i =1
Kuo daugiau tur ėsime elementarių kūno masių , tuo tikslesn ė bus inercijos momento išraiška. Tod ėl paskutinę formulę galima perrašyti taip: n
n
I OK = ∑ h m[ = lim ∑ hi2 mi . 2 i
n →∞
i =1
i =1
Gauname: I OK = ∫ h 2 dm ;
(21)
M
čia dm – elementari vienaly čio kūno masė; h – šios mas ės atstumas iki ašies. Integravimas vyksta pagal vis ą kūno masę . Taikysime š į inercijos momento skai čiavimo metodą kai kurių vienalyčių kūnų inercijos momentams skai čiuoti.
Plono strypo inercijos momentai Vienalyčio pastovaus skerspj ūvio masės M strypo ilgis l (7 pav.). Rasime jo inercijos Ax ir Az Az atžvilgiu. momentus aši ų Ax
z dm C
A y x
B
dy l
7 pav. Plonas strypas
Pagal (21) galima užrašyti: I x = I z = I A = ∫ y 2 dm. M
18
y
Įvertindami tai, kad elementari mas ė dm lygi strypo ilgio santykinio tankio γ l =
M ir l
elementarios masės ilgio dy sandaugai, tur ėsime: dm = γ l ⋅ dy =
M ⋅ dy. l
Gauname: y
M M l 2 M y 3 I A = ∫ y dm = ∫ y ⋅ ⋅ dy = ∫ y dy = ⋅ l l 0 l 3 M y0 = 0 2
2
l
0
M l 3 1 2 = ⋅ = Ml . l 3 3
Taigi vienalyčio plono pastovaus skerspj ūvio strypo inercijos momentas jo galo atžvilgiu lygus: 1 I A = Ml 2 . 3 Taikant (18) formul ę gaunama, kad šio strypo inercijos momentas mas ės centro atžvilgiu lygus: 1 I C = Ml 2 . 12 Plono žiedo ir vamzdžio inercijos momentai Tarkime, kad plono žiedo spindulys R ir masė M (8 pav., a).
z
z dm O
R
y
O y
l x
x a) plonas žiedas
b) plonas vamzdys
8 pav. Simetriški tuščiaviduriai kūnai
x ašies arba centro O atžvilgiu. Naudojant (21) formul ę Raskime žiedo inercijos moment ą x galima užrašyti: I x = I O = ∫ R 2 dm. M
19
Žiedo masė paskirstyta tolygiai vienodu atstumu nuo centro. Tod ėl I O = ∫ R 2 dm = R 2 ∫ dm = MR 2 . M
M
Taigi žiedo inercijos momentas jo centro atžvilgiu: I O = I x = MR 2 . Įvertinant tai, kad inercijos momentai koordina čių ašių z ir y atžvilgiu yra lyg ūs, nes žiedas jų atžvilgiu išdėstytas simetriškai, ir tai, kad I x = I O , taikant (14) formul ę , nesunkiai
z ir y atžvilgiu: gaunami žiedo inercijos momentai koordina čių ašių z
1 I z = I y = MR 2 . 2 Jeigu kūno masė išdėstyta plono vamzdžio pavidalu (8 pav., b), tai vamzdžio inercijos momento x ašies atžvilgiu skai čiavimas nepriklausys nuo vamzdžio ilgio, t. y. I x = MR 2 . Plono skritulio inercijos momentai Raskime plono skritulio, kurio spindulys R ir masė M , inercijos momentus (9 pav., a). z
dm
z
dr r
O
y
O
y
l
x x a) plonas skritulys
b) pilnutinis cilindras
9 pav. Simetriški vienalyčiai kūnai
Apskai čiuosime skritulio inercijos moment ą centro O skai čiavimams (21) formulę , gausime: I x = I O = ∫ r 2 dm. M
20
atžvilgiu. Taikydami
Įvertinę tai, kad elementari skritulio mas ė dm , kuri yra atstumu r nuo skritulio centro, M lygi skritulio ploto tankio γ S = 2 ir elementarios mas ės ploto 2π ⋅ r ⋅ dr sandaugai, t. y. π R M 2 M dm = γ S ⋅ ds = 2 ⋅ 2π ⋅ rdr = 2 rdr , gauname: π R R R
2 M 2 M R 3 1 I x = I O = ∫ r dm = ∫ r 2 rdr = 2 ∫ r dr = MR 2 . 2 R R 0 0 M 2
2
Taigi skritulio inercijos momentas jo centro ir ašies x atžvilgiu bus lygus: 1 I x = I O = MR 2 . 2 Taikydami (14) formul ę , nesunkiai gauname: 1 I y = I z = MR 2 . 4 Matome, kad skritulio inercijos momentas I x nepriklauso nuo jo storio. Tod ėl pilnutinio cilindro (9 pav., b) mas ės inercijos momentas šios ašies atžvilgiu gali b ūti apskaičiuotas pagal skritulio inercijos momento ašies x skaičiavimo formulę , t. y. 1 I x = MR 2 . 2 Storasienio vamzdžio inercijos momentas Jeigu kūno masė išdėstyta kaip storasienis vamzdis (10 pav.), kurio išorinis spindulys R, kiaurymės spindulys R0 ir masė M , tai tokio vamzdžio inercijos momentas x ašies atžvilgiu
lygus inercijos momento pilnutinio cilindro ir inercijos momento kiaurym ės skirtumui, t. y. I x = I 1 − I 2 .
z
R0
R1 O
y l
x 10 pav. Storasienis vamzdis
21
Pilnutinio cilindro inercijos momentas x ašies atžvilgiu
1 I 1 = M 1 R 2 , o kiaurymės 2
1 I 2 = M 2 R02 ; čia M 1 – pilnutinio cilindro mas ė; M 2 – kiaurymės masė. Tuomet storasienio 2 vamzdžio inercijos momentas bus lygus: l ygus: 1 I x = ( M 1 R 2 − M 2 R02 ). 2 Tarę , kad storasienio vamzdžio t ūrio są lyginis lyginis tankis γ lygus kūno masei, padalytai iš kūno tūrio, gausime: γ =
M M = V π( R 2 − R02 )b
ir galėsime apskai čiuoti cilindrų mases M 1 ir M 2 , kurių tūriai V 1 ir V 2 . Atlikę skai čiavimus, gausime: M MR 2 2 M 1 = γ ⋅ V 1 = ⋅ π R b = 2 πb( R 2 − R02 ) R − R02
ir MR02 M 2 M 2 = γ ⋅ V 2 = ⋅ π R0 b = 2 . πb( R 2 − R 02 ) R − R02 Įvertinę masių reikšmes, gausime storasienio vamzdžio inercijos moment ą centrinės ašies atžvilgiu:
MR02 MR 2 1 1 2 2 2 2 I x = ( M 1 R − M 2 R0 ) = 2 R − R 0 = 2 2 2 2 2 R − R0 R − R0 M M 1 1 4 4 ⋅ 2 R − R = ⋅ ( ) ( R 2 − R02 ) ⋅ ( R 2 + R02 ). 0 2 2 2 2 R − R0 2 R − R0 x ašies atžvilgiu: Taigi gausime storasienio vamzdžio inercijos moment ą x
1 I x = ⋅ M ( R 2 + R02 ). 2
Plono keturkampio inercijos momentas Tarkime, kad k ūno masė M tolygiai išdėstyta plonoje keturkamp ė je plokštelė je, kurios matmenys a ir b (11 pav.).
22
y dy
b
dm
y a
x
11 pav. Plona keturkampė plokštelė
Apskai čiuosime kūno inercijos moment ą , pavyzdžiui, x ašies atžvilgiu. Taikant (21) formulę galima užrašyti: I x = ∫ y 2 dm. M
Elementarios masės dm reikšmė lygi kūno ploto santykinio tankio γ s = elementarios masės ploto ds = a ⋅ dy sandaugai, t. y. dm = γ s ⋅ ds =
M M ⋅ a ⋅ dy = ⋅ dy. ab b
Tuomet b
M M b 2 M y 3 I x = ∫ y dm = ∫ y ⋅ ⋅ dy = ∫ y dy = ⋅ b b 0 b 3 0 M 2
2
M b 3 = ⋅ . b 3 0
b
x ašies atžvilgiu: Taigi gavome plono keturkampio mas ės inercijos moment ą x
1 I x = Mb 2 . 3 Nesunkiai gauname, kad 1 I y = Ma 2 . 3
Plono trikampio inercijos momentas Tarkime, kūno masė išdėstyta plono stačiakampio trikampyje (12 pav.).
23
M ir ab
y dm dy
b
c
y
a
x
12 pav. Plona trikampė plokštelė
Pritaikysime (21) formulę inercijos momentui x ašies atžvilgiu skai čiuoti. Galime užrašyti: I x = ∫ y 2 dm. M
Iš (12 pav.) matome, kad elementari mas ė dm priklauso nuo pj ūvio padėties, t. y. nuo y koordinatės, nes kei čiasi elementarios mas ės dydis c. Nustatysime dydžio c pokytį priklausomai nuo y koordinatės. Iš trikampių panašumo gauname: b − y c = , b a
todėl a c = (b − y ). b
Elementari masė dm skaičiuojama kaip šios mas ės elementarusis plotas ds = c ⋅ dy , M M 2 M = padaugintas iš trikampio ploto s ą lyginio lyginio tankio γ s = = . S 1 2 (ab ) ab Įrašę visas reikšmes ir atlik ę visus matematinius skai čiavimus, gauname trikampio inercijos momentą : 2 M 2 2 M b 2 a I x = ∫ y dm = ∫ y ds ⋅ γ s = y c ⋅ dy = ⋅ ∫ y ⋅ (b − y )dy = ∫ ab ab b 0 M M M 2
2
b b y 3 b y 4 b 2aM b 2 2 M 2 M 2 3 = y (b − y )dy = 2 b ∫ y dy − ∫ y dy = 2 b − 3 4 abb ∫0 b 0 b 0 0 0
2 M b 3 b 4 1 b − = Mb 2 . 2 4 6 b 3 24
Taigi plono trikampio formos išd ėstytos masės inercijos momentas x ašies atžvilgiu bus: 1 I x = Mb 2 . 6 Gauname, kad inercijos momentas y ašies atžvilgiu bus: 1 I y = Ma 2 . 6 Šis inercijos momento skai čiavimo metodas gali b ūti taikomas bet kokios formos trikampio masei išd ėstyti, svarbu, kad koordina čių ašis eitų trikampio šonu. Taikant pateikt ą metodiką galima rasti bet kokios formos k ūnų masių išsidėstymo inercijos momentus. Sud ėtingos geometrin ės formos k ūnų masių inercijos moment ų reikšmės yra pateikiamos specialiojoje technin ė je literatūroje – žinynuose.
1.5. Mechaninio judė jimo dinaminės charakteristikos Sprendžiant dinamikos uždavinius taikomos į vairios vairios matematinės priklausomyb ės, kurios padeda nustatyti santykius tarp jud ė jimo matų ir veikiančių jų jėgų poveikio. Charakterizuojant mechanin į judė jimą nepakanka žinoti, kokios yra judan čio objekto kinematinės charakteristikos (greitis arba pagreitis). Svarbu žinoti, kuris k ūnas darys didesn į (arba mažesnį ) mechaninį poveikį kitam kūnui. Tai priklausys ne tik nuo k ūnų judė jimo greičio, bet ir nuo j ų masių , masės išsidėstymo erdvė je ir kūnų judė jimo dinaminių charakteristikų . Mechaninio jud ė jimo dinaminės charakteristikos yra jud ė jimo kiekis, kinetinis momentas ir kinetinė energija.
1.5.1. Materialiojo taško judesio kiekis Kaip buvo minėta anksčiau, viena iš materialiojo taško jud ė jimo charakteristikų yra judesio kiekis. Judesio kiekis yra vektorinis dydis, d ydis, kuris skai čiuojamas kaip materialiojo taško r masės ir judė jimo greičio sandauga, t. y. mv . r r Tarkime, masės m materialusis taškas d ėl jėgos F poveikio juda erdv ė je greičiu v (13 pav.). z M r v r mv r z F y x
y
x
13 pav. Materialiojo taško judesio kiekis
25
r
Taško M judesio kiekio vektorius mv yra proporcingas taško masei, jis yra prid ėtas prie taško ir nukreiptas grei čio kryptimi. Bet kuris vektorinis dydis, tarp j ų ir judesio kiekis, gali b ūti išreikštas projekcijomis į koordinačių ašis: mv = (mv x )2 + (mv y )2 + (mv z )2 ;
(22)
čia
mv x = m
dx , dt
mv y = m
dy , dt
mv z = m
dz . dt
Judesio kiekio vektoriaus kryptis nusakoma kampais, kurie randami naudojant atitinkamas funkcijas: cos α =
mv x , mv
cos β =
mv y , mv
cos γ =
mv z . mv
Jud Judesio kiek iekio dime imensija [ kg ⋅ m/s ], arba [ N ⋅ s ].
1.5.2. Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis r
Mechaninės sistemos judesio kiekiu K vadinama vis ų mechanin ės sistemos materiali ų jų r taškų judesio kieki ų m k v k geometrinė suma, t. y. r
n
r
K = ∑ mk v k .
(23)
k =1
Šio vektoriaus modulis gali b ūti išreikštas projekcijomis: K = K x2 + K y2 + K z2 ; čia n
K x = ∑ mk v kx , k =1
n
n
k =1
k =1
K y = ∑ mk v ky , K zx = ∑ mk v ky . r
Mechaninės sistemos judesio kiekio vektoriaus K padėtis erdvė je nusakoma kampais, kurie randami naudojant atitinkamus krypties kosinusus: cos α =
K x , K
cos β =
K x , K
cos γ =
K x . K r
Tačiau materialių jų taškų mechanin ės sistemos judesio kiekio vektorius K neturi konkrečios pridėties vietos. Jis yra laisvasis vektorius, tod ėl laikoma, kad šis vektorius gali būti perkeltas lygiagre čiai su savimi į bet kurį mechanin ės sistemos tašk ą . 26
1.5.3. Mechaninės sistemos judesio kiekio skaičiavimas Iš formulių (8), skirtų mechanin ės sistemos mas ės centro koordinat ėms skaičiuoti, gauname: n
mk x k = M ⋅ xC , ∑ k 1
n
n
=
=
mk y k = M ⋅ y C , ∑ m k z k = M ⋅ z C . ∑ k 1 k 1
=
Diferencijuodami šias priklausomyb ės laiko atžvilgiu, gausime: dx k dxC m = M ⋅ , ∑ k dt dt k =1
dy k dy C m = M ⋅ , ∑ k dt dt k =1
n
n
n
∑ mk k =1
dz k dz = M ⋅ C , dt dt
todėl n
n
mk v kx = M ⋅ vCx , ∑ k 1
n
m k vkz = M ⋅ vCz . ∑ k 1
m k v ky = M ⋅ vCy , ∑ k 1
=
=
=
Turime vektorinės priklausomyb ės projekcijas, galime užrašyti vektorin ę išraišką : n
r
r
mk v k = M ⋅ v C . ∑ k 1 =
Gautoje išraiškoje vis ų materialių jų taškų judesio kieki ų geometrinė suma pagal (23) formulę yra mechanin ės sistemos judesio kiekis, t. y.
n
r
r
m k v k = K . ∑ k 1 =
Galutinai turėsime:
r
r
K = M ⋅ v C .
(24)
Darome patikslintą išvadą , kad sistemos judesio kiekis yra vektorinis dydis, skai čiuojamas kaip sistemos mas ės ir masės centro grei čio sandauga, jis prid ėtas sistemos masės centre ir nukreiptas mas ės centro grei čio kryptimi (14 pav.). r
z
r
mK vK
K r
r
r K
mK r
r C
vC C y
O x
14 pav. Sistemos judesio kiekis
27
1.5.4. Materialiojo taško ir mechaninės sistemos kinetinis momentas Materialiojo taško kinetiniu momentu bet kurio centro arba ašies atžvilgiu vadinamas judesio kiekio momentas momentas to paties centro centro arba tos pa čios ašies atžvilgiu. Statika [1–7] nagrinė ja jėgos sukam ą jį efektą plokštumoje bet kurio centro atžvilgiu. Erdviniams statikos uždaviniams j ėgos sukamojo efekto dydis buvo išreikštas vektorinio momento pavidalu [1]. Visas statikoje gautas išvadas j ėgos momentui bet kurio centro atžvilgiu taikome taško judesio kiekiui . r Tarkime, masės m materialusis taškas M juda v greičiu tam tikra trajektorija erdvė je (15 pav.). r
mv
r
lO
r
v h
m r
r O
15 pav. Materialiojo taško kinetinis momentas r
Norint rasti judesio kiekio mv momentą centro O atžvilgiu, reikia padauginti vektoriaus r r mv modulį iš peties h (15 pav.) arbar išnagrin ėti padėties vektoriaus r ir judesio kiekio r r r vektoriaus mv vektorinę sandaugą l O = r × mv . Šios vektorinės sandaugos produkt ą – r r r vektorių lO reikia pridėti centre O. Vektorius lO yra naudojamas vektoriaus mv momentui centro O atžvilgiu žym ėti erdvė je. r Vektorius lO atitinka materialiojo taško m kinetinį momentą centro O atžvilgiu ir pagal r r didumą yra lygus vektoriaus mv momentui centro O atžvilgiu (15 pav.). Vektorius lO r pridedamas centre O statmenai plokštumai, išvestai per vektori ų mv ir centrą O, ir pagal r susitarimą nukreipiamas taip, kad ži ūrint iš jo galo atrodyt ų , kad vektorius mv pasuka plokštumą prieš laikrodžio rodykl ės kryptį . r Taigi materialiojo taško kinetinis momentas lO bet kurio centro O atžvilgiu lygus taško r judesio kiekio mv vektoriniam momentui to paties centro atžvilgiu, t. y. r
r
r
r
r
l O = M O (mv ) = r × mv.
(25)
Tašką O laikydami Dekarto atskaitos sistemos pradžia, tur ėsime (pagal statikoje taikom ą jėgos momento skai čiavimo analogij ą ) kinetinių momentų koordinačių ašių atžvilgiu reikšmes: r
l x = M x (mv ) = y ⋅ mv z − z ⋅ mv y ,
28
r
l y = M y (mv ) = z ⋅ mv x − x ⋅ mv z , r
l z = M z (mv ) = x ⋅ mv y − y ⋅ mv x . r
Mechaninės sistemos kinetinis momentas LO bet kurio laisvai pasirinkto centro O r atžvilgiu yra lygus vis ų mechanin ės sistemos materiali ų jų taškų kinetinių momentų l O to paties centro atžvilgiu geometrinei sumai, t. y. n r
r
n
r
n
r
r
r
LO = ∑ l O = ∑ M O (mk v k ) = ∑ (r k × mk v k ). k =1
k =1
(26)
k =1
r
Mechaninės sistemos kinetinis momentas LO gali būti surastas pagal projekcijas į Dekarto koordinačių ašis: LO = L x2 + L y2 + L z2 ; čia n
n
k =1 n
k =1 n
k =1 n
k =1 n
k =1
k =1
r
n
r
k =1 n
r
k =1 n
L x = ∑ l x = ∑ M x (m k v k ) = ∑ ( y k ⋅ m k v kz − z k ⋅ mk v ky ), L y = ∑ l y = ∑ M y (m k v k ) = ∑ ( z k ⋅ m k v kx − x k ⋅ mk v kz ), L z = ∑ l z = ∑ M z (m k v k ) = ∑ ( x k ⋅ m k v ky − y k ⋅ mk v kx ). k =1
r
Sistemos kinetinio momento LO padėtis erdvė je nusakoma kampais, kurie randami L L L naudojant atitinkamus krypties kosinusus: cos α = x , cos β = x , cos γ = x . LO LO LO r Materialių jų taškų mechanin ės sistemos O centro atžvilgiu kinetinis momentas LO pridėtas tame pa čiame centre.
1.5.5. Standžiojo kūno kinetinio momento skaičiavimas Skaičiuodami standžiojo k ūno judė jimo dinamines charakteristikas, vertinam tai, kad standusis kūnas yra materiali ų jų taškų sistemos visuma. Tod ėl galime taikyti mechaninei sistemai gautas išvadas standžiojo k ūno dinamikos klausimams nagrin ėti. Skaičiuodami standžiojo kūno kinetinį momentą , į vertiname vertiname kūno judė jimą . Nagrinėsime kūno slenkamą jį judė jimą [12–13]. Žinome, kad esant bet kokiam k ūno judė jimui, kūno judesio kiekis (24) yra lygus l ygus k ūno masės ir masės centro grei čio sandaugai, t. r r y. K = M ⋅ v C . Tarkime, kad k ūno masės centro C padėtis nejudančiosios atskaitos sistemos r atžvilgiu nusakoma pad ėties vektoriumi r C (16 pav.):
29
r
LO
r
K
z
r
vC C
r
r C
y
O x
16 pav. Kūno kinetinis momentas esant slenkamajam judė jimui r
Padaugin ę abi kūno kinetinio momento išraiškos puses iš r C , gauname: r
r
r
r
r C × K = r C × M ⋅ v C ,
arba
r
r
r
LO = r C × M ⋅ vC , r
r
(27) r
nes vektorinė sandauga r C × K yra vektorinio dydžio K , arba standžiojo k ūno judė jimo r kiekio vektoriaus K momentas centro O atžvilgiu. Šis vektorius pridedamas centre O r r statmenai sukamojo efekto plokštumai taip, kad iš vektoriaus LO galo vektoriaus K posūkis būtų matomas prieš laikrodžio rodykl ę (16 pav.). Taigi galime padaryti išvad ą , kad esant slenkamajam jud ė jimui standžiojo k ūno kinetinis momentas bet kurio centro atžvilgiu yra lygus k ūno masės centro judesio kiekio momentui to paties centro atžvilgiu. Esant kūno sukamajam judė jimui apie nejudamą ją ašį , kinetinį momentą apie sukimosi ašį galime surasti kaip k ūno taškų judesio kieki ų momentų apie tą pačią ašį sumą pagal formulę : n
r
L z = ∑ M z (m k v k ). k =1
Jeigu standusis k ūnas sukasi kampiniu grei čiu ω apie nejudam ą ją ašį Oz (17 pav.), tai bet kurio taško judesio kiekio vektoriaus modulis lygus l ygus šio taško mas ės ir grei čio sandaugai: m k v k = mk ⋅ ω ⋅ r k ,
o judesio kiekio vektorius nukreiptas grei čio kryptimi statmenai atkarpai nuo taško iki sukimosi ašies. Taško judesio kiekio momentas sukimosi ašies atžvilgiu r
M z (m k v k ) = m k vk ⋅ r k = mk ⋅ ω ⋅ r k 2 .
30
z r
vK
ω
r
mK vK
O r K
17 pav. Kūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu
Skaičiuodami standžiojo k ūno kinetinį momentą sukimosi ašies atžvilgiu turime sud ėti visų kūno taškų kinetinius momentus tos pa čios ašies atžvilgiu, t. y. n
n
r
n
L z = ∑ M z (m k v k ) = ∑ mk ⋅ ω ⋅ r = ω ⋅ ∑ m k r k 2 . k =1
2 k
k =1
k =1
Visų kūno taškų masių ir j ų atstumų iki sukimosi ašies kvadrat ų suma yra kūno inercijos n
momentas sukimosi ašies atžvilgiu, t. y. I z = ∑ mk r k 2 . k =1
Taigi gauname: L z = I z ⋅ ω.
(28)
Galime padaryti išvad ą , kad esant sukamajam jud ė jimui standžiojo kūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus k ūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir kūno kampinio grei čio sandaugai. Jeigu ži ūrint nuo sukimosi ašies galo k ūnas sukasi prieš laikrodžio rodykl ę , kinetinis momentas bus teigiamas, ir atvirkš čiai, jeigu k ūnas sukasi pagal laikrodžio rodykl ę , tai kinetinis ki netinis momentas bus neigiamas.
1.5.6. Materialiojo taško ir mechaninės sistemos kinetinė energija Viena iš materialiojo taško mechaninio jud ė jimo dinaminių charakteristikų yra kinetinė mv 2 energija, arba dydis , t. y. taško mas ės ir greičio kvadrato sandaugos pus ė. Kinetinė 2 energija yra skaliarinis mechaninio jud ė jimo matas, nes greičio vektoriaus kvadratas lygus r r r skaliarinei vektori ų sandaugai, t. y. v 2 = v ⋅ v . Vektorių skaliarinė sandauga lygi vektori ų modulių sandaugai, padaugintai iš kosinuso kampo tarp j ų . Šiuo atveju kampas tarp vienod ų r vektorių lygus nuliui ir cos 0 o = 1 . Gauname v 2 = v 2 . Kinetinė energija visada yra
31
mv 2 teigiamasis dydis ir nepriklauso nuo jud ė jimo krypties. Raskime kinetin ės energijos 2 dimensiją : m2 N m2 [masė ⋅ greitis ] = kg ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = [N ⋅ m] = [J]. s m/s s 2
Taigi kinetinės energijos dimensija – niutonmetrai [N ⋅ m] arba džauliai [J]. Sistemos kinetine energija vadinama mechanin ės sistemos materiali ų jų taškų kinetinių energijų suma, t. y. n mk v k 2 T = ∑ . (29) 2 k =1 Sistemos kinetin ė energija taip pat yra teigiamasis dydis. Ji nepriklauso nuo materiali ų jų taškų greičių krypčių ir gali būti lygi nuliui tik tuomet, kai vis ų taškų greičiai bus lygūs nuliui.
1.5.7. Standžiojo kūno kinetinė energija Skaičiuojant standžiojo k ūno kinetinę energiją , vertinama tai, kad standusis k ūnas yra materialių jų taškų sistemos atvejis. Taip pat daroma išvada, kad galima taikyti mechanin ės sistemos išvadas standžiojo k ūno kinetinei energijai skai čiuoti. Žinome, kad skai čiuojant standžiojo kūno dinamines charakteristikas į vertinamas vertinamas kūno judė jimas. Todėl, nagrinėdami kūno slenkamą jį judė jimą , taikome bendr ą ją sistemos kinetin ės energijos skai čiavimo formulę (29). Įvertindami tai, kad esant slenkamajam jud ė jimui vis ų taškų greičiai yra vienodi, galime juos pakeisti vieno taško grei čiu (pavyzdžiui, mas ės centro). Tuomet tur ėsime: mk v k 2 v C 2 n T = ∑ = mk , ∑ 2 2 k =1 k =1 n
arba, galiausiai gauname: vC 2 T = M . 2
(30)
iuojama kaip taško, Taigi esant slenkamajam jud ė jimui k ūno kinetinė energija skaič iuojama turinč io io k ūno masę ir judanč io io k ūno masės centro jud ė jimo greič iu, iu, kinetinė energija. Esant kūno sukamajam judė jimui apie nejudamą ją ašį kinetinė energija skai čiuojama pagal tą pačią (29) formulę . Įvertinant tai, kad kiekvieno materialiojo taško linijin į greitį esant sukamajam jud ė jimui galima užrašyti kaip kūno kampinio grei čio ir taško atstumo iki sukimosi ašies sandaug ą , t. y. v k = ω ⋅ r k , gaunama: mk v k 2 n m k (ω ⋅ r k )2 ω 2 =∑ = T = ∑ 2 2 2 k =1 k =1 n
32
n
mk ⋅ r k 2 . ∑ k 1 =
Galiausiai gauname: T =
ω2
2
⋅ I z .
(31)
Taigi standžiojo k ūno kinetinė energija esant sukamajam jud ė jimui lygi k ūno inercijos momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš k ūno kampinio grei č io io kvadrato pus ės. Įvertinant tai, kad standžiojo k ūno plokštuminį jud ė jimą laikome dviej ų judė jimų suma – slenkamojo kartu su laisvai pasirinktu poliumi ir sukamojo apie š į polių , – k ūno kinetinė energija skaič iuojama iuojama kaip dviej ų kinetinių energijų suma – slenkan č iai iai kartu su laisvai pasirinktu poliumi jud ė jimo daliai ir sukamai apie pasirinkt ą polių jud ė jimo daliai. Jeigu poliumi laikysime plokš čiosios figūros masės centrą , tai kinetinės energijos išraišk ą galėsime užrašyti taip: 2 MvC 2 ω I zC T = + . (32) 2 2 Skaičiuojant kūno inercijos moment ą , atsižvelgiama į tai, kad esant plokš čiajam judė jimui poliumi gali būti pasirinktas bet kuris k ūno taškas, neb ūtinai masės centras. Tod ėl kūno inercijos momentas yra skai čiuojamas apie aš į , einančią per pasirinktą polių .
1.6. Veikiančių jų jėgų poveikio matai ir jų charakteristikos Kaip jau buvo min ėta, dinamika nagrin ė ja objektų judė jimą priklausomai nuo veikiančių jų jėgų . Kitaip tariant, dinamika vertina materiali ų jų taškų arba standži ų jų kūnų tarpusavio są veik veiką , arba mechaninio jud ė jimo priežastis, t. y. fizikini ų dydžių , apibūdinančių kūnų tarpusavio s ą veikos veikos intensyvum ą , į tak taką judė jimui. Statika nagrinė ja kūnų tarpusavio są veikos veikos matus – j ėgą ir jėgos momentą , kurie apib ūdina kūnų tarpusavio są veik veiką konkrečiu laiko momentu. Bet dinamikos j ėgos poveikio vertinimas priklauso ir nuo j ėgos veikimo trukmės, ir nuo šios j ėgos judančio kūno poslinkio. Čia vartojamos tokios mechanin ės kūnų są veikos veikos są vokos: vokos: jėgos impulsas ir jėgos darbas. Nagrinė jant mechaninės sistemos dinamikos uždavinius, mechanin ę sistemą veikiančias jėgas priimta klasifikuoti į išorines ir vidines, į aktyvi ą sias sias jėgas ir ryši ų reakcijas.
1.6.1. Materialių jų taškų mechaninės sistemos vidinės jėgos Nagrinėdami taško jud ė jimą turime reikalą su jėgomis, kurios veikia tik š į izoliuotą materialų jį tašką . Tokias jėgas vadiname išorinėmis. Tačiau gamtoje ir m ūsų aplinkoje yra be galo daug judan čių objektų , sudarytų iš materialių jų taškų arba standži ų jų kūnų visumos, kurioje kiekvieno taško jud ė jimas priklauso nuo kitų taškų judė jimo ir ryšių tarp jų . Tokia materiali ų jų taškų visuma vadinama mechanine sistema. Mechanin ės sistemos pavyzdžiu gali b ūti bet kuris mechanizmas, stakl ės, automobilis ir kt.
33
Iš statikos žinome, kad, nagrin ėdami suvaržyt ą jį kūną , be išorinių aktyvių jų jėgų , dar turime į vertinti vertinti jėgas, kurios atsiranda išoriniuose ryšiuose, vadinam ą sias sias ryšių reakcijas. Tokios ryši ų reakcijos dar vadinamos išorin ėmis. Nagrinėdami materialių jų taškų mechaninę sistemą , turime į vertinti vertinti tai, kad kiekvien ą materialų jį tašką veikia ne tik aktyviosios išorin ės jėgos, bet ir j ėgos, kurios atsiranda d ėl kiekvieno taško poveikio kitam tos pa čios sistemosr taškui. Tokios jrėgos vadinamos sistemos vidinėmis jėgomis. Išorines j ėgas toliau žym ėsime F i , o vidines – F v . Vidinių jėgų savyb ės: 1. Mechaninės sistemos vis ų vidinių jėgų suminis vektorius, arba bendrasis poveikis sistemai, lygus nuliui, t. y. n r
r
R = ∑F k v = 0. v
k =1
Pavyzdžiui, mechanin ė je sistemoje parenkame du bet kuriuos materialiuosius taškus, kurie yra susij ę (18 pav.).
r
r
F 1v
F 2v
1
2
18 pav. Mechaninės sistemos vidinės jėgos
Žinodami, kad materialieji taškai veikia vienas kit ą vienodo dydžio bet priešing ų krypčių r r r r jėgomis F 1v ir F 2v , gauname F 1v + F 2v = 0 . Sudė ję visas vidinės jėgas, gausime, kad j ų geometrinė suma lygi nuliui, t. y. r
n
r
R = ∑ F k v = 0. v
(33)
k =1
2. Mechaninės sistemos vis ų vidinių jėgų suminis vektorinis momentas bet kurio centro O atžvilgiu lygus nuliui: r
n
r
r
M = ∑ M O (F k v ) = 0 . v O
k =1
34
r
F 2v
r
F 1v
1
r
2
r
M O (F 2v ) O r
r
M O (F 1v ) 19 pav. Mechaninės sistemos vidinių jėgų vektoriniai momentai
Mechaninės sistemos dviej ų taškų vidinės jėgos yra lygios (19 pav.) ir nukreiptos į priešingas puses. Tod ėl centro O atžvilgiu šios j ėgos turės vienodo dydžio, bet priešing ų krypčių vektorinius momentus. Matyti, kad ši ų vektorinių momentų geometrinė suma yra lygi nuliui, t. y. r r r r M O (F 1v ) + M O (F 2v ) = 0 . Sudė ję mechanin ės sistemos vis ų vidinių jėgų vektorinius momentus centro O atžvilgiu, gausime, kad j ų geometrinė suma lygi nuliui, t. y. r
n
r
r
M = ∑ M O (F k v ) = 0. v O
(34)
k =1
1.6.2. Jėgos impulsas J ėgos impulsu vadinamas fizikinis dydis, apib ūdinantis jėgos poveik į kūnui arba materialiajam taškui per tam tikr ą laiko tarpą . Jėgos impulsas yra vektorinis dydis, lygus j ėgos ir laiko sandaugai, nukreiptas veikian čiosios jėgos kryptimi. Kai turime kintam ą jėgą , elementarusis j ėgos impulsas randamas taip: r
r
d S = F ⋅ dt .
(35)
Nagrinė jant jėgos poveikį kūnui per tam tikr ą laiko tarpą , integruojant (35) priklausomybę , gaunama impulso reikšm ė per šį laiko tarpą : r
S =
t r
F dt . ∫ t o
(36)
o=
Jėgos impulso projekcijos į koordinačių ašis: t
S x =
F x dt , ∫ t o o=
t
S y =
F y dt , ∫ t o o=
35
t
S z =
F z dt . ∫ t o o=
Kai jėga yra pastovi, j ėgos impulsas per laikotarp į t skaičiuojamas kaip j ėgos ir laiko sandauga: r
r
S = F ⋅ t . r
r
r
Tegul kūną veikia jėgų sistema F 1 , F 2 , ..., F n , kurios atstojamoji j ėga lygi ši ų jėgų geometrinei sumai: r
r
r
r
R = F 1 + F 2 + ... + F n .
Dauginame abi šios išraiškos puses iš elementaraus laiko tarpo dt ir integruodami laiko intervalu gauname: t r
t r
t r
t r
Rdt = ∫ F 1 dt + ∫ F 2 dt + ... + ∫ F n dt . ∫ t o t o t o t o o=
o=
o=
o=
Kiekvienas narys gautoje lygyb ė je yra jėgos impulsas. Taigi turime: r
r
r
n
r
r
S = S 1 + S 2 + ... + S n ,
arba r
S = ∑ S i . i =1
Galime padaryti išvad ą , kad kai k ūną veikia kelios j ėgos, ši ų jėgų impulsas lygus atskir ų jėgų impulsų geometrinei sumai. J ėgos impulso dimensija – [N ⋅ s] .
1.6.3. Jėgos darbas Kūną arba materialų jį tašką veikiančios jėgos darbu bet kurioje atkarpoje vadinamas fizikinis dydis, kuriuo į vertinamas vertinamas veikian čiosios jėgos efektyvumas šioje atkarpoje, j ėgos dydis, jėgos padėtis ir atkarpos didumas. r Tarkime, kad reikia rasti kintamos j ėgos F atliktą darbą , kai šios j ėgos veikiamas taškas bet kokia trajektorija nu ė jo kelią iš padėties M 1 į padėtį M 2 (20 pav.). Norint apskai čiuoti r atkarpoje M 1 – M 2 jėgos F atliktą darbą , reikia sudalyti ši ą atkarpą į nykstamai mažas r atkarpas – elementarius poslinkius ir sud ėti jėgos F darbus, atliktus šiuose elementariuose poslinkiuose. Išskirsime be galo maž ą trajektorijos atkarpą ds (20 pav.) ir surasime šioje atkarpoje r pastovios jėgos F atliktą darbą .
36
r
τ
r
v
r
F τ r
M M 1
ds
d r r
M 2
ϕ
r
r
r 1
r
F
r
O F n nr r
20 pav. Pastovios jėgos F elementaraus darbo skaičiavimo schema r
Elementarusis j ėgos F darbas atkarpoje ds išreiškiamas taip: dA = F τ ⋅ ds; r
(37)
r
r
čia F τ – jėgos F dedamoji judančio taško M greičio vektoriaus v kryptimi; ds – taško
elementarus poslinkis, kuris ribin ė je išraiškoje gali būti laikomas nukreiptu pagal greit į . ę į (37) formulę , gauname: Matome (20 pav.), kad F τ = F ⋅ cos ϕ. Įrašę F reikšmę į τ
dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds,
(38)
r
t. y. j ėgos elementarusis darbas lygus j ėgos F modulio ir poslinkio ds sandaugai, r padaugintai iš kosinuso kampo tarp j ų . Todėl galimi tokie jėgos F ir poslinkio ds išsidėstymo atvejai: – kai kampas ϕ = 0 o , tai dA = F ⋅ ds, arba jeigu j ėga ir poslinkis yra vienos krypties, j ėgos darbas yra teigiamasis dydis, lygus j ėgos ir poslinkio sandaugai; sandaugai; o – kai kampas ϕ = 90 , tai dA = 0, t. y. jeigu jėga yra statmena poslinkiui, tai jos atliktas darbas lygus nuliui; – kai kampas ϕ = 180 o , tai dA = − F ⋅ ds, t. y. jeigu j ėga ir poslinkis yra skirting ų krypčių , tai jėgos darbas yra neigiamas ir lygus j ėgos ir poslinkio sandaugai. r
d r Kinematikoje [12–13] tur ė jome greičio vektoriaus išraišk ą v = , iš kurios gauname dt r r judančio taško pad ėties vektoriaus pokyt į d r = v ⋅ dt , kuris ribinė je išraiškoje nukreiptas nukreiptas pagal ds greitį . Taip pat tur ė jome išraišką greičio moduliui skai čiuoti v = . Taigi galime užrašyti, dt r d r r r ⋅ dt , arba ds = d r . Gautą jį dydį ds į raš kad ds = v ⋅ dt = v ⋅ dt = rašę į (38) formulę , dt turėsime: r
r
r
dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds = F ⋅ cos ϕ ⋅ d r .
37
r
r
Šios lygyb ės dešinioji pus ė yra vektorių F ir d r skaliarinė sandauga. Tod ėl gauname: r
r
dA = F ⋅ d r ,
(39) r
t. y. jėgos elementarusis darbas yra skaliarinis dydis, lygus j ėgos vektoriaus F ir jėgos r pridėties vietos spindulio vektoriaus diferencialo d r skaliarinei sandaugai. r r r Įrašę į (39) formulę spindulio vektoriaus diferencialo d r reikšmę d r = v ⋅ dt , gausime r r r r dA = F ⋅ v ⋅ dt . Bet jėgos F ir laiko atkarpos dt sandauga yra j ėgos F elementarus impulsas r d S . Galime užrašyti, kad r
r
dA = d S ⋅ v ,
(40)
t. y. elementarusis j ėgos darbas gali b ūti išreikštas kaip veikian čiosios jėgos elementaraus impulso ir greičio vektoriaus skaliarin ė sandauga. r r Jeigu užrašysime veikian čiosios jėgos F ir elementaraus poslinkio d r dydžius pagal Dekarto koordinačių ašis, tai turėsime: r
r
r
r
r
r
dA = (F x i + F y j + F z k ) ⋅ (dxi + dy j + dzk ).
Atlikę matematinius pertvarkymus, gausime dA = F x dx + F y dy + F z dz.
(41)
ę elementariojo darbo skai čiavimo išraišką . Gavome analizin r Visą jėgos F atkarpoje nuo pad ėties M 1 iki padėties M 2 atliktą darbą gausime, jeigu sudėsime visus elementariuosius darbus visuose elementariose atkarpose, kitaip tariant, integruodami visas matematines elementariojo darbo išraiškas: M 2
A = ∫ F τ ds,
(42)
M 1
M 2
A = ∫ F ⋅ cos ϕds,
(43)
M 1
M 2
r r
A = ∫ F d r ,
(44)
M 1
t
r r
A = ∫ d S d v , t 0
38
(45)
M 2
A =
∫ M F x dx + F y dy + F z dz.
