DINAMIKA ROTACIJE Kao i u kinematici prvo ćemo utvrditi koje se veličine koriste u dinamici rotacionog kretanja. Zato ćemo opet uvesti tablicu analognih translatornih i rotacionih veličina. Ova tablica sadrži i već poznate kinematičke veličine, ali i po tri nove dinamičke veličine: Translacija re!eni put S "m "m# $rzina v "m/s# m/s# %brzanje a "m/s 'reme t " " s# s# (asa m "kg "kg # )mpuls p "kg m/s# m/s# +ila F " " N N #
Rotacija re!eni ugao ϕ "rad "rad # %gaona brzina "rad/s# rad/s# %gaono ubrzanje "rad/s 'reme t " s# s# (oment inercije I "kg "kg m (oment impulsa L "kg m&* s# s# (oment sile M " N N m# m#
Kao i u translaciji, pokazuje se da nijednu od osnovnih veličina iz dinamike translacije nije moguće upotrebljavati i u dinamici rotacije. Zato su u dinamiku rotacije uvedene tri analogne veličine. " N N m# m# Moment sile - M " U translaciji sila određuje ubrzanje tela na koje deluje. % rotaciji ugaono ubrzanje tela nije odre!eno samo silom koja na to telo deluje, već ga odre!uju sledeća tri aktora: - sila - F - krak sile - r i - ugao - β. Krak sile je vektor čija je napadna tačka na osi rotacije, dok je njegov vrh u napadnoj tački sile. ritom je ugao izme!u kraka sile i ose rotacije uvek prav, to znači da je dužina kraka sile, u stvari, najkraće rastojanje od ose rotacije do tačke u kojoj sila deluje na telo. %gao β za krake ima vektore: kraka sile i sile tj. β / ∠ " r , , F #. %gaono ubrzanje tela koje rotira je direktno srazmerno: jačini sile i dužini kraka sile, dok od ugla β zavisi na složeni sinusni način: ako je β / 00 ⇒ sinβ / 0 ⇒ α / 0, ako β↑ od 00 do 10 0 ⇒ sinβ↑ ⇒ α↑, ako je β / 100 ⇒ sinβma2 ⇒ αma2, ako β↑ od 100 do 340 0 ⇒ sinβ↓ ⇒ α↓, ako je β / 3400 ⇒ sinβ / 0 ⇒ α / 0, itd. Ovakvu Ovakvu zavisnost zavisnost ugaonog ugaonog ubrzanja α od sile, sile, kraka sile i ugla β možemo objasniti na primeru pokretanja vrata. ritom treba imati u vidu da vrata vre rotaciono kretanje oko ose rotacije koja prolazi kroz liniju arki. 5asno je da će vrata dobiti veće ugaono ubrzanje ako je sila koja na njih deluje jača. (e!utim, ukoliko, u dva posebna slučaja, istom silom delujemo na različitim rastojanjima od ose rotacije " a to znači da su u tim slučajevima kraci sile različite dužine# tada će sila koja deluje na dužem kraku sile izazvati i veće ugaono ubrzanje. %ostalom zato su kvake na vratima uvek postavljene to dalje od ose njihove rotacije. 6ko sada razmotrimo ta je ugao β videćemo da je to ustvari ugao izme!u vektora sile i povrine samih vrata " zato to vektor kraka sile r leži leži 0 u povrini vrata#. β / 0 znači da sila i njen krak imaju isti pravac i smer, a to je slučaj kada pokuavamo da vrata istrgnemo iz arki, to neće dovesti do njihove M F rotacije. )sto će se desiti i ako delujemo pod uglom od β / 3400 to znači da sila i njen krak imaju isti pravac, a suprotan smer, a to je slučaj kada, suprotno od malor čas, pokuavamo da vrata sabijemo prema arkama. 7ajveće ugaono ubrzanje vrata ćemo dobiti ako na njinjihovu povrinu delujemo pod uglom β / 100. $ilo sma3
njenje, bilo povećanje ovog ugla doveće do smanjenja sl. 83. ugaonog ubrzanja vrata. %pravo zato su kvake usa!ene u vrata pod uglom od 10 0. 9akle, može se reći da je ugaono ubrzanje tela direktno srazmerno proizvodu: kraka sile, sile i α ∼ r F sinβ. sinusa ugla izme!u njih tj. 'eličinu: r F sinβ nazivamo moment sile M tj. M / r F sinβ. Sada se može reći da moment sile određuje ugaono ubrzanje tela. (oment sile je vektorska veličina i s obzirom na deiniciju njegove brojne vrednosti imamo: M = r 2 F 7a sl. 83. pravac i smer vektora momenta sile je odre!en pravilom desne ruke.