(46)
1
Jėgos darbo dimensija – [N ⋅ m] , arba [J] .
Darbo išraiškos skaičiavimo pavyzdžiai Atstojamosios jėgos darbas Tegul judantį tašką veikia jėgų sistema, kurios atstojamoji j ėga lygi sistem ą sudaran čių r
r
r
r
r
n
r
jėgų geometrinei sumai, t. y. R = F 1 + F 2 + ... + F k , arba R = ∑ F k . Padauginę abi lygybės k =1
r
puses iš elementaraus taško poslinkio d r , turėsime: r
r
n
r
r
r
r
r
r
r
r
R ⋅ d r = ∑ F k ⋅ d r = F 1 ⋅ d r + F 2 ⋅ d r + ... + F k ⋅ d r . k =1
r
Gavome atstojamosios j ėgos R elementariojo darbo išraišk ą , kuri lygi vis ų veikiančių jų jėgų elementarių jų darbų algebrinei sumai, t. y. n
dA = ∑ dAk . k =1
Nagrinėdami visų veikiančių jų jėgų atliktą darbą atkarpoje nuo pradin ės padėties M 1 iki galinės M 2 , turime susumuoti visus elementariuosius darbus, atliktus veikian čios jėgų sistemos, t. y. n
M 2
k =1
M 1
M 2
r
r
A = ∑ dAk = ∫ F 1 d r + ∫ F 2 d r +... + M 1
M 2
r
∫ M F k d r . 1
Bet tą patį darbą atliks ir šios j ėgų sistemos atstojamoji. Galima padaryti išvad ą , kad atstojamosios j ėgos darbas esant tam tikram poslinkiui lygus vis ų dedamų jų jėgų atliktų darbų esant tam pačiam poslinkiui algebrinei sumai. Vadinasi, M 2
n
r r
r
r
∫ Rd r = ∑ F k d r , k =1
M 1
arba n
A = ∑ Ak , k =1
t. y. atstojamosios j ėgos darbas esant tam tikram poslinkiui yra lygus vis ų dedamų jų jėgų atliktų darbų esant tam pa čiam poslinkiui algebrinei sumai. 39
J ėgos darbas esant sud ėtiniam poslinkiui Tarkime, kad taškas pereina iš pad ėties M 1 į padėtį M 2 , turėdamas į vairius vairius elementarius r poslinkius d r k (21 pav.): M 2
r
d r 1
r
r
d r
d r 3 r
M 1
d r 2
r
F
r
21 pav. Jėgos F elementariojo darbo esant sudėtiniam poslinkiui skaičiavimo schema
Matome, kad suminis elementarus poslinkis yra sudedam ų elementarių poslinkių r
n
r
r
algebrinė suma, t. y. d r = ∑ d r k . Padaugin ę šią lygybę iš F , gauname: k =1
r
n
r
r
r
F ⋅ d r = ∑ F ⋅ d r k . k =1
r
Kairioji lygybės pusė yra jėgos F darbo išraiška atkarpoje M 1 M 2 . Dešiniojoje pus ė je r
turime jėgos F elementarių jų darbų sumą kiekvienoje elementarioje kelio atkarpoje. Turime: n
A = ∑ Ak , k =1
arba elementarusis j ėgos darbas esant sud ėtiniam taško poslinkiui lygus algebrinei sumai elementarių jų darbų , kuriuos atliks j ėga esant kiekvienam elementariam poslinkiui. Sunkio darbas Tegul masės m materialusis taškas juda vienaly čiame traukos lauke (22 pav.):
z
M 1 z1
O x
y1
M M 2
r
G x1
y2
y
z2 x2
22 pav. Taško judė jimas dėl sunkio poveikio
40
Tašką M M veikia sunkis G = mg . Nustatysime jo atlikt ą darbą , kai taškas iš pad ėties M 1 pereina į padėtį M 2 . Darbo išraiškai skai čiuoti taikome analizin ę darbo skai čiavimo išraišką (46). Tuomet gausime: A =
– –
M 2
z 2
1
1
∫ M (F x dx + F y dy + F z dz ) = z∫ (− mg )dz = −mg ( z 2 − z1 ) = mg ( z1 − z 2 ).
Kai aukščių skirtumas h = z1 − z 2 , A = mg ⋅ h . Matyti, kad galimi tokie atvejai: kai z1 > z 2 , t. y. kai taškas t aškas veikiant sunkiui leidžiasi žemyn, sunkio darbas bus teigiamas; kai z 2 > z1 , t. y. kai taškas veikiant sunkiui kyla į viršų , sunkio darbas bus neigiamas. Todėl galime teigti, kad sunkio darbas lygus sunkio ir aukš čių skirtumo sandaugai: (47)
A = ± mg ⋅ h
su pliuso ženklu, kai veikiant sunkiui materialusis taškas leidžiasi žemyn, ir su minuso ženklu, kai jis kyla k yla aukštyn. Iš to išplaukia, kad sunkio darbas nepriklauso nuo jud ė jimo trajektorijos ir yra lygus nuliui, kai galutinis judan čio taško aukštis yra tame pa čiame lygyje kaip ir pradinis. Laikoma, kad aukš čiai atskaitomi nuo bet kurios horizontaliosios plokštumos. Tamprumo j ėgos darbas Tamprumo jėga vadinama ta j ėga, kuri aprašoma Huko d ėsniu ir nukreipta kryptimi, priešinga poslinkiui (23 pav.) r
r
F = −cr ; r
čia r – atstumas nuo taško M iki taško statinės pusiausvyros pad ėties, t. y. tokio taško, kuriame tamprumo j ėga lygi nuliui; c – tamprumo koeficientas (konstanta).
z
M 1 r
r
r 1
M ( x, y, z )
r
r
F r
r 2
O
M 2 y
x 23 pav. Tamprumo jėgos darbo skaičiavimo schema
41
Pasirinkę atskaitos sistemos pradži ą taško statinės pusiausvyros pad ėtyje, turėsime: F x = −cx,
F y = −cy,
F z = −cz.
Taikydami (46) formul ę , randame tamprumo j ėgos atliktą darbą atkarpoje M 1 M 2 : A =
M 2
M 2
M 2
1
1
1
∫ M (F x dx + F y dy + F z dz ) = −c M ∫ ( xdx + ydy + zdz ) = −c M ∫ rdr ;
čia xdx + ydy + zdz = rdr , nes r 2 = x 2 + y 2 + z 2 . Atlikę integravimą gauname formulę , kurią taikome tamprumo j ėgos atliktam darbui skai čiuoti: c A = − (r 22 − r 12 ). 2
Jeigu pradiniu momentu taškas M yra toliau nuo statin ės pusiausvyros pad ėties, negu antruoju laiko momentu (t. y. r 1 > r 2 ), tai tamprumo jėgos darbas bus teigiamas. tei giamas. Jeigu pradinė taško M padėtis sutampa su taško statin ės pusiausvyros pad ėtimi O, gauname, kad r 1 = 0 , o tamprumo jėgos atlikto darbo išraiška bus tokia: c A = − ⋅ r 2 . 2
(48 a)
Atstumas r – trumpiausias atstumas tarp taško M ir taško statin ės pusiausvyros pad ėties. Pažym ėsime jį dydžiu λ ir vadinsime deformacija. Tuomet tamprumo j ėgos darbas, jeigu jis skai čiuojamas atkarpoje nuo statin ės taško pad ėties esant poslinkiui, visada bus neigiamas ir lygus pusei tamprumo koeficiento, padauginto iš deformacijos kvadrato. c A = − ⋅ λ2 . 2
(48 b)
Galima padaryti išvad ą , kad tamprumo j ėgos darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos ir lygus nuliui, kai jud ė jimo trajektorija yra uždara. J ėgos darbas esant k ūno slenkamajam jud ė jimui Tarkime, kūnas slenka. Atsižvelgiant į standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo savybes, r visi kūno taškai turi vienodus pagal dyd į ir kryptį greičius. Todėl, jeigu j ėga F veikia kūną taške M k (24 pav.), tai j ėgos elementarusis darbas gali b ūti rastas pagal bet kuri ą jau žinomą r
r
r
darbo apskai čiavimo formulę . Pavyzdžiui, pagal (39) gausime dA = F ⋅ d r k ; čia r k – bet kurio standžiojo kūno taško M k padėties vektorius.
42
r
vK
z
M K
d r K r
r K
vC
r
d r C
C
r
O
r
r
r
F
r C y
x r
24 pav. Jėgos F darbas esant kūno slenkamajam judė jimui r
Visą kelio atkarpoje nuo pad ėties M 1 iki padėties M 2 jėgos F atliktą darbą gausime susumavę visus elementariuosius darbus visose k ūno elementariose atkarpose, t. y. M 2
r
r
A = ∫ F ⋅ d r k . M 1
Esant kūno slenkamajam jud ė jimui poliumi gali būti laikomas bet kuris k ūno taškas, pavyzdžiui, mas ės centras. Tuomet esant k ūno slenkamajam jud ė jimui elementarusis jėgos darbas gali būti apskaičiuotas pagal formul ę : r
r
dA = F ⋅ d r c .
(49) r
Atkarpoje nuo taško M 1 iki taško M 2 jėgos F atliktas darbas gali b ūti apskaičiuotas pagal formulę : M 2
r
r
A = ∫ F ⋅ d r c .
(50)
M 1
J ėgos darbas esant sukamajam apie nejudam ą ją aš į k ūno jud ė jimui r r r Tarkime, veikiant j ėgų sistemai F 1 , F 2 , ..., F n , standusis k ūnas (25 pav.) sukasi apie r
nejudamą ją ašį Oz kampiniu grei čiu ω . Vieną bet kokią šios jėgų sistemos j ėgą F k r išskaidysime į dedamą sias sias jėgas pagal nat ūralių jų ašių kryptis. Tangentin ę dedamą ją F r nukreipiame pagal liestin ę trajektorijai kampinio grei čio kryptimi, normalin ę dedamą ją F n – τ
r
r
normalinės ašies kryptimi į trajektorijos centrą , binormalinę dedamą ją F b – statmenai F ir r F n . τ
43
z b
r
F K
r
F b
ω
n r
M K
F r O n dS d ϕ r d r r F τ
r
v
τ
r
25 pav. Jėgos F darbas esant sukamajam apie nejudamą ją ašį kūno judė jimui r
Pagal Varinjono teorem ą atstojamosios j ėgos F k momentas Oz ašies atžvilgiu lygus r r r r r dedamų jų jėgų F , F n , F b moment ų sumai tos pačios ašies atžvilgiu. Ta čiau jėgos F n ir F b momentų apie ašį Oz neturi. Be to, tarp ši ų jėgų ir taško M k elementaraus poslinkio dS yra r r o 90 kamp kampas as.. Tod Todėl jėgos F n ir F b esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą ją ašį Oz darbo neatliks. Matome, kad jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui jėgos r r F n ir F b nesuteikia kūnui sukamojo efekto, tai šios j ėgos ir darbo neatliks. Iš čia išplaukia išvada, kad esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudam ą ją ašį sukamą jį efektą r r kūnui suteikia tik j ėgos F k tangentinė dedamoji F , kurios atliktas elementarusis darbas skai čiuojamas pagal (37) formul ę , t. y. dA = F ⋅ ds. r ę į tai, kad poslinkio ds ribinė reikšmė lygi poslinkiui d r , nukreiptam grei čio Atsižvelgę į r kryptimi trajektorijos liestine, pertvarkome j ėgos F darbo išraišką taip: τ
τ
τ
τ
r
r
dA = F τ ⋅ ds = F τ ⋅ dr = F τ ⋅ r ⋅ d ϕ = M z (F τ ) ⋅ d ϕ = M z (F k )⋅ d ϕ. r
Gavome, kad j ėgos F k elementariojo darbo reikšm ė esant standžiojo k ūno sukamajam judė jimui lygi šios jėgos momento apie sukimosi aš į dydžiui, padaugintam iš elementariojo kūno posūkio kampo, t. y. r
dA = M z (F k ) ⋅ d ϕ.
Jeigu jėgos sukimo kryptis sutampa su k ūno posūkio kampo d ϕ kryptimi, tai jėgos atliktas darbas bus teigiamas, o jeigu skirting ų krypčių , tai atliktas darbas bus neigiamas. Skaičiuojant stand ų jį kūną veikiančios jėgų sistemos atlikt ą elementarų jį darbą esant kūno elementariam pos ūkiui apie nejudam ą ją ašį , reikia rasti kiekvienos j ėgos darbą esant šiam kūno judė jimui ir susumuoti surastus darbus. T ą patį gausime, jeigu susumuosime vis ų jėgų momentus apie sukimosi aš į ir padauginsime iš k ūno posūkio kampo d ϕ , nes turime: 44
n
n
r
r
dA = ∑ M z (F k ) ⋅ d ϕ = d ϕ ⋅ ∑ M z (F k ). k =1
k =1
Visų jėgų momentų suma apie sukimosi aš į lygi jėgų sistemos suminiam momentui apie šią ašį . Todėl galime teigti, kad esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudam ą ją ašį visų veikiančių jų jėgų elementarusis darbas lygus šios j ėgų sistemos suminiam momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš pos ūkio kampo d ϕ , t. y. dA = M z ⋅ d ϕ.
(51)
Jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą ją ašį posūkio kampas kinta nuo pradinės reikšmės ϕ1 iki galutinės reikšmės ϕ 2 , tai suminė jėgų darbų reikšmė bus tokio dydžio: ϕ2
A = ∫ M z d ϕ .
(52)
ϕ1
Kai visų išorinių jėgų suminis momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra pastovus, gauname: ϕ2
ϕ2
ϕ1
ϕ1
A = ∫ M z d ϕ = M z ∫ d ϕ = M z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ),
t. y. jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą ją ašį posūkio kampas kinta nuo pradinės reikšmės ϕ1 iki galutinės reikšmės ϕ 2 , tai galutinė jėgų darbų suma bus lygi šios jėgų sistemos suminiam momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš pos ūkio kampo pokyčio, t. y.: A = M z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ).
(53)
Standžiojo k ūno vidinių jėgų darbas Tarkime, veikiant j ėgų sistemai, standusis k ūnas juda erdv ė je. Pažymėsime bet kuri ų r r dviejų kūno taškų M 1 ir M 2 vidines jėgas F 1v ir F 2v (26 pav.). r
r
v2
d r 2 r
M 1
α2
F 2v
r
v 1
F
α1
r
d r 1
r
M 2
v1
26 pav. Standžiojo kūno vidinių jėgų atliktojo darbo skaičiavimo schema
45
Laikant, kad esant bet kokiam k ūno judė jimui, išskyrus slenkam ą jį , visų kūno taškų , tarp r r r r jų ir taškų M 1 ir M 2 , poslinkiai bus d r 1 ir d r 2 , t. y. jie jud ės greičiu v1 ir v 2 ir su atkarpa M 1 − M 2 sudarys α1 ir α 2 kampus. r r Pagal (39) formul ę užrašysime vidini ų jėgų F 1v ir F 2v elementarių jų darbų sumą esant šiems elementariems poslinkiams. Gausime: r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
dA1v + dA2v = F 1v ⋅ d r 1 + F 2v ⋅ d r 2 = F 1v ⋅ v1 dt + F 2v ⋅ v 2 dt = (F 1v ⋅ v1 + F 2v ⋅ v2 )dt . r
v 1
r
Įvertinę tai, kad standžiojo k ūno dviejų taškų vidinės jėgos yra lygios F = F 2v , ir atlikę matematinius pertvarkymus, galime užrašyti:
dA1v + dA2v = (F 1v v1 cos α 1 + F 2v v 2 cos(180 o − α ))dt = F 1v (v1 cos α 1 − v 2 cos α 2 )dt = 0.
Gavome, kad vidinių jėgų darbų suma esant bet kokiam k ūno poslinkiui lygi nuliui , nes standžiojo kūno dviejų taškų greičių projekcijos į tiesę , jungian čią šiuos taškus, yra lygios.
1.6.4. Galingumas Galingumu vadinsime jėgos darbą , atliktą per laiko vienet ą , t. y. N =
dA . dt
(54) r
r
ę į jėgos darbo išraišk ą (39), kad dA = F ⋅ d r , ir į raš ą į (54) formulę , Atsižvelgę į rašę šią išraišką į gauname galingumo išraišk ą : r r
dA F d r = , N = dt dt
arba
r
r
N = F ⋅ v ,
(55)
t. y. jėgos galingumas yra lygus veikian čiosios jėgos ir šios j ėgos pridėties taško grei čio r skaliarinei sandaugai. Kai veikian čiosios jėgos F kryptis sutampa su jud ė jimo kryptimi, r r kampas tarp j ėgos F ir greičio v yra lygus nuliui, t. y. α = 0 o , gausime toki ą galingumo išraišką : r r N = F ⋅ v = Fv cos 0 o , arba N = F ⋅ v. (56) Galime padaryti praktikai svarbi ą išvadą : tam, kad judanti transporto priemon ė, kurios galingumas yra žinomas, tur ėtų didesnę traukos jėgą , reikia suteikti jai mažesn į greitį . Taip
46
daroma šiuolaikinėse visureigiuose, kuri ų pavarų dėžės leidžia mažinti varan čių jų ratų apsisukimus. Taikydami (54) ir (51) formules, galime išreikšti galingum ą esant kūno sukamajam judė jimui, t. y. dA d ϕ N = = M z , dt dt arba N = M z ω, (57) t. y. esant k ūno sukamajam jud ė jimui galingumas lygus sukamojo momento ir k ūno kampinio greičio sandaugai. Iš (54) formulės išplaukia, kad galingumo dimensija yra džaulis per sekund ę . Galingumas matuojamas vatais, t. y. Nm J = 1 = 1[W ] . s s
1
Mechanizmo galingumas išreiškiamas ir arklio j ėga [a. j.]. Santykis tarp vienos arklio jėgos ir vato yra toks: 1 a. j. = 0,736 kW = 736 W.
1.6.5. Potencinės jėgos. Jėgų laukas. Potencinė energija Nagrinėdami jėgos darbą matėme, kad kai kuri ų jėgų darbas nepriklauso nuo nueito kelio ir judė jimo trajektorijos, bet priklauso tik nuo taško pradin ės ir galutin ės padėties. Tokios jėgos vadinamos potencinėmis ir yra svarbios į vairioms vairioms mechanikos ir fizikos sritims. Erdv ės dalis, kurios kiekviename taške veikia j ėga, priklausanti nuo taško koordina čių , vadinama jėgų lauku. Jėgų laukas vadinamas stacionariuoju, jei nusakan čios jį fizinės są lygos lygos yra vis ą laiką tos pačios. Stacionarus j ėgos laukas vadinamas potenciniu, jei egzistuoja tokia lauko taškų koordinačių jėgos funkcija U ( x, y, z ) , kurios išvestin ė bet kurios krypties atžvilgiu duoda tos krypties dedam ą ją jėgą : F x =
∂U , ∂ x
F y =
∂U , ∂ y
F z =
∂U . ∂ z
(58)
Jėgos funkcija pasižymi šiomis savyb ėmis: 1. Skaičiuojant jėgos elementar ų jį darbą pagal (41) formul ę , galima užrašyti: r
r
dA = F ⋅ d s = F x dx + F y dy + F z dz ,
(59)
iš čia, į vertin vertinę (58), gauname: dA =
∂U ∂U ∂U dx + dy + dz , ∂ x ∂ y ∂ z
(60)
arba dA = dU ( x, y, z ) .
47
(61)
Darome išvad ą , kad jėgos elementarusis darbas potenciniame j ėgų lauke yra lygus j ėgos funkcijos pilnajam diferencialui. diferencialui. 2. Skaičiuodami atkarpoje nuo pradines pad ėties M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) iki padėties M ( x, y, z ) jėgos atliktą pilnutinį darbą , gausime: M
M
M 0
M 0
A M 0 M = ∫ dA = ∫ dU = U ( x, y, z ) − U ( x0 , y 0 , z )0 ,
arba A = U −U 0 .
(62)
Galima padaryti išvad ą , kad, taškui pereinant iš vienos pad ėties į kitą , pilnutinis jėgos darbas yra lygus j ėgų funkcijų skirtumui šiuose taškuose ir nepriklauso nuo taško jud ė jimo trajektorijos. Taip pat galime pažym ėti, kad jėgos darbas potenciniame j ėgos lauke uždaroje atkarpoje taškai turi vienodas jėgos funkcijos reikšmes. lygus nuliui , nes jud ė jimo pradinis ir galinis taškai Nagrinė jant potencini ų jėgų lauką , kartais tenka nustatyti dar vien ą jėgų lauko funkcij ą – potencinę energiją V , kuri apibūdina lauko taškuose sukauptas energijos atsargas . Materialiojo taško potencin ė energija yra lygi darbui, kur į atlieka lauko j ėgos, perkeldamos material ų jį tašką iš padėties M į pradinę padėtį M 0 , t. y. V = A MM 0 = − A M 0 M , arba, kitaip tariant, potencin ė energija lygi jėgos funkcijos pokyčiui: V = U 0 − U .
(63)
Laikant, kad potencin ės energijos V ( x, y, z ) ir jėgų funkcijos U ( x, y, z ) nuliniai taškai sutampa, arba pasirinkus pradin ę padėtį , kurios U 0 = 0 , gaunama: V = −U ,
(64)
t. y. bet kuriame j ėgų lauko taške potencin ė energija lygi j ėgų lauko reikšmei tame pa čiame taške su priešingu ženklu arba potencin ės jėgos darbui su priešingu ženklu. Remdamiesi priklausomybe (64), gauname: F x =
∂U ∂V =− , ∂ x ∂ x
F y =
∂U ∂V =− , ∂ y ∂ y
F z =
∂U ∂V =− , ∂ z ∂ z
48
(65)
arba jėgos projekcijos į koordinačių ašis potenciniame j ėgų lauke lygios paimtosioms su priešingu ženklu potencin ės energijos dalin ėms išvestinėms pagal atitinkamas koordinates. Istoriškai potencin ės energijos s ą voka voka buvo pavartota anks čiau negu j ėgų funkcija. Atliekant kai kuriuos skai čiavimus patogiau taikyti j ėgų funkciją , kadangi formul ės, į kurias į eina eina ši funkcija, neturi minuso ženklo. Apskai čiavę jėgų funkciją , remdamiesi (64) lygybe, sužinosime ir potencin ę energiją . Izotropinio sunkio lauko jėgų funkcijos skai čiavimas Kai koordinačių ašis Oz (27 pav.) nukreipta į viršų , sunkio projekcijos į ašis bus tokios: F x = 0 ,
F y = 0 ,
F z = −mg .
Taikydami (41) ir (59) formules, apskai čiuojame sunkio elementar ų jį darbą : dA = F x dx + F y dy + F z dz = −mg ⋅ dz.
z
z = C
M ( x, y, z ) r
F M ( x1 , y1 , z1 ) z = C 1 O x
r
F
y
27 pav. Sunkio lauko jėgų funkcijos skaičiavimo schema
Kadangi pagal (61) dU = dA , gauname dU = −mg ⋅ dz , todėl U = ∫ dU = −mg ∫ dz . Taigi izotropinio sunkio lauko j ėgų funkcija: U = −mgz + C .
(66)
Šio lauko sunkis yra pastovios krypties ir didumo (modulio). Lauko lygio lygtis U = C arba z = const rodo, kad lygio paviršiai yra horizontaliosios plokštumos. Tamprumo j ėgos jėgų funkcijos skai čiavimas r r Nagrinėsime tiesinę tamprumo jėgą (28 pav.), kuri atitinka Huko d ėsnį , t. y. F = −cr ; čia r r r – atstumas nuo taško iki statin ės pusiausvyros pad ėties, kurioje F = 0 ; c – pastovusis koeficientas – standumo koeficientas.
49
z
M ( x, y, z ) r
r
r
F
O y x 28 pav. Tamprumo jėgos jėgų funkcijos skaičiavimo schema
Jėgos projekcijos: F x = −cx, F y = −cy, F z = −cz. Elementarusis j ėgos darbas: dA = F x dx + F y dy + F z dz = −c( xdx + ydy + zdz ) = −crdr .
Kadangi x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , gauname xdx + ydy + zdz = rdr . Todėl, atlikę nesud ėtingus veiksmus, turėsime elementar ų jį jėgos darbą : cr 2 . dA = d − 2
Jėgos funkciją apskaičiuojame iš formul ės: cr 2 + C , U = ∫ dU + C = ∫ d − 2
todėl gausime tamprumo j ėgos jėgų funkcijos reikšmes: cr 2 U = − + C . 2
Iš čia išplaukia, kad lygio paviršiai U = C yra spindulių r = const sferos.
50
(67)
2.
DINAMIKOS UŽDAVINI Ų APIBRĖŽIMAI IR SPRENDIMAI
Taikant materialiojo taško pagrindin į dinamikos dėsnį (1), galima išvesti šio taško diferencialines jud ė jimo lygtis, kurias taikant ir sprendžiami materialiojo taško dinamikos uždaviniai. Jeigu nagrin ė jamas objektas yra yra laisvasis materialusis taškas, taškas, kuris neturi jud ė jimo apribojimo ir gali jud ėti bet kokia kryptimi, tai dinamikos uždaviniams spr ę sti sti galima taikyti pagrindinį dinamikos dėsnį (1). Jeigu laisv ą jį materialų jį tašką veikia kelios išorin ės j ėgos, tai dinamikos uždaviniui spr ę sti sti galima taikyti diferencialines jud ė jimo lygtis ir ketvirtą ją dinamikos aksiom ą (4). Jeigu nagrin ė jamas judantis objektas yra nelaisvasis materialusis taškas, tai pagal statikos ryši ų atlaisvinimo aksiom ą nelaisvą jį kūną bus galima laikyti laisvuoju, jeigu nutrauksime esamus ryšius ir vietoj j ų pridėsime atitinkamas ryši ų reakcijų jėgas. Taigi laisvojo ir nelaisvojo materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys skirsis tik tuo, kad nelaisvojo materialiojo taško diferencialin ėse judė jimo lygtyse, be veikian čių jų išorinių jėgų , bus į vertintos vertintos ir ryši ų reakcijų jėgos. Materialiojo taško diferencialin ėms lygtims išvesti nedarysime skirtumo tarp laisvojo ir nelaisvojo tašk ų , bet į vertinsime vertinsime visas veikian čią sias sias jėgas kaip išorines j ėgas (žinomas), taip pat ir ryši ų reakcijų jėgas (nežinomas).
2.1. Materialiojo taško diferencialinės judė jimo lygtys r
Nagrinė jamas masės m materialusis taškas juda su pagrei čiu a dėl išorinių jėgų r r r F 1 , F 2 , ..., F n poveikio (29 pav.). r
z
F 1 r F 2
r
v
τ
r
N
r
r O
b
m
r
F n
n
y x 29 pav. Materialiojo taško judė jimas erdvė je
Taikant ketvirtą ją dinamikos aksiom ą (4), šiam taškui galima užrašyti pagrindin į dinamikos dėsnį : n
r
r
ma = ∑ F i .
(68)
i =1
Dešiniojoje šios priklausomyb ės pusė je yra visos veikiančiosios jėgos – tiek žinomos (aktyviosios), tiek nežinomos (ryši ų reakcijos), nes nelaisvajam materialiajam taškui taikome 51
statikos ryši ų atlaisvinimo princip ą ir pridedame nežinomas ryši ų reakcijų jėgas, tuomet nelaisvasis taškas tampa laisvuoju. Suprojektuosime (68) priklausomyb ę Dekarto koordinačių ašių sistemoje. Gauname: n ma x = ∑ F ix , i =1 n ma y = ∑ F iy , i =1 ma = n F . iz z ∑ i =1
Kinematikoje turė jome, kad taško pagrei pagrei čio projekcija į bet kurią Dekarto koordinačių ašį lygi antrajai išvestinei nuo atitinkamo jud ė jimo dėsnio, t. y. d 2 x a x = 2 , dt
d 2 y a y = 2 , dt
d 2 z a z = 2 . dt
Todėl d 2 x n m 2 = ∑ F ix , i =1 dt 2 d y n m 2 = ∑ F iy , i =1 dt 2 d z n m dt 2 = ∑ F iz . i =1
(69)
Šios lygtys yra materialiojo taško diferencialin ės jud ė jimo lygtys, užrašytos projekcij ų Dekarto koordinačių ašių sistemoje pavidalu. Jeigu (68) išraišką suprojektuosime nat ūralių jų ašių sistemoje, turėsime: n ma n = ∑ F in , i =1 n ma τ = ∑ F iτ , i =1 n ma = F . ib b ∑ i =1
Taip pat iš kinematikos kurso žinome, kad pagrei čio projekcijos į natūralią sias sias ašis bus: an =
v2 ρ
,
Įvertinę pagreičių projekcijas, tur ėsime:
52
d 2 s aτ = 2 , dt
a b = 0.
n v2 m ρ = ∑ F in , i =1 2 d s n m 2 = ∑ F iτ , dt n i =1 0 = F . ∑ ib i =1
(70)
Šios lygtys yra materialiojo taško diferencialin ės jud ė jimo lygtys, užrašytos projekcij ų į natūralią sias sias koordina čių ašis pavidalu. Sprendžiant dinamikos uždavinius kartais patogiau projektuoti materialiojo taško pagrindinį dinamikos dėsnį (68) į kitos atskaitos sistemos koordina čių ašis. Tokiu atveju reikia žinoti pagrei čių projekcijas į šitas ašis. Tada ir diferencialines jud ė jimo lygtis l ygtis turėsime kaip projekcijas į atitinkamos koordina čių sistemos ašis.
2.1.1. Pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai Taikant diferencialines lygtis sprendžiami du pagrindiniai dinamikos uždaviniai. Pirmasis dinamikos uždavinys : žinant materialiojo taško masę m ir jud ė jimo d ėsnį , , reikia rasti tašk ą veikianč ią jėgą. Tarkime, žinomi mas ės m taško judė jimo dėsniai Dekarto koordina čių ašių atžvilgiu x = f 1 (t ), y = f 2 (t ), z = f 3 (t ) . Taikome diferencialines jud ė jimo lygtys. Veikiančiosios jėgos
projekcijas į koordinačių ašis galima rasti padauginus materialiojo taško mas ę iš antrosios koordinačių išvestinės pagal laik ą , t. y. d 2 x F x = m 2 , dt d 2 y F y = m 2 , dt 2 F = m d z . z dt 2
Toliau pagal j ėgos projekcijas galime rasti j ėgos modulį : F = F x2 + F y2 + F z2
ir jėgos kryptį erdvė je: cos α =
F x , F
cos β =
53
F y , F
cos λ =
F z . F
Antrasis dinamikos uždavinys uždavinys: žinant materialiojo taško masę m ir tašk ą veikianč ias ias jėgas, reikia nustatyti taško jud ė jimo d ėsnį. Sprendžiant antr ą jį dinamikos uždavin į į kairią sias sias lygčių (69) arba (70) puses reikia į rašyti rašyti taško mas ę m, o į dešinią sias sias – vis ų veikiančių jų jėgų projekcijų sumą . Ieškomą judė jimo dėsnį gausime suintegrav ę šias lygtis du kartus. Akivaizdu, kad šis uždavinys turi didesn ę praktinę reikšmę ir yra gerokai sud ėtingesnis už pirmą jį dinamikos uždavin į . Atsižvelgiant į tai, kad bendruoju atveju material ų jį tašką veikiančios jėgos gali priklausyti nuo laiko, pad ėties arba grei čio, privalu į vertinti vertinti tai, kad ši ų jėgų atstojamoji jėga r F taip pat priklausys nuo laiko, koordina čių ir greičio projekcijų , t. y. r
r
F = F (t , x, y, z , v x , v y , v z ).
Uždaviniui spr ę sti sti taikome diferencialines jud ė jimo lygtis, išreikštas projekcijomis į Dekarto koordinačių ašis (69). Tod ėl nagrinė jamo materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys bus tokios: d 2 x m 2 = F x (t , x, y, z , v x , v y , v z ), dt 2 d y m 2 = F y (t , x, y , z , v x , v y , v z ), dt 2 m d z = F (t , x, y, z , v , v , v ). z x y z dt 2
(71)
Siekiant nustatyti, kaip juda materialusis taškas, arba, kitaip tariant, norint rasti taško judė jimo lygtis, reikia du kartus kartus integruoti šias diferencialines diferencialines jud ė jimo lygtis. Po lygčių (71) pirmojo integravimo gausime taško grei čio projekcijų reikšmes su trimis integravimo konstantomis: v x = ϕ1 (t , C 1 , C 2 , C 3 ), v y = ϕ 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 ), v = ϕ (t , C , C , C ). 3 1 2 3 z
(72)
Po antrojo integravimo gauname taško koordina čių kitimo dėsnius su šešiomis integravimo konstantomis: x = f 1 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ), y = f 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ), z = f (t , C , C , C , C , C , C ) . 3 1 2 3 4 5 6
54
(73)
Integravimo konstantas galime rasti pagal pradines jud ė jimo s ą lygas, lygas, t. y. pagal žinomus taško greit į ir padėtį , pavyzdžiui, pradiniu laiko momentu. Jeigu žinome, kad pradiniu laiko momentu, kai t = t 0 , taškas yra pad ėtyje, kurios koordinatės x = x 0 , y = y 0 ir z = z 0 , ir turi pradinį greitį , kurio projekcijos v x = v0 x , v y = v 0 y ir v z = v 0 z , tai, į raš rašę šias reikšmes į greičių (72) ir koordinačių (73) bendruosius sprendimus, rasime visas integravimo konstantas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 . Įvertinę konstantų reikšmes, gausime tokio pavidalo materialiojo taško jud ė jimo lygtis: x = f 1 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v0 z ), y = f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v 0 z ), z = f (t , x , y , z , v , v , v ). 3 0 0 0 0 x 0 y 0 z
(74)
Matome, kad kai material ų jį tašką veikia ta pati išorin ė jėga, taško jud ė jimas priklausys nuo pradinių są lyg lygų . Pavyzdžiui, materialusis taškas d ėl sunkio poveikio gali: a) judėti vertikaliai žemyn, jeigu buvo paleistas laisvai kristi; b) judėti pradiniu momentu į viršų , jeigu jam buvo suteiktas vertikalios krypties greitis; c) judėti tam tikra trajektorija, jei taškas į gijo gijo greitį kampu su horizontu. Nagrinėsime materialiojo taško jud ė jimą , kai tašk ą veikia: 1) nekintama nuolatin ė jėga; 2) jėga, priklausanti nuo laiko; 3) jėga, priklausanti nuo jud ė jimo greičio; 4) jėga, priklausanti nuo taško pad ėties. Tarkime, materialų jį tašką veikia pastovi j ėga, pavyzdžiui, sunkis. Tegul pradiniu momentu padėtyje A (30 pav.) esantis nejudantis taškas yra paleidžiamas jud ėti vertikaliai žemyn nesuteikiant jam pradinio grei čio. Rasime šio taško jud ė jimo nepaisant oro pasipriešinimo dėsnį . Koordinačių ašį nukreipiame jud ė jimo kryptimi (30 pav.).
A r
y
G
H r
G B y
30 pav. Taško judė jimas dėl sunkio poveikio
55
Užrašysime taško jud ė jimo diferencialinę lygtį : d 2 x m 2 = G, dt
arba d 2 x m 2 = mg , dt
nes materialiojo taško sunkis G = mg. Užrašysime jud ė jimo pradines są lygas. lygas. Pradiniu laiko momentu t 0 = 0, y 0 = 0 ir pradinis greitis v0 = 0. Pertvarkę judė jimo diferencialinę lygtį , gauname: m
dv = mg. dt
Atskyrę kintamuosius, tur ėsime: dv = gdt .
Integruodami gaut ą ją lygtį esant atitinkamoms riboms, kurias nustato jud ė jimo pradinės są lygos, lygos, gausime: v
t
0=
0=
dv = ∫ gdt , ∫ v 0 t 0
arba greičio bendrą ją išraišką : v = gt . Įvertinę tai, kad greitis yra pirmoji kelio išvestin ė pagal laiką , lygtį galime užrašyti taip:
dy = gt . dt
Atskyrę kintamuosius, tur ėsime: dy = gtdt .
Suintegravę gausime: y
t
0=
0=
dy = ∫ gtdt . ∫ y 0 t 0
56
Galiausiai gausime tok į materialiojo taško jud ė jimo dėsnį : t 2 y = g . 2
Materialiojo taško laisvojo kritimo d ėsnius pirmasis suformulavo Galil ė jus: 1) laisvai krintančio kūno greitis proporcingas kritimo laikui; 2) krintančio kūno atstumai proporcingi laiko kvadratui. Jeigu norime rasti materialiojo taško kritimo iš aukš čio H laiką , galime taikyti išvest ą ją gt H 2 koordinatės y formulę , t. y. H = . Iš jos randame kritimo laik ą t H = 2 H g . 2 Nagrinėsime atveji, kai materialusis taškas metamas vertikaliai į viršų jam suteikiant pradinį greitį v 0 (31 pav.). Nustatysime taško jud ė jimą nepaisant oro pasipriešinimo. y B vr r
H
G
y
r
A
v0
31 pav. Taško judė jimas vertikaliai į viršų
Iš pradžių apibrėšime judė jimo pradines są lygas: lygas: kai t 0 = 0, tai y 0 = 0 ir v 0 y = v 0 . Užrašome taško jud ė jimo diferencialinę lygtį : d 2 x m 2 = −G, dt
arba m
dv = − mg. dt
Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv = − gdt , v
t
0 y = 0
0=
dv = ∫ (− g )dt , ∫ v v t 0 v − v0 = − gt .
57
Po pirmojo integravimo gauname taško jud ė jimo greičio pokyčio bendrą ją išraišką : v = v 0 − gt . Įvertinę tai, kad greitis yra pirmoji jud ė jimo dėsnio išvestin ė, t. y. v =
užrašyti:
dy = v − gt . Atskyrę kintamuosius gauname: dy = v0 dt − gtdt . Suintegravę , dt 0 y
turėsime:
dy , galime dt
t
t
dy = ∫ v0 dt − ∫ gtdt . ∫ y 0 t 0 t 0 0=
0=
Po antrojo integravimo gauname materialiojo taško
0=
judė jimo dėsnį : t 2 y = v 0 t − g . 2 H pakils Naudodami gautas lygtis, galime rasti, pavyzdžiui, per kok į laiką ir į kokį aukštį H taškas. Padėtis B (31 pav.) ypatinga tuo, kad judantis taškas tur ės greitį v = 0. Įrašę greičio reikšmę v = 0 į bendrą ją greičio pokyčio formulę , gauname taško jud ė jimo laiką : t = v0 g . v02 Įrašę šią laiko reikšmę į ę į judė jimo dėsnio išraišką , gauname taško pakilimo aukšt į : H = . 2g Įdomesnis, tačiau sudėtingesnis sprendimo poži ūriu uždavinys b ūna, kai materialusis taškas, mestas pradiniu grei čiu v0 tam tikru kampu su horizontu, juda veikiant tik sunkiui
(32 pav.). Parinksime Dekarto koordina čių ašis taško jud ė jimo pradžioje ir parodysime taško r pradinio greičio vektoriaus v 0 kryptį koordinačių ašių atžvilgiu.
z r
v A r
r
v0 O
r
v
α0
H
G
r
G
B L
x
y
32 pav. Taško judė jimas vertikalią ja plokštuma
Judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai x0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0 ir v0 x = 0, v 0 y = v 0 cos α 0 , v0 z = v0 sin α 0 . Judė jimas vyksta erdvė je, todėl pagal (69) užrašysime tris taško judė jimo diferencialines lygtis: lygtis:
58
d 2 x n m 2 = ∑ F ix , i =1 dt 2 d y n m 2 = ∑ F iy , i =1 dt 2 d z n m dt 2 = ∑ F iz . i =1
Pakeitę pagrei čių projekcijas ir į raš rašę veikiančių jų jėgų projekcijų reikšmes, turėsime:
dv x m = 0, dt dv y m = 0, dt m dv z = −mg . dt lygas, po pirmojo integravimo gausime grei čių Įvertinę taško judė jimo pradines są lygas, bendrą sias sias išraiškas: v x = 0, v y = v0 cos α 0 , v z = v 0 sin α 0 − gt . Po antrojo judė jimo dėsnių integravimo turėsime materialiojo taško jud ė jimo lygtis: x = 0, y = v 0 cos α 0 ⋅ t , 2 z = v 0 sin α 0 ⋅ t − g t . 2
Analizuodami grei čių ir judė jimo d ėsnių formules darome išvad ą , kad mestas kampu α 0 su horizontu materialusis taškas jud ės vertikaliojoje plokštumoje, ašies Ox atžvilgiu jis nejudės. Iš judė jimo lygčių nesunkiai gauname, kad taškas jud ės parabole: z = y ⋅ tg α 0 −
g y 2 . 2 2 2v 0 cos α 0
Turėdami materialiojo taško grei čio ir judė jimo dėsnio bendrą sias sias išraiškas, galime rasti H (32 pav.). Pad ėtyje A taško greitis yra nukreiptas maksimalų taško judė jimo pakilimo aukštį H pagal liestinę trajektorijai, arba statmenai ašiai Oz. Tuomet iš s ą lygos lygos v z = 0 gauname, kad 59
v0 sin α 0 . Įrašę šią laiko reikšmę į g v 02 sin 2 α 0 koordinatės z išraišką , nesunkiai gauname pakilimo aukšt į H = . Matome, kad 2g judė jimo trajektorijos aukštis priklauso nuo pradinio grei čio krypties, t. y. nuo kampo α 0 . v02 o o Maksimalus aukštis bus kai α 0 = 90 ( sin 90 = 1 ), kurio reikšm ė H = , kas atitinka jau 2g nagrinėtą jį taško judė jimo atvejį , kai taškas juda į viršų pradiniu greičiu v 0 .
taško judė jimo pakilimo iki padėties A laikas bus t =
Norint rasti, kaip toli jud ės šis taškas horizontalia kryptimi, reikia žinoti jud ė jimo laiką , kurį galima būtų į rašyti rašyti į koordinatės y bendr ą ją išraišką . Iš judė jimo schemos (32 pav.) matome, kad trajektorijos galinio taško B koordinatė z = 0. Tuomet turėsime t 2 t v 0 sin α ⋅ t − g = 0, arba t v 0 sin α − g = 0 ; iš čia gauname dvi laiko reikšm ės: t 1 = 0, 2 2 2v kas atitinka taško jud ė jimo pradinę padėtį ( z = 0 ), ir t 2 = 0 sin α. g Ši laiko reikšmė ir yra taško jud ė jimo laikas. Įrašę šį laiką į koordinatės y formulę , L. gauname taško jud ė jimo horizontalia kryptimi atstumą L 2v0 sin α v 02 L = y = v 0 cos α = sin 2α. g g Maksimalus taško jud ė jimo nuotolis bus, kai sin 2α = 1. Iš čia gauname, kad 2α = 90 o. Galime padaryti išvad ą , kad maksimal ų atstumą horizontalia kryptimi taškas tur ės, kai v02 o bus mestas kampu α = 45 su horizontu, ir šis atstumas Lmax = . g Jud ė jimo atvejis, kai materialų jį tašk ą veikia jėga, priklausanti nuo laiko Tarkime, horizontaliai judant į materialų jį masės m tašką (33 pav.) veikia horizontali j ėga, kurios reikšmė didė ja proporcingai laikui, pavyzdžiui, pavyzdžiui, pagal pagal d ėsnį F = kt . Tegul pradiniu laiko momentu taškas yra rimties b ūsenos. Nustatysime šio taško jud ė jimo dėsnį .
r
v O
r
F
x
33 pav. Taško judė jimas horizontalia plokštuma
60
x
Parinkę atskaitos sistemos pradži ą taško pradinė je padėtyje O ir taško judė jimo kryptimi nukreipę koordinačių ašį Ox, užrašysime taško jud ė jimo pradines s ą lygas: lygas: kai t 0 = 0, x0 = 0, v 0 = 0. Užrašysime taško diferencialin ę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F . dt
Pertvarkę pagreičio išraišką ir į raš rašę jėgos reikšmę , gausime: m
dv x = kt . dt
Todėl galima užrašyti: dv x =
k tdt . m
Po pirmojo diferencialin ės lygties integravimo, į vertin vertinę judė jimo pradines są lygas, lygas, nesunkiai gauname grei čio bendrą ją išraišką : v x =
k 2 t . 2m
Po antrojo diferencialin ės lygties integravimo gauname ieškom ą materialiojo taško judė jimo dėsnį : x =
k 3 t . 6m
Matyti, kad ieškodami taško greit į arba judė jimo lygtį ir integruodami diferencialin ę judė jimo lygtį turime į vertinti vertinti jėgos matematinę išraišką . Atvejis, kai veikianč ioji ioji jėga priklauso nuo grei č io io Tuo atveju, kai k ūnas juda materialiojoje aplinkoje, j į veikia šios aplinkos pasipriešinimo jėga, kuri priklauso nuo k ūno judė jimo grei čio. Kai judė jimo greitis nedidelis, pasipriešinimo jėga proporcinga šiam grei čiui, t. y. R = kv. Pavyzdžiui, judant į automobilį veikia oro pasipriešinimo j ėga. Kai greitis didelis, pasipriešinimo j ėga proporcinga grei čio kvadratui, t. y. R = kv 2 . Pavyzdžiui, judant į greitaeigį laivą arba skrendant į lėktuvą veikia vandens arba oro pasipriešinimo j ėgos. Kai k ūno greitis labai didelis, pasipriešinimo j ėga proporcinga greičio kubui, t. y. R = kv 3 . Pavyzdžiui, gr į žtantis žtantis į Žemę kosminis laivas patiria oro pasipriešinimo jėgą , kuri esant dideliam grei čiui pasiekia labai dideles reikšmes.
61
Pasipriešinimo jėgos atvejis Tegul masės m laivas juda grei čiu v 0 . Variklius išjungus laiv ą veikia vandens pasipriešinimo j ėga, kuri proporcinga laivo jud ė jimo greičio kvadratui ir lygi R = µmv 2 ; čia µ – vandens pasipriešinimo koeficientas; m – laivo mas ė. Nustatysime, per kiek laiko laivo greitis sumažės iki v ir kokį atstumą jis nuplauks. Parinksime atskaitos sistemos pradži ą taške O, kur laivo greitis lygus v 0 , ir nukreipsime
koordinačių ašį laivo judė jimo kryptimi (34 pav.).
r
O
R
A
x L 34 pav. Laivo judė jimas
Laivo judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai x0 = 0 ir v0 x = v0 . Užrašysime laivo diferencialinę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = − R, dt ą į rašysime kurioje pertvarkysime pagreit į atitinkančią dalį ir į kurią į rašysime j ėgos reikšmę :
m
dv x = −µmv 2 . dt
Tarkime, grei čio projekcija v x = v, nes laivo greitis į ašį Ox projektuojamas visu dydžiu. Atskyrę kintamuosius gausime: dv = −µdt . v2
Vertindami judė jimo pradines są lygas lygas galime užrašyti: v
t dv ∫v v 2 = −µt ∫=0dt . 0 0
Integruodami gausime: 1 1 − = µt . v v0
62
Gavome matematin ę išraišką , kurioje laivo greitis v yra išreikštas netiesiogiai. Pertvark ę lygtį nesunkiai gausime grei čio priklausomybę nuo laiko: v0 . v0 µt + 1
v=
Žinodami, kad greitis yra pirmoji kelio išvestin ė, t. y. v =
dx , turėsime: dt
v0 dx = . dt v 0 µt + 1
Atskyrę kintamuosius galime užrašyti: dx =
v0 dt . v 0 µt + 1
Integruodami abi lygties puses, į vertin vertinę pradines są lygas, lygas, nesunkiai gausime laivo judė jimo dėsnio bendrą ją išraišką : 1 x = ln (v 0 µt + 1) . µ
Turėdami laivo grei čio ir judė jimo dėsnio bendrą sias sias priklausomybes nuo laiko, galime sprę sti sti ir pateiktą jį uždavinį : – rasti laiką , per kurį laivas pasieks greit į v; – rasti atstumą , kurį nuplauks laivas per š į laiko tarpą . Iš greičio bendrosios formul ės gausime jud ė jimo laiko reikšmę : t =
1 (v 0 − v ) . µvv 0
Įrašę laiką į kelio išraišką ir atlikę matematinius pertvarkymus, tur ėsime ieškomą kelio ruožą :
1 v L = x = ln 0 . µ v Jeigu pasipriešinimo j ėga bus priklausoma nuo grei čio aukštesniuoju laipsniu, diferencialinėms lygtims integruoti reik ės taikyti kitas integralines priklausomybes, aprašytas specialiojoje matematin ė je literatūroje. 63
Taško jud ė jimo atvejis, kai jį veikianti jėga priklauso nuo pad ėties Tarkime, materialusis taškas, mestas pradiniu grei čiu v0 nuo Žemės paviršiaus vertikaliai į viršų , juda veikiant Žem ės traukos j ėgai, kuri yra atvirkš čiai proporcinga atstumo iki Žem ės centro kvadratui (35 pav.). Rasime šio taško jud ė jimą , nukreipdami koordina čių ašį nuo Žemes centro taško jud ė jimo kryptimi.
y B vr r
ymax y
F
h
r
A
v0
O R 35 pav. Taško judė jimas vertikaliai į viršų nuo Žemės paviršiaus
Taško judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai v y = v0 ir y 0 = R ; čia R – Žemės spindulys. Užrašome taško jud ė jimo diferencialinę lygtį : d 2 y m 2 = − F , dt
arba m
dv y k =− 2, dt y
k ; čia k – proporcingumo koeficientas, kur į galima rasti pagal žinom ą y 2 jėgą , veikiančią tašką žinomoje vietoje. M ūsų atveju, kai taškas yra Žem ės paviršiuje, jo padėtis y = R, o traukos j ėga lygi šio taško sunkiui, t. y. F = mg. Įrašę visas reikšmes į jėgos k bendrą ją išraišką , turėsime mg = 2 ; iš čia proporcingumo koeficientas bus lygus R 2 k = mgR . Taigi judant į materialų jį tašką veikianti traukos j ėga bus lygi:
nes traukos j ėga F =
mgR 2 F = , y 2
o diferencialinė judė jimo lygtis bus tokia: 64
dv y mgR 2 . m =− 2 dt y
Sudauginę abi lygties puses iš dy, gausime: dv y mgR 2 m dy = − 2 dy. dt y
Toliau galime užrašyti: v y dv y = − gR 2
dy . y 2
Integravę iki atitinkamų ribų , turėsime: v y
∫ v y dy = − gR
v0
y
2
dy ∫ R y 2 .
Galiausiai gausime: v y2 v 02 1 1 − = gR 2 − , 2 2 y R
iš čia galime gauti bendrojo pavidalo grei čio išraišką , išreikštą netiesiogiai kaip pad ėties funkciją : 1 1 v y2 = v 02 − 2 gR 2 − , R y
arba 1 1 v y = v 02 − 2 gR 2 − . R y
Naudodami ši ą priklausomybę galime rasti, pavyzdžiui, taško maksimal ų jį atstumą nuo Žemės centro priklausomai nuo jam suteikto pradinio grei čio v 0 . Tokiame taške B greičio projekcija v y = 0. Tai reiškia, kad judantis taškas, nutol ę s maksimaliu atstumu nuo Žem ės, sustoja ir po to juda atgal Žemės link. Iš grei čio formulės nesunkiai gauname, kad maksimalus nuotolis išreiškiamas taip: y max
2 gR 2 = . 2 gR − v 02
65
Taško pakilimo aukšt į virš Žemės galime rasti kaip skirtum ą tarp maksimalaus atstumo ir Žemės spindulio, t. y. h = y max − R. Iš maksimalaus nuotolio formul ės matome, kad atstumas y max didė ja, didė jant taško pradiniam grei čiui v 0 . Todėl galime rasti pradin į greitį , kuriam esant taško atstumas nuo Žemės didė ja iki begalybės, t. y. nustatysime s ą lygas, lygas, kada mestas materialusis taškas negr į žta žta 2 į Žemę . Tariant, kad y max = ∞, iš minėtosios formulės gauname, kad 2 gR − v0 = 0 , ir gausime išraišką pradinio grei čio reikšmei skai čiuoti: v0 = 2 gR . Įvertinę , kad laisvojo kritimo pagreitis g = 9,81 m s 2 , ir laikydami, kad Žem ės spindulys R = 6370 km, gausime:
v 0 = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 10 −3 ⋅ 6370 ≈ 11,2 km s . iu. K ūnas, mestas tokiu grei čiu nuo Žem ės Šis greitis vadinamas antruoju kosminiu grei č iu paviršiaus vertikaliai į viršų , niekada negr į š į Žemę . Tokį greitį turi į gyti gyti kosminis laivas, kad galėtų judėti nuo Žem ės kitų planėtų link.
Nagrinėsime materialiojo taško jud ė jimo atvejį , kai taškas bus mestas horizontaliojoje plokštumoje Žem ės atžvilgiu pradiniu grei čiu v 0 . Atvejis, kai material ų jį tašką veikia pastovus sunkis, buvo išnagrin ėtas anks čiau. Nustatyta, kad toks taškas, kai pradinis greitis su horizontalią ja plokštuma sudaro tam tikr ą kampą , krinta į Žemę . Nagrinėsime atvej į , kai tašk ą veikianti jėga priklauso nuo pad ėties ir yra proporcinga atstumo iki Žem ės centro kvadratui. Nustatysime grei čio reikšmę , kuriai esant šis taškas jud ės apskritimu aplink Žem ę (36 pav.). y r
y
∆ R
F
A r v0 r
R
F
r
v
O τ
n 36 pav. Taško judė jimas apie Žemę
mgR 2 Buvo minėta, kad tašk ą veikianti Žemės traukos j ėga F = 2 . Tarkime, kad taškas y r prie Žemės paviršiaus jud ės greičiu v , kuris nukreiptas liestine taško jud ė jimo trajektorijai.
66
Taško judė jimui aprašyti taikysime diferencialines jud ė jimo lygtis natūralių jų ašių atžvilgiu (70), t. y. m
v2 ρ
n
= ∑ F in , i =1
arba, į raš rašę reikšmes, gausime: v2
mgR 2 m = 2 . ρ y Įvertinę tai, kad atstum ą ∆ R galime laikyti be galo mažu, gausime y = R ir ρ = R . Taigi
v 2 mgR 2 m = , R R 2
iš čia nesunkiai galime gauti grei čio išraišką : v = gR. Įrašę reikšmes, turėsime:
v = 9,81 ⋅ 10 −3 ⋅ 6370 = 7,91 km s .
Šis greitis vadinamas pirmuoju kosminiu grei č iu iu. Tokį greitį reikia suteikti materialiajam taškui, kad jis jud ėtų aplink Žemę nenukrisdamas į ją . Tokį patį greitį turi į gyti gyti ir kosminis aparatas arba palydovas, kad gal ėtų suktis aplink Žem ę nenukrisdamas į ją , t. y. kad tapt ų dirbtiniu Žemės palydovu.
2.1.2. Reliatyvusis materialiojo taško judė jimas Nagrinėdami materialiojo taško jud ė jimą padarėme prielaidą , kad jis juda inercin ės (nejudančios) atskaitos sistemos atžvilgiu. Tikrov ė je tokios atskaitos sistemos neegzistuoja, nes nėra absoliučiai nejudančių kūnų , su kuriais gal ėtume susieti tokias atskaitos sistemas. Sprendžiant daugel į uždavinių , atskaitos sistemos neinertiškumo ignoravimas reikšmingos paklaidos neduoda, o skai čiavimą gerokai supaprastina. Tod ėl ši prielaida dažnai taikoma skai čiavimams. Tačiau mechanikoje yra sri čių , kur tokia prielaida pri elaida neleidžiama, pavyzdžiui, dangaus k ūnų mechanikoje, kosmini ų skrydžių teorijoje ir kt. J ėgų veikiamo materialiojo taško jud ė jimas atrodys vienaip nejudan čios sistemos atžvilgiu ir visai kitaip judan čios sistemos atžvilgiu. Visos taško kinematin ės charakteristikos – jud ė jimo trajektorija, greitis ir pagreitis – bus skirtingi šiose atskaitos sistemose. Kinematikoje, nagrin ėdami sudėtinį taško judė jimą , išskyrėme tris judė jimus: absoliut ų jį , reliatyvų jį ir keliamą jį . Skaičiuojant balistines trajektorijas ir ypa č kosminių laivų 67
trajektorijas, svarbus yra reliatyvusis taško jud ė jimas – taško judė jimas judančių objektų atžvilgiu. Iš kinematikos žinome, kad absoliutusis taško pagreitis susideda iš trij t rij ų dedamų jų : r
r
r
r
a = a r + a k + a c , r
r
(75)
r
formulė je a r , a k , a c – tašk taškoo reli reliaatyvu tyvusi sis, s, keli keliaama massis ir Korio orioli lioo pag pagrei rei čiai. r r Tašką veikiančių jėgų atstojamą ją jėgą žymėsime vektoriumi F = ∑ F i . Ši jėga materialiajam taškui suteikia absoliut ų jį pagreitį . Remdamiesi antruoju dinamikos d ėsniu, turime: r
r
F = ma .
(76)
Įrašę pagreičio išraišką iš (75) į (76), gausime: r
r
r
r
F = ma r + ma k + ma c .
(77)
r
Iš čia galime išreikšti ma r narį : r
r
r
r
ma r = F + (− ma k ) + (− ma c ) .
(78)
Nagrinėdami gautą ją išraišką , galime padaryti išvad ą , kad reliatyv ų jį judė jimą sukurianti r jėga susideda iš trij ų dalių : tiesiogiai prie taško prid ėtų jėgų F ir dviejų jėgų , pastebimų tik judančios sistemos atžvilgiu. Vien ą iš šių jėgų pavadinsime keliamą ja inercijos jėga: r
r
r
r
Φ k = − ma k ,
(79)
kitą – Koriolio inercijos jėga: Φ c = −ma c .
(80)
Taško reliatyviojo jud ė jimo keliamoji inercijos jėga yra nukreipta priešinga keliamojo judė jimo pagreičiui kryptimi ir lygi taško mas ės ir keliamojo pagrei čio modulio sandaugai. Koriolio inercijos j ėga yra nukreipta priešinga Koriolio pagrei čio vektoriui kryptimi ir lygi taško masės ir Koriolio pagrei čio modulio sandaugai. sandaugai. Įrašę (79) ir (80) lygybes l ygybes į (78), gausime: r
r
r
r
ma r = F + Φ k + Φ c .
(81)
Lygtis (81) yra materialiojo taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialinė lygtis, pateikta sias (reliatyvi ą sias) sias) koordinačių ašis, gausime vektorine forma. Suprojektavę šią lygtį į į į judamą sias taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialines lygtis lygtis koordinačių (skaliariniu) pavidalu: 68
d 2 x r m 2 = F x + Φ kx + Φ cx , dt d 2 y r m 2 = F y + Φ ky + Φ cy , dt d 2 z r m 2 = F z + Φ kz + Φ cz . dt
(82)
Lygtys (81) ir (82) išreiškia dinamin ę Koriolio teoremą . r Taškas juda reliatyviuoju jud ė jimu, kai veikia ne tik tiesiogiai pridėtos jėgos F , bet ir r r keliamoji Φ k bei Koriolio Φ c inercijos jėgos. Reliatyviojo jud ė jimo atvejai a) Kai judanti atskaitos sistema slenka r r r r r r Tuomet ω k = 0 ir a c = 2(ω k × v r ) = 0 . Taigi Φ c = −ma c = 0 . Vadinasi, r
r
r
ma r = F + Φ k .
(83)
Atitinkamai supaprast ė ja ir skaliarinės lygtys (82). b) Kai judanti atskaitos sistema slenka tiesiai ir tolygiai r r Tuomet a k ir a c lygūs nuliui. Keliamoji ir Koriolio inercijos j ėgos taip pat lygios r
r
nuliui, t. y. Φ k ≡ 0 , Φ c ≡ 0. Diferencialinė judė jimo lygtis atrodys taip: r
r
ma r = F ,
t. y. jeigu judanti atskaitos sistema slenka tiesiai ir tolygiai, j ą galima laikyti inercine. Visi mechaniniai reiškiniai joje vyks taip pat, kaip ir nejudan čioje sistemoje. Jokiais bandymais, atliekamais šioje sistemoje, negal ėsime nustatyti, ar ji juda, ar ne. Šis atvejis išreiškia Galil ė jaus klasikinės mechanikos reliatyvumo princip ą . c) Materialiojo taško reliatyvi pusiausvyra pusiausvyra Tarkime, kad materialusis taškas, veikiamas j ėgų , judančios sistemos atžvilgiu yra r r r rimties būsenos. Šiuo atveju v r ir a r lygūs nuliui, o Φ c ≡ 0 . Reliatyviojo jud ė jimo
diferencialinė lygtis (81) tampa tokia: r
r
F + Φ k = 0 .
(84)
Iš (84) lygties matyti, kad reliatyvi ą taško pusiausvyr ą turėsime tada, kai prie taško r r pridėtos jėgos F ir keliamoji inercijos j ėga Φ k yra pusiausviros. Tai galima gauti ir r r r tuomet, kai v r // ω k ir v r = const . 69
Pavyzdžiai: 1. Koriolio inercijos j ėga gamtoje ir technikoje r Tarkime, kad Žem ės meridiane iš piet ų į šiaurę šiaurės pusrutulyje grei čiu v r juda traukinys M (37 pav.). Š
r
vr
r
ω
r
ω
ω
r
90
Φc
o
M
r
ac
V
R
P 37 pav. Traukinio judė jimas į šiaurę r
Žemė sukasi iš vakar ų į rytus, todėl kampinio grei čio vektorius ω k bus nukreiptas r sukimosi ašimi iš piet ų P į šiaurę Š . Pasukę vektoriaus v r projekciją kampinio greičio ω k r kryptimi 90 o kampu, kampu, gausime gausime Koriolio Koriolio pagre pagreii čio vektoriaus a c kryptį – paralelės liestinę iš rytų į vakarus, t. y. ži ūrint pagal traukinio jud ė jimą – į kairią ją pusę . Traukinio ratai d ėl r Koriolio inercijos jėgos Φ c spaus b ėgius priešinga kryptimi, t. y. į dešinę pusę , o, turint galvoje rat ų konfigūraciją , visas spaudimas teks tik dešiniajam b ėgiui. Traukiniui judant iš r r r šiaurės į pietus, vektori ų v r , a c , Φ c kryptys bus priešingos, ir ratai v ėl spaus dešin į jį (traukinio judė jimo atžvilgiu) bėgį . Todėl, esant dviej ų eilių bėgiams, šiaurės pusrutulyje visada greičiau susidėvi dešiniosios pus ės bėgiai. Dėl Koriolio inercijos j ėgos šiaur ės pusrutulyje paplaunamas dešinysis meridiane tekančių upių krantas. Dėl Koriolio inercijos j ėgos poveikio šiaur ės pusrutulyje šiaur ės v ė jas pereina į rytų – susidaro ryt ų pasatai. 2. Materialiojo taško reliatyviojo jud ė jimo d ėsnis Glotnus 0,5 m ilgio strypas tolygiai sukasi horizontaliojoje plokštumoje. Sukimosi greitis ω k = 2π 1 . Ant strypo užmautas žiedas. Tam tikru laiko momentu strypo viduryje s esančiam žiedui leidžiama slysti. Rasime žiedo (38 pav.) reliatyviojo jud ė jimo lygtį . 38 pav. yra pavaizduotos dvi strypo projekcijos – iš šono ir iš viršaus. Judan čią atskaitos sistemą Oxyz susiejame su strypu. Keliamasis sistemos jud ė jimas yra strypo sukimasis, reliatyvusis judė jimas yra žiedo M slinkimas Ox ašimis. Kai sukimasis yra tolygus, r r r r r ω k = const, ε = 0 , a k = a k n + a k τ = a k n , a k τ = ε ⋅ x = 0 , a k n = ω k 2 x . Taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialinė lygtis bus: r
r
r
r
ma r = ∑ F i + Φ k n +Φ c .
70
y
z
r
ac
r
N 1 rn
ak
r
r
r
n v M r ar Φ k x
ωk
O
O r
x
N 2
r
M r
x
G L
r
Φ k n x Φc
L a)
b)
38 pav. Žiedo reliatyvusis judė jimas r
Schemoje parodome taško pagrei čius ir veikian čią sias sias jėgas. Tašką veikia sunkis G , r r r vertikali bei horizontali reakcijos N 1 ir N 2 ir keliamoji normalinė inercijos jėga Φ k n bei r
Koriolio inercijos j ėga Φ c . Inercijos j ėgų kryptys priešingos atitinkamiems pagrei čiams, o moduliai: Φ k n = ma k n = mxω k 2 , Φ c = mac = 2mω k v r .
Sudarome diferencialin ę judė jimo lygtį Ox ašies atžvilgiu: ma r = Φ k n = mxω k 2 .
Pažym ė ję a r = x&& ir padaliję iš masės m, gausime diferencialin ę judė jimo lygtį : x&& − ω k 2 x = 0 .
Sprendimo ieškome x = e rt pavidalu. Įrašę šį sprendinį į lygtį , gauname charakteristin ę lygtį r 2 − ω k 2 = 0 , kurios šaknis r 1, 2 = ±ω k . Diferencialinės lygties sprendinys bus toks: x = C 1e ωk t + C 2 e − ωk t .
Judė jimo greitį gausime diferencijuodami jud ė jimo lygtį laiko atžvilgiu: x&& = ω k (C 1e ωk t − C 2 e − ωk t ) .
1 Konstantas C 1 ir C 2 randame iš pradini ų są lyg lygų : kai t = 0 , x 0 = = 0,25 m , x&&0 = 0 . 2 Įrašome šias reikšmes į judė jimo ir greičio lygtis: 0,25 = C 1 + C 2 , 0 = C 1 − C 2 ; iš čia 71
C 1 = C 2 = 0,125 . Įrašę kampinio grei čio ω k = 2π ir konstantų reikšmes į judė jimo lygtį ,
gauname žiedo reliatyviojo jud ė jimo dėsnį : x = 0,125(e 2 πt + e −2 πt ).
2.2. Materialių jų taškų sistemos diferencialinės judė jimo lygtys Tarkime, turime materiali ų jų taškų mechaninę sistemą , t. y. toki ą taškų visumą , kurios kiekvieno taško jud ė jimas priklauso nuo kit ų taškų judė jimų ir priklauso nuo ryši ų tarp jų . Užrašysime diferencialines jud ė jimo lygtis vienam mechaninės sistemos taškui. Tam reikia nutraukti šio taško ryšius su kitais sistemos taškais, taip pat su kitais k ūnais ir pridėti ų į Dekarto koordinačių ašis pavidalu tur ėsime: atitinkamas reakcijas. Projekcij ų į d 2 x k = F kxi + F kxv , m k 2 dt 2 d y k = F kyi + F kyv , m k 2 dt 2 m d z k = F i + F v ; kz kz k dt 2
d 2 x k d 2 y k d 2 z k čia m k – k -ojo -ojo taško mas ė; , , – k -ojo -ojo taško pagrei čio projekcijos į dt 2 dt 2 dt 2 koordinačių ašis; F kxi , F kyi , F kzi – visų išorinių jėgų , tarp jų ir išorinių atramos reakcij ų ,
veikiančių pasirinktą tašką , atstojamosios j ėgos projekcijos į pasirinktas koordina čių ašis; F kxv , F kyv , F kzv – visų vidinių jėgų , veikiančių pasirinktą tašką , atstojamosios j ėgos projekcijos į pasirinktas koordina čių ašis. Jeigu mechanin ė je sistemoje yra n materialių jų taškų , tai galime užrašyti iš viso 3 n diferencialines lygtis. Spr ę sdami sdami šias lygtys kartu, galime rasti visas kiekvien ą materialų jį tašką veikiančias jėgas (pirmasis dinamikos uždavinys) arba galime rasti kiekvieno taško judė jimo dėsnį (antrasis dinamikos uždavinys). uždavinys). Matematiniu požiūriu tokie uždaviniai yra labai sud ėtingi. Todėl, sprendžiant materiali ų jų taškų sistemos dinamikos uždavinius, patogu nagrin ėti ne kiekvieno sistemos taško dinamik ą atskirai, o iš karto visos materiali ų jų taškų visumos dinamikos klausimus, kas ir bus parodyta tolesniuose skyriuose.
2.3. Bendrosios dinamikos teoremos Kaip buvo parodyta anks čiau, taikant diferencialines jud ė jimo lygtis, galima sprę sti sti tiek pirmą jį , tiek antrą jį dinamikos uždavinius. Ta čiau kai kurių dinamikos uždavini ų sprendimas gali būti supaprastintas, jeigu taikysime bendr ą sias sias dinamikos teoremas – judesio kiekio, kinetinio momento arba kinetin ės energijos teoremas.
72
2.3.1. Judesio kiekio teorema Šį teorema nustato santyk į tarp judančio objekto judesio kiekio ir veikian čiosios jėgos impulso. r r Materialiajam m masės taškui, judan čiam dėl j ėgos F poveikio pagrei čiu a , užrašysime r r d v r r pagrindinį dinamikos dėsnį ma = F , kurį pertvarkę gausime: m = F , arba dt r
r
d (mv ) = F dt .
(85)
Turime materialiojo taško judesio kiekio teorem ą, t. y. materialiojo taško judesio kiekio r diferencialas lygus tašk ą veikianč ios ios jėgos F elementariam impulsui. Projektuodami (85) lygt į į Dekarto koordinačių ašis, gausime teorem ą projekcijų pavidalu, t. y. d (mv x ) = F x dt , d (mv y ) = F y dt , d (mv ) = F dt , z z
(86)
arba diferencialas nuo materialiojo taško judesio kiekio projekcijos į bet kurią aš į lygus jėgos elementaraus impulso projekcijai į t ą pač ią aš į. Integravę (86) lygtį gausime teoremos išpl ėstinę formą : r
r
r
mv − mv 0 = S ,
(87)
iosios t. y. materialiojo taško judesio kiekio pokytis per tam tikr ą laikotarpį lygus veikian č iosios jėgos impulsui per t ą pat į laikotarpį. Projektuodami (87) lygt į į Dekarto koordinačių ašis, gauname judesio kiekio poky čio teoremą projekcijų pavidalu: mv x − mv 0 x = S x , mv y − mv0 y = S y , mv − mv = S , 0 z z z
(88)
io projekcija į bet kurią aš į per tam tikr ą arba materialiojo taško judesio kiekio poky č io laikotarpį lygi veikian č iosios iosios jėgos impulso projekcijai per t ą pat į laikotarpį.
Tuo atveju, kai nagrin ė jame materialių jų taškų mechanin ę sistemą , judesio kiekio teoremai taikyti pasirenkame vien ą bet kurį sistemos material ų jį tašką , kuriam ir užrašysime pagrindinį dinamikos dėsnį : r
r
r
mk a k = F k i + F k v ;
73
(89)
r
r
čia m k – konkretaus taško mas ė; a k – šio taško pagreitis; F k i – išorinių jėgų , veikiančių šį r
tašką , atstojamoji jėga; F k v – vidinių jėgų , veikiančių šį tašką , atstojamoji j ėga. r d v k r Įvertinus tai, kad a k = ir taško masė yra pastovusis dydis, pertvark ę (89) lygtį , dt turėsime šiam taškui toki ą išraišką : r r r d (m k v k ) = F k i + F k v . dt
Tokias lygtis galime užrašyti visiems mechanin ės sistemos n taškams. Sud ė ję gautas n lygtis, turėsime: n
n r n r d r i (m k v k ) = ∑ F k + ∑ F k v . ∑ k =1 dt k =1 k =1
Dešiniojoje išraiškos pus ė je turime visų išorinių bei vidinių jėgų geometrines sumas. Žinome, kad vis ų išorinių jėgų geometrinė suma lygi sistemos suminiam vektoriui, t. y. r
n
r
R = ∑ F k i . Taip pat žinome, kad pagal (33) vidini ų jėgų suminis vektorius lygus nuliui, t. y. i
k =1 n r
d d n r r R = ∑ F = 0 . Iš analizin ės matematikos išplaukia, kad ∑ (m k v k ) = ∑ (m k v k ). dt k =1 k =1 k =1 dt Mechaninės sistemos materiali ų jų taškų judesio kieki ų geometrinė suma pagal (23) formul ę r
v
n
v k
lygi sistemos judesio kiekiui, t. y.
n
r
r
∑ (mk v k ) = K . k =1
Įvertinę tai, kas išd ėstyta, turėsime galutinę išraišką : r
d K r i = R . dt
(90)
Galime padaryti išvad ą , kad išvestinė nuo sistemos judesio kiekio laiko t atžvilgiu lygi visų išorinių jėgų , kurios veikia šią mechaninę sistemą , suminiam vektoriui. Tai materialių jų taškų mechanin ės sistemos judesio kiekio teoremos t eoremos vektorin ė forma. Projektuodami (90) išraišk ą į Dekarto koordina čių ašis, turėsime teoremos koordinatin ę formą , t. y. dK x i dt = R x , dK y = R yi , dt dK z = R i , z dt
74
arba n d n i dt ∑ m k v kx = ∑ F kx , k =1 k n=1 n d i ∑ m k v ky = ∑ F ky , k =1 dt k =n1 n d m v = F i . ∑ k kz kz dt ∑ k =1 k =1
(91)
Iš čia išplaukia išvada, kad mechaninės sistemos judesio kiekio projekcijos į bet kurią aš į išvestinė lygi visų išorinių jėgų , kurios veikia ši ą sistemą , projekcij ų į t ą pač ią aš į sumai. Tai materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekio teoremos koordinatin ė forma. Išvados: r
n
r
1. Jeigu visų išorinių jėgų suminis vektorius lygus nuliui, t. y. R = ∑ F k i = 0 , tai iš (90) i
k =1
lygties išplaukia, kad mechanin ės sistemos judesio kiekis bus pastovusis didis, t. y. r K = const . 2. Jeigu visų išorinių jėgų projekcijų suma į bet kurią ašį lygi nuliui, pavyzdžiui,
n
F kxi = 0 , ∑ k 1 =
tai iš (91) lygties išplaukia, kad mechanin ės sistemos judesio kiekio projekcija į tą pačią n
ašį bus pastovusis dydis, t. y. K x = ∑ mk v kx = const. k =1
Pertvarkysime mechanin ės sistemos judesio kiekio teorem ą . Iš (90) lygties galime užrašyti: r
r
d K = R i dt ,
arba r
r
d K = d S i .
(92)
Taigi mechaninės sistemos judesio kiekio diferencialas lygus veikian č ių sistemą išorinių jėgų elementariam impulsui. Integruodami (92) lygt į gausime mechanin ės sistemos impulso teoremą išplėstinės formos: r
r
r
K − K 0 = S i ,
(93)
t. y. mechaninės sistemos judesio kiekio pokytis per tam tikr ą laikotarpį lygus visų išorinių jėgų impulsui per t ą pat į laikotarpį. Projektuodami (93) lygt į į Dekarto koordinačių ašis, gausime impulsų teoremos koordinatinę formą: 75
K x − K 0 x = S xi , i K y − K 0 y = S y , K − K = S i , 0 z z z
(94)
arba mechanin ės sistemos judesio kiekio poky č io io projekcijos į koordinač ių ašis per tam tikr ą laikotarpį lygios visų išorinių jėgų impulso projekcijoms į tas pač ias ias koordinač ių ašis. Judesio kiekio poky čio teorema taikoma tais atvejais, kai nagrin ė jami uždaviniai apie greičių pasikeitimus per tam tikr ą žinomą laikotarpį .
2.3.2. Kinetinio momento teorema Pagal (25) formulę turime materialiojor taško kinetinio momento, arba taško judesio r r r r kiekio momento centro O atžvilgiu, išraišk ą l O = M O (mv ) = r × mv . Diferencijuodami ši ą lygtį laiko t atžvilgiu, turėsime: r
r
r
r
d l O d r r r d (mv ) r r r d v = × mv + r × = v × mv + r × m = dt dt dt dt r
r
r
r
r
r
r
r
v × mv + r × ma = v × mv + r × F .
Kaip žinome iš vektorin ės algebros, vienos krypties vektori ų vektorinė sandauga lygi r r r r r nuliui, t. y. v × mv = 0. Iš statikos žinome, kad vektorin ė sandauga r × F lygi jėgos F r r r r vektoriniam momentui centro O atžvilgiu, t. y. r × F = M O (F ). Todėl gauname: r
d l O r r = M O (F ), dt
arba r r r d r M O (mv ) = M O (F ). dt
(95)
Turime kinetinio momento teoremos vektorinę formą , arba materialiojo taško kinetinio momento bet kurio centro atžvilgiu išvestin ė lygi veikian č iosios iosios jėgos vektoriniam momentui to paties centro atžvilgiu. Projektuodami (95) lygt į į į į koordinačių ašis, turėsime: r r d ( ) M m v = M F ( ), x dt x d r r M y (mv ) = M y (F ), dt r d M z (mvr ) = M z (F ). dt
76
(96)
Šios lygtys išreiškia materialiojo taško kinetinio momento teorem ą koordinačių forma, t. y. materialiojo taško kinetinio momento bet kurios ašies atžvilgiu išvestin ė lygi veikianč iosios iosios jėgos momentui tos pa č ios ios ašies atžvilgiu. Teoremos išvados : 1. Jeigurveikian čiosios jėgos momentas bet kurios ašies atžvilgiu lygus nuliui, pavyzdžiui, M z (F ) = 0 , tai iš (96) formul ės gauname, kad taško kinetinis momentas tos pa čios ašies r atžvilgiu bus pastovus, t. y. M z (mv ) = const. r 2. Jeigu jėgos F veikimo linija, judant materialiajam taškui, vis ą laiką eina per t ą patį O – jėgos centru. Šiuo erdvės nejudantį tašką O, tai tokia j ėga vadinama centrine, o taškas r r atveju jėgos momentas centro O atžvilgiu lygus nuliui, t. y. M O (F ) = 0 . Tuomet iš (95) r
lygties išplaukia, kad materialiojo taško kinetinis momentas l O centro O atžvilgiu bus r r r pastovus, t. y. l O = M O (mv ) = const. Galime padaryti išvad ą , kad, veikiant centrinei jėgai, judantis materialusis taškas visada br ėš plokščią trajektoriją , nes jos plokštuma eina r per veikiančiosios jėgos centrą statmenai pastoviam kinetinio momento vektoriui l O . Nagrinėdami materialių jų taškų mechaninę sistemą pagal (95) formul ę užrašysime vienam sistemos taškui kinetinio momento teoremos išraišk ą , į vertindami vertindami tai, kad tašk ą , kurio masė mk , veikia išorinių bei vidinių jėgų atstojamosios j ėgos, taip pat tai, kad taškas juda r greičiu v k . Turėsime: r r r r r d r M O (m k v k ) = M O (F k i ) + M O (F k v ). dt
Tokias išraiškas užrašysime visiems mechanin ės sistemos n taškams ir jas sud ėsime. Gausime: n r n r r r d r r i v ( ) ( ) ( M m v = M F + M F ∑ ∑ ∑ O k k O k O k ). k =1 dt k =1 k =1 n
Šios lygties dešiniojoje pus ė je turime išorinių jėgų suminį momentą centro O atžvilgiu r
r
r
r
r
M = ∑ M O (F k i ) ir vidinių jėgų suminį moment ą to paties centro O atžvilgiu r
i O
M Ov = ∑ M O (F k v ) , kuris pagal vidini ų jėgų savybes (34) yra lygus nuliui.