Moment inercije I " kg m& # Masa određuje inertnost tela koje se kreće translatorno. Kada se telo kreće rotaciono njegovu inertnost ne odre!uje samo njegova masa već čak četiri aktora, a to su: - masa tela m, - poluprečnik rotacije r , to je rastojanje od najudaljenije tačke na telu do ose rotacije, - oblik tela i - položaj ose rotacije. oslednja dva aktora zajedno odre!uju broj n, pa se može reći da je inertnost tela koje rotira odre!ena sledećom veličinom : n m r &. Ova veličina se skraćeno naziva moment inercije I , tj. I / n m r & . o znači da: inertnost tela koje rotira određuje njegov moment inercije I. rimeri:
•m r sl. 8&.
m
r
(aterijalna tačka mase m koja rotira na rastojanju r od ose rotacije, ili kružni prsten iste mase i istog poluprečnika imaju: n / 3 pa je zato njihov moment inercije: I / m r & " ovaj obrazac će biti izveden na kraju ove lekcije#.
6ko je posmatrano telo disk mase m i poluprečnika r , tada je: n / ; pa je zato moment inercije kružne ploče: I / ; m r &
sl. 88.
m r
% slučaju rotacije tapa mase m i ako je polovina njegove dužine r, imamo: n / 3*8 pa je u ovom slučaju moment inercije: I / 3*8 m r &
sl. 8<. % slučaju lopte mase m i poluprečnika r brojni aktor n ima vrednost: n / &*= pa je moment inercije: I / &*= m r &.
m
r
% sva četiri prethodna slučaja, navedeni obrasci važe pod uslovom da osa rotacije prolazi kroz centar tela, kao to je na slikama i prikazano.
sl. 8=. &
+ada ćemo pokazati da je za materijalnu tačku mase m, koja rotira oko ose rotacije na rastojanju r moment inercije: I / m r &, to znači da je brojni aktor n / 3. % primeru na sl. 8>. na materijalnu tačku mase m deluje sila F , na M rastojanju r od ose rotacije, to izaziva kružno kretanje tačke, koje β / 100 možemo smatrati i rotacijom, pa se tada rastojanje r može smatrati za krak sile r , pri čemu njenu rotaciju izaziva moment sile M , koji F r m ovom telu daje ugaono ubrzanje , zbog čega dolazi do povećanja ugaone brzine . +ila deluje u odnosu na svoj krak pod pravim ugsl. 8>. lom, pa je zato brojna vrednost momenta sile: 0 M / r F sinβ / r F sin10 / r F / r m a / r m r α / m r & α. % ovom izvo!enju korićen je zakon sile: F / m a, kao i relacija izme!u ubrzanja i ugaonog ubrzanja tačke koja se kreće kružno: a / r α . 9akle imamo: M / m r & α. 6ko ovaj izraz uporedimo sa zakonom sile iz translacije: F / m a, možemo uočiti analogiju izme!u njih, pri čemu je jasno da je: M analogno sa F , α sa a, dok je izraz m r & analogan sa masom tela m. 9akle ako masa tela odre!uje njegovu inertnost pri translaciji, tada veličina m r & odre!uje inertnost tog tela pri njegovoj rotaciji i to je traženi moment inercije I materijalne tačke na sl. 8>.
Moment impulsa L "kg m&* s# ada se telo kreće translatorno! tada ja"inu njegovog sudara sa nepokretnom preprekom određuje njegov impuls# p $ m v. Kada se telo kreće rotaciono, tada jačina njegovog sudara sa nepokretnom preprekom ne zavisi samo od njegove mase i brzine tj. njegovog impulsa, već zavisi od sledeća četiri aktora: - od mase tela m, - od njegove brzine v, - od rastojanja tačke, u kojoj se sudar deava, od ose rotacije r i - od ugla θ, θ / ∠ " r , v # ? to je, u stvari, ugao pod kojim telo stiže na povrinu nepokretne prepreke. 5asno je da je jačina sudara direktno srazmerna i masi i brzini tela. (e!utim, jačina sudara je, tako!e, direktno srazmerna i rastojanju r . Zato je u boksu zabranjen udarac sa strane ispruženom rukom, već je dozvoljen samo ako je ruka savijena u laktu pod uglom od 10 0 ? tzv. kroe, jer bi udarac ispruženom rukom bio, u odnosu na kroe, dvostruko jači, pa bi mogao da bude vrlo opasan. Od ugla θ, jačina udarca zavisi na složen sinusni način, tj. maksimalna je za 10 0. 9akle, jačina sudara tela koje rotira, sa nepokretnom preprekom je direktno srazmerna sa veličinom: r m v sinθ. Ova veličina se u izici naziva: moment impulsa i obeležava se sa L, pa je: L / r m v sinθ. 7a kraju, može se reći da moment impulsa određuje ja"inu sudara tela koje rotira sa nepokretnom preprekom. (oment impulsa je vektorska veličina i s obzirom na deiniciju njegove brojne vrednosti sledi: L = r 2 mv, tj. L = r 2 p. a!oni "inami!e rotacije Kao i u kinematici, analogija izme!u izičkih veličina iz tabele se proiruje i na obrasce i deinicije. 7a primer, osnovni zakon dinamike translacije: F =
∆ p ∆t
,
ima sebi analogan osnovni zakon dinamike rotacije: M =
∆ L ∆t
.