Pertvarkę minėtą ją lygtį gausime: r d n r r i ( ) M m v = M ∑ O k k O. dt k =1
77
Mechaninės sistemos materiali ų jų taškų kinetinių momentų centro O atžvilgiu geometrin ė r
n r
r
r
suma pagal (26) lygi sistemos kinetiniam momentui, t. y. LO = ∑ l O = ∑ M O (mk v k ) . Todėl k =1
galutinę sistemos kinetinio momento teoremos išraišk ą galime užrašyti taip: r
d LO r i = M O , dt
(97)
arba materialių jų tašk ų ų mechanin ės sistemos kinetinio momento bet kurio centro O atžvilgiu išvestinė lygi veikianč ių jų išorinių jėgų suminiam momentui to paties centro atžvilgiu. Projektuodami (97) lygt į į į į Dekarto koordina čių ašis, nesunkiai gauname: n r d n r i ( ) M m v = M F ( dt ∑ x k k ∑ x k ), k =1 k n=1 n r r d i ( ( ) M m v = M F ∑ y k k ∑ y k ), k =1 dt k =n1 n r d M (m vr ) = M (F i ∑ z k k z k ). dt ∑ k =1 k =1
(98)
Turime sistemos kinetinio momento teorem ą projekcijų pavidalu, t. y. materialių jų tašk ų ų mechaninės sistemos kinetinio momento projekcijos į bet kurią aš į išvestinė lygi veikian č ių jų ų sumai tos pač ios išorinių jėgų moment ų ios ašies atžvilgiu. Sistemos kinetinio momento teoremos išvados iš vados: 1. Tarkime, kad veikian čių jų išorinių jėgų suminis momentas bet kurio O centro atžvilgiu r lygus nuliui, t. y. M Oi = 0 . Tuomet iš (97) lygties išplaukia, kad sistemos kinetinis r
n
r
r
r
momentas LO to paties centro O atžvilgiu bus pastovus, t. y. LO = ∑ M O (mk v k ) = const. k =1
2. Jeigu veikiančių jų išorinių jėgų momenų suma bet kurios ašies atžvilgiu lygi nuliui, pavyzdžiui,
n
r
∑ M z (F k i ) = 0 , tai iš (98) formul ės gauname, kad sistemos kinetinis k =1
momentas tos pa čios ašies atžvilgiu bus pastovus, t. y.
n
r
∑ M z (mk v k ) = const. k =1
Šie kinetinio momento pastovumo atvejai atsiranda ir tuo atveju, kai iš viso n ėra išorinių jėgų . Šiuo atveju sistemos kinetinis momentas nejudamo centro arba nejudamosios ašies atžvilgiu lieka nekintamas. Kartais patogiau remtis kita kinetinio momento teoremos išraiška. Iš (97) formul ės galime užrašyti: r
r
d LO = M Oi dt ,
arba integruodami tur ėsime: 78
r
r
t r
L − L0 = ∫ M Oi dt ,
(99)
t 0 = 0
t. y. kinetinio momento pokytis per tam tikr ą laik ą lygus išorinių jėgų moment ų ų impulsų sumai per t ą pat į laik ą. Projektuodami (99) į koordinačių ašis, po matematini ų pertvarkymų nesunkiai gausime skaliarines lygybes: t n r L x − L0 x = ∫ ∑ M x (F k i ), t 0 = 0 k =1 t n r i L − L = M F ( ), y ∑ 0 y y k ∫ t 0 = 0 k =1 t n r i L − L = M F ( z ∑ 0 z z k ), ∫ t 0 = 0 k =1
(100)
arba mechaninės sistemos kinetinio momento bet kurios ašies atžvilgiu pokytis kuriuo nors laikotarpiu lygus j ą veikianč ių išorinių jėgų moment ų iu laikotarpiu tos ų impulsų tuo pač iu pač ios ios ašies atžvilgiu sumai . Kinetinio momento teorema dažniausiai taikoma tais atvejais, kai taško arba k ūno judė jimas vyksta dėl centrinės jėgos poveikio.
2.3.3. Kinetinės energijos teorema Ši teorema nustato santyk į tarp judančio materialiojo taško kinetin ės energijos ir veikiančios tašką jėgos atliktojo darbo. r Tarkime, materialiajam taškui, kurio mas ė m, judančiam dėl j ėgos F poveikio pagrei čiu r r r r d v r a , užrašysime pagrindin į dinamikos dėsnį ma = F , kurį pertvarkę gausime m = F . dt r Padauginsime abi šios lygties puses iš d r . Turėsime: r
d v r r r m ⋅ d r = F ⋅ d r . dt
Pertvarkę lygtį nesunkiai gausime: mv 2 = dA, d 2 r
(101) r
nes pagal (39) formul ę jėgos F ir elementaraus poslinkio d r sandauga yra šios j ėgos r r d r elementarusis darbas, o santykis yra judančio taško greitis v , kuris ir yra su diferencialo dt ženklu. Gavome materialiojo taško kinetinės energijos teorem ą diferencialine forma, t. y. 79
materialiojo taško kinetin ės energijos diferencialas lygus veikian č iosios iosios jėgos elementariajam darbui. io teoremą išplėstine forma: Integravę gautą lygtį gausime kinetinės energijos poky č io mv 2 mv02 − = A, 2 2
(102)
arba materialiojo taško kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikian čiosios jėgos atliktam darbui tame pa čiame kelio ruože. Tuo atveju, kai nagrin ė jame materialių jų taškų mechaninę sistemą , kinetinės energijos teoremai taikyti pasirenkame bet kur į vieną sistemos material ų jį tašką , kuriam ir užrašysime pagrindinį dinamikos dėsnį : r
r
i k
r
m k a k = F + F k v ; r
r
čia m k – konkretaus taško mas ė; a k – šio taško pagreitis; F k i – išorinių jėgų , veikiančių šį r
tašką , atstojamoji jėga; F k v – vidinių jėgų , veikiančių šį tašką , atstojamoji j ėga. r Padauginsime abi šios lygties puses iš d r k . Po nedideli ų matematinių lygties pertvarkymų , nesunkiai gausime: r m k v k 2 r i r r = F k ⋅ d r k + F k v ⋅ d r k , d 2
arba vienam mechanin ės sistemos materialiajam taškui turime kinetin ės energijos teoremos diferencialinę išraišką , pagal kurią sistemos materialiojo taško diferencialas lygus veikian č ių š į tašk ą jėgų , tiek išorinių , tiek vidinių , elementariajam darbui. Jeigu tokias išraiškas užrašytume visiems mechanin ės sistemos n taškams ir jas sudėtume, tai, į vertin vertinę materialių jų taškų greičių keitimosi ribas nagrin ė jamuose kelio ruožuose, po nesud ėtingų matematinių pertvarkymų gautume: n r n r m k v k 2 n m k v k 20 r r i −∑ = ∑ F k ⋅ d r k + ∑ F k v ⋅ d r k , ∑ 2 2 k =1 k =1 k =1 k =1 n
arba T − T 0 = A i + A v ;
(103)
čia T – mechaninės sistemos kinetin ė energija, kai sistemos taškai pereina į kitą padėtį ; T 0 – mechaninės sistemos kinetin ė energija pradiniu laiko momentu; A i – visų išorinių jėgų , veikiančių šią sistemą , atliktų darbų suma; A v – visų vidinių jėgų , veikiančių šią sistemą , atliktų darbų suma.
80
io teoremą išplėstine forma, t. Taigi turime mechanin ės sistemos kinetinės energijos poky č io y materialių jų tašk ų ų mechaninės sistemos kinetinės energijos pokytis lygus vis ų išorinių bei vidinių jėgų darbų sumai visuose sistemos tašk ų ų nueit ų ų kelių ruožuose. Iš teoremos išplaukia išvada, kad, taikant mechaninei sistemai kinetin ės energijos pokyčio teoremą , reikia į vertinti vertinti ne tiktai išorinių , bet ir sistemos vidini ų jėgų atliktą darbą visuose sistemos materiali ų jų taškų nueitų kelių ruožuose. Nagrinė jant standžiojo kūno dinamiką , į vertin vertinę tai, kad kūno vidinių jėgų darbų suma lygi nuliui, turėsime kinetinės energijos teorem ą tokio pavidalo: T − T 0 = A i .
(104)
Kinetinės energijos teorema taikoma tais atvejais, kai nagrin ė jami uždaviniai apie grei čių pokyčius žinomame kelio ruože.
2.3.4. Mechaninės energijos tvermės dėsnis Mechaninės energijos tverm ės d ėsnis materialiajam taškui Remdamiesi (102) formule užrašysime kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraišk ą materialiajam taškui: mv 2 mv02 − = A, 2 2
t. y. materialiojo taško kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikian čiosios jėgos atliktam darbui. Tuo atveju, kai materialusis taškas juda kelio ruože, esan čiame potenciniame j ėgų lauke, pagal (62) formul ę turime, kad pilnutinis j ėgos darbas yra lygus j ėgų funkcijos skirtumui atskiruose taškuose ir nepriklauso nuo taško jud ė jimo trajektorijos. Taigi galime užrašyti: užrašyti: A = U −U 0 . Įvertinę tai, kad pagal (62) bet kuriame j ėgų lauko taške potencin ė energija lygi j ėgų lauko reikšmei tame pat taške su priešingu ženklu, arba potencin ės j ėgos darbui su priešingu ženklu, t. y. V = −U , gauname toki ą jėgos darbo išraišk ą :
A = V 0 − V .
Tuomet kinetinės energijos teorem ą galime užrašyti taip: mv 2 mv02 − = V 0 − V , 2 2
atlikę nedidelius pertvarkymus, tur ėsime: 81
mv 02 mv 2 + V = + V 0 . 2 2
(105)
Laikydami judan čio materialiojo taško kinetin ės energijos ir potencin ės energijos sum ą materialiojo taško pilnutine mechanine energija, galime padaryti išvad ą , kad, taškui judant potenciniame j ėgų lauke, materialiojo taško pilnutin ė mechanin ė energija yra pastovusis dydis. Mechaninės energijos tverm ės d ėsnis materialių jų tašk ų ų mechaninei sistemai Kinetinės energijos poky čio teorema materiali ų jų taškų mechaninei sistemai pagal (103) formulę turi išraišką : T − T 0 = Ak i + Ak v = ∑ Ak ,
t. y. materiali ų jų taškų mechaninės sistemos kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikiančių jų išorinių bei vidinių jėgų atliktam darbui. Tuo atveju, kai mechanin ė sistema juda potenciniame j ėgų lauke, galime užrašyti, kad pilnutinis veikian čių jų išorinių bei vidinių jėgų atliktas darbas yra lygus sistemos potencin ės energijos pokyčiui, t. y.
∑ Ak = V 0 − V . Tuomet kinetinės energijos teoremos išraišk ą galime perrašyti taip: T − T 0 = V 0 − V ,
po nedidelių pertvarkymų , turėsime: T + V = T 0 + V 0 .
(106)
Galime padaryti išvad ą , kad materiali ų jų taškų mechaninei sistemai judant potenciniame išorinių bei vidinių jėgų lauke, sistemos pilnutin ė mechanin ė energija yra pastovusis dydis.
2.4. Masės centro judė jimo teorema Tarkime, turime materiali ų jų taškų mechanin ę sistemą . Tegul ši ą taškų sistemą veikia žinoma išorini ų jėgų sistema. Dėl ši ų jėgų poveikio mechanin ės sistemos taškai tur ės judesio kiekius, kurių geometrinė suma pagal (23) formul ę yra mechaninės sistemos judesio kiekis, t. y.
n
r
r
∑ mk v k = K . Taip pat žinome, kad mechanin ės sistemos mas ės ir masės centro greičio k =1
r
r
sandauga (24) yra lygi sistemos judesio kiekiui, t. y. M ⋅ vC = K . Diferencijuodami ši ą lygtį laiko t atžvilgiu, turėsime: 82
r
r
d v d K . M C = dt dt Įvertinę tai, kad pagal sistemos judesio kiekio teorem ą (90) sistemos judesio kiekio laiko t atžvilgiu išvestinrė lygi visų išorinių jėgų , kurios veikia šią mechaninę sistemą , suminiam d K r i n r i vektoriui, t. y. = R = ∑ F i , o masės centro grei čio išvestinė lygi jo pagreičiui, gauname: dt i =1 r
r
M a C = ∑ F i i .
(107)
Turime materialiojo taško (sistemos mas ės centro) pagrindin į dinamikos dėsnį . Galime padaryti išvad ą , kad mechaninės sistemos masės centras juda kaip materialusis taškas, turintis šios sistemos mas ę , prie kurio prid ėtos visos mechanin ę sistemą veikianč ios ios išorinės jėgos. Taigi turime materiali ų jų taškų masės centro jud ė jimo teoremą. Projektuodami (107) išraišk ą į ą į Dekarto koordina čių ašis, turėsime: d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix , dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy , dt i =1 2 d z C n i M dt 2 = ∑ F iz . i =1
(108)
Teoremos išvados : r
n
ri
1. Jeigu išorini ų jėgų suminis vektorius lygus nuliui, t. y. R = ∑ F i = 0 , tai iš (107) i
i =1
r
d v formulės darome išvad ą , kad sistemos mas ės centro pagreitis a C = C = 0. Taigi šiuo dt r atveju masės centro greitis vC yra pastovus pagal dyd į ir kryptį , o tai reiškia, kad r
sistemos masės centras jud ės tiesiaeigiai ir tolygiai arba iš viso nejud ės. Jeigu pradiniu laiko momentu mas ės centras nejud ė jo, tai jis liks rimties būsenos iki tol, kol išorini ų jėgų suminis vektorius bus lygus nuliui. 2. Jeigu išorini ų jėgų projekcijų suma į bet kurią ašį , pavyzdžiui, į ašį Ox, bus lygi nuliui n
F ix i = 0 , tai iš (108) formul ės galime padaryti išvad ą , kad sistemos mas ės centro ∑ i 1 =
dv Cx = 0 . Šiuo atveju gauname, dt dx kad masės centro grei čio projekcija į šią ašį yra pastovusis dydis, arba vCx = C = const. dt Jeigu pradiniu laiko momentu ir mas ės centro grei čio projekcija lygi nuliui (v Cx = 0) , tai
pagrei čio projekcija į šią ašį bus lygi nuliui, t. y. a Cx =
83
gausime, kad xC = const, t. y. sistemai judant jos mas ės centro koordinat ė nekinta. Ši išvada vadinama masės centro jud ė jimo pastovumo d ėsniu. 3. Mechaninės sistemos vidin ės j ėgos neturi į takos takos sistemos mas ės centro jud ė jimui, nes jų nėra masės centro jud ė jimo teoremos išraiškoje. Todėl vidinių jėgų veikimu negalime pakeisti sistemos mas ės centro jud ė jimo pobūdžio arba išjudinti j į iš rimties būsenos. Tačiau vidinės jėgos gali sukelti nelaisvosios mechanin ės sistemos dali ų judė jimą kitos sistemos atžvilgiu. Šiuo atveju atsiras naujos išorin ės ryšių reakcijos, d ėl kurių į takos takos pasikeis nagrin ė jamos mechaninės sistemos mas ės centro jud ė jimas.
2.5. Standžiojo kūno dinamika Teorinės mechanikos kinematikos dalyje buvo pažym ėta, kad standžiojo k ūno kinematikos uždavinius patogiau nagrin ėti priklausomai nuo k ūno judė jimo pobūdžio. Taip pat buvo pateikta standžiojo k ūno judė jimų klasifikacija, pagal kuri ą prie paprast ų kūno judė jimų buvo priskirti slenkamasis jud ė jimas, sukimasis apie nejudamą ją ašį ir plokštuminis kūno judė jimai. Be ši ų kūno judė jimų , yra ir sudėtingų judė jimų , tai sferinis ir k ūno jud ė jimas bendruoju atveju . Standžiojo kūno dinamikos uždaviniai taip pat sprendžiami atsižvelgiant į kūno judė jimo pobūdį .
2.5.1. Standžiojo kūno slenkamojo judė jimo dinamika Vykstant kūno slenkamajam jud ė jimui visi kūno taškai tuo pa čiu laiko momentu juda vienodu grei čiu ir pagrei čiu, o jų trajektorijos yra vienodos ir lygiagre čios. Todėl, sprendžiant kūno slenkamojo jud ė jimo kinematikos uždavinius, pakanka nagrin ėti bet kurį vieną kūno tašką . Patogiausias ir nagrin ė jimui dažniausiai parenkamas parenkamas taškas yra k ūno masės centras. Šio taško dinamikos uždaviniams nagrin ėti yra taikoma masės centro judė jimo teorema, pagal kurią masės centras juda kaip taškas, kuriame sukoncentruota visa k ūno masė ir prie kurio pridėtos visos veikian čiosios išorinės jėgos. Pagal (108) standžiojo k ūno masės centro jud ė jimo teorema turi tokį pavidalą : d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix , dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy , dt i =1 2 d z C n i M dt 2 = ∑ F iz . i =1
Matyti, kad taikydami ši ą teoremą galime pagal žinom ą masės centro jud ė jimą rasti veikiančią ją išorinę jėgą , kuri priverčia masės M kūną judėti pagal min ėtuosius dėsnius, t. y. sprę sti sti pirmą jį dinamikos uždavin į . Be to, jeigu žinosime, kokios yra veikian čiosios išorinės jėgos, tai po nurodyt ų lygčių dviejų integravimų galime gauti šio k ūno masės centro judė jimo 84
lygtis, pagal kurias jud ės kūno masės centras ir kartu visas k ūnas, t. y. spr ę sime sime antrą jį dinamikos uždavin į . Darome išvad ą , kad mas ės centro jud ė jimo teorema aprašo standžiojo k ūno dinamikos uždavinių sprendimą esant slenkamajam jud ė jimui.
2.5.2. Standžiojo kūno sukamojo judė jimo apie nejudamą ją ašį dinamika Išvesime standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą ją ašį diferencialines judė jimo lygtis, kurias taikant taikant galima sprę sti sti pirmą jį ir antrą jį dinamikos uždavinius. Tarkime, M masės kūnas dėl išorinių jėgų poveikio juda apie nejudam ą ją ašį Oz kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε (39 pav.). z B
r
r
B y
B x
ω ε
r
F 1 RK
r
F 2
O
M r
mK vK
r
vK A r
A x
r
A z
r
A y
39 pav. Standžiojo kūno sukimasis apie nejudamą ją ašį
Žinome, kad vykstant sukamajam standžiojo k ūno judė jimui kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu pagal (28) formul ę yra lygus k ūno inercijos momento ašies atžvilgiu ir kūno kampinio grei čio sandaugai, t. y. L z = I z ⋅ ω . Taikome šiam k ūnui mechaninės dL z = M zi , arba sistemos kinetinio momento teorem ą ašies atžvilgiu, pagal kuri ą dt d ( I z ⋅ ω) = M zi . Atlikę nesud ėtingus matematinius pertvarkymus, tur ėsime: dt d 2 ϕ I z 2 = M zi . dt
(109)
Gavome standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą ją ašį diferencialinę lygtį . Taikydami šią lygtį galime sprę sti sti tiek pirmą jį , tiek antrą jį dinamikos uždavinius, t. y., remdamiesi kūno sukamojo jud ė jimo d ėsniu, galime rasti veikian čių jų išorinių jėgų sukamą jį momentą arba, į vertin vertinę judė jimo pradines są lygas, lygas, pagal žinom ą išorinių jėgų momentą galime rasti nagrin ė jamojo kūno judė jimo dėsnį . 85
Diferencialinę judė jimo lygtį (109) galime pateikti ir tokiu pavidalu: I z
d ω = M z(ii ) , arba I z ε = M zi . dt
Iš č ia ia išplaukia išvados : 1. Jeigu M zi = 0 , tai ω = const , t. y. jeigu veikian čių jų išorinių jėgų momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus nuliui, tai k ūno sukimasis bus tolydinis. 2. Jeigu M zi = const, tai ir ε = const, t. y. jeigu veikian čių jų išorinių jėgų momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra pastovus, tai k ūno sukimasis yra tolygiai kintantis. 3. Esant tam tikram veikian čių jų išorinių jėgų momentui, kuo didesnis k ūno inercijos momentas, tuo mažesnis k ūno kampinis pagreitis ir atvirkš čiai. Darome išvad ą , kad kūno inercijos momentas vykstant sukamajam jud ė jimui turi tokią pat į tak taką , kaip ir kūno masė vykstant kūno slenkamajam jud ė jimui, kitaip tariant, kūno inercijos momentas yra k ūno inertiškumo matas esant sukamajam jud ė jimui.
2.5.3. Standžiojo kūno plokštuminio judė jimo dinamika Iš kinematikos žinome, kad standžiojo k ūno plokštuminį judė jimą galime išskaidyti į du paprastus jud ė jimus, t. y. į slenkamą jį kartu su laisvai pasirinktu poliumi ir sukam ą jį apie šį polių . Nagrinėdami plokštuminio kūno judė jimo dinamikos uždavinius, galime galime šiuos uždavinius sprę sti sti kaip ir paprast ų kūno judė jimų uždavinius. Esant slenkamajam jud ė jimui plokštumoje taikome masės centro jud ė jimo teoremos išraišką (108): d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix , dt i =1 2 n M d y C = ∑ F i , iy dt 2 i =1 pagal kuri ą poliumi yra laikomas k ūno masės centras C. Esant sukamajam k ūno judė jimui taikome kūno sukamojo jud ė jimo diferencialinę lygtį (109): d 2 ϕ I z 2 = M zi , dt
pagal kurią kūno inercijos momentas skai čiuojamas apie aš į , kuri eina per pasirinkt ą jį polių , t. y. per kūno masės centrą C . Taigi galutiniu pavidalu plokštuminio k ūno judė jimo dinamikos uždaviniai gali b ūti sprendžiami taikant anks čiau minėtas diferencialines lygtis:
86
d 2 xC n i M 2 = ∑ F ix , dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy , dt i =1 2 n d ϕ i I = M F ( ). ∑ z z i C dt 2 i =1
(110)
Žinodami, kaip juda k ūnas arba plokš čia figūra, t. y. žinodami jud ė jimo funkcijas: xC = f 1 (t ), y C = f 2 (t ), ϕ = f (t ), 3
galime rasti šį kūną veikiančias jėgas, kitaip tariant, išspr ę sti sti pirmą jį dinamikos uždavin į . Įvertinę kūno arba figūros plokštuminio jud ė jimo pradines s ą lygas, lygas, t. y. pad ėtį ir greičius pradiniu laiko momentu, pagal žinomas veikian čią sias sias jėgas, integrav ę judė jimo diferencialines lygis (110), galime rasti šio k ūno judė jimo grei čius ir judė jimo d ėsnius, kitaip sakant, išspr ę sti sti antrą jį dinamikos uždavin į .
87
3. SUVARŽYTOS MECHANIN ĖS SISTEMOS DINAMIKA 3.1. Bendrosios sąvokos 3.1.1. Suvaržyta mechaninė sistema Nagrinė jant materialių jų taškų sistemą kiekvienam sistemos taškui buvo sudarytos trys skaliarinės diferencialin ės judė jimo lygtys. Sistemai, sudarytai iš N materialių jų taškų , tokių lygčių galima užrašyti 3 N . Atskirus sistemos taškus veikian čios jėgos gali priklausyti nuo kit ų taškų judė jimo ir padėties. Todėl į atskiriems taškams užrašyt ų diferencialinių lygčių dešinią sias sias puses bus į trauktas trauktas laikas, vis ų kitų taškų koordinatės bei grei čiai. Taigi turėsime iš 3 N sudaryt ą tarpusavyje susijusi ų diferencialinių lygčių sistemą . Toks uždavinys neturi tikslaus bendrojo sprendinio net vienam materialiajam taškui. Uždavinys yra ypa č sudėtingas dviejų taškų , kuriuos veikia tik visuotin ės traukos j ėgos, atveju, o esant trij ų taškų sistemai (trijų k ūnų uždavinys) jis iš viso neišsprendžiamas. neišsprendžiamas. Šie skaičiavimo sunkumai yra susij ę su tuo, kad ne į vertinami vertinami sistemos suvaržymai. Realios sistemos turi baigtin į laisvės laipsnį . Kaip pamatysime v ėliau, sistemos judes į aprašan čių nepriklausomų jų diferencialinių lygčių skai čius gali b ūti toks, koks yra sistemos laisvės laipsnis. Dauguma mechanizm ų ir mašinų turi tik vieną laisvės laipsnį . Suvaržytos mechanin ės sistemos dinamikos pagrindus pranc ūzų matematikas Lagranžas 1788 m. išd ėstė savo traktate Analizinė mechanika . Toliau bus nagrin ė jami bendrieji mechanikos principai, kurie į vertina vertina sistemos suvaržymus. Nagrin ė jimą pradėsime nuo sistem ą varžan čių ryšių analizės.
3.1.2. Ryšiai Ryšių są voka voka aptariama statikoje, nagrin ė jant suvaržytų kūnų pusiausvyr ą , ir kinematikoje, aptariant k ūnų sistemos strukt ūrą . Apibendrinant galima pasakyti, kad ryšiais vadinamos bet kokios iš anksto pateiktos s ą lygos, lygos, kurias turi atitikti sistemos tašk ų koordinatės, greičiai ir pagreičiai. Lygtys, išreiškian čios išvardytus apribojimus, vadinamos ryšių lygtimis. Ryšių pobūdis lemia ne tik sistemos jud ė jimą , bet ir metod ą , pasirenkam ą judė jimui tirti. tirti . Todėl ryšius svarbu tinkamai suklasifikuoti. Pirmiausia juos suskirstysime į dvi klases: holonominius ir neholonominius. Holonominiais vadinami ryšiai, kuriuos galima matematiškai išreikšti paprastosiomis sistemos taškų koordinates siejan čiomis algebrinėmis lygtimis, arba koordina čių atžvilgiu integruojamomis diferencialinėmis lygtimis. Šiais ryšiais nustatoma tašk ų tarpusavio pad ėtis ir kartu visos sistemos geometrija, tod ėl dažnai holonominiai ryšiai vadinami geometriniais. Neholonominiai ryšiai išreiškiami neintegruojamomis diferencialin ėmis lygtimis, į kurias eina ne tik tašk ų koordinatės, bet ir tašk ų koordinačių išvestinės laiko atžvilgiu. į eina Neholonominiais ryšiais suvaržomos ne tik tašk ų koordinatės, bet ir jų greičiai bei pagrei čiai, t. y. sistema erdv ė je ne tik turi užimti nustatytą padėtį , bet ir jos taškai turi jud ėti iš anksto nustatytais grei čiais ir pagrei čiais. Todėl neholonominiai ryšiai dažnai vadinami kinematiniais. 88
Ryšių veikiama sistema yra suvaržyta ir turi baigtin į laisvės laipsnį . Sistemą varžantys ryšiai yra kryptingo pob ūdžio – ryšiais valdomas sistemos jud ė jimas, nustatomas reikiamas judė jimo režimas. Praktikoje ryšiai realizuojami atitinkamomis technin technin ėmis priemonėmis. Holonominiai ryšiai išreiškiami tokio pavidalo lygtimis ar atviromis nelygyb ėmis: f ( x i , y i , z i , t ) = 0 ,
(111)
f ( xi , y i , z i , t ) ≥ 0
(112)
f ( x i , y i , z i ) = 0 ,
(113)
f ( x i , y i , z i ) ≥ 0 .
(114)
arba
Ryšiai, išreikšti lygtimis, į kurias į eina eina laikas t , vadinami kintamais, arba nestacionariais, pavyzdžiui, (111) ir (112) formul ės. (113) ir (114) lygtimis išreikšti ryšiai yra pastovūs, arba stacionar ūs. Atviromis nelygyb ėmis (112) ir (114) išreikšti ryšiai vadinami vienpusiais. Simboliškai tokį ryšį galima pavaizduoti kaip viena plokštuma varžom ą judė jimą (40 pav., a):
a)
b)
40 pav. Ryšiai: a – vienpusiai; b – dvipusiai
Lygtimis (111) ir (113) išreikšti ryšiai vadinami dvipusiais. Simboliškai tok į ryšį galima pavaizduoti kaip dviej ų plokštumų varžomą judė jimą (40 pav., b). Pirmosios eilės neholonominiai ryšiai išreiškiami tokio pavidalo lygtimis: l ygtimis: ϕ( x i , y i , z i , x& i , y& i , z& i , t ) = 0 .
(115)
Kaip buvo pabr ėžta anks čiau, neholonominio ryšio lygties negalime suintegruoti ir gauti holonominio ryšio lygt į f ( xi , y i , z i , t ) = const. Toliau nagrinėsime sistemas su stacionariais holonominiais ryšiais. Kaip pavyzd į panagrinėsime skriejiko-švaistiklio mechanizm ą (41 pav.).
89
y A r O
B
ϕ
x
41 pav. Skriejiko-švaistiklio mechanizmas
Šiam mechanizmui galima užrašyti tris ryši r yšių lygtis: x A2 + y A2 = r 2 ,
( x B − x A )2 + ( y B − y A ) = l 2 , y B = 0 .
(116) .
Suvaržytos mechanin ės sistemos dinamikos analizei taikoma statikos ryši ų aksioma, pagal kurią ryšių į taka sistemos pad ėčiai ir judė jimui pasireiškia ryšių reakcijų jėgomis. ų į taka
3.1.3. Apibendrintosios koordinatės Tarkime, kad sistem ą sudaro N materialių jų taškų . Sistemą varžo s ryšių lygčių : f x j , y j , z j , t = 0 ;
(117)
čia j = 1, 2, ..., s. Tuomet tik (3 N − s ) sistemos taškų koordinatės yra nepriklausomos viena nuo kitos; likusios s koordinatės gaunamos iš ryši ų lygčių kaip nepriklausom ų koordinačių funkcijos. Nepriklausomos koordinat ės, kurių skaičius lygus n = 3 N − s , vadinamos apibendrintosiomis sistemos koordinat ėmis ir žymimos simboliu q k ; čia k = 1, 2, ..., n .
Apibendrintosiomis koordinat ėmis gali būti tie sistemos parametrai, kuriais patogu apibrėžti sistemos pad ėtį ir judė jimą , pavyzdžiui, Dekarto koordinat ės, kampai, sektoriniai plotai ir pan. Sistemos padėties apibrėžimas apibendrintosiomis koordinat ėmis atliekamas dviem etapais: 1) n nepriklausomų Dekarto koordinačių išreiškiamos n apibendrintosiomis koordinat ėmis taikant atitinkamas transformacijoms skirtas formules; 2) naudojant ryši ų lygtis (117), apibendrintosiomis koordinat ėmis išreiškiamos ir likusios s priklausomos Dekarto koordinat ės. 90
Taigi gauname: xi = x i (q1 , q 2 , ..., q n , t ), y i = y i (q1 , q 2 , ..., q n , t ), z = z (q , q , ..., q , t ); i n 1 2 i
(118)
čia i = 1, 2, ..., N . Jei holonominiai sistemos ryšiai yra stacionar ūs (nepriklausomi nuo laiko), tai lygtyse (117) ir (118) laiko parametro t nebus. Sistemos su holonominiais stacionariais ryšiais apibendrint ų jų koordinačių skaičius yra lygus sistemos laisvės laipsniui. r r r r Sistemos taškų padėtį išreiškus pad ėties vektoriais r i = x i i + y i j + z i k ir atsižvelgus į
funkcijas (118), galima teigti, kad pad ėties vektoriai taip pat yra apibendrint ų jų koordinačių funkcijos: r
r
r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ;
(119)
čia i = 1, 2, ..., N . Norint apskaičiuoti materialių jų taškų sistemos judė jimą , visų pirma reikia rasti apibendrintą sias sias koordinates, išreikštas laiko funkcijomis, tuomet, taikant formules (118), laiko funkcijomis galima išreikšti visas Dekarto koordinates, t. y. apibr ėžti visos sistemos judė jimą . Apibendrintosioms koordinat ėms skaičiuoti sistemos diferencialin ės judė jimo lygtys turi būti išreikštos apibendrintosiomis koordinat ėmis. Sudarytų lygčių skai čius bus lygus apibendrintų jų koordinačių skaičiui, t. y. sistemos laisv ės laipsniui. Toki ų diferencialinių lygčių sudarymo taisykl ės yra pateiktos toliau.
3.1.4. Virtualieji poslinkiai Suvaržyt ų sistemų dinamikos analiz ė je yra vartojama są voka voka virtualusis poslinkis. Tarkime, kad materialusis taškas M turi būti tam tikroje plokštumoje, t. y. turi atitikti holonominį stacionarų ryšį , išreikštą plokštumos lygtimi f ( x, y, z ) = 0 (42 pav.).
r
δ r
r
r O 42 pav. Virtualieji poslinkiai
91
r
Galima į sivaizduoti sivaizduoti daugyb ę elementarių jų poslinkių δr , kurie atitinka konkre čią ryšių r lygtį . Šie poslinkiai reiškia pad ėties vektoriaus r elementariuosius poky čius, kuriuos leidžia konkretus suvaržymas. Taigi virtualiuoju taško poslinkiu vadinamas be galo mažas poslinkis, kur į tam tikru laiko momentu leidžia esantys suvaržymai. r Tikruoju elementariuoju poslinkiu δr vadinamas pad ėties vektoriaus pokytis per laikotarpį dt . Tikrasis poslinkis nuo virtualiojo skiriasi tuo, kad virtualusis poslinkis nustatomas esant fiksuotam laiko momentui δt = 0 . Jeigu tašką varžantis ryšys nepriklauso nuo laiko, tai tikrasis poslinkis d r sutampa su vienu iš virtuali ų jų poslinkių δr . Materialių jų taškų sistemos virtualų jį poslinkį sudaro tų taškų virtualių jų poslinkių r r r visuma (δr 1 , δr 2 , ..., δr N ) . Kadangi tašk ų padėties vektoriai yra sistemos apibendrint ų jų koordinačių funkcijos, tai ir sistemos virtualieji poslinkiai gali b ūti išreikšti apibendrint ų jų koordinačių pokyčiais (δq1 , δq 2 ,..., δq n ) . r r Žiūrint į taško padėties vektorių r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) kaip į kelių kintamų jų funkciją , virtualiesiems poslinkiams skai čiuoti galima taikyti funkcijos pilnojo diferencialo taisykl ę : r
r
r
∂r ∂r ∂r δr i = i ⋅ δq1 + i ⋅ δq 2 + ... + i ⋅ δq n , ∂q1 ∂q 2 ∂q n r
arba r
∂r δr i = ∑ i ⋅ δq i . i =1 ∂q i r
n
(120)
Kadangi virtualusis poslinkis nepriklauso nuo laiko, tai į formulę (120) laiko išvestin ė neį eina. eina.
3.1.5. Jėgos virtualusis darbas r
r
Sistemos taškui, kur į veikia jėga F , suteikus virtual ų jį poslinkį δr , galima apskai čiuoti r jėgos F virtualų jį darbą : r
r
r
r
δ A = F ⋅ δr = F δr cos α,
(121)
arba pasirinkus koordinatin ę formą : δ A = F ⋅ x δ x + F y ⋅ δ y + F ⋅ z δ z .
92
(122)
3.1.6. Idealieji ryšiai Susipažinus su j ėgos virtualiuoju darbu, galima prapl ėsti ryšių są vok voką . Sistemos tašk ą r r veikiančias jėgas galima suskirstyti į aktyvi ą sias sias F i ir ryšių reakcijas Ri . Tuomet tašk ą r veikiančių jėgų atstojamoji jėga F i* bus: r
r
r
F i * = F i + Ri .
(123)
Suteikę sistemai virtualų jį poslinkį , apskai čiuosime visos sistemos j ėgų virtualų jį darbą : N
N r
δ Ai = ∑ F i ∑ i 1 i 1 =
N r
N r
i =1
i =1
⋅ δr i =∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i .
*
=
(124)
Gali būti, kad sistemos ryšiai atitinka tapatyb ę : N r
r
∑ Ri ⋅ δr i ≡ 0.
(125)
i =1
Sistemos ryšiai, kai ryši ų reakcijų virtualių jų darbų suma lygi nuliui, vadinami idealiaisiais. Analizinė mechanika remiasi tik matematin ėmis išraiškomis. Tod ėl galime teigti, kad formulė (125) atitinka logines s ą vokas vokas trinties jėgų nepaisome, ryšių reakcijų jėgų nepaisome ir pan.
3.1.7. Apibendrintosios jėgos Są voka voka apibendrintoji j ėga yra labai svarbi analizin ė je mechanikoje. Panagrin ėsime iš N materialių jų taškų sudarytą mechaninę sistemą , kurią veikia idealieji holonominiai ryšiai. Tokios sistemos aktyvi ų jų jėgų virtualusis darbas bus: N
N r
r
δ Ai = ∑ F i ⋅ δr i. ∑ i 1 i 1 =
(126)
=
r
Virtualų jį poslinkį δr išreikškime formule (120): r
r
n
∂r i
i =1
∂q k
δr = ∑
⋅ δq k .
Tuomet r
n ∂r i A F q δ = ⋅ δ ∑ ∑ i I ∑ k . q ∂ i =1 i =1 k 1 = k N
N r
93
Pakeitę sumavimo eiliškum ą , turėsime: r
N r ∂r i δq k . δ Ai = ∑ ∑ F ∑ i =1 k =1 i =1 i ∂q k N
n
(127)
Skliaustuose esan čią sumą pažymėsime simboliu Qk , t. y. r
∂r Qk = ∑ F i i . ∂q k i =1 N r
(128)
Dabar lygyb ę (127) galime perrašyti taip: N
n
=
=
δ Ai = ∑ Qk δq k =Q1 δq1 + Q2 δq 2 + ... + Q n δq n . ∑ i 1 k 1
(129)
Išraišką (128) galime užrašyti koordinatine forma: N ∂ x ∂ y ∂ z Qk = ∑ F ix i + F iy i + F iz i . ∂q k ∂q k ∂q k i =1
(130)
Dydis q k vadinamas apibendrint ą ja koordinate, atitinkančia apibendrintą ją jėgą Qk . Apibendrintosios j ėgos Qk skaičiavimas supaprast ė ja, jeigu imamas ne bet koks sistemos virtualusis poslinkis, o tik koordinat ės q k poslinkis δq k , o visos likusios apibendrintosios koordinatės nesikei čia: δq k ≠ 0 , δq1 = δq 2 = ... = 0 . Jėgų sistemos virtualusis darbas dabar išreiškiamas tik vienu (129) sumos nariu: N ∑ δ Ai = Qk δq k , i =1 k
iš čia Qk =
N ∑ δ Ai i =1 k δq k
.
(131)
Apibendrintoji jėga priklauso nuo apibendrintosios koordinat ės pobūdžio. Kai apibendrintoji koordinat ė matuojama ilgio vienetais, apibendrintoji j ėga atitinka fizin ę jėgą ir matuojama niutonais. Kai apibendrintoji koordinat ė yra kampas, apibendrintoji j ėga yra momentas.
94
3.2. Bendrieji mechanikos metodai 3.2.1. Virtualių jų poslinkių principas Virtualių jų poslinkių principas bendriausia forma išreiškia bet kurios mechanin ės sistemos statinės pusiausvyros s ą lyg lygą . Virtualių jų poslinkių principas formuluojamas taip: mechaninės sistemos su idealiaisiais holonominiais ryšiais pusiausvyrai b ūtina ir pakankama, kad visų sistemą veikiančių aktyvių jų jėgų virtualių jų darbų , atliekamų esant bet kuriam tos sistemos virtualiajam poslinkiui, suma b ūtų lygi nuliui. Šią są lyg lygą analiziškai galime išreikšti lygtimi: n
r
r
∑ δ AiF = ∑ F i δr = 0,
(132)
i =1
arba projekcijomis į koordinačių ašis: n
(F ix δ xi + F iy δ yi + F iz δ zi ) = 0. ∑ δ AiF = ∑ i 1
(133)
=
Šiems teiginiams į rodyti rodyti nagrinėsime iš N materialių jų taškų sudaryt ą pusiausvirą ją r sistemą . Vieną sistemos tašk ą veikiančių aktyvių jų jėgų atstojamą ją pažymėsime F i , o ryšių r r r reakcijų atstojamą ją Ri . Kadangi sistema yra pusiausviroji, tai F i + Ri = 0 . Padaugin ę iš r taško virtualiojo poslinkio δr i , gausime: r
r
r
r
F i ⋅ δr i + Ri ⋅ δr i = 0.
(134)
Analogiškas lygtis galime užrašyti visiems sistemos taškams. Susumav ę panariui visas lygtis, turėsime: r
r
r
r
∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i = 0. Sistemai su idealiaisiais ryšiais jau tur ė jome
n
r
(135)
r
∑ Ri ⋅ δr i = 0 . Todėl gausime: i =1
n
r
r
∑ F i ⋅ δr i = 0 .
(136)
i =1
Taigi būtinumo są lyga lyga į rodyta. rodyta. Pakankamumui į rodyti rodyti pasinaudosime atvirkštiniu samprotavimu. Tarkime, kad (132) są lyga lyga į vykdyta, vykdyta, bet sistem ą veikiančios jėgos neatsvarin ės. Šiuo atveju pradžioje nejud ė jusi sistema neatsvarini ų jėgų veikiama prad ės judėti ir per maž ą laiko tarpą dt pajudės tikruoju
95
r
r
r
judesiu d r . Kai sistemos ryšiai stacionar ūs, tikrasis poslinkis d r sutaps su virtualiuoju δr . Sistemą veikiančių jėgų atliktas darbas bus: n
r
r
n
r
r
∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i > 0. i =1
(137)
i =1
Kadangi sistemos ryšiai yra idealieji, antroji suma lygi nuliui: n
r
r
∑ Ri ⋅ δr i = 0 . i =1
n
r
r
lygai. Taigi į rodyta rodyta ∑ F i ⋅ δr i > 0 , o tai prieštarauja (132) s ą lygai.
Iš to išplaukia, kad
i =1
pakankamumo s ą lyga. lyga. Pavyzdžiai: 1. Reikia apskai čiuoti gembinės sijos atramines reakcijas. Sija apkrauta išskirstyt ą ja apkrova r q , jėgų poros momentu M ir koncentruot ą ja jėga F (43 pav.). r
F
q M
α
A a
c
b
43 pav. Nagrinė jamoji gembinė sija
Visų rpirma sutvarkome apkrovas: išskirstyt ą ją apkrovą pakeičiame koncentruot ą ja jėga Q , jėgą F išskaidome į dedamą sias sias koordinačių ašių atžvilgiu (44 pav.). r
y
r
Q
r
M A
F y α r
F x x b / 2 b / 2
a l1
c l2
44 pav. Gembinės sijos skaičiuojamoji schema
Q = q ⋅b,
l1 = a + 0,5b ,
96
l 2 = 0,5b + c .
F x = F ⋅ cos α ,
F y = F ⋅ sin α .
Atrama A (44 pav.) yra trij ų ryšių , nes varžo tris elementariuosius judesius – dx, dy, d ϕ . Taikome ryši ų aksiomą ir nuosekliai pašaliname po vien ą ryšį , suteikdami sistemai vien ą laisvės laipsnį . Gauname tris skai čiuojamą sias sias schemas (45 pav.). r
Q M r
r
M
F y
A
r
F x
δϕ
l1
l2
a)
r
Q
r
M A
F y r
F x
δ y
r
R Ay l1 b)
l2 r
Q r R Ax A
r
M
F y
r
F x δ x
l1
l2
c)
45 pav. Gembinės sijos virtualieji poslinkiai
Iš (45 pav., a) galime apskai čiuoti reakcijos moment ą M r . Suteikiame sijai virtual ų jį poslinkį δϕ ir virtualių jų poslinkių principu sudarome lygt į :
∑ δ Ai = 0 , pagal kuri ą užrašome vis ų veikiančių siją jėgų elementarių jų darbų sumą esant sistemos virtualiesiems poslinkiams, t. y.
97
− M r ⋅ δϕ + Q ⋅ l1 ⋅ δϕ + M ⋅ δϕ + F y (l1 + l 2 ) ⋅ δϕ = 0.
(138)
Teigiamą darbą atlieka tos j ėgos, kurių momento apie tašk ą A kryptis sutampa su δϕ kryptimi. Padalij ę visus narius iš δϕ , gausime: M r = Q ⋅ l1 + M + F y (l1 + l 2 ) .
(139)
− R Ay ⋅ δ y + Q ⋅ δ y + F y ⋅ δ y = 0.
(140)
R Ay = Q + F y .
(141)
R Ax ⋅ δ x − F x ⋅ δ x = 0
(142)
R Ax = F x .
(143)
Iš (45 b pav.) tur ėsime:
Iš čia:
Iš (45 pav., c): ir
Taigi pritaikę virtualių jų poslinkių principą , radome į tvirtinimo tvirtinimo A reakcijų reikšmes. 2. Nagrinė jame (46 pav.) pavaizduotą diržinę pavar ą . Reikia apskai čiuoti, kokio dydžio turi būti jėgų poros momentas M , kad būtų atsvertas krovinio 3 poveikis. r
v B
r
v A
A R1
R2
δϕ1
δϕ2
O1
M
B
ω1
r 2 O2
ω2
2
1
3
r
vC C r
v3
δs3
r
G3
46 pav. Diržinė pavara
Suteikime sistemai virtual ų jį poslinkį δϕ1 . Krovinys pasislinks δs3 . Kad sistema b ūtų pusiausviroji, pagal virtuali ų jų poslinkių principą turi būti tenkinama lygtis:
∑ δ Ai = 0 ,
arba M ⋅ δϕ1 − G 3 ⋅ δs 3 = 0 . 98
(144)
Norėdami virtualų jį poslinkį δs3 išreikšti sistemai suteiktu poslinkiu δϕ1 , pritaikome taisyklę : sistemos, turinčios vieną laisvės laipsnį , linijiniai ir kampiniai poslinkiai yra susij ę ta pačia priklausomybe kaip ir atitinkami grei čiai. Šiai priklausomybei nustatyti sudarome greičių są ryšio ryšio seką : v3 = vc = ω 2 ⋅ r 2 =
Iš čia turėsime v3 =
v B v ω R ⋅ r 2 = A ⋅ r 2 = 1 1 ⋅ r 2 . R2 R 2 R2
δs r 2 ⋅ R1 δϕ ω1 . Įvertinę tai, kad v3 = 3 ir ω1 = , gausime: R2 dt dt δs 3 =
r 2 ⋅ R1 δϕ1 . R2
ę į rašome Gautą ją δs 3 reikšmę į rašome į (144) lygtį :
M ⋅ δϕ1 − G3 ⋅
r 2 ⋅ R1 δϕ1 = 0. R2
(145)
Ir iš (145) lygties l ygties gausime poros momento reikšm ę : M =
r 2 ⋅ R1 G3 . R2
(146)
Virtualių jų poslinkių principas buvo sukurtas sud ėtingoms sistemoms skai čiuoti. Šis metodas taikomas paprastiems uždaviniams, tokiems kaip 1 pavyzdys, spr ę sti, sti, privalumų , palyginti su tradiciniu statikos sprendimu, neturi. Ta čiau 2 pavyzd į išsprę sti sti tradiciniu būdu būtų gerokai sud ėtingiau. Be to, reikia pažym ėti, kad virtualių jų poslinkių principas yra taikomas deformuojam ų jų kūnų mechanikoje ir sistem ų dinamikoje.
3.2.2. d’Alambero principas d’Alambero principo taikymas materialiajam taškui Kol nebuvo suformuluota ryši ų aksioma, dinamikos d ėsniai buvo taikomi laisvojo kietojo kūno ar materialiojo taško jud ė jimui nagrinėti. Suvaržyt ų sistemų judesiui tirti d’Alamberas pasi ūlė special ų metodą , vėliau pavadint ą d’Alambero principu . Pasinaudoję ryšių aksioma, suvaržytam materialiajam taškui galime užrašyti tokias pat judė jimo lygtys, kaip ir laisvajam taškui, tik prie aktyvi ų jų jėgų turi būti pridėtos ir ryšių reakcijos. Paėmę vieną sistemos tašką , užrašykime pagrindin į dinamikos dėsnį . Turėsime: r
r
r
mi a i = F i + Ri ;
99
(147)
r
r
čia F i – aktyvių jų jėgų atstojamoji; Ri – ryšių reakcijų atstojamoji.
Perkėlę visus (147) lygties narius į vieną pusę , gausime: r
r
r
F i + Ri − mi a i = 0. r
r
(148) r
r
Sandaugą (− mi a i ) pažymėsime vektoriumi Φ i . Dydis Φ i = −mi ai vadinamas materialiojo taško inercijos jėga. Minuso ženklas rodo, kad inercijos j ėgos vektorius yra nukreiptas į priešingą pusę nei pagrei čio vektorius. Tuomet iš (148) formul ės turėsime tokią išraišką : r r r F i + Ri + Φ i = 0 . (149) Lygtis (149) išreiškia d’Alambero princip ą suvaržytam materialiajam taškui: materialiajam taškui judant, aktyviosios j ėgos, ryšių reakcijos ir inercijos j ėga kiekvienu laiko momentu sudaro atsvarini ų jėgų sistemą. Suprojektavę (149) lygt į į Dekarto koordinačių ašis, gausime skaliarin ę d’Alambero principo išraišką : F ix + Rix + Φ ix = 0, F iy + Riy + Φ iy = 0, (150) F iz + Riz + Φ iz = 0. Lygtį (149) galime projektuoti ir į natūralią sias sias koordinačių ašis. Šiuo atveju taip pat turėsime tris skaliarines d’Alambero principo išraiškas. d’Aalambero principo esm ė yra ta, kad taikydami š į metodą dinamikos uždavini ų sprendimui galime suteikti statikos pusiausvyros lyg čių pavidalą . Pavyzdys: Reikia apskai čiuoti lifto lyno į tempim tempimą liftui leidžiantis ir kylant pastoviuoju pagrei čiu. Lifto masė m (kg). a) Kai liftas leidžiasi, jis juda tiesiaeigiškai, j į galima pavaizduoti kaip material ų jį tašką (47 pav.). r
R r
Φ
m
r r
a, v
r
G x 47 pav. Lifto judė jimas žemyn
100
r
r
r
Nutraukę ryšį , pažymime lift ą veikiančias jėgas G, R, Φ . Kadangi judan čio lifto pagreitis nukreiptas vertikaliai žemyn, inercijos j ėgą nukreipiame priešinga kryptimi, t. y. į viršų . Taikydami d’Alambero princip ą , sudarome j ėgų pusiausvyros lygt į :
∑ F ix = 0.
(151)
G − Φ − R = 0.
(152)
R = G − Φ.
(153)
Įrašę jėgas, turėsime:
Iš čia
Įvertinę tai, kad sunkis G = mg ir inercijos jėga Φ = ma, gausime galutinę ryšių reakcijos jėgą : R = m(g − a ) . (154)
Matyti, kad, liftui leidžiantis žemyn, dinamin ė ryšio reakcija (lyno į tempimo tempimo jėga) R yra mažesnė už statinę , kuri lygi sunkiui, t. y. R = G. b) Liftui kylant pagreitis yra nukreiptas vertikaliai į viršų , o inercijos j ėga – priešinga kryptimi, t. y. žemyn (48 pav.) r
R r r
a, v m r
G
r
Φ
x 48 pav. Lifto judė jimas vertikaliai į viršų
Atlikę visus anksčiau minėtus matematinius veiksmus, tur ėsime:
∑ F ix = 0, G + Φ − R = 0, R = G + Φ = m(g + a ).
Matome, kad liftui kylant inercijos j ėga padidina lyno apkrovim ą . 101
D’Alambero principo taikymas taikymas materialiai sistemai Taikysime d’Alambero princip ą sistemai, sudarytai iš N materialių jų taškų . Kiekvienam sistemos taškui galime užrašyti toki ą lygtį : r
r
r
F i + Ri + Φ i = 0,
i = 1, 2, ..., N .
(155)
Susumavę šias lygtis, gausime: N r
N r
N r
F i + ∑ Ri + ∑ Φ i = 0. ∑ i 1 i 1 i 1 =
=
(156)
=
Padaugin ę (156) lygties narius vektoriškai iš tašk ų padėties vektorių , gausime: N
r
r
N
N
r
r
r ( × + × + ( ) ( ) r F r R r ∑ i i ∑ i i ∑ i × Φ i ) = 0, i =1
r
i =1
i =1
arba N
r
r
N
r
N
r
r
r
∑ M O (F i ) +∑ M O ( Ri ) +∑ M O (Φ i ) = 0. i =1
i =1
(157)
i =1
Vektorinės lygtys (155) ir (157) išreiškia d’Alambero princip ą mechaninei sistemai: mechaninei sistemai judant, aktyviosios j ėgos, ryšių reakcijos ir inercijos j ėgos kiekvienu laiko momentu sudaro atsvarini ų jėgų sistemą kiekvienam sistemos taškui . Išreiškę vektorines lygtis (156) ir (157) projekcijomis į koordinačių ašis, gausime šešias skaliarines pusiausvyros lygtis, analogiškas statikos erdvin ės sistemos pusiausvyros lygtims: N
N
N
F ix + ∑ Rix + ∑ Φ ix = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =
=
=
N
N
N
F iy + ∑ Riy + ∑ Φ iy = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =
=
=
N
N
N
=
=
F iz + ∑ Riz + ∑ Φ iz = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 N
r
=
N
r
N
(158)
r
M x (F i ) + ∑ M x ( Ri ) + ∑ M x (Φ i ) = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =
N
=
r
N
r
i =1 N
=
r
N
r
r
i =1 N
r
∑ M y (F i ) + ∑ M y ( Ri ) + ∑ M y (Φ i ) = 0, i =1 N
∑ M z (F i ) + ∑ M z ( Ri ) + ∑ M z (Φ i ) = 0. i =1
i =1
i =1
r
r
Sugrupavus sistemos taškus veikian čias jėgas į išorines F i ir vidines F i v , lygtys (156) ir (157) turės tokį pavidalą :
102
i
N r
N r
F i + ∑ Φ i = 0. ∑ i 1 i 1 i
=
N
(159)
=
r
r
N
r
r
∑ M O (F i ) +∑ M O (Φ i ) = 0, i
i =1
(160)
i =1
N r
nes vidinės jėgos atitinka žinomas s ą lygas lygas
N
r
r
∑ F i = 0 ir
∑ M O (F i v ) = 0 .
i =1
i =1
v
Suprojektavę (159) ir (160) lygtis į koordinačių ašis vėl gausime šešias j ėgų pusiausvyros lygtis. Lygtyse (159) ir (160) n ėra vidinių jėgų , todėl daugeliu atvej ų jos yra patogesn ės dinamikos uždaviniams spr ę sti. sti. Lygtyse (156) ir (157) inercijos j ėgų sumas galima pažym ėti: N r
r
Φ = ∑ Φi .
(161)
i =1
r
N
r
r
M O = ∑ M O (Φ i ); Φ
(162)
i =1
r
r
čia Φ – inercijos j ėgų suminis vektorius; M ОΦ – inercijos j ėgų suminis vektorinis momentas.
Kad būtų galima naudoti sudarytas lygtis (158), reikia žinoti mechanin ės sistemos inercijos jėgų suminio vektoriaus ir suminio vektorinio momento reikšmes. Ta čiau praktiniams uždaviniams spr ę sti sti pakanka žinoti kiekvieno mechanin ės sistemos kūno inercijos jėgas ir jų pridėties vietas. Pavyzdžiui, turime bet kaip judan čią mechanin ę sistemą . Rasime šios sistemos inercijos jėgų suminį vektorių . Pagal (161) formul ę suminis vektorius: r
N r
N
i =1
i =1
r
Φ = ∑ Φ i = − ∑ mi a i .
Žinome, kad mechanin ės sistemos judesio kiekis lygus sistemos masei, padaugintai iš sistemos masės centro grei čio: r
N
r
r
K = ∑ mi vi = M ⋅ vC . i =1
Ieškome šios išraiškos išvestin ės laiko atžvilgiu: r
r
d vi d vC m = M , ∑ i dt dt i =1 N
arba, į vertin vertinę tai, kad greičio išvestinė lygi pagreičiui, galime užrašyti: 103
N
r
r
mi a i = M ⋅ a C . ∑ i 1 =
Įvertinę gautą ją išraišką , mechaninės sistemos inercijos j ėgų suminį vektorių galime užrašyti taip: r r Φ = − M ⋅ a C . (163)
Matome, kad mechanin ės sistemos inercijos j ėgų suminis vektorius esant bet kokiam mechaninės sistemos jud ė jimui lygus sistemos masės M ir sistemos mas ės centro pagrei čio r a C sandaugai ir yra nukreiptas į priešingą pusę negu masės centro pagreitis. Iš vektorin ės lygties (163) išplaukia, kad mechaninės sistemos inercijos j ėgų suminis vektorius yra prid ėtas sistemos masės centre arba gali b ūti lygiagretus su mas ės centro pagrei čiu. Nagrinė jant atskirus mechaninės sistemos jud ė jimo atvejus, pavyzdžiui, skai čiuojant standžiojo kūno suminį inercijos jėgų vektorių , reikia į vertinti vertinti kūno masės pasiskirstym ą erdvė je ir judė jimo pobūdį . Tarkime, vienalytis strypas AB, kurio ilgis l, standžiai pritvirtintas prie vertikalaus veleno kampu α ir kartu su velenu sukasi pastoviuoju kampiniu grei čiu ω (49 pav.). r
an ω
B
r i
r
Φ k
i r
aC
C
r
Φ
1 l 3
α r
A
G
49 pav. Strypo inercijos jėgų suminis vektorius
Strypo masė M išdėstyta per vis ą strypo ilgį tolygiai. Veleno į tvirtinimo tvirtinimo reakcijoms skai čiuoti reikia žinoti visas veikian čią sias sias jėgas ir j ų pridėties vietas. Strypo sunkis G = Mg pridedamas strypo viduryje C ir nukreipiamas vertikaliai žemyn. Pagal d’Aalambero princip ą reikia są lygiškai lygiškai pridėti prie strypo inercijos j ėgų suminį vektorių , kurio dydis gali b ūti apskai čiuotas pagal (163) formul ę : Φ = M ⋅ a C = M ω 2 r C = M ω 2
104
l sin α. 2
Strypo mas ę išskaidžius į be galo daug vienodo didumo elementari ų jų masių , galima pastebėti, kad šias elementari ą sias sias mases atitinkan čių strypo atkarp ų centrų pagrei čiai strypo ilgio atžvilgiu bus išd ėstyti pagal tiesin į dėsnį , nes kiekvieno strypo taško pagreitis skai čiuojamas pagal formul ę : a i = ω 2 ⋅ r i ; čia r i – atstumas nuo i-tojo strypo taško iki sukimosi ašies.
Iš čia išplaukia išvada, kad strypo inercijos j ėgos strypo atžvilgiu taip pat yra išd ėstytos pagal tiesin į dėsnį , t. y. pagal trikamp į . Iš statikos žinome, kad paskirstyt ų jėgų atstojamoji 1 pridedama epi ūros ploto centre. Trikampio atveju – atstumu nuo pagrindo l (49 pav.). 3 Strypo inercijos j ėgų atstojamoji visada bus lygi strypo inercijos j ėgų suminiam vektoriui ir nukreipta pagrei čiams priešinga kryptimi. Skaičiuojant standžiojo k ūno inercijos j ėgų suminį vektorinį momentą , svarbu į vertinti vertinti kūno masės išsidėstymą erdvė je ir judė jimo pobūdį . Tarkime, standusis mas ės M kūnas sukasi kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε apie nejudam ą ją ašį (50 pav.). Rasime šio k ūno inercijos jėgų momentą apie sukimosi aš į . z ε ω
M zΦ r
r i
r
aiτ
ain i
r
Φin
r
Φ iτ
50 pav. Standžiojo kūno inercijos jėgų momentas
Kiekvienas besisukan čio kūno jo taškas tur ės normalinį pagreitį ain = ω 2 r i , nukreiptą statmenai sukimosi ašiai, ir tangentin į pagreitį aiτ = ε ⋅ r i , nukreiptą statmenai normaliniam pagrei čiui kampinio pagrei čio kryptimi (50 pav.). Taikydami d’Alambero princip ą , prie kiekvieno taško prid ėsime inercijos j ėgas. Normalinė inercijos jėga Φ in = mi a in nukreipta priešinga normaliniam pagrei čiui kryptimi, t. y. nuo sukimosi ašies. Tangentin ė inercijos jėga Φ iτ = mi a iτ nukreipta priešinga tangentiniam pagrei čiui kryptimi statmenai normalinei inercijos j ėgai. Pagal sukamojo judė jimo apibrėžimą kiekvieno taško pagrei čiai yra plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai. 105
Galime padaryti išvad ą , kad besisukan čio apie nejudam ą ją ašį standžiojo kūno taškų inercijos jėgos yra plokštumose, kurios yra statmenos sukimosi ašiai. Be to, visos k ūno taškų normalinės inercijos j ėgos bus nukreiptos nuo sukimosi ašies, o tašk ų tangentinės inercijos jėgos, veikdamos k ūno taškus, suteikia k ūnui sukamą jį efektą , priešingos krypties nei k ūno tangentiniai pagrei čiai, t. y. priešingas kampiniam pagrei čiui. Kūno inercijos j ėgų momentų apie sukimosi aš į suma: N
N
r
M z = ∑ M z (Φ i ) =∑ M Ф
i =1 N
N
r
i =1
r
N
r
( ) + ∑ M z (Φ iτ ) =
n z Φ i
i =1 N
M z (Φ i ) = −∑ Φ i ⋅ r i = −∑ mi a i ∑ i 1 i 1 i 1 τ
=
τ
=
τ
⋅ r i =
=
N
N
i =1
i =1
− ∑ mi ⋅ ε ⋅ r i ⋅ r i = −ε∑ m i r i 2 = −ε ⋅ I z .
Taigi gavome, kad besisukan čio apie nejudam ą ją ašį kūno tangentinės inercijos j ėgos sukuria inercijos j ėgų momentą sukimosi ašies atžvilgiu, kuris yra lygus k ūno kampinio pagrei čio ir kūno masės inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu sandaugai ir yra nukreiptas į priešingą sukimosi kampiniam pagrei čiui pusę , t. y. M zΦ = −ε ⋅ I z .
(164)
3.2.3. Besisukančio kūno dinaminės guolių reakcijos z r
R Bx
r
R By
B
r
F 1
r
F 2
r r
ω, ε
hi mi zi
r
F i
r
r A yi R Ax r x R Az
R Ay xi
y
51 pav. Besisukančio kūno atraminės reakcijos
Pritaikysime d’Alambero princip ą besisukančio kūno atraminėms guolių reakcijoms skai čiuoti (51 pav.). Taškuose A ir B į tvirtint tvirtintą standų jį kūną veikia jėgų sistema 106
r
r
r
F 1 , F 2 , ..., F n . Laikome, kad k ūnas sukasi apie aš į , einančią per taškus A ir B. Atstumas AB
lygus a. Koordinačių ašies pradžia yra taške A (51 pav.). Tarkime, kad k ūnas sukasi teigiam ą ja kryptimi greitėdamas. Šiuo atveju kampinio grei čio r r ir pagreičio kryptys sutampa. Žym ėsime juos vektoriais ω ir ε . Taškų A ir B reakcijas išskaidome į dedamą sias sias koordinačių ašių atžvilgiu. Taške B kūnas ašies z atžvilgiu nesuvaržytas, tod ėl R BZ = 0 . A ir B ryšių reakcijas: Taikydami d’Alambero princip ą , apskai čiuosime taškų A n
n
=
=
n
n
F ix + R Ax + R Bx + ∑ Φ ix = 0, ∑ i 1 i 1 F iy + R Ay + R By + ∑ Φ iy = 0, ∑ i 1 i 1 =
=
n
n
F iz + R Az + R Bz + ∑ Φ iz = 0, ∑ i 1 i 1 =
=
n
n
r
(165)
r
M x (F i ) − R By a + ∑ M x (Φ i ) = 0, ∑ i 1 i 1 =
=
n
n
r
r
∑ M y (F i ) − R By a + ∑ M y (Φ i ) = 0, i =1 n
i =1 n
r
r
∑ M z (F i ) + ∑ M z (Φ i ) = 0. i =1
i =1
Šiose lygtyse yra penki nežinomi dydžiai – ryši ų reakcijos. Jas rasime apskai čiavę inercijos jėgų projekcijas į koordinačių ašis ir inercijos j ėgų momentus šių ašių atžvilgiu. Inercijos jėgoms skaičiuoti laisvai pasirenkame k ūno materialų jį masės mi tašką , kuris yra nutolę s atstumu hi nuo sukimosi ašies. Taško koordinat ės xi , y i , z i (52 pav.). y
yi
z ω αi
ε
r
aiτ
rn
ai
mi
xi
r
Φ ni r
x
Φ iτ
52 pav. Kūno taško inercijos jėgos
Apskai čiuosime inercijos j ėgų vektorių projekcijas į koordinačių ašis:
107
Φ ixτ = Φ iτ sin α i = mi aiτ sin α i = mi εhi sin α i = mi ε y i , Φ iyτ = −Φ iτ cos α i = − mi a iτ cos α i = − mi εhi cos α i = −mi ε x i , Φ izτ = 0, Φ ixn = Φ in cos α i = mi a in cos α i = mi ω 2 hi cos α i = mi ω 2 xi , Φ iyn = Φ in sin α i = mi a in sin α i = mi ω 2 hi sin α i = mi ω 2 y i , Φ izn = 0.
Apskai čiuojame kūno inercijos jėgų suminio vektoriaus projekcijas į koordinačių ašis: n
n
n
Φ ix = ∑ Φ ix + ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 τ
=
=
Φ ixn n
i =1
i =1
n
i =1
i =1
= ∑ mi ε y i + ∑ mi ω 2 x i =
=
n
n
ε∑ mi y i + ω 2 ∑ mi x i =ε ⋅ My C + ω 2 ⋅ MxC , n
Φ iy = −ε ⋅ Mx C + ω 2 ⋅ My C , ∑ i 1 =
n
Φ iz = 0; ∑ i 1 =
čia M – visa k ūno masė; x c , y c − kūno masės centro koordinat ės. r
r
Rasime inercijos j ėgų Φ iτ ir Φ in momentus koordina čių ašių atžvilgiu: r
M x (Φ iτ ) = y i Φ izτ − z i Φ iyτ = mi x i z i ε, r
M x (Φ in ) = y i Φ izn − z i Φ iyn = −mi y i z i ω 2 , r
M y (Φ iτ ) = z i Φ ixτ − xi Φ izτ = mi y i z i ε, r
M y (Φ in ) = z i Φ ixn − xi Φ izn = mi xi z i ω 2 , r
M z (Φ iτ ) = −Φ iτ hi = −mi hi2 ε, r
M z (Φ in ) = 0.
Inercijos jėgų suminiai momentai koordina čių ašių atžvilgiu: n
r
n
M x = ∑ M x (Φ i ) +∑ M Φ
i =1
n
n
( ) = ε∑ mi x i z i +ω ∑ mi y i z = ε ⋅ I xz − ω 2 ⋅ I yz ;
n x Φ i
τ
i =1
i =1
čia I xz ir I yz – išcentriniai inercijos momentai.
Atlikę nesudėtingus skai čiavimus, gausime: M yΦ = ε ⋅ I yz + ω 2 ⋅ I xz , M zΦ = − I z ε.
108
2
i =1
ę į lygčių sistemą (132), turėsime: Gautas inercijos j ėgų ir momentų išraiškas į raš rašę į n
F ix + R Ax + R Bx + ε ⋅ MyC + ω 2 MxC = 0, ∑ i 1 =
n
F iy + R Ay + R By − ε ⋅ MxC + ω 2 MyC = 0, ∑ i 1 =
n
F iz + R Az = 0, ∑ i 1 =
n
r
(166)
M x (F i ) − R By a + ε ⋅ I xz − ω I yz = 0, ∑ i 1 2
=
n
r
∑ M y (F i ) + R Bx a + ε ⋅ I yz + ω2 I xz = 0, i =1 n
r
∑ M z (F i ) − I z ε = 0. i =1
Iš lygčių sistemos (166) pirm ų jų penkių lygčių galime apskai čiuoti penkias besisukan čio kūno atramines reakcijas. Šeštoji lygtis yra besisukan čio kūno diferencialin ė judė jimo lygtis. Jeigu ω ir ε nežinomi, tai juos galime apskai čiuoti iš šios lygties. l ygties. Koordinačių ašys yra standžiai sujungtos su besisukan čiu kūnu, todėl kūno masės inercijos momentai I z , I xz , I yz ir centro C koordinatės xC , y C yra pastoviej ieji dy dydžiai. ų į atramas Kai ω = 0 ir ε = 0 , k ūnas yra rimties b ūsenos ir papildom ų dinaminių apkrovų į nėra. Rastos atramin ės reakcijos šiuo atveju vadinamos statinėmis dedamosiomis . Naudodami lyg čių sistemą (166) rasime atramines reakcijas, atmet ę veikiančią sias sias išorines jėgas, į vertindami vertindami tik kūno judė jimą . Tokios atramini ų reakcijų dedamosios vadinamos dinaminėmis. Apskai čiuosime atramos B reakcijos dinamines dedam ą sias. sias. Iš lyg čių sistemos (166) gausime: d 1 2 R By = a (ε ⋅ I xz − ω I yz ), 1 d R Bx = − (ε ⋅ I yz + ω 2 I xz ). a
Dinaminė reakcija taške B randama pagal dedam ą sias sias taip: 2
2
d R Bd = ( R Bx ) + ( R Byd ) =
1 a
(ε ⋅ I xz − ω2 I yz )2 + (ε ⋅ I yz + ω2 I xz )2 .
Po nesudėtingų matematinių pertvarkymų turėsime: R Bd =
1 2 ε + ω 4 ⋅ I yz2 + I xz2 . a 109
(167)
Panaši ą išraišką turės ir atramos A reakcijos dinamin ė dedamoji. Remdamiesi atramos B dinaminės dedamosios bendr ą ja išraiška (167), galime padaryti išvad ą , kad dinamin ė dedamoji bus minimali, kai k ūno judė jimas bus tolygusis ( ε = 0 ), ir proporcinga kūno kampinio grei čio kvadratui. Šiuolaikin ėse greitaeigėse mašinose k ūnų greičiai yra dideli. Todėl ir atramų reakcijų dinaminės dedamosios gali b ūti didelės ir gerokai viršyti statines reakcijas. Veikdamos atramas, tokios j ėgos gali jas suardyti. Tod ėl aktualu yra nustatyti, kokiomis są lygomis lygomis judantis k ūnas gali tur ėti minimalias dinamines reakcijas. Iš lyg čių sistemos (166) galime gauti šias s ą lygas: lygas: MyC + ω 2 MxC = 0, − ε ⋅ Mx C + ω 2 My C = 0, ε ⋅ I xz − ω 2 I yz = 0,
(168)
ε ⋅ I yz + ω 2 I xz = 0.
Sprę sdami sdami lygčių sistemą nežinomų jų x C , y C , I xz , I yz atžvilgiu, laikydami, kad k ūno masė M žinoma ir jis juda kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε , gauname: x C = 0, y C = 0, I xz = 0, I yz = 0.
(169)
Galime padaryti išvad ą , kad sukimosi ašis z turi eiti per kūno masės centrą ir sutapti su svarbiausią ja centrine inercijos ašimi. ašimi. Taigi jeigu kūno sukimosi ašis yra k ūno svarbiausioji centrin ė inercijos ašis, tai k ūno į tvirtinimo tvirtinimo vietoje judė jimo metu atramų reakcijos nesiskirs nuo statini ų , kurios atsiranda d ėl veikiančių jų išorinių jėgų . Šiuo atveju sakoma, kad besisukantis k ūnas yra dinamiškai subalansuotas. Dinaminių reakcijų skaičiavimams kartais patogiau naudoti ne galutines formules (166), bet taikyti d’Aalambero principo bendr ą sias sias išraiškas (165).
3.2.4. Bendroji dinamikos lygtis Nagrinė jame iš N materialių jų taškų sudaryt ą sistemą , atitinkančią bet kokius dvipusius r ryšius. Pagal d’Alambero princip ą jėgų sistema, sudaryta iš aktyvi ų jų jėgų F i , ryšių reakcijų r r Ri ir inercijos j ėgų Φ i , bet kuriuo laiko momentu yra atsisv ėrusi. Pusiausvirajai j ėgų sistemai galime pritaikyti virtualių jų poslinkių principą . Todėl, d’Alambero principą sujungę su Lagranžo virtuali ų jų poslinkių principu, gauname d’Alambero ir Lagranžo princip ą dinamiškai materiali ų taškų sistemai: sistemos taškus veikianč ių aktyvių jų jėgų , ryšių reakcijų ir inercijos jėgų virtualių jų darbų , atliekamų esant bet kuriam tos sistemos virtualiajam poslinkiui, suma lygi nuliui . 110
Tai galime išreikšti lygtimis: N
N
N
=
=
=
δ AFi + ∑ δ A Ri + ∑ δ A i = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 Φ
arba N
r
r
r
r ∑ (F i + Ri + Φ )i ⋅ δr i = 0.
(170)
i =1
Ši lygtis vadinamos bendr ą ja dinamikos lygtimi arba d’Alambero ir Lagranžo principu. r r Inercijos jėgas pakeitus j ų išraiškomis Φ i = −mi a i , bendrajai dinamikos lyg čiai galima taikyti kitokią formulę : N
r
r
r
r
r r ∑ (F i + Ri − mi ai )⋅ δr i = 0,
(171)
i =1
r
r
arba, pakeit ę ai = &r &i , turėsime: N
r r ∑ (F i + Ri − mi &r &i )⋅ δr i = 0.
(172)
i =1
Suprojektavę (172) lygt į į koordinačių ašis, gausime analizin ę bendrosios dinamikos lygties išraišką : N
{(F ix + Rix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy + Riy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz + Riz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0. ∑ i 1
(173)
=
Tarkime, kad sistem ą varžantys ryšiai yra idealieji. Tuomet ryši ų reakcijų elementarių jų darbų suma
N r
r
∑ Ri δr i = 0. Šiuo atveju (170)–(173) lygtys tur ės tokį pavidalą : i =1
N
r
r
r + Φ ⋅ δ ( ) F r ∑ i i i =0,
(174)
i =1
N
r
r r F − m a ⋅ δ r ( ) ∑ i i i i = 0,
(175)
i =1
N
r
r& r &r ( ) F − m ⋅ δ r ∑ i i i i = 0.
(176)
i =1
N
{(F ix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0. (177) ∑ i 1 =
111
Pavyzdys Skriemulių blokas sukasi apie horizontali ą ją ašį (53 pav.). Ant skriemuli ų užvynioti lynai, prie jų galų pritvirtintos masės m1 ir m2 . Sistema juda veikiama sunkio. Reikia rasti skriemulių bloko kampinį pagreitį . Bloko ir lyno mas ės galima nepaisyti, sistemos ryšiai idealūs.
R δϕ ω, ε
r
Φ1 δs1
r
G1
δs2 r
r r
r
r
v2 , a 2 v1, a1
G r 2
Φ2
53 pav. Skriemulių blokas
Prie judančių masių pridedame sunk į Gi = mi g . Nustatome arba pasirenkame masi ų judė jimo kryptį ir judė jimo pobūdį , t. y. pagrei čių kryptis. Priešingomis negu pagrei čių kryptimis pridedame inercijos j ėgas Φ i = mi a i . Pasukę bloką virtualiuoju kampu δϕ suteikiame sistemai virtual ų jį poslinkį . Skaičiuodami taikome bendr ą ją dinamikos lygtį : N
N
i =1
i =1
∑ δ AFi + ∑ δ AΦi = 0. Randame sunkio darb ų sumą :
∑ δ AFi = G1 ⋅ δs1 − G2 ⋅ δs 2 . Randame inercijos j ėgų darbų sumą :
∑ δ A i = −Φ 1 ⋅ δs1 − Φ 2 ⋅ δs 2 . Ф
Apskai čiuojame visus dydžius: δs1 = r ⋅ δϕ ,
δs 2 = R ⋅ δϕ ,
Φ 1 = m1 ⋅ a1 = m1 ⋅ εr ,
112
G1 = m1 g , G 2 = m 2 g , Φ 2 = m 2 ⋅ a 2 = m2 ⋅ ε R .
ę į bendrą ją dinamikos lygtį gauname: Gautas išraiškas į raš rašę į
m1 gr δϕ − m2 gRδϕ − m1 r 2 εδϕ − m 2 R 2 εδϕ = 0 .
Padaliję visus lygties narius iš δϕ , sugrupav ę ir išreiškę ε , turėsime skriemulio kampin į pagreitį : m1 r − m2 R ε= g. m1 r 2 + m2 R 2
3.2.5. Bendroji dinamikos lygtis, išreikšta apibendrintomis jėgomis Kai sistemą varžantys ryšiai yra idealieji, bendroji dinamikos lygtis yra tokio pavidalo: N
r
r
r ∑ (F i + Φ i )⋅ δr i = 0.
(178)
i =1
Taško padėties vektoriaus virtual ų jį poslinkį išreiškiame apibendrint ų jų koordinačių virtualiaisiais poslinkiais: r n ∂r i r δr i = ∑ ⋅ δq k . (179) ∂ q k =1 k Įrašę (179) reikšmę į ę į (178), gausime: r
∂r i ( ) + Φ ⋅ δq k = 0 . F ∑ i i ∑ q ∂ 1 1 i− k = k N
r
r
n
Pakeitę sumavimo tvarką , galime užrašyti: r
r
N r N r ∂r i ∂r i ⋅ δq k = 0. F + Φ ∑ ∑ i ∑ i ∂q ∂q k k =1 i =1 i =1 k n
(180)
Skliaustuose pateiktos sumos yra apibendrinta aktyvioji j ėga Qk F ir apibendrinta inercijos jėga Qk Φ , kurios atitinka apibendrint ą ją koordinatę q k . r
∂r Q = ∑ F i i , ∂q k i =1 F k
N r
r
∂r Qk = ∑ Φ i i . ∂q k i =1 Φ
N r
Naudodami šias išraiškas, gausime tokio pavidalo bendr ą ją dinamikos lygt į :
113
(181)
n
r
r
r ∑ (Qk F + Qk )⋅ δq k = 0 .
(182)
Φ
k =1
Apibendrintų jų koordinačių pokyčiai δq k yra nepriklausomi vienas nuo kito ir nelyg ūs nuliui. Todėl lygčių sistema (182) bus tenkinama tuomet, kai visi koeficientai esant δq k bus lygūs nuliui: n
r
r
∑ (Qk F + Qk ) = 0.
(183)
Φ
k =1
Šios lygtys sudaro sistemos bendr ą sias sias judė jimo lygtis, l ygtis, taikomas dinamikos uždaviniams sprę sti. sti.
3.2.6. Lagranžo antrojo tipo lygtys Apibendrintas inercijos j ėgas išreiškus sistemos kinetine energija, galima gauti kito pavidalo mechanin ės sistemos judė jimo diferencialines lygtis, kurios vadinamos Lagranžo antrojo tipo lygtimis. Tarkime, kad nagrin ė jamą sistemą sudaro N materialių jų taškų , sistemos laisv ės laipsnis lygus n, sistemą varžo holonominiai ideal ūs stacionar ūs ryšiai. Tašk ų padėties vektoriai šiuo atveju yra apibendrint ų jų koordinačių funkcijos. r
r
r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n ) ,
(184)
o bendroji dinamikos lygtis tur ės tokį pavidalą : N
r
r r ∑ (− mi r &&i + F i )δr i = 0 .
(185)
i =1
Taškų virtualieji poslinkiai δr i bus (184) funkcijos pilnasis diferencialas: r
r
r
∂r ∂r ∂r δr i = i δq1 + i δq 2 + ... + i δq n , ∂q1 ∂q 2 ∂q n r
arba
r
∂r δr i = ∑ i δq k . k =1 ∂q k r
n
(186)
Įrašę šią išraišką į ą į bendr ą ją dinamikos lygtį (185) ir pakeit ę sumavimo eilę , gausime: r
r
N r N ∂r i r& ∂r i & − m r + F ∑ δq k = 0 . ∑ ∑ i i i ∂ q ∂ q k =1 i =1 i =1 k k n
Lygties (187) antroji suma skliaustuose reiškia apibendrint ą jėgą : 114
(187)
r
∂r F i i = Qk . ∑ ∂q k i =1 N r
(188)
Pirmajai lygties (187) sumai apskaičiuoti naudojame tapatyb ę : &r& r i
r
r
r
∂r i d r& ∂r i r& d ∂r i − r i . = r i ∂q k dt ∂q k dt ∂q k
(189) r
Gautos tapatybės (189) dešiniosios pus ės nariams šifruoti rasime vektoriaus r i pilną ją išvestinę laiko atžvilgiu: r r & i
r
r
∂r i
r
= vi =
q&1 +
∂q1
∂r i ∂q 2
r
q& 2 + ... +
∂r i ∂q n
q& n .
(190)
Paėmę abiejų (190) lygybės pusių dalines išvestines apibendrinto grei čio q& k atžvilgiu, gausime:
r
& ∂r i
∂q& k
r
=
∂r i ∂q k
.