ritom, prvi čitamo: sila je brojno jednaka promeni impulsa u jedinici vremena, a drugi: moment sile je brojno jednak promeni momenta impulsa u jedinici vremena. Od važnijih obrazaca iz dinamike rotacije pomenimo jo: M I α , koji je analogan zakonu sile: F = m ⋅ a =
⋅
8
L = I ⋅ ω , koji je analogan izrazu za impuls: p
=
m v, ⋅
itd.
Dinami!a !ru#no$ !retanja Kako je dinamika nauka o uzrocima odre!ene vrste kretanja, očigledno je da je osnovno pitanje u dinamici kružnog kretanja: zato se telo kreće kružno@ 6naliza kružnih kretanja različitih tela nas dovodi do zaključka da postoje dva osnovna uzroka kružnog kretanja, tj. da telo mora da ispuni dva uslova da bi se kretalo kružno, a to su: 3. 9a na to telo deluje sila koja ga stalno privlači ka centru kružne putanje ? centripetalna sila F c i &. 9a to telo ima brzinu uskla!enu sa centripetalnom silom. o znači da brojna vrednost njegove brzine ne sme biti ni premala ? jer bi tada telo po spiralnoj putanji palo u centar kruženja, ali ni preveliku ? jer bi u tom slučaju telo po spirali napustilo kružnu orbitu udaljavajući se od centra kruženja. %skla!enost tako!e znači da vektori brzine tela i centripetalne sile moraju zaklapati ugao od 10 0. %zmimo kao primer kretanje Zemlje oko +unca. Aentripetalna sila je gravitaciona i ona u svakoj tački Zemljine putanje nau F c m v planetu privlači ka +uncu. 6ko uzmemo primer kretanja elektrona oko atomskog jezgra, tada je centripetalna sila ? Kulonova sila koja acp je u ovom slučaju privlačna jer su jezgro atoma i elektron suprotno naelektrisani. r F c Aentripetalna sila, po )) 7jutnovom zakonu, telu daje ubrzanje, koje je kao i sama sila uvek usmereno ka centru kruženja. 6ko se setimo normalnog ubrzanja tela koje se kreće krivolinijski, postaje jasno da je normalno ubrzanje upravo to ubrzanje koje telu daje centripetalna sila. Kombinacijom obrasca za )) 7jutnov zakon: F c
=
m ⋅ an
i obrasca za normalno ubrzanje kod kružnog kretanja: an
=
v
&
r
dobija se obrazac za centripetalnu silu:
sl. 8B. F c
=
m
v
&
r
.
Ovaj obrazac je izuzetno značajan u izici, jer priroda centripetalne sile može biti različita, pa njegovo izjednačavanje sa obrascem speciičnim za datu silu može dovesti do mogućnosti eksperimentalnog merenja raznih, uglavnom, teko merivih izičkih veličina. +ada možemo razmotriti i jednu važnu posledicu kružnog kretanja. 6ko uzmemo u obzir da je kružno kretanje tela ubrzano, zato to telo ima normalno ubrzanje, tada je to telo ubrzan sistem, pa će za posmatrača koji se nalazi u njemu delovati iktivna centriugalna sila F c . Aentripetalna i centriugalna sila su iste jačine i pravca, a suprotnog smera: F c / - F c $ez obzira to ovo isto važi i za sile akcije i reakcije, centripetalna i centriugalna sila nisu akcija i reakcija, jer ako nastavimo analizu: one deluju istovremeno, ali i na isto telo pa se mogu me!usobno ponitavati. DODATAK. Razmotrimo sld!i pro"lm# Ako zamislimo kr$%no krtan& &dnog a$to"$sa po ravno& i 'orizontalno& "tonsko& povr(ini) zato (to voza* dr%i volan $vk isto okrn$t) postavl&a s pitan& + ko&a & sila $ ovom sl$*a&$ cntriptalna. Na a$to"$s dl$&$ tri spol&a(n& sil) a to s$# gravitaciona sila zml&in t%) sila trn&a sa podlogom i otpor vazd$'a na *on$ povr(in$ vozila. ,dna od ov tri