(191)
Antrasis (189) tapatyb ės narys duoda: r r & i
r
r
d ∂r &i r& ∂r &i = r . dt ∂q k i ∂q k
(192)
Įrašę (191) ir (192) išraiškas į (189) tapatybės dešini ą ją pusę , turėsime: &r& r i
r
r
r
d r& ∂r &i r& ∂r i . = r − r i i ∂q k dt ∂q& k ∂q k ∂r i
(193)
ą į raš ę į (187) lygties pirmą ją sumą gausime: Gautą išraišką į rašę į r
r
r
N & & d N r& ∂r ∂r r& ∂r i r i i & & − mi r i = − ∑ mi r i . − m r ∑ ∑ i i & ∂ q dt ∂ q ∂ q i =1 i =1 k k k i =1 N
(194)
Tolesniam priklausomyb ės (194) pertvarkymui panagrin ėsime sistemos kinetin ę energiją : r 2 r r 1 N 1 N 1 N T = ∑ mi (vi ) = ∑ mi (vi ⋅ v i ) = ∑ mi vi2 , 2 i =1 2 i =1 2 i =1
arba r 2 1 N T = ∑ mi (r &i ) . 2 i =1
115
r
Kaip matyti iš (190), funkcija r &i priklauso nuo vis ų kintamų jų q k ir q& k . Apskai čiuosime šių kintamų jų kinetinės energijos dalines išvestines: i švestines: r
& ∂T N r& ∂r = ∑ mi r i i , ∂q& k i =1 ∂q& i
(195)
r
& ∂T N r& ∂r = ∑ m i r i i . ∂q k i =1 ∂q i
`
(196)
Matome, kad (195) ir (196) išraiškos atitinka (194) lygyb ės dešiniosios pus ės sumas. Lygybę (194) dabar galime užrašyti taip: r
d ∂T ∂T ∂r i &r& − m r = − ∑ i i dt ∂q& − ∂q . ∂ q i =1 k k k N
(197)
ę į (187), gausime: Išraiškas (188) ir (197) į raš rašę į d ∂T ∂T − − + Q ∑ k δq k = 0. & dt ∂ q ∂ q k =1 k k n
(198)
apibendrint ų Lygtis (198) vadinama bendr ą ja dinamikos lygtimi apibendrint ų j ų koordinač ių sistemoje. Virtualieji apibendrintų jų koordinačių poslinkiai δq k yra tarpusavyje nepriklausomi ir bendruoju atveju nelyg ūs nuliui. Todėl (198) lygtis visada bus tenkinama, kai koeficientai esant δq k bus lygūs nuliui: d ∂T ∂T + Qk = 0, − & dt ∂ q ∂ q k k k = 1, 2, ..., n,
−
arba d ∂T ∂T = Qk , − & dt ∂ q ∂ q k k k = 1, 2, ..., n.
(199)
Lygčių sistema (199) vadinama Lagranžo antrojo tipo lygtimis. Kai sistemą varžo holonominiai ryšiai, Lagranžo lyg čių skai čius yra lygus sistemos laisvės laipsniui n. Kitas didelis ši ų lygčių privalumas – esant sistemai, kurios ryšiai idealieji, eina sistemos ryši ų reakcijos. į lygtis neį eina Pavyzdys Masės m1 slankiklis A gali slysti horizontaliu strypu, o ilgio l ir masės m2 švytuoklė AB A. Sudarykime sistemos jud ė jimo diferencialines lygtis (54 pav.). sukasi apie lankst ą A
116
δ x r
A
v1
r
x
G1 δϕ
ϕ
r
vr
B
r
G2
r
v2
r
v1
54 pav. Slankiklio ir švytuoklės judė jimas
Tariame, kad sistemos ryšiai yra idealieji, o visa švytuokl ės masė sukoncentruota taške B. Nagrinė jama sistema yra su dviem laisv ės laipsniais n = 2 , todėl ją apibrėžia dvi apibendrintosios koordinat ės. Apibendrintosiomis koordinat ėmis pasirenkame slankiklio koordinatę x ir švytuoklės kampą ϕ , t. y. q1 = x ir q 2 = ϕ , atitinkamai turėsime apibendrintus grei čius q&1 = x& = v1 ir q& 2 = ϕ& = ω . Nagrinė jamos sistemos Lagranžo Lagranžo lygtys bus tokios: d ∂T ∂T =Q 1 , − dt ∂ x& ∂ x d ∂T ∂T =Q 2 . − dt ∂ϕ& ∂ϕ
Sistemos kinetinė energija: T = T 1 + T 2 ,
1 1 T 1 = m1 v12 = m1 x& 2 , 2 2 1 T 2 = m 2 v 22 ; 2 čia v 2 – švytuokl ės taško B absoliutusis greitis:
v 22 = v12 + v r 2 + 2v1v r cos ϕ, v r = ω ⋅ l = ϕ& ⋅ l , v1 = x&,
1 T 2 = m 2 ( x& 2 + ϕ& 2 l 2 + 2 x&ϕ& cos ϕ). 2 Visa sistemos kinetin ė energija: 117
1 1 T = (m1 + m2 ) x& 2 + m 2 l (ϕ& 2 l + 2 x&ϕ& cos ϕ). 2 2 Kiekvieną Lagranžo lygčių narį apskai čiuojame atskirai: ∂T = 0, ∂ x ∂T & sin ϕ, = − m 2 l x&ϕ ∂ϕ ∂T = (m1 + m 2 ) x&& + m 2 lϕ& sin ϕ, ∂ x&
d ∂T 2 && cos ϕ − ϕ sin ϕ), = (m1 + m2 ) x&& + m 2 l (ϕ dt ∂ x& ∂T = m 2 l (ϕ& l + x& cos ϕ), & ∂ϕ
d ∂T && + x & sin ϕ). && cos ϕ − x &ϕ = m 2 l (lϕ dt ∂ϕ&
Suteikę apibendrintosioms koordinat ėms x apskai čiuojame apibendrintas j ėgas:
ir
ϕ
virtualiuosius poslinkius,
δ A1 (m1 + m 2 )g ⋅ δ x ⋅ cos 90 o Q1 = = = 0, δ x δ x
Q2 =
δ A2 − m 2 gl sin ϕδϕ = = − m 2 gl sin ϕ. δϕ δϕ
Apskai čiuotas reikšmes į rašysime rašysime į Lagranžo lygtis: 2 && cos ϕ + ϕ & sin ϕ) = 0, (m1 + m2 ) x&& + m2 l (ϕ
&& + x && cos ϕ + g sin ϕ = 0 . lϕ
Kaip matyti, kai poslinkiai x ir ϕ yra nemaži, gauname netiesines diferencialines lygtis. Kai poslinkiai maži, galima imti: cos ϕ = 1 ,
sin ϕ = ϕ , 118
ϕ& 2 sin ϕ = 0 .
Šiuo atveju gauname tiesines diferencialines lygtis: && = 0, (m1 + m2 ) x&& + m2 lϕ && + x && + gϕ = 0 . lϕ
Atskyrę kintamuosius, galima apskai čiuoti pirmuosius ir antruosius ši ų diferencialinių lygčių integralus.
119
4.
SMŪGIS
Jeigu susidūrimo metu dviejų kūnų greičiai są ly lyčio vietoje nelyg ūs ir nėra bendroje lietimosi plokštumoje, matome reiškin į , kuris vadinamas smūgiu. Šis reiškinys ypatingas tuo, kad per be galo maž ą laiko tarpą (nuo 0,0001 iki 0,00001 s) k ūnų greičiai ir judesio kiekiai pasikeičia baigtiniu dydžiu. Smūgio reiškinio pavyzdžiai: kamuolio arba rutulio sm ūgis žaidžiant; poliakal ės judamosios dalies sm ūgis į polį ; plaktuko sm ūgis į vinį , kalamą į ą į sieną ; k ū jo sm ūgis į detalę , kalamą ant priekalo, ir pan. Smūgio metu svarbi yra k ūnų fizinė charakteristika – k ūnų tamprumas. Smūgio procesą galima išskaidyti į dvi pagrindines fazes: 1) pirmosios fazės metu kūnai deformuojasi ir susispaudžia iki tol, kol j ų suartė jimo greitis tampa lygus nuliui, šios faz ės metu kūnų tamprumo jėgos pasieka maksimali ą sias sias reikšmes; 2) antrosios faz ės metu veikiant tamprumo j ėgoms kūnų geometrinė forma atkuriama, k ūnai į gyja gyja tam tikrus grei čius ir fazės pabaigoje j ų kontaktai nutraukiami. Kai kūnai yra visiškai netampr ūs, jų smūgis pasibaigia pirm ą ja faze. Toks sm ūgis vadinamas absoliuč iai iai netampriu. r Kadangi smūgio metu kinetin ės energijos dalis virsta šilumine energija, tai k ūno greitis u r į vykus vykus smūgiui bus mažesnis nei k ūno greitis v iki smūgio.
4.1. Judesio kiekio teorema smūgiui Užrašysime vieno k ūno judesio kiekio poky čio teoremą , pagal kurią judesio kiekio pokytis per nagrin ė jamą jį laiko tarpą lygus visų veikiančių jų jėgų impulsų sumai per tą patį laiko tarpą , t. y. r
τ
r
r
mu − mv = ∑ S k ;
(200)
t 0 = 0
r
r
čia u – kūno greitis po sm ūgio; v – kūno greitis iki sm ūgio, τ – smūgio laiko tarpas. Tariant, kad k ūną veikia žinomos išorin ės jėgos (pavyzdžiui, sunkis) ir kontaktuojan čių kūnų są veikos veikos j ėgos, judė jimo kiekio pokyčio teoremos (200) dešini ą ją pusę galime pateikti r r kaip išorinių F k i ir smūgio metu atsiradusi ų jėgų F impulsų sumą , t. y. τ
r
τ
r
τ
r
∑ S k = ∑ F k i dt + ∑ F dt . t 0 = 0
t 0 = 0
(201)
t 0 = 0
Įvertinę tai, kad sm ūgio laikas τ yra labai mažas dydis ir veikian čių išorinių jėgų impulsas bus labai mažas, galime jo nepaisyti. Judesio kiekio teorem ą (200) galime užrašyti taip:
120
r
r
τ
r
t r
mu − mv = ∑ S k = ∫ F ⋅ dt , t 0 =0
0
arba, imant atsiradusi ą smūgio metu j ėgą kaip pastovi ą jėgą , galutinę teoremos išraišk ą galime užrašyti taip: r
r
r
mu − mv = F ⋅ τ.
(202)
Kairioji lygties pus ė yra baigtinis dydis, tod ėl ir dešinioji jos pus ė turi būti baigtinis dydis. Tačiau jeigu smūgio laikas τ yra labai mažas, k ūnų smūgio są veikos veikos j ėga, arba smūgio r jėga, F turi būti labai didelė. Smūgio metu atsiradusioms j ėgoms matuoti negalime taikyti statinio matavimo b ūdo, t. y. naudoti dinamometr ą , nes mechaniniai prietaisai yra inertiški. Tod ėl atsiradusi ą smūgio metu r jėgą F patogiau matuoti jos impulsu: t r
r
S = ∫ F dt ,
(203)
0
kuris vadinamas smūgio impulsu arba tiesiog – smūgiu. Pagrindinė lygtis smūgio teorijoje turės tokią išraišką : r
r
r
mu − mv = S ,
(204)
t. y. materialiojo taško judesio kiekis, įgytas smūgio metu, lygus sm ūgio impulsui. Projektuodami į Dekarto koordina čių ašis, turėsime: mu x − mv x = S x , mu y − mv y = S y , mu − mv = S , z z z
(205)
arba materialiojo taško judesio kiekio projekcija į bet kurią aš į lygi smūgio impulso projekcijai į t ą pač ią aš į. Iš (204) formulės galime rasti materialiojo taško greit į po smūgio: 1 r u = v + S . m r
r
r
(206)
Matome, kad judan čio taško greitis v po smūgio keičia savo reikšm ę dydžiu, kuris priklauso nuo sm ūgio impulso reikšm ės ir krypties (55 pav.).
121
r
v
r
u
M r
M 1
r
F k i
r
F
F k i
M 0 55 pav. Smūgio reiškinys r
r
Tarkime, judant į dėl išorinių jėgų F k i poveikio grei čiu v materialų jį tašką , esant į padėtyje M , paveikė smūgio impulsas (55 pav.). Materialusis taškas per akimirksn į pakeit ė r kryptį ir judė jimo greitį , kuris į gijo gijo reikšmę u . Kadangi sm ūgio laikas yra be galo mažas, laikoma, kad taško poslinkis per š į laiko tarpą taip pat yra be galo mažas. Tod ėl tariame, kad taško koordinat ės smūgio metu nesikei čia. Tuo atveju kai mechanin ės sistemos materialiuosius taškus vienu metu veikia išorin ės ir vidinės sm ūgio jėgos, išreikštos impulsais, judesio kiekio teorem ą užrašome vienam sistemos r taškui, tardami, kad bet kurio mas ės m k taško greitis sm ūgio veikimo pradžioje yra v k , o r veikimo pabaigoje u k . Taigi turėsime: r
r
r
r
m k u k − m k v k = S k i + S k v .
(207)
Susumavę tokias lygtis pagal visus sistemos taškus, gausime: n
n
r
n
r
r
n
r
m k u k −∑ mk v k = ∑ S + ∑ S k v . ∑ k 1 k 1 k 1 k 1 =
=
i k
=
=
Tariame, kad mechanin ės sistemos tašk ų judesio kieki ų geometrinė suma smūgio jėgų r
n
r
veikimo pabaigoje lygi sistemos judesio kiekiui, t. y. K = ∑ mk u k , o pradžioje – k =1
r
n
n
r
K 0 = ∑ m k v k , be to, pagal vidini ų jėgų savybes
r
S k v = 0 . ∑ k 1
k =1
Todėl mechaninės sistemos
=
judesio kiekio teorem teoremą smūgiui galime užrašyti taip: r
r
n
r
K − K 0 = ∑ S k i ,
(208)
k =1
t. y. mechaninės sistemos judesio kiekio pokytis per sm ūgio laiko tarpą lygus visų sistemos taškus veikianč ių išorinių smūgio impulsų geometrinei sumai . Projektuodami į Dekarto koordina čių ašis, gauname:
122
n − = K K S kxi , ∑ 0 x x k =1 n i K y − K 0 y = ∑ S ky , k =1 K − K = n S i . ∑ 0 z kz z k =1
(209)
Iš lygčių matyti, kad mechaninės sistemos judesio kiekio projekcijos į bet kokią aš į pokytis per smūgio laiko tarpą lygus visų sistemos taškus veikian č ių išorinių smūgio impulsų projekcijų algebrinei sumai. Iš (208) priklausomyb ės gausime, kad jeigu vis ų sistemos taškus veikian čių išorinių smūgio impulsų geometrinė suma lygi nuliui, t. y.
n
r
r
r
r
r
∑ S k i = 0 , tai K = K 0 ir u C = v0 . Iš čia k =1
išplaukia išvada, kad kai mechanin ę sistemą veikia vien vidiniai sm ūgio impulsai, sistemos judesio kiekis nekinta. nekinta. Pavyzdžiui, artilerijos sviedinys sprogsta skrisdamas ore. Jo mas ės centras jud ės toliau taip pat, kaip ir iki sprogimo. Atsižvelgdami į (24) formulę , išreiškiame sistemos judesio kiekius iki ir po sm ūgio r r r r sistemos mase M ir sistemos mas ės centro grei čiais, t. y. K = M u C ir K 0 = M v C . Tuomet mechaninės sistemos judesio kiekio teorem ą smūgiui galime užrašyti taip: r
n
r
r
M u C − M vC = ∑ S k i .
(210)
k =1
Lygtis (210) parodo mechanin ės sistemos mas ės centro grei čio kitimą dėl smūgio.
4.2. Kinetinio momento teorema smūgiui Kiekvienam mechanin ės sistemos materialiajam taškui M i pagal (207) formul ę užrašysime judesio kiekio teorem ą smūgiui: r
r
r
r
i k
m k u k − m k v k = S + S k v .
Lygties narius vektoriškai padaugin ę iš taško padėties vektoriaus laisvai pasirinkto centro r O atžvilgiu r k , turėsime: r
r
r
r
r
r
r
r
r k × m k u k − r k × mk v k = r k × S k i + r k × S k v .
(211)
Sistemos taškui M i gautą lygtį (211) perrašome visiems mechanin ės sistemos taškams ir jas sudedame: sudedame: n
r
r
n
r
r
n
r
r
n
r
r
∑ (r k × mk u k ) − ∑ (r k × mk v k ) = ∑ (r k × S k i ) + ∑ (r k × S k v ); k =1
k =1
123
k =1
k =1
(212)
čia
n
r
r
r
∑ (r k × mk u k ) = L – sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu smūgio pabaigoje; k =1
n
r
r
r
∑ (r k × mk v k ) = L0 – sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu smūgio pradžioje; k =1 n
r
r
n
r
r
(r k × S ) = ∑ M 0 (S k i ) – visų sistemos taškus veikian čių išorinių smūgio impulsų suminis ∑ k 1 k 1 =
i k
=
vektorinis momentas centro O atžvilgiu;
n
r
r
n
r
r
∑ (r k × S ) = ∑ M 0 (S k v ) v k
k =1
– visų sistemos taškus
k =1
veikiančių vidinių jėgų smūgio impulsų suminis vektorinis momentas centro O atžvilgiu; n
r
r
∑ M 0 (S k v ) = 0 – pagal vidinių jėgų savybes. k =1
Todėl galime užrašyti: r
r
n
r
r
L − L0 = ∑ M 0 (S k i ).
(213)
k =1
Taigi gavome mechanin ės sistemos kinetinio momento teorem ą smūgiui, pagal kuri ą mechaninės sistemos kinetinio momento pokytis bet kurio nejudamo centro atžvilgiu sm ūgio atveju yra lygus vis ų išorinių smūgio impulsų vektorinių moment ų ų geometrinei sumai to paties centro atžvilgiu. Projektuodami vektorin ę lygtį (213) į Dekarto koordinačių ašis, turėsime skaliarines lygtis: n r i − = ( L L M S ∑ x k ), 0 x x k =1 n r i L y − L0 y = ∑ M y (S k ), k =1 r L − L = n M (S i ∑ 0 z z k ). z k =1
(214)
r
r
Jeigu išoriniai sm ūgio impulsai lyg ūs nuliui, tai iš (213) išraiškos išplaukia, kad L = L0 , t. y. jeigu mechanin ės sistemos taškus veikia vien vidiniai sm ūgio impulsai, tai sistemos kinetinis momentas bet kokio centro atžvilgiu nekinta.
4.3. Atsistatymo koeficientas į į nejudamą paviršių (56 pav.). Tarkime, Nagrinėsime kūno, pavyzdžiui, kamuolio sm ūgį į r kad kamuolio mas ės centro greitis sm ūgio pradžioje v sutampa normale kontakto paviršiui. r Toks smūgis yra tiesioginis centrinis smūgis. Po smūgio kamuolys į gyja gyja greitį u , kuris r r nukreiptas ta pa čia normale, bet priešinga kryptimi. Grei čio u ir greičio v santykis vadinamas atsistatymo koeficientu, t. y.:
u k = . v
124
(215)
ų į normalę išraiškas pirmajai Užrašysime k ūno judesio kiekio poky čio teoremos projekcij ų į smūgio fazei:
m ⋅ 0 − m ⋅ v = − S 1 ,
antrajai smūgio fazei: − m ⋅ u − m ⋅ 0 = S 2 .
Iš čia gausime sm ūgio fazių impulsų projekcijas: S 1 = mv, S 2 = −mu,
arba absoliu čiaisiais dydžiais: S 1 = mv, S 2 = mu.
Tuomet atsistatymo koeficientas gali b ūti užrašytas taip: k =
u m ⋅ u S 2 = = , v m ⋅ v S 1
(216)
todėl galime pabr ėžti, kad atsistatymo koeficientas lygus antrosios sm ūgio fazės impulso santykiui su pirmosios sm ūgio fazės impulsu. n
r
u
r
v
56 pav. Tiesioginis centrinis smūgis
Atsistatymo koeficientas priklauso tik nuo kamuolio ir nejudamo paviršiaus medžiagos, tačiau specializuotoje technin ė je literatūroje yra nurodoma, kad atsistatymo koeficientui tam tikrą nežymi ą į tak taką turi pradinis smūgio greitis, kūnų kontakto ploto forma ir k ūnų masių santykis. Praktikoje pasitaiko toki ų atvejų : 1) k = 0 , t. y. kai kamuolio greitis po sm ūgio u = 0; šiuo atveju tur ėsime absoliu čiai 125
netamprų smūgį ; 2) k = 1; šiuo atveju tur ėsime tamprų smūgį , kurio metu teoriškai u = v ; 3) 0 < k < 1 ; šiuo atveju tur ėsime ne visai tampr ų smūgį ir u < v .
Atsistatymo koeficiento skaičiavimas Tarkime, kad kamuolys (57 pav., a) iš aukš čio h1 laisvai krinta nejudamo paviršiaus link. Iki kontakto su paviršiumi kamuolio į gytas gytas greitis skai čiuojamas pagal žinom ą kinematikos formulę v = 2 gh1 . Po kamuolio kontakto su paviršiumi prasideda pirmoji sm ūgio fazė. Pirmosios fazės metu kamuolys susispaus iki tol, kol jo suart ė jimo greitis pasidarys lygus nuliui. Šios faz ės metu kamuolyje atsiranda did ė jančios tamprumo j ėgos ir fazės pabaigoje jos pasieka maksimali ą sias sias reikšmes.
r
h1
h2
u
r
v
a) b) 57 pav. Atsistatymo koeficiento skaičiavimas
Antrosios fazes pradžioje, veikiant tamprumo j ėgoms, atkuriama geometrin ė kamuolio forma, kamuolio mas ės centras pradeda jud ėti į viršų ir į gyja gyja greitį . Antrosios faz ės pabaigoje r kamuolio kontaktas su paviršiumi nutraukiamas ir kamuolys grei čiu u juda į viršų , kol pakyla r į aukšt į h2 (57 pav., b). Tarp kamuolio pradinio jud ė jimo greičio u ir judė jimo aukščio h2 yra kinematikoje išvesta priklausomyb ė, pagal kuri ą u = 2 gh2 . Tuomet atsistatymo koeficientui skai čiuoti skirta formulė (207) bus tokia: k =
h2 . h1
(217)
Eksperimentiškai gautos kai kurios atsistatymo koeficiento reikšm ės yra tokios: medis į medį k = 0,50; plienas į plieną k = 0,56; dramblio kaulas į dramblio kaul ą k = 0,89; stiklas į stiklą k = 0,94; varis į varį k = (0,3 – 0,4).
4.4. Ekscentrinis kūno smūgis į nejudantį glotnų paviršių r
Tarkime, judantis kamuolys sm ūgio metu pasiekia glotn ų paviršių greičiu v , kuris sudaro r su normale kritimo kamp ą α. Po smūgio judančio kamuolio greitis u su normale sudaro atšokimo kamp ą β (58 pav., a).
126
n
n β
α
r
r
r
u
un β
u r
uτ r vτ
r
N
r
r
v a)
vn
τ
α r
v
b) 58 pav. Ekscentrinis kūno smūgis
Skaičiavimo schemoje (58 pav., b) parodome visus grei čius smūgio kontakto vietoje, paviršiui statmen ą ir į liestinę nukreiptus normalinę ir tangentinę ašis, kritimo ir atšokimo greičių dedam ą sias sias pagal šias ašis ir atsiradusi ą smūgio kontakto vietoje reakcijos j ėgą . Žinome, kad materialiojo taško judesio kiekis, į gytas gytas smūgio metu, lygus sm ūgio impulsui. Užrašysime judan čiam kamuoliui judesio kiekio poky čio teoremos išraišk ą : r
r
r
t r
mu − mv = S = ∫ N dt , 0
ę į normalinę ir tangentinę ašis, gausime: kurią suprojektavę į mu n + mv n = S , mu τ − mv τ = 0.
(218)
Iš antrosios lygties išplaukia, kad u τ = v τ , t. y. greičių tangentinės dedamosios iki smūgio ir po jo yra lygios. Kai turime tiesiogin į centrinį smūgį , atsistatymo koeficientas randamas pagal (215) formulę . Esant ekscentriniam sm ūgiui galime užrašyti, kad atsistatymo koeficientas lygus normalės kryptimi išdėstytų greičių santykiui, t. y. k =
un . vn
(219)
Iš čia išplaukia, kad u n = k ⋅ v n . Iš (58 pav., b) galime užrašyti, kad v τ = v ⋅ sin α ir v n = v ⋅ cos α. Be to, turė jome u τ = v τ , todėl galime rasti kamuolio mas ės centro greit į po smūgio: u = u τ2 + u n2 = v τ2 + k 2 v n2 = (v sin α )2 + (kv cos α )2 , arba galiausiai tur ėsime: 127
u = v ⋅ sin 2 α + k 2 cos 2 α .
(220)
Taip pat galime užrašyti: vτ . vn
tgα =
uτ vτ 1 = = tgα. u n k ⋅ v n k
tgβ = Gausime, kad
1 tgβ = tgα. k
(221)
Jeigu atsistatymo koeficientas k < 1, turėsime tgβ > tgα . Todėl išplaukia išvada, kad β > α,
(222)
t. y. smūgio metu atšokimo kampas didesnis negu kritimo kampas . Tuo atveju, kai turime absoliu čiai tamprų smūgį , atsistatymo koeficientas k = 1 . Gausime: tgβ = tgα ir β = α, (223) iai tampraus smūgio metu atšokimo kampas lygus kritimo kampui . t. y. tik absoliuč iai
4.5. Tiesioginis centrinis dviejų kūnų smūgis A ir B, kurių masės m1 ir m 2 , į vyksta Tarp dviej ų kūnų A vyksta tiesioginis centrinis sm ūgis. Tokį atvejį turime, kai k ūnų masių centrai yra vienoje normal ė je, pagal kurią yra nukreipti kūnų masių centrų greičiai (59 pav., a). m1 m2 r
v1 O
r
r
v1
v2
S 1′
S 1
r
r
a)
r′ C 1 S 1
r
r
r
S 1 v2 C 2
x
u
u1
u2
S 2′
S 2
u r
r
S 1′
S 1
b) 59 pav. Tiesioginis centrinis smūgis
128
r
r
r
r
r
c)
Tegul pirmojo kūno greitis v1 yra didesnis už antrojo k ūno greitį v 2 , t. y. pirmasis k ūnas paveja antrą jį ir jį smūgiuoja. Prasideda pirmoji sm ūgio fazė, kurios metu k ūnai deformuojasi, atstumas tarp k ūnų masės centrų mažė ja, tamprumo jėgos didė ja. Pirmosios fazės pabaigoje, kai kūnų deformavimasis pasibaigia, tamprumo j ėgos bus maksimalios, o k ūnų masių centrai judės vienodu grei čiu u (59 pav., b). Toliau prasideda antroji sm ūgio fazė, kurios metu veikiant tamprumo j ėgoms kūnų geometrinės formos atkuriamos, o k ūnų masių centrai į gyja gyja tam tikrus greičius. Antrosios faz ės pabaigoje, kai kontaktas tarp k ūnų nutraukiamas, pirmasis kūnas į gyja gyja greitį u1 , o antrasis u 2 (59 pav., c). Užrašysime sm ūgio pagrindines lygtis (205) kiekvienam k ūnui: m1u1 − m1v1 = − S , m2u2 − m2v2 = S .
(224)
Šiose lygtyse S – smūgio impulso, kuris veikia kiekvien ą kūną , projekcija į ašį Ox arba tiesiog smūgio impulsas. Sudėsime abi lygtis ir gausime m1u1 − m1 v1 + m 2 u 2 − m 2 v 2 = 0. Todėl: m1u1 + m 2 u 2 = m1v1 + m 2 v 2 .
(225)
Galime padaryti išvad ą , kad kūnų sistemos vidinės j ėgos smūgio metu nekei čia sistemos judesio kiekio, t. y. k ūnų sistemos judesio kiekis po sm ūgio lygus sistemos judesio kiekiui iki smūgio. Lygtyse (224) yra daug nežinom ų jų dydžių , tai kūnų greičiai po smūgio ir smūgio impulso reikšmė. Nagrinėsime pirmą ją smūgio fazę . Įvertinę tai, kad smūgio metu k ūnų sistemos judesio kiekis nekinta, užrašysime sistemos judesio kiekio išraiškas faz ės pradžioje ir pabaigoje. Laikome, kad sm ūgio pabaigoje k ūnai judės vienodais grei čiais u, ir palyginsime sistemos judesio kiekius: m1 v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )u;
(226)
iš čia gausime u=
m1v1 + m 2 v 2 . m1 + m 2
(227)
Galime padaryti išvad ą , kad tuo atveju, kai sm ūgis yra visiškai netamprus, po susid ūrimo kūnai judės kartu vienodu grei čiu u. Užrašysime sm ūgio impulsų reikšmes kiekvienam k ūnui pirmosios faz ės laikotarpiui, į vertin vertinę tai, kad smūgio impulsai, veikiantys kiekvien ą kūną , yra lygūs ir nukreipti viena tiese priešingomis kryptimis. m1u − m1v1 = − S 1′ , m2 u − m 2 v 2 = S 1 .
129
(228)
Rasime smūgio impulsą , veikiantį pirmosios fazės laikotarpiu, imdami greit į po smūgio pagal (227) formulę . Turėsime: m v + m 2 v 2 − m 2 v 2 . S 1 = m 2 u − m 2 v 2 = m 2 1 1 m + m 2 1
Atlikę nesud ėtingus matematinius skai čiavimus gausime sm ūgio impulsą , veikiantį pirmosios fazės laikotarpiu: S 1 =
m1 m 2 (v1 − v 2 ) . m1 + m 2
(229)
Antrosios smūgio fazės metu, kai veikiant tamprumo j ėgoms kūnų geometrinės formos atsikuria, jų masių centrai, fazės pradžioje tur ė ję vienodus grei čius u , į gyja gyja greičius u1 ir u 2 . Užrašykime antrosios faz ės laikotarpiui sm ūgio impulsų reikšmes kiekvienam k ūnui atskirai: m1u1 − m1u = − S 2′ , m 2 u 2 − m 2 u = S 2 .
(230)
Laikydami, kad sm ūgio atsistatymo koeficientas pagal (216) formul ę lygus ne tik grei čių , bet ir antrosios faz ės smūgio impulso santykiui su pirmosios faz ės smūgio impulsu, t. y. S k = 2 , galime užrašyti, kad S 2 = k ⋅ S 1. Tuomet smūgio impulsų teoremos išraiška bus S 1 tokia: m1u1 − m1u = −k ⋅ S 1′ , (231) m2 u 2 − m 2 u = k ⋅ S 1 . Padaliję (228) lygtis iš (231) lyg čių , gausime: m 2 u 2 − m 2 u kS 1 m1u1 − m1u k S 1′ = = ir . m1u − m1v1 S 1′ m 2 u − m 2 v 2 S 1
Atlikę matematinius veiksmus, tur ėsime dvi atsistatymo koeficiento išraiškas: k =
u1 − u u −u ir k = 2 , u − v1 u − v2
iš kurių galime rasti k ūnų greičius po sm ūgio, t. y. u1 = u + k (u − v1 ), u 2 = u + k (u − v 2 ),
130
(232)
arba galiausiai tur ėsime: u1 = u (1 + k ) − kv1 , u 2 = u (1 + k ) − kv 2 .
(233)
Įvertinę kūnų bendro grei čio reikšmę u pirmosios fazės pabaigoje pagal (227) formul ę ir atlikę nesudėtingus skaičiavimus, gausime, kad po sm ūgio kūnų greičiai bus:
m2 ( ) (v − v ), u = v − + k 1 1 1 m1 + m 2 1 2 m1 u 2 = v 2 + (1 + k ) (v − v ). m1 + m 2 1 2
(234)
Iš formulių (233) galime rasti grei čių skirtumą u 2 − u1 = −kv 2 + kv1 = k (v1 − v 2 ), iš kurio gausime galutin ę atsistatymo koeficiento reikšm ę : k =
u 2 − u1 . v1 − v 2
(234 a)
Galime padaryti išvad ą , kad dviej ų kūnų smūgio atsistatymo koeficientas lygus j ų reliatyvių jų greičių prieš ir po sm ūgio santykiui. Iš smūgio pagrindinės lygties (205) galime užrašyti sm ūgio impulsą , kuris veikia kiekvieną kūną per visą smūgio laikotarpį , pavyzdžiui, antrajam k ūnui: m 2 u 2 − m 2 v 2 = S .
(235)
Žinodami iš (234) formul ės antrojo kūno greitį po smūgio, iš (235) formul ės galime rasti visą smūgio impulsą , veikiantį kiekvieną kūną smūgio metu: m1 mm (v1 − v 2 ) − v 2 = (1 + k ) 1 2 (v1 − v 2 ). S = m 2 (u 2 − v 2 ) = m 2 v 2 + (1 + k ) m1 + m 2 m1 + m 2
Taigi gavome sm ūgio impulso, kuris veikia kiekvieną kūną smūgio metu, reikšm ę : S = (1 + k )
m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2
(236)
Gavome skai čiavimo formules, kurias taikant galima rasti pagrindini ų smūgio charakteristikų dydžius. iai netampr ų Pavyzdžiui, jeigu turime absoliuč iai ų smūgį, kurio atsistatymo koeficientas k = 0 , tai iš (234) formuli ų rasime kūnų greičių reikšmes po sm ūgio: 131
m2 m1v1 + m 2 v 2 ( ) u = v − v − v = = u, 1 1 1 2 m1 + m 2 m1 + m 2 m1 m v + m2 v2 u 2 = v 2 + (v1 − v 2 ) = 1 1 = u. m1 + m 2 m1 + m 2
(237)
Galime padaryti išvad ą , kad jeigu sm ūgis yra absoliu čiai netamprus, tai jo pabaigoje k ūnų greičiai bus vienodi ir k ūnai judės kartu. Šiuo atveju sm ūgio impulso reikšm ė, išreikšta (236) formule, bus skai čiuojama pagal toki ą formulę : S =
m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2
(238)
Absoliuč iai iai tampraus smūgio atveju, kai atsistatymo koeficientas k = 1 , kūnų greičių reikšmės po sm ūgio randamos iš (234) pagal tokias t okias formules:
2m 2 u = v − 1 1 m + m (v1 − v 2 ), 1 2 m1 2 u 2 = v 2 + (v − v ), m1 + m 2 1 2
(239)
o smūgio impulso reikšm ė gali būti skaičiuojama pagal toki ą formulę : S =
2m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2
(240)
Matome, kad sm ūgio impulsas, kai sm ūgis absoliučiai tamprus, bus du kartus didesnis, negu tuo atveju, kai sm ūgis absoliučiai netamprus. Tai paaiškinama tuo, kad prie sm ūgio impulso deformacijos faz ės prisideda sm ūgio impulsas deformacijai atkurti. Kai smūgis absoliučiai tamprus ( k = 1 ) ir kai kūnų masės yra vienodos ( m1 = m 2 = m ), iš (239) gausime, kad u1 = v 2 ir u 2 = v1 , t. y. kūnai „apsikei čia“greičiais.
4.6. Karno teorema Kai smūgis nėra absoliučiai tamprus, kūnų sistemos kinetin ė energija po sm ūgio yra mažesnė negu prieš sm ūgį , nes dalis k ūnų kinetinės energijos virsta šilumine energija ir yra r r sunaudojama k ūnams virpinti. Tod ėl kūno greitis u po smūgio bus mažesnis už jo greit į v iki smūgio. Vadinasi, ir po tampriojo, ir po plastiškojo sm ūgio kūnų kinetinė energija maž ė ja. Kai smūgis tiesus, centrinis ir plastiškasis, k ūnų sistemos kinetinė energija prieš sm ūgį : m1 v12 m 2 v 22 T 0 = + , 2 2
po smūgio: 132
(241)
1 T = (m1 + m 2 )u 2 ; 2
(242)
čia m1 ir m 2 – kūnų masės; v1 ir v 2 – kūnų greičiai prieš sm ūgį ; u – bendras k ūnų greitis į vykus vykus smūgiui. Dėl smūgio prarastos kinetin ės energijos dydis gali b ūti rastas kaip energij ų skirtumas, t. y. ∆T = T 0 − T .
(243)
ę į bendr ą ją kūnų greičio išraišką (227) pirmosios faz ės pabaigoje po nedideli ų Atsižvelgę į matematinių perskai čiavimų gausime, kad ∆T =
1 1 m1 (v1 − u )2 + m 2 (v 2 − u )2 . 2 2
(244)
iais, jie nustato, kiek sumaž ė jo Skirtumai (v1 − u ) ir (v 2 − u ) vadinami prarastais greič iais kūnų greičiai smūgio metu. Išvesta formul ė (244) yra Karno teoremos matematin ė išraiška: plastiškojo sm ūgio metu prarasta metu prarasta k ūnų kinetinė energija lygi tai energijai, kuri ą k ūnai tur ėt ų ų , jud ėdami prarastais greič iais. iais. Pavyzdžiui, jeigu mas ės m1 kūnas, judė ję s greičiu v1 , atsitrenka į m 2 masės nejudantį kūną , tai bendras k ūnų greitis po plastiškojo sm ūgio bus: u=
m1v1 . m1 + m 2
Abiejų kūnų sistemos kinetin ė energija prieš sm ūgį : 1 T 0 = m1 v12 , 2 po smūgio m1 1 1 T = (m1 + m 2 )u 2 = ⋅ v12 . 2 2 m1 + m 2
Taigi gauname galutin ę kinetinės energijos išraišk ą : T =
m1 m1 + m 2
T 0 .
(245)
Galime teigti, kad jeigu sm ūgiuojančio kūno masė m1 yra daug didesn ė už kūno, į kurį smūgiuoja, masę m 2 , t. y. m1 >> m 2 , tai iš formul ės (245) matyti, kad T ≈ T 0 . Iš čia išplaukia, kad po sm ūgio sistema juda, tur ėdama beveik t ą pačią kinetinę energiją , kaip ir prieš smūgį . Taip smogti patariama kalant vin į arba polius. Pavyzdžiui, dyzelinio k ū jo, kuriuo 133
kalamos sijos į gruntą , masė turi būti kuo didesn ė tam, kad sija nesideformuot ų . Arba, jei kūno, esan čio rimties būsenos, masė m2 daug didesn ė už smūgiuojančią masę m1 , t. y. m 2 >> m1 , iš formulės (245) gausime, kad T ≈ 0 . Galime padaryti išvad ą , kad beveik visa judančio kūno kinetinė energija sunaudojama k ūnams deformuoti. Tod ėl priekalas ir kalamoji detalė turi būti gerokai sunkesni nei k ū jis. Tada visa kū jo kinetinė energija bus sunaudota kalamai detalei deformuoti.
4.7. Smūgio jėgos poveikis besisukančiam apie nejudamą ją ašį kūnui Tarkime, kad standusis k ūnas sukasi apie nejudam ą ją ašį Oz. Tuo momentu, kai kampinis greitis buvo ω0 , kūną veikė išorinis smūgio impulsas. Užrašysime kūno kinetinio momento teorem ą : n
r
L z − L0 z = ∑ M z (S k i ), k =1
pagal kurią kinetinio momento pokytis sukimosi ašies atžvilgiu sm ūgio atveju lygus vis ų išorinių smūgio impulsų momentų geometrinei sumai tos pa čios ašies atžvilgiu. Žinome, kad pagal (28) esant sukamajam jud ė jimui standžiojo k ūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus k ūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir k ūno kampinio grei čio sandaugai. Tuomet kinetinio momento teorem ą galime užrašyti taip: n
r
I z ω − I z ω 0 = ∑ M z (S k i ); k =1
iš čia gausime: n
ω − ω0 =
M z (S k i ) ∑ k 1 =
I z
.
(246)
Padarome išvad ą , kad besisukan čio apie nejudam ą ją ašį standžiojo kūno kampinio grei čio pokytis, kai veikia išorinis sm ūgio impulsas, lygus sm ūgio impulsų momentų sumai sukimosi ašies atžvilgiu, padalytai iš k ūno inercijos momento tos pa čios ašies atžvilgiu.
4.8. Smūgio centras Turime kietą jį kūną , galintį suktis apie aš į Oz, kuri yra statmena br ėžinio plokštumai. Ši ą plokštumą laikome kūno simetrijos plokštuma. K ūno masės centras taške C (60 pav.). r Tarkime, kūno simetrijos plokštumoje k ūną veikia smūgio impulsas S , kurio poveikį patiria visi kūno taškai, taip pat k ūno guolių į tvirtinimo tvirtinimo taškai. Nustatysime s ą lygas, lygas, kada kūną veikiantis smūgis nebus perduotas k ūno guoliams. Parenkame tašk ą O kaip koordinačių pradžią ir nukreipiame ašis Ox ir Oy taip, kad ašis Ox eitų per kūno masės centrą C .
134
y O
ω
C
uC
h
r
r
S x 60 pav. Smūgio centras
Tariame, kad prieš sm ūgį kūnas nejud ė jo, t. y. jo kampinis greitis ω 0 = 0 . Po smūgio impulso poveikio sm ūgio pabaigoje k ūnas į gijo gijo kampinį greitį ω , o kūno masės centras į gijo gijo linijinį greitį u C = ω ⋅ r , kuris esant sukamajam jud ė jimui yra statmenas judė jimo spinduliui arba lygiagretus su ašimi Oy. Taikydami formulę (210), užrašysime k ūnui judesio kiekio teoremos išraišką smūgiui: r
r
r
M u C = S + S O ;
(247)
r
čia S – k ūną veikiantis sm ūgio impulsas, kurio projekcijos į koordinačių ašis yra S x ir S y ; r
S O – kūno guolių reakcijos sm ūgio impulsas, veikiantis k ūno simetrijos plokštumoje, kurio projekcijos į koordinačių ašis yra S Ox ir S Oy ; M – kūno masė.
Projektuodami į koordinačių ašis teoremos išraišk ą (247), gausime: 0 = S x + S Ox , Mu = S + S . y Oy C r
Pagal są lyg lygą guolių reakcijos sm ūgio impulsas yra lygus nuliui, t. y. S O = 0 . Tuomet gausime, kad ir jo projekcijos S Ox = S Oy = 0. Galime užrašyti: S x = 0, S = Mu . C y
Iš čia išplaukia, kad sm ūgis turi būti nukreiptas statmenai ašiai Ox, t. y. statmenai tiesei, kuri jungia kūno sukimosi aš į ir jo masės centrą . Tuomet smūgio impulso projekcija į Oy ašį bus lygi sm ūgio impulsui, t. y. 135
S y = S = Mu C .
Atsižvelgę į tai, kad masės centro greitis u C = ω ⋅ r , gausime tokio pavidalo sm ūgio impulso reikšmę : S = M ωr . (248) Pagal (246) užrašysime besisukan čio apie nejudam ą ją ašį kūno kampinį greitį sukimosi ašies atžvilgiu po sm ūgio impulso poveikio, tardami, kad sm ūgio pradžioje k ūnas nejud ė jo. Turėsime: n
r
∑ M z (S k i ) ω=
k =1
I z
=
S ⋅ h ; I z
(249)
čia I z – kūno inercijos momentas apie sukimosi aš į ; h – atstumas nuo k ūno pakabinimo vietos iki smūgio impulso veikimo ties ės. Iš (249) formulės gauname:
h=
I z ω I z ω I z . = = S M ωr Mr
Vadinasi, ties ė, kuria kūną veikia smūgio impulsas, turi b ūti nutolusi nuo k ūno sukimosi ašies atstumu: I h = z . (250) Mr Tašką K , esantį šios tiesės ir Ox ašies sankirtos taške, vadiname smūgio centru. Dirbantys su k ū jais, plaktukais ir kitais smogiamaisiais į rankiais rankiais žmonės renkasi tokio dydžio į rankio rankio kot ą , kad neb ūtų smūgio impulso reakcijos į ranką . Teniso raket ė yra sukonstruota taip, kad taisyklingai mušant kamuoliuk ą , pataikius į tinkliuko centrą , są nariuose nariuose nebūtų jaučiama smūgio reakcija. K
1 l 2
C
2 l 3
l
ω
61 pav. Strypo smūgio centras
136
O
Apskai čiuosime homogeninio tiesaus strypo OA, kurio ilgis l, smūgio centrą (61 pav.). Ml 2 Jeigu strypo inercijos momentas I z = , o masės centras strypo vidurio taške C , tai 3 atstumas iki sm ūgio centro randamas pagal (250) formul ę : Ml 2 I 2 OK = z = 3 = l. Mr ⋅ M ⋅ 1 3 2
2 l nuo sukimosi ašies, t. y. jeigu sm ūgio metu strypo 3 kontakto su paviršiumi vieta bus taškas K , tai strypą laikanti ranka nepajus sm ūgio poveikio. Strypo smūgio centras yra atstumu
137
5.
SVYRAVIMAI
Svyravimai – tai jud ė jimas, kurio vaidmuo inžinerijoje itin svarbus. Mašin ų , transporto priemonių , mechanini ų prietaisų ir mechanizmų judė jimas visada susij ę s su svyravimais. Kai svyravimai viršija leidžiam ą sias sias ribas, gali prasid ėti mechanizmo arba konstrukcijos irimas. Tačiau tam tikrų mechanizmų funkcionavimas yra pagr į stas stas tik svyravimo reiškiniu (pavyzdžiui, betono plakimo vibratoriai). Tod ėl svarbu žinoti svyruojan čių objektų charakteristikas ir priežastis, kurios sukelia svyravimus. Svyravimo procesams yra b ūdinga, kad objekto jud ė jimas yra kartotinis, t. y. po tam tikro laiko, kuris vadinamas periodu, visos judė jimo charakteristikos pasikartoja. pasikartoja. Svyravimo teorija nagrin ė jama specialiojoje literat ūroje, todėl apsiribosime papras čiausių svyravimo proces ų analize. Nagrinėsime materialiojo taško tiesiaeigius svyravimus d ėl atstatomosios j ėgos poveikio. Tarp jėgų , veikiančių materialų jį tašką , ypač svarbios yra atstatomosios jėgos, kurios, veikdamos tašk ą , priverčia jį grį žti žti į pusiausvyros pad ėtį . Šių jėgų reikšmės priklauso nuo taško nukrypimo nuo pusiausvyros pad ėties ir yra nukreiptos šiam nukrypimui priešinga kryptimi. Šių jėgų atsiradimo priežastys yra į vairios. vairios. Pavyzdžiui, atstatomoji j ėga atsiranda dėl spyruoklės standumo ir deformavimosi krypties kr ypties (62 pav.).
x
a) x
O
x
b) − x
O
62 pav. Spyruoklės atstatomoji jėga
Atstatomoji jėga proporcinga poslinkiui arba spyruokl ės deformacijai, t. y. F = c ⋅ x ;
(251)
čia c – spyruoklės standumo koeficientas. Atstatomosios j ėgos projekcija į ašį Ox 62 pav., a, pavaizduotu atveju lygi: l ygi:
F x = − F = −c ⋅ x,
(252)
F x = F = c ⋅ (− x ) = −c ⋅ x.
(253)
o 62 pav., b, pavaizduotu atveju:
138
Pavyzdžiui, ponton ą vandenyje (63 pav.) veikia vandens Archimedo j ėga, kuri šiuo atveju yra atstatomoji j ėga, nes yra nukreipta poslinkiui priešinga kryptimi. kr yptimi. x O
r
F
x
63 pav. Vandens atstatomoji jėga
Dėl atstatomosios j ėgos poveikio materialusis taškas juda apie pusiausvyros pad ėtį viena kryptimi, sustoja ir tuomet juda priešinga kryptimi. V ėliau judė jimas kartojasi. Matome, kad vyksta materialiojo taško svyravimai apie pusiausvyros pad ėtį . Jeigu judė jimas vyksta besipriešinančiojoje aplinkoje, tai tašk ą be atstatomosios j ėgos veiks ir pasipriešinimo j ėga, kurį priklauso nuo besipriešinan čios aplinkos ir taško jud ė jimo greičio. Judant į tašką gali veikti ir žadinan čios jėgos, suteikian čios šiam taškui papildom ų judė jimo impulsų . Visais atvejais taško jud ė jimas aprašomas diferencialinėmis lygtimis, kuri ų sprendimas ir yra taško jud ė jimo analizė. Pagal veikiančių jų jėgų poveikį materialiojo taško svyravimai skirstomi į : 1) laisvuosius; 2) gę stan stančiuosius; 3) priverstinius nesant slopinimui; 4) priverstinius esant slopinimui.
5.1. Laisvieji svyravimai Tarkime, materialusis mas ės m taškas, prikabintas prie neištemptos c standumo spyruokl ės galo (62 pav.), yra statin ės pusiausvyros pad ėtyje. Pastūmus šį tašką iš pusiausvyros pad ėties atstumu x, spyruokl ė je atsiranda atstatomoji r jėga F , kurios projekcija į Ox ašį pagal (252) arba (253) tur ės tokią reikšmę : F x = −c ⋅ x.
Užrašysime šiam taškui diferencialin ę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F x , dt
arba d 2 x m 2 = −c ⋅ x. dt
139
Iš čia gausime toki ą išraišką : d 2 x c + x = 0, dt 2 m
arba, pažym ė ję teigiamą jį dydį : c = k 2 , m
(254)
d 2 x 2 + k x = 0. dt 2
(255)
galiausiai gausime:
Turime tiesinę antrosios eiles diferencialin ę lygtį su pastoviaisiais koeficientais ir be laisvojo nario, kuri vadinama laisvų jų svyravimų diferencialine lygtimi . Iš tiesinių diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad šios lygties bendrasis sprendinys atitinka toki ą išraišką : x = C 1 cos kt + C 2 sin kt .
(256)
Pirmoji (256) lygties išvestin ė rodo taško greit į : v = −C 1 k sin kt + C 2 k cos kt .
(257)
Įrašę į ę į judė jimo lygtį (256) greičio bendrą ją išraišką (257) ir judė jimo pradines s ą lygas, lygas, t. y. kai t = 0, taško padėtį x0 ir greitį v 0 , gauname:
C 1 = x 0 ,
v 0 = C 2 k ;
iš čia C 2 =
v0 . k
Įvertinę rastų konstantų reikšmes, gausime diferencialin ės lygties (255) sprendimo išraišką :
x = x 0 cos kt +
v0 sin kt . k
(258)
Jeigu laikysime, kad rastas konstantas C 1 ir C 2 galima išreikšti kitais pastoviais parametrais, pavyzdžiui, a ir α , t. y. C 1 = a sin α ir C 2 = a cos α, tai diferencialinės lygties (255) sprendimo išraiška bus tokia: x = a sin (kt + α );
140
(259)
čia a ir α yra pastovūs dydžiai. Gautoji išraiška (259) yra harmonini ų svyravimų lygtis. Todėl, galime padaryti išvad ą , kad, veikiant atstatomajai j ėgai, kuri proporcinga atstumui nuo taško iki traukos centro, tiesiaeigiškai judan čio materialiojo taško svyravimai bus harmoniniai. Dydis a, t. y. taško didžiausias nuotolis nuo pusiausvyros pad ėties, vadinamas svyravimų amplitude. Argumentas (kt + α ) vadinamas svyravimų faze, o dydis α vadinamas pradine svyravimų faze (fazės reikšmė pradiniu laiko momentu, t. y. kai t = 0 ). Matome, kad harmoninių svyravimų grafikas yra sinusoid ė (64 pav.), kurios dviej ų amplitudžių dydis 2a yra vadinamas svyravimų juosta.
x T a α
2a
t
a
64 pav. Laisvieji svyravimai
Materialiojo taško greitis, kai jo svyravimai yra harmoniniai, randamas kaip pirmoji judė jimo dėsnio išvestinė: v=
dx = ak cos(kt + α ). dt
(260)
Išvestinės ženklas rodo taško jud ė jimo kryptį konkrečiu laiko momentu. Svyravimo amplitudę a ir pradinę fazę α randame pagal jud ė jimo pradines s ą lygas. lygas. Tegul pradiniu laiko momentu t = 0 taškas M yra padėtyje x0 ir jo greitis šitame taške yra v 0 . Iš (259) ir (260) formulių , kai t = 0 , turėsime: x 0 = a sin α ir v0 = ak cos α.
Iš čia po nesud ėtingų matematinių skaičiavimų gausime svyravim ų amplitudės ir pradinės fazės reikšmes: v02 a = x + 2 k 2 0
ir
tgα =
kx 0 . v0
(261)
Rasime svyravim ų periodą T , t. y. mažiausi ą laiko tarpą , kuriam praė jus taškas sugrį žta žta į tą pačią padėtį ir tuo pačiu greičiu. Sinuso ir kosinuso periodas yra 2π . Todėl, praė jus 141
laikotarpiui T , svyravimų fazė didė ja dydžiu 2π. Galime užrašyti dviej ų artimų fazių skirtumą : k (t + T ) + α − (kt + α ) = 2π,
iš čia rasime svyravim ų periodą : T =
2π . k
(262)
k =
2π . T
(263)
Galime užrašyti:
Iš paskutinės formulės daroma išvada, kad dydis k lemia svyravimų , kuriuos taškas atlieka per 2π seku sekund ndes es,, ska skaii čių . Dydis k vadinamas ciklinių svyravimų dažniu. Ciklinį svyravimų dažnį padalysime iš 2π sekundžių , gausime svyravim ų skai čių per vieną sekund ę , arba dažnį hercais (Hz), t. y. f =
k . 2π
(264)
Palyginę (262) ir (264) formules, galime padaryti išvad ą , kad svyravim ų dažnis hercais yra atvirkštinis svyravim ų periodui, t. y. f =
1 . T
(265)
Iš (254) galime užrašyti, kad ciklinis dažnis skai čiuojamas pagal formul ę : k =
c . m
(266)
Matome, kad ciklinis dažnis priklauso nuo spyruokl ės standumo ir svyruojan čio taško masės. Šis dydis taip pat vadinamas svyravimų savuoju dažniu. Iš (262) formulės gausime: T =
2π m = 2π . k c
Galime teigti, kad svyravim ų periodas nepriklauso nuo pradini ų judė jimo są lyg lygų .
142
5.2. Gęstantieji svyravimai r
Kai taško svyravimai vyksta besipriešinan čioje aplinkoje, be atstatomosios j ėgos F , judantį tašką veikia dar ir aplinkos pasipriešinimo j ėga, kuri esant mažiems jud ė jimo greičiams yra proporcinga šiam grei čiui. r Tarkime, judant į tam tikroje aplinkoje grei čiu v materialų jį tašką (65 pav.) veikia r r atstatomoji jėga F ir aplinkos pasipriešinimo j ėga R, nukreipta priešinga taško jud ė jimui kryptimi, kurios dydis proporcingas grei čiui: r
r
R = −µ ⋅ v ;
(267)
čia µ – aplinkos klampumo koeficientas.
r
r
R
F
r
v
x
O x 65 pav. Svyravimai esant pasipriešinimui
Užrašome taško diferencialin ę judė jimo lygtį projekcijų į ų į ašį Ox pavidalu: d 2 x m 2 = − F x − R x . dt Įvertinę jėgų reikšmes ir tai, kad grei čio projekcija skai čiuojama kaip pirmoji jud ė jimo dėsnio išvestin ė, turėsime:
d 2 x dx m 2 = −cx − µ . dt dt
Po nesudėtingų matematinių veiksmų gausime materialiojo taško gęstanč ių jų svyravimų diferencialinę lygt į: d 2 x dx + + k 2 x = 0; 2 n 2 dt dt čia 2n =
µ
(268)
. m Diferencialinės lygties išraiška ir sprendinys priklauso nuo slopinimo atvejo. Galimas: a) mažo slopinimo atvejis, kai n < k ; b) didelio slopinimo atvejis, kai n > k ; c) kritinio slopinimo atvejis, kai n = k . 143
Nagrinėsime sprendimą kiekvienam slopinimo atvejui: a) mažo slopinimo atvejis, kai n < k . Pagal diferencialini ų lygčių sprendimo teoriją šiuo atveju diferencialin ės lygties (268) bendrasis sprendinys tur ės tokią išraišką : x = ae − nt sin (k 1t + α );
(269)
čia ciklinis svyravim ų dažnis turės tokią išraišką :
k 1 = k 2 − n 2 .
(270)
Matome, kad k 1 < k , t. y. galime padaryti išvad ą , kad esant gęstantiesiems svyravimams pasipriešinimo jėga mažina svyravim ų ciklinį dažnį. Pagal gę stan stančių jų svyravimų judė jimo bendr ą jį lygtį (269) galime padaryti išvad ą , kad ši lygtis skiriasi nuo laisv ų jų harmoninių svyravimų judė jimo lygties daugikliu e − nt . Tai reiškia, kad nagrinė jamas judė jimo atvejis yra svyravimas apie centr ą O. Tačiau šių svyravimų mojai, t. y. maksimal ūs nuokrypiai viena arba kita kryptimi nuo taško O, nėra pastovieji dydžiai; iaisiais. Šių svyravim ų laikui bėgant jie maž ė ja. Todėl šie svyravimai ir vadinami gęstanč iaisiais grafikas parodytas (66 pav.). x
T ai −1
ai +1
α
t
ai
stančių jų svyravimų grafikas 66 pav. Gę stan
Pagrindinės gę stan stančių jų svyravimų charakteristikos: – amplitud ė, kurios dydis randamas pagal formul ę :
(v 0 + nx 0 )2 , a = x + 2 k 1
(271)
x 0 k 1 , v0 + nx 0
(272)
2 0
– pradinė fazė, kuri nustatoma taip: tgα =
144
– svyravimų periodas: T R =
2π . k 1
(273)
Pertvarkę paskutinę išraišką , turėsime: T R =
2π 2π = = 2 2 k 1 k − n
2π 2
k 1 −
n k 2
.
Įvertinę tai, kad laisv ų jų harmoninių svyravimų periodas T =
T R =
1 2
1−
n k 2
2π , gausime: k
T .
Iš čia išplaukia išvada, kad T R > T , t. y. pasipriešinimo j ėga didina svyravim ų periodą . Vieno gę stan stančių jų svyravimų periodo dviejų vienos krypties gretim ų amplitudžių (66 pav.) santykis vadinamas g ę stan stančių jų svyravimų dekrementu: D =
a i +1 . a i −1
(274)
i šraišk ą , galime užrašyti: Įvertinę diferencialinės lygties (268) bendrojo sprendinio išraišk a i +1 ae − n (t +T R ) sin (k 1t + α + 2π) e − nt e −nT R D = = = = e − nT R , − nt − nt ai −1 ae sin (k 1t + α ) e
t. y. gę stan stančių jų svyravimų dekrementas tur ės tokią reikšmę : D = e − nT R .
(275)
Iš čia išplaukia, kad g ę stan stančių jų svyravimų amplitudė mažė ja pastoviuoju, vienodu dydžiu, arba, kitaip sakant, kinta pagal geometrin ės progresijos dėsnį . Praktikoje dažnai taikoma ir kita charakteristika, apib ūdinanti laisvų jų svyravimų silpimo spartumą , tai logaritminis gęstanč ių jų svyravimų dekrementas: λ = ln D = nT R .
145
(276)
b) didelio slopinimo atvejis, kai n > k . Svyravimo diferencialini ų lygčių sprendinys tur ės tokį pavidalą : x = e −nt C 1e
n 2 − k 2 t
+ C 2 e −
n 2 − k 2 t
t .
(277)
c) kritinio slopinimo atvejis, kai n = k . Svyravimo diferencialini ų lygčių sprendinys tur ės tokį pavidalą : x = e − nt (C 1 + C 2 t ).
(278)
Integravimo konstantos randamos pagal pradines jud ė jimo są lygas, lygas, o svyravimo grafikai gali būti tokie (67 pav.): 1) x0 > 0 ir v0 > 0, x
1
2) x0 > 0 ir v0 ≤ 0, 3) x0 > 0 ir v0 << 0.
x0
2
3
67 pav. Didelių slopinimų grafikai
Pradiniu momentu taškas yra iškeltas į padėtį x0 > 0 ir jam suteiktas pradinis greitis v 0 . Taško judė jimas priklauso nuo greičio krypties ir dydžio. Jeigu taško greitis sutampa su judė jimo kryptimi, tai taškas pradžioje nutolsta nuo rimties pad ėties, o vėliau, veikiant atstatomajai jėgai, laipsniškai art ė ja prie šios padėties (67 pav. 1 kreiv ė). 2 ir 3 judė jimo kreivės atitinka atvej į , kai taško pradinis greitis nesutampa su jud ė jimo kryptimi. Matome, kad, esant dideliam pradiniam grei čiui, taškas gali pereiti per rimties pad ėtį , o vėliau laipsniškai gr į žti žti į pusiausvyros pad ėtį .
5.3. Priverstiniai svyravimai nesant slopinimui Kai svyruojant į materialų jį tašką papildomai veikia periodiškai kintanti j ėga, turėsime taško priverstinius svyravimus. Tokia j ėga vadinama žadinanč ią ja, turinčia svyravimo amplitudę , dažnį ir pradinę fazę . Tokia situacija pasitaiko technikoje tais atvejais, kai, pavyzdžiui, besisukan čio veleno mas ės centras n ėra sukimosi ašyje (68 pav.). 146
δ r
F
O
ϕ ωt
C
r
r
Φn r
Q
an x 68 pav. Žadinančioji jėga Q esant kūno priverstiniams svyravimams
Kai velenas sukasi pastoviuoju kampiniu grei čiu ω , masės centro C normalinis pagreitis a n = ω 2 r bus nukreiptas į trajektorijos vidų . Pagal d’Alambero princip ą normalinė inercijos jėga Φ n = ma n nukreipta į priešingą pagrei čiui pusę . Šios jėgos projekcija į ašį Ox nustatoma taip: Φ nx = Φ n sin ϕ = Φ n sin (ωt + δ ) = mω 2 r ⋅ sin (ωt + δ),
arba, kitaip tariant, horizontali ą ja kryptimi kūną veikia žadinan čioji jėga, kurios bendroji išraiška bus tokia: Q = H sin (ωt + δ);
(279)
čia H = mω 2 r – žadinančiosios jėgos amplitudė; δ – žadinan čiosios jėgos veikimo pradin ė 2π fazė; ω – žadinančiosios jėgos ciklinis dažnis. Žadinan čiosios jėgos periodas T = . ω
Žadinančioji jėga Q priverčia kūną pasislinkti horizontali ą ja kryptimi, tai sukelia spyruokl ės deformacij ą , todėl spyruoklė je atsiranda atstatomoji atstatomoji j ėga F = −cx . Užrašysime k ūno diferencialinę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F x + Q, dt
rašysime visų jėgų reikšmes. Gausime: į kurią į ą į rašysime d 2 x m 2 = −cx + H sin (ωt + δ ). dt
Po nesud ėtingų matematinių pertvarkym ų gausime tokio pavidalo priverstini ų svyravim ų nesant slopinimui diferencialin ę lygtį : d 2 x + k 2 x = h sin (ωt + δ); 2 dt
147
(280)
H . m Iš tiesinių diferencialinių lygčių teorijos yra žinoma, kad lygties (280) piln ą sprendinį d 2 x sudarys diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies 2 + k 2 x = 0 bendrasis sprendinys ir dt čia h =
lygties dalinis sprendinys, t. y. x = x1 + x 2 .
(281)
Bendrasis sprendinys yra laisv ų jų harmoninių svyravimų lygtis: x1 = a sin (kt + α ).
(282)
Diferencialinės lygties (280) dalinis sprendinys turi tok į pavidalą : x 2 = A sin (ωt + δ).
(283)
d 2 x 2 = − Aω 2 sin (ωt + δ ) ir į rašysime Rasime (283) lygties antr ą ją išvestinę rašysime visus 2 dt dydžius į (280) diferencialin ę lygtį . Gausime: − Aω 2 sin (ωt + δ) + Ak 2 sin (ωt + δ) = h sin (ωt + δ).
Išsprendę gautą lygtį , turėsime: − Aω 2 + Ak 2 = h;
iš čia rasime priverstinių svyravimų amplitud ę: A =
h k 2 − ω 2
.
(284)
Tuomet dalinio lygties (283) sprendinio išraiška bus tokia: x 2 =
h k 2 − ω 2
sin (ωt + δ ).
(285)
Taigi priverstinių svyravimų nesant slopinimui diferencialin ės lygties pilno sprendinio galutinė išraiška bus tokia: x = a sin (kt + α ) + A sin (ωt + δ).
(286)
Galima pastebėti, kad šiuo atveju k ūno svyravimai bus sud ėtiniai, juos sudarys laisvieji 148
harmoniniai ir priverstiniai harmoniniai svyravimai. Iš bendrojo sprendinio išplaukia išvada, kad priverstini ų svyravimų dažnis ω ir 2π priverstinių svyravimų periodas T ω = sutampa su žadinan čiosios jėgos keitimosi dažniu ir ω
periodu. Priverstiniai svyravimai, kai svyravim ų dažnis mažesnis nei laisv ų jų svyravimų dažnis (ω < k ) , vadinami mažo dažnio priverstiniais svyravimais . Priverstiniai svyravimai, kai svyravim ų dažnis didesnis nei laisv ų jų svyravimų dažnis (ω > k ) , vadinami didelių dažnių priverstiniais svyravimais. Nagrinėsime pagrindinius priverstini ų svyravimų parametrus: fazę , amplitud ę , plakimą , rezonansą.
5.3.1. Priverstinių svyravimų fazė Esant mažo dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω < k , pagal (285) gausime toki ą priverstinių svyravimų lygtį : x2 =
h k 2 − ω2
sin (ωt + δ) ,
svyravimų fazė sutampa su žadinan čiosios jėgos faze. Priverstini ų svyravimų amplitudę randame pagal (284) formul ę : A =
h k 2 − ω 2
.
Jeigu ω > k , t. y. jeigu priverstiniai svyravimai yra didelio dažnio, priverstini ų svyravim ų h lygtį x 2 = 2 sin (ωt + δ) pertvarkysime, nes šiuo atveju svyravim ų amplitudė yra k − ω 2 neigiama. x 2 =
h k 2 − ω
sin (ωt + δ) = − 2
h ω 2 − k 2
sin (ωt + δ) =
Dabar turime priverstini ų svyravimų teigiamą amplitudę A =
h ω 2 − k 2
h ω 2 − k 2
sin(ωt + δ + π).
, ta t ačiau svyravimų
fazė (ωt + δ + π) skiriasi nuo žadinan čiosios jėgos fazės (ωt + δ) dydžiu π . Tai reiškia, kad priverstinių svyravimų ir žadinančiosios jėgos fazės yra priešingos. Taigi galime padaryti išvad ą , kad, esant priverstiniams svyravimams mažu dažniu judantis taškas visada pradeda jud ėti koordinačių ašyje ta kryptimi, kuria tuo momentu yra nukreipta žadinan čioji jėga. Kai priverstiniai svyravimai yra didelio dažnio, judantis taškas koordinačių ašyje pradeda jud ėti priešinga žadinan čiajai jėgai kryptimi.
149
5.3.2. Priverstinių svyravimų amplitudė Ištirsime, kaip priverstini ų svyravimų amplitudė A =
h
priklauso nuo k − ω 2 žadinančiosios jėgos dažnio ω . Taikome taško statinio poslinkio, kuris atsiranda d ėl nekintančios jėgos poveikio, s ą vok voką . Tarkim, taškas yra neištemptos spyruokl ės gale (69 pav.) ir j į pradeda veikti nekintanti jėga H . r
2
r
F
H O
A0
x
69 pav. Taško statinė pusiausvyra
Dėl jėgos H poveikio taškas pasislinks atstumu A0 , kol sustos. Vadinasi, pastovi j ėga H ir spyruokl ė je atsiradusi atstatomoji jėga F = cA0 susilygina, t. y. F = H . Iš čia gauname cA0 = H . Galime rasti atstumo A0 reikšmę : H H h A0 = = m = 2 ; c k c m c H ir k = . m m Gavome statinio poslinkio, arba statinės deformacijos, išraišką :
čia h =
A0 =
h . k 2
(287)
Priverstinių svyravimų amplitudės A santykis su statinio poslinkio didžiu A0 vadinamas svyravimų dinamiškumo koeficientu : η=
A . A 0
(288)
Esant mažo dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω < k , atlikę nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime toki ą dinamiškumo koeficiento išraišk ą :
150
h
1 A k − ω 2 k 2 η= = = 2 = , h A0 ω2 k − ω 2 1− 2 k 2 k 2
arba 1
η=
1−
ω2
.
(289)
k 2
Esant didelio dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω > k , atlikę nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime toki ą dinamiškumo koeficiento išraišk ą : h A ω 2 − k 2 k 2 1 η= = = 2 = 2 , 2 h A0 ω − k ω −1 k 2 k 2
arba η=
1 ω2
k 2
.
(290)
−1
Priverstinių svyravimų amplitudės priklausomybė nuo žadinan čiosios jėgos dažnio, charakterizuojama dinamiškumo koeficientu, pateikta grafike (70 pav.). η
3 2 1
0
1
2
ω
k 70 pav. Dinamiškumo koeficiento keitimosi grafikas
Matome, kad kai žadinan čiosios jėgos dažnis did ė ja nuo nulio, t. y. nuo ω = 0 iki ω = k , 151
dinamiškumo koeficientas did ė ja nuo vieneto iki begalybės. Tai reiškia, kad priverstini ų svyravimų amplitudė šitam žadinan čiosios jėgos dažnio keitimusi yra ne mažesn ė kaip statinė deformacija. Kai žadinan čiosios jėgos dažnis did ė ja nuo ω = k , dinamiškumo koeficientas mažė ja, o tai reiškia, kad priverstini ų svyravimų amplitudė laipsniškai maž ė ja ir gali būti mažesnė net už statinę deformaciją . Kai žadinančiosios jėgos dažnis lygus sistemos saviesiems dažniams, t. y. ω = k , tai dinamiškumo koeficientas padid ė ja iki begalybės. Šiuo atveju priverstini ų svyravim ų amplitudė taip pat padid ė ja iki begalybės. Toks svyravim ų atvejis vadinamas rezonansu (jis bus nagrinė jamas atskirai). Iš (256) formulės matome, kad diferencialin ės lygties (280) bendr ą jį sprendinį galime rasti taip: x = C 1 cos kt + C 2 sin kt .
Tuomet priverstini ų svyravimų judė jimo lygtis turės tokią išraišką : x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +
h k 2 − ω 2
sin (ωt + δ ).
(291)
Diferencijuodami (291) lygtį , gausime grei čio bendrą ją išraišką : v = −kC 1 sin kt + kC 2 cos kt +
hω k 2 − ω 2
cos(ωt + δ).
(292)
Tarę , kad pradiniu laiko momentu, kai t = 0, taško padėtis yra x0 , o greitis v 0 , gausime: x0 = C 1 +
h k 2 − ω 2
v 0 = kC 2 +
sin δ,
hω k 2 − ω 2
cos δ,
iš kurių rasime integravimo konstantas: C 1 = x 0 −
C 2 =
h k 2 − ω 2
sin δ,
v0 h ω − 2 ⋅ cos δ. k k − ω 2 k
Priverstinių svyravim ų judė jimo lygtys galiausiai gali gali būti užrašytos taip:
152
x = x 0 cos kt + h k 2 − ω 2
v0 h ω δ ⋅ kt + δ ⋅ kt sin kt − 2 sin cos cos sin + k k k − ω 2
(293)
sin (ωt + δ).
Iš čia galime padaryti išvad ą , kad taško jud ė jimą galime laikyti judė jimų suma: 1) taško laisvų jų svyravimų , kurie atsiranda d ėl atstatomosios j ėgos poveikio; šiuo atveju taškas yra išjudintas iš pusiausvyros pad ėties atstumu x0 ir jam suteiktas greitis v 0 , t. y. x1 = x 0 cos kt +
v0 sin kt ; k
(294)
2) dažnio k priverstini ų svyravimų , kurie atsiranda d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, t. y. x 2 = −
h
ω δ ⋅ kt + sin cos cos δ ⋅ sin kt ; 2 2 k k − ω
(295)
3) dažnio ω priverstinių svyravimų , kurie atsiranda d ėl žadinančiosios jėgos dažnio ω poveikio, t. y. h sin (ωt + δ). (296) x3 = 2 k − ω 2 Iš priverstinių svyravimų judė jimo lygties (293) išplaukia, kad net esant nulin ėms pradinėms są lygoms, lygoms, kai x 0 = 0 ir v0 = 0 , taškas svyruos savaisiais dažniais pagal (295) ir (296) judė jimo lygtis, ir šių svyravim ų amplitudė nepriklausys nuo jud ė jimo pradinių są lyg lygų .
5.3.3. Plakimas Kai žadinančiosios jėgos dažnis yra artimas taško laisv ų jų svyravimų dažniui ω ≈ k , esant priverstiniams svyravimams atsiranda reiškinys, kuris vadinamas plakimu. Tarkime, kad pradiniu momentu x 0 = 0 ir v 0 = 0 . Nagrinėsime taško svyravimus, kurie atsiranda tik d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, t. y. tokius, kurie aprašyti (295) ir (296) formulėmis. Turėsime: x = x 2 + x3 = −
Atsižvelgę į ę į tai, kad
ω
k
h
ω h sin (ωt + δ). sin δ ⋅ cos kt + cos δ ⋅ sin kt + 2 2 k k − ω k − ω 2
2
≈ 1, po nedideli ų matematinių pertvarkymų gausime:
x =
h 2
k − ω 2
[sin (ωt + δ) − sin(kt + δ )].
153
Pritaikę trigonometrinę sinusų skirtumo formulę : sin α − sin β = 2 sin
α −β
2
cos
α+β
2
,
gausime: x =
Įvertinę tai, kad
ω + k
2
h
ωt + δ − kt − δ ωt + δ + kt + δ 2 sin cos = 2 2 2 2 k − ω h ω − k ω + k t ⋅ t + δ 2 sin cos . k 2 − ω 2 2 2
≈ ω, galime užrašyti:
x =
ω − k ( ) t ⋅ ω t + δ sin cos . k 2 − ω 2 2
2h
(297)
Pažym ė ję A(t ) =
2h k 2 − ω 2
ω − k t , 2
sin
(298)
gausime tokio pavidalo taško svyravim ų lygtį : x = A(t ) ⋅ cos(ωt + δ).
(299)
Šiuos judė jimus galime traktuoti kaip taško svyravimus dažniu ω ir periodu T = kurių amplitudė A(t ) yra funkcija, kurios dažnis yra
T A =
2π ω − k
=
ω − k
2 4π
2π ω
,
, o keitimosi periodas:
.
ω − k
2 Įvertinę tai, kad ω ≈ k , galime padaryti išvad ą , kad amplitud ės svyravimo periodas T A yra gerokai didesnis negu taško svyravimai dažniu T . Taško jud ė jimo grafikas, aprašytas (299) formule, pavaizduotas (71 pav.). Toks taško jud j ud ė jimas vadinamas plakimu.
154
x
T
0 T A 71 pav. Priverstinių svyravimų plakimas
Priverstinių svyravim ų grafike parodytas taško svyravimas, kuris vyksta žadinan čiosios 2π jėgos dažniu ω ir periodu T = , ši ų svyravimų amplitudė periodiškai kinta savuoju dažniu ω
ω − k
2
ir jos keitimosi periodas T A =
4π ω − k
.
5.3.4. Rezonansas Kai taško laisv ų jų svyravimų dažnis yra lygus priverstini ų svyravimų dažniui, t. y. k = ω, atsiranda reiškinys, kuris vadinamas rezonansu. Rezonanso metu svyravim ų amplitudė, skai čiuojama pagal (284) formul ę , padidė ja iki begalybės ir jos skai čiavimas netenka prasm ės. Priverstinių svyravim ų diferencialinę lygtį (280), kai k = ω, galime perrašyti taip: d 2 x + k 2 x = h sin (kt + δ). 2 dt
(300)
Iš diferencialinių lygčių sprendimo teorijos žinome, kad lygties (300) pilnas sprendinys d 2 x bus sudarytas iš diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies 2 + k 2 x = 0 bendrojo x1 ir dt lygties dalinio sprendinio x2 . Bendrą jį sprendinį x1 galime užrašyti jau žinomu pavidalu (256) kaip taško jud ė jimo lygtį esant laisviesiems svyravimams, t. y. x1 = C 1 cos kt + C 2 sin kt .
Tačiau lygties (300) dalinis sprendinys x2 turi būti tiesiniu poži ūriu nepriklausomas nuo sprendinio x1 . Todėl lygties sprendinys ieškomas taip: x 2 = Bt cos(kt + δ).
Ieškome nežinomo dydžio B. Randame (301) išraiškos pirm ą ją ir antrą ją išvestines: 155
(301)
dx 2 = B cos(kt + δ ) − Btk ⋅ sin (kt + δ), dt d 2 x 2 2 ( ) ( ) = − Bk kt + δ − Bk ⋅ kt + δ − Btk sin sin cos(kt + δ) = dt 2 − 2 Bk ⋅ sin (kt + δ) − Btk 2 cos(kt + δ).
(302)
(303)
Įrašę rastus dydžius į diferencialinę lygtį (300) gausime: − 2 Bk ⋅ sin (kt + δ) − Btk 2 cos(kt + δ) + Btk 2 cos(kt + δ) = h ⋅ sin(kt + δ),
arba, atlikę nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime: B =
h . 2k
(304)
Pilnas lygties (300) sprendinys bus toks: x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +
h t ⋅ cos(kt + δ), 2k
arba galiausiai galime užrašyti: x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +
π h t ⋅ sin kt + δ − . 2k 2
(305)
Iš čia išplaukia išvada, kad rezonanso metu, kai taško laisv ų jų svyravim ų dažnis yra lygus priverstinių svyravimų dažniui, t. y. k = ω, taško judė jimas susideda iš dviej ų judė jimų : laisvų jų harmoninių svyravimų ir priverstinių svyravimų . Laisvieji svyravimai vyksta dažniu 2π k ir turi T = svyravimų periodą . Laisvieji svyravimai aprašomi jud ė jimo lygtimi: k x1 = C 1 cos kt + C 2 sin kt .
Priverstiniai svyravimai nusakomi (305) tokia lygties dalimi: x 2 =
h π t ⋅ sin kt + δ − . 2k 2
Priverstinių svyravimų dažnis k ir periodas T rezonanso metu sutampa su laisv ų jų π svyravimų dažniu ir periodu, ta čiau priverstinių svyravimų fazė kt + δ − atsilieka nuo 2
156
žadinančiosios jėgos fazės (kt + δ) dydžiu
π
. 2 Priverstinių svyravimų amplitudė rezonanso met ų didė ja proporcingai laikui, t. y. h A = t , priverstinių svyravimų grafikas pateiktas (72 pav.). 2k x x =
h t 2k
0 x = −
h t 2k
72 pav. Priverstinių svyravimų amplitudės keitimasis rezonanso metu
h t gauname, kad 2k rezonanso metu laikas t į svyravim ų lygtį į eina eina kaip daugiklis. Vadinasi, šiuo atveju svyravimo amplitudė laikui bėgant neribotai did ė ja. Praktikoje šios išvados pasitvirtina iki tam tikros amplitudės padidė jimo ribos, nes svyruojantis k ūnas visuomet susiduria su tam tikru aplinkos pasipriešinimu ir amplitud ės keitimosi spartumas sumaž ė ja. Tačiau rezonanso atveju svyravim ų amplitudė gali tiek padid ėti, kad kūno ryšiai gali neišlaikyti atsiradusi ų poslinkių ir suirti. Todėl svarbu nagrin ėti priverstinius svyravimus į vertinant vertinant ir aplinkos pasipriešinimo į tak taką .
Iš matematinės priverstinių svyravim ų amplitudės išraiškos A =
5.4. Priverstiniai svyravimai esant slopinimui Tarkime, materialusis taškas, esantis neištemptos c standumo spyruokl ės gale (73 pav.), veikiant žadinan čiajai jėgai Q = H sin (ωt + δ) , juda besipriešinan čioje aplinkoje, kurios klampumo koeficientas µ .
r
r
F R O x
r
v
r
Q x
73 pav. Taško judė jimas esant pasipriešinimui
157
Įvertinę jėgų reikšmes, užrašysime taško diferencialin ę judė jimo lygtį :
d 2 x m 2 = Q − F − R. dt
(306)
Įrašę jėgų reikšmes, turėsime:
d 2 x dx m 2 = H sin (ωt + δ) − cx − µ , dt dt
arba, padalij ę visus narius iš mas ės m, gausime materialiojo taško priverstinių svyravimų esant slopinimui diferencialin ę jud ė jimo lygt į tokio pavidalo: d 2 x dx + n + k 2 x = h sin (ωt + δ); 2 2 dt dt čia 2n =
µ
m
; n – slopinimo koeficientas; k 2 =
(307)
c – laisvų jų svyravimų dažnio kvadratas; m
H – žadinan čiosios jėgos amplitudės ir masės santykis. m Iš tiesinių diferencialinių lygčių teorijos žinome, kad lygties (307) pilnas sprendinys bus d 2 x dx sudarytas iš diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies m 2 + 2n + k 2 x = 0 bendrojo dt dt h=
sprendinio ir lygties dalinio sprendinio, t. y. x = x1 + x 2 .