sil & cntriptalna. -ravitaciona sila odma' otpada z"og toga (to dl$& $ pogr(nom pravc$. Naim cntriptalna sila "i tr"alo da dl$& ka cntr$ kr$%n p$tan& a$to"$sa + dakl parallno sa podlogom) dok gravitaciona sila dl$& $ odnos$ na ta& pravac pod pravim $glom) t&. $ vrtikalnom pravc$. Na ta& na*in prosta&$ sila trn&a i sila otpora vazd$'a. Ova& pro"lm mo%mo razr(iti tako (to !mo iz primra $kloniti &dn$ od ovi' sila) pa ako & ona $zrok kr$%nog krtan&a) tlo s vi( n! krtati kr$%no) a ako ni& onda ! tlo nastaviti sa kr$%nim krtan&m. 0klonimo prvo sil$ otpora vazd$'a# zamislimo a$to"$s ko&i s kr! na prt'odno opisani na*in) ali pod k$polom ispod ko& & vak$$m. Mo%mo) altrnativno) <
zamisliti trnsko vozilo sa to*kovima i volanom na nko& planti ko&a nma atmos1r$. Da li ! ndostatak otpora vazd$'a spr*iti kr$%no krtan& vozila "z o"zira na okrtan& volana2 Ako pa%l&ivo razmislimo mo%mo zakl&$*iti da sila otpora vazd$'a nma nikakv vz sa kr$%nim krtan&m vozila) t&. da ! s vozilo nzavisno od pris$stva ov sil krtati kr$%no. Sv sada $kaz$& na sil$ trn&a. 3rovrimo i n&$ na isti na*in# zamislimo da s $msto po "tonsko& podlozi) a$to"$s kr! po ravno&) glatko& i vla%no& ldno& povr(ini) dok s$ g$m na n&govim to*kovima istro(n) ili kako to voza*i ka%$ !lav. Svi ovi dodaci s$ prd$slov zanmarl&ivo mal sil trn&a. Ako pri ravnomrno pravolini&skom krtan&$ a$to"$sa voza* okrn volan) a$to"$s n! otpo*ti kr$%no krtan&) v! ! proklizati pravolini&ski. Ono malo sil trn&a ko&a ipak dl$& na n&gov to*kov mo% samo pro$zro*iti rotaci&$ a$to"$sa oko vrtikaln os. Dakl $ sl$*a&$ krtan&a nkog vozila po kr$%no& p$tan&i cntriptalna sila & sila trn&a sa podlogom. Razmotrimo &o( &dan pro"lm. 4a(to s pri "rzini v!o& od kriti*n a$to"$s prvrn $ krivini + t&. pri kr$%nom krtan&$2 Odgovor za posmatra*a iz a$to"$sa & da ga & prvrn$la cntri1$galna sila i to & nsporno. Ali tk sada nasta& pro"lm ko&i glasi# ali kako mo% a$to"$s "iti prvrn$t dlovan&m cntri1$galn sil kada na n&ga istovrmno dl$& i cntriptalna sila trn&a. Kako s$ ov dv sil ist po &a*ini i pravc$) a s$protn po smr$) to zna*i da s on m5$so"no poni(tava&$. Dakl kako a$to"$s mo% prvrn$ti sila ko&a & pritom poni(tna d&stvom dr$g sil2 0sp$t) por5n&a radi) 4ml&a s pri krtan&$ oko S$nca n prvr!) iako & n&na "rzina &ako vlika + oko 67 km/s. Ina* 4ml&ina rotaci&a oko sopstvn os ni& izazvana n&nim vnt$alnim prvrtan&m z"og d&stva cntri1$galn sil) &r "i $ tom sl$*a&$ polo%a& os rotaci& 4ml& "io "itno dr$ga*i&i. R(n& ovog pro"lma & $ prirodi cntriptalni' sila $ navdnim primrima. 0 sl$*a&$ prvrtan&a a$to"$sa cntri1$galna sila dl$& na svak$ ta*k$ a$to"$sa + po clo& n&govo& visini) dok cntriptalna sila trn&a dl$& samo na povr(in$ n&govi' to*kova na onim mstima gd oni dodir$&$ podlog$. 0 tim ta*kama ov dv sil s i poni(tava&$) ali na sv ostal ta*k a$to"$sa dl$& samo cntri1$galna sila) ko&a tako $ n&ima osta& nponi(tna) pa ! n&i'ov z"ir pri dovol&no vliko& "rzini "iti dovol&no vliki da prvrn a$to"$s. Ta zavisnost cntri1$galn sil od "rzin & ista kao i kod cntriptaln sil &r s$ n&i' dv "ro&no &dnak# F c1
= F c =
m
v
&
r
0 sl$*a&$ krtan&a 4ml& oko S$nca i cntriptalna + gravitaciona i cntri1$galna sila dl$&$ na svak$ ta*k$ 4ml&) pa s $ svako& od n&i' i poni(tava&$) pa zato $ ovom sl$*a&$ nma prvrtan&a.
=