(308)
Bendrasis sprendinys yra g ę stan stančių jų svyravimų lygtis ir, atsižvelgiant į n ir k santykį , aprašomas (269), (277) arba (278) formul ėmis. Ieškomas diferencialin ės lygties (307) dalinis sprendinys: x 2 = A sin (ωt + δ − ε );
(309)
čia A ir ε – nežinomi pastovieji dydžiai; laikome, kad dalinis sprendinys yra pastovios amplitudės svyravimai, kuri ų dažnis lygus žadinan čiosios jėgos dažniui. Dydžiams A ir ε skaičiuoti randame (309) lygties l ygties išvestines:
dx 2 = Aω cos(ωt + δ − ε ), dt d 2 x 2 2 = − A ω sin (ωt + δ − ε ), dt 2
158
kurias ir į rašome rašome į diferencialinę lygtį (307). Turėsime: − Aω 2 sin (ωt + δ − ε ) + 2n ⋅ Aω cos(ωt + δ − ε) + k 2 A sin(ωt + δ − ε) = h ⋅ sin(ωt + δ).
Po nesudėtingų matematinių skaičiavimų gausime: h
A =
(k
2
−ω
tgε =
2 2
)
, 2
+ 4n ω
2nω k 2 − ω 2
(310)
2
.
(311)
Tuomet diferencialinės lygties (307) dalinis sprendinys tur ės tokią išraišką : x 2 =
h
(k
2
−ω
2 2
)
2
+ 4n ω
2
sin (ωt + δ − ε).
(312)
Priklausomai nuo n ir k santykio diferencialin ės lygties (307) bendrasis sprendinys tur ės tokias išraiškas: mažo slopinimo atveju, kai n < k : h
x = ae − nt sin (k 1t + α ) +
(k
2
−ω
2 2
)
2
+ 4n ω
2
sin (ωt + δ − ε ),
(313)
didelio slopinimo atveju, kai n > k :
(
x = e − nt C 1 e
n 2 − k 2 t
+ C 2 e −
n 2 − k 2 t
h
)t +
(k
2
−ω
2 2
)
sin (ωt + δ − ε ), 2
+ 4n ω
(314)
2
kritinio slopinimo atveju, kai n = k : x = e −nt (C 1 + C 2 t ) +
h
(k
2
−ω
2 2
)
sin (ωt + δ − ε ). 2
+ 4n ω
(315)
2
Priverstinių svyravim ų lygtyse (314) ir (315) integravimo konstantos randamos pagal svyravimų pradines s ą lygas. lygas. Analizuodami (313), (314) ir (315) jud ė jimo lygtis, galime pasteb ėti, kad taško jud ė jimas susideda iš gę stan stančių jų ir priverstinių svyravimų . Kadangi laikui b ėgant gę stantieji stantieji svyravimai išnyksta, lieka tik svyravimai d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, kuri ų amplitudės dydis randamas pagal (310) formul ę . Svyravimai d ėl žadinančiosios jėgos poveikio vyksta žadinančiosios jėgos dažniu ω ir yra aprašomi (312) formule: 159
x =
h
(k
2
−ω
2 2
)
sin (ωt + δ − ε ). 2
+ 4n ω
2
Taip pat pasteb ėta, kad, esant pasipriešinimui, jud ė jimo priverstiniai svyravimai žadinančiosios jėgos atžvilgiu pasislenka dydžiu ε .
160
LITERATŪRA 1. MICHNEVIČ, E.; SYRUS, L.; BELEVI ČIUS, R. Teorinė mechanika. Statika : mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2004. 94 p. 2. PALIŪNAS, V. Teorinė mechanika . Vilnius: Žuvėdra, 1997. 482 p. 3. TARGAS, S. Trumpas teorinės mechanikos kursas . Vilnius: Mintis, 1970. 476 p. 4. ЯБЛОНСКИЙ, А. А.; НИКИФОРОВА, В. М. Курс теоретической механики теоретической механики. Часть 1. Москва: Высшая школа, 1966. 438 c. 5. VORONKOVAS, B.; REMIŠAUSKAS, M. Teorinė mechanika. Vilnius: VPMLL, 1961. 782 p. 6. MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Engineering Mechanics, Statics . 4th ed. John Wiley&Sons, Inc. Canada, 1998. 526 p. 7. HIBBLER, R. C. Engineering Mechanics : Statics and Dynamics . 6th ed. Macmillan Publishing Co. New York, 1992. 588 p. 8. BARADOKAS, P. Teorinė mechanika. Dinamika : mokomoji knygel ė. Vilnius, 1980. 158 p. 9. MERIAM, J. L.; KRAIGE, L.G. Engineering Mechanics, Dynamics . 4th ed. John Wiley&Sons, Inc. Canada, 1998. 725 p. 10. ЯБЛОНСКИЙ, А. А.; НИКИФОРОВА, В. М. Курс теоретической механики теоретической механики. Часть 2. Москва: Высшая школа, 1966. 412 c. 11. НЕКРАСОВ, А. И. Курс теоретической механики. Динамика. Том II. Москва: Высшая школа, 1953. 420 c. 12. SYRUS, L.; BARADOKAS, P.; MICHNEVI Č, E.; ČIUČELIS, A. Teorinė mechanika. Kinematika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2006. 100 p. 13. BARADOKAS, P. Teorinė mechanika. Kinematika : paskait ų konspektas. Vilnius, 1980. 76 p.
161
PRIEDAI 1 priedas. Klausimai savarankiškam darbui 1. Kaip formuluojami pagrindiniai dinamikos d ėsniai? 2. Kaip kūno svoris priklauso nuo k ūno padėties Žemė je? Kuriuose Žemės paviršiaus taškuose kūno sunkio reikšm ė didžiausia ir kuriuose mažiausia? 3. Kokios yra laisvojo materialiojo taško t aško diferencialini ų judė jimo lygčių išraiškos? 4. Kokios yra nelaisvojo materialiojo taško diferencialini ų judė jimo lygčių išraiškos? 5. Kokie yra pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai? 6. Ką vadiname pradin ėmis judė jimo są lygomis? lygomis? 7. Pagal kokius d ėsnius juda materialusis taškas, mestas tuštumoje į vairiais vairiais kampais horizonto atžvilgiu? Kokiomis s ą lygomis lygomis taškas pasieks maksimal ų aukštį ? Kada taško skridimo nuotolis bus maksimalus? 8. Ką vadiname materiali ų jų taškų mechanine sistema? 9. Ką vadiname materialiojo taško judesio kiekiu? Kaip jis ji s randamas? 10. Ką vadiname mechanin ės sistemos judesio kiekiu? Kaip jis ji s randamas? 11. Kaip dinamikoje klasifikuojamos j ėgos, veikian čios mechaninę sistemą ? 12. Mechaninės sistemos vidini ų jėgų suminio vektoriaus ir suminio momento bet kurio centro skai čiavimas. 13. Ką vadiname j ėgos impulsu? Kaip jis skai čiuojamas? 14. Kaip skamba materialiojo taško judesio kiekio poky čio teorema? 15. Kaip skamba mechanin ės sistemos judesio kiekio poky čio teorema? 16. Kada mechanin ės sistemos judesio kiekis yra pastovus? 17. Kuris mechanin ės sistemos taškas yra vadinamas mas ės centru (inercijos centru)? Kaip randama šio taško pad ėtis? 18. Kaip išreiškiamas mechanin ės sistemos judesio kiekis mas ės centro judesio kiekiu? 19. Kam lygus smagra čio, besisukan čio apie nejudam ą ją ašį , einančią per smagračio masės centrą , judesio kiekis? 20. Kodėl šūvio metu patranka atšoka atgal? 21. Kokia yra sistemos mas ės centro jud ė jimo teoremos išraiška? 22. Kokios mechanin ę sistemą veikiančios jėgos neturi į takos takos sistemos mas ės centro judė jimui? Kodėl? 23. Ką vadiname materialiojo taško kinetiniu momentu centro atžvilgiu? 24. Ką vadiname mechanin ės sistemos kinetiniu momentu centro atžvilgiu, ašies atžvilgiu? 25. Kokios yra materialiojo taško kinetinio momento teoremos vektorin ė ir koordinatinė išraiškos? 26. Kaip mechaninės sistemos kinetinio momento teorema išreiškiama vektorine ir koordinatine forma? 27. Kada mechanin ės sistemos kinetinis momentas centro arba ašies atžvilgiu nesikei čia? 28. Kokia yra besisukan čio standžiojo k ūno kinetinio momento sukimosi ašies atžvilgiu išraiška? 29. Ką vadiname ir kaip skai čiuojame standžiojo k ūno inercijos momentus ašies, plokštumos ir taško atžvilgiu? 162
30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.
Kokia yra standžiojo k ūno inercijos momento ašies atžvilgiu fizikin ė prasmė? Ką vadiname standžiojo k ūno inercijos spinduliu? Kokia yra priklausomyb ė tarp į vairi vairių inercijos moment ų ? Kokia yra priklausomyb ė tarp standžiojo k ūno inercijos moment ų lygiagrečių ašių atžvilgiu? Ką vadiname standžiojo k ūno išcentriniu inercijos momentu? Kokias ašis vadiname standžiojo k ūno svarbiausiosiomis inercijos ašimis tam tikrame taške? Kokioms są lygoms lygoms esant koordina čių ašis Oz yra standžiojo k ūno svarbiausioji ašis koordinačių pradžioje? Kada standžiojo k ūno inercijos momento reikšm ė yra mažiausioji? Kokia yra j ėgos elementariojo darbo išraiška? Kaip skai čiuojamas j ėgos darbas kelio ruože? Kaip skai čiuojamas j ėgos elementarusis darbas esant k ūno sukamajam jud ė jimui? Kaip skai čiuojamas sunkio darbas? Kaip jis priklauso nuo jud ė jimo trajektorijos? Kada sunkio darbas yra teigiamas, neigiamas, kada lygus nuliui? Kaip skai čiuojamas galingumas esant į vairiems vairiems judė jimams? Ką vadiname materialiojo taško kinetine energija ir kaip ji skai čiuojama? Kaip skai čiuojame sistemos kinetin ę energiją ? Kaip skai čiuojame standžiojo k ūno kinetinę energiją esant slenkamajam, sukamajam ir plokščiajam judė jimui? Kokia yra materialiojo taško kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraiška? Kokia yra mechanin ės sistemos kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraiška? Kada sistemos vidin ės jėgos neį eina eina į mechaninės sistemos kinetin ės energijos poky čio išraišką ? Kodėl? Koks jėgų laukas vadinamas potencialiniu? Kokia funkcija vadinama j ėgos funkcija? Kokia mechanin ės energijos tverm ės dėsnio išraiška? Kokia yra standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo diferencialinių lygčių išraiška? Kokia yra standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo diferencialinių lygčių išraiška? Kokioms są lygoms lygoms esant standusis k ūnas apie nejudam ą ją ašį sukasi tolygiai, greitė jančiai arba lėtė jančiai? Kokia yra standžiojo k ūno plokščiojo judė jimo diferencialinių lygčių išraiška? Kuo ypatingas sm ūgio reiškinys? Kuo charakterizuojamos sm ūgio jėgos? Kas vyksta su k ūnais pirmosios ir antrosios sm ūgio fazės metu? Kaip randami dviej ų rutulių greičiai kiekvienos faz ės pabaigoje esant netampriajam, tampriajam arba absoliu čiai tampriam tiesioginiam centriniam sm ūgiui? Kodėl smūgio teorijoje vietoj sm ūgio jėgų taikomi smūgio impulsai? Kokia pagrindinė dinamikos formulė taikoma smūgio teorijoje? Kas esant sm ūgiui vadinama atsistatymo koeficientu? Kaip jis randamas bandymo b ūdu? Šio koeficiento skaitin ės reikšmės ribos. Kokia yra priklausomyb ė tarp kritimo ir atšokimo kamp ų smūgio metu? 163
Kaip smūgio teorijoje taikoma sistemos kinetinio momento teorema? Kaip kinta standžiojo k ūno kampinis greitis, kai k ūną veikia smūgio impulsas? Kokioms są lygoms lygoms esant sm ūgis neperduodamas į tvirtinimo tvirtinimo atramai? Kada susidūrę du rutuliai sustoja ir kada jie „apsikei čia“ greičiais? Kas smūgio metu yra prarastasis greitis? Ką smūgio metu vadiname prarast ą ja kinetine energija? Kaip skamba Karno teorema? Prie kokio k ūno galima pridėti materialiojo taško inercijos j ėgą ? Kam lygus šios j ėgos modulis ir kokia jos kryptis? 71. Koks turi b ūti materialiojo taško jud ė jimas, kad jo tangentinė inercijos jėga būtų lygi nuliui? 72. Koks turi būti materialiojo taško jud ė jimas, kad jo normalinė inercijos jėga būtų lygi nuliui? 73. Į ką redukuojamos standžiojo k ūno inercijos j ėgos esant slenkamajam k ūno judė jimui, sukamajam apie nejudam ą ją ašį kūno judė jimui, plokščiajam kūno judė jimui? 74. Kokiai jėgai veikiant vyksta materialiojo taško laisvieji l aisvieji svyravimai? 75. Kokia yra materialiojo taško laisv ų jų svyravim ų diferencialinės judė jimo lygties išraiška? 76. Kaip užrašomas materialiojo taško harmonini ų svyravimų dėsnis? 77. Ką vadiname harmonini ų svyravimų periodu? 78. Kaip harmonini ų svyravimų periodas priklauso nuo materialiojo taško jud ė jimo pradinių są lyg lygų ? 79. Nuo ko priklauso materialiojo taško laisv ų jų svyravimų dažnis, amplitud ė ir svyravimų pradinė fazė? 80. Koks yra materialiojo taško laisv ų jų svyravim ų grafinis vaizdas? 81. Kokia yra materialiojo taško g ę stan stančių jų svyravimų diferencialinės judė jimo lygties išraiška? 82. Kaip užrašomas materialiojo taško g ę stan stančių jų svyravimų dėsnis? 83. Kas apibūdina svyravim ų silpimo spartumą ? 84. Koks yra materialiojo taško g ę stan stančių jų svyravimų grafinis vaizdas? 85. Kaip užrašoma materialiojo taško priverstini ų svyravimų nesant slopinimui diferencialin ė judė jimo lygtis? Koks jos bendrasis sprendinys? sprendinys? 86. Kurie priverstiniai svyravimai vadinami mažo dažnio svyravimais, o kurie didelio dažnio svyravimais? 87. Kokie veiksniai turi į takos takos materialiojo taško priverstini ų svyravimų amplitudei? 88. Ką vadiname dinamiškumo koeficientu ir kaip šis koeficientas priklauso nuo santykio 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
ω
? k 89. Kokiomis są lygomis lygomis priverstinių svyravim ų metu atsiranda plakimo reiškinys? Kaip atrodo plakimo grafikas? 90. Kokiomis są lygomis lygomis priverstinių svyravimų metu atsiranda rezonanso reiškinys, kokios šiuo atveju yra materialiojo taško priverstini ų svyravimų lygtys ir koks yra grafikas?
164
2 priedas. Pagrindinės dinamikos formulės Pirmoji dinamikos aksioma r
r
F = 0;
v = const.
Antroji dinamikos aksioma – pagrindinis dinamikos d ėsnis r
r
F = ma.
Trečioji dinamikos aksioma m A a B . = m B a A
Ketvirtoji dinamikos aksioma n
r
r
ma = ∑ F i . i =1
Pagrindinės dinamikos charakteristikos Masės centro koordinat ės: n
xc =
m k x k ∑ k 1 =
n
m k ∑ k 1
n
;
y c =
=
m k y k ∑ k 1 =
n
mk ∑ k 1
n
;
z c =
=
mk z k ∑ k 1 =
n
m k ∑ k 1 =
Standžiojo k ūno inercijos momentas: n
I = ∑ m k ⋅ hk 2 . k =1
Inercijos momentai Dekarto koordina čių ašių atžvilgiu: n 2 2 I x = ∑ m k ⋅ ( y k + z k ) ; k =1 n 2 2 I y = ∑ m k ⋅ ( z k + x k ) ; k =1 I = n m ⋅ ( x 2 + y 2 ). k k k z ∑ k =1
Polinis inercijos momentas: n
I o = ∑ mk ⋅ ( x k 2 + y k 2 + z k 2 ). k =1
165
.
Inercijos momentai plokštum ų atžvilgiu: n 2 I yOz = ∑ m k ⋅ x k ; k =1 n 2 I xOz = ∑ m k ⋅ y k ; k =1 n I = m ⋅ z 2 . k k xOy ∑ k =1
Kūno inercijos momentas, išreikštas inercijos spindulu: I z = M ⋅ i z2 .
Išcentriniai inercijos momentai: n I xy = ∑ m k ⋅ x k y k ; k =1 n I yz = ∑ m k ⋅ y k z k ; k =1 n I = m ⋅ x z . k k k xz ∑ k =1
Inercijos momentas lygiagre čių ašių atžvilgiu: I z1 = I zC + M ⋅ d 2 .
Inercijos momentas bet kaip išd ėstytos ašies atžvilgiu: I OL = cos 2 α ⋅ I x + cos 2 β ⋅ I y + cos 2 γ ⋅ I z − 2 cos β cos γ ⋅ I yz − 2 cos γ cos α ⋅ I xz − 2 cos α cos β ⋅ I xy .
Standžiojo k ūno inercijos momentas: I OL = ∫ h 2 dm. M
Inercijos momento skaičiavimo formulės Plonas strypas:
1 I A = Ml 2 ; 3
I C =
Plonas žiedas ir vamzdis:
I O = I x = MR 2 ;
1 I z = I y = MR 2 . 2
Plonas skritulys:
1 I x = I O = MR 2 ; 2
1 I y = I z = MR 2 . 4
Storasienis vamzdis:
1 I x = ⋅ M ( R 2 + R02 ). 2 166
1 Ml 2 . 12
Plonas keturkampis:
1 I x = Mb 2 ; 3
1 I y = Ma 2 . 3
Plonas trikampis:
1 I x = Mb 2 ; 6
1 I y = Mb 2 . 6
Judė jimo charakteristikos Materialiojo taško judesio kiekis: r
mv ; mv = (mv x )2 + (mv y )2 + (mv z )2 ; mv x = m
cos α =
dx ; dt
mv y = m
mv x ; mv
cos β =
dy ; dt
mv z = m
mv y ; mv
cos γ =
dz ; dt
mv z . mv
Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis: r
n
r
r
K = ∑ m k v k ;
r
K = M ⋅ vC .
k =1
Materialiojo taško kinetinis momentas centro atžvilgiu: r
r
r
r
r
l O = M O (mv ) = r × mv .
Materialiojo taško kinetinis momentas koordina čių ašių atžvilgiu: r
l x = M x (mv ) = y ⋅ mv z − z ⋅ mv y ; r
l y = M y (mv ) = z ⋅ mv x − x ⋅ mv z ; r
l z = M z (mv ) = x ⋅ mv y − y ⋅ mv x .
Materialių jų taškų mechaninės sistemos kinetinis momentas centro atžvilgiu: r
n r
n
r
n
r
r
r
LO = ∑ l O = ∑ M O (m k v k ) = ∑ (r k × m k v k ) . k =1
k =1
k =1
Materialių jų taškų mechaninės sistemos kinetinis momentas koordina čių ašių atžvilgiu: n
n
k =1
k =1
r
n
L x = ∑ l x = ∑ M x (m k v k ) = ∑ ( y k ⋅ mk v kz − z k ⋅ m k v ky ) ; k =1
167
n
n
k =1
k =1
n
n
k =1
k =1
r
n
L y = ∑ l y = ∑ M y (m k v k ) = ∑ ( z k ⋅ m k v kx − x k ⋅ m k v kz ) ; k =1
r
n
L z = ∑ l z = ∑ M z (m k v k ) = ∑ ( x k ⋅ m k v ky − y k ⋅ m k v kx ). k =1
Standžiojo k ūno kinetinis momentas: r
r
r
LO = r C × M ⋅ v C ;
L z = I z ⋅ ω .
Materialiojo taško kinetin ė energija:
mv 2 . 2
Materialių jų taškų mechaninės sistemos kinetin ė energija:
m k v k 2 . T = ∑ 2 k =1
Standžiojo k ūno kinetinė energija esant slenkamajam jud ė jimui:
v C 2 T = M . 2
n
ω2
Standžiojo k ūno kinetinė energija esant sukamajam jud ė jimui:
T =
Standžiojo k ūno kinetinė energija esant plokš čiajam judė jimui:
Mv C 2 ω I zC . T = + 2 2
2 2
Potencinė energija Jėgos funkcija: U ( x, y, z ) .
Jėgos elementarusis darbas potencialiniame j ėgų lauke: dA =
∂U ∂U ∂U dx + dy + dz; ∂ x ∂ y ∂ z
dA = dU ( x, y , z ) .
Jėgos pilnutinis darbas: A = U −U 0 .
Potencinė energija: V = A MM 0 = − A M 0 M = U 0 − U = C 0 − U ;
V = −U .
168
⋅ I z .
Jėgos poveikio matai Mechaninės sistemos vidini ų jėgų savybės: r
n r
R = ∑F = 0; v
v k
r
n
k =1
Jėgos impulsas:
r
r
M = ∑ M o (F k v ) = 0 . v O
k =1
r
r
r
d S = F ⋅ dt ;
S =
t r
r
∫ F dt ;
r
S = F ⋅ t .
t o = o M 2
Jėgos darbas:
A = ∫ F τ ds;
dA = F τ ⋅ ds;
M 1 M 2
A = ∫ F cos ϕds;
dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds;
M 1
r
M 2
r
r r
A = ∫ F d r ;
dA = F ⋅ d r ;
M 1
r
t
r
r r
A = ∫ d S d v ;
dA = d S ⋅ d v ;
t 0 M 2
dA = F x dx + F y dy + F z dz;
A = ∫ F x dx + F y dy + F z dz. M 1
Atstojamosios j ėgos darbas: M 2
r r
n
r
n
r
A = ∫ Rd r = ∑ F k d r ;
A = ∑ Ak .
k =1
M 1
k =1
Sunkio darbas: A = ± mg ⋅ h.
Tamprumo jėgos darbas: A = −
c 2 (r 2 − r 12 ); 2
c A = − ⋅ r 2 ; 2
c A = − ⋅ λ2 . 2
Jėgos darbas esant k ūno slenkamajam jud ė jimui: r
M 2
r
r r
A = ∫ F d r c .
dA = F ⋅ d r c ;
M 1
Jėgos darbas esant k ūno sukamajam jud ė jimui:
169
r
dA = M z (F k ) ⋅ d ϕ;
dA = M z ⋅ d ϕ;
ϕ2
A = ∫ M z d ϕ;
A = M z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ) .
ϕ1
Galingumas: N =
dA ; dt
r
r
N = F ⋅ v ;
N = M z ω.
Jėgos projekcijos potencialiniame j ėgų lauke: F x =
∂U ∂V =− ; ∂ x ∂ x
F y =
∂U ∂V =− ; ∂ y ∂ y
F z =
∂U ∂V =− . ∂ z ∂ z
Diferencialinės judė jimo lygtys Materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys: n v2 m = F in ; ∑ ρ i =1 2 d s n m 2 = ∑ F iτ ; dt n i =1 0 = F . ∑ ib 1 i =
d 2 x n m 2 = ∑ F ix ; i =1 dt 2 d y n m 2 = ∑ F iy ; i =1 dt 2 d z n m dt 2 = ∑ F iz ; i =1
Pirmojo dinamikos uždavinio matematinė formuluotė materialiajam taškui d 2 x F x = m 2 ; dt d 2 y F y = m 2 ; dt 2 F = m d z ; z dt 2
cos α =
F x ; F
F = F x2 + F y2 + F z2 ;
cos β =
F y ; F
cos λ =
F z . F
Antrojo dinamikos uždavinio matematinė formuluotė materialiajam taškui r
r
F = F (t , x, y, z , v x , v y , v z ) ;
170
d 2 x m 2 = F x (t , x, y, z , v x , v y , v z ) ; dt 2 d y m 2 = F y (t , x, y , z , v x , v y , v z ) ; dt 2 m d z = F (t , x, y , z , v , v , v ) ; z x y z dt 2 v x = ϕ1 (t , C 1 , C 2 , C 3 ) ; v y = ϕ 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 ) ; v = ϕ (t , C , C , C ) ; 3 1 2 3 z
x = f 1 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ) ; y = f 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ) ; z = f (t , C , C , C , C , C , C ) ; 3 1 2 3 4 5 6
x = f 1 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v0 y , v0 z ) ; y = f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v0 z ) ; z = f (t , x , y , z , v , v , v ). 3 0 0 0 0 x 0 y 0 z
Reliatyvusis materialiojo taško judė jimas r
r
r
r
ma r = F + Φ k + Φ c ; d 2 x r m 2 = F x + Φ kx + Φ cx ; dt 2 d y r m 2 = F y + Φ ky + Φ cy ; dt 2 m d z r = F + Φ + Φ ; zx kz cz dt 2
Keliamoji inercijos j ėga: Koriolio inercijos j ėga:
r
r
r
r
Φ k = −ma k ; Φ c = − ma c .
Bendrosios dinamikos teoremos Materialiojo taško judesio kiekio teorema r
r
d (mv ) = F dt ;
r
r
r
mv − mv 0 = S ;
d (mv x ) = F x dt ; d (mv y ) = F y dt ; d (mv ) = F dt ; z z mv x − mv 0 x = S x ; mv y − mv 0 y = S y ; mv − mv = S . 0 z z z
171
Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekio teorema
r
d K r i = R ; dt
n d n i dt ∑ m k v kx = ∑ F kx ; k =1 k n=1 n d i ∑ m k v ky = ∑ F ky ; k =1 dt k =n1 n d mk v kz = ∑ F kzi . dt ∑ k =1 k =1
dK x i dt = R x ; dK y = R yi ; dt dK z = R i ; z dt
Materialių jų taškų mechaninės sistemos impulsų teorema r
r
i
d K = R dt ;
r
r
r
r
r
K − K 0 = S i ;
i
d K = d S ;
K x − K 0 x = S xi ; i K y − K 0 y = S y ; K − K = S i . 0 z z z
Materialiojo taško kinetinio momento teorema
r r d r M 0 (mv ) = M 0 (F ); dt
r
M z (F ) = 0; r
r
M O (F ) = 0;
r r d ( ) M m v = M F x ; dt x d r r ( ) M m v = M F y y ; dt r d M z (mvr ) = M z F ; dt r
l z = M z (mv ) = const. r
r
r
l O = M O (mv ) = const.
Materialių jų taškų mechaninės sistemos kinetinio momento teorema
r
d LO r i = M O ; dt
r
n r d n r i ( ( ) M m v = M F dt ∑ x k k ∑ x k ); k =1 k n=1 n r r d i ( ) ( M m v = M F ∑ y k k ∑ y k ); k =1 dt k n=1 r d M (m vr )) = n M (F i ); ∑ ∑ z k k z k dt k =1 k =1
r
n
r
r
LO = ∑ M O (m k v k ) = const.
M Oi = 0;
k =1 n
r
∑ M z (F k i ) = 0; k =1
n
r
L z = ∑ M z (mk v k ) = const. k =1
172
r
r
i O
d LO = M dt ;
r
t n L x − L0 x = ∫ ∑ M x (F k i )dt ; t 0 = 0 k =1 t n i L y − L0 y = ∫ ∑ M y (F k )dt ; t 0 = 0 k =1 t n i L z − L0 z = ∫ ∑ M z (F k )dt . t 0 = 0 k =1
t r
r
L − L0 = ∫ M Oi dt ; t 0 = 0
Kinetinės energijos teorema mv 2 = dA; d 2
mv 2 mv02 − = A; 2 2
T − T 0 = A i + A v ;
T − T 0 = A i .
Mechaninės energijos tvermė Materialiajam taškui:
mv02 mv 2 + V = + V 0 . 2 2
Mechaninei sistemai:
T + V = T 0 + V 0 .
Masės centro jud ė jimo teorema:
d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix ; dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy ; dt i =1 2 d z C n i M dt 2 = ∑ F iz ; i =1 n
F ix i = 0; ∑ i 1 =
Standžiojo kūno dinamika
Slenkamasis jud ė jimas:
d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix ; dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy ; dt i =1 2 d z C n i M dt 2 = ∑ F iz . i =1
Sukamasis jud ė jimas:
d 2 ϕ I z 2 = M zi . dt
173
vCx = 0;
x C = const .
d 2 x C n i M 2 = ∑ F ix ; dt i =1 2 d y C n i M 2 = ∑ F iy ; dt i =1 2 n d ϕ i I = M F ( ). ∑ z z i C dt 2 i =1
Plokštuminis judė jimas:
Suvaržytos mechaninės sistemos dinamika Holonominiai ryšiai kintamieji, arba nestacionar ūs: f ( x i , y i , z i , t ) = 0 – dvipusiai, f ( xi , y i , z i , t ) ≥ 0 – vienpusiai; pastovūs, arba stacionar ūs: f ( x i , y i , z i ) = 0 – dvipusiai, f ( x i , y i , z i ) ≥ 0 – vienpusiais.
Neholonominiai ryšiai ϕ( x i , y i , z i , x& i , y& i , z& i , t ) = 0.
Apibendrintosios koordinat ės:
q k ; čia k = 1, 2, ..., n. x i = x i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ; y i = y i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ; z = z (q , q , ..., q , t ) ; 1 2 i n i r
r
r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ; čia i = 1, 2, ..., n.
Virtualieji poslinkiai Elementarus poslinkis
δr .
Tikrasis elementarus poslinkis
d r . r
r
r
∂r i ∂r i r ∂r i δ r = ⋅ δ q + ⋅ δ q + + ⋅ δq n ; ... 1 2 i ∂q ∂ q ∂ q 1 2 n r n ∂r i r δr = ⋅ δq i . ∑ i ∂ q i =1 i
Virtualusis jėgos darbas:
r
r
r
r
δ A = F ⋅ δr = F ⋅ δr cos α; δ A = F ⋅ x δ x + F y ⋅ δ y + F ⋅ z δ z .
174
N r
r
Ri ⋅ δr i ≡ 0 . ∑ i 1
Idealieji ryšiai:
=
Apibendrintoji jėga:
Qk =
N ∑ δ Ai i =1 k δq k
N
n
=
=
r
∂r Q k = ∑ F i i ; ∂q k i =1 N
;
δ Ai = ∑ Qk δq k =Q1δq1 + Q2 δq 2 + .. + Qn δq n ; ∑ i 1 k 1
∂ x ∂ y ∂ z Qk = ∑ F ix i + F iy i + F iz i . ∂q k ∂q k ∂q k i =1 N
Virtualių jų poslinkių principas n
r
r
∑ δ AiF = ∑ F i δr = 0 ; i =1 n
(F ix δ xi + F iy δ yi + F iz δ zi ) = 0 . ∑ δ AiF = ∑ i 1 =
d’Alambero principas Materialiajam taškui: r
r
r
r
F i + Ri − mi a i = 0;
r
r
F i + Ri + Φ i = 0; F ix + Rix + Φ ix = 0; F iy + Riy + Φ iy = 0; F iz + Riz + Φ iz = 0.
Mechaninei sistemai: n
r
n
r
n
r
n
r
r
n
r
r
n
r
r
∑ F i + ∑ Ri + ∑ Φ i = 0 ;
∑ M O (F i ) +∑ M O ( Ri ) +∑ M O (Φ i ) = 0 ;
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
n
n
n
i =1 n
i =1
i =1
∑ F ix + ∑ Rix + ∑ Φ ix = 0 ; ∑ F iy + ∑ Riy + ∑ Φ iy = 0 ; ∑ F iz + ∑ Riz + ∑ Φ iz = 0 ; r
n
r
n
r
M x (F i )+ ∑ M x ( Ri )+ ∑ M x (Φ i ) = 0 ; ∑ i 1 i 1 i 1 =
=
175
=
n
r
n
n
r
r
∑ M y (F i ) + ∑ M y ( Ri ) + ∑ M y (Φ i ) = 0 ; i =1 n
i =1
r
i =1
n
n
r
r
∑ M z (F i ) + ∑ M z ( Ri ) + ∑ M z (Φ i ) = 0 . i =1
i =1
i =1 n
r
r
Φ = ∑ Φi ;
Suminis inercijos j ėgų vektorius:
r
r
Φ = − M ⋅ a C .
i =1
r
n
r
M O = ∑ M O (Φ i ) .
Suminis inercijos j ėgų vektorinis momentas:
Φ
i =1
Esant kūno sukamajam jud ė jimui:
M zΦ = −ε ⋅ I z .
Atraminių reakcijų dinaminės dedamosios:
R Bd =
1 2 ε + ω 4 ⋅ I yz2 + I xz2 . a
Reakcijų dinaminių dedamų jų pusiausvyros s ą lygos: lygos: My C + ω 2 Mx C = 0 ; − ε ⋅ Mx C + ω 2 My C = 0 ; ε ⋅ I xz − ω 2 I yz = 0 ; ε ⋅ I yz + ω 2 I xz = 0 ;
čia xC = 0; y C = 0; I xz = 0; I yz = 0.
Bendroji dinamikos lygtis n
r
r
r
r
r
r
r
r ( ) F + R + Φ ⋅ δ r ∑ i i i i = 0; i =1 n
r r ( ) F + R − m a ⋅ δ r ∑ i i i i i = 0; i =1 n
r &r& ) ⋅ δr ( F + R − m r ∑ i i i i i = 0; i =1 n
{(F ix + Rix − mi x&&i ) ⋅ δ x i + (F iy + Riy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz + Riz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0 ; ∑ i 1 =
n
r
r
r ∑ (F i + Φ i ) ⋅ δr i = 0 ; i =1 n
r
r r ∑ (F i − mi a i )⋅ δr i = 0 ; i =1
176
n
r
r r ∑ (F i − mi r &&i ) ⋅ δr i = 0 ; i =1 n
{(F ix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0 . ∑ i 1 =
Lagranžo antrojo tipo lygtis d ∂T ∂T = Qk ; − & dt ∂q k ∂q k
čia k = 1, 2, ..., n.
Smūgis Judė jimo kiekio teorema sm smūgiui:
r
r
r
v
t r
mu − mv = F ⋅ τ . S = ∫ F dt .
Smūgio impulsas arba tiesiog sm ūgis:
0
Smūgio judesio kiekio teorema taškui:
r
r
r
mu − mv = S ; mu x − mv x = S x ; mu y − mv y = S y ; mu − mv = S . z z z
Mechaninės sistemos judesio kiekio teorema sm ūgiui: n
n
r
n
r
r
n
r
∑ mk u k −∑ mk v k = ∑ S k i +∑ S k v ; k =1
r
k =1 n
r
k =1
k =1
r
K − K 0 = ∑ S k i ; k =1 n i K x − K 0 x = ∑ S kx ; k =1 n i K y − K 0 y = ∑ S ky ; k =1 K − K = n S i . ∑ kz 0 z z k =1
Mechaninės sistemos mas ės centro grei čio kitimas dėl smūgio: r
r
n
r
M u C − M v C = ∑ S k i . k =1
Mechaninės sistemos sm ūgio kinetinio momento teorema: 177
r
r
n
r
r
L − L0 = ∑ M O (S k i ); k =1
n r i ( L − L = M S ∑ 0 x x k ); x k =1 n r i L y − L0 y = ∑ M y (S k ); k =1 r L − L = n M (S i ∑ z k ). 0 z z k =1
Taško greitis po sm ūgio: r
r
u =v+
1 r S . m
Atsistatymo koeficientas:
u k = ; v
k =
u m ⋅ u S 2 = = ; v m ⋅ v S 1
Taško greitis po ekscentrinio sm ūgio: u = v ⋅ sin 2 α + k 2 cos 2 α ,
1 tgβ = tgα, k
Tiesioginis centrinis dviej ų kūnų smūgis: m1 (u1 − v1 ) = −S ; m 2 (u 2 − v 2 ) = S .
Taško greitis po ekscentrinio sm ūgio: u=
m1v1 + m 2 v 2 . m1 + m 2
Pagrindinė smūgio lygtis pirmajai fazei: m1 (u − v1 ) = −S 1′ ; m 2 (u − v 2 ) = S 1 .
Pirmosios fazės smūgio impulsas: S 1 =
m1 m 2 (v1 − v 2 ) . m1 + m 2
Pagrindinė lygtis antrajai sm ūgio fazei: m1u1 − m1u = − S 2′ ; m 2 u 2 − m 2 u = S 2 .
178
β > α.
k =
h2 . h1
m1u1 − m1u = −k ⋅ S 1′; m 2 u 2 − m 2 u = k ⋅ S 1 .
Kūnų greičiai po smūgio: m2 ( ) (v − v ) ; u = v − + k 1 1 1 m1 + m 2 1 2 m1 u 2 = v 2 + (1 + k ) (v − v ) . m1 + m 2 1 2
Atsistatymo koeficiento reikšm ė: k =
u 2 − u1 . v1 − v 2
Smūgio impulsas: S = (1 + k )
m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2
Absoliučiai netamprus sm ūgis: u = u; greičių reikšmės po smūgio: 1 u 2 = u;
smūgio impulso reikšm ė:
S =
m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2
Absoliučiai tamprus smūgis: 2m 2 (v − v ) ; u = v − 1 1 m1 + m 2 1 2 greičių reikšmės po smūgio: 2m1 u 2 = v 2 + (v − v ) ; m1 + m 2 1 2 smūgio impulso reikšm ė:
S =
2m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2
Karno teorema ∆T =
1 1 m1 (v1 − u )2 + m 2 (v 2 − u ) 2 . 2 2 n
r
∑ M z (S k i ) Kampinio grei čio pokytis:
ω − ω0 =
k =1
I z
179
.
Svyravimai laisvų jų svyravimų diferencialinė lygtis:
d 2 x 2 + k x = 0; dt 2
laisvų jų svyravimų lygtis:
x = a sin (kt + α ) ;
svyravimų amplitudė:
a; v 02 a = x + 2 ; k 2 0
svyravimų juosta:
2a;
svyravimų fazė:
(kt + α ) ;
svyravimų pradinė fazė:
α;
tgα =
kx 0 ; v0
svyravimų periodas:
T =
2π ; k
svyravimų savieji dažniai:
k =
c ; m
svyravimų ciklinis dažnis:
k =
2π ; T
dažnis hercais (Hz):
f =
1 ; T
gę stan stančių jų svyravimų diferencialinė lygtis:
d 2 x dx m 2 + 2n + k 2 x = 0; dt dt
gę stan stančių jų svyravimų lygtis, kai n < k :
x = ae − nt sin (k 1t + α 1 ) ;
ciklinis gę stan stančių jų svyravimų dažnis:
k 1 = k 2 − n 2 ;
gę stan stančių jų svyravimų amplitudė:
(v 0 + nx 0 )2 a = x + ; k 12
gę stan stančių jų svyravimų pradinė fazė:
tgα 1 =
2 0
180
x 0 k 1 ; v0 + nx 0
svyravimų periodas:
T R =
2π ; k 1
gę stan stančių jų svyravimų dekrementas:
D =
a i +1 = e − nT R ; a i −1
gę stan stančių jų svyravimų logaritminis dekrementas: dekrementas:
λ = ln D = nT R ;
gę stan stančių jų svyravimų lygtis, kai n > k :
x = e − nt C 1 e
n 2 − k 2 t
n 2 − k 2 t
+ C 2 e −
t ;
x = e − nt (C 1 + C 2 t ) ;
gę stan stančių jų svyravimų lygtis, kai n = k :
priverstinių svyravimų neį vertinant vertinant slopinimo diferencialin ė lygtis: d 2 x + k 2 x = h sin (ωt + δ) ; 2 dt
priverstinių svyravimų nesant slopinimui bendrasis sprendinys: x = x1 + x 2 ;
x1 = a sin (kt + α );
x 2 = A sin (ωt + δ);
x 2 =
statinė deformacija:
A0 =
svyravimų dinamiškumo koeficientas:
η=
mažų dažni ų svyravimų dinamiškumo koeficientas:
η=
h k 2 − ω 2 h ; k 2
A ; A 0
1 1−
didelių dažnių svyravim ų dinamiškumo koeficientas:
η=
sin (ωt + δ) .
ω2
k 2
1 ω2
k 2
;
;
−1
priverstinių svyravimų judė jimo lygtis: x = x 0 cos kt +
v0 h ω h sin kt − 2 sin cos cos sin sin (ωt + δ) ; δ ⋅ kt + δ ⋅ kt + 2 2 k k k − ω 2 k − ω
x1 = x 0 cos kt +
v0 sin kt ; k
181
x 2 = − x3 =
h
ω δ ⋅ kt + δ ⋅ kt sin cos cos sin ; k k 2 − ω 2
h 2
k − ω 2
sin (ωt + δ ) .
182